DETEKCIJA MODALNIH PARAMETARA KONSTRUKCIJA PRIMJENOM VALNE TRANSFORMACIJE

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Ivan Tomac DETEKCIJA MODALNIH PARAMETARA KONSTRUKCIJA PRIMJENOM VALNE TRANSFORMACIJE DOKTORSKA DISERTACIJA Split, 2013.

2

3 IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODATCI Doktorska disertacija je izrađena na Zavodu za strojarstvo i brodogradnju, Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu Mentor: dr. sc. Željan Lozina, red. prof. Rad br. 93 iii

4

5 PODATCI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije: 1. Dr. sc. Damir Vučina, red. prof. predsjednik, FESB Split 2. Dr. sc. Željan Lozina, red. prof. mentor, FESB Split 3. Dr. sc. Hinko Wolf, red. prof. član, FSB sveučilišta u Zagrebu 4. Dr. sc. Frane Vlak, izv. prof. član, FESB Split 5. Dr. sc. Damir Sedlar, doc. član, FESB Split Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije: 1. Dr. sc. Damir Vučina, red. prof. predsjednik, FESB Split 2. Dr. sc. Željan Lozina, red. prof. mentor, FESB Split 3. Dr. sc. Hinko Wolf, red. prof. član, FSB sveučilišta u Zagrebu 4. Dr. sc. Frane Vlak, izv. prof. član, FESB Split 5. Dr. sc. Damir Sedlar, doc. član, FESB Split Disertacija obranjena dana: 19. travnja, v

6

7 DETEKCIJA MODALNIH PARAMETARA KONSTRUKCIJA PRIMJENOM VALNE TRANSFORMACIJE Sažetak Detekcija modalnih parametara primjenom kontinuirane valne transformacije opisana je u ovom radu kroz dva dijela. U prvom dijelu prikazana je teoretska pozadina vezana za samu transformacijsku metodu i teoretski dodatak iz teorije vibracija. Teorija koja se navodi neophodna je za drugi dio rada u kojem su sadržani znanstveni doprinosi. Drugi dio se fokusira na opis metoda za identifikaciju modalnih parametara kod mehaničkih sustava potkrijepljenih s analitičkim izrazima. Takav pristup doveo je do izvođenja novih izraza među kojima se mogu istaknuti: izraz koji definira granice opisane metode u detekciji modalnih parametara, zatim izraz za definiranje najboljih parametara valne funkcije preko trenutne faze u smislu frekvencijske razlučivosti valne funkcije. Pokazano je da su najbolji parametri valne funkcije upravo granični parametri frekvencijske razlučivosti valne funkcije. Svi teoretski izvodi i navodi u radu dodatno su objašnjeni na jednostavnim primjerima. Ispitivanje opisane metodologija provedeno je na simuliranim funkcijama impulsnog odziva numeričkih modela uz dodavanje grešaka u signal. Modeli su odabrani tako da opisana teorija dođe do izražaja. Sinteza navedenog postupka za detekciju modalnih parametara ostvarena je kroz identifikaciju eksperimentalnih laboratorijskih modela čiji parametri nisu unaprijed poznati. Laboratorijski modeli su konstruirani tako da kvalitativno odgovaraju numeričkim primjerima kako bi se održala dosljednost. Identifikacija kod laboratorijskih modela podrazumijeva mjerenje funkcije impulsnog odziva sustava. Rezultati modalne analize dobiveni metodom valne transformacije uspoređeni su s rezultatima dobivenim primjenom tradicionalnih metoda. Ključne riječi: Gaussova prozorska funkcija, Gaborova valna funkcija, valna transformacija, analitički signal, frekvencijski pojas, trenutna amplituda, trenutna faza, detekcija ivica, modalni parametri. vii

8

9 IDENTIFICATION OF MODAL PARAMETERS OF STRUCTURES USING THE WAVELET TRANSFORM Abstract Modal parameters identification using the continuous wavelet transform is presented generally in two parts. The first part deals with the theoretical description of the transform methodology as a tool for processing the measured signal and a very basic theoretical description of the vibration theory. This theoretical part is essential for the following part where scientific progress is achieved. The second part focuses on the detailed description and the testing of the time-frequency methodology for the modal parameter identification. All methods and statements are supplemented with analytical expressions. This led to the development of the new expressions among the following two expressions can be pointed out: the expression which defines the boundaries of the wavelet transform method for modal parameters identification; and the expression for defining the best wavelet function parameter set. All of the theoretical statements are provided with descriptive examples. Testing of the presented methodology is undertaken on simulated impulse response functions and experimentally measured impulse response functions of two 2DOF systems. Simulated signals are modified with errors on several levels. The parameters of the numerical 2DOF systems are chosen in way that the described theoretical conclusions can be tested. Experimental models are constructed in the similar way as the numerical models. The results of the modal analysis using the wavelet transform method are compared with the results obtained using the traditional methods on both, numerical and experimental examples. Key words: Gaussian window function, Gabor basic wavelet function, wavelet transform, analytical signal, frequency bandwidth, instantaneous amplitude, instantaneous phase, ridge detection, modal parameters. ix

10

11

12

13 Zahvale/posveta Mentoru prof. dr. sc. Željanu Lozini koji mi je mnogo pomogao konstruktivnim primjedbama i diskusijama. Obitelji koja mi je pružala bezuvjetnu potporu tijekom izrade ovog rada. xiii

14

15 Sadržaj Sadržaj IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODATCI... iii PODATCI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE... v Sažetak... vii Abstract... ix Sadržaj...xv Popis tablica... xvii Popis ilustracija... xxi Popis oznaka... xxix 1. Uvod Motivacija Pregled dosadašnjih istraživanja Hipoteza Opis i metodologija istraživanja Znanstveni doprinosi Pregled integralnih transformacijskih metoda Fourierova transformacija Diskretna Fourierova transformacija Hilbertova transformacija Kratkotrajna Fourierova transformacija Kontinuirana valna transformacija Kratkotrajna Fourierova transformacija Razlučivost u domeni vrijeme-frekvencija Heisembergov princip nesigurnosti Primjer 4 Višekomponentni signal Primjer 5 Višekomponentni signal Primjer 6 Hiperbolični chirp Kontinuirana valna transformacija Razlučivost VF Osnovne valne funkcije Primjer 7 karakteristika promjenjive razlučivosti kod VT xv

16 Sadržaj 4.4. Algoritmi za računanje kontinuirane valne transformacije Utjecaj rubne pojave Osnove teorije vibracija Sustav s jednim stupnjem slobode (SDOF) Sustavi s više stupnjeva slobode Modalna analiza Valna transformacija i modalni parametri Valna transformacija sustava s jednim stupnjem slobode Utjecaj koeficijenta širine prozora i prigušenja sustava na valne koeficijente Valna transformacija sustava s više stupnjeva slobode Ekstremne vrijednosti skalograma Detekcija modalnih parametara Numerički primjeri Sustav s dva stupnja slobode slabo spregnut Sustav s dva stupnja slobode jako spregnut Eksperimentalni primjeri Sustav s dva stupnja slobode slabo spregnut Sustav s dva stupnja slobode jako spregnut Zaključak Popis literature Prilog 1 Norma funkcije Prilog 2 Integral Gussove funkcije Prilog 3 Norma Gaborove valne funkcije Životopis Curriculum vitae xvi

17 Popis tablica Popis tablica Tablica 1 Raspored uzoraka u frekvencijskom području Tablica 2 Utjecaj koeficijenta p na oblik VF za različita područja skale s Tablica 3 Parametri osnovnih VF Tabela 4 Izračunate logaritamske vrijednosti za različite vrijednosti kvocijenta Tablica 5 Referentne vrijednosti modalnih parametara slabo spregnutog sustava Tablica 6 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice Tablica 7 Iznosi formi za različite razine šuma 1. slučaja Tablica 8 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 1 Tablica 9 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m Tablica 10 rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 11 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 12 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice Tablica 13 Iznosi formi za različite razine šuma 2. slučaja Tablica 14 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 2 Tablica 15 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT prigušenje Ns/m Tablica 16 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 17 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 18 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze ivice (PM) Tablica 19 Iznosi formi za različite razine šuma 3. slučaja Tablica 20 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 3 Tablica 21 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m Tablica 22 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 23 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 24 Referentne vrijednosti modalnih parametara jako spregnutog sustava Tablica 25 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice Tablica 26 Iznosi formi za različite razine šuma 1. slučaja xvii

18 Popis tablica Tablica 27 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 2 Tablica 28 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m Tablica 29 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 30 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 31 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice Tablica 32 Iznosi formi za različite razine šuma 2. slučaja Tablica 33 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 2 Tablica 34 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m Tablica 35 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 36 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 37 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice i trenutne faze ivice za treći slučaj Tablica 38 iznosi formi za različite razine šuma 3. slučaja Tablica 39 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 3 Tablica 40 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m Tablica 41 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 42 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s Tablica 43 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice slabo spregnutog lab. modela Tablica 44 Iznosi formi slabo spregnutog laboratorijskog modela Tablica 45 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja slabo spregnutog laboratorijskog modela Tablica 46 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT slabo spregnutog lab. modela Tablica 47 Rezultati detekcije primjenom komercijalnog softvera na slabo spregnuti lab. model Tablica 48 Sveukupni prikaz rezultata identifikacije jako spregnutog lab. modela Tabela 49 Statistički prikaz međusobnog odstupanja identificiranih rezultata Tablica 50 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice i trenutne faze ivice jako spregnutog lab. modela Tablica 51 Iznosi formi jako spregnutog laboratorijskog modela Tablica 52 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja jako spregnutog laboratorijskog modela xviii

19 Popis tablica Tablica 53 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT jako spregnutog lab. modela Tabela 54 Rezultati detekcije primjenom komercijalnog softvera na jako spregnuti lab. model Tablica 55 Iznosi formi dobiveni korištenjem komercijalnog softvera i različite metodologije Tablica 56 Sveukupni prikaz rezultata identifikacije jako spregnutog lab. modela Tabela 57 Statistički prikaz međusobnog odstupanja identificiranih rezultata xix

20

21 Popis ilustracija Popis ilustracija Slika 1 Odziv slobodnog, prigušenog sustava s jednim stupnjem slobode Slika 2 Usporedni prikaz realnog slika (a) i analitičkog signala slika (b). Na slici (a) oznaka f prikazuje frekvenciju (kutnu brzinu) rotirajućeg vektora Slika 3 Prostorni prikaz odziva sustava s jednim stupnjem slobode transformiranog u analitički signal Slika 4 Ovisnost razlučivosti vremena i frekvencije za različite vrijednosti parametra širine prozora Slika 5 Transformacija višekomponentnog signala primjenom kratkotrajne Fourierove transformacije za različite vrijednosti parametra širine prozorske funkcije. Slika (a) prikazuje transformaciju signala sa, a slika (b) sa Slika 6 Transformacija više komponentnog signala u domenu vrijeme-frekvencija Slika 7 Transformacija hiperboličnog chirpa. Slika (a) predstavlja transformaciju signala sa širim prozorom u vremenskome području, (b) sa užim prozorom u vremenskome području Slika 8 Primjer Gaborove osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu. Crvena linija predstavlja harmonijsku funkciju u vremenskom području, zelena linija prozorsku funkciju u vremenskom području, plava linija predstavlja valnu funkciju. Slika 9 Primjer General Harmonic osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu. Crvena linija predstavlja harmonijsku funkciju u vremenskom području, zelena linija prozorsku funkciju u vremenskom području, plava linija predstavlja valnu funkciju. Slika 10 Primjer Cauchy osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu. Slika 11 Prozori u domeni vrijeme frekvencija na primjeru Gaborove funkcije Slika 12 Rezultat konvolucije signala i osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu Slika 13 Problem kružne konvolucije kod konvolucije signala u frekvencijskome području. Na slici (a) plavom linijom prikazana je FT signala, a crvenom linijom valna funkcija; na slici (b) prikazan je umnožak signala i valne funkcije; slika (c) prikazuje inverznu FT od signala sa slike (b) Slika 14 Rezultati konvolucije u frekvencijskome području za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu 2, (b) na skalu 4. Na prvom dijagramu slike (a) i (b) plava linija predstavlja FT valne funkcije, a crvena linija FT signala. Drugi dijagram predstavlja rezultat konvolucije u frekvencijskom području, a treći valne koeficijente dobivene obrnutom FT xxi

22 Popis ilustracija Slika 15 Valna transformacija hiperboličnog chirpa. Slika (a) VT primjenom Gaborove osnovne VF, slika (b) VT primjenom Cauchyjeve osnovne VF Slika 16 Prikaz prozorske funkcije (osnovne valne funkcije) pri rubu signala Slika 17 Sustav s jednim stupnjem slobode Slika 18 Shematski prikaz sustava s dva stupnja slobode Slika 19 Shematski prikaz sustava s n stupnja slobode Slika 20 Shematski prikaz modela crne kutije Slika 21 Odziv sustava s jednim stupnjem slobode Slika 22 Analitički skalogram odziva sustava s jednim stupnjem slobode za dvije vrijednosti koeficijenta širine prozora. Slika (a) prikazuje skalogram za, slika (b) prikazuje skalogram za Slika 23 Valna transformacija sustava s jednim stupnjem slobode s koeficijentom širine prozora nedopuštenog iznosa Slika 24 Utjecaj koeficijenta širine prozora i koeficijenta relativnog prigušenja na ekstremnu vrijednost skale. Koeficijent je prikazan na osi z u obliku. Slika (a) prikazuje ovisnost na linearnoj skali, a slika (b) prikazuje ovisnost na logaritamskoj skali. Crvenom bojom istaknuto je područje za što odgovara vrijednosti koeficijenta za Slika 25 Vremenski odzivi sustava s jednim stupnjem slobode za različite vrijednosti koeficijenta relativnog prigušenja Slika 26 Frekvencijski pojas valne funkcije Slika 27 Skalogram dobiven iz analitičkog izraza za odziv sustava s dva stupnja slobode. Slika (a) prikazuje skalogram za vrijednost, slika (b) prikazuje skalogram za vrijednost Slika 28 Primjer ivice određen metodom presjeka. Slika (a) predstavlja čitav skalogram s ivicom označenom bijelom linijom, na slici (b) prikazani su izdvojeni valni koeficijenti koji leže na ivici Slika 29 Primjer ivice određen amplitudnom metodom direktnog traženja. Slika (a) predstavlja skalogram na kojem je s bijelom linijom označena ivica, na slici (b) prikazani su izdvojeni valni koeficijenti koji leže na ivici Slika 30 Faza valne transformacije na primjeru sustava s jednim stupnjem slobode iz primjera 13 Slika 31 Usporedni prikaz derivacije faze valne transformacije po vremenu i derivacije faze valne funkcije po vremenu Slika 32 Slika (a) presjek derivacija faze valnih koeficijenata i faze valne funkcije, slika (b) izdvojeni valni koeficijenti koji leže na ivici xxii

23 Popis ilustracija Slika 33 Slika (a) logaritam trenutne amplitude, slika (b) trenutna faza odziva sustava jednog stupnja slobode iz primjera 13. Plava linije predstavlja detektiranu trenutnu amplitudu i trenutnu fazu ivice, dok crvena linija predstavlja prilagođeni polinom Slika 34 Valna funkcija u vremenskom i frekvencijskom području za različite vrijednosti parametara i za kružnu frekvenciju rad/s. Crvena linija predstavlja harmonijsku funkciju u vremenskom području, zelena linija prozorsku funkciju u vremenskom području, plava linija predstavlja valnu funkciju. Slika 35 Usporedni prikaz signala odziva sustava s jednim stupnjem slobode (plava linija) i valne funkcije (zelena linija) za dva različita parametra širine valne funkcije. Slika (a) za parametar, slika (b) za parametar Slika 36 Grafički prikaz jednadžbe s crnim punim linijama označena je nul-točka. Slika 37 Skalogrami odziva obiju masa. (a) odziv, (b) odziv Slika 38 Ivice i trenutne faze na osnovu kojih se određuju forme. Na slici (a) i (b) usporedno su prikazane ivice i trenutne faze koje odgovaraju prvoj vlastitoj frekvenciji. Plava linija odgovara odzivu prve mase, dok crvena crtkana linija odgovara odzivu druge mase. Na slici se može uočiti gotovo savršeno preklapanje linija. Na slikama (c) i (d) s jednakim postavom linija, dan je prikaz za drugu vlastitu frekvenciju. Na slici (d) može se uočiti kako su trenutne faze paralelne i razmaknute Slika 39 Usporedni prikaz iznosa forme slika (a), slika (b) razlika faze. Indeksi plave linije:, ; indeksi crvene linije, Slika 40 Usporedni prikaz iznosa forme slika (a), slika (b) razlika faze. Indeksi plave linije:, ; indeksi crvene linije, Slika 41 Simulirani odziv sustava za slučaj prigušenja Ns/m. Slika (a) prikazuje funkciju impulsnog odziva za obje mase, a slika (b) iznos prijenosne funkcije sustava za obije mase Slika 42 Primjer generiranog šuma (crvena linija) za zadani odnos od 12dB spram signala (plava linija) Slika 43 Derivacija trenutne faze ivice na prvoj vlastitoj frekvenciji za različite veličine prozorske funkcije Slika 44 Valne funkcija centrirana na prvoj i drugoj vlastitoj frekvenciji za iznos koeficijenta. Plavom linijom prikazana je umanjena prijenosna funkcija odziva prve mase iz primjera, zelenom debelom linijom prikazana je valna funkcija, s crvenom i ljubičastom linijom prikazane su granične vrijednosti frekvencijskog pojasa valne funkcije na centralnim frekvencijama Slika 45 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 12dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba xxiii

24 Popis ilustracija Slika 46 Ovojnica i trenutna faza ivice, detektirane metodom presjeka za obije mase za razinu signal-šum 24dB. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice uporabljen za detekciju Slika 47 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Slika 48 Slika (a) 3D mapa detektiranih vrijednosti koeficijenta relativnog prigušenja za različite vrijednosti parametara i. Slika (b) vrijednost koeficijenta relativnog prigušenja usrednjenu po varijabli plava linija. Crvenom crtkanom linijom prikazana je vrijednost standardnog odstupanja od srednje vrijednosti, dok je crnom linijom označena ona vrijednost koeficijenta relativnog prigušenja s najmanjim odstupanjem od srednje vrijednosti Slika 49 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 50 Slika (a) usporedni prikaz trenutne faze pomaka (crvena linija) i trenutne faze brzine (plava linija). Na slici (b) plavom linijom je prikazan kosinus vrijednosti razlika dviju trenutnih fazi Slika 51 identificirani koeficijent relativnog prigušenja u ovisnosti o promjeni granice prozora detekcije zelena linija u usporednom prikazu s odgovarajućom razlikom koeficijenata pravaca plava linija. Crnom vertikalnom linijom prikazana je najmanja razlika koeficijenata pravaca u na kojoj se nalazi identificirana vrijednost Slika 52 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Slika 53 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 12dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 54 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 12dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 55 Ovojnica i trenutna faza ivice, detektirane metodom presjeka za obije mase za razinu signal-šum 12dB. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju. Slika 56 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Slika 57 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja xxiv

25 Popis ilustracija Slika 58 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Slika 59 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 6dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu. Slika 60 Skalograme funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 6dB. Slika (a) prikazuje skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 61 Ovojnica i trenutna faza ivice, detektirane metodom presjeka za obije mase za razinu signal-šum 6dB. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju Slika 62 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Slika 63 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 64 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Slika 65 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 24dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 66 Usporedni prikaz rezultata detekcije slabo spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Slika 67 Usporedni prikaz rezultata detekcije slabo spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Slika 68 Usporedni prikaz rezultata detekcije slabo spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Slika 69 Simulirani odziv sustava za slučaj prigušenja Ns/m. Slika (a) prikazuje funkciju impulsnog odziva za obije mase, a slika (b) prijenosnu funkciju sustava za obije mase xxv

26 Popis ilustracija Slika 70 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 24dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 71 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Slika 72 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 73 rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Slika 74 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 12dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 75 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 12dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 76 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Slika 77 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 78 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Slika 79 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 6dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 80 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 6dB. Slika (a) prikazuje skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 81 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Slika 82 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 83 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj xxvi

27 Popis ilustracija vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Slika 84 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 24dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 85 Usporedni prikaz rezultata detekcije jako spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Slika 86 Usporedni prikaz rezultata detekcije jako spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Slika 87 Usporedni prikaz rezultata detekcije jako spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Slika 88 Laboratorijski model sustava s dva stupnja slobode slabo spregnut Slika 89 Slika (a) funkcija impulsnog odziva laboratorijskog modela, slika (b) iznos prijenosne funkcije Slika 90 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obje mase slabo spregnutog laboratorijskog modela. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 91 Ovojnica i trenutna faza detektirane ivice metodom presjeka za obije mase. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju Slika 92 Forme vibriranja sustava Slika 93 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 94 Prigušenje sustava određeno primjenom jednadžbe Slika 95 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plavo) i prilagođene (crveno) primjenom ModalView softvera Slika 96 Plavom linijom prikazana je izvorna funkcija impulskog odziva, crvenom crtkanom linijom prikazana funkcija impulsnog odziva generirana primjenom metode OKID- ERA. Slika (a) odnosi se na prvu masu, a slika (b) na drugu masu Slika 97 Rezultatati identifikacije na eksperimentalnom modelu s razmaknutim frekvencijama primjenom svih metoda. Koeficijent relativnog prigušenja izražen je u postotcima. Slika 98 Laboratorijski model sustava s dva stupnja slobode jako spregnut Slika 99 Vezivanje elektromagnetskog treskala na model Slika 100 prikazuje rezultate mjerenja jako spregnutog laboratorijskog modela. Slika (a) prikazuje funkciju impulsnog odziva, slika (b) prikazuje iznose prijenosne funkcije. xxvii

28 Popis ilustracija Slika 101 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase jako spregnutog laboratorijskog modela. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Slika 102 Ovojnica i trenutna faza detektirane ivice metodom presjeka za obije mase. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju Slika 103 Forme vibriranja sustava Slika 104 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Slika 105 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) i prilagođene prijenosne funkcije (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 106 Iznosi i faze izvorne prijenosne funkcije (plava linija) i prijenosne funkcije generirane primjenom ERA-OKID metode (crvena linija). Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu Slika 107 Rezultatati identifikacije na eksperimentalnom modelu s bliskim frekvencijama primjenom svih metoda. Koeficijent relativnog prigušenja izražen je u postotcima. Slika 108 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava identificiran svim metodama. Plava linija valna transformacija, crvena linija ME'Scope, ljubičasta ModalView-LSCE, plavičasta ModalView-RFP, zelena OKID-ERA Slika 109 Zatvorena krivulja po kojoj se računa kompleksni integral u kompleksnoj ravnini xxviii

29 Popis oznaka Popis oznaka Koeficijent prigušenja, Heisembergova konstanta Funkcija u vremenskom području, frekvencija u Hz Funkcija u frekvencijskom području Frekvencija uzorkovanja Nyquistova frekvencija Frekvencijski razmak u Hz Funkcija u vremenskom području, prozorska funkcija Funkcija u frekvencijskom području, prozorska funkcija u frekv. području Koeficijent krutosti sustava,konstanta intenziteta rubne pojave, broj ciklusa valne funkcije Masa Eksponent Cauchijeve valne funkcije, koeficijent širine valne funkcije Koeficijent normiranja valne funkcije Koeficijent umnoška koeficijenta širine prozora i modulacijske frekvencije Skala funkcije, parametar u Laplaceovom području Vrijeme Srednja vrijednost prozorske funkcije u vremenskom području Vremenski razmak, razmak između dva uzorka Pomak funkcije u vremenkom području Signal šuma Signal pomaka, pomak Signal brzine, brzina Signal ubrzanja, ubrzanje Hilbertova transformacija signala Signal u frekvencijskom području Signal pomaka u vremenskom području, kvocijent najveće amplitude valne funkcije Iznos kvocijenta za reznu frekvenciju Signal u frekvencijskom području Amplituda, trenutna amplituda Iznos konstante dopustivog uvjeta Rezna frekvencija valne funkcije u odnosu na najveći iznos amplitude valne funkcije izražena u db Broj uzoraka, oktava Kvadrat vrijednosti skalograma signala primjenom valne funkcije xxix

30 Konstanta kvalitete filtra, modalna konstanta Radijus utjecaja rubne pojave Vremensko trajanje Vremensko trajanje signala Vremenska dužina valne funkcije Valna transformacija signala ( ) Analitički signal u vremenskom području ( ) Analitički signal u vremenskom području { } Fourierova transformacija od primjenom valne funkcije ( ) Gaborova transformacija signala sa širinom prozorske funkcije { } Hilbertova transformacija od Vektor pomaka Vektor brzine Vektor ubrzanja Matrica prigušenja Vektor opterećenja ( ) Matrica prijenosne funkcije sustava Matrica krutosti Matrica masa Opći koeficijent širine prozorske funkcije Konstanta proporcionalnog prigušenja uz matricu masa Konstanta proporcionalnog prigušenja uz matricu krutosti Fazni kut, Diracova funkcija Koeficijent greške skale Koeficijent relativnog prigušenja Modulacijska frekvencija valne funkcije Pol sustava Pomak u modalnom prostoru Brzina u modalnom prostoru Koeficijent širine prozorske funkcije Popis oznaka Standardno odstupanje prozorske funkcije od srednje vrijednosti u vremenskom području Standardno odstupanje prozorske funkcije od srednje vrijednosti u frekvencijskom području Standardno odstupanje signala šuma Standardno odstupanje signala od srednje vrijednosti od srednje vrijednosti Standardno odstupanje valne funkcije od srednje vrijednosti u vremenskom xxx

31 Popis oznaka području Standardno odstupanje valne funkcije od srednje vrijednosti u frekvencijskom području Trenutna faza Fazni kut Valna funkcija u vremenskom području Valna funkcija u frekvencijskom području Kružna frekvencija Prigušena vlastita frekvencija Neprigušena vlastita frekvencija Rezna frekvencija valne funkcije Srednja vrijednost prozorske funkcije u frekvencijskom području Faza valne transformacije signala Vektor pomaka u modalnom prostoru Vektor formi Matrica svojstvenih vrijednosti primjenom valne funkcije xxxi

32

33 Uvod 1. Uvod 1.1. Motivacija Razumijevanje i kontrola vibracija u eksploataciji konstrukcija zasniva se na eksperimentalnoj dinamičkoj analizi. Vibracije konstrukcija danas predstavljaju važan aspekt u projektiranju strojeva i konstrukcija. Tako primjerice konstrukcije poput rotora turbina pa sve do mostova čiji je strukturni integritet jako važan zahtijevaju precizno poznavanje njihovih dinamičkih karakteristika. Postoje brojne konstrukcije sastavljene od različitih komponenti kod kojih vibracije mogu direktno utjecati na njihove performanse. To može biti uzrok otkazivanja u radu primjerice kod strojeva koji se trajno koriste u radu, poremećaja u radu, utjecaj na komfor, stvaranje buke i dr. Upravo da bi se izbjegle nepoželjne pojave u radu uzrokovane vibracijama vrlo je važno predvidjeti razine vibracija koje se mogu javiti tijekom rada kako bi se svele unutar dopuštenih granica. Tako se kod mjerenja vibracija mogu razlikovati dva pristupa. U prvom pristupu mjere se sila i odziv (što je češće) stroja ili konstrukcije u radu. Drugi pristup se zasniva na mjerenju sila i odziva tako da se stroj ili konstrukcija pobuđuje poznatom silom kada objekt mjerenja nije u radu pa čak u određenim slučajevima kada nije ni u radnoj okolini. Ovim pristupom dobivaju se precizniji i detaljniji rezultati u odnosu na prethodni. Ovaj način ispitivanja podrazumijeva mjerenje signala vibracija i njegovu analizu i taj postupak se naziva modalnom analizom. Osnovni zahtjevi kod modalne analize mogu se podijeliti na tri komponente: a) teorijska podloga iz područja vibracija, b) precizno mjerenje vibracija i c) detaljna analiza podataka. U ovom radu zastupljenije su sve tri komponente, no doprinos je ostvaren u dijelu detaljne analize podataka. Analiza se vrši nad izmjerenim signalima vibriranja sustava sa svrhom identifikacije parametara kojima bi se sustav trebao opisati jednoznačno. Iz izmjerenog vibracijskog signala je moguće posebnim tehnikama, koje se razvijaju proteklih trideset godina, saznati nešto više o mehaničkom sustavu koji se analizira. Bilo bi idealno iz izmjerenog signala detektirati parametre matematičkih modela kojima se mehanički sustavi opisuju, a to su: masa, krutost i prigušenje. To još uvijek nije moguće odrediti s velikom pouzdanošću, ali zato je moguće iz signala vibriranja sustava detektirati parametre kao što su: vlastite frekvencije, koeficijenti relativnog prigušenja i forme vibriranja. To su modalni parametri i detekcijom istih mehanički sustav se smatra identificiranim. Detekcija modalnih parametara, a naročito koeficijenata relativnog prigušenja, podložna je raznim utjecajima na signal iz kojeg se identifikacija vrši. Utjecaji koji unose grešku u detekciju su: šum u signalu, greške tijekom mjerenja, loša pobuda, itd. Zato su razvijene različite tehnike pomoću kojih se modalni parametri detektiraju, a mogu se podijeliti u tri grupe ovisno o domeni signala u kojoj se analiza vrši. Tako postoje metode u vremenskom području, frekvencijskome području i u novije vrijeme metode razvijene u domeni vrijeme-frekvencija. Prve dvije grupe smatraju se tradicionalnim metodama, a koriste se u praksi (naročito u avioindustriji) i u 1

34 Uvod komercijalnim softverima (Modalview, ME Scope). Treća grupa temelji se na identifikaciji sustava primjenom valne transformacije (VT) signala (eng. Wavelet transform). Valna transformacija najviše se koristi u obradi slike i signala u telekomunikacijama, gdje se razvija duže od dvadeset godina. Primjena valne transformacije u identifikaciji mehaničkih sustava razvija se tek posljednjih desetak godina. Značajan napredak na tom polju je ostvaren, no detaljna razrada samog postupka identifikacije, potkrijepljena analitičkim izrazima, kao i usporedba s tradicionalnim metodama još uvijek nisu u potpunosti napravljene. To su glavne smjernice na kojima se temelji motivacija za izradu ovog rada Pregled dosadašnjih istraživanja Pregled dosadašnjih istraživanja dan je opisom radova vezanih uz istraživačko područje ovog rada: M. Feldman [1]: kompletan prikaz postupaka detekcije ovojnice i obrade signala primjenom Hilbertove transformacije (HT). Dan je temeljit prikaz te analiza raznih tipova signala: uskopojasnih, širokopojasnih, jednokomponentnih te višekomponentnih signala. Radom je obuhvaćena i detekcija sustava s više stupnjeva slobode s naglaskom na nelinearne sustave. Primjena HT na detekciju komponenti u siglanu kod rotirajućih strojeva s primjerima iz prakse također je obuhvaćena ovim radom. D. Gabor [2]: ovo je temeljni rad u kojem je predstavljena primjena Gaussove prozorske funkcije za postizanje vremenske lokalizacije signala primjenom Fourierove transformacije (FT). U radu se navodi i prikaz analitičkih signala preko Hilbertove transformacije. M. Ruzzene i dr. [3]: članak daje usporedbu korištenja kontinuirane valne transformacije za identifikaciju sustava iz slobodnog odziva sa starijim tehnikama (primjenom Hilbertove transformacije). Istaknute su prednosti primjene valne transformacije spram Hilbertove transformacije. Točnost primijenjene metode ispitana je na numeričkom i eksperimentalnom primjeru. Eksperimentalni primjer obuhvaća odzive na pobudu okoline i rezultati dobivenih prigušenja uspoređeni su s rezultatima dobivenim drugim tehnikama. W. J. Staszewski [4]: rad predstavlja primjenu valne transformacije na impulsni odziv mehaničkog sustava s više stupnjeva slobode sa svrhom identifikacije vlastitih frekvencija i relativnog viskoznog prigušenja. Predstavljene su tri tehnike za identifikaciju modalnih parametara iz koeficijenata valne transformacije, a to su: metoda presjeka, metoda rekonstrukcije impulsnog odziva pojedinog stupnja slobode zasnovana na filtriranju u domeni vrijeme-frekvencija i metoda detekcije ivica valne transformacije. Metode su primijenjene na numerički simuliranim sustavima. 2

35 Uvod T. P. Le i dr. [5]: rad obrađuje tematiku identifikacije mehaničkih sustava primjenom kontinuirane valne transformacije na odziv slobodnog sustava. Rad se posebno osvrće na problematiku utjecaja efekta ruba i odabira adekvatnih vrijednosti lokalizacijskih parametara valnih funkcija. Radom su obuhvaćene tri kompleksne valne funkcije (VF), čija je primjena dana na identifikaciju diskretnih mehaničkih sustava s prigušenjem. J. Slavič i dr. [6]: studija u ovom radu posebno se osvrće na opis trenutne razine signal-šum, utjecaj ruba kod kontinuirane valne transformacije, pomak frekvencije kod korištenja Gaborove valne funkcije i odabir koeficijenta širine prozorske funkcije u svrhu namještanja frekvencijskog pojasa valne funkcije. Radom je prikazana prednost primjene amplitudne i fazne metode u detekciji ivica valne transformacije, s mogućnošću automatizacije identifikacijskog postupka. I. Simonovski i dr. [7]: članak razrađuje karakteristike valnih funkcija, kao što su norma i varijanca funkcija u vremenskoj i frekvencijskoj domeni, koje se koriste u primjeni kontinuirane valne transformacije diskretnih signala. Razrađena je problematika odabira lokalizacijskih parametara valnih funkcija i njihov utjecaj na osnovne uvjete valne transformacije te njihova veza s frekvencijom uzorkovanja signala i valne funkcije. T. P. Le i dr. [8]: obrađuju tematiku detekcije modalnih parametara mehaničkih sustava primjenom kontinuirane valne transformacije na odziv slobodnog sustava. Poseban osvrt dan je na problematiku utjecaja efekta ruba i odabira adekvatne vrijednosti lokalizacijskih parametara valnih funkcija. Rad se temelji na korištenju Cauchy valne funkcije te je dana usporedba s dvije kompleksne valne funkcije (Gabor i General Harmonic), koje se primjenjuju za identifikaciju diskretnih mehaničkih sustava s proporcionalnim modelom prigušenja. M. Boltežar i dr. [9]: rad predstavlja tri nove metode za korekciju utjecaja ruba: metodu zrcaljenja prozora, metodu jednake površine prozora, metodu adaptivne valne funkcije. Metode su ugrađene u samu definiciju valne transformacije i provjerene su na eksperimentalnim rezultatima. Rezultatima je pokazano kako primjena ovih metoda omogućuje detekciju prigušenja na do tri puta kraćim signalima s jednakom pouzdanošću kao i kod detekcije primjenom klasičnog postupka kontinuirane VT. S. Erlicher i dr. [10]: tema rada je primjena valne transformacije na identifikaciju mehaničkih sustava s neproporcionalnim prigušenjem iz odziva sustava bez prisilne uzbude. Radom su detaljno obuhvaćeni svi postupci potrebni za identifikaciju mehaničkih sustava upotrebom Cauchijeve VF. Fokus rada je modalna identifikacija jako prigušenih mehaničkih sustava ( ). 3

36 Uvod Shyh-Leh Chen i dr. [11]: studija razrađuje detekciju vlastitih frekvencija i linearnog strukturnog prigušenja sustava primjenom Morlet valne funkcije. Analitičkim izrazima opisan je postupak identifikacije primjenom valne transformacije. Pokazana je primjena na jedno i više stupanjske sustave kao i lako i jako prigušene, s osvrtom na odabir parametara valne transformacije. Radom je prikazan generalni okvir za odabir parametara valne transformacije. J. Slavič i M. Boltežar [12]: članak predstavlja novu metodu za detekciju viskoznog prigušenja koju naziva metoda Morlet-val (eng. Morlet wave method). U izračunu se koristi određeni integral sličan u primjeni kontinuirane valne transformacije. Ovu metodu odlikuje izuzetna brzina postupka detekcije. Umjesto da se računaju koeficijenti valne transformacije signala u dvije dimenzije, potrebno je samo dva puta izračunati konačni integral za istu točku vrijeme-frekvencija, promjenom parametara integracije. Radom je obuhvaćena detaljna matematička pozadina. Osnovna prednost ove metode jest otpornost na utjecaj efekta ruba. T. P. Le [13]: rad daje proširenje primjene valne transformacije kod detekcije modalnih parametara konstrukcija. Glavna razlika u odnosu na prethodne radove svodi se na izvor pobude konstrukcije. Pobuda konstrukcije ostvarena je prostornim šumom. Rad obuhvaća detaljnu analizu za identifikaciju modalnih parametara primjenom valne transformacije za ovaj tip uzbude. I. Tomac i dr. [14]: u radu je prikazana identifikacija već postojećim metodama za detekciju koeficijenta relativnog prigušenja i vlastitih frekvencija kod sustava s ne proporcionalnim prigušenjem. Radom je obuhvaćena detekcija na primjerima kod kojih je odziv sustava simuliran i opterećen greškama u signalu te eksperimentalnim primjerima. Literatura [15] [21]: obuhvaća knjige iz područja valne transformacije u kojima je objašnjena kompletna matematička pozadina. Medu navedenom literaturom nalazi se i knjiga u kojoj je detaljno objašnjena Fourierova transformacija, zatim knjiga s praktičnim objašnjenjima digitalne obrade signala. Literatura [22] [30]: prikazuje šire područje primjene valne transformacije. Tako su predstavljeni radovi iz područja građevine, meteorologije, teorije signala, strojarstva kod detekcije grešaka na strojevima, dr. 4

37 Uvod Literatura [31] [40]: odnosi se na eksperimentalnu modalnu analizu u vremenskom području. Metodologija se zasniva na ARX/ARMA modelima koji se temelje na signalu u vremenskom području. Među opisanim metodama obuhvaćene su: ITD (eng. Ibrahim Time Domain), LSCE (eng. Least Square Complex Exponential) i OKID-ERA (eng. minimum Eigensystem Realisation Algorithm). Literatura [41] [49]: opisane su metode koje identifikaciju vrše iz prijenosne funkcije sustava. Osnovna tehnika ovih metoda je prilagođavanje kriterijem najmanjih kvadrata (eng. Least Square) polinoma prijenosne funkcije na izmjerenu prijenosu funkciju. Literaturom su obuhvaćene metode: RFP (eng. Rational Fraction Polynomial), CEFD (eng. Complex Exponential Frequency Domain), LSFD (eng. Least Square Frequency Domain), OP (eng. Ortogonal Polynomial). U literaturi se nalaze i korisničke upute komercijalnog softvera ME'Scope i ModalView Hipoteza Primjenom metodologije za detekciju modalnih parametara kod mehaničkih konstrukcija, zasnovanoj na valnoj transformaciji funkcije impulsnog odziva, na različitim numeričkim i eksperimentalnim primjerima te usporedbom dobivenih rezultata s rezultatima detekcije dobivenima primjenom tradicionalnih identifikacijskih metoda, dokazat će se pouzdanost predložene metodologije kao alata za identifikaciju mehaničkih sustava Opis i metodologija istraživanja Ovaj rad sastoji se od ukupno devet poglavlja i tri priloga. Izuzevši uvod i zaključak, rad je koncipiran tako da se kroz poglavlja 2 5 teorijski opišu područja na koja se naslanja analiza navedene problematike. Ta poglavlja čine ujedno i prvi dio doktorske disertacije. U 2. poglavlju osim kratkog pregleda transformacijskih metoda prikazan je opis Hilbertove transformacije gdje je predstavljen koncept prikazivanja signala preko njegove ovojnice (trenutne amplitude) i trenutne faze. Također, uveden je i na primjeru objašnjen koncept analitičkog signala. Razlog tome je što se detekcija modalnih parametara primjenom kontinuirane valne transformacije bazira na konceptu analitičkog signala. Obično se u literaturi prije definicije kontinuirane valne transformacije prvo objasni kratkotrajna Fourierova transformacija koja je i u ovom radu prikazana u 3. poglavlju. U opisu kratkotrajne FT uvedena je prozorska funkcije s pomoću koje se ostvaruje vremenska lokalizacija s fokusom na Gaussovu funkciju. Kroz lokalizaciju u domeni vrijeme-frekvencija objašnjen je i Heisembergov princip nesigurnosti te su definirane veličine preko kojih se izražavaju okviri prozorskih funkcija. Teorijska objašnjenja potkrijepljena su jednostavnim primjerima u kojima je prikazana i primjena navedene transformacijske metode na višekomponentne signale sa sporo mijenjajućim komponentama. Poglavlje završava s primjerom u kojem je prikazan signal s brzo mijenjajućom frekvencijskom komponentom. Taj primjer predstavlja problem kratkotrajnoj FT nakon kojeg se kroz 4. poglavlje uvodi 5

38 Uvod kontinuirana valna transformacija. Kontinuirana valna transformacija predstavlja nadogradnju prethodno opisane transformacijske metode uvođenjem valne funkcije. Uz parametar pomaka valne funkcije objašnjen je novi parametar koji je karakterističan za ovu transformacijsku metodu, a to je skala. Dodatno su, uz objašnjenja, navedeni uvjeti koje funkcija treba zadovoljiti da bi bila kandidat za valnu funkciju. Skaliranjem valne funkcije objašnjeno je glavno svojstvo valne transformacije, a to je promjenjiva razlučivost koja je slikovito prikazana jednostavnim primjeru. Opisane su tri valne funkcije koje se koriste u analizi vibracija s prikazom njihovih karakteristika. Također, obuhvaćen je i opis tehnika za računanje kontinuirane valne transformacije s naglaskom na teorem o konvoluciji. Poglavlje se završava s opisom nedostataka kontinuirane valne transformacije te načinima kako izbjeći navedene nedostatke. S 4. poglavljem je ujedno završen opis transformacijskih metoda. U poglavlju koje slijedi prikazani su osnovni pojmovi iz teorije vibracija. Prikazana su analitička rješenja odziva sustava s jednim i dva stupnja slobode izražena preko modalnih parametara. Dodatno su izvedeni izrazi za brzinu i ubrzanje odziva sustava s ciljem prikaza njihove međusobne ovisnosti koja će se koristiti u narednom tekstu. Teorijski opis sustava s dva stupnja slobode prikazan je koristeći proporcionalni model prigušenja koji se koristi u čitavom radu zbog čega se posebno ne ističe. Ovi jednostavni izrazi koji se navode u ovom poglavlju predstavljaju temelj na koji se naslanja sljedeće poglavlje (6) u kojemu se detaljno razrađuje odnos između modalnih parametara i valne transformacije. Poglavlje 6 temelji se na teorijskom opisu valne transformacije i modalnih parametara kod sustava s jednim i više stupnjeva slobode. Detaljno je razrađen izvod analitičkog izraza za valnu transformaciju sustava s jednim stupnjem slobode. Ovaj izvod temelji se na izvodu koji je Chen i dr. [11] napravio primjenom Morlet valne funkcije. Ovdje je taj izvod proširen primjenom Gaborove valne funkcije. Gaborova valna funkcija uvodi parametar kojim se upravlja s frekvencijskom razlučivošću valne transformacije. Ovim izvodom dodatno su precizirana i kvantificirana ograničenja kod odabira parametara Gaborove valne funkcije što u dostupnoj literaturi nije prikazano. Ograničenja su osim na parametre valne funkcije proširena i na parametre sustava tj. koeficijenta relativnog prigušenja što je prikazano analitičkom izrazu koji je ovdje izveden. Sada se jasno može kazati za koju se klasu prigušenih sustava valna transformacija može pouzdano primijeniti u svrhu detekcije modalnih parametara. Proširenje analitičkog izraza za VT sustava s jednim stupnjem slobode na sustave s više sloboda kvantificiran je frekvencijski pojas valne funkcije spram ekstremne vrijednosti valne funkcije. Na primjeru je prikazana transformacije sustava s dva stupnja slobode s dobrom i lošem frekvencijskom razlučivošću. Modalni parametri se detektiraju iz ekstremnih vrijednosti skalograma. To je glavni razlog zbog čega su prikazane već postojeće metode za detekciju ekstremnih vrijednosti (ivica) skalograma koje su u ovom radu dodatno objašnjene preko novo izvedenog analitičkog izraza. Zatim slijedi prikaz postojećih metoda pomoću kojih se modalni parametri detektiraju iz ekstremnih vrijednosti skalograma. Ovaj 6

39 Uvod rad upravo zbog izvoda analitičkog izraza za valnu transformaciju sustava s jednim stupnjem slobode pruža pregledan prikaz postojećih metoda tj. točno prikazuje iz kojeg dijela ekstremnih vrijednosti se modalni parametri detektiraju (trenutne faze, ovojnice). Metode su dodatno objašnjene analitičkim izrazima i potkrijepljene jednostavnim primjerima. U poglavlju 7 detaljno je opisana metodologija identifikacije modalnih parametara primjenom kontinuirane valne transformacije iz numerički simuliranih odziva dva sustava s dva stupnja slobode (jako spregnut i slabo spregnut). Sustavima je mijenjano prigušenje na način da je povećavano za faktor 2 i to dva puta. Simulirani odzivi opterećeni su greškama u signalu na tri razine. Simulirano je ukupno 18 odziva sustava. Korištene su tri metode za detekciju koeficijenta relativnog prigušenja. Prva metoda odnosi se na detekciju koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice koja koristi se u primjeni s kontinuiranom valnom transformacijom. Metoda za detekciju koeficijenta prigušenja iz amplitude predstavljena je od Slavič i dr. [12], ali još nije primijenjena na ovakvu grupu problema. Također u ovom radu predlaže se poboljšanje ove metode sa svrhom podizanja pouzdanosti u identificirani rezultat. Predložen je nadograđeni postupak detekcije koji nudi i mogućnost automatizacije navedene metode. Treća metoda koja detektira koeficijent relativnog prigušenja iz trenutne faze ivice u literaturi je spomenuta od Le i dr. [13], ali u navedenom radu kao i ostalim, autoru raspoloživim radovima, nije korištena. Ovdje se predlaže novi postupak detekcije koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije. U ovom poglavlju nadopunjen je izraz iz poglavlja šest pomoću kojeg se definira frekvencijski pojas valne funkcije za postizanje najbolje razlučivosti između susjednih vlastitih frekvencija, a da se pri tom što je moguće više utjecaj rubne pojave umanji. Predložen je kriterij za određivanje frekvencijske razlučivosti preko narušavanje trenutne faze ivice. U ovom radu empirijski je određena vrijednost najbolje razlučivosti valne funkcije. Detekcija modalnih parametara obavljena i primjenom komercijalnog softvera [48] i [49] te su u poglavljima i grafički prikazani svi dobiveni rezultati detekcije. Poglavlje 8 predstavlja sintezu opisanih postupaka. Korištena su dva eksperimentalna laboratorijska modela čije karakteristike kvalitativno odgovaraju numeričkim primjerima, ali parametri sustava nisu poznati. U ovom poglavlju primijenjena je sva opisana metodologija za detekciju modalnih parametara kontinuiranom valnom transformacijom. Pošto parametri sustava nisu poznati pouzdanost dobivenih rezultata ostvarena je usporedbom s rezultatima dobivenim drugim metodama, primjenom komercijalnim softverom, [48] i [49] te primjenom parametarske metode, [40]. U poglavljima i usporedno su prikazani dobiveni rezultati za oba sustava. 7

40 Uvod 1.5. Znanstveni doprinosi U ovom radu ostvareni su slijedeći znanstveni doprinosi: razvijeni su algoritmi za računanje kontinuirane valne transformacije signala s fokusom na algoritme za detekciju: vlastite frekvencije, koeficijenata relativnog prigušenja i formi vibriranja prošireni su analitički izrazi za identifikaciju mehaničkih sustava s više stupnjeva slobode primjenom kontinuirane valne transformacije. Izvedeni su novi izrazi kojima je: opisan utjecaj koeficijenta relativnog prigušenja na valne koeficijente i izraz kojim je povezana razlučivost valne funkcije i parametara valne funkcije. Predlaže se upotreba faze valne transformacije kao kriterija za određivanje najboljeg seta parametara valne funkcije obzirom na frekvencijsku razlučivost valne funkcije opisana je metodologija za detekciju modalnih parametara kod mehaničkih sustava uspoređena je s tradicionalnim metodama i komercijalnom softverom na simuliranim i eksperimentalnim modelima valorizirana je suvremena metoda za identifikaciju koeficijenta relativnog prigušenja koja još nije korištena od neovisnih autora 8

41 Pregled integralnih transformacijskih metoda 2. Pregled integralnih transformacijskih metoda U ovom poglavlju dan je pregled integralnih transformacijskih metoda na kojima se temelje postupci za identifikaciju modalnih parametara primjenom valne transfomrcije signala. Radi cjelokupnosti poglavlja dan je i kratak opis kratkotrajne Fourierove transformacije, kao i kontinuirane valne transformacije. Detaljniji opis obiju transformacijskih metoda dan je u idućem poglavlju Fourierova transformacija Fourierova transformacija sastoji se od rastavljanja uzorkovanog signala na jednostavne harmonike. Postupak je sličan projekciji vektora na koordinatne osi u Euklidovom sustavu. Dakle, ako je zadan višedimenzionalni vektor (tipično 3D) u Euklidovom prostoru tada se taj vektor može rastaviti na tri međusobno okomite komponente od kojih svakoj osi pripada pojedina projekcija tog vektora. Sličan postupak se može primijeniti na funkcije (signale). Dakle, zadan je signal koji u sebi sadrži određene frekvencijske komponente. Kako bi bilo moguće razlučiti koja od pojedinih komponenti je zastupljena u signalu, potrebno je izvršiti projekciju signala na karakterističnu funkciju koja predstavlja pojedini harmonik (frekvenciju). To je kompleksna trigonometrijska funkcija. Projekcija signala se postiže tako da se funkcije pomnože skalarno (eng. inner product) [15]. ( ) 2.1 Oznaka * na funkciji znači da se funkcija kompleksno konjugira. Treba istaknuti kako vrijednost ovog integrala za umnožak dvije ortogonalne funkcije iznosi 0, dok integral umnoška funkcije same sa sobom iznosi 1. Neka je neka periodična funkcija, umnožak funkcije s funkcijom dan je u jednadžbi 2.2: ( ) 2.2 Funkcija predstavlja projekciju funkcije za svaki, gdje predstavlja kružnu frekvenciju. Treba istaknuti kako je funkcija. Rezultat integracije naziva se Fourierovom transformacijom funkcije, odnosno prikazom funkcije u frekvencijskome području. 9

42 Pregled integralnih transformacijskih metoda 2.2. Diskretna Fourierova transformacija Kao i za funkcije, slično vrijedi i za uzorkovane signale, samo se umjesto znaka integrala koristi znak sume. ( ) ( ) 2.3 Može se uočiti kako je rezultat transformacije kompleksan broj ( ) bez obzira na to da li je ulazni signal ( ) realan ili kompleksan. Tj., svaki uzorak u frekvencijskome području ima amplitudu i fazu. Za razliku od funkcija, kod signala postoje određena ograničenja u smislu frekvencijskog raspona i frekvencijske razlučivosti. U tom smislu potrebno je navesti nekoliko osnovnih pojmova vezano za uzorkovanje signala. Osnovni parametar koji karakterizira uzorkovani signal jest brzina kojom se podatci zapisuju u digitalni oblik. Općenito, što analogni signal ima više promjena u sekundi, to je potrebna veća brzina zapisivanja uzoraka. Tako se definira brzina uzorkovanja koja prema Shannon-Nyquistovom teoremu o uzorkovanju signala treba biti barem duplo veća od najveće frekvencije koja se javlja u originalnome signalu. Jedinica brzine uzorkovanja je S/s (eng. Sample per second) ili Hz. Iz tog podatka može se izrazit, vremenski razmak između dva uzorka. 2.4 Drugi važan podatak kod uzorkovanog signala je njegova dužina trajanja, koja se može izraziti u broju uzoraka (jedinica S, eng. Sample) ili u vremenskoj jedinici, obično u sekundama. Veza između ta dva podatka ostvaruje se preko brzine uzorkovanja. Pomoću podatka o dužini trajanja signala, određuje se razlučivost u frekvencijskom području Uzorkovani signal karakterizira skup uzoraka razmaknutih za sve do uzorka. Slično se dobije transformacijom signala u frekvencijsko područje, dakle uzoraka razmaknutih za. Prvi uzorak u frekvencijskom području ( ) predstavlja srednju vrijednost vremenskog signala, koja se još naziva i DC (eng. Direct Current) komponentom. Ostali uzorci predstavljaju iznose na pojedinim frekvencijama što je detaljnije prikazano u sljedećem primjeru. 10

43 Pregled integralnih transformacijskih metoda Primjer 1 DFT Neka je zadan vremenski signal od uzoraka. Raspored uzoraka signala u frekvencijskom području prikazan je u tablici (Tablica 1). Tablica 1 Raspored uzoraka u frekvencijskom području ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DC U tablici se može uočiti da do petog uzorka frekvencija raste zatim počne opadati s negativnim predznakom. Prva polovica uzoraka signala ( ) odnosi se na pozitivni frekvencijski spektar dok se druga polovica uzoraka odnosi na negativni frekvencijski spektar. Općenito, najveća frekvencija koja se može razlučiti u signalu s 8 uzoraka je. Ta frekvencija se još naziva i Nyquistovom frekvencijom:. Pošto se realni signal (Slika 1) može prikazati u kompleksnoj ravnini preko dva vektora koji rotiraju u međusobno suprotnim smjerovima, tako pozitivni frekvencijski spektar odgovara frekvenciji onog vektora što rotira u pozitivnom smjeru, a negativni frekvencijski spektar odgovara frekvenciji onog dijela vektora što rotira u negativnom smjeru (Slika 2a). Kod realnih signala pozitivni i negativni frekvencijski spektar su jednaki pa se obično negativni dio spektra odbaci i pozitivni pomnoži s dva Hilbertova transformacija Četrdesetih godina prošlog stoljeća počeo se razvijati još jedan način za prikazivanje i analiziranje signala. Umjesto prikazom signala spektralnim linijama (FT), ovaj način podrazumijeva opis nasumičnog signala ( ) kao umnoška dvije nasumične funkcije. ( ) ( ) ( ( )) 2.7 Gdje je: ( ) amplituda, tj. ovojnica i ( ) trenutna faza. Dakle signal ( ) je moguće prikazati u obliku harmonijskih promjena moduliranih u amplitudu i fazu. [1] U to vrijeme ovojnica i trenutna faza signala prikazivani su signalima unutar xy Cartesijevog koordinatnog sustava. Dakle izvorni signal se prvo projicirao duž x-osi ( ) i zatim duž y-osi ( ). Kako su te dvije komponente signala ortogonalne tako vrijede izrazi: i ( ). Prošireni prikaz komponenti signala x i y, dan je prikazom u Fourierov red preko sume jednostavnih harmonika. Tako je ( ), dok je druga komponenta konjugirana suma Fourierovog reda, ( ). Na taj način je započeta studija moduliranog signala, ovojnice signala, trenutne faze i frekvencije signala zasnovana na Eulerovom prikazu harmonijskih funkcija, ( ) ( ) [1]. 11

44 Pregled integralnih transformacijskih metoda Dennis Gabor, mađarski znanstvenik-inženjer, godine u članku [2] daje generalizaciju Eulerovog prikaza harmonijskih funkcija u obliku kompleksne funkcije ( ) ( ) ( ) gdje je funkcija ( ) Hilbertova transformacija funkcije ( ). U teoriji obrade signala, kompleksna funkcija ( ) u ovisnosti o nezavisnoj varijabli t (vrijeme), naziva se analitičkim signalom. Funkcija ( ) naziva se kvadratura ili konjugacija izvorne funkcije ( ) [1]. Hilbertova transformacija se definira na sljedeći način. { ( )} ( ) ( ) 2.8 S obzirom da je ovo nepravi integral potrebno je uzeti u obzir i Cauchyijevu glavnu vrijednost integrala. Matematička definicija ovog integrala ne govori mnogo o HT. Fizikalno, HT se može shvatiti kao poseban slučaj linearnog filtra koji ne mijenja amplitudu signala već samo njegovu fazu koju pomiče za. HT se može još prikazati i preko konvolucije sa funkcijom ( ) [1]. ( ) ( ) ( ) 2.9 Pojam analitičkog signala podrazumijeva kompleksan signal, čija imaginarna komponenta jest HT od originalnog signala. ( ) ( ) ( ) 2.10 Bitna karakteristika analitičkog signala je jednostrani spektar pozitivnih frekvencija. Konjugirani analitički signal ima spektar negativnih frekvencija. Konverzija analitičkog signala u realan provodi se izrazom ( ) ( ( ) ( )), gdje je ( ) kompleksno konjugirani ( ). Ako se analitički signal izrazi preko polarnih koordinata dolazi se do prikladnijeg prikaza jer polarne koordinate odgovaraju veličinama: trenutne amplitude signala i trenutne faze signala. ( ) ( ) ( ) 2.11 Gdje su: ( ) ( ) ( ) trenutna amplituda ( ) ( ( ) ) trenutna faza ( ) Na idućem primjeru prikaz je analitički signal. 12

45 Pregled integralnih transformacijskih metoda Primjer 2 realni i analitički signal Neka je zadan odziv prigušenog mehaničkog sustava jednog stupnja slobode na impulsnu pobudu. Odziv takvog sustava je oblika ( ) ( ) ( ( )) i na primjeru prigušenog titranja sustava s jednim stupnjem slobode uslijed početnih uvjeta može se prikazati grafički na idućoj slici. Slika 1 Odziv slobodnog, prigušenog sustava s jednim stupnjem slobode Ovakav signal se može prikazati i u kompleksnom obliku (jed. 2.12). ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2.12 Prikaz realnog signala sa slike (Slika 1) u kompleksnoj ravnini dan je na slici (Slika 2a). (a) (b) Slika 2 Usporedni prikaz realnog slika (a) i analitičkog signala slika (b). Na slici (a) oznaka f prikazuje frekvenciju (kutnu brzinu) rotirajućeg vektora 13

46 Pregled integralnih transformacijskih metoda Primjenom HT nad zadanim signalom dobije se analitički signal iz jednadžbe Takav signal prikazan je grafički u kompleksnoj ravnini na slici (Slika 2b). Analitički signal može se prikazati i u prostornom prikazu (Slika 3). Slika 3 Prostorni prikaz odziva sustava s jednim stupnjem slobode transformiranog u analitički signal ravnini) trenutne faze fazora. Signal sa slike (Slika 2b) prikazan je preko fazora (rotirajućeg vektora u kompleksnoj ( ) koji rotira u kompleksnoj ravnini. Njegov kutni položaj određen je vrijednošću ( ). Uvođenjem pojma položaja, lako se da odrediti i srednja kutna brzina 2.13 Trenutna kutna brzina (kružna frekvencija) odgovara derivaciji trenutne faze:. Predznak brzine označava smjer rotacije fazora Kratkotrajna Fourierova transformacija Signali koji sadrže harmonijske komponente u sebi (Jed. 2.7), mogu se podijeliti na: a) one kojima se komponente trenutne amplitude i trenutne faze ne mijenjanju, b) mijenjaju se komponente, c) mijenja se samo jedna od njih. Kod signala koji imaju brzinu trenutne faze nepromijenjenu za vrijeme trajanja signala, FT je dovoljan alat za razlučivanje komponenti od kojih se sastoji signal. No, ukoliko postoje promjene brzine trenutne faze tada nije dovoljno samo imati podatak o frekvenciji, već je potrebno imati i podatak o vremenu. To je dovelo do nadogradnje klasične FT uvođenjem prozorske funkcije kojom se signal ograničava na manje vremenske intervale. FT samo jednog malog točno određenog dijela signala daje podatak o spektralnim komponentama signala unutar tog vremenskog intervala. Dakle, vremenska 14

47 Pregled integralnih transformacijskih metoda lokalizacija je dobivena uvođenjem prozorske funkcije, [2]. Kratkotrajna FT signala definirana je sa jednadžbom ( ) ( ) ( ) 2.14 gdje je ( ), prozorska funkcija koja se pomiče duž vremenske osi. Navedena transformacijska metoda ima i svoja ograničenja, no veoma je važna u opisu sljedeće transformacijske metode koja se nadograđuje na ovu, a to je kontinuirana valna transformacija signala Kontinuirana valna transformacija Ova transformacijska metoda nudi širi način opisivanja promjena unutar vremenskog signala. Metoda, jednako kao i kratkotrajna FT, jednodimenzionalni signal transformira u dvodimenzionalno područje pomaka (vrijeme) i skale (može se povezati sa frekvencijom). Širi način opisa sastoji se od uspoređivanja (projiciranja) signala s baznim funkcijama, koje su također prozorske funkcije i nazivaju se osnovnim valnim funkcijama (VF) ( ). Osnovna prednost ove transformacije je u tome što se promjenom skale osnovne VF mijenja i širina prozora zadržavajući tijekom cijelog raspona skala uvijek isti osnovni oblik bazne funkcije (primjerice jednak broj titraja). Skaliranje VF mijenja lokalizacijska svojstva funkcije u vremenu i frekvenciji. Rezultat toga jesu dobra lokalizacijska svojstva (razlučivost) u frekvenciji na nižim frekvencijama te dobra lokalizacijska svojstva u vremenu na viskom frekvencijama. Takav način opisa signala je pogodan iz razloga što se pojave na nižim frekvencijama događaju relativno sporo pa dobra razlučivost u vremenu nije potrebna za razliku od visokih frekvencija gdje je potrebna zbog većih brzina promjena u signalu. Naravno gdje je dobra lokalizacija u vremenu tu je loša u frekvenciji i obrnuto. Prikaz promjenjive razlučivosti dan je u primjeru 3 u sljedećem poglavlju. Kontinuirana valna transformacija definira se skalarnim umnoškom signala sa translatiranom i skaliranom valnom funkcijom. ( ) ( ) ( ) 2.15 gdje je kompleksna konjugirana VF. Da bi neka funkcija bila pogodna za valnu funkciju treba pripadati skupu funkcija iz Hilbertovog prostora, tj. treba biti mjerljiva, kontinuirana, treba imati definiranu drugu normu koja mora biti različita od nule, te treba biti uspostavljan skalarni umnožak između funkcije i signala. Valna funkcija treba još zadovoljiti i uvjet dopustivosti (eng. admissibility condition). [15], [16], [17] 15

48

49 Kratkotrajna Fourierova transformacija 3. Kratkotrajna Fourierova transformacija Fourierova transformacija harmonijskog signala kojemu se komponente mijenjaju u vremenu dat će gotovo jednako dobre rezultate o postojanju određenih harmonika u signalu kao i FT kod signala s nepromjenjivim komponentama. No, taj podatak nije dovoljan. Potrebno je još imati i podatak o vremenu, kako bi se mogle pratiti promjene komponenti unutar signala. S obzirom da u frekvencijskom području nije dostupan podatak o vremenu, to čini FT neprikladnom za obradu signala takvog tipa. Razlog je što Fourierova transformacija integrira signal ( ) u vremenskome području nad cijelim područjem definicije signala. To za rezultat u frekvencijskom području ( ) daje ukupnu amplitudu pojedine frekvencijske komponente nad čitavim vremenskim intervalom. FT se definira kao skalarni umnožak signala s eksponencijalnom trigonometrijskom funkcijom (jed. 2.2). Frekvencijska lokalizacija FT dana je na primjeru funkcije ( ). Fourierova transformacija takve funkcije dana je jednadžbom 3.1. ( ) ( ) ( ) 3.1 Dakle, rezultat FT je impulsna funkcija infinitezimalno malene širine pomaknuta duž frekvencijske osi za. FT je potrebno proširiti tako da sadrži i vremensku komponentu ( ). Ta se transformacija naziva kratkotrajna Fourierova transformacija (eng. Short Time Fourier Transformation STFT). Umjesto da se Fourierova transformacija provodi nad čitavim signalom ( ), ista se transformacija može primijeniti samo na dio signala ( ), gdje je, a je vremenski interval koji određuje koje vrijednosti iz signala ( ) mogu imati utjecaja na transformaciju. Važno je istaknuti kako vrijednosti ( ) u blizini granica imaju značajno manji utjecaj na ( ) od onih u sredini definiranog intervala. Za to provesti potrebno je uvesti još jednu funkciju, koja se naziva težinskom ili prozorskom funkcijom ( ), čiji je zadatak lokalizirati signal u vremenu [15]. ( ) je prozorska funkcija koja iščezava izvan intervala (funkcija može biti i kompleksna, no u većini slučajeva je realna) Treba istaknuti kako se ne može svaka prozorska funkcija koristiti za lokalizaciju u vremenu i frekvenciji. Prozorska funkcija čija Fourierova transformacija je također prozorska funkcija može biti kandidat za lokalizaciju u domeni vrijeme frekvencija. Takva funkcija jest, između ostalog, Gaussova funkcija prikazana jednadžbom 3.2. ( )

50 Kratkotrajna Fourierova transformacija Ukoliko se Gaussova funkcija koristi kao prozorska funkcija tada se kratkotrajna Fourierova transformacija naziva još i Gaborova transformacija [16]. Tako se Gaborova transformacija od vremenskog signala ( ) [15], za bilo koju konstantnu vrijednost parametra definira jednadžbom ( )( ) ( ( )) ( ) 3.3 Dakle, Gaborova transformacija dekomponira signal jednako kao i Fourierova transformacija uz razliku Gaussovog prozora koji transformiranom signalu daje lokalnu spektralnu informaciju. Umjesto interpretacije Gaborove transformacije kao vremenske lokalizacije Fourierove transformacije, ista se može interpretirati kao transformiranje vremenskog signala koristeći prozorsku funkciju ( ) definiranu jednadžbom Tako se transformacija signala može prikazati i jednadžbom. ( ) ( ) 3.4 ( )( ) ( ) ( ) Razlučivost u domeni vrijeme-frekvencija Heisembergov princip nesigurnosti Transformacijom funkcije iz jednadžbe 3.1 može se uočiti kako Fourierova transformacija jednostavnu harmonijsku funkciju iz vremenskog područja transformira u frekvencijsko područje. Isto tako vrijedi i za signale (mogu sadržavati više harmonijskih komponenti) gdje Fourierova transformacija sve informacije (energiju) signala prebacuje iz vremenske domene u frekvencijsku domenu u kojoj vremenska komponenta nije vidljiva. No, ukoliko se signal transformira u domenu vrijeme-frekvencija tada se pojavljuje problem kompromisa koji međusobno isključuje dobru lokalizaciju u vremenu i frekvenciji. Problem razlučivosti se objašnjava Heisembergovim principom nesigurnosti koji potječe iz kvantne mehanike. Razlučivost u domeni vrijeme-frekvencija određena je širinom prozorske funkcije u domeni vremena i širinom prozorske funkcije u domeni frekvencije. Heisembergov princip nesigurnosti, prilagođen za ovaj slučaj, definira jednadžbom

51 Kratkotrajna Fourierova transformacija gdje se širina prozorske funkcije određuje kao standardno odstupanje od centralnih vrijednosti prozorskih funkcija u obje domene. Tako se centar prozorske funkcije određuje preko izraza: u vremenskom području ( ) 3.7 u frekvencijskom području ( ) 3.8 Širina prozorskih funkcija definira se preko standardnog odstupanja od centralnih vrijednosti navedenih u jednadžbama 3.7 i 3.8 i to: u vremenskom području ( ) ( ) 3.9 u frekvencijskom području ( ) ( ) 3.10 Širina prozorske funkcije određena je sa dvostrukom vrijednošću standardnog odstupanja od centra prozorske funkcije. Kako bi se postigla što preciznija lokalizacija u domeni vrijemefrekvencija potrebno je odabrati takvu prozorsku funkciju kod koje će konstanta c (jed.3.6), biti najmanja. Funkcija s najmanjom vrijednošću konstante c jest upravo Gaussova funkcija [15] [17]. Tipično se prozorska funkcija normira kako ne bi utjecala na energiju signala pa je tako Gaussova funkcija u vremenskome području dana je jednadžbom U frekvencijskom području ista funkcija dana je jednadžbom ( ) 3.11 gdje parametar ( ) 3.12 određuje širinu prozorske funkcije, a samim time utječe na lokalizaciju vremena i frekvencije u domeni vrijeme-frekvencija. Vrijednost konstante c za Gaussovu funkciju iznosi koja ujedno predstavlja i najmanju vrijednost među prikladnim prozorskim funkcijama [16]. U literaturi se još može naići na iznos konstante ( ), 19

52 Kratkotrajna Fourierova transformacija ukoliko se širina prozorske funkcije izrazi u hertzima. Slučaj opisan jednadžbom 3.1 ujedno predstavlja i granični slučaj principa nesigurnosti kod kojeg je, a. [ ] [ ] 3.13 Kartezijev umnožak prozorskih funkcija u vremenskoj i frekvencijskoj domeni prikazan jed. 3.13, tvori pravokutni prozor u domeni vrijeme-frekvencija. Utjecaj koeficijenta na lokalizaciju vremena i frekvencije prikazan je grafički u sljedećem primjeru Primjer 3 Razlučivost vrijeme-frekvencija Neka je zadana kompleksna trigonometrijska funkcija (jed. 3.14) na koju je primijenjena Gaussova prozorska funkcija (jed. 3.11). ( ) 3.14 Za prikazati utjecaj koeficijenta širine prozora na lokalizacijsku karakteristiku prozorske funkcije u vremenskoj i frekvencijskoj domeni, dan je usporedni prikaz zadane funkcije za četiri različite vrijednosti parametra : 0.01, 0.1, 1, 10. (a) (b) (c) (d) Slika 4 Ovisnost razlučivosti vremena i frekvencije za različite vrijednosti parametra širine prozora 20

53 Kratkotrajna Fourierova transformacija Na slici (Slika 4d) može se uočiti kako za veće vrijednosti parametra širine prozora, frekvencijska razlučivost postaje bolja te za ekstremni slučaj, prozorske funkcije praktično nema i rezultat je isti kao i kod Fourierove transformacije. Obrnuto vrijedi za slučaj malih vrijednosti gdje primjena prozorske funkcije gotovo savršeno razlučuje signal u vremenskome području, no Fourierova transformacija signala ograničenog prozorom na taj način teži slučaju prikazanim jednadžbom 3.1 [2]. Važno je istaknuti kako se na transformirani signal primjenjuje prozorska funkcija konstantne širine. To zahtjeva određene kompromise koji nisu mogući u svim situacijama. Na tri sljedeća primjera bit će prikazani slučajevi kod kojih prikazana transformacijska metoda uredno vrši lokalizaciju simuliranog signala u domenu vrijeme-frekvencija te primjer kod kojeg se javljaju poteškoće u lokalizaciji signala u domeni vrijeme-frekvencija Primjer 4 Višekomponentni signal 1 Neka je zadan višekomponentni signal prikazan jednadžbom Na slici (Slika 5a i b) signal ( ) { ( ) [ ( ) [ } 3.15 ( ) [ ( ) [ ( ) je transformiran koristeći dvije različite širine prozorske funkcije za prikaz utjecaja širine prozora na razlučivost u domeni vrijeme-frekvencija. (a) (b) Slika 5 Transformacija višekomponentnog signala primjenom kratkotrajne Fourierove transformacije za različite vrijednosti parametra širine prozorske funkcije. Slika (a) prikazuje transformaciju signala sa, a slika (b) sa Slika 5a predstavlja primjer s prozorskom funkcijom koja je uska u vremenskom području što se može uočiti na oštrim prijelazima s frekvencije na frekvenciju i ujedno kao rezultat toga u frekvencijskom području se može uočiti narušena razlučivost. Što je u drugom slučaju (Slika 5b) obratno. Kod korištenja ove transformacijske metode važno je naći onu vrijednost širine prozorske funkcije kojom će se postići zadovoljavajući kompromis. 21

54 Kratkotrajna Fourierova transformacija 3.3. Primjer 5 Višekomponentni signal 2 Neka je zadan više komponentni signal koji se sastoji od paraboličnog i linearnog chirpa prikazan sljedećom jednadžbom ( ) ( ) ( ) 3.16 Na slici (Slika 6) prikazano je kako kratkotrajna FT uspješno razlučuje komponente iz signala ( ). Slika 6 Transformacija više komponentnog signala u domenu vrijeme-frekvencija U ovom primjeru je prikazano kako kratkotrajna FT uspješno razlučuje složenije komponente unutar signala. Koeficijent širine prozorske funkcije odabran je tako da se postigne dobar odnos između vremenske i frekvencijske razlučivosti Primjer 6 Hiperbolični chirp Neka je zadan takav signal koji odgovara hiperboličnom chirpu ( ) ( ) 3.17 Ovakav tip signala karakterizira u izuzetno kratkome vremenu nagla promjena frekvencije koja teži u beskonačnost. Na slici (Slika 7a i b) dan je prikaz takve funkcije u domeni vrijeme-frekvencija primjenom kratkotrajne FT. Može se uočiti kako s naglim porastom frekvencije za veći parametar prozorske funkcije (Slika 7a) jasan podatak o frekvenciji i vremenu se gubi, poboljšanje se može postići sužavanjem prozorske funkcije ali opet se na visokim frekvencijama gubi razlučivost (Slika 7b). 22

55 Kratkotrajna Fourierova transformacija (a) (b) Slika 7 Transformacija hiperboličnog chirpa. Slika (a) predstavlja transformaciju signala sa širim prozorom u vremenskome području, (b) sa užim prozorom u vremenskome području Ovim primjerom prikazana je ograničenosti kratkotrajne FT za signale s naglim promjenama frekvencije. Za transformiranje takve vrste signala prikladnija je valna transformacija čiji opis slijedi u nastavku. 23

56

57 Kontinuirana valna transformacija 4. Kontinuirana valna transformacija U prethodnom poglavlju može se uočiti kako fiksna širina prozorske funkcije ograničava primjenu kratkotrajne FT na određenu klasu problema. Kako je frekvencija upravo proporcionalna broju ciklusa u jedinici vremena, tako je za analiziranje visoko frekvencijskih pojava potrebno imati uži vremenski prozor, a za analizu nisko frekvencijskih pojava širi vremenski prozor [16]. Valna transformacija (VT) je upravo takav tip transformacijske metode koja prikazuje signal preko skale (mjerila funkcije) i pomaka (u vremenu). Za razliku od FT gdje se signal projicira na harmonike kompleksne trigonometrijske funkcije, kod VT signal se projicira na skalirane i pomaknute inačice osnovne valne funkcije (VF) ( ). Dakle, VT jednako kao i kratkotrajna FT daje prikaz realnog signala preko izračunatih koeficijenata u dvije dimenzije. VF je ujedno i prozorska funkcija, koja može biti i kompleksna. Skaliranjem VF mijenja se i širina prozorske funkcije čime je omogućena promjenjiva razlučivost. Drugi bitan parametar VT jest pomak VF u vremenu. Općenito, osnovna valna funkcija se može definirati na način kako je prikazano jednadžbom 4.1. ( ) ( ) 4.1 gdje su: pomak duž vremenske osi parametar koji skalira glavnu valnu funkciju po širini osnovna valna funkcija (eng. mother wavelet ili basic wavelet function). Indeksi i skračeno označavaju translatiranu i skaliranu valnu funkciju [16], [15] parametar koji skalira glavnu valnu funkciju po visini Oblik valne funkcije se mijenja u ovisnosti o vrijednostima pojedinih parametara, tj.: valna funkcija se širi duž vremenske osi valna funkcija se sažima duž vremenske osi valna funkcija je zrcaljena i sažima se duž vremenske osi valna funkcija je zrcaljena i širi se duž vremenske osi Koeficijent utječe na veličinu valne funkcije u vertikalnome smjeru (visinu) prema tablici (Tablica 2). Tablica 2 Utjecaj koeficijenta p na oblik VF za različita područja skale s Sažima Širi Širi Sažima Širi Sažima Sažima Širi 25

58 Kontinuirana valna transformacija Konvencionalno se uzimaju vrijednosti. Inače parametar nema značajnog utjecaja na osnovnu teoriju transformacije. Obično se koriste vrijednosti: 0, 0.5 i 1. [15] Povećanjem vrijednosti skale osnovna VF postaje šira. Širenje VF u vremenu, koja je ujedno i prozorska funkcija, omogućuje dobru vremensku lokalizaciju na visokim frekvencijama, tj. dobru frekvencijsku lokalizaciju na niskim frekvencijama. Takav način prikaza signala može se grubo usporediti s mehanizmom ljudskog uha koje na niskim frekvencijama bolje razlučuje pojedine frekvencije, za razliku od visokih gdje su potrebni mnogo veći frekvencijski skokovi kako bi uho osjetilo promjenu u frekvenciji. Svaka funkcija ne može biti VF. Da bi neka funkcija bila VF ona treba imati definiranu drugu normu. ( ) 4.2 Takva funkcija pripada ( ) prostoru. Signal također mora imati definiranu drugu normu tj. ( ). Transformacija signala zahtjeva još i postojanje skalarnog umnoška između signala ( ) i VF ( ). Dakle, kontinuirana VT jest skalarni umnožak dviju funkcija (signala) u Hilbertovom prostoru (vidi prilog 1) definiran jednadžbom 4.3. ( ) ( ) ( ) 4.3 gdje je kompleksno konjugirana osnovna VF. Uz postojanje druge norme VF treba ispunjavati i uvjet naveden u jednadžbi 4.4. ( ) 4.4 Kako je VF ujedno i prozorska funkcija, ona također treba biti prozorska i u frekvencijskom području. Takva funkcija treba zadovoljiti i sljedeći uvjet (eng. admissibility condition). ( ) 4.5 gdje je. Da bi se zadovoljili uvjeti u jednadžbama 4.4 i 4.5 valna funkcija treba zatitrati oko nule u vremenskom području. Dakle, nije dovoljno samo primijeniti prozorsku funkciju na signal, već prozorska funkcija treba biti u kombinaciji s nekom funkcijom valovitog oblika (što je ujedno i razlog imena transformacijske metode [16]). Iz jednadžbe 4.4 slijedi ( ). Ovaj uvjet je važan i za obrnutu valnu transformaciju signala kako bi se signal mogao rekonstruirati bez gubitka podataka. 26

59 Kontinuirana valna transformacija 4.1. Razlučivost VF Ako se za prozorsku funkciju uzme neka valna funkcija sa centrom (jed. 3.7) te standardnim odstupanjem od centralne vrijednosti prozorske funkcije (jed. 3.9), koja zadovoljava uvjet 4.4 i neka je njena Fourierova transformacija također prozorska funkcija sa centralnom frekvencijom (jed. 3.8) i standardnim odstupanjem od centralne vrijednosti (jed. 3.10), tada se lokalizacija signala u vremenskome području svodi na vremenski prozor koji obuhvaća raspon dan izrazom 4.6. [ ] 4.6 U frekvencijskome području se lokalizacija signala svodi na frekvencijski prozor čiji raspon je definiran izrazom 4.7. [ ] 4.7 Frekvencijski prozor može se tumačiti kao frekvencijski pojas ili oktava (, tipično ) s centralnom frekvencijom raspona. Omjer ove dvije vrijednosti naziva se konstantom kvalitete filtra Q. 4.8 Može se uočiti kako konstanta kvalitete valne funkcije ne ovisi o skali, što se još naziva i konstantnim Q filtriranjem. [16] Konstanta kvalitete filtra može se još izraziti relativno spram frekvencije tj. preko oktave što je prikazano jednadžbom 4.9. ( ) 4.9 Gdje su granične frekvencije pojasa :,. prikazane u odnosu na centralnu vrijednost oktave Kartezijev umnožak izraza 4.6 i 4.7 tvori prozor u vremenu i frekvenciji u ovisnosti o skali za bilo koju osnovnu valnu funkciju. [ ] [ ] 4.10 Ovisnost dimenzije prozora o skali na primjeru Gaborove valne funkcije dana je u primjeru 7. 27

60 Kontinuirana valna transformacija 4.2. Osnovne valne funkcije U literaturi i u primjeni razvijeno je mnogo tipova osnovnih valnih funkcije, tj. baznih funkcija (eng. mother wavelet function). Mogu se podijeliti na realne i kompleksne funkcije. Realne VF obično se koriste kod diskretne VT za obradu signala i slika tj. video materijala. U novije vrijeme zbog postojanja brzih algoritama pojedine VF koriste se i u detekciji stanja radnih strojeva. Iste se funkcije mogu koristiti i kod kontinuirane VT, no zbog velike redundancije u informacijama transformiranog signala/slike u navedenim primjenama kontinuirana VT se ne koristi. Kompleksne bazne funkcije spadaju u porodicu nepravilnih osnovnih VF. Nisu ortogonalne i nemaju definiranu skalirajuću VF (eng. father wavelet function). To ih čini neupotrebljivim kod analize signala diskretnom VT realiziranom filtarskim slogom. Glavna primjena kompleksnih VF je u obradi signala kontinuiranom VT pogotovo u analizi vibracija mehaničkih sustava zbog postojanja jednostavne veze između skale i frekvencije te zbog postojanja trenutne faze. Kompleksne VF zovu se još i analitičkim VF [1], [15]. Pošto se primjenjuju na realne signale rezultat jer također analitički signal. Analitičke signale odlikuje jednostrani spektar u frekvencijskom području i relativno jednostavno detektiranje trenutne amplitude i trenutne faze u signalu. Mogu se razlikovat tri tipa VF koje se koriste u identifikaciji mehaničkih sustava, to su: Gaborova (Morlet) VF, General Harmonic VF i Cauchy VF. Detaljniji opis navedenih VF dan je u nastavku Gaborova Valna funkcija Funkcija je dobila ime prema znanstveniku Denis Gaboru koji je u radu [2] po prvi put upotrijebio Gaussovu funkciju za vremensku lokalizaciju. Gaborova osnovna VF sastoji se od kompleksne trigonometrijske funkcije u kombinaciji s Gaussovom funkcijom. Normirana Gaborova VF u vremenskom području dana je jednadžbom gdje su: ( ) 4.11 temeljna frekvencija valne funkcije parametar koji određuje širinu prozorske funkcije, a služi za upravljanje razlučivošću transformacije. Za vrijednost funkcija se još naziva i Morlet osnovna valna funkcija. Fourierova transformacija valne funkcije rezultira prozorskom funkcijom centriranom oko temeljne frekvencije (prilog 3). ( ) ( )

61 Kontinuirana valna transformacija Veza između skale i frekvencije uspostavljena je sa jednadžbom 6.4. ( ) 4.13 Na slici (Slika 8) dan je prikaz Gaborove valne funkcije u vremenskom i frekvencijskom području za različite vrijednosti skale. (a) (b) Slika 8 Primjer Gaborove osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu. Crvena linija predstavlja harmonijsku funkciju u vremenskom području, zelena linija prozorsku funkciju u vremenskom području, plava linija predstavlja valnu funkciju. Na slici (Slika 8) može se uočiti kako skala mijenja oblik osnovne valne funkcije, zadržavajući pritom jednak broj perioda valne funkcije. Na broj perioda valne funkcije može se utjecati preko parametra širine prozorske funkcije. Treba voditi računa o dodatnom uvjetu kod odabira parametra širine prozora koji treba zadovoljiti sljedeći izraz:. Ovim uvjetom određen je minimalni broj perioda valne funkcije za koji valna funkcija ispunjava uvjet definiram jednadžbom 4.4 [8]. Ostala svojstva koja karakteriziraju ovu valnu funkciju su: centralna vrijednost u vremenu centralna vrijednost u frekvenciji standardno odstupanje u vremenu standardno odstupanje u frekvenciji ( ) iznos konstante nesigurnosti iznos Q koeficijenta 29

62 Kontinuirana valna transformacija Opća harmonijska Valna funkcija Ova valna funkcija se također zasniva na kompleksnoj trigonometrijskoj funkciji, samo za razliku od Gaborove VF za prozorsku funkciju ne koristi Gaussovu funkciju. Mogu se koristiti i druge prozorske funkcije, primjerice prozorska funkcija Hanning. ( ) { ( ) } 4.14 gdje su konstante. Valna funkcija definira se prema jednadžbi ( ) 4.15 jednadžbi Normiranje valne funkcije slijedi iz parametara koji definiraju prozor prema normiranu osnovnu valnu funkciju jesu valne funkcije je dana jednadžbom Tako za slučaj Hanning prozora, vrijednosti parametara koje daju. Fourierova transformacija osnovne ( ) { ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) } 4.16 Veza između skale i frekvencije ista je kao i kod Gaborove VF (jed. 6.4). Slikom (Slika 9) je prikazana valna funkcija na primjeru dviju vrijednosti skale. Parametri ove valne funkcije odabrani su tako da širina prozorske funkcije odgovara istoj širini kao i kod Gaborove VF. (a) (b) Slika 9 Primjer General Harmonic osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu. Crvena linija predstavlja harmonijsku funkciju u vremenskom području, zelena linija prozorsku funkciju u vremenskom području, plava linija predstavlja valnu funkciju. Hanning prozorska funkcija definirana je samo na uskom dijelu vremenske domene, dok je Gaussova funkcija definirana nad čitavim područjem realnih brojeva, što je korisno kod 30

63 Kontinuirana valna transformacija analize kratkih signala. U frekvencijskom se području mogu primijetiti mala curenja frekvencijskog prozora. Ostala svojstva koja karakteriziraju ovu valnu funkciju su: centralna vrijednost u vremenu centralna vrijednost u frekvenciji standardno odstupanje u vremenu standardno odstupanje u frekvenciji ( ) iznos konstante nesigurnosti iznos Q koeficijenta Modificirana Cauchy Valna funkcija Ova valna funkcija definira se prema jednadžbi ( ) ( ) 4.17 gdje bez dimenzijski parametar određuje temeljnu frekvenciju osnovne valne funkcije, a parametar mijenja širinu VF za fiksnu vrijednost temeljne frekvencije. Ova se VF prvenstveno koristi u kvantnoj mehanici, dok je pogodna za identifikaciju sustava jer su prva i druga derivacija VF opet Cauchijeva VF. To svojstvo omogućava jednostavno uspostavljanje veza između pomaka, brzine i ubrzanja (jed. 4.18) za razliku od prethodne dvije funkcije čije derivacije ne daju osnovnu VF [10]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4.18 Jednako vrijedi i za integraciju osnovne funkcije: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.19 Fourierova transformacija osnovne valne funkcije je dana jednadžbom ( ) ( ) ( ) 4.20 gdje je ( ) Heaviside Step funkcija. Veza između temeljne frekvencije VF i parametra prikazana je jednadžbom Za vezu frekvencije i skale vrijedi veza uspostavljena jednadžbom 6.4. Sljedeća slika (Slika 10) daje prikaz Cauchijeve FV za dvije vrijednosti skale. Parametri ove valne funkcije 31

64 Kontinuirana valna transformacija odabrani su tako da širina prozorske funkcije u vremenskom području odgovara istoj širini kao i kod Gaborove VF. (a) (b) Slika 10 Primjer Cauchy osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu. Može se uočiti kako ova valna funkcija i za manji broj perioda još uvijek ispunjava uvjet iz jed. 4.4, ali za mali broj perioda prozorska funkcija u frekvencijskom području postaje nesimetrična u odnosu na centralnu frekvenciju prozora. Za ovaj slučaj može se također, uočiti blaga nesimetričnost. Inače, ova funkcija za veći broj titraja ima jednaka svojstva kao i Gaborova VF [8]. Ostala svojstva koja karakteriziraju ovu valnu funkciju su: centralna vrijednost u vremenu centralna vrijednost u frekvenciji ( ) standardno odstupanje u vremenu standardno odstupanje u frekvenciji iznos konstante nesigurnosti iznos Q koeficijenta 32

65 Kontinuirana valna transformacija 4.3. Primjer 7 karakteristika promjenjive razlučivosti kod VT Neka je zadana Gaborova valna funkcija sa slijedećim parametrima: Hz. Gdje su temeljna frekvencija valne funkcije, parametar širine prozorske funkcije. Navedeni parametri opisani su u slijedećem poglavlju (4.2). Ovisnost dimenzije prozora (jed. 4.10) prikazana je grafički slikom (Slika 11). Slika 11 Prozori u domeni vrijeme frekvencija na primjeru Gaborove funkcije Stranice pravokutnika (prozori) sa slike (Slika 11) odgovaraju iznosima standardnog odstupanja valne funkcije od srednje vrijednosti u vremenskom i frekvencijskom području. Prozor je definiran s izrazom i prikazani su pomaknuti duž vremenske osi iz estetskih razloga, no vrijede duž čitave vremenske osi za pojedinu vrijednost skale. Na slici se može uočiti kako se s povećanjem skale povećava frekvencijska razlučivost, dakle stranica pravokutnika paralelna s frekvencijskom osi postaje uža, dok duž vremenske osi pravokutnik postaje širi, odnosno smanjuje se razlučivost u vremenskom području. 33

66 Kontinuirana valna transformacija 4.4. Algoritmi za računanje kontinuirane valne transformacije Definicija kontinuirane valne transformacije temelji se na kontinuiranim funkcijama i operacijama nad kontinuiranim funkcijama. Dakle, kontinuirana valna transformacija bi podrazumijevala transformaciju signala za beskonačno uske razmake u vremenu i skali. Pošto se u praksi signali zapisuju u digitalni oblik uzorkovanjem (diskretizacijom) to za posljedicu ima ograničenje na transformaciju signala koja se računa za konačan broj pomaka i skala. No, termin diskretnog računanja nikako se ne smije povezati sa diskretnom valnom transformacijom. Ovdje se signal transformira primjenom teorije o kontinuiranoj valnog transformaciji, ali za konačan broj pomaka i skala. U tu svrhu postoje nekoliko tehnika kojima se skalarni umnožak definiran jednadžbom 4.3 može izračunati Računanje numeričkom integracijom Integral zapravo predstavlja finu sumu, kako se radi o transformaciji signala, skalarni umnožak definiran jednadžbom 4.3 može se prikazati preko operatora sumiranja. [ ] [ ] [ ] 4.22 Rezultat ove sume daje jedan valni koeficijent na određenoj skali i pomaku u signalu. Skup valnih koeficijenata čini valnu transformaciju signala u određenom dijelu spektra za konačan broj pomaka u signalu. Ovaj način računanja valne transformacije računalno je zahtjevan, pošto zahtjeva računanje svakog pomaka posebno. Korištenjem bržih algoritama za računanje s vektorima na računalu može se postići značajno ubrzanje postupka računanja. No, primjena ovog načina računanja ima i jednu prednost, a to je mogućnost mijenjanja pomaka za svaki iznos skale Računanje konvolucije u vremenskom području Računanje skalarnog umnoška signala s konjugiranom valnom funkcijom primjenom jednadžbe 4.22 za broj pomaka koji odgovara pomaku po svim uzorcima u signalu, odnosno valnoj funkciji, odgovara konvoluciji vremenskog signala s valnom funkcijom. Matematički, konvolucija dviju funkcija definira se kako je prikazano jednadžbom ( ) ( ) ( ) ( ) 4.23 Rezultat konvolucije je također funkcija u vremenskome području. Tehnički postupak konvolucije dva signala se sastoji od sljedećih koraka: Signali se prvo prikažu preko pomoćne varijable, Signal ( ) se zrcali, odnosno ( ). Zatim se doda pomak signalu ( ), čime se omogući pomicanje tog signala, ( ) duž osi. 34

67 Kontinuirana valna transformacija Slijedi postupak pomicanja dvaju signala duž područja njihove definicije. Na mjestima gdje se signali sijeku računa se suma njihova umnoška Ukoliko su signal i VF opisani sa N uzoraka, rezultat konvolucije je vremenski signal sa uzoraka. Potrebno je odbaciti uzoraka. U obzir se uzima srednjih uzoraka, ( ) [ ] koji predstavljaju vrijednosti koeficijenata kontinuirane valne transformacije za određenu vrijednost skale. Ovaj postupak u odnosu na prethodni tehnički se ne razlikuje mnogo, ali postojanjem brzih algoritama koji se koriste na računalu za računanje konvolucije te odbacivanjem dijela uzoraka kod valne funkcije koji su jednaki nuli, postiže se značajno ubrzanje postupka računanja Primjer 8 Konvolucija u vremenskom području Neka je zadan signal iz primjera 4. Dan je rezultat konvolucije, tj. koeficijente valne transformacije za dvije različite vrijednosti skale. (a) (b) Slika 12 Rezultat konvolucije signala i osnovne valne funkcije za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu, (b) na skalu Slike prikazuju redom: valnu funkciju (realni dio) na pojedinoj skali, zatim signal čija se transformacija računa i konačno rezultat konvolucije u vremenskom području na zadanoj skali što odgovara valnoj transformaciji na toj skali (realnom dijelu). Na slici se može uočiti kako je veliki dio valne funkcije jednak nuli čijim odbacivanjem se može dodatno postići ubrzanje postupka računanja Računanje konvolucije u frekvencijskom području Upotrebom teorema o konvoluciji, transformaciju signala moguće je vršiti i u frekvencijskom području. Teorem glasi: konvoluciji funkcija u vremenskome području odgovara umnožak funkcija u frekvencijskome području. { ( ) ( )} ( ) ( ) 4.24 Ovim teoremom skalarni umnožak naveden u jednadžbi 4.3 može se izračunati tako da se izračuna obrnuta Fourierova transformacija umnoška signala i valne funkcije u frekvencijskom području. 35

68 Kontinuirana valna transformacija ( ) ( ) ( ) 4.25 Potrebno je spomenuti neka od pravila računanja s FT, to su: Teorem o linearnosti:, { ( )} ( ) Teorem o sličnosti ili promjeni skale (mjerila): za { } vrijedi: { ( )} ( ) Pošto je osnovna VF prozorska funkcija u frekvencijskom području koja se pomiče promjenom skale odnosno frekvencije, tako je dovoljno signal u frekvencijskome području (FT signala) pomnožiti sa VF. Kako bi se dobila vremenska komponenta za svaki umnožak pomaknute (skalirane) VF i signala potrebno je napraviti obrnutu FT. Postojanje brzih algoritama za FT signala (FFT) i obrnutu FT (IFFT) omogućava značajno smanjenje procesorskog vremena za računanje VT u odnosu na postupak s konvolucijom u vremenskome području, jed Detaljan opis brzih algoritama za računanje FT nalazi se u referenci [18]. [ ] { { [ ]} { [ ] }} 4.26 U ovom postupku važno je imati signale s jednakim brojem uzoraka. Konvolucija signala rezultira signalom dužine, kako je prethodno navedeno. No, ako se jednadžba 4.26 promotri malo bolje, može se uočiti kako rezultat konvolucije u frekvencijskom području rezultira signalom od uzoraka. Dakle, može se reći kako je uzoraka nestalo pa uzoraka neće trebat odbacivati nakon obrnute FT. Problem je u tome što ti uzorci nisu nestali već će se druga polovica uzoraka pojaviti na početku signala, a prva polovica na kraju što će rezultirati greškom u prikazu (Slika 13). Ta pojava naziva se kružnom konvolucijom i treba ju izbjegavati [17], [19]. Problem se rješava tako što se signali u vremenskome području produže dodavanjem nula na kraju za uzoraka. Naravno, pošto se za FT koristi FFT algoritam tako je signale potrebno proširiti za onoliki broj uzoraka koliko odgovara sljedećem broju uzoraka u bazi 2. 36

69 Kontinuirana valna transformacija (a) (b) (c) Slika 13 Problem kružne konvolucije kod konvolucije signala u frekvencijskome području. Na slici (a) plavom linijom prikazana je FT signala, a crvenom linijom valna funkcija; na slici (b) prikazan je umnožak signala i valne funkcije; slika (c) prikazuje inverznu FT od signala sa slike (b) Nakon obrnute FT dobit će se signal s vremenskom području. Npr. signal sa uzoraka kao i kod konvolucije u uzoraka potrebno je nadopuniti sa 1024 nule pa će produženi signal imati ukupno 2048 uzoraka. Isti se problem može ispraviti i u frekvencijskom području, interpolacijom uzorka između dva susjedna uzorka. [18], [19] Primjer 9 Konvolucija u frekvencijskom području Na istom primjeru signala iz primjera 4 dan je prikaz koeficijenata VT za dvije vrijednosti skale izračunate u frekvencijskom području. Signali su produženi kako je navedeno u tekstu iznad sa svrhom izbjegavanja pojave kružne konvolucije. (a) (b) Slika 14 Rezultati konvolucije u frekvencijskome području za dvije vrijednosti skale. Slika (a) odnosi se na skalu 2, (b) na skalu 4. Na prvom dijagramu slike (a) i (b) plava linija predstavlja FT valne funkcije, a crvena linija FT signala. Drugi dijagram predstavlja rezultat konvolucije u frekvencijskom području, a treći valne koeficijente dobivene obrnutom FT 37

70 Kontinuirana valna transformacija Slike prikazuju redom: usporedni prikaz signala i valne funkcije na pojedinoj skali u frekvencijskom području, zatim rezultat konvolucije u frekvencijskom području i konačno obrnutu FT signala dobivenog konvolucijom u frekvencijskom području, što rezultira valnom transformacijom na pojedinoj skali Primjer 10 Hiperbolični chirp 2 Ovaj primjer zasniva se na singlu hiperboličnog čirpa iz primjera 6 u kojem je prikazan nedostatak kratkotrajne FT. U primjeru je prikazana valna transformacija signala primjenom Gaborove i Cauchyjeve osnovne VF. Parametri osnovnih valnih funkcija dani su u tablici (Tablica 3). Tablica 3 Parametri osnovnih VF Gabor Cauchy Usporedni prikaz valne transformacije hiperboličnog čirpa (jed. 3.17) prikazan je grafički na slici (Slika 15). (a) (b) Slika 15 Valna transformacija hiperboličnog chirpa. Slika (a) VT primjenom Gaborove osnovne VF, slika (b) VT primjenom Cauchyjeve osnovne VF Na slikama (Slika 15a i b) koje se još nazivaju i skalogramima, može se uočiti kako VT uredno prikazuje spore i brze promjene u frekvenciji zahvaljujući svojstvu skaliranja osnovne VF Utjecaj rubne pojave Valna transformacija, isto kao i ostale metode za transformaciju signala, ima određene nesavršenosti koje uzrokuju nepravilnosti u transformiranome signalu. Skalarni umnožak definiran jednadžbom 4.3 podrazumijeva integraciju funkcija nad čitavim područjem definicije, tj.. Pošto se ista teorija primjenjuje na signale koji su konačni tako se na rubovima zbog nesimetrije prozorske funkcije javljaju greške (Slika 16). 38

71 Kontinuirana valna transformacija w t = u, σ σ ψ x t 0 T t u Slika 16 Prikaz prozorske funkcije (osnovne valne funkcije) pri rubu signala Dio valne funkcije koji nije preklopljen sa signalom čini valnu funkciju nesimetričnom. Nesimetričnost za posljedicu ima grešku u fazi i neproporcionalnost amplitude [6], [7], [9], [10]. Postoji niz jednostavnih metoda za umanjivanje utjecaja ruba tako da se signal proširi dodavanjem uzoraka. Uzorci se mogu dodavati na sljedeće načine: dodavanje nula, dodavanje vrijednosti, ponavljanje signala, eng. decay padding, zrcaljenje signala. Razvijene su također i naprednije metode za ispravljanje rubnog efekta koje se svode na korigiranje glavne valne funkcije. Metode su: metoda zrcaljene prozorske funkcije, metoda jednake površine prozorske funkcije, prilagodljiva glavna valna funkcija. Ove metode daju bolje rezultate u identifikaciji sustava za razliku od jednostavnijih metoda. Osim intervencije na valnoj funkciji ili signalu postoji i još jedna mogućnost, to je izbjegavanje zoni utjecaja ruba odabirom adekvatnih parametara valne funkcije, odnosno modulacijske frekvencije i parametra širine prozorske funkcije [9]. Da bi se utjecaj ruba izbjegao potrebno je kvantificirati njegov utjecaj. Pošto je utjecaj ruba povezan sa širinom valne funkcije, koja se mijenja s promjenom skale tako se i utjecaj ruba mijenja. Tako se definira vrijednost koja se naziva radijusom utjecaja ruba i prikazana je jednadžbom Gdje je standardno odstupanje od centralne vrijednosti prozorske funkcije u vremenu (jed. 3.9). Konstanta k koja množi vrijednost standardnog odstupanja valne funkcije određuje se iskustveno prema sljedećim preporukama:, a za brzo promjenjive signale [9]. 39

72

73 Osnove teorije vibracija 5. Osnove teorije vibracija U ovom poglavlju obuhvaćene su osnove iz teorije vibracija za sustav s jednim i više stupnjeva slobode (dva stupnja slobode), kao i osnovni pojmovi popraćeni izrazima iz modalne analize. Prikazane jednadžbe predstavljaju temelj na koji se naslanjaju izvodi u identifikaciji modalnih parametara čiji je opis dan u sljedećem poglavlju Sustav s jednim stupnjem slobode (SDOF) Neka je zadan sustav s oprugom, viskoznim prigušnim elementom i jednom masom (Slika 17). c k m x Slika 17 Sustav s jednim stupnjem slobode Jednadžba 5.1 je diferencijalna jednadžba gibanja slobodnog sustava sa slike. Obično se sustav prikazuje u normaliziranom obliku 5.1 Gdje su: 5.2 vlastita neprigušena frekvencija sustava koeficijent relativnog prigušenja Opće rješenje diferencijalne jednadžbe 5.2, s početnim uvjetima ( ) i ( ), za slučaj podkritičnog prigušenja ( ) dano je jednadžbom 5.3. ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 5.3 gdje je. Rješenje sustava se može zapisati i u krećem obliku, tj. izraziti preko amplitude i faznog kuta. Uvode se supstitucije: ( ) ( ) ( ) 41

74 Osnove teorije vibracija Vrijednosti i mogu se tumačiti kao stranice pravokutnog trokuta koje odgovaraju katetama. Tako se može zapisati. Uvođenjem supstitucija, i u jednadžbu 5.3, ista se jednadžba može prikazati u obliku prikazanom u jednadžbi 5.4. ( ) ( ( ) ( )) 5.4 Ako se usvoji stranica kao priležeća kateta kutu tada se jednadžba 5.4 može prikazati preko kuta koji odgovara faznom kutu ( ) ( ( ) ( )) 5.5 Primjenom adicijskog izraza ( ), jednadžba 5.5 može se prikazati u skraćenom obliku gdje su: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) parametri koji ovise o početnim uvjetima. ( ) ( ) 5.6 Kod mjerenja vibracija obično se mjeri ubrzanje ili brzina pa se deriviranjem jednadžbe 5.6 mogu izvesti odzivi brzine i ubrzanja sustava. U tom slučaju, brzina je: ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) 5.7 Prema istoj analogiji uvode se supstitucije: Suma kvadrata članova i iznosi 1, pa se jednadžba 5.7 može izraziti preko faznog kuta. Tako se nakon sređivanja dobije izraz brzine odziva. ( ) ( ) 5.8 gdje je 42

75 Osnove teorije vibracija Deriviranjem izraza za brzinu te primjenom iste analogije dobije se izraz za ubrzanje ( ) ( ) Sustavi s više stupnjeva slobode Na primjeru sustava s dva stupnja slobode prikazane su forme vibriranja takvog sustava te izvod rješenja sustava s dva stupnja slobode na impulsnu uzbudu. Neka je zadan mehanički sustav s dva stupnja slobode (eng. 2DOF), Slika 18. x1 x2 F1 F2 c1 c2 c3 m1 m2 k1 k2 k3 Slika 18 Shematski prikaz sustava s dva stupnja slobode Jednadžba gibanja za slučaj bez prigušenja prikazana u matričnom obliku prikazana je jednadžbom 5.10, odnosno s uvrštenim koeficijentima jednadžbom [ ] { 5.10 } [ ] { } { } 5.11 Rješenje za pomak, brzinu i ubrzanje se zbog pretpostavke harmonijskog gibanja pretpostavlja u obliku prikazanom izrazima pod Gdje je jednadžba Izrazi 5.12 uvrštavaju se u 5.10 te izostavljanjem vektora opterećenja dobije se ( ) 5.13 Iz koje se uvođenjem supstitucije izvodi svojstvena jednadžba sustava ( ), čija rješenja odgovaraju vlastitim frekvencijama sustava (jed. 5.14). 43

76 Osnove teorije vibracija 5.14 Svojstvena jednadžba prikazana je jednadžbom ( ) ( ) 5.15 Rješenja jednadžbe 5.15 su prikazana jednadžbom (( ) ( ) 5.16 (( ) ( ) ) ( ) ) Uvrštavanjem rješenja 5.16 u 5.13 i uvođenjem supstitucije dobije se sustav jednadžbi 5.17 iz kojeg slijede svojstveni vektori koji određuju forme vibriranja sustava. { } 5.17 [ ] Za i uvrštavanjem prve vlastite frekvencije (jed. 5.17) dobije se svojstveni vektor prve forme prikazan jednadžbom 5.18 {( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ( )) } 5.18 Analogno se dobije i svojstveni vektor druge forme koji je prikazan jednadžbom { ( ) (( ) ( ) ) ( ( )) } 5.19 Svojstveni vektori tvore svojstvenu matricu (jed. 5.20). [ ] 5.20 Pomoću matrice svojstvenih vrijednosti (jed. 5.20) sustav jednadžbi 5.10 se iz koordinata { } transformira u sustav glavnih koordinata { } kod kojih jednadžbe gibanja nisu spregnute, dakle vrijedi veza prikazana jednadžbom

77 Osnove teorije vibracija Izraz 5.10 transformira se primjenom transformacije 5.21 u sustav dvije jednadžbe u modalnom prostoru. gdje su: matrica modalne mase matrica modalne krutosti Tako se spregnut sustav jednadžbi gibanja 2DOF sustava prikazan jednadžbom 5.11 prikazuje preko parametara modalne mase i krutosti kako je prikazano jednadžbom [ ] { } [ ] { } { } Izvod odziva 2DOF sustava na jediničnu uzbudu Sustav jednadžbi 5.10, odnosno 5.22 ne odgovara u potpunosti onom sa skice (Slika 18) jer jednadžbama nisu obuhvaćeni elementi koji disipiraju energiju u sustavu, tj. matrica prigušenja. Dodavanjem matrice prigušenja treba voditi računa da se primjenom gore navedene teorije navedena matrica može raspregnuti na isti načina kao matrica krutosti i matrica masa. To se postiže na način da se usvoji model proporcionalnog (modalnog) prigušenja. Prvi član ( ) čini matricu prigušenja proporcionalnu promjeni sila lokalnih deformacija na spojevima uz elemente koncentrirane mase. Drugi član ( 5.23 ) čini matricu prigušenja proporcionalnu inercijskim silama i predstavlja gubitak energije uzrokovan promjenom količine gibanja masa (primjerice kod udarca). Jednadžba gibanja slobodnog sustava sa slike (Slika 18), dana je jednadžbom [ ] { } [ ] { } 5.24 Sustav se transformira u modalno područje te se dobije sustav dviju jednadžbi prikazan u normaliziranom obliku Rješenje sustava 5.25 za početne uvjete ( ), ( ), ( ), ( ) je dano jednadžbom

78 Osnove teorije vibracija ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( )) 5.26 Primjenom transformacije 5.21 odziv se transformira nazad u fizikalne koordinate. { } [ ] { } 5.27 Osim transformacije koordinata, potrebno je na isti način i transformirati početne parametre. Primjenom izraza 5.21 dobije se veza između početnih parametara pomaka u modalnom prostoru s početnim parametrima pomaka u prostornom koordinatnom sustavu. { ( ) ( ) } [ ] { ( ) ( ) } 5.28 Isto vrijedi i za početnu brzinu. Ako je sustav pobuđen udarcem na prvu masu tada se, umjesto pobuđivanja sustava Diracovom funkcijom, pobuda jednostavno može prikazati sa početnom brzinom prve mase ( ) dok su preostala tri početna uvjeta jednaka nuli. Veza početnog uvjeta ( ) sa ( ) i ( ) prikazana je izrazom { ( ) ( ) } [ ] { ( ) } 5.29 Uvrštavanjem 5.29 u 5.26 odnosno 5.27 dobiju se analitički izrazi za odziv sustava s dva stupnja slobode gibanja na impulsnu uzbudu s modalnim prigušenjem ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 5.30 ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 5.31 Dakle, općenito za slučaj modalnog prigušenja odziv sustava n stupnjeva slobode može se po uzoru na jednadžbu 5.6 zapisati u skraćenom obliku ( ) ( ) 5.32 Sljedeći istu analogiju kao i kod sustava s jednim stupnjem slobode (jed. 5.8 i 5.9) mogu se napisati izrazi za brzinu i ubrzanje odziva kod sustava s više stupnjeva slobode. 46

79 Osnove teorije vibracija 5.3. Modalna analiza Neka je zadan sustav s n stupnjeva slobode, Slika 19. c1 c2 c3 c4 cn-1 cn m1 m2 m3... mn k1 k2 k3 k4 kn-1 kn Slika 19 Shematski prikaz sustava s n stupnja slobode Jednadžba gibanja sustava u matričnom obliku prikazana je jednadžbom Jednadžba gibanja se Laplaceovom transformacijom prebaci u s područje (jed. 5.12) i za početne uvjete jednake nuli dobije se izraz ( ) ( ) ( ) 5.34 Izraz ( ) predstavlja dinamičku krutost. Iz izraza 5.34 može se postaviti izraz za prijenosnu funkciju sustava koji je jednak ( ) ( ) ( ) 5.35 Kod eksperimentalne modalne analize sustavu se pristupa kao da je crna kutija (Slika 20). Mjereći signal(e) odziva sustava ( ) i signal(e) pobude sustava ( ) prema jednadžbi 5.35 izračuna se prijenosna funkcija sustava u s području ( ). F(s) H(s) X(s) Slika 20 Shematski prikaz modela crne kutije Kako je predmet ispitivanja mehanički sustav, tada se takav sustav može matematički prikazati s prijenosnom funkcijom prikazanom jednadžbom Naravno nije jednostavno jednoznačno odrediti parametre sustava kao što su prikazani predstavljenom prijenosnom funkcijom tj. slikom (Slika 19). Sustav u praksi može biti znatno složeniji od prikazanog, pa se prijenosna funkcija izrazi preko modalnih parametara koji su ujedno i predmet identifikacije ( )

80 Osnove teorije vibracija gdje su: { ( )}. polovi sustava koji predstavljaju rješenja svojstvene jednadžbe, vektor j-te forme vibriranja sustava modalna konstanta koja služi za skaliranje formi 48

81 Valna transformacija i modalni parametri 6. Valna transformacija i modalni parametri U ovom poglavlju prikazana je veza između valne transformacije i modalnih parametara kod sustava s više stupnjeva slobode. Ova metoda spada pod SISO metode (eng. Single Input, Single Output) što znači da je dovoljno imati odziv samo jednog stupnja slobode sustava kako bi se odredili koeficijenti relativnog prigušenja i vlastite frekvencije sustava. Za određivanje formi potrebno je imati odzive svih stupnjeva slobode sustava. Glavno svojstvo valne transformacije je frekvencijska lokalizacija vremenskog signala. Ta sposobnost omogućava izdvajanje komponenti iz izmjerenog signala koji predstavljaju pojedine modove. To pruža mogućnost tretiranja sustava s više stupnjeva slobode kao više sustava s jednim stupnjem slobode. Tako će se veza između valne transformacije i modalnih parametara objasniti na odzivu sustava s jednim stupnjem slobode Valna transformacija sustava s jednim stupnjem slobode Izvod analitičkog izraza valne transformacije odziva sustava s jednim stupnjem slobode (jed. 5.6) dan je na primjeru Gaborove valne funkcije (jed. 4.11). Odziv sustava s jednim stupnjem slobode (jed. 5.6) u eksponencijalnom obliku prikazan je jednadžbom 6.1. ( ) ( ( ) ( ) ) 6.1 Radi preglednosti, Gaborova valna funkcija (jed. 4.11) prikazat će se još jednom: ( ) Uvode se parametri pomaka i skale prema jednadžbi 4.1 za vrijednost parametra. Tako je valna funkcija sa parametrima pomaka i skale prikazana jednadžbom ( ) ( ) ( ) 6.2 Sada se jednadžbe 6.1 i 6.2 mogu skalarno pomnožiti prema izrazu 4.3 iz čega slijedi ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) 6.3 Prema uzoru na Chen i dr. [11] uvodi se zamjena varijabli: 49

82 Valna transformacija i modalni parametri Primjenom navedene zamjene u jednadžbu 6.3 slijedi 6.4 ( ) ( ) ( (( ) ) 6.5 (( ) ) ) Dodatnim uređivanjem jednadžbe 6.5 tj. svođenjem eksponenata pod zajedničku bazu, navedeni izraz se može pojednostavniti ( ) ( ) ( (( ) ) (( ) ) ) 6.6 Jednadžba 6.6 može se razdvojiti na dva integrala, zato se u podintegralnoj funkciji javlja znak zbrajanja koji se odnosi na zbroj proturotirajućih fazora koji tvore realni signal. Jednostavniji zapis prikazan je jednadžbom 6.7. ( ) ( ) 6.7 Tako se izvod dalje nastavlja za integral (jed. 6.8), a integral će se izvesti prema istoj analogiji. ( ) (( ) ) 6.8 Sada se eksponent može svesti pod zajedničku bazu kako je prikazano sljedećim izrazom ( ) (( ) ) 6.9 Daljnjim sređivanjem eksponenta mogu se ispred integrala izdvojiti oni dijelovi koji ne ovise o pomaku ( ) 6.10 Dopunjavanje eksponenta podintegralne funkcije jednadžbe 6.10 sa izrazom danim u jednadžbi 6.11, ( )

83 Valna transformacija i modalni parametri eksponent se može dopuniti do kvadrata razlike ( ), gdje su: ( ) Tako jednadžba 6.10 dopunjena izrazom iz jednadžbe 6.11 daje sljedeći izraz ( ) ( ) ( ) 6.12 Ovaj se izraz može skraćeno napisati i konstantne se vrijednosti mogu napisati ispred integrala ( ) ( ( )) 6.13 Integral iz jednadžbe 6.13 može se prikazati u jednostavnijem obliku ( ( )) ( ) 6.14 Ovo je zapravo Gaussov integral (nepravi integral) s kompleksnim pomakom, čija je vrijednost poznata i prikazana je u jed Detaljan izvod prikazan je u prilogu 2. ( ) 6.15 Tako je izvedeno rješenje integrala koje je prikazano jednadžbom ( ) 6.16 Analogno integralu izvedeno je rješenje za integral ( ) 6.17 Dodatnim sređivanjem eksponenta jednadžbe 6.16 i 6.17, rješenja se mogu prikazati i na način prikazan izrazom ( ( ))

84 Valna transformacija i modalni parametri Sada se može napisati analitički izraz na valnu transformaciju odziva sustava s jednim stupnjem slobode primjenom Gaborove valne funkcije ( ) [ ( ) ( ( )) ] 6.19 Ovim je izveden analitički izraz za valnu transformaciju odziva sustava s jednim stupnjem slobode. Na idućem primjeru dan je grafički prikaz izvedenog izraza Primjer 13 Valna transformacija sastava s jednim stupnjem slobode. Neka je zadan sustav s jednim stupnjem slobode (Slika 17) sa sljedećim parametrima: kg, N/m, Ns/m, i ( ) m/s. Odziv pomaka sustava prema jednadžbi 5.6 prikazan je jednadžbom ( ) ( ) ( ( ) ) 6.20 Grafički prikaz odziva sustava na vremenskom intervalu [ s prikazan je na slici (Slika 21). Slika 21 Odziv sustava s jednim stupnjem slobode Na slikama (Slika 22a i b) grafički je prikazana valna transformacija izvedena prema jed za zadani primjer (jed. 6.20). Modulacijska frekvencija valne funkcije je: Hz. 52

85 Valna transformacija i modalni parametri (a) (b) Slika 22 Analitički skalogram odziva sustava s jednim stupnjem slobode za dvije vrijednosti koeficijenta širine prozora. Slika (a) prikazuje skalogram za, slika (b) prikazuje skalogram za Na slikama (a) i (b) može se uočiti utjecaj širine prozorske funkcije na razlučivost u frekvencijskom području što u ovom slučaju ne predstavlja problem što nije slučaj kod problema s više stupnjeva slobode Utjecaj koeficijenta širine prozora i prigušenja sustava na valne koeficijente Ovaj dio rada zasniva se na tumačenju utjecaja koeficijenta širine prozora na koeficijente valne transformacije odziva mehaničkog sustava s jednim stupnjem slobode. U prethodnom tekstu, kod opisa Gaborove VF, a prema literaturi u kojoj je navedeno ograničenje kojim se ograničava najmanji iznos koeficijenta širine prozora za zadanu modulacijsku frekvenciju. Ovdje je prikazan utjecaj na primjeru valne transformacije odziva mehaničkog sustava koji je ujedno primjenjiv za valnu transformaciju svih realnih signala definiranih jednadžbom 2.7. Detaljnijim promatranjem jednadžbe 6.19 mogu se uočiti dijelovi koji odgovaraju pozitivno i negativno rotirajućem fazoru koji se tu nalaze zbog činjenice da je izvedena transformacija realnog signala (jed 6.1). Ako se detaljnije promotre članovi koji pripadaju transformiranim fazorima može se uočiti da je 6.21 tj. dominacija pozitivno rotirajućeg fazora, ako su svi članovi eksponenta veći od 1. Tu se može prikazati svojstvo kompleksne valne funkcije koja realni signal transformira u analitički. U članu eksponenta nalazi se i koeficijent širine prozora koji dominira nad ostalim koeficijentima pošto se nalazi pod znakom kvadrata. Dakle ako se smanjuje koeficijent širine prozora, tj. za vrijednosti, negativni fazor počinje dominirati i unositi grešku u transformirani signal. Na primjeru sustava iz primjera 13, za iznos dan je prikaz valne transformacije izračunate prema jednadžbi 6.19 (Slika 23). 53

86 Valna transformacija i modalni parametri Slika 23 Valna transformacija sustava s jednim stupnjem slobode s koeficijentom širine prozora nedopuštenog iznosa Ova pojava se može objasniti i s primjerom 3 kod kojeg se može dodatno uočiti još jedno svojstvo Gaussove prozorske funkcije. Na slici (Slika 4) može se primijetiti kako se funkcija u vremenskom području sužava kako, odnosno širi u frekvencijskom području. Pošto je vrijednost integrala Gaussove prozorske funkcije (jed. 3.11) ( ), za bilo koju vrijednost koeficijenta širine prozora ( ) pa tako i za, onda se za taj granični slučaj može kazati da Gaussova prozorska funkcija teži u delta-diracovu funkciju ( ). Pošto je konvolucija neke ( ) funkcije sa delta funkcijom zapravo ta ista funkcija, odnosno ( ) ( ) ( ), što se lakše može objasniti u frekvencijskom području u kojem je konvolucija množenje dvije funkcije, odnosno ( ) ( ) ( ), gdje je ( ), [16]. Tako se za drastično smanjivanje koeficijenta širine prozora praktički može uzeti da valna funkcija teži u delta funkciju. Na slici (Slika 23) dodatno se može uočiti kako su se ekstremni valni koeficijenti pomaknuli iznad vrijednosti skale. Za usporedbu se može uzeti slika (Slika 22a) na kojoj se vidi drukčiji položaj ekstremne vrijednosti duž osi skale za isti sustav. To upućuje na grešku kod prikaza frekvencije. Derivacijom jednadžbe 6.19 po parametru skale (jed. 6.22) može se pokazati da se za male vrijednosti parametra može promijeniti i nul-točka prve derivacije koja odgovara vlastitoj frekvenciji. ( ) ( ) 6.22 Ekstremna vrijednost na osi skale odgovara vlastitoj frekvenciji i pošto je sustav linearan ona je konstantna duž vremenske osi. Jednadžba ekstrema leži u nul-točkama prve derivacije 54

87 Valna transformacija i modalni parametri ( ). Poslije sređivanja jednadžbe 6.22 dobije se kvadratna jednadžba od prikazana jednadžbom ( ) 6.23 Rješenje kvadratne jednadžbe daje izraz koji prikazuje iznos ekstremne vrijednosti valne transformacije (jed. 6.24). To rješenje bi trebalo odgovarati iznosu skale određenoj prema jednadžbi 6.4 za vlastitu frekvenciju. ( ) 6.24 U jednadžbi 6.24 mogu se dodatno, uz modulacijsku frekvenciju VF i vlastitu prigušenu frekvenciju, uočiti parametar širine prozora i koeficijent relativnog prigušenja. To znači da ekstremna vrijednost skale ovisi o još dva parametra. Jednadžba 6.24 uvođenjem supstitucije definirane jednadžbom može se poopćiti što omogućuje generalizaciju problema uvođenjem bezdimenzijskog koeficijenta greške ( ) ( ) 6.26 Dobivena jednadžba je zapravo jednadžba koja povezuje skalu i frekvenciju (jed. 6.4) dopunjena s koeficijentom ( ). Koeficijent predstavlja grešku u ekstremu. Poopćeni oblik koeficijenta greške skale ( ) prikazan je jednadžbom ( ) ( ) ( ( ) ) 6.27 Sada se općenito može prikazati njegova ovisnost o koeficijentima i u prostornom prikazu. Koeficijent izražen u postotku greške koju unosi u ekstremnom iznosu skale prikazan je slikom (Slika 24). 55

88 Valna transformacija i modalni parametri (a) (b) Slika 24 Utjecaj koeficijenta širine prozora i koeficijenta relativnog prigušenja na ekstremnu vrijednost skale. Koeficijent je prikazan na osi z u obliku ( ( ) ). Slika (a) prikazuje ovisnost na linearnoj skali, a slika (b) prikazuje ovisnost na logaritamskoj skali. Crvenom bojom istaknuto je područje za što odgovara vrijednosti koeficijenta ( ) za Koeficijent prigušenja smanjuje broj titraja u signalu pa se na taj način događa slična situacija kao i kad se smanjuje broj titraja valne funkcije kod smanjivanje širine prozorske funkcije. Na slici (Slika 25), prikazano je više odziva istog sustava s jednim stupnjem slobode s različitim koeficijentima relativnog prigušenja. Tako posljednja dva odziva ( 0.23, 0.46) spadaju pod odzive koji ulaze u crveno područje na slici (Slika 24b). Slika 25 Vremenski odzivi sustava s jednim stupnjem slobode za različite vrijednosti koeficijenta relativnog prigušenja U nastavku je prikazano poopćenje na sustave s više stupnjeva slobode. 56

89 Valna transformacija i modalni parametri 6.3. Valna transformacija sustava s više stupnjeva slobode Valna transformacija posjeduje svojstvo linearnosti (prilog 1), što omogućava pojedinačno analiziranje komponenti kod višekomponentnih signala. To svojstvo se može prikazati još i jednadžbom ( ) ( ) ( )( ) 6.28 Jednadžbom 5.32 pokazano je kako se odziv sustava s više stupnjeva slobode može tretirati kao višekomponentni signal pa se tako jednadžba 6.19 može napisati i za sustav s više stupnjeva slobode. Tako se analitički izraz za valnu transformaciju sustava s više stupnjeva slobode, uz usvajanje pretpostavke iz jed može prikazati jednadžbom ( ) ( ) ( ( )) 6.29 Gdje su članovi: ( ) i ( ). Valna transformacija ima svojstvo frekvencijske lokalizacije pa se tako komponente unutar izmjerenog signala mogu elegantno izdvojiti. Posebnu pažnju treba obratiti kod odabira parametara valne funkcije ukoliko se radi o mehaničkom sustavu s bliskim vlastitim frekvencijama. Parametar kojim se upravlja frekvencijskom razlučivošću je koeficijent širine prozorske funkcije. Taj parametar treba biti odabran tako da na dvije susjedne vlastite frekvencije frekvencijski pojas valne funkcije bude manji od razlike te dvije frekvencije, preciznije prikazano jednadžbom gdje ( ( ) ( )) { ( ) ( )} 6.30 predstavlja frekvencijski pojas valne funkcije. Frekvencijski pojas valne funkcije može se definirati sa standardnim odstupanjem od srednje vrijednosti, jed tj. dvostrukim standardnim odstupanjem,. 57

90 Valna transformacija i modalni parametri Frekvencijski pojas valne funkcije Preciznije se može pojas valne funkcije definirati s frekvencijom reznu frekvenciju, što je grafički prikazano slici (Slika 26). koja predstavlja ψ ω ψ ω 0 ψ ω 0 ± ω D ω 0 ω D ω 0 ω 0 + ω D w Δω Slika 26 Frekvencijski pojas valne funkcije Rezna frekvencija definira se odnosom vrijednosti prozorske funkcije na reznoj frekvenciji, ( ) s najvećom vrijednosti prozorske funkcije, ( ). Taj odnos tipično se iskazuje u decibelima (db) preko izraza prikazanog jednadžbom ( ) ( ) ( ) ( ) 6.31 Prvi izraz se odnosi na RMS vrijednost (eng. Root Mean Square), tj. energiju, dok drugi izraz daje odnos amplituda. Pošto su izrazi za prozorsku funkciju poznati, tako se za neku vrijednost koja određuje kvocijent najveće vrijednosti prozorske funkcije, ( ) ( ), može odrediti iznos rezne frekvencije, odnosno frekvencijski pojas. Gaussova prozorska funkcija u frekvencijskom području definirana je jednadžbom Skalirana varijanta prozorske funkcije prikazana je izrazom ( ) ( ) 6.32 Zbog jednostavnosti izvoda uzet će se pošto je to pomak koji ne utječe na izvod. Deriviranjem jednadžbe 6.32 može se odrediti najveća vrijednost prozorske funkcije u ovisnosti o skali i koeficijentu širine prozorske funkcije. Najveća vrijednost prikazana je jednadžbom ( )

91 Valna transformacija i modalni parametri Tako je ( ), što uvršteno u jed daje odnos između i koji je prikazan jednadžbom Potrebno je još izvesti vezu između kvocijenta i rezne frekvencije (jed. 6.35) Sređivanjem jednadžbe 6.35 dobije se jednadžba 6.36 kojom je definirana ovisnost rezne frekvencije o kvocijentu, skali i koeficijentu širine prozora. Omjer definiran jednadžbom 6.34 naveden za različite vrijednosti kvocijenta tablično prikazan je Tabela 4 Izračunate logaritamske vrijednosti za različite vrijednosti kvocijenta (db) Sljedećim primjerom prikazana je valna transformacija sustava s dva stupnja slobode s bliskim frekvencijama Primjer 12 Valna transformacija sastava s dva stupnja slobode. Neka je zadan sustav s dva stupnja slobode prikazan slikom (Slika 18), sa sljedećim parametrima: kg, N/m, N/m, ( ) m/s. Prigušenje sustava je proporcionalno s vrijednostima koeficijenata: i, Ns/m. Diferencijalna jednadžba sustava izražena u matričnom obliku prikazana je jednadžbom [ ] { } [ ] { } [ ] { } 6.37 Jednadžbama 5.30 i 5.31 prikazani su odzivi sustava na jediničnu uzbudu na prvoj masi. Na slikama (Slika 27a i b) prikazani su skalogrami odziva prve mase. Ovaj primjer ima značajno manju krutost koja povezuje dvije mase što rezultira vrlo bliskim frekvencijama: Hz i Hz. 59

92 Valna transformacija i modalni parametri (a) (b) Slika 27 Skalogram dobiven iz analitičkog izraza za odziv sustava s dva stupnja slobode. Slika (a) prikazuje skalogram za vrijednost, slika (b) prikazuje skalogram za vrijednost To za rezultat ima osjetljivost transformacije na parametre valne funkcije u smislu frekvencijske razlučivosti. Tako su odabrani koeficijenti širine prozora koji rezultiraju lošoj razlučivosti vlastitih frekvencija i oni koji to jako dobro razlučuju Ekstremne vrijednosti skalograma Ekstremne vrijednosti skalograma pripadaju valnim koeficijentima s najvećom koncentracijom energije u skalogramu. Te linije nazivaju se ivicama (eng. ridges). Vrijednosti koeficijenata koje leže duž ivice VT nazivaju se skeletima (eng. skeleton) transformacije i duž njih nalazi se najveća koncentracija energije u signalu, što u slučaju mehaničkih sustava odgovara vlastitim frekvencijama. Ivica je definirana krivuljom ( ). Ukoliko se radi o odzivu linearnog sustava, tada ivice VT-je predstavljaju ravne linije duž područja vrijemeskala [4], [6], [17]. Tako se mogu razlikovati tri načina detekcije ivica koje je predstavio Staszewski [4], čiji je opis dan u nastavku Metoda presjeka Karakteristika odziva linearnih sustava jest u tome što su ivice u domeni vrijemeskala konstantne, tj. rezonantna frekvencija se ne mijenja u vremenu. Ivice se tako mogu unaprijed odrediti jer se vrlo lako može doći do podatka o vlastitim frekvencijama unutar izmjerenog signala odziva sustava. Ivice su opisane jednadžbom ( ) 6.38 Vlastite frekvencije mogu se odrediti primjerice tražeći vrhove u Fourierovoj transformaciji vremenskog odziva signala. Kod korištenja ove metode dovoljno je izračunati samo one valne koeficijente koji leže na skalama rezonantnih frekvencija. 60

93 Valna transformacija i modalni parametri Primjer 13 detekcija ivice 1 U ovom primjeru dan je prikaz ivice za sustav iz primjera 11. Prigušena vlastita frekvencija sustava je rad/s. Modulacijska frekvencija valne funkcije iznosi Hz. Valna transformacija sustava prikazana je slikom (Slika 28a.) (a) (b) Slika 28 Primjer ivice određen metodom presjeka. Slika (a) predstavlja čitav skalogram s ivicom označenom bijelom linijom, na slici (b) prikazani su izdvojeni valni koeficijenti koji leže na ivici Primjenom jednadžbe 6.38 lako se odredi iznos skale na kojoj se nalazi ivica. Tako za ovaj primjer skala iznosi toj vrijednosti skale Metoda najveće amplitude. Na slici Slika 28b izdvojeni su oni valni koeficijenti koje leže na Metoda najveće amplitude se zapravo sastoji od traženja ekstremnih energetskih vrijednosti unutar skalograma. Skalogram koji je proporcionalan energiji je zapravo kvadrat vrijednosti svih valnih koeficijenata, a definiran je jednadžbom ( ) ( ) 6.39 Kod ovog postupka mogu se koristiti bilo koji optimizacijski algoritmi za traženje maksimalnih vrijednosti, primjerice: metoda direktnog traženja najveće vrijednosti, metoda simuliranog žarenja, snake penalization algoritam [22]. Primjena ove metode dolazi do izražaja kod nelinearnih sustava zbog toga što se rezonantna frekvencija mijenja u vremenu, što je prikazano u sljedećem primjeru Primjer 14 detekcija ivice 2 Neka je zadan nelinearni sustav s jednim stupnjem slobode kao sustav prikazan slikom (Slika 17) koji dodatno u sustavu ima nelinearnu oprugu. Jednadžba gibanja sustava prikazana je jednadžbom

94 Valna transformacija i modalni parametri Gdje su parameri sustava: kg, Ns/m, N/m, N/m 3, ( ) m/s. Odziv sustava simuliran je Runge-Kutta numeričkim postupkom za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Valna transformacija simuliranog signala izračunata je s parametrima Hz, i prikazana je slikom (Slika 29). (a) (b) Slika 29 Primjer ivice određen amplitudnom metodom direktnog traženja. Slika (a) predstavlja skalogram na kojem je s bijelom linijom označena ivica, na slici (b) prikazani su izdvojeni valni koeficijenti koji leže na ivici Pošto sustav sadrži nelinearnu oprugu to za uzrok ima promjenu vlastite frekvencije. Upravo kod ovakvih slučajeva ova metoda dolazi do izražaja što se jasno može uočiti na slici. Metoda uredno izdvaja valne koeficijente s najvećom vrijednosti koje odgovaraju vlastitoj frekvenciji sustava Metoda trenutne faze Prednost valne transformacije s kompleksnim valnim funkcijama u odnosu na realne VF, je u tome što postoji podatak o trenutnoj fazi. Trenutna faza prikazuje položaj fazora u kompleksnoj ravnini (Slika 2b). Faza valne transformacije računa se posebno za svaku vrijednost skale. Izraz kojim se računa faza prikazan je sa jednadžbom ( ) ( ( )) ( ( )) 6.41 Veza između ivica i faze može se pokazati iz jednadžbe Faza valne transformacije, zanemarujući fazu od negativnog fazora, prikazana je jednadžbom ( ) 6.42 Iz jednadžbe se može uočiti ovisnost faze valne transformacije o skali i pomaku što se može bolje uočiti grafički na slici (Slika 30). 62

95 Valna transformacija i modalni parametri Slika 30 Faza valne transformacije na primjeru sustava s jednim stupnjem slobode iz primjera 13 Dodatno se ovisnost faze valne tranformacije o skali i vremenu može prikazati derivacijom faze po vremenu (jed. 6.43) i po skali (jed. 6.44). ( ) 6.43 ( ) 6.44 Dakle, derivacija faze valne tranformacije skale duž vremenske osi je konstantna i njezin iznos je vlastita prigušena frekvencija sustava, dok se duž osi skale mijenja. Pošto je derivacija po vremenu konstantna još uvijek nije moguće odrediti ivicu, no uz pomoć faze valne funkcije to postaje moguće. Jednadžbom 6.45 prikazana je skalirana Gaborova valna funkcija (jed. 4.11). ( ) 6.45 Faza valne funkcije je tako ( ) pa je derivacija faze valne funkcije po vremenu prikazana jednadžbom 6.46, za Valna funkcija na skali koja odgovara vlastitoj frekvenciji sustava ima trenutnu fazu jednaku trenutnoj fazi valnih koeficijenata na toj vlastitoj frekvenciji. Općenito, valni koeficijenti na kojima leže ivice moraju zadovoljiti jednadžbu Na primjeru je slikom (Slika 31) dan usporedni prikaz jednadžbi 6.43 i

96 Valna transformacija i modalni parametri Φ ψ s Φ ψ s x Slika 31 Usporedni prikaz derivacije faze valne transformacije po vremenu faze valne funkcije po vremenu i derivacije Na slici se jasno uočavaju dvije plohe. Ivica se nalazi u sjecištu tih dviju ploha. Postupak pronalaska vrijednosti skala i pomaka na kojima leži ivica svodi se na postupak traženja nul-točaka jednadžbe Kako je ovo prikazano na analitičkom primjeru, kod realnih primjera i numeričkih primjera nul-točke je potrebno tražiti samo u onom području skala u kojem postoji utjecaj vlastite frekvencije na valne koeficijente. Razlog tomu je što se derivacija računa numerički pa se za one vrijednosti skale na kojima je utjecaj valnih koeficijenata izuzetno slab javljaju greške kod računanja derivacije Primjer 15 detekcija ivice 3 Nelinearni sustav iz primjera 14 upotrijebljen je i u ovom primjeru. Na slici (Slika 32) prikazan je presjek na isti način kao i na slici (Slika 31). (a) (b) Φ ψ s Φ ψ s x Slika 32 Slika (a) presjek derivacija faze valnih koeficijenata i faze valne funkcije, slika (b) izdvojeni valni koeficijenti koji leže na ivici Na rubovima derivacije faze valnih koeficijenata mogu se uočiti greške u prikazu, no presjek na kojem se nalazi ivica jasno prikazuje promjenjivu vlastitu frekvenciju uzrokovanu nelinearnošću sustava. Važno je istaknuti da se rubni valni koeficijenti izbjegavaju. 64

97 Valna transformacija i modalni parametri 6.5. Detekcija modalnih parametara U ovom dijelu opisani su postupci pomoću kojih se mogu detektirati modalni parametri. U opisu koji slijedi treba istaknuti kako će uvjet prikazan jednadžbom 6.21 uvijek biti zadovoljen pošto parametri valne funkcije trebaju zadovoljiti uvjet, što je dodatno obrazloženo i slikom (Slika 24). Ta činjenica omogućuje zanemarivanje dijela jednadžbe 6.19, koji odgovara negativno rotirajućem fazoru. Tako će se u daljnjem opisu koristiti jednadžba ( ) ( ) ( ( )) 6.48 gdje su članovi: ( ) i ( ). U jednadžbi 6.48 može se uočiti pet karakterističnih dijelova iz kojih se detektiraju modalni parametri. Tako se iz: detektiraju forme, iz vlastita prigušena frekvencija, iz preostala tri dijela jednadžbe 6.48 (, ( ), ( ) ) može se detektirati koeficijent relativnog prigušenja, pa se tako razlikuju tri metode za identifikaciju koeficijenta relativnog prigušenja Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice i vlastite frekvencije iz trenutne faze Metoda se zasniva na pronalasku valnih koeficijenata koji leže na ivici. Valni koeficijenti koji leže na ivici ( ) izdvoje se iz skalograma jednom od prethodno navedenih metoda. Izdvojeni valni koeficijenti odgovaraju jednadžbi ( ) ( ) ( ( )) 6.49 Ovojnica valnih koeficijenata koji leže na ivici odgovara realnom dijelu jednadžbe 6.49 i prikazana je jednadžbom ( ) ( ) 6.50 Može se uočiti eksponencijalni član koji prigušuje amplitudu u vremenu. Logaritmiranjem i deriviranjem po vremenu jednadžbe 6.50 dobije se član, što je prikazano jednadžbom ( ( ) )

98 Valna transformacija i modalni parametri U fazi ivice nalazi se podatak o prigušenoj vlastitoj frekvenciji pomoću kojeg se iz jednadžbe 6.51 konačno detektira koeficijent relativnog prigušenja. Faza valnih koeficijenata koji leže na ivici je prikazana jednadžbom ( ) ( ) 6.52 Derivacija jednadžbe 6.52 u vremenu jednaka je vlastitoj prigušenoj frekvenciji što je prikazano jednadžbom ( ) 6.53 Ovim je prikazana veza između funkcija trenutne amplitude i trenutne faze signala s koeficijentom relativnog prigušenja i vlastitom prigušenom frekvencijom. Ova metoda se temelji na jednostavnoj metodi logaritamskog dekrementa koju su u kombinaciji s valnom transformacijom primijenili Ruzzene [3] i Staszewski [4]. Na sljedećem primjeru prikazan je postupak detekcije Primjer 16 Detekcija prigušenja i vlastite frekvencije ovojnice i trenutne faze Ovaj primjer se naslanja na skalogram iz primjera 13. Na slici (Slika 28b) prikazan je iznos izdvojenih valnih koeficijenata koji leže na ivici. Sljedećom slikom prikazani su logaritam vrijednosti amplitude (Slika 33a) i trenutna faza (Slika 33b). (a) (b) Slika 33 Slika (a) logaritam trenutne amplitude, slika (b) trenutna faza odziva sustava jednog stupnja slobode iz primjera 13. Plava linije predstavlja detektiranu trenutnu amplitudu i trenutnu fazu ivice, dok crvena linija predstavlja prilagođeni polinom Prilagođavanjem polinoma prvog stupnja kroz sve točke pravca na slici (Slika 33a) za vremenski interval [ ] dobit će se koeficijent smjera pravca k čija je vrijednost prema jednadžbi 6.51 jednaka. Polinom prvog stupnja se prilagodi i kroz sve točke pravca prikazanog na slici (Slika 33b) čiji koeficijent smjera pravca prema jednadžbi 6.53 odgovara vlastitoj prigušenoj frekvenciji. Tako se za ovi primjer dobiju vrijednosti: 66

99 Valna transformacija i modalni parametri rad/s Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Iznos ovojnice valnih koeficijenata na ivici sastoji se od dva člana, jedan je promjenjiv ( u vremenu, a drugi je konstantan u vremenu ). Eksponent određuje izrazom ( ) 6.54 Može se uočiti kako je u ovom članu također sadržana informacija o prigušenju sustava koja je konstantna za sve valne koeficijente koji leže na ivici. To se može pokazati tako da se izvede iznos koeficijenta ( ) za vrijednost skale na vlastitoj frekvenciji ( ). Iznos modulacijske frekvencije može se prikazati kao umnožak iznosa vlastite frekvencije i skale. Pomoću tako izražene modulacijske frekvencije dobije se iznos koeficijenta ( ) za vlastitu frekvenciju. Dobiveni izraz prikazan je jednadžbom ( ) 6.55 Tehniku za detekciju relativnog koeficijenta prigušenja iz jednadžbe 6.55 predstavio je Slavić [12] i sastoji se od računanja omjera između dva valna koeficijenta,. Valni koeficijenti i trebaju biti izračunati tako da se njihova vrijednost međusobno ne pokrati. To se postiže tako da se isti valni koeficijent izračuna s drukčijom modulacijskom frekvencijom (pomak valne funkcije je nepromijenjen), što za posljedicu ima promjenu širine prozorske funkcije pošto će se za zadanu frekvenciju promijenit vrijednost skale. Da bi se takva kontrola valne funkcije uspostavila potrebno je uvesti novi set parametara valne funkcije umjesto skale, pomaka i modulacijske frekvencije. Uvode se sljedeći parametri: parametar koji upravlja širinom valne funkcije u vremenu parametar koji upravlja dužinom i položajem valne funkcije frekvencija valne funkcije koja odgovara vlastitoj frekvenciji sustava U nastavku slijedi prikaz veze parametara,, s parametrima,,. Prvo se definira dužina valne funkcije (jed 6.56) gdje su: jedan period vlastita frekvencija k perioda valne funkcije na vlastitoj frekvenciji sustava 67

100 Valna transformacija i modalni parametri Potom se definira i pomak funkcije koji postavlja valnu funkciju u sredinu vremenskog intervala kako je prikazano jednadžbom Treba istaknuti kako uvođenje parametra uzrokuje kraću valnu funkciju od trajanja izmjerenog signala, odnosno matematički. Pošto je dužina valne funkcije vezana s pomakom tako se s promjenom dužine valne funkcije ujedno mijenja i pomak valne funkcije. Tako najveći pomak koji valna funkcija može imat je. Sljedeći korak je povezati parametar skale i modulacijsku frekvenciju s parametrom širine prozorske funkcije i vlastitom frekvencijom na kojoj se traži koeficijent relativnog prigušenja. Trajanje valne funkcije može se izraziti u obliku 6.58 gdje je standardno odstupanje od srednje vrijednosti valne funkcije u vremenu. Tako se trajanje valne funkcije može izraziti kao standardnih odstupanja od srednje vrijednosti. Za Gaborovu valnu funkciju s koeficijentom širine prozora standardno odstupanje od srednje vrijednosti prikazano je jednadžbom Uvrštavanjem jednadžbe 6.59 u jednadžbu 6.58 i izjednačavanjem s jednadžbom 6.56 dobije se izraz koji definira skalu valne funkcije preko parametra širine valne funkcije i prikazan je jednadžbom Uvrštavanjem jednadžbe 6.60 u jednadžbu 6.4 dobije se veza modulacijske frekvencije s novim parametrima kako je prikazano u jednadžbi Normalizirana Gaborova valna funkcija (jed. 4.11) izražena preko predstavljenih parametara za prikazana je jednadžbom ( ) 6.62 Na slici (Slika 34) prikazana je valna funkcija za četiri grupe parametara i. 68

101 Valna transformacija i modalni parametri (a) (b) (c) (d) Slika 34 Valna funkcija u vremenskom i frekvencijskom području za različite vrijednosti parametara i za kružnu frekvenciju rad/s. Crvena linija predstavlja harmonijsku funkciju u vremenskom području, zelena linija prozorsku funkciju u vremenskom području, plava linija predstavlja valnu funkciju. Jednadžba 4.1 izražena preko parametara i prikazana je jednadžbom ( ) ( ) Skalirana i pomaknuta valna funkcija (jed. 6.62) prikazana je jednadžbom ( ) ( ) ( ) ( ) 6.64 Skalarni umnožak valne funkcije i signala definiran je jednadžbom ( ) ( ) ( ( ) ) 6.65 gdje je gornja granica integracije definirana jednadžbom Računaju se dva valna koeficijenta ( ) čiji je omjer amplituda potrebno odrediti. Omjer je prikazan jednadžbom

102 Valna transformacija i modalni parametri ( ) ( ) ( ) 6.66 Slavič [12] je pokazao da je omjer ovako izračunata dva valna koeficijenta jednak analitičkom izrazu prikazanom u jednadžbi ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6.67 Slijedi prikaz postupaka detekcije koeficijenta relativnog prigušenja za unaprijed poznatu vlastitu frekvenciju. Jednadžbom 6.65 potrebno je izračunati dva valna koeficijenta ( ) čiji je omjer apsolutnih vrijednosti (jed. 6.66) jednak jednadžbi Potrebno je nekom od numeričkih metoda naći koeficijent relativnog prigušenja za koji je zadovoljena jednadžba Treba istaknuti kako za veće vrijednosti koeficijenta širine prozora ( ) utjecaj funkcije greške ( ( )) postaje zanemariv. Valna funkcija za parametar može se vidjeti na slici (Slika 34c i d). U idealnom slučaju u kojem su granice integracije jednake utjecaj error funkcije je također zanemariv. Za idealni slučaj se iz jednadžbe 6.67 može izraziti koeficijent relativnog prigušenja. Izraz s kojim je koeficijenta relativnog prigušenja definiran prikazan je jednadžbom ( ) ( ) 6.68 Autori [12] razlikuju dvije metode, ovisno o tome koji je izraz korišten u detekciji koeficijenta relativnog prigušenja. Tako primjenom izraza 6.67 metoda se zove na engleskom jeziku: Morlet Wave Damping Identification Method MVDI; odnosno primjenom izraza 6.68 metoda se zove na engleskom jeziku: Exact Morlet Wave Damping Identification Method EMVDI. Slijedi demonstracija opisanog na jednostavnom primjeru Primjer 17 Detekcija koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude VT-aNa odzivu sustava iz primjera 11 provedena je detekcija primjenom opisane metode. Odabrani parametri valne funkcije su: rad/s Na idućoj slici (Slika 35) dan je prikaz odnosa valne funkcije i signala čiji se skalarni umnožak računa jednadžbom

103 Valna transformacija i modalni parametri (a) (b) Slika 35 Usporedni prikaz signala odziva sustava s jednim stupnjem slobode (plava linija) i valne funkcije (zelena linija) za dva različita parametra širine valne funkcije. Slika (a) za parametar, slika (b) za parametar Nakon izračuna skalarnih umnožaka signala i valne funkcije može se odrediti njihov omjer apsolutnih vrijednosti prema jednadžbi Zatim se nekom od gradijentnih metoda nađe nul-točka jednadžbe ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6.69 Na slici (Slika 36) grafički je prikazana jednadžba 6.69 u ovisnosti o. Na mjestu gdje leži nultočka očitava se vrijednost što odgovara zadanom prigušenju sustava. Slika 36 Grafički prikaz jednadžbe ( ) s crnim punim linijama označena je nul-točka. 71

104 Valna transformacija i modalni parametri Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz faze VT Informacija o trenutnoj fazi valne transformacije (jed. 6.48) sadržana je u sklopu člana ( ( )). Faza valne transformacije sustava s jednim stupnjem slobode prikazana je jednadžbom Ako se za skalu postavi vrijednost koja odgovara vlastitoj frekvenciji ( ) i uzevši u obzir da je modulacijska frekvencija jednaka može se izvesti analitički izraz koji definira fazu valne transformacije na vlastitoj frekvenciji. Trenutna faza na vlastitoj frekvenciji prikazana je jednadžbom Pošto je jednadžba 6.19 odnosno 6.48 izvedena za odziv koji definira pomake sustava s jednim stupnjem slobode, trenutna faza valne transformacije odgovara trenutnoj fazi odziva sustava s jednim stupnjem slobode definiranim s jednadžbom 5.6. Sljedeći istu logiku trenutna faza valne transformacije od odziva koji definira brzine sustava s jednim stupnjem slobode (jed. 5.8) prikazana je jednadžbom Ako se promotri jednadžba 5.7 može se uočiti da konstanta kuta, matematički zapisano jednadžbom je jednaka kosinusu faznog 6.72 Dakle, koeficijent relativnog prigušenja bi trebao odgovarati razlici trenutnih faza definiranih jednadžbama 6.70 i 6.71 što je pokazao Le [8]. Koeficijent relativnog prigušenja dobiven iz trenutne faze valne transformacije prikazan je jednadžbom ( ) ( ) 6.73 Kod ove metode potrebno je poznavati ne samo odziv ubrzanja (tipično), nego je potrebno još imati i odziv brzine sustava. Obično se kod identifikacije mjeri samo jedan tip odziva tako je drugi tip potrebno izvesti integracijom ili derivacijom signala odziva. Pošto je odziv mehaničkog sustava harmonijski (jed. 5.12) tako se deriviranje/integriranje može izvesti jednostavno množenjem/dijeljenjem signala u frekvencijskom području ( ) s. Dodatno, deriviranje/integriranje signala može se napraviti pomoću derivacije/integrala valne funkcije, pošto je ( ) ( ) ( ) ( ). To svojstvo omogućuje Cauchy valna funkcija pošto derivacija/integral valne funkcije daje opet valnu funkciju istog oblika (jed i 4.19). 72

105 Valna transformacija i modalni parametri Detekcija formi vibriranja Za razliku od detekcije koeficijenata relativnog prigušenja i vlastitih frekvencija, detekcija formi vibriranja sustava primjenom valne transformacije temelji se na dva koraka. Dodatno je potrebno napraviti valnu transformaciju odziva svih stupnjeva slobode sustava, odnosno masa, zatim se postupak može podijeliti na: određivanje iznosa formi računajući odnose među iznosima ivica pojedinih masa za svaku vlastitu frekvenciju određivanje predznaka forme iz razlike među trenutnim fazama pojedinih masa za svaku vlastitu frekvenciju Važno je istaknuti da na forme vibriranja sustava utječe prigušenje sustava. Ako je sustav prigušen proporcionalnim prigušenjem dobit će se realne forme, no ako je prigušenje neproporcionalno to uzrokuje kompleksne forme koje su promjenjive u vremenu. Ovaj rad obrađuje postupak detekcije za slučaj proporcionalnog prigušenja. Valna transformacija sustava s više stupnjeva slobode prikazana je jednadžbom Le [8] izražava formu j-tu vibriranja sustava kao odnos između j-te ivice k-te mase s j-tom ivicom referentne mase m. Odnos je prikazan jednadžbom ( ) ( ) 6.74 Uvrštavanjem jednadžbe 6.29 u jednadžbu 6.74 za j-tu ivicu, dobije se jednadžba 6.75 za iznos forme predstavljen od Le [8] Predznak forme odredi se iz razlike trenutnih faza k-te i m-te ivice, što je prikazano jednadžbom ( ) ( ) ( ) 6.76 gdje su trenutne faze j-te ivice jednake: ( ), ( ). Uvrštavanjem navedenih izraza za fazu u jednadžbu 6.76 izvede se ovisnost predznaka forme koja je prikazana jednadžbom ( )

106 Valna transformacija i modalni parametri Može se uočiti da predznak forme ovisi o faznom kutu odziva sustava (jed. 5.6). Ako dvije mase titraju zajedno onda će razlika među njima biti nula što će značiti pozitivni predznak forme. No, ukoliko mase titraju u suprotnom smjeru jedna drugoj tada će razlika između fazi biti što će značiti negativni predznak forme. Slijedi opis primjene na jednostavnom primjeru Primjer 18 Detekcija formi vibriranja primjenom VT Neka je zadan sustav s dva stupnja slobode prikazan slikom (Slika 18), sa sljedećim parametrima: kg, N/m, N/m, ( ) m/s. Matrica prigušenja sustava zadana je izrazom, gdje su koeficijenti,. Računaju se koeficijenti valne transformacije primjenom Gaborove valne funkcije s parametrima valne funkcije: Hz,. Na slici (Slika 37) prikazani su skalogrami odziva obiju masa. (a) (b) Slika 37 Skalogrami odziva obiju masa. (a) odziv, (b) odziv Na idućoj slici (Slika 38) dan je usporedni prikaz iznosa ivica i trenutnih fazi na osnovu kojih se određuju iznosi i predznaci formi. 74

107 Valna transformacija i modalni parametri (a) (b) (c) (d) Slika 38 Ivice i trenutne faze na osnovu kojih se određuju forme. Na slici (a) i (b) usporedno su prikazane ivice i trenutne faze koje odgovaraju prvoj vlastitoj frekvenciji. Plava linija odgovara odzivu prve mase, dok crvena crtkana linija odgovara odzivu druge mase. Na slici se može uočiti gotovo savršeno preklapanje linija. Na slikama (c) i (d) s jednakim postavom linija, dan je prikaz za drugu vlastitu frekvenciju. Na slici (d) može se uočiti kako su trenutne faze paralelne i razmaknute Na sljedećim slikama dan je omjer ivica, koji odgovara iznosu forme zajedno s razlikom faze na čiju osnovu su određeni predznaci formi. Za prvu formu : (b) (a) Slika 39 Usporedni prikaz iznosa forme slika (a), slika (b) razlika faze. Indeksi plave linije:, ; indeksi crvene linije, 75

108 Valna transformacija i modalni parametri Za drugu formu (a) (b) Slika 40 Usporedni prikaz iznosa forme slika (a), slika (b) razlika faze. Indeksi plave linije:, ; indeksi crvene linije, Pošto ivica valne transformacije posjeduje vremensku komponentu tako dobivene vrijednost forme odrede se na osnovu srednje vrijednosti. Treba voditi računa o rubovima gdje se javlja greška u trenutnoj amplitudi i trenutnoj fazi. Matrica svojstvenih vrijednosti (jed. 5.20) određena na osnovu vrijednosti prikazanih na slikama (Slika 39) i (Slika 40) prikazana je jednadžbom [ ] 6.78 Ovim primjerom prikazani su svi potrebni elementi za detekciju modalnih parametara. Slijedi poglavlje s numeričkim primjerima. 76

109 Numerički primjeri 7. Numerički primjeri Ovo poglavlje se bazira na dva numerička modela na osnovu kojih će se ispitati opisana metodologija za detekciju modalnih parametara koristeći kontinuiranu valnu transformaciju. Modeli su odabrani tako da se prikažu ograničenja opisane metodologije i upravo na takvim primjerima napravi usporedba s tradicionalnim metodama. Prvi model je sustav s dva stupnja slobode s dovoljno razmaknutim vlastitim frekvencijama (slabo spregnut). Drugi model je sustav s dva stupnja slobode s bliskim vlastitim frekvencijama (jako spregnut). Oba primjera su testirana na tri razine prigušenja u sustavu 1x, 2x, 4x te su dodatno opterećeni greškama. Ovim poglavljem obuhvaćena su još i tri teorijska dodatka kao praktični dodatak pojedinih dijelova 6. poglavlja. Dodatci se odnose na način unosa greške u signal uvođenjem veličine odnos signal-šum. Zatim, pravilan odabir parametara valne funkcije kao dodatak poglavlju 0. Treći dodatak se odnosi na metodu detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude ivice kao dodatak poglavlju u kojem je predstavljen nov način odabir parametara valne funkcije uz opis postupka detekcije koeficijenta relativnog prigušenja. Poglavlja su koncipirana tako da svaka razina prigušenja pojedinog primjera predstavlja poseban slučaj detekcije navedenim metodama za različite razine grešaka u signalu. Rezultati detekcije parametara svakom od metoda navedeni su zasebno u tabličnom prikazu uz dodatak grafičkog prikaza karakterističnih pojava pojedine metode Sustav s dva stupnja slobode slabo spregnut Neka je zadan mehanički sustav s dva stupnja slobode prikazan slikom Slika 18. Parametri sustava odabrani su tako da dvije vlastite frekvencije budu dovoljno razmaknute. Parametri sustava su: kg, N/m, N/m, ( ) m/s. Prigušenje sustava je proporcionalno s vrijednostima koeficijenata: i. Simulirani su odzivi sustava za tri razine konstante prigušenja Ns/m. Kod simulacije odziva sustava korišteni su sljedeći parametri uzorkovanja signala: S/s, s (jed. 2.4 i 2.5). Na idućoj slici (Slika 41) prikazana je funkcija impulsnog odziva za oba stupnja slobode kao i pripadajuća funkcija frekvencijskog odziva samo za jedan slučaj prigušenja. 77

110 Numerički primjeri (a) (b) Slika 41 Simulirani odziv sustava za slučaj prigušenja Ns/m. Slika (a) prikazuje funkciju impulsnog odziva za obje mase, a slika (b) iznos prijenosne funkcije sustava za obije mase Iz zadanih parametara sustava mogu se izračunati modalni parametri koji predstavljaju referentne vrijednosti za detekciju. Modalni parametri predstavljeni su tablično (Tablica 5). Tablica 5 Referentne vrijednosti modalnih parametara slabo spregnutog sustava Hz Ns/m Ns/m Ns/m Signal je dodatno opterećen greškama u signalu i to na tri razine. Detaljniji opis unosa greške u signal opisan je u nastavku Unos greške u simulirani signal Mjera kojom se razina šuma u signalu izražava naziva se odnos signal-šum (eng. signal to noise ratio SNR). Odnos se definira preko logaritma omjera varijance signala i varijance šuma, kako je prikazano jednadžbom 7.1. ( ) 7.1 Šum se u signal dodaje prema varijanci signala na način da se generira šum čija varijanca odgovara zadanom odnosu signal-šum. Za generiranje šuma korištena je standardna funkcija unutar programskog paketa Matlab za generiranje slučajnih brojeva rand(n). 78

111 Numerički primjeri Slika 42 Primjer generiranog šuma (crvena linija) za zadani odnos od 12dB spram signala (plava linija) Modalni parametri se identificiraju iz signala oblika prijelazne pojave. Opadanje razine signala s vremenom smanjuje razliku između šuma i razine signala. Detekcija je moguća sve dok šum ne prevlada signal odziva sustava. Primjeri su ispitani na tri razine signal-šum: 6, 12 i 24 db Odabir parametara valne funkcije Kod odabira parametara valne funkcije treba uzeti u obzir dva ograničenja. Prvo ograničenje se odnosi na frekvencijsku razlučivost koju valna funkcija treba imati. Dakle parametri valne funkcije trebaju biti odabrani tako da valna funkcija na skalama susjednih vlastitih frekvencija dobro razlučuje svaku od njih, kako je navedeno u jednadžbi Pošto se valna transformacija računa na signalu konačne duljine potrebno je obratiti pažnju i na utjecaj rubne pojave. Posebnu pažnju treba obratiti oko utjecaja rubne pojave zbog unosa greške u signal na početku. Pošto se glavnina informacija nalazi upravo na početku signala potrebno je tako odabrati parametre valne funkcije da se što više utjecaj ruba umanji. Utjecaj ruba se označava preko veličine radijusa utjecaja ruba definiranom jednadžbom Kod odabira modulacijske frekvencije treba voditi računa o frekvenciji uzorkovanja signala (jed. 2.4) jer je njome ograničena i valna funkcija. Najveća dopuštena frekvencija je Nyquistova frekvencija, no Slavič [12] preporučuje barem deset puta veću frekvenciju uzorkovanja signala najveće vlastite frekvencije. Praktično vlastita modulacijska frekvencija može biti i veća od Nyquistove frekvencije samo ukoliko je na najmanjoj vrijednosti skale manja od Nyquistove frekvencije, jed Smanjivanje vrijednosti koeficijenta širine prozora uzrokuje sužavanje valne funkcije u vremenskom području (Slika 4) što ujedno znači i smanjivanje utjecaja ruba. Naravno da pri smanjivanju koeficijenta treba paziti da uvjet bude zadovoljen. Sužavanjem prozorske 79

112 Numerički primjeri funkcije u vremenskom području, zbog Heisembergovog principa nesigurnosti (jed. 3.6), ima za posljedicu širenje prozorske funkcije u frekvencijskom području što znači gubitak razlučivosti. To dovodi do uvjeta definiranog jednadžbom 6.30 o najvećem frekvencijskom pojasu valne funkcije (jed. 6.36). Iz navedenog se može zaključiti kako valna funkcija treba imati minimalan utjecaj na rubnu pojavu uz zadovoljavanje uvjeta Autori u radovima [6], [8]-[10] kvantificiraju utjecaj ruba te pogotovo autori radova [8] i [10] koji daju granice definirane preko standardnih odstupanja valne funkcije, u kojima se trebaju kretati vrijednosti parametara valnih funkcija. Tako parametar koji se koristi u ovom radu (jed. 4.27) uveo je Slavič u [6]. Zbog korištenja drukčije valne funkcije izraz je proširio Le u [8] tako što je uveo konstante i koje predstavljaju radijuse utjecaja u vremenu i frekvenciji. Tipično je i veza s parametrom za slučaj Gaborove valne funkcije definirana je s. No, konkretno vrijednost parametra ili se određuje iskustveno. Vezano uz navedeni parametar, Le [8] i Erlicher [10] preko konstante kvalitete filtra Q definiranim u jednadžbi 4.8 navode u kojim se granicama parametri valne funkcije trebaju kretati. Ovdje će se predstaviti mogući pokazatelj pomoću kojeg će se definirati najmanji iznos koeficijenta iz jednadžbe 6.36 tako da se još uvijek osigura dobra razlučivost dva susjedna moda. Pokazatelj utjecaja susjednog moda može se prikazati preko utjecaja na trenutnu fazu ivice promatrane vlastite frekvencije (jed. 6.48). Na idućoj slici (Slika 43) prikazana je faza valne transformacije za različite vrijednosti koeficijenta. (a) (b) (c) (d) Slika 43 Derivacija trenutne faze ivice na prvoj vlastitoj frekvenciji za različite veličine prozorske funkcije 80

113 Numerički primjeri Na slici (Slika 43a i b) može se uočiti kako sa smanjivanjem koeficijenta raste utjecaj na fazu i to za nekoliko redova veličine. Zatim, na slici (Slika 43d) prikazan je zanemariv utjecaj na fazu dok se faza prikazana na slici (Slika 43c) može se uzeti kao granični slučaj. Tako za ovaj primjer granična vrijednost koeficijenta iznosi. Sada je potrebno odrediti granični iznos kvocijenta preko kojeg bi se za drukčiju razliku vlastitih frekvencija mogao odrediti iznos koeficijenta, odnosno preko njega parametri valne funkcije. Na slici (Slika 44) dan je usporedni prikaz prijenosne funkcije sustava te valne funkcije postavljene na obje vlastite frekvencije. Vertikalnim linijama označen je najveći frekvencijski pojas valne funkcije koji je potrebno odrediti za zadane frekvencije. Slika 44 Valne funkcija centrirana na prvoj i drugoj vlastitoj frekvenciji za iznos koeficijenta. Plavom linijom prikazana je umanjena prijenosna funkcija odziva prve mase iz primjera, zelenom debelom linijom prikazana je valna funkcija, s crvenom i ljubičastom linijom prikazane su granične vrijednosti frekvencijskog pojasa valne funkcije na centralnim frekvencijama Prvo se određuje rezna frekvencija valne funkcije ( ) (jed. 6.36) preko koeficijenta koji je jednakog iznosa za valnu funkciju na vlastitoj frekvenciji i. Sada se može postaviti jednadžba 7.3. ( ) ( ) 7.3 koja predstavlja frekvenciju na vertikalnoj ljubičastoj liniji sa slike (Slika 44). Sređivanjem jednadžbe i uvrštavanjem jednadžbe 6.36 može se napisati jednadžba 7.4. ( ) 7.4 Jednadžbom 7.4 uspostavljena je veza između koeficijenta širine prozora definira reznu frekvenciju. Jednadžbom 7.5 izražen je kvocijent. i kvocijenta koji (( ) )

114 Numerički primjeri Sada se za ovaj numerički primjer može izračunati granični kvocijent koji iznosi, pretvoreno u db prema jednadžbi 6.31 dobije se iznos db. Sad kad je poznat iznos kvocijenta prozorske funkcije što daje jednadžbu 7.6. iz jednadžbe 7.4 može se izlučiti koeficijent širine 7.6 Jednadžbom 7.6 određen je najbolji iznos koeficijenta širine prozora za koji je utjecaj ruba najmanji da pri tom ne dođe do narušavanja uvjeta definiranog jednadžbom Za ovaj numerički primjer odabrani su sljedeći parametri Gaborove valne funkcije i isti se kosriste u sva tri slučaja: Hz određen prema koeficijentu Slučaj 1 prigušenje Ns/m Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 45 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 12dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 6) navedeni su rezultati za tri razine šuma primjenom metode presjeka (CS) i fazne metode (PM) za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. 82

115 Numerički primjeri Tablica 6 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice f 1 t f 2 t SNR= CS SNR= SNR= SNR= PM SNR= SNR= Na idućoj slici (Slika 46) prikazana je ovojnica i trenutna faza za slučaj odnos signal-šum 24dB. Slika 46 Ovojnica i trenutna faza ivice, detektirane metodom presjeka za obije mase za razinu signal-šum 24dB. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice uporabljen za detekciju 83

116 Numerički primjeri U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja (Tablica 7). Tablica 7 Iznosi formi za različite razine šuma 1. slučaja SNR=24 SNR=12 SNR= Vrijednosti iz tablice prikazane su u usporednom grafičkom prikazu na slici (Slika 47). Slika 47 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Ivice iz skalograma su izdvojene pomoću metode presjeka. Primijenjeni su isti vremenski intervali kao za detekciju vlastitih frekvencija i koeficijenta relativnog prigušenja kod metode presjeka Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Glavni problem ove metode je kako odabrati parametre valne funkcije tako da se osigura pouzdanost identificiranog parametra. Slavič [12] navodi smjernice za odabir parametara te objašnjava njihov utjecaj na osjetljivost detekcije. U istraživanjima koja su provedena ovim radom, pokazalo se da koeficijent relativnog prigušenja oscilira s različitim parametrima valne funkcije, pogotovo kada se u signal dodaje šum. Tako se nameće pitanje pouzdanosti u rezultat identifikacije kada koeficijent relativnog prigušenja nije unaprijed poznat. U tu svrhu će se na primjerima s unaprijed poznati parametrima napraviti detekcija ne za samo jednu grupu parametara, već za cijeli raspon relevantnih parametara i navest kriterij za prihvaćanje rezultata identifikacije. Pod pojmom relevantnih parametara se misli na parametre koji zadovoljavaju sljedeće uvjete: Uvjeti koji određuju najveći i najmanji teoretski broj perioda valne funkcije (jed. 7.7) [ ]

117 Numerički primjeri Uvjet koji uzima u obzir frekvencijsku razlučivost u slučaju bliskih vlastitih frekvencija (jed. 7.8) ( ) 7.8 Uvjet koji ograničava dužinu valne funkcije prema dužini trajanja signala (jed. 7.9) 7.9 Parametri širine prozorske funkcije i uzeti su prema preporuci autora [12], što se i u ovoj studiji pokazalo ispravnim. Autor preporučuje vrijednost parametra. Preporučena vrijednost prvog parametra je. Analiza se također provodi i za raspon parametara. U analizi svih primjera korišteni su isti parametri širine, za razliku od parametra čije granice variraju od primjera do primjera. Korištene su sljedeće vrijednosti parametra =5 [ ] Postupak identifikacije koeficijenta relativnog prigušenja se sastoji od postupka definiranja raspona parametra uzimajući u obzir gore navedene uvjete. Zatim se računa koeficijent relativnog prigušenja za sve kombinacije parametara što rezultira 3D mapom detektiranih koeficijenata prigušenja, koji ovise o koeficijentima i. Parametar se ne mijenja. Slikom (Slika 48a) prikazana je 3D mapa detektiranih prigušenja za idealan slučaj bez šuma. (a) (b) Slika 48 Slika (a) 3D mapa detektiranih vrijednosti koeficijenta relativnog prigušenja za različite vrijednosti parametara i. Slika (b) vrijednost koeficijenta relativnog prigušenja usrednjenu po varijabli plava linija. Crvenom crtkanom linijom prikazana je vrijednost standardnog odstupanja od srednje vrijednosti, dok je crnom linijom označena ona vrijednost koeficijenta relativnog prigušenja s najmanjim odstupanjem od srednje vrijednosti 85

118 Numerički primjeri Na slici (Slika 48a) može se uočiti da se za male vrijednosti parametara i javljaju veća odstupanja od rješenja, dok za povećavanje oba parametra detektirane vrijednosti konvergiraju u zadanu vrijednost. Tako se radi praktičnijeg prikaza 3D mapa prikaže dvodimenzionalno na način da se izračunaju srednje vrijednosti koeficijenta relativnog prigušenja duž osi, zatim se istaknu standardna odstupanja od izračunate srednje vrijednosti. Rješenje se traži na mjestu gdje je najmanje standardno odstupanje od srednje vrijednosti, kao što je u ovom iznos na mjestu detektirana vrijednost koeficijenta relativnog prigušenja:. Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ], drugu vlastitu frekvenciju [ ]. Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 49) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 8). Slika 49 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Tablica 8 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 1 k k SNR= MWDI SNR= SNR=

119 Numerički primjeri Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT U ovom poglavlju predložena je metodologija za detekciju vlastite frekvencije i koeficijenta relativnog prigušenja. Pošto valna transformacija realnog signala nije savršena, ne samo zbog utjecaja rubne pojave, već i zbog postojanja šuma i drugih utjecaja koji unose grešku u signal potrebno je razviti tehniku na osnovu koje se s pouzdanošću može izvršiti detekcija. Predlažu se sljedeći koraci: ovisno o vrsti signala (pomak, brzina ili ubrzanje) potrebno je izvršiti operaciju integracije/derivacije signala. Pošto se signal sastoji od harmonijskih komponenti tako je veza u frekvencijskom području između pomaka, brzine i ubrzanja uspostavljena izrazima Primjenom spomenute ovisnosti izvrši se postupak integracije/derivacije. izvorni i izvedeni signala se transformira u domenu vrijeme-skala (frekvencija) nekom od predloženih metoda izdvojiti valne koeficijente koje leže na ivici, primjerice metoda presjeka. u ovom koraku potrebno je iz izdvojenih ivica izdvojiti trenutnu fazu. Izdvojene faze bi trebale biti dva paralelna pravca razmaknuta za određeni iznos kuta što je prikazano na primjeru bez šuma na slici (Slika 50a). Primjenom jednadžbe 6.73 odredi se niz vrijednosti koje trebaju odgovarati koeficijentu prigušenja. Pošto trenutne faze nisu idealno paralelne što zbog utjecaja rubne pojave i šuma u signalu tako je potrebno definirati vremenski prozor unutar kojeg se vrši identifikacija. Na slici (Slika 50b) prikazana je primjena jednadžbe 6.73 na primjeru bez šuma. (a) (b) Slika 50 Slika (a) usporedni prikaz trenutne faze pomaka (crvena linija) i trenutne faze brzine (plava linija). Na slici (b) plavom linijom je prikazan kosinus vrijednosti razlika dviju trenutnih fazi Na slici (Slika 50b) može se uočiti da su rubni dijelovi značajno oštećeni što je razlog rubne pojave. Dakle potrebno je prilagoditi pravce (jed i 7.116) na onom dijelu gdje je utjecaj ruba umanjen definiranjem prozora. 87

120 Numerički primjeri Nije dovoljno prilagoditi pravac samo unutar granica prozora za koje se smatra da je utjecaj ruba smanjen već se predlaže iterativan postupak prilagođavanja pravaca u kojem se početna vrijednost fiksira na barem ( ) dok se druga iterativno povećava, sve do krajnje granice koja može biti i manja od ( ). U svakom koraku računa se koeficijent relativnog prigušenja (prema jed. 6.72), i za svaki korak se provjerava paralelnost prilagođenih pravaca na način da se računa vrijednost. Na ovom primjeru prikazano je za slučaj bez utjecaja šuma za prvi stupanj slobode na slici (Slika 51). Slika 51 identificirani koeficijent relativnog prigušenja u ovisnosti o promjeni granice prozora detekcije zelena linija u usporednom prikazu s odgovarajućom razlikom koeficijenata pravaca plava linija. Crnom vertikalnom linijom prikazana je najmanja razlika koeficijenata pravaca u na kojoj se nalazi identificirana vrijednost Na slici Slika 51 može se uočiti kako s proširivanjem granice paralelnost među prilagođenim pravcima raste sve dok se ne približi krajnjoj granici grde se ponovno smanji. Jednako tako se može uočiti konvergencija koeficijenta relativnog prigušenja ka točnom rezultatu pa se za identificiranu vrijednost uzima ona kod koje je razlika među koeficijentima pravaca najmanja. Na simulirane rezultate je dodan šum i rezultati detekcije prikazani su tablično (Tablica 9), dok su slikom (Slika 52) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. 88

121 Numerički primjeri Slika 52 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Tablica 9 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m f 1 t f 2 t SNR= (8) (8) PHASE SNR= (8) (8) SNR= (6) (5) Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza Detekcija tradicionalnim metodama Prikazani rezultati dobiveni su pomoću dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i Modal View [49]. Oba softvera koriste drukčiju metodologiju za detekciju modalnih parametara iz frekvencijskog područja. ModalView nudi mogućnost detekcije s dvije metode. Rezultati su dobiveni tako što su u program unesene funkcije impulsnih odziva i dobiveni rezultati prikazani su tablično (Tablica 10). 89

122 Numerički primjeri Tablica 10 rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s f 1 f 2 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= Na sljedećoj slici (Slika 53) grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ME'Scope. (a) (b) Slika 53 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 12dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu U idućoj tablici (Tablica 11) prikazani su iznosi formi vibriranja. 90

123 Numerički primjeri Tablica 11 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s SNR=24 SNR=12 SNR=6 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP Slijede rezultati za slučaj drugi slučaj u kojem je prigušenje povišeno dva puta Slučaj 2 prigušenje Ns/m Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 54 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 12dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu 91

124 Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice Numerički primjeri U tablici (Tablica 12) navedeni su rezultati za tri razine šuma primjenom metode presjeka (CS) i fazne metode (PM) za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. Tablica 12 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice f 1 t f 2 t SNR= CS SNR= SNR= SNR= PM SNR= SNR= Na idućoj slici (Slika 55) prikazana je ovojnica i trenutna faza za slučaj odnos signal-šum 12dB. 92

125 Numerički primjeri Slika 55 Ovojnica i trenutna faza ivice, detektirane metodom presjeka za obije mase za razinu signal-šum 12dB. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju. U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja. Ivice se izdvojene u signalu pomoću metode presjeka za vremenske iste vremenske intervale kao i za detekciju prethodna dva modalna parametra istom metodom, (Tablica 13). Tablica 13 Iznosi formi za različite razine šuma 2. slučaja SNR=24 SNR=12 SNR= Forme su prikazane grafički na slici (Slika 109). Slika 56 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB 93

126 Numerički primjeri Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ] drugu vlastitu frekvenciju [ ] Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 57) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 8). Slika 57 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Tablica 14 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 2 k k SNR= MWDI SNR= SNR= Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT Rezultati detekcije za ovaj slučaj prikazani su tablično (Tablica 15), dok su slikom (Slika 58) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. 94

127 Numerički primjeri Slika 58 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Tablica 15 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT prigušenje Ns/m f 1 t f 2 t SNR= (6) (6) PHASE SNR= (6) (3) SNR= (6) (3) Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza Detekcija tradicionalnim metodama Prikazani rezultati dobiveni su pomoću dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i Modal View [49]. Oba softvera koriste drukčiju metodologiju za detekciju modalnih parametara iz frekvencijskog područja. ModalView nudi mogućnost detekcije s dvije metode. Rezultati su dobiveni tako što su u program unesene funkcije impulsnih odziva i dobiveni rezultati prikazani su tablično (Tablica 16). 95

128 Numerički primjeri Tablica 16 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s f 1 f 2 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= Na sljedećoj slici (Slika 59) grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ME'Scope. (a) (b) Slika 59 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 6dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu. U idućoj tablici (Tablica 17) prikazani su iznosi formi vibriranja. 96

129 Numerički primjeri Tablica 17 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s SNR=24 SNR=12 SNR=6 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP , Slijede rezultati za slučaj treći slučaj u kojem je prigušenje povišeno dva puta u odnosu na prethodni slučaj Slučaj 3 prigušenje Ns/m Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 60 Skalograme funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 6dB. Slika (a) prikazuje skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 18) navedeni su rezultati za tri razine šuma primjenom metode presjeka (CS) i fazne metode (PM) za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. 97

130 Numerički primjeri Tablica 18 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze ivice (PM) f 1 t f 2 t SNR= CS SNR= SNR= SNR= PM SNR= SNR= Na idućoj slici (Slika 61Slika 55) prikazana je ovojnica i trenutna faza za slučaj odnos signalšum 12dB. Slika 61 Ovojnica i trenutna faza ivice, detektirane metodom presjeka za obije mase za razinu signal-šum 6dB. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju 98

131 Numerički primjeri U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja. Ivice se izdvojene u signalu pomoću metode presjeka za vremenske iste vremenske intervale kao i za detekciju prethodna dva modalna parametra istom metodom, (Tablica 19). Tablica 19 Iznosi formi za različite razine šuma 3. slučaja SNR=24 SNR=12 SNR= Forme su prikazane grafički na slici (Slika 62). Slika 62 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ] drugu vlastitu frekvenciju [ ] Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 63) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 20). 99

132 Numerički primjeri Slika 63 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Tablica 20 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 3 k k SNR= MWDI SNR= SNR= Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT Rezultati detekcije za ovaj slučaj prikazani su tablično (Tablica 21), dok su slikom (Slika 64) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. Slika 64 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost 100

133 Numerički primjeri Tablica 21 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m f 1 t f 2 t SNR= (4) (4) PHASE SNR= (4) (4) SNR= (4) (3) Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza Detekcija tradicionalnim metodama Prikazani rezultati dobiveni su pomoću dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i Modal View [49]. Oba softvera koriste drukčiju metodologiju za detekciju modalnih parametara iz frekvencijskog područja. ModalView nudi mogućnost detekcije s dvije metode. Rezultati su dobiveni tako što su u program unesene funkcije impulsnih odziva i dobiveni rezultati prikazani su tablično (Tablica 22). Tablica 22 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s f 1 f 2 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= Na sljedećoj slici (Slika 65) grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ME'Scope. 101

134 Numerički primjeri (a) (b) Slika 65 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 24dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu U idućoj tablici (Tablica 23) prikazani su iznosi formi vibriranja. Tablica 23 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s SNR=24 SNR=12 SNR=6 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP ,9984-0, Slijede rezultati za slučaj drugi slučaj u kojem je prigušenje povišeno dva puta dodatno. 102

135 Numerički primjeri Usporedba rezultata Rezultati detekcije valnom transformacijom i tradicionalnim metodama prikazani su usporedno na dijagramima u nastavku. Rezultati su prikazani relativno, tj. u postotcima prikazujući odstupanje od zadanih vrijednosti. Treba napomenuti da metoda detekcije relativnog koeficijenta prigušenja iz amplitude (poglavlje 6.5.2) ne detektira vlastitu frekvenciju. Za identifikaciju je upotrijebljena vlastita frekvencija detektirana metodom presjeka za detekciju ivice razine signal-šum 24dB i ta je navedena u dijagramu. Slijedi prikaz rezultata za prvi slučaj prigušenja. 1.00% (a) 1.00% (b) 0.50% 0.50% f % f % -0.50% -0.50% -1.00% -1.00% 10.00% 7.50% (c) 10.00% 7.50% (d) 5.00% 5.00% 2.50% 2.50% z % z % -2.50% -2.50% -5.00% -5.00% -7.50% -7.50% % % Slika 66 Usporedni prikaz rezultata detekcije slabo spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Skračenice na ordinatama dijagrama prikazanim na slikama: Slika 66, Slika 67, Slika 68, Slika 85, Slika 86, Slika 87 označavaju metode detekcije prema redoslijedu: CS vrijeme-frekvencija: Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice i vlastite frekvencije iz trenutne faze (poglavnje 6.5.1) primjenom metode presjeka za izdvajanje valnih koeficijenata koji leže na ivici (poglavlje 6.4.1) PM vrijeme-frekvencija: Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice i vlastite frekvencije iz trenutne faze (poglavnje 6.5.1) primjenom metode trenutne faze za izdvajanje valnih koeficijenata koji leže na ivici (poglavlje 6.4.3) AMPLIT vrijeme-frekvencija: Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude (poglavnje 6.5.2) 103

136 Numerički primjeri PHASE Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz faze VT (poglavlje 6.5.3) primjenom metode presjeka za izdvajanje valnih koeficijenata koji leže na ivici (poglavlje 6.4.1) ME'S frekvencija: detekcija koeficijenta relativnog rpigušenja i vlastite frekvencije primjenom komercijalong softwera ME'Scope [48] MV-LSCE frekvencija: detekcija koeficijenta relativnog rpigušenja i vlastite frekvencije primjenom komercijalong softwera MoldalVIEW [49] primjenom metode Least Square Complex Exponential MV-RFP frekvencija: detekcija koeficijenta relativnog rpigušenja i vlastite frekvencije primjenom komercijalong softwera MoldalVIEW [49] primjenom metode Rational Fraction Polynomial Na slikama (Slika 66a i b) prikazani su rezultati identifikacije vlastitih frekvencija. Nešto lošiji rezultati se mogu uočiti kod metode detekcije iz trenutne faze (PHASE) na povećanim razinama šuma za obije vlastite frekvencije. Nešto veće odstupanje rezultata se može uočiti kod tradicionalnih metoda u detekciji prve vlastite frekvencije. No treba istaknuti da se sve radi o iznosima grešaka oko 0.1% što čini grešku gotovo zanemarivom. Kod identifikacije relativnog koeficijenta prigušenja (Slika 66c i d) mogu se uočiti nešto veća odstupanja naročito kod metode PHASE za veću razinu šuma (12, 6 db). Odstupanja se također mogu uočiti kod metode detekcije koeficijenta relativnog prigušenja prve mase iz ovojnice ivice. Kod metode AMPLIT može se uočiti najmanje odstupanje od zadane razine prigušenja pogotovo za povišenje razine šuma, u odnosu na sve testirane metode. 1.00% (a) 1.00% (b) 0.50% 0.50% f % f % -0.50% -0.50% -1.00% -1.00% 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% (c) 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% (d) z % z % -2.00% -4.00% -6.00% -8.00% 5.00% 0.00% -5.00% % % 104

137 Numerički primjeri Slika 67 Usporedni prikaz rezultata detekcije slabo spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Za povišenu razinu prigušenja kode detekcije vlastitih frekvencija nešto veća odstupanja se mogu uočiti kod metode PHASE i to za povišenu razinu šuma. Ostale metode obije vlastite frekvencije detektiraju uz mala odstupanja. Kod detekcije oba relativna koeficijenta prigušenja može se uočiti sličan trend odstupanja za sve razine šuma. 1.00% (a) 1.50% 1.00% (b) 0.50% 0.50% 0.00% f % f % -1.00% -0.50% -1.50% -2.00% -1.00% -2.50% 20.00% 15.00% (c) 60.00% 50.00% (d) 10.00% 40.00% 5.00% 30.00% z % z % -5.00% 10.00% % 0.00% % % % % Slika 68 Usporedni prikaz rezultata detekcije slabo spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Kod najveće razine šuma povišena odstupanja mogu se uočiti kod druge vlastite frekvencije pogotovo kod tradicionalnih metoda ME'S i MV-LSCE u detekciji relativnog koeficijenta prigušenja za veće razine šuma. Veća odstupanja (preko 10%) uočavaju se također i kod metode PHASE u detekciji drugog koeficijenta rel. prigušenja za veće razine šuma. Iznosi relativnog koeficijenata prigušenja su: { } što upućuje na veću osjetljivost kod povišenog prigušenja. 105

138 Numerički primjeri 7.2. Sustav s dva stupnja slobode jako spregnut Neka je zadan mehanički sustav s dva stupnja slobode prikazan slikom (Slika 18). Parametri sustava su odabrani tako da su dvije vlastite frekvencije bliske. Parametri sustava su: kg, N/m, N/m, ( ) m/s. Prigušenje sustava je proporcionalno s vrijednostima koeficijenata: i. Simulirani su odzivi sustava za tri razine konstante prigušenja Ns/m. Kod simulacije odziva sustava korišteni su sljedećim parametrima uzorkovanja signala: S/s, s (jed. 2.4 i 2.5). Na idućoj slici (Slika 41) prikazana je funkcija impulsnog odziva za oba stupnja slobode kao i pripadajuća funkcija frekvencijskog odziva samo za jedan slučaj prigušenja. (a) (b) Slika 69 Simulirani odziv sustava za slučaj prigušenja Ns/m. Slika (a) prikazuje funkciju impulsnog odziva za obije mase, a slika (b) prijenosnu funkciju sustava za obije mase Iz zadanih parametara sustava mogu se izračunati modalni parametri koji predstavljaju referentne vrijednosti za detekciju. Modalni parametri predstavljeni su tablično (Tablica 24). Tablica 24 Referentne vrijednosti modalnih parametara jako spregnutog sustava Hz Ns/m Ns/m Ns/m Primjeri su ispitani na tri razine signal šum: 6, 12 i 24 db. Za ovaj numerički primjer odabrani su sljedeći parametri Gaborove valne funkcije: Hz, koeficijent 106

139 Numerički primjeri Slučaj 1 prigušenje Ns/m Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 70 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 24dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 25) navedeni su rezultati za tri razine šuma primjenom metode presjeka (CS) i fazne metode (PM) za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. Tablica 25 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice f 1 f 2 t SNR= CS SNR= SNR= SNR= PM SNR= SNR= U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja. Ivice se izdvojene u signalu pomoću metode presjeka za iste vremenske intervale kao i za detekciju prethodna dva modalna parametra istom metodom, (Tablica 26). 107

140 Numerički primjeri Tablica 26 Iznosi formi za različite razine šuma 1. slučaja SNR=24 SNR=12 SNR= Forme su prikazane grafički na slici (Slika 71). Slika 71 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ] drugu vlastitu frekvenciju [ ] Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 72) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 27). Slika 72 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja 108

141 Numerički primjeri Tablica 27 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 2 k k SNR= MWDI SNR= SNR= Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT Rezultati detekcije za ovaj slučaj prikazani su tablično (Tablica 28), dok su slikom (Slika 73) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. Slika 73 rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Tablica 28 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m f 1 t f 2 t SNR= (12) (12) PHASE SNR= (10) (10) SNR= (8) (8) Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza. 109

142 Detekcija tradicionalnim metodama Numerički primjeri Prikazani rezultati dobiveni su pomoću dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i Modal View [49]. Oba softvera koriste drukčiju metodologiju za detekciju modalnih parametara iz frekvencijskog područja. ModalView nudi mogućnost detekcije s dvije metode. Rezultati su dobiveni tako što su u program unesene funkcije impulsnih odziva i dobiveni rezultati prikazani su tablično (Tablica 29). Tablica 29 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s f 1 f 2 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= Na sljedećoj slici (Slika 74) grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ME'Scope. 110

143 Numerički primjeri (a) (b) Slika 74 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 12dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu U idućoj tablici (Tablica 30) prikazani su iznosi formi vibriranja. Tablica 30 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s SNR=24 SNR=12 SNR=6 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP Slijede rezultati za slučaj drugi slučaj u kojem je prigušenje povišeno dva puta. 111

144 Numerički primjeri Slučaj 2 prigušenje Ns/m Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 75 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 12dB. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 31) navedeni su rezultati za tri razine šuma primjenom metode presjeka (CS) i fazne metode (PM) za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. Tablica 31 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice f 1 f 2 t SNR= CS SNR= SNR= SNR= PM SNR= SNR= U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja. Ivice se izdvojene u signalu pomoću metode presjeka za vremenske iste vremenske intervale kao i za detekciju prethodna dva modalna parametra istom metodom, (Tablica 32). 112

145 Numerički primjeri Tablica 32 Iznosi formi za različite razine šuma 2. slučaja SNR=24 SNR=12 SNR= Forme su prikazane grafički na slici (Slika 71). Slika 76 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ] drugu vlastitu frekvenciju [ ] Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 77) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 32). Slika 77 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja 113

146 Tablica 33 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 2 Numerički primjeri k k SNR= MWDI SNR= SNR= Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT Rezultati detekcije za ovaj slučaj prikazani su tablično (Tablica 34), dok su slikom (Slika 78) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. Slika 78 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Tablica 34 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m f 1 t f 2 t SNR= (12) (12) PHASE SNR= (10) (10) SNR= (8) (8) n/a not available Za razinu signal-šum 6dB metoda nije u mogućnosti detektirati koeficijent relativnog prigušenja za drugu vlastitu frekvenciju zbog velikog broja grešaka u signalu. 114

147 Numerički primjeri Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza Detekcija tradicionalnim metodama Prikazani rezultati dobiveni su pomoću dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i Modal View [49]. Oba softvera koriste drukčiju metodologiju za detekciju modalnih parametara iz frekvencijskog područja. ModalView nudi mogućnost detekcije s dvije metode. Rezultati su dobiveni tako što su u program unesene funkcije impulsnih odziva i dobiveni rezultati prikazani su tablično (Tablica 35). Tablica 35 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s f 1 f 2 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= Na sljedećoj slici (Slika 77) grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ME'Scope. 115

148 Numerički primjeri (a) (b) Slika 79 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 6dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu U idućoj tablici (Tablica 36) prikazani su iznosi formi vibriranja. Tablica 36 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s SNR=24 SNR=12 SNR=6 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP Slijede rezultati za slučaj treći slučaj u kojem je prigušenje povišeno dva puta u odnosu na prethodni slučaj. 116

149 Numerički primjeri Slučaj 3 prigušenje Ns/m Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 80 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase s razinom šuma 6dB. Slika (a) prikazuje skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 37) navedeni su rezultati za tri razine šuma primjenom metode presjeka i fazne metode za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. Tablica 37 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice i trenutne faze ivice za treći slučaj f 1 f 2 t SNR= CS SNR= SNR= SNR= ,6 PM SNR= ,5.2 SNR= U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja. Ivice se izdvojene u signalu pomoću metode presjeka za vremenske iste vremenske intervale kao i za detekciju prethodna dva modalna parametra istom metodom, (Tablica 38). 117

150 Numerički primjeri Tablica 38 iznosi formi za različite razine šuma 3. slučaja SNR=24 SNR=12 SNR= Forme su prikazane grafički na slici (Slika 81). Slika 81 Usporedni prikaz formi vibriranja sustava za različite iznose signal-šuma. Plava linija: forma za SNR=24dB, crvena linija: forma za SNR=12dB, ljubičasta linija: forma za SNR=6dB Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ] drugu vlastitu frekvenciju [ ] Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 82) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 39). Slika 82 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja 118

151 Numerički primjeri Tablica 39 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz amplitude ivice za slučaj 3 k k SNR= MWDI SNR= SNR= Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT Rezultati detekcije za ovaj slučaj prikazani su tablično (Tablica 34), dok su slikom (Slika 78) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. Slika 83 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze valne transformacije. Zelena linija predstavlja koeficijent relativnog prigušenja određen na pojedinoj vrijednosti prozora, plava linija prikazuje apsolutni vrijednost razlike koeficijenata pravaca i crna vertikalna linija označava odabranu vrijednost Tablica 40 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT za prigušenje Ns/m f 1 t f 2 t SNR= (10) (12) PHASE SNR= (8) (10) SNR= (8) (8) Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza. 119

152 Detekcija tradicionalnim metodama Numerički primjeri Prikazani rezultati dobiveni su pomoću dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i Modal View [49]. Oba softvera koriste drukčiju metodologiju za detekciju modalnih parametara iz frekvencijskog područja. ModalView nudi mogućnost detekcije s dvije metode. Rezultati su dobiveni tako što su u program unesene funkcije impulsnih odziva i dobiveni rezultati prikazani su tablično (Tablica 41). Tablica 41 Rezultati identifikacije modalnih parametara u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s f 1 f 2 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= SNR= Na sljedećoj slici (Slika 84) grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ME'Scope. 120

153 Numerički primjeri (a) (b) Slika 84 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plava linija) razine signal-šum 24dB te prijenosne funkcije prilagođene na izvornu (crvena linija) primjenom ME'Scope komercijalnog softvera. Slika (a) odnosi se na prvu masu, slika(b) na drugu masu U idućoj tablici (Tablica 42) prikazani su iznosi formi vibriranja. Tablica 42 Iznosi detektiranih formi vibriranja u frekvencijskom području primjenom komercijalnog softvera za Nm/s SNR=24 SNR=12 SNR=6 ME Scope Modal View LSCE Modal View RFP

154 Numerički primjeri Usporedba rezultata Rezultati detekcije valnom transformacijom i tradicionalnim metodama prikazani su usporedno na dijagramima u nastavku. Rezultati su prikazani relativno, tj. u postotcima prikazujući odstupanje od zadanih vrijednosti. Treba napomenuti da metoda detekcije relativnog koeficijenta prigušenja, ne detektira vlastitu frekvenciju. Za identifikaciju je upotrijebljena vlastita frekvencija detektirana metodom presjeka za detekciju ivice razine signal-šum 24dB i ta je navedena u dijagramu. Slijedi prikaz rezultata za prvi slučaj prigušenja. 1.00% (a) 1.00% (b) 0.50% 0.50% f % f % -0.50% -0.50% -1.00% -1.00% z % 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% 0.00% -2.00% -4.00% -6.00% -8.00% (c) z % 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% 0.00% -2.00% -4.00% -6.00% -8.00% (d) Slika 85 Usporedni prikaz rezultata detekcije jako spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Detekcija vlastitih frekvencija kod jako spregnuti sustava na svim razinama šuma ne pokazuje veća odstupanja od zadanih iznosa, greška se nalazi oko 0.1% i manje. No kod detekcije koeficijenta relativnog prigušenja naročito kod povišenog šuma (6dB) primjećuju se veća odstupanja kod većine metoda (CS, PM, PHASE, MV-LSCE). Metoda AMPLIT prikazuje popriličnu otpornost kod detekcije na svim razinama šuma s greškom unutar 2%. 122

155 Numerički primjeri 5.00% 4.00% (a) 5.00% 4.00% (b) 3.00% 3.00% f % f % 1.00% 1.00% 0.00% 0.00% -1.00% -1.00% 20.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% % z % z % -5.00% % % % (c) % % % (d) Slika 86 Usporedni prikaz rezultata detekcije jako spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Za povišenu razinu prigušenja sve metode još uvijek na svim razinama prigušenja uz relativno mala odstupanja detektiraju obije vlastite frekvencije. No, kod prigušenja se mogu uočiti veća odstupanja pogotovo kod metode PHASE koja na razini šuma (6dB) više nije u mogućnosti pouzdano odrediti iznos prigušenja zbog prevelike pojave grešaka u signalu. 3.00% 2.50% (a) 3,00% 2,50% (b) 2.00% 2,00% 1.50% 1,50% 1.00% 1,00% f % f 2 0,50% 0.00% 0,00% -0.50% -0,50% -1.00% -1,00% -1.50% -1,50% (c) (d) 123

156 Numerički primjeri z % 20.00% 10.00% 0.00% % % % % z 2 60,00% 40,00% 20,00% 0,00% -20,00% -40,00% -60,00% -80,00% Slika 87 Usporedni prikaz rezultata detekcije jako spregnutog sustava primjenom svih metoda za prigušenje Ns/m. Razina signal-šum označena je bojama: plava 24dB, crvena 12dB, zelena 6dB Na najvišoj razini prigušenja sve metode osim metode PHASE detektiraju vlastitu frekvenciju. Na ovoj razini prigušenja metoda PHASE je zakazala, što je razlog mali broj neoštećenih informacija unutar skalograma. Pošto se modalni parametri detektiraju iz signala prijelazne pojave tako za veće razine prigušenja vrijeme prijelazne pojave se drastično skraćuje. Pošto su frekvencije bliske tako je povećan utjecaj rubne pojave koja obuhvati glavninu prijelazne pojave. Velika odstupanja mogu se uočiti i kod metoda CS i PM kod većih razina šuma. Metoda AMPLIT pokazuje najveću otpornost na svim razinama šuma unutar 5%. 124

157 Eksperimentalni primjeri 8. Eksperimentalni primjeri Ovo poglavlje se nastavlja na prethodno u kojemu je napravljena analiza metoda za detekciju modalnih parametara na primjerima čiji su parametri sustava poznati unaprijed. U prethodnom poglavlju su također uspostavljena pravila za odabir parametara kod kontinuirane valne transformacije te pojedinih metoda. Ovdje će se primjenom uspostavljenih postupaka iz prethodnog poglavlja dati sinteza opisane metodologije na praktičnim primjerima čiji parametri nisu poznati unaprijed niti se mogu jednoznačno izmjeriti na posredan način. Primjeri su odabrani prema uzoru na numeričke primjere iz prethodnog poglavlja, jedan slabo spregnut i drugi primjer jako spregnut sustav s dva stupnja slobode Sustav s dva stupnja slobode slabo spregnut Na slici (Slika 88) prikazan je laboratorijski model sustava s dva stupnja slobode. Eksperimentalnim postupkom potrebno je izmjeriti funkcije impulsnog odziva obje mase. Kod mjerenja sustav se tretira kao crna kutija koja za određen ulaz (pobudu) daje određen izlaz (odziv), kako je shematski prikazano slikom (Slika 20). Pošto se unaprijed zna da se radi o mehaničkom sustavu i to sustavu koji se shematski može prikazati slikom (Slika 18), mjerenjem ulaza tj. pobude sustava i odziva na tu pobudu uz dodatnu obradu signala odredi se prijenosna funkcija sustava ( ). Inverznom Fourierovom transformacijom iz prijenosne funkcije dobiju se pripadajuće funkcije impulsnog odziva. m m Slika 88 Laboratorijski model sustava s dva stupnja slobode slabo spregnut Postupak određivanja funkcije impulsnog odziva sustava podrazumijeva mjerenje signala pobude sustava ( ) te mjerenje signala odziva sustava na zadanu pobudu ( ). Sustav se može pobuditi udarcem koristeći instrumentalizirani čekić ili koristeći elektromagnetsko treskalo. U ovom primjeru korišten je instrumentalizirani čekić. Odzivi sustava izmjereni su 125

158 Eksperimentalni primjeri koristeći piezoelektrične osjetnike ubrzanja i sile. Mjerenje podrazumijeva mjerni lanac koji se sastoji od: 1. Osjetnici: sila i ubrzanje Sila čekić: B&K (impact hammer type ) Ubrzanje: MMF (type KS95B100 accelerometers) 2. Mjerna kartica koja posjeduje AD pretvarač i sustav za prilagođavanje signala 24bit NI PXI-4472B mjerna kartica 3. Mjerni softver i obrada signala ME'Scope Matlab Korištenjem programskog paketa ME'Scope izvršeno je mjerenje signala pobude i odziva sustava. Funkcija impulsnog odziva određena je u sklopu programskog paketa. Postupak mjerenja obavljen je 5 puta prikazujući usrednjene rezultate. Mjerenje signala provedeno je uz najmanju brzinu uzorkovanja S/s uzorkujući uzoraka. Za postizanjem sličnih uvjeta kao kod numeričkih primjera, signal je poduzorkovan 8 puta. Postupak poduzorkovanja obavljen je u programskom paketu Matlab. Tako je dobiven signal sa sljedećim parametrima: S/s, S. Signal funkcije impulsnog odziva kao i amplituda prijenosne funkcije prikazani su na slici (Slika 89). (a) (b) Slika 89 Slika (a) funkcija impulsnog odziva laboratorijskog modela, slika (b) iznos prijenosne funkcije Valna transformacija izračunata je za sljedeće parametre Gaborove valne funkcije: Hz ( ) za reznu frekvenciju db 126

159 Eksperimentalni primjeri Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. (a) (b) Slika 90 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obje mase slabo spregnutog laboratorijskog modela. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante radijusa utjecaja rubne pojave. koja prikazuje granicu Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 43) navedeni su rezultati primjenom metode presjeka i fazne metode za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. Tablica 43 Rezultati detekcija koeficijenta relativnog prigušenja i vlastite frekvencije iz ovojnice (CS) i trenutne faze (PM) ivice slabo spregnutog lab. modela f 1 t f 2 t CS PM Na slici (Slika 91) prikazana je ovojnica i trenutna faza primjenom metode presjeka. 127

160 Eksperimentalni primjeri Slika 91 Ovojnica i trenutna faza detektirane ivice metodom presjeka za obije mase. Plavom linijom prikazane su vrijednosti s ivice, dok je crvenom debelom linijom prikazan onaj dio ivice upotrjebljen za detekciju U idućoj tablici prikazani su iznosi formi vibriranja. Ivice su izdvojene u signalu pomoću metode presjeka za iste vremenske intervale kao i za detekciju prethodna dva modalna parametra istom metodom, (Tablica 44). Tablica 44 Iznosi formi slabo spregnutog laboratorijskog modela Forme su prikazane grafički na slici (Slika 92). Slika 92 Forme vibriranja sustava Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz amplitude Raspon parametra za: prvu vlastitu frekvenciju [ ] drugu vlastitu frekvenciju [ ]. Dobiveni rezultati prikazani su grafički (Slika 93) prema uzoru na sliku (Slika 48b) i tablično (Tablica 45). 128

161 Eksperimentalni primjeri Slika 93 Rezultati detekcije koeficijenta relativnog prigušenja Tablica 45 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja slabo spregnutog laboratorijskog modela k k MWDI Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz faze VT Rezultati detekcije prikazani su tablično (Tablica 46), dok su slikom (Slika 94) prikazani rezultati na osnovi kojih je izvršena detekcija. Slika 94 Prigušenje sustava određeno primjenom jednadžbe Tablica 46 Rezultati detekcije koeficijenta prigušenja iz faze VT slabo spregnutog lab. modela f 1 t f 2 t PHASE (1.8) (2.9) Rezultati u tablici prikazani su šest stupaca. prva tri se odnose na prvi stupanj slobode, a preostala tri na drugi stupanj slobode. Treći i šesti stupac predstavljaju vremenski prozor na osnovu kojeg su detektirani modalni parametri, a u zagradama se nalaza krajnja vrijednost prozora do koje se vršila analiza. 129

162 Eksperimentalni primjeri Detekcija tradicionalnim metodama O ovom dijelu prikazani su rezultati koji su dobiveni identifikacijom korištenjem dva komercijalna softvera: ME'Scope [48] i ModalView [49], zatim primjenom parametarske metode OKID-ERA [36], [40]. Rezultati koji su prikazani u ovom poglavlju prethodno je objavio Tomac i dr. [14]. Tablica 47 Rezultati detekcije primjenom komercijalnog softvera na slabo spregnuti lab. model f 1 f 2 ME Scope Modal View OKID-ERA * * parametri detekcije: p=8, r=4 Na sljedećoj slici grafički je prikazana prijenosna funkcija sustava za jednu razinu odnosa signal šum. Na slici je također prikazana i prilagođena prijenosna funkcija primjenom metodologije iz softvera ModalView. Slika 95 Usporedni prikaz izvorne prijenosne funkcije (plavo) i prilagođene (crveno) primjenom ModalView softvera Slika (Slika 95) prikazuje odnos između izmjerenog odziva sustava i odziva sustava koji je prilagođen primjenom metode OKID-ERA na izmjereni odziv. Iz parametara na osnovu kojih je sustav prilagođen određeni su modalni parametri, [40]. 130

163 Eksperimentalni primjeri (a) (b) Slika 96 Plavom linijom prikazana je izvorna funkcija impulskog odziva, crvenom crtkanom linijom prikazana funkcija impulsnog odziva generirana primjenom metode OKID-ERA. Slika (a) odnosi se na prvu masu, a slika (b) na drugu masu U nastavku je prikazana usporedba i diskusija identificiranih rezultata Usporedba rezultata U ovom dijelu tablično (Tablica 48) su navedeni rezultati detektiranih vlastitih frekvencija i koeficijenata relativnog prigušenja primjenom svih metoda opisanih i korištenih u ovom radu. Tablica 48 Sveukupni prikaz rezultata identifikacije jako spregnutog lab. modela f 1 f 2 VT ovojnica ivice CS PM VT amplituda * VT faza ME Scope Modal View LSCE OKID-ERA ** * frekvencije navedene u kurzivu predstavljaju vrijednosti frekvencija na kojima je identifikacija provedena. ** parametri detekcije: pp=8, n=4 Na sljedećoj slici (Slika 97) grafički su prikazani rezultati iz tablice (Tablica 48). 131

164 Eksperimentalni primjeri f (a) f (b) 7.00% 6.00% (c) 6.00% 5.00% (d) z % 4.00% 3.00% 2.00% z % 3.00% 2.00% 1.00% 1.00% 0.00% 0.00% Slika 97 Rezultatati identifikacije na eksperimentalnom modelu s razmaknutim frekvencijama primjenom svih metoda. Koeficijent relativnog prigušenja izražen je u postotcima. Rezultat identifikacije nije unaprijed poznat tako nije moguće s preciznošću tvrditi koja metoda je točno odredila iznos modalnih parametara. Ono što se može je promotriti odstupanja u rezultatima među primijenjenim metodama. U sljedećoj tablici prikazani su identificirani rezultati tako da je za svaki identificirani modalni parametar prikazana srednja vrijednost, standardno odstupanje od srednje vrijednosti i relativna varijanca. Tabela 49 Statistički prikaz međusobnog odstupanja identificiranih rezultata Srednja vrijednost Stand. odstupanje Koeficijent varijacije f Hz % f Hz % % % * u rezultatima je izostavljena vrijednost detektirana s ME'Scope softverom. Može uočiti da sve metode precizno detektiraju vlastite frekvencije. Slično je i kod identifikacije prigušenja, gdje se može uočiti jako dobo podudaranje rezultata kod svih metoda, osim kod detekcije prigušenja primjenom softvera Me'Scope. 132

165 Eksperimentalni primjeri 8.2. Sustav s dva stupnja slobode jako spregnut Jako spregnut sustav postignut je tako što su vertikalno postavljene dvije konzole, ukliještene u gornjoj točki. Postavljenjem dodatnih masa te njihovim pomicanjem po visini vlastite frekvencije obiju greda su dovedene do malog odstupanja. Razlog izjednačavanja vlastitih frekvencija je kvalitativno postizanje parametara sustava kao i kod pripadajućeg numeričkog primjera ( i ). Zatim su dvije mase povezane čeličnom trakom pravokutnog poprečnog presjeka čija je krutost ( ). Ovim je postignuta bliskost vlastitih frekvencija. Riječima opisan laboratorijski model prikazan je na slici (Slika 98). k 1 k 3 m 1 m 2 k 2 Slika 98 Laboratorijski model sustava s dva stupnja slobode jako spregnut U ovom primjeru sustav je pobuđen pomoću elektromagnetskog treskala. Treskalo je slobodno ovješeno i preko elastične veze pričvršćeno na piezoelektrični osjetnik sile koji je s druge strane pričvršćen na model, kako je prikazano na slici (Slika 99). Slika 99 Vezivanje elektromagnetskog treskala na model 133

166 Eksperimentalni primjeri Ovakav način podrazumijeva i nešto složeniji mjerni lanac koji se sastoji od sljedeće opreme: 1. Osjetnici: sila i ubrzanje Sila: MMF type KF24 force transducer Ubrzanje: MMF type KS95B100 accelerometers 2. Izvor sile: Elektromagnetsko treskalo: TIRA Pojačalo snage: TIRA Funkcijski generator 3. Mjerna kartica koja posjeduje AD pretvarač i sustav za prilagođavanje signala 24bit NI PXI-4472B mjerna kartica 4. Mjerni softver NI LabVIEW 5. Obrada signala Matlab Pomoću programskog paketa LabVIEW proveden je postupak mjerenja signala uzbude i odziva dobije mase. Konstrukcija je pobuđena promjenjivom sinusnom pobudom i to u rasponu od 15-32Hz (eng. sine-sweep) i to u trajanju od 32 sekunde. Postupak mjerenja obavljen je 5 puta. Mjerenje signala provedeno je uz brzinu uzorkovanja S/s uzorkujući uzoraka. Za postizanjem sličnih uvjeta kao kod numeričkih primjera, signal je poduzorkovan 8 puta. Postupak poduzorkovanja kao i obrada signala obavljena je u programskom paketu Matlab. Poduzorkovanjem je dobiven signal sa sljedećim parametrima: S/s, S. Dodatno su u matlabu iz izmjerenih rezultata izračunati prijenosne funkcije i funkcije impulsnog odziva sustava. Izračunato je 5 prijenosnih funkcija, za svako mjerenje po jedna primjenom metode [41]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8.1 Na osnovu 5 izračunatih prijenosnih funkcija određena je konačna prijenosna funkcija dobivena usrednjavanjem svih prijenosnih funkcija, (jed. 8.2). ( ) ( ) 8.2 Primjenom inverzne Fourierove transformacije nad prijenosnom funkcijom ( ) dobivena je funkcija impulsnog odziva. Dobiveni rezultati mjerenja nakon obrade prikazani su grafički na slici (Slika 100). 134

167 Eksperimentalni primjeri (a) (b) Slika 100 prikazuje rezultate mjerenja jako spregnutog laboratorijskog modela. Slika (a) prikazuje funkciju impulsnog odziva, slika (b) prikazuje iznose prijenosne funkcije. Valna transformacija izračunata je za sljedeće parametre Gaborove valne funkcije: Hz ( ) za reznu frekvenciju db Slikom su prikazani skalogrami dobiveni iz funkcije impulsnog odziva za oba stupnja slobode. Na slici je dodatno označena funkcija 4.27 za iznos konstante. (a) (b) Slika 101 Skalogrami funkcije impulsnog odziva za obije mase jako spregnutog laboratorijskog modela. Slika (a) skalogram od prve mase, slika (b) skalogram druge mase. Zelenom i crvenom linijom su označene zone utjecaja ruba Metoda detekcije koeficijenta relativnog prigušenja iz ovojnice ivice U tablici (Tablica 50) navedeni su rezultati primjenom metode presjeka i fazne metode za detekciju ivica. Isto u sklopu ovog dijela prikazane su detektirane forme, pošto se detekcija vrši iz ivica. 135