Gabrijel Kolar, Žana Nevjestić MATEMATIČKI MODEL NTC TERMISTORA

Transcription

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehike i račuarstva Fakultet kemijskog ižejerstva i tehologije Gabrijel Kolar, Žaa Nevjestić MATEMATIČKI MODEL NTC TERMISTORA Zagreb, 2017

2 Ovaj rad izrađe je a Fakultetu elektrotehike i račuarstva pod vodstvom prof. dr. sc. Martia Dadića i preda je a atječaj za dodjelu Rektorove agrade u akademskoj godii 2016./2017.

3 SADRŽAJ 1. UVOD OPĆI DIO OSNOVNA SVOJSTVA NTC TERMISTORA GRAĐA NTC TERMISTORA I MEHANIZAM VODLJIVOSTI TOPLINSKA I ELEKTRIČNA SVOJSTVA TERMISTORA TOPLINSKA SVOJSTVA TERMISTORA ELEKTRIČNA SVOJSTVA OVISNOST OTPORA O TEMPERATURI STARENJE I LINEARIZACIJA METODE I PLAN RADA METODA NAJMANJIH KVADRATA AKAIKEOV INFORMACIJSKI KRITERIJ REZULTATI I RASPRAVA ZAKLJUČAK LITERATURA SAŽETAK SUMMARY... 36

4 1. UVOD NTC (eg. Negative temperature coefficiet) termistori su vrlo važa dio elektrotehičkih sklopova zbog svojih specifičih svojstava smajeja električog otpora s povećajem temperature. Zbog tog svojstva koriste se kao mjeri pretvorici za mjereje i kotrolu temperature te se mogu koristiti i kao zaštiti elemeti i stabilizatori apoa. Zbog široke primjee u svim graama elektrotehike potrebo je što bolje pozavati osobie i karakteristike ovih elemeata. Glavo svojstvo im je promjea otporosti pri promjei temperature i zbog toga je vrlo bito da imamo modele koji će am dati što preciziju sliku tj. vrijedost otpora za određeu temperaturu što će uvelike pomoći pri projektiraju razih sklopova u kojemu se koriste NTC termistori. U ovom radu se određuju poliomi i ekspoecijale fukcije kojima se opisuju stadardizirai podaci termistora tvrtke Epcos te se uspoređuju Akaikeovim iformacijskim kriterijem i određuje se ajpogodiji model. 1

5 2. OPĆI DIO 2.1. OSNOVNA SVOJSTVA NTC TERMISTORA Termistor je električi termootporik (kotakti) zasova a poluvodičkom materijalu te mu se otpor mijeja zato s promjeom temperature. Termistori imaju temperaturi koeficijet veći za red veličie od otporičkih pretvorika [17]. Razlikuju se dvije vrste termistora. PTC (eg. Positive temperature coefficiet) termistori imaju pozitiva koeficijet temperature promjee otpora (temperaturo područje od -50 do 220 C). NTC termistori imaju egativi koeficijet temperature promjee otpora tj. kako se temperatura povećava smajuje se električi otpor. Temperaturo područje rada im je od -50 do 150 C. Tu pojavu uočio je Faraday još tridesetih godia 19. stoljeća kod Ag2S poluvodiča te se to smatra prvim NTC termistorom, ali jihova komercijala proizvodja i upotreba počela je tek 100 godia ako toga radi poteškoća u proizvodji i ograičeja u primjei [12]. Kasijim istraživajima NTC pojava je primijećea i kod Fe3O4, U2O, NiO, CoO, M3O4 i kod sustava NiO-M2O3 [10]. Tokom tih Bell Laboratorys su radi poboljšaja trajosti termistora uveli siteriraje u postupak proizvodje što je ustabililo postupak proizvodje, a kasije su Simes i Phillips razvili termistore a bazi mješavia oksida željeza, magaa, ikla, kobalta i bakra. Primara uloga im je bila mjereje temperatura i temperatura zaštita pri uklapaju u telekomuikacijama [2]. Nako razvoja avioidustrije, svemirskog programa, elektroike i kriogeike dolazi do potražje za precizijim, stabilijim, ali i složeijim sezorima a osovi termistora. Masova proizvodja počije ako te su kasije razvijei i NTC termistori visoke osjetljivosti i stabilosti NTC koeficijeta [1]. Koriste se i za mjereje rashlade tekućie kod motora automobila, za adzor temperature ikubatora te za praćeje temperature baterija dok se pue [17] GRAĐA NTC TERMISTORA I MEHANIZAM VODLJIVOSTI NTC termistori se proizvode od metalih oksida koji zagrijavajem a temperaturi od C formiraju kristalu rešetku tipa spiela A 2+ B2 3+ O4. Takav materijal se melje te preša i siterira a temperaturama od C. A ozačava okside dvovaletih metala (AO), a B okside trovaletih metala (B2O3) [7]. Na taj ači astaju magetit, željezomagait i maga-ferit. Temperaturi faktor promjee otporosti materijala kao i otporost a soboj temperaturi direkto ovise o sastavu spiela i jihovom obliku. Složei spieli dobiju se miješajem praha oksida M2O3, Fe2O3, karboata drugih metala i odgovarajućih spojeva [10]. Do kemijske reakcije dobivaja spiela dolazi ako grauliraja i žareja, slijedi mljeveje, prešaje i siteriraje. Dobiju se polikristali diskovi a koje se aosi sloj 2

6 određee metale paste te se siteriraju još jedom u hibridim pećima. Dobivei materijal se podvrgava električim mjerejima i sortira po stadardima. Nositelji provodosti kod NTC termistora su metali koji mijejaju svoju valeciju, ali valecija se mijeja samo za jedu jediicu, te se električa provodost objašjava skokovima između katioa prisutih u spielima [11,2]. Ioi koji mijejaju valeciju su postavljei a susjedim B mjestima dva spiela, dok provodosti ema između susjedih A mjesta jer je elektroska barijera za A-A prijelaz visoka. To zači da provodost ovisi o broju ioa koji su doori i akceptori, a elektroi moraju imati veću kietičku eergiju od eergije potrebe za prijelaz koju dobiju od termičke eergije. To uzrokuje povećaje broja prijelaza elektroa s porastom temperature tj. raste provodost, a opada otporost. Komercijali NTC termistori sastavljei su od oksida prijelazih metala, a ispitivajem ravoteža faza tih sustava pokazuju da se oksidacijsko redukcijski feomei pojavljuju kroz proces siteriraja koji se iače koristi za proizvodu ovakvih termistora te postoji jaka veza između obrade i električih svojstava [1,9]. Slika 1. Promjea otporosti pri promjei temperaturog parametra B 3

7 M/Co oksidi teže oksidaciji a ižim temperaturama, a ukoliko se oksidacija e može kotrolirati dolazi do kemijske ehomogeosti što može uzrokovati električe i mehaičke epouzdaosti NTC termistora. Na dijagramu se vidi da se NTC termistori mogu dobiti od 1Ω do 10 MΩ, ali e od istog materijala i iste vrijedosti B koeficijeta ego samo u raspou kada B poprima vrijedost od K TOPLINSKA I ELEKTRIČNA SVOJSTVA TERMISTORA TOPLINSKA SVOJSTVA TERMISTORA Saga se troši kada je NTC termistor spoje a struji krug, a tada se temperatura povećava izad temperature okolie što zači da brzia kojom se dovodi eergija mora biti jedaka zbroju brzie kojom se odvodi i apsorbira eergija. dh dt = dh L dt + dh A dt (1) Saga koja se rasipa a termistoru jedaka je brzii kojom se topliska eergija sakuplja u jemu: dh dt = P = I2 R = UI (2) dhl je eergija koja se odvodi u okoliu koja je jedaka povećaju temperature termistora. dh L dt = δδt = δ(t T A) (3) δ predstavlja kostatu topliskog gubitka, T temperaturu termistora, a TA temperaturu okolie. 4

8 Brzia apsorbiraja eergije i povećaje temperature može se opisati jedadžbom: dh A dt = sm dt dt = C dt dt (4) s je specifiča toplia, a m masa termistora. Topliski kapacitet C je umožak specifiče toplie i mase termistora i jegova vrijedost zavisi o materijala i izvedbi termistora. Prijeos toplie kroz NTC termistor ako što se uključi u struji krug može se izračuati jedadžbom: dh dt = P = I2 R = UI = δ(t T A ) + C dt dt (5) Da bi se dobila cjelokupa aaliza topliskih svojstava NTC termistora ispituje se jegovo poašaje u prijelazom i u ravotežom staju. Ako je saga kostata rješeje prethode jedadžbe je: ΔT = (T T A ) = P δ (1 exp ( δ C t)) (6) Ovom jedadžbom su predstavljei svi procesi koji se oslajaju a struju karakteristiku (prijelazi procesi, uključivaje). Termistor je u ravotežom staju kada je dt/dt=0 u jedadžbi (5) ili kada je t>>c/δ u jedadžbi (6). U ravotežom staju brzia kojom se gubi toplia jedaka je sazi poslaoj termistoru: δ(t T A ) = δδt = P = U r I r (7) Odoso povećaje topliskih gubitaka termistora jedaka je sazi termistora. Ur ozačava apo, a Ir struju ravotežog staja termistora. Navedea razmatraja su zasovaa a jedostavoj strukturi kompoete sa jedom vremeskom kostatom. Fukcija 5

9 ekspoecijalog odziva e postoji ako se promatraa termistorska kompoeta stavi u sezorsko kućište. Ove osobie termistora je teško opisati matematičkim modelima i u proizvodji odstupaja su esigura te se zahtijevaju podaci o vremeu odziva i disipacijskoj kostati ELEKTRIČNA SVOJSTVA Svaki NTC termistor ima osove tri karakteristike: a) strujo-vremeska b) aposko-struja (U-I karakteristika) c) otporo-temperatura. a) Strujo-vremeska U termistorskom krugu postoji prijelazo vrijeme kada je struja priključea iz idealog izvora do vremea kada se dostiže ravoteža. U tom prijelazom vremeu struja raste od određee počete vrijedosti do koače i ta promjea struje u fukciji vremea aziva se kašjeje (strujo-vremeske karakteristike). Ovo svojstvo se koristi kod zaštite vlakaa sijalice, zaštite od preopterećeja i sl. b) U-I U staju ravoteže brzia gubitka toplie sa površie termistora jedaka je sazi apajaja. U-I krivulja se dobije mjerejem pada apoa a termistoru uz povećaje struje od 0 do Imax odoso kada se dostige graiča vrijedost Umi te se vidi da su prema U-I svojstvu NTC termistori elieari. 6

10 Slika 2. Karakterističa U-I krivulja NTC termistora U liearom dijelu, ispod I0, otpor je kostata i jedak dok u eliearom dijelu otpor liearo opada. Izraz koji to opisuje je: R = R a exp (B ( 1 T 1 T A )) (8) gdje je TA temperatura okolie. U tom slučaju saga se račua po jedadžbi: P = U2 R = δ(t T A) (9) Tmax se uz aproksimaciju izračua iz izraza: T max T A ( 1 + T A B ) (10) Iz U-I svojstava se vidi da dok se termistor e ohladi do temperature koja je blizu temperature okolie ije moguć povratak a prvi dio krivulje. 7

11 Ako se želi brži odziv krivulje oda su za to pogodiji termistori koji imaju maju masu i debljiu, a agib krivulje ovisi o dimeziji i geometrijskom obliku samog termistora. Slika 3. Promjea temperature NTC termistora s vremeom Za elieari dio promjea toplie koja astaje u termistoru je jedaka umošku sage i dt: dq = Pdt = δ(t T A ) = δ H dt (11) Ako se ako itegriraja od t=0 do t uzme da je termička kostata τ=h/δ i t=τ dobije se: l ( T T A T 0 T A ) = 1 e = (12) Iz toga se može zaključiti da se za vrijeme τ temperatura T0 ohladi za 63,2% T0. c) Otporo-temperatura Treuto postoje dva modela koji opisuju mehaizam električe provodosti NTC termistora. Prvi model je hoopig mehaizam, a drugi je zasova a zoalom modelu, ali oba ta modela imaju poteškoće s objašjejem otpor-temperatura svojstava termistora metalih oksida. Pri bilo kojoj temperaturi otpor termistora se može opisati izrazom: R T = R T0 exp( B(T 0 T) TT 0 ) (13) 8

12 RT je otpor a apsolutoj temperaturi T, B je kostata materijala, a RT0 je refereta temperatura [13]. Vrijedost B za svaki materijal daje proizvođač termistora. Osjetljivost NTC termistora, S(T), defiira se: S(T) = ( 1 R T ) dr T dt (14) Odoso S(T) = B T 2 (15) Za precizija mjereja krivulja R-T se mora opisati detaljije te se za to koristi jedadžba u obliku polioma trećeg reda te se određuju parametri B, C i D. lr T = A 0 + B T + C T 2 + D T 3 (16) OVISNOST OTPORA O TEMPERATURI NTC termistori su ajosjetljiviji temperaturi sezori s eliearom ovisošću otpora o temperaturi. Fukcija koja se ajčešće koristi za opisivaje elieare ovisosti otpora o temperaturi je ekspoecijala aproksimacija: R(T) = A e B T (17) Vrijedosti koje B u ovom slučaju poprima su od 2000 do 5000K. Temperaturi koeficijet kao i osjetljivost ovise o temperaturi. Ovisost osjetljivosti o temperaturi može se prikazati: dr dt = A ( B T 2) eb T = R( B T 2) (18) dr R dt T = B T (19) 9

13 Temperaturi koeficijet: α = 1 dr R dt = B (20) T 2 Iz otpora koji je zada a referetoj temperaturi (uglavom je to 25 C) i otpora koji se izmjeri a ekoj temperaturi T2 može se odrediti mjerea temperatura: R(T 1 ) = A 1 e B T1 R(T 2 ) = A 2 e R(T 2 ) R(T 1 ) = eb( B T2 1 T2 1 T1 ) R(T 2 ) = R(T 1 )e B( 1 T2 1 T1 ) (21) Ovisost otpora i temperature kod NTC termistora ovisi o kemijskom sastavu i kristaloj strukturi materijala od kojeg je termistor apravlje te postoji jaka veza između sastava i obrade električih svojstava termistora. Termistori koji imaju visoke vrijedosti B i veliki otpor se koriste pri višim temperaturama da bi osigurali dovolju osjetljivost, dok se termistori malih B vrijedosti i majeg otpora koriste pri mjerejima a iskim temperaturama [16] STARENJE I LINEARIZACIJA Problemi koji se javljaju kod korišteja NTC termistora su samozagrijavaje, toleracije (±10%) te stareje. Mehaička stabilost im se povećava pomoću prevlaka (stakleim i polimerim) čime se štite od vlage i aprezaja, ali te prevlake utječu a odziv sezora. Vrijeme odziva ovisi o brzii prijeosa toplie kovekcijom, kodukcijom i zračejem što zači da brzia razmjee toplie ovisi o temperaturi okolie, vlažosti i brzii strujaja zraka. S druge strae prijeos toplie prema okolii ovisi o površii termistora i debljii termistorskog sloja. Modeliraje je složeo za ovu pojavu te se umjesto toga eksperimetalo mjere promjee otpora s temperaturom. Što je taja prevlaka ili izolacija sezora od aprezaja brže je vrijeme odziva. Prevlake koje dobro provode topliu također mogu osigurati dobru kemijsku i električu zaštitu dok se u agresivoj okolii koriste razi 10

14 polimeri materijali i metale i eorgaske prevlake. Termistor se mora poašati u određeom vremeskom itervalu isto kao što se poašao kada se apravio. Stareje je uočeo pri višim temperaturama kao povećaje vrijedosti otpora a određeim temperaturama. Taj efekt je sve maje uočljiv usavršavajem procesa proizvode termistora, a apredak se postiže empirijskim istraživajima i istraživajima u procesu proizvodje [8]. Promjea otpora u ekom vremeu je stareje termistora: dr = R R 0 = R 0 l (t t 0 ) (22) Ako je žareje u postupku pripreme termistora provedeo a 850 C prethodilo brzom hlađeju otpor termistora se smajuje za 20%, a sam feome stareja poveza je migracijom katioa u rešetci ili izmjei oksidacijskih staja. Slika 4. Prikaz liearizacije krivulje NTC termistora dodavajem paralelog otporika 11

15 Paralele kombiacije NTC termistora su liearije, ali je osjetljivost mjerog pretvorika maja. Otpor koji se dodaje paralelo račua se prema izrazu: R P = N W B 2T W B + 2T W (23) NW predstavlja otpor NTC-a a temperaturi oko koje želimo apraviti liearizaciju, a TW je točka ifleksije (područje maksimale liearosti) [6]. TW se postavi u srediu željeog mjerog područja te tako izaberemo RP. Ako koristimo aposkog djelitelja liearost se poboljšava. Slika 5. Liearizacija NTC-a korištejem aposkog djelitelja 12

16 3. METODE I PLAN RADA Aproksimacija podataka krivuljom se još aziva i regresijska aaliza. To je postupak određivaja matematičke fukcije koja ajbolje povezuje točke koje predstavljaju određee podatke. Ta fukcija može služiti kao matematički model tih podataka i možda eće prolaziti i kroz jedu točku, ali modelira podatke s ajmajom mogućom pogreškom. Odabir fukcije za aproksimaciju podataka ije ičim ograiče. Najčešće su to racioale, ekspoecijale, logaritamske fukcije i poliomi. Proalažeje fukcije koja će ajbolje opisati podatke je složeo, ali postoje azake a temelju kojih se može zaključiti koja fukcija odgovara kojem skupu podataka. Kada to ije moguće isprobavaju se različite krivulje kako bi dobili fukciju koja ajbolje aproksimira podatke. Prvo se odredi pogoda fukcija, a ako toga odabraom metodom se odrede koeficijeti te fukcije. Postoji ekoliko metoda pomoću kojih se mogu odrediti parametri. Metoda tri točke je jedostava, ali daje vrlo epreciza rješeja. Metoda ajmajih kvadrata je složeija, ali su joj rješeja puo precizija [4]. U ovom radu je korištea metoda ajmajih kvadrata za određivaje parametara aproksimacijskih fukcija METODA NAJMANJIH KVADRATA Ako se pretpostavi da imamo dvije veličie x i y, tada postoje dvije mogućosti. Prva mogućost je da ako su prisuti određei uvjeti da su te veličie ezavise, a druga mogućost je da su te veličie zavise. To zači da ako su ezavise, uz svaku očitau vrijedost veličie x možemo očitati bilo koju vrijedost veličie y, dok ako su zavise oda očitaa vrijedost veličie x određuje vrijedost veličie y [18]. U ižejerstvu je bita slučaj kada o svakoj vrijedost veličie x, jedozačo ovisi vrijedost veličie y: y=f(x), gdje je f pravilo prema kojem y jedozačo ovisi od x. Pravila ovisosti fukcije su: 1) Lieara ovisost y = ax + b (grafički prikaz ove ovisosti je pravac) 2) Kvadrata ovisost y = ax 2 + bx + c (grafički prikaz je parabola) 3) Kuba ovisost y = a 3 + b 2 + cx + d 4) Reciproča vrijedost y = a (grafički prikaz je hiperbola) x 5) Ekspoecijala ovisost y = a b x 13

17 Lieara ovisost je pozata ako zamo reale brojeve a,b.. (koeficijete) dok lieara fukcija ovisi o koeficijetima: f(x, a, b) ax + b (24) Za kvadratu fukciju pišemo: f(x, a, b, c) ax 2 + bx + c (25) a, b i c su parametri. Kad god se pri jedakim promjeama jede veličie uoče otprilike jedake promjee druge veličie, mora se posumjati u liearu vezu među jima: y = ax + b Još jeda ači za uočavaje lieare veze je grafički, kada se podaci zapisuju u obliku uređeih parova i ucrtavaju se u koordiati sustav u kojemu je x horizotala os, a y vertikala i točke su otprilike a pravcu. To se može uočiti i oda kada razmaci između vrijedosti veličie x isu jedaki dok je takav uvid račuajem promjee veličie y dosta teži. Ako imamo više točaka uglavom e postoji pravac koji prolazi kroz sve te točke zato treba izabrati pravac koji ajbolje prolazi pokraj tih točaka. Kriterij odabira koeficijeata a i b je metoda ajmajih kvadrata [15]. Metoda ajmajih kvadrata se zasiva a tome da su ajbolji parametri a i b oi za koje je suma kvadrata razlika između mjereih vrijedosti yi,, 2,..., i izračuatih vrijedosti f(x i, a, b) miimala. Postupak određivaja parametara D i y i f(x i, a, b) (26) gdje je Di i-to odstupaje i predstavlja razliku između mjeree vrijedosti yi i teorijske vrijedosti f(xi, a, b). Parametri se određuju tako da suma D1 2 +D D 2 bude miimala. To zavisi od epozatih parametara a i b. F(a, b) (y 1 f(x 1, a, b) 2 ) + (y 2 f(x 2, a, b) 2 ) + + (y f(x, a, b) 2 ) Tj. F(a, b) (y i f(x i, a, b) 2 (27) 14

18 F predstavlja fukciju cilja te se trebaju odrediti parametri u kojima je fukcija cilja postiže miimalu vrijedost. Lokali ekstremi za F su: F F = 0 i a b = 0 (28) Iz toga slijedi: ( (y i f(x i, a, b) 2 ) a = 0 i ( (y i f(x i, a, b) 2 ) b = 0 (29) Sređivajem tih jedadžbi dobije se: 2(y i f(x i 2(y i f(x i, a, b)) ( f(x i, a, b) ) = 0 a, a, b)) ( f(x i, a, b) ) = 0 b (30) Nako daljjeg sređivaja dobije se sustav jedadžbi sa dvije epozaice: (y i f(x i (y i f(x i, a, b)) ( f(x i, a, b) ) = 0 a, a, b)) ( f(x i, a, b) ) = 0 a (31) Sustav ovakvih jedadžbi može imati više rješeja, a eka rješeja mogu odgovarati maksimumu, a e miimumu. U slučaju liearih veza rješeje ovakvog sustava je jedistveo. Lieara regresija Tada je f(x i, a, b) = ax i + b f(x i, a, b) a f(x, a, b) ax + b = x i i f(x i, a, b) b = 1 (32) 15

19 Ako se to uvrsti u prethodi sustav jedadžbi dobije se: (y i ax i b) x i = 0 (y i ax i b) 1 = 0 (33) Dobije se: 2 2 ( x i ) a + ( x i ) b = x i y i (34) ( x i ) a + b = y i (35) 2 Parametri a i b su epozaice, a x i, x i, x i y i, y i i su koeficijeti (dobiju se iz eksperimetalih rezultata). Kada se riješi taj lieari sustav dobije se: a = x iy i x i y i x i 2 ( x i ) 2 (36) b = x i 2 x i x i y i x i 2 ( x i ) 2 (37) Pravac koji se dobije jedadžbom y=ax+b i aziva se regresijski pravac. U praksi se pojavljuju i elieare veze između dvaju veličia koje se svode a lieare [5]. Primjeri su: 1) y = a x b koja je elieara, ali se svodi a liearu logaritmirajem logy = b logx + loga 2) y = a b x koja se također svodi a liearu logy = logb x + loga 16

20 3) y = a b+x koja se svodi a liearu 1 y b + x = a tj. 1 y = 1 a x + b a 3.2. ODREĐIVANJE FUNKCIJE MODELA NTC TERMISTORA U radu su korištei stadardizirai podaci NTC termistora tvrtke Epcos [14]. Tablica 1. Stadardizirai podaci tvrtke Epcos. t ( C) Rt/R25 48,503 36,524 27,639 21,021 16,069 12,384 9,531 7,418 5, ,537 3,576 2,84 2,272 1,833 1,488 1, , , , ,4805 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Rt/R25 je omjer između vrijedosti otpora a temperaturi t i vrijedosti otpora a temperaturi od 25 C. Račua se model za termistore tipa 1006 stadardizirae tablice koji obuhvaćaju temperature u raspou od -55 do 155 C. Iz grafičkog prikaza podataka prikazaog a slici 6. vidljivo je da podatci isu u liearoj ovisosti. Fukcije kojima bi mogli aproksimirati ove podatke su logaritamska, ekspoecijala ili poliom višeg stupja. 17

21 Slika 6. Stadardizirai podaci ovisosti otpora o temperaturi za NTC termistore krivulje AKAIKEOV INFORMACIJSKI KRITERIJ Akaikeov kriterij (AIC eg. Akaike iformatio criterio) je relativa mjera koja se temelji a ocjei kompleksosti modela. Najbolji model je oaj s ajižom vrijedosti AIC. Račuat prema izrazu 2π SR AIC = T l ( + 1) + 2M T (38) Gdje je T broj korišteih podataka, M je broj račuatih parametara modela, a SR je suma kvadrata odstupaja [19]. 18

22 4. REZULTATI I RASPRAVA Poliom trećeg stupja: f(x i, a, b, c, d) = ax 3 + bx 2 + cx + d (39) Gdje parametre a, b, c i d određujemo metodom ajmajeg kvadrata kako slijedi: (y i f(x i, a, b, c, d)) f(x i, a, b, c, d) = 0 a (y i f(x i, a, b, c, d)) f(x i, a, b, c, d) = 0 b (y i f(x i, a, b, c, d)) f(x i, a, b, c, d) = 0 c (y i f(x i, a, b, c, d)) f(x i, a, b, c, d) = 0 d (40) f(x i, a, b, c, d) a = x 3 f(x i, a, b, c, d) b f(x i, a, b, c, d) c = x 2 = x (41) f(x i, a, b, c, d) d = 1 y i x 3 i ax 3 i x 3 i bx 2 i x 3 3 i cx i x i dx 3 i = 0 y i x 2 i ax 3 i x 2 i bx 2 i x 2 2 i cx i x i dx 2 i = 0 y i x i ax 3 i x i bx 2 i x i cx i x i dx i = 0 (42) y i 1 ax 3 i 1 bx 2 i 1 cx i 1 d = 0 19

23 Dobiju se matrice: ax i 3 x i 3 bx i 2 x i 3 cx i x i 3 dx i 3 ax i 3 x i 2 bx i 2 x i 2 cx i x i 2 dx i 2 A = (43) ax i 3 x i ax 3 i 1 [ bx i 2 x i bx i 2 1 cx i x i dx i cx i 1 d ] B = y i x i 3 y i x i 2 y i x i y i 1 [ ] (44) Umoškom iverza matrice A i vektora B dobije se vektor C u kojem se alaze parametri a, b, c i d. Iverza matrica A -1 izračuata u programskom sustavu MATLAB ugrađeom fukcijom iv. Dobije se fukcija oblika C = A 1 B 2, C = [ 0, ,2937 3,166 ] f(x i, a, b, c, d) = 2, x 3 + 0,004998x 2 0,2937x + 3,166 (45) 20

24 Slika 7. Usporedba stadardih podataka s aproksimacijskom krivuljom polioma 3. stupja Suma kvadrata odstupaja za poliom trećeg reda: D 2 i = 325,7746 ajveće odstupaje max(d i ) = 10,4276 te AIC = 174,976 Slika 8. Odstupaje (Di) za poliom 3. stupja 21

25 Slika 9. Odstupaje za poliom 3.stupja izražeo u postocima Iz grafa je vidljivo da dobivea fukcija e opisuje dovoljo dobro podatke iz stadardizirae tablice. Za temperature izad 0 C fukcija postaje vijugava iako prolazi kroz par točaka što zači da kada bi gledali podatke za određee temperature, većia jih e bi bila toča osim ako bi se gledalo za par točaka u kojima eksperimetala krivulja siječe stadardizirau. Na slici 9. možemo vidjeti odstupaje izražeo u postocima što am daje bolji uvid u to kolika su zapravo odstupaja između stadardizirai podataka i aproksimacijskih. Odstupaje u postocima izračuato prema formuli: aproksimiraa vrijedost tabliča vrijedost Odstupaje [%] = 100% (46) tabliča vrijedost Da bi se bolje aproksimirali podaci dalje su uzeti poliomi viših stupjeva. Istom metodom kojom su dobivei parametri za poliom trećeg stupja izračuati su parametri za poliome petog i osmog stupja. Za poliom petog stupja dobivea je fukcija: y = 2,143 0,1033x + 0,004705x 2 9, x x 4 2, x 5 (47) 22

26 Graf fukcije prikaza je a slici 10. Slika 10. Usporedba krivulje stadardiziraih podataka s aproksimacijskom krivuljom polioma 5. stupja Slika 11. Uvećai prikazi za aproksimacijske krivulje polioma 5. Stupja za temperature maje od 0 C (lijevo) i veće od 0 C (deso) D 2 i = 15,6702 ajveće odstupaje max(d i ) = 1,8919 i AIC = 63,189 23

27 Slika 12. Odstupaje (Di) za poliom 5. stupja Slika 13. Odstupaje izražeo u postocima Vidljivo je da kod polioma petog stupja fukcija ije toliko vijugava pri temperaturama većim od 0 C dok za temperature maje od 0 C gotovo pa savršeo opisuje stadardizirae podatke. Na slici 13. vidljivo je da postoto odstupaje za temperature izad 30 C prelazi 100% dok je za iže temperature odstupaje puo maje. Daljjim povećajem stupja polioma dobivee fukcije puo bolje opisuju stadardiziraju krivulju. 24

28 Poliom 8. stupja dobive metodom ajmajeg kvadrata: y = 2,886 0,1033x + 0,003116x 2 5, x 3 + 9, x 4 1, x 5 + 1, x 6 5, x 7 + 1, x 8 (48) Parametri za aproksimacijski poliom 8. stupja izračuati pomoću Curve Fitig Toolboxa ugrađeog u programskom sustavu MATLAB. Slika 14. Usporedba krivulje stadardiziraih podataka i polioma 8. stupja D 2 i = 0,7809 ajveće odstupaje max(d i ) = 0,4329 i AIC = 22,64 25

29 Slika 15. Odstupaje za poliom 8. stupja Slika 16. Odstupaje izražeo u postocima za poliom 8. stupja Na slici 15. vidljivo je da odstupaje aproksimacijskog polioma 8. stupja ije veće od 0,5 što zači da se ovaj poliom gotovo pa u potpuosti poklapa sa stadardiziraim podacima. Promatrajući sliku 16. vidimo da su odstupaja za temperature maje od 0 C maja od 1 % također se vidi da porastom temperature i odstupaja rastu te za temperature izad 100 C premašuju 100 %. Razlog ovako velikih postotih odstupaja je zbog toga što su vrijedosti omjera otpora Rt/R25 stadardiziraih podataka maleog izosa pa uatoč pogrešci majoj od 0,5 postoto odstupaje je relativo veliko. 26

30 Za ekspoecijala fukcija oblika: y = a e b x (49) Izračuavajem parametara metodom ajmajeg kvadrata dobijemo parametre a = 1,013*10-5 te b =3414,4 i dobijemo fukciju (50) y = 1, e 3414,4 x (50) Slika 17. Usporedba stadardiziraih podataka s ekspoecijalom aproksimacijskom krivuljom (D i ) 2 = 318,5356 ajveće odstupaje max(d i ) = 15,033 te AIC = 170,03 27

31 Slika 18. Odstupaje za ekspoecijalu fukciju (50) Slika 19. Odstupaje u postocima za ekspoecijalu fukciju (50) 28

32 Kod ekspoecijale fukcije oblika (49) primjećujemo a slici 18. da su odstupaja za iže temperature izrazito velika. Ekspoecijala fukcija oblika y = a e bx (51) Račuajem parametara a i b metodom ajmajeg kvadrata dobije se fukcija y = 3,372 e 0,03523x (52) Grafički prikaz fukcije (52) i stadardiziraih podataka a slici 20. Slika 20. Stadardizirai podaci i ekspoecijala aproksimacijska fukcija (D i ) 2 = 1123,4 ajveće odstupaje max(d i ) = 25,086 te AIC = 223,573 29

33 Slika 21. Odstupaje ekspoecijale aproksimacijske fukcije (52) od stadardiziraih podataka Slika 22. Odstupaje ekspoecijale aproksimacijske fukcije (52) od stadardiziraih podataka izražeo u postocima 30

34 Ekspoecijale fukcije oblika (49) imaju još veće odstupaje a ižim temperaturama ego kod oblika (51) što vidimo a slici 21. Tablica 2. Prikaz sume kvadrata odstupaja, ajvećeg odstupaja i AICa za aproksimacijske fukcije. Fukcija Suma kvadrata odstupaja Najveće odstupaje AIC Poliom 3.stupaj Poliom 5.stupaj Poliom 8.stupaj Ekspoecijali oblik (49) Ekspoecijali oblik (51) 325, ,6702 0, , ,4 10,4276 1,8919 0, ,033 25, ,976 63,189 22,64 170,03 223,573 Prema Akaikeu ajbolji model je poliom osmog stupja. Uspoređujući ostale aproksimacijske modele primjećujemo da je i poliom petog stupja bolji od ekspoecijalih aproksimacija. Poliom trećeg stupja malo je lošiji od ekspoecijale fukcije oblika (49), ali je bolji od ekspoecijale fukcije oblika (51). Gledajući ajveća odstupaje pojediog modela vidimo da su ajveća odstupaja polioma maja od ajvećih odstupaja ekspoecijalih fukcija. 31

35 5. ZAKLJUČAK Metodom ajmajeg kvadrata određei su parametri za poliome trećeg, petog, osmog stupja i za dva oblika ekspoecijale fukcije. Dobivei su modeli koji povezuju promjeu temperature i otpora kod NTC termistora tipa 1006 stadardizirae tablice EPCOS. Iz grafova dobiveih modela vidljivo je da i poliomi i ekspoecijale fukcije e mogu jedakom točošću aproksimirati podatke a cijelom temperaturom području. Povećajem stupja polioma povećava se i točost aproksimacije, a zadovoljavajuća točost je dobivea poliomom 8. stupja te se daljjim povećajem stupja polioma oa ebih zato mijejala ego bi samo bilo potrebo račuati veći broj parametara. Za poliome fukcije uočeo je da dobro opisuju temperaturo područje maje od 0 C. Kod ekspoecijalih fukcija vidljivo je daju dobru aproksimaciju u temperaturom području većem od 0 C. Prema Akaikeovom kriteriju poliomi daju bolju aproksimaciju od ekspoecijalih modela. Za modeliraje NTC termistora ajbolje je kombiirati poliome i ekspoecijale fukcije kako bi aproksimacija bila što precizija u cijelom temperaturom području rada termistora. 32

36 6. LITERATURA [1] D. Adler, H. Brooks, Phys. Rev., 1967., 155, 826 [2] O. S. Aleksic, V. D. Maric, Lj. D. Zivaov, A. B. Meicai, A ovel approach to modelig ad simulatio of NTC thick-film segmeted thermistors for sesor applicatios, IEEE Sesors Jural, 2007., vol. 7 [3] V. A. Brabers, J. C. J. M. Terhell, Physica Status solidi (A), 1982., , vol 69. [4] Y. Cog, Z. Wag-cho, S. Bi, Z. Hag-xia, Study o NTC thermistor characteristic curve fittig methods, Computer Sciece ad Network Techology (ICCSNT), 2001., [5] R. Cordella, A heuristic thermistor model, IEEE Trasactios o Circuits ad Sistemy, 1982., vol. 29 [6] B. Guar Malm, M.-R. Kolahdouz, H. H. Radamso, M. Ostilg, Comprehesive temperature modelig of straied epitaxial silico-germaium alloy therimstors, Semicocuctor Device Research Symposium, 2009., 1-2 [7] E. D. Maclea, Thermistors, Electrochem. Pub., Glasgow, 1979., 5-11 [8] A. B. Meićai, Aaliza osovih karakteristika trodimezioalog aemometra sastavljeog od debeloslojih segmetiraih termistora, Magistarski rad, Uiverzitet u Beogradu, 2008., 1-88 [9] N. F. Mott, Rev. Mod.Phys., 1967., 12, 328 [10] S. M. Savić, Aaliza osjetljivosti debeloslojih NTC termistora a promee temperature i protoka vazduha, Magistarska teza, Uiverzitet u Kragujevcu, Čačak, 2006., 3-38 [11] R. Schmidt, A. Basu, A. W. Brikma, Physical Review B, 2005., (1-9) vol 72. [12] Siemes & Matsushita, Passive Compoets (Product survay) - Chip Thermistors, 16-17, [13] I.-C. Tesu, SPICE simulatio of thermistors ad thermistor circuits, Electrotechical Coferece, vol.1 Elektroički izvori [14] Epcos, TDK, SMD NTC Thermistors R/T sharacteristics, pristupljeo 21.siječja [15] Metoda ajmajih kvadrata, Statistika i vjerojatost, predavaja Matematika, FKIT, %20Metoda%20ajmajih%20kvadrata.pdf, pristupljeo 10.veljače

37 [16] Mjeri pretvorici prilog predavajima, FER, pristupljeo 10.veljače [17] NTC otporici, Resoator, pristupljeo 2.veljače [18] pristupljeo 20.veljače [19] pristupljeo 20.travja

38 7. SAŽETAK NTC termistori su elektroički elemeti koji imaju svojstvo smajeja električog otpora s povećajem temperature. Napravljei su modeli kako bi se dobili što točiji podaci otpora za određeu temperaturu vrijedost. Metodom ajmajih kvadrata određuju se poliomi i ekspoecijale fukcije kako bi se opisali stadardizirai podaci NTC termistora tvrtke Epcos. U oba slučaja dobiveo je jako dobro poklapaje modela sa stadardiziraim podacima te se pomoću Akaikeovog iformacijskog kriterija određuje bolji model. Poliomi bolje opisuju stadardizirae podatke za egativo temperaturo područje dok ekspoecijale fukcije daju bolje poklapaje za pozitivo temperaturo područje. Za točije podatke ajbolje je koristiti kombiaciju ova dva modela u zavisosti o tome za koju temperaturu je potrebo odrediti vrijedost otpora. Ključe riječi: NTC termistor, modeli, poliomi, ekspoecijala fukcija, Akaikeov kriterij 35

39 8. SUMMARY NTC thermistors are electroic elemets that have the ability to reduce electrical resistace by icreasig the temperature. Models were created to get the most accurate resistace data for a certai temperature value. We use the least squares method to determie polyomial ad expoetial fuctios to describe the stadardized NTC thermistor data of the Epcos compay. I both cases, a very good model matchig with stadardized data was obtaied ad Akaike iformatio criterio determied a better model. Polyomials better describe stadardized data for a egative temperature rage while expoetial fuctios provide better coverage for a positive temperature rage. For the exact data, it is best to use the combiatio of these two models depedig o which temperature the resistace value is to be determied. Key words: NTC thermistor, models, polyomials, expoetial fuctios, Akaike criterio 36