SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Damir Rigler. Zagreb, 2014.

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Damir Rigler Zagreb, 2014.

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentor: Prof. dr. sc. Hrvoje Jasak, dipl. ing. Student: Damir Rigler Zagreb, 2014.

3 Izjavljujem da sam ovaj rad izradio samostalno koristeći stečena znanja tijekom studija i navedenu literaturu. Zahvaljujem se profesoru Jasaku, bez čije pomoći i podrške izrada ovog rada ne bi bila moguća. Želim zahvaliti profesoru Tukoviću na vrlo vrijednim savjetima, te profesorici Singer na pomoći oko uređivanja teksta. Damir Rigler

4 Sadržaj Popis slika Popis tablica iii vii 1. Uvod 5 2. Metoda uronjene granice Općenito Prethodne i povezane studije Pristup s kontinuiranim izvorskim članom Pristup s diskretnim izvorskim članom Matematički model Osnove mehanike kontinuuma Osnovni zakoni mehanike kontinuuma Nestlačivo izotermno strujanje Newtonovskog fluida Modeliranje turbulencije Dvofazno strujanje fluida sa slobodnom površinom Početni i rubni uvjeti Diskretizacija jednadžbi Diskretizacija jednadžbi Metoda uronjene granice Validacija Strujanje oko simetričnog 2D profila Mreža konačnih volumena Laminarno strujanje Turbulentno strujanje Strujanje oko krila Onera M Strujanje oko polu-uronjenog hidroprofila Simulacija strujanja fluida sa slobodnom površinom oko KCS trupa broda Fakultet strojarstva i brodogradnje i

5 6. Zaključak Bibliografija 82 Fakultet strojarstva i brodogradnje ii

6 Popis slika 2.1 IBM cilindar u kanalu, mreža IBM cilindar u kanalu, neaktivne ćelije IBM cilindar u kanalu, polje brzine IBM cilindar u kanalu, polje tlaka Točke u blizini IBM-a [3] Interpolacija u IB ćelijama [7] Interpolacija u IB ćelijama, lokalni koordinatni sustav [7] Munk M3 aeroprofil, geometrija [12] Munk M3 aeroprofil, površinska mreža Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detalj profila Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detalj graničnog sloja napadnog brida Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detalj graničnog sloja izlaznog brida Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj napadnog brida Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj izlaznog brida Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, neaktivne ćelije Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlaka p [Pa] Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa] Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlaka p [Pa], detalj profila Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa], detalj profila Fakultet strojarstva i brodogradnje iii

7 5.16 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine U [m/s], detalj profila Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine U [m/s], detalj profila Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, x-smjer Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, y-smjer Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlaka p [Pa], detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa], detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, polje brzine, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, turbulentna viskoznost, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, turbulentna viskoznost, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, turbulentna kinetička energija, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, turbulentna kinetička energija, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka, x-smjer Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka, x-smjer Onera M6 krilo, geometrija Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, farfield Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, farfield Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, simetrija.. 55 Fakultet strojarstva i brodogradnje iv

8 5.38 Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, simetrija Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Onera M6, polje tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Onera M6, polje tlaka, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Onera M6, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Onera M6, polje brzine, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [P a], detalj krila Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [P a], detalj krila Onera M6, sile tlaka, x-smjer Onera M6, sile tlaka, y-smjer Onera M6, sile tlaka, z-smjer Onera M6, moment tlaka, x-os Onera M6, moment tlaka, y-os Onera M6, moment tlaka, z-os Hidroprofil, geometrija Hidroprofil, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže Hidroprofil, mreža, metoda uronjene granice Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda uronjene granice Fakultet strojarstva i brodogradnje v

9 5.64 Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda površinski prilagodljive mreže Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda uronjene granice Hidroprofil, slobodna površina, t= Hidroprofil, slobodna površina, t= Hidroprofil, sile tlaka, x-smjer KCS trup, geometrija KCS trup, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže KCS trup, mreža, metoda uronjene granice KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda površinski prilagodljive mreže KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda uronjene granice KCS trup, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže KCS trup, polje brzine, metoda uronjene granice KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda uronjene granice KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prilagodljive mreže KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površinski prilagodljive mreže KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjene granice KCS trup, slobodna površina, usporedba, t= KCS trup, slobodna površina, usporedba, t= KCS trup, sile tlaka, x-smjer Fakultet strojarstva i brodogradnje vi

10 Popis tablica 5.1 Munk M3 laminarno strujanje, podaci Munk M3 turbulentno strujanje, podaci Onera M6, početni i rubni uvjeti Hidroprofil, početni i rubni uvjeti KCS trup, početni i rubni uvjeti Fakultet strojarstva i brodogradnje vii

11 Popis oznaka FLOPS - Floting point operations per second (operacija s pomičnim zarezom po sekundi) CAD - Computer aided design (konstruiranje uz pomoć računala) CFD - Computer fluid dynamics (računalna mehanika fluida) DNS - Direct numerical simulation (izravna numerička simulacija) RANS - Raynolds avareged Navier-Stokes (Vremenski osrednjene Navier-Stokes jednadžbe) IBM - Immersed Boundary Method (Metoda uronjene granice) VOF - Volume of Fluid (Udio kapljevine) RU - Rubni uvjeti LES - Large eddy simulation (Simulacija velikih vrtloga) MPPM - Metoda površinski prilagodljive mreže MUG - Metoda uronjene granice UG - Uronjena granica Fakultet strojarstva i brodogradnje 1

12 Oznaka Opis Jedinica X i m Proizvoljan radij-vektor točke na IB-vlaknu t s Vrijeme u m/s Vektor brzine f m N Sila na IB vlakna F i N Sila na pojedinu točku IB vlakna δ Diracova funkcija x m Radijvektor κ Konstanta X i e m Ravnotežni progib K ϕ C ω Permeabilnost porpznog medija Proizvoljna varijabla Konstanta ρ kg/m 3 Gustoća Geometrijski koeficijent σ ij N/m 2 Tenzor naprezanja e J/kg Specifična energija Q J Volumenski izvor topline s J/kgK Specifična entropija T C Specifična entropija Γ Koeficijent difuzije q ϕ,i m 2 /s Površinski izvor/ponor s ϕ m 3 /s Volumni izvor/ponor p P a Tlak R J/kgK Univerzalna plinska konstanta T K Termodinamička temperatura δ ij Kroneckerov koeficijent µ P as Dinamička viskoznost µ t P as Turbulentna dinamička viskoznost k J/kg Turbulentna kinetička energija ɛ J/kgs Disipacija turbulentne kinetičke energije Fakultet strojarstva i brodogradnje 2

13 Abstract This thesis describes the design, implementation and validation of the Immersed Boundary Method (IBM) for finite volume based Computational Fluid Dynamics (CFD). In CFD, objects are usually described using body conformal meshes (structured or unstructured), where boundary conditions are imposed on the boundary faces of a mesh. Boundary conditions (BC) provide the information necessary to properly describe object geometry and flow parameters. Generation of such meshes still requires some effort, even for simple geometries, and can be very difficult or even impossible for complicated ones. If an object changes its position or form during time, mesh motion, or even topological changes of the mesh are required. Both require certain computational effort and can result in an unusable mesh. These obstacles can be avoided with an alternative approach: Immersed Boundary Method (IBM). IBM does not use a body-conformal mesh. Instead, an empty volume mesh is used for the flow domain together with a separate surface mesh for the object outline. Generation of the surface mesh is not related to the generation of the volume mesh making it significantly easier, since a simple structured hexaedral mesh can be used for the domain volume. As the object is not described using boundary faces, it is necessary to use a surface mesh for imposition of boundary conditions. The surface mesh is then immersed into the domain volume and the calculation matrix is modified to account for the geometry of the object. This enables very fast solutions for different geometries on the same background mesh. Furthermore, moving the surface mesh through the background mesh is significantly (computationally) simpler than any mesh-manipulation method. For this work IBM has been implemented into the open-source software OpenFOAM using a discrete forcing approach, where discretized equations are only affected in the cells touching the IB (direct imposition of boundary conditions (BC)). Direct imposition of BC preserves sharpness of the object surface. Wall functions are used to handle high Reynolds number flows. Dirichlet and Neumann BC are implemented using quadratic interpolation, where unknown coefficients are determined using a least square method on extended stencil. Implementation into OpenFOAM enables use of polyhedral background meshes and automatic mesh refinement. The IBM implementation is validated on four test cases that cover transient and steady-state, laminar and turbulent, single phase and two-phase free surface flow. Both integral values (such as force on the object) and certain fields (such as pre- Fakultet strojarstva i brodogradnje 3

14 ssure, or free surface) are compared with experimental results from literature and show satisfactory agreement. Fakultet strojarstva i brodogradnje 4

15 1. Uvod Numeričke metode postale su nezaobilazne u istraživanju i razvoju novih proizvoda. Alati za proračun čvrstoće konačnim elementima standardno se implementiraju u CAD alate, a i CFD alati postaju sve pristupačniji krajnjem korisniku. Važan faktor kod korištenja ovih metoda je računalno vrijeme ( computing time ) koje je u posljednjih desetak godina pojeftinilo oko 450 puta[16] a i daljnji pad cijene se može očekivati u budućnosti. Zbog toga se može očekivati još veći interes za ove metode u inženjerskoj praksi. Kontinuum podrazumijeva da se materija u promatranom dijelu prostora sastoji od čestica koje u potpunosti popunjavaju promatrani prostor, tj. da u njemu nema praznina. Računalna mehanika fluida ne opisuje međudjelovanje među elementarnim česticama, ali taj opis nije sadržan niti u klasičnoj mehanici fluida. Isto tako, polje pojedine fizikalne veličine podrazumijeva da je ta veličina definirana u svakoj točki prostora, u svim vremenskim trenucima. Mehanika kontinuuma proučava fizikalne pojave koje se mogu opisati sa pet osnovnih zakona očuvanja: mase, količine gibanja, momenta količine gibanja te prvi i drugi glavni stavak Termodinamike. Budući da fizikalni problemi koje proučava mehanika kontinuuma najčešće nemaju analitičko rješenje, potrebno ih je riješiti numerički putem. Kako bi to bilo moguće, problem je potrebno diskretizirati. Diskretizacija je pretvaranje diferencijalne jednadžbe u sustav algebarskih jednadžbi. Taj se sustav nakon linearizacije rješava rješavačima linearnih algebarskih jednadžbi. Upravo zbog tih svojstava kontinuuma moguće je nelinearne, parcijalno-diferencijalne Navier-Stokesove jednadžbe, diskretizirati na gore spomenuti način i rješavati ih korištenjem računala. Međutim, navedeno vrijedi za bilo koju parcijalno-diferencijalnu jednadžbu, pa je tako moguće rješavati širok spektar fizikalnih problema kao što su elektromagnetizam, smjer i brzina kemijskih reakcija (uključujući izgaranje), biološki i drugi fenomeni. Diskretizacija podrazumijeva diskretizaciju prostorne (proračunska mreža) i vremenske domene, te jednadžbi. Najčešće korištene metode diskretizacije su: metoda konačnih razlika, metoda konačnih elemenata te metoda konačnih volumena. U ovom radu korištena je isključivo diskretizacija metodom konačnih volumena. Ta metoda postala je posebno popularna za simuliranje strujanja fluida, posebno uz korištenje nestrukturiranih poliedarskih mreža[6] koje je jednostavnije generirati u Fakultet strojarstva i brodogradnje 5

16 odnosu na strukturirane, heksaedarske mreže[14]. Međutim, generiranje mreže i dalje može biti komplicirano, čak i kada se opisuje jednostavna geometrija. Izrada mreže uključena je u postupak pretprocesiranja koji može uključivati i izradu geometrije, a obavlja se prije samog proračuna. U klasičnim simulacijama, geometrija promatranog objekta definirana je mrežom tj. oblikom površina ( faces ) koje opisuju konačne volumene na samom objektu i predstavljaju rub domene. Na površine koje opisuju rub domene zadaju se rubni uvjeti ("Boundary conditions"). Navier-Stokesove jednadžbe u potpunosti opisuju ponašanje pojedinog fluida, uključujući turbulenciju, te se kao takve mogu diskretizirati i koristiti u izravnim računalnim simulacijama (DNS). U tom slučaju zahtijevaju izrazito finu diskretizaciju kako bi se opisale sve skale vrtloga, od najveće (Taylorove) skale do najmanje (Kolmogorove) skale. To je posebno zahtjevno na računalne resurse, te je kao takvo danas još uvijek neprimjenjivo u praksi. Turbulencija se može opisati kao trodimenzionalna, nestacionarna, nasumična gibanja fluida, koje karakterizira velika disipacija energije te nepovratnost u termodinamičkom smislu. Ta gibanja se manifestiraju u obliku vrtloga različitih skala, od kojih oni najmanji disipiraju najviše energije, a vrtlozi od srednjih do najvećih skala predaju energiju vrtlozima nižih skala. Prema tome, turbulenciju je potrebno modelirati. Danas su najčešća dva pristupa: RANS i LES. RANS je model turbulencije prema kojem se vrijednosti brzine i tlaka rastave na osrednjenu i oscilirajuću komponentu, te kao rezultat daju vremenski osrednjene veličine. Taj pristup se široko primjenjuje u inženjerskoj praksi budući da daje zadovoljavajuće rezultate uz osrednju potrebu za računalnim resursima. S druge strane, LES simulira sve skale vrtloga ali ne i Kolmogorovu, koja se modelira. Ova metoda omogućava simuliranje velikih i srednjih (najzanimljivijih) vrtloga uz snažnu potrebu za računalnim resursima iako još uvijek manju nego DNS [4]. Ukoliko objekt mijenja svoju poziciju ili oblik tijekom simulacije, potrebno je koristiti pomičnu mrežu[14] ili čak metode koje mijenjaju topologiju mreže tijekom proračuna, što stvara dodatne zahtjeve na računalne resurse i produžuje vrijeme simulacije. Nadalje implementacija ove tehnologije nije trivijalna, te može rezultirati neupotrebljivom mrežom. Dvofazni tok sa slobodnom površinom može se simulirati pomoću različitih metoda, a u ovom radu je korištena VOF metoda. Riječ je o Eulerovom opisu strujanja dvofaznog toka gdje je područje koje zauzima pojedini fluid definirano posebnom identifikacijskom funkcijom. Ovaj pristup koristi jedinstveni skup N-S jednadžbi za opisivanje strujanja, a za identifikaciju ćelija u kojima se nalazi poje- Fakultet strojarstva i brodogradnje 6

17 dina faza koristi se skalarno polje. Nakon proračuna slijedi analiza rezultata. Ono može uključivati prikaze pojedinih vektorskih ili skalarnih polja te integralnih veličina (npr. sila na objekt ili koeficijenti sile). Kao alternativa pristupu s mrežom koja je prilagođena obliku objekta, u ovom radu nudi se IB metoda, koja je objašnjena u sljedećim poglavljima. Fakultet strojarstva i brodogradnje 7

18 2. Metoda uronjene granice U prethodnom poglavlju, dan je uvod u numeričke metode u mehanici kontinuuma, s naglaskom na računalnu mehaniku fluida. O poglavlju koje slijedi, dan je opis metode uronjene granice (eng. Immersed Boundary Method, IBM) s naglaskom na prethodne implementacije Općenito Metoda uronjene granice (MUG) je zanimljiva alternativa metodi površinski prilagodljive mreže (MPPM), gdje izrada površinske mreže koja opisuje geometriju objekta nije direktno povezana s izradom volumne mreže (konačnih volumena). To znači da je moguće izraditi jednostavnu, strukturiranu volumensku mrežu konačnih volumena te u nju umetnuti površinsku mrežu MUG (kao što je prikazano na slici 2.1. Korištenje ove metode može značajno skratiti vrijeme potrebno za pretprocesiranje, tj. izradu mreže, budući da se površinska mreža koja opisuje objekt stvara neovisno od volumne (pozadinske) mreže. Slika 2.1: IBM cilindar u kanalu, mreža. Ta činjenica se može iskoristiti u slučajevima kada je potrebno simulirati puno Fakultet strojarstva i brodogradnje 8

19 slučajeva koji se ne razlikuju značajno geometrijski, na način da nije potrebno stvarati novu mrežu za svaki slučaj. To može biti posebno korisno kod optimizacije geometrije određenog objekta. Nakon što se površinska mreža umetne u volumensku, proračunska matrica se prilagodi na način opisan u nastavku (kako bi se uzela u obzir površinska mreža), te se pristupi proračunu. Ćelije unutar uronjene granice (UG) se ne koriste u proračunu, te budući da više ne pripadaju u proračunsku domenu postaju neaktivne. Neaktivne ćelije prikazane su na slici 2.2 plavom bojom, a aktivne u kojima se vrši proračun crvenom bojom. Ukoliko se centar određene ćelije nalazi unutar UG (tj. površinske mreže), ona se proglašava neaktivnom. Slika 2.2: IBM cilindar u kanalu, neaktivne ćelije Na slikama 2.3 i 2.4 prikazana su polja tlaka i brzine za prethodni primjer. Riječ je o 2D slučaju strujanja fluida u kanalu, gdje je cilindar opisan MUG. Radi se o nestlačivom laminarnom strujanju. Nadalje, budući da dvije mreže nisu direktno povezane, simulacija objekata koji mijenjaju svoju poziciju ili oblik tijekom vremena je značajno jednostavnija od primjene bilo koje metode dinamičke mreže. Fakultet strojarstva i brodogradnje 9

20 Slika 2.3: IBM cilindar u kanalu, polje brzine Slika 2.4: IBM cilindar u kanalu, polje tlaka Fakultet strojarstva i brodogradnje 10

21 2.2. Prethodne i povezane studije Prvu inačicu IBM metode razvio je Peskin g. kako bi simulirao strujanje krvi kroz srce, te mehaniku srca. Pozadinska mreža bila je Kartezijska, te nije bila prilagođena geometriji srca. Od tada su predložene mnoge modifikacije tog modela. Definicija rubnih uvjeta na IBM-u, tj. na granici između fluida i promatranog objekta glavni je izazov kod formiranja IBM metode. Postoji više načina kako se ta definicija može implementirati, od kojih su neke objašnjene u nastavku. U metodi koja je opisana u poglavlju 3. i validirana u ovom radu korišten je pristup s kontinuiranim izvorskim članom (eng. Discrete forcing approach ), s direktnim zadavanjem rubnih uvjeta. Dva su glavna pristupa modifikaciji diskretiziranih jednadžbi. U prvom se pomoću izvorskog člana (eng. forcing function ) imitira granica između objekta i fluida, pri čemu je sve jednadžbe potrebno rješavati na čitavoj domeni. Promjene su uvedene prije diskretizacije prostorne domene. U drugom se pristupu prostorna domena diskretizira neovisno o IBM-u, a nakon toga se modificira diskretizacijska matrica u ćelijama blizu IBM-a Pristup s kontinuiranim izvorskim članom U pristupu s kontinuiranim izvorskim članom, on je primijenjen na jednadžbu kontinuiteta i jednadžbu količine gibanja te se nakon diskretizacije rješava na čitavoj domeni. Krute i elastične objekte potrebno je tretirati na različite načine. Implementacija s pomičnim granicama objekta MUG prvotno je korištena za simuliranje rada srca. Proračun strujanja fluida rješava se pomoću Eulerovog pristupa CFD-om, korištenjem Navier-Stokesovih jednadžbi za nestlačivo strujanje. Prostorna domena je diskretizirana Kartezijskom mrežom. Objekt je opisan pomoću MUG, tj. vlaknima UG. Ta vlakna su zapravo niz točaka koje se opisuju Lagrangianovim pristupom. Pomoću izvorskog člana računa se sila objekta UG na fluid. U jednadžbi 2.1 definiran je radij-vektor i-te točke vlakna MUG. X i t ( ) = u Xi, t. (2.1) Vlakna su opisana pomoću matematičkih točaka (koje nemaju masu), a njihov položaj određen je iz lokalne brzine fluida i naprezanja mišića, koje je modelirano Hookovim zakonom. To naprezanje je dodano kao dodatni izvorski član. Fakultet strojarstva i brodogradnje 11

22 f m ( x, t) = i ( F i (t)δ x X ) i. (2.2) Praćenje položaja opisane matematičke točke opisano je jednadžbom 2.1, a izvorski član (eng. forcing term ) je opisan u jednadžbi 2.2, gdje je δ Dirac-ova funkcija. Točke na vlaknima MUG ne podudaraju se nužno sa točkama na Kartezijskoj mreži, te je potrebno distribuirati silu koja nastaje na uronjenoj granici na nekoliko susjednih ćelija. Zbog toga je δ funkcija zamijenjena kontinuiranom funkcijom d koja je prikladnija za korištenje na diskretiziranoj domeni. Postoji nekoliko primjera ovog pristupa od raznih autora: Mehanika srčanog mišića (Peskin 1981), Mehanika pužnice (Beyer 1992), gibanje vodene životinje (Fauci & McDonald 1994), dinamika mjehurića (Unverdi & Tryggvason 1992), tok uz elastična vlakna (Zhu & Peskin 2003). [8] Implementacija s neelastičnim granicama objekta Metoda opisana u prethodnom odjeljku nije prigodna za opisivanje problema s neelastičnim granicama budući da su opisani drugim temeljnim zakonima. Taj problem se može riješiti tako da se na objekt simulacije nametne ekstremna krutost. Na taj način, zapravo se simulira elastični objekt vrlo male elastičnosti. Objašnjen je pristup u kojem se smatra da je objekt pričvršćen za oprugu u ravnotežnom položaju (Beyer & Leveque (1992), Lai & Peskin (2000)). Sila nastala reakcijom opruge opisana je jednadžbom 2.3, gdje je κ pozitivna konstanta a X i e je ravnotežni progib i-te Lagrangijanske točke na UG. F i (t) = κ ( Xi X e i (t) ). (2.3) Kako bi se u ovom slučaju točno zadali rubni uvjeti, κ mora imati jako veliku vrijednost. Taj pristup kao posljedicu ima kruti sustav diferencijalnih jednadžbi, tj. potencijalno numeričko nestabilni sustav (Lai & Peskin (2000), Stockie & Wetton (1998)). Ovaj model može se promatrati kao poseban slučaj modela koji su razvili Goldstein at al. (1993). Interakcija između fluida i UG opisana je pomoću izvorskog člana u transportnoj jednadžbi 2.4. U sustav jednadžbi se nameće takva virtualna sila da iznos brzine na stijenci bude jednak 0. F (t) = α t 0 u(τ) dx + β u(t). (2.4) Fakultet strojarstva i brodogradnje 12

23 Jednadžba 2.4 ima fizikalno značenje prigušenog oscilacijskog sustava s povratnom vezom, točnije PI kontrolera [2] (Iaccarino & Verzicco (2003)). Ova metoda korištena je za simulaciju nestacionarnog toka oko cilindra pri srednjim Raynoldsovim brojevima, te strujanje oko prepreke u kanalu pri niskim Raynoldsovim brojevima (Goldstein et al. 1993). Rezultati su se pokazali obećavajućim za strujanje pri niskim Raynoldsovim brojevima. Međutim, kako bi se zadao željeni rubni uvjet na UG, potrebno je da α i β budu vrlo veliki negativni brojevi. To uzrokuje nestabilnost u sustavu, te zahtjeva vrlo kratke vremenske korake prilikom proračuna. Nadalje, kako bi se postigla glatka površina objekta, Gaussova distribucija je uvedena u izvorski član. Zbog toga se gubi na oštrini promatranog objekta, ali to se može riješiti povećanjem rezolucije mreže [2]. Druga metoda (Angot et al. (1999) i Khadra et al.(2000)) ovog tipa uključuje izvorski član sličan onome iz jednadžbe 2.4. Pretpostavlja se strujanje s poroznom strukturom koje je opisano Navier-Stokes/Brinkmanovim jednadžbama. U tom slučaju K predstavlja permeabilnost poroznog medija (0 za kruto tijelo, za fluid). Prema tome, funkcija sile je aktivna samo unutar krutog tijela gdje poništava polje brzine. [2] F = µ u. (2.5) K U praksi, K je izrazito velik ili izrazito malen i to u kombinaciji sa distribucijom sile na samoj granici objekta uzrokuje grešku u polju brzine na granici objekta. U jednadžbi 2.5 izvorski član može se zapisati koristeći koeficijente α i β, uz α = 0 i β = (µ/k). Jasno je da sve prethodno navedene primjedbe za 2.4, kao što je numerička stabilnost vrijede i za ovaj slučaj. Ova metoda je korištena za simulaciju strujanja oko cilindra te obrnute stepenice (Khadra et al. 2000) za vrlo niske Raynoldsove brojeve [8]. Zaključak o pristupu s kontinuiranim izvorskim članom U slučaju simuliranja strujanja fluida oko elastičnih objekata ovaj pristup ima čvrste fizikalne temelje te ga je jednostavno implementirati. Zbog toga je primjena ovog modela česta u simulacijama bioloških objekata, dvofaznog toka (ali ne na način korišten u ovom radu). S druge strane, ovaj pristup nije primjeren za simulacije s krutom stijenkom, vrlo je teško raditi simulacije koje ne uključuju interakciju fluida i objekta u toku. Pojednostavljeni modeli koji imitiraju krutu stijenku imaju loš utjecaj na numeričku Fakultet strojarstva i brodogradnje 13

24 stabilnost i točnost rješenja. Nadalje, kod ovih metoda teško je zadržati oštrinu na granici objekta i fluida, a to ima posebno loš utjecaj kod simulacije strujanja s visokim Raynoldsovim brojevima. Valja napomenuti da ovaj pristup zahtjeva rješavanje diskretnih jednadžbi i unutar UG, što je u suprotnosti sa težnjom za što manjim zahtjevima na računalno vrijeme [8] Pristup s diskretnim izvorskim članom U pristupu s diskretnim izvorskim članom, sustav jednadžbi prvo se diskretizira na uobičajen način, neovisno o površinskoj mreži. Nakon toga, promjene se uvode u diskretizacijsku matricu, s obzirom na blizinu uronjene granice. Ta promjene zapravo predstavljaju implementaciju rubnih uvjeta povezanih s MUG. Ovaj pristup je primjereniji za visoke Raynoldsove brojeve. Indirektna definicija rubnih uvjeta Za jednostavne probleme koji se mogu riješiti analitičkim putem, moguće je izvesti izvorski član kojom je definiran točno određeni rubni uvjet na uronjenoj granici (Beyer & Leveque 1992). Obzirom da Navier-Stokesove jednadžbe nemaju analitičko rješenje taj pristup je neprimjenjiv. Zbog toga su svi navedeni pristupi u prethodnom poglavlju su na neki način aproksimirali izvorski član. Kako bi se izbjegao taj problem, Mohd-Yosuf (1997) i Verzicco et al. (2000) su razvili metode kojima se izvorski član izvodi direktno iz numeričkog rješenja za koje je prethodno moguće pretpostaviti rješenje. Prednost ovog pristupa u odnosu na prethodne je što se izvorski član računa iz numeričkog rješenja a ne zadaje se direktno. Na taj se način zaobilaze problemi vezani uz numeričku stabilnost rješenja. Međutim, kao i prethodnim slučajevima, izvorski član je kontinuirana funkcija čime se smanjuje oštrina uronjene granice. Nadalje, svojstva ove implementacije snažno ovise o metodi diskretizacije. Simulacije su izvršene za turbulentno strujanje u motoru s unutrašnjim izgaranjem (Verzicco et al. (2000)), 2D (Balaras 2004) i 3D (Verzicco et al. (2000)) strujanje oko tupih tijela, te cilindričnom spremniku (Verzicco (2003)) [8]. Direktna definicija rubnih uvjeta Prethodno opisanim metodama u potpunosti je riješeno strujanje sa niskim i srednjim Raynoldsovim brojevima. Kod strujanja sa višim Raynoldsovim brojevima velik problem je u rješavanju graničnih slojeva, budući da nisu poravnati sa licima Fakultet strojarstva i brodogradnje 14

25 (eng. faces ) mreže. Nadalje, spomenuta neoštrina IBM granica između fluida i objekta ima vrlo loš utjecaj na točnost takvih simulacija. Zbog toga se u ovom pristupu oštrina granice između objekta i fluida nastoji se održati modifikacijom diskretizacijske matrice na način da se rubni uvjet zadaje direktno na IBM-u. Postoje dva pristupa ovom problemu: Metoda konačnih razlika sa virtualnim ćelijama: Rubni uvjet na IBM-u zadaje se pomoću virtualnih ćelija, koje su definirane kao ćelije u objektu simulacije koje imaju barem jednu susjednu ćeliju koja sadrži fluid. Za svaku virtualnu ćeliju se zatim provodi interpolacijska shema koja implicitno zadaje rubni uvjet na granici IBM-a. Postoji više načina na koji se ona može implementirati a jedan je dan u jednadžbi 2.6. ϕ = C 1 x 1 x 2 + C 2 x 1 + C 3 x 2 + C 4. (2.6) Slika 2.5: Točke u blizini IBM-a [3]. Koeficijenti u jednadžbi 2.6 mogu se odrediti iz vrijednosti ϕ-a u točkama F 1 do F 4 prema slici 2.5, uz rubni uvjet zadan u točki B 2. Odabir točke F 4 ovisi o smjeru normale na površini IBM-a. Nadalje isto se može postići korištenjem točaka od F 1 do F 3, uz korištenje točaka P 1 i P 2. Primjenjive su i druge sheme interpolacije (Ghias et al. (2004)); one mogu biti manje točne, linearne (C 1 = 0), koje su primjenjive za strujanja sa visokim Fakultet strojarstva i brodogradnje 15

26 Raynoldsovim brojevima ako je prva točka na mreži nalazi unutar viskoznog podsloja graničnog sloja (Iccarino & Verzicco (2003)). Ukoliko taj uvjet nije zadovoljen, mogu se koristiti interpolacije višeg reda kao npr. (Majumdar et al. 2001): ϕ = C 1 n 2 + C 2 nt + C 3 n + C 4 t + C 5. (2.7) U tom slučaju n i t su koordinate točaka u smjeru normale i tangente u odnosu na IBM. Naravno, postoje i druge sheme interpolacije (Ghias et al. 2004). Neovisno o tome, vrijednost u virtualnoj ćeliji može se zapisati kao: ωi ϕ i = ϕ v, (2.8) pri čemu se zbrajanje odvija za sve čvorove na diskretizacijskoj matrici a ω i je geometrijski koeficijent. Jednadžba 2.8 predstavlja modifikaciju diskretizacijske matrice te se rješava istovremeno sa Navier-Stokesovim jednadžbama za strujanje na ostatku domene. Ova metoda primijenjena je na stlačivo strujanje oko cilindra te aeroprofila (Ghias et al. (2004)) na Raynoldsovim brojevima do 10 5 i ostalo (vodeni pogon (Mittal et al.2004), protok kroz orebrenu serpentinu (Iaccarino et al. 2003), turbulentno strujanje oko motornog vozila (Kalitzin et al. 2003).) [8]. Metoda presijecanja ćelija: Niti jedna do sada spomenuta metoda ne zadovoljava zakone očuvanja u ćelijama blizu UG. Metodom konačnih volumena može se jamčiti globalni i lokalni kontinuitet što je bila glavna motivacija za razvoj ove metode. Primijenjena je na neviskozno strujanje (Clarke et al. 1986), a kasnije i na viskozno (Udaykumar et al. (1996); Ye et al. (1999)). U ovoj metodi kao i u do sada nabrojanima, površinska mreža se ubacuje unutar pozadinske volumne mreže. Ukoliko se centar pojedine presječene ćelije nalazi van IBM, tj. unutar fluida, ćelija se preoblikuje na način da se odbaci dio ćelije koji se nalazi unutar promatranog objekta. Odsječci ćelija čiji se centri nalaze unutar objekta, spajaju se sa susjednim ćelijama. Nakon toga, potrebno je izračunati vrijednosti polja ϕ na pojedinim licima novonastalih ćelija što se rješava interpolacijom (Ye et al. (1999)). To efektivno daje diskretizaciju drugog reda točnosti te lokalno i globalno zadovoljava zakone očuvanja neovisno o rezoluciji mreže. Fakultet strojarstva i brodogradnje 16

27 Ova metoda korištena je za simuliranje strujanja sa pomičnim i fiksnim granicama, uključujući vibracije uzrokovane strujanjem (Mittal et al. 2003), pomične aeroprofile (Mittal et al. 2002), slobodni pad objekata kroz fluid (Mittal et al. 2004) itd. Primjena ove metode u trodimenzionalnom prostoru nije trivijalna, jer zahtjeva generiranje kompleksne poliedarske mreže, a time se zapravo udaljava od ideje MUG [3]. Zaključak o pristupu s diskretnim izvorskim članom Prethodno spomenute metode zadaju rubni uvjet direktno u diskretizirane jednadžbe. Prema tome, implementacija rubnog uvjeta na UG direktno je povezana sa procedurom diskretizacije. Zbog toga ove metode su nešto kompliciranije za implementaciju od onih iz pristupa s kontinuiranim izvorskim članom. Međutim, ove metode omogućavaju zadržavanje oštrine na UG, što omogućava simulacije sa višim Raynoldsovim brojevima. Nadalje, ove metode ne stvaraju poteškoće u smislu numeričke stabilnosti, te ne zahtijevaju rješavanje NS jednadžbi na UG. Nedostatak ovog pristupa je nešto kompliciranija implementacija gibanja UG kroz pozadinsku mrežu [3]. U ovom poglavlju opisana je metoda uronjene granice s osvrtom na predhodne implementacije. U sljedećem poglavlju dan je opis matematičkog modela korištenog u ovom radu. Fakultet strojarstva i brodogradnje 17

28 3. Matematički model U prethodnom poglavlju, opisana je metoda uronjene granice, s posebnim naglaskom na povijest metode i na prisutne implementacije. U ovom poglavlju, opisan je matematički model i metode korištene u ovom radu Osnove mehanike kontinuuma Vremenske i prostorne skale zanimljive za inženjerske probleme u mehanici kontinuuma značajno su veće od gradivnog materijala kontinuuma. Zbog toga je moguće kontinuum promatrati kao prostor potpuno ispunjen materijom.[6] To vrijedi sve dok je srednji slobodni put molekula značajano kraći od inženjerski zanimljivih skala. To npr. ne vrijedi za visoke vakuume, gdje se gibanje molekula opisuje statistički. U Lagrangijanovom pristupu mehanici kontinuuma, prati se pozicija pojedine parcele materije kako se giba kroz prostor. Materijalna derivacija opisuje vremensku promjenu određenog intenzivnog fizikalnog svojstva ϕ, određene parcele kontinuuma. Ona je veza između Lagrangianovog i Eulerovog pristupa opisu kontinuuma. Jednadžba 3.1 daje matematički prikaz materijalne derivacije. Raynoldsov transportni teorem je integralna inačica materijalne derivacije. Jednadžba 3.1 može se jednostavnije zapisati kao jednadžba 3.2. dϕ dt V m(t) ρϕ( x, t) dv = t V m(t) ρϕ( x, t) dv + S m(t) ρϕ( x, t) v n ds. (3.1) D ρϕ dv = ρϕ dv + ρϕn i v i ds. (3.2) Dt V m t V S Jednadžba 3.2 može se transformirati uz pomoć Green-Gaussovog teorema [15]. D ρϕ dv = ρϕ dv + Dt V m t V V x i (ρϕv i ) dv. (3.3) Desna strana prethodnih jednadžbi opisuje Eulerov pristup mehanici fluida, gdje je brzina promjene određenog intenzivnog fizikalnog svojstva ϕ opisana za određeni kontrolni volumen koji ne mijenja svoju geometriju ili poziciju tijekom vremena. Vrijednost ϕ ovisi o fluksu tog svojstva kroz granice kontrolnog volumena te izvorima i ponorima unutar volumena. Fakultet strojarstva i brodogradnje 18

29 Univerzalni zakon očuvanja intenzivnog fizikalnog svojstva ϕ može se zapisati kao[14]: D ρϕ dv = Dt V m V q ϕ,i dv + s ϕ dv. (3.4) x i V Pri čemu su članovi na desnoj strani jednadžbe 3.4 površinski (plošni) i volumni izvorski, tj. ponorski. Prvi od tih članova se smatra površinskim i predstavlja difuzijski tok 3.5 [14]: q ϕ,i = γ ϕ ϕ x i. (3.5) U jednadžbi 3.5 γ predstavlja koeficijent difuzije, a jednadžba ima negativni predznak budući da se difuzijski tok odvija suprotno od smjera vektora gradijenta svojstva ϕ. Na primjer, izmjena topline provođenjem, gdje se toplina uvijek provodi s više temperature na nižu (suprotno vektoru gradijenta). Ako se jednadžba 3.5 uvrsti u 3.3 slijedi: ϕ [14]. d ρϕ dv + dt V V (ρϕv i ) dv x i V x i ( ) ϕ ργ ϕ dv = s ϕ dv, (3.6) x i V što predstavlja opći oblik transportne jednadžbe intenzivnog fizikalnog svojstva 3.2. Osnovni zakoni mehanike kontinuuma U nastavku je dano pet osnovnih zakona očuvanja prema prethodno izvedenim jednadžbama. Masa i energija imaju konzervativno svojstvo, što znači da ne mogu nastati niti nestati. Brzina promjene količine gibanja jednaka je sumi svih sila na česticu fluida (drugi Newtonov zakon), a brzina promjene toplinske energije parcele kontinuuma jednaka je razlici intenziteta izmjene topline parcele s nj. okolinom i rada koji je čestica izvršila (prvi glavni stavak termodinamike). Zakon očuvanja mase d ρ dv + dt V V x i ρv i dv = 0. (3.7) Zakon očuvanja količine gibanja d ρv i dv + dt V V ρv i v j dv = ρg i dv + x i V V x i σ ij. dv. (3.8) Fakultet strojarstva i brodogradnje 19

30 Zakon očuvanja momenta količine gibanja d ρɛ kij r i v j dv + dt V V (ρv l ɛ kij r i v j ) dv = x l + V V ρɛ kij r i g j dv + ɛ kij r i σ sj x s dv. (3.9) Iz jednadžbi 3.8 i 3.9 slijedi da je σ ij (σ sj ) simetrični tenzor drugog reda. Zakon očuvanja energije (prvi glavni stavak termodinamike) d ρe dv + dt V V (ρv i e) dv = x i V ρgv i dv + V V (σ ij v j ) dv x i ρq dv. x i q i dv + V (3.10) Prirast entropije (drugi glavni stavak termodinamike) d ρs dv + dt V V ρv i s dv x i V ( qi ) dv + x i T V ρq T dv. (3.11) Čime su dane jednadžbe pet osnovnih zakona očuvanja. Valja napomenuti da je broj broj nepoznanica u gore navedenim jednadžbama veći od broja jednadžbi pa je sustav nedefiniran[4][6] Nestlačivo izotermno strujanje Newtonovskog fluida U nastavku su dani izrazi koji u potpunosti opisuju nestlačivo, izotermno strujanje Newtonovskog fluida budući da se u ovom radu simulira isključivo takav tip strujanja. Budući da je strujanje nestlačivo, gustoća fluida ne ovisi o tlaku pa zbog toga više ne vrijedi jednadžba stanja (3.12) koja povezuje tlak i gustoću fluida: p = ρrt. (3.12) Zbog toga više nije potrebno rješavati energetsku jednadžbu ukoliko se ne proučava raspodjela temperature ili pojave uzrokovane izmjenom topline u sustavu. Fakultet strojarstva i brodogradnje 20

31 Pretpostavljeno je da se viskoznost fluida ne mijenja tijekom proračuna. Jednadžba 3.7 vrijedi za nestacionarno, stlačivo strujanje. Za nestlačivo strujanje jednadžba kontinuiteta se može zapisati kao 3.13 budući da se gustoća fluida ne mijenja s vremenom. V x i ρv i dv = 0. (3.13) Gornja jednadžba govori da polje brzine mora biti bezizvorno ili solenoidalno. Jednadžba kontinuiteta se u nestlačivom strujanju koristi kako bi se osigurala globalna konzervativnost, i kao jednadžba za tlak. Tenzor naprezanja za nestlačive Newtonovske fluide definiran je generaliziranim Newtonovim zakonom viskoznosti: [ vi σ ij = pδ ij + µ + v ] j. (3.14) x j x i Gdje je δ ij Kroneckerov koeficijent, p tlak a µ dinamička viskoznost fluida. Prema tome, jednadžba količine gibanja može se pisati kao: d ρv i dv + dt V V [14]. (ρv i v j ) dv = ρg i dv + x i V V x i ( µ v ) i dv x j V x i p dv. (3.15) Jednadžbom 3.15 je potpuno definiran sustav jednadžbi za nestlačivo strujanje 3.4. Modeliranje turbulencije Strujanje fluida u inženjerskim problemima najčešće je turbulentno. U nastavku je dan kratak pregled pristupa modeliranju turbulencije. Direktna numerička simulacija Navier-Stokesove jednadžbe sadržavaju sve potrebne informacije za simuliranje turbulencije. Dakle turbulenciju nije potrebno modelirati, već se može direktno računati numeričkom integracijom danih jednadžbi. Takav pristup je vrlo zahtjevan u računalnom smislu, budući da je prostornu i vremensku diskretizaciju potrebno provesti dovoljnom razlučivosti kako bi se numeričkom metodom razriješile sve skale turbulentnih vrtloga, od najvećih (Taylorova skala) do najmanjih (Kolmogorova mikroskala). Ovakav pristup naziva se Direktna Numerička Simulacija (DNS). Za ovu metodu može se tvrditi da je točnija od eksperimenta, obzirom na netočnosti povezane s mjerenjem te činjenicu da mjerna oprema najčešće utječe na Fakultet strojarstva i brodogradnje 21

32 rezultate mjerenja. Trenutna cijena računalnog vremena još uvijek ne dopušta široku upotrebu ovog pristupa u inženjerskoj praksi, a to se ne očekuje ni u bližoj budućnosti[4][6]. Simuliranje velikih vrtloga Budući da su vrtlozi najmanjih skala homogeniji i izotropniji od onih koji "postoje" na većim skalama, lakše ih je modelirati. Prema tome, kada se u DNS simulaciji filtriraju vrtlozi najmanje skale niskopropusnim filterom te se umjesto simuliranja modeliraju, dani su temelji za Large Eddy Simulation (LES) pristup. Modeliranje tih najmanjih vrtloga može se shvatiti i kao prostorno osrednjavanje rezultata. Postoji više pristupa samom modeliranju najmanjih skala sub-grid scales (SGS), a često se temelje na Eddy viscosity modelu, tj. koriste turbulentnu viskoznost. Prostorna i vremenska diskretizacija zahtjeva nešto manju razlučivost nego kod DNS metode. Ove simulacije i dalje su prilično zahtjevne na računalne resurse, ali se u nekim slučajevima rutinski primjenjuju (prvenstveno za simuliranje izgaranja)[4]. Vremenski osrednjene Navier-Stokesove jednadžbe Iako računalna tehnologija izrazito brzo napreduje te cijena računalnog vremena stalno pada, još uvijek nije moguće rutinski primjenjivati LES. U industrijskoj primjeni, zahtjevi na trajanje simulacije ( turn-around time ) ograničavaju točnost simulacija. Zbog toga, turbulencija se najčešće modelira vremenski osrednjenim Navier- Stokesovim jednadžbama ( Reynolds averaged Navier-Stokes ). U ovom pristupu, vrijednosti brzine i tlaka se rastavljaju na vremenski osrednjenu komponentu i vremenski osrednjenu vrijednost oscilacija 3.16 p = p + p. v i = v i + v i. (3.16) Ovaj pristup daje vremenski osrednjene rezultate, tj. uklanja nestacionarne efekte turbulencije. Nadalje, on omogućava provođenje 2D simulacija za geometrije koje ne variraju u prostoru, budući da osrednjava 3D efekte turbulencije. Međutim, potreban je model turbulencije kako bi se zatvorio sustav jednadžbi. Kada se jednadžbe 3.16 primjene na Navier-Stokesove jednadžbe dobiju se vremenski osrednjene Navier-Stokesove jednadžbe. U nastavku 3.17 su dane u diferen- Fakultet strojarstva i brodogradnje 22

33 cijalnom obliku za nestlačivo strujanje: d dt v i + v i v j ( ν v ) i = p + u x i x i x j x i x iu j. (3.17) i Pri čemu se član u iu i = R ij naziva Raynoldsovim tenzorom naprezanja koji se može modelirati pomoću: gdje je član µ t turbulentna viskoznost (eng. turbulent viscosity, eddy viscosity ). [ vi R ij = µ t + v ] j. (3.18) x j x i Do njega se došlo dimenzijskom analizom te ima jednaka svojstva kao i viskoznost, ali njena vrijednost nije konstantna i nije jednaka nad čitavom proračunskom domenom. Kako bi se µ t izračunao iz trenutnih vrijednosti pojedinih polja u proračunu, potrebno ju je modelirati. Postoji velik broj različitih pristupa ovom modelu, a budući da je u ovom radu isključivo korišten k ɛ model, on će biti načelno opisan u nastavku. Navedeni k ɛ model turbulencije podrazumijeva rješavanje dvije dodatne transportne jednadžbe; za k (Turbulentna kinetička energija) i ɛ (Disipacija turbulentne kinetičke energije). Transportna jednadžba za k dana je sljedećim izrazom: d ρk dv + (ρ v i k) dv = dt V V x i + (P k + P b ) dv ρɛ dv V V V V [ ] µt k dv + x i σ k x i Y m dv + S k dv. V (3.19) a transportna jednadžba za ɛ dana je izrazom: d dt + V V ρɛ dv + V (ρ v i ɛ) dv = x i C 1ɛ ɛ k (P k + C 3ɛ P b ) dv V V x i [ µt ɛ σ ɛ x i C 2ɛ ρ ɛ2 k dv + ] dv + V S ɛ dv. (3.20) Pri čemu se turbulentna viskoznost modelira sa: k 2 µ t = ρc µ ɛ. (3.21) ( ) 2 te uz P k = µ t Sij S ij i ostale članove i konstante čini zatvoren sustav jednadžbi. Ovo je jedan od prvih modela turbulencije, koji polako svoje mjesto prepušta točnijim modelima (kao npr. k ω). Prednosti ovog modela su u tome što ga je lako implementirati, numerički je stabilan te za određena strujanja fluida daje relativno Fakultet strojarstva i brodogradnje 23

34 dobre rezultate. Glavni nedostatak mu je točnost. Funkcije zida u RANS pristupu Kada se simulira strujanje oko nekog objekta, to nužno uključuje granične slojeve fluida. Pod graničnim slojem se podrazumijeva područje strujanja u kojem brzina raste od brzine na objektu, do brzine podalje od stijenke. Prisutni su veliki gradijenti brzine i turbulencije. Kako bi se ti gradijenti riješili, moguća su dva pristupa. Moguće ih je direktno rješavati finom prostornom diskretizacijom ili funkcijama zida. Budući da debljina graničnih slojeva pada s Reynoldsovim brojem, s brzinom rastu zahtjevi na razlučivost mreže, a fina prostorna diskretizacija komplicira generiranje mreže. Nadalje, u tom slučaju obično je potrebno koristiti određene funkcije prigušenja blizini zida, kako bi se rezultati pojedinih veličina u blizini zida približili eksperimentalnim (ili DNS). Ovi modeli najčešće zahtijevaju y + reda veličine 0.1 ili manji. U drugom pristupu se koriste funkcije zida. One modificiraju jednadžbe koje opisuju (k i ɛ u slučaju ovog rada). To je prihvatljivo budući da za inženjersku upotrebu detalji strujanja u blizini zida nisu važni, već samo njihovi utjecaji na integralne veličine (sila, koeficijent koeficijenti sile, itd). U tom slučaju se spomenuti gradijenti modeliraju funkcijama zida. Ova metoda zahtjeva y + reda veličine 30-50, ali i veći su prihvatljivi [4]. U nastavku je dan kratak pregled implementacije funkcija zida[5]: 1. Potrebno je odrediti vrijednost k i udaljenost između prve ćelije uz stijenku i stijenke (y) 2. Izračunati vrijednost y * na temelju laminarne viskoznosti ν l blizu stijenke y = C0.25 ν k (3.22) ν l 3. Ukoliko je y u području inercijalnog podsloja, potrebno je izračunati k i ɛ, te uzeti u obzir smično naprezanje na zidu modificiranjem viskoznosti u ćeliji uz stijenku G = µ eff n ( u) w C 0.25 µ ky ɛ = C0.75 ν k 1.5 ky (3.23) (3.24) ν w = Cν 0.25 ky τ w = ν w n ( u) w (3.25) ν l Fakultet strojarstva i brodogradnje 24

35 U ćeliji uz stijenku u i k se računaju, a y je funkcija intenziteta turbulencije. Brzina se modificira u odnosu na y kako bi bio postignut profil brzine inercijalnog podsloja. Funkcije zida u metodi uronjene mreže Kao što je navedeno u poglavlju 4, vrijednosti u ćelijama oko površinske mreže se interpoliraju metodom najmanjih kvadrata. To je prihvatljivo za strujanja sa niskim Re brojem, ali daje loše rezultate za strujanja sa visokim Re brojem (poglavlje 2.). Zbog toga uvode se funkcije zida u metodu uronjene mreže (eng. Immersed Boundary Wall Functions ). Budući da kod metode uronjene granice lica mreže nisu paralelna sa stijenkom objekta simulacije, brzinu je potrebno rastaviti na normalnu i tangencijalnu komponentu u odnosu na stijenku. Funkcije zida primjenjuju se samo na tangencijalnu komponentu brzine. Budući da se vrijednosti oko uronjene granice interpoliraju za sve veličine, nije moguće implementirati standardni algoritam funkcija zida. Vrijednosti za k i n ( u) moraju se odrediti iz aktivnih ćelija podalje od stijenke. Pregled algoritma dan je u nastavku [5]: 1. Vrijednosti za pojedinu IB ćeiju (ćelije u kojima se vrijednost interpolira) potrebno je uvesti točku interpolacije, na 1.5 udaljenosti te ćelije od stijenke, u smjeru živih ćelija. 2. U toj točki provesti interpolaciju metodom najmanjih kvadrata za sva polja, a bez ostalih IB ćelija. 3. Na temelju rezultata interpolacije, izračunati vrijednosti tangencijalne brzine, laminarne viskoznosti te turbulentne kinetičke energije. 4. Nakon toga, potrebno je izračunati vrijednost y za točku interpolacije na temelju njene udaljenosti od stijenke te vrijednosti k 5. Ukoliko y ukazuje da se točka nalazi u inercijalnom podsloju, provodi se interpolacija inercijalnog podsloja. U slučaju da se točka interpolacije nalazi van inercijalnog podsloja, vrijednost brzine se interpolira metodom najmanjih kvadrata, ν eff = ν l, a G = ɛ = 0 6. Algoritam za provedbu interpolacije inercijalnog podsloja dan je u nastavku [5]: Fakultet strojarstva i brodogradnje 25

36 Potrebnoj je modificirati vrijednosti G i ν eff u IB točki (iako se zapravo te vrijednosti ne koriste u proračunu, već u analizi rezultata). Nakon toga potrebno provesti interpolaciju tangencijalne komponente brzine kako bi bio zadovoljen profil brzne inercijalnog podsloja. Normalna komponenta se određuje metodom najmanjih kvadrata. Prema tome, efektivna udaljenost y koja se koristi sa metodom uronjene granice iznosi 1.5 udaljenosti središta prve ćelije do zida. Ta vrijednost može se smanjiti profinjavanjem mreže uz samu uronjenu granicu. U odnosu na metodu površinski prilagodljive mreže, metoda uronjene granice neće imati tako glatku vrijednost y duž stijenke. Vrijednost intenziteta turbulencije se ne proračunava, već interpolira Dvofazno strujanje fluida sa slobodnom površinom U ovom radu korišten je Eulerski pristup simuliranju strujanja dvofaznog fluida. Za strujanje obje faze fluida koristi se jednistveni s ustav jednadžbi, te se pretpostavlja da se fluidi ne miješaju. Na cijeloj domeni definiran je jedan fluid kome se svojstva naglo mijenjaju na slobodnoj površini. Skalarno polje koje opisuje pojedine faze fluida označava se sa α, a svojstva pojedinog fluida mogu se definirati kao: ρ = αρ 1 + (1 α)ρ 2, µ = αµ 1 + (1 α)µ 2, (3.26) pri čemu su indeksima 1 i 2 označene pojedine faze fluida. definirati kao skokovita funkcija: Nadalje, α se može α = V 1 V, (3.27) gdje je V ukupni volumen, a V 1 volumen promatranog dijela. Navedeni matematički model naziva se Volume of Fluid (VOF). U tom slučaju jednadžbe za ρ i µ nisu derivabilne na cijeloj domeni zbog skoka α na slobodnoj površini. Kako bi se riješio taj problem, α se definira tako da ima kontinuirani prijelaz između 0 i 1 na slobodnoj površini, a taj pristup naziva se Continuum Surface Force (CSF) [13]. Za volumen fluida koja se giba sa slobodnom površinom funkcija α može se definirati kao: Dα Dt = α t + v α i, (3.28) x i Fakultet strojarstva i brodogradnje 26

37 a ako se jednadžba kontinuiteta za nestlačivo strujanje pomnoži s indikatorskom funkcijom: Zbrajanjem jednadžbi 3.28 i 3.29 slijedi: α v i x i = 0. (3.29) α t + v α i + α v i = α x i x i t + (v i α) = 0. (3.30) x i Kod primjene ove metode, najveći problem je očuvanje oštrine slobodne površine. Zbog toga su razvijene posebne sheme diskretizacije jednadžbe indikatorske funkcije. Drugi problem predstavlja implementacija površinske napetosti, budući da implicitna definicija slobodne površine uzrokuje probleme u definiciji zakrivljenosti i izračunu normala slobodne površine. Kako bi se to riješilo, razvijene su metode koje pretvaraju površinske sile u masene, međutim, one mogu dovesti do nestabilnosti ili raspada slobodne površine [14] Početni i rubni uvjeti Budući da se proračuni vrše iterativnim rješavačima, potrebno je zadati početno rješenje na čitavoj domeni. Ti početni uvjeti mogu biti rješenje nekog prethodnog proračuna ili pretpostavka rješenja. Rubni se zadaju na licima konačnih volumena koji se nalaze na kraju domene. Dirichletov rubni uvjet propisuje fiksnu vrijednost na licima ruba domene, a gradijenti se računaju. S druge strane, ukoliko je gradijent jednak 0, zadaje se von Neumannov rubni uvjet, a sama vrijednost fizikalne veličine ϕ se računa na granici. Naravno, može se propisati gradijent različit od 0. Postoji niz numeričkih rubnih uvjeta, koji se uglavnom svode na te osnovne tipove. Zanimljivi su slip, koji predstavlja strujanje oko stijenke bez viskoznog trenja, rubni uvjet ravnine simetrije koji se koristi ukoliko se želi simulirati simetrična geometrija. Ovaj rubni uvjet stvori virtulane ćelije s druge strane ruba domene, kako bi se mogli ispravno tretirati vektori. Tu su još i rubni uvjeti koji omogućuju interpolaciju vrijednosti s jednog ruba domene na drugi pa se na taj način može simulirati geometrija koja se ponavlja, ili ukoliko je jedan dio domene pokretan. U smislu ovog rada, najzanimljiviji je naravno Immersed Boundary koji je detaljnije objašnjen na kraju ovog poglavlja. Fakultet strojarstva i brodogradnje 27

38 U ovom poglavlju dan je pregled matematičkih modela korištenih u ovome radu. U sljedećem poglavlju su dane su osnove diskretizacije jednadžbi te detalji implementacije uronjene granice. Fakultet strojarstva i brodogradnje 28

39 4. Diskretizacija jednadžbi U predhodnom poglavlju dan je pregled matematičkih modela korištenih u ovom radu. O ovom poglavlju dane su osnove diskretizacije jednadžbi, te su dane osnove metode uronjene mreže u OpenFOAM Diskretizacija jednadžbi Svrha diskretizacije je svesti sustav parcijalnih diferencijalne jednadžbe na sustav algebarskih jednadžbi. Riješenja tih, algebarskih jednadžbi u unaprijed određenim točkama u prostoru i vremenu, moraju odgovarati rješenjima izvornih jednadžbi. Poznate su diskretizacija prostorne i vremenske domene, te jednadžbi [6]. U nastavku dan je opći oblik transportne jednadžbe u integralnom obliku, sa naznačenim članovima: d ρφ dv + (ρφv i ) dv dt V V x }{{}} i {{} Vremenski član Konvekcijski član Diskretizacija nestacionarnog člana ( ) φ ργ φ dv V x i x }{{ i } Difuzijski član = s φ dv. V }{{} Izvorski član (4.1) Diskretizacija koja osigurava prvi red točnosti [13] dana je Eulerovom implicitnom metodom: V m ρφ t dv = V (ρφ) m t (ρφ) n (ρφ) o = V M, (4.2) δt pri čemu se oznaka n odnosi na novu vrijednost u centru kontrolnog volumena, a o na staru vrijednost. Ukoliko se članovi u jednadžbi diskretiziraju u odnosu na stari vremenski korak, radi se o eksplicitnoj metodi, a u slučaju da se diskretiziraju u odnosu na novi vremenski korak radi se o implicitnoj metodi. Diskretizacija drugog reda točnosti dana je u nastavku [13]: V m t dv = V ρφ M t 2 3 = V (φρ)n 2(ρφ) o (ρφ)oo M, (4.3) δt a naziva se Backward Diferencing Scheme. Pretprošli vremenski trenutak označen je s oo, te u implementaciji ove metode pretposljednji korak mora biti poznat. Fakultet strojarstva i brodogradnje 29

40 Diskretizacija konvekcijskog člana Diskretizacija konvekcijskog člana može se zapisati kao [13]: V m ρv i φ dv = (ρv i φ) n i ds = x i S f S f i (ρv iφ) f = f F φ f, (4.4) gdje oznaka f označava lica kontrolnih volumena. Nadalje, n i označava vektor vanjske normale na površinu kontrolnog volumena, a vektor S f i ima jednak smjer kao i normala ali iznos površine. F predstavlja maseni protok kroz stranice volumena. Budući da je potrebna vrijedost varijable φ na licima kontrolnih volumena potrebno je uvesti sheme interpolacije koje će interpolirati vrijednost na licu između centara pripadajućih volumena. Dvije najvažnije sheme su: shema centralnih diferencija (eng. Central Differencing Scheme ), uzvodna shema (eng. Upwind Differencing ). Diskretizacija difuzijskog člana Diskretizacija difuzijskog člana može se zapisati kao [13]: V m x i ( ) φ φ ργ φ dv = ργ φ n i ds = x i S x i f (ργ φ ) f S f i φ f x i. (4.5) Ako se vektor d i definira kao vektor koji spaja središta dva susjedna volumena, te ako je parallelan sa vektorom normale na lice konačnog volumena S i može se zapisati [13]: S f i = φf x i = S f i φs φ M d i + k i ( ) λ 1 S f i V φf0 + (1 λ) 1 S f i M V φf0, (4.6) M pri čemu su φ M i φ S vrijednosti u središtim susjedih volumena. f f Diskretizacija izvorskog člana Izvorski članovi su svi članovi koji se ne mogu okarakterizirati kao nestacionarni, konvekcijski ili difuzijski. Oni mogu biti i nelinearni, a u tom slučaju ih je potrebno linearizirati. Prema tome, vrijedi [13]: S φ (φ) = S u + S p φ. (4.7) Fakultet strojarstva i brodogradnje 30

41 Prilikom te linearizacije, nelinearne članove je potrebno tretirati što više implicitno. Izvorski članovi su svi članovi koji se ne mogu okarakterizirati kao nestacionarni, konvekcijski ili difuzijski. Oni mogu biti i nelinearni, a u tom slučaju ih je potrebno linearizirati. Diskretizacija izvorskih članova može se pisati kao [13]: S φ (φ)dv = S u V + S p V φ M. (4.8) 4.2. Metoda uronjene granice V U ovom radu validirana je metoda uronjene granice implementirana u Open- FOAM. Implementacija koristi pristup diskretnog izvorskog člana, gdje se promjene u diskretizacijskoj matrici uvode nakon same diskretizacije. Nadalje, rubni uvjeti zadani su direktno, tj. utjecaj IB prisutan je samo na ćelijama koje se nalaze uz površinsku mrežu. Prednosti ove metode su jednostavna izrada mreže, činjenica da metoda radi na poliedarskoj pozadinskoj mreži te jednostavno pomicanje objekta kroz proračunsku domenu. Kao mane ove metode mogu se navesti relativno komplicirano zadavanje rubnih uvjeta te zahtjevi na rezoluciju mreže, koja je u blizini objekta je otprilike 50% finija nego kod istovjetne površinski prilagodljive mreže. Vrijednost fizikalne veličine ϕ u IB ćelijama računa se pomoću interpolacije. Interpolacija se provodi iterativno, između susjednih aktivnih ćelija (u kojima se vrijednosti računaju pomoću CFD-a) te vrijednosti rubnog uvjeta na IB-u. To je prikazano na slici 4.1. Slika 4.1: Interpolacija u IB ćelijama [7] Fakultet strojarstva i brodogradnje 31

42 Interpolacija se provodi kvadratnom interpolacijom, a Dirichletov rubni uvjet zadan je jednadžbom [7]: φ P = φ IB + C 0 (x P x IB ) + C 1 (y P y IB ) + C 2 (x P x IB ) (y P y IB ) + +C 3 (x P x IB ) 2 + C 4 (y P y IB ) 2 (4.9) S druge strane, Neumannov rubni uvjet provodi se u lokalnom koordinatnom sustavu prema slici 4.2. Slika 4.2: Interpolacija u IB ćelijama, lokalni koordinatni sustav [7] Interpolacija se vrši u odnosu na lokalni koordinatni sustav x y pri čemu se os x podudara s normalom IB površine u određenoj točki, kao što je prikazano na slici 4.2. Vrijednost u centru volumena P računa se prema [7]: φ P = C 0 + [ n IB ( φ) IB ] x P + C 1 y P + C 2 x P y P + C 3 (x P ) 2 + C 4 (y P ) 2, (4.10) pri čemu se nepoznati koeficijenti u jednadžbama 4.9 i 4.10 određuju metodom najmanjih kvadrata. Kako bi se odredila prostorna udaljenost od stijenke koju će obuhvatiti interpolacija, moguće je koristiti dva pristupa. U prvom se udaljenost određuje inverznom kvadratnom funkcijom prema 4.11 a u drugom kosinusnom funkcijom prema 4.12 [7]. w i = 1 ri 2 w i = 1 [ ( 1 + cos π 2 r i S rmax )] (4.11) (4.12) Fakultet strojarstva i brodogradnje 32

43 Zbog tako zadane brzine, rubni uvjet za tlak nije neophodan, međutim, tlak na IB stijenci potreban je za jednadžbu količine gibanja. Diskretizirana jednadžba za tlak dana je jednadžbom [7]: ( ) 1 a P f f n f ( p) f S f = f n f ( HP a P ) S f + n f,ib v f,ib S f,ib, (4.13) f f,ib pri čemu je [7]: v fib = 1 2 ( v P + v N,IB ). (4.14) Na kraju, brzina u IB licima v f,ib mora biti skalirana kako bi uvjet nepromočivosti stjenke bio zadovoljen [7]. Fakultet strojarstva i brodogradnje 33

44 5. Validacija U predhodnom poglavlju opisana je diskretizacija jednadžbi, te su dani detalji implementacija metode uronjene mreže u OpenFOAM. U nastavku su dani detalji validacije Strujanje oko simetričnog 2D profila Za validaciju dvodimenzionalnog strujanja korišten je simetrični 2D profil, NACA M3 airfoil [9]. Simulacije su provedene u laminarnom i turbulentnom režimu strujanja. Geometrijski prikaz profila dan je na slici 5.1 Slika 5.1: Munk M3 aeroprofil, geometrija [12] Nadalje, na slici 5.2 prikazana je površinska mreža, točnije.stl (eng. Stereolithography ) reprezentacija profila. Navedeni format opisuje površinu pomoću troku- Fakultet strojarstva i brodogradnje 34

45 taste mreže. Ovaj format je danas često korišten, i s njime može baratati gotovo sav dostupni software za manipulaciju 3D objektima. Opisana površinska mreža ima svoje zahtjeve na kvalitetu koji utječu na stabilnost izvođenja IB simulacije, te se je zbog toga potrebno osigurati kvalitetu.stl objekta koji se koristi. U nastavku ovog rada, svi.stl objekti će biti obojani istom bojom kao na slici 5.2, kako bi se naglasilo da se razlikuju u odnosu na rubna lica mreže u BF pristupu. Iako su simulacije ovog profila, metodom površinski prilagodljive mreže (MPPM) i metodom uronjene granice (MUG), izvršene za 2D strujanje, dana reprezentacija objekta je trodimenzionalna. Razlog za to je što se 2D simulacije u OpenFOAM-u vrše na 3D mreži debljine jedne ćelije gdje se prednjim i stražnjim licima mreže (onima koji se šire u treću dimenziju) dodjeljuje poseban tip rubnog uvjeta (eng. empty ). Slika 5.2: Munk M3 aeroprofil, površinska mreža Mreža konačnih volumena Kao što je spomenuto, radi usporedbe rezultata, provedene su simulacije MUG i MPPM. Mreža korištena za MPPM dana je slikama Obje korištene mreže načinjene su u OpenFOAM-u. Na slikama 5.4 i 5.5 prikazana je mreža na kojoj su vidljive ćelije u području graničnog sloja. Ovaj oblik mreže omogućava razrješavanje velikih gradijenata brzine Fakultet strojarstva i brodogradnje 35

46 Slika 5.3: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža. Slika 5.4: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detalj profila. blizu stijenke obzirom na debljinu prve ćelije. U ovom slučaju korištene su funkcije zida. Nadalje, na slikama dani su prikazi mreže IB verzije aeroprofila. Na Fakultet strojarstva i brodogradnje 36

47 Slika 5.5: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detalj graničnog sloja napadnog brida. Slika 5.6: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detalj graničnog sloja izlaznog brida. Fakultet strojarstva i brodogradnje 37

48 slikama je prikazana i površinska IB mreža. Slika 5.7: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža. Slika 5.8: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj. Fakultet strojarstva i brodogradnje 38

49 Slika 5.9: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj napadnog brida. Slika 5.10: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj izlaznog brida. Nadalje, na slici 5.11 dan je prikaz aktivnih ćelija (prikazanih crveno) te neaktivnih ćelija čija se središta nalaze unutar aeroprofila (prikazanih plavo). U neaktivnim Fakultet strojarstva i brodogradnje 39

50 ćelijama ne provodi se proračun. Slika 5.11: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, neaktivne ćelije Laminarno strujanje Simulirano je laminarno strujanje oko aerprofila. Početni i rubni uvjeti dani su u tablici 5.1. Budući da je gustoća konstantna i ne ovisi o tlaku, u proračunu će se raditi s razlikom tlaka, te je on u početnom trenutku zadan proizvoljnom vrijednosti (0 u ovom radu). v [m/s] ν [m 2 /s] Re [ ] L [m] e Tablica 5.1: Munk M3 laminarno strujanje, podaci U tablici 5.1, Re predstavlja Reynoldsov broj a računa se prema: Re = vl. ν Reynoldsov broj predstavlja omjer inercijskih i viskoznih sila, a L predstavlja hidraulički radius. Strujanje se može smatrati laminarnim pri Reynoldsovim brojevima manjim od 2500, što je i ovdje slučaj. U nastavku su dani rezultati opstrujavanja aeroprofila u laminarnom režimu. Informacije o prikazanim poljima nalaze se u opisu slika. Fakultet strojarstva i brodogradnje 40

51 Slika 5.12: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlaka p [Pa]. Slika 5.13: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa]. Iz slika vidljivo je da se polja tlaka u slučaju laminarnog opstrujavanja profila jako dobro poklapaju. Iz slika vidljivo je dobro poklapanje polja brzine u opstrujavanju profila. Fakultet strojarstva i brodogradnje 41

52 Slika 5.14: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlaka p [Pa], detalj profila. Slika 5.15: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa], detalj profila. U slučaju laminarnog opstrujavanja profila rezultati dobiveni MUG dobro se poklapaju s rezultatima dobivenim MPPM. Fakultet strojarstva i brodogradnje 42

53 Slika 5.16: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine. Slika 5.17: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine. Na grafu 5.20 prikazana je konvergencija sila tlaka u smjeru glavne osi profila. Vidljivo je da se rezultati ne poklapaju. Razlika nije zanemariva, te se u trenutku pisanja ovog rada smatra da je ona posljedica pogreške u algoritmu koji računa silu. To se pretpostavlja zbog toga što polja tlaka pokazuju odlično poklapanje. Fakultet strojarstva i brodogradnje 43

54 Slika 5.18: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine U [m/s], detalj profila. Slika 5.19: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine U [m/s], detalj profila. Sile u y-smjeru pokazuju odlično poklapanje, te su jednake 0 kao što se i očekuje za simetrični profil pod napadnim kutom od 0. Fakultet strojarstva i brodogradnje 44

55 10 Munk M3 sile tlaka u x-smjeru IB BF 5 F [N] Iteracija [-] Slika 5.20: Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, x-smjer. 10 Munk M3 sile tlaka u y-smjeru IB BF 5 F [N] Iteracija [-] Slika 5.21: Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, y-smjer. Fakultet strojarstva i brodogradnje 45

56 Turbulentno strujanje U nastavku dani su rezultati za turbulentno opstrujavanje aeroprofila. U tablici 5.2 dani su početni vrijednosti početnih i rubnih uvjeta. Informacije o prikazanim poljima nalaze se u opisu slika. v [m/s] ν [m 2 /s] Re [ ] L [m] k [J/kg] ɛ [J/kgs] e Tablica 5.2: Munk M3 turbulentno strujanje, podaci Slika 5.22: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlaka p [Pa], detalj profila Na slikama 5.22 i 5.23 prikazana su polja tlaka za obje metode. Može se primjetiti vrlo mala razlika u položaju točke zastoja na napadnom bridu. Na slikama 5.24 i 5.25 prikazana su polja brzine za obje metode. U oba slučaja postoji odvajanje strujanja, a kod MUG, zona recirkulacije je veća. Na slikama prikazana su polja veličina vezanih uz model turbulencije. Iz navedenih slika može se sveukupno zaključiti da MUG daje veći intenzitet turbulencije. Nadalje, MUG nije moguće opisati detalje koji su manji od veličine najmanjeg volumena. Prema tome, u ovom slučaju nije moguće ispravno opisati izlazni brid Fakultet strojarstva i brodogradnje 46

57 Slika 5.23: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa], detalj profila Slika 5.24: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine, detalj profila profila, što uzrokuje veći intenzitet turbulencije (sl. 5.29) na izlaznom bridu. To je mogući razlog povećanog recirkulacijskog mjehura na izlaznom bridu kod MUG. Na grafovima 5.32 i 5.33 prikazana je konvergencija sile tlaka u smjeru strujanja. Fakultet strojarstva i brodogradnje 47

58 Slika 5.25: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, polje brzine, detalj profila Slika 5.26: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, turbulentna viskoznost, detalj profila Odstupanja su značajna i kao što je već spomenuto za slučaju laminarnog strujanja: moguće je da su posljedica pogreške algoritmu za računanje sile. Fakultet strojarstva i brodogradnje 48

59 Slika 5.27: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, turbulentna viskoznost, detalj profila Slika 5.28: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, turbulentna kinetička energija, detalj profila Fakultet strojarstva i brodogradnje 49

60 Slika 5.29: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, turbulentna kinetička energija, detalj profila n Slika 5.30: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagodljive mreže, disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila Fakultet strojarstva i brodogradnje 50

61 Slika 5.31: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice, disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila Munk M3 turbulentno sile tlaka u x-smjeru IB BF F [N] Iteracija [-] Slika 5.32: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka, x- smjer Fakultet strojarstva i brodogradnje 51

62 Munk M3 turbulentno sile tlaka u y-smjeru IB BF F [N] Iteracija [-] Slika 5.33: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka, x- smjer Fakultet strojarstva i brodogradnje 52

63 5.2. Strujanje oko krila Onera M6 Ovo krilo je klasični slučaj koji se koristi za validaciju CFD modela te jednofaznog turbulentnog strujanja u aerodinamici [11]. Nastalo je 70-ih godina, a radi se o simetričnom profilu kome je dan kut strijele. U ovom radu korišteno je za ispitivanje nestlačivog turbulentnog strujanja s korištenjem IB rubnog uvjeta. Simulacije za obje metode vršene su za četiri napadna kuta: za 0, 3, 6 i 9. Radi uštede prostora u nastavku su prikazani rezultati nulti napadni kut, ukoliko drugačije nije navedeno. Površinska mreža dana je na slici U tablici 5.3 dani su podaci o simulaciji. Slika 5.34: Onera M6 krilo, geometrija v [m/s] ν [m 2 /s] Re [ ] l [m] k [J/kg] ɛ [J/kgs] e Tablica 5.3: Onera M6, početni i rubni uvjeti Na slikama dan je prikaz mreže na čitavoj domeni. Na mreži korištenoj sa MPPM ne koriste se funkcije zida. Mreža korištena sa MUG načinjena je na temelju te mreže u OpenFOAM-u. Na slikama 5.39 i 5.40 dan je prikaz mreže u presjeku. Normala ravnine presjeka usmjerena je u smjeru normale krila, a nalazi se na sredini krila. Fakultet strojarstva i brodogradnje 53

64 Slika 5.35: Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, farfield Slika 5.36: Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, farfield Na slikama 5.42 i 5.41 prikazana su polja tlaka za obje metode u presjeku (prema 5.39 i 5.40). Na slici 5.42 obrisane su ćelije u kojima se ne provodi proračun. Iz ove slike vidljiva je karkateristika MUG prema kojoj nije moguće opisati detalje manje od najmanje ćelije. Fakultet strojarstva i brodogradnje 54

65 Slika 5.37: Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, simetrija Slika 5.38: Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, simetrija Prikazi polja tlaka za obje metode pokazuju dobro poklapanje. Primjetno je da je tlak u zaustavnoj točko kod MUG nešto niži, što se može objasniti time da kod MUG ne postoji oštri napadni brid (kao kod MPPM). Na slikama 5.43 i 5.43 prikazana su polja brzine za oba slučaja na dvije ravnine. Fakultet strojarstva i brodogradnje 55

66 Slika 5.39: Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Slika 5.40: Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Prva ravnina presjeca krilo na pola, a druga ravnina je proizvoljno orjentirana i otprilike prati kut strijele krila. Vrijednosti brzine izgledaju vrlo slično na napadnom bridu, dok se na izlaznom bridu razlikuju. To se objašnjava činjenicom da su mreže pojedinih metoda prilično Fakultet strojarstva i brodogradnje 56

67 Slika 5.41: Onera M6, polje tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Slika 5.42: Onera M6, polje tlaka, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila različite, te činjenicom da kod MUG ne postoji oštri izlazni brid, kao kod MPPG. Svojstva Turbulencije opisana su na slikama Kao i kod simulacije opstrujavanja Munkovog aeroprofila, mogu se primjetiti razlike. Fakultet strojarstva i brodogradnje 57

68 Slika 5.43: Onera M6, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Slika 5.44: Onera M6, polje brzine, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Fakultet strojarstva i brodogradnje 58

69 Slika 5.45: Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Slika 5.46: Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Fakultet strojarstva i brodogradnje 59

70 Slika 5.47: Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Slika 5.48: Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Fakultet strojarstva i brodogradnje 60

71 Slika 5.49: Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila Slika 5.50: Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila Fakultet strojarstva i brodogradnje 61

72 Slika 5.51: Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [P a], detalj krila Slika 5.52: Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [P a], detalj krila 2 Na slikama 5.51 i 5.52 prikazane su konture tlaka za p = 2[P a], pri čemu je crveno označena kontura dobivena MPPM, a plavom kontura dobivena MUG. Poklapanje među konturama je vrlo dobro. Na grafovima prikazane su sile i momenti tlaka u odnosu na napadni Fakultet strojarstva i brodogradnje 62

73 5 4 OneraM6 usporedba IB i BF sile tlaka u x-smjeru BF IB 3 Sila [N] Napadni kut α [ ] Slika 5.53: Onera M6, sile tlaka, x-smjer OneraM6 usporedba IB i BF sile tlaka u y-smjeru BF IB 40 Sila [N] Napadni kut α [ ] Slika 5.54: Onera M6, sile tlaka, y-smjer kut. Vidljivo je da su odstupanja istog reda veličine kao i za opstrujavanje Munkovog aeroprofila. Fakultet strojarstva i brodogradnje 63

74 5 4 OneraM6 usporedba IB i BF sile tlaka u z-smjeru BF IB 3 Sila [N] Napadni kut α [ ] Slika 5.55: Onera M6, sile tlaka, z-smjer 5 0 OneraM6 usporedba IB i BF moment tlaka oko x-osi BF IB Moment [Nm] Napadni kut α [ ] Slika 5.56: Onera M6, moment tlaka, x-os Fakultet strojarstva i brodogradnje 64

75 OneraM6 usporedba IB i BF moment tlaka oko y-osi BF IB Moment [Nm] Napadni kut α [ ] Slika 5.57: Onera M6, moment tlaka, y-os OneraM6 usporedba IB i BF moment tlaka oko z-osi BF IB Moment [Nm] Napadni kut α [ ] Slika 5.58: Onera M6, moment tlaka, z-os Fakultet strojarstva i brodogradnje 65

76 5.3. Strujanje oko polu-uronjenog hidroprofila Provedena je simulacija strujanja turbulentnog dvofaznog toka sa slobodnom površinom oko polu-uronjenog hidroprofila. Simulacija je nestacionarna, te je provedena VOF metodom. Vrijednosti u tablici 5.4 navedene su za kapljevinu [1]. v [m/s] ν [m 2 /s] Re [ ] F [m] k [J/kg] ɛ [J/kgs] e Tablica 5.4: Hidroprofil, početni i rubni uvjeti Slika 5.59: Hidroprofil, geometrija Na slici 5.59 dan je prikaz površinske mreže hidroprofila. Na slikama 5.60 i 5.61 dan je prikaz mreže na čitavoj domeni za obje metode. Mreža korištena sa MUG (5.61) napravljena je u OpenFOAM-u. Na slici 5.62 dan je prikaz polja brzine i dinamičkog tlaka za MPPM, a na slici 5.63 dan je prikaz istih polja za MUG. Primjetna je razlika brzine na slobodnoj površini. Budući da su simulacije dvofaznog toka za MPPG provedene proračunskim paketom (navalfoam) koji drugačije tretira jednadžbu za identifikacijsku funkciju (alpha1) i to može biti uzrok razlikama. Razlike su vidljive i u polju tlaka. Valja naglasiti da iako se pojedina polja razlikuju po iznosu, te razlike nisu značajne. Nadalje, karakteristike pojedinih polja se poklapaju (položaj valova, visina slobodne površine). Fakultet strojarstva i brodogradnje 66

77 Slika 5.60: Hidroprofil, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.61: Hidroprofil, mreža, metoda uronjene granice Fakultet strojarstva i brodogradnje 67

78 Slika 5.62: Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.63: Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda uronjene granice Fakultet strojarstva i brodogradnje 68

79 Slika 5.64: Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.65: Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda uronjene granice U veličinama koje opisuju turbulenciju (slike 5.64 i 5.65) vidljive su razlike, kako u položaju tako i u iznosu. Fakultet strojarstva i brodogradnje 69

80 Slika 5.66: Hidroprofil, slobodna površina, t=3 Slika 5.67: Hidroprofil, slobodna površina, t=6 Na slikama 5.66 i 5.67 prikazana je kontura slobodne površine za dva vremenska trenutka: t = 3 i t = 6. Vidljive su razlike u visini i poziciji valova, ali one nisu značajne. Na slici 5.68 dan je prikaz sila tlaka na hidroprofil u smjeru strujanja. Iako je Fakultet strojarstva i brodogradnje 70

81 Hidroprofil sile tlaka u x-smjeru IB BF Sila [N] Vrijeme [s] Slika 5.68: Hidroprofil, sile tlaka, x-smjer vidljivo da sile tlaka osciliraju, iznosom prate vrijednost dobivenu MPPM. Fakultet strojarstva i brodogradnje 71

82 5.4. Simulacija strujanja fluida sa slobodnom površinom oko KCS trupa broda Simulirano je strujanje dvofaznog toka oko trupa kontejnerskog broda. Korištena geometrija također je standard u validiranju CFD metoda [10]. U tablici 5.5 dani su početni i rubni uvjeti simulacije. Simulacija je provedena VOF metodom, sa k ɛ modelom turbulencije. U tablici su navedeni podaci za kapljevitu fazu. Prilikom izvođenja simulacije s MPPM, korištena je polovica broda, dok te se pretpostavja simetrično strujanje. Ta potrepostavka je načinjena radi uštede računalnog vremena. S druge strane, u IB simulaciji korištena je čitava geometrija broda kako bi se mogao definirati uvjet nepromočivosti IB-a. v [m/s] ν [m 2 /s] Re [ ] L [m] k [J/kg] ɛ [J/kgs] e Tablica 5.5: KCS trup, početni i rubni uvjeti Slika 5.69: KCS trup, geometrija Na slici 5.69 dan je prikaz geometrije broda. Na slici 5.70 dan je prikaz mreže na čitavoj domeni korištene prilikom simulacije MPPM. Posebno su označena lica koja predstavljaju rubni uvjet zida, kojim je Fakultet strojarstva i brodogradnje 72

83 Slika 5.70: KCS trup, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.71: KCS trup, mreža, metoda uronjene granice definiran trup broda. Na slici 5.71 prikazana je mreža korištena za simulaciju MUG, a načinjena je u OpenFOAM-u. Na slikama 5.72 i 5.73 dan je prikaz mreže u presjeku duž ravnine simetrije broda, kako bi se prikazala razina profinjenja u blizini površinske mreže. Fakultet strojarstva i brodogradnje 73

84 Slika 5.72: KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.73: KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda uronjene granice Na slikama 5.74 i 5.75 dan je prikaz polja brzine za obje metode. Vidljivo je da se profili razlikuju, što se može pripisati nedovoljnoj razini profinjenja mreže kod MUG, te drugačijem tretiranju jednadžbe indikatorske funkcije kod MPPM u odnosu na MUG. Fakultet strojarstva i brodogradnje 74

85 Slika 5.74: KCS trup, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.75: KCS trup, polje brzine, metoda uronjene granice Na slici 5.76 prikazano je polje dinamičkog tlaka za MPPG, a na slici 5.77 prikazano je polje dinamičkog tlaka za MUG. Na slikama dan je prikaz polja veličina vezanih uz turbulenciju. Iz navedenih slika su vidljive međusobne razlike pojedinih veličina. Fakultet strojarstva i brodogradnje 75

86 Slika 5.76: KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.77: KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda uronjene granice Na slici 5.82 dan je prikaz usporedbe visine slobodne površine za vremenski trenutak t = 3 [s]. Plavom bojom označena je slobodna površina dobivena MPPM, a crvenom površina dobivena MUG. Na slici 5.82 slobodne površine su prikazane za vremenski trenutak t = 6 [s]. Fakultet strojarstva i brodogradnje 76

87 Slika 5.78: KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.79: KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice Fakultet strojarstva i brodogradnje 77

88 Slika 5.80: KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površinski prilagodljive mreže Slika 5.81: KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjene granice Fakultet strojarstva i brodogradnje 78

89 Slika 5.82: KCS trup, slobodna površina, usporedba, t=3 Slika 5.83: KCS trup, slobodna površina, usporedba, t=6 Fakultet strojarstva i brodogradnje 79