UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik

Size: px
Start display at page:

Download "UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik"

Transcription

1 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014

2

3 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Magistrska naloga POPOLNOMA POZITIVNE MATRIKE Mentor: izr prof dr Dominik Benkovič Kandidatka: Tina Lešnik Maribor, 2014

4 ZAHVALA Prihodnost pripada tistim, ki verjamejo v lepoto svojih sanj (Eleanor Roosevelt) Iskreno se zahvaljujem svojemu mentorju, izr prof dr Dominiku Benkoviču, za vso pomoč in korektno vodenje pri izdelavi magistrske naloge ter čas, ki mi ga je posvetil Zahvalila bi se rada svoji družini, ki mi je z vso ljubeznijo in potrpljenjem stala ob strani Hvala tudi fantu in prijateljem za nepozabne trenutke, ki smo jih preživeli skupaj tekom študija ter za vso moralno pomoč pri izdelavi magistrske naloge

5 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisana Tina Lešnik, rojena 22 aprila 1989, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, smer finančna matematika, izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom POPOLNOMA POZITIVNE MATRIKE pri mentorju izr prof dr Dominiku Benkoviču avtorsko delo V magistrskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev Maribor, 5 december 2014 Tina Lešnik

6 Program magistrskega dela: Popolnoma pozitivne matrike Matrika A M n (R) je pozitivno semidefinitna, če je simetrična A T = A in velja x T Ax 0 za vsak x R n Vsaka realna pozitivna semidefinitna matrika A M n n (R) se lahko zapiše v obliki A = BB T, kjer je B realna matrika dimenzije n k Če so vsi elementi matrike B nenegativni, pravimo, da je A popolnoma pozitivna matrika V magistrskem delu naj bodo opisane osnovne lastnosti popolnoma pozitivnih matrik Osnovna vira: [1] A Berman, N Shaked-Monderer, Completely Positive Matrices, World Scientific Publishing, 2003 [2] R A Horn, C R Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 2005 izr prof dr Dominik Benkovič

7 LEŠNIK, T: Popolnoma pozitivne matrike Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2014 IZVLEČEK Glavna tema magistrske naloge so popolnoma pozitivne matrike, ki so posebni primer pozitivno semidefinitnih matrik Vsaka realna pozitivno semidefinitna matrika A se lahko zapiše kot A = BB T, kjer je B realna matrika V primeru, da je B nenegativna matrika, je matrika A popolnoma pozitivna Na začetku predstavimo osnovne pojme in definicije realnih matrik, s poudarkom na pozitivno semidefinitnih matrikah Podamo nekaj primerov in dokažemo osnovne lastnosti teh matrik V nadaljevanju obravnavamo popolnoma pozitivne matrike Definiramo Hadamardov in Kroneckerjev produkt ter dokažemo, da sta oba produkta popolnoma pozitivnih matrik popolnoma pozitivni matriki Spoznamo eno izmed metod, s katero pokažemo, da je dvojno nenegativna matrika popolnoma pozitivna Definiramo pojem konveksni stožec ter dokažemo, da je množica popolnoma pozitivnih matrik zaprt konveksni stožec Na algebraični in geometrijski način dokažemo, da je dvojno nenegativna matrika A velikosti n n za n 4 popolnoma pozitivna Nazadnje obravnavamo diagonalno dominantne matrike ter dokažemo, da so nenegativne simetrične diagonalno dominantne matrike popolnoma pozitivne Prav tako definiramo primerjalno matriko in dokažemo, da je matrika A popolnoma pozitivna, če je simetrična nenegativna matrika ter je njena primerjalna matrika pozitivno semidefinitna Ključne besede: pozitivno semidefinitna matrika, popolnoma pozitivna matrika, Hadamardov produkt, Kroneckerjev produkt, konveksni stožec, diagonalno dominantna matrika, primerjalna matrika Math Subj Class (2010): 15B48

8 LEŠNIK, T: Completely positive matrices Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2014 ABSTRACT The main topic of the master thesis are completely positive matrices, which are the special case of a positive semidefinite matrix Every real positive semidefinite matrix A can be written in the form A = BB T, where B is a real matrix In the case of a nonnegative matrix B the matrix A is completely positive The first chapter includes some basic terms and definitions of specific real matrices with an emphasis on positive semidefinite matrices We present some examples and prove the basic properties of these matrices In the next chapter we consider completely positive matrices We define Hadamard and Kronecker product and show that both of these products of completely positive matrices are completely positive We introduce one method which enables us to verify whether the doubly nonnegative matrix is completely positive We define the concept of a convex cone and show that the set of all completely positive matrices is a closed convex cone With algebraic and geometric approach we show that the doubly nonnegative matrix A of order n, n 4, is completely positive At the end of the thesis we treat diagonally dominant matrices and show that nonnegative symmetric diagonally dominant matrices are completely positive We also define a comparison matrix and show that the matrix A is completely positive if it is a symmetric nonnegative matrix and if its comparison matrix is positive semidefinite Keywords: positive semidefinite matrix, completely positive matrix, Hadamard product, Kronecker product, convex cone, diagonally dominant matrix, comparison matrix Math Subj Class (2010): 15B48

9 Kazalo Uvod 1 1 Osnovni pojmi in definicije 3 11 Algebraične operacije na matrikah 3 12 Posebni primeri matrik in njihove lastnosti 5 13 Skalarni produkt, norma in metrični prostor 8 14 Pozitivno semidefinitne matrike 9 15 Hadamardov in Kroneckerjev produkt 14 2 Popolnoma pozitivne matrike Definicije in osnovni pojmi Lastnosti popolnoma pozitivnih matrik Konveksni stožci Majhne matrike Primerjalne matrike 40 Literatura 45 ix

10

11 Uvod Glavna tema magistrske naloge so popolnoma pozitivne matrike, ki so posebni primer pozitivno semidefinitnih matrik Matrika A M n n (R) je pozitivno semidefinitna, če je simetrična A T = A in velja x T Ax 0 za vsak x R n Vsaka realna pozitivno semidefinitna matrika A se lahko zapiše kot A = BB T, kjer je B realna matrika V primeru, da je B nenegativna matrika, je matrika A popolnoma pozitivna Popolnoma pozitivne matrike se pojavljajo v nekaterih primerih ekonomskega modeliranja, v kombinatoriki in verjetnosti, v raznih aplikacijah statističnih podatkov in v markovskih modelih za razvoj DNK V magistrski nalogi bomo popolnoma pozitivne matrike obravnavali izključno s teoretičnega vidika Očitno je vsaka popolnoma pozitivna matrika simetrična in nenegativna, prav tako pa mora očitno biti pozitivno semidefinitna Pozitivno semidefinitne in nenegativne matrike imenujemo dvojno nenegativne matrike Vsaka matrika ranga r se lahko zapiše kot vsota najmanj r matrik ranga 1 Če je A = BBT, potem lahko matriko A predstavimo kot vsoto matrik b i b T i ranga 1, kjer je b i i-ti stolpec matrike B Če je rang matrike A enak r, potem je A = BBT, kjer matrika B vsebuje r stolpcev Minimalno število stolpcev matrike B, da lahko A zapišemo kot A = BB T, se imenuje cp-rang matrike A V teoriji popolnoma pozitivnih matrik se pojavljata dva glavna problema: (a) prepoznati, ali je dana matrika popolnoma pozitivna, (b) določiti cp-rang dane popolnoma pozitivne matrike Čeprav sta oba problema še zmeraj odprta, je o obeh že veliko raziskanega V magistrski nalogi se bomo ukvarjali le s prvim problemom in ga deloma tudi rešili Rezultate v zvezi z drugim problemom najdemo v literaturi [1, 2, 7] V prvem poglavju predstavimo osnovne pojme in definicije realnih matrik za nadaljnje lažje razumevanje Definiramo algebraične operacije na matrikah ter predstavimo posebne primere matrik in njihove osnovne lastnosti Večji poudarek je na pozitivno semidefinitnih matrikah Podali bomo nekaj primerov in lastnosti teh matrik, ki nam bodo v pomoč pri nadaljnjem obravnavanju popolnoma pozitivnih matrik V zadnjem podpoglavju definiramo 1

12 2 Hadamardov in Kroneckerjev produkt in v nadaljevanju dokažemo, da je tako Hadamardov kot Kroneckerjev produkt popolnoma pozitivnih matrik popolnoma pozitivna matrika Drugo poglavje je namenjeno popolnoma pozitivnim matrikam Videli bomo, da popolnoma pozitivnih matrik ni težko konstruirati - težje je prepoznati, ali je dana kvadratna matrika popolnoma pozitivna Spoznali bomo eno izmed metod, s katero pokažemo, da je dvojno nenegativna matrika popolnoma pozitivna, pri čemer uporabimo Gram-Schmidtovo ortogonalizacijo Pri sami konstrukciji opazimo, da ne obstaja enoličen razcep popolnoma pozitivnih matrik Za iskanje takšne matrike B, da je A = BB T, uporabimo Schurov komplement, ki ga bomo tudi podrobneje prikazali Potreben pogoj, da je matrika popolnoma pozitivna je, da je matrika dvojno nenegativna - vendar bomo ugotovili, da v splošnem to ni zadosten pogoj V enem izmed podpoglavij bomo definirali pojem konveksni stožec in predstavili osnovne rezultate na konveksnih stožcih v končno dimenzionalnem evklidskem prostoru s skalarnim produktom ter dokazali, da je množica popolnoma pozitivnih matrik zaprt konveksni stožec Predstavili bomo majhne matrike, ki so matrike velikosti največ 4 4 Na algebraični in geometrijski način bomo dokazali, da je dvojno nenegativna matrika A velikosti n n za n 4 popolnoma pozitivna V zadnjem podpoglavju definiramo diagonalno dominantne matrike ter dokažemo, da so nenegativne simetrične diagonalno dominantne matrike popolnoma pozitivne Dokazali bomo, da za simetrično M-matriko A obstaja takšna pozitivno diagonalna matrika D, da je DAD diagonalno dominantna matrika Nazadnje predstavimo primerjalne matrike in dokažemo, da je matrika A popolnoma pozitivna, če je simetrična nenegativna matrika in je njena primerjalna matrika M(A) pozitivno semidefinitna Temeljni vir, po katerem je nastala magistrska naloga, je knjiga [1] Osnovni pojmi in definicije v prvem poglavju so definirani s pomočjo zapiskov s predavanj pri predmetih Vektorji in matrike, Linearna algebra, zapiskov [4], knjig [1, 3] ter skripte [5] Drugo poglavje je v večji meri povzeto po knjigi [1] Nekatere izreke in dokaze smo povzeli po magistrskih nalogah [2, 7] V podpoglavju 23 smo si za razumevanje konveksnih množic pomagali s skripto [6]

13 Poglavje 1 Osnovni pojmi in definicije Namen tega poglavja je predstaviti osnovne pojme, definicije in izreke povezane z realnimi matrikami, ki jih bomo potrebovali za razumevanje naslednjih poglavij Definicija Naj bosta m, n N Matrika je pravokotna shema m n elementov, ki so razporejeni v m vrstic in n stolpcev Dimenzijo (red) matrike označimo z m n Množico vseh matrik z m vrsticami, n stolpci in realnimi elementi označimo z M m n (R) Matrike označujemo z velikimi tiskanimi črkami V splošnem je zapis matrike a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij ] m n a m1 a m2 a mn Element a ij matrike A lahko zapišemo tudi kot a ij = (A) ij Matriki A in B sta enaki natanko tedaj, ko njuna reda in istoležni elementi sovpadajo, kar pomeni (A) ij = (B) ij, za vsak i = 1,, m in j = 1,, n 11 Algebraične operacije na matrikah Definicija Naj bosta A, B M m n (R) Potem je njuna vsota definirana s predpisom a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn 3

14 11 Algebraične operacije na matrikah 4 Množica M m n (R) je skupaj z operacijo + : M m n (R) M m n (R) Abelova grupa, kar pomeni (i) (A + B) + C = A + (B + C) za vse A, B, C M m n (R), (ii) A + B = B + A za vse A, B M m n (R), (iii) obstaja 0 M m n (R), da je A + 0 = A = 0 + A, (iv) za vsak A M m n (R) obstaja A M m n (R), da je A + ( A) = 0 Definicija Naj bo α R poljuben skalar in matrika A M m n (R) Produkt matrike s skalarjem defniramo kot αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n α A = αa m1 αa m2 αa mn Za množenje matrik s skalarjem veljajo lastnosti (i) α(a + B) = αa + αb za vse A, B M m n (R) in α R, (ii) (α + β)a = αa + βa za vsak A M m n (R) in α, β R, (iii) (α β)a = α(β A) za vsak A M m n (R) in α, β R, (iv) 1A = A za vsak A M m n (R) Prostor M m n (R) opremljen s seštevanjem in skalarnim množenjem je vektorski prostor, kjer veljajo zgoraj naštete lastnosti Definicija Naj bosta A M m n (R) in B M n p (R) matriki, za kateri je število stolpcev v matriki A enako številu vrstic v matriki B Potem je njun produkt A B M m p (R) definiran s predpisom n k=1 a n 1kb k1 k=1 a 1kb k2 n k=1 a 1kb kp n k=1 AB = a n 2kb k1 k=1 a 2kb k2 n k=1 a 2kb kp n k=1 a n mkb k1 k=1 a mkb k2 n k=1 a mkb kp Element (AB) ij je enak skalarnemu produktu i-te vrstice matrike A z j-tim stolpcem matrike B, torej

15 12 Posebni primeri matrik in njihove lastnosti 5 n (AB) ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj k=1 Za množenje matrik veljajo lastnosti (i) (AB)C = A(BC) za vse A M m n (R), B M n p (R) in C M p q (R), (ii) obstajata I n M n n (R) in I m M m m (R), da velja A I n = A in I m A = A za vsak A M m n (R), (iii) A(B + C) = AB + AC za vse A M m n (R) in B, C M n p (R), (A + B)C = AC + BC za vse A, B M m n (R) in C M n p (R), (iv) α(ab) = (αa)b = A(αB) za vse A M m n (R), B M n p (R) in α R 12 Posebni primeri matrik in njihove lastnosti Definicija Matriko z enakim številom vrstic in stolpcev imenujemo kvadratna matrika Definicija Matriko oblike a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a 33 a 3n, a nn za katero je a ij = 0 za vsak i > j, imenujemo zgornje-trikotna matrika Definicija Diagonalna matrika D je kvadratna matrika, za katero je a ij = 0 za vsak i j in jo zapišemo kot a a 22 0 D = diag(a 11, a 22,, a nn ) = 0 0 a nn Definicija Pozitivno diagonalna matrika je diagonalna matrika, ki ima vse elemente pozitivne Definicija Naj bo A matrika reda m n Tedaj je njena transponirana matrika reda n m Označimo jo z A T in velja (A T ) ij = (A) ji, za vse i = 1,, m in j = 1,, n

16 12 Posebni primeri matrik in njihove lastnosti 6 Za transponiranje matrik veljajo lastnosti (i) (A + B) T = A T + B T za vse A, B M m n (R), (ii) (αa) T = αa T za vse A M m n (R) in α R, (iii) (AB) T = B T A T za vse A M m n (R), B M n p (R), (iv) (A T ) T = A za vsak A M m n (R) Definicija Kvadratna matrika A je simetrična matrika, če velja A T simetrična, če velja A T = A = A in je poševno Primera simetrične matrike A in poševno simetrične matrike A reda 3 3 sta a b c 0 a b A = b d e in A = a 0 c c e f b c 0 Definicija Rang matrike A M m n (R) je število linearno neodvisnih vrstic oziroma stolpcev Definicija Kvadratna matrika B je obratna ali inverzna matrika kvadratne matrike A, če velja AB = BA = I Rečemo tudi, da je A obrnljiva ali nesingularna Obratno matriko matrike A označimo z A 1 Kvadratna matrika A je obrnljiva natanko tedaj, ko je det(a) 0 Kvadratna matrika A reda n je obrnljiva natanko tedaj, ko je rang(a) = n Za poljubni obrnljivi matriki A, B M n n (R) veljajo lastnosti (i) (A 1 ) 1 = A, (ii) (A T ) 1 = (A 1 ) T, (iii) (AB) 1 = B 1 A 1 Definicija Kvadratno matriko P, ki je dobljena iz identične matrike s permutacijo njenih vrstic in stolpcev, imenujemo permutacijska matrika Množenje s permutacijskimi matrikami povzroči permutacijo vrstic ali stolpcev množene matrike

17 12 Posebni primeri matrik in njihove lastnosti 7 Primer P A = = 1 2 3, A P = = Za vse premutacijske matrike P velja P 1 = P T Definicija Kvadratno matriko z natanko enim neničelnim elementom v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu imenujemo posplošena permutacijska matrika Definicija Kvadratno matriko z realnimi elementi, katere vrstice in stolpci so medsebojno pravokotni enotski vektorji imenujemo ortogonalna matrika Definicija Če je matrika A M m n(r) in sta α in β množici indeksov, α {1,, m} in β {1,, n}, potem je A [α β] podmatrika matrike A, ki vsebuje presek vrstic matrike A, ki jih določajo indeksi iz α in stolpcev matrike A, ki jih določajo indeksi iz β Če je A kvadratna matrika, potem matriko A [α α] imenujemo glavna podmatrika Namesto A [α α] lahko krajše zapišemo A [α] Definicija Matrika A M m n (R) je nenegativna, če so vsi njeni elementi nenegativna števila, kar označimo z A 0 in je pozitivna, če so vsi njeni elementi pozitivna števila, kar označimo z A > 0 Definicija Naj bo podana matrika A M n n (R) Realno število λ imenujemo lastna vrednost za A, če obstaja tak neničelni vektor v R n, da je Av = λv Vektor v imenujemo lastni vektor za A pripadajoč lastni vrednosti λ Definicija Matrika, katere elementi so matrike (in ne skalarji), se imenuje bločna matrika Bločna matrika A je oblike A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A =, A m1 A m2 A mn kjer matrike A 11, A 12,, A mn imenujemo bloki matrike A

18 13 Skalarni produkt, norma in metrični prostor 8 13 Skalarni produkt, norma in metrični prostor Definicija Naj bo V vektorski prostor nad komutativnim poljem F ( R ali C) Preslikava, : V V F, ki vektorjema x, y V priredi skalar x, y F, se imenuje skalarni produkt, če veljajo lastnosti (i) pozitivna definitnost x, x 0 za vsak 0 x V in x, x = 0 x = 0, (ii) konjugirana simetričnost x, y = y, x za vse x, y V, (iii) linearnost v prvem faktorju αx + βy, z = α x, z + β y, z za vse x, y, z V in α, β F Realni vektorski prostor, v katerem je definiran skalarni produkt, se imenuje evklidski prostor Definicija Naj bo V vektorski prostor Norma je preslikava : V F z lastnostmi (i) x 0 za vsak x V in x = 0 x = 0, (ii) αx = α x za vse x V in α F, (iii) x + y x + y za vse x, y V Vektorski prostor v katerem je vpeljana norma se imenuje normiran prostor Dolžina vektorja x je enaka x = x, x Dolžino vektorja x imenujemo tudi norma vektorja x Kot med vektorjema x in y izračunamo po formuli (x, y) = arccos x,y x y Definicija Metrični prostor je neprazna množica M s preslikavo d : M M R, ki zadošča pogojem (i) d(x, y) 0 za vse x, y M in d(x, y) = 0 x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x) za vse x, y M, (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) za vse x, y, z M Metrični prostor M z metriko d označimo z (M, d) Preslikavo d imenujemo razdalja ali metrika Trditev 11 Preslikava d : R n R n R s predpisom d(x, y) = x y je metrika

19 14 Pozitivno semidefinitne matrike 9 Definicija V metričnem prostoru (M, d) je odprta krogla K(x, r) s središčem v x M in polmerom r > 0 množica točk, ki so od x oddaljene za manj kot r, K(x, r) = {y M d(x, y) < r} Definicija Naj bo K R n poljubna množica definiramo s predpisoma Notranjost in zaprtje množice K v R n Not(K) = {x K r > 0 : K(x, r) K}, K = {y R n r > 0 : K(y, r) K 0} Notranjost množice K je največja odprta množica, ki je vsebovana v K, njeno zaprtje pa najmanjša zaprta množica, ki vsebuje K Rob množice A označimo z δa in velja x δa, če za vsak r > 0 velja K r (x) A 0 in K r (x) A C 0 Poglejmo nekaj klasifikacij odprte in zaprte množice: A je odprta A = Not(A), A je zaprta A C odprta, δa A, A = Not(A) δa, vsebuje vse limite svojih konvergentnih zaporedij Definicija Naj bosta X in Y metrična prostora z metriko d X in d Y Izometrija metričnih prostorov X in Y je bijektivna preslikava f : X Y, ki ohranja razdaljo: d X (a, b) = d Y (f(a), f(b)) za vse a, b X 14 Pozitivno semidefinitne matrike V tem podpoglavju bomo definirali pozitivno semidefinitne matrike in opredelili njihove osnovne lastnosti Definicija Matrika A M n n (R) je pozitivno semidefinitna (A 0), če je simetrična in velja x T Ax 0 za vsak x R n Osnovna primera pozitivno semidefinitnih matrik sta identična matrika in kvadratna ničelna matrika Spoznajmo še en preprost primer pozitivno semidefinitne matrike

20 14 Pozitivno semidefinitne matrike 10 Primer 2 Naj bo [ ] 1 1 A = 1 1 Hitro vidimo, da velja A T = A Preverimo še, da je x T Ax 0 za vsak x R 2 [ ] [ ] ] 1 1 x1 [x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) x 2 Definicija Matrika je dvojno nenegativna, če je hkrati pozitivno semidefinitna in nenegativna Trditev 12 Vsota dveh pozitivno semidefinitnih matrik je pozitivno semidefinitna matrika Dokaz Naj bosta A in B pozitivno semidefinitni matriki Po definiciji velja x T Ax 0 in x T Bx 0, za vsak x R n, zato je tudi njuna vsota x T Ax + x T Bx = x T (A + B)x 0 za vsak x R n Očitno velja tudi (A + B) T = A T + B T = A + B Trditev 13 Če je matrika A pozitivno semidefinitna in je a R +, potem je tudi aa pozitivno semidefinitna matrika Dokaz Naj bo A pozitivno semidefinitna matrika Po definiciji velja x T Ax 0 za vsak x R n in ker je a > 0, sledi ax T Ax = x T aax 0 za vsak x R n Seveda velja tudi (aa) T = aa T = aa Trditev 14 Naj bo matrika A M n n (R) pozitivno semidefinitna in S M n m (R) poljubna matrika, potem je tudi matrika S T AS pozitivno semidefinitna Dokaz Naj bo A pozitivno semidefinitna matrika Po definiciji velja x T Ax 0 za vsak x R n, kjer je vektor x dimenzije n 1 Vzemimo poljubno matriko S M n m (R) Dokazati želimo, da velja y T S T ASy 0 za vsak vektor y dimenzije m 1 Naj bo x = Sy M n 1 Potem je x T = y T S T M 1 n, od koder sledi x T Ax 0 Ker velja (S T AS) T = ((S T A)S) T = S T (S T A) T = S T A T S = S T AS, je S T AS simetrična matrika Trditev 15 Vsaka glavna podmatrika pozitivno semidefinitne matrike je pozitivno semidefinitna

21 14 Pozitivno semidefinitne matrike 11 Dokaz Naj bo A M n n (R) pozitivno semidefinitna matrika in naj bo A [α], α {1, 2,, n} glavna podmatrika matrike A Dokazati želimo, da velja y T A [α] y 0 za vsak y R α Vzemimo tak x R n, da velja y = x [α] in x i = 0 za vsak i / α Potem velja y T A [α] y = x T Ax 0 Vsaka realna simetrična pozitivno semidefinitna matrika A reda n n ima n lastnih vrednosti in je ortogonalno diagonalizabilna matrika, kar pomeni, da obstaja takšna ortogonalna matrika U, da velja D = U T AU, kjer je D diagonalna matrika lastnih vrednosti matrike A Za ortogonalno matriko U velja UU T = I = U T U Rang matrike A je enak rangu matrike D, ta pa je enak številu neničelnih lastnih vrednosti matrike A Definicija Naj bo V evklidski prostor in v 1,, v n V Matriko skalarnih produktov v 1, v 1 v 1, v 2 v 1, v n v 2, v 1 v 2, v 2 v 1, v n v n, v 1 v n, v 2 v n, v n imenujemo Gramova matrika vektorjev v 1,, v n in jo označimo z Gram(v 1,, v n ) Vsako dvojno nenegativno matriko A reda n lahko izrazimo kot Gramovo matriko n vektorjev x 1, x 2, x n R k, kjer je k rang matrike A in za vsak par vektorjev velja x i, y i 0 Izrek 16 Naj bo A M n n (R) simetrična matrika Naslednje trditve so ekvivalentne (i) Matrika A je pozitivno semidefinitna (ii) Vse lastne vrednosti matrike A so nenegativne (iii) Obstaja takšna realna simetrična matrika C M n n (R), da je A = C 2 (iv) Obstaja takšna realna matrika B M n k (R), da je A = BB T (v) Obstaja takšen k-dimenzionalen evklidski vektorski prostor V in vektorji v 1,, v n V, da je A = Gram(v 1,, v n ) (vi) Obstajajo takšni vektorji b 1,, b k R n, da je A = k i=1 b ib T i Dokaz Dokazali bomo (i) (ii) (iii) (iv) (v) (i) in (i) (vi) (i) (ii) Dokažimo, da ima pozitivno semidefinitna matrika A le nenegativne lastne vrednosti Naj bo Ax = λx za neničelni vektor x R n Ker je matrika A pozitivno semidefinitna, velja x T Ax 0 za vsak x R n, od koder sledi

22 14 Pozitivno semidefinitne matrike 12 x T Ax = x T λx = λx T x 0 Ker je x T x 0, lahko enakost x T Ax = λx T x delimo z x T x in dobimo λ = xt Ax x T x 0 (ii) (iii) Matrika A ima le nenegativne lastne vrednosti, zato se lahko zapiše v obliki A = UDU T za neko ortogonalno matriko U in nenegativno diagonalno matriko D = diag(d 1,, d n ) Velja A = UDU T = U D DU T = U DI DU T = U DU T U DU T Če s C označimo U DU T, dobimo želeni rezultat A = C 2 (iii) (iv) Ker je matrika C simetrična velja C = C T Zato se lahko matrika A zapiše v obliki A = CC T (iv) (v) Naj bo A = BB T, kjer je B M n k (R), naj bo V = R k in naj vektorji vi T predstavljajo i-to vrstico matrike B Potem je v 1, v 1 v 1, v 2 v 1, v n v 2, v 1 v 2, v 2 v 1, v n A = = Gram(v 1,, v n ) v n, v 1 v n, v 2 v n, v n (v) (i) Naj bo A = Gram(v 1,, v n ) in x R n Potem je n n x T Ax = a ij x i x j = v i, v j x i x j i,j=1 = = i,j=1 n x i v i, x j v j i,j=1 n x i v i, n n x j v j = x i v i 2 0 i=1 j=1 i=1 Očitno je matrika A simetrična (i) (vi) Naj bo A = BB T, kjer je B M n k (R) pozitivno semidefinitna matrika Z b i, i = 1,, k označimo stolpce matrike B Potem je (a ij ) = k b il b lj = b i1b 1j + b i2 b 2j + + b ik b kj l=1 = (b 1 b T 1 ) ij + (b 2 b T 2 ) ij + + (b k b T k ) ij,

23 14 Pozitivno semidefinitne matrike 13 s čimer je dokaz izreka končan Trditev 17 Če je matrika A pozitivno semidefinitna in je k naravno število, potem je tudi matrika A k pozitivno semidefinitna Dokaz Dokazali smo že, da je matrika A pozitivno semidefinitna natanko tedaj, ko obstaja takšna realna simetrična matrika C M n n (R), da je A = C 2 Od koder sledi, da je matrika A k = (C 2 ) k = (C k ) 2 pozitivno semidefinitna Posledica 18 Če je f(x) = m i=0 a ix i polinom z nenegativnimi koeficienti in je matrika A pozitivno semidefinitna, potem je tudi matrika f(a) = m i=0 a ia i pozitivno semidefinitna Dokaz Dokaz sledi iz trditev 12, 13 in 17 Če je matrika A pozitivno semidefinitna in a R +, je tudi matrika aa pozitivno semidefinitna Če je matrika A pozitivno semidefinitna, je za vsak k N tudi matrika A k pozitivno semidefinitna Vsota pozitivno semidefinitnih matrik je pozitivno semidefinitna matrika Od koder sledi, da je vsota matrik a i A i pozitivno semidefinitna S tem smo dokazali, da je matrika f(a) pozitivno semidefinitna Lema 19 Naj bo A M n n (R) pozitivno semidefinitna matrika Če je element a ii = 0 za nek i {1,, n}, sledi a ij = a ji = 0 za vsak j {1,, n} Dokaz Naj bo i {1,, n} takšen, da je a ii = 0 Izberimo j {1,, n} in λ i, λ j R Naj bo x = λ i e i + λ j e j, kjer sta e i, e j standardna bazna vektorja Potem je [ ] [ ] [ ] x T a ii a ij λi Ax = λ i λ j a ij a jj λ j = a }{{} ii λ 2 i + 2a ij λ i λ j + a jj λ 2 j 0 = 2a ij λ i λ j + a jj λ 2 j Matrika A je pozitivno semidefinitna, zato je 2a ij λ i λ j + a jj λ 2 j 0 za vsak λ i, λ j R Predpostavimo, da je a ij 0 in vzemimo λ i = a jj + 1 2a ij, λ j = 1

24 15 Hadamardov in Kroneckerjev produkt 14 Potem je x T Ax = 1, od koder sledi a ij = 0 Lema 110 Diagonala pozitivno semidefinitne matrike je nenegativna Dokaz Naj bo A M n n (R) pozitivno semidefinitna matrika in e i, i {1,, n}, i-ti standardni bazni vektor Pozitivno semidefinitna matrika A je simetriča in velja x T Ax 0 za vsak x R n Sledi e T i Ae i = a ii 0 Lema 111 Naj bo A M n n (R) pozitivno semidefinitna matrika in matrika C M 2 2 (R) oblike [ ] aii a ij C = a ij a jj za vsak 1 i < j n Potem je det C nenegativna Dokaz Po lemi 19 je matrika C pozitivno semidefinitna, kar pomeni, da ima same nenegativne lastne vrednosti Od koder sledi, da je determinanta matrike C, ki je produkt lastnih vrednosti, nenegativna 15 Hadamardov in Kroneckerjev produkt Definicija Hadamardov produkt matrik A, B M m n (R) je matrika C = A B, ki jo dobimo z množenjem istoležnih elementov a 11 b 11 a 1n b 1n A B = (a ij b ij ) = M m n(r) a m1 b m1 a mn b mn Za Hadamardov produkt veljajo lastnosti (i) A B = B A, (ii) A (B C) = (A B) C, (iii) A (B + C) = A B + A C za vse A, B, C M m n (R) Definicija Naj bo k N Hadamardovo k-to potenco matrike A označimo z A (k) in je enaka Hadamardovemu produktu k-kopij matrike A, torej A (k) = A A A

25 15 Hadamardov in Kroneckerjev produkt 15 Posledica 112 Naj bo matrika A pozitivno semidefinitna in k N Potem je tudi A (k) pozitivno semidefinitna Dokaz Hadamardova k-ta potenca matrike A je enaka A (k) = A A A Matrika A je pozitivno semidefinitna, zato velja x T Ax 0 za vsak x R n Torej x T Ax x T Ax x T Ax = x } T x T {{ x T } (A A A) x } x {{ x } = y T A (k) y y T y Matrika A je simetrična, kar pomeni A = A T Torej je A (k) = A A A = A T A T A T = (A A A) T = (A (k) ) T Od koder sledi, da je A (k) pozitivno semidefinitna Definicija Kroneckerjev produkt matrik A M m n (R) in B M p q (R) je definiran kot bločna matrika a 11 B a 1n B A B = M mp nq(r) a m1 B a mn B Kroneckerjev produkt, znan tudi kot direktni ali tenzorski produkt, označimo z A B Primer 3 Oglejmo si primer Kroneckerjevega produkta dveh poljubnih 2 2 realnih matrik [ ] b11 b 12 a [ ] [ ] 11 a11 a 12 b11 b b 21 b = a 21 a 22 b 21 b 22 [ ] b11 b 12 a 21 b 21 b 22 ] [ b11 b 12 a 12 b 21 b 22 [ ] b11 b 12 a 22 b 21 b 22 a 11 b 11 a 11 b 12 a 12 b 11 a 12 b 12 = a 11 b 21 a 11 b 22 a 12 b 21 a 12 b 22 a 21 b 11 a 21 b 12 a 22 b 11 a 22 b 12 a 21 b 21 a 21 b 22 a 22 b 21 a 22 b 22 Za Kroneckerjev produkt veljajo lastnosti (i) A B B A za vse A M m n (R), B M p q (R),

26 15 Hadamardov in Kroneckerjev produkt 16 (ii) (αa) B = α(a B), A (αb) = α(a B) za vse A M m n (R), B M p q (R), α R, (iii) (A + B) C = A C + B C, A (B + C) = A B + A C za vse A M m n (R), B, C M p q (R), (iv) (A B) C = A (B C) za vse A M m n (R), B M p q (R), C M r s (R) Lema 113 Naj bodo A M m n (R), B M q r (R), C M n p (R), D M r s (R) poljubne matrike Potem velja (A B)(C D) = AC BD Dokaz a 11 B a 1n B c 11 D c 1p D (A B)(C D) = a m1 B a mn B c n1 D c np D ( n i a 1ic i1 )BD ( n i a 1ic ip )BD = ( n i a mic i1 )BD ( n i a mic ip )BD = AC BD Lema 114 Naj bosta A M m n (R) in B M p q (R) Potem velja (A B) T = A T B T Dokaz a 11 B a 1n B (A B) T = a m1 B a mn B T a 11 B T a m1 B T = a 1n B T a mn B T a 11 a m1 = BT = A T B T a 1n a mn

27 Poglavje 2 Popolnoma pozitivne matrike V tem poglavju bomo definirali popolnoma pozitivne matrike Predstavili bomo osnovne pojme in definicije, dokazali nekaj trditev, izrekov in posledic ter za lažjo predstavo določene trditve podkrepili tudi s primeri 21 Definicije in osnovni pojmi Definicija Matrika A je popolnoma pozitivna, če jo lahko zapišemo kot A = BB T, kjer je B nenegativna matrika (ne nujno kvadratna) Očitno je vsaka popolnoma pozitivna matrika simetrična in nenegativna, prav tako pa je jasno, da mora biti pozitivno semidefinitna Torej je vsaka popolnoma pozitivna matrika dvojno nenegativna Primer 4 Primer popolnoma pozitivne matrike s takšno faktorizacijo je matrika [ ] [ ] A = = Matriko A lahko zapišemo tudi kot [ ] A = = Vidimo, da pri popolnoma pozitivnih matrikah ni enoličnega razcepa 17

28 21 Definicije in osnovni pojmi 18 Nenegativni oktant prostora R n označimo z R n + in velja R n + = {x R n x i 0 za i = 1,, n} Naj bodo v 1, v n vektorji m-dimenzionalnega evklidskega prostora V Ali so lahko vektorji vpeti v nenegativni oktant nekega evklidskega prostora? Z drugimi besedami, ali obstaja naravno število k in izometrija T : V R k, tako da vektorji T v 1, T v 2,, T v n pripadajo nenegativnemu oktantu? Naj bo A = Gram(v 1,, v n ) in naj bo a ij = v i, v j, pri čemer sta i, j = 1,, n Odgovor na zgornje vprašanje je pritrdilen natanko tedaj, ko je matrika A Gramova matrika nenegativnih vektorjev Naravno število k in izometrija T : V R k obstajata natanko tedaj, ko je matrika Gram(v 1, v n ) popolnoma pozitivna Tukaj k predstavlja število stolpcev matrike B, T v i pa i-to vrstico matrike B Popolnoma pozitivne matrike ni težko konstruirati - težje je prepoznati, ali je dana kvadratna matrika popolnoma pozitivna ali ne Potreben pogoj, da je matrika popolnoma pozitivna je, da je matrika dvojno nenegativna - vendar bomo ugotovili, da v splošnom to ni zadosten pogoj Začnimo s preprostim primerom Primer 5 Vse pozitivno diagonalne matrike so popolnoma pozitivne Naj bo D pozitivno diagonalna matrika Diagonalne matrike so simetrične, zato velja D = D T Matriko D lahko zapišemo kot d d d d2 0 D = = 0 0 d n 0 0 dn d d od koder sledi, da je D popolnoma pozitivna Preprost primer popolnoma pozitivne matrike je tudi identična matrika Primer 6 Dvojno nenegativne matrike ranga 1 so popolnoma pozitivne matrike Če je A M n n (R) dvojno nenegativna matrika ranga 1, jo lahko zapišemo kot A = bb T za nek b R n (glej izrek 16) Ker je A 0, mora biti b nujno nenegativen, nakar sledi, da je A popolnoma pozitivna Izrek 21 Dvojno nenegativne matrike ranga 2 so popolnoma pozitivne matrike dn,

29 21 Definicije in osnovni pojmi 19 Dokaz Naj bo A M n n (R) dvojno nenegativna matrika ranga 2 Potem lahko A predstavimo z Gramovo matriko vektorjev v 1,, v n R 2 Ker je matrika A nenegativna, je kot med dvema poljubnima vektorjema največ π/2, v i, v j = v i v j cos ϕ > 0 ϕ π 2 Vektorja, ki izmed vseh tvorita največji kot, lahko zarotiramo tako, da oba ležita v prvem kvadrantu R 2 Tako tudi ostali vektorji ležijo v prvem kvadrantu Spoznajmo eno izmed metod, kako pokazati, da je dvojno nenegativna matrika A popolnoma pozitivna Matrika A mora biti hkrati pozitivno semidefinitna in Gramova matrika vektorjev v 1, v n v k-dimenzionalnem evklidskem prostoru V Če lahko najdemo takšno ortonormirano bazo E prostora V, da so koordinatni vektorji [v 1 ] E, [v 2 ] E,, [v n ] E nenegativni, potem je T v = [v] E izometrična vpetost vektorjev v 1, v n v R k + in je matrika A popolnoma pozitivna Glavna ideja dokaza je vzeti bazo E, dobljeno z Gram-Schmidtovo metodo dveh vektorjev, ki tvorita skupaj največji kot Gram-Schmidtova ortogonalizacija transformira bazo v 1, v n v ortonormirano bazo e 1, e n Najprej normirajmo vektor e 1, e 1 = v 1 v 1, nato izračunajmo e 2 = v 2 v 1, e 1 e 1 in normirajmo e 2, e 2 = e 2 Postopek ponovimo za vse vektorje iz baze V splošnem zapišemo e 2 e i+1 = v i+1 v i+1, e i e i v i+1, e 1 e 1, e i+1 = e i+1 e i+1 Iskanje takšne matrike B, da je A = BB T, poteka s pomočjo Schurovega komplementa Definicija Naj bo matrika A M n n (R) oblike [ ] A11 A 12 A =, A 21 A 22 kjer je A 11 M k k (R), 1 k n, obrnljiva matrika Schurov komplement bloka A 11 matrike A je matrika A/A 11 = A 22 A 21 A 1 11 A 12 Lema 22 Naj bo A M n n (R) pozitivno semidefinitna matrika oblike [ ] A11 A 12 A = A 21 A 22 Če je A 11 obrnljiva matrika, potem je A 22 A 21 A 1 11 A 12 pozitivno semidefinitna matrika

30 21 Definicije in osnovni pojmi 20 Dokaz Naj bo matrika A M n n (R) pozitivno semidefinitna in S M n m (R) poljubna matrika V trditvi 14 smo pokazali, da je potem tudi matrika S T AS pozitivno semidefinitna Očitno je tudi matrika A 22 pozitivno semidefinitna zaradi bločne sestave Vsota pozitivno semidefinitnih matrik je pozitivno semidefintina matrika, od koder sledi, da je matrika A 22 A 21 A 1 11 A 12 pozitivno semidefinitna Uporaba Schurovega komplementa je na nek način običajna vrstična in stolpčna eliminacija, ki poteka na naslednji način Naj bo a 11 a 12 a 1n a 12 a 22 a 2n A = a 1n a 2n a nn in naj bo v 1 vektor, ki predstavlja prvi stolpec matrike A pomnožen s številom 1 a11 da je a 11 > 0) Izračunajmo (vemo, a 11 a 1n v 1 v1 T = 1 a 12 1 [ ] a a11 11 a 12 a 1n a11 = 1 a 11 a 2 11 a 11 a 12 a 11 a 1n a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 2 12 a 12 a 1n a a a = 11 a 11 a 11 a 1n a 12 a 1n a 2 a 1n a 12 a 1n 1n a 11 a 12 a 1n Dobimo matriko, katere prvi stolpec in vrstica sovpadata s prvim stolpcem in vrstico matrike A, zato je matrika A v 1 v1 T oblike A v 1 v1 T 0 a 22 a 2n = 0 a 2n a nn a 2 1n a 11 Prva vrstica in stolpec te matrike sta ničelna Ta postopek nadaljujemo Če je a 22 = 0, ima matrika A rang 1 in je postopek zaključen, torej je A = v 1 v1 T Če je a 22 0, za vektor v 2 vzamemo drugi stolpec matrike A v 1 v1 T 1 pomnožen s številom in izračunamo novo a 22

31 21 Definicije in osnovni pojmi 21 matriko A v 1 v1 T v 2v2 T Če je slednja matrika ničelna, smo s postopkom zaključili, sicer nadaljujemo Po k korakih (rang matrike A = k) dobimo A v 1 v1 T v 2v2 T v kvk T = 0 Naj matriko B = [v 1 v 2 v k ] določajo vektorji v i, ki so zapisani v stolpce Tedaj je B iskana matrika in velja A = BB T Primer 7 Naj bo A = Preverimo, da je A popolnoma pozitivna matrika Iščemo torej takšno nenegativno matriko B, da je A = BB T Naj bo v 1 = 1 ] T [ [ = ] T Potem je v 1 v T 1 = ] [ = Sedaj izračunajmo A v 1 v1 T = Naj bo v 2 = 1 [ ] T [ 1 = ] T 2 2 Potem je

32 21 Definicije in osnovni pojmi 22 v 2 v T 2 = ] [ = Sledi, da je A v 1 v T 1 v 2v T 2 = 0 Dobimo matriko B = [v 1 v 2 ] = [ ] in B T 3 = Potem je BB T = [ ] = = A Velja torej A = v 1 v1 T + v 2v2 T A popolnoma pozitivna = BBT in ker je B nenegativna matrika, sledi, da je matrika Po primeru 6 in izreku 21 sledi, da je vsaka 2 2 dvojno nenegativna matrika popolnoma pozitivna, kar bomo v naslednjem primeru potrdili z algebraičnim pristopom Primer 8 Naj bo [ ] a b A =, b c

33 21 Definicije in osnovni pojmi 23 a, b, c R, dvojno nenegativna matrika Če je c = 0, potem poiščemo karakteristično enačbo matrike A, det(a λi) = 0 Rešitvi karakteristične enačbe λ 2 λa b 2 = 0 sta λ 1,2 = a ± a 2 + 4b a ± a 2 + 4b 2 0 Od tod sledi, da mora biti a a 2 + 4b 2, kar velja natanko tedaj, ko je b = 0 Imamo torej B = [ a ] 0 0 a in velja A = BB T Če je c > 0, potem je A = BBT, kjer je a 0 B = b c b2 a a V tem primeru matriko B dobimo s pomočjo Schurovega komplementa Zavedati se moramo, da vsaka dvojno nenegativna matrika ni popolnoma pozitivna Oglejmo si naslednji primer Primer 9 Vzemimo matriko A = Naj bo v 1 = Potem je 1 1 v 1 v1 T = [ ] T [ ] = Izračunajmo A v 1 v T 1

34 21 Definicije in osnovni pojmi = Naj bo v 2 = [ ] T Potem je v2 v T 2 = Izračunajmo A v 1 v1 T v 2v2 T = Naj bo v 3 = [ ] T Potem je v3 v T 3 = Izračunajmo A v 1 v1 T v 2v2 T v 3v3 T =

35 21 Definicije in osnovni pojmi 25 Naj bo v 4 = [ ] T Potem je v4 v T 4 = Izračunajmo A v 1 v1 T v 2v2 T v 3v3 T v 4v4 T = Naj bo v 5 = 1 3 [ ] T Potem je v 5 v5 T = = Sledi, da je A v 1 v1 T v 2v2 T v 3v3 T v 4v4 T v 5v5 T = 0 Dobili smo matriko B = [v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 ] = Ker matrika B vsebuje negativen element, A ni popolnoma pozitivna matrika Naslednja trditev vsebuje ekvivalentno definicijo popolne pozitivnosti Trditev 23 Matrika A je popolnoma pozitivna natanko tedaj, ko se lahko zapiše kot vsota

36 21 Definicije in osnovni pojmi 26 A = k b i b T i, i=1 (21) kjer je b i nenegativen vektor iz R n za vsak i = 1,, k Dokaz Matriko A lahko zapišemo kot ] A = BB T k = [b 1 b 2 b k bt1 = b i b T i, kjer b i predstavlja i-ti stolpec matrike B b T k i=1 V enakosti (21) je matrika A predstavljena kot vsota dvojno nenegativnih (popolnoma pozitivnih) matrik ranga 1 Primer 10 Naj bo [ ] a b A =, b 1 a, b R Potem je matrika A zapisana s pomočjo matrik ranga 1 v obliki vsote [ ] [ ] a b 0 0 A = + b b 2 a 0 1 b2 a Poglejmo, kako pridemo do takšnega zapisa Ker je element a 22 > 0, je matrika a 0 a B = in B T b = a b a 1 b2 a 0 1 b2 a Označimo b 1 = [ ] a b a 0 in b 2 = 1 b2 a Potem je [ ] [ ] a b 0 0 b 1 b T 1 =, b b b 2 2 b T 2 = a 0 1 b2 a in je A = b 1 b T 1 + b 2b T 2

37 22 Lastnosti popolnoma pozitivnih matrik Lastnosti popolnoma pozitivnih matrik Trditev 24 Vsota popolnoma pozitivnih matrik je popolnoma pozitivna matrika Dokaz Naj bosta A = k i=1 b ib T i in C = k+l i=k+1 b ib T i C Potem je A + C = k+l i=1 b ib T i predstavitvi ranga 1 matrik A in Lema 25 Naj bo matrika A popolnoma pozitivna Potem je za vsak α R + tudi αa popolnoma pozitivna matrika Dokaz Naj bo matrika A popolnoma pozitivna Potem jo lahko zapišemo kot A = BB T, za B 0 in velja αa = (βb)(βb) T, kjer je β = α Za vsak α 0 je tudi β 0, od koder sledi, da je matrika βb nenegativna Trditev 26 Hadamardov produkt popolnoma pozitivnih matrik je popolnoma pozitivna matrika Dokaz Radi bi pokazali A B = k l i=1 j=1 (c i d j )(c i d j ) T Naj bosta a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2n A n n = in B n n = a n1 a n2 a nn b n1 b n2 b nn ter A = k i=1 c ic T i in B = l j=1 d jd T j predstavitvi ranga 1 matrik A in B Potem velja (a pr ) = c p1 c 1r + c p2 c 2r + + c pk c kr = (c 1 c T 1 ) pr + (c 2 c T 2 ) pr + + (c k c T k ) pr, (b pr ) = d p1 d 1r + d p2 d 2r + + d pl d lr za vse 1 p, r n = (d 1 d T 1 ) pr + (d 2 d T 2 ) pr + + (d k d T k ) pr (A B) pr = a pr b pr = k l (c i c T i ) pr (d j d T j ) pr = i=1 j=1 k l (c i d j ) pr (c T i d T j ) pr, i=1 j=1 kjer je c i d j pr-ti element Hadamardovega produkta (c i d j ) in c T i dt j pr-ti element Hadamardovega produkta (c i d j ) T

38 22 Lastnosti popolnoma pozitivnih matrik 28 Primer 11 Na preprostem primeru preverimo, da velja enakost A B = k l (c i d j )(c i d j ) T i=1 j=1 Naj bosta [ ] [ ] A = = , 0 5 [ ] [ ] [ ] B = = popolnoma pozitivni matriki Očitno velja [ ] A B = Po vpeljanih oznakah je [ ] [ ] [ ] c 1 =, c 2 =, c 3 = [ ] [ ] 2 1 ter d 1 =, d 2 = 0 2 Potem je = k i=1 j=1 l (c i d j )(c i d j ) T [ ] 2 [ ] + [ ] 1 [ ] + [ ] 2 [ ] + [ ] 1 [ ] + [ 0 10 ] [ ] 0 10 [ ] = Posledica 27 Hadamardova potenca A (k) = A A A popolnoma pozitivnih matrik je popolnoma pozitivna Dokaz Sledi direktno iz trditve 26, kjer smo dokazali, da je Hadamardov produkt dveh popolnoma pozitivnih matrik popolnoma pozitivna matrika Trditev 28 Če je matrika A M n n(r) popolnoma pozitivna in je matrika C M m n (R) nenegativna, potem je tudi produkt CAC T popolnoma pozitivna matrika Dokaz Naj bo A = BB T, B 0 Potem je CAC T = CBB T C T = (CB)(CB) T

39 22 Lastnosti popolnoma pozitivnih matrik 29 Trditev 29 Naj bo A popolnoma pozitivna matrika Potem je za vsak k N matrika A k popolnoma pozitivna Dokaz Matrika A je popolnoma pozitivna, zato jo lahko zapišemo kot A = BB T, B 0 in velja A T = BB T = A (i) (ii) Če je k = 2l, potem je A k = (A 2l ) = (A l ) 2 = A l A l = A l (A T ) l = A l (A l ) T Če je k = 2l + 1, potem je A k = A 2l+1 = A 2l A = A l A l A = A l AA l = (A l )BB T (A l ) T = (A l B)(A l B) T Posledica 210 Če je f(x) realni polinom z nenegativnimi koeficienti in je matrika A popolnoma pozitivna, potem je tudi matrika f(a) popolnoma pozitivna Dokaz Če je matrika A popolnoma pozitivna je za vsak c 0 tudi matrika ca popolnoma pozitivna (lema 25) in je za vsak k N tudi matrika A k popolnoma pozitivna (trditev 29) Dokazali smo tudi, da je vsota popolnoma pozitivnih matrik popolnoma pozitivna (trditev 24), od tod sledi, da je vsota matrik c k A k popolnoma pozitivna Matrika f(a) je torej popolnoma pozitivna Trditev 211 Kroneckerjev produkt A B popolnoma pozitivnih matrik A in B je popolnoma pozitivna matrika Pri dokazu zgornje trditve nam bosta v pomoč lemi 113 in 114 Dokaz Naj bo A = CC T, C 0 in B = DD T, D 0 Potem velja A B = CC T DD T = (C D)(C T D T ) = (C D)(C D) T, kar pomeni, da je Kroneckerjev produkt popolnoma pozitivnih matrik popolnoma pozitivna matrika Trditev 212 Glavne podmatrike popolnoma pozitivnih matrik so popolnoma pozitivne Dokaz Naj bo A = BB T, B 0 popolnoma pozitivna matrika in A [α] glavna podmatrika matrike A Potem je A [α] = CC T, kjer je C takšna podmatrika matrike B, ki vsebuje natanko tiste vrstice in stolpce matrike B, ki jih določajo indeksi iz α Trditev 213 Naj bo A M n n (R) in P M n n permutacijska matrika Naslednji trditvi sta ekvivalentni

40 22 Lastnosti popolnoma pozitivnih matrik 30 (i) A je popolnoma pozitivna matrika; (ii) P AP T je popolnoma pozitivna matrika Dokaz Če je matrika A popolnoma pozitivna, je tudi matrika P AP T popolnoma pozitivna, saj velja P AP T = P BB T P T = (P B)(P B) T Pokažimo še obrat Matrika P T AP je popolnoma pozitivna, zato velja P T AP = BB T Ker je P permutacijska matrika, velja P P T = P T P = I Enakost P T AP = BB T z leve strani pomnožimo s P T in z desne s P Dobimo A = P T BB T P = (P T B)(P T B) T, kar pomeni, da je matrika A popolnoma pozitivna Trditev 214 Naj bo A M n n (R) in naj bo D M n n (R) pozitivno diagonalna matrika Naslednji trditvi sta ekvivalentni (i) Matrika A je popolnoma pozitivna; (ii) DAD je popolnoma pozitivna matrika Dokaz saj velja Če je matrika A popolnoma pozitivna, je tudi matrika DAD popolnoma pozitivna, DAD = DBB T D = DBB T D T = (DB)(DB) T Pokažimo še obrat Matrika DAD je popolnoma pozitivna, zato velja DAD = BB T Diagonalni elementi matrike D so pozitivni Matrika D 1 = diag(1/d 1,, 1/d n ) je pozitivno diagonalna Enakost DAD = BB T z leve in desne strani pomnožimo z D 1 Dobimo A = D 1 BB T D 1 = (D 1 B)(D 1 B) T Matrika A je torej popolnoma pozitivna Trditev 215 Zapišimo simetrično matriko A v obliki A = A 1 A 2 A m Matrika A je popolnoma pozitivna natanko tedaj, ko je vsaka matrika A i za i = 1,, m popolnoma pozitivna Dokaz Zaradi bločne sestave očitno velja trditev

41 23 Konveksni stožci Konveksni stožci V tem podpoglavju bomo predstavili osnovne rezultate na konveksnih stožcih v končno dimenzionalnem evklidskem prostoru V s skalarnim produktom in dokazali, da je množica popolnoma pozitivnih matrik zaprt konveksni stožec Definicija Množica K v evklidskem prostoru V je konveksna, če za vse x, y K in vsak a [0, 1] velja ax + (1 a)y K Očitno je vsak linearen podprostor prostora V konveksna množica Drug preprost primer konveksne množice predstavlja zaprta krogla v R n s središčem v 0 in polmerom 1 B = {x R n x 1} Definicija Množica K v evklidskem prostoru V je stožec, če za vsak x K in vsak a 0 velja ax K S kombinacijo zgornjih dveh definicij dobimo naslednjo definicijo Definicija Množica K v evklidskem prostoru V je konveksni stožec, če za vse x, y K in a, b 0 velja ax + by K Primer 12 Vzemimo množici K 1 = R 2 + = { (x, y) R 2 x 0, y 0 }, K 2 = { (x, y) R 2 0 y x } Slika 21: Primera zaprtih konveksnih stožcev Pokažimo, da je K 1 zaprt konveksni stožec v R 2 Naj bosta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) K 1 Potem velja x 1, y 1, x 2, y 2 0 Za vse (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) K 1 in a, b 0 velja

42 23 Konveksni stožci 32 a(x 1, y 1 ) + b(x 2, y 2 ) = (ax 1, ay 1 ) + (bx 2, by 2 ) = (ax 1 + bx }{{} 2, ay 1 + by 2 ) K }{{} Podobno velja za množico K 2 Naj bosta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) K 2 Potem velja 0 y 1 x 1 in 0 y 2 x 2 Za vse (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) K 2 in a, b 0 velja a(x 1, y 1 ) + b(x 2, y 2 ) = (ax 1, ay 1 ) + (bx 2, by 2 ) = (ax 1 + bx 2, ay 1 + by 2 ) Ker velja 0 y 1 x 1 in 0 y 2 x 2, sledi 0 ay 1 + by 2 ax 1 + bx 2 Opomba 216 Za vsak n N je R n + = {x R n x i 0 za vsak i = 1,, n} zaprt konveksni stožec Omeniti velja, da je K 1 posebni primer tega stožca Primer 13 Naj bo podan enotski vektor u R n in kot 0 θ π/2 Naj bo K u,θ množica takšnih vektorjev x R n, da je kot med vektorjema x in u največ θ Pokažimo, da je K u,θ = {x R n x, u x cos θ} zaprt konveksni stožec Očitno je množica K u,θ zaprta za množenje z nenegativnim skalarjem Naj bosta x, y K u,θ Potem velja x + y, u = x, u + y, u x cos θ + y cos θ = ( x + y ) cos θ x + y cos θ Za vsako množico D V s conv(d) označujemo najmanjšo konveksno množico, ki vsebuje D Množica conv(d) se imenuje konveksna ovojnica ali konveksna ogrinjača Konveksna ogrinjača je presek vseh konveksnih množic, ki vsebujejo D Trditev 217 Konveksna ovojnica množice D je množica vseh konveksnih kombinacij točk iz D Dokaz Preverimo, da je množica { m S = λ i x i m N, x i D, λ i 0, i=1 } m λ i = 1 i=1 konveksna

43 23 Konveksni stožci 33 Vzemimo x, y S Potem sta x in y naslednji konveksni kombinaciji elementov iz D : x = m n λ i x i, y = µ j y j i=1 j=1 za m, n N, λ i, µ j 0 ter m i=1 λ i = n j=1 µ j = 1 Za λ [0, 1] je λx + (1 λ)y = λ m λ i x i + (1 λ) i=1 n µ j y j S, j=1 saj velja λλ i [0, 1] in (1 λ)µ j [0, 1] za vse λ i, µ j 0 in m i=1 λ i = n j=1 µ j = 1 Velja λλ i + (1 λ)µ j [0, 1] za vsak λ [0, 1] in vse λ i, µ j 0 ter m i=1 λ i = n j=1 µ j = 1, kar pa ustreza definiciji konveksnosti množice S Vsak x D lahko zapišemo v obliki x = 1 i=1 1x, zato je D S Ker je vsak x S konveksna kombinacija elementov iz D in ker vsaka konveksna množica vsebuje vse konveksne kombinacije svojih elementov, je S conv(d) Množica S je torej konveksna in ker velja D S conv(d), sledi S = conv(d) Trditev 218 Naj bodo K, K 1 in K 2 konveksni stožci v evklidskem prostoru V Potem je (i) zaprtje množice K konveksni stožec, (ii) notranjost množice K konveksni stožec, (iii) presek K 1 K 2 konveksni stožec, (iv) vsota K 1 + K 2 = {x 1 + x 2 x 1 K 1, x 2 K 2 } konveksni stožec Dokaz (i) Naj bosta x, y K Pokazati moramo, da je tudi ax + by K Obstajata limiti lim x n = x; x n K, n lim y n = y; y n K n Zaradi konveksnosti velja ax n + by n K Če gre n, potem zaporedje ax n + by n konvergira proti ax + by To pa je res v zaprtju množice K, namreč zaprta množica vsebuje vse limite svojih kovergentnih zaporedij (ii) Naj bosta x, y Not(K) Potem obstajata polmera r 1 in r 2, da je

44 23 Konveksni stožci 34 K r1 (x) K, K r2 (y) K Vzemimo r = min {r 1, r 2 } Dokazujemo, da je K r (x + y) K Naj bo z K r (x + y), potem je z x y < r Označimo z y = z x, potem je y y < r Sledi, da je z = }{{} x + y K }{{} K K Dokazali smo implikacijo x, y Not(K) x + y Not(K) Če je množica K konveksna, je tudi Not(K) konveksna Naj bo x Not(K) in a > 0, potem je tudi K ra (ax) K (iii) Naj bosta x, y K 1 K 2 Zaradi definicije velja x, y K 1 ter x, y K 2 Ker sta K 1 in K 2 konveksna stožca, velja λx + βy K 1 in λx + βy K 2, od koder sledi λx + βy K 1 K 2 (iv) Naj bosta x, y K 1 + K 2 Zaradi definicije velja x = x 1 + x 2 in y = y 1 + y 2, pri čemer sta x 1, y 1 K 1 ter x 2, y 2 K 2 Sedaj lahko zapišemo αx + βy = α(x 1 + x 2 ) + β(y 1 + y 2 ) = (αx 1 + βy 1 ) + (αx 2 + βy 2 ) = u + v, pri čemer sta u K 1, v K 2 Vsota zaprtih konveksnih stožcev ni nujno zaprta Oglejmo si naslednji primer Primer 14 Naj bo K 1 stožec takšnih vektorjev v R 3, da je kot med njimi in vektorjem (1, 0, 1) največ π/4 Označimo x 0 = (1, 0, 1) 1 2 in x = (x 1, x 2, x 3 ) Z naslednjim računom določimo enega izmed pogojev za množico K 1 x, x 0 x x 0 cos π (x 1 + x 3 ) x x2 2 + x x x 1 x 3 + x 2 3 x x x 2 3 2x 1 x 2 x 2 2 Torej je K 1 = { (x 1, x 2, x 3 ) x 1 0, x 3 0, 2x 1 x 2 x 2 2} Za K2 vzemimo x-os v R 3 Poglejmo, ali je (0, 1, 0) K 1 + K 2 Zapišimo (0, 1, 0) = (x 1, x 2, x 3 ) + ( x 1, 0, 0) Očitno mora

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

Linearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe

Linearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija

More information

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut

More information

Linearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani

Linearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani Linearna algebra Bojan Orel 07 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5.64(075.8) OREL, Bojan Linearna

More information

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

Kode za popravljanje napak

Kode za popravljanje napak UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE KOPER MATEMATIČNE ZNANOSTI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM 2. STOPNJE Aljaž Slivnik Kode za popravljanje napak Magistrska

More information

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP

POLDIREKTNI PRODUKT GRUP UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni

More information

SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE

SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in

More information

Reševanje problemov in algoritmi

Reševanje problemov in algoritmi Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo

More information

NIKJER-NIČELNI PRETOKI

NIKJER-NIČELNI PRETOKI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA

More information

Hadamardove matrike in misija Mariner 9

Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:

More information

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

More information

Jernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih

Jernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU

More information

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski

More information

Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene

Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 2 Course title: Mathematics 2 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle

More information

Problem umetnostne galerije

Problem umetnostne galerije Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem

More information

OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi

OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih

More information

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,

More information

Hipohamiltonovi grafi

Hipohamiltonovi grafi Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.

More information

Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge

Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Naloge so razdeljene v 6 skupin. Za pozitivno oceno morate rešiti toliko nalog, da bo končna vsota za pozitivno oceno vsaj 8 točk oz. vsaj 10 točk

More information

Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM

Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem

More information

Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov

Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 519.24(082)(0.034.2)

More information

Matrices and Linear Algebra

Matrices and Linear Algebra Contents Quantitative methods for Economics and Business University of Ferrara Academic year 2017-2018 Contents 1 Basics 2 3 4 5 Contents 1 Basics 2 3 4 5 Contents 1 Basics 2 3 4 5 Contents 1 Basics 2

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of

More information

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.

More information

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition of Linear Transformations Jiwen He Department of Mathematics, University of Houston jiwenhe@math.uh.edu math.uh.edu/ jiwenhe/math4377

More information

Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups)

Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups) UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Matematične znanosti Študijski program 2. stopnje Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi

More information

JERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko

JERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko . ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko

More information

SIMETRIČNI BICIRKULANTI

SIMETRIČNI BICIRKULANTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA GORAZD VASILJEVIĆ SIMETRIČNI BICIRKULANTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Študijska smer Study field ECTS Vaje / Tutorial: slovenski / Slovene

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Študijska smer Study field ECTS Vaje / Tutorial: slovenski / Slovene Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Linearna algebra Linear algebra Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni študijski

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:

More information

Linear Algebra and Matrix Inversion

Linear Algebra and Matrix Inversion Jim Lambers MAT 46/56 Spring Semester 29- Lecture 2 Notes These notes correspond to Section 63 in the text Linear Algebra and Matrix Inversion Vector Spaces and Linear Transformations Matrices are much

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Linearna algebra Linear algebra Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika

More information

A matrix over a field F is a rectangular array of elements from F. The symbol

A matrix over a field F is a rectangular array of elements from F. The symbol Chapter MATRICES Matrix arithmetic A matrix over a field F is a rectangular array of elements from F The symbol M m n (F ) denotes the collection of all m n matrices over F Matrices will usually be denoted

More information

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011

More information

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Chapter1 Matrices and Determinants 11 INTRODUCTION Matrix means an arrangement or array Matrices (plural of matrix) were introduced by Cayley in 1860 A matrix A is rectangular array of m n numbers (or

More information

Neli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov

Neli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Neli Blagus Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentorica:

More information

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

SIMETRIČNE KOMPONENTE

SIMETRIČNE KOMPONENTE Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,

More information

Eulerjevi in Hamiltonovi grafi

Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje

More information

SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev

SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness

More information

Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez

Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Matemati ne znanosti - 2. stopnja Peter Mur²i Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez Magistrsko

More information

Math 3108: Linear Algebra

Math 3108: Linear Algebra Math 3108: Linear Algebra Instructor: Jason Murphy Department of Mathematics and Statistics Missouri University of Science and Technology 1 / 323 Contents. Chapter 1. Slides 3 70 Chapter 2. Slides 71 118

More information

Chapter 1 Matrices and Systems of Equations

Chapter 1 Matrices and Systems of Equations Chapter 1 Matrices and Systems of Equations System of Linear Equations 1. A linear equation in n unknowns is an equation of the form n i=1 a i x i = b where a 1,..., a n, b R and x 1,..., x n are variables.

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO Rok Erman BARVANJA RAVNINSKIH IN SORODNIH DRUŽIN GRAFOV Doktorska disertacija MENTOR: prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana,

More information

Naloge iz LA T EXa : 3. del

Naloge iz LA T EXa : 3. del Naloge iz LA T EXa : 3. del 1. V besedilo vklju ite naslednjo tabelo skupaj z napisom Kontrolna naloga Dijak 1 2 Povpre je Janko 67 72 70.5 Metka 72 67 70.5 Povpre je 70.5 70.5 Tabela 1: Rezultati kontrolnih

More information

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne

More information

Solutions for Chapter 3

Solutions for Chapter 3 Solutions for Chapter Solutions for exercises in section 0 a X b x, y 6, and z 0 a Neither b Sew symmetric c Symmetric d Neither The zero matrix trivially satisfies all conditions, and it is the only possible

More information

ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA

ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA K R MATTHEWS DEPARTMENT OF MATHEMATICS UNIVERSITY OF QUEENSLAND First Printing, 99 Chapter LINEAR EQUATIONS Introduction to linear equations A linear equation in n unknowns x,

More information

Matrix Differentiation

Matrix Differentiation Matrix Differentiation CS5240 Theoretical Foundations in Multimedia Leow Wee Kheng Department of Computer Science School of Computing National University of Singapore Leow Wee Kheng (NUS) Matrix Differentiation

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

Ana Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski

Ana Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja Ana Mlinar Fulereni Delo diplomskega seminarja Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana, 2011 Kazalo 1. Uvod 4 2.

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV

More information

DIOFANTSKE ČETVERICE

DIOFANTSKE ČETVERICE Fakulteta za aravoslovje i matematiko Oddelek za matematiko i račualištvo Diplomsko delo DIOFANTSKE ČETVERICE Metor: Doc. dr. Daiel Eremita Kadidatka: Jožica Špec Maribor 009 II ZAHVALA Zahvaljujem se

More information

Intervalske Bézierove krivulje in ploskve

Intervalske Bézierove krivulje in ploskve Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM

More information

A note on 5 5 Completely positive matrices

A note on 5 5 Completely positive matrices A note on 5 5 Completely positive matrices Hongbo Dong and Kurt Anstreicher October 2009; revised April 2010 Abstract In their paper 5 5 Completely positive matrices, Berman and Xu [BX04] attempt to characterize

More information

Matrix Algebra Determinant, Inverse matrix. Matrices. A. Fabretti. Mathematics 2 A.Y. 2015/2016. A. Fabretti Matrices

Matrix Algebra Determinant, Inverse matrix. Matrices. A. Fabretti. Mathematics 2 A.Y. 2015/2016. A. Fabretti Matrices Matrices A. Fabretti Mathematics 2 A.Y. 2015/2016 Table of contents Matrix Algebra Determinant Inverse Matrix Introduction A matrix is a rectangular array of numbers. The size of a matrix is indicated

More information

x k 34 k 34. x 3

x k 34 k 34. x 3 A A A A A B A =, C =. f k k x k l f f 3 = k 3 k 3 x k 34 k 34 x 3 k 3 l 3 k 34 l 34. f 4 x 4 K K = [ ] 4 K = K (K) = (K) I m m R I m m = [e, e,, e m ] R = [a, a,, a m ] R = (r ij ) r r r m R = r r m. r

More information

Lecture 4: Products of Matrices

Lecture 4: Products of Matrices Lecture 4: Products of Matrices Winfried Just, Ohio University January 22 24, 2018 Matrix multiplication has a few surprises up its sleeve Let A = [a ij ] m n, B = [b ij ] m n be two matrices. The sum

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Fibonaccijevo zaporedje in krožna konstanta

More information

Elementary Row Operations on Matrices

Elementary Row Operations on Matrices King Saud University September 17, 018 Table of contents 1 Definition A real matrix is a rectangular array whose entries are real numbers. These numbers are organized on rows and columns. An m n matrix

More information

a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. Chapter 1 LINEAR EQUATIONS 11 Introduction to linear equations A linear equation in n unknowns x 1, x,, x n is an equation of the form a 1 x 1 + a x + + a n x n = b, where a 1, a,, a n, b are given real

More information

Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA

Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik 26.

More information

Knowledge Discovery and Data Mining 1 (VO) ( )

Knowledge Discovery and Data Mining 1 (VO) ( ) Knowledge Discovery and Data Mining 1 (VO) (707.003) Review of Linear Algebra Denis Helic KTI, TU Graz Oct 9, 2014 Denis Helic (KTI, TU Graz) KDDM1 Oct 9, 2014 1 / 74 Big picture: KDDM Probability Theory

More information

ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA

ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA K. R. MATTHEWS DEPARTMENT OF MATHEMATICS UNIVERSITY OF QUEENSLAND Corrected Version, 7th April 013 Comments to the author at keithmatt@gmail.com Chapter 1 LINEAR EQUATIONS 1.1

More information

MAT 2037 LINEAR ALGEBRA I web:

MAT 2037 LINEAR ALGEBRA I web: MAT 237 LINEAR ALGEBRA I 2625 Dokuz Eylül University, Faculty of Science, Department of Mathematics web: Instructor: Engin Mermut http://kisideuedutr/enginmermut/ HOMEWORK 2 MATRIX ALGEBRA Textbook: Linear

More information

Jim Lambers MAT 610 Summer Session Lecture 1 Notes

Jim Lambers MAT 610 Summer Session Lecture 1 Notes Jim Lambers MAT 60 Summer Session 2009-0 Lecture Notes Introduction This course is about numerical linear algebra, which is the study of the approximate solution of fundamental problems from linear algebra

More information

Applied Differential Equation. November 30, 2012

Applied Differential Equation. November 30, 2012 Applied Differential Equation November 3, Contents 5 System of First Order Linear Equations 5 Introduction and Review of matrices 5 Systems of Linear Algebraic Equations, Linear Independence, Eigenvalues,

More information

NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI

NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO

More information

x 3y 2z = 6 1.2) 2x 4y 3z = 8 3x + 6y + 8z = 5 x + 3y 2z + 5t = 4 1.5) 2x + 8y z + 9t = 9 3x + 5y 12z + 17t = 7

x 3y 2z = 6 1.2) 2x 4y 3z = 8 3x + 6y + 8z = 5 x + 3y 2z + 5t = 4 1.5) 2x + 8y z + 9t = 9 3x + 5y 12z + 17t = 7 Linear Algebra and its Applications-Lab 1 1) Use Gaussian elimination to solve the following systems x 1 + x 2 2x 3 + 4x 4 = 5 1.1) 2x 1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 3 3x 1 + 3x 2 4x 3 2x 4 = 1 x + y + 2z = 4 1.4)

More information

Massachusetts Institute of Technology Department of Economics Statistics. Lecture Notes on Matrix Algebra

Massachusetts Institute of Technology Department of Economics Statistics. Lecture Notes on Matrix Algebra Massachusetts Institute of Technology Department of Economics 14.381 Statistics Guido Kuersteiner Lecture Notes on Matrix Algebra These lecture notes summarize some basic results on matrix algebra used

More information

A FIRST COURSE IN LINEAR ALGEBRA. An Open Text by Ken Kuttler. Matrix Arithmetic

A FIRST COURSE IN LINEAR ALGEBRA. An Open Text by Ken Kuttler. Matrix Arithmetic A FIRST COURSE IN LINEAR ALGEBRA An Open Text by Ken Kuttler Matrix Arithmetic Lecture Notes by Karen Seyffarth Adapted by LYRYX SERVICE COURSE SOLUTION Attribution-NonCommercial-ShareAlike (CC BY-NC-SA)

More information

Further Mathematical Methods (Linear Algebra)

Further Mathematical Methods (Linear Algebra) Further Mathematical Methods (Linear Algebra) Solutions For The 2 Examination Question (a) For a non-empty subset W of V to be a subspace of V we require that for all vectors x y W and all scalars α R:

More information

Topološki model za brezžična senzorska omrežja

Topološki model za brezžična senzorska omrežja UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Jan Terzer Topološki model za brezžična senzorska omrežja DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKA

More information

Symmetric and anti symmetric matrices

Symmetric and anti symmetric matrices Symmetric and anti symmetric matrices In linear algebra, a symmetric matrix is a square matrix that is equal to its transpose. Formally, matrix A is symmetric if. A = A Because equal matrices have equal

More information

INSTITIÚID TEICNEOLAÍOCHTA CHEATHARLACH INSTITUTE OF TECHNOLOGY CARLOW MATRICES

INSTITIÚID TEICNEOLAÍOCHTA CHEATHARLACH INSTITUTE OF TECHNOLOGY CARLOW MATRICES 1 CHAPTER 4 MATRICES 1 INSTITIÚID TEICNEOLAÍOCHTA CHEATHARLACH INSTITUTE OF TECHNOLOGY CARLOW MATRICES 1 Matrices Matrices are of fundamental importance in 2-dimensional and 3-dimensional graphics programming

More information

A matrix is a rectangular array of. objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. is called the size of the matrix, and

A matrix is a rectangular array of. objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. is called the size of the matrix, and Section 5.5. Matrices and Vectors A matrix is a rectangular array of objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. A matrix with m rows and n columns is called an m n matrix.

More information

MATH 106 LINEAR ALGEBRA LECTURE NOTES

MATH 106 LINEAR ALGEBRA LECTURE NOTES MATH 6 LINEAR ALGEBRA LECTURE NOTES FALL - These Lecture Notes are not in a final form being still subject of improvement Contents Systems of linear equations and matrices 5 Introduction to systems of

More information

Ma 227 Review for Systems of DEs

Ma 227 Review for Systems of DEs Ma 7 Review for Systems of DEs Matrices Basic Properties Addition and subtraction: Let A a ij mn and B b ij mn.then A B a ij b ij mn 3 A 6 B 6 4 7 6 A B 6 4 3 7 6 6 7 3 Scaler Multiplication: Let k be

More information

A matrix is a rectangular array of. objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. is called the size of the matrix, and

A matrix is a rectangular array of. objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. is called the size of the matrix, and Section 5.5. Matrices and Vectors A matrix is a rectangular array of objects arranged in rows and columns. The objects are called the entries. A matrix with m rows and n columns is called an m n matrix.

More information

Linear Algebra. Matrices Operations. Consider, for example, a system of equations such as x + 2y z + 4w = 0, 3x 4y + 2z 6w = 0, x 3y 2z + w = 0.

Linear Algebra. Matrices Operations. Consider, for example, a system of equations such as x + 2y z + 4w = 0, 3x 4y + 2z 6w = 0, x 3y 2z + w = 0. Matrices Operations Linear Algebra Consider, for example, a system of equations such as x + 2y z + 4w = 0, 3x 4y + 2z 6w = 0, x 3y 2z + w = 0 The rectangular array 1 2 1 4 3 4 2 6 1 3 2 1 in which the

More information

Chapter 4 - MATRIX ALGEBRA. ... a 2j... a 2n. a i1 a i2... a ij... a in

Chapter 4 - MATRIX ALGEBRA. ... a 2j... a 2n. a i1 a i2... a ij... a in Chapter 4 - MATRIX ALGEBRA 4.1. Matrix Operations A a 11 a 12... a 1j... a 1n a 21. a 22.... a 2j... a 2n. a i1 a i2... a ij... a in... a m1 a m2... a mj... a mn The entry in the ith row and the jth column

More information

CSC Linear Programming and Combinatorial Optimization Lecture 10: Semidefinite Programming

CSC Linear Programming and Combinatorial Optimization Lecture 10: Semidefinite Programming CSC2411 - Linear Programming and Combinatorial Optimization Lecture 10: Semidefinite Programming Notes taken by Mike Jamieson March 28, 2005 Summary: In this lecture, we introduce semidefinite programming

More information

STAT200C: Review of Linear Algebra

STAT200C: Review of Linear Algebra Stat200C Instructor: Zhaoxia Yu STAT200C: Review of Linear Algebra 1 Review of Linear Algebra 1.1 Vector Spaces, Rank, Trace, and Linear Equations 1.1.1 Rank and Vector Spaces Definition A vector whose

More information

SCHUR IDEALS AND HOMOMORPHISMS OF THE SEMIDEFINITE CONE

SCHUR IDEALS AND HOMOMORPHISMS OF THE SEMIDEFINITE CONE SCHUR IDEALS AND HOMOMORPHISMS OF THE SEMIDEFINITE CONE BABHRU JOSHI AND M. SEETHARAMA GOWDA Abstract. We consider the semidefinite cone K n consisting of all n n real symmetric positive semidefinite matrices.

More information

2. Linear algebra. matrices and vectors. linear equations. range and nullspace of matrices. function of vectors, gradient and Hessian

2. Linear algebra. matrices and vectors. linear equations. range and nullspace of matrices. function of vectors, gradient and Hessian FE661 - Statistical Methods for Financial Engineering 2. Linear algebra Jitkomut Songsiri matrices and vectors linear equations range and nullspace of matrices function of vectors, gradient and Hessian

More information

Chapter 2: Matrices and Linear Systems

Chapter 2: Matrices and Linear Systems Chapter 2: Matrices and Linear Systems Paul Pearson Outline Matrices Linear systems Row operations Inverses Determinants Matrices Definition An m n matrix A = (a ij ) is a rectangular array of real numbers

More information

Matrix Theory. A.Holst, V.Ufnarovski

Matrix Theory. A.Holst, V.Ufnarovski Matrix Theory AHolst, VUfnarovski 55 HINTS AND ANSWERS 9 55 Hints and answers There are two different approaches In the first one write A as a block of rows and note that in B = E ij A all rows different

More information

Math113: Linear Algebra. Beifang Chen

Math113: Linear Algebra. Beifang Chen Math3: Linear Algebra Beifang Chen Spring 26 Contents Systems of Linear Equations 3 Systems of Linear Equations 3 Linear Systems 3 2 Geometric Interpretation 3 3 Matrices of Linear Systems 4 4 Elementary

More information

Topološka obdelava slik

Topološka obdelava slik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Matjaž Cerar Topološka obdelava slik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJ RAČUNALNIŠTVA

More information

Worksheet A VECTORS 1 G H I D E F A B C

Worksheet A VECTORS 1 G H I D E F A B C Worksheet A G H I D E F A B C The diagram shows three sets of equally-spaced parallel lines. Given that AC = p that AD = q, express the following vectors in terms of p q. a CA b AG c AB d DF e HE f AF

More information

DM559 Linear and Integer Programming. Lecture 3 Matrix Operations. Marco Chiarandini

DM559 Linear and Integer Programming. Lecture 3 Matrix Operations. Marco Chiarandini DM559 Linear and Integer Programming Lecture 3 Matrix Operations Marco Chiarandini Department of Mathematics & Computer Science University of Southern Denmark Outline and 1 2 3 and 4 2 Outline and 1 2

More information