Oddelek za fiziko. Seminar. Lomna mehanika. Avtor: Marjan Maček Mentor: dr. Gregor Skačej. Ljubljana, november 2012

Transcription

1 Oddelek za fiziko Seminar Lomna mehanika Avtor: Marjan Maček Mentor: dr. Gregor Skačej Ljubljana, november 2012 Povzetek Raziskovanje lomne mehanike je pomembno, saj stane škoda zaradi loma veliko denarja in človeških življenj. V seminarju bom predstavil tako kontinuumske modele, ki zadevajo predvsem inženirje, kot mrežne modele, ki so osnova za preučevanje lastnosti loma. Predstavil bom tudi zanimiv eksperiment obravnave hrapavosti razpok. Večinoma bom obravnaval krhki lom tipa I.

2 Kazalo 1 Uvod 1 2 Načini loma Načini loma Modeli loma Kontinuumski pristop Napetost pri eliptični razpoki Griffithov pogoj Irwinove izboljšave Slabosti analitičnega pristopa Metoda končnih elementov Razširjena metoda končnih elementov - XFEM Molekularna dinamika Mrežni modeli Rezultati simulacij Perkolacija Hrapavost razpok: primer na trganju papirja Eksperiment Zaključek 13 1 Uvod Mehanska odpoved materiala teži civilizacijo že od nekdaj. Zato ni čudno, da se je njenega raziskovanja lotil že Leonardo da Vinci. Med preizkušanjem natezne trdnosti kovinskih žic je ugotovil, da daljše odpovejo pri manjši obremenitvi. Sprva so mislili, da se je zmotil, saj mehanika kontinuov tega ne predvideva [1]. Vzrok je v nepravilnostih v zgradbi materiala, ki se mu v proizvodnem procesu ne moremo izogniti. Ravno te imajo ključno vlogo pri raziskovanju širjenja razpok in odpovedi materiala. Pri večjih predmetih (npr. daljših žicah) se katastrofalne napake glede na napetost pojavijo z večjo verjetnostjo. Raziskovanje lomne mehanike je pomembno. Odpoved materiala je leta 1982 samo v ZDA znašala 119 milijard dolarjev, kar je približno 2% takratnega BDP [2]. Z upoštevanjem inflacije je ta znesek enak današnjim 220 milijardam evrov. Še hujša je cena, ki jo plačujemo s človeškimi življenji. Zelo znani so primeri prelomov tovornih ladij razreda Liberty na pol iz 2. svetovne vojne in nesreče potniških letal Comet zaradi utrujanja trupa. Pojav je zanimiv tudi iz fizikalnega vidika, vendar praktično še ni raziskan. Zaradi širokega območja zanimanja (slika 1) se je razvilo več pristopov računanja, tako inženirskih kot fizikalnih. Najprej so se razvili analitični pristopi in nato z razvojem računalnikov še numerični modeli. 2 Načini loma Material se lahko lomi na več načinov. Lom je lahko posledica nenadne obremenitve ali dalj časa ponavljajočih se šibkejših obremenitev (utrujanje materiala). Material se lahko pred lomom deformira ali ne. Na način lahko vpliva okolica, ki ga lahko pospeši ali zavira. V nalogi se bom osredotočil na krhek lom tipa I, ki ga bom opisal v nadaljevanju. Material se začne lomiti pri nepravilnostih v zgradbi. Na atomski skali so to manjkajoči atomi, vrinjeni drugi atomi ali le prekinjene vezi (slika 1 skrajno levo). Na večjih skalah se to odraža kot premaknjene mrežne ravnine, mikroskopske razpoke (mikrorazpoke) ali različne orientacije zrn (druga slika levo na sliki 1). Do loma lahko pride tudi zaradi že obstoječih poškodb, na primer površinskih prask. 1

3 Slika 1: Lomna mehanika zajema širok nabor ved. Sam lom in fizikalne zanimivosti potekajo na majhnih skalah, medtem ko lom zadeva inženirje predvsem na velikih skalah. Metode obravnave se zato tudi zelo razlikujejo [3]. 2.1 Načini loma Odziv materiala na natezno napetost prikazuje levi graf na sliki 2. Plastične dislokacije v kristalni mreži se zgodijo že pri nizkih napetostih (točka 1), vendar se material navzven odziva elastično. Dislokacije se odražajo kot zamaknjene ali vrinjene mrežne ravnine. Sprva je odziv sorazmeren, kot predvideva linearen Hookov zakon. Odziv v točki 2 ni več sorazmeren (meja sorazmernosti) in kmalu pridemo v plastično območje (točka 3 meja prožnosti). Material se po sprostitvi napetosti ne vrne v prvotno stanje. Pogosto prehod v plastično območje težko zaznamo, zato podajamo potrebno napetost za določeno deformacijo (denimo 0.2%, točka 4). Če se material lomi v elastičnem območju, govorimo o krhkem lomu (slika 3 desno), sicer pa o žilavem (slika 3 levo in na sredini). Plastično območje do maksimalne napetosti izkoriščamo za utrjevanje jekla E > E in nato pride do deformacij pred lomom (slika 3 na sredini). Na način loma vpliva okolje. Obstaja prehod v krhek lom pri nizkih temperaturah (npr. jeklo) in prehod v žilav lom ob velikih pritiskih. Primer je marmor pod izotropnim pritiskom p in v osi kompresijsko obremenjen s silo F. Za p > 100 MPa se lomi žilavo (desni graf na sliki 2). Podobno se obnašajo tudi kamenine v Zemljini skorji. Ploščina pod grafom predstavlja absorbirano energijo. Krhki materiali lahko kljub majhni sposobnosti absorpcije energije prenesejo velike napetosti (so trdni in niso žilavi) [3]. Material se lahko zlomi zaradi utrujenosti - mikrorazpoke - zaradi dalj časa trajajočih obremenitev, čeprav vsaka posamezna mikrorazpoka ne bi sprožila loma (slika 3 desno). Število mikrorazpok in velikost le-teh skozi čas narašča. Sčasoma postane kakšna mikrorazpoka dovolj velika, da pride do loma že pri majhni obremenitvi. Razpoke lahko povzroči tudi korozija (npr. rjavenje železa). Korozija lahko tudi pomaga k večji odpornosti, če gladi površino in s tem preprečuje nastanek površinskih razpok [3]. Napetost je lahko natezna, kompresijska, strižna ali torzijska. Samo geometrijo loma ločimo na tri tipe glede na smeri napetosti na razpoko: odpiranje razpoke pri natezni napetosti (tip I), vzdolžni (tip II) in prečni strig (tip III) (slika 4). Vse prej omenjene napetosti (natezna, kompresijska,...) lahko razvijemo po teh treh tipih. Najbolj obravnavano je odpiranje razpoke. Slika 4 je shematična. Lom ne poteka nujna le s površja v notranjost, ampak se lahko začne tudi v notranjosti. Tudi za to zadostujejo omenjeni trije tipi loma. 3 Modeli loma Znanstvenike je begala nekajkrat nižja trdnost materialov, kot so jo napovedovale jakosti kristalnih vezi. Trdnost je nižja, zaradi ojačanja napetosti ob vrhovih razpok, kar je leta 1913 razložil Charles Inglis na modelu elipsaste razpoke v neskončni ravnini. Preprost pogoj za napredovanje razpoke je leta 1920 izpeljal Alan Arnold Griffith. Izboljšave za različne geometrije loma je leta 1957 vpeljal George R. Irwin. Sledile so še nadaljnje izboljšave, predvsem za žilav lom, ki jih podrobneje ne bom obravnaval. Analitični pristopi te pojave sicer razložijo, vendar niso primerni za računanje inženirskih problemov. 2

4 Na tem področju se je še zlasti uveljavila numerična metoda končnih elementov (FEM - Finite Element Method) in njene izpeljanke (XFEM - extended FEM, hp-fem). Metoda končnih elementov je stara več kot 60 let in se uporablja na mnogo področjih. XFEM je leta 1999 razvil Ted Beltyschko s sodelavci kot izboljšavo FEM za nezveznosti. Obe metodi uporabljata Griffithove in Irwinove ugotovitve za napredovanje razpok. Metoda hp-fem je le izboljšava FEM v smislu natančnosti in je podrobneje ne bom obravnaval. Omogoča adaptacijo velikosti elementov in funkcij (stopenj polinomov). Oba zgornja pristopa delujeta v kontinuumskem območju. Mikroskopske nepravilnosti povprečita, temu pravimo homogenizacija. Pogosto zaradi širokega velikostnega razpona nepravilnosti to ni mogoče. Natančen model napredovanja razpok dobimo s simulacijo medsebojnih interakcij atomov in molekul (molekularna dinamika), ki je še danes računsko zelo zahtevna. Tudi ta pristop privzame nekaj poenostavitev. Za računsko manj zahtevno obravnavanje loma, so razvili mrežne metode. Slika 2: Grafi odvisnosti napetosti p od deformacije ɛ. Levi graf prikazuje različne točke na krivulji od popolnoma elastičnega do plastičnega območja za aluminijasto palico [4]. Na srednjem grafu je modra črta za napetost, ki jo občuti predmet. Napetost je večja, zaradi zmanjševanja preseka ob plastičnih deformacijah. Desni graf [3] prikazuje prehod v žilav lom za marmor pri 100 MPa. Prehod prepoznamo kot podaljšano krivuljo do loma po maksimalni napetosti. Slika 3: Leva slika prikazuje žilavi lom. Pred zlomom se je palica plastično deformirala. Desna slika prikazuje krhki lom kolesarske gonilke [4]. Slika 4: Trije osnovni tipi loma glede na smer sile. Vse vrste mehanskega loma lahko razvijemo po teh treh [4]. 3

5 3.1 Kontinuumski pristop Napetost pri eliptični razpoki Za model tipične razpoke v materialu vzamemo eliptično luknjo z veliko polosjo a in malo b v neskončni ravni plošči. V smeri y je pod napetostjo p. Izračunali bomo, kako se napetost ob temenu T ojača (slika 5). Račun začnemo s Saint Venantovim pogojem kompatibilnosti za deformacijski tenzor u ij [5] 2 u ij + 2 u kl 2 u ik 2 u jl = 0. x k x l x i x j x j x l x i x k Tenzor mora zadostiti temu pogoju, da lahko predstavlja deformacijo telesa u. Enačba omeji 6 prostih komponent simetričnega tenzorja na 3, kot jih ima vektor deformacije u. V 2D ga zapišemo kot Za ploščo velja Cauchyev zakon 2 u xx y u yy x u xy x y ρü i = p ik x k + ρf z i, = 0. (1) ki je generalizacija Newtonovega zakona za zvezno telo. V mirovanju je u = 0 in brez zunanjih sil f z se enačba poenostavi v p ik = 0. (2) x k Zvezo med deformacijskim in napetostnim tenzorjem p ik podaja Hookov zakon p ik = E ( u ik + σ ) 1 + σ 1 2σ u llδ ik kjer je E napetostni modul (Youngov modul) in σ Poissonovo razmerje. Komponente napetostnega tenzorja v 2D izrazimo kot u xx = 1 ) (p xx σp yy, u yy = 1 ) (p yy σp xx, u xy = 1 + σ E E E p xy. in jih vstavimo v (1). Za lažji izračun vpeljemo še Airyevo stresno funkcijo φ in dobimo enačbo za napetost p xx = 2 φ y 2, p yy = 2 φ x 2, p xy = 2 φ x y. 2 ( 2 φ) = 0. (3) Takšna izbira stresne funkcije nam avtomatsko izpolnjuje (2). Za eliptično luknjo v ravnini napeto v smeri osi y z napetostjo p rešimo (3) v eliptičnih koordinatah [6]. Za robni pogoj ob robu elipse velja, da so radialne in strižne napetosti enake nič. Za napetost ob temenu elipse dobimo ( p yy = p 1 + 2a ) ( ) a = p 1 + 2, (4) b ρ kjer je ρ = b 2 /a krivinski polmer v temenu elipse. Napetost z oddaljenostjo od razpoke pada kot 1/ r [3]. Tipično razpoko lahko opišemo z zelo majhnim b. Rezultat (4) razloži zakaj dolge in tanke razpoke napredujejo tako hitro in zakaj je kritična napetost toliko nižja od teoretične. Za r 0 napetost divergira, kar seveda ne more biti res. Razpoki se ne moremo poljubno približati, saj pridemo do atomske skale, kjer mehanika kontinuov ne velja več. Poleg tega pride pod močnimi napetostmi do že omenjenega prehoda v plastično območje in žilav lom. Rešitvi za napetosti p yy in p xx sta na sliki 5. Jakost p yy je približno petkrat večja od p xx in je skoncentrirana ob temenu elipse [7]. Napetost p xx je skoncentrirana v bližini temena in je približno petkrat manjša od p yy. Vlaknasti materiali (npr. les ali kost) se lažje cepijo vzdolž vlaken kot lomijo prečno. Če je napetost p xx dovolj velika, sproži lom v pravokotni smeri na elipso, kar lahko ustavi (elipsasto) razpoko (Cook-Goordonov mehanizem ustavitve razpoke) [7]. 4

6 Slika 5: Leva slika prikazuje geometrijo problema. Desna grafa prikazujeta jakosti p yy (na sredi) in p xx (desno) [7] Griffithov pogoj Zgornji račun ne razloži, kdaj so ustrezni pogoji za napredovanje razpoke. To je pojasnil Griffith z energijskim ravnovesjem. Predpostavil je, da do širjenja razpoke pride, če bo sproščena elastična energija večja od potrebne energije za nastanek novih površin. Na plošči debeline h zarežemo razpoko dolžine a. Elastična energija se sprosti v približno trikotnem območju pod in nad razpoko z osnovnico a in višino βa (slika 6). Izkaže se β = π [7] in da sama geometrija ni pomembna [8]. Enako odvisnost bi dobili tudi z dimenzijsko analizo. Velja (E el + E pov ) a πp 2 a E 0, + 2γ 0. ( ) E el = p2 1 2E 2 2 πa2 h, E pov = 2γah Parameter γ je specifična površinska energija. Odvisnost E(a c ) vidimo na grafu na sliki 6. Izrazimo lahko kritično napetost ali kritično dolžino razpoke p c = 2γE πa, a c = 2γE πp 2. (5) Zavedati se je treba, da sta p c in a c absolutni količini in nista odvisni od velikosti vzorca [7]. Griffith je zvezo preveril eksperimentalno. Na steklene cevi in krogle je zarezal površinske razpoke dolžine 4 23 mm. V njih je načrpal tekočino in cevi oziroma krogle so pri kritičnem pritisku (napetosti) počile. Ugotovil je, da je p c a za material konstanta [8] Irwinove izboljšave Griffithov pogoj napačno predpostavlja ravnovesje energij. Širjenje razpok je hiter neravnovesni pojav, katerega del energetskih izgub gre v nastanek novih mikrorazpok in plastičnih deformacij v okolici loma [3]. Sproščena elastična energija mora biti enaka površinski energiji in plastičnim deformacijam E el = 2γ + G p. Za krhek lom je G p zanemarljivo majhen, medtem ko je pri žilavem lomu G p 2γ. G p ni merljiv, zato so bile potrebne še nadaljnje izboljšave za žilav lom, ki jih ne bom obravnaval. Poleg tega je Irwin vpeljal tudi ojačanje napetosti za različne geometrije. Napetost ob razpoki je opisal kot p ij Kψ ij(θ) r, (6) kjer je K faktor ojačanja in ψ oblika kotne porazdelitve napetosti v okolici razpoke. V Inglisovi izpeljavi smo videli, da napetost za r 0 divergira. Divergenco odpravimo s faktorjem K, definiranim kot [3, 9] K I = lim r 0 πrpyy (r, 0), K II = lim r 0 πrpyx (r, 0), K III = lim r 0 πrpyz (r, 0). 5

7 Slika 6: Geometrija za lom pri Griffithovi izpeljavi. Z belimi črtami si lahko predstavljamo ojačitve napetosti ob vrhu razpoke. Energija se nad kritično velikostjo čedalje bolj sprošča, zato se lom sam od sebe ne ustavi. [7] To smo lahko naredili, saj je divergenca zgolj matematična posledica modela in ne fizikalno dejstvo. Namesto divergence imamo v resnici omejeno plastično območje, ki ga povzamemo s temi faktorji. Odvisen je tudi od geometrije problema (razpoka na robu ploskve, končno razsežna ploskev, razpoka pod kotom,... ). Kritično vrednost napetosti izrazimo s skupno konstanto lomna žilavost K Ic (fracture toughness) kot p c = K Ic α πa. S parametrom α smo označili različne geometrije razpoke in telesa [7]. Za različne tipe loma se lomna žilavost zapiše kot K 2 Ic = K2 I + K2 II + (1 + σ)k2 III. K Ic je lastnost materiala in ni odvisna od tipa loma ali geometrije ter velikosti telesa. Tipične vrednosti so MPa m za kovine in okoli MPa m za krhke materiale (steklo, keramika, beton) Slabosti analitičnega pristopa Temeljna slabost analitičnega pristopa je zahteva po homogeni snovi in deluje le za eno izrazito razpoko. Zato je tudi Griffith pri svojih poskusih sam zarezal veliko razpoko, ki je prevladala nad ostalimi mikrorazpokami. Izračun ψ ij (θ) (enačba 6) je mogoč samo za preproste geometrije, zato moramo pri zapletenejših geometrijah, ki nastopajo v praksi, poseči po numeričnem računanju. V sistemu z več razpokami bi morali upoštevati interakcijo razpok med sabo. Razpoke lahko med sabo napetost ojačajo ali oslabijo. Problem je tudi, ker se ne moremo odločiti, katera razpoka se bo širila kako hitro. S tem postanejo numerične simulacije zahtevne, ker moramo preučiti več različnih scenarijev [3]. Odgovor na to so mehanika poškodb, molekularna dinamika in mrežni modeli. Mehanika poškodb je termodinamski pristop k lomu in ga ne bom obravnaval. Denimo vpliv poškodb vpelje kot faktor D (v splošnem tenzor četrtega reda) med zunanjimi in notranjimi napetostmi. 3.2 Metoda končnih elementov Pri metodi končnih elementov (FEM) prostor razdelimo (diskretiziramo) na končno velike kose preproste geometrije elemente. Najpogosteje to storimo z Delanuayevo triangulacijo (trikotniki v 2D, tetraedri v 3D). Nato rešitev razvijemo po linearnih poskusnih funkcijah ϕ i. V 1D si jih predstavljamo kot trikotnike z vrhom v dani točki in osnovnico med sosednjima točkama. V 2D podobno geometrijo predstavljajo piramide (slika 7). Za elastični problem najprej zapišemo elastično energijo [ ] [ ] E 1 = p ik u(r) uik u(r) d r 3, D 6

8 kjer je u vektor deformacije in D volumen telesa. Nato zapišemo še delo prostorninsko porazdeljenih sil f (npr. teža) in zunanjih površinsko porazdeljenih sil F (npr. strig) E 2 = f(r) u(r) d r 3 + F (r) u(r) d r 2. D D Ko energiji E 1 in E 2 izenačimo in izrazimo vektor deformacije s poskusnimi funkcijami u(x) = i a i ϕ i (x), dobimo sistem linearnih enačb kjer je K ij = 1 2 D K ij a j = R i, [ p kl ϕi (r) ] [ u kl ϕj (r) ] d r 3 in R i = D f(r) u(ϕ i (r)) d r 3 + F (r) ϕ i (r) d r 2. D Pri tem smo vse vektorje zložili v enega: (a 1, a 2,... ) T. Problem je hitro rešljiv, ker je matrika K ij razpršena, saj posamezna funkcija ϕ i zadeva le nekaj točk [3]. Čeprav je metoda FEM zelo učinkovita in uporabna, za lomno mehaniko ni primerna. Mreža mora biti glede na spremembe polj dovolj fina, kar privede do težav v okolici razpoke. Razpoka se tudi širi, zato moramo v vsakem koraku mrežo vzpostaviti na novo. Pri tem moramo biti pazljivi, saj lahko z izbiro mreže vnaprej določimo smer širjenja razpoke. Vse to se odraža v veliki časovni zahtevnosti računanja [1]. 3.3 Razširjena metoda končnih elementov - XFEM Namesto fine mreže ob razpoki lahko razpoko upoštevamo preko dodatnih nezveznih funkcij (enrichment functions). Vektor deformacije zapišemo kot u(x) = i a i ϕ i (x) + b j ϕ j H(x) + j J k K ( 4 ϕ k c kl F l (x) ). l=1 Funkcija H(x) predstavlja nezveznost ob razpoki (na sliki 7 v točkah označenimi s krogi) in je enaka 1 oziroma 1 na različnih straneh razpoke. Funkcije F 1 = r sin θ 2, F 2 = r cos θ 2, F 3 = r sin θ 2 sin θ, F 4 = r cos θ sin θ. 2 predstavljajo nezveznosti ob vrhu razpoke (na sliki 7 kvadrati) [10]. Koordinate se merijo glede na orientacijo vrha razpoke. Pri XFEM ni potrebna drobna delitev prostora kot pri FEM, saj nam za nezveznosti ob razpoki poskrbijo dodatne funkcije. Tako nam na preprostih geometrijah zadostuje že razdelitev na kvadrate oziroma kocke (slika 7 desno). Rast razpoke se oceni iz (6) v polarni obliki. Pogoji so različni: minimalna deformacijska energija, maksimalna sprostitev elastične energije,... Z XFEM lahko obravnavamo več razpok, vendar z naraščajočim številom to postaja čedalje težje [1]. Rezultat loma za vse tri tipe vidimo na sliki Molekularna dinamika Namesto kontinuumskega pristopa se lahko problema lotimo z molekularno dinamiko. Vzpostavimo ustrezno kristalno mrežo atomov in nato za vsak atom rešujem Newtonove enačbe gibanja. Za medatomski potencial se večinoma vzame Lennard-Jonesov potencial ) (d/rij ) 12 ( ) 6 φ ij (r ij ) = ɛ( 2 d/rij kjer je jakost potenciala ɛ in ravnovesna razdalja d. Računanje pohitrimo, če doseg potenciala omejimo samo na najbližje sosede, po navadi je to 1.6 d. Pri molekularni dinamiki težko simuliramo realne 7

9 Slika 7: Levo so prikazane poskusne funkcije v 1D in rešitev, ki jo predstavljajo. V 2D so poskusne funkcije piramide nad trikotno mrežo (na sredi) [11]. Razpoka pri XFEM primeru (desno). Točkam označenim s kvadratom, se prištejejo funkcije za vrh razpoke in točkam označenim s krogom, se prištejejo funkcije za razpoko. Ostale točke ostanejo nespremenjene [12]. Slika 8: Rezultat loma za vse tri tipe. Z barvami je prikazana jakost ustreznih napetosti. Končni elementi so po celem telesu enako veliki. (inženirske) probleme. Prvič, to zahteva računsko preveliko število atomov in, drugič, niti ne poznamo pravih potencialov za različne kristale (materiale) [1]. Kljub temu so z molekularno dinamiko potrdili Griffithovo konstanto zvezo p c a (5) [8]. Zanimiva je simulacija krhkega loma tipa I v kvazikristalu Al-Zn-Mg [13]. Simulacijo so naredili na 4 5 milijonih atomov. Razpoka se širi šele za faktor ojačanja napetosti K 1.4K Ic. Opazili so tudi ujetje razpoke (lattice trapping), t.j. ko se razpoka ne širi in ne celi. Oboje je posledica diskretne narave kristala. Simulacija je pokazala ujemanje hrapavosti nastale razpoke z eksperimentalno pridobljeno razpoko na kvazikristalu Al-Mn-Pd. Čeprav je molekularna dinamika prezahtevna za inženirske probleme, lahko z njo študiramo različne pojave, na primer mehansko valovanje snovi ob lomu (srednja slika na sliki 7 prikazuje gostoto kinetične energije). 3.5 Mrežni modeli Mrežni modeli so preprosti modeli, s katerimi opišemo in preučujemo osnovne lastnosti lomne mehanike. Modeli sami po sebi inženirsko niso uporabni, so le model za opis vpliva nereda in osnovnih lastnosti loma. Zato lahko z njimi opišemo tudi nekristalne snovi. Namesto vpliva posamezne razpoke na neki predmet z njimi preučujemo: samopodobnost razpok, fazni prehod, vpliv velikosti predmeta na dovzetnost za lom, vpliv nereda,... Večinoma se uporabljata 2D trikotna ali kvadratna mreža (slika 10). Po zahtevnosti opisa poznamo več pristopov: Mreža naključnih varovalk (random fuse model RFM) je najenostavnejši možni opis. Izvira iz analogije z izračunom gostote električnega toka. Na primer gostota električnega toka ob elipsasti 8

10 Slika 9: Na sliki levo je prikazan potek razpoke. Na sredini je prikazana gostota kinetične energije. Slika desno prikazuje profil razpoke za numerični model in eksperiment. Za numerični del črna barva predstavlja višino razpoke 2r 0 pod povprečjem, siva barva povprečno višino in bela 2r 0 nad povprečjem. Sliki sta prikazani v približno enaki skal (20r 0 5nm) [14]. luknji je enaka kot za p y y (enačba 4). Med zgornjim in spodnjim robom mreže postavimo potencialno razliko V. Levi in desni rob sta periodično sklenjena. Razporeditev tokov dobimo iz Kirchoffovih zakonov. Vez med točkama i in j bo pregorela, če bo tok I ij večji od kritičnega I c. Analogno rečemo, da vez poči, če je sila prevelika. Ker taka mreža ne omogoča deformacije, opisuje le zelo krhek lom (npr. steklo). Mrežo naključnih vzmeti (random spring model RSM) dobimo, če vezi v zgornjem modelu zamenjamo s prosto vrtečimi vzmetmi s koeficientom k. Model definira hamiltonka H = i,j k ij/2(u i u j ) 2. Z izračunom minimuma H dobimo ravnovesne položaje točk u i. Ker so vzmeti prosto vrteče, model ne prenaša dobro striga. Tak primer je kvadratna mreža ali že poškodovana mreža, medtem ko ga trikotna mreža prenaša. Poleg tega je Poissonovo razmerje odvisno od izbire mreže (npr. trikotna: σ = 1/3). Tu lahko vez odpove glede na maksimalno dovoljeno deformacijo ali silo. Tokrat lahko vpliv okolice opišemo z več načini: kompresijo, nategom ali strigom. Mreža z upogljivimi vezmi (bond-bending model) je najboljši opis snovi. Model je razširitev zgornjega modela z dodatnim členom v hamiltonki H = i,j k ij/2(u i u j ) 2 + i,j,k b ijk/2( θ) 2, kjer je θ kot med vezema ij in jk s togostjo za zvijanje b. Vez odpove, ko je F/F c +max( M i, M j )/M c 1. Parametra F c in M c opisujeta maksimalno dovoljeno silo in navor. S tem modelom lahko opišemo snov s poljubnim Poissonovim razmerjem, tudi s kvadratno mrežo [1]. Nered v sistem vnesemo na tri načine z naključno izbiro: maksimalnih vrednosti, ki jih vez prenese (I c, F c oziroma M c ), že prekinjenih vezi, prevodnostjo oziroma togostjo vezi (upor R, k oziroma b). Lom lahko simuliramo na tri načine: V vsakem koraku poiščemo najšibkejšo vez skozi katero teče največji tok I max. Postavimo λ(n)i max = I c in izračunamo λ(n). Indeks n predstavlja število že prekinjenih vezi. Nato vse I ij pomnožimo z λ(n). To si lahko predstavljamo kot večanje napetosti V oziroma deformacije. Novo porazdelitev tokov dobimo z rešitvijo Kirchoffovih zakonov. V naslednjem koraku zopet poiščemo I m ax. Algoritem ponavljamo dokler mreža še prevaja tok oziroma ima ne ničeln Youngov modul. Za neko napetost V prekinemo vse vezi z I ij nad kritično vrednostjo. Nato povečamo napetost za V in izračunamo novo porazdelitev toka. Zopet pogledamo katere vezi so nad kritično vrednostjo. Ponavljamo dokler mreža še prevaja tok. Večinoma se uporabljata samo prvi vnos nereda, ker nam omogoča opisati nered z želenimi porazdelitvami. Hkrati lahko postavimo R in k na 1. Simulacija ponavadi poteka na prvi način. Drugi način je problematičen. S preveliki V slabo opišemo lom, ker bi v koraku prekinili vezi na več mestih in s tem ne bi zajeli ojačanja tokov ob vrhu razpoke. Hkrati lahko s premajhnimi V v korakih prepogosto ne prekinemo nobene vezi. Algoritma za RSM in upogljive vezi sta enaka, le da imamo sile namesto tokov in minimiziramo hamiltonko. 9

11 Slika 10: Sistem za prevajanje toka oziroma za lom za RFM. Kvadratna mreža je zasukana za 45, zato da so ob enakih uporih v vezeh na začetku vsi I ij enaki [3] Rezultati simulacij Kot primer poglejmo s simulacijami pridobljeno odvisnost I(V ) oziroma p(u) (slika 11). Za tak rezultat je potrebno povprečiti več simulacij po n prekinjenih vezeh. Kakšen je lom na mreži, vidimo na sliki 12. Za resne rezultate je bil potreben razvoj tako računalnikov kot računskih metod. Simulacija tudi tako preprostih mrež je zahtevna, ker moramo v vsakem koraku rešiti velik sistem. Tako so konec osemdesetih let računali na mrežah velikosti do [15] za RSM in leta 2006 na velikosti oziroma [16] za RFM. Zahtevnost je reda O(L 6.5 ) za 3D. Tako so sprva predvidevali kar nekaj lastnosti, ki so se na večjih mrežah izkazale za napačne [1, 16]. Ena izmed teh je poveza s perkolacijo in faznimi prehodi. Slika 11: Levi graf prikazuje odvisnost toka I od potencialne razlike V. Zveza je linearna do konca, kar predstavlja idealni krhki lom. Desni graf prikazuje enako simulacijo za RSM. Pri relativni deformaciji ɛ = 0.01 napetost izgine, čeprav še ni prišlo do končnega loma, ker model ne prenaša striga. To je očitna slabost modela RSM [3] Perkolacija Perkolacija je filtriranje tekočin skozi porozne materiale, denimo zemljine. Iz tega se je razvila teorija perkolacije. Med točke neskončne mreže postavljamo vezi z verjetnostjo p. Lahko bi tudi imeli perkolacijo mest namesto vezi med točkami. V tem primeru mesti prevajata, če imata skupni stranici. Ob kritični vrednosti p c postanejo nasprotni robovi povezani. Gre za zvezni fazni prehod, kjer je parameter urejenosti verjetnost P, da točka pripada neskončni gruči, ki povezuje robove mreže. Za p < p c je P = 0 in nato zvezno narašča do P = 1 za p = 1. Zvezni fazni prehod nima značilne velikostne skale. Dokaz za to je divergenca korelacije med dvema točkama (t.j. ali sta točki del iste gruče), ki divergira kot ξ p p c γ. V podobnem smislu opišemo tudi druge lastnosti s kritičnimi eksponenti. Da ni tipične velikostne skale, si lahko razlagamo, kot hkratni obstoj neskončne gruče, posameznih osamljenih vezi in vseh velikostnih razredov vmes. Primerjava s perkolacijo se tako zdi priročna, saj je perkolacija dobro raziskana. Širjenje razpoke si lahko predstavljamo kot pronicanje vode skozi zemljino. Vendar voda pronica skozi material povsem 10

12 Slika 12: Leva in srednja mreža sta za RFM. Pikice označujejo razpoko. Za večji nered (p = 0.7) je lom veliko bolj razvejan. Desne tri mreže so za RSM. Pri ɛ = 0.006, kjer je σ = 0 na desnem grafu na sliki 11 [3] naključno, medtem ko je smer napredovanja razpoke določena. Razpoke (slika 12) so veliko manj razvejane in zavite kot neskončna perkolacijska gruča (slika 13). Tako razpoko bi dobili v limiti neskončnega nereda, kjer bi nered prevladal nad lomno mehaniko. Perkolacija se kdaj uporablja za opis loma, primer je širjenje razpoke med geološkimi prelomi [3]. Lom kot zvezni fazni prehod je tudi v nasprotju z Griffithovim pogojem, ki zahteva sprostitev energije. To je očitno nezvezni fazni prehod. Danes v resnici niti še ni dorečeno ali je lom sploh fazni prehod ali ne [1]. Po drugi strani je vprašanje, če lom sploh lahko obravnavamo kot ravnovesni pojav in s tem polaga dvom v Griffithov ravnovesni pogoj [3]. Slika 13: Značilna oblika neskončne gruče, ki povezuje robove [3]. Takšna razpoka je veliko bolj zavita in razvejana, kot smo jih dobili z mrežnimi modeli (slika 12). 4 Hrapavost razpok: primer na trganju papirja Papir je zanimiv za študij razpok. Zaradi oblike lahko privzamemo 2D obliko. Lahko ga poceni kupimo v več vrstah. Sestavljen je iz celuloznih vlaken, ki so med seboj povezana z vodikovimi vezmi. Hrapavost 11

13 razpoke W (ɛ) lahko definiramo na več načinov. Najbolj običajna definicija je [17] W (ɛ) = 1 N ɛ 1 i+ɛ ( ) 2 h(x j ) h i, h i = 1 N 2ɛ + 1 2ɛ + 1 i=ɛ j=i ɛ i+ɛ j=i ɛ h(x j ). Hrapavost smo definirali na dolžinski skali ɛ kot povprečje kvadrata odstopanja višine razpoke h(x j ) od povprečja vrednosti h i na tej skali. Razpoke so si samopodobne, zato velja potenčna odvisnost W (ɛ) ɛ H kjer je H eksponent hrapavosti ali Hurstov eksponent omejen na [0, 1]. Zveza pomeni, da bomo na večjih skalah ɛ, videli čedalje večja odstopanja od povprečne vrednosti. Za H = 1 je zveza linearna. Za H < 1 so odstopanja glede na oddaljenost počasneje večajo. Sprva so mislili, da je eksponent univerzalen in približno 0.8. Zato so imeli tako eksperimentalne (les, beton, zlitine) kot numerične dokaze [1, 17]. Problem pri numeričnih dokazih je bil zopet v premajhnih mrežah [16]. Trenutno velja, da je H 0.7 na majhnih skalah in H 0.8 na velikih. Velikost skale je odvisna od velikosti nepravilnosti v zgradbi. Zanimivo rezultati so podobni ne glede na mrežo (trikotna, kvadratna) ali model (RFM, RSM, model z upogljivimi vezmi,... ), kar nakazuje na neko univerzalnost [1, 16]. Kljub temu obstajajo materiali, kateri imajo samo en eksponent ne glede na skalo [1]. Za 3D je eksponent nižji (0.5 oziroma 0.6). Razlage oziroma modela za izračun H nimamo [1], kakor tudi ne merila za najmanjšo in največjo skalo ɛ. 4.1 Eksperiment Naslednji eksperiment je zanimiv zaradi same preprostosti in različnih vrednosti H za različne vrste in orientacije papirja, kar je zopet argument proti univerzalnosti. Avtorji članka [17] so cm velike kose papirja navpično vpeli in na robu vodoravno zarezali 2 cm dolge začetne razpoke. Nato so na papir obesili približno 200 N utež in pustili, da se papir pretrga. Preizkusili so papir različnih specifičnih tež, med njimi časopisni papir, papirnate brisače, svilnat papir, prevlečen papir in papir narejen po sulfitnem postopku. Na papirju poteka vertikalna os ob daljši stranici originalnega lista papirja. Pretrgan papir so skenirali in s pretvorbo slike v črno-belo z ustreznimi parametri dobili grafe razpok. Dobljene vrednosti so v tabeli 1. Tabela 1: Eksponent hrapavosti za različne vrste papirja [17] Papir H v H h Časopisni papir 0.73 ± ± 0.02 Prevlečen papir 0.74 ± ± 0.03 Papirnate brisače 0.78 ± ± 0.03 Sulfitni papir 0.80 ± ± 0.04 Svilnat papir 0.94 ± ± 0.02 H v označuje primer, ko smo zarezali začetno razpoko v vertikalni smeri. H h je za horizontalno smer. Rezultati ne samo, da se lahko razlikujejo za različno orientacijo, ampak se tudi bistveno razlikujejo za različne vrste papirja, kar res priča proti univerzalnosti. Avtorji razliko za različne orientacije pojasnjujejo z anizotropnostjo papirja, kar potrdi tudi mikroskopska slika (slika 15). Papir se večinoma strga zaradi prekinitev vodikovih vezi in ne posameznih vlaken. V smeri pravokotno na vlakna se papir težje pretrga, ker moramo posamezno vlakno zaobiti. Zato je H večji, kar pomeni bolj grobo obliko. 12

14 Slika 14: Na levi ima sliko strganega papirja in dobljen graf razpoke iz nekega drugega eksperimenta [1]. Na desni sta pridobljena grafa za časopisni papir v horizontalni in vertikalni smeri. Enote so v točkah (pikslih) [17]. Nižji H h kot H v se odraža kot manj hrapava razpoka. Slika 15: Leva fotografija prikazuje časopisni papir in desna prevlečen papir. Pri časopisnem papirju vidimo, da so vlakna usmerjena večinoma v horizontalni smeri [17]. Ker razpoki ne bo potrebno tolikokrat obiti vertikalno orientirana vlakna, bo razpoka manj hrapava. 5 Zaključek V seminarju sem predstavil dva vidika lomne mehanike: inženirski ter fizikalni pogled. Izpustil sem fraktografijo eksperimentalno preučevanje razpok. Izpustil sem tudi akustično emisijo. Materiali ob lomu vibrirajo in izpuščajo zvok. Pojav je zanimiv, saj je tako kot hrapavost razpok amplituda čez čas samopodobna. Hkrati podaja pogled tudi v dinamiko loma. Lomna mehanika in mehanika poškodb sta z inženirskega vidika že dobro uveljavljeni disciplini. Dandanes ob načrtovanju zgradb, letal in ostalih predmetov, vemo, kako preprečiti oziroma vplivati na razvoj loma. Kljub temu ostajajo odprta vprašanja. Kakšen je točen vpliv razpok med sabo? Katera razpoka bo prevladala? Pred gradnjo se pogosto preizkusijo pomanjšane makete in še teh malo. Treba je poznati velikostno odvisnost loma in tudi kakšna je verjetnostna distribucija za lom. Iz fizikalnega vidika pojav sploh še ni dobro raziskan. Začetni optimizem po univerzalnosti ni vzdržal kasnejših preverjanj. Odprta vprašanja ostajajo. Razvoj temelji predvsem na mrežnih modelih, čeprav so poskusi na primer tudi v zvezni in usmerjeni perkolaciji. Rezultati bi bili tudi uporabni. Iz hrapavosti razpoke in akustične emisije bi lahko razbrali, kakšne vrste lom je bil in tudi ugotovili koliko je še do mehanske odpovedi materiala. Izziv ostaja žilav lom, tega mrežni modeli sploh še ne obravnavajo. 13

15 Literatura [1] Alava, M.J. et al. Statistical Models of Fracture. Advances in Physics. 2006,55,3-4, [2] Posredno citirano iz [7]. Reed, R.P. et al. NBS Special Publication Washington, [3] Hermann, H.J. in Roux, S. Statistical Models for the Fracture of Disordered Media. North-Holland, Oxford, [4] Citirano [5] Podgornik, R. Mehanika kontinuov. Dostopno na: 9.pdf. Citirano [6] Del predavanj za mehaniko materialov z MIT. Roylance, D. Mechanics of Materials Dostopno na: materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/ frac.pdf Citirano [7] Del predavanj za mehaniko materialov z MIT. Roylance, D. Mechanics of Materials Dostopno na: materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/ airy.pdf Citirano [8] Chakrabarti, B.K. in Hilles Benguigui, L. Statistical Physics of Fracture and Breakdown in Disordered Systems. Claredon Press, Oxford, [9] Citirano [10] Noes, M. et al. A Finite Element Method for Crack Growth Without Remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1999,46, [11] Citirano [12] Loehnert S. in Wriggers P. On the extended Finite Element Method Dostopno na: Citirano [13] Rösch, F. et al. Dynamic fracture of icosahedral model quasicrystals: A molecular dynamics study Physical Review B. 2005,72,1. [14] Crack Propagation in Quasicrystals. Institute for Theoretical and Applied Physics. Universität Stuttgart. Dostopno na: riss_en.php. Citirano [15] Hansen, A. et al. Rupture od central force lattices. Journal de Physique. 1989,50, [16] Nukala, P. K. V. V. et al. Statistical physics of fracture: scientific discovery through high-perfomrance computing. Journal of Physics: Conference Series. 2006,46, [17] Menezes-Sobrinho, I. L. et al. Anisotropy in rupture lines of paper sheets. Physical review E. 2005,