OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi"

Transcription

1 OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003

2 2

3 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge Osnovni pojmi Primeri optimizacijskih problemov Reševanje sistema enačb Naloga linearnega programiranja Naloga nelinearnega programiranja Izoperimetrična naloga Naloge diskretne optimizacije Naloga o minimalnem vpetem drevesu Naloga o prirejanju Naloga o trgovskem potniku Lastnosti Podobne in enakovredne naloge O nepraznosti množice Min(Φ, P ) Globalni in lokalni minimumi Konveksne množice in funkcije Posplošena konveksnost Običajna konveksnost Reševanje Minimum funkcij na IR n Sedla Prirejene in dualne naloge Lagrangeova prirejenost Karush-Kuhn-Tuckerjev izrek Numerični postopki Pokoordinatni spust in Hooke-Jeevesov postopek

4 4 KAZALO Gradientni postopek Kazenske metode Metoda zunanje točke Metoda notranje točke Literatura 201

5 Predgovor Ti zapiski vsebujejo snov spredavano pri predmetu Optimizacijske metode za študente računalništva. Ker knjiga še ni dokončana in ni primerne literature, ki bi vsebovala vso snov zbrano na enem ali dveh mestih, sem se odločil, da zapiske do izida knjige naredim dostopne v elektronski obliki. Nadaljnje razmnoževanje ali predelovanje ni dovoljeno! Ljubljana, 18. oktober 1998 Vladimir Batagelj

6 6 Predgovor

7 Poglavje 1 Optimizacijske naloge 1.1 Osnovni pojmi Naj bo na množici Φ dana funkcija P : Φ IR kjer je IR = IR {+, }. Množici Φ bomo rekli mnoˇzica dopustnih rešitev, funkciji P pa namenska ali kriterijska funkcija. Pogosto pri določitvi množice dopustnih rešitev Φ izhajamo iz širše mnoˇzice rešitev Ω, ki jo je enostavneje opisati. Množico dopustnih rešitev Φ tedaj sestavljajo tiste rešitve x Ω, ki zadoščajo predikatu dopustnosti ali omejitvam Φ(x) Postavimo Φ = (Ω, Φ) = {x Ω : Φ(x)} Min(Φ, P ) = {x Φ : y Φ : P (y) P (x)} Za vsak par x, y Min(Φ, P ) velja P (x) P (y) in P (y) P (x); torej je P (x) = P (y). To pomeni, da imajo vsi elementi množice Min(Φ, P ), če je ta neprazna, isto vrednost kriterijske funkcije P. Označimo jo z min(φ, P ) in jo razširimo na primer, ko je množica Min(Φ, P ) prazna, s predpisom: { infx Φ P (x) Φ min(φ, P ) = Φ = Tedaj lahko zapišemo tudi Min(Φ, P ) = {x Φ : P (x) = min(φ, P )} Na podoben način lahko vpeljemo tudi Max(Φ, P ) in max(φ, P ); ali pa z uporabo zvez:

8 8 Optimizacijske naloge Ext.1 Max(Φ, P ) = Min(Φ, P ) Ext.2 max(φ, P ) = min(φ, P ) Ti dve zvezi nam omogočata, da se omejimo samo na Min in min. Naštejmo nekaj njunih lastnosti. Za Φ, Ψ, Γ Ω velja: Ext.3 Ψ Φ min(ψ, P ) min(φ, P ) Ext.4 Ψ Φ Ψ Min(Φ, P ) min(ψ, P ) = min(φ, P ) Min(Ψ, P ) = Ψ Min(Φ, P ) Ext.5 Ψ, Γ Φ Min(Ψ, P ) Min(Γ, P ) min(ψ, P ) = min(γ, P ) Ext.6 Ψ Φ y Φ \ Ψ x Ψ : P (x) < P (y) Min(Ψ, P ) = Min(Φ, P ) Ext.7 Min(Ψ, P ) Min(Γ, P ) Min(Ψ Γ, P ) = Min(Min(Ψ, P ) Min(Γ, P ), P ) Pogosto zadostuje že nekoliko šibkejša oblika lastnosti Ext.6: Ext.6 Ψ Φ x Ψ y Φ \ Ψ : P (x) < P (y) Min(Ψ, P ) = Min(Φ, P ) Lastnost Ext.6 / Ext.6 nam omogoča zoženje iskanja minimalnih rešitev na podmnožico množice dopustnih rešitev podmnožice, ki vsebujejo same neobetavne rešitve lahko odvržemo. Lastnost Ext.7 pa omogoča uporabo načela deli in vladaj pri iskanju minimalnih rešitev. V ta namen jo zapišemo v obliki: Ext.7 Φ = k i=1 Φ i Min(Φ i, P ), i = 1,..., k Min(Φ, P ) = Min( k i=1 Min(Φ i, P ), P ) Za določitev optimizacijske naloge moramo, glede na značilnosti naloge, povedati še kdaj je naloga rešena. V strogi različici povemo to z množico sprejemljivih rešitev Σ torej je naloga natančno določena s trojico (Φ, P, Σ). Večkrat pa nekoliko popustimo in sprašujemo le po eni izmed sprejemljivih rešitev ali pa celo samo po njeni vrednosti. Poglejmo si nekaj pogostejših oblik optimizacijskih nalog: (Φ, P, Min) določi Σ = Min(Φ, P ) (Φ, P, Min) določi x Min(Φ, P ) (Φ, P, min) določi min(φ, P ) (Φ, P, lim) določi zaporedje (x i : x i Φ, i IN),

9 1.1 Osnovni pojmi 9 Slika 1.1: Kovanci na indeksu. tako da velja lim P (x i ) = min(φ, P ) i (Φ, P, δ < ε) določi x Φ, tako da bo (z dano verjetnostjo) razlika δ = P (x) min(φ, P ) zadosti majhna. (Φ, P, Φ) določi x Φ. Zaradi zvez Ext.1 in Ext.2 je naloga (Φ, P, Max) enakovredna nalogi (Φ, P, Min); in naloga (Φ, P, max) nalogi (Φ, P, min). V nadaljnjem se bomo v glavnem usmerili na stroge naloge minimizacije (Φ, P, Min) in popuščali le, kadar bo to potrebno. Množica optimizacijskih nalog sestavlja optimizacijski problem. Običajno združimo v optimizacijski problem med seboj podobne naloge, ki imajo enako obliko in se razlikujejo le po podatkih. Nalogi, ki pripada optimizacijskemu problemu, pravimo tudi primerek problema. PRIMER 1.1 Kovanci. Poskusimo zapisati kot optimizacijsko nalogo naslednje vprašanje: Koliko največ enakih kovancev lahko postavimo na indeks tako, da se ne prekrivajo in v celoti leže na indeksu? Recimo, da je polmer posameznega kovanca enak r in sta dolžini stranic indeksa a in b. Kaj so rešitve? Vzemimo za rešitve vse možne razmestitve kovancev v ravnini. Kako opišemo posamezno razmestitev? To je množica postavitev posameznih kovancev. Kako povemo, kam smo postavili kovanec? Tako, da povemo kam smo postavili njegovo središče njegovi koordinati (x, y). Izhodišče koordinatnega sistema postavimo v sredino indeksa, tako da je stranica a vzporedna osi x. Torej imajo rešitve obliko σ = {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x k, y k )}

10 10 Optimizacijske naloge kjer so x i, y i IR, i I = 1..k. Seveda vse take rešitve ne določajo pravilnih razmestitev na indeksu niso dopustne. Da bi bila rešitev σ = {(x i, y i )} i I dopustna, mora zadoščati naslednjim omejitvam: vsak kovanec je v celoti na indeksu: i I : (( x i a 2 r) ( y i b 2 r)) različna kovanca se ne prekrivata: i, j I : (i j (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 (2r) 2 ) Konjunkcija obeh pogojev sestavlja predikat dopustnosti Φ(σ). Kaj pa je kriterijska funkcija? Zanima nas največje število kovancev torej P (σ) = card σ. Povzemimo: vprašanje o postavitvi čimvečjega števila kovancev na indeks lahko zapišemo kot optimizacijsko nalogo (Φ, P, Max), kjer je Φ = { {(x i, y i )} i I : i I : (( x i a 2 r) ( y i b 2 r)) i, j I : (i j (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 (2r) 2 )} in je P (σ) = card σ. Na enak način bi zapisali tudi naloge o postavljanju: kovancev na knjigo, krožnikov na mizo, steklenic v zaboj spreminjajo se le količine a, b in r. Vse naloge sestavljajo primerke istega problema. Seveda je natančen zapis optimizacijske naloge šele prvi, a zelo pomemben, korak pri njenem reševanju. Če ne drugega, znamo za posamezno rešitev presoditi ali je dopustna in za vsak par dopustnih rešitev odločiti, katera je boljša. Formalni zapis problema je tudi izhodišče za načrtovanje postopka/programa za njegovo reševanje. 1.2 Primeri optimizacijskih problemov Z optimizacijskimi nalogami se v matematiki, predvsem pa pri njeni uporabi, srečujemo na vsakem koraku. Večkrat pa lahko tudi probleme, ki nimajo navidez z optimizacijo ničesar skupnega, zastavimo kot optimizacijske naloge. Poglejmo si nekaj primerov:

11 1.2 Primeri optimizacijskih problemov Reševanje sistema enačb Nalogi: reši sistem enačb P k (x) = 0, k I, x IR n lahko priredimo optimizacijsko nalogo (IR n, P, Min), kjer je P (x) = Pk 2 (x) k I Sistem enačb je rešljiv natanko takrat, ko je min(ir n, P ) = 0 in je množica Min(IR n, P ) neprazna. Množica rešitev sistema je tedaj kar Min(IR n, P ). Če je min(ir n, P ) > 0, je sistem protisloven; elementi množice Min(IR n, P ), če je neprazna, pa nekako najbolje zadoščajo sicer protislovnim pogojem (enačbam). Fermat je na rob Diofantove knjige pripisal, da je našel preprost dokaz tega, da za n > 2 ne obstaja nobena rešitev enačbe x n + y n = z n v naravnih številih, a da je žal na robu premalo prostora. Dokaza ni zabeležil tudi nikjer drugje. Od tedaj matematiki še vedno poskušajo dokazati ali ovreči to trditev. Po opisanem postopku lahko Fermatov problem zastavimo kot optimizacijsko nalogo (Φ, P, min), kjer je Φ = {(x, y, z, n) (IN + ) 4, n 3} P (x, y, z, n) = (x n + y n z n ) 2 Fermatov problem je enakovreden vprašanju: ali je min(φ, P ) 0? Naloga linearnega programiranja imenujemo nalogo (Φ, P, Min), kjer je Φ = {x IR n : Ax = b, x 0} in P (x) = c T x ter je A matrika reda m n in sta b IR m, c IR n. Kot naloge linearnega programiranja lahko zastavimo vrsto praktičnih optimizacijskih nalog. Zato in zaradi obstoja učinkovitih postopkov za njih reševanje, lahko štejemo linearno programiranje med najbolj rabljene optimizacijske metode.

12 12 Optimizacijske naloge Naloga nelinearnega programiranja imenujmo nalogo (Φ, P, Min), kjer je Φ = {x IR n : P k (x) 0, k I} in so P : IR n IR in P k : IR n IR, k I dane funkcije. Običajno naložimo na funkcije P k in P še dodatne zahteve, kot sta zveznost in konveksnost Izoperimetrična naloga zahteva, da določimo sklenjeno ravninsko krivuljo K : r(t) = (x(t), y(t)), a t b dolžine d, ki omejuje lik največje ploščine. Nalogo lahko zastavimo kot optimizacijsko nalogo (Φ, P, Max), kjer je Φ = {K C 2 : K ṙṙdt = d} in P (K) = 1 2 K (xẏ yẋ) dt Že stari Grki so vedeli, da so rešitve te naloge krožnice z obsegom d. Danes se s podobnimi nalogami ukvarja posebna veja matematične analize variacijski račun Naloge diskretne optimizacije optimizacijska naloga je naloga diskretne optimizacije, če je moč množice Φ števna (končna ali števno neskončna). Med nalogami diskretne optimizacije so najpogostejše: celoštevilske: Φ Z n kombinatorične: Φ je podmnožica ene izmed množic kombinatoričnih konfiguracij (permutacije, kombinacije, razbitja,...) naloge na grafih: Φ je podmnožica množice podgrafov danega grafa G. Med naloge diskretne optimizacije sodijo tudi naslednje:

13 1.2 Primeri optimizacijskih problemov Naloga o minimalnem vpetem drevesu Naj bo dan povezan graf G = (V, E) in preslikava v : E IR +, ki vsaki povezavi e E pripiše njeno vrednost v(e). Naloga o minimalnem vpetem drevesu imenujemo optimizacijsko nalogo (Φ, P, Min), kjer je in Φ = {H = (V, E ) : H je povezan vpet podgraf grafa G} P (H) = e E v(e) Nalogo imenujemo naloga o vpetem drevesu zato, ker velja Naloga o prirejanju Min(Φ, P ) {H : H je vpeto drevo grafa G} n ljudi mora opraviti n opravil. Stroški, ki jih imamo, če človek i opravi opravilo j, naj bodo a ij. Ljudem moramo prirediti vsakemu po eno opravilo, tako da bodo skupni stroški najmanjši, pri čemer pa morajo biti opravljena vsa opravila. Zastavljeni problem lahko prevedemo na optimizacijsko nalogo (S n, P, Min), kjer je S n množica vseh permutacij števil od 1 do n in n P (π) = a i,π(i) i=1 Permutacijo π lahko opišemo tudi z dvojiško matriko x, določeno s predpisom x ij = { 1 j = π(i) 0 sicer Tedaj lahko nalogo o prirejanju zapišemo takole: (Φ, P, Min), kjer je I = 1..n, Φ = {x {0, 1} n2 : i I : x ij = 1, j I : x ij = 1} j I i I in P (x) = (i,j) I I a ij x ij Pogoji v opisu množice Φ zagotavljajo, da je x matrika neke permutacije. Iz tega zapisa naloge o prirejanju vidimo, da sodi med naloge (celoštevilskega) linearnega programiranja.

14 14 Optimizacijske naloge Naloga o trgovskem potniku Trgovski potnik se je namenil, da bo obšel n mest tako, da se bo v vsakem mudil samo enkrat. Znane so razdalje d ij med posameznimi mesti. Kako naj potuje, da bo opravil čim krajšo pot? Pri formalizaciji naloge nadomestimo zemljevid z grafom povezanosti mest G = (V, E). Točke tega grafa so mesta, povezave pa predstavljajo prometne zveze med mesti. Vsaki povezavi je pripisana še pripadajoča razdalja. Obravnavo si precej poenostavimo, če problem obravnavamo nad polnim grafom, pri čemer vsem nepovezavam (glede na G) pripišemo kot razdaljo neko zelo veliko število. Vsakemu potovanju ustreza Hamiltonov cikel po grafu. Tega lahko popišemo z urejeno n-terko točk π, sestavljeno po pravilu j = π(i) točka j je v ciklu naslednik točke i Če naj π popisuje Hamiltonov cikel, mora biti ciklična permutacija. Tako dobimo nalogo (Γ n, P, Min), kjer je Γ n množica cikličnih permutacij števil od 1 do n in P (π) = i I d i,π(i) Najbrž ni potrebno posebej opozarjati na podobnost naloge o trgovskem potniku z nalogo o prirejanju. Vendar, kakor bomo videli, videz včasih vara.

15 Poglavje 2 Lastnosti 2.1 Podobne in enakovredne naloge Imejmo optimizacijski nalogi (Φ, P, Min) in (Ψ, Q, Min) ter relacijo τ Φ Ψ, ki zadošča pogoju: CS. x Min(Φ, P ) : τ(x) Potem je relacija τ: omejevalna ali lokalizator, če velja: Min(Ψ, Q) τ(min(φ, P )) izbiralna ali selektor, če velja: τ(min(φ, P )) Min(Ψ, Q) prevajalna ali translator, če velja: τ(min(φ, P )) = Min(Ψ, Q). OPOMBA: Določeno povezanost med nalogama bi si zagotovili že z nekoliko šibkejšo zahtevo: CW. Min(Φ, P ) τ(min(φ, P )) Očitno iz veljavnosti pogoja CS izhaja veljavnost pogoja CW. Strožjo zahtevo CS smo privzeli, ker za selektorje zahteva CW še ne zagotavlja veljavnosti naslednje trditve: IZREK 2.1 Pri kompoziciji dveh lokalizatorjev/selektorjev/translatorjev se tip relacije ohranja. Produkt relacij ohranja vrsto zveze. Definirajmo: Nalogi (Φ, P, Min) in (Ψ, Q, Min) sta si podobni, kar zapišemo (Φ, P, Min) (Ψ, Q, Min)

16 16 Lastnosti Φ τ Ψ τ(min(φ,p)) Min(Φ, P) Min(Ψ,Q) Slika 2.1: Selektor natanko takrat, ko zanju obstajata selektorja τ Φ Ψ in ϑ Ψ Φ. Če pa sta relaciji τ in ϑ translatorja, sta nalogi enakovredni, kar zapišemo (Φ, P, Min) (Ψ, Q, Min) Podobnost in enakovrednost razširimo na naloge maksimizacije s predpisoma: (Φ, P, Max) (Φ, P, Min) in (Φ, P, Max) (Φ, P, Min) Iz izreka izhaja, da sta in ekvivalenčni relaciji. Poleg tega je. Prva ugotovitev, ki jo lahko povemo o podobnih nalogah: IZREK 2.2 Za podobni nalogi (Φ, P, Min) in (Ψ, Q, Min) velja: Min(Φ, P ) = Min(Ψ, Q) = Dokaz: Predpostavimo nasprotno. Naj bo (zaradi simetrije je dovolj splošno) Min(Φ, P ) = in Min(Ψ, Q) ter ϑ Ψ Φ selektor. Potem je ϑ(min(ψ, Q)) Min(Φ, P ) = oziroma ϑ(min(ψ, Q)) =, kar pa je v protislovju s CW. Nalogi, ki zadoščata lastnosti Ext.6, sta enakovredni, saj sta relaciji: { {x} x Ψ τ(x) = x Φ \ Ψ in ϑ(u) = {u} selektorja. Označimo Φ(x) = {y Φ : P (y) P (x)}. neposredno izhaja: Tedaj iz lastnosti Ext.6

17 2.2 O nepraznosti množice Min(Φ, P ) 17 IZREK 2.3 Naj bo x Φ. Tedaj je (Φ, P, Min) (Φ(x), P, Min). IZREK 2.4 Naj bo preslikava ϕ : P (Φ) IR strogo narašˇcajoˇca. Tedaj je (Φ, P, Min) (Φ, ϕ P, Min). Naj bo preslikava ψ : P (Φ) IR strogo padajoˇca. Tedaj je (Φ, P, Min) (Φ, ψ P, Max). Primeri takih preslikav so na primer Q = αp + β, α > 0 in za P > 0 še preslikave Q = P 2, Q = P in Q = ln P. Optimizacijska problema sta podobna/enakovredna, če za vsako nalogo prvega problema obstaja podobna/enakovredna naloga drugega problema; in obratno. Pojem podobnih oziroma enakovrednih problemov nam omogoča, da vpeljemo standardne probleme, ki jih kar se da natančno razdelamo. Pri reševanju problemov/nalog pa jih najprej poskusimo prevesti na kakega od standardnih. 2.2 O nepraznosti množice Min(Φ, P ) O obstoju minimumov (rešljivosti optimizacijskih nalog) v splošnem ni mogoče veliko povedati. Očitno je množica Min(Φ, P ) neprazna, če je množica Φ končna. V tem primeru lahko množico Min(Φ, P ), vsaj teoretično, določimo s polnim preborom množice dopustnih rešitev Φ: P opt := ; forall x Φ do P x := P (x); if P x < P opt then P opt := P x; Min := {x} elseif P x = P opt then Min := Min {x} endif endfor Za diskretno optimizacijsko nalogo z neskončno množico dopustnih rešitev Φ lahko pogosto z uporabo lastnosti Ext.6 določimo enakovredno nalogo s končno množico dopustnih rešitev in s tem pokažemo njeno rešljivost. PRIMER 2.1 Naj bo G = (V, A) končen graf in d : A IR + dolˇzina povezav. Naloga o najkrajših poteh iz točke u v točko v grafa G imenujemo nalogo (Φ, P, Min), kjer je Φ = {σ : σ je sprehod iz u v v po G}

18 18 Lastnosti in, za sprehod σ = (u, a 1, v 1, a 2, v 2,..., v n 1, a n, v) P (σ) = a σ d(a) Množica dopustnih rešitev Φ je neprazna natanko takrat, ko je točka v dosegljiva iz točke u po grafu G. Pokažimo, da za vsak neosnoven sprehod σ Φ obstaja osnoven sprehod (pot) σ 0 Φ, za katerega je P (σ 0 ) < P (σ). Če sprehod σ ni osnoven, se v njem neka točka ponovi v i = v j, i < j. Označimo σ z = (u, a 1,..., v i ), σ s = (v i, a i+1,..., v j ) in σ k = (v j, a j+1,..., v). Tedaj je σ = σ z σ s σ k in je sprehod iz u v v tudi σ = σ z σ k. Velja še P (σ) = P (σ z ) + P (σ s ) + P (σ k ) > P (σ z ) + P (σ k ) = P (σ ) Če je σ pot, je trditev dokazana; sicer postopek ponovimo. Na ta način, zaradi končnosti sprehoda σ, v končno korakih pridemo do iskane poti σ 0. Torej množica Ψ = {σ : σ je pot iz u v v po G} zadošča pogojem iz lastnosti Ext.6. Množica Ψ je končna. Drug, zelo pomemben primer pa obravnava Bolzano-Weierstrassov izrek: IZREK 2.5 Naj bo P zvezna funkcija na kompaktni (zaprta in omejena) mnoˇzici Φ, tedaj je Min(Φ, P ). Dokaz: Naj bo m = min(φ, P ). Tedaj obstaja zaporedje (x k : k IN), tako da P (x k ) m. Ker je Φ kompaktna množica in P zvezna, obstaja K IN tako da x i x Φ za i K in velja m = lim P (x k ) = lim P (x i) = P (x ) k i,i K Ker je min(φ, P ) = P (x ) >, je x Min(Φ, P ). Večkrat nam pride prav tudi naslednja posledica Bolzano-Weierstrassovega izreka: IZREK 2.6 Naj bo Φ zaprta mnoˇzica, P : Φ IR zvezna funkcija in naj bo za nek x Φ mnoˇzica Φ(x) = {y Φ : P (y) P (x)} omejena. Tedaj je Min(Φ, P ). PRIMER 2.2 Vsak polinom sode stopnje s pozitivnim vodilnim koeficientom ima vsaj en minimum.

19 2.3 Globalni in lokalni minimumi 19 Večkrat lahko množico dopustnih rešitev Φ skrčimo na naslednji način. Recimo, da znamo vsaki rešitvi x Ω pripisati njeno velikost m(x), m : Ω IR + 0. Pravimo, da je kriterijska funkcija kotlasta, če zanjo velja x 0 Φ c > 0 x Φ : (m(x) > c P (x) > P (x 0 )) Iz lastnosti Ext.6 neposredno izhaja IZREK 2.7 Naj bo kriterijska funkcija P naloge (Φ, P, Min) kotlasta in tedaj je (Φ, P, Min) (Ψ, P, Min). Ψ = {x Φ : m(x) c} PRIMER 2.3 Poseben razred kotlastih funkcij dobimo takole. Naj za nalogo (Φ, P, Min) velja a. c IR + x Φ : m(x) > c b. m(x) P (x) Tedaj je funkcija P kotlasta. Uporabimo to za nalogo (IR 2, P, Min), kjer je P (x, y) = x 4 + y 4 3xy Postavimo m((x, y)) = max( x, y ). Lastnost a je izpolnjena, iz P (x, y) = (x 4 + y 4 )(1 3xy x 4 + y 4 ), x2 + y 2 > 0 pa izhaja še veljavnost lastnosti b. Ker je množica Ψ = {(x, y) IR 2 : x, y c} kompaktna in P zvezna, je po izreku 2.5 Min(IR 2, P ). 2.3 Globalni in lokalni minimumi Pogosto lahko v dani množici Ω definiramo relacijo sosednosti rešitev S Ω Ω, za katero zahtevamo le refleksivnost. PRIMER 2.4 Kadar je Ω = IR n, za dani ε > 0, običajno definiramo relacijo S(ε) s predpisom: xs(ε)y d(x, y) ε kjer je d izbrana razdalja. Množica S(ε, x) sosedov točke x je tedaj običajna ε okolica točke x. Velja: ε < η S(ε) S(η)

20 20 Lastnosti V diskretnih optimizacijskih nalogah običajno definiramo sosednost z lokalnimi transformacijami, ki prevedejo eno rešitev v drugo. Naj bo na Ω dana množica transformacij T. Tedaj je xsy τ T : τ(x) = y PRIMER 2.5 V množici IB n dvojiških vektorjev dolžine n navadno definiramo lokalno transformacijo s spremembo vrednosti na i-tem mestu: x i = 1 x i. PRIMER 2.6 Pri problemu trgovskega potnika se najpogosteje uporabljajo sosednosti r-opt, pri katerih so sosednje rešitve določene tako, da iz tekočega cikla odstranimo r povezav in jih nadomestimo z novimi, ki zopet sestavljajo cikel. Slika 2.2: Lokalna transformacija 2-OPT Na slikah 2.2 in 2.3 sta prikazani sosednosti 2-OPT in 3-OPT. Lin je s poskusi pokazal, da je sosednost 3-OPT veliko boljša kot sosednost 2-OPT, učinek sosednosti višjih redov pa ne upravičuje povečane porabe časa. PRIMER 2.7 postavimo: V primeru, ko je Ω = S n (permutacije n elementov), pa lahko πsσ π = σ p, q : σ = (pq)π PRIMER 2.8 Vpeto drevo izberemo tetivo, vključimo jo v novo drevo, iz pripadajočega cikla pa izločimo neko povezavo. Element x Φ je lokalni minumum glede na S natanko takrat, ko je x Min(Φ S(x), P ); ali drugače povedano, ko y Φ S(x) : P (x) P (y) Množico vseh lokalnih minimumov naloge (Φ, P, min) glede na sosednost S označimo LocMin(Φ, P, S). Zato, da bi poudarili razliko, pravimo elementom množice Min(Φ, P ) tudi globalni minimumi. Očitno je vsak globalni minimum tudi lokalni. Poleg tega velja še:

21 2.3 Globalni in lokalni minimumi 21 Slika 2.3: Lokalne transformacije 3-OPT

22 22 Lastnosti IZREK 2.8 Za vsako sosednost S je LocMin(Φ, P, Φ Φ) = Min(Φ, P ) LocMin(Φ, P, S) in, ˇce je Q S, tudi Trditev je posledica lastnosti LocMin(Φ, P, S) LocMin(Φ, P, Q) Ψ Φ x Ψ Min(Φ, P ) x Min(Ψ, P ) Relacija sosednosti nam ponuja za reševanje optimizacijskih nalog naslednji postopek lokalne optimizacije: izberi x Φ ; while y S(x) Φ : P (y) < P (x) do x := y; Če se postopek izteče v končno korakih, konča v lokalnem minimumu. V postopku lahko relacijo sosednosti tudi spreminjamo npr. zmanjšujemo ε. Pri razdelavi postopka lokalne optimizacije za dani optimizacijski problem moramo poiskati odgovore na naslednja vprašanja: a. določitev sosednosti S Ω Ω. Kot vemo, čim bogatejša je sosednost, tem verjetneje so lokalni minimumi tudi globalni. Po drugi strani pa pregledovanje obsežne soseščine zahteva precej časa. Pri izbiri sosednosti zato poskušamo uravnotežiti obe nasprotujoči si želji. b. izbira začetne rešitve. Lokalnim minimumom se poskušamo izogniti tako, da postopek lokalne optimizacije večkrat ponovimo pri različnih (naključnih) začetnih rešitvah in si zapomnimo najboljšo dobljeno rešitev. Izdelava poštenega generatorja naključnih dopustnih rešitev je lahko včasih sama zase zahtevna naloga. Pri večjem številu ponovitev se pokaže kot zelo dober prikaz zgradbe prostora rešitev (glede na izbrano sosednost) tabela desetih trenutno najboljših dobljenih rešitev. Zaželjeno je tudi, da lahko postopku lokalne optimizacije kot začetno rešitev podtaknemo rešitev, ki si jo izmisli uporabnik, ali rešitev, ki jo dobimo s kakim približnim postopkom. c. dokaz ustavljivosti postopka. Zaporedje vrednosti rešitev, ki nastopijo pri lokalni optimizaciji, je padajoče. Če pokažemo še, da je navzdol omejeno in se vsakič spremeni vsaj za δ > 0, se postopek po končno korakih izteče. Na končni množici Φ je to vselej res.

23 2.3 Globalni in lokalni minimumi 23 d. izbira naslednje rešitve. Pri končnih soseščinah običajno uporabljamo kar pregled vseh sosedov. Včasih pa lahko za določitev ustrezne rešitve uporabimo lastnosti kriterijske funkcije in omejitev (npr. gradientni postopek). Pogosto obstaja v soseščini več rešitev z manjšo vrednostjo. V teh primerih najpogosteje izberemo ali prvo tako rešitev, ki jo najdemo; ali pa rešitev, ki najbolj zmanjša vrednost kriterijske funkcije (najhitrejši spust). Poskusi kažejo, da glede končnih rezultatov ni značilnih razlik med obema pristopoma. Prvi porabi manj časa pri pregledovanju okolice, pa zato naredi več korakov. e. učinkovito preverjanje pogoja P (y) < P (x). Pogosto je kriterijska funkcija P sestavljena iz prispevkov posameznih sestavin rešitve. Zato se izkaže, da se splača pogoj P (y) < P (x) nadomestiti z enakovrednim pogojem P (x) P (y) > 0 ali P (x)/p (y) > 1 ali kakim drugim, ker je izraz, ki nastopa v tem pogoju precej enostavnejši kot sama kriterijska funkcija prispevki sestavin, ki pri lokalni transformaciji ne sodelujejo, se pokrajšajo. f. lokalna optimalnost rešitev. Lokalna optimizacija nam v splošnem ne zagotavlja, da bomo dobili globalni minimum. V naslednjem razdelku bomo zvedeli, da je za konveksne naloge postopek lokalne optimizacije točen dobljeni lokalni minimum je vselej globalni. V splošnem se moramo zadovoljiti z ugotovitvijo, da če je postopek generiranja naključnih začetnih rešitev vsaj nekoliko pošten (ustvari lahko vsako dopustno rešitev, čeprav ne nujno z enako verjetnostjo), s številom ponovitev postopka lokalne optimizacije narašča tudi verjetnost, da bo dobljeni najboljši lokalni minimum tudi globalni. V poglavju o diskretni optimizaciji si bomo ogledali nekatere poskuse izpopolnitve postopka lokalne optimizacije: postopke ohlajanja (simulated annealing) in postopke prepovedanih smeri (tabu search). g. povezanost sosednosti S. Pri navadni lokalni optimizaciji je povezanost grafa (Ω, S) le lepotnega pomena, pri izpopolnjenih postopkih pa postane zelo zaželjena. h. preverjanje postopka. Ko postopek sprogramiramo, se postavi vprašanje, kako preveriti njegovo pravilnost in kakovost. Zato je potrebno pripraviti zbirko nalog z znanimi rešitvami. Vir takih nalog so lahko tudi teoretični rezultati o problemu.

24 24 Lastnosti Slika 2.4: Veternica v letalskem motorju Rolls Royce RB C [3]. PRIMER 2.9 Problem uravnotežanja turbin. Pri izdelavi turbin lahko mase posameznih lopatic nihajo tudi za do pet odstotkov okrog povprečne vrednosti. Običajno turbino sestavlja 14 do 18 lopatic [54, 8]. Pri nameščanju lopatic na os namestimo težišča lopatic v isti ravnini enakomerno po krožnici. Lopatice želimo namestiti v takem vrstnem redu, da bo težišče turbine čim bliže osi vrtenja. Označimo z n število lopatic, z m 1, m 2,..., m n mase lopatic in z M = m i skupno maso lopatic. Razmestitev lopatic okrog osi opišemo s permutacijo σ na p-to mesto postavimo lopatico σ(p). Naj bo še ϕ i = (i 1) 2π n, i = 1, 2,..., n kot, ki pripada i-temu mestu in r polmer krožnice. Tedaj je za razmestitev σ

25 2.3 Globalni in lokalni minimumi 25 Slika 2.5: Uravnotežena rešitev n = 14. težišče (x σ, y σ ) določeno z izrazoma: x σ = r M n m σ(i) cos ϕ i i=1 odmik d(σ) težišča od osi vrtenja pa z; d(σ) = y σ = r M x 2 σ + y 2 σ n m σ(i) sin ϕ i i=1 Nalogo uravnotežanja turbine lahko torej izrazimo kot optimizacijsko nalogo (S n, d(σ), Min). Krajši razmislek nam pove, da lahko pri razmeščanju eno maso pribijemo na izbrano mesto enakovrednost rešitev glede na zasuk. Poleg tega tudi zrcalni permutaciji določata enakovredni rešitvi. Torej bi morali pri polnem preboru rešitev pregledati 1 2 (n 1)! permutacij. 1 n 2 (n 1)! n 1 2 (n 1)! Recimo, da program pri polnem preboru (na super-računalniku) pregleda milijon rešitev na sekundo. Tedaj bi pri n = 14 tekel 8.6 ur; pri n = 18 pa že ure oziroma 5.6 let.

26 26 Lastnosti k max := (n 1)(n 2)/2; k := k max ; določi naključno začetno razmestitev σ; izračunaj x, y, d 2 ; search : loop for p := 2 to n 1 do for q := p + 1 to n do x := x r M (m σ(p) m σ(q) )(cos ϕ p cos ϕ q ); ỹ := y r M (m σ(p) m σ(q) )(sin ϕ p sin ϕ q ); d 2 := x 2 + ỹ 2 if d 2 < d 2 then x := x; y := ỹ; d 2 := d 2 ; k := k max ; t := σ(p); σ(p) := σ(q); σ(q) := t; else k := k 1; if k 0 exit search endif endfor endfor endloop Slika 2.6: Postopek lokalne optimizacije za problem turbin.

27 2.3 Globalni in lokalni minimumi 27 Na sliki 2.6 je podan postopek lokalne optimizacije za problem turbin. Poglejmo posamezne odločitve. Če dobimo (a) razmestitev η iz razmestitve σ tako, da v njej premenjamo masi na p-tem in q-tem mestu (transpozicija), sta koordinati novega težišča (x η, y η ) takole povezani (e) s težiščem razmestitve σ: x η = x σ r M (m σ(p) m σ(q) )(cos ϕ p cos ϕ q ) y η = y σ r M (m σ(p) m σ(q) )(sin ϕ p sin ϕ q ) Za izbiro (b) začetne razmestitve uporabimo naslednji postopek za mešanje [41], ki je popolnoma pošten for i := n downto 2 do j := 1 + trunc(i random); t := σ[i]; σ[i] := σ[j]; σ[j] := t; endfor; Za prvo permutacijo lahko postavimo kar σ[i] = i, i = 1,..., n. Ker je vsaka permutacija produkt transpozicij, (g) je graf sosednosti povezan. V postopku smo se odločili (d) za premik v prvo boljšo rešitev. Pri preverjanju postopka (h) pride prav naslednji izrek [8] o celoštevilskem problemu uravnotežanja turbin, pri katerem je m i = i: Celoštevilski problem uravnotežanja turbin ima uravnoteženo rešitev d(σ) = 0 natanko takrat, ko n ni potenca nekega praštevila, n p k, k > 0. Na sliki 2.5 je prikazana uravnotežena rešitev za n = 14. V tabelah 2.1 in 2.2 pa sta za nalogo celoštevilskega uravnotežanja za n = 10 podani ( sledi lokalne optimizacije za začetni permutaciji ) σ a = in ( ) σ b = Dobimo ( lokalna minimuma ) σa =, d(σa ) = in σ b = ( ), d(σ b ) = 0 (globalni minimum).

28 28 Lastnosti Tabela 2.1: Sled lokalne optimizacije za σ a p q x y d Tabela 2.2: Sled lokalne optimizacije za σ b p q x y d

29 2.4 Konveksne množice in funkcije Konveksne množice in funkcije Posplošena konveksnost Naj bo Ω množica in d : Ω Ω IR + 0 d1. d(x, x) = 0 d2. d(x, y) = d(y, x) Poleg tega bomo zahtevali, da zadošča vsaj še pogoju d3. d(x, y) = 0 z Ω : d(x, z) = d(y, z) Različnosti, ki zadošča tudi pogojema razliˇcnost na Ω zadošča pogojema: d3. d(x, y) = 0 x = y razločljivost d4. d(x, z) + d(z, y) d(x, y) trikotniška neenakost pravimo razdalja. Velja tudi d3 d3. Daljica v (Ω, d) s krajišˇcema x, y Ω imenujemo množico Postavimo [x, y] = {z Ω : d(x, z) + d(z, y) = d(x, y)} [x] = {z Ω : d(x, z) = 0} Velja d(x, y) = 0 [x] = [y]. Vpeljemo lahko še (x, y] = [x, y] \ [x] in (x, y) = [x, y] \ ([x] [y]). Če d zadošča d3, je [x] = {x}. Velja: {x, y} [x, y], [x] [x, y], [x, y] = [y, x] in d(x, z) = 0 [x, y] = [z, y]. Na stvar lahko pogledamo tudi takole. Naj bo relacija Ω Ω določena s predpisom x y d(x, y) = 0 je enakovrednost (ekvivalenčna relacija). Po d3 je funkcija d/ dobro definirana na Ω/ ; še več, je razdalja na Ω/. IZREK 2.9 (x, y) d(x, y) > 0 Dokaz: Naj bo z (x, y). Tedaj po definiciji množice (x, y) velja d(x, z) > 0 in d(z, y) > 0 in je zato tudi d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) > 0. Množica Φ Ω je konveksna (izbočena) natanko takrat, ko velja x, y Φ : [x, y] Φ Kadar želimo posebej poudariti, da je množica konveksna glede na različnost d, rečemo, da je d-konveksna.

30 30 Lastnosti Slika 2.7: Konveksna in nekonveksna množica. IZREK 2.10 Presek konveksnih mnoˇzic je konveksna mnoˇzica. Dokaz: Vzemimo poljubno družino konveksnih množic {Φ i } i I. Bodita x, y i I Φ i. Po definiciji preseka je tedaj za vsak i I: x, y Φ i in dalje zaradi konveksnosti množice Φ i tudi [x, y] Φ i. Od tu pa zopet po definiciji preseka končno dobimo [x, y] i I Φ i. Presek je konveksna množica. Funkcija P : Φ IR na konveksni množici Φ je konveksna natanko takrat, ko velja: x, y Φ : (d(x, y) = 0 P (x) = P (y)) in x, y Φ z (x, y) : d(x, y)p (z) d(y, z)p (x) + d(x, z)p (y) Če v drugem pogoju velja strogi neenačaj <, je P strogo konveksna. Za razločljive različnosti je prvi pogoj vselej izpolnjen. Funkcija P : Φ IR na konveksni množici Φ je skoraj konveksna natanko takrat, ko velja: x, y Φ z (x, y) : P (z) max(p (x), P (y)) Če v pogoju velja strogi neenačaj <, je P strogo skoraj konveksna. Funkcija P : Φ IR na konveksni množici Φ je (strogo, skoraj) konkavna natanko takrat, ko je funkcija P (strogo, skoraj) konveksna. OPOMBA: O navadni konveksnosti govorimo v primeru, ko je Ω vektorski prostor s skalarnim produktom xy. Na primer Ω = IR n in xy = n i=1 x i y i. Tedaj definiramo razdaljo d(x, y) = (x y) 2. Zanjo je [x, y] = {z : z = λx + (1 λ)y, λ [0, 1]} pogoj za konveksnost funkcije pa zapišemo P (λx + (1 λ)y) λp (x) + (1 λ)p (y), λ (0, 1) Konveksna funkcija na odprti konveksni množici v IR n je zvezna.

31 2.4 Konveksne množice in funkcije 31 Slika 2.8: Konveksna funkcija. IZREK 2.11 funkcija. Vsaka (strogo) konveksna funkcija je tudi (strogo) skoraj konveksna Dokaz: Vzemimo poljuben par x, y Φ in katerikoli z (x, y). Po izreku 2.9 je d(x, y) > 0 in zato P (z) d(y, z)p (x) + d(x, z)p (y) d(x, y) = max(p (x), P (y)) d(y, z) + d(x, z) d(x, y) max(p (x), P (y)) Pri tem smo upoštevali, da je d(x, z) + d(z, y) = d(x, y). Če je funkcija P strogo konveksna, je prva neenakost stroga. IZREK 2.12 Naj bo P : Φ IR (strogo) konveksna funkcija na konveksni mnoˇzici Φ. Tedaj velja: a. λp (x) + µ, λ, µ IR, λ > 0 je (strogo) konveksna funkcija na Φ; b. naj bo še τ : Ψ IR, P (Φ) Ψ R, (strogo) narašˇcajoˇca konveksna funkcija na Ψ. Tedaj je funkcija τ P (strogo) konveksna na Φ. Dokaz: b. τ P (z) = τ(p (z)) d(y, z) d(x, z) τ( P (x) + d(x, y) d(x, y) P (y)) d(y, z) d(x, z) τ(p (x)) + τ(p (y)) d(x, y) d(x, y)

32 32 Lastnosti = d(y, z) d(x, z) τ P (x) + d(x, y) d(x, y) τ P (y) IZREK 2.13 Naj bodo P i : Φ IR, i I = 1..n konveksne funkcije na konveksni mnoˇzici Φ. Tedaj so konveksne tudi funkcije: a. i I λ i P i (x), λ i 0 b. max i I P i (x) c. max i I (0, P i (x)) IZREK 2.14 Naj P : Ω IR skoraj konveksna funkcija. Tedaj je mnoˇzica Φ = {x Ω : P (x) 0} konveksna. Dokaz: Pokazati moramo, da je za vsak par različnih točk x, y Φ tudi pripadajoča daljica [x, y] Φ; oziroma, da je za vsak z (x, y) : z Φ. Po definiciji množice Φ sta P (x) 0 in P (y) 0 in zato naprej, po definiciji skoraj konveksnosti P (z) max(p (x), P (y)) 0 Torej je res tudi z Φ. Opomba: na enak način pokažemo, da je tudi množica {x Ω : P (x) < 0} konveksna. Plast funkcije P : Φ IR na višini h imenujemo množico Lev (P, h) = {x Φ : P (x) h} IZREK 2.15 Naj bo Φ konveksna mnoˇzica. Tedaj je funkcija P : Φ IR skoraj konveksna natanko takrat, ko je za vsak h IR plast Lev (P, h) konveksna mnoˇzica. Dokaz: Naj bosta x, y Lev (P, h) poljubni, različni točki. Tedaj je P (x), P (y) h in dalje za vsak z (x, y) P (z) max(p (x), P (y)) h Torej je tudi z Lev (P, h) množica Lev (P, h) je konveksna. Pokažimo trditev še v nasprotno smer. Vzemimo poljubna x, y Φ in postavimo h = max(p (x), P (y)). Tedaj sta x, y Lev (P, h). Ker je po predpostavki množica Lev (P, h) konveksna, je tudi [x, y] Lev (P, h) torej velja z (x, y) : P (z) h = max(p (x), P (y))

33 2.4 Konveksne množice in funkcije 33 Funkcija P je skoraj konveksna. Sosednost S Ω Ω je dobra za konveksno množico Φ natanko takrat, ko velja x Φ y Φ \ S(x) z S(x) (x, y) Optimizacijska naloga (Φ, P, Min) je konveksna, če sta Φ in P konveksni. Pomen konveksnosti pri optimizaciji razkriva naslednji izrek: IZREK 2.16 globalni. Za dobro sosednost je vsak lokalni minimum konveksne naloge tudi Dokaz: Naj bo x lokalni minimum za neko dobro sosednost S. Tedaj je z S Φ : P (z) P (x). Če je S(x) Φ = Φ, trditev velja. Sicer vzemimo katerikoli drug y Φ \ S(x) in pokažimo, da je P (x) P (y). Predpostavimo nasprotno y Φ \ S(x) : P (x) > P (y). Ker je P (x) > P (y), je d(x, y) > 0. Naj bo z (x, y) S(x) element iz definicije dobre sosednosti. Tedaj je P (z) < d(y, z) d(x, z) P (x) + d(x, y) d(x, y) P (y) d(y, z) d(x, z) P (x) + P (x) = P (x) d(x, y) d(x, y) Stroga neenakost izhaja iz predpostavke P (y) < P (x) in d(x, z) > 0. Torej lahko vselej najdemo tak z (x, y) S(x), da je P (z) < P (x); kar pomeni, da x ni lokalni minimum protislovje. Ta izrek zagotavlja, da je za konveksne naloge postopek lokalne optimizacije, če se izteče v končno korakih, točen. IZREK 2.17 Naj bo funkcija P : Φ IR strogo skoraj konveksna nad konveksno mnoˇzico Φ in naj bo x lokalni minimum za dobro sosednost S Ω Ω. Tedaj je x Min(Φ, P ). Dokaz: Dokazujemo s protislovjem. Ker je x lokalni minimum, velja y S(x) Φ : P (x) P (y) Recimo, da x / Min(Φ, P ). Tedaj obstaja tak z Φ, da je P (z) < P (x). Ker je sosednost S dobra, obstaja vsaj en y (x, z) S(x), za katerega, ker je y S(x) Φ, velja P (x) P (y). Po drugi strani je zaradi stroge skoraj konveksnosti P (y) < max(p (z), P (x)) = P (x) kar da, če združimo obe neenakosti, protislovje P (y) < P (y).

34 34 Lastnosti IZREK 2.18 Naj bo funkcija P : Φ IR skoraj konveksna nad konveksno mnoˇzico Φ, tedaj je tudi mnoˇzica x Min(Φ, P ) konveksna. Dokaz: Vzemimo poljubna različna x, y Min(Φ, P ). Tedaj je P (x) = P (y) = min(φ, P ) in za vsak z (x, y) P (z) max(p (x), P (y)) = min(φ, P ) Torej je P (z) = min(φ, P ) oziroma z Min(Φ, P ). Naj bo Γ Ω. (Induktivna) konveksna ovojnica množice Γ imenujemo množico con Γ, ki je določena induktivno s praviloma: con 1. con 2. Γ con Γ x, y con Γ [x, y] con Γ Iz pravila con 2 izhaja, da je con Γ konveksna množica. Obratno, če je Γ konveksna množica, je con Γ = Γ. IZREK 2.19 Naj bo za neprazno mnoˇzico Γ Φ, con Γ Φ in P skoraj konveksna funkcija na Φ. Tedaj je z con Γ : P (z) sup P (w) w Γ Dokaz: Dokazujemo z induktivno posplošitvijo. Če je z Γ, je trditev očitna. Pokažimo še, da pravilo con 2 ohranja neenakost. Po induktivni predpostavki za x, y con Γ trditev velja P (x), P (y) sup P (w) w Γ Tedaj je po skoraj konveksnosti funkcije p tudi za vsak z [x, y] P (z) max(p (x), P (y)) sup P (w) w Γ Po induktivni posplošitvi neenakost velja za vsak z con Γ. Množica Γ Φ razpenja konveksno množico Φ natanko takrat, ko velja con Γ = Φ. Množica Γ Φ je neodvisna natanko takrat, ko zanjo velja x Γ : x / con (Γ \ {x}). Nedvisno množico B, ki razpenja množico Φ, imenujemo baza (osnova) množice Φ. Iz zadnjega izreka neposredno izhaja. IZREK 2.20 Naj bo B Φ baza konveksne mnoˇzice Φ in P : Φ IR skoraj konveksna funkcija. Teda je z Φ : P (z) sup P (w) w B

35 2.4 Konveksne množice in funkcije 35 Točka z Φ je robna točka konveksne množice Φ natanko takrat, ko velja x, y Φ : z (x, y). Vsaka baza množice Φ vsebuje vse njene robne točke Običajna konveksnost V tem razdelku si bomo ogledali nekatere posebnosti, ki veljajo za običajno konveksnost primer, ko je Ω vektorski prostor (npr. Ω = IR n ). Iz pogoja za običajno konveksnost množice Φ Ω izhaja: x, y Φ λ (0, 1) : λx + (1 λ)y Φ IZREK 2.21 Naj bo Φ konveksna mnoˇzica, x k Φ, λ k 0, k 1..n in λ k = 1. Tedaj je tudi λ k x k Φ. λk x k je konveksna ovojnica. IZREK 2.22 (Krein Milman) Kompaktna konveksna mnoˇzica v IR n je konveksna ovojnica svojih robnih toˇck. IZREK 2.23 Za konveksno mnoˇzico Φ je za vsak ε > 0 sosednost S(ε) dobra. Dokaz: Naj bo x Φ in y Φ\S(ε)(x). Tedaj je množica {z : z (x, y) 0 < d(x, z) < ε} vselej neprazna. PRIMER 2.10 n-razsežna krogla K s središčem c IR n in polmerom r K = {x IR n : x c r} je konveksna množica. Pokazati moramo: če sta x, y K, je tudi αx + βy K za vse α, β 0 in α + β = 1. Ker sta x, y K, je x c r in y c r. Naprej je račun kratek αx + βy c = α(x c) + β(y c) α x c + β y c r Torej je res tudi αx + βy K. Iz pogoja za konveksnost funkcije P : Φ IR na konveksni množici Φ: dobimo x, y Φ λ (0, 1) : P (λx + (1 λ)y) λp (x) + (1 λ)p (y)

36 36 Lastnosti IZREK 2.24 (Jensenova neenakost). Naj bo P konveksna funkcija na konveksni mnoˇzici Φ. Tedaj za poljubne λ i 0, i I = 1..n, i I λ i = 1 in x i Φ velja neenakost P ( λ i x i ) λ i P (x i ) i I i I Če je P strogo konveksna in so λ i > 0, velja enakost natanko takrat, ko so vsi x i med seboj enaki. PRIMER 2.11 Ker je funkcija ln x strogo konveksna in strogo padajoča na IR +, po Jensenovi neenakosti dobimo znamenito neenakost med aritmetično in geometrično sredino 1 a i n a i n i I kjer so a i IR +, i I. Enakost velja natanko takrat, ko so vsa števila a i enaka. PRIMER 2.12 Linearna funkcija P (x) = (a, x)+c, kjer so a, x IR n in c IR je konveksna funkcija. Naj bo α, β 0 in α + β = 1, tedaj je P (αx+βy) = (a, αx+βy)+c = α((a, x)+c)+β((a, y)+c) = αp (x)+βp (y) i I Funkcija P (x) je konveksna. Iz analize poznamo naslednje izreke o konveksnih funkcijah: IZREK 2.25 Če je funkcija P : IR n IR zvezno odvedljiva, je konveksna na Φ natanko takrat, ko velja: x, y Φ : P (y) P (x) + P T (x)(y x) P (x) kjer je P (x) = [ x i ] gradient funkcije P ; in ˇce je dvakrat zvezno odvedljiva, je konveksna natanko takrat, ko je Hessova matrika 2 2 P P (x) = H(P, x) = [ ] x i x j v vsaki toˇcki x Φ pozitivno semi-definitna y IR n : y T 2 P (x)y 0 Pri preverjanju pozitivne (semi-)definitnosti se opremo na Sylvesterov izrek:

37 2.4 Konveksne množice in funkcije 37 IZREK 2.26 Kvadratna simetriˇcna matrika A = [a i,j ] IR n n je pozitivno definitna natanko takrat, ko so vsi glavni minorji te matrike a 1,1 a 1,2 a 1,k a 2,1 a 2,2 a 2,k k =..... k = 1,..., n. a k,1 a k,2 a k,k pozitivni. Če so k > 0, k = 1, 2,..., n 1 in n = 0, je matrika A pozitivno semi-definitna. in izrek IZREK 2.27 Kvadratna simetriˇcna matrika A = [a i,j ] IR n n je a. pozitivno definitna natanko takrat, ko so vse njene lastne vrednosti pozitivne; b. pozitivno semi-definitna natanko takrat, ko so vse njene lastne vrednosti nenegativne; PRIMER 2.13 Pokažimo, da je funkcija P (x, y) = 4x 2 + y 2 2xy konveksna na IR 2. Pripadajoča Hessova matrika H(P, (x, y)) = [ ] je konstantna. Glavna minorja 1 = 4 in 2 = 4 1 ( 1) ( 1) = 3 sta pozitivna v vsaki točki (x, y) IR 2. Torej je P res konveksna na IR 2. Vsota konveksnih funkcij je zopet konveksna funkcija. V nasprotno smer trditev velja le v posebnih primerih. IZREK 2.28 Naj bo funkcija P : Φ IR konveksna na konveksni mnoˇzici Φ IR n in naj se da zapisati v obliki P (x, y) = Q(x) + S(y), x IR m, y IR n m. Tedaj velja: ˇce je funkcija S(y) konveksna, je konveksna tudi funkcija Q(x). Dokaz: Predpostavimo nasprotno: Q(x) ni konveksna. Tedaj obstajajo x 1, x 2 in z = αx 1 + βx 2, α, β 0 in α + β = 1 tako, da je Q(z) > αq(x 1 ) + βq(x 2 )

38 38 Lastnosti Slika 2.9: Unimodalna funkcija. Poglejmo sedaj P (z, y) = P (α(x 1, y) + β(x 2, y)) αp (x 1, y) + βp (x 2, y) = = α(q(x 1 ) + S(y)) + β(q(x 2 ) + S(y)) < Q(z) + S(y) = P (z, y) Prišli smo do protislovja izrek velja. PRIMER 2.14 Unimodalne funkcije. Funkcija P : [a, b] IR je strogo unimodalna na intervalu [a, b], če obstaja c [a, b], tako da velja in x, y [a, c] : (x < y P (x) > P (y)) x, y [c, b] : (x < y P (x) < P (y)) Očitno za tako funkcijo velja Min([a, b], P ) = {c}. TRDITEV 2.29 Naj bo P strogo unimodalna na [a, b] in x, y [a, b], x < y. Tedaj velja P (x) P (y) c < y in P (x) P (y) c > y Dokaz: Pokažimo prvi del trditve. Prvi pogoj iz definicije stroge unimodalnosti y c P (x) > P (y), če upoštevamo p q q p, dobi iskano obliko P (x) P (y) c < y.

39 2.4 Konveksne množice in funkcije 39 Obstaja več postopkov iskanja minimuma strogo unimodalne funkcije P (x) na intervalu [a, b]. Večina jih temelji na naslednjem razmisleku. Izberimo znotraj intervala [a, b] še dve različni točki u in v, u < v in označimo z x rešitev naloge ([a, b], P, Min). Tedaj nastopijo po pravkar dokazani trditvi naslednje mošnosti oziroma a. P (u) < P (v) x < v b. P (u) > P (v) x > u c. P (u) = P (v) u < x < v a c. P (u) P (v) x [a, v] b. P (u) > P (v) x [u, b] Vsakič dobimo krajši interval s tremi točkami. Ali lahko v njem postavimo četrto točko tako, da ohranimo simetrijo skozi ves tek iskanja rešitve? d k 2 {}}{ x k x k 2 x k 1 }{{}}{{} d k d k 1 }{{} d k 1 Označimo z x 0, x 1, x 2,... x zaporedje točk, v katerih računamo funkcijske vrednosti. Če lahko postavljamo točke na željeni način, mora veljati d 0 = b a in d k 2 = d k 1 + d k, k > 1 kjer je d i širina intervala na i tem koraku. Privzemimo še, da je razmerje dolžin zaporednih intervalov stalno Tedaj mora ϕ zadoščati enačbi in je zato, ker mora biti ϕ > 1 d i 1 d i = ϕ, i > 0 ϕ 2 ϕ 1 = 0 ϕ = 1 2 (1 + 5)

40 40 Lastnosti CONST eps = ; FUNCTION P( x: real ): real; BEGIN P := ((x - 3)*x + 2)*x - 1 END; PROCEDURE golden_section( VAR a, b: real; VAR r: integer; eps: real ); VAR q, d, u, v, Pu, Pv : real; BEGIN q := (3-sqrt(5))/2; d := b-a; u := a + q*d; v := b - q*d; Pu := P(u); Pv := P(v); r := 0; WHILE d > eps DO BEGIN r := r+1; IF Pu > Pv THEN BEGIN a := u; u := v; Pu := Pv; d := b-a; v := b - q*d; Pv := P(v); END ELSE BEGIN b := v; v := u; Pv := Pu; d := b-a; u := a + q*d; Pu := P(u); END; END; END; { golden_section } a := 0; b := 3; golden_section( a, b, r, eps ); z := (a+b)/2; Pz := P(z); Slika 2.10: Postopek zlatega reza v Pascalu.

41 2.4 Konveksne množice in funkcije 41 Tabela 2.3: Potek iskanja minimuma funkcije. a u v b P (u) P (v) δ Dobljeno število ϕ je razmerje zlatega reza. Zato tudi temu postopku minimizacije pravimo postopek zlatega reza (glej sliko 2.10). Zanj velja d n = d 0 ϕ n Ker je ϕ 5 = , potrebuje postopek 5 korakov za eno decimalko. V tabeli 2.3 je prikazan potek določanja minimuma funkcije P (x) = x 3 3x 2 + 2x 1 po postopku zlatega reza. Dobimo x = in P (x ) =

42 42 Lastnosti

43 Poglavje 3 Reševanje 3.1 Minimum funkcij na IR n Naj bo P (x), x IR n v okolici točke x vsaj dvakrat zvezno odvedljiva. Razvijmo jo v Taylorjevo vrsto okoli x P (x + εy) = P (x ) + εy T P (x ) ε2 y T H(P, x )y + ε 2 O(εy) pri čemer je ε > 0 in y IR n. Kdaj ima funkcija P (x) v točki x minimum? V neki dovolj majhni okolici točke x funkcija P (x) nima vrednosti manjše od P (x ). Recimo, da bi obstajal tak y, da je y T P (x ) < 0 Tedaj, ker ε 2 gre hitreje proti 0 kot ε, je mogoče najti δ > 0 tako, da za vsak ε, 0 < ε δ velja P (x + εy) < P (x ) To pa pomeni, da točka x ni minimum protislovje. Torej je potreben pogoj za to, da je v točki x minimum y : y T P (x ) 0 Toda, ker mora ta neenakost veljati tudi za vektorja y in y, je to mogoče le, če je P (x ) = 0. Podoben sklep velja tudi za maksimum. Točkam, v katerih je P (x) = 0 pravimo stacionarne točke. Naj bo x stacionarna točka. Tedaj je P (x + εy) = P (x ) ε2 y T H(P, x )y + ε 2 O(εy)

44 44 Reševanje Če bi bil y T H(P, x )y < 0 za kak y IR n, bi zopet veljalo za dovolj majhne ε > 0 P (x + εy) < P (x ) kar pomeni, da točka x ni minimum pritislovje. Torej mora v minimumu veljati y IR n : y T H(P, x )y 0 Če v tem pogoju za vse y 0 velja strogi neenačaj, je točka x strogi minimum; sicer je potrebno stvar še preučiti. Povedano strnemo v naslednji izrek: IZREK 3.1 Potreben pogoj za to, da ima zvezna in dvakrat zvezno odvedljiva funkcija P naloge (IR n, P, Min) (lokalni) minimum v toˇcki x, je P (x ) = 0 in, da je Hessova matrika H(P, x ) pozitivno semi-definitna. definitna, je v toˇcki x strogi (lokalni) minimum. Če je pozitivno Pri dvakrat zvezno odvedljivih konveksnih funkcijah je drugi pogoj avtomatično izpolnjen. Zato zadostuje že prvi. PRIMER 3.1 Regresijska premica. Imamo n podatkov, meritev (x i, y i ), i = 1,..., n pri čemer imata vsaj dve točki različno absciso. Kako določiti premico y = ax+b, ki jih najbolje povzema? Običajno uporabljamo metodo najmanjših kvadratov. Premico določimo tako, da je vsota kvadratov napak odstopanj posameznih točk od premice najmanjša. Tako dobimo optimizacijsko nalogo (IR 2, P, Min), kjer je n P (a, b) = ((ax i + b) y i ) 2 i=1 Naloga zadošča pogojem izreka. Iz pogoja P = 0 dobimo enačbi z rešitvijo P a P b = = n 2((ax i + b) y i )x i = 0 i=1 n 2((ax i + b) y i ) = 0 i=1 a = n xy x y n x 2 ( x) 2, b = 1 n ( y a x)

45 3.2 Sedla 45 oziroma, če vpeljemo oznako z = 1 n z a = xy x y x 2 x 2, b = y ax Poglejmo še Hessovo matriko H = [ 2 P a 2 2 P b a 2 P a b 2 P b 2 ] = 2 [ x 2 ] x x n Ker je 1 = 2 x 2 > 0 in 2 = 4(n x 2 ( x) 2 ) = 2 (x i x j ) 2 > 0, je matrika H pozitivno definitna in zato funkcija P strogo konveksna. Torej je regresijska premica enolično določena. Kriterijska funkcija, ki meri napako po metodi najmanjših kvadratov je precej občutljiva na večje napake in tujke (outliers). Zato v takih primerih nekateri raje uporabljajo kriterijsko funkcijo, ki temelji na absolutnih napakah n P (a, b) = (ax i + b) y i i=1 Seveda pa te naloge ne moremo več ugnati z gornjimi sredstvi. 3.2 Sedla Točka (x, u ) Φ Ψ je minmax-sedlo funkcije G : Φ Ψ IR natanko takrat, ko velja: (x, u) Φ Ψ : G(x, u ) G(x, u ) G(x, u) in je maxmin-sedlo funkcije G natanko takrat, ko velja: (x, u) Φ Ψ : G(x, u ) G(x, u ) G(x, u) Če enega od pogojev za sedlo pomnožimo z 1 se neenakosti obrnejo dobimo drugi pogoj. Torej velja: IZREK 3.2 Funkciji G(x, u) in G(x, u) imata ista sedla, a nasprotnih vrst. Količino G(x, u ) imenujemo vrednost sedla (x, u ). Da je slednje smiselno, nam zagotavlja naslednja lastnost: IZREK 3.3 Vsa sedla iste vrste imajo enako vrednost.

46 46 Reševanje Dokaz: Zaradi simetrije bomo dokazovali samo za minmax-sedla. Bodita (x, u ) in ( x, ū) minmax-sedli. Potem po definiciji velja: G(x, ū) G( x, ū) G( x, u ) G(x, u ) G(x, ū) kar je mogoče le, če povsod velja enačaj. Torej je res G(x, u ) = G( x, ū). Iz gornjega dokaza je le še majhen korak do lastnosti: IZREK 3.4 Mnoˇzica sedel iste vrste funkcije G : Φ Ψ IR je oblike Φ s Ψ s, kjer sta Φ s Φ in Ψ s Ψ. Dokaz: Bodita (x, u ) in ( x, ū) minmax-sedli. Tedaj sta minmax sedli tudi (x, ū) in ( x, u ). Pokažimo, na primer, da je (x, ū) minmax-sedlo. Napišimo pogoja: za vsak (x, u) Φ Ψ velja: G(x, u ) G(x, u ) G(x, u) in G(x, ū) G( x, ū) G( x, u) Iz prejšnjega dokaza vemo G( x, u ) = G(x, u ) = G( x, ū) = G(x, ū). Torej je res tudi G(x, ū) G( x, ū) = G(x, ū) = G(x, u ) G(x, u) kar je bilo treba pokazati. Sedaj pa si oglejmo še najpomembnejši rezultat tega razdelka, ki daje potreben in zadosten pogoj za obstoj sedla. IZREK 3.5 Funkcija G : Φ Ψ IR ima minmax-sedlo natanko takrat, ko obstaja toˇcka (x, u ) Φ Ψ, tako da velja: min sup x Φ u Ψ G(x, u) = max u Ψ inf x Φ G(x, u) = G(x, u ) in ima maxmin-sedlo natanko takrat, ko obstaja toˇcka (x, u ) Φ Ψ, tako da velja: max inf G(x, u) = min sup G(x, u) = G(x, u ) x Φ u Ψ u Ψ x Φ Dokaz: Trditev bomo dokazali samo za minmax-sedlo. Najprej pokažimo sedlo pogoj. Naj bo (x, u ) Φ Ψ minmax-sedlo. Potem velja: (x, u) Φ Ψ : G(x, u) G(x, u ) G(x, u ) oziroma sup G(x, u) G(x, u ) inf G(x, u Ψ x Φ u )

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH

AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

More information

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem

More information

NIKJER-NIČELNI PRETOKI

NIKJER-NIČELNI PRETOKI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA

More information

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI

TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:

More information

Hipohamiltonovi grafi

Hipohamiltonovi grafi Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.

More information

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev

Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

More information

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani

FRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,

More information

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI

DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV

More information

Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1

Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1 Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami Emil Žagar 22. november 200 Skriptajevnastajanju,zatojegotovopolnanapak. Hvaleˇzenbomzavse pripombe. Iskanje napak je obenem del učnega procesa pri

More information

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA

DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011

More information

Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge

Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Naloge so razdeljene v 6 skupin. Za pozitivno oceno morate rešiti toliko nalog, da bo končna vsota za pozitivno oceno vsaj 8 točk oz. vsaj 10 točk

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:

More information

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK

Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji

More information

56 1 Upogib z osno silo

56 1 Upogib z osno silo 56 1 Upogib z osno silo PREGLEDNICA 1.5 (nadaljevanje): Upogibnice in notranje sile za nekatere nosilce d) Upogibnica prostoležečega nosilca obteženega s silo F Pomik in zasuk v polju 1: w 1 = F b x (L

More information

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R

Multipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne

More information

Zbornik seminarjev iz hevristik

Zbornik seminarjev iz hevristik Zbornik seminarjev iz hevristik Izbrana poglavja iz optimizacijskih metod (2010-11) 2. marec 2012 Ljubljana, 2011 Zbornik seminarskih nalog sta po knjigi [3] izbrala in uredila R. Škrekovski (FMF) in Vida

More information

NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI

NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ NEODLOČLJIVI PROBLEMI V TEORIJI IZRAČUNLJIVOSTI MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ VERONIKA MIHELAK MENTOR: izr. prof.

More information

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija

More information

OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV

OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV asist. Damir GRGURAŠ, mag. inž. str izr. prof. dr. Davorin KRAMAR damir.grguras@fs.uni-lj.si Namen vaje: Ugotoviti/določiti optimalne parametre pri struženju za dosego

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1. Študijska smer Study field

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1. Študijska smer Study field UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Optimizacija 1 Course title: Optimization 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc α UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2017 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ŠTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UČITELJ SMER: FIZIKA -

More information

Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia

Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued

More information

Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO

Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Teja Bergant

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Uporaba logistične regresije za napovedovanje razreda, ko je število enot v preučevanih razredih

More information

Intervalske Bézierove krivulje in ploskve

Intervalske Bézierove krivulje in ploskve Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM

More information

Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja

Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja Elektrotehniški vestnik 70(1-2): 22 26, 2003 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja Marko Čepin

More information

Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela

Statistika 2 z računalniško analizo podatkov. Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela 1 Predpostavke regresijskega modela (ponovitev) V regresijskem modelu navadno privzamemo naslednje pogoje:

More information

Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo)

Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo) Uvod v odkrivanje znanj iz podatkov (zapiski predavatelja, samo za interno uporabo) Blaž Zupan 29. julij 2017 Kazalo 1 Odkrivanje skupin 7 1.1 Primer podatkov.................................. 7 1.2 Nekaj

More information

Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj KEY WORDS

Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj KEY WORDS G 2014 V ROTACIJA Z ENOTSKIM KVATERNIONOM GEODETSKI VESTNIK letn. / Vol. 58 št. / No. 2 ROTATION WITH UNIT QUATERNION 58/2 Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj UDK: 512.626.824:528 Klasifikacija prispevka

More information

modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk

modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk Cveto Trampuž An Illustrative Comparison Logit Analysis with Dummy Variable Regression Analysis. Two different regression models in which the dependent

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke (Extremal Distributions for Dependent Variables)

More information

Verifikacija napovedi padavin

Verifikacija napovedi padavin Oddelek za Meteorologijo Seminar: 4. letnik - univerzitetni program Verifikacija napovedi padavin Avtor: Matic Šavli Mentor: doc. dr. Nedjeljka Žagar 26. februar 2012 Povzetek Pojem verifikacije je v meteorologiji

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Optimizacija Optimization Študijski program in stopnja Study programme and level Visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika

More information

Grafični gradnik za merjenje kvalitete klasifikatorja s pomočjo krivulj

Grafični gradnik za merjenje kvalitete klasifikatorja s pomočjo krivulj UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Miha Biček Grafični gradnik za merjenje kvalitete klasifikatorja s pomočjo krivulj DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: doc. dr.

More information

Izvedbe hitrega urejanja za CPE in GPE

Izvedbe hitrega urejanja za CPE in GPE Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Jernej Erker Izvedbe hitrega urejanja za CPE in GPE DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJ RAČUNALNIŠTVA IN INFORMATIKE Mentor: doc. dr. Tomaž

More information

Modelska Analiza 1. University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics. 3. naloga - Numeri na minimizacija

Modelska Analiza 1. University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics. 3. naloga - Numeri na minimizacija University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics Modelska Analiza 1 3. naloga - Numeri na minimizacija Avtor: Matic Lubej Asistent: dr. Simon ƒopar Predavatelj: prof. dr. Alojz Kodre Ljubljana,

More information

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU

KVANTITATIVNE METODE V PROMETU KVANTITATIVNE METODE V PROMETU Vaja Primer : Pri pripravi neke eksotične slaščice potrebujemo dve vrsti moke M, M. Moko lahko kupimo v dve različni embalaži E, E. Prvo pakiranje E vsebuje enoto moke M

More information

Makroekonomija 1: 4. vaje. Igor Feketija

Makroekonomija 1: 4. vaje. Igor Feketija Makroekonomija 1: 4. vaje Igor Feketija Teorija agregatnega povpraševanja AD = C + I + G + nx padajoča krivulja AD (v modelu AS-AD) učinek ponudbe denarja premiki vzdolž krivulje in premiki krivulje mikro

More information

Statistika 2 z računalniško analizo podatkov

Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Bivariatne analize 1 V Statistične analize v SPSS-ju V.4 Bivariatne analize Analyze - Descriptive statistics - Crosstabs Analyze Correlate Bivariate Analyze

More information

Modeliranje časovnih vrst z metodami teorije informacij

Modeliranje časovnih vrst z metodami teorije informacij Elektrotehniški vestnik 76(4): 240 245, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Modeliranje časovnih vrst z metodami teorije informacij Marko Bratina 1, Andrej Dobnikar 2, Uroš Lotrič 2 1 Savatech,

More information

Luka Taras Korošec ANALIZA IN NADGRADNJA APLIKACIJE ZA DELO Z GRAFI

Luka Taras Korošec ANALIZA IN NADGRADNJA APLIKACIJE ZA DELO Z GRAFI UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Luka Taras Korošec ANALIZA IN NADGRADNJA APLIKACIJE ZA DELO Z GRAFI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI

More information

IZRAČUN POLOŽAJA GPS-SATELITA IZ PODATKOV PRECIZNIH EFEMERID GPS-ORBIT COMPUTATION FROM PRECISE EPHEMERIS DATA

IZRAČUN POLOŽAJA GPS-SATELITA IZ PODATKOV PRECIZNIH EFEMERID GPS-ORBIT COMPUTATION FROM PRECISE EPHEMERIS DATA 177 IZRAČUN POLOŽAJA GPS-SATELITA IZ PODATKOV PRECIZNIH EFEMERID GPS-ORBIT COMPUTATION FROM PRECISE EPHEMERIS DATA Polona Pavlovčič Prešeren, Bojan Stopar UDK: 528.33 Klasifikacija prispevka po COBISS-u:

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUKA VIKTOR ROGAČ KONČNI AVTOMATI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

POGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo

POGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo POGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo V statistični fiziki nas često zanimajo povprečne vrednosti opazljivk v ravnovesnem, termalnem stanju, pri dobro znani vrednosti temperature in ostalih termodinamskih

More information

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS

UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika

More information

Ekstrakcija časovnega znanja iz dogodkov v spletnih novicah

Ekstrakcija časovnega znanja iz dogodkov v spletnih novicah Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Kristijan Mirčeta Ekstrakcija časovnega znanja iz dogodkov v spletnih novicah DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

More information

Miha Troha. Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov

Miha Troha. Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Miha Troha Robotsko učenje in planiranje potiskanja predmetov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: prof. dr. Ivan Bratko Ljubljana,

More information

Verodostojnost in kvaliteta spletno dostopnih informacij

Verodostojnost in kvaliteta spletno dostopnih informacij Univerza v Ljubljani Filozofska fakulteta Oddelek za bibliotekarstvo, informacijsko znanost in knjigarstvo Verodostojnost in kvaliteta spletno dostopnih informacij Mentor: dr. Jure Dimec Lea Očko Katja

More information

USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh

USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh Kinesiologia Slovenica, 14, 3, 5 14 (28) Faculty of Sport, University of Ljubljana, ISSN 1318-2269 5 Matej Supej* Milan Čoh USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE

More information

Obisk iz rezultatov iskanj na iskalniku Google

Obisk iz rezultatov iskanj na iskalniku Google Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Uroš Okorn Obisk iz rezultatov iskanj na iskalniku Google DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO

More information

Introduction of Branching Degrees of Octane Isomers

Introduction of Branching Degrees of Octane Isomers DOI: 10.17344/acsi.2016.2361 Acta Chim. Slov. 2016, 63, 411 415 411 Short communication Introduction of Branching Degrees of Octane Isomers Anton Perdih Faculty of Chemistry and Chemical Technology, University

More information

Univerza na Primorskem. Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije. Zaznavanje gibov. Zaključna naloga

Univerza na Primorskem. Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije. Zaznavanje gibov. Zaključna naloga Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Boštjan Markežič Zaznavanje gibov Zaključna naloga Koper, september 2011 Mentor: doc. dr. Peter Rogelj Kazalo Slovarček

More information

Lokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere

Lokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Iztok Oder Lokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO

More information

VERJETNOSTNI RAČUN IN STATISTIKA. Aleksandar Jurišić, FRI

VERJETNOSTNI RAČUN IN STATISTIKA. Aleksandar Jurišić, FRI VERJETNOSTNI RAČUN IN STATISTIKA Aleksandar Jurišić, FRI 2. avgust 2012 ii Seznam poglavij 1. Uvod........................... 1 I. VERJETNOST................... 7 2. Poskusi, dogodki in definicija verjetnosti............

More information

Sistem za optimizacijo sledilnikov v

Sistem za optimizacijo sledilnikov v Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Maja Zadnikar Sistem za optimizacijo sledilnikov v računalniškem vidu DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

More information

2. Pitagorejska matematika

2. Pitagorejska matematika 2. Pitagorejska matematika Zgodovinski okvir Konec drugega tisočletja pred našim štetjem so se ob vzhodnem Mediteranu zgodile velike politične spremembe. Moč Egipta in Babilonije je venela, pojavila so

More information

Ivan Pucelj: RIMSKE ŠTEVILKE IN RAČUNANJE Z NJIMI. List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje

Ivan Pucelj: RIMSKE ŠTEVILKE IN RAČUNANJE Z NJIMI. List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 12 (1984/1985) Številka 3 Strani 110 119 Ivan Pucelj: RIMSKE ŠTEVILKE IN RAČUNANJE Z NJIMI Ključne besede: matematika.

More information

13. Razvoj matematike v 19. stoletju

13. Razvoj matematike v 19. stoletju 13. Razvoj matematike v 19. stoletju Kot rečeno, bomo v 19. stoletju zaradi obilice materiala in eksponentne rasti pomembnih matematičnih rezultatov lahko omenili le nekatere posameznike, ki so prispevali

More information

Distance reduction with the use of UDF and Mathematica. Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica

Distance reduction with the use of UDF and Mathematica. Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 54, No. 2, pp. 265-286, 2007 265 Distance reduction with the use of UDF and Mathematica Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica

More information

Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless

Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Robert Meolic Akcijska logika dreves izvajanj z operatorjem unless Doktorska disertacija Maribor, september 2005 Avtor: Naslov:

More information

Analiza variance in linearna regresija

Analiza variance in linearna regresija Analiza variance in linearna regresija Aleš Žiberna 28. november 2011 Kazalo 1 Uporabljeni podatki 2 2 Analiza variance (ANOVA) 2 2.1 Enofaktorska analiza variance za neodvisne vzorce....... 3 2.2 Večfaktorska

More information

Rudarjenje razpoloženja na komentarjih rtvslo.si

Rudarjenje razpoloženja na komentarjih rtvslo.si Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Brina Škoda Rudarjenje razpoloženja na komentarjih rtvslo.si DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO IN

More information

Seminar II: Translokacija proteinov na DNA. Avtor: Janez Dovč Delovni mentor: Gašper Tkačik Mentor: prof. dr. Rudi Podgornik

Seminar II: Translokacija proteinov na DNA. Avtor: Janez Dovč Delovni mentor: Gašper Tkačik Mentor: prof. dr. Rudi Podgornik Seminar II: Translokacija proteinov na DNA Avtor: Janez Dovč Delovni mentor: Gašper Tkačik Mentor: prof. dr. Rudi Podgornik Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko April 2005 1 Povzetek

More information

Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups)

Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi grupami (Isomorphic Cayley Graphs on Non-Isomorphic Groups) UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Matematične znanosti Študijski program 2. stopnje Mary Agnes SERVATIUS Izomorfni Cayleyevi grafi nad neizomorfnimi

More information

GEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI

GEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI GEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI LARA ULČAKAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku so predstavljene geometrijske faze, ki nastopijo pri obravnavi kvantnih sistemov. Na začetku

More information

Predmet: Seminar Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik

Predmet: Seminar Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani MAVRICA Predmet: Seminar 2011 Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Profesorja: dr. Martin Čopič in dr. Igor Poberaj Brežice, 29.4.2011

More information

Izvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli

Izvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Izvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Zlatan Magajna Kandidatka: Nina Gros

More information

Vrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih

Vrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih Elektrotehniški vestnik 71(1-2): 13 19, 2004 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Vrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih Peter Rulić,

More information

2) Let X be a compact space. Prove that the space C(X) of continuous real-valued functions is a complete metric space.

2) Let X be a compact space. Prove that the space C(X) of continuous real-valued functions is a complete metric space. University of Bergen General Functional Analysis Problems with solutions 6 ) Prove that is unique in any normed space. Solution of ) Let us suppose that there are 2 zeros and 2. Then = + 2 = 2 + = 2. 2)

More information

Geometrijske faze v kvantni mehaniki

Geometrijske faze v kvantni mehaniki Seminar 1-1. letnik, 2. stopnja Geometrijske faze v kvantni mehaniki Avtor: Lara Ulčakar Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, november 2014 Povzetek V seminarju so predstavljene geometrijske faze,

More information

2 Zaznavanje registrske tablice

2 Zaznavanje registrske tablice Razpoznavanje avtomobilskih registrskih tablic z uporabo nevronskih mrež Matej Kseneman doc. dr. Peter Planinšič, mag. Tomaž Romih, doc. dr. Dušan Gleich (mentorji) Univerza v Mariboru, Laboratorij za

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Naknadna stabilizacija videoposnetkov

UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Naknadna stabilizacija videoposnetkov UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Naknadna stabilizacija videoposnetkov (Subsequent video stabilization) Ime in priimek: Kevin Sedevcic

More information

VERJETNOSTNE VARNOSTNE ANALIZE JEDRSKE ELEKTRARNE V ZAUSTAVITVI

VERJETNOSTNE VARNOSTNE ANALIZE JEDRSKE ELEKTRARNE V ZAUSTAVITVI Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Mitja Antončič VERJETNOSTNE VARNOSTNE ANALIZE JEDRSKE ELEKTRARNE V ZAUSTAVITVI Magistrsko delo Mentor: prof. dr. Marko Čepin Ljubljana, 2016 Zahvala Na

More information

PRESENEČENJA V FIZIKI: VRTAVKE. Mitja Rosina Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 12.marca 2010

PRESENEČENJA V FIZIKI: VRTAVKE. Mitja Rosina Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 12.marca 2010 PRESENEČENJA V FIZIKI: VRTAVKE Mitja Rosina Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 12.marca 2010 1. Vrtavka na prostem 2. Vrtavka na mizi: vrtenje, precesija, nutacija 3. Vrtavka na mizi: trenje,

More information

VERJETNOSTNI RAČUN IN STATISTIKA. Aleksandar Jurišić, FRI

VERJETNOSTNI RAČUN IN STATISTIKA. Aleksandar Jurišić, FRI VERJETNOSTNI RAČUN IN STATISTIKA Aleksandar Jurišić, FRI 1. junij 2010 ii Kazalo 1 Uvod 1 I VERJETNOST 7 2 Poskusi, dogodki in definicija verjetnosti 11 2.1 Poskusi in dogodki...............................

More information

Metoda za dolgoročno vizualno sledenje z značilnimi točkami

Metoda za dolgoročno vizualno sledenje z značilnimi točkami Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Tina Strgar Metoda za dolgoročno vizualno sledenje z značilnimi točkami DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO

More information

arxiv: v1 [cs.dm] 21 Dec 2016

arxiv: v1 [cs.dm] 21 Dec 2016 UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE arxiv:1612.07113v1 [cs.dm] 21 Dec 2016 Zaključna naloga (Final project paper) Odčitljivost digrafov in dvodelnih

More information

b) Računske naloge (z osnovami): 1. Izračunaj in nariši tiracijsko krivuljo, če k 10,0mL 0,126M HCl dodajaš deleže (glej tabelo) 0,126M NaOH!

b) Računske naloge (z osnovami): 1. Izračunaj in nariši tiracijsko krivuljo, če k 10,0mL 0,126M HCl dodajaš deleže (glej tabelo) 0,126M NaOH! 11. Vaja: Kemijsko ravnotežje II a) Naloga: 1. Izmeri ph destilirane in vodovodne vode, ter razloži njegovo vrednost s pomočjo eksperimentov!. Opazuj vpliv temperature na kemijsko ravnotežje!. Določi karbonatno

More information

Random Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R

Random Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R In probabilistic models, a random variable is a variable whose possible values are numerical outcomes of a random phenomenon. As a function or a map, it maps from an element (or an outcome) of a sample

More information

Avtomatsko prilagajanje tempa spremljave solistu

Avtomatsko prilagajanje tempa spremljave solistu Univerza v Ljubljani Fakulteta za ra unalni²tvo in informatiko Andrej Oder Avtomatsko prilagajanje tempa spremljave solistu DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM TUDIJU Ljubljana, 2013 Univerza

More information

UNIVERSITY OF MANITOBA

UNIVERSITY OF MANITOBA Question Points Score INSTRUCTIONS TO STUDENTS: This is a 6 hour examination. No extra time will be given. No texts, notes, or other aids are permitted. There are no calculators, cellphones or electronic

More information

Modeliranje in simulacija helikopterskega žerjava

Modeliranje in simulacija helikopterskega žerjava Modeliranje in simulacija helikopterskega žerjava Marko Hančič Mentor: prof.dr. Aleš Belič Fakulteta za elektrotehniko, UL Tržaška 25, 1000 Ljubljana markohancic@gmail.com Modelling and simulation of a

More information

MODELI CESTNEGA PROMETA

MODELI CESTNEGA PROMETA MODELI CESTNEGA PROMETA LUKA ŠEPEC Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku so predstavljeni različni pristopi k modeliranju cestnega prometa. Najprej so predstavljene empirične

More information

SOLUTIONS TO THE FINAL EXAM. December 14, 2010, 9:00am-12:00 (3 hours)

SOLUTIONS TO THE FINAL EXAM. December 14, 2010, 9:00am-12:00 (3 hours) SOLUTIONS TO THE 18.02 FINAL EXAM BJORN POONEN December 14, 2010, 9:00am-12:00 (3 hours) 1) For each of (a)-(e) below: If the statement is true, write TRUE. If the statement is false, write FALSE. (Please

More information

or we could divide the total time T into N steps, with δ = T/N. Then and then we could insert the identity everywhere along the path.

or we could divide the total time T into N steps, with δ = T/N. Then and then we could insert the identity everywhere along the path. D. L. Rubin September, 011 These notes are based on Sakurai,.4, Gottfried and Yan,.7, Shankar 8 & 1, and Richard MacKenzie s Vietnam School of Physics lecture notes arxiv:quanth/0004090v1 1 Path Integral

More information

ENGIN 211, Engineering Math. Laplace Transforms

ENGIN 211, Engineering Math. Laplace Transforms ENGIN 211, Engineering Math Laplace Transforms 1 Why Laplace Transform? Laplace transform converts a function in the time domain to its frequency domain. It is a powerful, systematic method in solving

More information

Usmerjene nevronske mreže: implementacija in uporaba

Usmerjene nevronske mreže: implementacija in uporaba Seminar - 4. letnik Usmerjene nevronske mreže: implementacija in uporaba Avtor: Miha Marolt Mentorja: Marko Žnidarič, Drago Kuzman Kranj, 24.4.2010 Povzetek Usmerjena večnivojska nevronska mreˇza(uvnm)

More information

Biološka ekvivalenca Statistične metode. Iztok Grabnar

Biološka ekvivalenca Statistične metode. Iztok Grabnar Biološka ekvivalenca Statistične metode Iztok Grabnar Definicije EMEA: Note for guidance on the investigation of bioavailability and bioequivalence Biološka uporabnost Biovailability means the rate and

More information

Bayesove verjetnostne mreže

Bayesove verjetnostne mreže Bayesove verjetnostne mreže Martin Žnidaršič Seminarska naloga pri predmetu Avtomatsko učenje Nosilec predmeta: prof. dr. Igor Kononenko Povzetek Uporaba verjetnostnega sklepanja je na področju umetne

More information

UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKA NALOGA LARA ŠTUPICA

UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKA NALOGA LARA ŠTUPICA UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKA NALOGA LARA ŠTUPICA KOPER 2013 UNIVERZA NA PRIMORSKEM PEDAGOŠKA FAKULTETA Visokošolski strokovni študijski program prve stopnje Predšolska vzgoja Diplomska

More information

Dinamični pristop k turbulenci

Dinamični pristop k turbulenci Seminar - 4. letnik Dinamični pristop k turbulenci Avtor: Igor Mele Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, marec 2013 Povzetek Ravninski Couetteov tok je med najpreprostejšimi modeli strižnih tokov,

More information

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO SEMINAR. Pulzni eksperiment

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO SEMINAR. Pulzni eksperiment UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO SEMINAR Pulzni eksperiment AVTOR: Andraž Petrović MENTOR: prof. Matjaž Ravnik Ljubljana, Maj 2004 POVZETEK: V seminarju bom opisal

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

ODE. Philippe Rukimbira. Department of Mathematics Florida International University PR (FIU) MAP / 92

ODE. Philippe Rukimbira. Department of Mathematics Florida International University PR (FIU) MAP / 92 ODE Philippe Rukimbira Department of Mathematics Florida International University PR (FIU) MAP 2302 1 / 92 4.4 The method of Variation of parameters 1. Second order differential equations (Normalized,

More information

Mixed Hybrid Finite Element Method: an introduction

Mixed Hybrid Finite Element Method: an introduction Mixed Hybrid Finite Element Method: an introduction First lecture Annamaria Mazzia Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze Applicate Università di Padova mazzia@dmsa.unipd.it Scuola

More information