NAPREDNO NUMERIČKO MODELIRANJE SLOŽENIH TANKOŽIČANIH STRUKTURA U ELEKTROMAGNETIZMU

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Damir Čavka NAPREDNO NUMERIČKO MODELIRANJE SLOŽENIH TANKOŽIČANIH STRUKTURA U ELEKTROMAGNETIZMU DOKTORSKA DISERTACIJA Split,.

2 SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Damir Čavka Napredno numeričko modeliranje složenih tankožičanih struktura u elektromagnetizmu DOKTORSKA DISERTACIJA Split,.

3 IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODACI Doktorska disertacija je izrađena na Zavodu za elektroniku, Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu Mentor: dr.sc. Dragan Poljak, red.prof. Rad br. 66 ii

4 PODACI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE Povjerenstvo za ocjenu doktroske disertacije:. Dr. sc. Antonio Šarolić, izv.prof., predsjednik (FESB, Split). Dr. sc. Dragan Poljak, red. prof., mentor (FESB, Split) 3. Dr. sc. Siniša Antonijević, doc., član (PMF, Split) Povjerenstvo za obranu doktroske disertacije:. Dr. sc. Antonio Šarolić, izv.prof., predsjednik (FESB, Split). Dr. sc. Dragan Poljak, red. prof., mentor (FESB, Split) 3. Dr. sc. Siniša Antonijević, doc., član (PMF, Split) 4. Dr. sc. Ivica Poljak, izv. prof., član (FESB, Split) 5. Dr. sc. Ranko Goić, doc., član (FESB, Split) Disertacija obranjena dana: 7.srpnja. iii

5 SAŽETAK U ovom radu razvijen je napredni elektromagnetski model za analizu složenih tankožičanih struktura primjenom teorije antena u frekvencijskom području. Model se temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa za složene žičane strukture iznad ili unutar konačno vodljivog poluprostora. Utjecaj granice uzet je u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala. Ovako formuliran sustav integro-diferencijalnih jednadžbi je riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne metode rubnih elemenata (GBIMRE) uz korištenje dvočvornih i tročvornih izoparametarskih rubnih elemenata. Implementirani su koncepti kružnog magnetskog prstena i kružne magnetske antene kao naponski upravljanih pobuda složenih žičanih struktura koje se mogu postaviti i na otvoreni kraj žice. U okviru analize parametara zračečih i raspršnih žičanih struktura detaljno je analiziran proračun napona između bilo koje dvije točke homogenog poluprostora, uslijed struja induciranih duž složene žičane strukture. Na temelju Poynting-ovog teorema i GBIMRE-a razvijen je efikasan postupak proračuna uprosječene izračene snage složene žičane konfiguracije. Na koncu je detaljno proučen koncept ulazne impedancije, te su na temelju prethodne analize razvijeni različiti postupci proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude. KLJUČNE RIJEČI: teorija žičanih antena, Galerkin-Bubnovljeva indirektna metoda rubnih elemenata, elektromagnetizam, kružni magnetski prsten, kružna magnetska antena, ulazna impedancija, antena, uzemljivač, kanal groma, prijenosna linija. iv

6 ABSTRACT This work deals with an advanced numerical modeling of arbitrary thin wire structures in electromagnetics using antenna theory in the frequency domain. The model is based on the set of coupled integro-differential equations of Pocklington type for arbitrary thin wire structure above or below lossy halfspace, respectively. The interface effects are taken into account through the exact Sommerfeld integral formulation. The corresponding set of Pocklington integro-differential equations, are numerically handled via the Galerkin- Bubnov variant of the indirect Boundary Element Method (GB-IBEM) featuring the use of isoparametric linear and quadratic elements for the current distribution approximation. The concepts of magnetic frill and magnetic ring antenna as voltage-controlled excitations that can be placed on the open end of wire are presented. Within the analysis of the radiated and scattered parameters of wire structures, a detail analysis of voltage, due to the current flowing along a complex wire structure, is carried out. Also, on the basis of the Poynting theorem and GB-IBEM a simple method for calculating the average radiated power of the complex wire system is developed. Finally, based on previous inquiry, a detail analysis of the input impedance is presented along with various techniques for calculating the input impedance. KEYWORDS: wire antenna theory, Galerkin-Bubnov indirect boundary element method, electromagnetics, magnetic frill, magnetic ring antenna, input impedance, antenna, grounding systems, lightning channel, transmission line. v

7

8 Svima koji su na bilo koji način doprinijeli nastanku ove disertacije: I can no other answer make, but, thanks, and thanks. William Shakespeare If we want to solve a problem that we have never solved before, we must leave the door to the unknown ajar. Richard Feynman vii

9 SADRŽAJ POPIS TABLICA...x POPIS SLIKA...xi. UVOD..... Dosadašnja istraživanja Ciljevi i organizacija disertacije Znanstveni doprinos...9. FORMULACIJA..... Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi..... Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika Modeliranje pobude Idealni naponski izvor Idealni strujni izvor Upadno električno polje ravnog vala Modeliranje površinske impedancije Proračun električnog i magnetskog polja Proračun električnog polja Proračun magnetskog polja NUMERIČKO RJEŠENJE Numeričko rješenje skupa spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi Izvod nejake formulacije Primjena rubnih elemenata Proračun električnog polja Proračun magnetskog polja Numerički primjeri Primjer Dvije kružne antene Primjer - Dalekovod Primjer 3 Mrežasti uzemljivač KONCEPT KRUŽNOG MAGNETSKOG PRSTENA I JEDNOSTAVNE MAGNETSKE KRUŽNE ANTENE Koncept kružnog magnetskog prstena...69 viii

10 4.. Koncept jednostavne magnetske kružne antene Veza između jednostavnog naponskog izvora i jednostavne magnetske kružne antene Numeričko rješenje i primjeri Predajna antena Uzemljivač Model povratnog udara u kanalu groma PARAMETRI ZRAČEĆE I/ILI RASPRŠNE ŽIČANE STRUKTURE Proračun napona Proračun izračene snage Energija i snaga elektromagnetskih valova Vremenski harmonijska EM polja Uprosječena snaga antene Proračun uprosječene snage sustava žica Proračun ulazne impedancije Numerički primjeri Proračun napona Jednostavni uzemljivač Složeni uzemljivač Proračun ulazne impedancije Uzemljivač Predajna antena ZAKLJUČAK LITERATURA...8 PRILOG A FOURIER-OVA TRANSFORMACIJA...87 A.. Kontinuirana Fourier-ova transformacija...87 A.. Diskretna Fourier-ova transformacija...88 A.3. Približna Fourier-ova transformacija...9 A.4. Numerički primjeri...94 A.5. Literatura...5 PRILOG B NUMERIČKO RJEŠAVANJE SOMMERFELD ovih INTEGRALA..6 B.. Literatura... PRILOG C MATEMATIČKI DOKAZ... ix

11 POPIS TABLICA Tablica 4. Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude...84 Tablica 4. Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača...9 Tablica 5. Sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije...43 x

12 POPIS SLIKA Slika. Žica proizvoljnog oblika u homogenom prostoru...3 Slika. Žica proizvoljnog oblika iznad granice dvaju homogenih poluprostora...6 Slika.3 Napajanje dipol antene idealnim naponskim izvorom... Slika.4 Idealni strujni izvor... Slika.5 Upadni, reflektirani i transmitirani val...3 Slika.6 Tanka žica s tankim dielektričnim izolatorom...8 Slika 3. Linearni izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata...4 Slika 3. Kvadrtični izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata...4 Slika 3.3 Konfiguracija kružnih antena...5 Slika 3.4 Konfiguracija kružnih antena...5 Slika 3.5 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji...5 Slika 3.6 Raspodjela struje duž pasivne antene u konfiguraciji...53 Slika 3.7 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji...53 Slika 3.8 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji za različiti broj linearnih elemenata...54 Slika 3.9 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji za različiti broj kvadratičnih elemenata...55 Slika 3. Razmještaj vodiča dalekovoda...56 Slika 3. Raspodjela struje na prvom vodiču...56 Slika 3. Raspodjela struje na drugom vodiču...57 Slika 3.3 Raspodjela struje na trećem vodiču...57 Slika 3.4 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču...58 Slika 3.5 Raspodjela struje na prvom vodiču...59 Slika 3.6 Raspodjela struje na drugom vodiču...59 Slika 3.7 Raspodjela struje na trećem vodiču...6 Slika 3.8 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču...6 Slika 3.9 Raspodjela struje na prvom vodiču sa ili bez provjesa...6 Slika 3. Raspodjela struje na drugom vodiču sa ili bez provjesa...6 Slika 3. Raspodjela struje na trećem vodiču sa ili bez provjesa...6 Slika 3. Raspodjela struje na zaštitnom vodiču sa ili bez provjesa...6 Slika 3.3 Postotna greška apsolutnog iznosa struje ukoliko se zanemari provjes...63 xi

13 Slika 3.4 Geometrija mrežastog uzemljivača...64 Slika 3.5 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (5Hz centralna pobuda)...64 Slika 3.6 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (5Hz centralna pobuda)...65 Slika 3.7 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (.5MHz centralna pobuda)...65 Slika 3.8 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (.5MHz centralna pobuda)...66 Slika 3.9 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (.5MHz kutna pobuda)...66 Slika 3.3 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (.5MHz kutna pobuda)...67 Slika 3.3 Usporedba x komponente električnog polja na različitim frekvencijama...68 Slika 4. Monopol napajan koaksijalnom linijom i pripadajući magnetski prsten...7 Slika 4. Polje magnetskog prstena...77 Slika 4.3 Antena pobuđena jednostavnom magnetskom kružnom antenom...78 Slika 4.4 Polje kružne magnetske antene...8 Slika 4.5 Veza između jednostavnog naponskog izvora i magnetske antene...8 Slika 4.6 Usporedba vrijednosti vektora desne strane za različite pobude...85 Slika 4.7 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija)...86 Slika 4.8 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i parni broj elemenata)...86 Slika 4.9 Raspodjela struje za različite pobude (kvadratična aproksimacija)...87 Slika 4. Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i necentralno napajanje)...88 Slika 4. Ovisnost raspodjele struje o vanjskom radijusu magnetskog prstena b...89 Slika 4. Pobuda na otvorenom kraju žice...9 Slika 4.3 Usporedba normaliziranih vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača...9 Slika 4.4 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz...9 Slika 4.5 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz...9 Slika 4.6 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5kHz...93 Slika 4.7 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz...93 xii

14 Slika 4.8 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri MHz...94 Slika 4.9 Raspodjela struje na uzemljivaču od 5m za različite pobude pri 5kHz...95 Slika 4. Raspodjela struje na uzemljivaču od 5m za različite pobude pri 5MHz...95 Slika 4. Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija)...96 Slika 4. Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija)...96 Slika 4.3 Raspodjela struje na uzemljivaču od 5m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija)...97 Slika 4.4 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz i σ =. S / m...98 Slika 4.5 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz i σ =. S / m...98 Slika 4.6 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz i ε r = ; σ =. S / m...99 Slika 4.7 Model povratnog udara munje u kanalu groma a)model sa strujnim izvorom; b)model s magnetskom antenom... Slika 4.8 Valni oblik struje baze... Slika 4.9 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru km od baze za idealno vodljivi kanal (linearna i logaritamska skala)... Slika 4.3 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru km od baze za kanal s gubitcima (linearna i logaritamska skala)...3 Slika 4.3 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za idealno vodljivi kanal...4 Slika 4.3 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za kanal s gubitcima...5 Slika 4.33 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5m za idealno vodljivi kanal...6 Slika 4.34 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za idealno vodljivi kanal...6 Slika 4.35 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5m za kanal s gubitcima...7 Slika 4.36 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za kanal s gubitcima...8 Slika 5. Antena i ekvivalentni krug...37 Slika 5. Integracija pri proračunu ulaznog napona...4 Slika 5.3 Jednostavni horizontalni uzemljivač i profil proračuna...44 xiii

15 Slika 5.4 Napon na površini zemlje duž profila...45 Slika 5.5 Frekvencijski spektar ulaznog napona...46 Slika 5.6 Prostorno-vremenska ovisnost napona u odnosu na daleku zemlju na žicama mrežastog uzemljivača...47 Slika 5.7 Geometrija uzemljivača vjetroagregata...48 Slika 5.8 Strujni impuls u vremenu - logaritamska skala...49 Slika 5.9 Prostorno-vremenska ovisnost napona na površini zemlje iznad uzemljivača vjetroagregata uslijed udara munje...5 Slika 5. Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s BCINTZ...5 Slika 5. Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCINTZ...5 Slika 5. Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s BCMZ...53 Slika 5.3 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCMZ...53 Slika 5.4 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s BCPTZ...54 Slika 5.5 Tranzijentna impedancija uzemljivača proračunata s BCPTZ...54 Slika 5.6 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača proračunate s različitom metodama s elemenata...55 Slika 5.7 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim metodama s elemenata...55 Slika 5.8 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača proračunate s različitom metodama sa elemenata...56 Slika 5.9 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim metodama s elemenata...56 Slika 5. Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s MFZ...57 Slika 5. Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s MFPTZ...57 Slika 5. Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača proračunate s različitom metodama s elemenata...58 Slika 5.3 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim metodama s elemenata...58 xiv

16 Slika 5.4 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s MAZ...59 Slika 5.5 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača proračunata s MAPTZ...59 Slika 5.6 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije uzemljivača proračunate s različitom metodama uz aproksimaciju s elemenata...6 Slika 5.7 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača proračunate s različitim metodama uz aproksimaciju s elemenata...6 Slika 5.8 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od m proračunate s različitim metodama uz aproksimaciju s elemenata...6 Slika 5.9 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od m proračunate s različitim metodama uz aproksimaciju s elemenata...6 Slika 5.3 Usporedba tranzijentne impedancije uzemljivača od 5m proračunate s različitim metodama uz aproksimaciju s 5 elemenata...6 Slika 5.3 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ =.S/m i centralnu pobudu...63 Slika 5.3 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ =.S/m i kutnu pobudu...64 Slika 5.33 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ =.S/m i centralnu pobudu...64 Slika 5.34 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije uzemljivača za σ =.S/m i kutnu pobudu...65 Slika 5.35 Tranzijentna impedancija mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i mjesta pobude...66 Slika 5.36 Tranzijentni ulazni napon mrežastog uzemljivača za različite vodljivosti zemlje i mjesta pobude...66 Slika 5.37 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije dipola napajanog idealnim naponskim izvorom...67 Slika 5.38 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije...68 Slika 5.39 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite brojeve elemenata metodom MFZ...69 Slika 5.4 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite brojeve elemenata metodom MAPTZ...69 xv

17 Slika 5.4 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite pobude...7 Slika 5.4 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunata linearnim i kvadratičnim elementima...7 Slika 5.43 Složena antena...7 Slika 5.44 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije...73 Slika 5.45 Frekvencijska karakteristika ulazne impedancije proračunate za različite brojeve elemenata metodom MFPTZ...74 Slika 5.46 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate različitim metodama...74 Slika 5.47 Usporedba frekvencijske karakteristike ulazne impedancije proračunate različitim metodama...75 Slika A. Strujni impuls u vremenu...94 Slika A. Frekvencijski spektar strujnih impulsa...95 Slika A.3 Postotna razlika u amplitudi (.5/µs)...96 Slika A.4 Postotna razlika u amplitudi (/5µs)...97 Slika A.5 Postotna razlika u amplitudi za FFT (T=.s;T=s;T=s)...99 Slika A.6 IFT signala.5/µs... Slika A.7 Postotna greška približne IFT za.5/µs... Slika A.8 IFT signala /5µs... Slika A.9 Postotna greška približne IFT za /5µs...3 Slika A. Postotna greška FFT za.5/µs...4 Slika B. Kontura za proračun integrala s Bessel-ovom funkcijom...7 Slika B. Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom...9 Slika B.3 Kontura za proračun integrala s Hankel-ovom funkcijom i Re( k ) Im( k )... xvi

18 Uvod. UVOD Modeliranje složenih žičanih struktura predstavlja izuzetno važno područje istraživanja u elektromagnetizmu u zadnjih stotinjak godina, ne samo u teoriji i primjeni žičanih antena, već i u brojnim drugim primjenama u inženjerskoj praksi. Iako su tijekom posljednjih nekoliko desetljeća napravljeni značajni pomaci u modeliranju elekromagnetskih žičanih struktura, može se očekivati da će se brzi napredak u ovom području i u budućnosti nastaviti. Naime, modeliranje pruža mogućnost simulacije elektromagnetskog ponašanja sustava za širok raspon parametara koji uključuju različite početne i granične uvjete, tipove pobude kao i različite konfiguracije razmatranog sustava. Tu je važno imati na umu da je za modeliranje potrebno mnogo manje vremena i značajno manje financijskih sredstava nego što bi bilo potrebno da se napravi i testira prototip. Postoji nekoliko mogućih klasifikacija računalnih elektromagnetskih modela [],[]. S obzirom na teorijsku podlogu ti modeli se mogu podijeliti na: modele temeljene na teoriji krugova s koncentriranim električnim parametrima [3],[4]; modeli prijenosnih linija sa distribuiranim električnim parametrima, gdje se uzima u obzir elektromagnetska sprega na niskim frekvencijama [5] [8]; elektromagnetske modele temeljene na teoriji antena koji sadržavaju najmanje aproksimacija te direktno uzimaju u obzir i efekt zračenja [],[9] [4]. Općenito, modeli zasnovani na teoriji krugova su najjednostavniji za implementaciju, pogotovo za složenije realne sustave, međutim s obzirom na karakter aproksimacija na kojima se temelje daju i najmanje točne rezultate. Modeli zasnovani na teoriji prijenosnih linija pogodni su za modeliranje velikog broja problema u EMC, ali su općenito ograničeni na duže žice, dok za vodiče kraćih duljina u pravilu ne daju zadovoljavajuće rezultate. Osnovni problem metode prijenosnih linija je zanemarenje efekta zračenja koji postaje značajan na višim frekvencijama (nekoliko MHz i više), tako da je njena primjena ograničena na niže frekvencije. Naposljetku, modeli temeljeni na teoriji antena sadrže najmanje aproksimacija, pa su slijedom toga i najtočniji. Cijena ove točnosti je relativna složenost matematičke formulacije kao i numeričkog rješenja. Ta složenost dovodi i do

19 Uvod razmjerno dugog vremena računanja posebno ako se radi o dugim i složenim konfiguracijama. Uzimajući u obzir različite karaktere izvora elektromagnetskih pojava, elektromagnetski modeli se mogu podijeliti na probleme kontinuiranog vala (eng. Continuous wave problems) i tranzijentne probleme. U skladu s tim metode rješavanja se mogu klasificirati kao frekvencijske ili vremenske [], []. Modeliranje u frekvencijskom području se uglavnom primjenjuje za više izvora ali na istoj frekvenciji, dok je kod modeliranja u vremenskom području riječ o jednom izvoru ali u čitavom frekvencijskom spektru []. U načelu je moguća transformacija iz jednog područja u drugo, najčešće u vidu Fourierove transformacije, ali ponekad ta transformacija nije moguća ili je pak jako teško izvediva, posebice za visokorezonatne strukture. Kriterij odabira između ova dva pristupa isključivo ovisi o tipu razmatranog problema i nije jednoznačno određen. Generalno se može kazati da []: vremenski pristup daje bolji uvid u fizikalnu pozadinu problema, iako se rezonatne karakteristike isključivo vide u frekvencijskom spektru; nelinearnosti se lakše modeliraju u vremenskom području; formulacija u frekvencijskom području je relativno jednostavnija, što omogućuje lakšu analizu složenijih struktura; za složene strukture dugo vrijeme računanja postaje ozbiljan problem za tehnike u vremenskom području; rezultati u vremenskom području pate od problema nestabilnosti puno više nego u frekvencijskom području. Jedna od bitnih prednosti frekvencijskog pristupa je ta što su sve norme u području elektromagnetizma i elektromagnetske kompatibilnosti specificirane u frekvencijskom području, te je potrebna precizna informacija u frekvencijskom području. Zbog jednostavnije formulacije robusni kodovi, zasnovani na metodama u frekvencijskom području, široko su rasprostranjeni na tržištu. Naime, efikasna formulacija u frekvencijskom području se može uspješno koristiti za mnoge aplikacije od stacionarnih do tranzijentnih.

20 Uvod Postavljeni modeli se mogu rješavati analitičkim i/ili numeričkim metodama. Općeniti odnos između analitičkih i numeričkih metoda se može opisati kao []: analitičke metode omogućavaju egzaktno rješenje, ali su ograničene na uski pojas primjena uglavnom vezanih za jednostavne geometrije s visokim stupnjem simetrije; numeričke metode su primjenljive na gotovo sve znanstvene i tehničke probleme, ali daju približne rezultate (do određenog stupnja), koji najčešće ovise o samom modelu i prostorno i/ili vremenskoj diskretizaciji. Osnovni je problem vrednovanje dobivenih numeričkih rezultata, kao i nerijetko dobivanje tvz. nefizikalnih (lažnih) rješenja. Najčešće korištene analitičke metode u elektromagnetizmu su: separacija varijabli, razvoji u redove, konformna preslikavanja, integralne transformacije []. S druge strane najčešće korištene numeričke metode u elektromagnetizmu su: metoda konačnih diferencija (MKD), metoda konačnih elemenata (MKE), metoda rubnih elemenata (MRE) i metoda momenata (MM). MKD i MKE spadaju u metode diskretizacije domene i načelno se koriste za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. MRE je metoda diskretizacije granice, a poznate su dvije inačice: direktna i indirektna. Direktni pristup se izvodi preko koncepta polja (diferencijalni pristup) i to kada su izvori polja poznati, dok je indirektni pristup vezan za integraciju po nepoznatim izvorima duž granice (integralni pristup). Indirektna inačica metode rubnih elemenata se uz metodu momenata najčešće koristi za rješavanje integralnih i integro-diferencijalnih jednadžbi u elektromagnetizmu. Modeliranje složenih tankožičanih struktura u elektromagnetizmu je jako složeno područje koje konstantno zaokuplja pažnju znanstvenika i istraživača diljem svijeta. Ono zahtjeva izuzetno poznavanje kompleksnih elektromagnetskih pojava u prirodi, elektromagnetske teorije, te numeričkih alata koji se koriste za rješavanje tih problema. Da bi se obuhvatio što veći skup problema, u ovom radu će se koristiti najopćenitiji pristup preko teorije antena, budući da sami model unosi najmanje aproksimacija te stoga dovodi do najveće točnosti. Pri odabiru domene logičan izbor pada na frekvencijsko područje, jer je direktno vremensko modeliranje složenih struktura primjenom teorije antena neusporedivo složenije i ograničeno na određeni skup parametara []. Iako na tržištu te u znanstvenoj i stručnoj literaturi postoji mnoštvo robusnih i dobrih kodova, postoje određeni 3

21 Uvod problemi koji još uvijek nisu riješeni na zadovoljavajući način, o čemu će više biti riječi u nastavku teksta. Pri odabiru metodologije rješavanja, jedini izbor pada na numeričke metode budući da su analitičke metode primjenjive samo na jednostavnije geometrije s visokim stupnjem simetrije... Dosadašnja istraživanja Može se kazati da je modeliranje elektromagnetskih pojava započelo kad je James Clerk Maxwell formulirao svoje jednadžbe elektrodinamike sredinom 9. stoljeća [5]. Od tada do danas objavljeno je nebrojeno radova i istraživanja iz širokog područja elektromagnetizma. Zbog toga će se u ovom radu izložiti samo kratki pregled dijela radova usko vezanih uz temu doktorske disertacije, a tiču se modeliranja tankožičanih struktura u elektromagnetizmu, i to u frekvencijskom području. Razvoj modela počinje s formuliranjem integro-diferencijalne jednadžbe, u frekvencijskom području, za struju koja protječe ravnom tanko-žičanom antenom, tvz. Pocklington-ove jednadžbe koju je istoimeni autor izveo krajem 9. stoljeća [6]. Henry C. Pocklington je također u tom radu predstavio i prvo približno rješenje postavljene jednadžbe. Veliki korak naprijed u tridesetim godinama. stoljeća ostvario je Erik Hallen koji je iz Pocklington-ove jednadžbe izveo novi tip jednadžbe strogo vezan za tanko-žičane strukture. Numeričko modeliranje žičanih struktura u frekvencijskom području je započelo šezdesetih godina prošlog stoljeća radom K. K. Mei-a [7]. U radu su izvedene određene varijante Pocklington-ove i Hallen-ove jednadžbe, te predložene numeričke metode njihovog rješavanja. Danas se te metode nazivaju kolokacijom u točkama, ili podešavanjem u točkama (eng. point matching). Također iz tog doba valja izdvojiti i radove Harrington-a [8]-[] koji je postavio temelje suvremene metode momenata. Značajni doprinosi numeričkom rješavanju spomenutih jednadžbi ostvareni su sedamdesetih godina radovima Silvester-a i Chen-a [], [3] koji su predložili tzv. jaku formulaciju konačnim elementima, dok su Butler i Wilton [4], [5] predložili nekoliko tehnika metode momenata za rješavanje Pocklington-ove i Hallen-ove jednadžbe. U posljednjih petnaestak godina metoda rubnih elemenata često se koristi za rješavanje problema u elektromagnetizmu [6]. Galerkin-Bubnovljeva inačica indirektne metode rubnih elemenata - GBIMRE (eng. Galerkin-Bubnov Indirect Boundary Element Method GB-IBEM) predstavljena u [7] postala je vrlo prikladna metoda rješavanja integralnih i 4

22 Uvod integro-diferencijalnih jednadžbi kombinacijom klasičnih rubnih metoda rješavanja integralnih jednadžbi i nekih numeričkih procedura proizašlih iz metode konačnih elemenata. Naime, do tada integro-diferencijalne jednadžbe za tanke žice su se uglavnom rješavale pomoću tvz. projektivnih metoda []-[3] često zvanih jakim formulacijama. Pri tome se javlja problem kvazisingularnosti Green-ove funkcije [4], [5]. Primjenom GBIMRE-a taj problem se eliminira te se dobiva tzv. nejaka formulacija. Usprkos mnogim metodama koje se danas koriste u modeliranju elektromagnetskih pojava, nema definitivnog odgovora na pitanje koja je metoda općenito najbolja. Primat koji se daje određenoj metodi ovisi o fizikalno-matematičkim aspektima formulacije promatranog problema. Ipak, metoda momenata je najraširenija i najprihvaćenija metoda za rješavanje problema formuliranih integralnim jednadžbama [8]. Izvrstan pregled numeričkih metoda korištenih u računalnom elektromagnetizmu do kraja 8-tih godina. stoljeća se može pronaći u [9]. Osim u pogledu numeričke metodologije rješavanja, značajni doprinosi su ostvareni i u samoj formulaciji. Najznačajniji napredak se odnosi na proširenje originalne Pocklingtonove formulacije na problem koji uključuje konačno vodljivi poluprostor [3]-[34]. Od važnijih primjena teorije tankožičanih antena u elektromagnetizmu valja izdvojiti: antene i antenski nizovi iznad ili ispod zemlje [], []; prijenosne linije iznad (zračni vodovi) [], [7], [7] i ispod (kabeli) zemlje [8], [35], [36]; sustavi za zaštitu od udara groma, od gromobrana do uzemljivača [4], [37]-[39]; kanal groma [3], [4], izloženost ljudi elektromagnetskom zračenju []. Analiza žičanih antena primjenom integralnih jednadžbi i pripadajuća primjena u elektromagnetizmu je pregledno izložena i objašnjena u []... Ciljevi i organizacija disertacije U ovoj doktorskoj disertaciji razvijen je napredni model za analizu složenih žičanih struktura u elektromagnetizmu primjenom teorije antena i tankožičane aproksimacije u frekvencijskom području. Model se temelji na sustavu spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za složene žičane strukture iznad ili unutar konačno vodljivog poluprostora. Utjecaj granice poluprostora uzet je u obzir preko Somerfeld-ovih integrala. Kao numerički alat za rješavanje ovako izvedenog sustava integro- 5

23 Uvod digerencijalnih jednadžbi po prvi put je upotrebljena Galerkin-Bubnovljeva inačica indirektne metode rubnih elemenata. U prvoj fazi kao pobuda se koristi već dobro poznati izvori poput idealnog naponskog izvora, korištenog u analizi antena, idealnog strujnog izvora, najčešće korištenog u analizi sustava za zaštitu od udara munje, te upadnog ravnog vala kao izvora elektromagnetske smetnje, a sve u svrhu kvalitetnog testiranja predloženog modela. Valjanost tako dobivenih rezultata provjerena je usporedbom s rezultatima iz relevantne literature, najčešće dobivenim nekom od varijanti metode momenata, kao i usporedbom s rezultatima dobivenim komercijalnim softverima poput široko rasprostranjenog i opće prihvaćenog NEC-a (Numerical Electromagnetic Code) [4], također temeljenog na metodi momenata. Poznavanje na taj način proračunate raspodjele struje po proizvoljnoj žičanoj strukturi je osnova za proračun ostalih parametara od interesa. Ovisno o karakteru promatranog problema, ti parametri mogu biti izračeno električno i/ili magnetsko polje, napon u odnosu na udaljenu zemlju, uprosječena izračena snaga, ulazna impedancija i međuimpedancija. Za proračun izračenog polja koristi se izvorni sustav Pocklington-ovih jednadžbi za električno polje koji vrijedi za sve točke poluprostora. U svrhu što kvalitetnije analize proizvoljnih žičanih struktura, koncept kružnog magnetskog prstena, poznat i primijenjen jedino u analizi jednostavnih linearnih antena [], [4]-[44], primijenio se kao pobuda složene žičane strukture koji se. Za razliku od uobičajenih izvora naponske pobude, poput jednostavnog naponskog izvora (eng. delta gap) [9], magnetski prsten se može postaviti bilo gdje na žici, uključujući i otvoreni kraj žice, bez da izazove numeričke probleme i nestabilnosti predložene numeričke tehnike u vidu nefizikalnih rješenja. Na taj način se značajno proširila primjenjivost naponskih pobuda u simuliranju i modeliranju fizičkih procesa. Upotrebom kružnog magnetskog prstena se na jednostavan način može proračunati ulazna impedancija složene žičane strukture kao omjer napona i struje na mjestu pobude, bez obzira gdje se pobuda nalazila. Posebna pozornost se posvetila slučaju kada se pobuda nalazi na otvorenom kraju žice, što je čest slučaj u modeliranju kanala groma, gromobrana i uzemljivača, a do sada nije bio riješen na zadovoljavajući način. Na osnovu magnetskog prstena predstavljen je novi koncept naponske pobude žičanih struktura, temeljen na jednostavnoj kružnoj anteni kojom protječe magnetska struja, a koji se također može postaviti bilo gdje na žici bez da izazove numeričke nestabilnosti u primjenjenom numeričkom postupku. Slično kao u slučaju kružnog magnetskog prstena, na 6

24 Uvod jednostavan način je moguće proračunati ulaznu impedanciju, kao omjer napona i struje na mjestu pobude, bez obzira gdje se ta pobuda nalazila. Proračun napona između dviju točaka poluprostora se matematičkim i numeričkim postupcima pojednostavio i ubrzao tako da nije više potrebno provoditi zahtjevnu linijsku integraciju ukupnog električnog polja. Polazeći od Poynting-ovog teorema izveden je jednostavni postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne žičane strukture, pobuđene proizvoljnom pobudom, temeljen na Galerkin-Bubnovljovoj inačici indirektne metode rubnih elemenata. Pomoću tako proračunate snage zajedno s konceptom inducirane elektromotorne sile predstavljena je metoda za proračun ulazne impedancije, za razne vrste pobude, kao i položaja pobude, što uključuje i otvoreni kraj žice. Naposljetku je analiziran postupak proračuna ulazne impedancije složene tankožičane strukture, te je na osnovu prethodne analize predstavljeno nekoliko načina proračuna ulazne impedancije koji ovise o vrsti pobude te o primjeni modela. Rezultati predloženih postupaka uspoređeni su međusobno kao i sa rezultatima dostupnim u literaturi. Valja napomenuti da su svi izrazi i razmatranja općenitog karaktera, što znači da mogu biti primijenjeni na brojne probleme u elektromagnetizmu, uključujući antene i antenske nizove iznad ili ispod zemlje, prijenosne vodove i kabele, sustave za zaštitu od udara groma i sl. Konačno, u svrhu analize tranzijenata (prijelaznih pojava), spektari izračunatih vrijednosti u frekvencijskom području su se određenim oblikom Fourier-ove transformacije prebacili u vremensko područje. Doktorska disertacija je organizirana u šest poglavlja, uključujući uvod i zaključak, te tri priloga. U drugom poglavlju iznosi se detaljna matematička formulacija sustava Pocklingtonovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika u prisustvu granice vodljivog poluprostora, u frekvencijskom području. Pri tome se utjecaj granice dvaju poluprostora uzima u obzir rigorozno preko Sommerfeld-ovih integrala. Također su opisane tri osnovne vrste pobude korištene u analizi tankožičanih struktura: idealni naponski izvor, idealni strujni izvor i upadni ravni val. Numeričko rješenje sustava predstavljenog u drugom poglavlju tema je trećeg poglavlja. Numeričko rješenje se temelji na Galerkin-Bubnovljevoj inačici indirektne metode rubnih elemenata koja je po prvi puta korištena na ovako formuliran sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi. U okviru ovog poglavlja predstavljena 7

25 Uvod su tri primjera: dvije kružne antene, dalekovod i mrežasti uzemljivač, kojima je, usporedbom s rezultatima drugih metod,a pokazana točnost i valjanost predložene metodologije. Primjeri su odabrani na način da obuhvate što više pojmova i parametara obrađenih u drugom i trećem poglavlju: zakrivljenost žice, sve tri metode pobude, proračun električnog polja i sl. Četvrto poglavlje sadrži opis koncepta kružnog magnetskog prstena kao alternative jednostavnom naponskom izvoru pri pobudi žičane strukture. Na temelju tog koncepta izvodi se i predstavlja koncept kružne magnetske antene kao naponsko upravljane pobude složene žičane strukture. U okviru poglavlja se na ilustrativnim primjerima antene, uzemljivača i kanala groma pokazala opravdanost upotrebe kružnih magnetskih pobuda (prstena i antene), kao pobuda koje se mogu koristiti u mnogim aplikacijama, posebice u slučajevima kada se pobuda postavlja na otvoreni kraj žice. U petom poglavlju se opisuju i obrađuju određeni parametri zračeće i/ili raspršne strukture. Pri tome se prvenstveno misli na proračun napona, proračun uprosječene izračene snage i proračun ulazne impedancije. Kod proračuna napona matematičkim i numeričkim postupcima su izvedene relacije koje značajno olakšavaju i ubrzavaju proračun. U dijelu proračuna snage iz Poynting-ovog teorema, uz pomoć Galerkin- Bubnovljeve inačice indirektne metode rubnih elemenata, izvedena je jednostavna relacija za proračun uprosječene izračene snage složene žičane strukture, bez obzira na pobudu i mjesto pobude. U trećem dijelu petog poglavlja izložen je detaljni opis pojma ulazne impedancije, kao i opis četiri osnovna načina proračuna ulazne impedancije koji ovise prvenstveno o pobudi žičane strukture koja je usko vezana za primjenu. Proračuni ulazne impedancije se temelje na opisanom proračunu napona, izračene snage i numeričkom rješenju razrađenom u trećem poglavlju. Poglavlje pet, kao i poglavlja tri i četiri, završava s nizom ilustrativnih numeričkih primjera kojima se pokazuje valjanost i točnost prethodno opisanih postupaka. Konačno, šesto poglavlje donosi zaključna razmatranja zajedno sa smjernicama za daljnji rad. U okviru priloga A opisana je aproksimacija Fourier-ove transformacije koja se koristila u okviru ove disertacije pri analizi tranzijentnih pojava. Aproksimacija je temeljena na aproksimaciji funkcije Lagrange-ovim interpolacijskim polinomom kroz K točaka. Aproksimacija je testirana na primjeru signala korištenih u ovom radu, te je prezentirana detaljna analiza približnog rješenja u odnosu na analitičko te rješenje dobiveno klasičnim algoritmom brze Fourier-ove transformacije (FFT). 8

26 Uvod Prilog B donosi kratki opis numeričkog integriranja Sommerfeld-ovih integrala, dok prilog C prezentira dokaz jednog izraza korištenog pri numeričkom rješenju sustava Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi..3. Znanstveni doprinos Temeljni znanstveni doprinos ove doktorske disertacije je razvoj naprednog i cjelovitog modela za stacionarnu i tranzijentnu analizu složenih žičanih struktura u elektromagnetizmu, smještenih u homogeni poluprostor, temeljenog na teoriji žičanih antena. U okviru razvoja takvog modela ostvareni su slijedeći znanstveni doprinosi: Sustav spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi Pocklington-ovog tipa, za slučaj složene žičane strukture proizvoljnog oblika iznad ili unutar homogenog poluprostora, gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Sommerfeld-ovih integrala, po prvi puta je riješen Galerkin-Bubnovljevom inačicom indirektne metode rubnih elemenata, što je napredak u odnosu na dosadašnje radove, gdje je GBIMRE metodom tretirana jednostavnija konfiguracija proizvoljnih žica bez spoja 3 i više žica i gdje je utjecaj granice uzet u obzir preko Fresnelovih refleksijskih koeficijenata [45]. Koncept kružnog magnetskog prstena primijenjen je u vidu naponski upravljane pobude proizvoljne žičane strukture, koja se može postaviti bilo gdje na žicu, uključujući i otvoreni kraj žice, što do sada nikad nije napravljeno, čak ni za jednostavne žičane konfiguracije. Naime, kružni magnetski prsten je do sad isključivo upotrebljen kao naponski upravljana pobuda jednostavnih linearnih antena []. Predstavljen je koncept jednostavne kružne magnetske antene kao naponski upravljane pobude proizvoljne žičane strukture, koju je moguće postaviti bilo gdje na žicu, uključujući i otvoreni kraj žice. Valja napomenuti da koncept jednostavne magnetske kružne antene do sada nije korišten kao pobuda žičane strukture. Proračun napona između dvije točke homogenog poluprostora uslijed protjecanja struje složenom žičanom strukturom, sveden na integriranje 9

27 Uvod električnog polja, pojednostavljen je i uvelike ubrzan primjenom odgovarajućih matematičkih i numeričkih postupaka na originalni integral i izraz za električno polje definiran integro-diferencijalnom jednadžbom Pocklington-ovog tipa. Doprinos se očituje u tome što se u literaturi mogu pronaći slična cjelovita pojednostavljenja i ubrzanja samo za slučaj jednostavnih horizontalnih ili vertikalnih žica [46], [47]. Polazeći od Poynting-ovog teorema i korištenjem GBIMRE izveden je jednostavni postupak za proračun uprosječene izračene snage proizvoljne žičane strukture pobuđene danom pobudom. Sličan postupak se može pronaći u [48] i [49] ali je ograničen na ravne i paralelne žice iznad zemlje pobuđene jednostavnim naponskim izvorom na sredini žice. Doprinos se tako sastoji u poopćenju izvorne ideje na slučaj proizvoljne žičane strukture, bez obzira na pobudu i mjesto pobude; Daljnji doprinos rada je određivanje ulazne impedancije proizvoljne žičane strukture, neovisno o karakteru pobude iz dobivene uprosječene izračene snage poopćenjem koncepta inducirane elektromotorne sile (eng. Induced EMF method) [5]. Do sada se ovaj postupak koristio samo za jednostavne strukture sastavljene od ravnih i paralelnih žica, [48] [49], najčešće centralno napajane dipole. Na ovaj način postupak je poopćen i primjenjiv na brojne druge probleme. Također, u okviru određivanja ulazne impedancije razvili su se različiti postupci proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude, prvenstveno ukoliko se pobuda postavlja na otvorni kraj žice.

28 Formulacija. FORMULACIJA U ovom poglavlju se iznosi osnovni matematički model za analizu složenih žičanih struktura u elektromagnetizmu temeljen na teoriji tankožičanih antena u frekvencijskom području. Pri tome, tankožičanom aproksimacijom podrazumijeva se da je: radijus žice mnogo manji od najmanje valne duljine s kojom se ulazi u proračun; radijalne struje na krajevima i kružne struje oko osi žice su zanemarive, odnosno pretpostavlja se da postoje samo aksijalne struje po površini žice; promjene aksijalnih struja po poprečnom presjeku su zanemarive; površinska aksijalna struja zamjenjuje se linijskom strujom u osi cilindra, s tim da se u svim izrazima zadržava dimenzija poprečnog presjeka žice. Ova posljednja aproksimacija prema nekim autorima smatra se aproksimacijom tanke žice u užem smislu. U skladu s tim pretpostavkama, svojstva takve žičane strukture su u prvom redu određena aksijalnom raspodjelom struje po žicama. Te struje su određene sustavom spregnutih Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za žice proizvoljnog oblika. Ovaj sustav Pocklington-ovih jednadžbi može se izvesti iz Maxwell-ovih jednadžbi tako da se električno polje izrazi preko magnetskog vektorskog i električnog skalarnog potencijala uz primjenu Lorentz-ovog baždarnog uvjeta te zadovoljavanjem uvjeta za kontinuitet tangencijalnih komponenti električnog polja na površini žice. Sustav Pocklington-ovih jednadžbi za složenu žičanu strukturu jednostavno slijedi proširenjem Pocklington-ove integro-diferencijalne jednadžbe za jednu žicu proizvoljnog oblika iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora. Dakle, u svrhu postavljanja cjelovitog matematičkog modela za složenu žičanu strukturu iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora, najpogodnije je započeti sa jednostavnom konfiguracijom jedne proizvoljne žice u homogenom prostoru s gubicima. Takav se model, zatim, proširuje na homogeni poluprostor, tj. uzima se u obzir utjecaj granice dviju sredina. Naposljetku, model se generalizira na više proizvoljno postavljenih žica, iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora.

29 Formulacija.. Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi Polazeći od prve Maxwell-ove jednadžbe za harmonijski promjenljive vektore električnog i magnetskog polja []: xe = jωb (.) slijedi da se električno polje dade izraziti preko magnetskog vektorskog i električnog skalarnog potencijala: E = jω A ϕ (.) Primjenom Lorentz-ovog baždarnog uvjeta []: A + jωµε ϕ = eff (.3) raspršno električno polje može se izraziti isključivo pomoću vektorskog potencijala A : sct E = jω A + ( A) jωµε eff (.4) gdje je ε eff kompleksna permitivnost sredine: ε eff ε ε r j σ = (.5) ω pri čemu je ε r relativna permitivnost, σ vodljivost medija, a ω kružna frekvencija. Vektorski potencijal definira se partikularnim integralom []: A ( s µ ) I ( s ') g ( s, s ') s = ' ds ' π 4 C (.6)

30 Formulacija gdje je I(s ) inducirana struja uzduž žice, ( s ' f ( x ', y ', z ') s ' je jedinični vektor tangente u točci izvora = ) a g (, ') s s je odgovarajuća Green-ova funkcija za neograničeni medij s gubicima oblika: jkr e g( s, s ') = (.7) R gdje je k konstanta propagacije u mediju s gubicima: k = ω µ ε eff (.8) a R predstavlja udaljenost od točke izvora do točke promatranja ( s = f ( x, y, z) ) (slika.): ( ) ( ) ( ) R = x x ' + y y ' + z z ' + a (.9) Slika. Žica proizvoljnog oblika u homogenom prostoru Kombiniranjem jednadžbi (.4) do (.9), nakon određenih matematičkih postupaka, slijedi izraz za raspršno električno polje oblika: 3

31 Formulacija sct E = I s s k + g s s ds j4πωε eff C ' ( ') ' (, ') ' (.) Za slučaj konačno vodljive žice totalno tangencijalno polje koje se sastoji od pobudnog polja exc E i raspršnog polja sct E se može izraziti preko struje na žici I ( s ) i površinske impedancije po jedinici duljine žice Z S : s E + E = Z I s exc sct ( ) S ( ) (.) gdje s predstavlja jedinični vektor tangente u točci promatranja. Izraz i pojašnjenje koncepta površinske impedancije po jedinici duljine Z S izneseni su u poglavlju.4. U slučaju idealno vodljive žice totalno polje na površini žice iščezava, tj. jednadžba (.) poprima jednostavniji oblik: s E + E = exc sct ( ) (.) Uvrštavanjem izraza za raspršno polje (.) u jednadžbu (.) slijedi Pocklington-ova integro-diferencijalna jednadžba po nepoznatoj raspodjeli struje duž konačno vodljive žice u homogenom mediju s gubicima: E ( s) = I ( s ') s s ' k + g ( s, s ') ds ' + Z I( s) exc tan j4πωε eff C ' S (.3) exc gdje je E ( ) tan s tangencijalna komponenta pobudnog polja. Integralna jednadžba za neograničeni medij (.3) može se proširiti na slučaj žice proizvoljnog oblika smještene u blizini granice dviju homogenih sredina modificiranjem jezgre integralne jednadžbe na način da se uzme u obzir polje reflektirano od granice sredina. Mada postoje brojne aproksimacije primjenom različitih refleksijskih koeficijenata [], [3], [3], [45] u ovom se radu, u svrhu što preciznijeg proračuna, koristi rigorozni pristup preko Sommerfeld-ovih integrala [34]. 4

32 Formulacija Komponenta pobudnog polja dade se napisati u obliku sume upadnog polja inc E i polja reflektiranog od granice sredina ref E : E = E + E exc inc ref ± ± ± (.4) gdje (+) označava slučaj kada je žičana struktura iznad granice medija (najčešće u zraku) dok (-) slučaj kada je struktura ispod granice (najčešće u zemlji). Uvrštavanjem (.4) u (.) dobiva se: = + + ( ) S ( ) sct inc ref s E± s E± E± Z I s (.5) pri čemu su komponente električnog polja upadnog odnosno reflektiranog vala, redom oblika [34]: E I s s k g s s ds inc ± = ( ') ' ± ± (, ') ' j4πωε + eff ± C ' (.6) ref k k ± E ± ( s) = I( s ') s * k g (, *) ' ( ') (, ') ' ± + i± s s ds + I s Gs± s s ds j4πωε eff ± k+ + k C ' C ' (.7) gdje je k ± konstanta propagacije za medij s gubicima u kojem se nalazi struktura definirana izrazom (.8) dok k predstavlja konstantu propagacije medija s druge strane granice također općenito definiranu izrazom (.8). gi± ( s, s*) je Green-ova funkcija koja proizlazi iz teorije preslikavanja: jk± R* e gi± ( s, s*) = (.8) R * pri čemu je R * udaljenost od točke na preslikanoj žici do točke promatranja kako je prikazano na slici.: 5

33 Formulacija ( ) ( ) ( ) R* = x x' + y y ' + z + z ' + a (.9) dok je s * jedinični vektor tangente u točci izvora preslikane žice. Slika. Žica proizvoljnog oblika iznad granice dvaju homogenih poluprostora Jezgra G s± ( s, s ') može se napisati u obliku: G ( r, r ') = e s ' G e + G e + G e + e s ' G e + G e ( ) ( H H H ) ( ) ( V V ρ ρ φ φ ρ ρ ) s± x ± ± z ± z z ± z ± z (.) i predstavlja korekcijski (atenuacijski) član koji sadrži Sommerfeldove integrale i sastoji se od komponenti za horizontalne (H) i vertikalne (V) dipole oblika [34], [4]: G = (.) ρ z V R ρ ± k V± 6

34 Formulacija (.) z V R Gz ± = + k k V ± ± G k V k U ρ H R R ρ ± = cosϕ ± ± + ± ± (.3) Gφ = sinφ k V + k U ρ ρ H R R ± ± ± ± ± (.4) H V G = j4πωε cosφ G ρ (.5) z ± eff ± ± Pri tome su Sommerfeld-ovi integrali dani izrazima [34], [4]: R ' ( ) z z U = γ ± + ± D λ e J( λρ) λ dλ (.6) γ ± z + z ' R V = ± D ( λ) e J ( λρ) λ dλ (.7) gdje je: D k ± ( λ) = γ + + γ γ + + ( k k ) (.8) D ( λ) = ( ) k γ + + k+ γ γ k+ + k (.9) i γ = λ k (.3) ± ± U jednadžbama (.6) i (.7) J je Bessel-ova funkcija prve vrste nultog reda. Valja napomenuti da postoji nekoliko oblika Sommerfeld-ovih integrala koji se međusobno razlikuju u brzini konvergencije i efikasnosti proračuna za različite vrijednosti argumenata 7

35 Formulacija [5], [5]. Oblik Sommerfeld-ovih integrala koji se koristi u ovom radu pruža mogućnost brze konvergencije rješenja kada se ρ i z+z' približavaju nuli. Dobar pregled raznih oblika Sommerfeld-ovih integrala je dan u [34], [4] i [53] Kratak opis integracije Sommerfeldovih integrala je dan u prilogu B. Konačno, kombiniranjem jednadžbi (.5) do (.7) dobiva se Pocklington-ova integro-diferencijalna jednadžba za nepoznatu raspodjelu struje uzduž žičane antene proizvoljnog oblika iznad ili ispod granice dvaju homogenih poluprostora: I ( s ') s s ' k± + g± ( s, s ') ds ' + C ' k k E ( s) = + I( s ') s s * k + g ( s, s*) ds ' + + Z I( s) exc ± s ± i± S j4πωε eff ± k+ + k C ' + I( s ') s G s± ( s, s ') ds ' C ' (.3) Iz jednadžbe (.3) lako se deduciraju odgovarajuće integro-diferencijalne jednadžbe za specijalni slučaj ravne vertikalne, horizontalne žice, kružne žičane petlje, ili pak helikoidne spirale... Sustav Pocklington-ovih integro-diferencijalnih jednadžbi za konfiguraciju više žica proizvoljnog oblika U slučaju konfiguracije više žica proizvoljnog oblika potrebno je postaviti sustav spregnutih integro-diferencijalnih jednadžbi. Budući da sve žice djeluju jedna na drugu potrebno je sumirati utjecaje svih N W žica (svake n-te žice na svaku m-tu žicu). Na taj način se polazna Pocklington-ova jednadžba (.3) za električno polje jedne proizvoljne žice proširuje na slučaj N W žica proizvoljnog oblika: 8

36 Formulacija In ( s') s s ' k± + g± n ( sm, sn ') ds' + Cn ' k k E ( s) I ( s ') s s * k g ( s, s *) ds' Z I ( s) N W exc ± sm = + n n ± + i± n m n + + S m j4πωε eff ± n= k+ + k Cn ' + In ( s') s G s± ( sm, sn ') ds' Cn ' m =,,... NW (.3) Na spoju dva ili više segmenata moraju se zadovoljiti svojstva kontinuiteta za električno polje [54], što se osigurava implementiranjem prvog Kirchhoff-ovog zakona: n Ik = (.33) k = i jednadžbe kontinuiteta za harmonijski promjenljive veličine: J = jωρ (.34) koja se da napisati u obliku: I = jωql s (.35) pa je drugi uvjet kontinuiteta dan izrazom: I I I n = = s ' s ' = s ' (.36) na spoju na spoju n na spoju Vrijedi istaknuti kako uvjet (.33) osigurava efikasno tretiranje diskontinuiteta linijske gustoće naboja kod prolaska s jednog vodiča na drugi preko spoja više žica. Za slučaj otvorenog kraja žice, ukupna struja iščezava, tj. prisilni rubni uvjet glasi da je struja na kraju žice nula. 9

37 Formulacija.3. Modeliranje pobude Da bi se rješavanjem Pocklington-ove jednadžbe odredila struja po žičanoj strukturi potrebno je na neki način izraziti pobudu u vidu električnog polja tangencijalnog na tu exc strukturu, tj. na podesan način izraziti E ( s ) u jednadžbi (.3). To znači da je lijeva sm strana jednadžbe (.3) uvijek ista i neovisna o karakteru pobude, pa samim time i primjeni modela. Budući da se proizvoljna žičana struktura u elektromagnetizmu može smatrati i kao izvor ali i kao primalac elektromagnetskog vala pobuda se tada modelira i realizira na više načina. Ukoliko se žičana struktura smatra izvorom elektromagnetskog vala tada se pobuda realizira u vidu idealnog naponskog izvora (u antenskim primjenama) i/ili idealnog strujnog izvora (u slučaju modeliranja sustava za zaštitu od munje). U slučaju pak razmatranja žičane strukture kao primaoca elektromagnetskog vala tada se kao pobuda koristi električno polje upadnog ravnog vala..3.. Idealni naponski izvor Napajanje ravne žice idealnim naponskim izvorom (eng. delta gap), kako je prikazano na slici.3 je najjednostavniji i najrašireniji način pobude u modeliranju žica kao izvora elektromagnetskog polja [55], [56].

38 Formulacija Slika.3 Napajanje dipol antene idealnim naponskim izvorom Primjena idealnog naponskog izvora podrazumijeva pretpostavku da je pripadno pobudno električno polje konstantno na ulaznim priključnicama a na ostatku strukture iščezava, tj. može se pisati: E exc sm Vgm ( s) = (.37) s gm gdje je sgm razmak između stezaljki na koje je priključen izvor, a V gm pobudni napon na ulaznim stezaljkama. Valja napomenuti da se u modeliranju jednostavnih antena u odašiljačkom modu, ponekad koristi i koncept kružnog magnetskog prstena (eng. magnetic frill) kao naponski upravljane pobude, o kojem će detaljno biti riječi u poglavlju Idealni strujni izvor U rigoroznoj elektromagnetskoj analizi sustava za zaštitu od munje (uzemljivača, gromobrana i kanala groma) uobičajeno se koristi pobuda ekvivalentnim strujnim izvorom [4], [39], pri čemu je jedan kraj idealnog strujnog izvora spojen na strukturu u točki u

39 Formulacija kojoj se želi injektirati struja dok je drugi kraj spojen na zemlju u beskonačnoj udaljenosti, kako je prikazano na slici.4. Slika.4 Idealni strujni izvor Pri tome, lijeva strana jednadžbe (.3) iščezava i odgovarajuća Pocklington-ova jednadžba se pojednostavnjuje i reducira na homogenu jednadžbu [4], [39], [46], [47]. [47]: Shodno tome, pobuda se uključuje u formulaciju putem rubnog uvjeta [4], [39], [46], I = I (.38) g gdje I g predstavlja strujni generator a I je struja u čvoru u kojem se injektira pobudna struja koja reprezentira udar groma Upadno električno polje ravnog vala Općenito, raspršna žičana struktura može biti pobuđena ravnim valom koji upada na granicu sredina pod proizvoljnim kutom. Ravni val koji pod kutom θ, odnosno Φ upada na granicu između dvije sredine prikazan je na slici.5.

40 Formulacija Slika.5 Upadni, reflektirani i transmitirani val Granica između dviju sredina leži u xy ravnini, a neka referentna točka za ravni val bude ishodište. Električno polje upadnog ravnog vala u bilo kojoj točci sredine definirano je izrazom [57]: u jk eu r E Eu e = (.39) gdje je E amplituda upadnog vala, a e u jedinični vektor smjera propagacije upadnog vala koji izražen preko kutova θ, Φ iznosi: e = sinθ cosφ e sinθ sinφ e cosθ e u x y z (.4) Skalarni produkt eu r predstavlja udaljenost između točke promatranja i referentne valne fronte: eu r = xsinθ cosφ ysinθ sinφ z cosθ (.4) Ovakav proizvoljno polariziran val, gdje se okomitost odnosi na granicu sredine, može se rastaviti na dvije komponente: okomito polariziranu (transverzalno magnetsku TM) i 3

41 Formulacija horizontalno polariziranu (transverzalno električnu TE). Ako je α kut između vektora električnog polja upadnog vala i ravnine upada tada slijede izrazi za okomito polariziranu komponentu električnog polja [57], [58]: u cos cos cos cos sin sin jk eu ETM = E α θ φ ex θ φ e y + θ ez e ( ) r (.4) i horizontalno polariziranu komponentu električnog polja: u sin sin cos jk eu ETE = E α φ ex φ e y e ( ) r (.43) Tada su komponente električnog polja reflektiranog vala dane relacijama: r cos cos cos cos sin sin jk er ETM = RTM E α θ φ ex + θ φ e y + θ ez e ( ) r sin sin cos jk er ETE = RTE E α φ ex φ e y e ( ) r r (.44) (.45) gdje je e r vektor smjera propagacije reflektiranog vala, skalarni produkt er r iznosi: er r = xsinθ cosφ ysinθ sinφ + z cosθ (.46) dok su R TM i R TE vertikalni (okomiti) i horizontalni Fresnel-ovi koeficijenti refleksije na granici dvaju sredstava dani sa [57]: R TM n cosθ n sin θ = n cosθ + n sin θ (.47) R TE cosθ n sin θ = cosθ + n sin θ (.48) pri čemu je: 4

42 Formulacija n ε eff = (.49) ε eff Ukupno električno polje reflektiranog vala se dobije kao zbroj ove dvije komponente: E = E + E r r r TM TE (.5) Ukupno električno polje u sredini je zapravo zbroj električnog polja upadnog i reflektiranog vala: u r jk eu r jk er r E = E + E = Eu e + E r e (.5) Slično kao kod reflektiranog vala, odnos između transmitiranih i upadnih komponenti električnog polja definiran je Fresnel-ovim transmisijskim koeficijentima [57]: n cosθ Γ TM = n cosθ + n sin θ (.5) i cosθ Γ TE = cosθ + n sin θ (.53) te, odgovarajuće komponente iznose: E E e e e e cos ( cos cos cos sin sin ) t jk et r TM = αγtm θt φ x θt φ y + θt z (.54) E = E Γ e e e t TE sin (sin cos ) jk et r α TE φ x φ y (.55) gdje je θ t određen Snell-ovim zakonom: k sinθ = k sinθ t (.56) 5

43 Formulacija e t je jedinični vektor smjera propagacije transmitiranog vala, a skalarni produkt iznosi: et r e r = xsinθ cosφ ysinθ sinφ z cosθ t t t t (.57) Ukupno električno polje transmitiranog vala dobije se kao zbroj njegove dvije komponente: E = E + E t t t TM TE (.58) Dakle u slučaju pobude upadnim ravnim valom ukupno incidentno polje žičane strukture je, ukoliko su upadno polje i struktura s iste strane granice, jednako zbroju komponenti električnog polja upadnog i reflektiranog vala tangencijalnih na površinu žice: exc E ( s) = E s e + E s e sm jk eu r jk er r u r (.59) Ukoliko su pak upadno polje i žičana struktura s druge strane granice, tada je incidentno polje žičane strukture jednako komponenti transmitiranog vala tangencijalnoj na površinu žice: exc jk et r Esm ( s) Et s e = (.6).4. Modeliranje površinske impedancije Površinska impedancija Z S se definira kao omjer tangencijalne komponente električnog polja na površini cilindrične žice i ukupne struje na žici [57], [59]: Z S E( s,ρ = a) = (.6) I( s) i za metalne žice konačne vodljivosti je jednaka [57]: 6

44 Formulacija Z S λw J( λw a) = π aσ J ( λ a) W W (.6) gdje je: λ k k (.63) W W k W je valni broj za žicu definiran s: k = ω µ µ ε ε W W rw σw j ω (.64) gdje su µ W, ε rw i σ W, redom, relativna permeabilnost, relativna permitivnost i specifična vodljivost žice, dok je k valni broj sredstva u kojem se nalazi žica. Izraz za površinsku impedanciju (.6) sadrži visoko oscilirajuće Bessell-ove funkcije te stoga nije pogodan za inženjersku primjenu. Međutim, za određene parametre mogu se koristiti približni izrazi. U slučaju da je frekvencija nula tj. u slučaju istosmjerne struje površinska impedancija po jedinici duljine postaje otpor po jedinici duljine definiran s [57]: R = (.65) π a σ W Kada se radi o niskim frekvencijama za koje vrijedi: a ωµ σ <.5 (.66) W W može se koristiti slijedeća relacija za površinsku impedanciju po jedinici duljine [57], [59]: 4 a ωµ Wσ W a ωµ Wσ W ZS = R + j (.67) 7

45 Formulacija dok se za visoke frekvencije za koje vrijedi: a ωµ σ > (.68) W W koristi relacija [59]: Z S + j = (.69) π a σ d W s gdje je d s dubina prodiranja (eng. skin depth): d = (.7) ωµ σ s W W Na temelju koncepta površinske impedancije po jedinici duljine vrlo jednostavno se može modelirati i opteretna impedancija. Naime, opteretna impedancija se može modelirati kao žica određene duljine s konstantnom površinskom impedancijom po jedinici duljine potrebnog iznosa i karaktera. Na sličan način kao što se modelira konačna vodljivost žice može se i modelirati i tanka žica izolirana s tankim dielektričnim izolatorom koja je prikazana na slici.6. Slika.6 Tanka žica s tankim dielektričnim izolatorom Tada površinska impedancija po jedinici duljine Z S u relaciji (.) ima smisao impedancije tereta (eng. load impedance) Z L preko koje se dielektrični izolator može izraziti kao čisto magnetski izolator definiran izrazom []: Z L j rc b = ωµ ε ln π ε a rc (.7) gdje je ε rc relativna permitivnost izolatora, a b ukupna debljina žice skupa s izolatorom. 8

46 Formulacija.5. Proračun električnog i magnetskog polja.5.. Proračun električnog polja Jednom kada se izračuna raspodjela struje duž žica moguće je jednostavno izračunati izračeno električno polje na temelju jednadžbe (.) koja predstavlja izraz za električno polje žice u bilo kojoj točci homogenog prostora: E D± ( s) = k± s ' I ( s ') g± ( s, s ') ds ' I ( s ') s ' ( g± ( s, s ')) ds ' j4πωε + eff ± C ' C ' (.7) Valja napomenuti da izraz (.7) predstavlja električno polje direktnog vala ukoliko se žica nalazi u homogenom poluprostoru. Na sličan način se na temelju izraza (.7) može napisati izraz za reflektirano polje: k * ( ') (, *) ' ± s I s gi± s s ds + k k± C ' E R ( s) ± = + I( s ') G (, ') ' s± s s ds j4πωε eff ± k+ + k (.73) C ' + I( s ') s * ( gi± ( s, s*) ) ds ' C ' Tada je ukupno polje u promatranoj sredini suma direktnog i reflektiranog polja. Ukoliko postoji više žica potrebno je sumirati polje od svih žica. Budući je sami proračun električnog polja usko vezan uz numeričko rješenje sustava Pocklington-ovih jednadžbi detaljna analiza proračuna će se opisati u poglavlju tri..5.. Proračun magnetskog polja Magnetsko polje moguće je izračunati iz električnog polja pomoću prve Maxwell-ove jednadžbe []: H = E jωµ (.74) 9

47 Formulacija Da bi se prikazao izvod konačne relacije za magnetsko polje, radi jednostavnosti prikaza, prvo će se izvesti magnetsko polje jedne proizvoljne žice smještene u homogeni prostor. Tada je magnetsko polje definirano sa: H = E jωµ D± D ± (.75) Ukoliko se u jednadžbu (.75) uvrsti izraz za električno polje (.7), slijedi: H D± = ' ( ') k± s I s g± ( s, s ') ds ' I( s ') s ' ( g± ( s, s ')) ds ' 4πω µε + (.76) eff ± C ' C ' Koristeći svojstvo vektorske algebre o rotoru sume: A + B = A + B (.77) dobiva se: H D± = ' ( ') k± s I s g± ( s, s') ds' I( s') s ' ( g± ( s, s') ) ds' 4πω µε + (.78) eff ± C ' C ' Zamjenom redoslijeda operacija integracije i rotora te zamjenom s' = s ' slijedi: = ( ') ' (, ') ' + ( ') ( (, ')) ' (.79) H D± k ± I s s g r r ds I s g s s ds 4 πω µε ± ± eff ± C ' C ' s ' Nadalje, zamjenom redoslijeda rotora i parcijalne integracije te koristeći identitet da je rotor gradijenta skalarne funkcije jednak nuli ( g s s ) ± (, ') = drugi pribrojnik u jednadžbi (.79) nestaje te se izraz za magnetsko polje pojednostavljuje: 3

48 Formulacija = ( ') ' (, ') ' H D± k± I s s g r r ds 4πω µε ± eff ± C ' (.8) Razvojem podintegralne funkcije korištenjem identiteta: slijedi: ψ A = ψ A + ψ A (.8) H = I ( s') g ( r, r ') s ' + g ( r, r ') s ' ds' D± ± ± 4π C ' (.8) Budući je rotor vektora smjera žice s ' jednak nuli, drugi pribrojnik u relaciji (.8) nestaje, te se konačno dobiva relacija za magnetsko polje žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni medij: H = I( s') s ' g ( r, r ') ds' D± ± 4π C ' (.83) Identičnim postupkom dolazi se do izraza za reflektirano magnetsko polje, uvrštavanjem izraza (.7) u relaciju (.74): k k H I( s ') s * g ( s, s*) ds ' I( s ') G ( s, s ') ds ' ± R± = i± + s± 4π k+ + k 4πω µε C ' eff ± (.84) Ukupno magnetsko polje je tada zbroj direktnog i reflektiranog, a ukoliko postoji više žica potrebno je zbrojiti doprinos svih. Kao i u slučaju električnog polja detaljni postupci i izrazi za proračun magnetskog polja će biti opisani u sklopu numeričkog rješenja u trećem poglavlju. 3

49 Numeričko rješenje 3. NUMERIČKO RJEŠENJE Numeričko rješavanje Pocklington-ove integro-diferencijalne jednadžbe se može provesti primjenom različitih metoda i postupaka. U najvećem broju slučajeva integralne i integro-diferencijalne jednadžbe proizašle iz problema elektrodinamike su tretirane nekom od varijanti metode momenata (MM) (najčešće kolokacijom) pri čemu se dobivaju tvz. jake formulacije [8]-[], [3], [3]. Međutim u okviru jake formulacije javljaju se neki problemi, među kojima i kvazisingularnost jezgre tj. Green-ove funkcije, budući da se deriviranje jezgre obavlja analitički što nužno dovodi do kvazisingularnosti. Ako se pak deriviranje jezgre obavlja pomoću metode konačnih diferencija, javljaju se neželjene pojave u vidu sporije konvergencije i nesimetričnosti matrice u numeričkom rješavanju [6]. U posljednja dva desetljeća metoda rubnih elemenata (MRE) (eng. Boundary Element Method BEM) se često koristi pri rješavanju ovih problema [6]. Metoda rubnih elemenata koja je implementirana u ovom radu koristi neke pogodne sheme rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi konačnim elementima i koncepte rubnih elemenata čime se dolazi do tvz. nejake formulacije. Metoda je nazvana Galerkin-Bubnovljeva inačica indirektne metode rubnih elemenata GBIMRE (eng. Galerkin Bubnov Indirect Boundary Element Method GB-IBEM) [6]. Kod ove formulacije se, uz isti izbor baznih i test funkcija, dobijaju identične krajnje relacije onima kod varijacijskog pristupa. Naime, podesnom primjenom parcijalne integracije i integralnih teorema vektorske analize naknado se snizi red derivacija u diferencijalnoj jednadžbi. U literaturi se ova formulacija isključivo koristi za rješavanje diferencijalnih jednadžbi, i u odnosu na ostale metode ne poklanja joj se posebna pažnja. 3.. Numeričko rješenje skupa spregnutih Pocklington-ovih integrodiferencijalnih jednadžbi U predstavljanju GBIMRE numeričke procedure korisno je početi s operatorskim oblikom jednadžbe (.3) koji se simbolički može zapisati kao []: 3

50 Numeričko rješenje N N W W K( I ) = En (3.) n n= n= gdje je K linearni operator, dok su I n nepoznate funkcije (u konkretnom slučaju struje na pojedinim žicama) koje treba pronaći za dane pobude E n (ovdje je pretpostavka da svaka žica ima vlastitu pobudu). Rješavanje jednadžbe (.3) pomoću rubnih elemenata počinje primjenom lokalne aproksimacije za nepoznatu struju duž segmenta žice, tj. nepoznata struja I n (s') po segmentu n-te žice izrazi se u vidu konačne sume linearno nezavisnih oblikovnih funkcija f ni, uz nepoznate kompleksne koeficijente I ni : N gn I s ' = I f ( s ') = f I (3.) T ( ) { } { } n n ni ni n n n i= gdje f ( s ') označava oblikovne funkcije na n-toj žici, I ni predstavlja nepoznate ni n koeficijente rješenja na n-toj žici, a N gn označava ukupan broj baznih funkcija na n-toj žici. Supstitucijom (3.) u (3.) slijedi: N W N W N gn K( In) = IniK [ fni( sn ')] (3.3) n= n= i= Primjenom osnovne leme varijacijskog računa [] slijedi zahtjev da integral težinskih odstupanja iščezava: Nw N gn IniK [ fni ( sn ')] Wmj ( sm) dsm = EnWmj ( sm) dsm n= i= n= (3.4) Cm m =,,..., N ; j =,,..., N W Nw gn Cm Ukoliko postoji samo jedna žica relacija (3.4) se pojednostavljuje i oblika je: 33

51 Numeričko rješenje N g IiK [ fi ( s ')] Wj ( s) ds = EW j ( s) ds j =,,..., N g (3.5) i= Cm Cm Uz Galerkin-Bubnovljevu proceduru, odnosno uz izbor istih oblikovnih i težinskih funkcija: W ( s ) = f ( s ) (3.6) mj m mj m slijedi izraz koji predstavlja tzv. jaku formulaciju problema: Nw N gn IniK [ fni ( sn ')] fmj ( sm) dsm = En fmj ( sm) dsm n= i= n= (3.7) Cm m =,,..., N ; j =,,..., N W Nw gn Cm Kod ove formulacije bazne i test funkcije moraju biti u domeni operatora K (u ovom slučaju najmanje dva puta derivabilne). Jaka formulacija za dani problem dakle implicira korištenje polinoma drugog reda i više, odnosno kvadratični tip rubnih elemenata, što bi rezultiralo relativno složenim numeričkim modelom i pripadnom računalnom implementacijom, pogotovo u potencijalnoj primjeni na žice u nehomogenoj sredini. Blaže zahtjeve na izbor baznih i test funkcija omogućava Nejaka Galerkin-Bubnovljeva formulacija [6] Pocklington-ove integralno-diferencijalne jednadžbe (.3) koja se dobiva pogodnom primjenom parcijalne integracije. Budući da je postupak izvoda nejake formulacije za jednu žicu ili više njih ekvivalentan, procedura će se, zbog jednostavnosti prikaza, detaljno opisati na primjeru za jednu žicu smještenu u homogeni prostor. Proširenje na složenije konfiguracije provedeno je naknadno Izvod nejake formulacije Polazna točka u razmatranju je Pocklington-ova integro-diferencijalna jednadžba za proizvoljnu žicu smještenu u homogeni prostor: E ( s) = I ( s ') s s ' k + g ( s, s ') ds ' + Z I ( s) exc tan j4πωε eff C ' S (3.8) 34

52 Numeričko rješenje koja se dade zapisati i na slijedeći način: k s s ' I ( s ') g( s, s ') ds ' + exc C ' Etan ( s) = + ZS I ( s) j4πωε eff + I ( s ') s s ' ( g( s, s ')) ds ' C ' (3.9) gdje se operator nabla može napisati kao: = ex + e y + ez x y z (3.) Kako je u prilogu C pokazano, za Green-ovu funkciju vrijedi: g ( s, s ') = ' g ( s, s ') (3.) gdje je: ' = ex + e y + ez x ' y ' z ' (3.) Koristeći izraz (3.) jednadžba (3.9) poprima oblik: k s s ' I( s ') g( s, s ') ds ' exc exc C ' E ( s) s = Etan ( s) = + ZS I( s) (3.3) j4πωε eff I ( s ') s ( s ' ' g( s, s ')) ds ' C ' odnosno, može se pisati: k s s ' I ( s ') g( s, s ') ds ' exc C ' Etan ( s) = + ZS I( s) j4πωε eff I ( s ') g( s, s ') ds ' s s ' C ' (3.4) 35

53 Numeričko rješenje Kako bi se izbjegli problemi s kvazisingularnošću jezgre, djelovanje diferencijalnog operatora je moguće prebaciti s jezgre na struju pomoću izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija. Naime iz relacije: s ' s ' s ' [ I( s ') g ( s, s ')] = [ I( s ')] g ( s, s ') + I( s ') [ g ( s, s ')] (3.5) slijedi: I ( s ') [ g( s, s ')] = [ I ( s ') g( s, s ')] [ I ( s ')] g( s, s ') s ' s ' s ' (3.6) Integrirajući izraz (3.6) po dužini žice: s' end I ( s ') [ g( s, s ')] ds ' = [ I( s ') g( s, s ')] [ I( s ')] g ' ( s, s ') ds ' s (3.7) C ' s ' start C ' s ' Prvi član s desne strane, u izrazu (3.7), je potrebno zanemariti jer sadrži uvjete na granici koji se naknadno u procesu numeričkog rješavanja prisilno ubacuju. U suprotnom bi problem postao predimenzioniran. Dakle vrijedi: I ( s ') [ g( s, s ')] ds ' = [ I( s ')] g( s, s ') ds ' (3.8) C ' s ' C ' s ' Uvrštavanjem izraza (3.8) u relaciju (3.4) dobiva se: k s s ' I ( s ') g( s, s ') ds ' + exc C ' Etan ( s) = + ZS I ( s) j4πωε eff + [ I ( s ')] [ g( s, s ')] ds ' s ' s C ' (3.9) 36

54 Numeričko rješenje Ako se sada struja na žici izrazi kao suma linearne kombinacije linearno nezavisnih funkcija (3.) te primjenom osnovne leme varijacijskog računa (3.5) uz Galerkin Bubnovljevu proceduru (3.6) dolazi se do izraza: k s s ' fi ( s ') f j ( s) g( s, s ') ds ' ds + C C ' N g exc fi ( s ') j4 πωε eff Etan ( s) f j ( s) ds I i [ g( s, s ')] f j ( s) ds ' ds = + + i s ' s C = C C ' j + Z S fi ( s) f j ( s) ds 4πωε eff C j =,..., N g (3.) Kako bi se izbjeglo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru, što je bit nejake formulacije, moguće je diferencijalni operator prebaciti s jezgre na baznu funkciju pomoću izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija. [ g( s, s ')] f j ( s) = f j ( s) g( s, s ') f j ( s) g( s, s ') s s s (3.) Integrirajući izraz (3.) po dužini žice: send [ g( s, s ')] f j ( s) ds = f j ( s) g( s, s ') f j ( s) g( s, s ') ds s (3.) C s start s C Slično kao i u izrazu (3.7) prvi izraz s desne strane sadrži uvjete na krajevima žice koji se naknadno uključuju u nejaku formulaciju, te ga je stoga potrebno zanemariti u nastavku rješavanja. Inače bi sustav postao predimenzioniran. Zanemarenjem uvjeta na granici sadržanih u (3.) i uvrštavanjem izraza (3.) u (3.) konačno se dobiva: 37

55 Numeričko rješenje k s s ' fi ( s ') f j ( s) g( s, s ') ds ' ds + C C ' f ( s) I g ( s, s ') ds ' ds j4 E ( s) f ( s) ds N g fi ( s ') j exc i + = πωε eff tan j i= s ' s C C ' C j + ZS fi ( s) f j ( s) ds 4πωε eff C j =,..., N g (3.3) Izraz (3.3) predstavlja nejaku formulaciju Galerkin-Bubnovljeve procedure za integrodiferencijalnu jednadžbu električnog polja za slučaj jedne proizvoljne žice u homogenom prostoru. Analognim postupkom lako se izvodi nejaka formulacija za slučaj jedne proizvoljne žice u homogenom poluprostoru: f ( ) i ( s ') f j s g± ( s, s ') ds ' ds + s ' s C C ' + k± s s ' fi ( s ') f j ( s) g± ( s, s ') ds ' ds + C C ' f ( s ') f ( s) g ( s, s*) ds ' ds + + = k s s * f ( s ') f ( s) g ( s, s*) ds ' ds + s fi ( s ') f j ( s) G s± ( s, s ') ds ' ds C C ' j + Z S fi ( s) f j ( s) ds 4πωε eff ± C i j N g i± k k s * s ± C C ' I i + i= k+ k + + ± i j i± C C ' = j4 πωε E ( s) f ( s) ds j =,..., N exc eff ± tan j g C (3.4) U slučaju više žica proizvoljnog oblika, potrebno je sumirati međusobne utjecaje svih žica. Dakle, provodeći analogan postupak numeričkog rješavanja, sada jednadžbe (.3), dolazi se do nejake formulacije sustava Pocklington-ovih integro diferencijalnih jednadžbi za više-žičanu konfiguraciju: 38

56 Numeričko rješenje NW Nn n= i= I ni df jm( sm) dfin( s ' ) n g± nm( sm, s ' n) ds ' n dsm ds ' m ' n m ds C C n + k± sm s ' n f jm( sm) fin( s ' n) g± nm( sm, s ' n) ds ' n dsm Cm C ' n df jm( sm ) dfin ( s ' n) g (, * ) ' i± nm sm s n ds n dsm k k ± ds * Cm C ' n m ds n + k+ + k = + k± sm sn * f jm( sm) fin( s ' n) gi nm( sm, s* n) ds ' n ds ± m Cm C ' n + sm f jm( sm) fin( s ' n ) G s± nm ( sm, s ' n) ds ' n ds m Cm C ' n j + ZS fim( sm) f jm( sm) dsm 4πωε eff ± Cm = j4 πωε E ( s) f ( s ) ds m =,,..., N ; j =,,..., N eff ± C exc tan m jm m m W m (3.5) gdje je N w ukupan broj žica, N m ukupan broj elemenata na m-toj žici, a N n je broj elemenata na n-toj žici Primjena rubnih elemenata Diskretizacija rubnim elementima implicira da se žica podijeli na N elemenata nad kojima se definiraju oblikovne funkcije lokaliziranog djelovanja, tj. oblikovne funkcije djeluju samo na elementu promatranja (ili izvora) dok su na ostalim elementima jednake nuli. Na taj način se postupak rješavanja svodi na lokalni sustav, iz kojega se potom asemblira matrica globalnog sustava. e Nepoznata struja ( ') I s po segmentu n-te žice izrazi se u vidu konačne sume linearno n nezavisnih oblikovnih funkcija f ni, uz nepoznate kompleksne koeficijente I ni : I s = I f s = f I (3.6) nl e T n ( ') ni ni( ') { } { } n n i= Uz upotrebu izoparametarskih elemenata slijedi: 39

57 Numeričko rješenje I = I f = f I (3.7) nl e T n ( ζ ) ni ni ( ζ ) { } { } n n i= gdje nl označava broj lokalnih čvorova na elementu. Za ravne vodiče koristi se linearna aproksimacija raspodjele struje (slika 3.) po rubnom elementu uzduž n-te žice, a odgovarajuće oblikovne funkcije onda su dane izrazima [63]: f ζ + ζ = f = (3.8) što predstavlja optimalan izbor ako se traži kompromis između točnosti proračuna i složenosti postupka kad se radi o modeliranju žičanih struktura. Slika 3. Linearni izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata Što se tiče modeliranja zakrivljenih žica podesno je koristiti kvadratične izoparametarske elemente (slika 3.), s obzirom da se tako omogućava veća preciznost rezultata za različite geometrije žica. Kako je vidljivo iz slike 3. približno rješenje nad elementom gradi se iz tri oblikovne funkcije [63]: 4

58 Numeričko rješenje f( ζ ) = ζ ( ζ ); f( ζ ) = ζ ; f3( ζ ) = ζ ( ζ + ) (3.9) Slika 3. Kvadrtični izoparametarski element i pripadna transformacija koordinata Dakle, primjenom izoparametarskih elemenata iste funkcije se koriste za aproksimaciju nepoznate struje, kao i za transformaciju geometrije elementa iz lokalnog koordinatnog sustava u globalni: nl s = sk fk ( ζ ) (3.3) k = tj., u Kartezijevom koordinatnom sustavu: nl x = xk fk ( ζ ) ; k = nl y = yk fk ( ζ ) ; k = nl z = zk fk ( ζ ) (3.3) k = Deriviranjem prethodnih izraza (3.3) slijedi: nl dfk ( ζ ) dx = xk dζ ; dζ k = nl dfk ( ζ ) dy = yk dζ ; dζ k = nl dfk ( ζ ) dz = zk dζ (3.3) dζ k = a diferencijal luka je definiran izrazom: 4

59 Numeričko rješenje dx dy dz ds = + + dζ dζ dζ dζ (3.33) tj.: ds dx dy dz = + + dζ dζ dζ dζ (3.34) što predstavlja Jakobijan preslikavanja iz globalnog sustava u lokalni. Prelaskom na lokalni sustav relacija (3.5) može se simbolički napisati u matričnom obliku: N N m =,..., N W n e e e W [ Z ] { I} = { V} (3.35) ji i j j =,,..., N n= i= m ] e ji gdje je [ Z matrica rubnog elementa, i to za j-ti rubni element promatranja na m-toj anteni i i-ti rubni element izvora na n-toj anteni, { I } e vektor rješenja u globalnim i čvorovima, a { V } e vektor desne strane sustava koji sadrži pobudu. i Matrica rubnog elementa fizikalno predstavlja matricu međuimpedancije i-tog i j-tog elementa i dana je, uz korištenje izoparametarskih oblikovnih funkcija, izrazom: 4

60 Numeričko rješenje ds' ds Z D D g s s d dζ ζ e T n m ' (, ' ) ' ji j i ± nm m n ζ dζ ' d [ ] = { } { } ds' ds + k s s f f g s s d dζ + ζ k + k T n m ± m n ' { } { '} nm( m, ' n) ' j i ± ζ dζ ' d k ± + + k ds' T n m { D} { D *} g (, * ) ' j i i± nm sm s n dζ dζ + dζ ' dζ + T ds' n ds m + k± sm sn * { f } { f '} gi nm( sm, s * j i ± n) dζ ' dζ dζ ' dζ T ds' n dsm + sm { f } { f '} G s ± nm ( sm, s ' n) dζ ' dζ j i dζ ' dζ j T dsm + ZS { f } { f } d j j 4 ζ πωε dζ eff ± ds (3.36) Vektori {f} i {f'} sadrže oblikovne funkcije dok vektori {D}, {D'} i {D*} sadrže njihove derivacije definirane izrazima: df df dζ D = = ; ds d ζ ds df ' df ' dζ ' D' = = ; ds ' d ζ ' ds ' df ' df ' dζ ' D* = = ds * dζ ' ds * (3.37) uz svojstvo da je: df ' d ζ ' df ' d ζ ' = dζ ' ds * dζ ' ds' (3.38) Dimenzije vektora {f}, {f'}, {D}, {D'} i {D*} ovise o izboru oblikovnih funkcija, odnosno u slučaju korištenja linearne aproksimacije s dvočvornim elementima dimenzija vektora je x, dok u slučaju korištenja kvadratičnih (tročvornih) izoparametarskih elemenata dimenzija je 3x. Nadalje proizlazi da je matrica impedancije na elementu kvadratnog oblika dimenzija x (za dvočvorne tj. linearne elemente) odnosno 3x3 (za tročvorne tj. kvadratične elemente). Svi članovi ove matrice, osim posljednjeg, sadrže analitički nerješive integrale pa se mora primijeniti neka od metoda numeričke integracije, najčešće Legendre-Gauss kvadrature zbog pogodnog intervala integracije [,]. 43

61 Numeričko rješenje Posljednji pribrojnik u izrazu za međuimpedanciju (3.36), kako je već pokazano u prethodnom poglavlju, može opisivati različite pojave (konačnu vodljivost žice, tanki dielektrični izolator, opteretna impedancija). Ukoliko se pomoću Z S -a modelira konačna vodljivost žice ili utjecaj tankog dielektričnog izolatora, tada taj član postoji za sve elemente, dok u slučaju modeliranja opteretne impedancije član je jednak nuli za sve elemente osim onih na kojima je postavljena opteretna impedancija. U svakom slučaju može se pretpostaviti da Z S ima konstantan iznos duž konačnog elementa. Tada slijedi za dvočvorni element: j T dsm j ZS s 3 6 ZS { f } { f } dζ j j 4πωε = (3.39) eff ± dζ 4πωε eff ± 6 3 dok za kvadratični element imamo: j T dsm j ZS s 8 ZS { f } { f } dζ j j 4πωε = (3.4) eff ± dζ 4πωε eff ± gdje je s duljina elementa. Vektor desne strane (vektor pobude) predstavlja lokalni vektor napona i dan je izrazom: e exc dsm j eff ± tan m m j d { } 4 πωε ( ){ } V = j E s f dζ (3.4) ζ te se, za pobude opisane u poglavlju.3 da izračunati analitički. U slučaju odašiljačkog moda žica je pobuđena jednostavnim idealnim naponskim izvorom kod kojega je incidentno polje opisano jednadžbom (.37) i postoji isključivo u procjepu za napajanje. Članovi vektora desne strane, za elemente na kojima su postavljeni izvori, u slučaju linearne aproksimacije po elementu su oblika: 44

62 Numeričko rješenje V ds Vgm V j f d j (3.4) e gm m j = 4 πωε eff ( ) 4 eff s ζ gm dζ ζ πωε ± = ± V ds Vgm V j f d j (3.43) e gm m j = 4 πωε eff ( ) 4 eff s ζ gm dζ ζ πωε ± = ± dok su za u aproksimaciju dani izrazima: V ds Vgm V j f d j (3.44) 6 e gm m j = 4 πωε eff ( ) 4 eff s ζ gm dζ ζ πωε ± = ± V ds Vgm V j f d j (3.45) 3 e gm m j = 4 πωε eff ( ) 4 eff s ζ gm dζ ζ πωε ± = ± V ds Vgm V j f d j (3.46) 6 e gm m 3 j = 4 πωε eff 3 ( ) 4 eff s ζ gm dζ ζ πωε ± = ± Vrijedi napomenuti da je vektor desne strane za ostale elemente jednak nuli. U slučaju prijemnog (raspršnog) moda, tj. ako je žičana struktura pobuđena ravnim valom, incidentno polje postoji duž cijele strukture te je zadano relacijom (.59) ukoliko se žičana struktura i upadni val nalaze s iste strane granice, odnosno relacijom (.6) ukoliko se struktura i upadni val nalaze sa suprotne strane granice. Ukoliko se koristi linearna aproksimacija, tada se vektor konačnog elementa sastoji od dva člana oblika: ds V = j πωε E f ζ dζ (3.47) ζ e i m j 4 eff ± ( ) d ds V = j πωε E f ζ dζ (3.48) ζ e i m j 4 eff ± ( ) d Ukoliko se koristi kvadratična aproksimacija, vektor se sastoji od tri člana oblika: 45

63 Numeričko rješenje ds V = j πωε E f ζ dζ (3.49) ζ e i m j 4 eff ± ( ) d ds V = j πωε E f ζ dζ (3.5) ζ e i m j 4 eff ± ( ) d ds V = j πωε E f ζ dζ (3.5) ζ e i m 3 j 4 eff ± 3 ( ) d Ako se pretpostavi duljina elementa s dovoljno mala tako da je incidentno polje konstantno po elementu, tada se integrali u jednadžbama (3.47) do (3.5) mogu riješiti analitički te slijedi, za linearnu aproksimaciju: i e E s V j = j4πωε eff ± (3.5) i e E s V j = j4πωε eff ± (3.53) dok za kvadratičnu slijedi: i e E s V j = j4πωε eff ± (3.54) 6 i e E s V j = j4πωε eff ± (3.55) 3 i e E s V3 j = j4πωε eff ± (3.56) 6 Matrica i vektor desne strane globalnog sustava grade se iz lokalnih sustava svih elemenata. Pri tome je položaj pojedinog elementa u poznatom rasporedu globalnih čvorova određen tablicom veza. Također, ukoliko postoje spojevi više žica u matričnu jednadžbu (3.35) se dodaju i uvjeti određeni prvim Kirchhoff-ovim zakonom (.33) i 46

64 Numeričko rješenje kontinuitetom naboja (.36). Na taj način se dobije sustav od N W Nn + N J linearnih n= jednadžbi s N W Nn + N J nepoznanica iz kojih se dobije vrijednost struje u svim čvorovima. n= Vrijednosti struje u ostalim točkama duž žice dobivaju se interpolacijom oblikovnim funkcijama. spojeva više žica. N n je broj čvorova n-te žice, NW je ukupan broj žica, dok je N J ukupan broj 3.. Proračun električnog polja Postupak za proračun električnog polja će se, radi jednostavnosti prikaza, prvo objasniti na primjeru žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni prostor. U slučaju poluprostora s gubitcima postupak se ponavlja da bi se dobila relacija za reflektirano polje. Izraz za električno polje žice proizvoljnog oblika smještene u homogeni prostor (.7) se uz korištenje svojstva (3.) te parcijalne integracije (3.8) svodi na: E D± ( s) = k± s ' I ( s ') g± ( s, s ') ds ' [ I( s ')] [ g± ( s, s ')] ds ' j4 πωε + eff ± s ' C ' C ' (3.57) Valja napomenuti da izraz (3.57) predstavlja i električno polje direktnog vala ukoliko se žica nalazi u homogenom poluprostoru. Razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija N g (3.) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi: N g fi ( s ') E D± ( s) = k s ' Ii fi ( s ') g ( s, s ') ds ' Ii [ g ( s, s ')] ds ' j4 πωε ± ± + ± eff ± i= s ' C ' C ' (3.58) Prelaskom na lokalni sustav dobiva se izraz za električno polje jednog elementa: 47

65 Numeričko rješenje tj. E D± = ds ' ' k k ( ') (, ') ' nl k± s I f ζ g ± s s dζ + dζ ' j4 πωε eff ± k = fk ( ζ ') dζ ' ds ' + Ik [ g± ( s, s ')] dζ ' ζ ' ds ' dζ ' (3.59) E D± = j ds ' ' ( ') (, ') ζ ' + e k k nl k± s I f ζ g ± s s d dζ ' 4 πωε eff ± k = e fk ( ζ ') + Ik [ g± ( s, s') ] dζ ' ζ ' (3.6) U slučaju da se žica nalazi u homogenom poluprostoru tada uz direktno polje postoji i reflektirano koje se na identičan način može izvesti iz relacije (.73). Reflektirano električno polje jednog elementa žice je tada: e ds' k± s * Ik fk ( ζ ') gi± ( s, s*) dζ ' + k k dζ ' ± nl + k k e fk ( ζ ') + + E R± = Ik [ gi± ( s, s*) ] dζ ' j4 πωε eff ± k = ζ ' e ds ' + Ik fk ( ζ ') G s ± ( s, s ') dζ ' dζ ' (3.6) Polje jednog elementa u promatranom poluprostoru je tada zbroj direktnog i reflektiranog: = + E E D E R (3.6) dok se ukupno polje dobije sumiranjem doprinosa svih elemenata: N e E = E i= i (3.63) U slučaju više žica ukupno polje će biti suma polja svake pojedine žice: 48

66 Numeričko rješenje e ds ' n k± sn ' Ikn fk ( ζ ') gn± ( s, sn ') dζ ' + dζ ' e fk ( ζ ') + Ikn [ gn± ( s, sn ')] dζ ' + ζ ' NW N en nl e dsn ' E ± ( s) = k s * ( ') (, *) ' ± n Ikn fk ζ gin± s sn dζ j4 πωε + eff ± n= i= k = k k dζ ' ± + k+ + k e fk ( ζ ') Ikn [ gin± ( s, sn*) ] dζ ' ζ ' e dsn ' Ikn fk ( ζ ') Gsn± ( s, sn ') dζ ' + dζ ' (3.64) Vrijednosti integrala u izrazima (3.6) i (3.6) se računaju numerički pomoću Legendre-Gauss kvadrature. Posebno se treba osvrnuti na gradijent Green-ove funkcije: g( x, y, z; s ') g( x, y, z; s ') g( x, y, z; s ') g( s, s ') = g( x, y, z; s ') = ex + e y + ez x y z (3.65) Kako bi se izbjegli mogući problemi zbog kvazisingularnosti koji se očituju kod integrala koji sadrže derivaciju Green-ove funkcije, umjesto analitičke derivacije primijenjen je algoritam konačnih diferencija. Pri tome je za aproksimaciju prve derivacije odabrana centralna formula konačnih diferencija oblika: g( x, y, z; s ') g( x + x, y, z; s ') g( x x, y, z; s ') x x (3.66) Centralna formula konačnih diferencija koristi se zbog toga što za dovoljno mali x unosi manju grešku nego desna ili lijeva formula. Naime, greška skraćivanja je kod lijeve i desne formule reda veličine x. x, dok je kod centralne formule ta greška proporcionalna sa 49

67 Numeričko rješenje 3.3. Proračun magnetskog polja Slično kao i kod proračuna električnog polja, razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija N g (3.) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice te prelaskom na lokalni sustav iz (.83) dobiva se izraz za direktno magnetsko polje jednog rubnog elementa: ds H = I f ( ') s ' g ( r, r ') dζ ' nl e ' D± 4 k k ζ ± π k = dζ ' (3.67) Identičnim postupkom dobiva se i jednadžba za reflektirano magnetsko polje jednog elementa: ' H = I f ( ') s * g ( r, r ') dζ ' + 4 ζ ' nl k k± e ds R± k k i± k+ + k ζ π k = d + I f ( ') G ( r, r ') dζ ' 4 πω µε ' nl e ds' k k s± ζ eff ± k = dζ (3.68) Ukupno magnetsko polje jednog elementa žice je tada zbroj direktnog i reflektiranog: = + H H D H R (3.69) Ukupno magnetsko polje žice u proizvoljnoj točci homogenog poluprostora se tada dobije sumiranjem doprinosa svih elemenata: N e H = H i= i (3.7) U slučaju više žica ukupno polje će biti suma polja svake pojedine žice: 5

68 Numeričko rješenje e ds ' n Ikn fk ( ζ ') sn ' gn± ( s, sn ') dζ ' + dζ ' N en W N nl k k e dsn ' ± H ± ( s) = I ( ') * (, *) ' kn fk ζ sn gin± s sn dζ + 4 π n i= k = k+ + k (3.7) = dζ ' e dsn ' I ( ') (, ') ' kn fk ζ Gsn± s sn dζ ω µε eff ± dζ ' 3.4. Numerički primjeri Metodologija opisana u poglavljima i 3 verificirana je na nekoliko ilustrativnih primjera. Za pobudu su korištene sve tri navedene varijante (idealni naponski izvor, idealni strujni izvor i upadni ravni val). Nadalje, testirane su obje varijante izložene numeričke metode s linearnim te s kvadratičnim elementima. Također, u posljednjem primjeru je provjerena i metodologija proračuna električnog polja. Svi rezultati dobiveni GBIMRE metodom su uspoređeni s rezultatima u dostupnoj literaturi i/ili s rezultatima dobivenih NEC-om [4] Primjer Dvije kružne antene Prvi primjer se odnosi na dvije antene u obliku kružnih petlji radijusa b=.5m te radijusa žice a=.5m. Antene, čija su središta udaljena za d=.55m, su postavljene iznad konačno vodljive sredine karakteristika ε r = i σ=.s/m, na dva različita načina, međusobno paralelno i međusobno okomito, kako je prikazano na slikama 3.3 i 3.4. Slika 3.3 Konfiguracija kružnih antena 5

69 Numeričko rješenje Slika 3.4 Konfiguracija kružnih antena Od dvije antene lijeva (u oba slučaja) je aktivna, odnosno napajana idealnim naponskim izvorom iznosa U=V i frekvencije f=3mhz postavljenim u točku B, dok je desna antena pasivna. U slučaju konfiguracije rezultati za raspodjelu struje duž antena su prikazani na slikama 3.5 i 3.6. Usporedbom s rezultatima iz [64], te rezultatima dobivenih programskim paketom NEC [4] vidljivo je izvrsno slaganje rezultata i to kako za linearne tako i za kvadratične elemente. Pri tome je korišteno 4 linearna odnosno kvadratična elementa po anteni, dok je programskim paketom NEC proračun izvršen s 4 elemenata po anteni. x 4 8 Realni dio struje 6 real(i) (A) kut (rad) Imag(I) (A) x 3 3 Imaginarni dio struje GB IMRE izo GB IMRE izo3 NEC kut (rad) Slika 3.5 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 5

70 Numeričko rješenje x 4 Realni dio struje.5 real(i) (A) kut (rad) x 4 4 Imaginarni dio struje Imag(I) (A) kut (rad) GB IMRE izo GB IMRE izo3 NEC Slika 3.6 Raspodjela struje duž pasivne antene u konfiguraciji U slučaju konfiguracije rezultati za raspodjelu struje na aktivnoj anteni prikazani su na slici 3.7, uz korištenje istog broja elemenata. Struja na pasivnoj anteni je prema očekivanju jednaka tj. rezultati numeričkog proračuna daju iznose reda veličine -9 u slučaju GBIMRE metode i -5 u slučaju NEC-a. Iz tog razloga ih nema potrebe posebno prikazivati. x 4 5 Realni dio struje real(i) (A) kut (rad) Imag(I) (A) x 3 3 Imaginarni dio struje GB IMRE izo GB IMRE izo3 NEC kut (rad) Slika 3.7 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji 53

71 Numeričko rješenje Slično kao i u slučaju konfiguracije i kod konfiguracije je vidljivo izvrsno slaganje rezultata predloženih GBIMRE metoda s rezultatima dobivenim NEC-om. Također na primjeru konfiguracije izvršena je i analiza konvergencije rješenja kako u slučaju linearnih tako i u slučaju kvadratičnih elemenata. Slika 3.8 prikazuje raspodjelu struje na aktivnoj anteni za različiti broj linearnih elemenata. Vidljivo je da se dobra konvergencija postiže već s elementa dok se potpuna dobije s 4 elementa. x 4 8 Realni dio struje 6 real(i) (A) kut (rad) Imag(I) (A) x 3 3 Imaginarni dio struje Ne= Ne= Ne=4 Ne= kut (rad) Slika 3.8 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji za različiti broj linearnih elemenata Na slici 3.9 prikazana je raspodjela struje na aktivnoj anteni za različiti broj kvadratičnih elemenata. Može se primijetiti da je već s elemenata postignuta jako dobra točnost, dok je s elementa rješenje gotovo u potpunosti konvergiralo. 54

72 Numeričko rješenje x 4 8 Realni dio struje 6 real(i) (A) kut (rad) Imag(I) (A) x 3 3 Imaginarni dio struje Ne= Ne= Ne= kut (rad) Slika 3.9 Raspodjela struje duž aktivne antene u konfiguraciji za različiti broj kvadratičnih elemenata Primjer - Dalekovod U slijedećem primjeru obrađuje se problem interferencije na vodičima nadzemnih vodova uzrokovane ravnim valom proizvoljne incidencije. Sustav vodova se sastoji od četiri žice smještene iznad realne zemlje (karakteristika ε r = i σ=.s/m) kako je prikazano na slici 3.. Udaljenost između stupova koji nose vodiče je 3m. Tri donja voda su u načelu fazni vodiči, dok je četvrti tzv. zaštitno uže. Vodiči imaju radijus a=.5m i ovdje se smatraju idealno vodljivima. U prvom slučaju pretpostavlja se da su žice ravne te su pobuđene upadnim ravnim valom jedinične amplitude, frekvencije 5MHz te kutovima incidencije α=, θ=6 i φ=3. Na slikama 3. do 3.4 prikazana je raspodjela struje duž svake pojedine žice izračunata predloženom GBIMRE metodom te NEC-om. Vidljivo je izvrsno slaganje rezultata izračunatih dvjema metodama. 55

73 Numeričko rješenje Slika 3. Razmještaj vodiča dalekovoda. Realni dio struje.5 real(i) (A) x (m).4. Imaginarni dio struje GB IMRE NEC Imag(I) (A) x (m) Slika 3. Raspodjela struje na prvom vodiču 56

74 Numeričko rješenje.4 Realni dio struje. real(i) (A) x (m).5 Imaginarni dio struje GB IMRE NEC Imag(I) (A) x (m) Slika 3. Raspodjela struje na drugom vodiču.3 Realni dio struje. real(i) (A) x (m).6.4 GB IMRE NEC Imaginarni dio struje Imag(I) (A) x (m) Slika 3.3 Raspodjela struje na trećem vodiču 57

75 Numeričko rješenje.5 Realni dio struje real(i) (A) x (m)..5 Imaginarni dio struje GB IMRE NEC Imag(I) (A) x (m) Slika 3.4 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču U slijedećem slučaju uzet je u obzir provjes žica i to provjes od 3 m za fazne vodiče i 3.5 m za zaštitno uže. Vodiči su pobuđeni upadnim ravnim valom jedinične amplitude, frekvencije 5MHz te incidencije α=, θ= i φ=. Na slikama 3.5 do 3.8 prikazana je raspodjela struje duž svake pojedine žice izračunatu predloženom GBIMRE metodom s linearnim i kvadratičnim elementima te NEC-om. Vidljivo je izvrsno slaganje rezultata, kako između predloženih varijanti GBIMRE-a tako i tih rezultata s rezultatima dobivenih NEC-om. 58

76 Numeričko rješenje.4 Realni dio struje.3 real(i) (A) x (m).5 Imaginarni dio struje..5 Imag(I) (A)..5 GB IMRE izo.5 GB IMRE izo3 NEC x (m) Slika 3.5 Raspodjela struje na prvom vodiču.5 Realni dio struje real(i) (A) x (m).5 Imaginarni dio struje..5 Imag(I) (A)..5.5 GB IMRE izo GB IMRE izo3 NEC x (m) Slika 3.6 Raspodjela struje na drugom vodiču 59

77 Numeričko rješenje.4 Realni dio struje. real(i) (A) x (m).3 Imaginarni dio struje. Imag(I) (A).. GB IMRE izo GB IMRE izo3 NEC x (m) Slika 3.7 Raspodjela struje na trećem vodiču. Realni dio struje real(i) (A) x (m).3 Imaginarni dio struje.. Imag(I) (A)...3 GB IMRE izo GB IMRE izo3 NEC x (m) Slika 3.8 Raspodjela struje na zaštitnom vodiču Također na istom primjeru je provjeren utjecaj provjesa na raspodjelu struje uslijed proizvoljne incidencije. Slike 3.9 do 3. prikazuju razliku između raspodjele struje ukoliko se provjes uzme u obzir u odnosu na slučaj kada se koristi model s ravnim žicama. Upadni val, jedinične amplitude, ima kutove incidencije α=, θ=6 i φ=3 i frekvenciju 6

78 Numeričko rješenje od 5MHz. U slučaju da je provjes uzet u obzir, raspodjela struje je izračunata i s linearnim i s kvadratičnim elementima, dok je u slučaju ravne žice korištena samo linearna aproksimacija.. Realni dio struje.5 real(i) (A) x (m).4 Imaginarni dio struje. Imag(I) (A) x (m) GB IMRE izo GB IMRE izo3 GB IMRE ravne Slika 3.9 Raspodjela struje na prvom vodiču sa ili bez provjesa.4 Realni dio struje. real(i) (A) x (m).5 Imaginarni dio struje Imag(I) (A) GB IMRE izo GB IMRE izo3 GB IMRE ravne x (m) Slika 3. Raspodjela struje na drugom vodiču sa ili bez provjesa 6

79 Numeričko rješenje.4 Realni dio struje. real(i) (A) x (m).6 Imaginarni dio struje.4 Imag(I) (A).. GB IMRE izo.4 GB IMRE izo3 GB IMRE ravne x (m) Slika 3. Raspodjela struje na trećem vodiču sa ili bez provjesa.6 Realni dio struje.4 real(i) (A) x (m). Imaginarni dio struje.5 Imag(I) (A).5 GB IMRE izo GB IMRE izo3 GB IMRE ravne x (m) Slika 3. Raspodjela struje na zaštitnom vodiču sa ili bez provjesa Iz prikazanih rezultata jasno je vidljivo da je utjecaj provjesa značajan te bi ga kod ovakvih situacija, gdje postoji interferencija upadnim valom proizvoljne incidencije, svakako trebalo uzeti u obzir kod proračuna struje i/ili ostalih parametara od interesa. Razlika u slučaju uzimanja i neuzimanja provjesa u obzir najbolje se vidi na slici 3.3 koja 6

80 Numeričko rješenje prikazuje postotnu grešku u apsolutnom iznosu struje na prvom vodu ukoliko se zanemari provjes. Pogreška u strujnoj raspodjeli ide do maksimalnog iznosa od 9%. Također valja napomenuti da je, radi jednostavnosti usporedbe, struja na krajevima vodiča bila postavljena na nulu. 9 Postotna razlika apsolutnog iznosa struje Razkika (%) Slika 3.3 Postotna greška apsolutnog iznosa struje ukoliko se zanemari provjes x (m) Primjer 3 Mrežasti uzemljivač U trećem primjeru razmatra se mrežasti uzemljivač dimenzija 6x6m, s okom mreže od xm [65]. Uzemljivač je izveden od bakrene žice (konačne vodljivosti) radijusa a=.7m te je ukopan u zemlju na dubinu od d=.5m. Zemlja je smatrana homogenom specifične električne vodljivosti σ=.s/m i relativne dielektričnosti ε r =9. Geometrija razmatranog uzemljivača je prikazana na slici 3.4, gdje su također naznačene točke injektiranja struje: a) centar uzemljivača, i b) kut uzemljivača. U prvom slučaju struja frekvencije 5Hz i jakosti ka je narinuta u centar uzemljivača kako je naznačeno na slici 3.4. Korištenjem predložene GBIMRE metode izračunata je raspodjela električnog polja na površini zemlje iznad uzemljivačkog sustava, primjenom relacije (3.64). 63

81 Numeričko rješenje Slika 3.4 Geometrija mrežastog uzemljivača Na slici 3.5 prikazana je raspodjela apsolutne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje, dok je na slici 3.6 prikazana apsolutna vrijednost x-komponente električnog polja. Slika 3.5 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (5Hz centralna pobuda) 64

82 Numeričko rješenje Slika 3.6 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (5Hz centralna pobuda) U drugom slučaju narinuta struja je frekvencije.5mhz iste amplitude. Raspodjele apsolutnih vrijednosti kako ukupnog električnog polja tako i x-komponente električnog polja na površini zemlje su prikazane na slikama 3.7 i 3.8. Slika 3.7 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (.5MHz centralna pobuda) 65

83 Numeričko rješenje Slika 3.8 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (.5MHz centralna pobuda) U slučaju da se struja injektira u kut uzemljivača raspodjela električnog polja na površini se uvelike mijenja što je vidljivo iz slika 3.9 i 3.3. Slika 3.9 Raspodjela efektivne vrijednosti ukupnog električnog polja na površini zemlje (.5MHz kutna pobuda) 66

84 Numeričko rješenje Slika 3.3 Raspodjela efektivne vrijednosti x-komponente električnog polja na površini zemlje (.5MHz kutna pobuda) Ukoliko se usporede rezultati prikazani na slikama 3.5 do 3.3 s rezultatima objavljenima u [65] uočava se izvrsno slaganje, čime se potvrđuje ispravnost predložene GBIMRE metode. Izvrsno slaganje se može vidjeti i ukoliko se usporede izračunate vrijednosti x- komponente električnog polja na površini zemlje izračunate duž pravca y=5m i x=-4m u slučaju centralne pobude s rezultatima objavljenim u [66]. Ta usporedba, na različitim frekvencijama, je prikazana na slici

85 Numeričko rješenje Hz.5MHz MHz 5Hz Grcev.5MHz Grcev MHz Grcev 5 Ex (V/m) Slika 3.3 Usporedba x komponente električnog polja na različitim frekvencijama x (m) Iz slike 3.3 je vidljivo kako GBIMRE metoda daje jako dobre rezultate bez obzira na frekvenciju pobude. 68

86 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene 4. KONCEPT KRUŽNOG MAGNETSKOG PRSTENA I JEDNOSTAVNE MAGNETSKE KRUŽNE ANTENE Nema sumnje da je najčešće korišteni model pobude u teoriji žičanih antena, već spomenuti, jednostavni idealni naponski izvor. Iako takav generator ne postoji u praksi, te usprkos njegove jednostavnosti, rezultati koje daje su vrlo dobri. To se posebice odnosi na dijagram zračenja. Drugi nerijetko korišteni izvor pobude vezan je za koncept magnetskog prstena (eng. magnetic frill). Ovaj model općenito daje točnije rezultate za ulaznu impedanciju ali pod cijenu složenije matematičke formulacije. Kod koncepta magnetskog prstena početna postavka je da je monopol, postavljen na ravninu (eng. ground plane), napajan koaksijalnim kabelom. Osnovna ideja je da se tada električno polje unutar koaksijalnog otvora može interpretirati kao primarni izvor koji pobuđuje ostatak antene. Originalno model je predložen u [67] i uspješno implementiran u [68] i [69] za cilindrične dipole. Iako se objašnjenje osnovne ideje modela može pronaći u mnogim knjigama na temu antena [55], [56], [7], [7] nema mnogo znanstvenih radova u kojima se detaljnije obrađuje. Ti radovi su uglavnom ograničeni na jednostavne dipole [43], [7] ili prstenove [73], [74]. Važno je napomenuti da su se i jedan i drugi generator do sada postavljali samo pomaknuti od krajeva žice (antene), a nikada na otvorene krajeve žice. Dok se idealni naponski izvor ni na koji način ne može postaviti na otvoreni kraj žice, predložen matematički model i numeričko rješenje, kako će biti pokazano, omogućava da se jednostavni magnetski prsten postavi na kraj žice bez da izazove numeričke nestabilnosti i nefizikalna rješenja. Ovo će omogućiti značajno proširenje primjenljivosti naponski upravljanih pobuda na modeliranje fizikalnih procesa. Na temelju osnovne ideje jednostavnog magnetskog prstena predložit će se i korištenje jednostavne magnetske kružne antene kao naponski upravljanog generatora u teoriji antena. 4.. Koncept kružnog magnetskog prstena Razmatra se monopol antena, vertikalna u odnosu na zemlju, kružnog presjeka, koja predstavlja produžetak unutrašnjeg vodiča koaksijalne linije. Linija napaja antenu preko beskonačne, idealno vodljive ravnine. Koristeći princip ekvivalentnosti pobuda 69

87 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene koaksijalnim kabelom se može zamijeniti ekvivalentnim tangencijalnim (u odnosu na otvor, tj. radijalnim) električnim poljem definiranim duž otvora koaksijalne linije. U slučaju da je otvor koaksijalne linije električki mali (valna duljina vala mnogo veća od radijusa vanjskog vodiča) tada je distribucija električnog polja duž otvora primarno TEM (transverzalno elektromagnetski mod) prirode. To znači da se električno polje duž otvora koaksijalne linije može aproksimirati sa samo TEM modom [4], [55]: E = e ρ V b ρ ln a (4.) gdje je V napon, b radijus vanjskog vodiča, a a radijus unutarnjeg vodiča koaksijalne linije koji se poklapa s radijusom antene. Faktor ½ se koristi zato što se pretpostavlja da je impedancija izvora prilagođena impedanciji antene. U slučaju da se koristi napon na ulaznim stezaljkama antene V = V i, umjesto napona iz izvora V = V s, ovaj faktor postaje. Električno polje na stezaljkama antene se zamjenjuje kružnom gustoćom magnetske struje oko žice, unutarnjeg radijusa a (ujedno i radijus antene) i vanjskog radijusa b, kako je skicirano na slici 4.. Slika 4. Monopol napajan koaksijalnom linijom i pripadajući magnetski prsten 7

88 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Na površini procjepa antene vrijedi granični uvjet: n E E = M f (4.) ( ) gdje je M f ekvivalentna gustoća magnetske struje, a: n = ez (4.3) vektor smjera antene. E je električno polje pobude i u slučaju koaksijalnog napajanja te pretpostavljenog TEM moda propagacije iznosi: dok je: E = e ρ V b ρ ln a E = (4.4) (4.5) električno polje unutar žice, budući da se smatra da je žica idealno vodljiva. Valja napomenuti da faktor u izrazu (4.) proizlazi iz teorije preslikavanja, te se koristi ukoliko u jednadžbi (4.) primjenjuje napon izvora V s. U slučaju korištenja napona na stezaljkama antene V i tada se faktor zamjenjuje s jedinicom. Uvrštavajući izraze (4.3)-(4.5) u (4.) slijedi izraz za ekvivalentnu gustoću magnetske struje oko žice : M f = e φ V b ρ ln a (4.6) Dakle, da bi se magnetski prsten mogao koristiti kao pobuda žičane strukture potrebno je odrediti izraz za električno polje magnetskog prstena na površini antene. 7

89 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Električni vektorski potencijal definiran je izrazom [75]: jkr ε e F ( x, y, z) = M ( x', y ', z ') ds ' 4π R S ' (4.7) gdje je R udaljenost od točke izvora do točke promatranja, a k valni broj. Općenito prostorna raspodjela magnetske struje se može zapisati u obliku: M x y z e M x y z e M x y z e M x y z ( ', ', ') = ( ', ', ') ( ', ', ') ( ', ', ') x + y + z x y z (4.8) S obzirom na cilindričnu geometriju, mnogo je podesnije zapisati komponente struje u cilindričnom koordinatnom sustavu pomoću transformacije: M x cos φ ' sin φ ' M ρ M y sin φ ' cos φ ' M = φ M z M z (4.9) i transformacije koordinatnog vektora: ex cosφ sinφ eρ e y sinφ cosφ = eφ e z ez (4.) Uvrštavajući (4.9) i (4.) u (4.8) dobiva se izraz za prostornu raspodjelu magnetske struje u cilindričnom sustavu: M = eρ M ρ cos( φ φ ') + Mφ sin( φ φ ') + + eφ M ρ sin( φ φ ') + Mφ cos( φ φ ') + + ezm z ( x ', y ', z ') (4.) 7

90 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene U konkretnom slučaju jednostavnog magnetskog prstena ostaje samo φ komponenta M φ gustoće magnetske struje: M = eφ Mφ cos( φ φ ') (4.) Udaljenost R od bilo koje točke na prstenu do točke promatranja je općenito: ( ') ( ') ( ') R = x x + y y + z z (4.3) odnosno ako je prikažemo u cilindričnom koordinatnom sustavu: ( ) ( ) R ρ ρ ρρ φ φ z z = + ' 'cos ' + ' (4.4) Budući je M φ dano s (4.6) ne ovisi o kutu φ, tada i polje koje izrači prsten neće biti ovisno o kutu φ. Zbog toga se, bez gubitka općenitosti može uzeti da je φ =. Tada se (4.4) reducira: ( ) = + ' 'cos ' + ' (4.5) R ρ ρ ρρ φ z z Korištenjem (4.) i (4.5), φ komponenta električnog vektorskog potencijala (4.7) postaje: ( ) b π jk ρ + ρ ' ρρ 'cos φ ' + z z ' e φ cos φ ' ρ ' φ ' ρ ' (4.6) a ε Fφ = 4 π M d d ρ + ρ ' ρρ 'cos φ ' + ' ( z z ) gdje je diferencijal površine definiran u cilindričnom koordinatnom sustavu oblika: ds ' = ρ ' dφ ' dρ ' (4.7) Uvrštavanjem (4.6) u (4.6) konačno slijedi: 73

91 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene ( ) b π jk ρ + ρ ' ρρ 'cos φ ' + z z ' ε V e Fφ = d d b a cos φ ' φ ' ρ ' 4 π (4.8) ln ρ + ρ ' ρρ 'cos φ ' + ( z z ') a Dvostruki integral u (4.8) nije analitički rješiv, te ga je nužno izračunati numerički. Nadalje, električno i magnetsko polje izraženo je preko magnetskog i električnog vektorskog potencijala na način [75]: Odnosno: E = jω A j ( A) F ωµε ε H = jω F j ( F ) + A ωµε µ (4.9) (4.) U konkretnom slučaju jednostavnog magnetskog prstena jednadžbe (4.9) i (4.) se reduciraju i za cilindrični koordinatni sustav se dobiva: Ez = ε ρ ρ E ρ H = ε z φ ( ρf φ ) ( Fφ ) (4.) (4.) = jωf (4.3) φ Dakle, električno polje magnetskog prstena na površini žice nije jednostavno odrediti budući da postupak zahtjeva i numeričko integriranje i numeričko deriviranje, što zahtjeva dosta vremena računanja. Što je još bitnije, numeričko integriranje, a posebice deriviranje je jako osjetljivo na diskretizaciju domene te je mogućnost dobivanja netočnih i nefizikalnih rezultata vrlo izgledna. Valja napomenuti da u literaturi postoje aproksimativni analitički izrazi za polja magnetskog prstena, ali su izrazito kompleksni [4]. Međutim, ukoliko se promatra samo polje duž osi z, tj. za ρ =, tada je moguće izvesti analitički izraz za električno polje duž te osi. U slučaju da je žica dovoljno tanka, 74

92 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene što se implicira kod tankožičane aproksimacije, može se pretpostaviti da je polje na površini žice jednako polju duž osi žice. Dakle, tada simetrija problema uvjetuje da je ρ komponenta električnog polja jednaka nuli. Također izraz za udaljenost od točke izvora do točke promatranja (4.5) se pojednostavljuje, odnosno postaje: ( ') R ρ ' z z = + (4.4) pa onda izraz za električni vektorski potencijal poprima sljedeći oblik: ( ) b jk ρ ' + z z ' π ε V e φ (, ) = cos φ ' φ ' ρ ' π b a (4.5) F z d d 4 ln ρ ' ( z z ') + a što je identički jednako nuli budući je: π cos φ ' dφ ' = (4.6) Tada je magnetsko polje u osi z: Hφ (, z) (4.7) Iz (4.) slijedi: ( ρ, ) ( ρ, ) Fφ z Fφ z Ez(, z) = ε ρ ε ρ ρ = ρ = (4.8) Korištenjem L'Hospital-ovog pravila za prvi izraz s desne strane (/) (4.8) dobiva se: 75

93 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene ( ρ, z) Fφ Ez(, z) = ε ρ = ρ (4.9) Uvrštavanjem (4.5) u (4.9) te mijenjanjem redoslijeda integracije i deriviranja slijedi: b π jk ρ + ρ ' ρρ ' cos φ ' + ( z z ') V e Ez (, z) = cos φ ' dφ ' dρ ' π b (4.3) ρ ln a ρ ρ ' ρρ 'cos φ ' ( z z ' + + ) ρ = a Izraz (4.3) je analitički rješiv, pa je električno polje duž osi z jednako [4]: E z (, z) ( ') ( ') jk a + z z jk b + z z V = e e b ln a + ( z z ') b + z z ' a ( ) (4.3) Jednadžba (4.3) predstavlja pobudu ravne žičane strukture u vidu tangencijalnog exc električnog polja, tj. E ( s ) u jednadžbi (.3) kada se pobuda modelira jednostavnim sm magnetskim prstenom. Valja napomenuti da se na ovaj način uspješno modelira napajanje dipola pomoću napajanja monopola. S druge strane, iako nije praktično izvediv, ovakav način matematičkog modeliranja se može koristiti za pobuđivanje složenijih žičanih struktura, što uključuje ne-centralno napajane antene, proizvoljne žičane strukture s jednim ili više generatora, a posebice strukture koje se napajaju na otvorenom kraju žice. Ovo posljednje se naročito odnosi na modeliranje kanala groma, gromobrana i uzemljivača. Jedini možebitni nedostatak ovako formulirane pobude je nejasno definiran radijus b. Najčešće se radijus b određuje iz karakteristične impedancije prstenastog otvora koaksijalne linije definirane s [55]: b ln µ a Z = c (4.3) ε π 76

94 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Dakle, npr. u slučaju 5Ω-ske karakteristične impedancije (često u antenskim primjenama) i zraku između vodiča koaksijalne linije vanjski radijus magnetskog prstena je b =.3a. Karakter aksijalnog električnog polja definiranog (4.3) uzrokovanog magnetskim prstenom unutarnjeg radijusa a =.5m, vanjskog radijusa b =.5m (što odgovara 5Ω-skom prilagođenju) te ulaznom naponu od V pri frekvenciji od 3MHz prikazana je na slici 4.. Zbog rapidnog opadanja polja posebnu pažnju treba posvetiti numeričkoj integraciji pri proračunu vektora desne strane, tj. vektora pobude ABS (E) [V/m] 4 3 FAZA (E) [ ] pozicija [m] pozicija [m] Slika 4. Polje magnetskog prstena 4.. Koncept jednostavne magnetske kružne antene Na tragu koncepta magnetskog prstena može se predstaviti koncept jednostavne magnetske kružne antene kao pobude proizvoljne žičane strukture, slika 4.3. Dakle na mjestu pobude žice (antene) postavlja se jednostavna kružna antena, radijusa a (koji je ujedno i radijus pobuđivane žice) kojom teče gustoća magnetske struje M f. 77

95 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Slika 4.3 Antena pobuđena jednostavnom magnetskom kružnom antenom Da bi se jednostavna kružna antena koristila kao pobuda žičane strukture valja odrediti aksijalnu komponentu električnog polja u osi antene. Dakle kao i u slučaju magnetskog prstena električni vektorski potencijal je definiran sa (4.7), dok je prostorna raspodjela magnetske struje u cilindričnim koordinatama dana sa (4.). U konkretnom slučaju magnetske antene, tj. kada b a ostaje samo φ komponenta M φ magnetske gustoće struje pa slijedi: M f = eφm φ cos( φ φ ') = eφ δ ( ϕ ' = a) cos( φ φ ') (4.33) Slijedeći postupak analogan onome u slučaju magnetskog prstena, te uz zamjenu ρ ' = a, dolazi se do izraza za električni vektorski potencijal koji ima samo φ komponentu: π ( ) jk ρ + a ρa cos φ ' + z z ' ε a e F = δ ( a)cos φ ' dφ ' φ 4π ρ + a ρacos φ ' + z z ' ( ) (4.34) Integral u (4.34) nije analitički rješiv, te je nužna numerička integracija. 78

96 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Električno i magnetsko polje dobije se iz električnog vektorskog potencijala, odnosno primjenom relacija (4.) - (4.3). U slučaju da se promatra samo polje duž osi z, tj. za ρ =, tada simetrija problema uvjetuje da je ρ komponenta električnog polja jednaka nuli, a izraz za električni vektorski potencijal poprima sljedeći oblik: ( ) jk a + z z ' ε a e F (, z) = δ ( a)cos φ ' dφ ' φ 4 π a + z z ' ( ) π (4.35) što je identički jednako nuli. Korištenjem (4.9) te mijenjanjem redoslijeda integriranja i deriviranja slijedi: ρ ρ cos φ ' ( ') a Ez (, z) = ( a)cos ' d ' π ρ ρ ρ φ π jk + a a + z z e δ φ φ (4.36) a a cos ' ( z z ' + + ) ρ = Izraz (4.36) je analitički rješiv, te je električno polje duž osi z jednako: a (, ) e Ez z = jk + + ( ') + a z z ( ') jk a + z z ( ) a z z ' (4.37) Jednadžba (4.37) predstavlja pobudu ravne žičane strukture u vidu tangencijalnog exc električnog polja, tj. E ( s ) u jednadžbi (.3) kada se pobuda modelira jednostavnom sm magnetskom kružnom antenom. Ovako formulirana pobuda još nije korištena u poznatoj znanstvenoj literaturi. Iako nema fizikalni smisao niti je fizički izvediva, matematički je jako pogodna i stabilna, a pogotovo pri procjeni ulazne impedancije kako će se pokazati naknadno. Također, ovakav model generatora je pogodan za pobudu složenih žičanih struktura bez obzira na mjesto pobude, uključujući i napajanje na otvorenom kraju žice, bez da izazove pojavu nefizikalnih rješenja koji su se javljali kod korištenja npr. idealnog naponskog izvora [9]. Osnovna prednost u odnosu na model magnetskog prstena je izostanak radijusa b i izrazima koji u modelu magnetskog prstena nije jasno definiran. 79

97 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Karakter aksijalnog električnog polja definiranog s (4.37) uzrokovanog magnetskom kružnom antenom radijusa a =.5m, pri frekvenciji od 3MHz prikazan je na slici 4.4. Kao i u slučaju magnetskog prstena, zbog rapidnog opadanja polja posebnu pažnju treba posvetiti numeričkoj integraciji pri proračunu vektora pobude. -5 ABS (E) [V/m] FAZA (E) [ ] pozicija [m] pozicija [m] Slika 4.4 Polje kružne magnetske antene Izraz (4.37) se također može izvesti iz električnog polja duž aksijalne linije (ρ=) magnetskog prstena smještenog u xy ravninu unutarnjeg radijusa a i vanjskog radijusa b danog izrazom (4.3). Naime, u graničnom slučaju kada b a slijedi [4]: E P z ( z) ( ') ( ) ( ') jk b + z z jk b + z z V e e, = lim b a b a + z z ' b + z z ' ln a ( ) (4.38) P gdje je E (, ) z z aksijalno električno polje magnetskog prstena. Limes u izrazu (4.38) ima neodređeni oblik (/) te se koristeći L'Hospital-ovo pravilo, dobije: 8

98 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene jk a + z z P a e Ez (, z) = V jk + a + ( z z ') a + z z ' ( ') ( ) (4.39) što odgovara izrazu (4.37) ukoliko se razmatra jedinični napon Veza između jednostavnog naponskog izvora i jednostavne magnetske kružne antene Poznato je da se kod jednostavnog naponskog izvora pretpostavlja kako je električno polje konstantno između stezaljki, a nula na ostatku strukture. Zadovoljenjem graničnog uvjeta to električno polje se može zamijeniti ekvivalentnom gustoćom magnetske struje M g [55], kako je prikazano na slici 4.5: exc V s Vs M g = n E s = eρ ez = eφ ; z ' (4.4) Slika 4.5 Veza između jednostavnog naponskog izvora i magnetske antene Ponavljajući postupak kao u slučaju magnetskog prstena slijedi izraz za vektorski električni potencijal ovako definirane gustoće magnetske struje: 8

99 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene F φ = π jk ρ + a ρa cos φ ' + ( z z ') ε a Vs e φ 4π ρ + a ρacos φ ' + z z ' cos ' dz ' dφ ' ( ) (4.4) Tada je električno polje duž aksijalne osi, tj. za ρ =, u skladu s (4.6) i (4.9) definirano relacijom: π jk ρ + a ρa cos φ ' + ( z z ') a Vs (, ) cos φ ' e E = z z φ ' ' π d dz ρ ρ + ρ φ + ( ) cos ' ' a a z z ρ = (4.4) Deriviranjem i jednostrukim integriranjem izraza (4.4) slijedi: a V E, z = jk + dz ' z ( ) jk a + ( z z ') s e a + ( z z ') a + ( z z ') (4.43) Izraz (4.43) nije analitički rješiv, pa je nužno potrebno provesti numeričku integraciju. Međutim ukoliko se pretpostavi da je, odnosno da je razmak između stezaljki dovoljno mali da je podintegralna funkcija konstantna duž intervala tada se dobiva izraz za električno polje duž aksijalne osi ekvivalentne magnetske struje za jako mali razmak između stezaljki napajanja: a (, ) e Ez z = V jk + + ( ') + a z z a z z ( ') jk a + z z ( ) s ' (4.44) što odgovara izrazu za polje magnetske kružne antene (4.39), uz proizvoljni napon. Ovakav rezultat potvrđuje opravdanost primjene magnetske kružne antene kao naponski upravljane pobude žičane strukture. 8

100 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene 4.4. Numeričko rješenje i primjeri Budući da u slučaju pobude antene kružnim magnetskim prstenom ili magnetskom kružnom antenom izraz za tangencijalno električno polje nije trivijalan kao u slučaju jednostavnog naponskog izvora proračun vektora desne strane (3.4) je nešto kompliciraniji, nije analitički izvediv, te zahtjeva upotrebu sofisticiranih postupaka za numeričku integraciju. Naime, zbog jako strme karakteristike tih polja prikazane na slikama 4. i 4.4, nije pogodno koristiti jednostavnije integracijske tehnike poput Gaussove kvadrature već je nužno upotrebiti adaptivne tehnike poput adaptivne Simpson-ove integracije, koja osigurava brzu konvergenciju rješenja. Jedino na taj način je moguće, za veliki raspon dužina elemenata, dobiti točne koeficijente vektora desne strane. Izraz za vektor desne strane (3.4) u slučaju pobude magnetskim prstenom postaje: z jk a + ( z z ') jk b + ( z z ') e V e e V = j4πωε eff { } j ± f dz j b (4.45) ln z a + ( z z ') b + ( z z ' ) a { } dok u slučaju pobude magnetske antene ima oblik: z jk a + ( z z ') e a e V = j4πωε ( ) ( ) { } j eff V s jk ± f dz j + (4.46) z ' a + z z ' a + z z { } Valja napomenuti da se u izrazima (4.45) i (4.46) koriste neizoparametarske verzije baznih funkcija (3.8) definirane s: f z z ; f z = = z z z z z (4.47) Naime korištenjem baznih funkcija oblika (4.47) nema potrebe izraze za tangencijalno polje (4.3) i (4.44) prebacivati u izoparametarsko područje ζ. Također, pri rješavanju integrala u (4.45) i (4.46) se u ovom radu koristi adaptivna simpsonova integracija jer 83

101 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene klasična Legendre-Gauss-ova kvadratura ne daje dovoljno precizne rezultate a za koju je interval integriranja potrebno prebaciti u područje [-,] Predajna antena Prvi primjer predstavlja jednostavnu centralno napajanu dipol antenu u predajnom režimu rada duljine L=.94λ i radijusa žice a=.5λ, smještene u slobodan prostor. Tablica 4. prikazuje vrijednosti vektora desne strane proračunatog prema izrazu (3.4) (podijeljenom s konstantom j 4πωε eff ± radi jasnije usporedbe) za različite vrste i modele pobude jediničnog napona. Vrijednosti u tablici 4.. su dobivene uz linearnu aproksimaciju s. elementom. Budući je dipol napajan centralno dovoljno je pokazati samo polovicu vektora jer je druga polovica simetrična. Vrijednosti u tablici su zbog jasnije usporedbe prikazani grafički na slici 4.6. Čvor Tablica 4. Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude Magnetski prsten Mag. kružna Delta b/a=,3 b/a=5 b/a= b/a=, antena ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza,3e-5 87,3 6,69E-5 86,94 5,87E-3 53,7,93E-6 87,5 8,99E-6 87,5 5,35E-5 96,86,55E-4 96,77,8E- 6,5 4,47E-6 96,89,8E-5 96,88 3 6,8E-5,84,96E-4,74,48E- 74,7 5,68E-6,86,64E-5,86 4 8,94E-5 4,33,58E-4 4,,73E- 87, 7,47E-6 4,36 3,47E-5 4,36 5,3E-4 37,8 3,55E-4 37,6,4E- 99,,3E-5 37, 4,79E-5 37, 6,8E-4 49,4 5,E-4 49,,44E-,8,5E-5 49,8 7,4E-5 49,7 7,93E-4 59,87 8,43E-4 59,73,99E-,8,45E-5 59,9,4E-4 59,9 8 5,58E-4 68,87,59E-3 68,7 3,8E- 34,57 4,68E-5 68,9,8E-4 68,9 9,44E-3 75,5 4,4E-3 75,36 5,4E- 46,69,E-4 75,54 5,65E-4 75,54 8,47E-3 79,,E- 79,8 8,7E- 59,98 7,45E-4 79,5 3,43E-3 79,4,5 8 4,9E- 79,99 4,77E- 79,96 3,8E- 74,5 4,99E- 8, 4,97E- 79,99 84

102 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene V cvor 5 arg(v) cvor Delta MF b=.3 MF b=5 MF b= MF b=. MA Slika 4.6 Usporedba vrijednosti vektora desne strane za različite pobude Odmah je vidljivo da se vrijednosti vektora desne strane razlikuju ovisni o modelu pobude. U slučaju jednostavnog naponskog izvora samo čvorovi elementa na kojem je postavljen izvor su različiti od nule i jednaki polovici narinutog napona (u ovom slučaju.5), dok su u slučaju magnetskog prstena i magnetske kružne antene svi članovi različiti od nule. Međutim, opadanje vrijednosti članova je jako izraženo ukoliko se udaljavamo od samog izvora, tako da već nakon nekoliko elemenata razlika je nekoliko redova veličine. Također valja primijetiti da je iznos vektora desne strane na elementu na kojem je postavljen izvor blizu polovice narinutog napona kao u slučaju jednostavnog naponskog izvora. Jedini slučaj koji odstupa od ovog pravila je kada je faktor b puno veći od a kod modeliranja pobude magnetskim prstenom. Tada je vektor desne strane bitno drugačiji nego kod ostalih pobuda, kako u samom iznos tako i u brzini opadanja. Slika 4.7 prikazuje raspodjelu struje na gore spomenutom dipolu za tri različita modela pobude: jednostavni naponski izvor, magnetski prsten (b=.3a), i jednostavnu magnetsku antenu. Za numeričko rješenje je korišten linearni rubni element i jedinični napon pobude. Odmah je vidljivo da su rezultati potpuno usklađeni. Jedina mala razlika je vidljiva u imaginarnom dijelu struje na mjestu same pobude. Velika prednost u primjeni magnetskog prstena i pogotovo magnetske antene kao pobude je vidljiva na slici 4.8 gdje je prikazana raspodjela struje na istom dipolu ali izračunata na linearnih elemenata. Naime, ukoliko 85

103 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene je dipol centralno napajan upotreba jednostavnog naponskog izvora u numeričkom rješenju zahtjeva upotrebu neparnog broja elemenata. Takovog ograničenja nema kod magnetskog prstena i magnetske antene koji mogu biti numerički vezani bilo za čvor bilo za element. x 3.4 Realni dio struje. real(i) (A) x/ λ x 3 Imaginarni dio struje Jed. nap. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.7 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija) x/ λ x 3.4 Realni dio struje. real(i) (A) x/ λ x 3 Imaginarni dio struje Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.8 Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i parni broj elemenata) x/ λ 86

104 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Izvrsno slaganje rezultata se dobije i ukoliko se koriste tročvorni kvadratični elementi, kako je pokazano na slici 4.9, gdje je korišteno tročvornih elemenata. Također ni u ovom slučaju nema nikakvih ograničenja u smisli postavljanja pobude u vidu magnetskog prstena ili magnetske antene. x 3 Realni dio struje.8 real(i) (A) x/ λ x 3.5 Imaginarni dio struje Jed. nap. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.9 Raspodjela struje za različite pobude (kvadratična aproksimacija) x/ λ Slika 4. prikazuje raspodjelu struje na nesimetrično napajanoj anteni duljine L=.94λ i radijusa a=.5λ, smještene u slobodan prostor za različite modele napajanja. U ovom slučaju napajanje je postavljeno na sedmi element tj. na poziciji.8λ udaljenoj od lijevog kraja antene. Opet, slaganje rezultata je potpuno, iako je originalno izvor u vidu magnetskog prstena izveden za centralno napajani dipol. 87

105 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene.5 Realni dio struje. real(i) (A) x/ λ x 3 Imaginarni dio struje Jed. nap. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4. Raspodjela struje za različite pobude (linearna aproksimacija i necentralno napajanje) x/ λ Slijedeći primjer prikazuje ovisnost raspodjele struje, na prethodno razmatranom dipolu, o faktoru b u izrazu za električno polje magnetskog prstena. Kako je vidljivo iz slike 4. utjecaj faktora b postaje značajan ukoliko je b puno veće od a. Jasno je da faktor b može imati značaj budući da u načelu mijenja stvarni napon na ulaznim stezaljkama antene, što može rezultirati krivom procjenom ostalih parametara od interesa, poput ulazne impedancije. Ovakvih problema nema ukoliko se koristi jednostavni naponski izvor ili pobuda u vidu magnetske kružne antene. Na temelju dosadašnjih razmatranja može se zaključiti da se pobudom u vidu magnetske antene kombiniraju prednosti magnetskog prstena u smislu slobode pozicioniranja i točnosti, te prednosti jednostavnog naponskog izvora u smislu jedinstvenosti i neovisnosti o drugim parametrima. 88

106 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene x 4 5 Realni dio struje real(i) (A) x/ λ Imag(I) (A) x 3 Imaginarni dio struje b=.a b=.3a b=5a b=a Slika 4. Ovisnost raspodjele struje o vanjskom radijusu magnetskog prstena b x/ λ Uzemljivač Kao što je već izneseno koncept magnetskog prstena i kružne magnetske antene se može upotrijebiti u modeliranju fizikalnih procesa kod kojih se napajanje postavlja na kraj žice. To se uglavnom odnosi na modeliranje pojava i sustava vezanih za udar munje kao što su kanal groma, gromobran i uzemljivač. Do sada su se u literaturi koristili idealni strujni izvor [4], [46], [47] opisan u poglavlju, te jednostavni naponski izvor ali samo u slučaju kada se struktura koja se modelira (uglavnom kanal groma) nalazi iznad idealno vodljive zemlje, pri čemu je izvor smješten na granici zemlja-zrak, pa je moguće jedan terminal izvora postaviti na strukturu a drugi na sliku te strukture [3], [39], [4]. U ovom radu će se na primjeru uzemljivača pokazati ispravnost i točnost modela pobude žičanih struktura na kraju strukture upotrebom magnetskog prstena ili kružne magnetske antene, kako je skicirano na slici 4.. Vrijedi još jednom istaknuti da su koncept magnetskog prstena, kao i koncept kružne magnetske antene naponski upravljane pobude za razliku od idealnog strujnog izvora te su stoga mnogo podesnije i opravdanije za korištenje ukoliko se pojava modelira teorijom antena. To se odmah vidi ukoliko se usporede vrijednosti vektora desne strane u slučaju korištenja idealnog strujnog izvora, magnetskog prstena ili pak kružne magnetske antene. Usporedba je dana u tablici 4. i na 89

107 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene slici 4.3 za primjer horizontalnog uzemljivača dugog m ukopanog na dubini.5m u zemlju karakteristika ε r = i σ =.S m. Uzemljivač je numerički tretiran s linearnim elementom, dok je frekvencija pobude iznosila 5MHz. Slika 4. Pobuda na otvorenom kraju žice Tablica 4. Vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača Čvor Idealni strujni izvor Magnetski prsten b/a=,3 Jedinični napon Normaliziran na jediničnu struju Mag. kružna antena Jedinični napon Normaliziran na jediničnu struju ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza ABS faza 4,5E- 8,,35E+ 7, 4,5E- 8,,48E+ 7 7,4E- 8, 3,94E+ 7, 4,84E- 8,,66E+ 7 3,3E-3 79,99,8E+ 7, 9,3E-4 79,99 5,E- 6,99 4 5,88E-4 79,98 3,4E- 6,98,9E-4 79,98,6E- 6,98 5,36E-4 79,96,3E- 6,96 9,9E-5 79,96 5,5E- 6,96 6,8E-4 79,93 6,53E- 6,93 4,6E-5 79,93,53E- 6,93 7 6,78E-5 79,9 3,74E- 6,9,63E-5 79,9,45E- 6,9 8 4,4E-5 79,85,34E- 6,86,65E-5 79,85 9,7E-3 6,86 9,84E-5 79,8,56E- 6,8,E-5 79,8 6,6E-3 6,8,99E-5 79,75,E- 6,75 7,73E-6 79,75 4,5E-3 6,75,45E-5 79,68 8,E-3 6,69 5,63E-6 79,68 3,E-3 6,68,9E-5 79,6 6,E-3 6,6 4,3E-6 79,6,33E-3 6,6 3 8,4E-6 79,5 4,64E-3 6,53 3,7E-6 79,5,79E-3 6,53 4 6,6E-6 79,43 3,65E-3 6,44,57E-6 79,43,4E-3 6,43 5 5,3E-6 79,33,93E-3 6,34,6E-6 79,33,3E-3 6,33 6 4,33E-6 79,,39E-3 6,3,68E-6 79, 9,5E-4 6, 7 3,58E-6 79,,97E-3 6,,39E-6 79, 7,64E-4 6, 8,99E-6 78,97,65E-3 5,98,6E-6 78,97 6,39E-4 5,97 9,53E-6 78,83,4E-3 5,84 9,8E-7 78,83 5,4E-4 5,83,6E-6 78,68,9E-3 5,69 8,38E-7 78,68 4,6E-4 5,69,86E-6 78,53,E-3 5,53 7,E-7 78,53 3,96E-4 5,53 8,4E-7 78,4 4,65E-4 5,4 3,7E-7 78,4,8E-4 5,4 9

108 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene 4 V cvor 8 arg(v) cvor Strujni izvor MF b=.3 MA Slika 4.3 Usporedba normaliziranih vrijednosti vektora desne strane za različite pobude u slučaju modeliranja uzemljivača U slučaju idealnog strujnog izvora pobuda se modelira preko graničnog uvjeta, kako je opisano u drugom poglavlju pa je vektor desne strane jednak nuli. U slučaju da se pobuda modelira postavljanjem magnetskog prstena ili kružne magnetske antene na kraj žice vektor desne strane je različit od nule. U tablici 4. su usporedno prikazane vrijednosti vektora desne strane za jedinični napon i za normalizirani napon koji će dati jediničnu struju u prvom čvoru posebno za magnetski prsten a posebno za kružnu magnetsku antenu. Valja napomenuti da je prijelaz s jediničnog napona na jediničnu struju vrlo jednostavan budući je sustav linearan. Ukoliko se razmotre vrijednosti vektora desne strane za slučaj magnetskog prstena i kružne magnetske antene vidi se da je vrijednost napona na prvom čvoru malo manja od.5 što je logično budući samo polovica karakteristike električnog polja prikazanog na slikama 4. i 4.4 djeluje na žicu. Ovo je vrlo važno imati na umu pogotovo kod proračuna ulazne impedancije o čemu će detaljno biti riječi u poglavlju 5.3. Na slici 4.4 prikazana je raspodjela struje na prethodno opisanoj uzemljivačkoj elektrodi pobuđenoj na tri različita načina: idealnim strujnim izvorom, magnetskim prstenom (b=.3a) i magnetskom kružnom antenom, pri 5MHz. Valja napomenuti da je struja u slučaju pobude magnetskim prstenom i kružnom magnetskom antenom normalizirana tako da struja u prvom čvoru bude jedan amper. 9

109 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Realni dio struje.8 real(i) (A) x(m) x 3 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.4 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz x(m) Vidljivo je jako dobro slaganje rezultata iako postoji mala razlika u imaginarnom dijelu struje. Slična je situacija i u slučaju pobude istog uzemljivača frekvencijom od 5MHz, što je prikazano na slici 4.5. Realni dio struje.5 real(i) (A) x(m).5 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.5 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz x(m) 9

110 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Slijedeći primjer se odnosi na m dug horizontalni uzemljivač ukopan na dubini od.5m u zemlju istih karakteristika. Na slikama 4.6, 4.7 i 4.8 prikazana je raspodjela struje na uzemljivaču za različite pobude pri 5kHz, 5MHz i MHz. Realni dio struje.8 real(i) (A) x(m) Imag(I) (A) x Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Slika 4.6 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5kHz x(m) Realni dio struje real(i) (A) x(m)..4 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.7 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz x(m) 93

111 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Realni dio struje.5 real(i) (A) x(m) Imaginarni dio struje.5 Imag(I) (A).5 Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena x(m) Slika 4.8 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri MHz Jasno se uočava izvrsno slaganje rezultata dobivenih korištenjem različitih pobuda. Slaganje rezultata je bolje nego u slučaju uzemljivača od m gdje je uočeno malo razilaženje u imaginarnom dijelu struje. Raspodjela struje na 5m-skom uzemljivaču ukopanom na isti način kao i prethodna dva, za različite pobude pri frekvencijama od 5kHz i 5MHz je prikazana na slikama 4.9 i 4.. I u ovom slučaju je dobiveno izvrsno slaganje rezultata dobivenih različitim vrstama pobude. 94

112 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Realni dio struje.8 real(i) (A) x(m) x 3 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4.9 Raspodjela struje na uzemljivaču od 5m za različite pobude pri 5kHz x(m) Realni dio struje.5 real(i) (A) x(m).6 Imaginarni dio struje.4. Imag(I) (A) x(m) Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Slika 4. Raspodjela struje na uzemljivaču od 5m za različite pobude pri 5MHz U primjerima prikazanim na slikama 4.4 do 4. struja je aproksimirana linearnim dvočvornim elementima. Na slikama 4. do 4.3 prikazani su rezultati raspodjele struje za različite uzemljivače (m, m, 5m) dobivene upotrebom tročvornih kvadratičnih 95

113 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene elemenata. Uvidom u dobivene rezultate mogu se izvući isti zaključci kao i u slučaju linearne aproksimacije. Realni dio struje.5 real(i) (A) x(m) Imag(I) (A).5 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Slika 4. Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija) x(m) Realni dio struje real(i) (A) x(m)..4 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Imag(I) (A) Slika 4. Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija) x(m) 96

114 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Realni dio struje.5 real(i) (A) x(m).6 Imaginarni dio struje.4. Imag(I) (A) x(m) Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Slika 4.3 Raspodjela struje na uzemljivaču od 5m za različite pobude pri 5MHz (kvadratična aproksimacija) Kako bi se potpuno provjerila ispravnost predloženih pobuda, uzemljivač je postavljen i u zemlju različitih karakteristika. Na slici 4.4 prikazana je raspodjela struje na uzemljivaču duljine m za različite pobude ukopanom u zemlju dobre vodljivosti od σ =.S m, dok je na slici 4.5 prikazana raspodjela struje u slučaju jako loše vodljivosti od σ =.S m. U oba slučaja frekvencija je iznosila 5MHz a permitivnost zemlje ε r =. Vidljivo da vodljivost sredine ne utječe na točnost i stabilnost predloženih pobuda. 97

115 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene. Realni dio struje.8 real(i) (A) x(m). Imaginarni dio struje Imag(I) (A) x(m) Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Slika 4.4 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz i σ =. S / m Realni dio struje.5 real(i) (A) x(m) Imag(I) (A).5.5 Imaginarni dio struje Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena Slika 4.5 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz i σ =. S / m x(m) Nakon analize osjetljivosti predloženih vrsta pobude na vodljivost provedena je i analiza utjecaja permitivnosti. Slika 4.6 prikazuje raspodjelu struje za različite pobude na 98

116 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene uzemljivaču duljine m ukopanom u zemlju relativne permitivnosti ε r = i vodljivosti σ =.S m. Vidljivo je da, kao i vodljivost, permitivnost sredine ne utječe na točnost i stabilnost predloženih pobuda..5 Realni dio struje real(i) (A) x(m).6 Imaginarni dio struje.4. Imag(I) (A)..4.6 Jed. struj. izvor Mag. prsten Mag. antena x(m) Slika 4.6 Raspodjela struje na uzemljivaču od m za različite pobude pri 5MHz i ε r = ; σ =. S / m Model povratnog udara u kanalu groma Model povratnog udara munje (eng. lightning return-stroke model) je izraz koji se najčešće koristi kako bi se opisala prostorno-vremenska ovisnost struje u kanalu groma pri povratnom udaru koja se kasnije koristi pri proračunu elektromagnetskog polja uzrokovanog udarom groma. U relevantnoj literaturi postoji nekoliko skupina modela koji se općenito mogu podijeliti u četiri kategorije: fizikalni modeli, modeli temeljeni na distribuiranim parametrima, inženjerski modeli te elektromagnetski modeli. Modeli distribuiranih parametara su u načelu temeljeni na nekoj od varijanti teorije prijenosnih linija, i to standardna teorija prijenosnih linija (eng. transmission line model TL) [76]- [78], zatim modificirana teorija prijenosnih linija s linearnim kašnjenjem struje s visinom [79] i modificirana teorija prijenosnih linija s eksponencijalnim kašnjenjem struje s visinom [77]. Inženjerski modeli uključuju modele s putujućim strujnim izvorima u koju 99

117 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene spada Diendorfer-Uman (DU) model [8]. S druge strane elektromagnetski modeli su uglavnom temeljeni na teoriji tankožičanih antena pri čemu se kanal groma predstavlja monopol antenom. Pregled i usporedba spomenutih metoda se mogu pronaći u radovima [77], [78], [8]-[83]. Posljednjih desetak godina objavljeno je mnogo radova posvećenih elektromagnetskim modelima tj. modelima temeljenima na teoriji antena [4], [84]-[89]. U tim modelima, kanal groma je najčešće modeliran kao monopol antena iznad idealno vodljive zemlje. Pobuda je realizirana ili u vidu idealnog strujnog izvora [4], [89], [9] ili u vidu jednostavnog naponskog izvora (delta gap) [85]-[88]. Pripadajuća integralna jednadžba (Pocklington-ova ili Hallen-ova) se rješava ili u vremenskom [84] ili u frekvencijskom području [4], [89], [9] nekom od varijanti metode momenata. Prilikom rješavanja problema u frekvencijskoj domeni često se koristi NEC npr. [89], [9] kod kojega se u model mora ubaciti prikladne distribuirane parametre otpora i induktiviteta kako bi se ostvarila stvarna brzina munje od.43c (c brzina svjetlosti). Također, ukoliko se integralna jednadžbe rješava u frekvencijskom području vremenski odziv se dobiva primjenom algoritma inverzne brze fourierove transformacije (IFFT), koji je vrlo osjetljiv na ulazne parametre poput vremenskog uzorkovanja, širine frekvencijskog spektra i broja uzoraka. Više o IFFT-u će biti riječi u Prilogu A ovog rada. U ovom radu razmatra se model kanala groma pri povratnom udaru munje modeliran kao centralno napajana dipol antena duljine 5km i radijusa žice.5m pobuđena magnetskom antenom. Antena je postavljena u dielektrični homogeni prostor karakteriziran relativnom permitivnošću ε r = 5.3 u svrhu snižavanja brzine propagacije munje na stvarnu brzinu (.43c). Ovakav model zamjenjuje model kanala groma realiziran monopol antenom duljine 7.5km iznad idealno vodljive zemlje pobuđene idealnim strujnim izvorom na dnu kanala [4], prikazan na slici 4.7.

118 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene Slika 4.7 Model povratnog udara munje u kanalu groma a)model sa strujnim izvorom; b)model s magnetskom antenom Razmatrana su dva modela, prvi u kojem se pretpostavlja idealna vodljivost žice i drugi, realističniji kod kojega se uzimaju u obzir omski gubici duž kanala realizirani otporom po jedinici dužine u iznosu od R =.7 Ω / m. Kako bi se rezultati dobiveni u ovom radu mogli usporediti s rezultatima u literaturi kod kojih je definirana ulazna struja u bazi kanala, pri proračunu frekvencijske karakteristike struje duž kanala koristi se promjenljivi ulazni napon koji na mjestu izvora generira struju od A, tj. drugim riječima potrebno je normalizirati struju antene na iznos od A na mjestu izvora. Na ovaj način se praktički dobije frekvencijski spektar struje duž kanala (tj. antene) u odnosu na jediničnu ulaznu struju antene, koji omogućuje dobivanje odziva na bilo koji valni oblik ulazne struje. Za ulaznu struju baze kanala, u svrhu usporedbe, odabran je valni oblik koji ima vršnu vrijednost od otprilike ka i brzinu porasta od 5kA/µs preuzet iz [77], i korišten u [4], [84] i [9]. Valni oblik struje baze je prikazan na slici 4.8.

119 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene 8 I (ka) t (µs) Slika 4.8 Valni oblik struje baze Slika 4.9 prikazuje frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru u točki koja se nalazi km od baze kanala za slučaj idealno vodljivog kanala, dok slika 4.3 pokazuje isti spektar struje u slučaju kanala s gubicima. 4 3 I (A).5.5 f (Hz).5 3 x I (A) f (Hz) Slika 4.9 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru km od baze za idealno vodljivi kanal (linearna i logaritamska skala)

120 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene.9.8 I (A) f (Hz) x I (A) f (Hz) Slika 4.3 Frekvencijski spektar struje kanala groma pri povratnom udaru km od baze za kanal s gubitcima (linearna i logaritamska skala) Kao što je vidljivo iz slika 4.9 i 4.3 kanal groma je visoko rezonantna struktura te je potrebno uzeti veliki broj uzoraka da bi se dobio zadovoljavajući odziv u vremenskom području (594 u slučaju idealno vodljivog kanala i 4 u slučaju konačno vodljivog kanala u frekvencijskom spektru 5MHz). Veći broj uzoraka u slučaju idealno vodljive antene je potreban budući su oscilacije struje s frekvencijom mnogo izraženije u slučaju idealno vodljive antene u odnosu na antenu s gubicima. Da bi se dobio vremenski odziv na ulaznu struju prikazanu na slici provedena je inverzna Fourier-ova transformaciju u obliku opisanom u prilogu A. Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama (u bazi, m, 5m, km, 3km i 5km) u slučaju idealno vodljivog kanala je prikazana na slici 4.3, dok je slučaj kanala s gubitcima prikazan na slici

121 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene GB IMRE km GB IMRE m GB IMRE 5m GB IMRE km GB IMRE 3 km GB IMRE 5 km Grcev [4] km Grcev [4] km 8 I (ka) Slika 4.3 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za idealno vodljivi kanal t (µ s) Iz slike 4.3 je jasno vidljiva propagacija struje duž kanala (tj. antene) i lagano gušenje vala s udaljavanjem od baze kanala. Na rezultatima je vidljivo neznatno istitravanje uzrokovano prvenstveno u malom broju točaka kojima je uzorkovana ulazna struja, budući je valni oblik struje dobiven približno iz [4] i [9]. Rezultati se izvrsno poklapaju s rezultatima objavljenim u [4]. U slučaju kanala s gubicima, iz slike 4.3 je jasno vidljivo veliko gušenje vala s udaljavanjem od baze kanala. Također, može se pažljivim promatranjem uočiti da s visinom raste i vrijeme porasta struje duž kanala. Ovi rezultati su u zadovoljavajućem skladu s rezultatima objavljenim u [84]. Čak štoviše, kod ovih rezultata nema istitravanja u vršnom djelu strujne karakteristike što je slučaj u [84], vjerojatno kao posljedica numeričkog šuma. Dokaz tomu se može naći u radu [9], gdje također nema takvog istitravanja što upućuje na zaključak da metoda opisana u [84] pati od numeričkih nestabilnosti. 4

122 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene 8 GB IMRE km GB IMRE m GB IMRE 5m GB IMRE km GB IMRE 3 km GB IMRE 5 km Moini [84] km Moini [84] km Moini [84] 3 km Moini [84] 5 km I (ka) t (µ s) Slika 4.3 Vremenska ovisnost struje kanala groma na različitim visinama za kanal s gubitcima Na slikama 4.33 i 4.34 prikazano je vertikalno električno polje (E z komponenta u smjeru kanala) na razini zemlje (z=) na udaljenosti 5m i 5km uslijed povratnog udara modeliranog idealno vodljivom antenom. Rezultati su usporedivi s rezultatima objavljenima u [4] iako postoje određene razlike. Naime, sami autori u [4] priznaju, citiram, da bi trebali detaljnije ispitati parametre proračuna, poput parametara diskretizacije u metodi momenata te parametre Diskretne Fourier-ove transformacije, vezane uz uzorkovanje i skraćenje funkcija u vremenskom i frekvencijskom području, kako bi detaljno ispitali valjanost predložene metode. Valja napomenuti, da je proračun u ovom radu izvršen na veličini elementa od cca 3m u cijeloj dužini antene te da je pri toj veličini postignuta konvergencija, dok je u slučaju rezultata objavljenih u [4] veličina elementa bila 3m samo do visine od km, a nakon toga puno veća (ne navodi se kolika). 5

123 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene E (V/m) t (µ s) GB IMRE Grcev [4] Slika 4.33 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5m za idealno vodljivi kanal E (V/m) t (µ s) GB IMRE Grcev [4] Slika 4.34 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za idealno vodljivi kanal Vertikalno električno polje (E z komponenta) na razini zemlje na udaljenosti 5m i 5km uslijed povratnog udara modeliranog konačno vodljivom antenom je prikazana na slikama 4.35 i Uspoređujući te rezultate s rezultatima u [84], uočava se jako dobro slaganje. Mala razlika koja se može primijetit u slučaju polja na udaljenosti 5m može se 6

124 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene objasniti već spomenutim numeričkim nestabilnostima u proračunu struje kod [84] i činjenici da je kod proračuna električnog polja u [84] veličina segmenta bila relativno velikih 5m za razliku od slučaja u ovom radu gdje je veličina segmenta iznosila cca. 3m. Također, dana je i usporedba s rezultatima dobivenim tvz. DU (Diendorfer i Uman) modelom [8] koji daje rezultate koji se vrlo dobro slažu s mjerenim vrijednostima elektromagnetskog polja [84]. Kako se vidi iz slika 4.35 i 4.36 postignuto je jako dobro slaganje rezultata izračunatim GBIMRE-om i DU modelom. 5 5 E (V/m) t (µ s) GB IMRE Moini [84] DU [8] Slika 4.35 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5m za kanal s gubitcima 7

125 Koncept kružnog magnetskog prstena i jednostavne magnetske kružne antene E (V/m) t (µ s) GB IMRE Moini [84] DU [8] Slika 4.36 Vertikalno električno polje na udaljenosti od 5km za kanal s gubitcima 8

126 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture 5. PARAMETRI ZRAČEĆE I/ILI RASPRŠNE ŽIČANE STRUKTURE U analizi žičanih struktura, nakon raspodjele struje, određene s zadovoljavajućom preciznošću, vrlo često je potrebno odrediti i druge parametre od interesa. Ti parametri, ovisno o primjeni žičanog modela, mogu biti: zračeno električno i/ili magnetsko polje, raspršni napon, raspodjela potencijala, zračena snaga, ulazna impedancija, međuimpedancija, tranzijentna impedancija itd. Proračun električnog i magnetskog polja je opisan u trećem poglavlju, dok će se u ovom poglavlju razraditi koncepti proračuna drugih važnih parametara vezanih za žičane strukture. Pri tome se prvenstveno misli na proračun napona (raspršni napon na žici, raspodjela potencijala na površini zemlje iznad uzemljivača i sl.), zatim proračun izračene snage antene koja se također može povezati s ulaznom impedancijom kao i proračun ulazne impedancije žičane strukture koja može predstavljati antenu ili uzemljivač. 5.. Proračun napona Kad je jednom izračunata raspodjela struje po žicama, odgovarajući napon između bilo koje dvije točke poluprostora je definiran krivuljnim integralom druge vrste električnog polja od točke A do točke B [57]: V AB A = Edl (5.) B Općenito napon V AB predstavlja rad koji je potrebno uložiti da bi se jedinični naboj od točke B pomaknuo duž određenog puta do točke A pod utjecajem vremenski promjenljivog elektromagnetskog polja. Električno polje uslijed zračenja jedne žice u homogenom poluprostoru, prema razmatranju iznesenom u. i 3. poglavlju, dano je izrazom: 9

127 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture [ I( s') ] [ g( s, s ')] ds' + k± s ' I( s') g( s, s ') ds ' + s ' C ' C ' k k ± E = + [ I ( s ')] [ gi ( s, s ')] ds' + k± s * I( s') gi ( s, s*) ds ' + j4 πωε eff ± k + k ± C ' s * C ' + I ( s ') G s ( s, s ') ds ' C ' (5.) Prije detaljne analize integrala (5.) valja pojasniti i razlučiti određene pojmove. Električno polje žice (5.) je, u skladu s (.), posljedica djelovanja skalarnog električnog potencijala φ i vektorskog magnetskog potencijala A. Budući da vektorski magnetski potencijal A nije konzervativnog (potencijalnog) karaktera jer je A onda i električno polje žice (5.) također nije konzervativnog karaktera. Ta činjenica implicira da napon definiran izrazom (5.) onda općenito nije jednoznačan, i ovisi o krivulji integracije, te ga se ne smije poistovjećivati s naponom kao posljedicom razlike skalarnih potencijala. Definicija napona (5.) je općenita i vrijedi za konzervativna i nekonzervativna polja. Ukoliko je električno polje u jednadžbi (5.) konzervativnog karaktera tada izraz (5.) predstavlja razliku potencijala između točaka A i B, odnosno napon definiran u statičkom i kvazistatičkom smislu. Fizikalno značenje napona definiranog s (5.) će dakle ovisiti o stazi krivulje integracije te o početnoj i krajnjoj točki i biti će objašnjeno nešto kasnije. Za slučaj više žica, izraz za napon koji je posljedica zračenja niza žica je dan izrazom: A NW NW A NW VAB = i i E dl = E dl = VABi B i= i= B i= (5.3) Integral (5.) se može riješiti raznim adaptivnim numeričkim metodama, najčešće na način da se područje integracije podjeli na Nv dijelova, te se potom integracija vrši na svakom pojedinom dijelu nekom od metoda numeričke integracije (Gauss-ova kvadratura, Simpson-ova metoda):

128 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Nv an NW Nv N a W m VAB = im im E dl = E dl m= b i= m= i= n bm gdje su a n i b n granice pojedinih dijelova integracijskog područja. (5.4) Poseban slučaj je ukoliko je točka B u tzv. dalekoj zemlji (u beskonačnosti). Tad se izraz (5.4) pretvara u beskonačnu sumu ( Nv ) određenih integrala. Budući da električno polje opada s udaljenošću, u jednom trenutku vrijednosti izračunatih integrala će postati zanemarive te će se proračun moći prekinuti. Ovakav način proračuna napona je jako zahtjevan sa stanovišta vremena proračuna i snage procesora. Isto tako, budući da izraz za električno polje (5.) sadrži derivaciju Green-ove funkcije koja se najčešće zamjenjuje konačnim diferencijama, može doći do ozbiljnih numeričkih nestabilnosti ukoliko se promatra točka na površini žice ili u veoma bliskoj okolini žice. S druge strane ukoliko se provedu određene matematičke i numeričke manipulacije nad početnim integralom, vrijeme proračuna se može značajno smanjiti, te se u znatnoj mjeri mogu eliminirati numeričke nestabilnosti. Općenito, ako se odabere put integracije duž pravca s vektorom smjera utječe na općenitost postupka, tada je vektor diferencijala luka jednak: e l, koji ne dl = eldl (5.5) Radi jednostavnijeg prikaza koncepta rješavanja, električno polje će se rastaviti na tri dijela: E = E + E + E i D R S (5.6) gdje je E D direktno polje oblika: E D = [ I( s') ] [ g( s, s') ] ds' k± s ' I( s') g( s, s') ds ' j4 πωε + eff ± C ' s ' C ' (5.7)

129 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture E R je dio reflektiranog polja koje proizlazi iz teorije preslikavanja: k k ± E R = [ I ( s') ] [ gi( s, s*) ] ds' + k± s * I( s') gi( s, s*) ds' j4 πωε eff ± k + k ± C ' s * C ' (5.8) i E S dio polja koji proizlazi iz Sommerfeldove teorije o zračenju elementarnog strujnog dipola u prisutnosti konačno vodljivog poluprostora: E S = I( s') Gs( s, s') ds' j4πωε eff ± C ' (5.9) U skladu s podjelom na direktno, reflektirano i Sommerfeld-ovo polje (5.6) i odabranom stazom integracije jednadžba (5.3) postaje: ( ) NW B NW B B B VAB = Di Ri Si l Di l Ri l Si l E + E + E e dl = E e dl + E e dl + E e dl i= A i= A A A (5.) Prvi integral s desne strane izraza (5.) je doprinos direktnog polja na napon: [ I( s ')] [ g( s, s ')] ds ' + A A s ' C ' VDi = E Di eldl el = dl j4πωε B eff ± B k± s ' I( s ') g( s, s ') ds ' C ' (5.) što se može napisati na način: A A I ( s ') VDi = [ g( s, s ')] ds ' eldl k s ' I( s ') g( s, s ') ds ' eldl j4 πωε + ± eff ± s ' B C ' B C ' VDϕ VDA (5.) Prvi dvostruki integral u izrazu (5.) može se napisati u obliku:

130 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture A I( s ') VD ϕ = l e [ g( s, s ')] ds ' dl s ' B C ' (5.3) Korištenjem izraza za usmjerenu derivaciju: d el = dl (5.4) dobije se: I( s') d V = g s s ds dl Dϕ A B C ' s ' dl (, ') ' (5.5) ili drugačije zapisano: d I ( s') VD ϕ = g s s ds dl dl A B C ' s ' (, ') ' (5.6) Formalnim integriranjem izraza (5.6) po varijabli l slijedi relacija koja ovisi samo o početnoj i krajnjoj točki integracije: Dϕ A I ( s') (, ') ' (5.7) C ' s ' B V = g s s ds Razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija N g (3.) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice relacija (5.7) postaje: N A g fn( s') n (, ') ' n= C ' s ' B VD ϕ = I g s s ds (5.8) Prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi: 3

131 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Dϕ N A g nl e e fk ( ζ ') k (, ') ζ ' (5.9) n= k = ζ ' B V = I g s s d što predstavlja konačni numerički izraz za računanje izraza (5.3). Drugi dvostruki integral u izrazu (5.): A VDA = ' ( ') (, ') ' l k± s I s g s s ds e dl B C ' (5.) za slučaj žice položene okomito u odnosu na smjer integracije iščezava: V = (5.) DA jer je skalarni produkt okomitih vektora jednak nuli ( s ' el = ). Ukoliko pak to nije slučaj tada se na integral po varijabli l (od beskonačnosti od točke promatranja) mora primijeniti numerički postupak opisan jednadžbama (5.3) odnosno (5.4). Na integral po varijabli s' se primjenjuje numerički postupak sličan prethodno opisanom za jednadžbu (5.7). Razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija N g (3.) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi: A N g VDA = k± ' l s e In fn( s ') g( s, s ') ds ' dl B n= C ' (5.) a prelaskom na lokalni sustav se dobiva: A N g nl e e s ' VDA = k± ' l s e Ik fk ( ζ ') g( s, s ') dζ ' dl n k ζ ' B = = (5.3) Kombiniranjem (5.3) s podjelom područja integracije u skladu s (5.4) konačno slijedi: 4

132 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Nv am N g nl e e s ' VDA = k± ' l s e Ik fk ( ζ ') g( s, s ') dζ ' dl m= n k ζ ' b = = m (5.4) što predstavlja konačni izraz za računanje dvostrukog integrala (5.). Ukoliko je točka B u beskonačnosti, suma po m-u neće ići do beskonačnosti već do neke konačne vrijednosti pri kojoj nastupi zadovoljavajuća konvergencija rješenja. Doprinos dijela reflektiranog polja proizašlog iz teorije preslikavanja, naponu u točki promatranja, se izvodi na identičan način kao i za doprinos direktnog polja iz: A A k k ± I( s') VRi = [ gi ( s, s*) ] ds ' eldl + k± s * I( s') gi ( s, s*) ds' eldl j4 πωε eff ± k + k ± s * B C ' B C ' VRϕ VRA (5.5) Dakle, slično kao i u slučaju doprinosa direktnog polja prvi dvostruki integral u izrazu (5.5) može se napisati u obliku: A I ( s ') VR ϕ = l e [ gi ( s, s*) ] ds ' dl s * B C ' (5.6) Korištenjem izraza za usmjerenu derivaciju (5.4) dobiva se: A I ( s') d VR ϕ = gi( s, s*) ds' dl (5.7) s * dl B C ' Formalnim integriranjem izraza (5.7) po varijabli l slijedi relacija koja ovisi samo o početnoj i krajnjoj točki integracije: I( s') VR ϕ = gi( s, s*) ds' (5.8) s * C ' A B 5

133 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija N g (3.) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice relacija (5.8) postaje: N A g fn( s') Rϕ = n i (, *) ' n= C ' s * B V I g s s ds (5.9) a prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi: Ng nl e fk ( ζ ') Rϕ = k i n= k = ζ ' V I g ( s, s*) dζ ' (5.3) A B što predstavlja konačni numerički izraz za računanje relacije (5.6). Drugi dvostruki integral u (5.5): A VRA = * ( ') i (, *) ' l k± s I s g s s ds e dl B C ' (5.3) za slučaj žice okomite na smjer integracije iščezava. Ukoliko pak to nije slučaj, slično kao u slučaju direktnog polja mora se primijeniti numerički postupak opisan jednadžbama (5.3) odnosno (5.4), te se dobije: Nv am N g nl e e s ' VRA = k± * l s e Ik fk ( ζ ') gi ( s, s*) dζ ' dl m= n k ζ ' b = = m (5.3) teorije: Konačno, potrebno je promotriti doprinos dijela polja proizašlog iz Sommerfeld-ove A VSi = I ( s ') G s ( s, s ') ds ' eldl j4πωε eff ± B C ' (5.33) 6

134 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Jedini način da se izračuna integral u izrazu (5.33) je već spomenuti postupak opisan izrazima (5.3) odnosno (5.4). Dakle, razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija N g (3.) s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice slijedi: A N g VSi = In fn( s ') el G s ( s, s ') ds ' dl j4πωε eff ± B n= C ' (5.34) Prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata se dobiva: A N g nl e e s ' VSi = Ik fk ( ζ ') el G s ( s, s ') dζ ' dl j4 πωε eff ± n k ζ ' B = = C ' (5.35) Konačno podjelom područja integracije u skladu s (5.4) slijedi: Nv am N g nl e e s ' VSi = Ik fk ( ζ ') el Gs ( s, s*) dζ ' dl j4 πωε eff ± m= n k ζ ' b = = m (5.36) Ukupni napon u točki promatranja od N W proizvoljno postavljenih žica je tada: NW k k± V = ( V ϕ + V ) + ( V ϕ + V ) + V AB D i DAi R i RAi Si i= j4πωε eff ± j4πωε eff ± k + k± (5.37) Uvrštavanjem izraza (5.7), (5.), (5.8), (5.3) i (5.33) u (5.37) konačno slijedi formulacija za proračun napona između točaka A i B od N W proizvoljno postavljenih žica: A A I ( s ') (, ') ' ' ( ') (, ') ' l g s s ds + k± s I s g s s ds e dl + s ' C ' B B C ' A N A W k k I ( s ') ± VAB = + g (, *) ' * ( ') (, *) ' i s s ds + k± s I s gi s s ds eldl + j4 πωε eff ± k + k ± s * (5.38) i= C ' B B C ' A + I( s ') G s ( s, s ') ds ' el dl B C ' 7

135 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Razvojem raspodjele struje I ( s ') u red linearno nezavisnih funkcija te prelaskom na lokalni sustav izoparametarskih rubnih elemenata slijedi numeričko rješenje za napon između točaka A i B od N W proizvoljno postavljenih žica: A N g nl e e i fk ( ζ ') i Ik g ( s, s ') dζ ' + n= k = ζ ' B am Ng Nv nl i e i e i s ' + k± ' l s e Ik fk ( ζ ') g ( s, s ') dζ ' dl + m= b n= k = ζ ' m N A W N g nl e i fk ( ζ ') i VAB = I (, *) 4 k gi s s dζ j πωε ' + eff ± i= k k n= k = ζ ' ± B + + k + k am N g ± Nv nl i e i e i s ' + k± s * el Ik fk ( ζ ') gi ( s, s*) dζ ' dl m= b n= k = ζ ' m a Nv m N g nl ei e i s ' + Ik fk ( ζ ') el G s ( s, s*) dζ ' dl m= n k ζ ' b = = m (5.39) ili zapisano u sažetijem obliku: A Ng nl e ei fk ( ζ ') i k k ± i Ik g( s, s') g (, *) ' i s s dζ + n= k = ζ ' k + k± B N N W g nl Nv am ei e i i k k i i s ' ± VAB = + k± Ik fk ( ζ ') s ' el g( s, s ') + s * e (, *) ' l gi s s dζ j4 πωε dl + eff ± i= m= n= k = b k + k± ζ ' m Nv am Ng nl ei e i s' + Ik fk ( ζ ') el Gs ( s, s*) dζ ' dl m= b n= k = ζ ' m (5.4) Da bi se objasnio fizikalni smisao ovako definiranog napona, žice će se, radi jednostavnosti, postaviti u homogeni prostor. Tada je napon definiran samo direktnim valom: A NW A I ( s ') VAB = g( s, s ') ds ' k s ' I ( s ') g ( s, s ') ds ' eldl j4 πωε + eff i= s ' C ' B B C ' (5.4) odnosno u skladu s numeričkim rješenjem: 8

136 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture V AB A N g nl e ei fk ( ζ ') i k (, ') ' N I g s s dζ + W n= k = ζ ' B = j4 πωε a m N i g nl eff = i ei e i s ' + k s ' el Ik fk ( ζ ') g( s, s ') dζ ' dl m= n k ζ ' b = = m (5.4) Prvi integral u izrazima (5.4) i (5.4) posljedica je električnog skalarnog potencijala i daje iznos razlike potencijala između točaka A i B, tj. iznos klasično definiranog napona iz elektrostatike. Drugi je pak integral posljedica magnetskog vektorskog potencijala te je njegov smisao u pogledu usporedivosti s rezultatima mjerenja upitan budući da su mjerenja isključivo vezana za razliku potencijala (u statičkom i kvazi-statičkom smislu). Naime jednadžba (5.) iz koje slijedi (5.4) i (5.4) se može zapisati kao: AB A B A V = ϕ ϕ jω Adl (5.43) B Kao što je već spomenuto integral u jednadžbi (5.43) nije jednoznačno određen budući da vektorsko polje A nije konzervativno. Ukoliko bi pak vremenska promjena magnetskog toka, definiranog Faraday-ovim zakonom bila jednaka nuli, tada bi i integral u (5.43) bio jednoznačan. U praksi ukoliko je valna duljina puno veća od dimenzija promatranog sustava tada je i vremenska promjena magnetskog toka približno jednaka nuli, te se spomenuti integral može smatrati jednoznačnim. Dakle, može se ustvrditi da integral oblika kao u (5.43) ima potpuni fizikalni smisao ukoliko se integracija vrši po zatvorenoj petlji (prema Faraday-ovom zakonu) dok za linijski integral ta fizikalnost izostaje. Posebice se to odnosi na primjene u modeliranju fizikalnih procesa i sustava, poput kanala groma, sustava za zaštitu od munje, prijenosnih linija, antena i sl. Naime napon definiran u takvim modelima, uključujući teoriju krugova, prijenosne linije i složene elektromagnetske modele, ali i u mjerenjima je definiran kao razlika potencijala (u statičkom i kvazi-statičkom smislu) budući je kao takav jednoznačan i lako usporediv, odnosno provjerljiv. Mora se spomenuti kako u literaturi postoje i proračuni napona direktno po izrazu (5.) odnosno (5.4) poput [4] i [39], međutim fizikalni smisao takvog napona je upitan, pogotovo u smislu računanja impedancije. 9

137 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture U slučaju da se odabere smjer integracije okomit na žice izraz (5.38) se pojednostavljuje: V A A I ( s ') k k± I ( s ') (, ') ' (, *) ' N i W g s s ds + g s s ds s ' k + k s * C ' B ± C ' B AB = j4πωε A eff ± i= s l + I( s ') G ( s, s ') ds ' e dl B C ' (5.44) odnosno ukoliko se promatra numeričko rješenje (5.4) slijedi: V AB A N nl e ei fk ( ζ ') i k k i ± Ik g( s, s ') g (, *) ' i s s dζ + NW n= k = ζ ' k k + ± B = j4πωε i Nv am N nl eff ± = ei e i s ' + Ik fk ( ζ ') el G s ( s, s*) dζ ' dl m= n k ζ ' b = = m (5.45) To rezultira velikim skraćenjem vremena računanja, budući da u izrazu (5.37) iščezavaju komponente napona proizašle iz magnetskog vektorskog potencijala V DA i i V RA i, te ostaje samo doprinos električnog skalarnog potencijala ( V Dϕ i i V Rϕ i ) i doprinos Sommerfeld-ovog korekcijskog dijela ( V ). Ukoliko se pak zanemari doprinos Sommerfeld-ovog S i korekcijskog dijela ( V ), što je vrlo često moguće jer je doprinos Sommerfeld-ovog S i korekcijskog dijela ( V ) puno manji od doprinosa ostalog dijela polja dobiva se izraz za S i napon koji je posljedica razlike skalarnog potencijala i to na razini formulacije: A N W I ( s ') k k± I ( s ') VAB = ϕ AB = g( s, s ') ds ' g (, *) ' i s s ds j4 πωε + eff ± i= C ' s ' k + k C ' s * B ± A B (5.46) odnosno na razini numeričkog rješenja: N N W g nl e e i fk ( ζ ') i k k ± i VAB = ϕ AB = Ik g( s, s ') g (, *) ' i s s dζ j4 πωε eff ± i= n= k = ζ ' k + k ± A B (5.47)

138 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Izraz (5.46) odnosno (5.47) daje jedinstveno rješenje budući da ne ovisi o putu integracije. Vrlo često je potrebno izračunati napon u odnosu na udaljenu zemlju (eng. remote ground) za koju se pretpostavlja da je na potencijalu nula. Tako definiran napon predstavlja potencijal bilo koje točke poluprostora, uzrokovan strujom koja teče kroz N w žica, u odnosu na udaljenu zemlju i može se odrediti iz jednadžbe: N W I ( s ') k k± I ( s ') V ( r) = ϕ ( r) = g( r, s ') ds ' g (, *) ' i r s ds j4 πωε + eff ± i= C ' s ' k + k ± C ' s * (5.48) odnosno na razini numeričkog rješenja iz: N W N g nl e e i fk ( ζ ') i k k ± i V ( r) = ϕ( r) = Ik g( r, s') g (, *) ' i r s dζ j4 πωε eff ± i= n= k = ζ ' k + k ± (5.49) Ovako formulirana jednadžba za napon nalazi primjenu u mnogim aplikacijama poput određivanja napona točke napajanja kada se koristi idealni strujni izvori (uzemljivač, gromobran, kanal groma i sl.), zatim proračun raspodjele potencijala na površini zemlje (uzemljivač), određivanje raspršnog napona kod prijenosnih linija i sl.

139 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture 5.. Proračun izračene snage 5... Energija i snaga elektromagnetskih valova Opća veza kojom se snaga i energija izražavaju preko električnih i magnetskih polja dana je Poynting-ovim teoremom koji predstavlja jedan od temeljnih zakona u elektromagnetskoj teoriji. Promatra se određeno područje volumena V s karakteristikama permitivnosti ε, permeabilnosti µ i vodljivosti σ zatvoreno površinom S. Unutar područja općenito postoje električni i magnetski izvori ( J i M ). Prostorno vremenski ovisna polja uzrokovana tim izvorima koja postoje unutar tog područja su električno polje E i magnetsko polje H opisana Maxwell-ovim jednadžbama [75]: B H E = M = M µ = M M t t i i i d (5.5) D E H = J + J = J + σ E + ε = J + J + J t t i c i i c d (5.5) gdje su: D = ε E B = µ H J c = σ E d ε E J = t d ε E J = t (5.5) (5.53) (5.54) (5.55) (5.56) Pri tome oznake u jednadžbama (5.5) do (5.56) su: E - trenutna vrijednost električnog polja [ V m ] ;

140 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture H - trenutna vrijednost magnetskog polja [ A m ] ; D - trenutna vrijednost gustoće električnog toka C m B - trenutna vrijednost gustoće magnetskog toka [ T ] ; i ; J - trenutna vrijednost gustoće električne struje izvora A m ; M i - trenutna vrijednost gustoće magnetske struje izvora V m ; J - trenutna vrijednost gustoće kondukcijske gustoće električne struje (koja generira c gubitke) A m ; J - trenutna vrijednost gustoće pomačne električne struje A m d ; M d - trenutna vrijednost gustoće pomačne magnetske struje V m ; Valja napomenuti da priloženi fontovi korišeni u ovom dijelu rad znače trenutne vrijednosti vremenski promjenljivih veličine pri čemu je vremenska ovisnost proizvoljna (ne nužno harmonijska). Skalarnim množenjem jednadžbe (5.5) s H i jednadžbe (5.5) s E dobije se: H = + ( E ) H ( M i M d ) E = + + ( H ) E ( J i J c J d ) (5.57) (5.58) Oduzimanjem izraza (5.58) od (5.57) slijedi: H E E H = H M + M E J + J + J ( ) ( ) ( i d ) ( i c d ) (5.59) Koristeći vektorski identitet: A B = B A A B (5.6) ( ) ( ) ( ) lijeva strana jednadžbe (5.59) mijenja oblik: 3

141 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture = i + d i + c + d (5.6) ( E H ) H ( M M ) E ( J J J ) što se može drugačije zapisati: + i + d + i + c + d = (5.6) ( E H ) H ( M M ) E ( J J J ) Ukoliko se izraz (5.6) integrira po volumenu V, slijedi: dv = + dv + + dv (5.63) ( E H ) H ( M i M d ) E ( J i J c J d ) V V V te, se korištenjem teorema divergencije na lijevoj strani jednadžbe (5.63), dobiva: ( ) d S = ( i + d E H H M M ) dv E ( J i + J c + J d ) dv (5.64) S V V što se može zapisati u obliku: ( ) d S + ( i + d E H H M M ) dv + E ( J i + J c + J d ) dv = (5.65) S V V Jednadžbe (5.6) i (5.65) predstavljaju diferencijalni odnosno integralni oblik zakona o očuvanju energije [75]. Integrand s lijeve strane izraza (5.64) oblika: S = E H (5.66) naziva se Poynting-ovim vektorom, a dimenzijski predstavlja gustoću snage elektromagnetskog vala. Ukupna snaga P e koja izlazi iz volumena V koji je obuhvaćen zatvorenom površinom S tada je dana izrazom: 4

142 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture P = E H d S = S d S (5.67) e S ( ) S S druge pak strane integrandi s desne strane jednadžbe (5.64) se mogu raspisati na način: p s = + (5.68) ( H M i E J i ) p d = E J c = E ( σ E ) = σ E (5.69) D E E E J d = E = ε E = ε = ε E = w e t t t t t (5.7) B H H H M d = H = µ H = µ = µ H = w m t t t t t (5.7) gdje je: p s - prostorna gustoća privedene snage [W/m 3 ] p d - prostorna gustoća disipirane snage [W/m 3 ] w e - prostorna gustoća električne energije [J/ m 3 ] w m - prostorna gustoća magnetske energije [J/ m 3 ] Integriranje izraza (5.68) (5.7) po volumenu daje: = + P H M E J dv = p dv (5.7) s V ( i i ) P = E J dv = E dv = p dv (5.73) d ( c ) ( σ ) V V V ε E J dv = E dv = w dv = W t t t ( ) d e e V V V µ H M dv = H dv = w dv = W t t t ( ) d m m V V V V s d (5.74) (5.75) gdje je: 5

143 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture P s - privedena snaga [W] P d - disipirana snaga [W] W e - električna energija [J] W m - magnetska energija [J] Dakle, sažeto se može napisati: ili, P e P s +P d + e + m = t P =P +P ( W W ) + + t ( W W ) s e d e m (5.76) (5.77) što predstavlja zakon o očuvanju snage, koji kaže da, unutar volumena V omeđenog površinom S, privedena snaga P s je jednaka sumi snage P e koja izlazi iz volumena V kroz površinu S, disipirane snage P d i vremenske promjene (povećanja ukoliko je pozitivna) električne W e odnosno magnetske W m energije sadržane unutar promatranog volumena Vremenski harmonijska EM polja U prethodnom podpoglavlju 5.. dan je pregled Poynting-ovog teorema za općeniti oblik vremenski promjenljivih elektromagnetskih polja. Međutim, u mnogim primjenama vremenska promjena je sinusna i naziva se vremenski harmonijska. Takva vremenska promjena se predstavlja s j t e ω u kompleksnom obliku na jednostavan način: te se trenutni vektori elektromagnetskog polja mogu zapisati A jωt x, y, z; t = Re (,, ) A x y z e (5.78) ( ) Dakle, uvažavajući izraz (5.78) harmonijska električna i magnetska polja se mogu zapisati na slijedeći način: 6

144 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture ω (,, ; ) Re (,, j t jωt jωt E x y z t = ) = + ( ) * E x y z e Ee Ee (5.79) ω (,, ; ) Re (,, j t jωt jωt H x y z t = ) = + ( ) * H x y z e He He (5.8) gdje znak * (5.66) slijedi: označava konjugirano kompleksnu vrijednost. Uvrštavajući (5.79) i (5.8) u * * ω ω j t j t jωt jωt S = Ee + ( Ee ) He + ( He ) (5.8) Koristeći teoreme vektorske algebre lako se dođe do konačnog izraza za Poynting-ov vektor za harmonijski promjenjiva elektromagnetska polja [75]: * ω S = Re E H + Re E He j t (5.8) Budući da ni E ni H nisu funkcije vremena, a vremenska ovisnost drugog pribrojnika u izrazu (5.8) je dvostruko veća od frekvencije vektora polja, tada vremenski usrednjen Poynting-ov vektor, tj. uprosječena gustoća je jednaka: π * * ω S = = Re Re ( ω ) Re + = π j t A S E H E He d t E H (5.83) * E H je općenito kompleksni broj, te realni dio od snage, dok imaginarni dio predstavlja takozvanu jalovu snagu. * E H predstavlja realni dio gustoće Uvažavajući gore navedeno, sada se mogu izvesti izrazi za zakon očuvanja snage i energije za harmonijska polja. Prve dvije Maxwell-ove jednadžbe za harmonijski promjenljiva polja su definirane sa [75]: E = M i jωµ H (5.84) H = J i + J c + jωε E (5.85) 7

145 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture gdje je J i kompleksna gustoća električne struje izvora a konduktivne električne struje koja je odgovorna za gubitke. J c kompleksna gustoća Skalarnim množenjem jednadžbe (5.84) s * H i konjugirano kompleksne varijante jednadžbe (5.85) s E dobija se: * * * H E = H M i jωµ H H (5.86) ( ) ( ) * * * * E H = E J i + E J c jωε E E (5.87) Oduzimanjem jednadžbe (5.86) od (5.87) slijedi: ( ) ( ) * * * * * * * E H H E = H M i + E J i + E J c jωε E E + jωµ H H (5.88) Koristeći vektorski identitet (5.6) proizlazi: ( ) * * * E H = H M i + E J i + σ E + jω µ H ε E (5.89) Diferencijalni oblik zakona očuvanja energije za harmonijski promjenljiva polja tada je dan relacijom: * * * E H = H M i + E J i + σ E + jω µ H ε E 4 4 (5.9) Integrirajući (5.9) po volumenu uz primjenu teorema o divergenciji slijedi: Ili drugačije napisano: ( i i ) * * * E H d S = H M + E J dv + S V + σ ω µ ε V E dv j H E dv V (5.9) 8

146 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture ( i i ) + = + * * * H M E J dv E H d s σ E dv V S V jω µ H ε E dv V (5.9) što predstavlja zakon o očuvanju energije harmonijsko promjenljivih polja u integralnom obliku. Jednadžba (5.9) se kraće može zapisati na način [75]: ( ) P P P j W W s = e + d + ω m e (5.93) gdje su: * * ( i i ) Ps = H M + E J dv kompleksna snaga izvora; (5.94) V * ( ) Pe = E H d S kompleksna snaga koja izlazi kroz površinu S; (5.95) S * Pd = σ E dv = E J c dv V V W W disipirana snaga; (5.96) 4 m = µ H dv uprosječena magnetska energija; (5.97) 4 V e = ε E dv uprosječena električna energija. (5.98) V Uprosječena snaga antene U slučaju tanke žice (antena) napravljene od idealno vodljivog materijala na kojoj postoji struja koja se mijenja po harmonijskom zakonu, vrijedi sljedeće: E ; H ; J ; J = ; J ; M i = ; M d ; (5.99) i c d tj. nema gubitaka te nema izvora magnetske struje. 9

147 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Tada zakon o očuvanju energije (5.6) poprima sljedeći oblik: = + t S E J i µ H ε E (5.) Budući se radi o harmonijski promjenjivim poljima, vremenski usrednjen Poynting-ov vektor, odnosno uprosječena gustoća snage je dana jednadžbom (5.83), te je ukupna uprosječena snaga dana izrazom: P = Sd S = Re E H d S A * (5.) S S što može predstavljati npr. izračenu snagu antene. Također za periodična polja vrijedi da je usrednjena vremenska promjena uskladištene elektromagnetske energije jednaka nuli pa drugi član s desne strane izraza (5.) nestaje. Zbog toga je ukupna uprosječena snaga dana i sa [57]: P = Sd S = Re E J dv AV * i S (5.) V Ovo znači da se uprosječena izračena snaga može izračunati ili integrirajući komponentu Poynting-ovog vektora okomitu na zatvorenu površinu ili integrirajući gustoću privedene snage po volumenu izvora Proračun uprosječene snage sustava žica U slučaju tanke žice (antene) napravljene od idealno vodljivog materijala na kojoj * postoji struja koja se mijenja po harmonijskom zakonu, izraz J i dv u (5.) se može zapisati kao: * * J i dv = I i S ds (5.3) 3

148 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture gdje je S površina presjeka žice a * I označava konjugirano kompleksnu vrijednost struje. Uvrštavanjem (5.3) u (5.) slijedi: P AV = Re * i E I ds (5.4) C što predstavlja uprosječenu izračenu snagu antene. Generalizacijom izraza (5.4) slijedi uprosječena kompleksna izračena snaga antene: * PAV = E I ds (5.5) C gdje realni dio predstavlja realnu izračenu snagu a imaginarni dio jalovu snagu. Za slučaj N w vodiča kojima teče kompleksna struja I n totalna uprosječena snaga jednaka je: N * = W N P W E mn I n ds (5.6) AV m = n = Cm m gdje je E mn dio električnog polja na mjestu m-tog vodiča koji je posljedica zračenja n-tog vodiča, i u skladu s matematičkom formulacijom i numeričkim rješenjem obrađenim u poglavljima i 3, definiran relacijom: I n( s ' n) g( sm, s ' n) + k± s ' n In( s ' n) g( sm, s ' n) ds ' n + C ' n s n k k± In ( s ' n) E mn = + g (, ' ) * ( ' ) (, * ) ' i sm s n + k± s n In s n gi sm s n ds n + j4 πωε eff k + k ± C s * n n + In( s ' n) G s ( sm, s ' n) ds ' n Cn (5.7) 3

149 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Radi jednostavnosti prikaza pretpostavlja se sustav žica koji se nalazi u homogenom mediju, a potom se formulacija dade proširiti na vodljivi poluprostor. Za slučaj homogenog medija jednadžba (5.7) se pojednostavljuje: I ( s ' ) E = g ( s, s' ) + k s ' I ( s ' ) g ( s, s' ) ds ' n n mn m n n n n m n n j4 πωε eff C s' n n (5.8) Uvrštavanjem izraza (5.8) u (5.6) slijedi: I ( s' ) g ( s, s' ) + P ds I ds NW N n n W m n * s' AV = n ' n m m j8πωε eff m= n= Cm Cn + k s ' n In( s' n) g± ( sm, s' n) (5.9) tj.: P AV In( s' n) g( sm, s' ) n * m( m) ' n m NW N I s ds ds + W s ' Cm Cn n sm = j8πωε eff m= n= * + k sm s ' n In( s' n) Im( sm) g± ( sm, s' n) ds' n ds (5.) m Cm Cn Kako bi se izbjeglo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru operator će se prebaciti s jezgre na struju I * ( s ) pomoću izraza za deriviranje umnoška dviju funkcija: m m g s s ( ) (, ' ) ( ) I s (, ' ) * ± ( m, ' n) * * m( m) Im sm = g± sm s n Im s m g± sm s n sm s m sm (5.) Integrirajući izraz (5.) po dužini žice (m) slijedi: Cm g s s I s * (, ' ) * * sm end ± m n m( m) Im( sm) dsm = g± ( sm, s' n) Im( sm) g ( sm, s' n) ds s m s m start ± m s Cm m (5.) 3

150 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Prvi izraz s desne strane sadrži uvjete na krajevima žice koji se naknadno uključuju u numeričku formulaciju, te ga je stoga potrebno zanemariti u nastavku rješavanja. Inače bi sustav postao predimenzioniran. Uvažavajući to, te uvrštavanjem (5.) u (5.) slijedi: P AV * In( s' n) Im ( s ) m ( m, ' n) ' n m NW N g s s ds ds + W s ' Cm Cn n sm = j8πωε eff m= n= * + k sm s ' n In( s ' n) Im( sm) g( sm, s ' n) ds' n ds (5.3) m Cm Cn Razvojem raspodjele struje I ( s ' ) odnosno n n I * ( s ) u red linearno nezavisnih funkcija N n odnosno N m s prethodno izračunatim vrijednostima struje u čvorovima duž žice: m m ( ) N = n I s ' I f ( s ' ) (5.4) n n ni ni n i= N * * ( ) = m m m mj mj m j = I s I f ( s ) (5.5) slijedi: P AV Nn Nm * f ( ) ni ( s ' ) fmj s n m Ini Imj ( m, ' n) ' n m NW N g s s ds ds + W i= j= C ' m C s n n sm = j8πωε Nn Nm eff m= n= * + k Ini Imj sm s ' n fni ( s ' n ) fmj ( sm) g( sm, s ' n ) ds ' n dsm i= j= Cm Cn (5.6) tj. f ( ) ni( s ' ) fmj s NW NW Nn N n m m * g( sm, s ' n) + P ' AV = Ini I s mj n sm ds ' n dsm j8πωε eff m= n= i= j= Cm Cn + k sm s ' n fni( s ' n ) fmj ( sm) g( sm, s ' n ) (5.7) Izraz (5.7) se također može napisati i u obliku: 33

151 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture NW NW Nn Nm * nm PAV = Ini Imj Z ji j8πωε eff m= n= i= j = (5.8) gdje je: f ( s' ) f ( s ) g ( s, s' ) + Z ds ds ni n mj m nm ± m n ' ji = s n sm ' n m Cm Cn + k sm s ' n fni( s' n) fmj ( sm) g± ( sm, s' n) (5.9) Također jednadžba (5.8) se može napisati matrično: NW NW T * P = { I } Z { I } = AV i n ji j j8πωε nm m eff m= n= * Z Z ZN m I N * W N W Z ZNm I = { I I I N } n j8πωε n eff m= n= Z I * Nn Z N N n N m m nm m (5.) pri čemu se elementi matrice Z ji računaju iz relacije (5.9). Dakle prelaskom na lokalni sustav dolazimo do izraza za elemente matrice: nm n { } { } m T D D g (, ' ) nm i j ± sm s n + dsn dsm Z ji = dζ ' dζ n m T k s ' { } { } ' m s n f f g ( sm, s' n) dζ dζ + i j ± (5.) gdje vektori { f } n i { f } m sadrže oblikovne funkcije dok vektori { D } n i { D } m sadrže i j i j njihove derivacije redom N n elementa n-te žice odnosno N m elementa m-te žice. Izraz Z ji predstavlja matricu međuimpedancija elemenata između n-te i m-te žice i nm potpuno je ista matrici međuimpedancija koja se dobije prilikom računanja struje (3.36). 34

152 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Također sve matrice međuimpedancije asemblirane čine globalnu matricu sustava (3.36). Na taj način izraz (5.) se može sažeto napisati kao: T P { } [ ]{ * AV = I Z I } (5.) j8πωε eff gdje je { } T I transponirani vektor struje: { } { I N } { I N } { I N } T T T { N } { } { } N NN W } N T I = = I I I N W NW T W (5.3) [ Z ] je globalna matrica sustava: [ Z ] Z N N Z N N Z N N N W N W Z N N = Z N N N W NW NW NW Z NN N Z w N N N Z W NW NN N W N N W W NW NW NW NW (5.4) a { I * } je vektor konjugirano kompleksnih vrijednosti struje u svim čvorovima svih žica: { I } * { I N } * { I N } = * { I N } N W NW * (5.5) 35

153 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Dakle, proračun snage vrlo jednostavno provodi s već izračunatim matricama dobivenim prilikom proračuna struje, što je prednost predložene metode jer se proračun svodi na množenje vektora već izračunate struje i globalne matrice već asemblirane u postupku proračuna struje. Ukoliko se žica postavi u homogeni poluprostor tada je matricu međuimpedancija nužno proširiti da bi se uzelo u obzir i reflektirano polje na isti način kao i u slučaju proračuna struje: n { } { } nt D D g ( sm, s ' n) i j ± + n { } { } mt + k± sm s ' m f f g (, ' ) i j ± sm s n + nm n mt ds n ji { D} { D} gi ( sm, s * n) k k i j ± ± dζ ' + + n mt k + k ± + k± sm s ' n { f } { f } gi ( sm, s' n) i j ± dsm Z = + dζ ' d ζ (5.6) dζ n mt + sm { f } { f } G S ± ( sm, s' n) i j 5.3. Proračun ulazne impedancije Općenito, žičana antena se pomoću Thevenin-ovog i/ili Norton-ovog ekvivalentnog kruga može nadomjestiti s ekvivalentnom impedancijom Z A [55]. Ekvivalentna impedancija se postavlja između dva terminala a b koji se koriste za povezivanje antene na generator, prijemnik ili prijenosnu liniju (Slika 5.), i predstavlja ulaznu impedanciju. 36

154 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Slika 5. Antena i ekvivalentni krug U slučaju da je antena izolirana u slobodnom prostoru, ulazna impedancija jednaka je vlastitoj impedanciji antene. U praksi, naravno, to nije slučaj jer gotovo uvijek treba uzeti u obzir utjecaj poluprostora budući se antene postavljaju iznad ili u zemlju. Ulazna impedancija ovisi o mnogim parametrima kao što su radna frekvencija, geometrija antene, metode pobuđivanja te blizina okolnih objekata. U relevantnoj literaturi navodi se nekoliko, u prvom redu analitičkih, načina proračuna ulazne impedancije. Prema [55] i [9] ulazna impedancija se može izračunati primjenom: metode rubnih vrijednosti (eng. boundary-value problems) metode temeljene direktno na jednadžbama polja; metode Poynting-ovog vektora (eng. Poynting vector method) metode inducirane elektromotorne sile (eng. induced EMF method) metode prijenosnih linija (eng. transmission line method). Metoda rubnih vrijednosti je klasična metoda kod koje se Maxwell-ove jednadžbe izraze preko krivolinijskih koordinata pogodno odabranih prema obliku vodiča. Zatim se uz zadovoljenje graničnih uvjeta na vodiču rješava rezultirajuća diferencijalna jednadžba. Potom se odrede prirodni modovi titanja te se iz prigušenja tih titraja dade odrediti realni dio impedancije, odnosno radni otpor. Glavni nedostatak metode je da je ograničena na vrlo uski skup geometrija budući je egzaktno rješenje moguće samo u slučaju sferoidnih vodiča. Ostali oblici geometrije sadrže diskontinuitete na krajevima što čini svaku analizu 37

155 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture približnom. To se odnosi i na vodič oblika cilindra, za koji egzaktna analiza nije moguća [93]. Općenito, metoda rubnih vrijednosti je točnija od ostalih metoda budući da sadrži najmanje aproksimacija i pojednostavljenja. Pri tome se prvenstveno misli da se raspodjela struje ne pretpostavlja već se određuje iz graničnog uvjeta o nestajanju tangencijalnih komponenti električnog polja na površini idealnog vodiča. Metoda Poynting-ovog vektora se sastoji od integracije Poynting-ovog vektora po zatvorenoj površini (najčešće sfera) koja obuhvača antenu na dovoljno velikoj udaljenosti. Pri proračunu električnog i magnetskog polja se pretpostavlja sinusna raspodjela struje. Osnovni nedostatak ove metode je da daje samo realni dio impedancije tj. otpor zračenja budući da uzima u obzir samo daljinsko polje. Preciznost metode je u najvećoj mjeri ovisna o točnosti pretpostavljene raspodjele struje. Metoda inducirane elektromotorne sile se sastoji od proračuna integrala produkta raspodjele struje i električnog polja na površini antene koje je posljedica te raspodjele struje [94]. Tada je ulazna impedancija dana sa [9], [94], [95]: Zul = Es ( s) I( s) ds (5.7) I gdje je I struja na ulaznom terminalu, I ( s ) pretpostavljena sinusna raspodjela struje i Es ( s ) raspodjela tangencijalnog električnog polja duž žice. Kao i kod metode Poynting-ovog vektora iz pretpostavljene strujne raspodjele se računaju električna i magnetska polja te točnost metode ovisi o preciznosti pretpostavljene struje. Metoda daje istu vrijednost otpora zračenja kao i metoda Poynting-ovog vektora za istu pretpostavljenu raspodjelu struje, dok joj je prednost što daje i vrijednost imaginarnog dijela impedancije tj. reaktanciju. U načelu metoda Poynting-ovog vektora se pretvara u metodu inducirane elektromotorne sile ukoliko se za integracijsku površinu uzme površina antene. Iz tog razloga neki autori metodu inducirane elektromotorne sile promatraju samo kao podvrstu metode Poynting-ovog vektora [55], [96]. Kod metode prijenosnih linija, antena se razmatra kao prijenosna linija i često se koristi kod bikoničnih antena. Detaljan pregled opisanih metoda se može pronaći u [9] i [97]. Kombiniranjem ovih osnovnih analitičkih metoda za proračun ulazne impedancije s, u prethodnim poglavljima, opisanim matematičkim i numeričkim modelom za proračun 38

156 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture raspodjele struje duž proizvoljne žičane strukture, napona te totalne uprosječene izračene snage, u ovom radu se predlažu četiri načina proračuna ulazne impedancije složene žičane strukture (proizvoljne antene): direktno iz definicije ukoliko je poznat ulazni napon, dok se ulazna struja dobije iz rješenja za strujnu raspodjelu; direktno iz definicije ukoliko je poznata ulazna struja, dok se ulazni napon računa integriranjem električnog polja; direktno iz definicije ukoliko je poznata ulazna struja, dok se ulazni napon računa množenjem globalne matrice međuimpedancija s izračunatom strujnom raspodjelom; poopćenjem metode Poynting-ovog vektora i metode inducirane elektromotorne sile uvođenjem izvedenog numeričkog rješenja za uprosječenu izračenu snagu. Prvi način, ujedno i najjednostavniji, temelji se na samoj definiciji ulazne impedancije kao omjera ulaznog napona i struje: Z ul V I = ul ul (5.8) Ovisno o karakteru problema koji se promatra, poznat je ili ulazni napon ili ulazna struja. Naime, kada složena žičana struktura predstavlja predajnu antenu tada se kao pobuda koristi idealni naponski izvor, kružni magnetski prsten te predložena kružna magnetska antena pa je ulazni napon poznat dok se ulazna struja postupkom opisanim u poglavljima i 3 dobije rješavanjem integralne jednadžbe. Korištenjem kružnog magnetskog prstena ili kružne magnetske antene kao pobude na otvorenom kraju žičane strukture ovaj koncept se može proširiti i na proračun ulazne impedancije uzemljivača, gromobrana ili kanala groma kod kojih je izvor gotovo uvijek na otvorenom kraju žice. Dakle, za razliku od dosadašnjih metoda, kod kojih se na otvoreni kraj žice postavljao idealni strujni izvor te je ulazni napon bio nepoznat, u ovom slučaju ulazni napon je poznat a ulazna struja se ionako izračuna u okviru proračuna ukupne raspodjele struje. U slučaju modeliranja fenomena pomoću idealnog strujnog izvora (kanal groma, gromobran, uzemljivač) poznata je ulazna struja, dok je ulazni napon potrebno izračunati. 39

157 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Jedan od načina, vrlo često korišten, proračuna ovog napona (koji se odnosi na udaljenu zemlju eng. remote ground) je integriranje električnog polja od točke izvora do beskonačnosti prema izrazu (5.) gdje je točka B u beskonačnosti, a točka A sa nalazi na površini žice na sredini elementa na koji je priključen idealni strujni izvor [4], kako je prikazano na slici 5.. Slika 5. Integracija pri proračunu ulaznog napona Točka A se postavlja na sredinu elementa na koji se spaja pobuda da se izbjegnu numeričke nepravilnosti pri proračunu bliskog polja, prvenstveno u vidu pojave nefizikalnih rješenja, koje se javljaju na spojevima i otvorenim krajevima žica [9], [98]. Izbjegavajući ove numeričke nestabilnosti, nailazi se na novi problem. Naime, različitim odabirom broja elemenata tj. dužine elemenata mijenja se i položaj točke A, a samim time i iznos proračunatog napona što znači da ovako definiran napon u numeričkom smislu nije jednoznačan i izravno ovisi o odabranom broju elemenata. Također, strogo gledano tada se ulazni napon i ulazna struja promatraju u različitim točkama: struja u čvoru elementa koji sadrži izvor a napon na sredini tog elementa, što znači da je pripadajuća impedancija aproksimativna. Drugi način proračuna napona u točki pobude može se provesti izravno iz globalne matrične jednadžbe nastale pri proračunu struje duž žičane strukture, oblika: [ Z ]{ I} = { V} (5.9) koja izravno slijedi iz (3.35). Vektor desne strane { V } predstavlja pobudu i ima fizikalni smisao napona. Valja napomenuti da pri proračunu struje vektor desne strane smatramo jednakim nuli budući da se pobuda u slučaju idealnog strujnog izvora u formulaciju uvodi putem graničnog uvjeta. Međutima, član vektora desne strane koji odgovara čvoru u koji je injektirana struja nije 4

158 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture jednak nuli. Naime, u postupku rješavanja matrične jednadžbe (5.3), red koji odgovara čvoru injektiranja izbacuje iz formulacije. To znači da i član vektora desne strane koji odgovara čvoru injektiranja struje nestaje iz procesa računanja struje (ovdje je, bez utjecaja na općenitost, pretpostavljeno da je to prvi čvor odnosno red): Z Z Z n I g V Z Z Z n I = Zn Zn Znn In (5.3) Na taj način se dobiva matrična jednadžba, iz koje se računa raspodjela struje, koja ne sadrži informaciju o naponu čvora u koji je injektirana struja: Z Z3 Zn I Z Z3 Z33 Z 3n I 3 Z 3 = I g Z Z Z I Z n n3 nn n n (5.3) Zbog toga se element vektora desne strane koji odgovara čvoru u koji je injektirana struja može odrediti iz početne matrične jednadžbe (5.3) jednostavnim množenjem odgovarajućeg reda globalne matrice međuimpedancija s izračunatom raspodjelom struje: I g I V = [ Z Z Z ] = Z I I n n i i i= n (5.3) Rješenje tog množenja (5.3) je upravo napon čvora u koji je injektirana struja. Ovakav način proračuna napona, a posljedično i ulazne impedancije, je mnogo točniji i stabilniji od prethodno opisanog (integrala električnog polja), budući da se napon vezuje za istu točku kao i struja. Također, postupak je mnogo brži i jednostavniji budući zahtjeva množenje prvog reda globalne matrice već izračunate u postupku proračuna struje s tom strujom. Valja naglasiti da ovaj koncept proračuna napona na žici vrijedi samo za točku na koju je priključen strujni izvor, dok prethodno opisani postupak vrijedi za bilo koju točku 4

159 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture na žici i oko žice. Ovaj koncept je primjenljiv i kod modeliranja antena, ali je u suštini nepotreban budući je ulazni napon ionako poznat. Posljednja metoda je možda najopćenitija i temelji se na poopćenju gore opisane metode Poynting-ovog vektora i metode inducirane elektromotorne sile. Slijedeći te osnovne ideje ulazna impedancija je definirana preko relacije [5], [9], [95]: Z ul P = = I * AV E I ds (5.33) I C gdje je P AV uprosječena izračena snaga a I kompleksna ulazna struja. Ukoliko se umjesto P AV uvrsti izraz (5.) slijedi formula za proračun ulazne impedancije proizvoljnog sustava žica (antena) bez obzira na karakter i mjesto pobude: T Z { } [ ]{ * ul = I Z I } (5.34) j4πωε I eff Dakle, opisani postupak za proračun ulazne impedancije je maksimalno općenit te je usko povezan s numeričkim rješenjem pomoću GBIMRE, budući je proračun ulazne impedancije sveden na jednostavno množenje matrica već asembliranih u postupku proračuna struje duž žičane strukture. Valja napomenuti da izraz (5.34) predstavlja poopćenje sličnog izraza za ravne i paralelne žice iz []. Ovakav način proračuna ulazne impedancije uvelike olakšava proračun tzv. međuimpedancije koja se definira kao omjer napona stvorenog na prvoj anteni uslijed zračenja druge antene i struje na drugoj anteni, pri čemu na prvu antenu nije priključen nikakav generator. Naime, međuimpedancija između dvije antene se može definirati kao [5]: Z ji = E I ds I I * ji j j (5.35) j i C j što je istog oblika kao i izraz za ulaznu impedanciju (5.33). Ponavljajući postupak izvoda uprosječene snage slijedi: 4

160 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture gdje je { n } Z = I Z I T * { } { } ij ni ni n j n j j4πωε i ij j eff IiI j T * I i transponirani vektor rješenja za i-tu antenu, { n } i j j (5.36) I konjugirano kompleksnih vrijednosti struje na j-toj anteni, Z ni n j ij generalizirana matrica impedancije koja u stvari predstavlja podmatricu globalne matrice sustava (5.4), I i je ulazna struja i-te antene a I j ulazna struja j-te antene. Može se kazati da način proračuna ulazne impedancije žičane strukture u najvećom mjeri ovisi o vrsti pobude. Ukoliko se koristi naponski upravljana pobuda (jednostavni naponski izvor, kružni magnetski prsten i kružna antena), bez obzira na primjenu, tada je ulazni napon poznat a ulazna struja se dobije proračunom raspodjele struje duž žičane strukture, te se ulazna impedancija dobije iz definicije (5.8). Ukoliko se pak koristi idealni strujni izvor tada je poznata ulazna struja dok je ulazni napon potrebno odrediti bilo integriranjem električnog polja bilo korištenjem relacije (5.3). Korištenjem Poyntingovog teorema tj. izvedene relacije (5.34) ulazna impedancija se može izračunati direktno bez obzira na karakter i mjesto pobude. Tablica 5. sadrži kratki sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije u ovisnosti o vrsti pobude. Tablica 5. Sažeti pregled načina proračuna ulazne impedancije Pobuda Poznati parametar Proračun ulazne impedancije Idealni strujni izvor Ulazna struja - proračun ulaznog napona integriranjem E polja (BCINTZ)* - proračun napona iz (5.3) (BCMZ)* - direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.34) (BCPTZ)* - ulazna struja se dobije iz proračuna Jednostavni raspodjele struje (DGZ)* Ulazni napon naponski izvor - direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.34) (DGPTZ)* Magnetski kružni prsten Magnetska kružna antena Ulazni napon Ulazni napon - ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (MFZ)* - direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.34) (MFPTZ)* - ulazna struja se dobije iz proračuna raspodjele struje (MAZ)* - direktni proračun ulazne impedancije pomoću (5.34) (MAPTZ)* * - kratice u zagradama označavaju različite pobude i pripadne načine proračuna ulazne impedancije koji će biti uspoređeni u nastavku rada 43

161 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture 5.4. Numerički primjeri Proračun napona Jednostavni uzemljivač Prvi primjer tiče se proračuna napona u odnosu na daleku zemlju (odnosno potencijala) na površini zemlje iznad jednostavnog horizontalnog uzemljivača prikazanog na slici 5.3. Također, na istoj slici mogu se vidjeti geometrijske karakteristike uzemljivača i profila po kojem se računa napon, kao i karakteristike tla u koje je postavljen uzemljivač. Praktična važnost ovako izračunatog napona je u proračunu napona dodira i napona koraka, veličina definiranih normama koje uređuju pitanja uzemljenja i uzemljivača. Slika 5.3 Jednostavni horizontalni uzemljivač i profil proračuna Proračun je izvršen na frekvenciji od 5MHz, pri čemu je za proračun struje korišteno 5 linearnih elemenata, dok je napon izračunat u 6 točki na površini zemlje. Slika 5.4 prikazuje raspodjelu napona na površini duž profila izračunatog na tri načina: integralom električnog polja po formuli (5.4), ubrzanim proračunom po formuli (5.45) i ubrzanim proračunom bez uzimanja u obzir Sommerfeld-ovih integrala po formuli (5.49). Vidljivo je da se rezultati izračunati pomoću prva dva načina izvrsno slažu dok zanemarenje Sommerfeld-ovih integrala kod proračuna napona unosi minimalnu grešku. Budući da se radi o samoj granici područja za očekivati je da će greška u najvećem broju slučaja biti upravo tu najveća ukoliko se zanemari utjecaj Sommerfeld-ovih integrala. Za ubrzani proračun prema formuli (5.45) potrebno je cca. 6% vremena u odnosu na originalni postupak dok u slučaju zanemarenja Sommerfeld-ovog dijela vrijeme proračuna pada cca. 4 reda veličine, što u praktičnom inženjerskom smislu predstavlja izuzetan rezultat. U konkretnom slučaju, radi ilustracije, ta vremena su redom iznosila 6s, s i.68s. 44

162 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture 6 Realni dio napona 4 real(u) (V) x (m) imag(u) (V) 6 4 Integral E polja Ubrzan proracun Ubrzan proracun bez Somm Imaginarni dio napona x (m) Slika 5.4 Napon na površini zemlje duž profila Također je, na istom uzemljivaču, izvršen proračun frekvencijskog spektra ulaznog napona pomoću opisana tri načina. Rezultat tog proračuna je prikazan na slici 5.5, gdje se vidi da nema praktički nikakve razlike između rezultata dobivenih ubrzanim proračunom sa i bez formulacije sa Sommerfeld-om. Razlika je prisutna u odnosu na proračun u odnosu na originalni integral i nastaje kod proračuna električnog polja uz sami rub žice. Naime izraz za električno polje sadrži derivaciju Green-ove funkcije aproksimiranu konačnim diferencijama koja generira relativno veliku grešku kada se točka proračuna nalazi uz sami rub žice. Kako je električno polje najveće uz samu žicu i brzo opada udaljavanjem od žice jako mala greška pri proračunu polja uz samu žicu uzrokuje grešku u proračunu ulaznog napona. Budući da proračun električnog polja otpada u slučaju ubrzanog algoritma, taj problem nestaje pa samim time i točnost proračuna je veća. Na ovom primjeru može se jasno vidjeti da je utjecaj Sommerfeld-ovih integrala na proračun napona, posebice ulaznog napona uzemljivača, praktički zanemariv. 45

163 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Realni dio napona 5 real(u) (V) f (Hz) Imaginarni dio napona x 7 Integral E polja Ubrzan proracun Ubrzan proracun bez Somm imag(u) (V) f (Hz) x 7 Slika 5.5 Frekvencijski spektar ulaznog napona Složeni uzemljivač Prvi primjer se odnosi na mrežasti uzemljivač prikazan na slici 3.3. Dakle, radi se o mrežastom uzemljivaču dimenzija 6x6m, s okom mreže od xm. Uzemljivač je izveden od bakrene žice radijusa a=.7m, te je ukopan u zemlju na dubinu od d=.5m. Zemlja je smatrana homogenom, specifične električne vodljivosti σ=.s/m i relativne dielektričnosti ε r =. Slika 5.6 prikazuje prostorno vremensku raspodjelu napona, u odnosu na udaljenu zemlju, na vodičima mrežastog uzemljivača. Vremenska ovisnost je dobivena primjenom inverzne Fourier-ove transformacije na proračunati frekvencijski spektar napona po vodičima. Odziv je dobiven u odnosu na tipični dvostruko eksponencijalni strujni impuls, s maksimalnom strujom od ka, vremenom porasta od µs i vremenom pada na polovinu maksimalne vrijednosti od 5µs, injektiran u centar mreže. Strujni impuls je opisan jednadžbom: αt βt ( ) i( t) = I e e (5.37) gdje je I =.67kA, α =.4µ s i β = 5.73µ s. 46

164 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture Usporedbom rezultata prikazanih na slici 5.6 s rezultatima obavljenim u [99] može se uočiti jako dobro slaganje. Slika 5.6 Prostorno-vremenska ovisnost napona u odnosu na daleku zemlju na žicama mrežastog uzemljivača Drugi primjer je kompleksni uzemljivač vjetroagregata, prikazan na slici 5.7. Sami uzemljivač se sastoji od osnovnog uzemljivača prikazanog na slici 5.7a, i dodanih horizontalnih traka kako je ilustrirano na slici 5.7b. 47

165 Parametri zračeće i/ili raspršne žičane strukture (a) (b) Slika 5.7 Geometrija uzemljivača vjetroagregata Osnovni uzemljivač se sastoji od dva bakrena prstena izračena od vodiča presjeka 7mm (Cu 7 mm ) prvenstveno namijenjena izjednačavanju potencijala. Manji je radijusa 3.5m i ukopan je na dubini od 5cm, dok je veći radijusa 6.8m i ukopan je na dubini 55cm. Unutar većeg prstena je postavljen mrežasti kvadratni uzemljivač (Fe/Zn 3x4mm) stranice 9.6m na dubini od m. Dodatne horizontalne trake (Fe/Zn 3x4mm) od 8m, 9m i 9m su postavljene radijalno kako je prikazano na slici 5.7 na dubinu m kako bi se dodatno poboljšala svojstava uzemljivača. Također, na uzemljivač je spojeno i uzemljivačko uže koje se postavlja u kabelski rov i povezuje sve vjetroagregate u vjetroparku zajedno s ostatkom uzemljenja mreže. Uzemljivačko uže u kabelskom rovu je modelirano do dužine od m budući da u impulsnom režimu rada ostatak uzemljivačkog sustava nema gotovo nikakav utjecaj na ponašanje konkretnog uzemljivača vjetroagregata. Uzemljivač je postavljen u tlo specifičnog otpora ρ=ω/m i relativne dielektričnosti ε r =9, te je pobuđen u vidu strujnog impulsa opisanog s jednadžbom (5.37) s parametrima I =.43A, α =.794µ s i β = 4.µ s što odgovara impulsu s omjerom vremena porasta i opadanja / µs. Valni oblik signala je prikazan na slici