SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike Diplomski rad RAČUNALNI KOD NA BAZI FDTD METODE ZA ANALIZU ŠIRENJA ZVUČNOG VALA U NEHOMOGENOM PROSTORU Rijeka, rujan Nikola Baćac

2 SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike Diplomski rad RAČUNALNI KOD NA BAZI FDTD METODE ZA ANALIZU ŠIRENJA ZVUČNOG VALA U NEHOMOGENOM PROSTORU Mentor: Izv. prof. dr. sc. Miroslav Joler, dipl. ing. Rijeka, rujan Nikola Baćac

3 prostor za projektni zadatak

4 SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET Sveučilišni diplomski studij elektrotehnike I Z J A V A U skladu s člankom 9. Pravilnika o diplomskom radu, diplomskom ispitu i završetku diplomskih studija na diplomskim sveučilišnim studijima Tehničkog fakulteta u Rijeci, izjavljujem da sam samostalno izradio diplomski rad prema zadatku br /14-07/01 od Rijeka, rujan Nikola Baćac

5 Zahvaljujem se svom mentoru prof. Miroslavu Joleru za davanje savjeta pri izradi računalnog koda i konstruktivnih smjernica pri pisanju diplomskog rada. Zahvaljujem se kolegi Nikoli Turku na kvalitetnim razgovorima vezanim uz tematiku ovog diplomskog rada koji su me potakli na daljnja poboljšanja računalnog koda. Zahvaljujem se svima ostalima koji su na bilo koji način doprinijeli izradi ovog diplomskog rada. Posebnu zahvalu upućujem svojim roditeljima koji su mi bili podrška tokom svih godina studiranja.

6 Sadržaj 1. Uvod Metode numeričkog modeliranja Metoda konačnih elemenata Metoda rubnih elemenata Metoda konačnih razlika Konačne razlike u vremenskoj domeni Općenito o konačnim razlikama Primjena u elektromagnetizmu Numerička stabilnost Numeričke pogreške Primjeri pogrešaka u propagacijskoj brzini Primjena FDTD metode u akustici Fizikalne osnove Zvučni tlak Brzina zvuka Gustoća medija Kompresibilnost medija Akustička impedancija Refleksija i transmisija zvuka Utjecaj geometrijskog širenja zvuka Intenzitet i snaga zvuka Atenuacija zvuka Valna duljina Valna jednadžba Akustički FDTD Akustički PML Teorijska podloga PML-a Diskretizacija jednadžba s primjenom PML-a Vrste pobude Kontinuirani pobudni signal Gaussov puls Derivirani Gaussov puls Druga derivacija Gaussovog pulsa: Rickerov valić... 48

7 3.4.5 Modulirani Gaussov puls Implementacije u programskom paketu MATLAB Implementacija PML rubnog sloja FDTD bez PML-a FDTD sa PML-om Trodimenzionalni numerički prostor sa PML-om Interakcija između dvaju medija Ponašanje vala na granici dvaju medija s tvrdim izvorom pobude u mediju manje gustoće Ponašanje vala na granici dvaju medija s tvrdim izvorom pobude u mediju veće gustoće Uklanjanje nefizikalnih refleksija uporabom mekog izvora pobude Model realnog prostora Rezultati simulacija Utjecajni čimbenici na vrijeme izvršavanja simulacije Zaključak Literatura Popis slika i tablica Popis slika Popis tablica Prilozi

8 1. Uvod Akustika je znanost o zvuku; njegovom stvaranju, prijenosu i utjecaju na okolinu. U današnje doba, akustika nalazi sve veću primjenu u tehnici i znanosti općenito. Neka od područja primjene akustike su medicina, oceanologija, seizmologija, proučavanje sastava tla, navigacijska tehnika, komunikacijska tehnika, glazba, analiza i sinteza govora, prostorna akustika. Mnoga od navedenih područja zahtijevaju stvaranje numeričkih modela u svrhu financijski isplativih istraživanja i testiranja ponašanja zvuka. U prostornoj akustici se pomoću numeričkog modeliranja može razmatrati propagacija zvučnih valova u zatvorenom i otvorenom prostoru. Takvi se numerički modeli koriste za proučavanje akustičkih svojstava koncertnih dvorana [1], glazbenih studija [2], privatnih prostora [3], [4] i otvorenih prostora [5]. Osim prostorne akustike, numerička se modeliranja često koriste i za potrebe istraživanja u podvodnoj akustici [6], [7], ultrazvuku [8], [9], seizmologiji [10] i ispitivanju materijala [11], [12]. Općenito, numeričko modeliranje predstavlja koristan alat u inženjerstvu. Bez obzira na aplikaciju, osnovni koncept numeričkog modeliranja je analiziranje i rješavanje fizikalnih problema koristeći računalni kod koji dovoljno vjerno opisuje stvarnu situaciju. U inženjerstvu, modeliranje je podjeljeno na empirijsko i analitičko modeliranje. Laboratorijska testiranja predstavljaju empirijsko modeliranje. Analitičko modeliranje sastoji se od četiri osnovna koraka. Prvi je korak stvaranje matematičkog modela fizikalnog procesa. Najčešće su to diferencijalne jednadžbe, ali one se u većini slučaja ne mogu se riješiti analitički. Sljedeći je korak aproksimiranje matematičkog modela pomoću numeričkih metoda. Ispravnost numeričkog modela potrebno je potvrditi pomoću teoretskih rezultata procesa. U ovom koraku potrebno je provesti i analizu pogrešaka numeričkog modela. Treći korak je implementacija numeričkog modela u svrhu dobivanja rezultata. Četvrti je korak interpretacija numeričkih rezultata u obliku grafova, tablica i ostalih primjerenih formi. U nastavku su ukratko objašnjene najčešće korištene numeričke metode u akustici. 1.1 Metode numeričkog modeliranja Metoda konačnih elemenata Metoda konačnih elemenata je numerička metoda koja daje aproksimativno riješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ova je metoda korisna za rješavanje nelinearnih problema poput velikih amplituda zvučnog tlaka ili nehomogenih medija. Pogodna je za kompleksne strukture prostora i niske frekvencije. Pošto je za svaku frekvenciju potrebno zasebno izvršavanje, ova je metoda vremenski i memorijski zahtjevna. Prijelaz u vremensku domenu je moguć, no zahtjevan proces [3]. 8

9 1.1.2 Metoda rubnih elemenata Metoda rubnih elemenata je numerička metoda koja izračunava propagaciju zvuka u zatvorenom prostoru. Glavna prednost ove metode jest da samo rubovi površine moraju biti modelirani sa numeričkom mrežom. Time je omogućeno precizno modeliranje zvučnika, a reflektirajuće površine se jednostavno definiraju pomoću akustičke impedancije. Poput metode konačnih elemenata, za svaku frekvenciju je potrebno zasebno izvršavanje. Uz to, ograničeno je na linearne i homogene probleme [3] Metoda konačnih razlika Metoda konačnih razlika je numerička metoda za rješavanje valnih jednadžbi na temelju aproksimacije vremenske i prostorne derivacije pomoću konačnih razlika. Prednost ove metode jest što se izvršava u vremenskoj domeni. Stoga je moguće poznavati vrijednosti zvučnog tlaka i brzine gibanja čestica u svakom trenutku simulacije. Ova je metoda također pogodna za analizu u nisko-frekvencijskom području. Problem kod ove metode je definiranje frekvencijski ovisnih karakteristika materijala. Ova je metoda brža pri izvršavanju u odnosu na metodu konačnih elemenata i metodu rubnih elemenata [3]. U ovom se radu koristi metoda konačnih razlika u vremenskoj domeni za modeliranje propagacije zvučnog tlaka u zatvorenom i otvorenom prostoru. U nastavku rada su prikazane fizikalne osnove akustike te je teorijski pojašnjena metoda konačnih razlika i njena primjena u akustici. Razmotreno je nekoliko pobudnih signala te su date relacije koje povezuju vremenske i frekvencijske karakteristike signala. Numerička je metoda implementirana u MATLAB [13] programskom okruženju. Numerički su modeli isprobani na više testnih situacija, a rezultati simulacija uspoređeni su s teoretskim vrijednostima. 9

10 2. Konačne razlike u vremenskoj domeni 2.1 Općenito o konačnim razlikama Metoda konačnih razlika u vremenskoj domeni (eng. Finite difference time domain FDTD) je numerička metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Konceptualno i implementacijski je vrlo jednostavna, te se može primijeniti na širok raspon problema. Mana ove metode jest da zahtijeva puno memorije i računalnog vremena za rješavanje zadanog problema [14]. FDTD metoda koristi konačne razlike za aproksimaciju prostornih i vremenskih derivacija sadržanih u diferencijalnim jednadžbama. Centralna diferencija funkcije u točki definirana je izrazom (2.1). ( ) ( ) (2.1) gdje je: - korak diskretizacije Pošto je stupanj koraka uzorkovanja prvog reda, centralna diferencija ima točnost drugog reda. To znači da ako se smanji za faktor 10, pogreška aproksimacije se približno smanjuje za faktor 100. Kada teži u nulu, aproksimacija postaje točna. 2.2 Primjena u elektromagnetizmu FDTD metodu je godine predložio Kane Yee kao alat za rješavanje Maxwellovih jednadžbi, te na temelju nje razvio algoritam koji se svodi na sljedeće korake [14]: 1. Zamjena derivacija u Amperovom i Faradayevom zakonu sa konačnim razlikama. Diskretizacija prostora i vremena na način da su električno i magnetsko polje razmaknuti u vremenu i prostoru. 2. Rješavanje dobivenih jednadžbi diferencija kako bi se dobile jednadžbe ažuriranja (eng. update equations) koje izražavaju nepoznate buduće vrijednosti na temelju poznatih prošlih vrijednosti. 3. Evaluacija buduće vrijednosti magnetskog polja na temelju poznate trenutne vrijednosti električnog polja. 4. Evaluacija buduće vrijednosti električnog polja na temelju poznate buduće vrijednosti magnetskog polja. 5. Ponavljanje prethodna dva koraka dok ne prođe zadano vrijeme. 10

11 Slika 2.1 Yee ćelija [15] Na slici 2.1 prikazana je Yee ćelija koja sadrži komponente električnog i magnetskog polja međusobno razmaknute u prostoru. Ova je ćelija osnovna gradbena jedinica trodimenzionalne računalne mreže u kojoj se vrši propagacija elektromagnetskog vala. Razmatranjem izraza (2.3) može se uočiti razlog ovakvog razmještaja komponenti električnog i magnetskog polja. Prostorna derivacija komponente vrši se u smjeru pomoću dviju susjednih komponenti međusobno prostorno razmaknutih za, dok prostorna derivacija komponente vrši se u smjeru pomoću dviju susjednih komponenti međusobno prostorno razmaknutih za. Rezultat centralnih diferencija nalazi se na polovici prostora između komponenti i, što odgovara poziciji komponente magnetskog polja. Analogno tome, za dobivanje komponente električnog polja potrebne su dvije susjedne komponente magnetskog polja, čiji će rezultat prostornih diferencija odgovarati poziciji komponente električnog polja. Faradayev zakon određen je izrazom (2.2). (2.2) gdje je: - Električno vektorsko polje - Magnetsko vektorsko polje - Permeabilnost materijala 11

12 Slika 2.2. Računalna mreža u y smjeru [15] Iz izraza (2.2) razmotrimo samo komponentu magnetskog polja. (2.3) gdje je: - y komponenta električnog polja - x komponenta električnog polja - z komponenta magnetskog polja Za implementaciju izraza (2.3) na računalu potrebno je izvršiti aproksimaciju parcijalnih derivacija metodom centralnih diferencija. Pomoću dobivenog diskretiziranog izraza određuje se buduća vrijednost magnetskog polja na temelju poznate trenutne vrijednosti električnog polja i prošle vrijednosti magnetskog polja. Za određivanje buduće vrijednosti električnog polja na analogni se način diskretiziraju komponente Amperovog zakona. Pri implementaciji valnih jednadžbi na računalu valja paziti na određena ograničenja kako bi se osigurala nuemrička stabilnost i što više smanjile numeričke pogreške. 12

13 2.3 Numerička stabilnost Numerički se val u FDTD algoritmu kreće u numeričkom eteru, čija su svojstva približna vakuumu. Tokom propagacije dolazi do akumulacije kašnjenja i greške u fazi zbog nejednakosti etera sa stvarnim vakuumom. Posljedica toga su nefizikalni rezultati poput netočnog poništenja raspršnih valova i pseudorefrakcije [16]. Za slučaj kada su prostorni inkrementi jednaki u svim smjerovima vrijedi relacija (2.4). Da bi se osigurala točnost rezultata, mora vrijediti relacija (2.5) za prostorni inkrement. (2.4) gdje je: - prostorni inkrement u smjeru - prostorni inkrement u smjeru - prostorni inkrement u smjeru (2.5) gdje je: - valna duljina numeričkog vala Da bi se osigurala numerička stabilnost, mora vrijediti Courant-ov kriterij stabilnosti (2.6) [16]. ( ) ( ) ( ) (2.6) gdje je: - maksimalna fazna brzina numeričkog vala - vremenski inkrement Uz korištenje relacije (2.4), dobiva se pojednostavljeni oblik Courant-ovog kriterija stabilnosti. 13

14 (2.7) gdje je: - broj dimenzija prostora U FDTD mreži, svaki čvor utječe samo na susjedne čvorove. Prema Courantovom uvjetu stabilnosti za jedan vremenski inkrement propagacija vala ne smije biti veća od jednog prostornog inkrementa. 2.4 Numeričke pogreške Pošto se u FDTD algoritmu koristi aproksimacija kontinuiranih valnih jednadžbi sa centralnim diferencijama, postoje određene numeričke pogreške. Jedna od posljedica aproksimacije je pogreška propagacijske brzine gdje dolazi do razlike između stvarne i numeričke brzine propagacije. Pogreška propagacije prisutna je u okomitim smjerovima numeričkog vala i ovisna je o frekvenciji, dok u dijagonalnim smjerovima nema pogreške u brzini propagacije [17], [18]. Prema [16], numerički valni broj ovisi o vremenskom i prostornom inkrementu. { ( ) [ ]} (2.8) gdje je: - numerički valni broj - kružna frekvencija - brzina propagacije u vakuumu Pogreška propagacijske brzine ovisi o izboru vremenskog i prostornog inkrementa Primjeri pogrešaka u propagacijskoj brzini Slučaj 1:idealna situacija (bez pogreške) (2.9) 14

15 gdje je: - numerička brzina propagacije - fizikalni valni broj Primjer u (2.9) ukazuje da ako vremenski i prostorni inkrement teže ka nuli, neće biti razlike između stvarne i numeričke brzine propagacije. Slučaj 2:skalirani vremenski i prostorni inkrementi [ ] (2.10) Dobiva se isti rezultat kao i za Slučaj 1), ali u ovom slučaju nije bitna rezolucija već je vremenski i prostorni inkrement potrebno skalirati prema brzini propagacije. Slučaj 3: općeniti slučaj U ovom slučaju razmatra se općenito rješenje za numerički valni broj. Zadane su vrijednosti prostornog i vremenskog inkrementa. (2.11) Uvrstivši zadane vrijednosti u izraz (2.8), dobivamo izraz za numerički valni broj u ovisnosti o prostornom inkrementu. (2.12) Koristeći izraz (2.12), određuje se odnos između stvarne i numeričke vrijednosti brzine propagacije zvuka. (2.13) 15

16 Ova relacija ukazuje da dok stvarni val propagira kroz 10 valnih duljina ili 100 ćelija, njegov numerički model će propagirati kroz ćelije. Druga vrsta numeričkih pogrešaka nastaje uslijed nakupljanja energije u numeričkom prostoru. Energija unešena u numerički prostor konvergira prema nuli, no za to je potrebno određeno komputacijsko vrijeme. U programskim paketima, poput npr. CST MICROWAVE STUDIO [19] vrijeme konvergencije određeno je parametrom točnosti (eng. accuracy). Što je zahtjev za točnošću veći, dulje će biti trajanje simulacije kako bi pobudna energija koja je ubačena u računalnu domenu pri kraju algoritma bila što bliža vrijednosti nula. Količina zaostale energije ovisi o strukturi numeričkog prostora, o stupnju aproksimacije diferencijalnih jednadžbi, o rubnim uvjetima i o vrsti pobude [20], [21]. 16

17 3. Primjena FDTD metode u akustici U prethodnom je poglavlju opisano kako se FDTD metodom aproksimira Amperov i Faradayev zakon. Osim elektromagnetskog vala, postoje i drugi fizikalni fenomeni opisani diferencijalnim jedadžbama prvog reda u kojima je vremenska promjena jedne komponente u korelaciji sa prostornom promjenom druge komponente. Propagacija akustičnih i elastičnih valova spada u takve fizikalne fenomene. 3.1 Fizikalne osnove Zvuk se može definirati kao mehanički poremećaj koji se širi medijem brzinom specifičnom za taj medij [22]. Zvučni se valovi šire zbog kompresibilnosti medija. Ovisno o frekvenciji možemo razlikovati: - Infrazvučne valove (ispod 20 Hz) - Akustične valove (od 20 Hz do 20 khz) - Ultrazvučne valove (iznad 20 khz) Zvučni se val može opisati pomoću skalarnog polja tlaka i vektorskog polja brzine gibanja čestica Zvučni tlak Zvučni tlak je lokalna devijacija ravnotežnog atmosferskog tlaka uzrokovana zvučnim valom [22], što se definira kao u (3.1). [ ] (3.1) gdje je: - ukupni tlak - atmosferski tlak, iznosi [Pa] pri temperaturi od [K] i nadmorskoj visini od 0 [m] - zvučni tlak Pošto je utjecaj gravitacije zanemaren, u daljnjem se razmatranju pod pojmom tlak podrazumijeva da je riječ o zvučnom tlaku. Apsolutna vrijednost tlaka je nepraktična za razmatranje u akustici. Umjesto toga koristi se razina zvučnog tlaka izražena u decibelima. 17

18 ( ) [ ] (3.2) gdje je: - SPL razina zvučnog tlaka (eng. Sound pressure level) [db] - referentni zvučni tlak, iznosi Pa za zrak U tablici 3.1 je dan pregled tipičnih vrijednosti zvučnog tlaka i SPL-a za neke životne situacije. Tablica 3.1. Tipične razine zvučnih tlakova [23] Izvor zvuka Zvučni tlak [Pa] SPL Puška db Prag boli db Pneumatski čekić db Ulična buka db Pričanje db Knjižnica db Televizijski studio db Prag čujnosti za zrak db Brzina zvuka Brzina zvuka je zapravo brzina prijenosa mehaničkog poremećaja kroz medij. Prijenos poremećaja kroz medij rezultat je sudara između nasumično gibajućih čestica medija. Iz tog razloga može se zaključiti da brzina zvuka ovisi o stanju medija tj. brzina zvuka ovisi o vrsti medija (zrak, voda, plemeniti plinovi..) i temperaturi medija. Relacija za brzinu zvuka u određenom mediju dobivena je na temelju zakonu o očuvanju mase i količine gibanje [22]. [ ] (3.3) gdje je: - brzina zvuka u određenom mediju - adijabatski indeks, omjer specifičnih toplina konstantnog tlaka i volumena - plinska konstanta [J/molK] - temperatura [K] Za brzinu zvuka u zraku, iz (3.3) se može izvesti pojednostavljena relacija (3.4). 18

19 [ ] (3.4) gdje je: - temperatura zraka [K] Ako se promatrani prostor sastoji od više medija, brzina zvuka se može predstaviti kao umnožak maksimalne brzine u promatranom prostoru i relativne brzine. [ ] (3.5) gdje je: - maksimalna brzina zvuka u promatranom prostoru - relativna brzina zvuka u promatranom prostoru Tablica 3.2. Brzina zvuka u različitim medijima [24] Plinovi (0 o C) Brzina [m/s] Tekućine Brzina [m/s] Krutine Brzina [m/s] (20 o C) Zrak 331 Etanol 1160 Drvo CO Živa 1450 Beton O Voda 1480 Mramor 3810 Helij 965 Morska voda 1540 Staklo 5640 Hidrogen 1290 Mišićno tkivo 1540 Aluminij Gustoća medija Gustoća određenog medija ukazuje kolika je zbijenost čestica unutar medija i stoga se može zaključiti da ovisi o temperaturi. Za konstantnu temperaturu, gustoća medija određena je omjerom mase i volumena medija. gdje je: - gustoća medija - masa medija - volumen medija [ ] (3.6) 19

20 Tablica 3.3. Gustoća različitih medija [25], [26], [27] Plinovi (0 o C) Gustoća [kg/m 3 ] Tekućine (20 o C) Gustoća [kg/m 3 ] Krutine Gustoća [kg/m 3 ] Zrak Etanol 789 Drvo CO Živa Beton O Voda 1000 Mramor Helij Morska voda 1022 Staklo 2210 Hidrogen Mišićno tkivo 1059 Aluminij Kompresibilnost medija Kompresibilnost medija je mjera relativne promjene volumena medija kao posljedica promjene tlaka. Relacija (3.7) povezuje kompresibilnost, gustoću i brzinu zvuka u mediju. [ ] (3.7) gdje je: - kompresibilnost medija Izražavanjem brzine iz gornje relacije može se primjetiti analogija sa elektromagnetizmom, gdje na mjestu gustoće i kompresibilnosti stoje permeabilnost i perimitivnost medija, koja analogija je ilustrirana u tablici 3.4. Tablica 3.4. Analogija između akustičkih i elektromagnetskih parametara Akustika Gustoća medija Kompresibilnost medija Brzina zvučnog vala Elektromagnetizam Permeabilnost medija Perimitivnost medija Brzina elektromagnetskog vala 20

21 3.1.5 Akustička impedancija Akustička impedancija predstavlja vezu između zvučnog tlaka i rezultirajuće brzine gibanja čestica medija, kao što je dano u (3.8). Jedinica za akustičku impedanciju je Rayl [Ry] što je jednako 1 ili 1. [ ] (3.8) gdje je: - akustička impedancija - zvučni tlak - brzina gibanja čestica medija Pošto akustička impedancija ovisi o svojstvima medija, može se prikazati i pomoću gustoće medija i brzine zvuka koje su karakteristične za razmatrani medij. [ ] (3.9) Izraz (3.9) predstavlja karakterističnu akustčku impedanciju propagacijskog medija. Iz izraza se može zaključiti da će gibanje čestica u mediju sa većom akustičkom impedancijom prouzročiti veću amplitudu zvučnog tlaka u odnosu na medij sa manjom akustičkom impedancijom. U tablici 3.5 su dani primjeri vrijednosti akustičke impedancije medija za medije različitih agregatnih stanja, analogno tablici 3.3. Tablica 3.5. Akustičke impedancije medija Plinovi (0 o C) Impedancija [Ry] Tekućine (20 o C) Impedancija [MRy] Krutine Impedancija [MRy] Zrak Etanol Drvo CO Živa Beton O Voda 1.48 Mramor Helij Morska voda Staklo Hidrogen Mišićno tkivo 1.63 Aluminij

22 3.1.6 Refleksija i transmisija zvuka Refleksija zvučnog vala je proces pri kojem se dio zvučnog vala reflektira pri nailasku na granicu između dvaju medija. Udio reflektiranog zvučnog vala određen je koeficijentom refleksije. Koeficijent refleksije pri normalnoj incidenciji vala određen je relacijom (3.10). gdje je: - koeficijent refleksije - Akustička impedancija medija 2 - Akustička impedancija medija 1 (3.10) Važno je uočiti da je refleksija zvuka to veća što je veći prostorni gradijent akustičke impedancije. Kod ultrazvuka, na primjer, nanošenje gela na kožu služi kako bi se smanjio prostorni gradijent impedancije i time poboljšala transmisija zvuka u tkivo. Koeficijent transmisije za slučaj normalne incidencije vala, određuje se pomoću sljedeće relacije. (3.11) gdje je: - koeficijent transmisije - Akustička impedancija medija 2 - Akustička impedancija medija 1 Iz gornje se relacije može zaključiti da je transmisija to veća što je veća akustička impedancija medija u koji se val transmitira Utjecaj geometrijskog širenja zvuka Širenjem zvuka kroz prostor smanjuje se amplituda zvučnog tlaka, a time i intenzitet, zbog raspodjele energije na sve veću površinu. Geometrijsko širenje je neovisno o frekvenciji i ima važan utjecaj u svim situacijama propagacije zvuka. Dva najčešća oblika geometrijskog širenja su sferično širenje zvuka i cilindrično širenje zvuka. Promjena amplitude zvučnog tlaka u ovisnosti o udaljenosti za sferično širenje određeno je relacijom (3.12). 22

23 (3.12) gdje je: - zvučni tlak na udaljenosti od izvora zvuka - zvučni tlak na udaljenosti od izvora zvuka - kraća udaljenost od izvora zvuka - duža udaljenost od izvora zvuka Promjena amplitude zvučnog tlaka u ovisnosti o udaljenosti za cilindrično širenje određeno je relacijom (3.13). (3.13) Iz gornjih se izraza može zaključiti da je opadanje amplitude brže kod sferičnog širenja u odnosu na cilindrično širenje Intenzitet i snaga zvuka Intenzitet zvuka je produkt skalarnog polja tlaka i vektorskog polja brzine gibanja čestica [28]. (3.14) gdje je: - Intenzitet zvuka Intenzitet zvuka je vektorska veličina poput brzine gibanja čestica, što znači da osim magnitude sadrži i smjer gibanja energije. Ako se želi odrediti prosječni intenzitet u vremenskom intervalu, koristi se sljedeći izraz. [ ] (3.15) 23

24 Jedinica za intenzitet zvuka je snaga po jedinici površine, stoga se intenzitet zvuka može predstaviti i pomoću relacije (3.16). [ ] (3.16) gdje je: - srednja vrijednost snage - površina Uporabom (3.8) u (3.16), dobije se sljedeća relacija povezuje intenzitet, tlak i impedanciju zvuka u slučaju sferičnog širenja zvuka. (3.17) gdje je: - udaljenost od izvora - akustička impedancija medija Valja primijetiti da intenzitet ovisi o udaljenosti od izvora zvuka, dok je snaga svojstvo samog izvora Atenuacija zvuka Kod geometrijskog širenja dolazi do smanjenja amplitude tlaka uslijed širenja energije, no nema gubitka ukupne energije. Slabljenje energije zvuka posljedica je atenuacije zvuka. Pod pojmom atenuacija misli se na raspršenje zvuka i apsorpciju zvuka. Apsorpcija je proces kod kojeg dolazi do promjene energije zvučnog vala u neki drugi oblik energije, najčešće topline. Kad god postoji relativno gibanje između čestica u mediju, poput propagacije zvučnog vala, dolazi do pretvorbe energije. Viskozitet u plinovima proporcionalno ovisi o temperaturi. Glavni doprinos apsorpciji ima visko-termalni efekt koji uključuje svojstva prijenosa čestica unutar medija i ovisi o kvadratu frekvencije [29]. Atenuacija zvuka u mediju može se predstaviti relacijom (3.18). Točno određivanje apsorpcijskog koeficijenta medija je kompleksan postupak i prelazi okvire ovog rada. 24

25 [ ] (3.18) gdje je: - apsorpcijski koeficijent za određeni medij - apsorpcijska konstanta za određeni medij - frekvencija zvučnog vala - eksponent u granicama [ ] U slučaju kada se vrši simulacija propagacije ultrazvuka kroz kompleksne biološke heterogene medije potrebno je uzeti u obzir i atenuaciju medija. Pošto je atenuacija ovisna o frekvenciji, njezino uključivanje u FDTD numerički model može biti zahtjevan zadatak [30]. Pošto se ovaj rad koncetrira na simulacijama propagacije zvuka nižih frekvencija, utjecaj atenuacije medija se može zanemariti. U praksi se koeficijent apsorpcije izražava kao omjer apsorbirane i incidentne energije. U tom slučaju poprima vrijednost 0 ako materijal potpuno reflektira energiju ili 1 ako materijal potpuno apsorbira energiju. Ovaj podatak zapravo govori o odnosu između akustičkih impedancija dvaju medija. Što je veća razlika u akustičkim impedancijama to će se više energije reflektirati od granice između medija. U tablici 3.6 prikazani su apsorpcijski koeficijenti medija za slučaj kada je zvuk poslan iz zraka. Tablica 3.6. Apsorpcijski koeficijenti medija [31] Materijal 125 Hz 250 Hz 500 Hz 1000 Hz 2000 Hz Zrak Beton Drvo Tepih na betonu Metalne ili drvene stolice Opeka bez fasade Grubi betonski blok Zavjesa Pjena Sonex 2'' Stakleni prozor Mramore pločice Šperploča panel 3/8'' Odrasla osoba

26 Valna duljina Koristan se akustički signal sastoji od periodički ponavljajućih vibracija posljedica čega je periodička promjena zvučnog tlaka. U prostoru ta je periodička promjena karakterizirana valnom duljinom. To je elementarni prostorni razmak između dviju točaka medija sa jednakom amplitudom. Može se reći da je to udaljenost koju akustički val prođe za vrijeme jednog perioda gibajući se brzinom karakterističnom za medij kojim se val širi. [ ] (3.19) gdje je: - valna duljina - period vala - brzina zvuka - frekvencija vala Slika 3.1. Valna duljina u ovisnosti o mediju [32] 26

27 Pošto brzina zvuka ovisi o mediju, može se zaključiti da je pri istoj frekvenciji valna duljina različita u različitim medijima. Slika 3.1 pojašnjava taj koncept. Potrebno je uočiti da iako je valna duljina ovisna o mediju, ton ostaje isti jer je on predstavljen frekvencijom. Pošto je brzina gibanja veća u slučaju kad je valna duljina veća, period akustičkog vala ostaje nepromijenjen Valna jednadžba Za određivanje linearizirane akustičke valne jednadžbe u homogenom prostoru koriste se sljedeće pretpostavke: Zanemaruje se utjecaj gravitacijske sile, tj. i su konstantni u cijelom području, Zanemaruje se utjecaj atenuacije medija, Medij je homogen, izotropan i savršeno elastičan, Brzina gibanja čestica medija je malena, tj. radi se o području malih amplituda. Akustički se valne jednadžbe sastoje od jednadžbe kontinuiteta (3.20) i linearizirane Eulerove jednadžbe (3.21). (3.20) (3.21) gdje je: - skalarno polje zvučnog tlaka - vektorsko polje brzine gibanja čestica medija - kompresibilnost medija - gustoća medija Pošto je brzina vektorsko polje, jednadžbe (3.20) i (3.21) je moguće rastaviti na ortogonalne komponente. (3.22) 27

28 (3.23) (3.24) (3.25) Jednadžba (3.21) je varijacija drugog Newtonovog zakona. [ ] (3.26) gdje je: - sila - masa - ubrzanje Analogija ubrzanju je vremenska derivacija brzine, gustoća medija je analogna masi, a umjesto sile postoji prostorni gradijent tlaka. Negativan predznak upućuje da se tlak povećava u smjeru suprotnom akceleraciji gibanja čestica. Jednadžba za vremensku promjenu tlaka (3.20) se dobiva iz jednadžbi stanja medija koristeći opće pretpostavke. Ako se uzme u obzir atenuacija medija, valne jednadžbe dobivaju dodatnu komponentu. (3.27) gdje je: - koeficijent atenuacije medija [ ] uslijed kompresibilnosti medija (3.28) 28

29 gdje je: - koeficijent atenuacije medija [ ] povezan sa gustoćom medija Koeficijent je za većinu akustičkih medija jednak nuli, no koristan je pri modeliranju rubnih uvjeta. U ovom slučaju koeficijent atenuacije je analogan sa električnom vodljivošću u elektromagnetizmu. 29

30 3.2 Akustički FDTD Kako bi se mogao primijeniti FDTD algoritam za propagaciju akustičkog vala, tlak i komponente vektora brzine je potrebno diskretizirati u vremenu i prostoru. Postoji ukupno četiri komponente pošto je tlak skalarno polje, a brzina vektorsko polje. Na slici (3.2) prikazan je raspored komponenti tlaka i brzine prikladan za implementaciju trodimenzionalnog akustičkog FDTD algoritma. Komponenta tlaka je okružena komponentama brzine čija je orijentacija duž linije koja spaja komponentu tlaka i brzine. Kod elektromagnetizma, raspored komponenti električnog i magnetskog polja unutar Yee ćelije je takav da su parcijalne derivacije komponenti okomite na smjer promjene, pošto je elektromagnetski val definiran pomoću rotorskih jednadžbi. U akustici, jednadžbe vala uključuju divergenciju i gradijent i stoga parcijalne derivacije komponenti jesu u smjeru promjene [14]. Slika 3.2. Jedinična akustička trodimenzionalna ćelija [14] Na slici 3.3 prikazan je raspored čvorova tlaka i brzine u dvodimenzionalnom prostoru. Kod implementacije FDTD algoritma valja uzeti u obzir da komponente zaokružene na slici sadrže isti prostorni indeks. Razlika između indeksa kod teorijskog prikaza i indeksa kod programske implementacije prikazana je pomoću koordinatnih osi s lijeve odnosno desne strane ispod dvodimenzionalne mreže. Osim prostornog razmaka, između komponente tlaka i brzine istog indeksa postoji i vremenski razmak. 30

31 Slika 3.3. Čvorovi tlaka i brzine u dvodimenzionalnom prostoru [14] Relacijom (3.29) prikazana je diskretizacija komponenti brzine i zvučnog tlaka. [ ] ([ ] [ ] ) [ ] ( [ ] [ ] ) [ ] (3.29) ( [ ] [ ] ) [ ] gdje je: - prostorni inkrement u smjeru - prostorni inkrement u smjeru - prostorni inkrement u smjeru 31

32 - vremenski inkrement - prostorni indeks u smjeru - prostorni indeks u smjeru - prostorni indeks u smjeru - vremenski indeks Diskretizacija akustičke valne jednadžbe za tlak u homogenom prostoru bez gubitaka (2.17) prikazana je sljedećom relacijom. [ ] [ ] {( [ ] [ ]) ( [ ] [ ]) (3.30) ( [ ] [ ])} gdje je: - koeficijent aktualnog medija za tlak u homogenom mediju Koeficijenti aktualnog medija sastoje se od parametara medija (gustoća, kompresibilnost, brzina zvuka) i prostornog i vremenskog inkrementa. Pomoću njih je definiran utjecaj medija na ponašanje vala u numeričkom prostoru. Ovdje se pretpostavlja da je vrijednost prostornog inkrementa jednaka u svim smjerovima i označava se sa. (3.31) Koristeći relacije iz prethodnog potpoglavlja i Courrant-ov faktor stabilnosti može se odrediti i alternativni oblik koeficijenta nadogradnje. (3.32) gdje je: - Courrant-ov faktor stabilnosti Gustoća medija i relativna brzina zvuka funkcije su prostora, definirane za pozicije jednake čvorovima zvučnog tlaka. 32

33 Koeficijent nadogradnje za brzinu proučit će se na primjeru diskretizirane valne jednadžbe za komponentu vektora brzine u smjeru. [ ] [ ] [ ] [ ] (3.33) gdje je: - koeficijent nadogradnje za komponentu vektora brzine u smjeru Koeficijent nadogradnje definiran je pomoću sljedeće relacije. (3.34) Gustoća i brzina medija je definirana samo u čvorovima tlaka. Pošto je komponenta vektora brzine istog indeksa kao i zvučni tlak udaljena za pola prostornog inkrementa potrebno je uzeti aritmetičku sredinu vrijednosti gustoće medija dvaju susjednih indeksa u jednadžbama za komponentu vektora brzine. Primjerice, koeficijent nadogradnje za komponentu vektora brzine u smjeru definirana je izrazom (3.35). [ ] [ ] (3.35) Uzevši to u obzir mogu se odrediti preostale diskretizirane jednadžbe za vektorsko polje brzine gibanja čestica u homogenom prostoru. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (3.36) gdje je: - koeficijent aktualnog medija za komponentu vektora brzine u smjeru - koeficijent aktualnog medija za komponentu vektora brzine u smjeru Navedeni se koeficijenti definiraju analogno izrazu (3.35), uz razliku da se za koeficijent traži aritmetička sredina u smjeru, tj. po indeksu, a za koeficijent po smjeru, tj. po indeksu. 33

34 3.3 Akustički PML Teorijska podloga PML-a Za numeričke simulacije slobodnog prostora poželjno je definirati rubove numeričkog prostora na način da incidentni ili reflektriani val nestanu izvan prostora. Izvan numeričkog prostora može se smatrati da je akustička impedancija jednaka nuli, dok je numerički prostor definiran impedancijom. Uvrstivši ove vrijednosti u relaciju (3.10) dolazi se do zaključka da na rubu numeričkog prostora postoji refleksija. Stoga je potrebno stvoriti rubni sloj numeričkog prostora koji će simulirati beskonačni prostor. Jedan od načina definiranja rubnog sloja zove se PML (eng. Perfectly Matched Layer). U svojoj osnovi PML je rubni sloj numeričkog prostora sastavljen od nefizikalnog medija sa gubicima. Osnovno svojstvo PML-a je upijanje incidentnih ili reflektiranih valova koji putuju iz komputacijske domene. PML je anizotropan i konstruiran na način da ne postoje gubici u tangencijalnom smjeru između numeričkog područja i rubnog sloja već postoje gubici u normalnom smjeru. Parametri PML-a su debljina sloja i koeficijent gušenja. Osnovni koncept rubnog sloja prikazan je na slici (3.4). Slika 3.4. Koncept rubnog sloja Ideja je da val iz komputacijske domene upadne u PML sloj bez refleksije gdje biva prigušen. Na samom kraju PML sloja dolazi do refleksije i dio vala se vraća natrag u komputacijsku 34

35 domenu, no njegova amplituda je zanemariva. Za okomiti upad refleksija će biti jednaka nuli ako vrijedi sljedeća relacija. (3.37) Da bi refleksija bila jednaka nuli za bilo koji upadni kut, tlak se razdjeli na svoje ortogonalne komponente. (3.38) Koeficijent gubitaka također se razdjeli na i komponentu. Pomoću razdijeljenih komponenata tvori se anizotropni PML sloj prikazan na slici 3.5 za dvodimenzionalni numerički prostor i na slici 3.6 za trodimenzionalni numerički prostor. Slika 3.5. PML sloj za dvodimenzionalni prostor 35

36 Slika 3.6. PML slojevi za trodimenzionalni prostor Osim gore navedenih uvjeta, potrebno je definirati da vrijednost koeficijenta gubitaka u PML sloju postepeno raste kako ne bi došlo do refleksija uslijed nagle promjene vrijednosti koeficijenta. Često se primjenjuje da koeficijent gubitaka raste sa dubinom PML sloja po polinomnoj funkciji drugog ili trećeg stupnja [33]. Prikaz koeficijenta prigušenja u diskretnom obliku dat je na slici 3.7. Slika 3.7. Koeficijent gubitaka u PML sloju 36

37 Zahvaljujući podjeli tlaka na ortogonalne komponente i stvaranje anizotropnog PML sloja sa postupno rastućim koeficijentom gubitaka refleksija, između komputacijske domene i PML-a bit će jednaka nuli Diskretizacija jednadžba s primjenom PML-a Kako bi implementacija PML sloja bila moguća, potrebno je prilagoditi akustičke jednadžbe (3.27) i (3.28) na način da sadrže ortogonalne komponente tlaka. Valja napomenuti da rastavljanje tlaka na ortogonalne komponente nema fizikalnog smisla pošto je tlak skalarna veličina, no na taj je način omogućena implementacija PML sloja. (3.39) (3.40) Koristeći relacije (3.29) akustičke jednadžbe poprimaju diskretizirani oblik. U nastavku je izvod za akustičke jednadžbe u 3D prostoru. 37

38 [ ] (3.41) [ ] Zadnja komponenta u izrazu (3.41) predstavlja komponentu izraženu kao aritmetičku sredinu dvaju susjednih vremenskih indeksa. Pretpostavlja se da je vrijednost prostornog inkrementa jednaka u svim smjerovima i označava se sa. Iz gornje relacije određuje se buduća vrijednost brzine gibanja čestica. [ ] (3.42) Koeficijenti aktualnog medija za komponentu definirani su sljedećim relacijama. (3.43) (3.44) Pri implementaciji valja uzeti u obzir da parametri medija u jednadžbama za komponente brzine gibanja čestica moraju biti definirani za poziciju jednaku komponenti brzine tj. mora se osigurati pomak od pola prostornog inkrementa u odnosu na čvor tlaka. U nastavku je dan primjer implementacije parametara za komponentu brzine u smjeru. [ ] [ ] [ ] [ ] (3.45) [ ] [ ] 38

39 Potpuni se oblik jednadžbe dobiva uvrštavanjem izraza (3.43), (3.44) i (3.45) u izraz (3.42). Analogno komponenti brzine u smjeru vrijede jednadžbe za smjerove i. [ ] (3.46) [ ] (3.47) Koeficijenti aktualnog medija za komponente i su definirani sljedećim relacijama. (3.48) (3.49) (3.50) (3.51) Sljedećim se relacijama određuju buduće vrijednosti ortogonalnih komponenti tlaka. Prvi je korak diskretizirati jednadžbe (3.39). 39

40 ( ) ( ) [ ] (3.52) [ ] Iz gornje je relacije potrebno izraziti buduću vrijednost komponente tlaka. [ ( ) ( )] (3.53) Koeficijenti nadogradnje za komponentu definirani su sljedećim relacijama. (3.54) (3.55) Analogno komponenti tlaka u smjeru vrijede jednadžbe za smjerove i. [ ( ) ( )] (3.56) [ ( ) ( )] (3.57) Koeficijenti aktualnog medija definirani su sljedećim relacijama. 40

41 (3.58) (3.59) (3.60) (3.61) 3.4 Vrste pobude U simulacijama prostorne akustike, vremenski promjenljivi signal tlaka bude dodijeljen nekom čvoru FDTD mreže smatra se izvorom signala i pobude. Odziv na pobudnu signal može se potom mjeriti (izračunati) na bilo kojem drugom čvoru FDTD mreže. Pobudni se signal može definirati kao tvrdi izvor (eng. hard source) ili kao meki izvor (eng. soft source). Oba načina definiranja sadrže određene prednosti i nedostatke. Tvrdi izvor, definiran sa (3.62), najjednostavniji je za implementaciju. Pobudni se signal tlaka definira za određeni čvor FDTD mreže. Time je taj čvor postao odvojen od ostatka mreže i predstavlja diskontinuitet u mreži, te pri nailasku vala na taj čvor dolazi do nefizikalnih refleksija jer je vrijednost tlaka u čvoru unaprijed zadana, a nije rezultat interakcije s ostalim čvorovima. Ta situacija zapravo donekle ima korelaciju sa refleksijom zvuka od izvora zvuka, no veličina čvora mijenja se sa promjenom parametara medija i izvora signala dok su u stvarnosti dimenzije izvora zvuka uvijek jednake. (3.62) gdje je: - pobudni signal - čvor tlaka u FDTD mreži na poziciji 41

42 Kod mekog izvora (3.63), pobudni je signal tlaka nadodan čvoru FDTD mreže. Time su znatno smanjene nefizikalne refleksije prisutne kod tvrdog izvora. Nedostatak ove metode je utjecaj okolnih čvorova na pobudni signal tlaka, posljedica čega je nejednakost zadanog i dobivenog pobudnog signala tlaka [34]. [ ] (3.63) Osim dvaju navedenih metoda definiranja izvora pobude, postoji i definiranje pobudnog signala kao transparentni izvor. Takav izvor se ponaša kao tvrdi izvor, no transparentan je za incidentni val te nema nefizikalnih refleksija. Nedostatak transparentnog izvora je potreba za dodatnim simulacijama za određivanje kompenzacijskog filtra za uklanjanje utjecaja diskontinuiteta mreže što ga čini zahtjevnijim i kompleksnim za implementaciju [20]. U ovom radu koristiti će se samo tvrdi i meki izvor kao oblik pobudnog signala Kontinuirani pobudni signal Jedan od osnovnih oblika pobudnog signala je sinusni oblik. Za pravilnu izvedbu, u trenutku t=0 pobudni signal mora biti jednak nuli i mora biti derivabilan u svakom vremenskom trenutku. Kako bi osigurali da će sinusni signal biti jednak nuli prilikom pokretanja simulacije, pogodno je pomnožiti ga sa sigmoidnom funkcijom kao što je prikazano na slici (3.8). Za implementaciju ovog pobudnog signala koristi se izraz (3.64) [35]. (3.64) gdje je: - amplituda signala - frekvencija signala - vremenski uzorak - vrijeme kašnjenja signala - vremenski inkrement - trajanje promjene sigmoidne funkcije - faktor nagiba sigmoidne funkcije 42

43 1 Kontinuirani pobudni signal Amplituda Vremenski uzorci 1 Amplituda Vremenski uzorci Slika 3.8. Kontinuirani pobudni signal. Gornja slika prikazuje sinusni signal plavom bojom i sigmoidni signal crvenom bojom, dok donja slika prikazuje umnožak tih dvaju signala Gaussov puls Čisti je sinusoidalni signal pogodan samo kada je potrebno testirati odziv za točno određenu frekvenciju. Za sve ostale potrebe, koriste se pulsevi pošto sadrže širi frekvencijski spektar. Najčešće korišteni vremenski oblik pulsnog pobudnog signala je Gaussov puls čiji je izraz za implementaciju (3.65) i prikaz dat u nastavku. ( ) (3.65) gdje je: - amplituda signala - vremenski uzorak - vrijeme kašnjenja pulsnog signala izraženo u vremenskim uzorcima - širina pulsa izražena u vremenskim uzorcima 43

44 1 Gaussov puls Amplituda Vremenski uzorci Slika 3.9. Gaussov puls Idealni se Gaussov puls širi beskonačno u vremenu te prilikom pokretanja pobudnog signala potrebno je uzeti tu činjenicu u obzir. Također, potrebno je odrediti širinu pulsa kako bi se postigao željeni frekvencijski raspon. Izrazom (3.66) određena je Fourierova transformacija Gaussovog pulsa. { ( ) } (3.66) gdje je: - frekvencija [Hz] Normalizacijom magnitude gornjeg izraza može se odrediti minimalna vrijednost spektra pri maksimalnoj frekvenciji. Sljedećim relacijama određuje se širina pulsa za dobivanje magnitude od -20 db pri maksimalnoj frekvenciji [33]. (3.67) 44

45 Iz relacije (3.67) može se odrediti veza između širine pulsa i maksimalne frekvencije [36]. [ ] (3.68) gdje je: - maksimalna frekvencija spektra pobudnog signala Primjerice, za postizanje magnitude od -20 db pri maksimalnoj frekvenciji uz vremenski inkrement potrebna je širina pulsa vremenskih uzoraka, što odgovara parametrima pulsa na slici 3.9. Spektar normalizirane magnitude takvog pulsa prikazan je slikom (3.10). Iz prikaza se vidi da je pri frekvenciji od magnituda spektra približno -20 db. Višestrukim ispitivanjem pokazalo se da postoji greška od. 0 Spektar Gaussovog pulsa Magnituda [db] Frekvencija [Hz] Slika Spektar Gaussovog pulsa Osim širine pulsa, važno je odrediti i vrijeme kašnjenja pulsa kako bi amplituda bila što manja pri pokretanju simulacije. Ako je vrijeme trajanja simulacije te vršna vrijednost pulsa je u trenutku, pri pokretanju simulacije Gaussov puls ima vrijednost određenu izrazom (3.69). 45

46 ( ) (3.69) Uz vremensko kašnjenje od amplituda signala je snižena za faktor ili za otprilike -140 db. Nedostatak Gaussovog pulsa je što sadrži istosmjernu komponentu. FDTD metoda se ne koristi za modeliranje polja sa prisutnom istosmjernom komponentom. Uz to, koristeći pobudne signale sa istosmjernom komponentom postoji mogućnost pojave nefizikalnih artefakata poput nakupljanja naboja ili tlaka u FDTD mreži. Stoga je pogodno koristiti pulseve koji ne sadrže istosmjernu komponentu Derivirani Gaussov puls Kako bi izbjegli unos istosmjerne komponente u FDTD mrežu koristi se derivirani Gaussov puls [33], ilustriran slikom 3.11, jer on ne sadrži istosmjernu komponentu. 1 Derivirani Gaussov puls Amplituda Vremenski uzorci Slika Derivirani Gaussov puls 46

47 ( ) (3.70) Fourierova transformacija deriviranog Gaussovog pulsa određena je izrazom (3.71) { } (3.71) Iz prikaza spektralnog sadržaja deriviranog Gaussovog pulsa (3.12) može se vidjeti da nema istosmjerne komponente. U ovom je primjeru maksimalna frekvencija deriviranog Gaussovog pulsa 1 khz, dok je centralna frekvencija 360 Hz. 0 Spektar Gaussovog pulsa Normalizirana magnituda Frekvencija [Hz] Slika Spektar deriviranog Gaussovog pulsa Pošto su vrijeme i frekvencija međusobno recipročni [37], može se zaključiti da je njihov umnožak konstantan. Koristeći tu činjenicu, eksperimentalno je određena veza između parametra i frekvencija, i. Frekvencija je frekvencija pri kojoj signal ima maksimalnu magnitudu, je minimalna frekvencija pri kojoj signal ima magnitudu -20 db dok je maksimalna frekvencija pri kojoj pobudni signal ima magnitudu -20 db. Relacije 47

48 su određene na način da se za različite vrijednosti vremenske konstante promjena frekvencija, i. promatrala (3.72) gdje je: - frekvencija sa maksimalnom magnitudom - maksimalna frekvencija sa magnitudom od -20 db - minimalna frekvencija sa magnitudom od -20 db Druga derivacija Gaussovog pulsa: Rickerov valić Jedan od najpopularnijih pobudnih signala za korištenje u numeričkim simulacijama akustičkih pojava je druga derivacija Gaussovog pulsa ili Rickerov valić. 1.2 Rickerov valić Amplituda Vremenski uzorci Slika Rickerov valić 48

49 Poput deriviranog Gaussovog pulsa nema istosmjerne komponente, no sadrži manju energiju na nižim frekvencijama u odnosu na derivirani Gaussov puls. Vrlo često se koristi pri numeričkim simulacijama u infrazvučnom području pošto dobro predstavlja seizmičke pojave [10]. Rickerov valić je u vremenskoj domeni definiran izrazom (3.73), dok je njegov magnitudni spektar definiran izrazom (3.74) i ilustriran slikom U ovom primjeru centralna je frekvencija 520 Hz, a maksimalna 1120 Hz. [ ( ) ] ( ) (3.73) { } (3.74) 0 Spektar Rickerovog valića Normalizirana magnituda Frekvencija [Hz] Slika Spektar Ricker valića Skoro sav spektralni sadržaj nalazi se između frekvencija 0 i. Pri implementaciji ovog pobudnog signala maksimalna frekvencija je ona pri kojoj magnitudni spektar padne na -20 db, što odgovara frekvenciji. Na slici 3.14 prikazan je normaliziran magnitudni spektar Rickerovog valića. Uspoređujući sa spektrom deriviranog Gaussovog pulsa vidi se da sadrži manje energije na frekvencijama manjim od centralne u odnosu na derivirani Gaussov 49

50 puls. Rickerov valić sadrži najviše energije na centralnoj frekvenciji definiranom pomoću sljedećeg izraza. (3.75) gdje je: - centralna frekvencija Ricker valića Modulirani Gaussov puls Modulirani Gaussov puls jednak je umnošku sinusnog signala i Gaussovog pulsa, što je zapravo konvolucija Gaussovog spektra sa Dirac funkcijom smještenoj na frekvenciji modulacije [33]. Time se dobiva spektar jednakog oblika kao za običan Gaussov puls, no premješten na frekvenciju modulacije. 1 Modulirani Gaussov puls Amplituda Vremenski uzorci 1 Amplituda Vremenski uzorci Slika Modulirani Gaussov puls 50

51 ( ) [ ] (3.76) gdje je: - modulacijska frekvencija Spektralni je sadržaj moduliranog Gaussovog pulsa sa frekvencijom modulacije prikazan na slici (3.16). 0 Spektar moduliranog Gaussovog pulsa Normalizirana magnituda Frekvencija [Hz] Slika Spektar moduliranog Gaussovog pulsa Magnitudni spektar moduliranog Gaussovog pulsa definiran je sljedećim izrazom. { } (3.77) Za frekvenciju pri kojoj dolazi do opadanja magnitude od -20 db može se primjeniti ista relacija kao za obični Gaussov puls (3.68). Pomoću relacije (3.78) može se odrediti potrebna širina pulsa za zadanu maksimalnu frekvenciju i modulacijsku frekvenciju. 51

52 (3.78) Kada bi modulacijska frekvencija bila jednaka nuli, relacija (3.78) bila bi jednaka relaciji (3.68). što upućuje da modulacijska frekvencija služi za pomicanje spektralnog sadržaja pobudnog signala. 52

53 4. Implementacije u programskom paketu MATLAB U ovom poglavlju razmotrit će se nekoliko implementacija akustičkog FDTD-a izvedenih pomoću programskog okruženja MATLAB [13]. Za svaki će primjer biti objašnjeni dijelovi koda i razmotriti će se dobiveni rezultati. 4.1 Implementacija PML rubnog sloja U ovom primjeru će biti pokazana usporedba propagacije zvučnog tlaka u prostoru sa i bez upijajućeg rubnog sloja. Kao indikator, izvršit ćemo usporedbu vrijednosti zvučnog tlaka za iste koordinate numeričkog prostora u oba slučaja FDTD bez PML-a U ovom primjeru razmatra se propagacija zvučnog tlaka u homogenom mediju bez gubitaka i bez definiranog apsorbirajućeg sloja na rubovima numeričkog prostora. Testiranje se provodi u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru. U nastavku su pojašnjeni koraci potrebni za implementaciju propagacije tlaka u dvodimenzionalnom prostoru. Implementacija započinje sa definiranjem maksimalne brzine u prostoru, referentne gustoće medija. U ovom se slučaju koriste parametri za zrak pri temperaturi od 20 o C %% Početni parametri ca0=343.21; %brzina zvuka u zraku pri 20 stupnjeva Celzijusovih rho0=1.2041; %gustoća zraka pri 20 stupnjeva Celzijusovih Sljedeći je korak definiranje dimenzija numeričkog prostora. Ukupan broj prostornih inkremenata utječe na vrijeme izvršavanja simulacije. Kod dvodimenzionalnog prostora moguće je simulirati znatno veće površine u odnosu na simulacije propagacije zvučnog tlaka u trodimenzionalnom prostoru. Početne vrijednosti polja tlaka i komponenti brzine postavljaju se u nulu. Valja primijetiti da matrice komponenti brzina sadrže redak i stupac više u odnosu na matricu tlaka. Višak je potreban za postizanje razmaka između komponente brzine i tlaka od pola prostornog inkrementa (slika 3.2). %Dimenzije slobodnog prostora% Nx=100; Ny=100; %alociranje polja% p=zeros(nx,ny); vx=zeros(nx+1,ny); vy=zeros(nx,ny+1); 53

54 Sljedeći je korak definiranje medija u numeričkom prostoru. Kod homogenog medija ovaj je korak suvišan pošto je cijeli numerički prostor ispunjen samo jednim medijem, no bit će potreban kod primjera sa nehomogenim medijem. U ovoj implementaciji je ipak izvršen ovaj korak radi pravilnog praćenja algoritma. %% Definiranje medija rho_m=rho0; cr_m=1; rho(1:nx,1:ny)=rho_m(1); cr(1:nx,1:ny)=cr_m(1); Nakon definiranja medija potrebno je definirati pobudni signal. Stvoren je interaktivni algoritam koji na temelju zadanog oblika pulsa i frekvencije određuje prostorni i vremenski inkrement pomoću izraza (2.5) i (2.7) te širinu pulsa na temelju izraza (3.68), (3.72), (3.75) i (3.78). Mogući oblici pobudnog signala su Gaussov puls, derivirani Gaussov puls, modulirani Gaussov puls ili Rickerov valić. Svi su pobudni signali definirani kao tvrdi izvor. Dijagram toka određivanja parametara pobudnoga signala prikazan je na slici 4.1. Slika 4.1. Dijagram toka određivanja pobudnog signala 54

55 U nastavku je prikazan primjer korištenja interaktivnog algoritma za određivanje parametara pobudnog signala. Oblik pobudnog signala (GAUSS, D_GAUSS, M_GAUSS, RICKER): M_GAUSS Unesi frekvenciju modulacije [Hz]: 1000 Unesi maksimalnu frekvenciju [Hz]: 1500 Višekratnik vremena trajanja simulacije n (T=n*t0): 3 Širina pulsa je 1.03 [ms] Kašnjenje pobudnog signala je 4.12 [ms] Vrijeme trajanja simulacije je [ms] Dimenzije prostora su [m] u smjeru x i [m] u smjeru y Potvrda pobudnog signala? D/N U slučaju ponavljanja petlje vrijednosti svih varijabli i matrica postavljaju se na početnu vrijednost. Cjelokupni je kod priložen u prilogu 1. U sljedećem se koraku definiraju koeficijenti aktualnog medija za tlak i brzine gibanja čestica. Uzima se u obzir prostorni razmak od pola prostornog inkrementa između čvora tlaka i komponente brzine gibanja čestica na način da se odredi aritmetička sredina gustoće tlaka i relativne brzine između dvaju susjednih polja (3.45). Pošto je ovo primjer homogenog medija gdje je gustoća tlaka svugdje jednaka nema potrebe za time, no biti će potrebno kod složenijih primjera. %% Koeficijenti nadogradnje %koef za brzinu rho_vx(2:nx,1:ny)=(rho(1:nx-1,1:ny)+rho(2:nx,1:ny))/2; %(3.45) rho_vy(1:nx,2:ny)=(rho(1:nx,1:ny-1)+rho(1:nx,2:ny))/2; %koeficijenti% Cvx(2:Nx,1:Ny)=Sc./(rho_vx(2:Nx,1:Ny)*c0); %(3.34) Cvy(1:Nx,2:Ny)=Sc./(rho_vy(1:Nx,2:Ny)*c0); Cp(1:Nx,1:Ny)=rho0*c0^2*dt/d; %(3.32) Zadnji je korak pokretanje FDTD postupka i prikaz propagacije zvučnog tlaka u prostoru. U ovom primjeru korišteni su izrazi (3.30), (3.33) i (3.36) za implementaciju FDTD metode uz iznimku da je za dvodimenzionalni prostor izbačena komponenta brzine u smjeru. 55

56 U nastavku su dati rezultati propagacije zvučnog tlaka u dvodimenzionalnom prostoru. Pri pokretanju programa kod1_fdtd.m očekuje se od korisnika unos parametara pomoću kojih se definira pobudni signal te vremenski i prostorni inkrement. Za prvi slučaj odabran je modulirani Gaussov puls kao oblik pobudnog signala. Korisnik dobiva informacije o pobudnom signalu i numeričkom prostoru te prikaz pobudnog signala. Očekuje se potvrda korisnika kako bi program mogao nastaviti sa izvršavanjem. Oblik pobudnog signala (GAUSS, D_GAUSS, M_GAUSS, RICKER): M_GAUSS Unesi frekvenciju modulacije [Hz]: 1000 Unesi maksimalnu frekvenciju [Hz]: 1500 Višekratnik vremena trajanja simulacije n (T=n*t0): 6 Širina pulsa je 1.03 [ms] Kašnjenje pobudnog signala je 4.12 [ms] Vrijeme trajanja simulacije je [ms] Dimenzije prostora su [m] u smjeru x i [m] u smjeru y 1 Pobudni signal Tlak [Pa] t [ms] Slika 4.2. Modulirani Gaussov puls kao pobudni signal 56

57 Prikaz propagacije zvučnog tlaka u prostoru vrši se pomoću matlab funkcije surfl gdje je amplituda zvučnog tlaka prikazana visinom plohe. Ovakav je prikaz kvalitativne prirode tj. daje okvirnu informaciju o propagaciji vala u prostoru, ali iz njega se ne može odrediti točna amplituda. Za prikaz propagacije vala u određenoj točki prostora uzima se vrijednost amplitude na koordinatama te točke u numeričkom prostoru i iscrta se pomoću naredbe plot. Nakon što su definirani parametri pobudnog signala, od korisnika se traži unos koordinata izvora i koordinata mjerne sonde u obliku broja prostornih inkrementa (bezdimenzionalna jedinica). Pritom se provjerava jesu li unešene koordinate unutar numeričkog prostora. Na slici 4.3 dat je prikaz propagacije zvučnog tlaka u nekoliko vremenskih trenutaka. Može se primjetiti kako pri vremenu simulacije t=6,67 [ms] nastupaju nefizikalne refleksije pošto nije definiran upijajući rubni sloj. Plava točka u prikazu predstavlja mjernu sondu, čiji je rezultat prikazan slikom 4.5. Slika 4.3. Propagacija zvučnog tlaka u prostoru bez PML-a 57

58 4.1.2 FDTD sa PML-om U ovom se primjeru razmatra propagacija zvučnog tlaka u dvodimenzionalnom prostoru sa upijajućim rubnim slojem. Upijajući je rubni sloj definiran pomoću debljine sloja m i profila koeficijenta gušenja a x i a y. Za implementaciju PML-a potrebno je nekoliko dodatnih koraka u odnosu na prethodni primjer. Prvi je korak definiranje PML parametara, debljina sloja m i profil koeficijenta gušenja a x i a y. Od korisnika se traži unos debljine PML sloja uz preporuku da je optimalan izbor između 7 i 16 prostornih inkrementa [36].Prosječna se vrijednost koeficijenta gušenja u PML sloju za homogeni medij određuje pomoću relacije (4.1). gdje je: [ ] (4.1) - prosječna vrijednost koeficijenta gušenja u PML sloju - akustička impedancija zraka - debljina PML sloja - prostorni inkrement Maksimalna vrijednost koeficijenta gušenja određuje se pomoću sljedećeg izraza [33]. (4.2) gdje je: - maskimalna vrijednost koeficijenta gušenja - eksperimentalno određeni faktor množenja - stupanj polinoma Višestrukim je testiranjem određeno da zadovoljavajuća rješenja dolaze ako je faktor između 10 i 15. Za te vrijednosti PML sloj prigušuje nadolazeće valove uz minimalnu pojavu refleksija. U ovom je primjeru korišteno polinomno skaliranje koeficijenta gušenja PML sloja. Korisnik određuje stupanj polinoma uz preporuku da je optimalan izbor od drugog do četvrtog stupnja. Implementacija koeficijenta gušenja ostvaruje se pomoću relacija (4.3) i (4.4) [38]. 58

59 ( ) (4.3) ( ) (4.4) U kutevima numeričkog prostora prisutna su oba koeficijenta gušenja definirani relacijama (4.5) i (4.6) [38]. ( ) (4.5) ( ) (4.6) Koeficijenti aktualnog medija implementiraju se pomoću izraza (3.43) (3.61) isključujući izraze za smjer z pošto je u ovom primjeru riječ o dvodimenzionalnom prostoru. 59

60 Slika 4.4. Propagacija zvučnog tlaka u prostoru sa PML-om Korišteni su isti parametri pobudnog signala te koordinata izvora i mjernog polja kao i za slučaj bez PML-a kako bi se mogla provesti usporedba rezultata. Na slici 4.4 prikazana je propagacija zvučnog tlaka za nekoliko trenutaka simulacije. Može se primjetiti da nakon vremena simulacije t = 6,67 ms ne dolazi do značajnih nefizikalnih refleksija kao što je to slučaj u primjeru bez PML-a. Nefizikalne refleksije su ipak prisutne pošto su diferencijalne jednadžbe aproksimirane sa centralnom diferencijom, no i te refleksije sa znatno manjom amplitudom u odnosu na primjer bez PML-a su prisutne do vremena simulacije t = 20 ms kada su potpuno ugušene. Implementacijski kod ovog primjera dat je u prilogu Usporedba rezultata Bez PML-a Sa PML-om 0.05 Tlak [Pa] t [ms] Slika 4.5. Usporedba vrijednosti tlaka na mjernoj sondi bez PML sloja i sa PML slojem Usporedbom rezultata istog mjernog polja vidljivo je da su nefizikalne refleksije znatno uklonjene koristeću PML upijajući rubni sloj. 60

61 4.2 Trodimenzionalni numerički prostor sa PML-om U ovom primjeru razmotrit će se propagacija zvučnog tlaka u trodimenzionalnom numeričkom prostoru sa upijajućim rubnim slojem. Princip rada je jednak kao i za propagaciju zvučnog tlaka u dvodimenzionalnom numeričkom prostoru uz dodanu z komponentu tlaka i brzine gibanja čestica. U nastavku su dati isječci propagacije vala u trodimenzionalnom prostoru. Slika 4.6. Propagacija zvučnog tlaka u trodimenzionalnom prostoru za z=25 Trodimenzionalni prostor daje mogućnost proučavanja propagacije vala na više različitih razina. Slika (4.6) prikazuje isječke propagaciju u razini jednakoj poziciji izvora. Na slici (4.7) prikazani su isječci propagacije zvučnog tlaka na razini deset inkrementa ispod izvora. 61

62 Slika 4.7. Propagacija zvučnog tlaka u trodimenzionalnom prostoru za z = Amplituda zvučnog tlaka na razinama Z=15 i Z=25 Z=25 Z= Tlak [Pa] t [ms] Slika 4.8. Rezultat mjernih sondi u trodimenzionalnom prostoru, z=15 i z=25 62

63 Uspoređujući slike 4.4 i 4.6 može se primijetiti da dolazi do bržeg opadanja amplitude u trodimenzionalnom prostoru u odnosu na dvodimenzionalni prostor. Razlog tomu je što točkasti izvor u dvodimenzionalnom polju ima cilindrični oblik širenja u prostoru, a točkasti izvor u trodimenzionalnom polju ima sferični oblik širenja u prostoru, što je bilo komentirano uz izraze (3.12) i (3.13) koji opisuju opadanje amplitude uslijed sferičnog odnosno cilindričnog oblika širenja vala u prostoru. U nastavku će se ispitati valjanost tih izraza. Pošto je jednak broj prostornih inkrementa u x i y smjeru za dvodimenzionalni i trodimenzionalni prostor, dovoljno je napraviti usporedbu za jedan smjer. Envelopa opadanja amplitude predstavlja maksimalnu vrijednost zvučnog tlaka u svakoj točci prostora u smjeru x, y ili z. Izvor je postavljen na sredinu prostora, stoga se i očekuje najveća vrijednost envelope u središnjem prostornom inkrementu Usporedba utjecaja geometrijskog širenja Trodimenzionalni prostor Dvodimenzionalni prostor Amplituda tlaka [Pa] Prostorni inkrement Slika 4.9. Utjecaj geometrijskog širenja na amplitudu tlaka Uzimanjem nekoliko vrijednosti iz gornjeg grafa provjeriti će se ispravnost izraza za cilindrični oblik geometrijskog širenja tj. za slučaj opadanja amplitude u dvodimenzionalnom prostoru. Nakon toga će se na isti način provjeriti ispravnost izraza za sferično širenje tj. za slučaj opadanja amplitude u trodimenzionalnom prostoru. 63

64 [ ] [ ] [ ] (4.7) gdje je: [ ] - manja udaljenost od izvora - veća udaljenost od izvora - amplituda tlaka za udaljenost - amplituda tlaka za udaljenost Gornje se vrijednosti uvrštavaju u izraz (3.13) (4.8) Postoji relativna pogreška od 0.366% što je u prihvatljivim granicama. Pogreška dolazi uslijed aproksimacije diferencijalne jednadžbe sa centralnim diferencijama i uslijed zaokruživanja vrijednosti. Slijedi provjera ispravnosti izraza za sferično širenje zvučnog tlaka. [ ] [ ] [ ] (4.9) gdje je: [ ] - manja udaljenost od izvora - veća udaljenost od izvora - amplituda tlaka za udaljenost - amplituda tlaka za udaljenost Gornje se vrijednosti uvrštavaju u izraz (3.12). 64

65 (4.10) Postoji relativna pogreška od 0.341% što je u prihvatljivim granicama. Osim razlike u obliku geometrijskog širenja, propagacija u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru se međusobno znatno razlikuje u vremenu izvršavanja simulacije. Razlog tomu je što se dvodimenzionalni prostor sastoji od 100 prostornih inkrementa u smjeru x i 100 prostornih inkrementa u smjeru y, dok trodimenzionalni prostor ima jednake dimenzije za x i y smjer, no ima i 50 prostornih inkrementa u smjeru z, što znači da ima 50 puta više ćelija u odnosu na dvodimenzionalni prostor. U tablici 4.1 upisana su vremena izvršavanja simulacije za dvodimenzionalni i trodimenzionalni prostor. Tablica 4.1. Vrijeme izvršavanja simulacije za 2D i 3D prostor Dimenzije prostora Vrijeme izvršavanja [s]

66 4.3 Interakcija između dvaju medija Ovaj testni primjer razmatra ponašanje akustičkog vala u nehomogenom dvodimenzionalnom prostoru sa definiranim PML-om. U nastavku su pojašnjeni koraci implementacijskog koda. Prvi korak zahtijeva definiranje medija. U ovom slučaju razmatra se ponašanje akustičkog vala na interakciji između zraka i vode. %% Parametri zraka ca=343.21; %brzina zvuka u zraku pri 20 stupnjeva rho0=1.2041; %gustoća zraka pri 20 stupnjeva Z0=cA*rho0; %akustička impedancija %% Parametri vode cw=1540; %brzina zvuka u vodi pri 20 stupnjeva rhow= ; %gustoća vode pri 20 stupnjeva ZW=cW*rhoW; %akustička impedancija Za potrebe prikaza, povećane su dimenzije dvodimenzionalnog prostora u odnosu na prethodne primjere, što je povećalo vrijeme izvršavanja koda. Postavljena je granica između dvaju medija na polovici x osi numeričkog prostora. %% Dimenzije slobodnog prostora% Nx=160; Ny=160; %% Granica zraka i vode NW=Ny/2; Slijedi definiranje medija u numeričkom prostoru na temelju gore navedenih poarametara. Valja uzeti u obzir da se brzina predstavlja kao umnožak maksimalne brzine u prostoru i relativne brzine. %% Definiranje medija c0=max([ca cw]); rho_m=[rho0 rhow]; cr_m=[ca/c0 cw/c0]; rho(1:nx,1:nw)=rho_m(1); cr(1:nx,1:nw)=cr_m(1); rho(1:nx,nw+1:ny)=rho_m(2); cr(1:nx,nw+1:ny)=cr_m(2); Definiranje pobude je jednako kao u prethodnim primjerima. Parametri PML sloja se također definiraju na jednak način kao u prethodnim primjerima s time da valja uzeti u obzir da za svaki medij su drugačije vrijednosti parametara. Maksimalna vrijednost prigušenja PML sloja u vodi dobiva se pomoću izraza (4.1) i (4.2), no umjesto akustičke impedancije zraka uvrštava se akustička impedancija vode. Za dobivanje parametara PML sloja u zraku samo je potrebno skalirati dobivene vrijednosti sa omjerom akustičkih impedancija. Na slici (4.10) prikazana je 66

67 modifikacija PML sloja u nehomogenom prostoru. U isječku koda prikazanom u nastavku oznaka d označava prostorni inkrement. a_av=(1/zw)/(2*m*d); amax=12*(pol+1)*a_av; amax0=amax*zw/z0; amaxw=amax; Slika PML u nehomogrenom prostoru Iz ovoga se može zaključiti da je znatno kompleksnije definirati PML sloj ako su rubovi prostora definirani sa različitim parametrima medija. Pri simulaciji propagacije vala u nehomogenom prostoru valja pripaziti sa definiranjem prostornog i vremenskog inkrementa. Za prostorni inkrement potrebno je odrediti minimalnu valnu duljinu, to znači da je potreban omjer minimalne brzine u numeričkom prostoru i maksimalne frekvencije signala. Za vremenski inkrement potrebno je uvrstiti maksimalnu brzinu u numeričkom prostoru. Ako se ta pravila ne poštuju, dolazi ili do numeričke disperzije ako je krivo određen prostorni inkrement ili do nestabilnosti izvršavanja koda ako je krivo određen vremenski inkrement.vremenski je inkrement to manji što je materijal gušći i ima manju kompresibilnost, tj. što je veća brzina zvuka u mediju. To znači da je za dobivanje iste širine pulsa pobudnog signala kao za medij veće kompresibilnosti, poput zraka, potrebno puno više vremenskih uzoraka. Može se zaključiti da je vrijeme izvršavanja koda to veće što je veća razlika u parametrima medija u numeričkom prostoru. 67

68 4.3.1 Ponašanje vala na granici dvaju medija s tvrdim izvorom pobude u mediju manje gustoće Za razliku od prethodnih primjera, u ovom se kao pobudni signal koristi Rickerov valić (eng. Ricker wavelet) pošto je cilj proučavanje refleksije vala na granici između dva medija i transmisija vala u drugi medij a Rickerov valić ne sadrži istosmjernu komponentu. Plavom je crtom označena granica između zraka sa lijeve i vode sa desne strane numeričkog prostora. U prvom slučaju postavljen je izvor pobudnog signala u zraku, te postavljeno je mjerno polje na polovici dužine između izvora i površine vode. Parametri simulacije prikazani su u nastavku. Oblik pobudnog signala: RICKER Centralna frekvencija: 1000 Hz Maksimalna frekvencija: 2160 Hz Prostorni inkrement: 0,0159 m Vremenski inkrement: 5,1589 µs Debljina PML sloja: 12 Stupanj polinoma: 2 Širina pulsa je ms Širina pulsa je ms Kašnjenje pobudnog signala je ms Vrijeme trajanja simulacije je ms Dimenzije prostora su m u smjeru X i m u smjeru Y X koordinata izvora (broj prostornih inkremenata): 80 Y koordinata izvora (broj prostornih inkremenata): 20 X koordinata mjerne sonde (broj prostornih inkremenata): 80 Y koordinata mjerne sonde (broj prostornih inkremenata): 50 Pri implementaciji koda valja uzeti u obzir da je referntna pozicija za definiranje koordinata u gornjem lijevom kutu, dok se referentna točka Matlab funkcije plot nalazi u donjem desnom kutu. U nastavku su prikazani isječci video prikaza propagacije zvučnog tlaka u nehomogenom prostoru. Razmatra se refleksija i transmisija na granici između dva medija. 68

69 Slika Ponašanje vala na granici zraka i vode s izvorom pobude i mjernom sondom u zraku (crta prikazuje granicu između zraka i vode) Iz gornjih se isječaka vidi na nakon vremena simulacije t=4,13 ms nastupa interakcija vala na granici između dva medija. Dio vala se reflektira natrag prema izvoru, a dio se prenese u drugi medij. Iz isječaka se vidi da reflektirani val ne mijenja predznak i da je znatan dio vala prenesen u drugi medij. Obje činjenice mogu se potvrditi relacijama za transmisiju (3.11) i refleksiju zvuka (3.10). Koristeći navedene relacije vrši se proračun koeficijenta refleksije i transmisije za ovaj primjer. 69

70 gdje je: - akustička impedancija zraka - akustička impedancija vode [ ] [ ] (4.11) (4.12) (4.13) Gornji se rezultati mogu potvrditi razmatranjem rezultata mjerne sonde. Za potvrditi koeficijent refleksije koristi se mjerna sonda postavljena između izvora i granice medija Pobudni signal i signal mjerne sonde Pobudni signal Signal mjerne sonde Tlak [Pa] t [ms] Slika Pobudni signal i signal mjerne sonde 70

71 0.15 Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] X: Y: X: Y: Tlak [Pa] t [ms] Slika Incidentni i reflektirani val na mjerenoj sondi, pojava nefizikalnih refleksija Na slici 4.13 prikazan je tlak na mjernoj sondi. Usporedivši sa isječcima na slici 4.11 može se zaključiti da oko t=2 ms nailazi incidentni val, oko t=4ms val se reflektira od granice između dvaju medija gdje se dio vala reflektira natrag prema mjestu izvora, a dio se transmitira u drugi medij. Pri vremenu simulacije oko t=5.5 ms reflektirani val naiđe na mjerni čvor što se i vidi iz gornjeg prikaza. Također, vidi se da je reflektirani val istog predznaka kai i incidentni što upućuje na točnost koeficijenta refleksije. Na temelju vremena maksimuma amplituda tlaka incidentnog i reflektiranog vala može se provjeriti fizikalna ispravnost rezultata primjenom osnovnih fizikalnih zakona. U nastavku se vrši proračun brzine zvučnog vala u zraku uz poznate pozicije mjernog čvora i granice medija i vremena nailaska incidentnog i reflektiranog vala. [ ] [ ] (4.14) [ ] gdje je: - Pozicija mjernog čvora - Pozicija granice medija - Udaljenost između dvaju pozicija 71

72 [ ] [ ] (4.15) [ ] gdje je: - Vrijeme nailaska maksimuma incidentnog vala - Vrijeme nailaska maksimuma reflektiranog vala - Vremenska razlika između incidentnog i reflektiranog vala Val koji je prvi put prošao mjerni čvor mora prijeći udaljenost da bi došao do granice medija, a zatim da bi se ponovno vratio do mjernog čvora mora ponovno prijeći. Stoga je ukupni prijeđeni put. Brzina se određuje pomoću omjera prijeđenog puta i vremena. gdje je: - Izračunata brzina zvučnog vala u zraku [ ] (4.16) U odnosu na zadanu brzinu zvuka u zraku postoji greška između stvarne i numeričke brzine propagacije od 2,57 %. U nastavku ćemo proračunati smanjenje amplitude incidentnog i reflektiranog vala kao posljedica geometrijskog širenja. [ ] [ ] [ ] (4.17) gdje je: - udaljenost između izvora i mjernog čvora - udaljenost između izvora i granice medija - prijeđeni put incidentnog i reflektiranog vala 72

73 [ ] (4.18) [ ] gdje je: - Vrijednost incidentnog tlaka na mjernoj sondi - Vrijednost incidentnog tlaka na granici medija - Vrijednost reflektiranog tlaka na mjernoj sondi Između teorijski dobivene vrijednosti amplitude reflektiranog zvučnog tlaka na mjernoj sondi i vrijednosti dobivene u simulaciji postoji greška od 0.73%. Također, može se primjetiti da je sam pobudni signal izobličen što je posljedica nakupljaanja energije u numeričkom prostoru. Znatno se veća pogreška dobiva ako se koristi derivirani Gaussov puls kao oblik pobudnog signala. Na slici 4.14 prikazan je tlak na mjernoj sondi kada je kao pobudni signal korišten derivirani Gaussov puls. U nastavku se proračunava teorijska vrijednost amplitude reflektiranog vala za taj slučaj. [ ] (4.19) [ ] 73

74 0.15 Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] 0.1 X: Y: X: Y: Tlak [Pa] t [ms] Slika Derivirani Gaussov puls na mjernoj sondi. Pogreška u amplitudi Između teorijski dobivene vrijednosti amplitude reflektiranog zvučnog tlaka na mjernoj sondi i vrijednosti dobivene u simulaciji postoji greška od 5.78%. Iako je postavljena vrijednost centralne frekvencije 1 khz, zbog različitog spektralnog sadržaja drugačije su definirani vremenski i prostorni inkrement posljedica čega su i drugačije dimenzije prostora i drugačije vrijeme konvergencije nakupljene energije u prostoru. Na slikama 4.11, 4.12, 4.13 i 4.14 može se primjetiti da dolazi do refleksija kada reflektirani vali naiđe na mjesto izvora. Riječ je o nefizikalnim refleksijama uzrokovanim implementacijom izvora pobude kao tvrdi izvor. Više o ovoj pojavi biti će u nastavku primjera nakon što se razmotre ostali mogući slučajevi refleksije i transmisije. Nakon koeficijenta refleksije valja provjeriti valjanost koeficijenta transmisije za slučaj kada je izvor pobude u zraku. Ponovit će se simulacija sa jednakim parametrima uz razliku što će koordinate mjerne sonde biti unutar vode. Mjerna je sonda postavljena za 30 prostornih inkrementa unutar vode. Pošto valna duljina i brzina vala ovise o vrsti medija, ne može se odrediti valjanost koeficijenta transmisije na temelju utjecaja geometrijskog širenja [39]. Problem je u tome što širenje zvučnog vala prestaje biti sferičnog oblika nakon nailaska na medij različit u odnosu na medij gdje se nalazi izvor pobude i ne može se primjeniti relacija (3.12). 74

75 Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] X: Y: Tlak [Pa] t [ms] Slika Tvrdi izvor pobude u zraku i mjerna sonda u vodi, određivanje koeficijenta transmisije Usporedbom slike (4.15) i izračuna amplitude tlaka na granici medija (4.18) može se primjetiti da je koeficijent transmisije veći od jedan, no izračun na temelju utjecaja geometrijskog širenja daje pogrešku od 43% što ukazuje na pogrešnu metodu određivanja koeficijenta transmisije Ponašanje vala na granici dvaju medija s tvrdim izvorom pobude u mediju veće gustoće U slučaju kada se pobudni signal nalazi u mediju veće akustičke impedancije mijenjaju se vrijednosti koeficijenta refleksije i transmisije. (4.20) 75

76 (4.21) Iz gornjih se rezultata može zaključiti da pri prijelazu zvučnog signala iz medija veće akustičke impedancije u medij znatno manje akustičke impedancije dolazi do refleksije negativnog predznaka i zanemarive transmisije. Ponavlja se simulacija sa jednakim parametrima kao i u slučaju kada se izvor pobude nalazi u mediju manje gustoće uz promjenu koordinata pobudnog signala i mjerne sonde. X koordinata izvora (broj prostornih inkremenata): 80 Y koordinata izvora (broj prostornih inkremenata): 140 X koordinata mjerne sonde (broj prostornih inkremenata): 80 Y koordinata mjerne sonde (broj prostornih inkremenata): Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] Tlak [Pa] t [ms] Slika Signal na mjernoj sondi unutar vode, preklapanje incidentnog i reflektiranog vala 76

77 Pošto se kao pobudni signal koristi Rickerov valić čiji je oblik u vremenskoj domeni prikazan slikom 3.13, iz slike 4.16 može se zaključiti da dolazi do preklapanja između incidentnog i reflektiranog vala.do preklapanja dolazi iz razloga što je veća valna duljina u vodi u odnosu na zrak. Stoga se ponavlja simulacija, dimenzije prostora se povećaju na 320 ćelija u smjeru X i 320 ćelija u smjeru Y. X koordinata izvora (broj prostornih inkremenata): 160 Y koordinata izvora (broj prostornih inkremenata): 280 X koordinata mjerne sonde (broj prostornih inkremenata): 160 Y koordinata mjerne sonde (broj prostornih inkremenata): 220 Slikovito opisano, Rickerov se valić sastoji od jednog brijega veće amplitude i dva dola manje amplitude. Imajući to na umu, na slici 4.17 se može razaznati incidentni i reflektirani val. Rezultat mjerne sonde ukazuje na točnost izraza 4.20 pošto je vidljivo da je reflektirani val negativnog predznaka Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] X: 1.94 Y: Tlak [Pa] X: Y: t [ms] Slika Incidentni i reflektirani val na mjernoj sondi unutar vode, negativni predznak koeficijenta refleksije i pojava nefizikalnih refleksija uslijed uporabe tvrdog izvora 77

78 U svrhu validacije dobivenih rezultata simulacije, utvrđuje se točnost opadanja amplitude uslijed geometrijskog širenja. [ ] (4.22) [ ] gdje je: - Vrijednost incidentnog tlaka na mjernoj sondi - Vrijednost incidentnog tlaka na granici medija - Vrijednost reflektiranog tlaka na mjernoj sondi Između teorijske vrijednosti i simulacijom dobivene vrijednosti amplitude reflektiranog vala postoji razlika od 2.74 % što je u prihvatljivim granicama. Na slici 4.17 mogu se primjetiti oscilacije na mjernoj sondi nakon prolaska reflektiranog vala. Riječ je o nefizikalnim refleksijama uzrokovanim nailaskom reflektiranog vala na tvrdi izvor. Prema izrazu za transmisiju iz medija veće akustičke impedancije u medij manje akustičke impedancije očekuje se zanemariva vrijednost transmisije. Za tu je provjeru postavljena mjerna sonda izvan vode, a pobudni signal je unutar vode. X koordinata izvora: 160 Y koordinata izvora: 280 X koordinata mjerne sonde: 160 Y koordinata mjerne sonde: 100 Iz slike 4.18 može se zaključiti da koeficijent transmisije zanemarive vrijednosti i pozitivnog predznaka, čime je potvrđen izraz (4.21). Valja primjetiti da su vrijednosti tlaka na slici 4.18 u, dok je amplituda tlaka za reflektirani val izražena u Pa. 78

79 60 Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] Tlak [ Pa] t [ms] Slika Signal na mjernoj sondi izvan vode, amplituda zvučnog tlaka zanemariva Jedan od nedostataka numeričkih simulacija propagacije zvučnog vala u nehomogenom mediju gdje je znatna razlika između akustičkih impedancija medija je vrijeme izvršavanja simulacije. Razlog tomu je velika razlika u brzinama zvučnog vala. Nominalna se brzina izvršavanja simulacije prilagodi najvećoj brzini propagacije zvučnog vala, dok su sve ostale brzine propagacije usporene što čini simulaciju dugotrajnijom. Tablica 4.2. Vrijeme izvršavanja simulacije za nehomogeni medij Dimenzije prostora Vrijeme izvršavanja [min:s] 7:49 15:53 Na slici (4.19) dati su isječci video prikaza propagacije zvučnog tlaka za slučaj kada je izvor pobude unutar vode. Promatrajući isječke može se zaključiti da je skoro sva energija zvučnog tlaka reflektirana od granice medija i da je transmisija zvučnog tlaka iz vode u zrak zanemariva. Također se može primjetiti da dolazi do nefizikalnih refleksija u trenutku t=4.13 ms, tj. pri nailasku reflektiranog vala na tvrdi izvor. 79

80 Slika Ponašanje vala na granici zraka i vode s tvrdim izvorom pobude i mjernom sondom u vodi (crta prikazuje granicu između zraka i vode) 80

81 4.3.3 Uklanjanje nefizikalnih refleksija uporabom mekog izvora pobude Kako bi se uklonio utjecaj nefizikalnih refleksija pri nailasku reflektiranog vala na tvrdi izvor primjenjuje se meki izvor. Meki se izvor implementira prema izrazu (3.63) za trodimenzionalni prostor. Pošto je u ovom primjeru prostor dvodimenzionalan, za implementaciju mekog izvora vrši se modifikacija izraza (3.63). [ ] (4.23) Implementacija mekog izvora u Matlab prikazana je u nastavku. Valja obratiti pozornost kako je implementiran zadnji član u izrazu (4.23). p(is,js) =(p(is+1,js)+p(is-1,js)+p(is,js+1)+p(is,js-1))/2+ps(q)- pbuff(is,js); pbuff(is,js)=p(is,js); Usporedba zadanog i dobivenog pobudnog tlaka Dobiveni zvučni tlak Zadani zvučni tlak Tlak [Pa] Slika t [ms] Razlika između zadanog i dobivenog pobudnog signala, nedostatak uporabe mekog izvora Na slici 4.20 može se primjetiti nedostatak uporabe mekog izvora. Pošto je meki izor nadodan u FDTD mrežu, okolni čvorovi utječu na njegov oblik te dolazi do razlike između zadanog i 81

82 dobivenog pobudnog tlaka. No ista slika prikazuje i prednost korištenja mekog izvora. Nakon vremena t=6 ms na mjesto izvora dolazi reflektirani val, što znači da meki izvor ne predstavlja prepreku nadolazećem valu i očekuju se značajno manje nefizikalne refleksije što je i potvrđeno slikom Na slici 4.21 prikazana je usporedba mekog i tvrdog izvora. Na slici se može vidjeti da prilikom korištenja tvrdog izvora pojavljuju nefizikalne refleksije na mjernoj sondi oko t=8ms, dok su pri korištenju mekog izvora nefizikalne refleksije smanjene približno 10 puta, odnosno smanjene za 20 db. Kod valova uzrokovanih mekim izvorom dolazi do greške u amplitudi što je posljedica utjecaja okolnih čvorova na pobudni signal Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] Meki izvor Tvrdi izvor 0.1 Tlak [Pa] t [ms] Slika Signal na mjernoj sondi u zraku, usporedba mekog i tvrdog izvora pobude koji se nalaze u zraku Na slici 4.22 prikazana je propagacija zvučnog tlaka pobuđenog pomoću mekog izvora. Uspoređujući sa propagacijom zvučnog tlaka pobuđenog tvrdim izvorom prikazanog slikom 4.11, može se primijetiti da su nefizikalne refleksije znatno smanjene. Ta se činjenica može primijetiti na slici 4.23 gdje je usporedba tvrdog i mekog izvora u trenutku nailaska reflektiranog vala na mjesto pobude. 82

83 Slika Ponašanje vala na granici zraka i vode s mekim izvorom pobude i mjernom sondom u zraku (crta prikazuje granicu između zraka i vode) Na slici 4.23 prikazan je trenutak nailaska reflektiranog vala na mjesto pobude za oba slučaja. Slika a) b) Usporedba utjecaja a) mekog i b) tvrdog izvora na reflektirani val 83

84 Uporaba mekog izvora isprobana je za slučaj kada je izvor unutar vode uz iste parametre kao i simulaciju sa tvrdim izvorom. Na slici 4.24 prikazana je propagacija zvučnog vala unutar vode koristeći meki izvor. Slika Ponašanje vala na granici zraka i vode s mekim izvorom pobude i mjernom sondom u vodi (crta prikazuje granicu između zraka i vode) 84

85 Uspoređujući sa slikom 4.19, može se primijetiti da je utjecaj nefizikalnih refleksija znatno uklonjen. Neznatne se oscilacije javljaju tek nakon izlaska reflektiranog vala iz numeričkog prostora što je posljedica nesavršenosti PML sloja. Rezultat mjerne sonde postavljene između izvora i granice medija prikazan je na slici Na istoj je slici prikazan i rezultat mjerne sonde za slučaj kada je korišten tvrdi izvor. Iz slike se vidi da su nefizikalne refleksije, koje se pojavljuju nakon vremena simulacije t=4 ms, smanjene za slučaj kada je korišten meki izvor Amplituda zvučnog tlaka na poziciji X= [m], Y= [m] Tvrdi izvor Meki izvor Tlak [Pa] t [ms] Slika Signal na mjernoj sondi u vodi, usporedba mekog i tvrdog izvora pobude koji se nalaze u vodi Usporedbom slika 4.21 i 4.25 se može primijetiti znatno veća pogreška u amplitudi na zvučnom tlaku uzrokovanom mekim izvorom u vodi u odnosu na slučaj kada se izvor nalazi u zraku tj. mediju manje akustičke impedancije. Time je potvrđena mana mekog izvora kao što je i raspravljeno na stranici 41. Također, kada se koristi meki izvor, primjećeno je brže iščezavanje energije iz numeričkog prostora. 85

86 4.4 Model realnog prostora Prethodnim su primjerima prikazana svojstva numerički modelirane propagacije akustičkog vala i validirana ispravnost koda na temelju fizikalnih zakonitosti u akustici. U ovom će se primjeru razmatrati uporaba koda za modeliranje akustičke propagacije u stvarnom prostoru. Modelirani je prostor zapravo betonski podrum površine 23 m 2 i visine 2.1 m, te sadrži dva ulaza. Tlocrt prostora sa označenim PML slojem prikazan je na slici Pošto postoji velika razlika u parametrima prostora, tj. zraka i betonskih zidova, izvršavanje će biti računalno zahtjevno. Stoga, MATLAB kod je modificiran na način da korisnik više nema mogućnost odabira, te se kao pobudni signal koristi Rickerov valić centralne frekvencije 300 Hz. Niska je frekvencija odabrana iz više razloga. Niža frekvencija omogućava uporabu veće vrijednosti prostornog inkrementa, čime je donekle smanjena komputacijska zahtjevnost izvršavanja simulacije. Također, većina komercijalnih zvučnika odašilju niske frekvencije jednoliko u svim smjerovima, dok za visoke frekvencije to nije slučaj [40]. U numeričkom modelu svaki je pobudni signal izotropan, tj. nema usmjerenosti bez obzira na frekvenciju. Time je za buduće radove omogućena uporaba komercijalnih zvučnika za potrebe testiranja propagacije zvuka u stvarnom prostoru. Slika Numerički model stvarnog prostora, iscrtkana linija označava granicu PML rubnog sloja 86

87 Valja primijetiti da je između modeliranog prostora i PML sloja dodan sloj sa parametrima slobodnog prostora. Iz primjera 4.3 poznato je da parametri PML-a ovise o parametrima medija sa kojime dijele granicu. Postavljanjem sloja sa parametrima slobodnog prostora između numeričkog modela podruma i PML sloja znatno je olakšana implementacija PML-a. U suprotnom bi dio PML sloja trebalo definirati za beton, a dio za slobodni prostor. Redoslijed izvršavanja programa jednim se dijelom razlikuje u odnosu na prethodne primjere, pošto je bitno da dimenzije numeričkog modela prostora odgovaraju stvarnim dimenzijama prostora što u prethodnim primjerima nije bio uvjet. U početnim parametrima definiraju se parametri svih medija prisutnih u numeričkom prostoru, što su za ovaj slučaj zrak i beton. Zatim se određuje prostorni i vremenski inkrement na temelju zadane frekvencije i parametara medija. Kako bi se odredio ukupan broj prostornih inkremenata u svim smjerovima, potrebno je prethodno poznavati širinu PML sloja i zračnog sloja između PML-a i numerički modelirane prostorije. Ukupan broj prostornih inkremenata određuje se pomoću relacije (4.24). ( ) (4.24) gdje je: - ukupan broj prostornih inkrementa u smjeru - ukupan broj prostornih inkrementa u smjeru - ukupan broj prostornih inkrementa u smjeru - debljina zračnog sloja između PML-a i numeričkog modela prostora u smjeru - debljina zračnog sloja između PML-a i numeričkog modela prostora u smjeru - debljina zračnog sloja između PML-a i numeričkog modela prostora u smjeru - debljina PML sloja Nakon što su poznate dimenzije numeričkog prostora, definira se PML sloj. Također, definiraju se parametri medija u numeričkom prostoru na temelju poznatih podataka o prostoru. Postoji više načina kako modelirati realni prostor. U ovom slučaju prostor je modeliran na način da je u prvom koraku definirana kocka sa vanjskim dimenzijama stvarnog prostora i parametrima betona. Zatim je unutar te kocke definirana kocka sa dimenzijama manjim od prethodne za debljinu zidova i parametrima slobodnog prostora. Nakon toga definira se kut u prostoriji i dvojim vratima kao što je i prikazano na slici

88 4.4.1 Rezultati simulacija Kako bi se prikazala propagacija vala u horizontalnom i vertikalnom smjeru, pomoću MATLAB funkcije slice prikazani su horizontalni i vertikalni presjek prostora na mjestu pobudnoga signala. Slika Propagacija zvučnog vala u numerički modeliranom prostoru realnih dimenzija, amplituda tlaka prikazana bojama. 88