Matematika. Pjesa e DYTë

Size: px

Start display at page:

Download "Matematika. Pjesa e DYTë"

Clifton Sharp
6 years ago
Views:

2 Jack Barraclough, Chris Baston, Ian Bettison, Sharon Bolger, Ian Boote, Judith Chadwick, Ian Jacques, Catherine Murphy, Su Nicholson, Naomi Norman, Diane Oliver, Katherine Pate, Jenny Roach, Peter Sherran, Robert Ward-Penny Matematika Për klasën e dhjetë dhe njëmbëdhjetë, jetë gjimnaz Pjesa e DYTë Përktheu dhe përshtati: Prof. Dr. Llukan Puka Prof. As. Dr. Adrian Naço Fatbardha Gjoni (Sherja)

3 Titulli: Matematika Titulli i origjinalit: Edxcel GCSE (9-1) Mathematics, Higher, student book Pearson Education Limited Autorë: Jack Barraclough, Chris Baston, Ian Bettison, Sharon Bolger, Ian Boote, Judith Chadwick, Ian Jacques, Catherine Murphy, Su Nicholson, Naomi Norman, Diane Oliver, Katherine Pate, Jenny Roach, Peter Sherran and Robert Ward-Penny Pearson Education Limited, 2015 Libri Matematika është botim i përkthyer nga origjinali, në gjuhën angleze, i përkthyer në gjuhën shqipe, në marrëveshje me shtëpinë botuese Pearson. Përktheu dhe përshtati: Drejtuese botimi: Redaktor shkencor: Redaktore teknike: Redaktore gjuhësore: Ilustrimet: Dizajni për botimin shqip Kopertina: Prof. Dr. Llukan Puka Prof. As. Dr. Adrian Naço Fatbardha Gjoni (Sherja) Anila Bisha Prof. Dr. Llukan Puka Mirela Ndrita Aviola Kristo, Flaviola Shahinaj Pearson Education Limited Arben Hamzallari Shtëpia Botuese Mediaprint ISBN E KOLANËS: ISBN Botimi i parë, 2016 Shtypi: shtypshkronja Mediaprint

4 Pjesa e DYTë iii

5 Përmbajtja 10 Probabiliteti 1 Kontrolli i njohurive të mëparshme Ngjarjet e kombinura Ngjarjet dy nga dy të papajtueshme Probabiliteti eksperimental Ngjarjet e pavarura dhe diagrami pemë Probabiliteti me kusht Diagramet e Venit dhe simbolet e bashkësive 17 Zgjidhje problemash Testi i drogës 21 Kontrollo njohuritë 22 Përpuno njohuritë 24 Thello njohuritë 29 Kontrolli i koncepteve 31 Test Arsyetimi i shumëfishtë 35 Kontrolli i njohurive të mëparshme Rritja dhe rënia Masa të përbëra Edhe më shumë masa të përbëra Raporti dhe përpjesëtimi 44 Zgjidh problemat 47 Kontrollo njohuritë 48 Përpuno njohuritë 50 Thello njohuritë 53 Kontrolli i koncepteve 55 Test Ngjashmëria dhe kongruenca 59 Kontrolli i njohurive të mëparshme Kongruenca Vërtetimet gjeometrike dhe kongruenca Ngjashmëria Edhe më shumë për ngjashmërinë Ngjashmëria në trupat tripërmasorë 74 Zgjidh problemat 78 Kontrollo njohuritë 79 Përpuno njohuritë 81 Thello njohuritë 86 Kontrolli i koncepteve 90 Test Më shumë trigonometri 95 Kontrolli i njohurive të mëparshme Saktësia Grafiku i funksionit sinus Ndërto grafikun e funksionit kosinus Funksioni tangjent Njehsimi i syprinave dhe teorema e sinusit Teorema e kosinusit dhe problema trigonometrike në plan (2D) Zgjidhje problemash në hapësirë (3D) Transformime grafikësh trigonometrikë Transformime grafikësh trigonometrikë Zgjidh problemat - Gjurmë balte 122 Kontrollo njohuritë 123 Përpuno njohuritë 125 Thello njohuritë 129 Kontrolli i koncepteve 121 Test Më shumë statistikë 135 Kontrolli i njohurive të mëparshme Zgjedhja Denduria e grumbulluar Vizatimi i histogramës Interpretimi i histogramës 142 Zgjidh problemat - Lojëra logjike 145 Kontrollo njohuritë 146 Përpuno njohuritë 147 Thello njohuritë 149 Kontrolli i koncepteve 152 Test Ekuacione dhe grafikë 155 Kontrolli i njohurive të mëparshme Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve Paraqitja grafike e inekuacioneve Grafikë funksionesh kuadratike Zgjidhja grafike e ekuacionit kuadratik Grafik të funksioneve kubike 169 Zgjidh problemat 174 Kontrollo njohuritë 175 Përpuno njohuritë 176 Thello njohuritë 180 Kontrolli i koncepteve 182 Test Teoremat e rrethit 185 Kontrolli i njohurive të mëparshme Rrezja dhe kordat Tangjentet 186 iv

6 16.3 Këndet në rrathë Këndet në rrathë Zbatimi i teoremave në rreth 196 Zgjidh problemat 199 Kontrollo njohuritë 201 Përpuno njohuritë 203 Thello njohuritë 207 Kontrolli i koncepteve 210 Test Më shumë algjebër 215 Kontrolli i njohurive të mëparshme Transformimi i formulës Thyesa algjebrike Thjeshtimi i thyesave algjebrike Më shumë thyesa algjebrike Numra irracionalë Zgjidhja e ekuacioneve algjebrike thyesore Funksione Vërtetime 229 Zgjidh problemat Forca gravitacionale në sipërfaqe 232 Kontrollo njohuritë 233 Përpuno njohuritë 234 Thello njohuritë 237 Kontrolli i koncepteve 239 Test Vektorë dhe vërtetime gjeometrike 241 Kontrolli i njohurive të mëparshme Vektorët dhe simbolika vektoriale Aritmetika e vektorëve Më shumë aritmetikë me vektorë Vektorë paralelë dhe pika në një drejtëz (kolineare) Zgjidhje problemash gjeometrie 252 Zgjidh problemat 256 Kontrollo njohuritë 258 Përpuno njohuritë 260 Thello njohuritë 263 Kontrolli i koncepteve 266 Test Raporte dhe grafikë 271 Kontrolli i njohurive të mëparshme Përpjesëtimi i drejtë Më shumë përpjesëtime të drejta Përpjesëtim i zhdrejtë Funksionet eksponenciale Grafikë jolinearë Zhvendosjet e grafikëve të funksioneve Pasqyrimi dhe zgjerimi i grafikëve të funksioneve 289 Zgjidh problemat Modelimi i epidemive 294 Kontrollo njohuritë 295 Përpuno njohuritë 297 Thello njohuritë 299 Kontrolli i koncepteve 303 Test 305 Përgjigjet 308 Indeks 396 v

Kapitulli 10 Probabiliteti Përvetëso f.3 Zgjidh problemat f.21 Kontrollo njohuritë f.22 Përpuno njohuritë f.24 10 PROBABILITETI Thello njohuritë f.29 Test f.

10 Kontrolli i njohurive të mëparshme Shkathtësi numerike 1 Gjej. a 0.45 + 0.52 b 0.6 + 0.25 c 0.52 0.17 d 0.7 0.32 2 Gjej. a 1 0.22 b 1 0.

8 Kapitulli 10 Probabiliteti Përvetëso f.3 Zgjidh problemat f.21 Kontrollo njohuritë f.22 Përpuno njohuritë f PROBABILITETI Thello njohuritë f.29 Test f.32 Një kuti me çokollata ka: dy çokollata të bardha, dy të zeza dhe gjashtë me qumësht. Ti merr, rastësisht, dy çokollata. Sa janë shanset që të kesh marrë çokollatat që pëlqen më shumë? 10 Kontrolli i njohurive të mëparshme Shkathtësi numerike 1 Gjej. a b c d Gjej. a b c 1 3_ 5 d e 100% 27% f 100% 68% 3 Shkruaj tri thyesa të njëvlershme me secilën thyesë. a 1_ 4 b 2_ 5 c 5_ 6 d Shkruaj këto thyesa në radhën rritëse _ 1_ 2_ Gjej. a b c d 1_ e 5_ f Kthe këto thyesa në numra dhjetorë dhe në përqindje. a 1_ 4 b 3 10 c 3_ 5 d 3 8 e f Gjej. a 20% të 340 b 35% të 234 c 82% të 250 d 7% të 60 8 Gjej. a 2_ 3 + 1_ 4 b 3_ 5 + 1_ 6 c 5_ 6 1_ 4 d _ 7 Shkathtësi me probabilitete 9 a Kopjo në fletore shkallën probabilitare: e ka pak të shanse ka shumë pamundur ngjarë të njëjta të ngjarë e sigurt = % 50% 100% b Shkruaj shkronjën e madhe të shtypit për secilën ngjarje, në vendin përkatës në shkallën probabilitare. A Bie një numër çift kur hidhet një zar gjashtëfaqësh i rregullt. B Probabiliteti që zari josimetrik të bjerë 5 është 30%. C Probabiliteti që dy vetë të kenë të njëjtën ditëlindje, në një klasë me 30 nxënës, është

9 Kapitulli 10 Probabiliteti D Probabiliteti që një person me moshë vjeçar të bëjë një aksident dy vjet pasi ka marrë patentën është 1_ 4. E Probabiliteti që një person 60 vjeçar mashkull të vdesë para ditëlindjes pasuese të tij më të afërt është 1%. 10 Tabela e dendurive tregon rezultatet e një studimi për një regjim të ri për uljen e peshës në luftën ndaj obezitetit. a Kopjo tabelën. Rezultati Denduria Denduria relative Kategoria 78 Të shëndetshëm Kategoria 17 Mbipeshë Kategoria obezë 5 Gjithsej b Gjej dendurinë gjithsej. c Njehso denduritë relative. d 300 vetë të tjerë pranojnë t i nënshtrohen po atij regjimi. Sa prej tyre pritet se do të jenë pas regjimit në kategorinë të shëndetshëm? 11 Arsyeto Një zar i zakonshëm gjashtëfaqësh hidhet një herë. a Bëj listën e të gjitha rezultateve të mundshme. b Sa është probabiliteti i çdo rezultati? c Sa është shuma e të gjithë probabiliteteve të tyre? 12 Arsyeto Në një lojë, lojtarët rrotullojnë një fugë të ngjyrosur. Kur fuga ndalon, shënohet ngjyra e e gjelbër e kuqe pjesës së fugës që tregon shigjeta. a e verdhë blu Sa është probabiliteti teorik që shigjeta do të tregojë ngjyrën e gjelbër kur të ndalet fuga? b Sa herë pret të shohësh secilën nga ngjyrat përballë shigjetës, në qoftë se fugën e rrotullon 100 herë? Në një lojë rrotullohen 100 fuga. Rezultatet tregohen në tabelë. Ngjyra e kuqe e verdhë blu e gjelbër Denduria c Sa është probabiliteti eksperimental i ngjyrës së verdhë? 13 Tabela tregon numrin e djemve dhe të vajzave në një grup që mbajnë syze. Syze Jo syze Gjithsej Djemtë 10 Vajzat 6 18 Gjithsej 32 a Kopjo në fletore dhe plotëso tabelën. Zgjidhet rastësisht një person. Sa është probabiliteti që personi është b një djalë pa syze c një vajzë? 14 Një kuti ka etiketa të kuqe, blu dhe të verdha. Probabiliteti për të nxjerrë një etiketë të kuqe është 0,2 dhe probabiliteti për të nxjerrë një etiketë blu është 0,35. Gjej probabilitetin që të nxjerrësh një etiketë të kuqe ose blu. Sfidë 15 Në fugën e treguar në figurë vendos numrat 1, 2 dhe 3 aq herë sa do, me kusht që pohimet që vijojnë të jenë të vërtetë. Gjej një zgjidhje tjetër. 2

10 Kapitulli 10 Probabiliteti 10.1 Ngjarjet e kombinuara Arritjet mundshme për ndodhjen e dy ose më shumë ngjarjeve. dy ngjarjeve në një tabelë me dy hyrje. Përse mësohet? Fjala probabilitet vjen nga fjala latine probabiltas dhe mund të ketë disa kuptime. Në Europë, mat autoritetin e një dëshmitari në një proces gjyqësor. Shkathtësi Gjej të gjithë rezultatet e mundshme kur hidhet një zar me gjashtë faqe. 1 Flutura do të blejë një makinë. Ajo mund të zgjedhë midis katër ngjyrave, që janë: e kuqe, blu, argjend dhe e bardhë dhe mund të zgjedhë midis dy modeleve, sportive ose familjare. a Sa janë kombinimet e mundshme të ngjyrës dhe modelit? b Sa janë kombinimet e mundshme për 5 ngjyra dhe 2 modele? c Sa janë kombinimet e mundshme për 6 ngjyra dhe 2 modele? d sa janë kombinimet e mundshme për 6 ngjyra dhe 3 modele? e Sa janë kombinimet e mundshme për m ngjyra dhe n modele? Parapërgatitje Argumenti kyç 1 numri i rezultateve të favorshme numri i rezultateve të mundshme Ushtrimet e këtij kapitulli janë të shoqëruara me udhëzime. 2 Një restorant propozon një menu gatimesh shtëpie. Menuja ka 5 pjata kryesore dhe 3 ëmbëlsira. a Shkruaj të gjitha kombinimet e mundshme me një pjatë kryesore dhe një ëmbëlsirë? b Sa janë rezultatet e mundshme? c Nga menuja zgjidhet rastësisht një pjatë kryesore dhe një ëmbëlsirë. Sa është probabiliteti që të zgjidhet kombinimi pastiço me djathë dhe kek me mollë? U2c Udhëzim Ka vetëm 1 kombinim pastiço me djathë dhe kek me mollë nga një total prej kombinimesh. Pra 1. Pjata kryesore Pastiço me kimë Pastiço me djathë Tavë me speca të mbushura Tavë me pulë dhe patate Tavë pllaqi me llukanik Ëmbëlsira Sheqerpare Kek me mollë Fruta të stinës me krem d Sa është probabiliteti që kombinimi do të jetë: tavë me pulë dhe patate dhe fruta të sezonit me krem? 3 Në shkollën Teknologjike çdo klasë zgjedh 2 nxënës si përfaqësues në Senatin e shkollës. Ani, Beti, Shpëtimi, Deni dhe Eli duan të përfaqësojnë klasën e 11-të. a Sa janë kombinimet e mundshme me dy nxënës në këtë rast? b Sa është probabiliteti që Ani do të jetë përfaqësuese e klasës 11 në Senat? c Sa është probabiliteti që Eli do të përfaqësojë klasën 11? d Sa është probabiliteti që Shpëtimi dhe Deni do të përfaqësojnë klasën 11? 4 Modelo Dy monedha të rregullta hidhen njëherësh. a Shkruaj listën e rezultateve të mundshme. b Sa janë rezultatet e mundshme gjithsej? c Gjej. i ii U4c Informacion ndihmës 2 stemë bien 2 stemë. Mëso duke vepruar Detyrë shtëpie, praktikë dhe avancim; Thello

ELEMENTET E PROBABILITETIT

ELEMENTET E PROBABILITETIT Hapësira e ngjarjeve ( e rezultateve). Ngjarjet Definicioni. Situata e cila varet nga rasti quhet eksperiment. Shembulli. Shembuj të eksperimenteve në kontest të probabilitetit