UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO

Transcription

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013

2

3 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor: doc. dr. Primož Šparl Somentor: as. dr. Boštjan Kuzman MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013

4

5 Povzetek Max-plus algebra je množica R max = R { } skupaj z operacijama in definiranima kot a b def = max(a, b) in a b def = a + b, za vsaka a, b R max. Gre za algebrsko strukturo, ki ji rečemo polkolobar. Nad max-plus polkolobarjem lahko definiramo številne že poznane matematične objekte iz linearne algebre, kot so vektorji, matrike, linearna funkcija in linearni sistemi enačb. V tej nalogi smo definirali max-plus različice teh objektov in za njih izpeljali max-plus sorodne matematične zakone. Pokažemo tudi uporabo max-plus algebre na praktičnih problemih iz področja kombinatorike in optimizacije. Ključne besede: Max-plus algebra, polkolobar, linearna algebra, kombinatorična optimizacija.

6 Abstract We define max-plus algebra as the set R max = R { } with two binary operations and, where a b is the maximum of a and b, and a b is the sum of a and b, for all a, b R max. These operations form a structure called a semiring. Many of the concepts we use in the classical linear algebra like vectors, matrices, linear functions and systems of linear equations have their analogues in the max-plus semiring. In this paper, we defined max-plus versions of these concepts and the mathematical laws related to them. We show a few practical applications of max-plus algebra on some combinatorical and optimization problems. Key Words: Max-plus algebra, semiring, linear algebra, combinatorical optimization.

7 Kazalo Povzetek Abstract 1 Uvod 1 2 Polkolobarji Definicija in primeri Polinomi in matrike nad polkolobarji Max-plus algebra Operaciji max in plus Matrike v max-plus algebri Max-plus linearne funkcije Max-plus linearni sistemi Max-plus kvadratna funkcija in polinomi Zgledi uporabe Vlaki Proizvodnja Zaključek 31 Literatura 32

8 1 Uvod Z razvojem vse bolj kompleksnih sistemov, kot so fleksibilni proizvodni sistemi, telekomunikacijska omrežja, železniški sistem in podobni je vse več zanimanja za tehnike modeliranja in analiziranja takih sistemov, ki jim drugače rečemo tudi diskretni sistemi dogodkov. Opis teh sistemov z matematičnimi objekti iz običajne algebre je lahko razmeroma zapleten in pogosto nelinearen. Uporaba max-plus algebre nam omogoča prevod takih sistemov v linearen model. To nam poenostavi njihovo raziskovanje, analiziranje in optimiziranje. V sklopu tega dela bom definiral lastnosti polkolobarjev in max plus algebre ter poskušal poiskati analogije objektom, ki jih že poznamo iz običajne algebre, kot so linearne funkcije, sistemi linearnih enačb, vektorji, matrike in polinomi. Za vse naštete objekte bom prikazal tudi številne zglede in ponazoritve. Prav tako pa bom zanje preveril, ali za njih veljajo običajnim matematičnim zakonom sorodni zakoni v zvezi z reševanjem linearnih enačb, reševanjem sistemov linearnih enačb, razcepnostjo polinomov in podobno. Raziskovalna metoda bo predvsem preučevanje že obstoječe literature na področju polkolobarjev in max-plus algebre. 1

9 2 Polkolobarji 2.1 Definicija in primeri V tem razdelku bomo najprej ponovili nekaj osnovnih pojmov iz algebre, nato bomo definirali pojem polkolobarja in našteli nekaj najpreprostejših primerov. Začnimo z osnovnimi lastnostmi dvočlenih operacij. Definicija 2.1. Dvočlena operacija na množici A je preslikava A A A, ki urejenemu paru (a, b) priredi produkt ab. Operacijo imenujemo asociativna, če velja (ab)c = a(bc) za vse a, b, c A, komutativna, če velja ab = ba za vsaka a, b A. Če obstaja tak element e A, da velja ea = ae = a za vsak a A, ga imenujemo nevtralni element ali enota. Definicija 2.2. Polgrupa je algebrska struktura, ki jo sestavljata neprazna množica in asociativna operacija na tej množici. Monoid je polgrupa, ki premore nevtralni element za to operacijo. V teoriji polgrup nas pogosto zanimajo še trije posebni tipi elementov. To so obrnljivi, idempotentni in absorbcijski elementi. Definicija 2.3. Naj bo A polgrupa in a A poljuben element. imenujemo Element a idempotent, če velja a 2 = a, absorbcijski element, če velja ab = ba = a za vsak b A, obrnljiv element, če ima A nevtralni element e in obstaja tak element b A, da je ab = ba = e. Če je vsak element podmožice B A idempotenten, rečemo, da je operacija idempotentna na množici B. Primer 2.4. Množica celih števil z operacijo množenja (Z, ) je komutativna polgrupa z enoto 1 in absorbcijskim elementom 0, obrnljiva elementa sta 1 in 1. 2

10 Primer 2.5. Razširjena množica realnih števil z operacijo maksimum (R {± }, max) je komutativna polgrupa z enoto in absorbcijskim elementom, edini obrnljivi element je enota. Primer 2.6. Množica realnih funkcij z operacijo kompozitum (Fun(R), ) je nekomutativna polgrupa z enoto id R, ki nima nobenega absorbcijskega elementa, obrnljivi elementi pa so vse bijektivne funkcije. Definirajmo še algebrsko strukturo z dvema notranjima operacijama, ki je za našo nalogo najpomembnejša. Definicija 2.7. Polkolobar je urejena trojica (S, S, S ), ki jo sestavljajo neprazna množica S ter operaciji S in S, tako da velja: Par (S, S ) je komutativna polgrupa z enoto ε S S; Par (S, S ) je polgrupa z enoto e S S; Operaciji S in S povezujeta levi in desni zakon distributivnosti: a S (b S c) = (a S b) S (a S c), (a S b) S c = (a S c) S (b S c) Element ε S je absorbirajoč za S : ε S a = a ε S = ε S. Če izpustimo zadnjo zahtevo in namesto nje zahtevamo, da je vsak element iz S obrnljiv glede na S (torej, da je par (S, S ) komutativna grupa z enoto ε S S), potem trojico (S, S, S ) imenujemo kolobar. Opomba 2.8. Pri zapisu algebrskih izrazov z operacijama S in S se držimo pravila, da ima množenje prednost pred seštevanjem. Polkolobarje včasih označimo z S = (S, S, S, ε S, e S ), kadar ni bojazni za dvoumnost, pa indeks S pri oznaki operacij opuščamo in govorimo kar o polkolobarju S z operacijama in. Če je S komutativna operacija, potem rečemo, da je S komutativni polkolobar, če je S idempotentna operacija, pa mu rečemo idempotentni polkolobar ali dioid. Primer 2.9. Množica naravnih števil z ničlo ter običajnima operacijama seštevanja in množenja (N 0, +, ) je komutativen polkolobar. 3

11 Primer Množica realnih števil z običajnima operacijama (R, +, ) je komutativen kolobar, torej tudi polkolobar. Seveda pa ni idempotenten polkolobar; edina idempotenta sta 0 in 1. Primer Naj bo A poljubna množica in P (A) njena potenčna množica. Potem je (P (A),,,, A) za operaciji unije in preseka množic komutativen polkolobar. Prav tako je idempotenten polkolobar, saj so idempotentni vsi elementi množice P (A). Podobno velja tudi, če zamenjamo vlogi unije in preseka. Omenimo še dve skoraj očitni trditvi. Trditev Vsak kolobar je tudi polkolobar. Dokaz: Dokazati moramo, da za vsak kolobar velja, da je nevtralni element za absorbirajoč za. Naj bo ε nevtralni element za. Potem je ε ε = ε. Sledi: ε a = (ε ε) a ε a = (ε a) (ε a) (zakon distributivnosti) ε = ε a (na obeh straneh odštejemo ε a) Sledi ε a = ε za vsak a S, torej je element ε absorbirajoč iz leve strani. Desno stran preverimo podobno. Naslednja trditev nam pove, da v idempotentnem polkolobarju za operacijo ne obstajajo netrivialni obrnljivi elementi. Trditev Naj bo S = (S,, ) polkolobar. Če je operacija idempotentna, potem zanjo ne obstajajo obrnljivi elementi. Dokaz: Naj bo a ε tak, da ima obrat b za operacijo. Sledi, da je a b = ε. Če dodamo a na obeh straneh enačbe dobimo a a b = a ε. Na levi strani enačbe sedaj upoštevajmo idempotentnost, desna stran nam da a, saj je ε nevtralni element za. Ostane nam a b = a, oziroma protislovje. 2.2 Polinomi in matrike nad polkolobarji Podobno kot pri nekaterih drugih algebrskih strukturah lahko iz znanih polkolobarjev zgradimo nove polkolobarje s pomočjo standardnih konstrukcij kot so 4

12 polinomi in matrike. V celotnem razdelku naj S pomeni polkolobar (S,, ). Zapis a n za n N naj pomeni a n def = a a }{{ a }, n krat torej običajno potenco z naravnim eksponentom. potenco a e = ε. Posebej definiramo ničto Na običajen način lahko definiramo tudi polinome in matrike. Definicija Polinom nad polkolobarjem S v spremenljivki x je formalen izraz oblike p(x) = a i x i = a 0 a 1 x a 2 x 2, i=0 kjer so koeficienti a i S in velja, da je a i ε le za končno mnogo indeksov i. Največji indeks n, za katerega je a n ε imenujemo stopnja polinoma. Polinom ε(x), kjer so vsi a i = ε, imenujemo ničelni polinom. Množico vseh polinomov v spremenljivki x bomo označili S[x]. Polinome seštevamo tako, da seštevamo istoležne koeficiente, torej ( a i x i ) ( b i x i ) = i=0 i=0 (a i b i ) x i. i=0 Koeficient pri členu x i v produktu dveh polinomov pa dobimo tako, da seštejemo produkte vseh koeficientov z vsoto indeksov i, torej ( a i x i ) ( b i x i ) = i=0 i=0 c i x i, i=0 kjer je c i = j+k=i a j b k. Trditev Množica polinomov nad polkolobarjem je polkolobar. Dokaz: Očitno je ničelni polinom ε(x) = ε nevtralni element za seštevanje polinomov, polinom e(x) = e pa nevtralni element za množenje polinomov. Od ostalih lastnosti iz definicije polkolobarja za zgled dokažimo le levo distributivnost. Naj bodo p(x) = i=0 a i x i, q(x) = i=0 b i x i ter r(x) = i=0 c i x i 5

13 iz S[x]. Potem velja: p(x) (q(x) r(x)) = p(x) ( (b i c i ) x i ) = = = = i=0 j+k=i i=0 ( a j (b k c k )) x i ( (a j b k a j c k ) x i ) i=0 j+k=i ( (a j b k ) x i (a j c k ) x i ) i=0 j+k=i ( (a j b k ) x i ) j+k=i i=0 j+k=i i=0 j+k=i = p(x) q(x) p(x) r(x). ( (a j c k ) x i ) S tem smo dokazali levo distributivnost, bralec pa lahko z istim postopkom preveri še desno distributivnost sam. Asociativnost množenja polinomov dokažemo na podoben način. Očitno je i-ti koeficient pri polinomu p(x) (q(x) r(x)) enak j+k+l=i a j (b k c l ), kar pa je zaradi asociativnosti množenja v polkolobarju S enako kot j+k+l=i (a j b k ) c l. To pa ustreza i-temu koeficientu polinoma (p(x) q(x)) r(x), kar pomeni, da je p(x) (q(x) r(x)) = (p(x) q(x)) r(x). Z upoštevanjem lastnosti seštevanja koeficientov bralec lahko sam preveri, da velja asociativnost in komutativnost seštevanja polinomov ter dejstvo, da je ničelni polinom absorbirajoč za. Podobno kot nad kolobarjem lahko definiramo matrike in matrične operacije nad polkolobarjem. Naj bo a 11 a 12 a 1m a A = 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm matrika s koeficienti a ij S. Množico takih matrik označimo z S n m. Seštevanje matrik definiramo po komponentah; vsota matrik A, B S n m s koeficienti 6

14 a ij, b ij je matrika A B s koeficienti [A B] ij = a ij b ij ; 1 i n, 1 j m. Produkt matrike A S n m matriko α A s koeficienti s poljubnim skalarjem α R definiramo kot [α A] ij = α a ij ; 1 i n, 1 j m. Produkt matrik za poljubni matriki A S n m in B S m p definiramo kot matriko A B S n p s koeficienti [A B] ij = m a ik b kj ; 1 i n, 1 j p. k=1 Trditev Množica kvadratnih matrik nad polkolobarjem je polkolobar. Dokaz: Očitno je matrika E S n n, kjer so vsi koeficienti enaki ε, nevtralni element za seštevanje. Matrika E S n n, kjer so vsi koeficienti [E] ij = e, kjer je i = j in ε drugače, pa nevtralni element za množenje. Od ostalih lastnosti iz definicije polkolobarja za zgled dokažimo le asociativnost množenja matrik. Naj bodo A, B, C S n n [(A B) C] ij = = = = = n [A B] ik c kj k=1 n n ( a il b lk ) c kj k=1 l=1 l=1 n n ( a il b lk c kj ) l=1 k=1 n n a il ( b lk c kj ) k=1 n a il [B C] lj = [A (B C)] ij. l=1 Komutativnost in asociativnost seštevanja se dokaže na podoben način s upoštevanjem lastnosti računanja s koeficienti, kar lahko bralec preveri sam. Pokažimo še, da velja leva distributivnost kvadratnih matrik. Produkt A (B C) 7

15 lahko zapišemo kot [A (B C)] ij = = = = n (a ik [B + C] kj ) k=1 n (a ik (b kj c kj )) k=1 n (a ik b kj a ik c kj ) k=1 n (a ik b kj ) k=1 k=1 = [A B] ij [B C] ij. n (a ik c kj ) Desno distributivnost lahko bralec na enak način preveri sam. Velja pa tudi, da je A E = E A = E, kar pomeni, da je matrika E absorbirajoča za operacijo. Za kvadratne matrike nad polkolobarjem lahko na običajen način definiramo potence matrik z naravnim eksponentom: A k = A k 1 A za k N in A 0 = E. 8

16 3 Max-plus algebra 3.1 Operaciji max in plus V tem razdelku bomo natančneje obravnavali poseben primer polkolobarja, ki je glavna tema naše naloge. Naj bo R množica realnih števil. Dodajmo ji element ε =, ki naj predstavlja vrednost, manjšo od vseh realnih števil. Označimo R max = R {ε}. Za poljubna elementa a, b R max definirajmo operaciji in s predpisoma a b def = max(a, b) a b def = a + b, pri čemer naj velja, da je a ε = ε a = a in a ε = ε a = ε za vsak a R max. Definicija 3.1. Množico R max = (R max,,, ε, e), kjer je e = 0 R, imenujemo max-plus algebra (oziroma max-plus polkolobar 1 ). Trditev 3.2. Max-plus algebra je komutativen idempotentni polkolobar. Dokaz: Naj bodo a, b, c R max. Za obe operaciji velja zakon asociativnosti: a (b c) = max(a, max(b, c)) = max(a, b, c) = max(max(a, b), c) = (a b) c, a (b c) = a + (b c) = a + (b + c) = (a + b) + c = (a b) c. Operacija je idempotentna: a a = max(a, a) = a. Dokazi ostalih lastnosti polkolobarjev so podobno preprosti in jih bralec lahko preveri sam. Opomba 3.3. Poleg max-plus algebre lahko na zelo podoben način definiramo še druge polkolobarje. Naj bo množica R min množica realnih števil, ki ji dodamo ε =, ki predstavlja vrednost večjo od vseh realnih števil. Za poljubna elementa a, b R min definirajmo operaciji in s predpisoma a b = min(a, b) ter a b = a + b. 1 Nekateri avtorji (npr. [3]) polkolobar (R max,, ) imenujejo max-plus algebra, drugi (npr. [2]) pa max-plus polkolobar. Slednji izraz max-plus algebra uporabljajo v širšem kontekstu in pomeni algebro matrik in vektorjev nad max-plus polkolobarjem. 9

17 Množica R min skupaj z operacijama in je znana tudi kot tropska 2 ali min-plus algebra (glej npr. [5]). Omenimo še nekaj preprostih lastnosti max-plus algebre. Trditev 3.4. Za poljubne a, b, c R max velja: Za vsak a R obstaja njegov obrat a 1 = a za množenje: a a 1 = e = a 1 a. V R max torej velja pravilo krajšanja: za vsak c R iz a c = b c ali c b = c a sledi a = b. Množenje, prištevanje ali krajšanje s c R ohranja urejenost: Iz a b sledi a c b c in a c b c, iz a c b c pa sledi a b. Dokaz: Dokazi vseh trditev so preprosti in sledijo direktno iz definicij. Potence v max-plus algebri definiramo tako kot v splošnih polkolobarjih, vendar v tem primeru velja kar a n = na za a R in n N. Zato definicijo potence v tem primeru lahko posplošimo tudi na realen eksponent: xa, a R; a x = a, a = ε, za vsak a R max in x R. Nekaj zgledov izračunov v max-plus algebri je prikazanih v tabeli 1. Posebej omenimo še max-plus različico binomske formule. Trditev 3.5. Za vsak a, b R max in k R velja: (a b) k = a k b k. Dokaz: Po definiciji potenc v max-plus algebri velja, da je (a b) k = k(a b) = k max(a, b) = max(ka, kb) = max(a k, b k ) = a k b k. 2 Pridevnik tropski izvira iz dejstva, da so prvi pomembnejši rezultati iz tega področja prišli iz Brazilije. Drugi matematiki, ki so se ukvarjali z polkolobarji, so imeli Brazilijo za tropsko deželo in so tej veji matematike rekli kar tropska matematika. 10

18 R max zapis Običajen zapis = 2 3 max(2,3) max(1, 2, 3, 4, 5) max(5 9, 7 + 1) e ε max(2, ) 2 e 3 e = 2 3 = 3 3 = = 2 3 = = (2 3) 3 = max(2, 3) = max(2 3, 3 3) = = Tabela 1: Nekaj številskih zgledov v max-plus algebri. 3.2 Matrike v max-plus algebri Operacije z matrikami v max-algebri so le poseben primer matričnih operacij nad splošnimi polkolobarji, videli pa bomo, da so tesno povezane z usmerjenimi grafi in nekaterimi problemi iz kombinatorike. Najprej si oglejmo nekaj konkretnih računskih zgledov. ( ) ( ) ε Primer 3.6. Naj bo A = in B =. Potem je vsota matrik ( ) ( ) ( ) ε max(0, 1) max(0, ε) 1 0 A B = = = max(3, 1) max(2, 3) 3 3 Primer 3.7. Naj bo α = 3 in A kot v prejšnjem primeru. Potem je ( ) 1 0 α A = 3 = 3 2 ( ) ( ) ( ) = = Primer 3.8. Naj bosta A in B kot v primeru 3.6. Potem je produkt matrik A in B enak ( ) ( ) ( ) ( ) ε max(0 + 1, 0 1) max(1 + ε, 0 + 3) 1 3 A B = = = max(3 + 0, 2 1) max(3 + ε, 2 + 3)

19 Množenje ( v) splošnem ni komutativno. 1 0 B A = A B. 6 5 ( ) 2 3 Primer 3.9. Naj bo A =. Potem je ε 4 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) A = = = ε 4 ε 4 ε 4 ε 8 V našem primeru denimo velja ( 8 5 ε 12 Mnoge rezultate v max-plus algebri se da interpretirati tudi kombinatorično. Tako se da vsako matriko A R n n max predstaviti z ustreznim uteženim grafom oziroma mrežo. Definicija Usmerjeni graf ali digraf D je urejen par (V (D), E(D)), kjer je V (D) množica vozlišč digrafa D in E(D) V (D) V (D) množica urejenih parov vozlišč 3 oziroma povezav digrafa D. Za povezavo e = (u, v) E(D), kjer sta u, v V (D), rečemo, da je u začetno vozlišče, v pa končno vozlišče povezave e. Definicija Uteženi digraf nad polkolobarjem S je digraf D = (V, E) skupaj s funkcijo ω : E S, ki povezavi e E priredi utež(oziroma ceno) ω(e) v S. Definicija Matriki A R n n max pripadajoč uteženi digraf D(A) je digraf z vozlišči V (D) = {1, 2,..., n} in povezavami E(D) = {(i, j): a ji ε}, tako da je koeficient a ji cena povezave (i, j). Če povezava med vozliščema i in j ne obstaja, potem je njena cena enaka ε. Zaporedju povezav p = ((i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),..., (i s 1, i s )) med vozliščema i in j, kjer je i 1 = i in i s = j, in za vsako povezavo velja (i k, i k+1 ) E(D), rečemo sprehod v grafu D(A). V kolikor za sprehod v D(A) velja i = j, potem takemu sprehodu rečemo cikel. Množico sprehodov od i do j dolžine s 1 označimo s P (i, j; s). Dolžino sprehoda p označimo s p l in je enaka s. Vsoti cen povezav na sprehodu med vozliščema i, j v grafu D(A) rečemo cena sprehoda in jo označimo s p w = s k=1 a i k+1 i k. 3 Množica urejenih parov vozlišč pomeni, da bomo ločili povezavo (u, v) in (v, u). Tako lahko v grafu obstaja povezava (u, v) E(D), povezava (v, u) / E(D) pa ne. Ta usmeritev povezav v grafu je tudi razlog za ime usmerjen graf. 12 ).

20 ε 12 ε Primer Naj bo A = ε ε 11. Njen pripadajoči digraf D(A) je na 9 ε 18 sliki 1. Slika 1: Matriki A pripadajoč digraf D(A). Digraf D(A) sestavlja množica vozlišč V (D) = {1, 2, 3} in množica povezav E(D) = {(1, 3), (3, 2), (2, 1), (3, 3)}. Na grafu lahko lahko opazimo sprehod p = ((1, 3), (3, 2), (2, 1)), ki je tudi cikel. Cena sprehoda je podana s predpisom p w = a 12 + a 23 + a 31 in je enaka 32. Definicija Graf D je krepko povezan natanko tedaj, ko za poljubni dve različni vozlišči i in j obstaja sprehod med njima. Matriki A R n n max rečemo, da je nerazcepna, če je njen pripadajoč digraf D(A) krepko povezan. Sedaj lahko pokažemo še kombinatorično interpretacijo max-plus matričnih potenc. Naslednja trditev nam pove, da je [A k ] ji maksimalna cena vseh sprehodov v D(A) dolžine k, ki imajo začetno vozlišče v i in končno v j. Trditev Naj bo A R n n max in k N. Potem za vsak k 1 velja [A k ] ji = max{ p w : p P (i, j; k)}, in [A k ] ji = ε, kadar ne obstaja sprehod med i in j. Dokaz: Trditev dokažemo z indukcijo na k. Naj bo par (i, j) poljuben par vozlišč iz D(A). Za k = 1 so vsi sprehodi v množici P (i, j; k) sestavljeni iz ene 13

21 usmerjene povezave, s ceno [A] ji = a ji. Če je a ji = ε, potem povezave (i, j) v grafu D(A) ni in je P (i, j; k) prazna množica. Recimo, da enakost iz izreka velja za nek k. Recimo, da obstaja vsaj en sprehod v P (i, j; k + 1), označimo ga s p. Ta sprehod lahko razdelimo v dva sprehoda, enega dolžine k od vozlišča i do poljubnega vozlišča l, ki ga bomo označili s p, in enega dolžine 1 od l do j. Maksimalno težo poljubnega sprehoda v P (i, j; k + 1) dobimo kot vsoto teh dveh sprehodov z zapisom max i {1,...,n} (max{ p w : p P (i, l; k)} + a jl ). Po indukcijski predpostavki je max{ p w : p P (i, l; k)} = [A k ] li in izraz za maksimalno ceno sprehoda od i do j dolžine k + 1 je enak max i {1,...,n} ([Ak ] li + a jl ) = n [A k ] li a jl l=1 = [A k A] ji = [A (k+1) ] ji. Poglejmo še primer, kjer je P (i, j; k + 1) prazna množica, oziroma ne obstaja sprehod dolžine k + 1 med vozliščema i in j. Potem je očitno, da za poljubno vozlišče l ne obstaja ali sprehod dolžine k od i do l ali povezava od l do j (ali oba). Sledi, da je za vsak l ena od vrednosti a jl ali [A k ] li enaka ε. Ker je pa ε absorbirajoč za operacijo množenja, je posledica tega [A (k+1) ] ji = ε a jl = n l=1 [Ak ] li ε = ε. S tem je izrek dokazan. Primer Naj bo A = 2. ( ) 2 5. Njen pripadajoč digraf D(A) je na sliki 3 3 Slika 2: Matriki A pripadajoč digraf D(A). ( ) ( ) A 2 max(2 + 2, 5 + 3) max(2 + 5, 5 + 3) 8 8 = = max(3 + 2, 3 + 3) max(3 + 5, 3 + 3)

22 Vzemimo na primer sprehod dolžine 2 od točke 1 do 2. Iz druge potence matrike A lahko razberemo, da bo maksimalna cena takega sprehoda enaka [A 2 ] 21 = max(3 + 2, 3 + 3) = 6. Iz slike lahko tudi razberemo, da je graf krepko povezan, kar pomeni, da je matrika A nerazcepna. Omenimo še dva izmed pomembnejših pojmov, iz linearne algebre, in sicer lastno vrednost in lastni vektor. Definicija Naj bo A R n n max, µ element iz R max in v R n max nek vektor, ki ima vsaj en končen koeficient in velja A v = µ v. Potem je µ lastna vrednost matrike A in v lastni vektor matrike A, ki pripada lastni vrednostji µ. Lastnemu vektorju rečemo, da je končen, če so vsi njegovi elementi različni od. ( ) ( ) Primer Naj bo A = in v =. Poiščimo lastno vrednost λ in njej pripadajoči lastni vektor v. Veljati mora: ( ) ( ) ( ) = λ ( ) ( ) (2 1) (5 0) λ + 1 =. (3 1) (3 0) λ Dobimo spodnji sistem enačb: } max(3, 5) = λ + 1 max(4, 3) = λ λ + 1 = 5 λ = 4. ( Lastna ) vrednost matrike A je torej 4, s pripadajočim lastnim vektorjem v =

23 3.3 Max-plus linearne funkcije Kot tudi v običajni algebri lahko v max-plus algebri definiramo splošne linearne funkcije. Definicija Funkcijo f(x) = a x b, kjer sta a, b R max, imenujemo max-plus linearna (ali afina) funkcija. Graf splošne max-plus linearne funkcije je posebne oblike, saj pri predpisu f(x) = a x b vzamemo večjo od vrednosti od a + x in b. Graf je sestavljen iz dveh delov. V prvem delu je konstanten do neke točke, od te točke naprej pa konstantno narašča. Graf funkcije tako leži na dveh poltrakih s skupnim izhodiščem. Primer Za zgled narišimo graf funkcije f(x) = 1 x 3. Če prepišemo enačbo v običajen zapis, je f(x) = max(x + 1, 3). To pomeni, da iščemo za vsak x večjo od vrednosti x + 1 in 3. Če v isti koordinatni sistem narišemo (slika 3) obe premici, bo graf naše max-plus linearne funkcije ležal na konstanti y = 3 dokler je x manjši od 2, od tu dalje pa na premici x + 1. Slika 3: Linearna funkcija f(x) = 1 x 3. Skupno izhodišče dveh poltrakov, na katerih leži graf max-plus linearne funkcije je presečišče premic y = a + x in y = b v običajnem zapisu. Tako lahko enolično določimo točko, kjer se premici sekata, oziroma, kjer se graf max-plus linearne funkcije prelomi, kot T (b a, b). 16

24 Zanimivo je še omeniti, kaj se dogaja z max-plus linearno funkcijo, če je kateri izmed koeficientov enak. Poglejmo si vsak primer posebej. a = : V tem primeru dobimo funkcijo oblike f(x) = x b = b = max(, b) = b. Graf te funkcije bo torej konstantna funkcija s predpisom f(x) = b. b = : Funkcijo lahko torej zapišemo kot f(x) = a x ( ) = a x = max(a+ x, ) = a + x. Graf naše max-plus linearne funkcije (slika 4 ) bo graf običajne linearne funkcije s predpisom f(x) = a + x. Slika 4: Max-plus linearna funkcija, kjer je b=. a, b = : V kolikor sta oba koeficienta enaka, dobimo max-plus linearno funkcije oblike f(x) = x ( ) = ( ) = max(, ) =. V tem primeru bo naša funkcija konstantna s predpisom f(x) =. 17

25 Definirajmo še max-plus linearne enačbe in način njihovega reševanja nad max-plus polkolobarjem. Splošno skalarno afino enačbo zapišemo kot a x b = a x b. Že prej smo dokazali, da zaradi idempotentnosti operacije v max-plus polkolobarju za njo ne moremo definirati obrnljivih elementov, kar pomeni, da zgornje enačbe ne moremo poenostaviti v obliko a x b = ε. Prav ta lastnost loči reševanje teh enačb od enačb v običajni algebri. Za iskanje rešitev teh enačb bomo potrebovali še operacijo -, ki je obratna operacija seštevanju oziroma naši operaciji. Gre za običajno odštevanje. Izrek Za rešljivost in rešitve splošne afine enačbe a x b = a x b v R max velja: Če je a > a in b < b, potem ima enačba enolično rešitev x = b a. Če je a < a in b > b, potem ima enačba enolično rešitev x = b a. Če je a = a, potem so rešitev enačbe vsi x (b b ) a. Če je b = b, potem so rešitev enačbe vsi x b (a a ). Če je a = a in b = b, potem so rešitev enačbe vsi x R max. Če je a > a in b > b, potem rešitev enačbe ne obstaja. Če je a < a in b < b, potem rešitev enačbe ne obstaja. Ta trditev nam pove naslednje. V prvih dveh možnostih se grafa obeh max-plus linearnih funkcij sekata v natanko eni točki, kot je prikazano na sliki 5. Drugi dve možnosti sta še, da se grafa obeh max-plus linearnih funkcij pokrivata na enem izmed poltrakov, ali pa sta grafa funkcij kar enaka in so rešitve vsi x R max. Če se grafa teh dveh funkcij sploh ne sekata rešitve take enačbe očitno sploh ni. 18

26 Dokaz: Dokaz zgornjega izreka lahko razberemo iz geometrijske interpretacije max-plus linearne funkcije. Slika 5: Max-plus linearna enačba. Na sliki 5 vidimo, da v tem primeru velja a < a in b > b in da se obe max-plus linearni funkciji sekata v eni točki. Ta točka leži na presečišču premic f(x) = b in f(x) = a + x. Če ti dve funkciji izenačimo, dobimo b = a + x, torej je presečišče v točki x = b a. Podobno izpeljemo rešitev x = b a v primeru, ko je a > a in b < b. V primeru, ko velja a = a, so rešitev vsi x na poltraku z izhodiščem v točki, kjer se sekata premici y = a + x in večja od konstant b in b (slika 6). Če ti dve premici izenačimo dobimo a + x = (b b ), kar pomeni, da je x = (b b ) a in bodo rešitve enačbe vsi x za katere velja x (b b ) a. Na enak način dokažemo, da so rešitev enačbe vsi x b (a a ), ko sta b in b enaka. Slika 6: Primera max-plus linearnih enačb z več rešitvami. V primeru, ko sta a in a ter b in b enaka, bosta max-plus linearni funkciji enaki in so rešitve enačbe vsi x R max. Ostaneta nam le še primera, kjer rešitev enačbe ni, kar se zgodi, ko se max-plus linearni funkciji ne sekata v nobeni točki (slika 7). 19

27 Slika 7: Max-plus linearna enačba brez rešitev. Seveda je v splošnem najbolje enačbo najprej poenostaviti, nato se pa lotiti njenega reševanja na običajen način. Na primer, če velja a > a in b > b, potem je a x b = a x b ekvivalentno a x = b. Za lažjo predstavo si poglejmo naslednji zgled. Rešitev enačbe bomo poiskali na običajen način in z uporabo izreka Primer Poiščimo rešitev enačbe 2 x + 4 = 3 x + 2. Če narišemo grafa funkcij y = 3 x 2 in y = 2 x 4, lahko vidimo na sliki 8, da se ti dve max-plus linearni funkciji sekata v samo eni točki. To je točka, kjer se sekata funkciji 3 + x in konstantna funkcija y = 4. Preprost račun 3 + x = 4 nam da rešitev x = 1, kar je tudi edina rešitev te enačbe. Slika 8: Graf max-plus linearne enačbe 2 x 4 = 3 x 2. Preverimo, če dobimo isto še z uporabo zgornjega izreka. Za to enačbo so torej a = 2, a = 3, b = 4 ter b = 2. Velja tudi, da je a < a in b > b. Po zgornjem izreku bo torej rešitev naše enačbe ena sama. Dobimo s predpisom x = b a = 4 3 = 1. 20

28 Definirajmo še druge oblike poenostavljenih enačb, s katerimi se lahko srečamo pri reševanju max-plus linearnih enačb. Definicija 3.23 (Kanonska oblika linearne enačbe). Linearna enačba je v kanonski obliki, če je zapisana v eni od naslednjih poenostavljenih oblik: a x = b; a x b = ε; a x b = a x; a x b = b. Zakaj je to poenostavljenje možno nam pove naslednja trditev. Trditev Naj velja a x b = a x b. Če je a < a, potem ima enačba x b = a x b enake rešitve kot prvotna enačba. Če je b < b, potem ima enačba a x = a x b enake rešitve kot prvotna enačba. Dokaz: Dokažimo obe možnosti zgornje trditve posebej. Naj bo a x b = a x b. Naj velja a < a. Enačbo lahko v običajni notaciji zapišemo max{a+x, b} = max{a + x, b }. Iz a < a sledi, da je max{ + x, b} = max{a + x, b }. Leva stran enačbe je torej max{, b} = b. Po drugi strani pa iz max{a + x, b } = max{a + x, b} zaradi a < a velja a + x < a + x, torej enakost pomeni, da je max{a + x, b} = b. Preverimo še za drugo možnost. Naj velja b < b. Enačbo lahko ponovno zapišemo max{a + x, b} = max{a + x, b }. Iz b < b sledi, da je max{a + x, } = max{a +x, b }. Leva stran enačbe je torej max{a+x, } = a+x. Po drugi strani pa iz max{a + x, b } = max{a + x, b} zaradi b < b sledi, da je max{a + x, b} = a + x. S tem je dokaz končan. 21

29 3.4 Max-plus linearni sistemi V splošnem sistem linearnih enačb nad max-plus algebro zapišemo kot A x b = C x d, kjer sta A in C matriki dimenzij n n ter b in d vektorja z n komponentami. Definicija Sistemu linearnih enačb oblike A x b = C x d rečemo, da je v kanonski obliki, ko A, C, b in d zadoščajo: C ij =, če A ij > C ij in A ij =, če A ij < C ij ; d i =, če b i > d i in b i =, če b i < d i ; Podobno kot pri max-plus linearnih enačbah lahko vsak max-plus linearni sistem prepišemo v kanonsko obliko, ki ima enake rešitve kot prvotni sistem. Trditev Vsak sistem oblike A x b = C x d lahko prevedemo v kanonsko obliko A x b = C x d, ki ima enake rešitve kot prvotni sistem. Dokaz: Naj bo A x b = A x b naš linearen sistem enačb. Ta sistem lahko prepišemo v a 1 x 1... a n x n b = a 1 x 1... a n x n b, kar bi v običajnem zapisu pomenilo max{a 1 +x 1,..., a n +x n, b} = max{a 1+x 1,..., a n+ x n, b }. Če na primer velja a 1 < a 1, potem lahko enačbo prepišemo v obliko max{a 1 + x 1, c} = max{a 1 + x 1, c 1}, kjer je c = max{a 2 + x 2,..., a n + x n, b} in c = max{a 2 + x 2,..., a n + x n, b }. Od tu dalje je dokaz enak kot pri trditvi 3.24 za vse koeficiente a 1,..., a n, a 1,..., a n in b ter b. Primer Naj bo max-plus linearen sistem enak ( ) ( x 1 x 2 ) ( ) ( ) ( = x 1 x 2 ) ( ) 0, 3 kar po zgornji definiciji lahko prevedemo v kanonsko obliko: ( ) ( 2 2 x 1 x 2 ) ( ) ( ) ( 1 4 = 1 22 x 1 x 2 ) ( ). 3

30 Dobimo spodnji sistem enačb: 2 x 2 1 = 4 x 1 2 x 2 = 1 x 1 3 } 4 x 1 = 1 x x 1 = 3 x 1 = 1 x 2 = 1. Zgornji primer je imel rešitev, vendar v splošnem ta ne obstaja vedno, lahko pa tudi ni ena sama. Poznamo dve vrsti max-plus sistemov linearnih enačb za katere znamo zagotovo poiskati rešitev. To so sistemi oblike x = A x b in A x = b. V okviru te naloge bom pokazal kako rešujemo sisteme oblike A x = b, saj sistemi oblike x = A x b zahtevajo kar nekaj dodatnega znanja iz teorije grafov. Lotimo se torej linearnih sistemov oblike A x = b, kjer je A Rmax n m in b R m max. Na ta način smo dobili sistem linearnih enačb, ki bi ga z običajno notacijo zapisali v običajni algebri kot max j=1,...,n (a ij + x j ) = b i za i = 1,..., m. Primer Matrični enačbi ustreza sistem x 1 x 2 x = max( 2 + x 1, 2 + x 2, 2 + x 3 ) = 3 max( 5 + x 1, 3 + x 2, 2 + x 3 ) = 2 max( 5 + x 1, 3 + x 2, 3 + x 3 ) = 1 max( 3 + x 1, 3 + x 2, 2 + x 3 ) = 0 max( 1 + x 1, 4 + x 2, 6 + x 3 ) = 5. Za reševanje linearnih sistemov enačb bomo potrebovali še operacijo min(a, b), ki nam vrne manjšega od elementov a in b. Gre za obratno operacijo max(a, b). Za reševanje teh sistemov bomo vpeljali še pojem podrešitev. Definicija Podrešitev max-plus linearnega sistema enačb oblike A x = 23

31 b je tak vektor x R n max, ki zadošča pogoju A x b, kjer definiramo relacijo urejenosti na vektorjih kot x y, če je x y = y. Označili ga bomo označili z x. Naslednji izrek nam pove, da za vsak max-plus linearen sistem lahko najdemo maksimalno podrešitev, glede na gornjo relacijo urejenosti. Izrek Naj bo A R n m max in b R m max. Potem obstaja maksimalna podrešitev tega sistema in je podana s predpisom x j = max i ( b i + A ij ). Dokaz: Vidimo, da je A x b i: j A ij x j b i i, j : x j b i A ij j : x j min i (b i A ij ) j : x j max i ( b i + A ij ). Na podoben način preverimo še, da po drugi strani velja, da je vektor x j = max i ( b i + A ij ), j podrešitev. Torej je to največja podrešitev Posledica zgornjega izreka je ta, da lahko pri reševanju sistema oblike A x = b najprej poiščemo maksimalno podrešitev in preverimo ali ustreza naši enakosti. Lema Maksimalna podrešitev sistema A x = b je rešitev sistema natanko tedaj, ko rešitev sistema obstaja. Dokaz: Če je maksimalna podrešitev tudi rešitev sistema, potem rešitev sistema očitno obstaja. Obratno, če rešitev sistema obstaja, potem ustreza tudi A x b in je hkrati večja od vseh podrešitev, zato je to ravno maksimalna podrešitev. Pokažimo uporabo leme na konkretnem zgledu. Primer ( ) ( ) A =, b =

32 in pripadajoči sistem linearnih enačb je ( ) ( x 1 x 2 ) ( ) 5 =. 4 Z uporabo izreka dobimo maksimalno podrešitev ( ) ( ) x min(5 2, 5 0) 3 = =, min(4 1, 4 3) 1 ki je tudi rešitev sistema A x = b. 3.5 Max-plus kvadratna funkcija in polinomi V tem razdelku bomo definirali še max-plus kvadratno funkcijo in pokazali nekaj zgledov teh funkcij. Definicija Max-plus kvadratna funkcija je max-plus funkcija s predpisom f(x) = a x 2 b x c, kjer so a, b, c R max. V običajnem zapisu bi zapisali tako funkcijo kot max{2x + a, x + b, c}. Poglejmo, kako izgleda graf max-plus kvadratne funkcije na konkretnem primeru. Primer Naj bo p(x) = ( 1) x 2 1 x 2. Iščemo torej max(2x 1, x + 1, 2). Vrednost p(x) bo največja od vrednosti linearnih funkcij f(x) = 2x 1, f(x) = x + 1, f(x) = 2 v točki x, kar pomeni da bo graf našega polinoma p(x) ležal na zgornjih treh odsekih naših premic. Slika 9: Graf max-plus kvadratne funkcije p(x) = ( 1) x 2 1 x 2. 25

33 Graf kvadratne funkcije je torej praviloma sestavljen iz dveh poltrakov in daljice. Prvi poltrak leži na konstanti y = c, daljica na premici y = x+b, drugi poltrak pa na premici y = 2x + a. To zagotovo velja za naš zgornji primer, lahko pa se zgodi, da je na grafu kvadratne funkcije samo ena točka, kjer se graf prelomi. To pomeni, da k grafu kvadratne funkcije prispevata le dve od treh funkcij 2x + a, x + b ter c. Trditev Če koeficienti a, b, c R max max-plus kvadratne funkcije zadoščajo c < 2b a, potem je graf funkcije sestavljen iz dveh poltrakov in vmesne daljice. V kolikor pa velja c 2b a, je graf funkcije sestavljen le iz dveh poltrakov. Dokaz: Dokaz te trditve lahko ponazorimo grafično. Graf kvadratne funkcije, ki je sestavljena iz dveh poltrakov in vmesne daljice se lomi v dveh točkah. Naj bo T točka, kjer se sekata premici y = 2x + a in y = x + b. Če izenačimo ti dve premici, dobimo vrednost koordinat x = b a in y = 2b a. Če je vrednost konstante y = c manjša od vrednosti 2b a, potem ima graf še eno točko, kjer se prelomi. Leži na presečišči premic y = x + b in y = c (slika 10). Če je c 2b a, potem je graf sestavljen le iz dveh poltrakov. Slika 10: Graf kvadratne funkcije f(x) = a x 2 b x c. Primer Naj bo p(x) = x 2 x 2. Iščemo torej max(2x, x, 2). V tem primeru se naša kvadratna funkcija lomi le v eni točki in jo sestavljata le dva poltraka. To funkcijo bi pravzaprav lahko zapisali kot f(x) = x 2 2 in bi dobili enak graf. 26

34 Slika 11: Graf polinoma p(x) = x 2 x 2. Velja še omeniti, kaj se dogaja s max-plus kvadratno funkcijo, če je kateri izmed koeficientov a, b in c enak. Poglejmo si vsak primer posebej. a = : V tem primeru velja f(x) = x 2 b x c = b x c = b x c, torej gre kar za običajno max-plus linearno funkcijo, ki smo jo obravnavali v prejšnjem razdelku. b = : Funkcijo zapišemo kot f(x) = a x 2 ( ) b c = a x 2 c. Graf naše max-plus kvadratne funkcije bo podoben grafu max-plus linearne funkcije, le da bo naklon poltraka, ki leži na premici y = a x 2 enak 2. Podoben graf smo obravnavali v primeru c = : V tem primeru dobimo kvadratno funkcijo f(x) = a x 2 b x, kar pomeni, da bo graf funkcije sestavljen iz dveh poltrakov, ki ležita na premicah y = 2x + a in y = x + b s skupnim izhodiščem, kjer se premici sekata. a, b = : V tem primeru dobimo funkcijo oblike f(x) = x 2 ( ) x c = c. Graf te funkcije bo torej konstantna funkcija s predpisom f(x) = c. a, c = : Funkcijo lahko torej zapišemo kot f(x) = x 2 b x ( ) = b + x. Graf naše max-plus kvadratne funkcije bo graf običajne linearne funkcije s predpisom f(x) = b + x. 27

35 b, c = : V tem primeru je f(x) = 2x + a običajna linearna funkcija. a, b, c = : V kolikor so vsi koeficienti enaki gre očitno za konstantno funkcijo f(x) =. Podobno kot smo definirali max-plus linearno in kvadratno funkcijo lahko definiramo tudi polinomske funkcije višjih stopenj. Za max-plus polinome je mogoče dokazati, da se da vsakega zapisati kot produkt linearnih faktorjev, torej da osnovni izrek algebre drži tudi za max-plus polinome, a to presega okvir te naloge(glej npr. [1]). 3.6 Zgledi uporabe Max-plus algebra je bila prvič omenjena v petdesetih letih prejšnjega stoletja. Od takrat je našla svoje mesto na več matematičnih področjih, kot so optimizacija, kombinatorika in podobno. Prav tako se je uveljavila v načrtovanju proizvodnih sistemov, komunikacijskih omrežjih, transportnih sistemih in preučevanju drugih splošnih diskretnih sistemov dogodkov. V tem poglavju bom na praktičnih primerih predstavil nekaj zgledov uporabe max-plus algebre in vsega kar smo spoznali do sedaj. Primera sta povzeta po [3] in [7] Vlaki Zamislimo si železniško omrežje med dvema mestoma. Želežniški postaji v mestih označimo s P 1 v prvem mestu in P 2 v drugem. Postaji sta povezani z dvema tiroma, enim v eno smer, drugim v drugo, vsaka ima pa še svoj tir, ki povezuje predmestji vsakega mesta. Čas potovanja po posamezni poti je označen na sliki 12. Zanima nas, kako bi oblikovali optimalni vozni red, če so potovalni časi na vseh linijah fiksni in podani, pogostost vlakov pa naj bo čim večja in enako porazdeljena po vseh štirih tirih. Vlaki pa morajo na postaji počakati en na drugega, da lahko potniki prestopijo. Na začetku imamo 4 vlake, po dva na vsaki postaji. Eden vozi proti drugi postaji, eden pa oskrbuje predmestje, pri čemer oba štartata hkrati. Označimo z x 1 odhod obeh vlakov s postaje P 1 in z x 2 odhod vlakov s postaje P 2. Skupaj so tako odhodni časi zapisani kot vektor x R 2. Prvi odhod vlakov označimo z x(0), kar pomeni, da x 1 (0) pomeni začetni odhod vlakov s postaje P 1 in x 2 (0) začetni odhod vlakov s postaje P 2. 28

36 Slika 12: Železniško omrežje med dvema mestoma. Označimo k-ti odhod rekurzivno z x(k 1). Ti odhodi so dogodki v našem modelu. Sedaj lahko označimo k+1 odhod vlakov iz postaje P 1 kot najdaljšega izmed časov k-tega odhoda prvega vlaka iz postaje P 1 okoli predmestja in k-tega odhoda drugega vlaka iz postaje P 2 do postaje P 1. Čase potovanja označimo z a ij, kjer je j začetna postaja in i končna. Sledi, da bo čas x 1 (k +1) odhod vlakov iz postaje P 1 enak max(x 1 (k) + a 11, x 2 (k) + a 12 ) in čas x 2 (k + 1) odhod vlakov iz postaje P 2 enak max(x 1 (k) + a 21, x 2 (k) + a 22 ). Dobimo sistem enačb x 1 (k + 1) = max(x 1 (k) + 3, x 2 (k) + 3), x 2 (k + 1) = max(x 1 (k) + 4, x 2 (k) + 2). ( ) 3 3 Iz tega sistema lahko naredimo matriko A = in z začetnima časoma 4 2 ( ) 0 odhodov x(0) = so vsi nadaljni odhodi enolično določeni, saj je 0 x(1) = A x(0), x(2) = A x(1) = A A x(0) = A 2 x(0),..., x(k) = A k x(0). ( ) Seveda bi lahko začetni čas x(0) določili tudi drugače, na primer x(0) = 1. Lahko bi dodali tudi poljubno število postaj in sistem reševali na podoben 0 način Proizvodnja Proizvodno linijo sestavlja več strojev. Na delo vsakega stroja vpliva delo drugih strojev. Tak sistem lahko podamo z dvema parametroma, in sicer začetnim časom delovanja vsakega stroja in matriko, ki nam pove ali posamezen stroj čaka na delo drugega in kako dolgo čaka na druge stroje, preden nadaljuje z 29

37 delom. Poglejmo si primer proizvodnje s štirimi stroji s pripadajočo matriko A = in pripadajočim digrafom D(A) na sliki Slika 13: D(A). Začetni časi delovanja vseh štirih strojev naj bodo enaki x(0) = [0, 0, 0, 0]. Zanima nas začetni čas delovanja posameznega stroja po petih obratih. Očitno se na prvem koraku stroji ne čakajo, tako da bodo začetni časi delovanja strojev enaki vrednostim na diagonali matrike A, torej x(1) = [3, 5, 3, 6]. Nas zanima, koliko bo x(5). Podobno kot v primeru z vlaki lahko sklepamo, da bo to enako A 5 x(0) = A 4 x(1) A = = Začetni časi obratovanja strojev po petih korakih bodo za naše štiri stroje enaki x(5) = [32, 28, 30, 30]. 30

38 4 Zaključek V tem diplomskem delu sem predstavil max-plus polkolobar, algebrsko strukturo s posebej zanimivimi karakteristikami. Definiral in opisal sem njene osnovne algebrske lastnosti in predstavil matematične pojme analognim tistim, ki jih poznamo že iz običajne algebre, kot so vektorji in matrike, linearne enačbe, linearni sistemi enačb in polinomi. Za vse te pojme sem v drugem sklopu predstavil že poznanim matematičnim zakonom sorodne zakone, kot so množenje matrik, reševanje linearnih enačb in reševanje linearnih sistemov enačb. Prav tako sem definiral krivulje prvega in drugega reda in jih grafično predstavili. Predstavil sem nekaj praktičnih primerov uporabe max-plus algebre in pokazal njeno moč pri reševanju različnih sistemov, kot so transportni in proizvodni, kjer je pomembno zaporedje dogodkov. Te sisteme smo pretvorili v linearen sistem in jih rešili s pomočjo trditev iz max-plus algebre. Kljub vsemu je v tem delu opisan le delček vsega o max-plus algebri. Prav tako je z max-plus algebro povezano še veliko teorije s področja grafov, kar pa bi bilo tudi zanimivo raziskati v nadaljnem raziskovanju. 31

39 Literatura [1] Bacceli F., Cohen G., Olsder G. J., Quadrant J.-P., Synchronization and Linearity, Wiley, [2] P. Butkovič, Max-linear Systems: Theory and Algorithms, Springer Monographs in Mathematics 151, [3] Heidergott B., Olsder G. J., Woude J. V. D., Max Plus at Work, Princeton University Press, [4] De Schutter B., Van Den Boom T., Max-plus algebra and max-plus linear discrete event systems: An introduction. Event London, 19, p [5] Speyer D., Sturmfels B., Tropical Mathematics. Mathematics Magazine, 82(July), p.15, [6] Farlow K. G., Max-Plus Algebra, at Automatisierungstechnik, 53(November), p.a5-a8, [7] Akian M., Bapat R., Gaubert S., Discrete Mathematics and Its Applications, Volume 39, Chapter 25, Chapman and Hall,