PROGRAMSKO PRONALAŽENJE RJEŠENJA MBCP PROBLEMA PROGRAMMATICALLY SOLUTION FOR MBCP PROBLEMS

Transcription

1 PROGRAMSKO PRONALAŽENJE RJEŠENJA MBCP PROBLEMA mr. sc. Ato Vrdoljak, prof. matematike Građeviski fakultet Sveučilišta u Mostaru Sažetak: U radu je da osvrt a programsko rješavaje problema vezaog za particioiraje grafa G = (V, E). Budući je to problem koji pripada klasi NP teških problema odabrae su strategije iz domee heuristike za jegovo rješavaje. U tu svrhu apravlje je programski modul u softverskom paketu Microsoft Visual Studio Implemetirai modul programski (heuristika) proalazi sub optimala rješeja, a erijetko i korekto optimalo rješeje MBCP problema korisičkog grafa u razumom vremeu. Ključe riječi: poveza graf, particioiraje grafa, MBCP, pohlepi algoritam, cluster aaliza PROGRAMMATICALLY SOLUTION FOR MBCP PROBLEMS Abstract: The paper gives a review regardig the problem solvig of the graph partitioig problem, for some graph G = (V, E). Sice this is a problem belogig to the NP-Hard class, strategies from heuristic domai were chose for solvig such a problem. For this purpose, a software module was created i the Microsoft Visual Studio 2015 software package. The implemeted module programmatically (heuristics) will fid the sub optimal solutios, but also fidig of the correct optimum for MBCP problem of user s graph i reasoable time is ot rare. Key words: coected graph, graph partitioig, MBCP, greedy algorithm, cluster aalysis Vrdoljak, A. 117

2 1. UVOD U fokusu ovog rada je programsko rješeje za problem proalažeja maksimalo balasirae povezae particije u grafu (egl. Maximally Balaced Coected Partitio Problem MBCP). Izrađe je programski modul u objekto orijetiraom programskom jeziku C#, uutar softverskog paketa Microsoft Visual Studio Uvode defiicije za graf, iducirai podgraf, šetju, put, povezai graf i k partitivi graf su izostavljee, i mogu se proaći u literaturi [4]. MBCP problem pripada široj klasi problema koji se tiču particioiraja grafa. Kako ovi problemi spadaju u kombiatoru optimizaciju, područje koja sadrži moge NP teške probleme (problemi za koje e postoji algoritam koji proalazi rješeje u poliomijalom vremeu), ametula je se potreba za korištejem eke od heurističkih metoda. Zato je u ovom radu korištea strategija pohlepog algoritma, tzv. Greedy, za programsko proalažeje rješeja MCBP problema. Pored ovog pristupa primjejuje se i strategija cluster aalize. Razlog primjee cluster aalize je u svrsi ovog skupa metoda (algoritama), a o je otkrivaje strukture ekog početog skupa podataka jegovim dekompoirajem (particioirajem ili klasificirajem) u maje, homogeije podskupove (clustere), koji su uzajamo isključivi (disjukti). Po defiiciji heuristika (prema grčki εὑρίσϰεıν: alaziti, otkrivati) je postupak koji vodi prema otkriću ili ga potiče. U moderoj logici heuristika se opisuje kao proces koji može riješiti određeu vrstu problema, ali e jamči uspješo rješeje. To je začeje preuzeto u suvremeu filozofiju uma, u kojoj se termi heuristika primjejuje a formalo eisprave i/ili epotpue procedure zaključivaja ili odlučivaja. Takve procedure često vode do uspješoga rješeja problema, ako se primijee a specifičo i razmjero usko područje, o, primijejee a eko drugo područje pokazuju se euspješima i beskorisima. Drugim riječima, kogitiva heuristička pravila pri odlučivaju su lakši put do doošeja odluka, često vrlo efikasa, ali e vode uvijek ajboljoj opciji. Formulacija problema, odoso formiraje matematičkog problema u pravilu predstavlja prvu fazu, od ukupo tri faze, u postupcima za proalažeje rješeja ekog problema uz uporabu račuala. U drugoj fazi defiira se postupak, odoso algoritam rješavaja, koji razumijeva preciza iz radji koje treba obaviti kako bi se došlo do rješeja problema. Posljedja faza je implemetacija, odoso programiraje, daog algoritma u ekom od (viših) programskih jezika. Nužo je biti svjesta čijeice o uskoj povezaosti ovih triju faza, odoso o postojaju iza međudjelovaja ovih triju faza, jer kako se program razvija, dobiva se sve više iformacija o problemu koje mogu sugerirati određee promjee u formulaciji problema, u usvojeom algoritmu, ili u programu [4]. U paragrafu (podaslovu) koji slijedi daje se matematička defiicija problema. 1.1 Matematička defiicija problema Neka je G = (V, E), V = {1, 2,, } poveza graf i E = m. Neka su w i težie u vrhovima grafa G. Za proizvolja V' V uvedimo ozaku w(v') za sumu težia svih vrhova (čvorova) iz V', tj. w V ' w (1) iv ' i MBCP problem jest problem proalažeja (određivaja) particije skupa vrhova V grafa G u dva disjukta skupa V 1 i V 2, takva da su podgrafovi grafa G iducirai s V 1 i V 2 povezai, a sume težia vrhova iz V 1 i V 2 su po vrijedosti što bliže jeda drugoj, tj. razlika između suma težia je ajmaja moguća. Vrdoljak, A. 118

3 1.2 Zašto je particioiraje teško? Najjedostaviji problem particioiraja grafa bi bio podjela tog grafa u samo dva dijela (bisekcija grafa). Velika većia pozatih algoritama za particioiraje grafa upravo su algoritmi za bisekciju grafa, a tek ekoliko jih za rezultat daje podjelu grafa u proizvolja broj dijelova (prebrojivo mogo dijelova). Ovo se a prvi pogled može čiiti edostatkom, ali u praksi to ije, jer ako možemo podijeliti graf a dva dijela, oda ga možemo podijeliti i a više od dva dijela, daljjim dijeljejem jedog ili oba iicijala dijela. Ovakav pristup poavljaja bisekcije je ajčešće korištei pristup za podjelu grafa u proizvolja broj dijelova. Iako ga je relativo jedostavo opisati, ovaj problem ije laga za riješiti. Jeda od mogućih pristupa u postupku rješavaja bi bio podjela grafa u dva dijela jedostavim pregledavajem svih mogućih podjela grafa u dva dijela, te zatim odabirajem oe podjele koja zadovoljava dae uvjete. Međutim, za sve grafove osim za tzv. male grafove, takva tzv. iscrpa pretraga biva eizmjero skupa u smislu vremea račuaja [8]. Broj ačia a koji možemo izvršiti podjelu grafa sa vrhova a dva dijela (podgrafa) sa 1 i 2 vrhova je!/( 1! 2!). Ako aproksimiramo faktorijele pomoću Stirligove formule, i iskoristimo čijeicu da je =, dobivamo 2 / e!. (2)!! 2 / 2 / 1/ /2 2 1/ e 2 2 e 1 2 Tako, primjerice, ako želimo podijeliti graf a dva dijela jedake veličie ( 1 = 2 = /2), broj različitih ačia za to je približo 1/2 1 /2 2. (3) 1 Slika 1. Mali graf sa šest vrhova i devet bridova Vrdoljak, A. 119

4 Dakle, količia vremea potrebog za promatraje svih mogućih podjela grafa u dva dijela će rasti približo ekspoecijalo s povećajem kardialosti skupa vrhova V u grafu G. Nažalost, riječ je o vrlo brzoj rastućoj fukciji, što povlači da opisai pristup podjele grafa u samo dva dijela ema velikog smisla u realom vremeu, čak i za priličo umjeree vrijedosti od. Potoji zaključci, osim što su dali odgovor a postavljeo pitaje u ovom podaslovu, daju am i potvrdu logike opravdaosti odluke da se pribjege korišteju pohlepih algoritama i tehika cluster aalize pri implemetaciji programskog proalažeja rješeja MCBP problema. 2. ALGORITMI ZA PRONALAŽENJE RJEŠENJA MBCP PROBLEMA U uvodu je spomeuto kako su u ovom radu primijejee dvije strategije (algoritma, tehike) za programsko proalažeje rješeja MCBP problema: pohlepi algoritam i cluster aaliza. Pohlepi algoritmi, tzv. Greedy, koriste metaheuristiku za rješavaje problema, te su u pravilu jedostavog oblika (koda) i daju brzu aproksimaciju ajboljeg rješeja. Prema Sigeru [5] pohlepi algoritam e mora aći rješeje problema. Nadalje, čak i ako ga ađe, to rješeje e mora biti optimalo, jer pohlepi algoritam igdje e koristi fukciju cilja, već samo fukciju izbora. Da bi ovakvo ađeo rješeje bilo i optimalo rješeje, treba dokazati da pohlepi algoritam korekto rješava problem optimizacije. Opći oblik pohlepog algoritma je prikaza u tablici ispod. Tablica 1. Opći oblik pohlepog algoritma prema Sigeru [5] procedure greedy ( C: skup; var S: skup; var OK: boolea ) { C je u početku skup svih raspoloživih kadidata.} { U skupu S akumuliramo rješeje problema. } { OK kaže da li je ađei S rješeje} begi S := 0; while ot rjeseje(s) ad (C ) do begi x := elemet iz C koji maksimizira vrijedost izbor(x); C := C \ {x}; if dopustiv(s {x}) the S := S {x}; ed; OK := rjeseje(s); ed; { greedy } Cluster aaliza je skup metoda (algoritama) koji am omogućuju da klasificiramo promatrae podatke. Što je promatraa klasa maja, to su razlike među objektima maje, a što je promatraa klasa veća, to su razlike među objektima veće. Drugim riječima, cluster treba imati visoku uutarju (uutar clustera) homogeost i visoku vajsku (između clustera) heterogeost. Prvi problem cluster aalize je kako utvrditi (tj. brojčao izraziti) sličost između dvaju objekata a i b opisae ekim svojstvima s 1, s 2,, s. Neka je vrijedost svojstva s i za objekt a jedaka x i, a za objekt b jedaka y i. Tada udaljeost (obzirom a sličost) objekata a i b možemo mjeriti a više ačia, a u ovom radu je korištea samo euklidska udaljeost: i i (4) i1, 2 d a b x y Vrdoljak, A. 120

5 Nadalje, potrebo je utvrditi kako formirati clustere, te kako utvrditi koača broj clustera. Prema matematičkoj defiiciji problema u ovom radu, koača broj clustera je dva. Dakle, preostaje riješiti pitaje utvrđivaja usaljeosti dvaju skupova objekata. Postoji ekoliko ačia a koje to možemo učiiti, a avest ćemo samo eke od jih [4]: jedostruka povezaost (udaljeost među skupovima A i B je ajmaja udaljeost među objektima a i b takvima da je a iz A, a b iz B), potpua povezaost (udaljeost među skupovima A i B je ajveća udaljeost među objektima a i b takvima da je a iz A, a b iz B)), eutežea prosječa povezaost (udaljeost među skupovima A i B je prosječa udaljeost među objektima a i b takvima da je a iz A, a b iz B). Nako što je odabra ači a koji ćemo mjeriti udaljeost među skupovima objekata (clusterima), te ako što je odabra koača broj clustera, primijeit ćemo algoritam prikaza u tablici ispod. Tablica 2. Algoritam cluster aalize [4] 1) Ako se u familiji skupova alaze barem dva skupa, 1.1) proađi dva skupa kojima je udaljeost ajmaja 1.2) smjesti ta dva skupa u isti cluster 1.3) izbaci ta dva skupa iz familije promatraih skupova 1.4) u familiji promatraih skupova dodaj skup koji je uija dva 1.4) izbačea skupa 1.5) vrati se a liiju 1) 2) Ako se u familiji skupova alazi samo jeda skup, 2.1) kraj algoritma. Važo je apomeuti kako različiti izbori račuaja udaljeosti među objektima i među skupovima objekata rezultiraju različitim clusterirajem objekata. Jeda primjer tehike algoritma cluster aalize prikaza je a slici 2. Slika 2. Tehika algoritma cluster aalize Vrdoljak, A. 121

6 3. PROGRAMSKI MODUL Implemetacija programskog proalažeja rješeja MCBP problema izvedea je u objekto orijetiraom programskom jeziku C#, uutar softverskog paketa MS Visual Studio Izrađe je programski modul koji u pripremoj fazi omogućuje korisiku kostrukciju grafa, tj. zadavaje vrhova i bridova (veze među vrhovima) te težie u svim vrhovima grafa. U svakom treutku je moguće spremaje grafa u tekstualu datoteku, kao i ispis grafa u.pdf datoteku. Po završetku kostruiraja grafa slijedi izvrša faza u kojoj će korisik imati mogućost proalažeja rješeja MBCP problema za upravo kostruira graf. Za izbor će imati dvije (u prethodom aslovu) opisae strategije (pohlepi algoritam i cluster aaliza). Pseudo kod implemetiraog pohlepog algoritma dobro je pozat u literaturi [1, 3] a aš je prikaza u tablici ispod. Programskim modulom još su predviđee dvije istrukcije: mogućost validacije dobiveih rezultata kao i evaluacija čitavog postupka. Na slici 3. prikaza je jedostava primjer (malog) grafa s jedim optimalim rješejem MBCP problema tog grafa, koje eće biti proađeo uz pomoć ovog programskog modula. Tablica 3. Pohlepi algoritam za proalažeje rješeja MBCP problema 1) Sortiramo vrhove iz skupa V tako da vrijedi w(v 1 ) w(v 2 ) w(v ), 2) počijemo sa V 1 := {v 1 }, V 2 := V \ V 1, 3) ako je w(v 1 ) (1/2)w(V) 3.1) idi a liiju 7), u suprotom idi a liiju 4), 4) formiraj skup V 0 = {uv 2 (V 1 {u}, V 2 \ {u}) je povezaa particija grafa G }, 5) izaberi vrh uv 0 takav da je w(u) = mi {w(v) vv 0 }, 6) ako je w(u) < w(v) - 2w(V 1 ) 6.1) tada je V 1 := V 1 {u}, V 2 := V 2 \ {u}, 6.2) vrati se a liiju 3), u suprotom idi a liiju 7), 7) prikaži particiju (V 1, V 2 ). Slika 3. Mali graf sa jedim optimalim rješejem MCBP problema Vrdoljak, A. 122

7 3. ZAKLJUČAK MBCP problemi, odoso proalažeja jihovih rješeja, spadaju u kombiatoru optimizaciju, te su u uskoj vezi s teorijom grafova. Imaju vrlo čestu primjeu u zaosti, posebice ižejerstvu i spadaju u klasu NP problema (jer kardialost skupa vrhova V u promatraom grafu G može biti velika). Izrađei programski modul koji proalazi sub optimalo rješeje MBCP problema koristi heuristiku, ali i poekad daje korekte particije u razumom vremeu (složeost algoritma je O( 2 )). Mogućost daljjeg razvoja programskog modula ostaje u području uvođeja dodatih metoda heuristike koje su pozate u literaturi (pr. geetički algoritam, pretraga promjejivom okoliom), ili uvođeja potpuo ovih heurističkih metoda, s ciljem poboljšaja kvalitete rješeja. LITERATURA 1. Chlebikova, J.: Approximatig the Maximally Balaced Coected Partitio Problem i Graphs, Iformatio Processig Letters, 1996, 60, str Djurić, B. i ostali: Solvig the Maximally Balaced Coected Partitio i Graphs by Usig Geetic Algorithm, Computers ad Iformatics, 2008, 27(3), str Matić, D., Božić, M.: Maximally Balaced Coected Partitio i Graphs: Applicatio i Educatio, Teachig of Mathematics, 2012, 15(2), str Vrdoljak, A.: Kostrukcija maksimalo balasirae povezae particije u grafu, Zborik radova 5. skupa mladih istraživača ZAJEDNIČKI TEMELJI 2017., 2017, 5, str Siger, S.: Složeost algoritama, Sveučilište u Zagrebu, PMF Matematički odjel, Zagreb MacKay, D.: Iformatio Theory, Iferece, ad Learig Algorithms, Versio 7.2, Cambridge Uiversity Press, Cambridge McMilla, M.: Data Structures ad Algorithms Usig C#, Cambridge Uiversity Press, Cambridge Newma, M.: Networks, A Itroductio, Oxford Uiversity Press, Oxford, Vrdoljak, A. 123