SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Tomislav Sertić. Zagreb, 2014

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Zagreb, 2014 Tomislav Sertić

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Odredivanje granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnog sustava Mentor: prof. dr. sc. Zdravko Terze Student: Tomislav Sertić Zagreb, 2014

3 IZJAVA Izjavljujem da sam ovaj rad radio samostalno koristeći znanja stečena tijekom studija i navedenu literaturu. Tomislav Sertić

4 ZAHVALA Zahvaljujem se roditeljima na omogućenom školovanju i strpljenju tijekom svih godina studija. Hvala prof. dr. sc. Zdravku Terzeu na vodstvu, razumijevanju te savjetima tijekom izrade ovog rada. Hvala svim kolegama i prijateljima na društvu i podršci tijekom studija, hvala kolegama i kolegici na podršci tijekom izrade ovog rada. Hvala na podršci i ostalim dragim ljudima u mom životu.

5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Središnje povjerenstvo za završne i diplomske ispite Povjerenstvo za završne i diplomske ispite studija zrakoplovstva Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje. Datum l Prilog Klasa: Ur. broj: DIPLOMSKI ZADATAK Student: Tomislav Sertić Mat. br.: Naslov rada na hrvatskom jeziku: Naslov rada na engleskom jeziku: Određivanje granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnog sustava Determination of Dynamic Stability Boundary of Aeroelastic System Opis zadatka: Određivanje granice stabilnosti zrakoplovne konstrukcije u okviru analize dinamičke aeroelastičnosti jedan je od nezaobilaznih postupaka pri sintezi novog konstrukcijskog rješenja. Pojava nestabilnih vibracija elastične konstrukcije spregnute s aerodinamičkom uzbodom može prouzročiti trajno oštećenje konstrukcije te dovesti i do gubitka letjelice. U tom smislu su postupci određivanja granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnih sustava područje stalnog interesa i usavršavanja u okviru zrakoplovnog inženjerstva. S obzirom na gornje rečeno, u radu je potrebno: dati pregled postupaka određivanja granica stabilnosti aeroelastičnih sustava razvijenih u okviru tzv. klasične dinamičke aeroelastičnosti, a temeljenih na pretpostavci diskretizirane konstrukcije s malim brojem stupnjeva slobode gibanja u MATLAB-u ili drugom prikladnom programskom okruženju otvorenog koda, potrebno je izraditi računalne procedure 'p' i 'k' metode određivanja granice dinamičke stabilnosti aeroelastičnih sustava, pri čemu je potrebno pretpostaviti kvazistacionaran i nestacionaran model aerodinamičko g opterećenja izrađene računalne procedure potrebno je primijeniti na karakteristične primjere klasične analize dinamičke stabilnosti - dobivene rezultate potrebno je usporediti s rezultatima dostupnim u literaturi te donijeti odgovarajuće zaključke u smislu primjenjivosti ispitanih metoda i modela aerodinamičkog opterećenja za analizu pojedinih zadaća U radu je potrebno navesti korištenu literaturu i eventualno dobivenu pomoć. Zadatak zadan: 8. svibnja Zadnnrt\zada Rok predaje rada: l O. srpnja Predviđeni datumi obrane: 16., 17. i 18. srpnja2014. Predsjednik Povjerenstva: , ' - pfof. dr. sc. Ivica Smojver

6 SADRŽAJ POPIS SLIKA POPIS TABLICA POPIS OZNAKA SAŽETAK III V VI VII 1 UVOD 1 2 KRATKI PRIKAZ AEROELASTIČNIH POJAVA Nelinearna aeroelastičnost Linearna aeroelastičnost Statička aeroelastičnost Divergencija Obrnuće komandi Dinamička aeroelastičnost Buffeting Flutter Detaljniji shematski prikaz aeroelastičnih pojava Raspodjela opterećenja Dinamički odziv Aeroelastični utjecaj na stabilnost leta Prikaz eksperimentalnog istraživanja aeroelastičnih pojava Eksperiment u zračnom tunelu Ispitivanje letom zrakoplova Kontrola/odgoda pojave aeroelastične nestabilnosti Kontrola piezoelektričnim efektom Zrakoplovna regulativa vezana za aeroelastične pojave JEDNADŽBE GIBANJA AEROELASTIČNOG SUSTAVA Sustav s jednim stupnjem slobode gibanja Sustav s dva stupnjem slobode gibanja AERODINAMIČKI MODELI Wagnerov model Theodorsenov model Petersov model Fakultet strojarstva i brodogradnje I

7 5 PREGLED POSTUPAKA ZA ODREDIVANJE GRANICE STABIL- NOSTI Routh-Hurwitz metoda Konus fluttera p metoda k metoda p-k metoda g metoda Usporedba opisanih metoda Industrijski korištene metode Industrijski manje bitne metode IMPLEMENTACIJA ODABRANIH METODA Komentar na postupak traženja rješenja odabranim metodama Karakteristični oblik krivulja aeroelastičnog sustava KARAKTERISTIČNI PRIMJER ANALIZE Rezultati granice stabilnosti odnosa bezdimenzijska brzina fluttera, bezdimenzijska masa Rezultati granice stabilnosti odnosa bezdimenzijska brzina fluttera, omjer nespregnutih frekvencija sustava ZAKLJUČAK 45 LITERATURA 46 Fakultet strojarstva i brodogradnje II

8 POPIS SLIKA 2.1 Model korišten za analizu aeroelastične nestabilnosti od Braistowa i Fagea Primjer LCO (Limited Cycle Oscillation) gibanja [2] Trokut aeroelastičnih sila i posljedice njihove spregnutosti [4] Prikaz procesa testiranja zrakoplova s obzirom na aeroelastičnu stabilnost Cessna AT-8 Bobcat Aeroelastični odziv krila, AT-8 Bobcat, studeni [6] Primjer trendova odziva frekvencije i prigušenja tijekom leta, Boeinga KC- 135 [6] Laminirani model ploče u obliku krila s piezoaktuatorima Primjer ovojnice zrakoplova s prikazom mogućih granica aeroelastičnih nestabilnosti Model aeroprofila s jednim stupnjem slobode gibanja, torzijom Model aeroprofila s dva stupnja slobode gibanja, savijanje i torzija Odziv uzgona na promjenu napadnog kuta krila kod kvazi-stacionarne i nestacionarne aerodinamike Prikaz realnog i imaginarnog dijela C(k) za različite reducirane frekvencije k Dijelovi funkcije C(k), F (k) i G(k) u odnosu na 1/k Prikaz geometrije aeroprofila sa smjerovima uzgona, relativnog vjetra Prikaz odredivanja brzine fluttera metodom konusa za sustav s dva stupnja slobode gibanja Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i frekvencije kod p metode i kvazistacionarne aerodinamike Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i prigušenja kod p metode i kvazistacionarne aerodinamike Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i frekvencije kod k metode i nestacionarne Theodorsenove aerodinamike Prikaz odnosa bezdimenzijske brzine i prigušenja kod k metode i nestacionarne Theodorsenove aerodinamike Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera za kvazistacionarnu aerodinamiku i p metoda Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera za kvazistacionarnu aerodinamiku i k metoda Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i bezdimenzijskog masenog omjera za nestacionarnu aerodinamiku i k metoda Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i omjera nespregnutih frekvencija za kvazistacionarnu aerodinamiku i p metodu Fakultet strojarstva i brodogradnje III

9 7.5 Odnos bezdimenzijske brzine fluttera i omjera nespregnutih frekvencija za nestacionarnu aerodinamiku i k metodu Fakultet strojarstva i brodogradnje IV

10 POPIS TABLICA 2.1 Primjeri korištenih tehnologija za pobudu aeroelastičnog sustava [6] Vrijednosti Besselovih funkcija J 0, J 1, Y 0, Y 1 za odredene k [10] Tipične vrijednosti bezdimenzijske mase za različite vrste letjelica Fakultet strojarstva i brodogradnje V

11 POPIS OZNAKA Simbol Mjerna jedinica Opis a 1, a c, a w koeficijent nagiba krivulje c l α c m duljina tetive F p N sila piezoelektričnog aktuatora GJ N m torzijska krutost ḣ m/s brzina mahanja I p kgm 2 polarni moment inercije k θ, k h Nm krutost opruge K s Nm matrica krutosti k, k F reducirana frekvencija L N sila uzgona M M moment sile uzgona m kg/m 3 masa M F Machov broj M s kg matrica mase q div P a dinamički tlak divergencije q rev P a dinamički tlak obrnuća komandi r bezdimenzijski promjer okretanja s m širina aeroprofila U F bezdimenzijska brzina fluttera V m/s 2 brzina slobodne struje zraka x θ parametar statičke ravnoteže α rad brzina propinjanja µ bezdimenzijska masa ρ kg/m 3 gustoća slobodne struje zraka σ omjer frekvencija mahanja i nagiba Fakultet strojarstva i brodogradnje VI

12 SAŽETAK sastoji se od tri dijela: PRVI DIO rada, 1. i 2. poglavlje uvodni su. Sadržaj poglavlja je općeniti opis što i kako se istražuje unutar aeroelastičnosti, odnosno opisa nestabilnih pojava povezanih s interakcijom izmedu elastičnih, inercijskih i aerodinamičkih sila. Dan je pregled statičkih, dinamičkih, linearnih i nelinearnih aeroelastičnih pojava. Dalje uvodni dio sadrži opis eksperimentalnog istraživanja aeroelastičnih nestabilnosti, takoder navedene su mogućnosti kontrole aeroelastičnih nestabilnosti putem piezoelektričnih materijala, odnosno aktuatora povezanih sa konstrukcijom izloženom aeroelastičnim interakcijama. Na kraju uvodnog dijela navedena su mjesta unutar zrakoplovne regulative koja sadrže zahtjeve vezane za aeroelastična svojstva konstrukcije. DRUGI DIO rada, poglavlja 3, 4, 5 razraduju osnovne matematičke modele kod aeroelastičnih zadaća. Prikazane su osnovne jednadžbe gibanja za aeroelastični sustav s jednim i dva stupnja slobode gibanja. Nakon toga prikazani su aerodinamički modeli koji se koriste kod teorijskog istraživanja aeroelastičnosti; Theodorsenov, Petersov, Wagnerov. Drugi dio rada završava prikazom metoda koje se koriste za odredivanje granice stabilnosti aeroelastičnog sustava. Prikazano je šest metoda: Ruth-Hurwitzova metoda, metoda konusa, p metoda, k metoda, p-k metoda te g metoda. TREĆI DIO rada, poglavlja 6 i 7 donose implementaciju p i k metode. Metode su primijenjene za različite karakteristične parametre aeroelastičnog sustava. Fakultet strojarstva i brodogradnje VII

13 1 UVOD Zrakoplov se može promatrati kao elastična konstrukcija odredenih inercijskih svojstava u letu opterećena silama nastalim zbog medudjelovanja te konstrukcije s okolnim fluidom. Sile koje tada nastaju mogu se podijeliti na one koje nastaju zbog trenutnih atmosferskih uvjeta poput zapuha (gust), turbulencije u atmosferi i sl. te sila dobivenih djelovanjem upravljačkih i uzgonskih površina zrakoplova. Prema svojoj prirodi aerodinamičke sile nestacionarnog su karaktera kako zbog vanjskog djelovanja tako zbog namjernog manipuliranja tim silama radi upravljanja zrakoplovom. Vremensko kašnjenja odziva konstrukcije na promjenu aerodinamičkih sila dovodi do odredenog sprezanja elastičnih, inercijskih te nestacionarnih aerodinamičkih sila, ponekad na nepovoljan način, što može izazvati nestabilnost odnosno uništenje konstrukcije. Područje koje proučava medudjelovanje spomenutih sila zove se aeroelastičnost, a fenomeni se mogu podijeliti na nelinearne i linearne odnosno linearne dalje na statičke i dinamičke čiji će kratak opis biti dan u nastavku. 2 KRATKI PRIKAZ AEROELASTIČNIH POJAVA Kod konstrukcije zrakoplova nastoji se da letjelica bude što lakša. Posljedica toga je značajna elastičnost konstrukcije pogotovo krila i ostalih upravljačkih površina poput repa zrakoplova, tako da su već s prvim zrakoplovima aeroelastične pojave došle su do izražaja, a povećanjem brzine, povećanjem mase, oplakane povrišne itd. utjecaj aeroelastičnosti je značajniji. Pojava aeroelastične nestabilnosti direktno ovisi o krutosti zrakoplova, a indirektno o čvrstoći isto kao što direktno ovisi o C L -α krivulji, a indirektno o samom iznosu koeficijenta uzgona. Da bi se razumjelo ovu pojavu potrebna su istraživanja na zemlji, u letu, zračnim tunelima, teoretska analiza, analizu numeričkim metodama što se sve radi i usavršava od samih početaka zrakoplovstva do danas. Naravno aeroelastične pojave osim kod zrakoplova važne su i kod drugih slično opterećenih konstrukcija poput lopatica turbina i slično. Osam dana prije prvog leta braće Wright, 8. prosinca godine, Samuel P. Langley izveo je drugi, neuspješni, let svojom letjelicom. Zbog oštećenja konstrukcije, letjelica je pala u rijeku Potomac. Smatra se da je uzrok bilo to što vrh krila nije imao dovoljnu krutost te se posljedično pojavila divergencija. Nekoliko dana poslije, 17. prosinca Fakultet strojarstva i brodogradnje 1

14 braća Wright izvela su svojim dvokrilcem Flyer uspješan let. Prethodni Langleyev neuspjeh i uspjeh braće Wright pridonijeli su tome da prva konstrukcijska rješenja zrakoplova budu dvokrilci (biplane) koji zbog učvršćenja medu krilima imaju već krutost krila i time su otporniji na aeroelastične pojave. Prvi značajniji uvid u aeroelastičnu nestabilnost dao je godine F. W. Lanchester nakon prve službeno s njom povezane nesreće. Nesreća se dogodila zrakoplovu Handley Page 0/400. Zaključak je bio da vibracije nisu rezultat rezonancije nego posljedica samopobudenja aeroelastičnog sustava te je predloženo da se problem riješi povećanjem torzijske krutosti. Prva teorijska analiza je ona od Braistowa i Fagea iz Analizirali su sustav s dva stupnja slobode gibanja prema slici 2.1. Aerodinamički derivativi su bili konstantni koeficijenti pomnoženi s eksponencijalnom vremenskom varijablom te su nazvani kvazistacionarnim konstantama. Rezultat postupka su dvije jednadžbe 2.1, 2.2 čija diskriminanta 2.4 daje uvid u stabilnosti sustava [7]. Slika 2.1: Model korišten za analizu aeroelastične nestabilnosti od Braistowa i Fagea [I α λ 2 L α λ k α ]α [L β λ + L β λ]β = 0 (2.1) M α λα + [I β λ 2 M β λ + k β + M β ]β = 0 (2.2) Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 (2.3) R = BCD AD 2 B 2 E. (2.4) Gdje R predstavlja Routhovu diskriminantu. Ukoliko je R > 0 imamo prigušene oscilacije, ukoliko R = 0 početak nestabilnosti (fluttera). Konačno ako R < 0 oscilacije Fakultet strojarstva i brodogradnje 2

15 su neprigušene. Veličine I su za inercijska svojstva, k krutosti, dok su veličine L i M aerodinamički derivativi. Ovaj način predstavlja tvz. Ruth-Hurwitzovu metodu, a jednadžbe i metoda pobliže su opisani u poglavlju 5. Povećanjem brzina prema sve većim podzvučnim, krozzvučnim te nadzvučnim brzinama, istraživanja pojava vezanih za aeroelastičnost postaju sve važnija i važnija. Istražuju se pojave poput: aileron buzz koji se može opisati kao problem s jednim stupnjem slobode gibanja. Pojava nastaje kao posljedica spregnutosti rotacije krilca i ponašanja udarnog vala uzduž tetive krila. Zatim panel flutter koji se javlja pri nadzvučnim brzinama. Razlika u odnosu na uobičajenu pojavu fluttera je u tome što se samopobudenje sustava, odnosno aeroelastična nestabilnost dogada samo s jedne strane površine za razliku od krila gdje su obje površine oplakane strujom fluida. Panel je izložen vibracijama i LCO 1 opterećenju što u konačnici dovodi do oštećenja konstrukcije. Prvi problemi sa konstrukcijom zbog ovog tipa nestabilnosti zamijećeni su na V-2 raketama tijekom Drugog svjetskog rata [7]. 2.1 Nelinearna aeroelastičnost Unutar aeroelastičnost, izraz da je sustav linearan znači da je sustav statički i dinamički linearan odnosno da je nelinearan u statičkom odzivu, a linearan u dinamičkom [1]. Primjer nelinearne aeroelastične pojave je LCO (Limit Cycle Oscillations) koja nastaje kao posljedica nelinearne aerodinamike, nelinearnosti materijala, nelinearnost zbog upravljačkih površina. LCO predstavlja flutter s odredenom granicom. Granica kod npr. nelinearnosti konstrukcije nastaje kao posljedica toga da se početna krutost nakon početnih vibracija zbog konstrukcijskih nelinearnosti poveća te ograniči ostvarenu amplitudu. Slika 2.2: Primjer LCO (Limited Cycle Oscillation) gibanja [2] 1 Limited Cycle Oscillation Fakultet strojarstva i brodogradnje 3

16 2.2 Linearna aeroelastičnost U nastavku će biti dan kratak opis najvažnijih linearnih aeroelastičnih pojava, prvo statičkih onda dinamičkih prije nastavka u kojem su pojave matematički modelirane te naposlijetku prikazana rješenja za odredene karakteristične primjere. 2.3 Statička aeroelastičnost Kod statičke aeroelastičnosti promjene na konstrukciji uzrokovane aerodinamičkim silama smatraju se neovisnim o vremenu, obzirom na to nema vremenske promjene veličina, a inercijske sile ovise o ubrzanju, one se mogu zanemariti. Najvažnije pojave koje se proučavaju unutar statičke aeroelastičnosti su: divergencija (divergence) te obrnuće komandi (control reversal) Divergencija Divergencija nastaje kao posljedica nadjačavanja momenta aerodinamičke sile u odnosu na povratni moment elastične konstrukcije što posljedično dovodi do uništenja konstrukcije. Jednadžba koja daje brzinu odnosno dinamički tlak pri kojem dolazi do nadjačavanja, odnosno divergencije za dvodimenzionalni aeroprofil s torzijskom oprugom prema [1] je q div = k θ ec 2 a 1. (2.5) Veličina ec udaljenost opruge od hvatišta uzgona, K θ krutost opruge te a1 koeficjent nagiba krivulje c l α. Jednadžba 2.5 pokazuje da u pravilu kruće krilo ima veću otpornost na divergenciju, a veća duljina tetive smanjuje tu otpornost isto kao i aeroprofil većeg nagiba krivulje c l α Obrnuće komandi Obrnuće komadni odnosno control reversal nastaje na sljedeći način. Zakretanjem upravljačke površine osim povećanja ukupnog uzgona dolazi i do smanjenja napadnog kuta cijelog krila. U nekom trenutku doprinosi su takvi da upravljačka površina prestane biti efikasna odnosno njeno djelovanje je obrnuto. Prema [1] odnosno jednadžbi 2.6 gdje je GJ torzijska krutost, a c koeficjent nagiba krivulje uzgona za dio bez upravljačke površine, a w koeficjent nagiba krivulje uzgona ukupnog krila, vidi se na koji način i koje varijable Fakultet strojarstva i brodogradnje 4

17 utječu na pojavu fenomena. Slično kao i kod divergencije, što je veća krutost krila, krilo je otpornije na control reversal. q rev = 3GJa c c 2 s 2 a w (ea c b c ). (2.6) Pojava nije nužno fatalna po zrakoplov, ali nije prihvatljivo da zrakoplov u nekim uvjetima na upravljačku komadu reagira presporo odnosno na način suprotno od željenog. 2.4 Dinamička aeroelastičnost Pojave koje se ovdje opisuju kao uzrok imaju sva tri navedena izvora: elastičnost konstrukcije, inercijske karakteristike te nestacionarno aerodinamičko opterećenje. Najvažnije nestabilnosti koje nastaju ovim kombinacijama su: lepršanje (flutter) i prenaprezanje (buffeting) Buffeting Prema [3] buffeting je nepravilno gibanje konstrukcije ili njezinih dijelova potaknuto od turbulencije ili zapuha. Odvajanjem struje fluida poveća se intenzitet turbulencije što posljedično dovodi nepravilnih vibracija zvanih buffeting. Mjesta koja mogu poticati ovakvo stanje su vrtlozi iza usisnika, krila i ostalih komponenti zrakoplova Flutter Dinamička nestabilnost aeroelastičnog tijela koja nastaje kao posljedica nepovoljne spregnutosti elastičnih sila s promjenjivim aerodinamičkim silama. Povećanjem brzine toka fluida prigušenje oscilacija raste do odredene točke u kojoj prigušenje počinje iščezavati. U točki nazvanoj critical flutter speed, oscilacije su takve da se mogu održavati samostalno bez dodatne vanjske pobude, malim povećanjem brzine dolazi do samopobudenih vibracija koje u konačnici oštete odnosno unište nestabilnosti izloženu konstrukcije. Brzina i frekvencija fluttera U F i ω f definirana je prema [4] kao najmanja brzina i odgovarajuća frekvencija pri kojoj će konstrukcija leteći u danim atmosferskim uvjetima odredene gustoće i temperature pokazati stalne harmoničke oscilacije. Let pri brzini U F je granica tvz. neutralne stabilnost. U toj točki, pri toj brzini i frekvenciji, elastične, 2 Kako spomenuti pojmovi nemaju uobičajeni prijevod na hrvatski u daljnjem tekstu koriste se engleski termini za navedene aeroelastične pojave Fakultet strojarstva i brodogradnje 5

18 inercijske i unutarnje sile prigušenja u ravnoteži su s aerodinamičkim silama nastalim zbog oscilacije površine. Daljnji odgovor aeroelastičnog sustava na poremećaj je rastući ili padajući u smislu povećanja odnosno smanjenja amplitude. Razlika izmedu fluttera i osciliranja normalnim modovima je u tome što kod normalnih modova kinetička i potencijalna energija se izmjenjuju u potpunosti tako da je u nekom trenutku sva energija kinetička, a u drugom potencijalna. Kod fluttera, općenito, ne dogada se da potencijalna ili kinetička energija u nekom trenutku potpuno isčeznu, jer točke mase nisu u fazi. 2.5 Detaljniji shematski prikaz aeroelastičnih pojava Osim gore spomenutih najvažnijih aeroelastičnih pojava slikom 2.3 dan je općenitiji prikaz, odnosno popis pojava vezanih za spregnutost elastičnih, inercijalnih i aerodinamičkih karakteristika konstrukcije zajedničkim imenom zvanih aeroelastičnost. U trokut se dodatno mogu uključiti i upravljačke sile, tada govorimo o aeroservoelastičnosti. Slika 2.3: Trokut aeroelastičnih sila i posljedice njihove spregnutosti [4] Fakultet strojarstva i brodogradnje 6

19 2.5.1 Raspodjela opterećenja Raspodjela opterećenja (Load distribution) prestavlja utjecaj elastičnih deformacija konstrukcije na raspodjelu aerodinamičkih sila Dinamički odziv Dinamički odziv (Dynamic Response) je odziv konstrukcije na promjenjiva opterećenja izazvana utjecajem zapuha, slijetanja, trzaja zbog ispaljivanja streljiva te ostalih dinamičkih opterećenja Aeroelastični utjecaj na stabilnost leta Aeroelastični utjecaj na stabilnost (Aeroelastic effects on stability) je utjecaj elastičnih deformacija konstrukcije na dinamičku i statičku stabilnost zrakoplova na način da promjena oblika konstrukcije uzrokuje promjenu aerodinamičkih koeficijenata što kao posljedicu ima promjenu parametara unutar npr. 6DOF modela leta zrakoplova, odnosno promjenu karakteristika stabilnosti leta zrakoplova. 2.6 Prikaz eksperimentalnog istraživanja aeroelastičnih pojava Slika 2.4: Prikaz procesa testiranja zrakoplova s obzirom na aeroelastičnu stabilnost Fakultet strojarstva i brodogradnje 7

20 Teorijski modeli aeroelastičnih pojava, da bi se potvrdilo stabilnost unutar predvidene ovojnice neće doći do nestabilnosti, moraju biti eksperimentalno potvrdeni. Eksperimenti se provode u zračnom tunelu na modelu zrakoplova odnosno pojedinim aeroelastičnim nestabilnostima izloženim komponentama te ispitivanjima u letu Eksperiment u zračnom tunelu Prve analize komponenti zrakoplova izloženih mogućoj aeroelastičnoj nestabilnosti provode se u zračnim tunelima. Zračni tunel ne može dati konačni uvid u ponašanje konstrukcije zbog ograničenja vezanih za dimenzije, odnosno nemogućnosti da se veliki broj parametara na zadovoljavajući način metodom sličnosti prilagodi zračnom tunelu. Pogotovo je to bitno kod nestacionarnog toka fluida koje ovisi o dimenzijama uzorka. Veličine poput reducirane frekvencija, Reynoldsovog broja, odvajanje vrtloga itd. primjeri su toga [2]. Problem je i način na koji se ispitivani uzorak učvršćuje jer različito učvršćenje utječe na aeroelastična svojstva. Takoder raspon mogućih brzina strujanja, temperature itd. je ograničen Ispitivanje letom zrakoplova Eksperimenti se provode u zračnim tunelima ili letom zrakoplova. Prvo ispitivanje vezano za odredivanje brzine pri kojoj se dogada flutter proveo je godine Von Schlippe [6]. Ispitivanje je provedeno tako da se za unaprijed odredene prirodne frekvencije konstrukcije, tijekom leta za odredene brzine pobudio sustav aktuatorima te mjerilo amplitudu odziva. Na različitim brzinama leta ispitivanje je provodeno do onog trenutka kad je odziv bio dovoljno velik da se je to moglo proglasiti brzinom fluttera. Problem kod ispitivanja bile su nesavršenosti sustava za pobudivanje oscilacija, te loši instrumenti za mjerenje odziva. Daljnji razvoj išao je za usavršavanjem potrebnih uredaja i instrumenata te usavršavanjem metoda za analizu ispitivanjem dobivenih rezultata. Primjer dobivenih rezultata Von Schlippe metodom dan je slikom 2.6. Danas se za pobudivanje oscilacija na zrakoplovima koriste: impulsni pomaci upravljačkih površina, osciliranje upravljačkih površina, potisnici 3, inercijski pobudivači 4, dodatne aerodinamičke površine, nasumične atmosferske turbulencije. Primjeri korištenih metoda za uzbudu odredenih zrakoplova kroz povijest dani su u tablici 2.1 prema [6]. 3 potisnici - male rakete s vremenom izgaranja izmedu 18 i 26 ms, potiska izmedu 400 i 4000 lbs odnosno 180 i 1800 kg. 4 rotirajuće mase koje iniciraju potrebne oscilacije Fakultet strojarstva i brodogradnje 8

21 Slika 2.5: Cessna AT-8 Bobcat Slika 2.6: Aeroelastični odziv krila, AT- 8 Bobcat, studeni [6] Zrakoplov Površina Frekvencijski raspon [Hz] Trajanje zamahivanja [s] Funkcija zamahivanja Tehnologija pobuđenja 747 krila eksponencijalna aerodinamika DC-10 S3-A F 15 F 14 F 111 vertikalni i horizontalni rep trup pokraj stabilizatora aileroni, stabilizatori horizontalne i vertikalne površine horizontalne i vertikalne površine eksponencijalna aerodinamika linearna aerodinamika linearna aerodinamika eksponencijalna inercija eksponencijalna inercija Tablica 2.1: Primjeri korištenih tehnologija za pobudu aeroelastičnog sustava [6] Suvremena ispitivanja kao mjeru pri kojoj se pojavljuje flutter ne koriste veličinu amplitude nego se koeficijent prigušenja, odnosno njegovo smanjivanje. Uobičajeno kod ispitivanja da bi flutter bio dokazan koriste se sljedeći kriteriji [2]: 1. uočavanje da se je koeficijent prigušenja spustio ispod 2% (civilno zrakoplovstvo ispod 5%) 2. oscilacije pri mjerenju počnu divergirati izvan predodredenih granica 3. dominantna frekvencija odstupa od predvidene vrijednosti Kod ispitivanja zrakoplov se ubrza do odredene brzine za koju se namjerava ispitati postojanje aeroelastične nestabilnosti, zatim se sustav pobudi te očitaju rezultati, brzine se mijenjaju za cijelu ovojnicu zrakoplova i to s relativno malim koracima, što ispitivanje čini dugotrajnim i skupim. Da bi se odredena točka ovojnice smatrala slobodnom od Fakultet strojarstva i brodogradnje 9

22 aeroelastične nestabilnosti mora biti stabilna za odredeni broj pobuda/zamaha sustava za pobudivanje. Tako se primjerice kod F-14 zahtijevalo da to bude 489 pobuda, F pobude, Gulfstream III 177 pobuda itd. [6]. Tijekom leta dobiveni rezultati se prate, analiziraju, a dobiveno usporeduju s od prije predvidenim rezultatima te prelazi na sljedeću točku točku ispitivanja. Najkritičniji trenutak je promjena brzine ispitivanje, odnosno period ubrzavanja izmedu dviju ispitivanih brzina, to je vrijeme za koje nemamo predvidanja o ponašanju konstrukcije. Primjer ispitivanja Boeinga KC-135 Stratotanker u realnom vremenu dan je slikom 2.7 gdje se vidi kako frekvencija raste, a prigušenje opada do granice stabilnosti za što se onda može odrediti brzina. Slika 2.7: Primjer trendova odziva frekvencije i prigušenja tijekom leta, Boeinga KC-135 [6]. 2.7 Kontrola/odgoda pojave aeroelastične nestabilnosti Kako je rečeno cilj je da zrakoplov bude što lakši. Što je zrakoplov lakši to je elastičniji, odnosno podložniji aeroelastičnim nestabilnostima. Sustavi koji mogu kontrolirati odnosno odgoditi pojavu aeroelastične nestabilnosti prema tome posljedično omogućavaju manju masu zrakoplova, ekonomičniji let. Prema nekim izvoru [8] vršna opterećenja mogu se smanjiti i do 20%. Konstrukcija se kontrolira postavljanjem aktuatora na mjesta koja valja štititi od nesta- Fakultet strojarstva i brodogradnje 10

23 bilnosti, krila, stabilizatore ili čak na trup ukoliko se očekuje pojavljivanje panel fluttera. Na krilo se aktuatori stavljaju na unutarnji i vanjski dio napadne, odnosno izlazne ivice te povezuju s upravljačkim površinama na krilu. Aktuatori mogu biti hidraulički ili električno upravljani. Takoder kao aktuator može biti korišten piezoelektrični materijal Kontrola piezoelektričnim efektom Zanimljiv za primjenu kod aeroelastičnih problema je piezoelektrični efekt koji u jednom smjeru na primijenjenu silu daje električnu energiju, sensor mode, a u drugom smjeru dodavanjem električne energije može se dobiti mehanički rad, aktuatorski mod - actuator mode. Takav materijal pridodan laminiranim kompozitnim konstrukcijama može uz pravilnu kontrolu pomoći u odgodi pojave nestabilnosti, odnosno posljedično smanjiti težinu letjelice i povećati moguću ovojnicu zrakoplova. Kada se zajedno koriste oba piezoelektrična svojstva tada se to naziva samoupravljivi piezoelektrični aktuator self-sensing piezoelectric actuator ili simultaneous sensor actuator (SSA). Prikaz je na slici 2.8, a jednadžbom 2.7 prema [9] može se modelirati aeroelastično ponašanje konstrukcije, odnosno odrediti kako najpovoljnije upravljati njome. Korištenje piezeoelektričnog efekta odnosno SSA tehnologija koristi se i za odgodu panel fluttera. Slika 2.8: Laminirani model ploče u obliku krila s piezoaktuatorima. M s q + K s q = F p u + q d Aq. (2.7) Član F p je matrica upravljačke sile ovisna o narinutom naponu, A je matrica nestacionarnih aerodinamičkih sila. M s je matrica mase, a K s matrica krutosti. Fakultet strojarstva i brodogradnje 11

24 Prema [9] pokazuje se da uporaba piezoelektričnih aktuatora, SSA tehnologija, može povećati brzinu pri kojoj se javlja flutter za 50% u odnosu na krilo bez povratne veze. 2.8 Zrakoplovna regulativa vezana za aeroelastične pojave Da bi zrakoplov bio certificiran mora se dokazati da unutar predvidene ovojnice neće doći do pojave aeroelastičnih nestabilnosti. EASA 5 te FAA 6 propisuju regulativu odnosno uvjete koji moraju biti zadovoljeni. Kod FAA uvjeti vezani za aeroelastične pojave propisane su u sljedećim dijelovima, FAR: 7 Part 23 (Airworthiness standards: Normal, utility, acrobatic, and commuter category airplanes), Part 25 (Airworthiness standards: Transport category airplanes), Part 27 (Airworthiness standards: Normal category rootorcraft), Part 29 (Airworthiness standards: Transport category rootorcraft) i to u člancima pod brojem 629, npr. Part EASA-ina regulativa dana je analognim oznakama unutar svojih Certification Specifications npr. propis CS takoder je vezan za aeroelastične pojave. 5 European Aeronautical and Space Agncy 6 Federal Aviation Agency 7 Federal Aviation Regulation Fakultet strojarstva i brodogradnje 12

25 3 JEDNADŽBE GIBANJA AEROELASTIČNOG SUSTAVA Elastična konstrukcija odredenih inercijalnih svojstava, opterećena aerodinamičkim silama dovodi do aeroelastičnih pojava. Kod zrakoplova, zbog vječne težnje da letjelica bude što lakša sa što većom nosivosti, kombinacija ovih dvaju opterećenja je neizbježna te je konstrukciju zrakoplova nužno provjeriti u odnosu na aeroelastične pojave jer nestabilnosti koje se javljaju mogu biti unutar performansama omogućene ovojnice zrakoplova. Razumijevanjem aeroelastičnih pojava osim radi provjere konstrukcije, može se pravilnom kontrolom konstrukcije modernim tehnologijama omogućiti i proširenje ovojnice. U tu svrhu u daljnjem radu opisani su i upotrebljeni pojedini modeli unutar tvz. klasične analize dinamičke stabilnosti. Slika 3.1: Primjer ovojnice zrakoplova s prikazom mogućih granica aeroelastičnih nestabilnosti Fakultet strojarstva i brodogradnje 13

26 3.1 Sustav s jednim stupnjem slobode gibanja Prvi slučaj za koji će se prikazati jednadžbe je sustav s jednim stupnjem slobode. Iako se pri malim brzinama ne dogada aeroelastična nestabilnost, torzijski flutter je realna pojava kod malih, relativno masivnih konstrukcija poput lopatica, isto tako može se pojaviti na krilu kod nadzvučnog strujanja [4]. Slika 3.2: Model aeroprofila s jednim stupnjem slobode gibanja, torzijom Jednadžba gibanja dana je običnom diferencijalnom jednadžbom I p θ + kθ θ = M (3.1) gdje je I p moment tromosti oko točke P, a k θ koeficijijent krutosti opruge. Pretpostavlja se da je gibanje sustava θ = θ exp(iωt) jednostavno harmoničko gibanje isto kao i aerodinamički moment M = M exp(iωt). Amplituda momenta sile uzgona, M, dana je izrazom M = πρ b 4 ω 2 m θ (k, Ma)θ. Uvrštavanjem i sredivanjem jednadžbi dobije se izraz [ I p 1 πρ b 4 ( ωθ ) ] 2 + m θ (k, Ma) = 0 (3.2) ω koji se rješava za odabrane uvjete leta te se tako može odrediti granicu aeroelastične nestabilnosti na način da se za odabrane parametre, kao što su Machov broj i bezdimenzijski aerodinamički derivativ zbog momenta propinjanja, m θ izračuna ω = ω F, gdje je ω F frekvencija pri kojoj se dogada nestabilnost, što se onda može prikazati u odnosu na npr. Fakultet strojarstva i brodogradnje 14

27 bezdimenzijsku brzinu fluttera 1/k, gdje je k reducirana frekvencija k = bω U (3.3) ili u odnosu na koju drugu pogodnu veličinu. Pristup rješavanju je sljedeći. Pretpostavlja se da su I p, ω θ i b poznati. Aerodinamički koeficijent m θ je kompleksno konjugirani broj. Kada nakon računanja za niz reduciranih frekvencija, imaginarni dio rješenja bude jednak nuli tu je granica stabilnosti, a reducirana frekvenicja, k F, predstavlja vrijednost reducirane frekvencije na granice stabilnosti. Uz poznatu graničnu reduciranu frekvenciju možemo pomoću ( ωθ ω F ) 2 = 1 + πρ b 4 R[m θ (k F, Ma)] I p (3.4) odrediti frekvenciju torzijskog fluttera ω F, a iz toga i brzinu pri kojoj se javlja nestabilnost U F = bω F k F (3.5) za odredenu brzinu zvuka, odnosno visinu leta i Machov (M F = U F /c ) broj pri kojem se nestabilnost pojavljuje. Dane jednadžbe vrijede uz uvjet da se koriste aerodinamički koeficijenti za nestlačivo strujanje. 3.2 Sustav s dva stupnjem slobode gibanja Kod aeroelastičnog sustava s dva stupnja slobode aeroprofil u isto vrijeme zamahuje i uvija se. Ova kombinacija, ukoliko dode do sprezanja savijanja i torzije, izuzetno je nepovoljna i redovito dovodi do uništenja konstrukcije. Najčešće se javlja kod krila s relativno velikom vitkošću 8. Ovaj rad baviti će se ovakvim aeroelastičnim sustavom odnosno metodama kojima se odreduju granice njegove stabilnosti. 8 aspect ratio, AR = b 2 /S Fakultet strojarstva i brodogradnje 15

28 Slika 3.3: Model aeroprofila s dva stupnja slobode gibanja, savijanje i torzija Primjenom Lagrangeove jednadžbe d dt ( ) K + P = Q i (3.6) q i q i uz uvijet da je q 1 = h (progib), a q 2 = θ (nagib) aeroprofila, pri čemu je K kinetička, a P potencijalna energija dobivene su sljedeće dvije jedandžbe gibanja aeroelastičnog sustava m(ḧ + bx θ θ) + k h h = L I p θ + mbxθ ḧ + k θ = M 1/4 + b ( ) a L (3.7) k h je krutost opruge na progib kako je to prikazano na slici 3.2, a k θ torzijska krutost dok su a i b geometrijske karakteristike aeroprofila prema slici 3.3. Za ovaj prikaz koristi će se stacionarni aerodinamičke sile i to L = 2πρ bu 2 θ M 1/4 = 0 (3.8) iako općenito aerodinamička sila i moment bit će funkcija vremena u obliku L(t) = L exp(iωt) M(t) = M exp(iωt). (3.9) Radi pojednostavljenja uvode se članovi nespregnutih prirodnih frekvencija zamahivanja ω h i uvijanja ω θ. ω h = kh m ω θ = k θ I p (3.10) Fakultet strojarstva i brodogradnje 16

29 te u konačnici dobijemo jednadžbu aeroelastičnog sustava s dva stupnja slobode gibanja [ mb 2 mb 2 x θ ] { } [ ] { } { } mb 2 x ḧ θ mb 2 ω 2 b h 2πρ b 2 U 2 h + I p θ 0 I p ωθ 2 2 ( 0 b 1 + a) =. (3.11) πρ 2 b 2 U 2 θ 0 Jednadžba pokazuje da matrica koja u sebi ima član U, matrica vezana za aerodinamičke sile, je nesimetrična. Upravo ta nesimetričnost matrica uzrekuje spregu mahanje i uvijanje krila odnosno da se pojavu nestabilnosti. Općenita jednadžba gibanja aeroelastičnog sustava za N stupnjeva slobode gibanja glasi A q + (ρv B + D) q + (ρv 2 C + E)q = 0 (3.12) u jednadžbi članovi A vezani za inercijska svojstva, članovi B i D za prigušna, a C i E za elastična svojstva aeroelastične konstrukcije. Članovi matrice koji opisuju gibanje krila, odnosno pomake mogu biti modelirani osim pomacima zbog opruga h i θ i torzijskom GJ odnosno fleksijskom EJ krutošću. Pretpostavimo li jednostavno harmoničko gibanje h(t) = h exp(νt) i θ(t) = θ exp(νt) te tako riješimo jednadžbu 3.11 dobijemo problem traženja vlastitih vrijednosti [ ] { } { } mb 2 ν 2 + mb 2 ωh 2 mb 2 ν 2 x θ + 2πρ b 2 U 2 h mb 2 ν 2 x θ I p ωθ 2 + I pν 2 2 ( 0 b ) =. (3.13) a + 1 πρ b 2 U 2 θ 0 2 Uvodenjem sljedećih bezdimenzijskih parametara u jednadžbu 3.13 dobiju se dodatno pojednostavljene jednadžbe za aeroelastični sustav s dva stupnja slobode gibanja r 2 = I p mb 2 σ = ω h ω θ µ = m ρ πb 2 V = U bω θ ν = pb U x θ = e a (bezdimenzijski polumjer okretanja mase) (omjer nespregnutih prirodnih frekvencija) (maseni omjer) (brzina slobodne struje zraka) (frekvencijski parametar, p je kompleksan broj) (parametar statičke neravnoteže) (3.14) Fakultet strojarstva i brodogradnje 17

30 [ ] { } { } p + σ 2 x V 2 θ p h µ 0 b ( ) =. (3.15) x θ p 2 r 2 p 2 + r2 2 V 2 µ a + 1 θ 0 2 U nastavku biti će dani nestacionarni aerodinamički modeli, zatim metode kojima se mogu tražiti točke u kojima je sustav nestabilan. Nakon toga sve će biti implementirano te primijenjeno za odredene karakteristične primjere. Fakultet strojarstva i brodogradnje 18

31 4 AERODINAMIČKI MODELI Jedna od komponenti interakcije prema slici 2.3 su i aerodinamičke sile. Aerodinamičke sile mjenjaju se zbog promjene oblika konstrukcije, odnosno krila, zbog mahanja odnosno uvijanja. Osim promjene oblika radi upravljanja zrakoplovom, promjene se dogadaju i same po sebi, zbog promjene atmosferskih prilika. Sve to su uzroci promjene aerodinamičkih sila koje djeluju na konstrukciju te se mjenjaju s vremenom. Stacionarna aerodinamika kao iznose sile uzgona i momenta daje vrijednosti L = 2πρ bu 2 θ, a moment oko 1/4 tetive je M 1/4 = 0. Ako model proširimo na tvz. kvazistacionarnost onda se uzima u obzir promjena, ali se smatra da je promjena veličina trenutačna, dakle promjenom napadnog kuta za odredeni postotak, za isti postotak trenutačno se poveća uzgon. Drugim riječima, kvazi-stacionarni model promjene aerodinamičkih sila ne uzima u obzir povijest gibanja aeroprofila tj. ne uzima u obzir utjecaj aerodinamičkog traga koje ostavlja krilo. Jednadžbe za ovakav model prema [3] su: [ ( ) ] ḣ 1 α L kv = 2πρbU 2 U + b 2 a U α ( ) 1 M kv = b 2 + a L kv πρub3 α. 2 (4.1) Veličine K kv i M kv su aerodinamička sila i moment kod kvazistacionarnog modela, α je brzina promjene napadnog kuta, ḣ brzina promjene progiba krila. Kao što se vidi iz strukture jednadžbi, aerodinamički moment osim komponente zbog sile uzgona ima i dodatnu komponentu zbog Coriolisove sile izazvane ubrzanjem čestica fluida. Kvazi-stacionarni model koristi se kod nadzvučnog strujanja, ali za podzvučne brzine strujanja model nije dovoljno dobar. Potreban je realniji model koji uzima u obzir da se promjena vrijednosti aerodinamičkih veličina odvija kroz neko vrijeme. Prema [5] kaže se da je promjena uzgona za otprilike 90% nakon što krilo, odnosno aeroprofil, prode duljinu od 15 polutetiva što se može vidjeti na slici 4.1. Da bi se to kašnjenje uzgona uzelo u obzir koriste se razni modeli koji na odreden način dodaju promjenjiv član bilo u ovisnosti o vremenu, frekvenciji ili kojoj drugoj zanimljivoj veličini. Nestacionarni aerodinamički modeli obično se dijele u četiri skupine [11]. Prvo tu su modeli k vrste. Kod ovih modela, gibanje, tlak itd. mjenjaju se u skladu s jednostavnim harmoničkim gibanjem oblika e ikt. Ovakvi modeli točni su Fakultet strojarstva i brodogradnje 19

32 samo na granici stabilnosti Druga skupina su tvz. p vrste modeli gdje aerodinamičke varijable imaju eksponencijalno rastuće ili padajuće harmoničke promjene. Ova vrsta modela koristi se kod analize vlastitih vrijednosti Treća skupina su prediktivni modeli gdje se Greenova funkcija koristi s integralom konvolucije da bi se dobilo željeno gibanje Četvrta skupina su tvz. modeli konačnog stanja (finite state models), takvi modeli nemaju izravnu fizikalnu interpretaciju u smislu da se može točno odrediti koji parametri u kojoj mjeri utječu na sustav te se ne može sustavno poboljšavati modeliranje pojedinih parametra modela. Ipak, pogodni su jer se aerodinamika može zapisati u istom prostoru stanja kao i svojstva konstrukcije odnosno upravljačke veličine, što omogućuje jednostavnije modeliranje sustava i korištenje teorije upravljanja u prostoru stanja. prve tri skupine modela medusobno su ekvivalente u smislu da se jedna vrsta modela izvesti iz druge korištenjem Laplaceovih ili Fourierovih transformacija. Slika 4.1: Odziv uzgona na promjenu napadnog kuta krila kod kvazi-stacionarne i nestacionarne aerodinamike Fakultet strojarstva i brodogradnje 20

33 4.1 Wagnerov model Wagnerova funkcija Φ(τ) opisuje način rasta uzgona nakon nagle promjene napadnog kuta. τ je bezdimenzijsko vrijeme τ = 2V t/c, vrijeme normirano vremenom potrebnim da struja fluida prode polovinu tetive 9. L = 1 2 ρv 2 ca 1 αφ(τ) = 1 2 ρv ca 1wΦ(τ) (4.2) pri čemu je w = V sin α odnosno zbog pretpostavljene male promjene napadnog kuta w V α. Jedan primjer Wagnerove funkcije za nestlačivi fluid je sljedeći Φ(τ) = { 0 ako je τ 0 τ+2 ako je τ > 0 τ+4 (4.3) drugi primjer funkcije zapisan u eksponencijalnom obliku je sljedeći Φ(τ) = e τ 0.335e 0.300τ (4.4) funkcija se ponekad tako izražava zbog mogućnosti korištenja Laplaceovih transformacija koje onda daju oblik jednadžbe kojim je jednostavnije manipulirati. Φ(z) = 1 z z z (4.5) 4.2 Theodorsenov model Wagnerova funkcija koja je u vremenskoj domeni ne koristi se često iz razlog što nije potrebno znati kako se funkcija mijenja u vremenu nego kako se ponaša za odredenu frekvenciju. Theodorsenov 10 model razraden je za tanke aeroprofile 11 s malim harmoničkim oscilacijama u nestlačivom fluidu. Temelj modela je funkcija C(k) koja modelira fazni pomak te promjenu amplitude izmedu kvazi-stacionarnih i nestacionarnih aerodinamičkih sila 9 Polutetiva kao duljina za normiranje se koristi prema USA literaturi. Kod UK literature koristi se kod normiranja cijela tetiva. 10 Theodorsen, NACA Report No.496, U teoriji je pretpostavljena ravna ploča, dok je kod eksperimenata korišten NACA 0012 aeroprofil. Fakultet strojarstva i brodogradnje 21

34 odredene reducirane frekvencije i to tako da smanjuje amplitudu i unosi kašnjenje promjene napadnog kuta u odnosu na uzgon. Funkcija je kompleksna, oblik joj je dan jednadžbom 4.6, a prikaz slikom 4.3. C(k) = F (k) + ig(k) (4.6) Slika 4.2: Prikaz realnog i imaginarnog dijela C(k) za različite reducirane frekvencije k Slika 4.3: Dijelovi funkcije C(k), F (k) i G(k) u odnosu na 1/k Promjena amplitude, odnosno kašnjenje je funkcija frekvencijskog parametra - reducirane frekvencije k. Ovaj parametar govori koliki je broj oscilacija aeroprofil prošao tijekom Fakultet strojarstva i brodogradnje 22

35 vremena potrebnog da struja fluida prijede preko tetive, pomnoženo s brojem π k = ωb U. (4.7) Izvodenje teorije bazirano je na potencijalnom strujanju 12 te Kutta uvjetu 13 te se izvodom dolazi do jednadžbe C(k) = 1 1 x 0 x e ikx 0 dx 0. (4.8) x x e ikx 0 dx 0 Jednadžba 4.8 prepoznata je kao kombinacija Besselovih funkcija drugog reda te se može zapisati kao F (k) = J 1(J 1 + Y 0 ) + Y 1 (Y 1 J 0 ) (J 1 + Y 0 ) 2 + (Y 1 J 0 ) 2 (4.9) Y 1 Y 0 + J 1 J 0 G(k) = (J 1 + Y 0 ) 2 + (Y 1 J 0 ). 2 Vrijednosti potrebnih parametara za odredene reducirane frekvencije k dane su tablicom 4.1. k 1/k J 0 J 1 Y 0 Y 1 F -G Tablica 4.1: Vrijednosti Besselovih funkcija J 0, J 1, Y 0, Y 1 za odredene k [10] 12 Strujanje se smatra nestlačivim i neviskoznim 13 Na izlaznoj ivici nema beskonačnih brzina Fakultet strojarstva i brodogradnje 23

36 rezultati čega je prikazan na slici 4.3. Neke od aproksimacija C(k) funkcije su C(k) = i i, k k k 0.5 C(k) = i i, k k k > 0.5 (4.10) C(k) = 1 πk 2 + ik ln k k 0.1 (4.11) 2 C(k) = ik k ik + k 2 (4.12) Funkcije naravno imaju svojstvo da za k = 0 vrijedi F = 1 i G = 0 odnosno C(k) = 1, dakle svojstva kvazi-stacionarne aerodinamike tj. promjene su trenutačne. Prema Theodorsenovoj teoriji uzgon i moment sastoje se od cirkularnih i ne-cirkularnih članova Cirkularni članovi uzgona i momenta javljaju se zbog vrtložnosti struje fluida, dok su ne-cirkularni članovi sile zbog prividne masa tj. sila nastala zbog zbog ubrzavanja fluida koji ubrzava zajedno s aeroprofilom. Izrazi koji uz sebe imaju C(k) su cirkularni i kroz njih se uvodi kašnjenje odnosno smanjivanje amplitude aerodinamičke sile. [ ( ) ] 1 L = 2πρ UbC(k) ḣ + Uθ + b 2 a θ + πρ b 2 (ḧ + U θ ba θ) [ ( 1 M 1/4 = πρ b 3 2ḧ + U θ 1 + b 8 a ) ] θ. 2 (4.13) Pomoću Theodorsenove teorije za jednostavno harmoničko gibanje može se izraziti efektivni napadni kut na sljedeći način α = C(k) [ θ + ḣ U + b U ( ) ] 1 2 a θ (4.14) pri čemu se napadni kut mjeri na 3/4 tetive. Fakultet strojarstva i brodogradnje 24

37 4.3 Petersov model Model je se primjenjuje kada je potrebno izračunati modalno prigušenje za subkritične 14 uvjete leta, zatim je zanimljiv kod aktivnog upravljanja aeroelastičnim sustavom u svrhu odgode pojave nestabilnosti iz razloga što je sustav moguće zapisati u obliku prostora stanja što je dalje pogodno za korištenje u teoriji upravljanja [2]. Prednosti ovakvog modela [11] je mogućnost zapisa jednadžbi u prostoru stanja koje su tako komplementarne jednadžbama strukrure odnosno upravljanja, zatim fleksibilnost da se model izrazi u vremenskoj, frekvencijskoj ili Laplaceovoj domeni. Nedostatak modela je to što nema direktnu fizikalnu interpretaciju, što onda onemogućuje daljnje poboljšavanje odredenih manjkavih članova. Model aeroprofila je prema slici 3.2 uz dodatno sliku 4.4 koja daje odnose jediničnih vektora, vektora uzgona i relativnog vjetra. Polje brzina u blizini aeroprofila, da bi se simuliralo vrtloge koji izlaze s krila, sastoji se od dvije komponente. Brzine slobodne struje i komponente koja uzima u obzir induciranu brzinu. Lokalna inercijalna brzina 15 blizu aeroprofila može se zapisati kao Uî 1 λ 0ˆb2, gdje λ 0 predstavlja prosječni induciranu brzinu (okomita na liniju nultog uzgona). Ova brzina u kombinaciji s brzinom struje fluida na 3/4 tetive daje vektor relativne brzine vjetra W â 1 = v T + Uî 1 + λ 0ˆb2 (4.15) Slika 4.4: Prikaz geometrije aeroprofila sa smjerovima uzgona, relativnog vjetra 14 Subkritične u odnosu na brzinu aeroelastične nestabilnosti 15 Inducirana brzina se mijenja u polju brzina, a aproksimira se kao prosjek duž tetive Fakultet strojarstva i brodogradnje 25

38 gdje je v T inercijalna brzina na 3/4 tetive. Daljnjim razvijanjem odnosa dolazi se do izraza 4.16 za, uz pretpostavku malih napadnih kuteva, efektivni napadni kut temeljen na relativnoj brzini kod 3/4 tetive, koji ovisi o vrijednosti λ 0 (inducirani tok) duž tetive, brzini mahanja, brzini propinjanja aeroprofila itd α = θ + ḣ U + b ( ) 1 U 2 a θ λ 0 U. (4.16) Izrazi za ukupni uzgon i moment su sljedeći [ ( ) ] L = πρ b 2 (ḧ + U θ 1 ba θ) + 2πρ UB ḣuθ + b 2 a θ λ 0 [ ( 1 M 1/4 = πρ b 3 2ḧ + U θ 1 + b 8 a ) ] θ. 2 (4.17) Jedadžbe 4.17 slične su jednadžbama Temeljna razlika je u članu λ 0, induciranom toku koji treba biti prikazan kao funkcija gibanja aeroprofila. Petersova teorija daje prosječnu brzinu induciranog toga λ 0 u obliku N stanja induciranih stanja tokova λ 1, λ 2,...,λ N i to kao gdje se b n odreduje pomoću λ 0 = 1 N b n λ n (4.18) 2 n=1 n 1 (N + n 1)! 1 b n = ( 1) (N n 1)! (n!) 2 b n = ( 1) n 1 n N n = N (4.19) Fakultet strojarstva i brodogradnje 26

39 5 PREGLED POSTUPAKA ZA ODREDIVANJE GRANICE STA- BILNOSTI 5.1 Routh-Hurwitz metoda Opću jednadžbu 3.12 za aeroelastični sustav s dva stupnja slobode gibanja možemo zapisati na sljedeći način [ ] { } [ ] ([ ] a 11 a 12 q 1 b 11 b 12 + V + V 2 b 11 b 12 + a 21 a 22 q 2 b 21 b 22 b 21 b 22 [ e e 22 ]) { q 1 q 2 } { } 0 = (5.1) 0 uz pretpostavku rješenja u obliku q i = q i0 e λt gdje su q i poopćene koordinate propinjanja i progiba te zamjene e 11 = xv 2 e 22 = µxv 2 (5.2) može se dobiti determinanta jednadžbe 5.1 a 11 λ 2 + b 11 V λ + (c 11 + x)v 2 a 12 λ 2 + b 12 V λ + c 12 V 2 = 0. (5.3) a 21 λ 2 + b 21 V λ + c 21 V 2 a 22 λ 2 + b 22 V λ + (c 22 + µx)v 2 Rješavanjem dobivene determinante dobije se sljedeći polinom četvrtog stupnja gdje su f 0,...,f 0, funkcije parametara iz jednadže 5.3 f 4 λ 4 + f 3 λ 3 + f 2 λ 2 + f 1 λ + f 0 = 0 (5.4) Primjenjujući Routh-Hurwitzov kriterij na jednadžbu 5.4 dobijemo uvjet stabilnosti koji glasi f 1 f 2 f 3 f 4 f 2 1 f 0 b 2 3 > 0. (5.5) Ukoliko su poznati koeficijenti iz jednadžbe 5.1 moguće je odrediti kritičnu brzinu pri kojoj se javlja flutter. Procedura je da se članovi f i iz 5.4 uvrste u jednadžbu 5.5 te dobije jednadžba (f 4 q 2 1 f 3 q 1 p 1 + f 2 3 r 2 )x 2 + (2f 4 q 1 q 0 f 3 q 0 p 1 f 3 q 1 p 2 + f 2 3 r 1 )x + (f 4 q 2 0 f 3 q 0 p 2 + f 2 3 r 0 ) = 0. (5.6) Fakultet strojarstva i brodogradnje 27