Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO

Size: px
Start display at page:

Download "Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO"

Transcription

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Teja Bergant Ljubljana, junij 01

2

3 . Zahvala Iskreno se zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu za strokovno pomoč, usmerjanje in čas, ki ga je posvetil nastajanju mojega diplomskega dela. Velika zahvala gre vsem domačim za podporo, pomoč in potrpežljivost v času študija. Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli, da je diplomsko delo končno končano. 3

4

5 Program dela V diplomskem delu obravnavajte hiperbolične funkcije in navedite nekaj primerov uporabe. Ljubljana, junij 01 Mentor: dr. Marko Razpet 5

6

7 Povzetek V diplomskem delu so predstavljene hiperbolične funkcije. V sklopu zgodovine le-teh sta skozi življenje in delo opisana matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert, pod lastnostmi hiperboličnih funkcij pa so obravnavane njihove definicije, grafi, odvodi, integrali in razvoji v potenčne vrste. Predstavljene so tudi zveze med njimi, njihove inverzne funkcije in adicijski izreki. Povzete so povezave hiperboličnih funkcij s trigonometričnimi, in sicer preko geometrijske razlage prvih in drugih ter povezava s pomočjo kompleksnega argumenta. Na koncu sta navedena še dva primera uporabe, in sicer verižnica in Dirichletov problem. Ključne besede: Hiperbolične funkcije, Vincenzo Riccati, Johann Heinrich Lambert, eksponentna funkcija, inverzne hiperbolične funkcije, verižnica, Dirichletov problem. 7

8 Hyperbolic functions Abstract This thesis is an introduction to hyperbolic functions. The history part describes the lives and work of the mathematicians Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert. The characteristics section deals with the hyperbolic functions definitions, graphs, derivatives, integrals, and power series expressions. The thesis also presents the relations between the hyperbolic functions, their inverse functions and addition theorems. Also included are the comparison of the hyperbolic functions to the trigonometric functions by means of their geometric interpretation, and the description of the relations among them by means of a complex argument. The thesis concludes with two examples of use, the catenary and the Dirichlet problem. Key words: Hyperbolic functions, Vincenzo Riccati, Johann Heinrich Lambert, exponential function, inverse hyperbolic functions, catenary, Dirichlet problem. MSC(010): 01A50, 6A06. 8

9 Kazalo Zahvala 3 Program dela 5 Povzetek 7 Kazalo 9 1 Uvod 11 Zgodovina hiperboličnih funkcij 13.1 Vincenzo Riccati Johann Heinrich Lambert Lastnosti hiperboličnih funkcij Definicije in grafi Zveze med hiperboličnimi funkcijami Area funkcije Adicijski izreki Odvodi Integrali Razvoji v potenčne vrste Analogija s trigonometričnimi funkcijami Trigonometrične funkcije

10 4. Geometrijska razlaga hiperboličnih funkcij Hiperbolične in trigonometrične funkcije v kompleksni ravnini 47 5 Zveza z diferencialnimi enačbami Verižnica Dirichletov problem Zaključek 63 Literatura 65 10

11 Poglavje 1 Uvod Hiperbolične funkcije so prek kompleksnih funkcij sorodne trigonometričnim in so transcendentne, kar pomeni, da niso algebraične. Osnovni hiperbolični funkciji sta hiperbolični sinus (sh) in hiperbolični kosinus (ch), iz teh pa so izpeljane še funkcije hiperbolični tangens (th), hiperbolični kotangens (cth), hiperbolični sekans (sch) in hiperbolični kosekans (csh). Zgodovina hiperboličnih funkcij sega v 18. stoletje, ko sta jih neodvisno eden od drugega vpeljala matematika Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert. Skozi življenje in delo sta opisana v sledečem poglavju. V poglavju o lastnostih hiperboličnih funkcij so najprej predstavljene njihove definicije in grafi, nato pa še nekatere pomembne zveze med njimi. Inverzne hiperbolične funkcije se imenujejo area funkcije: area hiperbolični sinus (Ar sh), area hiperbolični kosinus (Ar ch), area hiperbolični tangens (Ar th), area hiperbolični kotangens (Ar cth), area hiperbolični sekans (Ar sch) in area hiperbolični kosekans (Ar csh). Adicijski izreki hiperboličnih funkcij močno spominjajo na adicijske izreke trigonometričnih funkcij. V nadaljevanju so izpeljani tudi odvodi, integrali in razvoji v potenčne vrste hiperboličnih funkcij s pomočjo lastnosti eksponentne funkcije. 11

12 Tako kot točke (cos x, sin x) tvorijo enotsko krožnico, tako točke (ch x, sh x) tvorijo desno polovico enakostranične hiperbole. V 4. poglavju tako najdemo malo več o tem, pa tudi povezavo hiperboličnih funkcij s trigonometričnimi s pomočjo kompleksnega argumenta. Hiperbolične funkcije se pojavljajo v rešitvah nekaterih pomembnejših linearnih diferencialnih enačb, na primer enačba verižnice in Laplaceova enačba na pravokotniku v kartezijskih koordinatah. Prva je pomembna v arhitekturi in gradbeništvu na področju gradnje mostov in obokov, druga pa je pomembna na mnogih področjih fizike, med drugim v elektromagnetizmu, termodinamiki, mehaniki tekočin in posebni teoriji relativnosti. V diplomskem delu so bolj podrobno obravnavane štiri hiperbolične funkcije, in sicer hiperbolični kosinus, hiperbolični sinus, hiperbolični tangens in hiperbolični kotangens, funkciji hiperbolični sekans in hiperbolični kosekans pa sta obravnavani zelo površinsko. 1

13 Poglavje Zgodovina hiperboličnih funkcij Hiperbolične funkcije sta v 60. letih 18. stoletja neodvisno eden od drugega vpeljala Vincenzo Riccati in Johann Heinrich Lambert. Riccati je uporabil oznaki Sc. za sinus (sinus circulare) in Cc. za kosinus (cosinus circulare) ter Sh. za hiperbolični sinus (sinus hyperbolico) in Ch. za hiperbolični kosinus (cosinus hyperbolico). Lambert je privzel imena in spremenil okrajšave v take, kot se ponekod uporabljajo še danes: sinh in cosh. [18].1 Vincenzo Riccati Italijanski matematik Vincenzo Riccati se je rodil 11. januarja leta 1707 v kraju Castelfranco blizu mesta Treviso kot drugi sin matematika Jacopa Francesca Riccatija in Elisabette dei Conti d Onigo. [35] Zgodnjega šolanja je bil deležen doma pod okriljem jezuitov, katerih redu se je leta 176 tudi sam pridružil. Leta 178 je na jezuitskem kolegiju v Piacenzi začel poučevati literaturo. Kasneje je literaturo poučeval še v Padovi in Parmi. Za tem je v Rimu študiral teologijo, nato pa je od leta 1739 v Bologni 30 let poučeval matematiko. Riccati je bil med drugim izučen tudi v vodogradbeništvu. Delal je na obvladovanju poplavne ogroženosti na rekah Reno, Pad, Adiža in Brenta, kar je beneško in bolonjsko regijo reševalo pred 13

14 Slika.1: Vincenzo Riccati ( ). [34] katastrofalnimi poplavami. Ob ukinitvi njegovega reda leta 1773 se je vrnil v rodni Treviso in dve leti za tem, 17. januarja leta 1775 tam umrl za koliko, star 68 let. [8], [9], [35] Pri objavi svojega odkritja, hiperboličnih funkcij, je sodeloval z Girolamom Saladinijem. Riccati ni le vpeljal teh novih funkcij, pač pa je izpeljal tudi enačbe za integrale le-teh. Nato je izpeljal še integrale trigonometričnih funkcij. Njegova knjiga Institutiones ( ) se šteje za prvo obsežno razpravo na temo računanja integralov. Riccati je hiperbolične funkcije razvil in njihove lastnosti dokazal geometrijsko s pomočjo enotske hiperbole x y = 1 ali xy = 1, podobno, kot je opisan v razdelku (4.). [30] Riccati in Saladini sta se ukvarjala tudi z geometrijskimi problemi, kot so traktrisa 1, strofoida in štiriperesna deteljica 3. Oče Vincenza Riccatija, Ja- 1 Traktrisa ali vlečnica krivulja, ki jo zariše telo-točka, privezano na en konec neraztegljive vrvice, medtem ko drugega vlečemo vzdolž premice na isti ravnini. [7] Strofoida ravninska algebrska krivulja 3. reda, v polarnih koordinatah (r, ϕ) podana z enačbo r = a sin(α ϕ)/ sin(α ϕ). [31] 3 Štiriperesna deteljica krivulja, podana z enačbo r(ϕ) = 3 cos(ϕ). [17] 14

15 copo ( ), po komer se imenuje Riccatijeva diferencialna enačba 4, je bil eden vodilnih italijanskih matematikov 18. stoletja. [9]. Johann Heinrich Lambert Johann Heinrich Lambert, nemški matematik, fizik, astronom in filozof, je bil eden velikih mislecev 18. stoletja. Nemški filozof Immanuel Kant ( ) ga je opisal kot največjega genija Nemčije. Posvečal se je optiki, astronomiji, pirometriji, balistiki, psihologiji, fotometriji, algebri, trigonometriji, projekciji, filozofiji, logiki, verjetnosti. Čeprav so bila njegova matematična razmišljanja vredna spoštovanja, pa so bila njegova odkritja dostikrat zasenčena od del njegovih sodobnikov. Izjema je bil njegov prispevek k hiperbolični trigonometriji, ki mu je zagotovil trajno mesto v zgodovini razvoja matematike. Lambert je bil prav tako prvi, ki je dokazal, da je π iracionalno število. Domneval je tudi, da sta tako π kot e transcendentni števili 5, vendar pa je dokaz za to priskrbel šele kasneje Charles Hermite za e in Ferdinand Lindemann za π. [3], [5], [30] Kot sin Lukasa Lamberta, krojača, in Elisabethe Schmerber se je Johann Heinrich rodil 6. avgusta 178 v Mülhausnu (danes Mulhouse, Alzacija, Francija) in umrl za tuberkulozo le 49 let kasneje v Berlinu. Izhajal je iz revnega okolja, zato je bil glede izobraževanja prepuščen samemu sebi. Služboval je kot računovodja, tajnik, zasebni učitelj in arhitekt po Nemčiji, Nizozemski, Franciji, Italiji in Švici. Delal je tudi kot uradnik v železarni, nato pa je postal učitelj v hiši družine grofa Andreasa von Salisa v mestu Coire v Švici, ki je imela v lasti odlično knjižnico. Tu je imel Lambert možnost raziskovati teme, ki so mu bile blizu. Leta 1759 je Coire zapustil in z dvema svojima študentoma potoval po zahodnoevropskih mestih Göttin- 4 Riccatijeva diferencialna enačba enačba oblike y = a(x)y + b(x)y + c(x). [7] 5 Transcendentno število vsako kompleksno število, ki ni algebrsko oziroma ni rešitev nobene polinomske enačbe oblike a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 x 0 = 0, kjer je n > 0 in so koeficienti a i racionalna števila, ne vsa enaka 0. [3] 15

16 Slika.: Johann Heinrich Lambert ( ). [1] gen, Utrecht, Pariz, Marseilles in Torino, nato pa še sam po mestih Augsburg, München, Erlangen, zopet Coire in Leipzig. Živel je v času, ko je bila znanstvena dejavnost skoncentrirana v deželah, ki so jih vodili razsvetljeni vladarji, ki so se radi obdajali z učenjaki. Bil je član berlinske Akademije znanosti, kjer je med drugimi sodeloval z Leonhardom Eulerjem in Josephom Lagrangeem. [1], [], [3] Lambert je bil eden prvih, ki je predvidel nekatere lastnosti Rimske ceste. V svojem delu Kosmologische Briefen (Kozmološka pisma) (1761) je objavil svojo verzijo nastanka Sončevega sistema iz meglice. Predpostavil je, da se zvezde blizu Sonca skupaj gibljejo po Rimski cesti in da je v galaksiji še mnogo takih sistemov zvezd. To je kasneje potrdil Sir William Herschel. Prepričan je bil tudi, da nobeno telo v vesolju ni brez neke vrste življenja. Stvarnik, je zapisal, je veliko preveč celovit, da ne bi vtisnil življenja, sile in dogajanja na vsak drobec prahu... Če naj bi si nekdo ustvaril pravilno podobo sveta, naj si za izhodišče postavi resnično veličino namena Boga, da bi poselil ves svet... Izračunal je tudi dolžino orbite Venerinega satelita, ki 16

17 je obšel planet v 11 dneh in 5 urah na povprečni razdalji 66,5 radijev planeta po tiru, katerega ekscentričnost je znašala 0,195. Lambert ni bil edini, ki je opazoval omenjeni satelit. V 17. in 18. stoletju je 15 različnih astronomov opravilo 33 opazovanj telesa, vendar pa o satelitu ni več nobenega sledu od leta [3], [5] Lambert je prispeval svoj delež tudi k razvoju kartografije. Bil je prvi, ki se je ukvarjal s projekcijo trodimenzionalne Zemeljine površine na dvodimenzionalno površino ploskve valja, stožca ali na ravno ploskev. Po njem se imenuje Lambertova konformna konusna projekcija (slika.3), ki jo je razvil leta 177. To je projekcija, ki preslika točke z Zemljine površine na plašč stožca. Precej natančno se ujema povsod, razen na območjih obeh polov. Po 1. svetovni vojni je ta projekcija dobila novo veljavo in je postala standardna projekcija za večje zemljevide, še posebaj za regije srednjih zemljepisnih širin. [0], [3] Slika.3: Lambertova konformna konusna projekcija. [4] Med drugim je Lambert pomembno prispeval tudi k razvoju optike. Prvi je meril jakost svetlobe. Po njem se imenuje enota za merjenje svetlosti lambert, ki je enak π cd/m (kandela na kvadratni meter). Njegovo delo Photometria (Fotometrija) (1760) je bilo prva pomembnejša knjiga o količinski opredelitvi svetlobe in posledicah. Znan je tudi Lambert-Beerov zakon o absorbciji svetlobe v obarvanih raztopinah, po katerem je svetilnost, ki jo obarvana plast raztopine absorbira, odvisna od debeline tega sloja in 17

18 od molarne koncentracije raztopljene obarvane snovi. [1], [3] Po njem se imenujeta tudi kraterja na Luni in na Marsu ter velik asteroid glavnega pasu 187 Lamberta. [1] 18

19 Poglavje 3 Lastnosti hiperboličnih funkcij 3.1 Definicije in grafi Hiperbolične funkcije so tesno povezane z eksponentno funkcijo x e x, ki je bijektivna preslikava iz R na R +. Za osnovo ima Eulerjevo število 1 e, Ker velja e > 1, funkcija x e x strogo raste na R. Ker je vrednost funkcije vedno pozitivna, je navzdol omejena z 0, navzgor pa ni omejena. Inverz eksponentne funkcije x e x je naravna logaritemska funkcija x ln x. Funkcija x e x je posebej zanimiva v povezavi z odvajanjem in integriranjem, saj se pri teh dveh operacijah ne spremeni: f(x) = e x f (x) = e x f(x) = e x f(x) = e x + C, C = konst. Posledica tega je dejstvo, da lahko eksponentno funkcijo x e x zelo pre- 1 Eulerjevo število matematična konstanta, poimenovana po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju ( ). 19

20 y x Slika 3.1: Eksponentna funkcija. prosto zapišemo v obliki potenčne vrste: e x = 1 + x + x + x3 3! + x4 4! +... = Vrsta absolutno konvergira za vsak realen x. n=0 x n n! Hiperbolični kosinus Funkcija ch : R R (hiperbolični kosinus) je definirana s predpisom ch : x ch x = ex + e x. Oglejmo si definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije. Iz definicije funkcije vidimo, da je res definirana na R. Izraz (e x + e x )/ spominja na enačbo za izračun aritmetične sredine. Velja, da je aritmetična sredina A(a, b) pozitivnih števil a in b vedno večja ali enaka geometrični sredini G(a, b), torej A(a, b) = a + b a b = G(a, b). Enačaj v tej neenačbi velja samo v primeru, ko je a = b. Če spremenljivko a 0

21 zamenjamo z e x in spremenljivko b z e x, dobimo e x + e x e x e x. Torej je ch x 1, s čimer smo določili zalogo vrednosti funkcije hiperbolični kosinus. Poglejmo si še, kaj je s sodostjo oziroma lihostjo funkcije: ch( x) = e x + e x = ch x. Funkcija ch je torej soda, kar pomeni, da je njen graf simetričen glede na ordinatno os. Ko gre x, je vrednost e x / zelo majhna, zato jo smemo v primerjavi z e x / zanemariti. To pomeni, da se pri velikih x graf funkcije ch obnaša kot graf funkcije x e x /. Kje funkcija ch seka ordinatno os, ugotovimo z izračunom vrednosti funkcije pri x = 0. Ko je x = 0, je e x = 1 in e x = 1, torej ch 0 = = 1. Tako smo dobili desno polovico grafa funkcije ch. zaradi sodosti funkcije z zrcaljenjem čez ordinatno os. Levo polovico dobimo 3.1. Hiperbolični sinus Funkcija sh : R R (hiperbolični sinus) je definirana s predpisom sh : x sh x = ex e x. 1

22 y x Slika 3.: Hiperbolični kosinus. Iz definicije vidimo, da je tudi ta funkcija definirana na množici realnih števil. Funkcija sh je liha, saj velja sh( x) = e x e x = sh x. Na vsem definicijskem območju strogo narašča, torej x < y = sh x < sh y. Dokaz za to je naslednji razmislek: vemo, da funkcija x e x strogo pada, torej funkcija x e x strogo narašča. Torej mora biti funkcija sh kot vsota strogo naraščajočih funkcij x e x / in x e x / tudi strogo naraščajoča. Iz istega razloga kot graf funkcija ch se tudi graf funkcije sh obnaša kot graf funkcije x e x /, ko gre x. Graf funkcije hiperbolični sinus gre skozi točko (0, 0), saj je sh 0 = 0. Zaradi lihosti se opisana desna polovica grafa funkcije sh prezrcali čez to točko. S tem dobimo še levo polovico grafa funkcije sh.

23 y x... Slika 3.3: Hiperbolični sinus Hiperbolični tangens Funkcija th : R R (hiperbolični tangens) je definirana s predpisom Funkcija je definirana na R. Ker velja th : x th x = sh x ch x. th( x) = sh x ch x = th x, y x Slika 3.4: Hiperbolični tangens. 3

24 je funkcija th liha. Za x, y > 0 je th(x + y) th x = sh(x + y) ch(x + y) sh x ch x = sh y ch(x + y) ch x > 0, torej je th x < th(x + y), kar dokazuje, da funkcija x th x strogo narašča na R +. Ker je th liha funkcija, strogo narašča tudi na R. Ker za funkcijo th velja in e x e x lim th x = lim x x e x + e x e x (1 e x ) = lim x e x (1 + e x ) = 1 e x e x lim th x = lim x x e x + e x = lim x = 1, e x (e x 1) e x (e x + 1) sta premici y = 1 in y = 1 vodoravni asimptoti njenega grafa. Ker je th 0 = 0, gre graf funkcije th skozi točko (0, 0). Torej je zaloga vrednosti funkcije hiperbolični tangens interval ( 1, 1) Hiperbolični kotangens Funkcija cth : R R (hiperbolični kotangens) je definirana s predpisom cth : x cth x = ch x sh x = 1 th x. Iz definicije lahko vidimo, da je funkcija definirana za vsa realna števila, 4

25 y x Slika 3.5: Hiperbolični kotangens. razen za x = 0, torej je definicijsko območje funkcije cth množica R\ {0}. Graf funkcije cth ima zato navpično asimptoto pri x = 0. Funkcija cth je liha, saj je cth( x) = 1 th x = cth x. Iz th x < th(x + y) = 1 th x > 1 th(x + y) = cth x > cth(x + y) vidimo, da funkcija cth strogo pada na intervalu (0, + ). Ker je liha funkcija, strogo pada tudi na množici strogo negativnih realnih števil. S podobnim razmislekom kot za funkcijo th tudi tu ugotovimo, da velja e x + e x lim cth x = lim x x e x e x 5

26 y x Slika 3.6: Hiperbolični sekans. e x (1 + e x ) = lim x e x (1 e x ) = 1 in e x + e x lim cth x = lim x x e x e x = lim x = 1, e x (e x + 1) e x (e x 1) torej ima tudi graf funkcije cth vodoravni asimptoti pri y = 1 in y = Hiperbolični sekans Funkcija sch : R R (hiperbolični sekans) je definirana s predpisom sch : x sch x = 1 ch x Hiperbolični kosekans Funkcija csh : R R (hiperbolični kosekans) je definirana s predpisom csh : x csh x = 1 sh x. 6

27 y x.... Slika 3.7: Hiperbolični kosekans. 3. Zveze med hiperboličnimi funkcijami Med sh x in ch x velja pomembna zveza saj je ch x sh x = 1, (3.1) ( ) e x + e x ( ) e x e x = 1 ( e x + + e x e x + e x) = 1. 4 Če enakost (3.1) delimo s ch x, dobimo če jo delimo z sh x, pa dobimo 1 th x = 1 ch x, cth x 1 = 1 sh x. Poglejmo si še nekatere druge zveze. Ker je th x = 1/ cth x, velja zveza th x cth x = 1. 7

28 Veljata pa tudi enakosti in th x + sch x = 1 (3.) cth x csh x = 1. (3.3) Ker je th x + sch x = sh x + 1 ch x in ker iz zveze (3.1) sledi ch x = sh x + 1, zveza (3.) res velja. Podobno razmislimo še o zvezi (3.3); ker velja cth x csh x = ch x 1 sh x in ker iz zveze (3.1) sledi tudi sh x = ch x 1, enakost velja. Navedimo in dokažimo še zvezo med funkcijama sh in th: sh x = th x 1 th x. (3.4) Dokaz za to izpeljemo iz zveze (3.1), in sicer tako, da levo in desno stran enakosti delimo z sh x in dobimo 1 th x 1 = 1 sh x sh x = th x 1 th x S korenjenjem leve in desne strani enakosti sedaj res dobimo zvezo (3.4). 3.3 Area funkcije Iz dejstva, da sta sh in th lihi funkciji, sledi, da strogo naraščata na množici R. Velja: 8

29 Izrek 1. [6] Naj bo S neprazna podmnožica množice realnih števil R in naj bo f strogo monotona funkcija, ki deluje na množici S. a) Tedaj za funkcijo f obstaja inverzna funkcija f 1. b) Če f strogo narašča na S, potem tudi f 1 strogo narašča na R(f). c) Če f strogo pada na S, potem tudi f 1 strogo pada na R(f). Iz izreka 1 sledi, da za funkciji sh in th obstajata inverzni funkciji sh 1 in th 1. Funkcija sh 1 je definirana na R, ker je R(sh) = R, funkcija th 1 pa je definirana na intervalu ( 1, 1), saj je R(th) = ( 1, 1). Nasprotno pa funkcija ch zaradi sodosti ni bijektivna (premica y = b seka krivuljo y = ch x v dveh točkah za vsak b > 1). Označimo s Ch desno polovico krivulje y = ch x, torej funkcijo ch na intervalu [0, + ), in s Cth funkcijo cth na množici R +. Funkciji Ch in Cth sta strogo monotoni funkciji, zato iz izreka 1 sledi, da obstajata tudi inverzni funkciji Ch 1 in Cth 1. Pri tem je funkcija Ch 1 definirana na poltraku [1, ), njena zaloga vrednosti pa je interval [0, + ). Funkcija Cth 1 je definirana na poltraku (1, ), njena zaloga vrednosti pa je množica R +. Poiščimo sedaj izraze za sh 1 y, th 1 y, Ch 1 y in Cth 1 y, ki jih po vrsti imenujemo area hiperbolični sinus (Ar sh y), area hiperbolični tangens (Ar th y), area hiperbolični kosinus (Ar ch y) in area hiperbolični kotangens (Ar cth y) Za realno število y = sh x = (e x e x )/ je e x e x y = 0. Z množenjem enačbe z e x dobimo u uy 1 = 0, (3.5) kjer je u = e x. Z reševanjem kvadratne enačbe (3.5) dobimo u = y ± y + 1. (3.6) Ker je y < y + 1 in u = e x > 0, lahko iz enačbe (3.6) zapišemo e x = y + y + 1 = x = ln(y + y + 1). 9

30 Iz y = sh x sledi x = sh 1 y. Funkcija sh 1 : R R pa je podana z enačbo Ar sh y = ln(y + y + 1), y R. 3.. Za realno število y ( 1, 1) je y = th x = ex e x e x + e x = (1 y)e x = (1 + y)e x = = e x = 1 + y 1 y = x = 1 ln 1 + y 1 y. Funkcija th 1 je torej podana z enačbo 1 + y Ar th y = ln, y ( 1, 1). 1 y 3..3 Za realno število y 1 je y = Ch x = ex + e x = e x ye x + 1 = 0 = e x = y ± y 1. Ker velja ln(y y 1)+ln(y+ y 1) = ln((y y 1)(y+ y 1)) = ln 1 = 0, je tudi x = ln(y + y 1) ali x = ln(y y 1) = ln(y + y 1). Strogo naraščajoča funkcija Ch 1 je torej podana z enačbo Ar ch y = ln(y + y 1), y Ker je funkcija th definirana na intervalu ( 1, 1) in velja cth x = 1/ th x, je D(cth) = {1/t : 0 < t < 1} = {t R : t > 1}. Torej je y + 1 Ar cth y = ln, y > 1. y 1 30

31 3.4 Adicijski izreki Adicijski izrek je relacija, ki izraža funkcijsko vrednost vsote s funkcijskimi vrednostmi posameznih sumandov. Za hiperbolične funkcije veljajo podobni adicijski izreki kot za trigonometrične funkcije. Veljajo namreč naslednji trije adicijski izreki [11]: Izrek. ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y Dokaz. ch x ch y + sh x sh y = ex + e x ey + e y + ex e x ey e y = (ex+y + e x+y + e x y + e x y ) + (e x+y e x+y e x y + e x y ) 4 = ex+y + e x y = ch(x + y) Izrek 3. sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y Dokaz. sh x ch y + ch x sh y = ex e x ey + e y + ex + e x ey e y = (ex+y e x+y + e x y e x y ) + (e x+y + e x+y e x y e x y ) 4 = ex+y e x y = sh(x + y) Izrek 4. th(x + y) = Dokaz. th x + th y 1 + th x th y th x + th y 1 + th x th y = sh x ch x +sh ch y y 1 + ch sh x x sh y ch y = sh x ch y + ch x sh y ch x ch y ch x ch y + sh x sh y ch x ch y = sh(x + y) ch(x + y) = th(x + y) 31

32 Iz teh treh izrekov s spremembo predznaka spremenljivke y sledijo naslednje relacije, ki jih zaradi podobnosti s prejšnjimi dokazi ne bomo dokazovali: Posledica 5. ch(x y) = ch x ch y sh x sh y Posledica 6. sh(x y) = sh x ch y ch x sh y Posledica 7. th(x y) = Iz izrekov za x = y sledi še: th x th y 1 th x th y Posledica 8. ch x = ch x + sh x Posledica 9. sh x = sh x ch x Posledica 10. th x = th x 1 + th x Če sedaj prvič seštejemo in drugič odštejemo enakosti () in (5), dobimo še Posledica 11. ch(x + y) + ch(x y) = ch x ch y Posledica 1. ch(x + y) ch(x y) = sh x sh y Če seštejemo in odštejemo enakosti (3) in (6), dobimo Posledica 13. sh(x + y) + sh(x y) = sh x ch y Posledica 14. sh(x + y) sh(x y) = ch x sh y Z uvedbo novih spremenljivk u = x + y in v = x y preoblikujemo enakosti (11), (1), (13) in (14) v Posledica 15. ch u + ch v = ch u + v Posledica 16. ch u ch v = sh u + v Posledica 17. sh u + sh v = sh u + v Posledica 18. sh u sh v = ch u + v 3 ch u v sh u v ch u v sh u v

33 3.5 Odvodi Odvod funkcije x f(x) je definiran z enakostjo f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h in obstaja za tiste vrednosti spremenljivke x, v katere okolici je funkcija definirana in obstaja končna limita lim h 0 f(x + h) f(x). [1] h Ker so hiperbolične funkcije sestavljene iz eksponentne funkcije x e x, bomo njihove odvode poiskali s pomočjo odvoda te funkcije in pravil za odvajanje. Funkcija x e x ima odvod (e x ) = e x v vsaki točki x R, ker je (e x ) = lim h 0 e x+h e x h e x (e h 1) = lim. h 0 h Pri majhnih vrednostih se h le malo razlikuje od 1, zato zapišemo e h = 1 + 1/m, kjer je pri majhnih vrednostih h število m veliko. Od tod lahko zapišemo h = log(1 + 1 m ). Potem je e h 1 h = 1 m log(1 + 1 m ) = 1 log(1 + 1 m )m. Če gre torej h 0, gre m in log(1 + 1/m) m 1. Torej je e h 1 lim h 0 h = 1 33

34 in je torej res (e x ) = e x. [11] Po pravilu za odvajanje sestavljenih funkcij (g f) (x) = g (f(x)) f (x) dobimo še odvod (e x ) = e x ( 1) = e x. Sedaj poiščimo odvode hiperboličnih funkcij. Odvoda funkcij ch in sh sta precej enostavna: in ( e x (ch x) + e x ) = = ex e x ( e x (sh x) e x ) = = ex + e x = sh x = ch x. Pri odvodu funkcij th in cth uporabimo pravilo za odvajanje kvocienta (u/v) = u v uv v in zvezo med ch x in sh x ch x sh x = 1 in dobimo: in (th x) = ( ) sh x = (sh x) ch x sh x(ch x) ch x ch x = ch x sh x ch x = 1 ch x (cth x) = ( ) ch x = (ch x) sh x ch x(sh x) sh x sh x = sh x ch x sh x = 1 sh x, pri odvajanju funkcij sch in csh pa uporabimo pravilo (1/u) = (u /u ) in dobimo: in (sch x) = (csh x) = ( ) 1 = sh x ch x ch x = th x ch x ( ) 1 = ch x sh x sh x = cth x sh x. 34

35 Ker jih bomo v nadaljevanju potrebovali, poiščimo še odvode inverznih hiperboličnih funkcij, torej area funkcij. Pri tem bomo uporabili pravilo za odvajanje naravnega logaritma (ln x) = 1/x in pravilo za odvajanje sestavljenih funkcij. Najprej odvajajmo funkcijo Ar sh. (Ar sh y) = ( ( ln y + y + 1 ( 1 = y y = y + y = y + 1 )) ) y y + 1 y y y + 1 za y R. Na podoben način dobimo odvod funkcije Ar ch. (Ar ch y) = ( ( ln y + y 1 ( 1 = y y 1 1 = y + y 1 1 = y 1 )) ) y y 1 y 1 + y y 1 za y 1. Poiščimo zdaj odvod funkcije Ar th. (Ar th y) = ( 1 ln 1 + y ) 1 y = 1 1 y 1 + y = (1 + y)(1 y) (1 y) + (1 + y) (1 y) = 1 1 y za y ( 1, 1). 35

36 Pa še odvod funkcije Ar cth. (Ar cth y) = 3.6 Integrali ( 1 ln y + 1 ) y 1 = 1 y 1 (y 1) (y + 1) y + 1 (y 1) = (y + 1)(y 1) 1 = (1 + y)(1 y) = 1 za y > 1. 1 y V prejšnjem razdelku smo imeli dano funkcijo in iskali njen odvod. V integralskem računu pa iščemo funkcijo, ki jo moramo odvajati, da dobimo funkcijo. Integral funkcije je izraz f(x)dx = F (x) + C, C = konst. in velja F (x) = f(x) f(x)dx = F (x) + C. [1] Kot pri iskanju odvodov hiperboličnih funkcij si tudi pri integriranju teh pomagamo z integralom eksponentne funkcije. Ker velja velja tudi (e x ) = e x, e x dx = e x + C. 36

37 In ker velja (e x ) = e x, velja tudi e x dx = e x + C oziroma e x dx = e x + C. Z upoštevanjem tega in pravil integriranja [10] najprej poiščemo integrala hiperboličnega sinusa in kosinusa. e x e x sh x dx = dx = 1 ( e x dx ) e x dx = 1 ( e x + e x) + C, in je torej sh x dx = ch x + C. e x + e x ch x dx = dx = 1 ( zato je e x dx + ch x dx = sh x + C. ) e x dx = 1 ( e x e x) + C, Pri integriranju hiperboličnega tangensa in kotangensa si pomagamo s pravilom in dobimo in f (x) f(x) th x dx = cth x dx = dx = ln f(x) + C sh x dx = ln ch x + C ch x ch x dx = ln sh x + C sh x 37

38 Poiščimo sedaj integral funkcije hiperbolični sekans. dx sch x dx = ch x = dx e x + e = x Na tem mestu uporabimo substitucijo e x dx 1 + e x in dobimo Z upoštevanjem pravila dobimo t = e x, dt = e x dx, dx = (dt/t) (3.7) sch x dx = dt 1 + t. dx 1 + x = arctg x + C sch x dx = arctg t + C in končno sch x dx = arctg e x + C. Podobno se lotimo še integrala hiperboličnega kosekansa. dx csh x dx = sh x = dx e x e = e x dx x 1 e x Ponovno uporabimo substitucijo (3.7) in dobimo dt csh xdx = 1 t. Ker velja dobimo na koncu dt 1 t = 1 ln 1+t 1 t + C za t < 1 1 ln 1+t + C za t > 1 t 1 csh x dx = ln 1 + e x 1 e x + C., 38

39 3.7 Razvoji v potenčne vrste Zvezno funkcijo ene spremenljivke f(x), ki je v okolici točke x = a neskončnokrat odvedljiva, lahko zapišemo v obliki potenčne vrste kot f(a + h) = f(a) + h 1! f (a) + h! f (a) hn n! f (n) (a) + R n (3.8) Ta formula se imenuje Taylorjeva vrsta, člen R n pa je ostanek vrste, definiran kot razlika med f(a + h) in izrazom in ga izračunamo kot f(a) + h 1! f (a) + h! f (a) hn n! f (n) (a) R n = Formula (3.8) se za a = 0 in h = x glasi hn+1 (n + 1)! f (n+1) (a + ϑh), 0 < ϑ < 1. f(x) = f(0) + x 1! f (0) + x! f (0) xn n! f (n) (0) + R n, (3.9) ostanek R n pa ima zdaj obliko R n = xn+1 (n + 1)! f (n+1) (ϑx), 0 < ϑ < 1. Tudi potenčne vrste hiperboličnih funkcij bomo razvili s pomočjo razvoja potenčne vrste eksponentne funkcije f(x) = e x. Zaporedni odvodi funkcije e x so f (x) = f (x) =... = f (n) (x) = e x, torej je f(0) = f (0) = f (0) =... = f (n) (0) = 1. Taylorjeva vrsta (3.9) se v tem primeru glasi e x = 1 + x 1! + x! xn n! + R n. 39

40 Ostanek R n lahko zapišemo kot R n = xn+1 (n + 1)! eϑx = e ϑx x 1 x x 3... x n + 1. Če je le n dovolj velik, lahko postane R n tako majhen, kot želimo. Naj bo sedaj m največje celo število, ki je manjše od x. Produkt e ϑx x 1 x x 3... x m ima neko končno vrednost, vsi nadaljni faktorji v R n so absolutno manjši od 1. Zato velja Torej je vrsta lim R n = 0. n e x = 1 + x 1! + x! + x3 3! +... = absolutno konvergentna za vsak x. [11] n=0 x x... x pa m+1 m+ n+1 x n n! Razvijmo sedaj v vrsti funkciji sh in ch. sh x = ex e x ( = 1 x n ) n! ( x) n n! n=0 n=0 = 1 ( x 1! x + x 1!! x! + x3 3! ( x)3 3! = 1 ( x ) 1! + x3 3! + x5 5! + x7 7! +... = x + x3 3! + x5 5! + x7 7! +... x n+1 = (n + 1)! n=0 )

41 ch x = ex + e x ( = 1 x n ) n! + ( x) n n! n=0 n=0 = 1 ( x 1! + x + x 1!! + ( x)! = 1 ) ( + x! + x4 4! + x6 6! +... = 1 + x! + x4 4! + x6 6! +... x n = (n)! n=0 + x3 3! + ( x)3 3! ) +... Obe vrsti sta absolutno konvergentni za vsak realen x. Kako se v vrsto razvijeta funkciji th in cth zaradi kompleksnosti ne bomo izpeljevali, vseeno pa ju zapišimo [10]: th x = x x3 3 + x x n ( n 1)B n x n 1 (n)! in +... π < x < π cth x = 1 x + x 3 x x n B n x n π < x < π. (n)! Z B k so označena Bernoullijeva števila, ki so definirana s pomočjo razvoja x e x 1 = B x 0 + B 1 1! + B x! + B x 3 3 3! +... = n=0 B n x n n! za x < π. 41

42

43 Poglavje 4 Analogija s trigonometričnimi funkcijami 4.1 Trigonometrične funkcije Trigonometrične funkcije prav tako kot hiperbolične pripadajo transcendentnim funkcijam in so tesno povezane s stožnicami. Temeljijo na presekih s krožnimi loki krožnice x + y = 1. Za ostre kote so definirane v pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c, nasproti ležečo kateto a in priležno kateto b (slika 4.1): sinus: kosinus: tangens: kotangens: sekans: kosekans: sin α = a c cos α = b c tg α = a b ctg α = b a sc α = c b csc α = c a Trigonometrične funkcije pa lahko definiramo tudi na enotskem krogu, kjer merimo kot α od polmera OA do pomičnega polmera OC v nasprotni smeri 43

44 Slika 4.1: Pravokotni trikotnik. vrtenja urinega kazalca (slika 4.). Z enotskim krogom (OA = R = 1) lahko funkcije opredelimo kot: sinus: kosinus: tangens: kotangens: sekans: kosekans: sin α = BC cos α = OB tg α = AD ctg α = EF sc α = OD csc α = OF Slika 4.: Enotski krog. Za tako definirane trigonometrične funkcije lahko argument predstavlja središčni kot ali pa tudi ploščino krožnega izseka p, ki pripada središčnemu kotu α, saj za R = 1 velja p = 1 R α = α. 44

45 Tako je tudi sin p = BC, cos p = OB, tg p = AD, ctg p = EF, sc p = OD in csc p = OF. [1], [10] 4. Geometrijska razlaga hiperboličnih funkcij Hiperbolične funkcije razložimo podobno kot trigonometrične s ploščinskim argumentom, le da namesto krožnega izseka kroga, danega z enačbo x +y = 1, obravnavamo ustrezni izsek hiperbole, dane z enačbo x y = 1 (slika 4.3). Na hiperboli si izberemo točko C(x, y). Ustreza ji natanko en t R, tako da velja sh t = BC = y, ch t = OB = x, th t = AD. Povezan je s središčnim kotom α, in sicer velja tg α = th t. Sedaj s črko p označimo ploščino obarvanega lika OCAE (slika 4.3). Ploščina polovice tega lika, torej lika OCA, je enaka ploščini trikotnika OCB, od katere odštejemo ploščino hiperbolnega odseka ABC. Imamo torej 1 p = 1 xy x 1 x 1dx. S pomočjo integracije per partes izračunamo desni integral in dobimo 1 p = 1 xy 1 x x ( ln x + ) x 1. In ker je y = x 1, sledi 1 p = 1 xy 1 xy + 1 ( ln x + ) x 1 = 1 (x ln + ) x 1 = 1 Ar ch x 45

46 Slika 4.3: Enotska hiperbola. Če izrazimo sedaj x s polovično tetivo BC, torej x = y + 1, je ploščina p enaka p = Ar sh y. In ker velja sh t = y t = Ar sh y, je tudi tu zveza med parametrom t in ploščimo p p = t. Argument pri prej definiranih hiperboličnih funkcijah torej predstavlja ploščino izseka hiperbole OCAE. Tako lahko zapišemo tudi sh p = BC, ch p = OB in th p = AD. [1], [11] 46

47 4.3 Hiperbolične in trigonometrične funkcije v kompleksni ravnini V kompleksni ravnini lahko hiperbolične in trigonometrične funkcije predstavimo z istimi funkcijami in jih transformiramo ene v druge s pomočjo kompleksnega argumenta. Spomnimo se najprej Taylorjevih vrst za trigonometrični funkciji sin in cos ter za eksponentno funkcijo x e x : sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! +... e x = 1 + x 1! + x! + x3 3! +... (4.1) Vse tri vrste so absolutno konvergentne za vsak realen, pa tudi kompleksen x [11]. Smiselno je vpeljati za vsak kompleksen z e z = 1 + z 1! + z! + z3 3! +... (4.) Sedaj si poglejmo, kaj se z vrsto (4.) zgodi, če za eksponent vzamemo čisto imaginarno število, torej z = ix, kjer je x realno število, za i pa velja i = 1: e ix = 1 + ix x! ix3 + x4 3! 4! +... (4.3) Če v vrsti (4.3) ločimo realne in imaginarne člene, dobimo ) ) e ix = (1 x! + x4 4! x6 6! i (x x3 3! + x5 5! x7 7! +... Opazimo, da smo v oklepaja zapisali ravno vrsti za funkciji sin in cos. Torej lahko zapišemo e ix = cos x + i sin x. (4.4) 47

48 Če spremenljivki x spremenimo predznak, torej x x, dobimo e ix = cos x i sin x. (4.5) Sedaj enkrat seštejemo in enkrat odštejemo enakosti (4.4) in (4.5) in dobimo e ix + e ix = cos x in e ix e ix = i sin x in od tod Eulerjevi formuli 1 in cos x = eix + e ix sin x = eix e ix i. Pri imaginarnem kotu ti dve enačbi postaneta in cos(ix) = e x + e x (4.6) sin(ix) = e x e x. i (4.7) Primerjajmo sedaj enačbi (4.6) in (4.7) z definicijama hiperboličnih funkcij sh in ch: cos(ix) = ch x (4.8) in sin(ix) = i sh x. (4.9) 1 Eulerjeva formula matematična formula v kompleksni analizi, imenovana po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju ( ), ki povezuje trigonometrične funkcje in kompleksno eksponentno funkcjo. [16] 48

49 Funkciji tg in ctg lahko pri kompleksnem argumentu z pišemo kot in tg z = sin z cos z = 1 i e iz e iz e iz + e iz = 1 i e iz 1 e iz + 1 ctg z = cos z sin z = i eiz + e iz e iz e iz = i eiz + 1 e iz 1. Pri imaginarnem argumentu imamo tako tg(ix) = sin(ix) cos(ix) = i sh x ch x = i th x in ctg(ix) = cos(ix) sin(ix) = ch x i sh x = i cth x. Tako smo dobili povezave med hiperboličnimi in trigonometričnimi funkcijami s pomočjo kompleksnega argumenta. [11] 49

50

51 Poglavje 5 Zveza z diferencialnimi enačbami 5.1 Verižnica Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo obesimo v dveh točkah tako, da prosto visi, zaradi težnosti po umiritvi zavzame obliko krivulje, ki ji pravimo verižnica. [6] Slika 5.1: Veriga. 51

52 Slika 5.: The Gateway Arch. [14] O krivulji, ki ima obliko v dveh koncih vpete verige, je razmišljal že Galileo Galilei ( ), vendar pa je bila po njegovem prepričanju ta krivulja parabola. Značilnosti verižnice je kot prvi začel raziskovati Robert Hooke ( ) v 70. letih 17. stoletja, enačbo zanjo pa so na pobudo Jakoba Bernoullija ( ) leta 1691 izpeljali Gottfried Wilhelm Leibniz ( ), Christiaan Huygens ( ) in Johann Bernoulli ( ). Ugotovili so, da je verižnica graf funkcije hiperbolični kosinus. [14] Slika 5.3: Primer preprostega visečega mostu. [13] Verižnica je zelo pomembna v arhitekturi in gradbeništvu pri gradnji mostov in obokov. Oboki, ki so zgrajeni v obliki pokončne verižnice, so namreč zelo 5

53 Slika 5.4: Golden Gate Bridge. [14] trdni in se ne zrušijo pod lastno težo, saj so kamni, iz katerih so zgrajeni, le stisnjeni. Oboki drugačnih oblik pa radi pokajo. Primer takega oboka je The Gateway Arch (slika 5.), ki stoji v mestu St. Louis v ameriški zvezni državi Missouri. Prav tako kot prosto viseča veriga, vpeta v dveh točkah, dobi obliko verižnice tudi preprost viseči most (slika 5.3). Ostali viseči mostovi, kot na primer Golden Gate Bridge (slika 5.4) v San Franciscu v Californii, pa zaradi teže konstrukcije, ki jo nosijo, zavzamejo obliko parabole. [8], [14] Fizikalni dokaz enačbe verižnice Enačba verižnice se glasi y = a ch x a. Pogledali si bomo fizikalni dokaz te trditve. Na verigi, ki jo obesimo v dveh točkah tako, da prosto visi, si izberemo točki A in B, kot kaže slika (5.5). Točki nista na isti vertikali. Na del verige med tema dvema točkama delujejo tri sile: sila teže F g, tangentna sila na 53

54 Slika 5.5: Sile, ki delujejo na del verige med točkama A in B. verigo F v točki A in tangentna sila na verigo F + df v točki B. Ker veriga miruje, so vse tri sile v ravnovesju, torej mora biti njihova vsota enaka nič tako v smeri osi x kot v smeri osi y. Torej: F x + F x + df x = 0 = df x = 0 F y + F y + df y F g = 0 = df y = F g Silo teže obravnavanega dela verige lahko pišemo kot F g = dm g = σ 0 g ds, kjer je σ 0 specifična gostota verige, ds dolžina obravnavanega dela verige in g težnostni pospešek. Torej je df y = σ 0 g ds oziroma df y ds = σ 0 g. (5.1) Izrazimo sedaj sili F x in F y s kotom ϕ: F x = F cos ϕ = F 0 = konst. = F = F 0 cos ϕ 54

55 F y = F sin ϕ = F 0 cos ϕ sin ϕ = F 0 tg ϕ In ker velja je tg ϕ = dy dx = y, F y = F 0 y. (5.) Iz enačb (5.1) in (5.) sledi d(f 0 y ) ds = σ 0 g in dalje torej F 0 dy dx dx ds = σ 0 g, F 0 y = σ 0 g ds dx. (5.3) Spomnimo se na izrek: Izrek 19. [4] Graf funkcije f, ki je zvezno odvedljiva na odseku [α, β], ima dolžino l = β α 1 + (f (x)) dx. (5.4) S pomočjo izreka (19) lahko sedaj enačbo (5.3) zapišemo kot F 0 y = σ 0 g 1 + y oziroma y = σ 0 g F y. Konstanto poenostavimo z a = F 0 σ 0 g 55

56 in dobimo diferencialno enačbo verižnice y = 1 a 1 + y. (5.5) Na tem mestu uvedemo novo spremenljivko p = y in iz enačbe (5.5) dobimo p = 1 a 1 + p = dp dx. Z integriranjem enakosti dp 1 + p = dx a dobimo Ar sh p = x x 0, (5.6) a kjer je x 0 integracijska konstanta. V enačbo (5.6) vstavimo p = y in dobimo y = sh x x 0 a = dy dx. Z integriranjem enakosti dy = dobimo splošno enačbo verižnice sh x x 0 dx a y = f(x) = a ch x x 0 a kjer je y 0 druga integracijska konstanta. [14], [1] + y 0, (5.7) 5.1. Verižnica skozi dve točki Skozi točki T 1 (α, A) in T (β, B) naj poteka verižnica dolžine l, ki jo opisuje enačba (5.7). Za točki T 1 in T naj bo α < β. Pri tem mora biti izpolnjen pogoj T 1 T < l, torej (β α) + (B A) < l. 56

57 Najprej odvajamo funkcijo f(x) = y iz enačbe (5.7) in dobimo f (x) = (a ch x x 0 a + y 0 ) = sh x x 0 a. To vstavimo v enačbo (5.4) in dobimo l = a sh x x 0 a β = a α ( sh β x 0 sh α x 0 a a ). Uporabimo posledico adicijskih izrekov (18) in dobimo l = a ch β + α x 0 a sh β α a. (5.8) Veljata tudi enakosti in A = a ch α x 0 a B = a ch β x 0 a + y 0 (5.9) + y 0. (5.10) Če enačbo (5.9) odštejemo od enačbe (5.10), dobimo B A = a ch β x 0 a + y 0 a ch α x 0 a y 0 = a ( ch β x 0 ch α x ) 0 a a S pomočjo posledice adicijskih izrekov (16) imamo sedaj B A = a sh β + α x 0 a sh β α a. (5.11) Sedaj med seboj delimo enačbi (5.8) in (5.11) in dobimo B A l = th β + α x 0 a. (5.1) 57

58 Med funkcijama sh in th velja zveza (3.4), zato lahko zapišemo sh β + α x 0 a = th β+α x 0 a 1 th β+α x 0 a = B A l 1 ( ). B A l To vstavimo v enakost (5.11) in dobimo B A = a l B A 1 ( B A l V primeru, ko je A = B, iz enakosti (5.1) sledi ) sh β α a. (5.13) th β + α x 0 a = 0 = β + α x 0 a = 0 = α + β saj velja th 0 = 0. V tem primeru iz enakosti (5.8) sledi saj je ch 0 = 1. l a = sh β α a = β α a l β α, = x 0, Če A B, iz (5.13) dobimo sh β α = l ( ) B A 1 = β α ( ) l B A 1. a a l a β α l Poenostavimo z vpeljavo konstante ρ = l ( B A 1 β α l ) in nove neznanke z = β α a. (5.14) Iščemo torej pozitivni koren z 0 enačbe sh z = ρz, (5.15) 58

59 torej koordinato x preseka krivulje sh z in premice ρz. Opazimo, da ima enačba pozitivno rešitev le v primeru, ko je ρ > 1. Enačbo (5.15) rešimo numerično. Ko dobimo z 0, lahko s pomočjo enakosti (5.14) izrazimo še iz enakosti (5.1) dobimo in iz enakosti (5.9) x 0 = α + β a = β α z 0, (5.16) a Ar th B A l y 0 = A a ch α x 0 a (5.17). (5.18) Tako smo dobili enačbe za vse tri neznanke, torej za a, x 0 in y 0. Določimo sedaj minimum obravnavanega dela verižnice. Vemo, da je stacionarna točka funkcije tista točka, v kateri je prvi odvod funkcije enak nič, v tem primeru je torej sh x x 0 a = 0. Ker velja sh 0 = 0, je x = x 0. Iz splošne enačbe verižnice dobimo še y = a ch 0 + y 0 = a + y 0. Tako smo dobili koordinati iskanega minimuma T (x 0, a + y 0 ). Preverimo sedaj dobljene enakosti na primeru. Za primer vzemimo verigo, dolgo 9 enot, ki smo jo obesili v točki T 1 (1, 5) in T (6, 3). Tedaj je α = 1, A = 5, β = 6, B = 3 in l = 9. Najprej izračunamo vrednost konstante ρ: ρ = l ( ) B A 1 = β α l 59

60 Slika 5.6: Veriga, obes ena v toc ki T1 in T. Pri iskanju vrednosti z0 si pomagamo s programom Derive in dobimo z0 = Sedaj pois c imo s e vrednosti spremenljivk a, x0 in y0 iz enakosti (5.16), (5.17) in (5.18): a = x0 = β α = z0 α+β B A a Ar th = l y0 = A a ch α x0 = a Minimum je torej v toc ki T (x0, a + y0 ) = T (3.7915, ). Nalogo preverimo s e praktic no. Na steno obesimo list papirja z mrez o, na kateri so oznac ene toc ke T1 (1, 5), T (6, 3) in izrac unana toc ka T (3.8, 0.6) (slika 5.6). Z bucikama pripnemo verigo, dolgo 9 enot, v dani toc ki T1 in T. Toc ka T se na sliki ne vidi, saj jo pokriva minimum veriz nice, kar dokazuje pravilnost izrac unanih koordinat x0 in a + y0. [1] 60

61 5. Dirichletov problem Dirichletov problem je postopek iskanja funkcije, ki reši določeno parcialno diferencialno enačbo v notranjosti danega območja, ki zavzame neke vrednosti na robu tega območja. Imenuje se po nemškem matematiku Gustavu Lejeuneu Dirichletu ( ). Dirichletov problem nastopa pri mnogih parcialnih diferencialnih enačbah, čeprav je bil prvotno zasnovan le za Laplaceovo enačbo. V tem primeru lahko problem zastavimo takole: dana je funkcija f z vrednostmi povsod po robu območja v R n. Ali obstaja enolična zvezna funkcija u, ki je dvakrat zvezno odvedljiva v notranjosti in zvezna na robu, tako da je harmonična v notranjosti, na robu pa velja u = f? Ta zahteva se imenuje Dirichletov robni pogoj. [15] Hiperbolične funkcije najdemo v rešitvah Dirichletovega problema za pravokotnik 0 x a, 0 y b (slika 5.7). Iščemo rešitev u(x, y) Laplaceove diferencialne enačbe u(x, y) = u x (x, y) + u (x, y) = 0, (5.19) y ki zadošča robnim pogojem u(0, y) = ϕ 1 (y), u(a, y) = ϕ (y), u(x, 0) = ψ 1 (x), u(x, b) = ψ (x). Slika 5.7: Dirichletov problem za pravokotnik. 61

62 Najprej poiščemo partikularno rešitev za robne pogoje ϕ 1 (y) = ϕ (y) = 0. Z multiplikativno substitucijo u = X(x)Y (y) v enačbi (5.19) lahko zapišemo X Y + XY = 0. (5.0) Če enačbo (5.0) delimo z XY, dobimo in je torej X X X + Y Y = 0 X = k in Y Y = k, kjer je k > 0. Dalje lahko zapišemo X + kx = 0 (5.1) in Y ky = 0. (5.) Dobljeni enačbi sta homogeni linearni diferencialni enačbi drugega reda. Njuni rešitvi najdemo s pomočjo vpeljave karakterističnih enačb []. Najprej rešimo enačbo (5.1). Njena karakteristična enačba je P (m) = m + k = 0, ki jo dobimo iz nastavka X = e mx. Splošna rešitev enačbe (5.1) je X(x) = C 1 cos k x + C sin k x. Podobno se lotimo enačbe (5.). S pomočjo karakteristične enačbe P (m) = m k = 0, ki jo tudi dobimo iz nastavka Y = e my, dobimo splošno rešitev Y (y) = D 1 ch k y + D sh k y. Pri tem smo uporabili obrazca e ±iα = cos α ± i sin α in e ±α = ch α ± sh α. Rešitev Dirichletovega problema ni predstavljena do potankosti, pač pa le toliko, da služi svojemu namenu, to je prikazati uporabo hiperboličnih funkcij na konkretnem primeru. Celotno rešitev Dirichletovega problema za pravokotnik najdemo na primer v [1]. 6

63 Poglavje 6 Zaključek Pri pisanju svojega diplomskega dela sem spoznala, da so hiperbolične funkcije veliko bolj zanimive in uporabne, kot bi si sprva mislila. Povezane so z eksponentno funkcijo, preko kompleksnih funkcij s trigonometričnimi, njihovi inverzi pa se izražajo z logaritemsko funkcijo. Uporabne so na mnogih področjih matematike in fizike. V tem diplomskem delu sta predstavljena dva primera. Prvi primer je verižnica, ki je uporabna predvsem na področju arhitekture in gradbeništva. Oboki, ki so zgrajeni v obliki narobe obrnjene verižnice, so trdni in ne pokajo, saj vsak kamen na nek način počiva na sosednjih. Lastnosti takih obokov uporabljajo tudi pri gradnji kupol, saj so prav tako bolj trdne od ostalih. V drugem primeru pa nakažemo uporabo hiperboličnih funkcij pri reševanju Dirichletovega problema za pravokotnik. Dejstvo je torej, da hiperbolične funkcije pogosto srečujemo v vsakdanjem življenju, le da jih dostikrat ne opazimo. Verižnica, na primer, se zelo malo razlikuje od oblike parabole. Ljudje pa pri omembi hiperboličnih funkcij dostikrat niti ne vedo, katere funkcije so to. 63

64

65 Literatura [1] Bronštejn, I. N., Semendjajev, K. A., Musiol, G. & Mühlig, H. (009). Matematični priročnik. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. [] Cencelj, M. (003). Navadne diferencialne enačbe. Študijsko gradivo. [3] Hairer, E. (1995). Analysis by Its History. New York: Springer-Verlag, Inc. [4] Klinc, T. (1994). Predavanja iz matematike. Del 1. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo. [5] Križanič, F. (1990). Temelji realne matematične analize. Ljubljana: Državna založba Slovenije. [6] Kurepa, S. (1970). Matematička analiza, prvi dio. Zagreb: Tehnička knjiga. [7] Lavrič, B. (1990). Traktrisa. Presek, 17 (5), str. 17. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. [8] Likar, A. (1990). Veriga in obok. Presek, 18 (3), str Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. [9] Razpet, M. & Razpet, N. (1998). Kvadratno kolo, verižnica in traktrisa. Presek, 5 (5), str Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. 65

66 [10] Stöcker, H. (006). Matematični priročnik z osnovami računalništva. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. [11] Vidav, I. (1994). Višja matematika I. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. [1] Zakrajšek, E. (1999). Verižnica. Študijsko gradivo. [13] Albania suspension bridge. URL= File:Albania suspension bridge.jpg ( ) [14] Catenary. URL= ( ) [15] Dirichlet problem. URL= problem ( ) [16] Eulerjeva formula. URL= formula ( ) [17] Graph of the 4-Petal Rose. URL= Coordinates-Graphs/Rose-4/4-Petal-Leaf-L.htm ( ) [18] Hyperbolic function. URL= function ( ) [19] Hyperbolic functions. URL= mathcentre/hyperbolicfunctions.pdf ( ) 66

67 [0] Johann Heinrich Lambert. URL= Heinrich Lambert ( ) [1] Johann Heinrich Lambert. URL= Heinrich Lambert ( ) [] Johann Heinrich Lambert. URL= ( ) [3] Johann Lambert. URL= ( ) [4] Lambert conformal conic projection. URL= File:Lambert conformal conic projection SW.jpg ( ) [5] Lambert, Johann Heinrich. URL= ( ) [6] Razpet, M. (010). Verižnica. Izlet v matematično vesolje. URL= FAMNITvesolje010-Razpet.pdf ( ) [7] Riccati equation. URL= equation ( ) [8] Riccati, Vincent. URL= riccati-vincent.html ( ) 67

68 [9] Riccati, Vincenzo. URL= ( ) [30] Special Functions. URL= Chapter09.pdf ( ) [31] Strofoida. URL= ( ) [3] Transcendentno število. URL= %C5%A1tevilo ( ) [33] Vincent Riccati. URL= riccati.htm ( ) [34] Vincenzo Riccati. URL= Riccati ( ) [35] Vincenzo Riccati. URL= Riccati Vincenzo.html ( ) 68

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem

More information

Reševanje problemov in algoritmi

Reševanje problemov in algoritmi Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo

More information

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ.

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Finančna matematika First cycle

More information

Študijska smer Study field. Klinične vaje work. Nosilec predmeta / prof. dr. Peter Legiša, prof. dr. Bojan Magajna, prof. dr.

Študijska smer Study field. Klinične vaje work. Nosilec predmeta / prof. dr. Peter Legiša, prof. dr. Bojan Magajna, prof. dr. UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 1 Course title: Mathematics 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle

More information

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Fibonaccijevo zaporedje in krožna konstanta

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski

More information

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija

More information

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

More information

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc α UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija

More information

NIKJER-NIČELNI PRETOKI

NIKJER-NIČELNI PRETOKI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA

More information

ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE

ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,

More information

Hipohamiltonovi grafi

Hipohamiltonovi grafi Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.

More information

Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene

Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 2 Course title: Mathematics 2 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle

More information

Problem umetnostne galerije

Problem umetnostne galerije Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA študijski program: matematika - fizika Elipsa skozi zgodovino DIPLOMSKO DELO Mentor:

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

Linearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani

Linearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani Linearna algebra Bojan Orel 07 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5.64(075.8) OREL, Bojan Linearna

More information

Solutions. Name and surname: Instructions

Solutions. Name and surname: Instructions Uiversity of Ljubljaa, Faculty of Ecoomics Quatitative fiace ad actuarial sciece Probability ad statistics Writte examiatio September 4 th, 217 Name ad surame: Istructios Read the problems carefull before

More information

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni

More information

Linearna regresija. Poglavje 4

Linearna regresija. Poglavje 4 Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening

More information

SIMETRIČNE KOMPONENTE

SIMETRIČNE KOMPONENTE Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,

More information

Eulerjevi in Hamiltonovi grafi

Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2016/17) Diferencialne enačbe Differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni

More information

SIMETRIČNI BICIRKULANTI

SIMETRIČNI BICIRKULANTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA GORAZD VASILJEVIĆ SIMETRIČNI BICIRKULANTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe. Študijska smer Study field ECTS Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Diferencialne enačbe Differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni

More information

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski

More information

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,

More information

OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi

OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE

SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević

More information

Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA

Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik 26.

More information

56 1 Upogib z osno silo

56 1 Upogib z osno silo 56 1 Upogib z osno silo PREGLEDNICA 1.5 (nadaljevanje): Upogibnice in notranje sile za nekatere nosilce d) Upogibnica prostoležečega nosilca obteženega s silo F Pomik in zasuk v polju 1: w 1 = F b x (L

More information

Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM

Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem

More information

TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA

TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek

More information

Neli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov

Neli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Neli Blagus Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentorica:

More information

Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia

Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ VERONIKA MIHELAK MENTOR: izr. prof.

More information

13. Razvoj matematike v 19. stoletju

13. Razvoj matematike v 19. stoletju 13. Razvoj matematike v 19. stoletju Kot rečeno, bomo v 19. stoletju zaradi obilice materiala in eksponentne rasti pomembnih matematičnih rezultatov lahko omenili le nekatere posameznike, ki so prispevali

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness

More information

INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika

INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika INTELLIGENTNI SISTEMI Mehka Logika MEHKA LOGIKA (FUZZY LOGIC) 2011/12 Jurij F. Tasič Emil Plesnik 2011/12 1 Splošna definicija Mehka logika - Fuzzy Logic; 1965 Lotfi Zadeh, Berkely Nadgradnja konvencionalne

More information

DIOFANTSKE ČETVERICE

DIOFANTSKE ČETVERICE Fakulteta za aravoslovje i matematiko Oddelek za matematiko i račualištvo Diplomsko delo DIOFANTSKE ČETVERICE Metor: Doc. dr. Daiel Eremita Kadidatka: Jožica Špec Maribor 009 II ZAHVALA Zahvaljujem se

More information

Jernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih

Jernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Uporaba logistične regresije za napovedovanje razreda, ko je število enot v preučevanih razredih

More information

Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov

Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 519.24(082)(0.034.2)

More information

SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev

SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in

More information

Math 122 Test 3. April 15, 2014

Math 122 Test 3. April 15, 2014 SI: Math 1 Test 3 April 15, 014 EF: 1 3 4 5 6 7 8 Total Name Directions: 1. No books, notes or 6 year olds with ear infections. You may use a calculator to do routine arithmetic computations. You may not

More information

Intervalske Bézierove krivulje in ploskve

Intervalske Bézierove krivulje in ploskve Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM

More information

Trije klasični problemi grške geometrije

Trije klasični problemi grške geometrije Trije klasični problemi grške geometrije Milan Hladnik Predavanja iz zgodovine matematike FMF, Univerza v Ljubljani 17. oktober 2012 Grčija v 5. stoletju pnš. Perzijci sredi 6. stoletja zasedli Malo Azijo,

More information

Test one Review Cal 2

Test one Review Cal 2 Name: Class: Date: ID: A Test one Review Cal 2 Short Answer. Write the following expression as a logarithm of a single quantity. lnx 2ln x 2 ˆ 6 2. Write the following expression as a logarithm of a single

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO Rok Erman BARVANJA RAVNINSKIH IN SORODNIH DRUŽIN GRAFOV Doktorska disertacija MENTOR: prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana,

More information

OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV

OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ORGANIZACIJSKE VEDE Smer: organizacijska informatika OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV Mentor: doc. dr. Igor Bernik Kandidat: Matjaž Lipovšek Kranj, december 2005 Izjava: "Študent

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Statistika Statistics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika First cycle academic

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene

Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika III Course title: Mathematics III Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First

More information

Hadamardove matrike in misija Mariner 9

Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša

More information

THE TOWNS AND THE TRAFFIC OF THEIR OUTSKIRTS IN SLOVENIA

THE TOWNS AND THE TRAFFIC OF THEIR OUTSKIRTS IN SLOVENIA UDC 911. 37:38(497. 12-201)=20 Marjan Zagar * THE TOWNS AND THE TRAFFIC OF THEIR OUTSKIRTS IN SLOVENIA In the urban policy of the long-term development of SR Slovenia the decision has been made that in

More information

Linearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe

Linearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija

More information

Math 122 Test 3. April 17, 2018

Math 122 Test 3. April 17, 2018 SI: Math Test 3 April 7, 08 EF: 3 4 5 6 7 8 9 0 Total Name Directions:. No books, notes or April showers. You may use a calculator to do routine arithmetic computations. You may not use your calculator

More information

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Teorija grafov Graph theory Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski študijski program Matematika Master's study

More information

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of

More information

ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA

ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,

More information

MATH 6102 Spring 2009 A Bestiary of Calculus Special Functions

MATH 6102 Spring 2009 A Bestiary of Calculus Special Functions MATH 6102 Spring 2009 A Bestiary of Calculus Special Functions Transcendental Functions Last time we discussed eponential, logarithmic, and trigonometric functions. Theorem 1: If f : R R is a continuous

More information

EVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI

EVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA EVA MARKELJ RAČUNALNIŠKO SIMULIRANJE SIPANJA SVETLOBE V ATMOSFERI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ:

More information

Simulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink

Simulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink Laboratorijske vaje Računalniška simulacija 2012/13 1. laboratorijska vaja Simulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink Pri tej laboratorijski vaji boste spoznali

More information

Ana Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski

Ana Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja Ana Mlinar Fulereni Delo diplomskega seminarja Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana, 2011 Kazalo 1. Uvod 4 2.

More information

JERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko

JERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko . ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko

More information

Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1

Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1 Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami Emil Žagar 22. november 200 Skriptajevnastajanju,zatojegotovopolnanapak. Hvaleˇzenbomzavse pripombe. Iskanje napak je obenem del učnega procesa pri

More information

ZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI

ZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA BLAŽKA RIOSA ZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ BLAŽKA RIOSA Mentor: dr. Matija

More information

DIFFERENTIAL EQUATIONS

DIFFERENTIAL EQUATIONS DIFFERENTIAL EQUATIONS Basic Terminology A differential equation is an equation that contains an unknown function together with one or more of its derivatives. 1 Examples: 1. y = 2x + cos x 2. dy dt =

More information

10. Začetki infinitezimalnega računa

10. Začetki infinitezimalnega računa 10. Začetki infinitezimalnega računa Pod infinitezimalnim računom razumemo tako integralski račun, katerega korenine segajo v antiko, kot diferencialni račun, ki je iznajdba 17. stoletja. Začetki modernega

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke (Extremal Distributions for Dependent Variables)

More information

9. Analitična geometrija in teorija števil

9. Analitična geometrija in teorija števil 9. Analitična geometrija in teorija števil Descartes in Fermat sta z uvedbo koordinat geometrijo postavila na povsem nove osnove. S korespondenco med geometrijskimi objekti - krivuljami - in algebraičnimi

More information

MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE

MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informacije MIDEM 38(2008)4, Ljubljana MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE T. 8elmonte*,

More information

Meritve Casimirjevega efekta z nanomembranami

Meritve Casimirjevega efekta z nanomembranami Oddelek za fiziko Seminar a -. letnik, II. stopnja Meritve Casimirjevega efekta z nanomembranami avtor: Žiga Kos mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Ljubljana, 29. januar 203 Povzetek V tem seminarju bo

More information

Kode za popravljanje napak

Kode za popravljanje napak UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE KOPER MATEMATIČNE ZNANOSTI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM 2. STOPNJE Aljaž Slivnik Kode za popravljanje napak Magistrska

More information

Grafi, igre in še kaj

Grafi, igre in še kaj Grafi, igre in še kaj Martin Milanič martin.milanic@upr.si Inštitut Andrej Marušič Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerza na Primorskem, Koper Matematika je kul 2016,

More information

MA 242 Review Exponential and Log Functions Notes for today s class can be found at

MA 242 Review Exponential and Log Functions Notes for today s class can be found at MA 242 Review Exponential and Log Functions Notes for today s class can be found at www.xecu.net/jacobs/index242.htm Example: If y = x n If y = x 2 then then dy dx = nxn 1 dy dx = 2x1 = 2x Power Function

More information

Lecture 10. (2) Functions of two variables. Partial derivatives. Dan Nichols February 27, 2018

Lecture 10. (2) Functions of two variables. Partial derivatives. Dan Nichols February 27, 2018 Lecture 10 Partial derivatives Dan Nichols nichols@math.umass.edu MATH 233, Spring 2018 University of Massachusetts February 27, 2018 Last time: functions of two variables f(x, y) x and y are the independent

More information

7.1. Calculus of inverse functions. Text Section 7.1 Exercise:

7.1. Calculus of inverse functions. Text Section 7.1 Exercise: Contents 7. Inverse functions 1 7.1. Calculus of inverse functions 2 7.2. Derivatives of exponential function 4 7.3. Logarithmic function 6 7.4. Derivatives of logarithmic functions 7 7.5. Exponential

More information

MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL

MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL original scientific article UDC: 796.4 received: 2011-05-03 MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL Pietro Enrico DI PRAMPERO University of Udine, Department of Biomedical

More information

Linear DifferentiaL Equation

Linear DifferentiaL Equation Linear DifferentiaL Equation Massoud Malek The set F of all complex-valued functions is known to be a vector space of infinite dimension. Solutions to any linear differential equations, form a subspace

More information

VAJE 2: Opisna statistika

VAJE 2: Opisna statistika VAJE : Opisna statistika Na računalniških vajah se za urejanje in prikazovanje statističnih podatkov uporabi statistični programski paket SPSS in podatkovna datoteka podatki.sav. NALOGE: 1. Analiza vzorčnih

More information

Have a Safe Winter Break

Have a Safe Winter Break SI: Math 122 Final December 8, 2015 EF: Name 1-2 /20 3-4 /20 5-6 /20 7-8 /20 9-10 /20 11-12 /20 13-14 /20 15-16 /20 17-18 /20 19-20 /20 Directions: Total / 200 1. No books, notes or Keshara in any word

More information

9740/01 October/November MATHEMATICS (H2) Paper 1 Suggested Solutions. (ii)

9740/01 October/November MATHEMATICS (H2) Paper 1 Suggested Solutions. (ii) GCE A Level October/November 9 Suggested Solutions Mathematics H (97/) version. MATHEMATICS (H) Paper Suggested Solutions. Topic: Matrices (i) Given that u n is a quadratic polynomial in n, Let u n an

More information

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji

More information