UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO
|
|
- Teresa Taylor
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016
2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ VERONIKA MIHELAK MENTOR: izr. prof. dr. Marko Razpet PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016
3 Zahvala Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Marku Razpetu za strokovno pomoč in usmerjanje pri nastajanju diplomskega dela. Iskrena hvala mami Darinki za finančno pomoč skozi celoten študij, hvala sestri Mariji za spodbudo in pomoč. Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli pri nastajanju diplomskega dela.. v
4 vi
5 Izvleček V diplomskem delu so zbrane lastnosti pravilnega ikozaedra, ki študentom matematike približajo snov, hkrati pa lahko učitelji matematike pripravijo naloge za nadarjene učence v osnovni ali srednji šoli. V začetnem delu so opisane osnovne lastnosti poliedrov, ki so značilne tako za ikozaeder kot za ostale pravilne poliedre (tetraeder, kocka, dodekaeder, oktaeder). Dokazali smo, da obstaja le pet pravilnih ali platonskih teles in preverili, da zanje velja Eulerjeva poliedrska formula. Nadalje smo se osredotočili le na izbran polieder. Za izračun prostornine smo potrebovali zlato število, ki je pozitivna rešitev Fibonaccijeve enačbe, zato smo le-to izpeljali iz številčnega zaporedja. V zadnjem delu smo ikozaedru priredili graf v ravnini in se posvetili Hamiltonovemu Potovanju okoli sveta oziroma Ikozaedrski igri ter raziskali simetrije ikozaedra. Ključne besede: pravilni poliedri Eulerjeva karakteristika zlato razmerje ikozaeder ikozaedrska igra vii
6 viii
7 Abstract Here are collected properties of regular icosahedron which are useful for students of mathematics or mathematics teachers who can prepare exercises for talented students in elementary or middle school. The initial section describes the basic properties of regular polyhedra: tetrahedron, cube, dodecahedron, octahedron and of course icosahedron. We have proven that there are only five regular or platonic solids and have verified Euler's polyhedron formula for them. Then we focused on selected polyhedron. To calculate the volume we need the golden number which is a positive solution of the Fibonacci equation. In the last part we have made planar graph for icosahedron and have told something about Hamilton's trip around the world (Icosian game) and explore symmetry of icosahedron. Key words: regular polyhedra Euler's polyhedron formula the golden ratio icosahedron icosian game ix
8 x
9 Kazalo Kazalo slik... xiii 1. Uvod Zgodovina pravilnih poliedrov Osnovne lastnosti poliedrov Dokaz obstoja petih platonskih teles Eulerjeva formula Dualnost poliedrov Ikozaeder Površina ikozaedra Prostornina ikozaedra Fibonaccijeva kvadratna enačba Izračun prostornine ikozaedra Kot med sosednjima mejnima ploskvama Graf ikozaedra Simetrije ikozaedra Ikozaedrska igra Zaključek Literatura xi
10 xii
11 Kazalo slik Slika 1: Prvi primeri pravilnih poliedrov [1]... 3 Slika 2: Dual dodekaedra je ikozaeder [11] Slika 3: Dual ikozaedra je dodekaeder [11] Slika 4: Mreža pravilnega ikozaedra Slika 5: Zlati pravokotnik [13] Slika 6: Paroma pravokotni zlati pravokotniki [8] Slika 7: Izmerjen kot med dvema sosednjima ploskvama v GeoGebri Slika 8: Ravninski graf ikozaedra [15] Slika 9: Prikaz šestih osi rotacijske simetrije skozi nasprotna oglišča Slika 10: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih mejnih ploskev Slika 11: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih robov Slika 12: Dodekaeder Slika 13: Graf za igro Potovanje okoli sveta [19] Slika 14: Primer Hamiltonovega cikla na grafu dodekaedra xiii
12 xiv
13 1. Uvod Pravilni oziroma platonski poliedri so konveksna geometrijska telesa, katerih ploskve so med seboj skladni pravilni večkotniki. V vsakem oglišču se stika enako število skladnih pravilnih večkotnikov. Najbolj znan platonski polieder je kocka, ki je poznana otrokom že pred vstopom v osnovno šolo. Platonska telesa je poznal že Platon okoli leta 400 pred našim štetjem. Dokaz, da je samo pet platonskih teles, izhaja iz tega, da mora biti vsota kotov ploskev, ki se stikajo v enem oglišču, manjša od 360. Pravilni ikozaeder je sestavljen iz dvajsetih skladnih enakostraničnih trikotnikov, v enem oglišču se jih stika pet. V diplomskem delu bom najprej nekaj besed namenila lastnostim ikozaedra ter nastanku oziroma odkritju ikozaedra. V nadaljevanju bom izračunala površino in prostornino ikozaedra, polmer včrtane in očrtane krogle ter kot med sosednjima ploskvama. Pri samih izračunih bom potrebovala nekaj značilnih števil, razmerij, likov, lastnosti kot na primer: zlato število (zlati rez) φ = 1 + 5, 2 zlati pravokotnik, pravilni petkotnik. 1
14 V diplomskem delu želim poglobiti znanje iz osnov linearne algebre (skalarni, vektorski produkt), nadgraditi znanje iz zgodovine matematike, kjer smo obravnavali izvor zlatega števila ter konstrukcijo pravilnega petkotnika. Poudariti je potrebno, da v diplomskem delu obravnavamo le pravilne poliedre. To pomeni, da tetraeder, heksaeder, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder predstavljajo pravilna telesa v celotnem diplomskem delu, razen če je opredeljeno drugače. 2
15 2. Zgodovina pravilnih poliedrov Prva odkritja izklesanih teles (slika 1), ki spominjajo na pravilne poliedre, so našli na Škotskem. Znanstveniki ocenjujejo, da so kamnite skulpture nastale okoli 2000 let pred našim štetjem, kar pomeni, da so tovrstna telesa poznali že pred Starimi Grki [1]. Slika 1: Prvi primeri pravilnih poliedrov [1]. Prvi zapisi o pravilnih konveksnih poliedrih segajo v čas Starih Grkov. Evklid je v knjigi Elementi, ki je bila stoletja edina knjiga o geometriji, zapisal definicije osnovnih geometrijskih pojmov, zaključil pa s študijo o petih pravilnih poliedrih [2]. Kasneje se je s pravilnimi poliedri ukvarjal tudi Platon v svojem delu Timaj in jih poimenoval idealna geometrijska telesa. Platon celo postavi tezo, da so iz teh geometrijskih teles sestavljeni štirje zemeljski elementi: ogenj iz tetraedrov, zemlja iz kock, zrak iz oktaedrov in voda iz ikozaedrov (povezave določajo lastnosti geometrijskih teles njihova 3
16 ostrina, stabilnost, tekočnost ipd.), in eter, sestavljen iz dodekaedrov, kot»peti (nebesni) element«[3]. Platon o dodekaedru pravi:»bog ga je uporabil za vesolje, ko ga je krasil s podobami«[4]. Grk Arhimed je bil največji matematik helenistične dobe. Živel je v Sirakuzah. Ohranilo se je 8 njegovih knjig, ravno knjiga o polpravilnih telesih je izgubljena. Polpravilna telesa imajo za mejne ploskve različne pravilne večkotnike, vendar imajo vsa oglišča enako konfiguracijo. Imena vseh trinajstih polpravilnih oziroma arhimedskih teles, ki jih poznamo danes, je poimenoval Kepler [5]. Skozi zgodovino se je zvrstilo kar nekaj pomembnih ljudi, ki so v svoje delo vključili poliedre. Prvi, ki jih je podrobneje opisal, hkrati pa so se zapisi ohranili do danes, je bil nemški astronom in matematik Johannes Kepler. Slednji je odkril, da se planeti gibljejo okrog Sonca po eliptičnih tirih, razložil je tudi osnovne zakone tega gibanja. K poglobljenemu razmišljanju o poliedrih ga je pripeljal poliedrski model (določen s petimi pravilnimi poliedri), ki ga je Kepler imel za osnovo zgradbe Osončja. V njegovem najpomembnejšem delu Harmonija sveta najdemo prvi poskus temeljitejše klasifikacije poliedrov [6]. Kepler je poliedre delil na konveksne in nekonveksne. Med prvimi je posebej izpostavil pet pravilnih in trinajst polpravilnih. Interesantno je predvsem to, da je tudi med nekonveksnimi odkril pravilne poliedre [6]. 4
17 3. Osnovne lastnosti poliedrov Najprej razjasnimo, od kod izvira beseda polieder in kaj pomeni. Prvotna beseda»polyhedron«je starogrškega izvora in v svojem osnovnem prevodu pomeni mnogo (poly) ploskev (hedron). Polieder je geometrijsko telo (torej tridimenzionalno), omejeno s končnim številom večkotnikov. Po dva večkotnika se spajata v robovih, trije oziroma več večkotnikov se spaja v ogliščih. Najbolj znani primeri poliedrov so prizme in piramide [7]. Pravilni ali regularni polieder je konveksno geometrijsko telo, njegovo površje je sestavljeno iz enakih, pravilnih (med seboj skladnih) večkotnikov. Pravilne poliedre imenujemo tudi platonska telesa. Pravilni poliedri imajo nekaj posebnih lastnosti, po katerih se ločijo od ostalih poliedrov: omejeni so s samimi med seboj skladnimi večkotniki; v vsakem oglišču se stika enako število teh večkotnikov. Kljub temu, da vemo, da je pravilnih večkotnikov (do podobnosti natančno) nešteto mnogo (enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, pravilni šestkotnik,...), pa obstaja le pet pravilnih poliedrov (do podobnosti natančno). Pravilni poliedri so imena dobili glede na število mejnih ploskev. Tako poznamo: pravilni tetraeder (četverec), pravilni heksaeder (šesterec oziroma kocka), pravilni oktaeder (osmerec), pravilni dodekaeder (dvanajsterec), pravilni ikozaeder (dvajseterec). 5
18 Da je pravilnih poliedrov le pet, je znano že iz antičnih časov; dokaz za to izhaja iz tega, da mora biti vsota kotov ploskev, ki se stikajo v enem oglišču, manjša od 360 [8] Dokaz obstoja petih platonskih teles Izrek Edini pravilni poliedri, ki obstajajo v Ԑ 3, so tetraeder, heksaeder (kocka), dodekaeder, oktaeder in ikozaeder [9]. Dokaz Oglejmo si, koliko enakih pravilnih večkotnikov se lahko stika v enem oglišču poliedra, če mora veljati, da je vsota kotov pravilnih konveksnih večkotnikov v oglišču strogo manjša od 360. Najprej izračunamo notranji kot pravilnega večkotnika po znani formuli: n 2 n 180, pri čemer n predstavlja število oglišč večkotnika. V oglišču se stika k mejnih ploskev, zato mora veljati: k n 2 n 180 < 360. Za nastanek telesa se morajo v enem oglišču stikati najmanj trije večkotniki, zato velja: 3 k < 2n n 2. Iz neenačbe sledi, da je n < 6, hkrati pa mora veljati n 3. V nadaljevanju bomo obravnavali vsak primer posebej. Prvi primer: n = 3, 3 k < 6 a) k = 3 V oglišču se stikajo trije enakostranični trikotniki, zato velja: 3 60 = 180 < 360. Dobimo tetraeder polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo trije skladni enakostranični trikotniki. 6
19 b) k = 4 V oglišču se stikajo štirje enakostranični trikotniki, zato velja: 4 60 = 240 < 360. Dobimo oktaeder polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo štirje skladni enakostranični trikotniki. c) k = 5 V oglišču se stika pet enakostraničnih trikotnikov, zato velja: 5 60 = 300 < 360. Dobimo ikozaeder polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stika pet skladnih enakostraničnih trikotnikov. Drugi primer: n = 4, 3 k < 4 a) k = 3 V oglišču se stikajo trije kvadrati, zato velja: 3 90 = 270 < 360. Dobimo kocko polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo trije skladni kvadrati. Tretji primer: n = 5, 3 k < 10 3 a) k = 3 V oglišču se stikajo trije pravilni petkotniki, zato velja: = 324 < 360. Dobimo dodekaeder polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo trije skladni pravilni petkotniki [10]. Dokazali smo, da obstaja natanko pet parov (n, k), ki ustrezajo pogojem. Da za vsak par obstaja natanko eno platonsko telo, pa sledi iz Eulerjeve formule. 7
20 3.2. Eulerjeva formula Definicija Enostaven polieder je polieder, pri katerem je površina poliedra povezana, torej kadar je mejna ploskev taka, da bi jo bilo moč, če bi bila iz primerno prožnega materiala, napihniti v krogelno ploskev sfero. Izrek Za poljuben enostaven polieder velja Eulerjeva formula v e + f = 2, pri čemer v predstavlja število oglišč, e število robov, f pa število stranskih ploskev. Za nekonveksen polieder velja v e + f = χ, kjer je χ Eulerjeva karakteristika. Zato bomo izrek dokazali le za konveksne poliedre, za katere je χ = 2. Dokaz Vzemimo konveksen polieder in oglišča predstavimo na sferi kot točke, robove pa kot krožne loke na sferi. S tem dobimo enako število ploskev, robov in oglišč, kot jih ima prvoten polieder, robovi pa se med sabo ne sekajo. Nato izberemo poljubno točko znotraj poljubne ploskve in prezrcalimo sferni polieder na ravnino s pomočjo stereografske projekcije, ki je bijektivna. (Točka, iz katere projiciramo, ne sme biti na nobeni stranici sfernega poliedra. V nasprotnem primeru se slika raztegne v neskončnost). Tako dobimo ravninsko razporeditev točk z robovi brez križanja, ki jo bomo poimenovali graf p1. Vedno je omejena s sklenjeno krivuljo. Dejanska lega oglišč ni pomembna, pomembne so le povezave med njimi [9]. Graf p1 ima enako število oglišč in robov kot začeten polieder, manjkajoča ploskev ustreza skrajni legi grafa. To pomeni, da se mejna ploskev ne vidi, saj graf narišemo v ravnini. Zato moramo za graf pokazati, da velja: v e + f = 1 [9]. Izberemo poljubno n-kotno ploskev in jo skrčimo v eno samo točko (disjunktni robovi ostanejo disjunktni). S tem se število ploskev zmanjša za eno, n robov izgine, n oglišč pa se zreducira v eno [9]. V nadaljevanju lahko za pravilne poliedre preverimo, če zanje velja Eulerjeva formula. 8
21 Lastnosti pravilnih poliedrov se nahajajo v tabeli 1. Tabela 1: Število robov, oglišč, ploskev posameznega pravilnega poliedra. 9
22 V tabeli n predstavlja število oglišč za večkotnik, iz katerih je sestavljen pravilen polieder (na primer število 5 za dodekaeder pove, da je telo sestavljeno iz samih pravilnih petkotnikov). V zadnjem stolpcu k predstavlja število večkotnikov, ki se stikajo v enem oglišču [8]. Izkaže se, da se iskane količine: površina (S), prostornina (V), polmer včrtane krogle (r), polmer očrtane krogle (R), kot med sosednjima stranskima ploskvama (ϑ) vse izražajo s številoma n in k ter robom stranske ploskve a, vendar precej zapleteno [8]. Brez težav najdemo povezavo med P (ploščina osnovne ploskve), V in r. Pravilni polieder lahko namreč razrežemo na f skladnih pravilnih piramid, ki imajo skupni vrh v poliedrovem središču, za osnovno ploskev pa imajo mejne ploskve pravilnega poliedra [8]. Osnovna ploskev take piramide ima ploščino P = S in višino r [8]. f Njena prostornina je zato enaka Sr Sr, prostornina obravnavanega poliedra pa V = f [8]. 3f 3f = Sr 3 Torej velja za vsak pravilen polieder formula: V = 1 Sr [8] Dualnost poliedrov Za pravilne poliedre pa velja še ena zanimivost. Če povežemo središča mejnih ploskev pravilnega poliedra, zopet dobimo pravilni polieder. S povezavo teh točk pri pravilnem tetraedru nastane pravilni tetraeder, pri pravilnem heksaedru (kocki) nastane pravilni oktaeder, pri pravilnem oktaedru nastane kocka, v pravilnem dodekaedru nastane pravilni ikozaeder (slika 2) in obratno, v pravilnem ikozaedru s povezavo središč mejnih ploskev nastane pravilni dodekaeder (slika 3) [11]. Pravimo, da ima vsak pravilni polieder za svoje dualno telo tudi pravilni polieder (na primer: dualna sta si pravilni dodekaeder in pravilni ikozaeder) [8]. 10
23 Slika 2: Dual dodekaedra je ikozaeder [11]. Slika 3: Dual ikozaedra je dodekaeder [11]. 11
24 12
25 4. Ikozaeder 4.1. Površina ikozaedra V nadaljevanju se bomo posvetili izbranemu pravilnemu poliedru ikozaedru, včasih poimenovan tudi kot dvajseterec, ker ga omejuje dvajset skladnih enakostraničnih trikotnikov. Površino pravilnega ikozaedra si bomo najlažje predstavljali, če izdelamo mrežo (slika 4). Slika 4: Mreža pravilnega ikozaedra. Vidimo, da je izračun površine precej preprost. Izračunamo jo tako, da ploščino enega enakostraničnega trikotnika z robom a pomnožimo z dvajset. Če formulo okrajšamo, dobimo: S = 20 a2 3 4 = 5a 2 3 [8]. 13
26 4.2. Prostornina ikozaedra Prostornine pravilnega ikozaedra ne moremo izračunati neposredno, tako kot površino. Pri tem bomo uporabili koordinatno metodo, pri kateri nam bodo pomagale lastnosti zlatega pravokotnika. Zlati pravokotnik ima stranici v razmerju zlatega števila: φ = Zlato število dobimo 2 kot pozitivno rešitev Fibonaccijeve kvadratne enačbe: φ 2 φ 1 = 0 [12]. Najprej si bomo pogledali, kako dobimo Fibonaccijevo kvadratno enačbo, zatem pa sledi še izračun prostornine ikozaedra Fibonaccijeva kvadratna enačba Zlato število se izpelje s preprostimi operacijami med števili. Osnovni elementi, iz katerih izpeljemo zlato razmerje, so številska zaporedja. Številsko zaporedje je preslikava množice naravnih števil v množico realnih (kompleksnih) števil: n An. Zaporedje označimo s simboli (A n ) n=0. An je n-ti člen tega zaporedja. Ena izmed metod za generiranje številčnega zaporedja je uporaba ene ali več začetnih vrednosti in rekurzivne formule. Pomemben je primer: Fn+2 = Fn+1 + Fn. To pomeni, da je vsak člen enak vsoti prejšnjih dveh členov. Zaporedje ima dve začetni vrednosti: F0 in F1. Primer, ko je F0 = 0 in F1 = 1, nam da Fibonaccijevo zaporedje: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Prav tako ga lahko nadaljujemo za negativne indekse. S tem dobimo zaporedje, ki gre v neskončnost v obe smeri:... 34, - 21, 13, - 8, 5, - 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... 14
27 V tem primeru so vrednosti členov z negativnim predznakom numerično enake kot ustrezni členi s pozitivnim predznakom, vendar se predznaki spreminjajo. Naslednje preprosto številčno zaporedje je generirano z naslednjo rekurzijo: An+1 = qan. Člen zaporedja izračunamo tako, da predhodni člen pomnožimo s konstanto q. To zaporedje je generirano na osnovi ene začetne vrednosti in vrednosti konstantnega faktorja. Če vzamemo A0 = 1 in q = 2, dobimo naslednje člene: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,... Zopet lahko zelo enostavno izračunamo člene zaporedja z negativnimi indeksi:... 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, Splošni člen Fibonaccijevega zaporedja poiščemo v obliki Fn = λ n. Ker je Fn+1 = λ n+1, Fn+2 = λ n+2, dobimo: λ n+2 = λ n+1 + λ n in po krajšanju λ 2 = λ + 1. Ta enačba je znana kot Fibonaccijeva kvadratna enačba, ki ima dve rešitvi: λ 1 = Število λ 1 =, λ 2 = je zlato število in ga običajno označujemo s φ. Torej velja: Fn = c1 λ 1 n + c2 λ 2 n, F0 = 0, F1 = 1. Iz začetnih členov izračunamo c1 = 1/ 5 = c2. Splošni členi Fibonaccijevega zaporedja je torej: Iz tega sledi: Fn = 1 5 (( )n 1 5 ( 2 )n ). F lim n+1 = φ. n F n S pomočjo zlatega števila lahko sedaj izračunamo prostornino pravilnega ikozaedra. 15
28 Izračun prostornine ikozaedra Točka Z deli daljico AB v zlatem razmerju, če velja: AB = AZ AZ ZB, AZ > ZB. Če je AZ = a, ZB = b, potem mora veljati: (a+b) / a = a / b. Iz te zahteve dobimo: a / b = φ. Zlati pravokotnik (slika 5) je pravokotnik, katerega stranice so v zlatem razmerju AB BC = φ [13]. Slika 5: Zlati pravokotnik [13]. Vzemimo tri skladne zlate pravokotnike z daljšo stranico φa in krajšo stranico a, jih med seboj prebodimo in vpeljimo pravokotni koordinatni sistem Oxyz, kot kaže slika 6. Slika 6: Paroma pravokotni zlati pravokotniki [8]. 16
29 Če gledamo z zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi x, vidimo oglišča: Ax (0, φa, a φa ), Bx (0,, a φa ), Cx (0,, a φa ), Dx (0,, a ), z zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi y, vidimo oglišča: Ay ( a φa, 0, ), 2 2 By (a φa, 0, ), 2 2 Cy ( a φa, 0, ), 2 2 Dy ( a φa, 0, ), 2 2 in z zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi z, oglišča: Az ( φa, a φa, 0), Bz (, a φa, 0), Cz (, a, 0), Dz (φa, a, 0) Opazimo, da so vsa oglišča glede na koordinate, oblike: (0, ± φa, ± a ), (± a φa φa, 0, ± ), (±, ± a, 0) Število točk vsake vrste je 4, skupaj torej 12. Naštete točke predstavljajo ravno oglišča pravilnega ikozaedra z robom a. Njegovih dvajset mejnih ploskev sestavljajo enakostranični trikotniki. Naštejmo tistih pet, ki imajo skupno oglišče Ax: AxDyAy, AxAyAz, AxAzDx, AxDxBz, AxBzDy. Da je na primer trikotnik z oglišči AxDyAy enakostraničen, s stranico a, preverimo s formulo za razdaljo: AxDy 2 = AyAx 2 = ( a 2 0)2 + (0 φa 2 )2 + ( φa 2 a 2 )2 = = a2 + ϕ2 a 2 + ϕ2 a 2 2ϕa2 + a2 = = 2a2 + 2φ2 a 2 2φa2 = = a2 4 (2 + 2φ2 2φ) = = a2 4 (2 + 2 (φ + 1) 2 φ ) = a2 = DyAy 2. Središče oziroma težišče tega trikotnika dobimo s formulo: A ( 1 3 (0 a 2 + a 2 ), 1 3 (φa ), 1 3 (a 2 + φa 2 + φa 2 )), ko poenostavimo, dobimo: A (0, φa (1+ 2φ)a, 6 6 ). 17
30 Sedaj lahko izračunamo polmer včrtane krogle (r) in polmer očrtane krogle (R) za pravilni ikozaeder. Najprej velja: r = OA = a 6 φ2 + (1 + 2φ) 2 = a 6 φ φ + 4φ 2 = = a 5(φ + 1) φ = a 6 + 9φ. 6 6 Ko namesto φ vstavimo (1+ 5) / 2, dobimo: r = a = a ( ) Izračunajmo sedaj še polmer očrtane krogle (R) pravilnega ikozaedra: R = OAx = (φa) 4 2 a2 + 4 = = a 2 φ2 + 1 = a 2 φ + 2 = = a = a Sedaj lahko po formuli V = 1 Sr izračunamo prostornino pravilnega ikozaedra. 3 V = 5a ( ) = 5a3 12 (3+ 5). S pomočjo mešanega produkta lahko prostornino izračunamo še nekoliko drugače. Ikozaeder razdelimo na dvajset enakih tetraedrov in izračunamo prostornino enega tetraedra. Vzemimo na primer tetraeder OAxDyAy [8]: 0 φ 1 V = 20 1 (OA 6 x, OD y, OA y ) = 10 3 (a 2 )3 1 0 φ = 5a3 (2 12 φ2 ) = 5a3 (2φ + 2) = φ = 5a3 6 ( ) = 5a3 12 (3+ 5). 18
31 4.3. Kot med sosednjima mejnima ploskvama Za izračun kota ϑ med sosednjima mejnima ploskvama ikozaedra potrebujemo najprej težišči sosednjih ploskev. Za trikotnik AxDyAy smo težišče izračunali že zgoraj. Izberimo si torej sosednji trikotnik AxAyAz in poiščimo njegovo središče B. Dobimo: B ( (1+φ)a 6, (1+φ)a, (1+φ)a 6 6 ). Iskani kot ϑ je suplementaren kotu ϑ' med vektorjema OA in OB oziroma kotu med vektorjema a = (0, φ, 1+2φ) in b = (1+ φ, 1 + φ, 1+φ), ki smo ju dobili iz OA in OB s krajšanjem s faktorjem a 6. Torej velja: cos ϑ' = a b a b = 4+7φ = 2φ 1 6+9φ 3 = 5 3. S tem smo dobili cos ϑ = 5 3 ϑ = ' 23''. in približek za kot med sosednjima ploskvama (slika 7) [8]: Slika 7: Izmerjen kot med dvema sosednjima ploskvama v GeoGebri. 19
32 4.4. Graf ikozaedra Med poliedri in teorijo grafov je zelo pomembna povezava. Vsakemu enostavnemu poliedru lahko priredimo graf v ravnini. Najprej si poglejmo definicijo grafa. Definicija Graf G je množica točk v prostoru in povezav med temi točkami. Označimo ga z G = (V, E), pri čemer je V(G) množica točk in E(G) množica povezav grafa G [14]. Graf G je ravninski, če se ga da narisati v ravnini tako, da se povezave ne sekajo, razen v točkah [14]. Primer ravninskega grafa ikozaedra je na sliki 8. Slika 8: Ravninski graf ikozaedra [15] Simetrije ikozaedra Simetrija telesa pomeni preslikavo telesa samega vase, pri čemer je slika enaka originalu. Definicija Grupa simetrij poliedra je množica vseh tistih izometrij prostora, ki ohranjajo polieder. 20
33 Primer simetrije poliedra je zrcaljenje preko točke. Če telo dvakrat prezrcalimo, dobimo zopet prvotno telo. Telesa, za katera obstaja rotacija, ki telo preslika samo vase, so rotacijska telesa [16]. Za poliedre obstaja le 5 sistemov rotacijske simetrije: ciklična, diedrska, tetraedrska, oktaedrska in ikozaedrska. V našem primeru se bomo osredotočili na ikozaedrsko rotacijsko simetrijo [16]. Oglišča ikozaedra si stoje nasproti, šest parov oglišč veže šest osi petega reda. Tudi stranice so razdeljene na nasprotne pare, središči para veže os tretjega reda. Središči nasprotnih robov veže os drugega reda, takih osi je 15. Vseh rotacij, ki ohranjajo ikozaeder, je nazadnje [17]: = 60. Oglejmo si osi rotacij še s slikovnim prikazom: a) 6 osi reda 5, ki potekajo skozi nasprotni oglišči prikazuje slika 9. Slika 9: Prikaz šestih osi rotacijske simetrije skozi nasprotna oglišča. 21
34 b) Eno izmed 10 osi reda 3, ki potekajo skozi središči nasprotnih mejnih ploskev prikazuje slika 10. Slika 10: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih mejnih ploskev. c) Eno izmed 15 osi reda 2, ki potekajo skozi središči nasprotnih robov prikazuje slika 11. Slika 11: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih robov. Poleg rotacijske je ena izmed pomembnejših simetrij tudi zrcalna simetrija. Telo ima zrcalno simetrijo, če obstaja ravnina, ki zrcaljenje preko te ravnine ohranja telo [16]. 22
35 4.6. Ikozaedrska igra Ikozaedrsko igro je izumil William Hamilton, irski matematik ( ). Preden si pogledamo pravila te igre, ponovimo nekaj definicij v zvezi s Hamiltonovimi grafi. Hamiltonova pot Pot v neusmerjenem grafu, pri katerem obiščemo vsako točko danega grafa, vendar začetna in končna točka nista enaki. Hamiltonov cikel Cikel, pri katerem obiščemo vsako točko danega grafa, začetna in končna točka pa je enaka. Graf, ki vsebuje Hamiltonov cikel, imenujemo Hamiltonov graf. Hamilton je za ikozaedrsko igro (imenovano tudi Potovanje okoli sveta) vzel graf dodekaedra (slika 12), ki vsebuje dvajset točk, poimenovanih z začetnicami glavnih mest držav sveta (slika 13). Naloga igralca je, da poišče Hamiltonov cikel, torej obišče vsa mesta, vsako le enkrat, pri čemer potovanje začne in konča v istem mestu [18, 19, 20]. Slika 12: Dodekaeder. 23
36 Slika 13: Graf za igro Potovanje okoli sveta [19]. Hamilton je pokazal, da vedno obstaja tak cikel, ne glede na izbiro prvih petih zaporednih mest (slika 13). Problem je rešil s pomočjo ikozaedrskega računa [19]. Slika 14: Primer Hamiltonovega cikla na grafu dodekaedra. 24
37 5. Zaključek Pravilni ikozaeder in ostali pravilni poliedri niso zanimivi le za matematike, ampak tudi za umetnike. Pravilni ikozaeder je med drugimi upodobil nizozemski umetnik Maurits Cornelis Escher ( ). Prav tako pa je priznani nemški biolog leta 1880 na potovanju popisal več enoceličnih organizmov. Eno izmed njih je poimenoval Circogonia icosahedra, saj ima obliko pravilnega ikozaedra. Mnogi modeli virusov imajo obliko ikozaedra, med njimi tudi model virusa HIV. Spoznavanje pravilnih poliedrov lahko vključimo že v izobraževanje v osnovni šoli. Poleg izdelovanja modelov in ugotavljanja lastnosti omenjenih geometrijskih teles v šoli, se učenci lahko udeležijo delavnic v Hiši poliedrov, ki je namenjena prav temu. V diplomskem delu smo se osredotočili le na pravilen ikozaeder. Možne razširitve bi bile: obravnava ostalih pravilnih in nepravilnih poliedrov, uporaba v šoli, delavnice... 25
38 26
39 6. Literatura [1] Poliedrski kamni [ [2] M. J. Weninger, Polyhedron Models (Cambridge, Cambridge University Press, 1974). [3] Platonova obravnava pravilnih poliedrov [ pdf], [4] Platon, Zbrana dela IV, Država; Timaj; Kritija (Ljubljana, kud Logos, 2009). [5] Logika & razvedrilna matematika, Arhimed, letnik 17, 2007/08, št.3. [6] V. Domajnko, Zvezdni poliedri, Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje, 28 (2), (2000 / 2001). [7] Definicija poliedrov [ [8] M. Razpet, Površine in prostornine pravilnih poliedrov, Presek - list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje, 28 (4), (2000 / 2001). [9] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary geometry (Wiesbaden, AMS, 2005). [10] P. Svetlin: Matematično preiskovanje poliedrov v osnovni šoli, 2012, diplomsko delo. [11] Duali poliedrov [
40 [12] R. A. Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers (London, World Scientific, 2003). [13] Zlati rez skozi zgodovino [ [14] Teorija grafov [ [15] Ravninski graf ikozaedra [file:///c:/users/user/desktop/mat-je-kul-11-marusic.pdf], [16] Simetrija ikozaedra [ [17] F. Križanič, Nihalo, prostor, delci (Ljubljana, Slovenska matica, 1982). [18] Eulerjevi in Hamiltonovi grafi [ [19] K. Zupanc: Problem trgovskega potnika, 2012, diplomsko delo. [20] Hamiltonov problem [
Problem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationROMBSKI POLIEDRI MATEMATIČNA DELAVNICA. Izidor Hafner Darjo Felda
ROMBSKI POLIEDRI MATEMATIČNA DELAVNICA Izidor Hafner Darjo Felda 1. Uvod Po navedbi iz [2] je Kepler delil telesa s skladnimi mejnimi ploskvami na pravilna (platonska) in polpravilna (rombska) telesa.
More informationHipohamiltonovi grafi
Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Fibonaccijevo zaporedje in krožna konstanta
More informationNIKJER-NIČELNI PRETOKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA
More informationReševanje problemov in algoritmi
Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo
More informationLinearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani
Linearna algebra Bojan Orel 07 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5.64(075.8) OREL, Bojan Linearna
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA BLAŽKA RIOSA ZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ BLAŽKA RIOSA Mentor: dr. Matija
More informationEulerjevi in Hamiltonovi grafi
Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC
UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV
More informationMatej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationAna Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja Ana Mlinar Fulereni Delo diplomskega seminarja Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana, 2011 Kazalo 1. Uvod 4 2.
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationFRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski
More information2. Pitagorejska matematika
2. Pitagorejska matematika Zgodovinski okvir Konec drugega tisočletja pred našim štetjem so se ob vzhodnem Mediteranu zgodile velike politične spremembe. Moč Egipta in Babilonije je venela, pojavila so
More informationPOLDIREKTNI PRODUKT GRUP
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationDELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA študijski program: matematika - fizika Elipsa skozi zgodovino DIPLOMSKO DELO Mentor:
More informationSLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević
More informationSIMETRIČNI BICIRKULANTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA GORAZD VASILJEVIĆ SIMETRIČNI BICIRKULANTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo
More informationTEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA
TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationDOMINACIJSKO TEVILO GRAFA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationJernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU
More informationNeli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Neli Blagus Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentorica:
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationHadamardove matrike in misija Mariner 9
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša
More informationTrije klasični problemi grške geometrije
Trije klasični problemi grške geometrije Milan Hladnik Predavanja iz zgodovine matematike FMF, Univerza v Ljubljani 17. oktober 2012 Grčija v 5. stoletju pnš. Perzijci sredi 6. stoletja zasedli Malo Azijo,
More informationMultipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R
Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne
More informationSpoštovani, Vabimo vas tudi na razstavo posvečeno matematiku in umetniku Slaviku Jablanu in na sodelovanje na natečaju Matheme:
Logika & razvedrilna matematika Spoštovani, Pred vami je prva številka. letnika revije L&M. Kot ponavadi, je največji poudarek na nalogah, ki so primerne za tekmovanje iz razvedrilne matematike, logike
More informationGrafi, igre in še kaj
Grafi, igre in še kaj Martin Milanič martin.milanic@upr.si Inštitut Andrej Marušič Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerza na Primorskem, Koper Matematika je kul 2016,
More informationJERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko
. ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO Rok Erman BARVANJA RAVNINSKIH IN SORODNIH DRUŽIN GRAFOV Doktorska disertacija MENTOR: prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana,
More informationENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationTopološki model za brezžična senzorska omrežja
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Jan Terzer Topološki model za brezžična senzorska omrežja DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKA
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ŠTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UČITELJ SMER: FIZIKA -
More informationarxiv: v1 [cs.dm] 21 Dec 2016
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE arxiv:1612.07113v1 [cs.dm] 21 Dec 2016 Zaključna naloga (Final project paper) Odčitljivost digrafov in dvodelnih
More informationDIOFANTSKE ČETVERICE
Fakulteta za aravoslovje i matematiko Oddelek za matematiko i račualištvo Diplomsko delo DIOFANTSKE ČETVERICE Metor: Doc. dr. Daiel Eremita Kadidatka: Jožica Špec Maribor 009 II ZAHVALA Zahvaljujem se
More informationIntervalske Bézierove krivulje in ploskve
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
More informationCălugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik 26.
More informationSIMETRIČNE KOMPONENTE
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,
More informationIzbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij
Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 123.45(678)(9.012.3) Izbrana
More informationTopološka obdelava slik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Matjaž Cerar Topološka obdelava slik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJ RAČUNALNIŠTVA
More informationKode za popravljanje napak
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE KOPER MATEMATIČNE ZNANOSTI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM 2. STOPNJE Aljaž Slivnik Kode za popravljanje napak Magistrska
More informationMETRIČNA GEOMETRIJA V PROSTORU S PROGRAMOM PREZI PRACTICAL GEOMETRY WITH PREZI
Gimnazija Celje Center Danijela Marolt METRIČNA GEOMETRIJA V PROSTORU S PROGRAMOM PREZI PRACTICAL GEOMETRY WITH PREZI Povzetek Metrična geometrija v prostoru je poglavje, ki ga običajno obravnavam pri
More informationrazvedrilna matematika
razvedrilna matematika Triindvajseti letnik, 0-0 azpis za najlepšo poliedrsko jelko Srečno 0! Logika & razvedrilna matematika arvni sudoku V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od do n,
More informationMary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups)
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Matematične znanosti Študijski program 2. stopnje Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi
More informationOPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi
OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih
More informationEvolucija dinamike Zemljine precesije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko oddelek za fiziko Evolucija dinamike Zemljine precesije Avtor: Ivo Krajnik Ljubljana, 15. marec 2011 Povzetek Bistvo tega seminarja je v sklopu klasične
More informationSVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev
Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA. Program: matematika računalništvo FILOTAKSA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA AKULTETA Program: matematika računalništvo ILOTAKSA DIPLOMSKO DELO Mentor: izr. prof. dr. MARKO RAZPET Kandidatka: MOJCA LESKOVEC Ljubljana, junij 2005 POVZETEK: V tem diplomskem
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness
More informationLinearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe
Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,
More informationHiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Teja Bergant
More informationAssessment of surface deformation with simultaneous adjustment with several epochs of leveling networks by using nd relative pedaloid
RMZ - Materials and Geoenvironment, Vol. 53, No. 3, pp. 315-321, 2006 315 Assessment of surface deformation with simultaneous adjustment with several epochs of leveling networks by using nd relative pedaloid
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationAPLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO APLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primož Šparl Kandidat: Luka Jurković Somentor: asist.
More informationIzmenični signali moč (17)
Izenicni_signali_MOC(17c).doc 1/7 8.5.007 Izenični signali oč (17) Zania nas potek trenutne oči v linearne dvopolne (dve zunanji sponki) vezju, kjer je napetost na zunanjih sponkah enaka u = U sin( ωt),
More informationAttempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia
Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued
More informationIzbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov
Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 519.24(082)(0.034.2)
More informationŠtudijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 2 Course title: Mathematics 2 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle
More informationSolutions. Name and surname: Instructions
Uiversity of Ljubljaa, Faculty of Ecoomics Quatitative fiace ad actuarial sciece Probability ad statistics Writte examiatio September 4 th, 217 Name ad surame: Istructios Read the problems carefull before
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Teorija grafov Graph theory Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski študijski program Matematika Master's study
More informationDiskretna matematika 1 / Teorija grafov
Diskretna matematika 1 / Teorija grafov 1. Osnovni pojmi Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani FMF, matematika Finančna matematika Ljubljana, december 2013 / februar 2008 1 / 31 Kazalo 1 2 3 4 5 6 Pajek
More informationUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar - 3. letnik, I. stopnja. Kvantni računalniki. Avtor: Tomaž Čegovnik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar - 3. letnik, I. stopnja Kvantni računalniki Avtor: Tomaž Čegovnik Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, marec 01 Povzetek
More informationPredmet: Seminar Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani MAVRICA Predmet: Seminar 2011 Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Profesorja: dr. Martin Čopič in dr. Igor Poberaj Brežice, 29.4.2011
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski
More informationLinearna regresija. Poglavje 4
Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening
More informationMICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informacije MIDEM 38(2008)4, Ljubljana MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE T. 8elmonte*,
More information10. Začetki infinitezimalnega računa
10. Začetki infinitezimalnega računa Pod infinitezimalnim računom razumemo tako integralski račun, katerega korenine segajo v antiko, kot diferencialni račun, ki je iznajdba 17. stoletja. Začetki modernega
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ.
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Finančna matematika First cycle
More informationKlemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj KEY WORDS
G 2014 V ROTACIJA Z ENOTSKIM KVATERNIONOM GEODETSKI VESTNIK letn. / Vol. 58 št. / No. 2 ROTATION WITH UNIT QUATERNION 58/2 Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj UDK: 512.626.824:528 Klasifikacija prispevka
More informationMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija
More informationAnaliza omrežij Zgradba omrežij:
Univerza v Ljubljani podiplomski študij statistike Analiza omrežij Zgradba omrežij: podomrežja in povezanosti Vladimir Batagelj Anuška Ferligoj Univerza v Ljubljani Ljubljana, 0. in 7. november 2003 izpisano:
More informationKatastrofalno zaporedje okvar v medsebojno odvisnih omrežjih
Katastrofalno zaporedje okvar v medsebojno odvisnih omrežjih Daniel Grošelj Mentor: Prof. Dr. Rudi Podgornik 2. marec 2011 Kazalo 1 Uvod 2 2 Nekaj osnovnih pojmov pri teoriji omrežij 3 2.1 Matrika sosednosti.......................................
More informationRačunalnik iz domin. Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan
Računalnik iz domin Primož Škafar, Maja Šafarič, Nina Sangawa Hmeljak Mentor: Vid Kocijan Povzetek Naša naloga je bila ugotoviti kako sestaviti računalnik (Turingov stroj) iz domin in logičnih izrazov.
More informationTHE TOWNS AND THE TRAFFIC OF THEIR OUTSKIRTS IN SLOVENIA
UDC 911. 37:38(497. 12-201)=20 Marjan Zagar * THE TOWNS AND THE TRAFFIC OF THEIR OUTSKIRTS IN SLOVENIA In the urban policy of the long-term development of SR Slovenia the decision has been made that in
More informationAnaliza oblike in površine stabilograma
Analiza oblike in površine stabilograma France Sevšek, Darja Rugelj UNIVERZA V LJUBLJANI, Visoka šola za zdravstvo, Ljubljana IZVLEČEK Analiza oblike in velikosti področja gibanja projekcije telesnega
More informationZgoščevanje podatkov
Zgoščevanje podatkov Pojem zgoščevanje podatkov vključuje tehnike kodiranja, ki omogočajo skrajšan zapis neke datoteke. Poznan program za zgoščevanje datotek je WinZip. Podatke je smiselno zgostiti v primeru
More information2A skupina zemeljskoalkalijske kovine
1. NALOGA: V ČEM SE RAZLIKUJETA BeO IN MgO? 1. NALOGA: ODGOVOR Elementi 2. periode (od Li do F) se po fizikalnih in kemijskih lastnostih (diagonalne lastnosti) znatno razlikujejo od elementov, ki so v
More informationInterpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1
Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami Emil Žagar 22. november 200 Skriptajevnastajanju,zatojegotovopolnanapak. Hvaleˇzenbomzavse pripombe. Iskanje napak je obenem del učnega procesa pri
More informationCveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK
Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji
More informationIzvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Izvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Zlatan Magajna Kandidatka: Nina Gros
More informationOPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ORGANIZACIJSKE VEDE Smer: organizacijska informatika OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV Mentor: doc. dr. Igor Bernik Kandidat: Matjaž Lipovšek Kranj, december 2005 Izjava: "Študent
More informationUSING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh
Kinesiologia Slovenica, 14, 3, 5 14 (28) Faculty of Sport, University of Ljubljana, ISSN 1318-2269 5 Matej Supej* Milan Čoh USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke (Extremal Distributions for Dependent Variables)
More informationDistance reduction with the use of UDF and Mathematica. Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 54, No. 2, pp. 265-286, 2007 265 Distance reduction with the use of UDF and Mathematica Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
More information