Dinamični pristop k turbulenci
|
|
- Jordan Austin
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Seminar - 4. letnik Dinamični pristop k turbulenci Avtor: Igor Mele Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, marec 2013 Povzetek Ravninski Couetteov tok je med najpreprostejšimi modeli strižnih tokov, vendar so bile točne invariantne rešitve Navier-Stokesovih enačb nepoznane do devetdesetih let prejšnjega stoletja. Poleg fizičnih upodobitev rešitev bo predstavljen postopek, kjer visoko dimenzionalen prostor Navier- Stokesovih enačb projiciramo na izbrano bazo. Dobimo fazne portrete, ki prikazujejo dinamiko turbulentnega toka pri zmernih Reynoldsovih številih.
2 Kazalo 1 Uvod 3 2 Zgodovinski pregled 3 3 Ravninski Couetteov tok Navier-Stokesova enačba Energija hitrostnega polja Simetrije Invariantne rešitve ravninskega Couetteovega toka D vizualizacija ravninskega Couetteovega toka Prostorska diskretizacija Ravnovesne rešitve Periodične orbite Potujoči valovi Bifurkacije Lastne vrednosti/funkcije, (ne)stabilne mnogoterosti Geometrija prostora stanj Projekcija na 2D ali 3D prostor Fazni portret Nadzor turbulence 12 7 Zaključek 13 2
3 1 Uvod Razumevanje turbulence je ena zadnjih nerešenih ugank klasične mehanike. Predstavlja enega osnovnih pojavov v naravi. Turbulenten tok ima kompleksne spremembe v času in kraju. Tipično se pojavi v tekočinah z majhno viskoznostjo, kot sta na primer voda in zrak. Navier-Stokesove enačbe se zdijo, da so natančen matematični model za opis toka tekočin z različnimi vrednosti viskoznosti. Predvsem dobro opišejo turbulentne tokove pri nizkih vrednostih Reynoldsovega števila. Enačbe rešujemo z numeričnim integriranjem. Opisal bom fizične in simetrijske lastnosti ravninskega Couetteovega toka. Rešitve sestavljajo stacionarna stanja, potujoči valovi in periodične orbite. Glavni namen seminarja bo predstaviti nov način vizualizacije faznega prostora za primer strižnih tokov v ravninskem Couetteovem toku. 2 Zgodovinski pregled Prvi poskusi opisa turbulence so temeljili na statističnem opisu. Predstavljena je bila kot naključne fluktuacije okoli povprečnega toka. Eden večjih uspehov takega pristopa je zakon Kolmogorova [1] (1941), ki podaja verjetnostno porazdelitev dolžinskih enot struktur vidnih v izotropni turbulenci. Turbulenco si lahko predstavljamo tudi kot dinamičen sistem. Med začetnike sodijo Poincaré, Hopf, Smale in drugi. H. Poincaré je leta 1889 pokazal, da analitična rešitev za problem treh teles v gravitacijskem polju ne obstaja. S tem pa je postavil tudi temelje geometrijskega pristopa v dinamičnih sistemih. E. Hopf pa si je v svojem članku [2] leta 1941 zamislil dinamiko Navier-Stokesovih enačb kot neskončno dimenzionalen fazni prostor določen z viskoznostjo, robnimi pogoji in zunanjimi silami. V tem prostoru bi bilo vsako 3D hitrostno polje predstavljeno s posamezno točko. Domneval je, da je znotraj neskončno dimenzionalnega prostora končno dimenzionalna mnogoterost. Lastnosti te mnogoterosti bi bile odvisne od viskoznosti tekočine. Za velike viskoznosti (majhno Reynoldsovo število) bi mnogoterost ustrezala točki, ki bi predstavljala laminarno stanje. Če pa povečujemo Reynoldsovo število, se spremeni stabilnost mnogoterosti, poveča se dimenzionalnost, razcepi se v nove mnogoterosti. Hopfova ideja o simulaciji Navier-Stokesovih enačb z računalnikom je bila tedaj precej pred časom. Kasneje so inženirji in matematiki pridobili precej empiričnih dokazov, da zmerno turbuletni tokovi kažejo nizko dimenzionalno obnašanje za različne pogoje. Poskusi so leta 1967 (Kline in drugi [3]) odkrili prostorsko organizirane proge v turbulentni robni plasti (plast, ki je najbližja steni). Proge sestavlja tekočina s hitrostmi, ki so relativno večje ali manjše glede na povprečno hitrost. Izmerjena odstopanja so bila ±50%. Robno plast so si do tedaj predstavljali kot tanko laminarno plast. Z razvojem računalništva so se odprla vrata tudi numeričnemu modeliranju strižnih tokov. Razvilo se je nekaj nizko dimenzionalnih modelov, ki uporabljajo analitične bazne funkcije. Narejene so posebej zato, da opišejo strukture v strižnih tokovih (proge, vrtinci). Dimenzije teh modelov (10 do 100) so nekaj velikostnih redov premajhne. Modeli zato ne prikažejo dogajanja na majhnih skalah, ki je pomemben del pri dinamiki turbulence. Drug pristop je izračun točnih invariantnih rešitev polnega sistema Navier-Stokesovih enačb. Torej spustimo nizko dimenzionalno modeliranje in obravnavamo algoritme CFD neposredno kot visoko dimenzionalne dinamične sisteme. Nagata je leta 1990 izračunal prvi par netrivialnih rešitev ravninskega Couetteovega toka [4], leta 1997 pa še prvi potujoči val [5]. 3 Ravninski Couetteov tok Ravninski Couetteov tok lahko opišemo kot sistem dveh neskončnih vzporednih plošč, ki se gibljeta v nasprotnih smereh s konstantno hitrostjo. Med ploščama se nahaja nestisljiva tekočina. Na stiku med ploščo in tekočino velja, da je tangencialna komponenta hitrosti enaka nič. Definiramo Reynoldsovo število kot: Re = Uh ν, kjer je U polovica relativne hitrosti obeh plošč, h je polovična razdalja med ploščama, ν pa je kinematična viskoznost. Pri majhnih Reynoldsovih številih imamo laminaren tok, ko Re zvišujemo, pa postane tok turbulenten. Hitrostno polje zapišemo v obliki u(r, t) = [u, v, w](x, y, z). Plošči se gibljeta s hitrostjo u = ±1ˆx, kjer so ˆx, ŷ in ẑ enotski vektorji. Os y (pravokotna na plošči) zavzame vrednosti y [ 1, +1], ostali dve osi sta neskončni, vendar ju v numeričnih izračunih nadomestimo s periodično celico dimenzij L x in L z. Za tako celico veljajo robni pogoji za hitrostno polje tik ob ploščah u(x, ±1, z) = [0, ±1, 0]. 3
4 Slika 1: Shematičen prikaz geometrije sistema. Plošči sta v oddaljenosti 2h, vsaka se giblje s hitrostjo U v nasprotnih smereh. Periodično domeno celice zapišemo z Ω = [0, L x ] [ 1, +1] [0, L z ] = [L x, 2, L z ]. Predpostavimo še, da je povprečje gradienta tlaka povprečeno po prostoru enako nič [7]. 3.1 Navier-Stokesova enačba Tekočine ubogajo zakone mehanike kontinuov: ohranitev mase, energije in gibalne količine. Gibanje nestisljive tekočine opiše Navier-Stokesova enačba: ( ) u ρ t + u u = p + µ 2 u. (1) Predpostavili smo, da je tekočina nestisljiva in homogena z viskoznostjo µ. Torej je gostota ρ konstantna po celem območju in za vse čase t. Ohranitev mase zapišemo s kontinuitetno enačbo ρ t + (ρu) = 0. Sledi pogoj za nestisljivost tekočine: u = 0. Na tem mestu lahko omenimo dve najpogostejši tekočini: voda in zrak. Voda je skoraj nestisljiva. Relativna sprememba prostornine za vsak bar pritiska je manj kot Zrak pa lahko obravnavamo kot nestisljivo tekočino dokler so hitrosti veliko manjše kot hitrost zvoka v zraku ( 340 m/s). Enačbo 1 delimo z gostoto ρ in prepišemo v brezdimenzijsko obliko u t + u u = p + 1 Re 2 u. Hitrost je normalizirana z U, dolžine so normalizirane z L, čas pa z L/U. Gostota je vključena v polje tlaka. Prej omenjena kinematična viskoznost je ν = µ ρ. Za ravninski Couetteov tok lahko zamenjamo u z u + yˆx. Dobimo Navier-Stokesovo enačbo kot razliko (deviacijo) do laminarnega toka u = yˆx u t + y u x + vˆx + u u = p + 1 Re 2 u. (2) Razlika u zadošča Dirichletovim robnim pogojem ob stenah u(x, ±1, z) = [0, 0, 0]. Oglejmo si najpreprostejšo rešitev za hitrostno polje, ki ima le eno neničelno komponento, zanemarimo še gradient pritiska. Navier-Stokesova enačba se poenostavi v obliko 2 u y 2 = 0. Rešitev je linearen profil (slika 2), ki ga dobimo z dvakratno integracijo in upoštevanjem robnih pogojev [8]. 3.2 Energija hitrostnega polja Zapisali bomo tri količine, ki jih lahko izračunamo iz celotnega hitrostnega polja: kinetično energijo E, disipacijo ali izgubo energije D in vloženo moč sten I. Periodična celica je diskretizirana s tako gostoto 4
5 Slika 2: Couetteov tok v eni dimenziji. Zgornja in spodnja stran se premikata s hitrostjo ±1. Rešitev je linearni hitrostni profil. Lastni izračun. mreže, da lahko opišemo vse strukture, ki nastanejo v hitrostnem polju. Energija se prenaša od največje skale do najmanjše, kjer se nato disipira v notranjo. Temperatura se v tej simulaciji ne spreminja. E(t) = 1 dx dy dz 1 u + yˆx 2 V Ω 2 D(t) = 1 dx dy dz (u + yˆx) 2 V Ω I(t) = ( u dx dz 2A y + u y=1 y ), y= 1 A kjer je V = 2L x L z volumen celice in A = L x L z površina stene. Normalizacije so izbrane tako, da velja D = I = 1 za laminaren tok [7]. Za stacionarne rešitve velja, da sta disipacija in vložena mo v c sten enaki D = I. Primer odvisnosti disipacije D in vložene moči I lahko vidimo na sliki 10. Minimum disipacije je v primeru laminarnega toka. Za ostale netrivialne rešitve in za turbulenten tok je disipacija ve v cja. Energija se zmanjšuje zaradi viskoznosti, dodaja pa se skozi gibanje sten. 3.3 Simetrije Na neskončnem področju brez robnih pogojev je Navier-Stokesova enačba invariantna na vsako 3D translacijo, 3D rotacijo in inverzijo skozi izhodišče (r r, u u). Couetteov ravninski tok je invarianten pod dvema diskretnima simetrijama (σ x, σ z ) in pod grupo translacije τ(l x, l z ). Poglejmo, kaj naredijo operatorji σ x, σ x in σ xz na koordinate in hitrostno polje: σ x [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x, y, z) σ z [u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x, y, z) σ xz [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x, y, z). Plošči omejita translacijsko simetrijo na dve dimenziji: τ(l x, l z )[u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x + l x, y, z + l z ). Vse skupaj lahko zapišemo s podgrupo S, v kateri so rešitve ravninskega toka invariantne. S = {1, s 1, s 2, s 3 }, kjer so s 1 = τ(l x /2, 0)σ z, s 2 = τ(l x /2, L z /2)σ x in s 3 = s 1 s 2. Delovanje grupe S na hitrostno polje u je tako določeno: s 1 [u, v, w](x, y, z) = [u, v, w](x + L x /2, y, z) s 2 [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x + L x /2, y, z + L z /2) s 3 [u, v, w](x, y, z) = [ u, v, w]( x, y, z + L z /2). Omenimo še grupo translacij za polovične dolžine celic T = {1, τ x, τ z, τ xz }, kjer so τ x = τ(l x /2, 0), τ z = τ(0, L z /2) in τ xz = τ x τ z. 5
6 4 Invariantne rešitve ravninskega Couetteovega toka Najpreprostejše invariantne rešitve so stacionarna stanja (oznaka EQ), ki so od časa neodvisna: u(r, t) = u EQ (r), in potujoči valovi u TW (oznaka TW), ki se gibljejo v ravnini [x, z] s konstantno hitrostjo c: u(r, t) = u TW (r ct), c = (c x, 0, c z ). Med rešitve prištevamo tudi periodične orbite. Označimo s F(u) Navier-Stokesovo enačbo 2 in f t korak enačbe v času: u t t = F(u), f t = u + dτf(u). S temi oznakami še enkrat zapišemo vse tipe invariantnih rešitev F(u EQ ) = 0 stacionarno stanje u EQ F(u TW ) = c u TW potujoč val u TW s hitrostjo c f Tp (u p ) = u p periodična orbita p s periodo T p f Tp (u p ) = τ p u p relativno periodična orbita s periodo T p in premikom τ p = τ(l x, l z ). 0 Potujoči valovi in relativno periodične orbite so dovoljene rešitve zaradi translacijske simetrije τ(l x, l z ) (periodični robni pogoji v smereh x in z), za potujoče valove velja še robni pogoj c ŷ = 0 [7, 9] D vizualizacija ravninskega Couetteovega toka Slika 3: Couetteov tok v treh dimenzijah [10]. Na sliki 3 vidimo trenutek v razvoju ravninskega toka v celici [L x, 2, L z ]. Hitrostno polje (u, v, w) je prikazano z vektorji in barvno lestvico. Vektorji imajo eno od koordinat nič glede na to, v kateri ravnini so izrisani. Barvna lestvica ponazarja komponento hitrosti u v smeri x. Zelena barva pomeni u = 0, rdeča/modra u = ±1. Ravninski Couetteov tok je najpreprostejši med strižnimi tokovi. Pri zmernih Reynoldsovih številih se pojavijo vrtinci preprostih oblik, ki se raztezajo čez celotno območje med stenama. Vrtinčnost lahko vidimo na sprednji ploskvi. Vrtinci potiskajo tekočino z nizko/visoko hitrostjo od sten proti sredini. To povzroča proge tekočine z večjimi/manjšimi hitrostmi glede na povprečje. Posledica hitrih tekočin v bližini stene je povečanje upora v primerjavi z laminarnim tokom. Vložena moč, ki je potrebna za poganjanje sten ravninskega toka, se poveča za faktor 3, če gre tok v turbulentno stanje. Rešitve, ki bodo prikazane v tem seminarju, so izračunane pri [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5]. Numerične simulacije so sicer pokazale, da je najmanjša celica, ki vzdržuje turbulenco za daljše časovne intervale, dimenzije [L x, L y, L z ] = [7π/4, 2, 6π/5]. Dolžina L z = 4π/5 je izbrana kot kompromis med L z = 6π/5 in L z = 3π/5. L z = 6π/5 vzdržuje turbulenco dlje časa, vendar ima rešitve samo pri podvojeni periodi v smeri z. L z = 3π/5 ima rešitve v osnovni periodi, ampak hitro končajo kot laminaren tok. 6
7 (a) u LM (b) u LB (c) u UB (d) u NB Slika 4: Rešitve ravninskega Couetteovega toka. (a) laminaren tok, (b) spodnja veja, (c) zgornja veja, (d) nova rešitev, prvič objavljena v [7]. Izračun za celico dimenzij [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400 [10]. 4.2 Prostorska diskretizacija Numerične integracije Navier-Stokesovih enačb so narejene s programom Channelflow [12]. Ko rešujemo numerično parcialne diferencialne enačbe, so rešitve ponavadi v diskretizirani obliki. V primeru ravninskega Couetteovega toka uporabimo spektralno diskretizacijo v prostorskih smereh. Hitrostno polje razvijemo v produkt dveh Fourierovih vrst in Čebiševih polinomov u(r, t) = J K L j= J k= K l=0 m=1 3 û jklm T l (y) e 2πi(jx/Lx+kz/Lz) ˆx m, kjer so T l Čebiševi polinomi, (ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 ) = (ˆx, ŷ, ẑ) so enotski vektorji. Razvoj v Fourierovo vrsto je pomemben tudi zaradi časovne zahtevnosti. Diskretna Fourierova tranformacija ima red časovne zahtevnosti O(N log N). Robni pogoji v normalni ravnini na stene so kombinacija Neumannovih (r.p. prve vrste y(a) = α) in Dirichletovih (r.p. druge vrste y (a) = α) robnih pogojev. Tu so za bazo vzeti Čebiševi polinomi. Mreža točk v normalni smeri y je določena z zvezo: Razlog za to je lastnost Čebiševih polinomov y j = cos π j N y, j = 0, 1,..., N y. T l (cos θ) = cos(l θ). Tako lahko izvedemo transformacijo vrednosti posameznih točk v mreži v Čebiševe polinome preko diskretne kosinusne transformacije, ki je poseben primer DFT. Druga prednost take izbire mreže pa je, da je bolj gosta v bližini sten, kjer se pojavljajo strukture toka na manjših skalah. 4.3 Ravnovesne rešitve Najpreprostejša rešitev je laminaren tok (slika 4(a)) in je stabilna za vsa Reynoldsova števila večja od nič. Prvi netrivialni rešitvi je izračunal M. Nagata leta Uporabil je znano rešitev Taylor-Couetteovega toka (viskozna tekočina med dvema vrtečima se valjema). Neodvisno pa jih je ponovno izračunal F. Waleffe (2003). Poimenovani sta kot spodnja veja u LB in zgornja veja u UB. Analogijo z vejami uporabimo zato, ker sta rešitvi rojeni v sedlasti bifurkaciji pri Re Več o bifurkacijah v 4.6. Kmalu po bifurkaciji tvorita celo heteroklinsko povezavo, pri višjih vrednostih Re pa take povezave ni več. Rešitve so točne na približno 8 mest in so prikazane kot razlika do laminarnega toka. So stacionarne, čeprav se hitrostno polje spreminja po vsej celici. Ker se s časom ne premikajo, po definiciji niso turbulentne. Periodična celica je diskretizirana na mreži velikosti Periodične orbite Za izračun točne nestabilne periodične orbite je potrebno poskusiti 50 do 100 tisoč začetnih hitrostnih polj z zadostno natančnostjo, da se eksponentno nestabilno stanje tekočine pojavi v skoraj enaki obliki po določeni periodi, ki je seveda na začetku neznana. Dokler niso bile prve periodične rešitve izračunane leta 2001, se je zdelo kaj takega popolnoma izven dosega [10]. 7
8 (a) T W 1 (b) T W 2 (c) T W 3 Slika 5: Potujoči valovi. (a) v smeri z, (b),(c) v smeri x. Izračun za celico dimenzij [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400 [10]. (a) (b) Slika 6: (a) Odvisnost disipacije D od Reynoldsovega števila Re. Z modro barvo sta označeni zgornja u UB in spodnja veja u LB, z rdečo pa u NB in njena spodnja veja. Ostale krivulje so rešitve, ki so bile izračunane v nadaljnem raziskovanju. Te rešitve v tem seminarju ne bodo obravnavane. Opisane pa so v [6]. (b) Vsota realnih delov nestabilnih lastnih vrednosti v odvisnosti od Re [6]. 4.5 Potujoči valovi Prvi dve rešitvi za potujoče valove sta bili objavljeni leta 1997 (Nagata). Na sliki 5 vidimo tri hitrostna polja T W 1, T W 2 in T W 3 (ang. za traveling wave). T W 1 val je invarianten na operator s 2 kar pomeni, da potuje v smeri z, komponenta hitrosti v smeri x je nič, c = ẑ za Re = 400. Ima tudi majhno neničelno povprečno hitrost prav tako v smeri z. T W 1 povzroča večino transporta tekočine brez gradienta pritiska v smeri pravokotno na gibanje sten. Ta val je bil najden iz vilaste bifurkacije rešitve u LB (slika 6(a), spodnja veja modre krivulje), zato leži blizu u LB v faznem prostoru. T W 2 in T W 3 sta oba invariantna na operator s 1, torej potujeta v smeri gibanja sten (os x). Imata večjo hitrost kot T W 1 : c T W2 = ˆx, c T W3 = ˆx. 4.6 Bifurkacije Bifurkacija ali razcep se pojavi, ko se zaradi spremembe določenega parametra v sistemu, ki ga opazujemo, nenadno spremeni kvalitativno obnašanje sistema. V primeru Couetteovega toka lahko opazimo bifurkacije pri spreminjanju vrednosti Reynoldsovega števila. Do spontanih bifurkacij brez spremembe Re števila ne pride. Na sliki 6(a) vidimo odvisnost disipacije D od Re. To je projekcija iz 10 5 dimenzionalnega prostora na 2D. Vsaka krivulja je družina rešitev z zgornjo in spodnjo vejo. Začnejo se z bifurkacijo pri kritičnem številu Re. Prva bifurkacija pri Re = rodi spodnjo in zgornjo vejo, ki ju je prvi izračunal Nagata (1990). Spodnja veja je stabilna čez mejo Re = Kmalu po bifurkaciji ima u LB tri nestabilne lastne vrednosti in le eno na intervalu 270 Re Zgornja veja u UB je stabilna za majhnen razpon Re po bifurkaciji. 8
9 Iz slike 6(b) pa lahko razberemo nestabilnost posamezne rešitve v odvisnosti od Re. Kot mero za nestabilnost uporabimo vsoto realnih delov nestabilnih lastnih vrednosti. Opazimo, da so spodnje veje manj nestabilne kot njihove kopije v obliki zgornjih vej. Tudi z večanjem Re se spodnje veje nagibajo k manjši nastabilnosti. Ker so zgornje/spodnje veje določene z mero disipacije, lahko potegnemo zaključek, da gresta manjša nestabilnost in manjša disipacija z roko v roki [6]. 4.7 Lastne vrednosti/funkcije, (ne)stabilne mnogoterosti Dinamiko v okolici ravnovesnih rešitev narekuje stabilnostna matrika, ki jo zapišemo kot [DF ] mn = F m u n. Naj bo λ lastna vrednost in v EQ lastna funkcija (vektor) rešitve enačbe DF ueq v = λv v ravnovesni rešitvi u EQ. Linearna razširitev v fazni prostor v = DF ueq v okoli u EQ ima rešitev v(t) = e λt v EQ. Začetni pogoj u(0) = u EQ + ɛv EQ s pogojem ɛ v EQ 1 se razvije kot u(t) = u EQ + ɛv EQ e λt + O(ɛ 2 ). Linearno razširitev hitrostnega polja u(r,t) lahko dobimo z rekonstrukcijo hitrostnih polj iz ustreznih vektorjev v faznem prostoru. Perturbacije okoli u EQ vzdolž lastne funkcije v EQ se razširijo kot u(r, t) = u EQ (r) + ɛv EQ (r)e λt + O(ɛ 2 ). Kompleksne lastne vrednosti in lastne funkcije (vektorji) morajo biti prepisani v obliko z realnimi vrednostimi, da lahko naredimo pretvorbo iz vektorjev v faznem prostoru v hitrostno polje. Naj bo λ = µ ± iω par kompleksno konjugiranih lastnih vrednosti, v = v r ± iv i pa so ustrezni lastni vektorji. Začetno hitrostno polje u(0) = u EQ + ɛv r se razširi kot u(t) = u EQ + ɛ(v r cos ωt v i sin ωt)e µt + O(ɛ 2 ). Realni hitrostni polji v r in v i dobimo iz realnih vektorjev v r in v i [7]. Na sliki 7 vidimo nekaj prvih nestabilnih lastnih vrednosti rešitev u LB (realna nestabilna lastna vrednost), u UB (kompleksen par nestabilnih lastnih vrednosti) in u NB (realna in kompleksen par nestabilnih lastnih vrednosti). Slika 7: Prve lastne vrednosti u LB, u NB in u UB v podprostoru grupe S (podpoglavje 3.3) [7]. Nestabilno (stabilno) mnogoterost rešitve u EQ bomo označevali z W u(n) EQ (W u(s) EQ ). Nestabilna mnogoterost W u(n) EQ se bo nanašala na orbito infinitezimalne perturbacije rešitve u EQ vzdolž pripadajoče lastne funkcije v (n) EQ in za realno lastno vrednost λ(n). Za kompleksen par lastnih vrednosti λ (n,n+1) rešitve u EQ 9
10 pa označimo z W u(n,n+1) EQ, ki predstavlja orbito krožnice z infinitezimalnim radijem v ravnini okoli u EQ. Ravnino napenjata lastna vektorja: realni v r (n) in imaginarni v (n) i. Ta del nestabilne mnogoterosti je dvodimenzionalen. Obliko pa lahko določimo z izračunom seta trajektorij z začetnim pogojem pri različnih vrednostih θ [7]. 5 Geometrija prostora stanj u EQ + ɛ(v r (n) cos θ + v (n) i sin θ) V prejšnjem poglavju smo spoznali enega od načinov vizualizacije ravninskega toka (slika 3). Vendar ima ta fizična predstava toka dve težavi. Prva je, da je težko razločiti stanja, ki so lahko zelo različna iz dinamičnega vidika. Druga težava pa je, da je težko videti, če sta dve različni stanji morda povezani. Za boljšo predstavo relacij med stacionarnimi rešitvami in periodičnimi orbitami ter tipičnimi turbulentnimi trajektorijami si bomo ogledali še en način vizualizacije v prostoru stanj. Zamislimo si 3D hitrostno polje v danem trenutku kot točko v faznem prostoru. V splošnem je ta prostor Navier-Stokesovih enačb neskončno dimenzionalen. V praksi pa je vedno aproksimiran z končno dimenzionalno mrežo točk. Gostoto mreže izberemo tako, da zajamemo vse strukture v hitrostnem polju od največjih vrtincev do najmanjših, kjer se energija hitrostnega polja disipira v notranjo energijo. Za enojno natačnost (8 decimalk) izračunanih rešitev polno razvitih Navier-Stokesovih enačb zadošča 10 5 dimenzionalen prostor. Ker lahko iz evolucije 3D hitrostnih polj prepoznavamo določene strukture (vrtinci, proge), lahko predpostavimo, da ne more biti vseh 10 5 koordinat enako pomembnih. Ali lahko konstruiramo tak koordinatni sistem v faznem prostoru, v katerem bi nekaj koordinat zajelo večino teh prepoznavnih struktur [10, 7]. Torej dobimo za časovno spreminjajoče se hitrostno polje trajektorije v faznem prostoru, za stacionarne rešitve pa točko. 5.1 Projekcija na 2D ali 3D prostor Ideja je, da si izberemo nekaj stanj, ki jih pogosto obišče turbulentni tok. Tok projiciramo na koordinatni okvir, ki ga konstruiramo iz ponavljajočih se stanj. Dobra izbira za ta stanja so na primer stacionarne rešitve. V tem primeru bo to zgornja veja u UB. Izkaže se, da je turbulentna dinamika ujeta med nestabilne mnogoterosti u UB, τ x u UB, τ z u UB in τ xz u UB [11]. Projekcijo naredimo s pomočjo skalarnega produkta, ki ga zapišemo kot (u, v) = 1 u v dr. V V splošnem tvorimo ortonormalno bazo funkcij {e 1, e 2,..., e n } iz seta linearno neodvisnih stanj in dobimo trajektorijo v faznem prostoru a(t) = (a 1, a 2,..., a n,...)(t), a n (t) = (u(t), e n ) v {e n } koordinatnem sistemu s pomočjo skalarnega produkta. u(t) je stanje tekočine ob nekem času t, ki ga predstavlja 10 5 dimenzionalni vektor. Projekcijo lahko predstavimo na 2D grafu {e i, e j } ali na 3D grafu {e i, e j, e k }. Oglejmo si konkreten primer za stacionarno rešitev u UB. Set ortonormalnih funkcij, ki bazirajo na u UB in translacije za polovične dolžine celice lahko dobimo s štirimi nerazcepnimi upodobitvami grupe T = {1, τ x, τ z, τ xz }: τ x τ z τ xz e 1 = c 1 (1 + τ x + τ z + τ xz )u UB S S S e 2 = c 2 (1 + τ x τ z τ xz )u UB S A A e 3 = c 3 (1 τ x + τ z τ xz )u UB A S A e 4 = c 4 (1 τ x τ z + τ xz )u UB A A S, Ω 10
11 (a) (b) Slika 8: Fazni portret ravninskega Couetteovega toka za [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5], Re = 400. S točkami so označena stacionarna stanja, z odebeljeno modro črto mnogoterost W u LB in njene translacije. Črne in rdeče trajektorije predstavljajo mnogoterost W u(1,2) NB, zelene pa 2D mnogoterost WUB, u ki izhaja iz u UB [7]. kjer so c n konstante določene z normo e n 2 = 1. Stolpci na koncu označujejo simetrijo vsakega baznega vektorja e n na grupo T. Kot primer S v τ x stolpcu pomeni τ x e n = e n, A v τ x stolpcu pa τ x e n = e n. Časovno evolucijo hitrostnega polja u lahko za ta primer zapišemo kot a(t) = (a 1, a 2, a 3, a 4 )(t), a n (t) = (u(t), e n ). Zaradi projekcije iz visokodimenzionalnega prostora na nizkodimenzionalen prostor se trajektorije v faznem prostoru lahko tudi sekajo [7]. 5.2 Fazni portret Prvi primer faznega portreta vidimo na sliki 8(a). Portret je rezultat projekcije iz 10 5 dimenzij na ravnino {e 1, e 2 } z zgoraj opisanim postopkom. Označena so stacionarna stanja u LM, u UB, u LB in u NB, ki je bilo odkrito na novo. Ker sta bazna vektorja e 1 in e 2 simetrična na operator τ x, se točke, ki so med sabo v relaciji s τ x (primer u LB in τ x u LB ), preslikajo v isto točko na portretu. Bazni vektor e 2 je antisimetričen na operator τ z kar pomeni, da se translacije za polovično dolžino celice v z smeri kažejo kot zrcalna slika vzdolž a 2 koordinate. Z debelo modro črto je označena nestabilna mnogoterost WLB. u Tvori nek okvir za trajektorije, ki izhajajo iz u NB. Rešitev u LB ima eno nestabilno lastno vrednost, ki je realna. Iz tega sledi, da je mnogoterost W u LB enodimenzionalna. Obe veji W u LB končata kot laminaren tok. Ena od vej takoj, druga pa po turbulentnem izletu v smeri u UB. Spodnja polovica mnogoterosti WLB, u ki izhaja iz τ z translacije u LB, je narisana le delno zaradi preglednosti faznega portreta. Rešitev u NB ima par kompleksno konjugiranih lastnih vrednosti. Mnogoterost W u(1,2) NB je prikazana na sliki 8(a) kot spirala trajektorij, ki izhajajo iz u NB. Dobimo presenetljiv rezultat. 2D površina W u(1,2) NB je omejena z 1D krivuljo WLB. u Med u NB in u UB vidimo, da obstaja povezava. Tako povezavo med ravnovesnimi točkami imenujemo heteroklinska povezava. Heteroklinska povezava med u NB in u UB tvori mejo med trajektorijami, ki končajo neposredno kot laminaren tok in med trajektorijami, ki gredo prehodno skozi turbulenten tok. Za Re = 400 in celico velikosti [L x, L y, L z ] = [2π/1.14, 2, 4π/5] vse trajektorije iz različnih začetnih pogojev končajo kot laminaren tok. Iz 2D faznega portreta pa ni mogoče določiti ali heteroklinska povezava poteka med u NB in u LB ali τ x u LB. Ko dodamo grafu 8(a) še tretjo koordinato a 3, dobimo še boljši vpogled v dinamiko sistema. Na 3D sliki 8(b) se tako jasno vidi, da poteka povezava med u NB in u LB. Bazni vektor e 3 je antisimetričen na operator τ x. Koordinata a 3 zato loči med u LB in τ xz u LB. V 2D projekciji pa ležita eno na drugem. Fazni portret razkrije še en razcep mnogoterosti W u(1,2) NB. Vendar ta ni posledica heteroklinske povezave med 11
12 u NB in katere od translacij u LB. Trajektorije se razhajajo v bližini τ z u LB in τ xz u LB, ampak se nobena ne približa kateri od teh dveh točk. Prav tako pa se v nadaljevanju ne bližajo h kateri od mnogoterosti Wτ u(1,2) z NB = τ z W u(1,2) NB in Wτ u(1,2) xz NB = τ xz W u(1,2) NB. Geometrija W u(1,2) NB je v tem področju precej zapletena. Separacija trajektorij med τ z u LB in τ xz u LB namiguje, da bi morda lahko obstajala kakšna rešitev v tem območju, vendar vsi začetni pogoji v končni fazi konvergirajo k τ z u LB in τ xz u LB. Jasno pa je, da je geometrija W u(1,2) NB oblikovana z nestabilnimi mnogoterostimi WLB, u Wτ u z LB in Wτ u xz LB. S tema dvema faznima portretoma smo prepoznali območja, ki sprožijo prehode proti kvalitativno drugačnim tipom tokov [7]. 6 Nadzor turbulence V 4.6 je bilo že omenjeno, da ima spodnja veja u LB le eno nestabilno lastno vrednost za velik razpon Reynoldsovih števil. Oglejmo si stabilnost te rešitve bolj podrobno. Na sliki 9 je prikazana stabilnost Slika 9: Nestabilna lastna vrednost u LB v odvisnosti od Re [13]. edine lastne vrednosti u LB na intervalu 270 Re Najbolj nestabilna je pri vrednosti Re = 348, za večje Re pa pada. Pripadajoča lastna funkcija ohranja enake simetrije rotacije in zrcaljenja kot spodnja veja, medtem ko za zgornjo vejo to ne velja in tvori nove bifurkacije pri povečevanju Re. Spodnja veja u LB ima 1D nestabilno mnogoterost, ki razdeli lokalni fazni prostor na dva dela. En del hitro konvergira k laminarni rešitvi, drug del pa gre v turbulentno stanje. To lahko vidimo tudi na Slika 10: Disipacija D v odvisnosti od vložene moči I. Modra točka (1,1) je laminarna rešitev, zelena točka (1.35,1.35) je u LB, rdeča točka (3.89,3.89) je zgornja veja u UB [13]. sliki 10, ki prikazuje dve trajektoriji. Obe imata začetek v bližini u LB na nestabilni mnogoterosti. Tok gre v eni smeri v laminarno stanje (zelena trajektorija), v drugi smeri pa zaide v turbulenco (modra trajektorija). S tem pa se precej poveča izgubljanje energije toka. Nizka dimenzionalnost nestabilne mnogoterosti spodnje veje namiguje na nov pristop k nadzoru turbulence. Postopke za nadzor turbulence grobo razdelimo na dva dela. Prvi del preprečevanje zloma linearno stabilnega laminarnega toka, drugi del pa je nelinearen turbulenten tok prisiliti nazaj v laminaren tok. Nov postopek pa bi lahko bil, da tok držimo v ravnovesni spodnji veji s kontrolo nekaj njenih nestabilnosti. Upor bi bil nekje od 30% do 40% večji kot v laminarnem toku, vendar je to še vedno zelo ugodno, če primerjamo, kakšen upor povzroča turbulenten tok [13]. 12
13 7 Zaključek V seminarju smo si lahko ogledali točne invariantne rešitve sistema Navier-Stokesovih enačb za primer ravninskega Couetteovega toka. Ravnovesne rešitve, potujoči valovi in periodične orbite obsegajo Hopfovo vizijo o repertoarju ponavljajočih se vzorcev v turbulentni dinamiki. Z novo metodo vizualizacije toka v faznem prostoru je bila odkrita tudi nova rešitev in prva heteroklinska povezava med dvema netrivialnima rešitvama. Na prvi pogled morda izgleda fazni portret turbulentne dinamike precej zapleteno. Ko ga razčlenimo, pa postane veliko bolj jasen. Sestavljen je iz bližnjih obhodov točnih koherentnih stanj z vmesnimi prehodi skozi turbulentna stanja. Ta opis ponuja napoved transportnih lastnosti tekočin, na primer celoten pretok in povprečen upor na stenah. Mogoče je sklepati, da bodo fazni portreti v kompleksnejših geometrijah bolj zapleteni. Prej pa je potrebno najti še rešitve. Rešitve v drugih geometrijah so znane npr. v Taylor-Couetteovem toku, kjer je tekočina ujeta med dvema valjema. Izračun točnih lastnih funkcij in nestabilnih mnogoterosti pa obeta nov način kontrole turbulence v strižnih tokovih. Perturbacije v lastnih smereh lahko izkoristimo za stabilizacijo toka v željeno stanje, ki ni nujno laminarno. Cilj za prihodnost je globalni opis turbulentnega toka. Zaenkrat so vsi numerični izračuni temeljili na majhnih periodičnih celicah, ki komaj še vzdržujejo turbulenten tok. Literatura [1] A. N. Kolmogorov: The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers, Proc. R. Soc. Lond. 434, , (1991). [2] E. Hopf: A mathematical example displaying features of turbulence, Comm. Appl. Math. 1, , (1948). [3] S. Kline, W. C. Reynolds, F. A. Schraub, P. W. Rundstadler: The structure of turbulent boundary layers, J. Fluid Mech. 30, , (1967). [4] M. Nagata: Three-dimensional finite-amplitude solutions in plane Couette flow: bifurcation from infinity, J. Fluid Mech. 217, , (1990). [5] M. Nagata: Three-dimensional traveling-wave solutions in plane Couette flow, Phys. Rev. E 55, , (1997). [6] J. F. Gibson, J. Halcrow & P. Cvitanović: Equilibrium and traveling-wave solutions of plane Couette flow, arxiv: v2 (2008). [7] J. F. Gibson, J. Halcrow & P. Cvitanović: Visualizing the geometry of state-space in plane Couette flow, J. Fluid Mech. 621, , arxiv: (2009). [8] ( ) [9] J. Halcrow: Geometry of turbulence: An exploration of the state-space of plane Couette flow, School of Physics, Georgia Institute of Technology, Atlanta, ZDA, (2008). [10] ( ) [11] J. F. Gibson, J. Halcrow, D. Viswanath & P. Cvitanović: Heteroclinic connections plane Couette flow, arxiv: v1 (2008). [12] J. F. Gibson: Channelflow: spektralni simulator Navier-Stokesovih enačb, [13] J. Wang, J. F. Gibson & F. Waleffe: Lower branch coherent states in shear flows: transition and control, Phys. Rev. Lett. 98(20), arxiv:physics/ v1 (2007). 13
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,
More informationReševanje problemov in algoritmi
Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationAttempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia
Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued
More informationUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko. Seminar TURBULENCA. Jurij SODJA. Mentor: prof.
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar TURBULENCA Jurij SODJA Mentor: prof. Rudolf PODGORNIK Ljubljana, marec 007 POVZETEK je danes navkljub številnim naporom
More informationDinamika fluidov. Laminarni in turbulentni tok Viskoznost tekočin Faktor trenja h f
inamika luidov Laminarni in turbulentni tok Viskoznost tekočin Faktor trenja h 1 Energijska bilanca: Celokupna energijska bilanca procesa: W 1 + U 1 + K 1 = W + U + K F + M + T Bernoulijeva enačba Enačba
More informationMultipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R
Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO SEMINAR 2008/2009 HLAJENJE PLOŠČE S TURBULENTNIM CURKOM. Martin Draksler
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO SEMINAR 2008/2009 HLAJENJE PLOŠČE S TURBULENTNIM CURKOM Martin Draksler Mentor: dr. Boštjan Končar Somentor: dr. Primož Ziherl Povzetek Hlajenje s
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationVisualizing the geometry of state space in plane Couette flow
Accepted for publication in J. Fluid Mech. 1 Visualizing the geometry of state space in plane Couette flow By J. F. G I B S O N, J. H A L C R O W A N D P. C V I T A N O V I Ć School of Physics, Georgia
More informationShear Turbulence. Fabian Waleffe. Depts. of Mathematics and Engineering Physics. Wisconsin
Shear Turbulence Fabian Waleffe Depts. of Mathematics and Engineering Physics, Madison University of Wisconsin Mini-Symposium on Subcritical Flow Instability for training of early stage researchers Mini-Symposium
More informationGEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI
GEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI LARA ULČAKAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku so predstavljene geometrijske faze, ki nastopijo pri obravnavi kvantnih sistemov. Na začetku
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationLinearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani
Linearna algebra Bojan Orel 07 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5.64(075.8) OREL, Bojan Linearna
More informationEvolucija dinamike Zemljine precesije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko oddelek za fiziko Evolucija dinamike Zemljine precesije Avtor: Ivo Krajnik Ljubljana, 15. marec 2011 Povzetek Bistvo tega seminarja je v sklopu klasične
More informationGeometrijske faze v kvantni mehaniki
Seminar 1-1. letnik, 2. stopnja Geometrijske faze v kvantni mehaniki Avtor: Lara Ulčakar Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, november 2014 Povzetek V seminarju so predstavljene geometrijske faze,
More informationWhat is Turbulence? Fabian Waleffe. Depts of Mathematics and Engineering Physics University of Wisconsin, Madison
What is Turbulence? Fabian Waleffe Depts of Mathematics and Engineering Physics University of Wisconsin, Madison it s all around,... and inside us! Leonardo da Vinci (c. 1500) River flow, pipe flow, flow
More informationPlavanje pri nizkih Reynoldsovih številih
Plavanje pri nizkih Reynoldsovih številih Miha Ravnik 1,2 1 Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani 2 Inštitut Jožef Stefan, F5 Odsek za fiziko trdnih snovi https://softmatter.fmf.uni-lj.si/main.php
More informationTermalizacija zaprtih kvantnih sistemov
ODDELEK ZA FIZIKO Seminar Ia, 1. letnik, II. stopnja Termalizacija zaprtih kvantnih sistemov Avtor: Črt Lozej Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, april 2014 Povzetek V seminarju najprej predstavimo
More informationENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,
More informationCălugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik 26.
More informationVerifikacija napovedi padavin
Oddelek za Meteorologijo Seminar: 4. letnik - univerzitetni program Verifikacija napovedi padavin Avtor: Matic Šavli Mentor: doc. dr. Nedjeljka Žagar 26. februar 2012 Povzetek Pojem verifikacije je v meteorologiji
More informationIzmenični signali moč (17)
Izenicni_signali_MOC(17c).doc 1/7 8.5.007 Izenični signali oč (17) Zania nas potek trenutne oči v linearne dvopolne (dve zunanji sponki) vezju, kjer je napetost na zunanjih sponkah enaka u = U sin( ωt),
More informationMODELI CESTNEGA PROMETA
MODELI CESTNEGA PROMETA LUKA ŠEPEC Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku so predstavljeni različni pristopi k modeliranju cestnega prometa. Najprej so predstavljene empirične
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More information56 1 Upogib z osno silo
56 1 Upogib z osno silo PREGLEDNICA 1.5 (nadaljevanje): Upogibnice in notranje sile za nekatere nosilce d) Upogibnica prostoležečega nosilca obteženega s silo F Pomik in zasuk v polju 1: w 1 = F b x (L
More informationFRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,
More informationAERODINAMIKA AVTOMOBILA TESLA MODEL S. Dino Gačević
AERODINAMIKA AVTOMOBILA TESLA MODEL S Diplomski seminar na študijskem programu 1. stopnje Fizika Dino Gačević Mentor: doc. dr. Mitja Slavinec Somentorica: asist. Eva Klemenčič Zunanji delovni somentor:
More informationPRESENEČENJA V FIZIKI: VRTAVKE. Mitja Rosina Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 12.marca 2010
PRESENEČENJA V FIZIKI: VRTAVKE Mitja Rosina Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 12.marca 2010 1. Vrtavka na prostem 2. Vrtavka na mizi: vrtenje, precesija, nutacija 3. Vrtavka na mizi: trenje,
More informationModeli dinamičnega vzgona letalskih kril. Drugi del.
Modeli dinamičnega vzgona letalskih kril. Drugi del. Sašo Knez in Rudolf Podgornik Oddelek za fiziko, Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani Povzetek V drugem delu tega članka se bova posvetila
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Jan TIBAUT RAČUNSKA ANALIZA OBTEKANJA LOPATICE LOPATIČNE REŠETKE univerzitetnega študijskega programa 1. stopnje Strojništvo Maribor, september 2012 1 Fakulteta
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationMerjenje difuzije z magnetno resonanco. Avtor: Jasna Urbanija Mentor: doc.dr.igor Serša
Merjenje difuzije z magnetno resonanco Avtor: Jasna Urbanija Mentor: doc.dr.igor Serša Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Februar 2005 1 Povzetek Pojav jedrske magnetne resonance omogoča
More informationLighthillova akustična analogija in zvočni hrup pri turbulenci. Drugi del Lighthill acoustic analogy and noise in turbulence. Second part.
Lighthillova akustična analogija in zvočni hrup pri turbulenci. Drugi del Lighthill acoustic analogy and noise in turbulence. Second part. Rudolf Podgornik, Nikola Holeček, Brane Širok in Marko Hočevar
More informationOA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION
OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION Table of contents 1 TECHNICAL FIELDS... 2 2 PRESENTING THE SCOPE OF A CALIBRATION LABOORATORY... 2 3 CONSIDERING CHANGES TO SCOPES... 6 4 CHANGES WITH
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationHIGGSOV MEHANIZEM MITJA FRIDMAN. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
HIGGSOV MEHANIZEM MITJA FRIDMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku je predstavljen Higgsov mehanizem, ki opisuje generiranje mase osnovnih delcev. Vpeljan je Lagrangeov formalizem,
More informationKatastrofalno zaporedje okvar v medsebojno odvisnih omrežjih
Katastrofalno zaporedje okvar v medsebojno odvisnih omrežjih Daniel Grošelj Mentor: Prof. Dr. Rudi Podgornik 2. marec 2011 Kazalo 1 Uvod 2 2 Nekaj osnovnih pojmov pri teoriji omrežij 3 2.1 Matrika sosednosti.......................................
More informationTopološki defekti v aktivnih in pasivnih nematikih
Seminar I a - 1. letnik, II. stopnja Topološki defekti v aktivnih in pasivnih nematikih Avtor: Matevž Marinčič Mentor: doc. dr. Miha Ravnik Ljubljana, december 2015 Povzetek V seminarju predstavim topološke
More informationIntroduction of Branching Degrees of Octane Isomers
DOI: 10.17344/acsi.2016.2361 Acta Chim. Slov. 2016, 63, 411 415 411 Short communication Introduction of Branching Degrees of Octane Isomers Anton Perdih Faculty of Chemistry and Chemical Technology, University
More informationModelska Analiza 1. University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics. 3. naloga - Numeri na minimizacija
University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics Modelska Analiza 1 3. naloga - Numeri na minimizacija Avtor: Matic Lubej Asistent: dr. Simon ƒopar Predavatelj: prof. dr. Alojz Kodre Ljubljana,
More informationProblem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationPOGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo
POGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo V statistični fiziki nas često zanimajo povprečne vrednosti opazljivk v ravnovesnem, termalnem stanju, pri dobro znani vrednosti temperature in ostalih termodinamskih
More informationEVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA EVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ:
More informationREGULACIJA ULTRASENZITIVNOSTI LINEARNO SKLOPLJENIH PROTEINSKIH KASKAD
REGULACIJA ULTRASENZITIVNOSTI LINEARNO SKLOPLJENIH PROTEINSKIH KASKAD Seminar iz fizike na dvopredmetnem študijskem programu Fizika (stari program) Aleš Vunjak Mentor: asist. dr. Rene Markovič Maribor,
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationUniverza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko. Seminar
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar Disperzijski modeli za modeliranje izpustov Avtor: Maruška Mole Mentor: asist. Rahela Žabkar Ljubljana, februar 2009 Povzetek Seminar predstavi
More informationOddelek za fiziko. Razbojniški valovi. Avtor: Žiga Zaplotnik. Mentor: Rudolf Podgornik. Ljubljana, februar Povzetek
Oddelek za fiziko Seminar I a 1.letnik, II. stopnja Razbojniški valovi Avtor: Žiga Zaplotnik Mentor: Rudolf Podgornik Ljubljana, februar 2014 Povzetek V seminarju predstavimo prve dokaze o obstoju razbojniških
More informationIntervalske Bézierove krivulje in ploskve
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
More informationNIKJER-NIČELNI PRETOKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA
More informationKlemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj KEY WORDS
G 2014 V ROTACIJA Z ENOTSKIM KVATERNIONOM GEODETSKI VESTNIK letn. / Vol. 58 št. / No. 2 ROTATION WITH UNIT QUATERNION 58/2 Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj UDK: 512.626.824:528 Klasifikacija prispevka
More informationIterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge
Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Naloge so razdeljene v 6 skupin. Za pozitivno oceno morate rešiti toliko nalog, da bo končna vsota za pozitivno oceno vsaj 8 točk oz. vsaj 10 točk
More informationLinearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe
Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija
More informationSolutions. Name and surname: Instructions
Uiversity of Ljubljaa, Faculty of Ecoomics Quatitative fiace ad actuarial sciece Probability ad statistics Writte examiatio September 4 th, 217 Name ad surame: Istructios Read the problems carefull before
More informationOgrodja prostorskih parametričnih krivulj
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Marko Černe Ogrodja prostorskih parametričnih krivulj DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationMeritve Casimirjevega efekta z nanomembranami
Oddelek za fiziko Seminar a -. letnik, II. stopnja Meritve Casimirjevega efekta z nanomembranami avtor: Žiga Kos mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Ljubljana, 29. januar 203 Povzetek V tem seminarju bo
More informationSIMETRIČNE KOMPONENTE
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,
More informationSVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev
Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in
More informationNumerical simulation aided design of the selective electromagnetic trigger
Elektrotehniški vestnik 74(5): 73-78, 7 Electrotechnical Review: Ljubljana, Slovenija Načrtovanje elektromagnetnega sprožnika s pomočjo numerične simulacije Borut Drnovšek, Dejan Križaj ETI Elektroelement
More informationUniverza na Primorskem. Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije. Zaznavanje gibov. Zaključna naloga
Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Boštjan Markežič Zaznavanje gibov Zaključna naloga Koper, september 2011 Mentor: doc. dr. Peter Rogelj Kazalo Slovarček
More informationEksperimentalna in numerična analiza cevnoploščnega
UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo Eksperimentalna in numerična analiza cevnoploščnega uparjalnika Magistrsko delo magistrskega študijskega programa II. stopnje STROJNIŠTVO Nina Tomažič Ljubljana,
More information11 Osnove elektrokardiografije
11 Osnove elektrokardiografije Spoznali bomo lastnosti električnega dipola in se seznanili z opisom srca kot električnega dipola. Opisali bomo, kakšno električno polje ta ustvarja v telesu, kako ga merimo,
More informationFOTONSKI POGON. Avtor: Črt Harej Mentor: prof. dr. Simon Širca. Ljubljana, Maj 2016
FOTONSKI POGON Seminar I b - 1. letnik, II. stopnja Avtor: Črt Harej Mentor: prof. dr. Simon Širca Ljubljana, Maj 2016 Povzetek Človeštvo že skoraj 60 let raziskuje in uresničuje vesoljske polete. V tem
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationIzbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov
Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 519.24(082)(0.034.2)
More information1 Ternik Primož - Zasebni raziskovalec, Bresterniška ulica 163, Bresternica
Izvirni znanstveni članek TEHNIKA numerične metode Datum prejema: 14. november 2016 ANALI PAZU 6/ 2016/ 1-2: 14-19 www.anali-pazu.si Evaporation of water droplets in the 1st stage of the ultrasonic spray
More informationPOZOR - V IZDELAVI (ZV)!!!
Relativnost in vesolje, nekaj primerov POZOR - V IZDELAVI (ZV)!!! 2016-03-28/2016-04-03/2016-09-18/2016-09-23/2016-09-26/2017-11- 27/2017-12-04/2017-12-26/2017-12-27/2017-12-28/2017-12-30/2018-01-01/2018-01-14/2018-01-16/2018-04-13/2018-05-03/
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Uporaba logistične regresije za napovedovanje razreda, ko je število enot v preučevanih razredih
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Naknadna stabilizacija videoposnetkov
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Naknadna stabilizacija videoposnetkov (Subsequent video stabilization) Ime in priimek: Kevin Sedevcic
More informationEquilibrium and traveling-wave solutions of plane Couette flow
To be submitted to J. Fluid Mech. 1 Equilibrium and traveling-wave solutions of plane Couette flow By J. H A L C R O W, J. F. G I B S O N A N D P. C V I T A N O V I Ć School of Physics, Georgia Institute
More informationDetermining the Leakage Flow through Water Turbines and Inlet- Water Gate in the Doblar 2 Hydro Power Plant
Elektrotehniški vestnik 77(4): 39-44, 010 Electrotechnical Review: Ljubljana, Slovenija Določanje puščanja vodnih turbin in predturbinskih zapornic v hidroelektrarni Doblar Miha Leban 1, Rajko Volk 1,
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationOPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ORGANIZACIJSKE VEDE Smer: organizacijska informatika OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV Mentor: doc. dr. Igor Bernik Kandidat: Matjaž Lipovšek Kranj, december 2005 Izjava: "Študent
More informationEulerjevi in Hamiltonovi grafi
Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje
More informationMECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL
original scientific article UDC: 796.4 received: 2011-05-03 MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL Pietro Enrico DI PRAMPERO University of Udine, Department of Biomedical
More informationVAJE 2: Opisna statistika
VAJE : Opisna statistika Na računalniških vajah se za urejanje in prikazovanje statističnih podatkov uporabi statistični programski paket SPSS in podatkovna datoteka podatki.sav. NALOGE: 1. Analiza vzorčnih
More informationLokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Iztok Oder Lokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO
More informationSeminar - 1. letnik bolonjske magistrske stopnje. O energijskih bilanci v fuzijskem reaktorju - Lawsonov kriterij. Avtor: Matic Kunšek
Seminar - 1. letnik bolonjske magistrske stopnje O energijskih bilanci v fuzijskem reaktorju - Lawsonov kriterij Avtor: Matic Kunšek Mentor: dr. Tomaž Gyergyek Ljubljana, marec 2014 Povzetek: V tem seminarju
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe Differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni
More informationFIZIKA VIRUSOV. Avtor: Miran Dragar Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik. Maj Povzetek
UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko FIZIKA VIRUSOV Avtor: Miran Dragar Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Maj 2007 Povzetek V seminarju bo predstavljen preprost model,
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationOPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV
OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV asist. Damir GRGURAŠ, mag. inž. str izr. prof. dr. Davorin KRAMAR damir.grguras@fs.uni-lj.si Namen vaje: Ugotoviti/določiti optimalne parametre pri struženju za dosego
More informationDistance reduction with the use of UDF and Mathematica. Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 54, No. 2, pp. 265-286, 2007 265 Distance reduction with the use of UDF and Mathematica Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
More informationRačunalniško simuliranje dinamike rotorjev Computer Simulation of the Dynamics of Rotors
STROJNIŠKI VESTNIK - JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING, LJUBLJANA (42) 1996/9 10 1 Računalniško simuliranje dinamike rotorjev Computer Simulation of the Dynamics of Rotors Robert Cokan, Miha Boltežar,
More informationTEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA
TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek
More informationIzkoriščanje energije morja
Oddelek za fiziko Seminar Ia - 1. letnik, II. stopnja Izkoriščanje energije morja Avtor: Saša Hrka Mentor: prof. dr. Boštjan Golob Ljubljana, januar 2015 Povzetek V seminarju so predstavljeni različni
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe Differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni
More informationNUMERIČNO MODELIRANJE NELINEARNEGA VSILJENEGA NIHANJA
NUMERIČNO MODELIRANJE NELINEARNEGA VSILJENEGA NIHANJA Diplomski seminar na bolonjskem študijskem programu 1. stopnje Fizika Marko Petek Mentor: doc. dr. Aleš Fajmut Somentor: dr. Igor Grešovnik Maribor,
More informationUNIVERSITY OF NOVA GORICA GRADUATE SCHOOL MODELLING OF CONTINUOUS CASTING OF STEEL UNDER THE INFLUENCE OF ELECTROMAGNETIC FIELD WITH MESHLESS METHOD
UNIVERSITY OF NOVA GORICA GRADUATE SCHOOL MODELLING OF CONTINUOUS CASTING OF STEEL UNDER THE INFLUENCE OF ELECTROMAGNETIC FIELD WITH MESHLESS METHOD DISSERTATION Katarina Mramor Mentor: Prof. Dr. Božidar
More informationDISKRETNI SIR EPIDEMIČNI MODELI IN DINAMIKA VIRUSOV GRIPE
2015 UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE ZAKLJUČNA NALOGA DISKRETNI SIR EPIDEMIČNI MODELI IN DINAMIKA VIRUSOV GRIPE KLEMEN KRNEL KRNEL ZAKLJUČNA NALOGA
More informationAnaliza oblike in površine stabilograma
Analiza oblike in površine stabilograma France Sevšek, Darja Rugelj UNIVERZA V LJUBLJANI, Visoka šola za zdravstvo, Ljubljana IZVLEČEK Analiza oblike in velikosti področja gibanja projekcije telesnega
More informationOddelek za fiziko. Seminar. Lomna mehanika. Avtor: Marjan Maček Mentor: dr. Gregor Skačej. Ljubljana, november 2012
Oddelek za fiziko Seminar Lomna mehanika Avtor: Marjan Maček Mentor: dr. Gregor Skačej Ljubljana, november 2012 Povzetek Raziskovanje lomne mehanike je pomembno, saj stane škoda zaradi loma veliko denarja
More informationSimulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink
Laboratorijske vaje Računalniška simulacija 2012/13 1. laboratorijska vaja Simulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink Pri tej laboratorijski vaji boste spoznali
More informationTrki pritlikavih galaksij z Rimsko cesto
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko SEMINAR II Trki pritlikavih galaksij z Rimsko cesto Rok Zaplotnik Mentor: dr. Tomaž Zwitter Februar, 2007 Povzetek Kozmologija hierarhičnih
More informationMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija
More informationMakroekonomija 1: 4. vaje. Igor Feketija
Makroekonomija 1: 4. vaje Igor Feketija Teorija agregatnega povpraševanja AD = C + I + G + nx padajoča krivulja AD (v modelu AS-AD) učinek ponudbe denarja premiki vzdolž krivulje in premiki krivulje mikro
More informationIZRAČUN POLOŽAJA GPS-SATELITA IZ PODATKOV PRECIZNIH EFEMERID GPS-ORBIT COMPUTATION FROM PRECISE EPHEMERIS DATA
177 IZRAČUN POLOŽAJA GPS-SATELITA IZ PODATKOV PRECIZNIH EFEMERID GPS-ORBIT COMPUTATION FROM PRECISE EPHEMERIS DATA Polona Pavlovčič Prešeren, Bojan Stopar UDK: 528.33 Klasifikacija prispevka po COBISS-u:
More information