UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ

Transcription

1

2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ

3

4

5 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA študijski program: matematika - fizika Elipsa skozi zgodovino DIPLOMSKO DELO Mentor: izr. prof. dr. Marko Razpet Kandidatka: Dijana Milinković Ljubljana, april 2016

6 Zahvala Zahvaljujem se svojim staršem in sestri za potrpežljivost in spodbudne besede, ne le ob pisanju diplome, temveč tudi v času študija. Hvala za podporo in vaš čas. Velika zahvala gre tudi Mariu, ki me je ves čas motiviral in dokazal, da se vztrajnost na koncu poplača. Vsekakor pa je k mojemu diplomskemu delu doprinesel tudi s svojim znanjem in izkušnjami. Tudi moj mentor in hkrati profesor, dr. Marko Razpet, je v moje diplomsko delo vložil svoj trud in čas, za kar se mu iskreno zahvaljujem. Hvala za Vaše usmeritve in predano znanje, brez česar moj končni izdelek ne bi bil tak, kot je.

7 Povzetek Elipso lahko v našem živem okolju srečamo povsod okoli nas. Že če nagnemo valjasto oblikovan kozarec vode, se na površju izobliči elipsa. S poševnim presekom plastenke na njenem robu izoblikujemo elipso. Pa tudi s svetilko lahko prikažemo elipso, če le-to pod primernim kotom usmerimo na ravno podlago. Iz tega lahko sklepamo, da elipse vidimo vsak dan, le da tega mogoče ne zaznamo tako pogosto. V astronomiji ima elipsa, kot tirnica, po kateri se gibljejo planeti, ključno vlogo. Vse bolj pa obliko elipse vpeljujemo skozi moderno oblikovano pohištvo, zgradbe... V diplomskem delu sem predstavila elipso od njenega začetka kot slučajno odkrito krivuljo pri iskanju rešitve znamenitega matematičnega problema - podvojitve kocke. Nato sem preko Apolonija iz Perge, Keplerja, Lissajousa, Cassinija in drugih znanih in cenjenih geometrov, filozofov in astronomov izpostavila najpomembnejše lastnosti elipse. Zanimivo pa je, da lahko elipso pridobimo tako s presekom stožca kot tudi valja, zato je elipsa poseben primer stožnice. Ključne besede: elipsa, zgodovina, stožnice, Apolonij iz Perga, astronomija, stožnice MSC (2010): 01A20, 01A30, 01A40, 01A45, 51N20, 53A04, 78A10, 85A04

8 Abstract We encounter ellipse everywhere around us. It is enough to lean a cylindrical glass of water to see an ellipse, shaped on the surface. With cross section of a plastic bottle we form an ellipse on the bottle s surface. The other way to show/ illustrate an ellipse is to shine a flashlight at a straight wall under a suitable angle. All of this makes us realize that ellipse is a curve that we encounter every day but are unaware of its existence. In astronomy, an ellipse as orbit of planets, has a key role. And there is an increased use of ellipse and elliptic shapes in architecture and interior design. In my diploma thesis I write about ellipse from its start as an accidentally discovered curve while solving a famous mathematical problem doubling the cube. I then pointed out some of the ellipses most important properties through Apollonius of Perga, Kepler, Lissajous, Cassini and other famous and respected geometers, philosophers and astronomers. What is interesting is that although ellipse is obtained from a cone as well as from a cylinder, it is called a conic. Keywords: ellipse, history, conic sections, Apollonius of Perga, astronomy, conics MSC (2010): 01A20, 01A30, 01A40, 01A45, 51N20, 53A04, 78A10, 85A04

9 Kazalo vsebine Seznam slik vii 1. Uvod 1 2. Zgodovina stožnic Začetki študija stožnic v antični Grčiji Menajhmos Evklid Arhimed Apolonij iz Perge Kepler Descartes Cassini Lissajous Definicije elipse Analitična definicija Geometrijska definicija Definicija s pomočjo vodilkine lastnosti Enačba elipse Kanonična oblika Polarna oblika v

10 vi Kazalo vsebine 4.3 Elipsa kot presek valja Konstrukcije elipse Konstrukcija po analitični definiciji Konstrukcija po geometrijski definiciji Geometrijska (vrtnarska) konstrukcija Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (krožnimi loki) Lastnosti elipse Obseg elipse Ploščina elipse Evoluta elipse Konjugirani diametri Tangente elipse Enačba tangente na elipso Konstrukcija Elipse v vesolju Eliptične galaksije Zaključek 69 Literatura 70

11 Seznam slik 2.1 Zgodovinske konstrukcije stožnic Premer in tetive elipse, ki so vzporedne konjugiranemu premeru Apolonij iz Perge Tangenta na elipso Stožnice Pravi Cassinijev oval (c/d < 1/ 2) Stisnjen Cassinijev oval (1/ 2 < c/d < 1) Bernoullijeva lemniskata (c/d = 1) Dvodelna Cassinijeva jajčnica (c/d > 1) Cassinijeva jajčnica Daljica: φ 2 φ 1 = Elipsa: φ 2 φ 1 = π/ Krožnica: φ 2 φ 1 = π/ Elipsa: φ 2 φ 1 = 3π/ Daljica: φ 2 φ 1 = π Elipsa kot skrčenje krožnice Elipsa po geometrijski definiciji Vodilkina lastnost elipse Elipsa K izpeljavi polarne oblike elipse Elipsa kot presek valja vii

12 viii Seznam slik 4.3 Elipsa kot presek valja z vpeljavo novega koordinatnega sistema Določanje točke elipse s pomočjo dveh krožnic Konstrukcija elipse s pomočjo male in velike krožnice Geometrijska konstrukcija elipse Vrtnarska konstrukcija elipse Konstrukcija elipse s pritisnjenimi krogi Izpeljava krivinskega polmera R B s pomočjo podobnih trikotnikov Izpeljava krivinskega polmera R B s pomočjo podobnih trikotnikov Povezava med ploščino elipse in ploščino kroga Določanje ploščine elipse s prilegajočimi večkotniki Arhimedov način določanja ploščine elipse Določanje ploščine elipse Trikotnik v elipsi Evoluta elipse Evoluta elipse s pogojem a > 2b Evoluta elipse s pogojem b < a < 2b Evoluta elipse s pogojem a = 2b Dokazovanje Apolonijevih izrekov na elipsi Odbojna lastnost elipse Konstrukcija tangente na elipso preko simetrale kota Konstrukcija tangente na elipso preko krožnice Razporeditev oblik galaksij po Hubble-u

13 1. Uvod Elipsa se pojavlja v umetnosti, astronomiji, fiziki, matematiki... Sama pred poznavanjem te matematične figure nisem opazila, da jo je vse polno okoli nas. Mojo pozornost je pritegnila pri pouku umetnosti, kjer se velikokrat pojavlja. Gotovo je vsem dobro znan rimski Kolosej, ki spada med sedem svetovnih čudes. Pa trg Svetega Petra v Rimu z eliptično oblikovanim prostorom, ki ga obdajajo dorski stebri. V središču te elipse pa se nahaja obelisk. Tudi moderna arhitektura ne zaostaja. Veličasten in zelo znan je stadion Maracana v Riu de Janeiru, ki je nekaj časa nosil tudi titulo največjega stadiona na svetu. Ima eliptično oblikovano tako travnato igrišče kot tudi streho oziroma odprtino v strehi. Če prosimo otroke, da nam narišejo Batmanov simbol oziroma znak, bo večina otrok znala narisati elipso z netopirjem v notranjosti. Verjetno pa ne bo nihče znal povedati, kaj ta krivulja je. Danes imamo elipso za samoumevno in kljub temu, da je del našega vsakdana, je le malokomu poznana. Torej, zakaj ne bi to zanimivo krivuljo malo bolje preučili. Pogledali bomo, kje se je prvič pojavila in kako se je razvijala do danes. 1

14 2. Zgodovina stožnic 2.1 Začetki študija stožnic v antični Grčiji Začetke študija stožnic postavljamo v leta okoli pr. n. št. Tej temi je posvečen velik del grške geometrije. Stožnice ali stožernice so krivulje drugega reda, ki so bile odkrite naključno pri iskanju rešitve delskega problema oziroma problema podvojitve kocke. Vse naj bi se začelo, ko je delsko preročišče svetovalo ljudem, da oltar v obliki kocke, posvečen bogu Apolonu, povečajo, natančneje podvojijo. Le tako naj bi namreč zaustavili kugo, ki je morila okoli. Že Demokrit je sicer pisal o krogih, ki jih dobimo, če stožec ali valj presekamo z ravnino vzporedno osnovni ploskvi. Pojavila so se ugibanja, da so Grki, sicer dobri opazovalci, bili priča prečnemu presekanju nekega valjastega ali stožčastega objekta v realnem življenju. Kot presek bi med drugim lahko dobili elipso, kar bi vodilo v nadaljnje raziskovanje te in drugih krivulj, predvsem stožnic. [1] [4] 2.2 Menajhmos Ker je bilo treba volumen kockastega oltarja podvojiti, so morali vsak njegov rob povečati za faktor 3 2. Problem se je pojavil, ker tega števila samo z neoznačenim ravnilom in šestilom (to so takrat uporabljali) ni bilo možno konstruirati. Menajhmos ( pr. n. št.) je bil grški geometer, ki je nadaljeval Hipokratovo delo. Hipokrat iz Hiosa ( pr. n. št.) je, sicer pri reševanju drugih matematičnih problemov, prišel na idejo, da moramo za podvojitev kocke poiskati taka x in y, velikosti med a in b, da velja: a : x = x : y = y : b, pri čemer je b = 2a. 2

15 2.3 Evklid 3 Če iz teh razmerij zapišemo sistem enačb, dobimo: 1. a x = x y 2. x y = y 2a = x2 = ay = y2 = 2ax 3. a x = y 2a = xy = 2a2 Vidimo, da druga enačba spominja na enačbo parabole. Hipokratu pa še vseeno, kljub trudu in preračunavanju, to ni prineslo končne rešitve. Menajhmos se je problema lotil malo drugače in za rešitev dobil parabolo in pravokotno hiperbolo, do takrat še neznani krivulji. Natančneje je za rešitev dobil presek parabole in pravokotne hiperbole ter presek dveh parabol. Ni sicer znano, kako je sploh prišel na to idejo. Vendar je zahvaljujoč delskemu problemu prišel do odkritja treh krivulj (elipse, hiperbole in parabole), ki jih je dobil s prerezom stožca. Od tu pa tudi ime za te krivulje, stožnice. Eratosten jih je poimenoval kar Menajhmova triada. Imena stožnic, kot jih poznamo danes, pa so le-te dobile pozneje. Sledilo je intenzivno raziskovanje stožnic. [1] 2.3 Evklid Stari Grki so stožec definirali kot ploskev, ki jo opiše pravokotni trikotnik, ko ga zavrtimo okoli ene od katet. Na začetku so poznali le pokončne stožce. Med temi so, glede na kot pri vrhu stožca, ločili pravokotni, ostrokotni in topokotni stožec. Če so te različne stožce nato presekali z ravnino, pravokotno na stranico stožca, so dobili različne stožnice. Na podlagi tega so jih potem tudi poimenovali. Za elipso so uporabljali ime presek ostrokotnega stožca, parabola je bila presek pravokotnega stožca in hiperbola presek topokotnega stožca. To vse je opisal Evklid ( pr. n. št.), grški matematik, v svojih štirih knjigah Stožnice, kjer je zbral in uredil, kar je bilo do tedaj znanega o geometriji stožnic. Le-te so žal izgubljene oziroma ohranjene le skozi nekatere prevode in navedbe drugih grških matematikov. Tudi sicer pa je Evklid zelo znan po svojem delu Elementi, ki šteje 13 knjig in predstavlja osnovo celotne geometrije. To je hkrati, poleg Biblije, največkrat prevedeno delo. [1] [9]

16 4 Zgodovina stožnic O stožnicah je pisal tudi Aristej ( pr. n. št.), Evklidov sodobnik. Čeprav naj bi bilo Aristejevo delo (pet knjig) bolj specializirano in nekaj drugačnega, se je Apolonij iz Perge pri svojem raziskovanju bolj opiral na Evklida. Apolonijevo raziskovanje in delo naj bi bilo namreč bolj skladno z Evklidovim. [1] Treba je povedati, da je veliko del grških matematikov in filozofov izgubljenih, tako da so pozneje pisatelji njihova dela poskušali reproducirati iz raznih prevedenih del ter iz komentarjev na njihova dela. Slika 2.1: Zgodovinske konstrukcije stožnic 2.4 Arhimed Arhimed ( pr. n. št.), najbolj znani antični matematik, je večino splošnih lastnosti stožnic, sicer brez dokazov, prevzel od Evklida. Arhimed je glavni osi v elipsi poimenoval diametra, večji in manjši. Diametru običajno rečemo premer. V elipsi danes imenujemo premer vsako tetivo, ki poteka skozi središče. Za razliko od kroga imamo pri elipsi različno dolge premere.

17 2.4 Arhimed 5 Navedimo nekaj lastnosti, ki jih je Arhimed pripisal elipsi. 1. Poltrak, ki poteka iz središča elipse skozi dotikališče katerekoli tangente na elipso, razpolavlja vse tetive, vzporedne tej tangenti. 2. Tangenti v krajiščih enega od obeh konjugiranih premerov 1 elipse sta vzporedni drugemu (konjugiranemu) premeru. 3. Če stožec, pokončni ali poševni, presekamo z ravnino, ki seka vse njegove tvorilke 2, dobimo za presek krog ali elipso. [1] [9] [5] [6] Slika 2.2: Premer in tetive elipse, ki so vzporedne konjugiranemu premeru Tako Evklid kot Arhimed sta se držala metode, s katero tri različne stožnice dobimo s preseki treh različnih stožcev. Oba sta se sicer zavedala, da lahko stožnice dobimo tudi z drugačnimi preseki, vendar tega nista raziskovala. Apolonij ( pr. n. št) pa je bil tisti, ki je utemeljil teorijo, da je vsako stožnico mogoče dobiti na enostaven način, s presekom kakršnega koli dvojnega stožca. [1] 1 Konjugirana premera sta premera kroga, elipse ali hiperbole, od katerih en premer razpolavlja drugemu vse vzporedne tetive. 2 Premica ali krivulja, ki s svojim gibanjem oblikuje ali opiše lik, ploskev.

18 6 Zgodovina stožnic 2.5 Apolonij iz Perge Slika 2.3: Apolonij iz Perge O njegovem življenju vemo bolj malo. Rodil se je v Pergi v Pamfiliji (današnja Antalija, Turčija) ok. leta 260 pr. n. št. Precej mlad je odšel študirat v Aleksandrijo, kjer se je učil z Evklidovimi nasledniki. Uspeh je doživel v času vladanja Ptolemaja Evergeta (vladal od pr. n. št.). Apolonij je znan kot geometer, malo manj pa kot astronom. Objavil je osem knjig pod imenom O stožnicah. Četrto in vse naslednje je posvetil kralju Atalu I. ( pr. n. št.), prvi dve pa Evdemu iz Pergamona. Po izidu Apolonijevih Stožnic so ga ostali avtorji pri obravnavi stožnic redno citirali. Nekaj matematikov je napisalo tudi komentar na njegovo delo. [1] Prve štiri knjige, ki naj bi bile dopolnitev Evklidovih štirih knjig, so se ohranile v grščini in naj bi bile priročniki o stožnicah, ki so zajemali definicije in temeljne trditve. Te so bile namenjene bolj splošni rabi. Na začetku je Apolonij splošno opisal stožec. Definiral je posamezne komponente stožca. Opisal je, kako iz stožca dobimo stožnice in krog ter definiral geometrijske elemente, ki jih lahko pripišemo stožnicam (tangente, asimptote, normale... ). Apolonij je lastnosti stožnic opisoval s pomočjo diametra. Šele pozneje je stožnice definiral s pomočjo (glavnih) osi.

19 2.5 Apolonij iz Perge 7 Peta, šesta in sedma knjiga pa so se ohranile v arabščini (prevedla sta jo brata Ahmad in al-hasan), medtem ko se je osma izgubila. Te knjige so bolj specializirane. [1] Apolonij je v svojem delu o stožnicah zapisal takole: Če se poljubno dolga premica, ki poteka skozi fiksno točko, giblje po obodu kroga, opiše ravno plašč dvojnega stožca. Na ta način je definiral stožec. Za razliko od predhodnikov, ki so za definiranje stožnic uporabljali en stožec, je Apolonij stožnice dobil s presekom poševnega dvojnega stožca, ki se razteza v neskončnost v obe smeri. Posledično je bila hiperbola po novem sestavljena iz dveh vej. Tako jo poznamo še danes. [1] Tu je le nekaj Apolonijevih pomembnejših ugotovitev o stožnicah oziroma elipsah: 1. Latus rectum je daljica, s pomočjo katere je Apolonij definiral in ločil stožnice. Zaradi različni presekov stožca lahko skonstruiramo različno velike pravokotnike, katerih ploščina ustreza kvadratu ordinate, eno od stranic pa predstavlja latus rectum. 2. Premer je ravna črta (danes bi jo definirali kot daljico), ki razpolavlja vsak niz vzporednih tetiv stožnice. 3. Konjugirana premera sta premera, od katerih vsak razpolavlja tetive, vzporedne drugemu premeru. 4. Poleg premera je definiral tudi osi stožnic, v elipsi pa celo veliko in malo os. Za glavni osi je vzel par ekstremno dolgih konjugiranih premerov. 5. S pomočjo konjugiranih premerov je definiral tudi tangento, in sicer kot premico t, ki poteka skozi krajišče premera elipse in je hkrati vzporedna njenemu konjugiranemu premeru. Oziroma, če se bo premica t dotikala elipse v eni sami točki in med elipso in to premico ne bo mogla priti nobena druga premica, bo premica t tangenta na elipso. 6. Normala je premica skozi poljubno točko krivulje in je pravokotna na tangento v tej točki.

20 8 Zgodovina stožnic 7. Apolonij je bil prvi, ki je definiral osni trikotnik oziroma trikotnik, ki ga dobimo, če stožec presekamo z ravnino, pravokotno na osnovno ploskev. Danes temu pravimo osni presek stožca. [1] [20] Apolonij se je preko tangente elipse navezal tudi na optiko in optične lastnosti elipse. In sicer v delu O zažigajočih zrcalih, ki se je žal ohranilo zgolj skozi navedbe v delih drugih piscev in filozofov. Predvsem Diokles ( pr. n. št.), grški matematik, se je pri dokazovanju navezoval na Apolonija. Apolonij je ugotovil, da se žarek, ki ga pošljemo skozi gorišče eliptično oblikovanega zrcala, odbije v drugo gorišče elipse. Od tod bi lahko prišlo ime gorišče točka, v kateri gori. Obstajajo zapisi, ki pričajo o tem, da naj bi Arhimed prav s pomočjo zrcal požgal nasprotnikove ladje. Kar je sicer možno z večjim številom in ustrezno postavitvijo zrcal. Njegovo idejo je nadaljeval Apolonij, toda s sferičnim in nato paraboličnim zrcalom. [1] [13] To žariščno lastnost elipse lahko izkoristimo še na druge načine. Če imamo na primer eliptično oblikovano biljardno mizo in pošljemo žogico skozi eno od gorišč v katerokoli smer, se bo žogica odbila in šla čez drugo gorišče. Če na tem mestu naredimo luknjo, pa bo žogica pristala notri. Seveda moramo pri tem upoštevati še določene fizikalne pojave, kot so trenje, primerna hitrost... Enako velja za infrardeče, toplotne, zvočne valove... Predvsem za slednje lahko to enostavno preverimo. Namreč, v prostorih z eliptičnim tlorisom ali obokom slišimo šepetanje osebe, če ta stoji v enem, mi pa v drugem gorišču. [7] Ker je elipsa krivulja, moramo ta odboj obravnavati kot odboj na tangenti elipse. Dokazali bomo odbojno lastnost elipse, natančneje, da poltraka, ki potekata skozi gorišči do poljubne točke elipse, oklepata s tangento elipse enaka kota. Naj bo t tangenta na elipso v točki P in naj velja F 1 P + F 2 P = 2a. Ker je t tangenta na elipso, to pomeni, da N (N P ) leži izven elipse in za vsako točko N velja F 1 N + F 2 N > 2a. Naj bo R točka, ki jo dobimo pri zrcaljenju točke F 2 čez tangento. Vemo, da zrcaljenje ohranja velikosti kotov in razdalje, zato velja, da sta kota F 2 P N in RP N skladna in F 2 P = RP ter F 2 N = RN. Sedaj moramo še dokazati, da točka P res leži na daljici F 1 R.

21 2.5 Apolonij iz Perge 9 To storimo tako, da pokažemo, da je pot od F 1 do R najkrajša, če gre čez točko P. F 1 P + P R = F 1 P + F 2 P = 2a < F 1 N + F 2 N = F 1 N + NR. Slika 2.4: Tangenta na elipso Tako iz slike kot iz zgornje enačbe oziroma neenačbe vidimo, da P res leži na daljici F 1 R. Kota F 1 P Q in RP N sta sovršna. Kot smo že prej rekli, sta tudi kota F 2 P N in RP N skladna, torej velja F 2 P N = F 1 P Q. Torej smo dokazali, da sta kota pod tangento elipse skladna. [8] [14] Lastnosti stožnic, ki jih je Apolonij opisal v svoji knjigi, bi danes s kartezičnimi koordinatami zapisali sledeče: y 2 = px y 2 = px + p d x2 y 2 = px p d x2 parabola (paraboλe), hiperbola (hyperbole), elipsa (elleipsis), pri čemer je d diameter oziroma premer, p pa parameter.

22 10 Zgodovina stožnic Grki so vse matematične enačbe in probleme reševali s pomočjo geometrije in niso uspeli priti do tega, da bi to storili s samimi enačbami. Težava je bila v tem, da so enačbe zapisovali z besedami, saj s simboli še niso operirali. Tako na primer pri Apoloniju najdemo enačbo dolgo tudi celo stran. Apolonij je na podlagi razmerij med stranicami stožca, stožnice, daljicami, nastalimi s presekom z ravnino... prišel do končne enačbe. Le-ta nam pove, da je kvadrat ordinate stožnice enak ploščini pravokotnika (ena od njegovih stranic je abscisa stožnice). Apolonij je nato ta pravokotnik primerjal z pravokotnikom drugih stožnic. Pa tudi iz zgornjih enačb je razvidno, da pri elipsi od stožnic skupnega px nekaj odštejemo, medtem ko pri hiperboli prištejemo. Od tu izvirajo imena, ki jih je Apolonij dal stožnicam in jih uporabljamo še danes. Parabola pomeni, da se prilega (torej sta pravokotnika skladna), hiperbola pomeni presega, elipsa pa da ne dosega. [1] Na spodnji sliki lahko vidimo, kako je Apolonij dobil posamične stožnice. Slika 2.5: Stožnice 2.6 Kepler Johannes Kepler ( ) se je rodil v Weid-der-Stadtu, manjšem mestu blizu Stuttgarta v Nemčiji. Študiral je na univerzi v Tübingenu, kjer se je seznanil s Kopernikovo teorijo o heliocentričnem sistemu. Nekaj časa je poučeval matematiko na protestantski šoli v Gradcu. Pozneje pa se je lotil preučevanja Kopernikove

23 2.7 Descartes 11 teorije, ki jo je želel dopolniti oziroma popraviti. S tem namenom se je pridružil Tychu Braheju pri astronomskem opazovanju. Nikolaj Kopernik ( ) je utemeljil heliocentrični sistem, ki v središče vesolja ni postavljala več Zemlje, temveč Sonce in s tem povzročil pravi preobrat v astronomiji. Kepler je to priznaval. Na podlagi Kopernikovih ugotovitev in Brahejevih opazovanj je Kepler leta 1609 postavil novo heliocentrično teorijo. Kepler se je nadvse trudil dokazati, da so tirnice gibanja planetov popolne lepe krožnice, a so vsi izračuni in opazovanja kazali drugače. Tako je Kepler, tudi na podlagi poznavanja Apolonijevih stožnic, prišel do ugotovitve, da se planeti okoli Sonca gibljejo po elipsi. To in še dve njegovi najpomembnejši ugotovitvi danes poznamo pod imenom Keplerjevi zakoni. [2] [3] [7] 1. Planeti se okoli Sonca gibljejo po eliptični tirnici, pri čemer je Sonce v enem od gorišč te elipse. 2. Zveznica med planetom in Soncem opiše v enakih časovnih intervalih enake ploščine. 3. Razmerja kvadratov obhodih časov posameznih planetov in kubov velikih osi elipse so konstantna. To lahko zapišemo tudi tako: T 2 /a 3 = konst. [8] [9] Čeprav je Apolonij v svojem raziskovanju stožnic gorišče ali fokus zanemaril, je Kepler uvidel, da je le-ta pomemben element elipse pri njeni definiciji. Kepler je bil tako prvi, ki je po starodavnih Grkih z idejo o gibanju planetov po elipsi ponovno obudil starogrško znanje o stožnicah. Leta 1604 je uvedel besedo fokus, ki je povezala geometrijsko in astronomsko ozadje elipse. [3] [7] 2.7 Descartes Kar ni uspelo starim Grkom, je okoli leta 1630 Renéju Descartesu ( ) in Pierru de Fermatu ( ). Sicer nista sodelovala, a sta prišla do podobnih ugotovitev in rezultatov. Medtem ko se je Fermat osredotočil na enačbe krivulj, pa je Descartes dal večji poudarek koordinatnem sistemu in enačbe uporabil le

24 12 Zgodovina stožnic kot pripomoček pri študiju krivulj. Oba pa štejemo za začetnika analitične geometrije. Fermat je poskusil Apolonijevo geometrijsko analizo stožnic zamenjati z algebraično verzijo. Apolonijeve dolge opise lastnosti in dokazov je želel predelati v preglednejše in krajše enačbe. Descartes pa naj bi bil tisti, ki je prvi zapisal enačbo elipse v algebraični obliki. Sicer ta enačba ni bila enaka današnji, je bila pa dober približek. Pappus pa naj bi bil tisti, ki je zapisal prvo definicijo elipse. Le-to pa je zasnoval na lastnosti gorišča in vodilke. Pappus ni bil prvi, ki je prišel na idejo te definicije, je pa bil prvi, ki je elipso tako definiral in to tudi dokazal. [2] [11] 2.8 Cassini Jean-Dominique ali Giovanni Domenico Cassini ( ), znani astronom, je zavračal tako Newtonovo gravitacijsko teorijo, kot tudi Keplerjevo idejo o eliptičnih tirnicah v vesolju. Namesto tega je leta 1680 za orbite planetov postavil novo krivuljo oval, ki jo poznamo tudi pod imenom Cassinijeva jajčnica. Cassinijev oval je definiran kot geometrijsko mesto vseh tistih točk P, katerih produkt razdalj od dveh izbranih točk (gorišč) je konstanten. To zapišemo kot: F 1 P F 2 P = d 2. (2.1) Krivuljo postavimo v pravokotni kartezični koordinatni sistem tako, da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0). Tudi tej krivulji, tako kot elipsi, pripišemo goriščno razdaljo, ki jo označimo z 2c. V bistvu gre za krivuljo, zelo podobno elipsi, le da je, kot že samo ime pove, ta bolj ovalne oblike. Oblika Cassinijeve krivulje je odvisna od parametrov c in d. Pri tem velja c > 0 in d > 0. Njena enačba je ((x c) 2 + y 2 ) ((x + c) 2 + y 2 ) = d 4, (2.2) kar lahko drugače zapišemo kot (x 2 + y 2 + c 2 ) 2 4c 2 x 2 = d 4. (2.3)

25 2.8 Cassini 13 Če želimo to enačbo zapisati še v polarni obliki, moramo upoštevati naslednje: x = r cos φ, y = r sin φ, x 2 + y 2 = r 2. Zgornjo enačbo lahko potem zapišemo kot Malo poračunamo: (r 2 + c 2 ) 2 4c 2 r 2 cos 2 φ = d 4. (2.4) r 4 + 2c 2 r 2 + c 4 4c 2 r 2 cos 2 φ = d 4, r 4 + 2c 2 r 2 (1 2 cos 2 φ) + (c 4 d 4 ) = 0. Ker vemo, da je 2 cos 2 φ 1 = cos 2φ, lahko zapišemo: r 4 2c 2 r 2 cos 2 2φ + (c 4 d 4 ) = 0. (2.5) Enačba je kvadratna za neznanko r 2. Za rešitev te enačbe dobimo Torej je r1,2 2 = 2c2 cos 2φ ± 4c 4 cos 2 2φ 4(c 4 d 4 ). 2 r1,2 2 = c 2 cos 2φ ± c 4 cos 2 2φ (c 4 d 4 ). (2.6) [15] [11] Oblike Cassinijeve jajčnice so različne in odvisne od razmerja c/d, kar je razvidno tudi na spodnjih slikah.

26 14 Zgodovina stožnic Slika 2.6: Pravi Cassinijev oval (c/d < 1/ 2) Slika 2.7: Stisnjen Cassinijev oval (1/ 2 < c/d < 1)

27 2.8 Cassini 15 Slika 2.8: Bernoullijeva lemniskata (c/d = 1) Slika 2.9: Dvodelna Cassinijeva jajčnica (c/d > 1) Konstrukcije temeljijo na dejstvu, da je produkt razdalj gorišč elipse od njene tangente konstanten, in sicer je enak kvadratu male polosi elipse. To prikazuje spodnja slika. [21]

28 16 Zgodovina stožnic 2.9 Lissajous Slika 2.10: Cassinijeva jajčnica Jules Antoine Lissajous ( ) je znan po posebnih vzorcih oziroma krivuljah, ki nastanejo pri dveh harmonskih nihanjih, ki izhajata iz dveh med seboj pravokotnih smeri. Lissajous je bil profesor fizike. Preučeval je nihanje in zvok. Leta 1855 je zasnoval preprosto optično napravo za preučevanje sestavljenih nihanj oziroma valovanj. To je bil tudi predhodnik današnjega osciloskopa. Na vsakega od izvorov valovanja (na primer na glasbene vilice) je pritrdil malo zrcalo in usmeril žarek svetlobe na enega od zrcal. Žarek se je najprej odbil na drugo zrcalo in nato na zaslon, kjer se je izrisal dvodimenzionalni vzorec. Tako so lahko s prostim očesom videli valovanje. Zahvaljujoč Lissajousu so tako prvič lahko zvok tudi videli in ne le slišali. Vsako enostavno nihanje lahko predstavimo kot sinusno. Vzemimo, da sta a in b amplitudi, ω 1 in ω 2 naj bosta krožni frekvenci, φ 1 in φ 2 fazi in t čas. Potem velja: x = a sin(ω 1 t + φ 1 ), y = b sin(ω 2 t + φ 2 ), (2.7) pri čemer sta x in y koordinati točke T, ki opisuje krivuljo sestavljenega nihanja. Parametri a, b, ω 1, ω 2, φ 1 in φ 2 so vnaprej izbrani, čas pa teče. V primeru, ko je ω 1 = ω 2, velja

29 2.9 Lissajous 17 x = a sin(ωt + φ 1 ), y = b sin(ωt + φ 2 ) (2.8) in dobimo pet različnih krivulj. Nas bo zanimal predvsem primer, ko je fazna razlika π/2. Takrat namreč dobimo: x = a sin ωt, y = b sin(ωt + π/2) = b cos ωt. Če obe enačbi potem še kvadriramo in nato delimo prvo z a 2, drugo pa z b 2, po seštetju teh dobimo: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. To je enačba elipse. V primeru, da je še a = b, dobimo krožnico. Z malo računanja pa odkrijemo še eno vmesno krivuljo. S pomočjo adicijskega izreka razširimo enačbo (2.8): x = a sin(ωt + φ 1 ) = a sin ωt cos φ 1 + a sin φ 1 cos ωt, y = b sin(ωt + φ 2 ) = b sin ωt cos φ 2 + b sin φ 2 cos ωt. Iz tega izpeljemo sin ωt = x a sin φ 1 y b sin φ 2, cos ωt = ab sin(φ 2 φ 1 ) a cos φ 1 x b cos φ 2 y ab sin(φ 2 φ 1 ). Če zgornja izraza za sin ωt in cos ωt vstavimo v dobro znano enačbo 1 = sin 2 ωt + cos 2 ωt, dobimo 1 = 1 a 2 b 2 sin 2 (φ 1 φ 2 ) x a sin φ 1 y b sin φ a cos φ 1 b cos φ 2 x 2, y pri tem pa φ 1 φ 2 kπ, k Z.

30 18 Zgodovina stožnic Preoblikujemo zgornjo enačbo in dobimo a 2 b 2 sin 2 x a sin φ 1 (φ 1 φ 2 ) = y b sin φ a cos φ 1 b cos φ 2 x y 2. Rešimo determinanti in dobimo (bx sin φ 2 ay sin φ 1 ) 2 + (ay cos φ 1 bx cos φ 2 ) 2 = a 2 b 2 sin 2 (φ 1 φ 2 ). Po kvadriranju sledi b 2 x 2 sin 2 φ 2 abxy sin φ 2 sin φ 1 + a 2 y 2 sin 2 φ 1 + a 2 y 2 cos 2 φ 1 abxy cos φ 1 cos φ 2 + b 2 x 2 cos 2 φ 2 = a 2 b 2 sin 2 (φ 1 φ 2 ).

31 2.9 Lissajous 19 Poenostavimo: b 2 x 2 + a 2 y 2 2abxy cos(φ 1 φ 2 ) = a 2 b 2 sin 2 (φ 1 φ 2 ). Če je Sledi: Izrazimo y: φ 1 φ 2 = kπ, k Z = b 2 x 2 + a 2 y 2 ± 2abxy = 0. (bx ± ay) 2 = 0. y = ± b x. (2.9) a Za rešitev dobimo premico, ki ima glede na fazno razliko lahko pozitiven ali negativen naklon. Če bi torej opazovali dve sinusni nihanji z enakima kotnima frekvencama in spreminjali fazi, bi na osciloskopu v nekem trenutku videli nagnjeno elipso, ki s spreminjanjem fazne razlike preide v poševno premico y = ±bx/a, ki bi ji lahko rekli izrojena elipsa. Ko se fazna razlika potem veča, se premica, natančneje daljica, pretvarja nazaj v elipso. To se ves čas ponavlja, le smer se menja. V primeru, da sta poleg frekvence enaki tudi amplitudi nihanj, pa kot že prej rečeno, lahko na osciloskopu vmes opazimo tudi krožnico. Te primere lahko vidimo na spodnjih slikah. [16]

32 20 Zgodovina stožnic Slika 2.11: Daljica: φ 2 φ 1 = 0 Slika 2.12: Elipsa: φ 2 φ 1 = π/4

33 2.9 Lissajous 21 Slika 2.13: Krožnica: φ 2 φ 1 = π/2 Slika 2.14: Elipsa: φ 2 φ 1 = 3π/4

34 22 Zgodovina stožnic Slika 2.15: Daljica: φ 2 φ 1 = π

35 3. Definicije elipse 3.1 Analitična definicija Analitična definicija pravi, da je elipsa krivulja, ki jo dobimo, če krožnico x 2 +y 2 = a 2 raztegnemo za faktor b/a vzdolž smeri y. V naši enačbi velja b < a, pri čemer a predstavlja veliko, b pa malo polos elipse. Iz spodnje slike je razvidno, da je dobljena krivulja simetrična glede na osi x in y ter glede na koordinatno izhodišče. Enačbo elipse lahko izpeljemo na dva načina. [17] Slika 3.1: Elipsa kot skrčenje krožnice 23

36 24 Definicije elipse 3.2 Geometrijska definicija Elipsa je množica vseh tistih točk v ravnini, za katere je vsota razdalj od dveh izbranih točk F 1 in F 2 konstantna (enaka 2a). Ti dve točki imenujemo gorišči elipse. Po definiciji torej velja, da točka T leži na elipsi, če je T F 1 + T F 2 = 2a. To lahko zapišemo tudi kot: r 1 + r 2 = 2a, (3.1) pri čemer je 2a velika os elipse, r 1 = T F 1, r 2 = T F 2. Oblika elipse je odvisna od razdalje med goriščema F 1 in F 2 in od vrednosti 2a. V primeru, da je F 1 = F 2, je elipsa krožnica. Oznake elipse: Slika 3.2: Elipsa po geometrijski definiciji 1. središče S 2. gorišči (žarišči ali fokusa) F 1, F 2 3. glavni temeni A, B 4. stranski temeni C, D 5. velika os AB = 2a

37 3.3 Definicija s pomočjo vodilkine lastnosti mala os CD = 2b 7. veliki polosi SA = SB = a 8. mali polosi SC = SD = b 9. prevodnici ali radijvektorja F 1 T = r 1, F 2 T = r linearna ekscentričnost SF 1 = SF 2 = e 11. numerična ekscentričnost e a = ε [17] [18] 3.3 Definicija s pomočjo vodilkine lastnosti Kot je bilo že prej omenjeno, je Pappus definiral elipso na nov način. In sicer je zapisal, da je elipsa množica vseh točk P, za katere je razmerje med oddaljenostjo od gorišča in oddaljenostjo od fiksne premice (direktrise oziroma vodilke) enako ε, pri čemer je 0 ε < 1. Slika 3.3: Vodilkina lastnost elipse To bi matematično zapisali kot

38 26 Definicije elipse [10] r 1 d 1 = r 2 d 2 = = r d = ε. (3.2) Do te ugotovitve je prišel s pomočjo razmerij. Poglejmo, kako nam je ta Pappusova ugotovitev v pomoč pri iskanju enačbe elipse. Pomagajmo si s spodnjo sliko. Slika 3.4: Elipsa Po Pappusovi definiciji (3.2) velja za točko B pa ε = r 2 d = e a, Definiramo razdaljo od točke T na elipsi do vodilke: a δ = ε = δ = a ε. (3.3) d = δ x. Z uporabo Pitagorovega izreka lahko r 2 izrazimo kot r 2 2 = (e x) 2 + y 2.

39 3.3 Definicija s pomočjo vodilkine lastnosti 27 Potem lahko Pappusovo definicijo elipse zapišemo kot Če se znebimo ulomkov, dobimo r 2 2 d 2 = (e x)2 + y 2 (δ x) 2 = (e x)2 + y 2 ( a ε x)2 = ε 2. (e x) 2 + y 2 = ε 2 ( a ε x ) 2 = (a εx) 2. Razrešimo oklepaje: x 2 2ex + e 2 + y 2 = a 2 2aεx + ε 2 x 2. V to enačbo nato vstavimo izraz aε = e in celotno enačbo preoblikujemo: x 2 (1 ε 2 ) + y 2 = a 2 e 2. Za elipso velja: a 2 e 2 = b 2, zato lahko zgornji izraz zapišemo kot Celotno enačbo delimo z b 2 : x 2 (1 ε 2 ) + y 2 = b 2. x 2 (1 ε 2 ) b 2 pri čemer lahko del te enačbe zapišemo kot: + y2 = 1, (3.4) b2 1 ε 2 Če to vstavimo nazaj v enačbo (3.4) sledi b 2 kar je seveda enačba elipse. [11] [2] = 1 e2 a 2 b 2 = a2 e 2 a 2 b 2 = 1 a 2. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, Vidimo torej, da je Pappusova definicija enakovredna tej, dobro poznani enačbi elipse. Vendar je bolj v rabi slednja, zaradi večje uporabnosti in bolj praktičnega zapisa.

40 4. Enačba elipse 4.1 Kanonična oblika Kanonično enačbo elipse bomo določili z upoštevanjem definicije elipse: r 2 1 = y 2 + (x + e) 2, (4.1) Enačbi odštejemo in dobimo r 2 2 = y 2 + (e x) 2. (4.2) Če to enačbo malo preoblikujeo, dobimo: r 2 1 r 2 2 = (x + e) 2 (e x) 2. (4.3) (r 1 r 2 )(r 1 + r 2 ) = 4ex. (4.4) Vemo, da za elipso velja r 1 + r 2 = 2a in če to vstavimo v zgornjo enačbo, sledi r 1 r 2 = 2ex/a. Iz teh dveh enačb izrazimo r 1 in r 2 : r 1 = a + ex a, (4.5) r 2 = a ex a. (4.6) Upoštevamo, da je e a = ε in dobimo: r 1 = a + εx, (4.7) 28

41 4.1 Kanonična oblika 29 r 2 = a εx. (4.8) V naslednjem koraku upoštevamo enačbo (4.6), ki jo vstavimo v enačbo (4.2). (a ex a )2 = y 2 + (e x) 2. (4.9) Preoblikujemo: a 2 2ex + e2 x 2 a 2 = y 2 + e 2 2ex + x 2, a 2 (a 2 e 2 ) = x 2 (a 2 e 2 ) + a 2 y. Upoštevamo, da je a 2 e 2 = b 2 in dobimo: a 2 b 2 = x 2 b 2 + a 2 y 2. (4.10) Ker velja a, b > 0, lahko to enačbo zapišemo kot x 2 a + y2 = 1. (4.11) 2 b2 To je enačba elipse s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in polosema a in b, ki sovpadata s koordinatnima osema. [8] [10] [23] Splošna enačba elipse s središčem v točki S(p, q): (x p) 2 a 2 + (y q)2 b 2 = 1. (4.12)

42 30 Enačba elipse 4.2 Polarna oblika Slika 4.1: K izpeljavi polarne oblike elipse Po definiciji elipse velja: r 1 + r = 2a. Uporabimo kosinusni izrek za trikotnik F 1 F 2 T : r 2 1 = (2e) 2 + r 2 2(2e)r cos(π θ). Če sedaj upoštevamo definicijo elipse, lahko zapišemo: (2a r) 2 = 4e 2 + r 2 + 4er cos θ, 4a 2 4ar + r 2 = 4e 2 + r 2 + 4er cos θ. Če sedaj enačbo okrajšamo in malo preoblikujemo, dobimo: a 2 e 2 = ar + er cos θ. Ker za elipso velja: e 2 + b 2 = a 2, lahko zgornjo enačbo zapišemo kot: b 2 = r(a + e cos θ),

43 4.3 Elipsa kot presek valja 31 r = b 2 a + e cos θ, r = b 2 a 1 + e a cos θ. Upoštevamo e/a = ε (0 < ε < 1) ter b 2 /a zapišemo kot p: [18] [23] r = p 1 + ε cos θ. (4.13) 4.3 Elipsa kot presek valja Kot prej rečeno, so že Grki vedeli, da nam tudi presek valja da stožnice, natančneje elipso in krožnico. V naravi večkrat oziroma prej opazimo elipso kot presek valjasto oblikovanih struktur, kot pa stožčastih oblik. Betonski stebrički valjaste oblike so na primer povsod okoli nas. Če bi tega presekali z ravnino Π pod ostrim kotom, bi zagotovo dobili elipso. Pa žlebovi, ki jih najdemo na skoraj vsaki hiši oziroma stavbi imajo v kolenskem (prelomljenem) delu obliko elipse, kar bi hitro videli, če bi žleb na tem mestu presekali. Že Evklid je vedel, da je stožnice moč dobiti s preseki valja. Po njegovih besedah takrat dobimo lik v obliki ščita. S tem je mislil na elipso. Vendar se niti on niti Apolonij z valjem nista ukvarjala. Bolj natančno so se valja in njegovih presekov v 9. stoletju lotili Arabci. Brata Musa sta prevedla oziroma finančno poskrbela za prevod Apolonijevih knjig Stožnice (od 5. do 7. dela), ki bi sicer verjetno bile za vedno izgubljene. Pri samem prevodu je veliko vlogo odigral tudi matematik Thabit Ibn Qurra, ki je tudi določil ploščino elipse. Natančneje, ploščino elipse je definiral kot ploščino kroga, katerega kvadrat polmera je enak produktu polosi elipse a in b. Ibn Qurra je tako kot Apolonij opisal tangente, osi in druge lastnosti elipse, le da je pri tem izhajal iz valja in ne iz stožca. [1] [13]

44 32 Enačba elipse Vzemimo pokončen valj s polmerom osnovne ploskve b. Valj presekamo z ravnino Π pod kotom α. Če je α = π/2, dobimo kot rezultat preseka krog z radijem b. Manjši kot bo kot preseka, bolj sploščen bo krog, bolj podolgovata bo elipsa. Definiramo cos α = e, pri čemer je e, kot že prej napisano, linearna ekscentričnost. e 2 = a 2 b 2 = ε 2 a 2, medtem ko je a velika polos, b pa mala polos, ki je hkrati tudi polmer osnovne ploskve valja. To lahko vidimo tudi na spodnji sliki. Z zgornjo enačbo pridemo do ugotovitve, da je dolžina daljice T T na sliki enaka εa. Slika 4.2: Elipsa kot presek valja Tudi če namesto stožca vzamemo valj, pridemo do istega rezultata oziroma enačbe elipse (4.11). Za enačbo elipse moramo najprej postaviti koordinatni sistem, in sicer bomo os x postavili vzdolž velike, os y pa vzdolž male osi elipse. Da bi lažje določili točke, ki ležijo na elipsi, bomo vpeljali še en koordinatni sistem. Ta naj sovpada s prejšnjim v osi y, druga os, x, pa je nanjo seveda pravokotna in naj leži v ravnini Π, pravokotni na os valja.

45 4.3 Elipsa kot presek valja 33 Kot vidimo na spodnji sliki, točke T (x, y) ležijo na elipsi le v primeru, ko njihova pravokotna projekcija T (x, y ) leži na krožnici, ki nastane pri preseku valja z že prej omenjeno ravnino Π. Slika 4.3: Elipsa kot presek valja z vpeljavo novega koordinatnega sistema Torej lahko zgoraj navedeno v obliki enačbe zapišemo sledeče: Ker je (x sin α) 2 + y 2 = b 2. (4.14) lahko enačbo (4.14) zapišemo kot sin 2 α = 1 cos 2 α = 1 ε 2 = b2 a 2, b 2 a 2 x2 + y 2 = b 2. Če to enačbo sedaj preoblikujemo, natančneje delimo z b 2, dobimo x 2 a 2 + y2 b 2 = 1,

46 34 Enačba elipse torej nam že znano enačbo elipse. [22]

47 5. Konstrukcije elipse 5.1 Konstrukcija po analitični definiciji Naj bosta dani mala polos b in velika polos a elipse. Na podlagi analitične definicije bomo konstruirali elipso iz krožnice tako, da jo bomo raztegnili. Narišemo dve krožnici s skupnim središčem v točki S. Prva krožnica K a naj ima polmer enak dolžini velike polosi a, druga, manjša krožnica K b pa polmer enak dolžini male polosi b. Iz središča S narišemo poljuben poltrak pod kotom α, ki seka krožnico K a v točki F, krožnico K b pa v točki E. Iz slike 5.1 spodaj lahko vidimo, da sta si trikotnika SF F in SE E podobna. Ordinata točke E in abscisa točke F določata novo točko T, ki leži na elipsi. Zaradi podobnosti trikotnikov lahko zapišemo: F F : E E = SF : SE, oziroma kar lahko zapišemo kot Sledi a : b = F F : F T, a : b = y F : y T. y T = b a y F. Pri tem je, kot že prej rečeno, T točka elipse in velja: T (x, y) = (a cos α, b sin α) Izpeljemo: cos α = x a, sin α = y b. 35

48 36 Konstrukcije elipse Če to sedaj vstavimo v že dobro znano enačbo: cos 2 α + sin 2 α = 1, dobimo [18] x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Slika 5.1: Določanje točke elipse s pomočjo dveh krožnic

49 5.2 Konstrukcija po geometrijski definiciji 37 Slika 5.2: Konstrukcija elipse s pomočjo male in velike krožnice 5.2 Konstrukcija po geometrijski definiciji Naj bosta dani mala polos b in velika polos a. 1. Risanje osi elipse Narišemo veliko os elipse z dano dolžino 2a in na njej označimo temeni A in B. Nato narišemo še malo os z dolžino 2b in na njej označimo temeni C, D. Osi se razpolavljata in sta hkrati pravokotni ena na drugo. Sekata se v točki S, ki je središče naše elipse. 2. Določanje gorišč elipse Iz enega izmed temen na mali osi (C ali D) narišemo krožni lok s polmerom a, torej dolžine velike polosi. Dobimo dve novi točki (F 1 in F 2 ), ki sta po definiciji gorišči elipse. 3. Določanje točk na elipsi Na veliki osi izberemo nekaj točk med središčem S in enim izmed gorišč (v našem primeru smo izbrali 3 točke med točkama S in F 2. S šestilom narišemo krožna loka polmera r 1 (razdalja od točke 1 do temena A) iz gorišč F 1 in F 2. Postopek ponovimo s to razliko, da imata krožna loka polmer r 2. V presečiščih teh dveh lokov dobimo točke T 1, T 1, T 1 in T 1. Ta postopek

50 38 Konstrukcije elipse ponovimo s točkami 2 in 3 oziroma z vsemi točkami, ki smo jih izbrali na razdalji od S do enega od gorišč. Dobimo torej 12 točk, ki ležijo na elipsi. 4. Risanje elipse Dobljene točke povežemo s krivuljnikom med seboj in s temeni elipse. Dobimo elipso. [18] [19] Slika 5.3: Geometrijska konstrukcija elipse

51 5.3 Geometrijska (vrtnarska) konstrukcija Geometrijska (vrtnarska) konstrukcija Pri tej konstrukciji nismo omejeni na koordinatni sistem, zato jo lahko naredimo zunaj (na zemlji, pesku), na tabli v učilnici, na listu papirja.... Možnosti je veliko. Vsem je skupna raba definicije, ki nam sploh omogoča tako načrtovanje. Konstrukcijske metode pa se razlikujejo glede na izbiro površine in pripomočkov. Če konstruiramo našo elipso na tleh, uporabimo pripomočke, kot so palice, žeblji, če pa konstrukcijo izvajamo na listu papirja, pa zadoščajo žebljički ali magneti ter pisalo. V vseh primerih pa potrebujemo kos vrvi oziroma vrvice, ki nam bo omogočila, da elipso izrišemo čim bolj natančno. Če elipso izrisujemo na list papirja, je postopek sledeč: Krajišči vrvice z dolžino 2a fiksiramo (npr. z žebljički) v točkah F 1 in F 2, med katerima je konstantna razdalja 2e (2e < 2a). Za vrvico zataknemo pisalo in se z napeto zanko pomikamo okoli gorišč (žebljičkov). Nastala sklenjena krivulja zadošča definiciji elipse. [19] Slika 5.4: Vrtnarska konstrukcija elipse

52 40 Konstrukcije elipse 5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (krožnimi loki) Pri tej konstrukciji bomo upoštevali analitično definicijo elipse. S pomočjo matematičnih pripomočkov (šestilo, ravnilo, krivuljnik, svinčnik) bomo približno načrtali elipso. Naj bosta dani mala os 2b in velika os 2a. Najprej narišemo obe osi ter označimo temena A, B, C in D ter središče S. Zdaj moramo določiti še središči S A in S B pritisnjenih krogov. Skozi teme na veliki osi (v tem primeru smo izbrali teme A) narišemo vzporednico z malo osjo. Nato narišemo še vzporednico z veliko osjo skozi teme C. V presečišču teh dveh vzporednic dobimo novo točko T. V naslednjem koraku povežemo med seboj sosednja temena. Dobimo torej 4 daljice. Za nas je pomembna daljica AC. Iz točke T narišemo pravokotnico na daljico AC. Pravokotnica seka veliko os v točki S A in malo os (oziroma nosilko male osi) v točki S C. Z zrcaljenjem točk S A in S C dobimo še točki S B in S D. Iz teh točk, ki so hkrati središča temenskih krožnic, nato narišemo krožne loke, ki se najbolj prilegajo iskani elipsi ABCD (temena elipse). Te krožne loke nato čim bolj natančno povežemo s krivuljnikom, tako da dobimo gladko krivuljo, elipso, ki poteka skozi točke A, B, C in D. [19] Slika 5.5: Konstrukcija elipse s pritisnjenimi krogi Iz slike je razvidno, da je ta način konstruiranja uspešen, čeprav relativno počasen.

53 5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (krožnimi loki) 41 Sedaj pa si poglejmo še matematično ozadje, ki bo pojasnilo, zakaj se ravno deli teh krožnic prilegajo naši elipsi. Polmer krogov s središči S A, S B, S C in S D bomo izračunali na dva različna načina. Ker so pari teh krogov med seboj skladni, bo zadostovalo, da izračunamo krivinska polmera 1 dveh sosednjih krogov. Najprej bomo iz formule za ukrivljenost dobili radij. Pri računanju ukrivljenosti krogov bomo uporabili parametrično obliko enačbe. S tem bomo dobili teoretične oziroma potrebne vrednosti radijev. Te bomo nato primerjali z radiji, izpeljanimi direktno iz naše konstrukcije. [5] [8] [23] 1. x = a cos t, y = b sin t, κ = 1 R = ẋ ẍ ẏ ÿ ( ẋ 2 + ẏ 2 ). (5.1) 3 Pogledali bomo ukrivljenost elipse v točkah B in C. V točki B je parameter t = 0, v točki C pa velja: t = π/2. Odvajamo: ẋ(t) = a sin t, ẏ(t) = b cos t, ẍ(t) = a cos t, ÿ(t) = b sin t. dobimo: 1 R = Če enačbo poenostavimo, dobimo: Če to sedaj vstavimo v zgornjo enačbo, a sin t a cos t b cos t b sin t ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t). (5.2) 3 1 R = ab (sin2 t + cos 2 t) ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t), 3 1 R = ab ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3. V točki B(t = 0) velja: 1 = ab R B b, 3 1 To je polmer krivinskega kroga, ki se ravninski krivulji, v našem primeru elipsi, na določenem mestu najbolje prilega.

54 42 Konstrukcije elipse R B = b2 a. (5.3) V točki C(t = π/2) velja: 1 R C = ab a 3, R C = a2 b. (5.4) 2. Radija R C in R B pa lahko pridobimo tudi direktno iz konstrukcije. Na spodnjih slikah so označeni skladni koti. Ker imata trikotnika CS C T in CBT dva skladna kota, sta si podobna. Zato lahko zapišemo sledeče razmerje stranic trikotnikov: Sledi: CS C a = R C a = a b. R C = a2 b.. Slika 5.6: Izpeljava krivinskega polmera R B s pomočjo podobnih trikotnikov

55 5.4 Konstrukcija s pritisnjenimi krogi (krožnimi loki) 43 Sedaj si izberemo dva druga trikotnika (slika 5.7). Vidimo, da sta si tudi trikotnika CSB in T S B B podobna, zato lahko zapišemo: Sledi: S B B b = R B b = b a. R B = b2 a. Slika 5.7: Izpeljava krivinskega polmera R B s pomočjo podobnih trikotnikov Če sedaj primerjamo izračunana in iz razmerij izražena radija, ugotovimo, da se ujemata. [8]

56 44 Konstrukcije elipse

57 6. Lastnosti elipse 6.1 Obseg elipse Apoloniju ni uspelo določiti dolžine elipse. S prihodom integrala v letih je to postalo možno. Leta 1669 je obseg elipse poskusil izračunati tudi Newton ( ), vendar mu to ni uspelo, saj se je izogibal integraciji. Zato pa sta bila toliko bolj uspešna Fermat in Hendrik van Heuraet, ki sta postavila osnovo dolžine loka v integralski obliki, kot jo poznamo danes. Splošna formula za izračun dolžine krivulje K med dvema, v parametrični obliki podanima točkama t 1 in t 2, je Za elipso velja: s(k) = t2 t 1 (dx ) 2 + dt ( ) 2 dy dt. (6.1) dt x = x(t) = a cos t, y = y(t) = b sin t, a > b > 0. Ker se funkciji sinus in kosinus v različnih kvadrantih različno obnašata, moramo našo elipso oziroma njeno dolžino razdeliti na 4, sicer skladne dele. Meje našega integrala bodo zato med 0 in π/2. Če izraza za x in y vstavimo v zgornjo enačbo, dobimo: s(k) = 4 π/2 Dobljeni izraz preoblikujemo in poenostavimo: s(k) = 4 0 π/2 0 ( a sin t)2 + (b cos t) 2 dt. a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt. 45

58 46 Lastnosti elipse Uporabimo zvezo sin 2 t = 1 cos 2 t: s(k) = 4 s(k) = 4 π/2 0 π/2 0 s(k) = 4 π/2 0 a2 (1 cos 2 t) + b 2 cos 2 t dt, (a2 a 2 cos 2 t) + b 2 cos 2 t dt, a2 cos 2 t(a 2 b 2 ) dt. Vemo, da za elipso velja naslednja zveza med malo polosjo b in veliko polosjo a: a 2 b 2 = e 2. To uporabimo v zgornji enačbi: s(k) = 4 π/2 V naslednjem koraku izpostavimo a 2 : s(k) = 4a 0 π/2 0 a2 e 2 cos 2 t dt. 1 e2 a 2 cos2 t dt. V enačbi lahko e/a nadomestimo z ε, ki predstavlja numerično ekscentričnost (stopnjo sploščenosti) elipse: s(k) = 4a π/2 0 1 ε2 cos 2 t dt. (6.2) Da bi dobili želeno končno obliko, bomo vpeljali novo spremenljivko, kot u, za katerega velja: u = π t, du = dt. 2 Spremenita se meji: 0 π/2, π/2 0 in funkcija cos t gre v cos(π/2 u) = sin u. Torej: 0 s(k) = 4a 1 ε 2 sin 2 u du. π/2 s(k) = 4aE(ε),

59 6.2 Ploščina elipse 47 pri čemer je E(ε) = π/2 0 1 ε2 sin 2 u du popolni eliptični integral druge vrste, ki ga lahko izračunamo s potenčno vrsto. Veljati pa mora: ε 2 < 1. Če v zgornjo enačbo vstavimo izraz [ ( ) 2 1 ε 2 E(ε) = π/ dobimo končno izraz za dolžino elipse: [10] [23] s(k) = 2πa [ 1 ( ) 2 1 ε ( ) ε ( ) ε ( ) ] ε , ( ) ] ε Ploščina elipse Ploščino elipse danes računamo s pomočjo integralov. Pred poznavanjem le-teh, pa je Arhimed prišel do enačbe za ploščino elipse. Arhimed je z metodo dvojnega protislovja dokazal, da je ploščina elipse z veliko polosjo a in malo polosjo b enaka F G πab. Dokaz pa sloni (na podlagi slike 6.1) na razmerju = b. Ne vemo sicer, F H a kako je Arhimed dobil to razmerje, saj takrat še niso poznali enačbe elipse. Danes to razmerje dobimo iz enačbe x2 + y2 = 1. a 2 b 2 Iz te enačbe izrazimo y: [10] y 2 b 2 = 1 x2 a 2. Sledi: a 2 y 2 = a 2 b 2 x 2 b 2, ay = ±b a 2 x 2, y = ± b a a2 x 2, (6.3)

60 48 Lastnosti elipse Slika 6.1: Povezava med ploščino elipse in ploščino kroga Iz slike razberemo: y = F G in a 2 x 2 = F H. Če to sedaj vstavimo v zgornjo enačbo (6.3) in upoštevamo, da imamo pozitivne vrednosti, dobimo: F G = b F H. a Ker se vse dogaja nad abscisno osjo, bomo vzeli le pozitivne vrednosti F 2 G. F G F H = b a. (6.4) Sedaj se osredotočimo na spodnji dve sliki. Z E označimo elipso z veliko polosjo a in malo polosjo b, K pa naj bo krog z radijem a, ki obdaja elipso E. K naj bo krog z radijem r = ab. Namensko izberemo tak radij, saj želimo dokazati, da je ploščina elipse enaka πab. Vemo namreč, da je ploščina kroga enaka πa 2. Elipso dobimo tudi, če sploščimo oziroma skrčimo krog za b/a, kar je vidno iz enačbe (6.4). Torej želimo sedaj še dokazati: p(e) = πab. (6.5)

61 6.2 Ploščina elipse 49 Slika 6.2: Določanje ploščine elipse s prilegajočimi večkotniki Slika 6.3: Arhimedov način določanja ploščine elipse V krog K včrtamo večkotnik V, tako, da se krogu kar najbolj prilega. V pa naj bo včrtan v krog K in podoben večkotniku V. 1. Predpostavimo, da je p(e) < p(k ). Arhimed je dokazal, da p(v ) konvergira h p(k ) (ko večamo število stranic večkotnika V ). Torej lahko K nadomestimo z V. Sledi, da je p(e) < p(v ).

62 50 Lastnosti elipse Če sedaj pogledamo razmerje ploščin teh dveh večkotnikov, dobimo: p(v ) p(v ) = r2 a = ( ab) 2 2 a 2 = ab a 2 = b a. (6.6) Znak V označuje večkotnik, ki ga včrtamo elipsi. Njegova oglišča dobimo kot presečišča elipse E in pravokotnic na veliko os elipse, ki potekajo skozi oglišča večkotnika V. Če sedaj ta dva večkotnika (V in V ) primerjamo, vidimo, da so daljice U A, T B, S C... v točkah U, T, S... presekane v enakem razmerju. To lahko zapišemo kot UA U A = T B T B = SC S C = b a. (6.7) Ker so stranice proporcionalne likom, potem je tudi par trikotnikov U I A in UI A ter par trapezov U ABT in UABT v takem razmerju. Torej velja: p(u I A) p(ui A) = p(u ABT ) p(uabt ) = b a. (6.8) Ko seštejemo vse te trapeze in trikotnika v večkotnikih V in V, velja zanju enako razmerje: Če upoštevamo to in enačbo (6.6), sledi: p(v) p(v ) = b a. (6.9) p(v ) p(v ) = b a = p(v) p(v ). Od tu sledi: p(v ) p(v ) = p(v) p(v ). Torej velja: V = V. Če to sedaj uporabimo v začetni neenakosti p(e) < p(k ) oziroma p(e) < p(v ), dobimo p(e) < p(v), kar je protislovno, saj je večkotnik V včrtan v elipso in zatorej mora veljati p(e) < p(v). 2. Sedaj predpostavimo, da je p(e) > p(k ).

63 6.2 Ploščina elipse 51 Po Arhimedovem postulatu velja p(v) < p(e). Kot že zgoraj navedeno je V večkotnik, včrtan v elipso. Torej za večkotnik V velja p(k ) < p(v). Po krajšem preračunavanju pridemo, kot že v prvem primeru, do ugotovitve: p(v ) p(v ) = b a = p(v) p(v ) V = V. Če to sedaj upoštevamo v zgornji enačbi, dobimo p(k ) < p(v ), kar je zopet kontradiktorno, saj je večkotnik V včrtan v krog K in ne obratno. Torej glede na 1. in 2. predpostavko pridemo do sklepa, da je p(e) = p(k ). Sledi: Dokazali smo, da je ploščina elipse p(e) = p(k ) = πr 2 = π( ab) 2 = πab. p(e) = πab. (6.10) Iz te enačbe vidimo, da lahko elipso res dobimo s skrčenjem kroga za faktor b/a. [25] Z razvojem integralov pa se je računanje poenostavilo. Danes izračunamo ploščino lika L, ki je nad intervalom [a, b] in omejen z grafoma zveznih funkcij f(x) (zgoraj) in g(x) (spodaj) s formulo p(l) = b a (f(x) g(x))dx, (6.11) pri čemer je f(x) g(x) za vsak x [a, b].[8] Ker je elipsa, tako glede na os x, kot tudi glede na os y simetrična, jo lahko razdelimo na 4 skladne dele. Tako, da zadošča, da izračunamo ploščino dela elipsa, ki je v enem kvadrantu. V tem primeru bomo, kot je označeno na sliki, vzeli prvi kvadrant.

64 52 Lastnosti elipse Slika 6.4: Določanje ploščine elipse Za zgornjo funkcijo bomo torej vzeli funkcijo elipse, za spodnjo pa kar funkcijo y = 0 na intervalu [0, b]. Najprej moramo iz enačbe elipse x2 + y2 = 1 izraziti y. Glej enačbo (6.3). a 2 b 2 y = ± a b a2 x 2. (6.12) Ker bomo vzeli četrtino elipse v prvem kvadrantu, kjer je y pozitiven, bomo pri zgornjem izrazu za y vzeli le pozitivne vrednosti. Če to sedaj vstavimo v enačbo (6.11) sledi: [10] [13] [23] p(e 1 ) = a 0 ( b a a2 x 2 0) dx. (6.13) Za izračun tega integrala bomo vpeljali novo spremenljivko. Pomagamo si lahko s pravokotnim trikotnikom.

65 6.2 Ploščina elipse 53 Uporabimo kotne funkcije: Slika 6.5: Trikotnik v elipsi sin φ = x a, x = a sin φ, dx = a cos φ dφ. S tem se spremenita tudi meji integrala. In sicer: 0 0 in a π/2. To sedaj vstavimo v enačbo (6.13): p(e 1 ) = b a π/2 Poenostavimo integral in dobimo: 0 a 2 a 2 sin 2 φ a cos φ dφ. p(e 1 ) = ab p(e 1 ) = ab π/2 0 π/2 0 p(e 1 ) = ab Za kotno funkcijo cos 2 φ pa velja: 1 sin 2 φ cos φ dφ, cos2 φ cos φ dφ, π/2 0 cos 2 φ dφ.

66 54 Lastnosti elipse cos 2 φ = Če to vstavimo v zgornji integral, sledi: 1 + cos 2φ. 2 Poračunamo in dobimo: π/2 1 + cos 2φ p(e 1 ) = ab dφ. 0 2 p(e 1 ) = ab 2 π/2 p(e 1 ) = ab ( φ (1 + cos 2φ) dφ, ) sin 2φ π/2, 2 0 p(e 1 ) = ab ( π sin π ) 0 sin 0, 2 p(e 1 ) = ab 2 π/2, Ker elipso v našem primeru tvorijo štirje taki deli, velja: p(e 1 ) = 1 πab. (6.14) 4 p(e) = 4p(E 1 ) = πab. (6.15) Ta formula je skladna z našimi prejšnjimi ugotovitvami. Še hitreje pa bi ploščino elipse izračunali z rabo parametrične oblike enačbe elipse. Spet razdelimo lik na 4 dele, glede na kvadrante in zadošča, da izračunamo ploščino le enega. p(e) = π/2 0 (xẏ yẋ) dt. (6.16) Vzamemo torej: x = a cos t in y = b sin t, pri čemer 0 t 2π.

67 6.3 Evoluta elipse 55 p(e) = 2 π/2 0 ((a cos t)(b cos t) ( a sin t)(b sin t)) dt, p(e) = 2ab π/2 0 p(e) = 2ab (cos 2 t + sin 2 t) dt, π/2 0 p(e) = 2ab t π/2 0 1 dt,, p(e) = 2ab π 2, p(e) = πab. (6.17) 6.3 Evoluta elipse Evoluta je množica vseh središč pritisnjenih krožnic neke krivulje. V primeru elipse ta množica točk tvori krivuljo, podobno asteroidi. Tudi sama enačba evolute elipse je zelo podobna enačbi asteroide. Parametrični enačbi evolute: ξ = x ẏ ẋ2 + y 2 ẋÿ ẍẏ, η = y + ẋ ẋ2 + ẏ 2 ẋÿ ẍẏ. (6.18) Ker nas zanima evoluta elipse, bomo v zgornjo enačbo vstavili parametrizirano enačbo elipse, torej: Sledi, x = a cos t, y = b sin t. ξ = a cos t b cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t a sin t b sin t + a cos t b cos t,

68 56 Lastnosti elipse ξ = a cos t b cos t a2 sin 2 t + b 2 cos 2 t, ab ξ = a cos t b cos t a2 a 2 cos 2 t + b 2 cos 2 t, ab ξ = a cos t a cos t + a cos 3 t b2 a cos3 t, ( ) a 2 b 2 ξ = cos 3 t, (6.19) a η = b sin t a sin t a2 sin 2 t + b 2 cos 2 t, ab η = b sin t a sin t a2 sin 2 t + b 2 cos 2 t, ab η = b sin t a sin t a2 sin 2 t + b 2 b 2 sin 2 t, ab η = b sin t a2 b sin3 t b sin t + b sin 3 t, ( ) b 2 a 2 η = sin 3 t. (6.20) b Dobljeni koordinati ξ(t) in η(t) predstavljata točko N, ki je središče pritisnjene krožnice na elipso v točki, ustrezni parametru t. Množica točk N za t [ 0, 2π) nam da evoluto elipse, ki jo na spodnjih slikah označuje rdeča krivulja. Poglejmo si nekaj točk evolute. t = 0 : ξ(0) = a2 b 2 a = a b2 a < a, η(0) = 0. t = π ( π ) ( π ) 2 : ξ = 0, η = b2 a b

69 6.3 Evoluta elipse 57 Slika 6.6: Evoluta elipse V primeru na zgornji sliki 6.6 se evoluta dotika elipse v dveh temenih na osi b. Nas zanimata še druga dva primeri. Torej, ko evoluta seka elipso in se razteza v smeri osi y oziroma se njena vrhova nahajata nad polosema b. Lahko pa se cela evoluta nahaja znotraj elipse. Da ločimo te tri primere, si bomo pogledati razdaljo od središča elipse do središča pritisnjene krožnice na nosilki osi b. Na slikah spodaj to razdaljo označuje daljica SN. Vrhova evolute, ki ležita na nosilki osi a, pa se zmeraj nahajata znotraj elipse, zato tema točkama ne bomo posvečali posebne pozornosti. [7] [11] [23] 1. Zanima nas, kdaj je η ( π 2 ) > b. Vzamemo negativno vrednost izraza η( π 2 ), kar lahko zapišemo kot Neenačbo preoblikujemo: a 2 b 2 > b. b a 2 b 2 > b 2,

70 58 Lastnosti elipse a 2 > 2b 2. Sledi: a > 2 b. Ta primer prikazuje spodnja slika 6.7. Slika 6.7: Evoluta elipse s pogojem a > 2b 2. Sedaj si poglejmo, pri katerem pogoju je celotna evoluta znotraj elipse. Zanima nas torej, kdaj je η( π 2 ) < b. Neenačbo preoblikujemo: a 2 b 2 b < b. a 2 < 2b 2. Sledi: a < 2 b. Zaradi položaja osi elipse na sliki pa upoštevamo še a > b, torej velja:

71 6.3 Evoluta elipse 59 b < a < 2 b, kar smo upoštevali tudi na spodnji sliki 6.8. Slika 6.8: Evoluta elipse s pogojem b < a < 2b 3. Da središči dveh pritisnjenih krožnic sovpadata s temeni elipse (točki C, D) in dobimo sliko 6.9, mora veljati a 2 b 2 Neenačbo preoblikujemo in dobimo b = b. a = 2b 2.

72 60 Lastnosti elipse Slika 6.9: Evoluta elipse s pogojem a = 2b 6.4 Konjugirani diametri Apolonij sicer ni toliko poznan po svojih dveh izrekih. Ker se tičeta elipse, ju bomo preučili. Naj bo dana poljubna elipsa v parametrični obliki z pri čemer 0 < b < a. x = a cos t, y = b sin t, V elipsi izberemo poljubno tetivo s koordinatama A(a cos(t + v), b sin(t + v)), B(b cos(t v), b sin(t v)). (6.21) Poiščemo središče tetive AB: ( 1 T 2 (a cos(t + v) + a cos(t v)), 1 ) (b sin(t + v) + b sin(t v)). 2 S faktorizacijo ta izraz poenostavimo: ( ( 1 T 2 2a cos 2t 2 cos 2v ), 1 ( 2 2 2b sin 2t 2 cos 2v )), 2 T (a cos t cos v, b sin t cos v),

73 6.4 Konjugirani diametri 61 T (a cos t, b sin t) cos v. Vsa središča tetiv AB z istim t (vzporedne tetive) ležijo na isti daljici. V našem primeru je to daljica MN s krajiščema M( a cos t, b sin t), N(a cos t, b sin t). Tetiva AB poteka skozi središče elipse S pri v = π. Takrat je 2 A( a sin t, b cos t), B(a sin t, b cos t). V tem primeru je AB = KL. Izračunajmo še dolžino konjugiranih diametrov elipse d 1 = MN in d 2 = KL. d 1 = MN = MN 2 = 2 a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t, Torej velja: d 2 = KL = KL 2 = 2 a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t. d d 2 2 = 4(a 2 + b 2 ). Ta izrek imenujemo 1. Apolonijev izrek. Če ga zapišemo še z besedami: vsota kvadratov vsakega para konjugiranih diametrov elipse je konstantna. Slika 6.10: Dokazovanje Apolonijevih izrekov na elipsi

74 62 Lastnosti elipse 2. Apolonijev izrek: ploščina paralelograma, ki ga tvorijo tangente na elipso, vzporedne paru konjugiranih diametrov, je konstantna. Ta paralelogram lahko vidimo na zgornji sliki. Da bi to lažje dokazali, bomo izračunali ploščino četrtine paralelograma, ki je tudi paralelogram in je na sliki označen s P 1. p(p 1 ) = r B r N = r B r N sin φ. Da dobimo vektor r B moramo v enačbo (6.21) za točko B vstaviti v = π/2, za krajevni vektor točke N, vektor r N pa v = 0. r B = (x 1, y 1 ) = (a sin t, b cos t), r N = (x 2, y 2 ) = (a cos t, b sin t). Vektorski produkt bomo izračunali s pomočjo determinante. i j k r B r N = x 1 y 2 0. x 2 y 2 0 Poračunamo in dobimo r B r N = x 1 y 2 x 2 y 1 = ab sin 2 t + ab cos 2 t = ab. Ker imamo 4 take dele, je končna ploščina iskanega paralelograma P enaka 4ab. [2] [10] [11]

75 7. Tangente elipse 7.1 Enačba tangente na elipso Zapišemo enačbo elipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Tej elipsi želimo določiti tangento v točki P (x 0, y 0 ) oziroma P (a cos θ, b sin θ). Enačba tangente v P (x 0, y 0 ) ima enačbo Odvajamo zgornjo enačbo elipse po x in dobimo y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). (7.1) dy 2x 2y dx + = 0 a2 b 2 Sledi: dy dx = xb2 ya 2 = f (x). Če sedaj to vstavimo v enačbo (7.1), dobimo y y 0 = x 0b 2 y 0 a (x x 0). 2 Enačbo preoblikujemo: a 2 y 0 y a 2 y0 2 = x 0 b 2 (x x 0 ), a 2 y 0 y + b 2 x 0 x = a 2 y x 2 0b 2, 63

76 64 Tangente elipse Ker točka P (x 0, y 0 ) leži na elipsi, velja xx 0 a 2 + yy 0 b 2 = x2 0 a 2 + y2 0 b 2. x 2 0 a 2 + y2 0 b 2 = 1. Potem lahko enačbo tangente zapišemo kot [23] xx 0 a + yy 0 = 1. (7.2) 2 b2 7.2 Konstrukcija 1. Tangento lahko konstruiramo s kotomerom in ravnilom. Preko normale bomo dobili tangento na elipso. Vemo, da normala razpolavlja kot med goriščema in stično točko P na elipsi. Razpolovišče kota F 1 P F 2 lahko določimo s pomočjo kotomera ali pa si pomagamo s šestilom. Čez razpolovišče kota potegnemo premico, ki predstavlja normalo elipse. Tej normali čez točko P narišemo pravokotnico oziroma tangento na elipso. Torej velja, da tangenta na elipso v točki P razpolavlja kot med premico skozi P in gorišče F 1 ter premico skozi P in gorišče F 2. Iz tega sledi odbojna lastnost elipse: Vsak žarek, ki gre skozi eno gorišče elipse (F 1 ), se na elipsi odbije in gre skozi drugo gorišče (F 2 ). 2. V primeru, da nimamo kotomera, izberemo poljubno točko P na elipsi in jo povežemo z obema goriščema elipse (F 1, F 2 ). Dobimo daljico F 1 P z dolžino d 1 in daljico F 2 P dolžine d 2. Daljico F 2 P podaljšamo do točke R, tako, da je razdalja P R enaka d 1. Nato s premico t razpolovimo kot RP F 1. Na premici p določimo novo točko Q, tako da je RQ = F 2 Q = l. Premica t torej predstavlja tangento na elipso v točki P.

77 7.2 Konstrukcija 65 Slika 7.1: Odbojna lastnost elipse Slika 7.2: Konstrukcija tangente na elipso preko simetrale kota 3. Obstaja pa še en, bolj posreden način konstrukcije. Pomagamo si s krogom in imamo v mislih, da elipsa nastane z raztegom krožnice. Elipsi priredimo krog s premerom, ki je enak veliki osi elipse, torej 2a. Skozi točko na elipsi, kjer bo tangenta (P ), potegnemo premico, vzporedno mali osi elipse. In tako dobimo na krožnici prirejeno točko P. Skozi to točko potem potegnemo tangento na krožnico. Tangenta t naj seka nosilko glavne osi elipse v točki

78 66 Tangente elipse R. Tangento na elipso dobimo tako, da potegnemo premico skozi točki P in R. [8] [19] Slika 7.3: Konstrukcija tangente na elipso preko krožnice

79 8. Elipse v vesolju 8.1 Eliptične galaksije Galaksija je sistem planetov, zvezd, medzvezdnega plina, prahu in temne snovi v vesolju. Naše osončje je del galaksije Mlečna cesta. Po Hubble-u galaksije delimo na eliptične, nepravilne in spiralne. Eliptične in spiralne lahko potem razdelimo še naprej. Eliptične galaksije tvorijo osnovo. Poimenujemo jih s črko E in številom n, ki zajema naravna števila od 0 do 7. E označuje besedo eliptična, število n pa sploščenost elipse z polosema a in b in jo dobimo z naslednjo enačbo: n = 10 (1 b a ) (8.1) E0 je skoraj okrogle oblike. Z večanjem števila pa je oblika galaksije vse bolj ploščata, tako da ima E7 že obliko diska. [24] [26] 67

80 68 Elipse v vesolju Slika 8.1: Razporeditev oblik galaksij po Hubble-u