Pojav ostrih konic pri zamrzovanju vodnih kapljic

Transcription

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar Pojav ostrih konic pri zamrzovanju vodnih kapljic Avtor: Klemen Kelih Mentor: prof. dr. Gorazd Planinšič Ljubljana, 23. september 2013 Povzetek Kapljico vode previdno spustimo na zelo hladno podlago, ter opazujemo. Voda zmrzne v ledeno kroglico z ostrim, špičastim vrhom. Pojav je posledica zmanjševanja gostote, ko voda prehaja iz kapljevinastega v trdno stanje in ga je mogoče opisati s preprostim matematičnim modelom. Kombinacija enostavnega poskusa in uporabe asimptotske analize pri fizikalnem opisu, nudi lep primer k poglavju o singularnostih.

2 Kazalo 1 Uvod 2 2 Eksperimentalni prikaz pojava Opažanja Bondovo število Rezultati poskusa Teoretični model Matematični opis modela Numerične rešitve Asimptotska analiza singularnosti 8 5 Robni pojav 10 6 Hitrost širjenja ledene plasti 11 7 Zaključek 12 1

3 1 Uvod Ena najbolj zanimivih lastnosti, na katere naletimo pri študiju mahanike tekočin, je tvorba singularnih struktur. Singularnost je matematični pojem, s katerim označujemo pogoje, pri katerih rešitev ni določena. Primer je točka, v kateri funkcija ni definirana ali ni odvedljiva. Prav tako se pojem uporablja v astrofiziki v povezavi s pojavi v črnih luknjah. V naravi najdemo mnogo pojavov, ki jih želimo matematično opisati. Izkaže se, da jih veliko lahko opišemo s parcialnimi diferencialnimi enačbami. Pri reševanju le teh pogosto naletimo na singularnosti. Verjetno najbolj znan primer je kapljica v trenutku, ko se odlepi od ostale tekočine.[1] Glavni krivec za pojav je površinka napetost, ki poskuša ohraniti najmanjšo možno površino med deloma tekočine. Premer vratu, na katerem visi kapljica, se tanjša in gre proti nič tik preden se kapljica odcepi. V nekem trenutku ima torej obliko zelo ostre konice, ki pri matematičnem opisu pojava predstavlja singularnost. Na singularnost pa naletimo tudi pri mnogih drugih pojavih. Tak primer je turbulenca, rast bakterij, opisovanje črnih lukenj, močenje in sušenje površin in drugi. Za te pojave je značilna tvorba novih (singularnih) oblik, kot so konica, oster rob, tanka plast, tanek curek. Zanimivo pri tem je, da površinska napetost pri kapljevinah načeloma "nasprotuje" tvorbi naštetih oblik. Je posledica privlačnih sil med delci, ki so na površini šibkeje vezani in imajo tako večjo energijo. Kapljevine zato težijo k namanjši možni površini, ki jo ima v odsotnosti ostalih sil, pri dani prostornini krogla. Tvorba ostrih oblik je zapleten proces, zato je večino teh pojavov težko proučevati eksperimentalno, saj niso lahko ponovljivi. Hkrati je za preučevanje ponavadi potrebna posebna oprema. V nadaljevanju bomo govorili o pojavu ostrih konic, pri zamrzovanju vodnih kapljic na hladni podlagi. To je enostaven in lahko ponovljiv pojav, ki hkrati predstavlja lep primer tvorbe singularnosti. Vse kar moramo narediti je, da nežno spustimo vodno kapljico na zelo hladno površino in opazujemo. Kapljica začne zmrzovati. Plast ledu se hitro širi od spodaj navzgor. Ko doseže vrh, se ta iz zaobljene vodne kroglice preoblikuje, v ostro ledeno konico. Oblika spominja na strehe pravoslavnih cerkva. V naravi opisane oblike opazimo pri zmrzovanju vode med letalskimi poleti, kjer zmrzovanje vode lahko povzroči škodo na kabinah letal. Na veliko manjši skali so podobne špičaste oblike opazne na konicah kristalov med zmrzovanjem vode. Opazimo jih tudi pri zamrznjenem silicij in germaniju. Vse kaže na to, da se koničaste oblike pojavijo le pri tekočinah, ki se pri zmrzovanju raztezajo. Tvorbo omenjenih ostrih oblik bomo opisali s preprostim matematičnim modelom. Za razumenje pojava ne bomo potrebovali predznanja iz mahanike tekočin, saj bo model temeljil večinoma samo na geometriji. Uporabljamo ga lahko kot zgleden primer študentom, ki se prvič srečujejo s pojmom singularnosti. 2 Eksperimentalni prikaz pojava 2.1 Opažanja Pojav koničastega vrha pri zamrznenju vodne kapljice lahko opazujemo z izvedbo enostavnega poskusa. Navedel bom recept za poskus, opisan v članku z nasovom "Freezing singularities in water drops" [2]. 2

4 Uporabili so medeninasto škatlico, napolnjeno s suhim ledom in jo pokrili s stekleno ploščico. S tem so dosegli, da se je temperatura ploščice ustalila pri približno T = 20 C. Na stekleno podlago so nato s pipeto previdno spustili kapljico vode. Prej so vodo očistili vseh plinov in ostalih primesi, ter dodali rdeče barvilo, da je bila meja zmrzovanja lepše vidna. Dodatno svetlobo so privedi od spodaj s pomočjo optičnih vlaken. Poskus so snemali z mikroskopom za oddaljene predmete (VZM1000 Edmund Optics), nameščenim na kamero. Tipična prostornina ene kapljice je znašala 10 do 20 µl. Kapljica je pri omenjeni prostornini na podlagi zavzela obliko prirezane krogle z radijem približno en milimeter. Iz tega sklepamo, da lahko vpliv gravitacije pri poskusu zanemarimo. Ali to res lahko naredimo, nam pove Bondovo število. 2.2 Bondovo število Bondovo število je brezdimenzijska količina, s katero opišemo kako pomembne so sile površinske napetosti, v primerjavi z ostalimi silami na telo. Pri tem mislimo izključno na sile, ki delujejo po celotni prostornini telesa. Taki sili sta na primer elektromagnetna sila in sila gravitacije. V našem primeru se osredotočimo na slednjo. Bondovo število lahko zapišemo kot: B 0 = ρgr2 γ kjer je ρ gostota tekočine, γ površinska napetost in g gravitacijska konstanta. R je karakteristična dolžina. Opisuje radij popolne krogle z enako prostornino kot jo ima naša kapljica. Visoko Bondovo število pomeni, da ima površinska napetost zelo majhen vpliv na opazovan sistem. Če je B 0 manjši od 1, kaže na prevlado vpliva površinske napetosti nad gravitacijo. Za prostornine, ki smo jih uporabili v našem primeru, je Bondovo število med 0.25 in 0.4. Gravitacija, v primerjavi s površinsko napetostjo, res le malo vpliva na obliko kapljice. Površinska napetost v tem primeru dominira, zato bomo vplive gravitacije brez slabe vesti zanemarili. 2.3 Rezultati poskusa Zaporedni posnetki (Slika 1) kažejo, da se je nastajanje ledene plasti začelo na stiku s podlago in se nato pomikalo navpično proti vrhu kapljice. Nezaledeneli del je medtem ostajal okrogle oblike. Kot vemo ima voda največjo gostoto v kapljevinastem agregatnem stanju. Do pojava anomalije prihaja pri vodi zaradi močnih orientacijskih in vodikovih vezi med molekulami vode. Pri 4 C se molekule vode začnejo organizirati v strukturo, ki se dokončno oblikuje pri 0 C, ko voda zmrzne in nastane led. V tej strukturi so med molekulami vode praznine, zato je gostota ledu manjša od gostote vode in led plava na vodi. Kapljica se bo torej ob zmrzovanju širila. Iz posnetkov razberemo, da se led širi le v navpični smeri, v radialni smeri pa ohranja obliko, ki jo dolača vse manjši R. Ledena plast se torej širi samo navzgor in na vrhu tvori ostro konico. Poskus uspe tudi z vodovodno vodo. Ni pa opazen pri tekočinah, ki imajo v trdem agregatmen stanju večjo gostoto kot v kapljevinastem. Pri nadaljnem opazovanju zaledenele kapljice opazimo, da jo začnejo oblagati kristalčki vodne pare. Ti se najprej tvorijo na konici in se kasneje razširijo po celotni površini (Slika 2). 3 (1)

5 Slika 1: Štiri zaporedne slike zmzovanja vodne apljice na mrzli podlagi (T = 20 C). Ledena plast še širi od spodaj navzgor in doseže vrh približno v 18 s. Čas med posnetki (a) in (b) je bil 4, 6 s, med (b) in (c) 11, 42 s, ter 1, 28 s med (c) in (d). Radij kapljice na stiku s podlago je približno 2 mm. Pri zmrzovanju kapljica tvori koničast vrh. Ref.:[3] Slika 2: Trije posnetki zamrznjenega drevesa po tem, ko kapljica v celoti zmrzne. Oster vrh (singularnost) se obnaša kot kondenzacijsko jedro. Tam se zače kopičiti in zmrzovati vodna para iz okoliškega zraka. Širina posameznega posnetka je približno 1, 5 mm. Čas med posnetkoma (a) in (b) je bil 12 s, med (b) in (c) pa 27 s. Ref.:[3] 3 Teoretični model Da bi natančno opisali geometrijo ledenih kapljic, bi morali poznati točno obliko ledene površine. Kako se med zmrzovanjem premika meja med trdno in takočo fazo vode, ter kakšna je oblika mejne ploskve. Gre za precej zapleten proces zamrzovanja, ki je odvisen od podrobnosti pri prevajanju toplote skozi kapljco. Kar nam še otežuje zadevo je stik treh stanj: že zaledenelega dela, vode v kapljevinastem stanju in okoliškega zraka. Dinamike okoli stika ne razumemo popolnoma in je še vedno predmet raziskav. Natančnejša analiza opazovanja naravnega pojava z modelom torej presega okvir tega seminarja. Problema se bomo lotili s poenostavljenim modelom, s katerim bomo vseeno uspeli pojasniti bistvo pojava. Pri tem 4

6 bomo uporabili dve glavni predpostavki. Najprej predpostavimo, da je mejna ploskev med ledom in vodo ravna, ter vzporedna s podlago. Kotu θ na stiku bomo rekli kontaktni kot. Le ta se spreminja z višino ledene plasti in je razviden iz Slike 3. Slika 3: Geometrijski model zmrzovanja vodne kapljice na mrzli podlagi. (a) Privzamemo, da je meja med ledom in vode vodoravna in da ima kapljica na začetku obliko odrezane krogle. Pri tem je R polmer nezamrznjenega dela, V prostornina vode in θ kontaktni kot. (b) Predpostavimo, da ledena plast zavzema obliko ledene kapljice. Takšna izbira parametrov nam umogoča, da obliko opišemo s funkcijo R(z). Ref.:[2] Kot drugo poenostavitev našega modela predpostavimo, da se ledena plast drži oblike kapljice v kapljevinastem stanju, kar pomeni, da se kapljica med zmrzovanjem ne širi v radialni smeri. Obliko kapljice opišemo s kotom θ. S pomočjo takega modela dobimo rezultate, ki opišejo pojav singularnosti, pri zamrznitvi kapljic. Pokazali bomo, da to velja le za nekatere od tistih tekočin, ki imajo v trdnem stanju manjšo gostoto kot v kapljevinastem. Dobili bomo tudi približno oceno za razmerje gostot trdnega in kapljevinastege stanja za snovi, pri katerih je pojav še opazen. Zakaj le približno? Začetne predpostavke oziroma poenostavitve vplivajo na rezultat v tolikšni meri, da dobimo koničast vrh le za relativno nizka razmerja gostot. Rezultat izključi vodo iz množice tekočin, primernih za ta pojav, kar pa se ne sklada z eksperimentom. Rezultat torej ne bo popolnoma konsistenten z našimi opazovanji, vendar bo kljub vsemu prikazal postopek tvorbe singularnosti in osnovno fizikalno podlago pojava. Glavna prednost poenostavljenega modela je v tem, da je matematično relativno enostaven in v celoti analitično rešljiv. 3.1 Matematični opis modela Model vsebuje tri geometrijske parametre, ki so odvisni od višine z, na kateri je meja med trdnim in kapljevinastim stanjem. Radij zgornje ploskve ledenega dela bomo označili z R. Poleg radija nastopata v našem modelu še prostornina kapljevinastega agregatnega stanja V in kontaktni kot θ. Pomagamo si Sliko 3. Vsi trije parametri so odvisni od višine ledene plasti. Povedali smo že, da za primer milimetrskih kapljic lahko silo gravitacije zanemarimo. Tako bodo kapljice preden zamrznejo zavzele obliko krogelne kapice. Z izbranimi parametri lahko izračunamo normalizirano prostornino kapljevinaste krogelne kapice nad ledeno plastjo, V SC R 3 = π 3 ( 2 3 cos θ + cos 3 ) θ sin 3 θ s katero dobimo prvo povezavo med omenjenimi parametri V, R in θ. Naj še enkrat poudarim, da je R radij stične ploskve med vodo in ledom in ne radij krogle, ki jo lahko pripišemo obliki kapljice. Indeks SC pomeni prostornino krogelne kapice: angleško spherical cap. 5 (2)

7 Naslednja enačba upošteva predpostavko, da se kapljica med zmrzovanjem ne širi v radialni smeri. Razmerje med kotom θ, ter med strmino zaledenelega dela kapljice lahko razberemo iz Slike 3: dr = dz (3) tan θ Med procesom zmrzovanja se mora masa vode ohranjati. To pomeni, da se povečanje mase ledu dm = ρ s dv s, odraža v enakem zmanjšanju mase vode v kapljevinastem stanju dm = ρ l dv. Pri tem sta ρ s in ρ l gostoti vode v trdnem (solid) in kapljevinastem (liquid) agregatnem stanju. Upoštevamo še, kako se s spremembo višine spremeni prostornina ledene plasti dv s = πr 2 dz in dobimo dv = ρ s πr 2 dz (4) ρ l Enačbi (3) in (4) zapišemo kot diferencialni enačbi, s katerima opišemo celoten model: dr dz = 1 tan θ (5) dv dz = νπr2 (6) Pri tem smo vpeljali nov parameter ν = ρ s /ρ l, ki je enak razmerju gostot vode v trdnem in v kapljevinastem stanju. Poimenovali ga bomo gostotni količnik. Kasneje bomo pokazali, kako pomembno vlogo igra ν pri celotnem pojavu. Z diferenciacijo enačbe (2), ter z upoštevanjem enačb (5) in (6), lahko dobimo nov sistem diferencialnih enačb za R in θ: dθ dz = 1 [ν (1 ν)(2 cos θ + cos 2θ)] (7) R dr dz = 1 (8) tan θ Sitem je za R(θ) povsem analitično rešljiv, vendar je proces izpeljave enačbe za splošen gostotni količnik ν nekoliko zapleten. Vseeno je vredno obravnavati vsaj limitno vrednost, nato pa se bomo poslužili numeričnega reševanja. Za limitni primer vzamemo ν = 1. Takrat sta gostoti trdnega in kapljevinastega agregatnega stanja enaki. Enačbi (7) in (8) lahko potemtakem zapišemo kot Po integraciji dobimo dr dθ = R tan θ (9) R(θ) = R 0 sin θ sin θ 0 (10) kjer sta R 0 in θ 0 radij ter kontaktni kot na stiku kapljice s podlago pred začetkom zmrzovanja. Rešitev je krogla z radijem R 0 / sin θ 0. Rezultat je pričakovan, saj pri vrednosti ν = 1 ne pride do povečanja prostornine kapljice, kar pomeni, da tudi oblika po zamrznitvi ostane enaka. 6

8 3.2 Numerične rešitve Enačb (7) in (8) se bom lotili še na drug način. Z numerično integracijo dveh diferencialnih enačb lahko dobimo lep grafičen prikaz predvidene oblike zaledenele kapljice. Pri integraciji si bomo pomagali s programom Mathematica, lahko pa uporabimo katerikoli drug podoben program. Na Sliki 4 sta prikazana dva grafa, ki ustrezata različnim kontaktnim kotom med kapljico in podlago. Slika 4: Numerične rešitve modela ledenih kapljic. (a) Hidrofilna površina z začetnim kontaktnim kotom θ = 30. (b) Hidrofobna površina z začetnim kontaktnim kotom θ = Prikazane so krivulje pri različnih gostotnih količnikih, od zgoraj navzdol: ν = 0.65, ν = 0.75, ν = 0.85, ν = 1, ν = 1.2, pri začetnem radiju R 0 = 1. Debela polna črta predstavlja kapljico pri ν = 1, črtkana črta pa kapljico pri kritični vrednosti gostotnega količnika (ν = 3/4). Oblike izgledajo nekoliko sploščene zaradi različnih skal na oseh. Ref.:[2] Grafa prikazujeta oblike ledenih kapljic za tekočine z različnimi gostotnimi količniki. Najprej si poglejmo primer, ko je gostota snovi v trdnem agregatnem stanju enaka gostoti v kapljevinastem. Gostotni količnik je torej ena, kar je na primeru prikazano z debelo polno črto (Slika 4). Črta se ujema s krožnim odsekom, čeprav na grafu zaradi različne izbire skal, to ni očitno. Rezultat za primer ν = 1 se torej ujema z napovedjo, tako kot tudi z analitično rešitvijo. Poglejmo si ostale krivulje. Čim manjši je gostotni količnik, tem bolj špičast je vrh kapljice, ko kapljica v celoti zmrzne. Analitična rešitev pokaže, da obstaja neka kritična vrednost ν c, pri kateri je še opazen prelom krivulje in pri katerem je nastalemu stožcu še mogoče določiti kot ob vrhu. Ko omenjamo stožec, govorimo o nastali konici oziroma delu, ki je relativno blizu samega vrha kapljice. To je razvidno iz Slike 5. Pokazali bomo, da je za naš poenostavljen model, kritična vrednost pri ν c = 3/4. Za količnike, večje od kritične vredosti je vrh kapljice zaobljen. Čim večji je gostotni količnik, tem bolj je oblika ledene kapljice podobna krogli (ν = 1). Okroglina se ohranja tudi za količnike, večje od 1. To pomeni, da ima snov v kapljevinastem agregatnem stanju nekoliko manjšo gostoto kot v trdnem. V tem primeru dobimo kapljico, ki bi se po prehodu v trdno stanje nekoliko sploščila v elipsasto obliko. Dobljene rešitve sicer spominjajo na rezultate poskusa, vedar hitro ugotovimo, da se z rezultati numerično ne ujemajo. Za odstopanja so odgovorne začetne predpostavke oziroma poenostavitve problema. Predstavljen numerični model tvori špico pri gostotnem količniku, ki je enak ali manjši od ν = 3/4. Če bi to držalo tudi v naravi, bi vodna kapljica z gostotnim 7

9 Slika 5: Grafični prikaz nastanka stožca. Da bi dobili oster vrh kapljice, mora biti masa snovi v kapljevinastem stanju enaka masi snovi v stanju, kjer tvori stožec. To se pojavi še v primeru, ko ima kapljevina večjo gostoto kot snov v trdnem stanju. Gostotni količnik mora biti manjši od kritičnega ν < ν c = 3/4 Ref.:[2] količnikom ν = 0.9, pri prehodu v trdno agregatno stanje, ostala zaobljena. Površina bi se sicer nekoliko dvignila, vendar ne bi tvorila ostre konice. S kompleksnejšimi matematičnimi modeli, ki v izračunih upoštevajo še mnoge druge parametre, katerih vpliv smo v našem primeru zanemarili, se lahko bolj približamo merskim rezultatom. Z upoštevanjem vplivov gravitacije, kapilarnega dviga, spreminjajočega se stičnega kota med tremi agregatnimi stanji in termodinamike znotraj kapljice, se lahko zelo dobro približamo eksperimentalnim izmerkom. V članku z naslovom "The case for a dynamic contact angle in containerless solidification"[4] je predstavljena poglobljena in kompleksnejša različica našega modela, ki dejansko da rezultate, primerljive z eksperimenti. Naš model torej kvantitativno ne opiše pojava, toda kvalitativno toliko bolj nazorno predstavi bistvo pojava in s tem pojasni primer tvorbe singularnosti. Povejmo še nekaj o različnih podlagah in kako, če sploh, kasneje to vpliva na obliko ledene kapljice. Od snovi iz katere je podlaga je močno odvisno, kakšno obliko bo voda zavzela. Če bomo kapljico spustili na hidrofilno površino, bo kontaktni kot s podlago manjši, kot če je podlaga hidrofobna. Slika 4 prikazuje oba primera pri kotih θ 0 = 30 in θ 0 = 133, 5. Oblika spodnjega dela že zamrznjene kapljice bo očitno odvisna od podlage. Zanima nas, kako to vpliva na zgornji del kapljice oziroma na špico, ki se tvori na vrhu. Izkaže se, da oblika špice ni odvisna od kota s podlago, ne glede na gostotni količnik ν. Izjema je le krtična vrednost ν c, kjer pride do malenkostnih odstopanj. 4 Asimptotska analiza singularnosti Naslednji korak je napovedovanje kritične vrednosti razmerja gostot ν c na podlagi teoretičnega modela. Najti moramo način, kako podrobneje opisati vrh oziroma špico ledene kapljice. Glede na rezultate modela pričakujemo tri ločene primere. Ko je ν < ν c, po zamrznenju dobimo koničasto ledeno kapljico. V drugem primeru, ko je ν > ν c, ostane kapljica zaobljena skozi celoten proces zmrzovanja. Ostane nam kritični primer, ko je ν = ν c. Numerični model za obravnavo le te ni najboljša izbira, saj bi morali močno zmanjšati korak pri 8

10 računanju točk blizu vrha in s tem povečati število izračunov. Izkaže se, da v veliko primerih lahko neposredno bližino singularnosti obravnavamo povsem analitično, četudi v sami točki problem nima rešitve. V ta namen vpeljemo novo spremenljivko, ki ponazarja, kako blizu singularnosti se nahajamo. Opišemo torej odmik od točke v kateri rešitev modela ni definirana, in računamo v limiti, ko gre odmik proti nič. Za naš primer bomo vzeli maksimalno višino ledene kapljice in jo označili z z 0. Odmik od najvišje točke nato zapišemo kot y = z z 0 (11) Obravnavali bomo obliko kapljice, ko gre y 0. Zgornji del ledene kapljice bomo opisali s pokončnim stožcem, s kotom 2φ ob vrhu. Shema modela je predstavljena na Sliki (5). Pokazali bomo, da je velikost kota φ odvisna le od gostotnega količnika. Če uporabimo še prej vpeljani y, lahko obliko stožca opišemo z enačbo R = y tan φ. Kot φ je odvisen od tega, na kateri višini znotraj kapljice predpostavimo stožčasto obliko. Lahko ga povežemo s kotom θ, ki je na višini z kot med ravno ploskvijo ledenega dela in strmino stene kapljice. Velja θ = π/2 φ. Zveza je konstantna, saj je φ neodvisen od višine z. Na novo vpeljano spremenljivko y uporabimo pri integraciji enačb (5) in (6) in dobimo R = y tan θ V = νπy3 3 tan 2 (13) θ Druga enačba nam pove prostornino vode, potrebne da zapolnimo leden stožec, prikazan na Sliki 5. Zapišemo jo še drugače: (12) ( ) 1 V = ν 3 πr2 y = νv stožec (14) Namesto faktorja (y/ tan θ) 2 smo vstavili R 2. Izraz v oklepaju je ravno definicija prostornine stožca, če jo pomnožimo z gostotnim količnikom. Dobimo ustrezno prostornino kapljevinastega stanja. Pri iskanju kritične vrednosti si bomo pomagali z grafično predstavitvijo, zato v ta namen enačbo (13) zapišemo v brezdimenzijski obliki: V R = νπ tan θ (15) 3 3 Iz Slike 5 je razvidno, da mora biti masa ledu v stožcu enaka masi vode v delu krogle, obarvanem s temno barvo. Pri danem razmerju gostot ν, tem pogojem ustreza en sam kot θ. Dobimo ga s primerjavo obeh mas ρ l V SC = ρ s V cone, oziroma s primerjavo prostornine krogelnega dela in prostornine stožca iz enačbe (13) ali (14) V SC = V. Rešitve so prikazane na grafu (Slika 6). Normalizirana prostornina krogelnega dela po enačbi (2), je na grafu prikazana z debelo, polno črto. Ostale krivulje pripadajo enačbi (15). Prikazane so normalizirane prostornine ledenga stožca pri različnih gostotnih količnikih. Iz grafa je razvidno, de le tanka polna črta seka črto normalizirane prostornine krogelnega dela. To pomeni, da izmed treh prikazanih 9

11 Slika 6: Predstavitev normalizirane prostornine V/R 3 v odvisnost od kota naklona. Debela polna črta prikazuje normalizirano prostornino kroglaste kapljice po enačbi (2); ostale krivulje prikazujejo normalizirane prostornine po enačbi (15). Dve krivulji se, razen pri kotu nič, sekata le za ν < 3/4. Ref.:[2] razmerij gostot, le pri ν = 0, 6 najdemo željeno rešitev, to je kot θ, pri katerem je izpolnjen pogoj enakosti mas. Pri krivuljah, ki pripadajo količnikom ν, večjim od kritičnega ν c, do presečišča ne pride. Tekočine s temi lastnostmi torej ne tvorijo ostre konice. Kako torej po vsem tem določimo kritično vrednost? Zanima nas, kdaj bo prostorninska krivulja stožca tangentna na krivuljo krogelnega dela. Izračunajmo naklona obeh krivulj pri kotu θ = 0. Odvajamo enačbi (2) in (15) pri čemer dobimo V SC(0) = πr 3 /4 in V (0) = νπr 3 /3. Prostornini se ujemata pri kritični vrednosti gostotnega količnika ν c = 3/4. 5 Robni pojav Ko vodna kapljica v celoti zmrzne tvori oster koničast vrh. Tam se začnejo nabirati kristalčki, ki kmalu pokrijejo celotno ledeno kapljico. Poskus še nekajkrat ponovimo in opazimo, da se rast kristalov vedno začne ravno na ostrem delu, se pravi na vrhu kapljice. To je lep primer pojava, ki mu v angleščini pravijo "edge effect", robni pojav. Pri študiju dinamike snežink je posebno pomembna teorija difuzijsko omejene agregacije, ki sta jo prva vpeljala ameriška fizika T.A. Witten in L.M. Sanders leta Najpomembnejša ideja te teorije je, da je rast kristalčka v snežinko odvisna zgolj od lokalnih lastnosti površine kristala, saj molekule vode nanjo udarjajo ena za drugo in se prej ne sprijemajo v skupke. Različni deli te površine pri rasti praktično ne interagirajo med sabo. Pri rasti snežink so zelo pomembni deli kristala z majhnim krivinskim radijem, oziroma tisti, ki so najbolj špičasti kot bi lahko tudi rekli. V ostro zamejenih, majhnih prostorčkih na površini ledenega kristala, ki se spreminja v snežinko, se namreč rada kondenzira voda v kapljevinasti obliki, ki nato deloma zamrzuje in omogoča rast kristala. Da se takšni procesi pri rasti snežink res dogajajo nam izpričuje tudi velka podobnost med končno obliko računalničko 10

12 simuliranih snežink in tistih, ki jih lahko zares opazimo v naravi.[5] Vrnimo se na primer z zamrznjeno vodno kapljico. Edino, kar omejuje nastajanje ledenih kristalčkov na že zaledeneli površini, je učinkovitost transporta molekul vodne pare. Zato pričakujemo, da je rast kristalov najhitrejša na delih, kjer je največja difuzija. Za vodno paro okrog naše kapljice predpostavimo, da velja difuzijski zakon, c t = D 2 c (16) pri čemer je c koncentracija vodne pare v okolici kapljice in D difuzijska konstanta. Privzemimo, da se okolica ne spreminja s časom, a dopušča izmenjavo energije. Pravimo, da je v kvazi-stacionarnem stanju. Uporabimo lahko Laplaceovo enačbo. j = D c (17) Če je koncentracija vodne pare blizu kapljice konstantna, bo problem ekvivalenten problemu z električnim potencialom okrog prevodne konice. Na tem mestu poglejmo Sliko 7, ki lepo Slika 7: (a) Fotografija konice, ko je kapljica že v celoti zamrznjena. Ostra konica predstavlja točko, kjer se začne zbirati vodna para, ki tvori ledene kristalčke. (b) Matematični model koncentracije vodne pare okrog konice. Bele črte so črte konstantnih koncentracij. Vidimo, da so blizu konice črte bolj skupaj, kar pomeni, da je tam velik gradient koncentracij. Tam se začne vodna para kopičiti in tam se začnejo tvoriti kristalčki. Ref.:[2] prikaže model koncentracije vodne pare v okolici ostre konice. Razvidno je, da se okoli konice ustvari velik gradient koncentracije vodne pare. To pomeni, da bo na mestu okoli konice transport vodnih molekul najhitrejši, in se bo tvorba ledenih kristalčkov začela prav tam. Opisali smo poenostavljen model. Sicer je celoten pojav bolj kompleksen, saj je parni tlak nad ravno površino drugačen, kot nad ukrivljeno površino. 6 Hitrost širjenja ledene plasti Ocenimo še hitrost širjenja ledene plasti oz. kako je debelina ledu odvisna od časa. Imamo podlago s konstantno temperaturo T 0, zaradi katere kapljica začne zmrzovati. Ob stiku s podlago se začne tvoriti plast ledu, ki se širi proti vrhu, dokler cela kapljica ne zaledeni. Nad to plastjo je voda v kapljevinastem stanju s temperaturo T 1. Privzamemo, da se toplota prevaja enodimenzionalno skozi ledeno plast in da ledena plast ostaja vodoravna. Plast vode tik nad ledeno plastjo je v termodinamskem ravnovesju z ledom, zato je njena tempreatura 11

13 T 1 = 0 C. Ker ima voda v našem primeru višjo temperaturo kot podlaga, teče toplota skozi ledeno plast, kar opišemo z enačbo: dq dt = λs dt dx Pri tem je λ toplotna prevodnost ledu, S površina ledene plasti, dt temperaturna razlika med podlago in vodo nad ledeno plastjo in dx je debelina ledene plasti. Če privzamemo konstantno razliko temperatur dt = T in konstantno debelino ledene plasti dx = x = h, lahko zapišemo: Q = λs T t (19) h Odtekanje toplote povzroči, da nekaj vode zmrzne, pri čemer velja Q = mq t, m je masa vode, ki zmrzne in q t specifična talilna toplota. Enačbo zapišemo v obliki (18) Q = ρq t S h (20) Pri tem nam h pove, za koliko se ledana plast odebeli. Z izenačitvijo enačb (19) in (20), po diferenciaciji in integraciji pridemo do enačbe, ki nam opiše časovno spreminjane debeline ledene plasti: ( ) 1 2λ T 2 h(t) = t (21) ρ led q t Plast se torej debeli sorazmerno s kvadratnim korenom časa. Če za naš primer izračunamo, koliko časa potrebuje 2mm visoka kapljica, da v celiti zmrzne, pri temperaturi podlage T 0 = 20 C, dobimo približno 13 sekund. Eksperimentalno (Slika 1) je bil čas zmrzovanja priblizno 18 s. Torej je ocena, glede na privzete poenostavitve relativno dobra. Izkaže se, da na hitrost zmrzovanja vpliva tudi kontaktni kot kapljice s podlago. Čim večji je kontaktni kot, daljši je čas zmrzovanja, saj je pri enaki količini vode kapljica višja. Kar je zanimivo je, da je tudi rast kristalčkov na površini kapjice, ki je zmznila na hidrofobni podlagi, hitrejša. Kristalčki so bolj razvejani in večji. 7 Zaključek Pokazali smo, da nam pojav ostrih konic pri zmzovanju vodnih kapljic na mrzli podlagi lahko služi kot zanimiv uvod, ko se v fiziki začnemo seznanjati s pojmom singularnosti. Pojav smo opisali tako kvalitativno, kot tudi matematično in prišli do konkretnih razultatov. Predstavili smo primer analitične rešitve in kasneje problem rešili tudi numerično. Metode reševanja temeljijo skoraj povsem na geometiji. Matematični problem je zato dovolj preprost, da ga lahko obravnavamo tudi s študenti nižjih letnikov. Pokazali smo, da kljub poenostavitvam model dobro opiše bistvo nastanka konic. Do singularnosti torej pride samo v primeru, če se tekočina pri zmrzovanju širi. Če bi se z rešitvami hoteli bolj približati eksperimentalim izmerkom, bi morali uporabiti kompleknejši model. Mogoče je priti do dobrih ujemanj z eksperimenti, vendar je pri preprostejšem modelu bistvo pojava veliko bolj nazorno. 12

14 Literatura Slika 8: Zmrzovanje vodne kapljice in rast kristalov na različnih podlagah. Ref.:[6] [1] Jens Eggers, Marco A Fontelos, The role of self-similarity in singularities of partial differential equations Nonlinearity 22 (2009) R1 R44 [2] J. H. Snoeijer, P. Brunet, Pointy ice-drops: how water freezes into a singular shape, Am. J. Phys. 80 (9), pp (2012). [3] Oscar R. Enríquez, Álvaro G. Marín, Koen G. Winkels, Jacco H. Snoeijer, Freezing singularities in water drops, Physics of Fluids 24, (2012); doi: / [4] D. M. Anderson, M. Grae Worster, and S. H. Davis, The case for a dynamic contact angle in containerless solidification, J. Cryst. Growth 163, (1996). [5] Rudolf Podgornik, HOH Univerza v Ljubljani, Inštitut Jožef Štefan, str. 190 [6] Huang Lingyan, Liu Zhongliang, Liu Yaomin,... Effect of contact angle on water droplet freezing process on a cold flat surface Experimental Thermal and Fluid Science, v.40, 2012 July, p.74(7) (ISSN: ) 13