UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO
|
|
- Adrian Bruno McBride
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA JOŠT MLINARIČ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2017
2
3 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ŠTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UČITELJ SMER: FIZIKA - MATEMATIKA KANDIDAT: JOŠT MLINARIČ MENTOR: prof. dr. MATIJA CENCELJ KJE JE BILA KAMERA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2017
4
5 Zahvala Iskreno se zahvaljujem prof. dr. Matiju Cenclju za mentorstvo, vse nasvete in ideje, ki so bili v veliko pomoč pri nastajanju diplomskega dela. Zahvala gre tudi partnerici, hčerki, staršem, sestri in babici, za vso potrpežljivost in podporo, ki so mi jo izkazali v vseh letih študija in me spodbujali vse do konca. Zahvalil bi se tudi vsem profesorjem ter sošolkam in sočolcem, s katerimi smo skupaj preživeli študentsko obdobje in drug drugega spodbujali v napornih trenutkih. i
6
7 Povzetek V diplomskem delu je opisan in obravnavan problem lociranja kamere ob zajetju fotografije nekega objekta kvadraste oblike oziroma zgradbe. V prvem delu je predstavljeno teoretično ozadje samega postopka, ki temelji na principih elementarne in projektivne geometrije, v drugem delu pa so teoretične ugotovitve preverjene še praktično na majhni škatli kvadraste oblike, predstavljeni pa so tudi vzroki za napake pri merjenju oziroma izračunu samega položaja fotoaparata. Ključne besede: položaj fotoaparata, projekcija, višina fotoaparata, razdalja. iii
8 Abstract The problem of determining the location of the camera for taking a given photo of a rectangular body e.g. a building is described and considered. In the first part the theoretical prerequisites of elementary and projective geometry are introduced and the problem is solved, in the second part the solution is checked in a practical example of a photo of a small box. The reasons for inacuracy are discussed. Keywords: camera location, projection, camera height, distance. iv
9 Kazalo Povzetek Abstract iii iv 1 Uvod 1 2 Evklidska geometrija Afina geometrija Afine transformacije in osnovni izrek afine geometrije Aksiomatsko definirana afina ravnina Projektivna geometrija Vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo Talesovi izreki 6 4 Določanje položaja kamere Ozadje postopka Postopek določanja položaja kamere Praktični del Mala škatla pravokotne oblike Zaključek Napaka odvisna od resolucije fotografije Napaka odvisna od oddaljenosti fotoaparata Literatura 31 Kazalo slik 32 Seznam tabel 33 v
10
11 1 Uvod Ljudje radi med seboj primerjamo preteklost in sedanjost, pri tem pa velikokrat primerjamo tudi posamezne pomembnejše zgradbe. Preteklost in sedanjost zgradbe z okolico najlažje prikažemo z dvema fotografijama; prva prikazuje fotografijo zgradbe v preteklosti, druga pa prikazuje isto zgradbo v sedanjem času. Če želimo, da je naša primerjava relevantna oziroma smiselna, moramo seveda upoštevati nekaj pomembnih dejstev. Smiselno je primerjati isti del zgradbe, saj je namreč brez pomena primerjati fotografiji, na katerih je na eni fotografirana sprednja stran zgradbe, na drugi pa zadnja stran. Poleg tega pa primerjava izgubi smisel tudi, če fotografiji nista zajeti iz enakega položaja. Fotoaparat torej mora biti pri zajetju ene in druge fotografije na istem položaju. In tega problema se bom lotil v svojem diplomskem delu. Opisal bom postopek kalibracije kamere, to je določanje položaja kamere iz fotografije. Problem razumevanja relativnega položaja fotografije in samega objekta se raziskuje s pomočjo matematike in računalniške znanosti. Za osnovo sem uporabil članek iz matematične revije [1], ki se primera loti zgolj teoretično, ga razširil in na koncu uporabil oziroma preveril še praktično. Poleg omenjenega članka, sta mi bila v pomoč še dva članka, prav tako iz matematičnih revij [2] [3], in pri evklidski geometriji tudi zapiski s predavanj mojega mentorja, prof. dr. Matija Cenclja[4]. Sam postopek temelji na elementarni ravninski geometriji in osnovnih principih projektivne in afine geometrije. 1
12 2 Evklidska geometrija Z evklidsko geometrijo se srečamo že v fazi našega otroštva oziroma pri prvih stikih z matematiko, saj poleg tega, da živimo v evklidskem prostoru, evklidsko geometrijo spoznavamo tudi v šoli, ko spoznavamo različne geometrijske like in telesa oziroma ko spoznavamo pojem daljice in premice. Večinoma geometrija, ki jo spoznavamo v osnovni šoli, zadošča našim potrebam po vključevanju geometrije v naše življenje, a se vendarle izkaže, da študij neevklidske geometrije ni zaman. Vsi spoznamo daljice in premice ter like kot so kvadrat, krog in pravokotnik, obenem pa spoznamo tudi lastnosti togih premikov, kot sta zrcaljenje in rotacija, in da se pri tem ohranjajo vse lastnosti daljic, premic oziroma likov. Danes na voljo veliko različne tehnologije, ki nam omogoča igranje igric, risanja v treh dimenzijah in še bi lahko našteval. In ravno pri zaznavanju na primer geometrijskih teles, kot je kvader, opazimo, da si z evklidsko geometrijo ne znamo razložiti vsega. Namreč pri premikanju kvadra po zaslonu ugotovimo, da se koti ne ohranjajo, kakor bi pričakovali po petih aksiomih evklidske geometrije, ki jih je približno 300 let pred našim štetjem v zbirki 13 knjig z naslovom Elementi zapisal Evklid. Pa si poglejmo teh pet postulatov oziroma aksiomov, ki so za lažje razumevanje in uporabo prevedeni v sodobni matematični jezik: (E1) Skozi različni točki poteka natanko ena premica. (E2) Premica je neomejena množica točk. (E3) Za različni točki obstaja krožnica, ki ima središče v prvi točki in poteka skozi drugo točko. (E4) Vsi pravi koti so med seboj skladni. (E5) Za vsako točko X in premico p obstaja natanko ena premica, ki gre skozi X in je vzporedna premici p. V 19. stoletju sta János Bolyai in Nikola Ivanovič Lobačevski [5] neodvisno odkrila hiperbolično ravninsko geometrijo, ki zadošča prvim štirim postulatom, ki jih je zapisal Evklid (E 1 -E 4 ), a ne zadošča postulatu o vzporednosti. S tem sta dokazala, da je peti postulat 2
13 (E 5 ) o vzporednosti posledica prvih štirih postulatov. Za nas to ni tako zelo pomembno, zato se vrnimo k vprašanju, čemu služi študij neevklidske geometrije. Odgovor je preprost. Danes, v dobi računalnikov, prikaz premikanja objektov na zaslonu ni možen v okviru evklidske geometrije, torej neevklidksa geometrija ni nekaj teoretičnega, pač pa je prisotna tudi v našem vsakdanjem življenju. Zamislimo si na primer primer kvadra, ki ga premikamo po zaslonu. Ugotovimo, da se koti in dolžine ne ohranjajo. 2.1 Afina geometrija Definicija. Naj bodo V končnorazsežen vektorski prostor nad obsegom O, U < V vektorski podprostor in a V. Množico a+u = {a+x : x U} imenujemo afin podprostor v V. Množica A je afin prostor, če je afin podprostor v kakšnem vektorskem prostoru. 2.2 Afine transformacije in osnovni izrek afine geometrije Definicija. Točke x, y in z v afinem prostoru A so kolinearne, če obstaja afina premica U A, ki jih vsebuje. Točke x, y, z in w so v afinem prostoru A koplanarne, če obstaja afina ravnina U A, ki jih vsebuje. Definicija. Naj bosta A in B afina podprostora v vektorskem prostoru V, razsežnosti dima=dimb 2. Bijektivno preslikavo τ : A B, ki poljubne tri kolinearne točke preslika v kolinearne, imenujemo afina transformacija. Poglejmo si sedaj osnovni izrek afine geometrije, ki je zapisan spodaj. Izrek 2.1 (Osnovni izrek afine geometrije). Naj bodo V vektorski prostori nad obsegom O in A, B V afina podprostora razsežnosti dima=dimb 2. Preslikava τ : A B je afina transformacija, ki ohranja vzporednost, natanko tedaj, ko obstajajo a, b V in obrnljiva semilinearna preslikava M, da je τ(x) = M(x a) = +b. Definicija. Preslikava M : V V iz vektorskega prostora V nad O nazaj vase je semilinearna, če obstaja tak avtomorfizem φ obsega O, da za vsaka x, y V in za vsak α O velja: M(x + y) = M(x) + M(y) (aditivnost) M(ax) = φ(α)m(x) (semihomogenost) 3
14 2.3 Aksiomatsko definirana afina ravnina Aksiomatsko definirana afina ravnina je par {A, A 1 }, kjer je A 1 podmnožica potenčne množice 2 A. Elemente prve množice imenujemo točke, elemente druge pa premice. Če za točko X A 0 in premico p A 1 velja X p, pravimo da točka X leži na premici p oziroma, da gre premica p skozi točko X. Če točke ležijo na isti premici, so kolinearne. Premici p in q se sekata, če obstaja X, da je hkrati na p in q (X p X q). Premici p in q sta vzporedni (p q), če se ne sekata ali pa je p = q. Množica A 1 oziroma relacija med točkami in premicami zadošča naslednjim aksiomom. (A1) Skozi različni točki poteka natanko ena premica. (A2) Za vsako točko P in premico p obstaja natanko ena premica, ki gre skozi P in je vzporedna s p. (A3) Obstajajo tri nekolinearne točke. (A4) Za poljubni točki A in B obstaja translacija τ, da je τ(a) = B. (A5) Obstaja točka O, da za taki točki A in B, da O A in B OA, obstaja razteg ρ s središčem v O, za katerega velja ρ(a) = B. 2.4 Projektivna geometrija Projektivno geometrijo dobimo iz afine tako, da vsaki množici vzporednih premic v afini geometriji dodamo točko "na obzorju", to je točka v neskončnosti. Točka v neskončnosti je točka, v kateri se sekajo vse družine paroma vzporednih premic. Tako se vse vzporedne premice sekajo v novo dodani točki na obzorju. V projektivni ravnini se tako poljubni premici sekata v natanko eni točki. Definicija. Naj bo V končnorazsežen vektorski prostor nad obsegom O. Množica vseh vektorskih podprostorov v V se imenuje projektivna geometrija P (V ) nad V. Enorazsežne podprostore imenujemo točke projektivne geometrije, dvorazsežne projektivne premice, vektorske podprostore korazsežnosti 1 pa imenujemo projektivne hiperravnine. Projektivni prostor P V je množica vseh točk projektivne geometrije P (V ) 4
15 2.4.1 Vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo Lema 2.2. Naj bo ã : A(A) P (V ) standardna vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo. Za vsak x + U A(A) je ã(x + U) W = U. Posledica 2.3. Naj bo ã : A(A) P (V ) standardna vložitev afine ravnine v projektivno ravnino. Različni premici p in q v afini ravnini A sta vzporedni natanko tedaj,ko se l(p) in q sekata v točki v neskončnosti. Posledica 2.3 je za nas bistvenega pomena, saj bomo lahko prevzeli, da se vzporedne premice v slikovni ravnini sekajo v skupni točki, in sicer v točki v neskončnosti. Dokaz. Naj bosta U p in U q vektorska podprostora v W in naj bosta x, y V, da velja p = x + U p in q = y + U q. Ker sta p in q afini premici, velja dimu p = dimu q = 1. Če sta premici p in q vzporedni, potem velja U p = U q = U. Tedaj sta l(p) = Lin{x} U in l(q) = Lin{y} U različni ravnini v troraszežnem prostoru, zato je njun presek enorazsežen podprostor v V. Jasno je potem l(p) l(q) = U. Ker je U < W, je presek U točka v neskončnosti. Denimo obratno, da se l(p) in l(q) sekata v točki v neskončnosti. Torej obstaja U < W razsežnosti 1, da je l(p) l(q) = U. Po lemi 2.2 je l(p) W = Up. Ker je U < l(p) in U < W, je U < l(p) W = U p. Ker je dimu = dimu p, je U = U p. Enako sklepamo, da je U = U q. Sledi U p = U q, torej sta afini premici p in q vzporedni. 5
16 3 Talesovi izreki Pri nekaterih dokazih za podobne trikotnike bom uporabil naslednja Talesova izreka. Izrek 3.1 (1. Talesov izrek). Če vzporednici sekata kraka kota, sta dolžini odsekov na enem kraku kota v enakem razmerju kot dolžini istoležnih odsekov na drugem kraku. a 2 : a 1 = b 2 : b 1 Slika 1: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 in c 2. 6
17 Izrek 3.2 (2. Talesov izrek). Če vzporednici sekata kraka kota, sta dolžini odsekov na enem kraku v enakem razmerju kot dolžini istoležnih odsekov na vzporednicah. a 2 : a 1 = c 2 : c 1 b 2 : b 1 = c 2 : c 1 Slika 2: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1 in b 2. 7
18 4 Določanje položaja kamere Trditev 4.1. Če je bila fotografija pravokotnega telesa oziroma prizme zajeta z vodoravno postavljeno camero obscuro, ima naslednje razdalje (Slika 3) a, b, c, d in e, Slika 3: Shema za razdaljami na fotografiji a, b, c, d in e. potem je bila kamera postavljena levo od B v smeri od C proti B in pred B, kjer sta BC in AB dejanske mere zgradbe. Enačbo (1) in enačbo (2) bomo dokazali v nadaljevanju. dc BC (1) d(b c) + e(b a) ae AB (2) d(b c) + e(b a) 4.1 Ozadje postopka Predpostavka je, da je naša kamera camera obscura in da kamera ni digitalna, pač pa uporablja film in je vodoravno postavljena glede na podlago. Pod temi pogoji oziroma predpostavkami, je slika na negativu enaka, kot če bi projicirali tridimenzionalen svet na ravnino, kar bomo poimenovali slikovna ravnina, na kateri bodo ravne črte povezovale objekt z opazovalčevim očesom. 8
19 Slika 4: Prikaz projiciranja objekta na slikovno ravnino. Edina razlika s camero obscuro je, da je na filmu slika zrcaljena preko točke (v našem primeru preko očesa) in je obrnjena navzdol ter zamaknjena v desno. Potrebovali bomo še nekaj elementarnih dejstev, ki bodo definirali našo projekcijo. Trditev 4.2. Dve premici, ki sta vzporedni med seboj in glede na tla, nista pa vzporedni na slikovni ravnini, se stikata oziroma sekata v eni sami točki v slikovni ravnini, ki jo bomo poimenovali stičišče množice vzporednih črt oziroma točka v neskončnosti. Slika 5: Vzporedne črte, ki niso vzporedne v slikovni ravnini, se sekajo v točki v neskončnosti. Predstavljajte si množico ravnin, kjer vsaka poteka skozi oko in eno izmed vzporednih črt, katerih nosilke ne gredo skozi oko. Potem se ravnine sekajo v premici, ki se v slikovni ravnini stika v stičišču oziroma točki v neskončnosti. 9
20 Slika 6: Vse točke ležijo na vodoravni premici - horizont. Vse točke, ki ležijo na odebeljenih daljicah (na shemi), in tudi točka v neskončnosti ležijo na eni sami vodoravni črti, ki ji bomo rekli horizont oziroma obzorje. Trditev 4.3. Črte, ki so v resničnosti med seboj vzporedne in so tudi vzporedne s slikovno ravnino, so tudi vzporedne, ko jih projiciramo na slikovno ravnino. Slika 7: Vzporedne daljice, ki so vzporedne s slikovno ravnino, so vzporedne tudi v slikovni ravnini. Iz tega sledi, da so resnične vodoravne daljice vzporedne s slikovno ravnino projicirane v vodoravnice oziroma horizontalne daljice. 10
21 Trditev 4.4. Prav tako se ohranjajo tudi razmerja med vzporednimi daljicami, ko jih projiciramo na slikovno ravnino. Na sliki 8 je to prikazano, in sicer velja X Y = x y. Najprej si poglejmo Talesov izrek, s katerim bomo dokazali razmerja med daljicami v resničnosti in v slikovni ravnini. Izrek 4.5 (Talesov izrek). Če množico premic, ki se sekajo v eni točki, sekamo z množico vzporednic, je razmerje odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov na katerikoli premici istega šopa. Dokaz. Razmerje X Y se ohranja, saj se po Talesovem izreku ohranjajo razmerja odsekov. Torej navpična črta med X in Y ter x in y po Talesovem izreku ohranja razmerje. Slika 8: Razmerje X:Y na fotografiji in razmerje x:y v slikovni ravnini. Trditev 4.6. Črte na tleh, ki objekt povezujejo z opazovalcem, se na slikovni ravnini pojavljajo kot navpičnice. Predstavljajmo si ravnino, ki vsebuje oko fotografa in črte, ki vodijo do fotografovega očesa. 11
22 Slika 9: Črte, ki objekt povezujejo z opazovalcem. Ta ravnina je usmerjena navpično in slikovno ravnino seka v navpični premici. Velja tudi obrat Trditve 4.6: premice v ravnini tal, katerih projekcije so navpične, so povezane s fotografovimi očmi. 4.2 Postopek določanja položaja kamere Postopek določanja je enak, kot so ga opisali v matematični reviji [1]. Dodane so še ostale izpeljave, da je bralcem lažje razumljivo, kako smo prišli do rezultata, in nekaj pojasnil. V reviji so se postopka lotili s fotografijo John M. Greene Hall at Smith College (avtor Edgar Scott), ki je bila posneta okoli leta Ker je zgradba dokaj zapleteno telo, poiščemo na zgradbi pravokotno telo, ki je primerno za analizo. 12
23 Slika 10: Fotografija John M. Greene Hall at Smith College [1]. To sliko bomo poimenovali shema. Slika 11: Shema dela fotografije za analizo. Shema ustreza tlorisu (Slika 12), kjer je BC sprednji del zgradbe, P pa označuje mesto fotografa. 13
24 Slika 12: Tloris sheme. Naša naloga je izračunati razdalje IB in JB. Najprej bomo izračunali IB, nato pa bomo izračunali oziroma izrazili še JB. Naš namen je izraziti IB BC z različnimi dolžinami a, b, c, d in e v slikovni ravnini. Predpostavljamo, da lahko izmerimo BC, potem pa tolikokrat množimo z razmerjem, da dobimo IB. Da bo dokaz lažje razumljiv, bomo postopek pokazali na shemi s koti: 14
25 Slika 13: Shema. Začeli bomo s podaljšanjem EF in AB na shemi, da bomo določili pozicijo levega stičišča V, ki je točka v neskončnosti. Potem opazimo, da je PI iz tlorisa vzporeden AB.Po Trditvi 4.2 gre na shemi skozi stičišče V. Po Trditvi 4.6 je ta slika navpična, ker gre skozi fotografovo oko, zato je točka I presečišče te navpičnice in podaljšane daljice BC. Slika 14: Točka v neskončnosti V in točka I. Sedaj na tlorisu sheme dodamo vodoravnico skozi B, ki je vzporedna slikovni ravnini, daljici PI in DC pa podaljšamo, da sekata to vodoravnico. Na tlorisu to zgleda takole (Slika 15): 15
26 Slika 15: Točka P - položaj kamere ob zajetju fotografije. Po Trditvi 4.2, so te daljice in premice vzporedne tudi na shemi. Iz tlorisa je torej daljica CL vzporedna AB in PI, torej gre tudi skozi stičišče vzporednic oziroma skozi točko v neskončnosti V. Slika 16: Premica skozi točki C in L poteka skozi točko v neskončnosti V. 16
27 Za lažjo predstavo bomo kote označili takole (Slika 17): Slika 17: Tloris sheme z označenimi koti. kot α = IBK (z vrhom v B), kot β = BKI (z vrhom v K), kot γ = BIK (z vrhom v I), kot α 1 = CBL (z vrhom v B), kot β 1 = BLC (z vrhom v L), kot γ 1 = BCL (z vrhom v C). Ker za trikotnika KIB in LCB (Slika 17) velja: α = α 1 (kot ob prečnici), β = β 1 (kot ob prečnici, saj KI CL), γ = γ 1 (če sta dva para kotov skladna, je skladen tudi tretji par), 17
28 sta trikotnika KIB LCB podobna trikotnika. Iz podobnosti trikotnikov KIB LCB dobimo (Slika 17): IB BC = KB BL. Po Trditvi 4.4 so razmerja enaka razmerju v slikovni ravnini r s. Slika 18: Razmerje r:s. Da določimo r, dodamo dve vodoravni daljici: daljico CN in daljico VH (Slika 19). Na- s tančneje si pogledamo spodnji del nastale slike. Slika 19: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V. Po 1. in 2. Talesovem izreku o posameznih odsekih lahko trdimo, da sta trikotnika V LK in V CN podobna (slika 18), saj po 1. Talesovem izreku velja V N : V K = V C : V L, po 2. Talesovem izreku pa velja V N : V K = NC : KL oziroma V C : V L = NC : KL, torej sta dana trikotnika podobna. 18
29 Iz podobnosti trikotnikov V LK V CN lahko izrazimo: r + s b = r + e c. (3) Enačbo (3) pomnožimo z b c in dobimo: izrazimo sc in dobimo: Nato enačbo delimo še z c r : Razmerje s r zapišemo kot razmerje r s rc + sc + = rb + eb, sc = b r + b e c r. c r s r = b r + b e c r c r r s = in dobimo: c r b r + b e c r. (4) Enako, kot smo prej trdili, da sta trikotnika V LK in V CN podobna, lahko s pomočjo Talesovih izrekov trdimo tudi, da sta podobna trikotnika V JB in V HA, saj po 1. Talesovem izreku dobimo enakost V H : V J = V A : V B, po 2. Talesovem izreku pa dobimo še enakost V H : V J = AH : BJ oziroma V A : V B = AH : BJ. Vsi istoležni odseki so torej v sorazmerju in zato sta trikotnika V LK in V CN podobna. Iz podobnosti trikotnikov V JB V HA lahko izrazimo r b = r d a. (5) Sedaj bomo iz enačbe (5) eksplicitno izrazili r. Najprej enačbo (5) pomnožimo z b a in dobimo nato pa odštejemo rb, da dobimo ra = rb b d, ra rb = b d. Izpostavimo r r(a b ) = b d 19
30 in dobljeno enačbo delimo z a b : To enačbo lahko preoblikujemo v b d r = a b. r = Enačbo (6) vstavimo v enačbo (4) in dobimo: r s = c b d b a b b d + b b a e c b d b a. (6). b d b a Nato v imenovalcu damo vse ulomke na skupni ulomek: c b d b a b b d + b b e b a e b a b a. c b d b a Ko razrešimo dvojni ulomek, ugotovimo, da se člen (b a ) krajša in nam ostane c b d b b d + b b e b a e c b d, kjer lahko izpostavimo in krajšamo b, da na koncu dobimo r s = c d b d + b e a e c d. (7) Rekli smo, da bomo razmerje izrazili z a,b, c, d in e. To lahko zopet naredimo s pomočjo podobnih trikotnikov in dobimo (Slika 20): Slika 20: Podobni trikotniki - a, b in c izrazimo z a, b in c. Iz tega sledi a b = x x + d = a b in c b = y y + e = c b. a a = b b = c c. (8) 20
31 Po pravilu, da se ulomek ne spremeni, če števec in imenovalec množimo z istim številom, lahko števec in imenovalec množimo z a a, b b Najprej v enačbi (7) števec in imenovalec pomnožimo z a a IB BC = r s = Naš namen je izraziti razmerje r s ali c c, saj so po enačbi (8) razmerja enaka. a c d a in dobimo a b a d + a b a e e a a a a c a d. z a, b, c, d in e, zato bomo z uporabo enačbe (8) krajšali člene a, b in c. Z enakostjo razmerij iz enačbe 8 preuredimo dobljeno enačbo in dobimo Okrajšamo ulomke in dobimo r s = c c d c b b b d + b b b e e a a a c c c d. IB BC = r s = cd d(b c) + e(b a) (9) S tem smo dokazali veljavnost enačbe (1). Sedaj na podoben način razrešimo še enačbo BJ. Poglejmo si najprej novo shemo, ki AB ustreza izračunu BJ AB. Slika 21: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V. 21
32 Poglejmo si trikotnika V KL V NA. Po 1. in 2. Talesovem izreku o posameznih odsekih lahko trdimo, da sta trikotnika V KL in V NA podobna (Slika 21), saj po 1. Talesovem izreku velja V N : V K = V A : V L, po 2. Talesovem izreku pa velja V N : V K = NA : KL oziroma V A : V L = NA : KL, torej sta dana trikotnika podobna. Tokrat iz podobnosti trikotnikov V KL V NA dobimo: r + s b = s + d a. Izrazimo tokrat razmerje s r (ker je drugačna shema) in dobimo r + s b = s + d a ra + sa = sb + db ra = sb + db sa r s = sb + db sa sa. Na koncu dobimo s r = sa sb + db sa. (10) Vidimo, da sta trikotnika V CQ in V BP podobna, saj po 1. Talesovem izreku velja V C : V B = V Q : V P, po 2. Talesovem izreku pa velja se V C : V B = V Q : V P = c : b. Iz podobnosti trikotnikov V CQ V BP dobimo s = s e sc = sb eb sb sc = eb s = eb b c b c. Dobili smo torej enačbo za naš s, ki se glasi: s = Enačbo (11) vstavimo v enačbo (10) in dobimo s r = a eb b c b b e + b b c d a eb b c. (11). b e b c Nato v imenovalcu damo vse ulomke na skupni ulomek: a eb b c b b e + b b d c b d b c b c a b e Ko razrešimo dvojni ulomek, ugotovimo da se člen (b c ) krajša in nam ostane b c a eb b b e + b b d c b d eb a. 22
33 Izpostavimo člen b in krajšamo, da dobimo a e b e + b d c d a e. (12) Sedaj lahko enačbo (12) poenostavimo s pomočjo enačbe (8) in dobimo BJ AB = ae d(b c) + e(b a). (13) Dokazali smo enačbo (2), torej smo dokazali obe enačbi, ki nam določata položaj fotoaparata. Zadnja naloga, ki jo moramo še narediti pri določanju položaja kamere, je njena višina. To bomo naredili na zelo preprost način, in sicer bomo samo pogledali, kje horizont seka fotografijo. Višina kamere je višina te premice, ki se pojavlja nasproti zgradbe na fotografiji. Slika 22: Določanje višine kamere ob zajetju fotografije.[1] 23
34 5 Praktični del Postopek, ki sem ga prevzel po Byersu, sem preveril še praktično. Najprej sem preveril z manjšo škatlo, ki jo je bilo lahko izmeriti. Za začetek sem kamero položil na tla, torej naj bi bila višina kamere enaka 0 cm, kar pa seveda ni res, saj višino določa leča in ne ohišje fotoaparata. Dejanska višina je bila enaka višini središča leče, kar je bilo 3 cm. 5.1 Mala škatla pravokotne oblike Na tla sem postavil škatlo kartonske oblike in jo fotografiral na oddaljenosti 85 cm, kar se vidi na spodnji fotografiji. Slika 23: Črna škatla pravokotne oblike. Nato sem v programu Photoshop na fotografiji označil shemo, s katero sem analiziral fotografijo po prej omenjenem postopku. Slika 24: Črna škatla pravokotne oblike s shemo. Nato sem s pomočjo orodja "Ruler" izmeril dolžine a, b, c, d in e na fotografiji v pikslih. a = 93 px b = 104 px c = 85 px d = 155 px e = 250, 45 px 24
35 Izmeril sem tudi dimenzije škatle, in sicer višina škatle je bila enaka 5 cm, širina (krajša) 12 cm in dolžina (daljša) 20 cm. Ko sem izmeril vse potrebno na fotografiji in škatlo, sem se lotil računanja položaja kamere po enačbah 1 in 2. Enota piksel se eliminira (ulomek), zato jih pri izračunu nisem zapisal. BI = dc d(b c) + e(b a) BC = cm = 155(104 85) + 250, 45(104 93) = = 43, 248 cm 6463, 55 Nato sem izračunal še dolžino vektorja BJ. ae BJ = d(b c) + e(b a) AB = , cm = 155(104 85) + 250, 45(104 93) 23291, 85 = 12 = 72, 071 cm 6463, 55 Dobil sem dolžini vektorjev BI in BJ, s pomočjo katerih sem določil pozicijo kamere P, kar je razvidno na Sliki 12. Vidimo, da gre za enaka pravokotna trikotnika BIP in BJP, torej lahko razdaljo BP izračunamo po Pitagorovem izreku. BP = BI 2 + BJ 2 = (43, 248) 2 + (72, 071) 2 = 7064, 618 = 84, 1 cm Kot vidimo, se dobljeni rezultat ujema z dejansko postavitvijo kamere, saj je bila kamera oddaljena 85 cm. Izračunana oddaljenost torej odstopa od dejanske za 1 cm. Sam postopek merjenja dolžin na fotografiji v pikslih je zelo zahteven in v neprofesionalnih programih, dostopnih na osebnem računalniku, je zelo težko določiti do nekaj milimetrov natančno. Preveril sem še višino kamere ob zajetju fotografije. Višino sem določil tako, kot sem opisal v teoretičnem delu in je vidno na spodnji sliki. Dejanska fotografija, na kateri sem določil višino, je bila zaradi dolžine zelenih premic prevelika, da bi jo lahko vključil v diplomsko delo. Ko sem dobil presečišča, sem skozi njiju narisal vodoravno premico. Nato sem izmeril razdaljo od horizonta do premice skozi presečišči, in sicer 62 pikslov. Nato sem teh 62 pikslov s pomočjo znane višine škatle v realnosti in na fotografiji, pretvoril v višino položaja kamere v centimetrih. 62 px h = px 5 cm
36 Slika 25: Prikazano je, kako sem podaljšal daljice, da sem dobil presečišče s horizontom (zelene črte). Preuredim enačbo in dobim h = 62 px 5 cm 104 px = 3 cm. Čeprav je bila kamera na tleh, je 3 cm pravilen rezultat, saj je sredina leče fotoaparata ravno 3 cm nad tlemi. Tako sem dobil položaj fotoaparata ob zajetju fotografije. 26
37 6 Zaključek Pri opisanem postopku je velik problem, da je pri nekaterih fotografijah težko najti primeren del zgradbe oziroma objekta za analizo. Prav tako je težko izmeriti samo zgradbo in fotografijo. Potrebno je imeti dobro opremo, s katero se da natančno izmeriti potrebne podatke. Da bi preveril, kolikšna je napaka pri merjenju pikslov, me je zanimala odvisnost od dveh spremenljivk. Za lažjo primerjavo, so vse meritve podane v obliki koliko metrov oziroma kolikšen del metra predstavlja 1 piksel. Najprej sem predpostavil, da na napako vpliva resolucija fotografije, zato sem isti objekt fotografiral na isti razdalji z različnimi resolucijami. Predpostavil sem tudi, in kar je za nas najpomembnejše, da na velikost napake vpliva tudi razdalja fotoaparata od samega objekta. Meritve sem vpisal v tabelo in narisal tudi graf. 6.1 Napaka odvisna od resolucije fotografije Okno širine 1, 07 m sem fotografiral trikrat z različnimi resolucijami, in sicer , in , na isti oddaljenosti, in sicer 10 m. V Photoshopu sem izmeril velikost okna v pikslih in pretvoril vse meritve v velikost 1 piksla v metrih, kar je razvidno v spodnji tabeli. Velikost 1 piksla v metrih , 022 m 0, 0054 m 0, 0027 m Tabela 1: Velikost 1 piksla v metrih pri različnih resolucijah. Kot vidimo, je velikost 1 piksla v metrih odvisna od resolucije. Več slikovnih točk ima fotografija, manjša je vrednost 1 piksla v metrih, kar posledično pomeni manjšo napako. Da zmanjšamo napako, izberemo največjo možno resolucijo fotografije. 6.2 Napaka odvisna od oddaljenosti fotoaparata Za nas pomembnejša pa je napaka, odvisna od oddaljenosti fotoaparata od objekta, saj zgradbe fotografiramo na večji oddaljenosti, da zajamemo v objektiv celotno zgradbo. 27
38 Tokrat sem isto okno fotografiral iz treh različnih lokacij, in sicer na oddaljenosti 2, 5 m, 5 m in 10 m. Za samo primerjavo sem postopek ponovil pri dveh različnih resolucijah, in sicer in , kar je razvidno v spodnjih dveh tabelah. Velikost 1 piksla v metrih , 5 m 5 m 10 m 0, 0013 m 0, 0027 m 0, 0054 m Tabela 2: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata. Velikost 1 piksla v metrih , 5 m 5 m 10 m 0, m 0, 0014 m 0, 0027 m Tabela 3: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata. Za lažjo predstavo si poglejmo dane podatke še v obliki grafov. 28
39 Slika 26: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje ( ). Slika 27: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje ( ). Kot je razvidno iz grafov, z oddaljenostjo narašča tudi vrednost 1 piksla v metrih, torej se z oddaljenostjo fotoaparata povečuje tudi napaka pri merjenju razdalj. Ker je graf linearen, lahko zapišemo enačbo za izračun vrednosti 1 piksla v metrih v 1 za poljubno 29
40 razdaljo pri resoluciji : v 1 = d 1, (14) kjer je d 1 oddaljenost fotoaparata od objekta in vrednost v 2 za resolucijo ( ) v 2 = d 2, (15) kjer je d 2 oddaljenost fotoaparata od objekta. Za zakjuček si poglejmo še, kaj to pomeni pri samem merjenju fotografije v pikslih. Po enačbah (14) in (15) dobimo, da napaka pri merjenju za 1 piksel, na zajeti fotografiji na oddaljenosti 10 m, pomeni 5 cm pri resoluciji in 2, 7 cm pri resoluciji , kar pomeni v prvem primeru 5 % napako in v drugem 2, 7 %. 5 cm oziroma 2, 7 cm se ne zdi veliko vendar je pri zgradbi dolžine 50 m to že 2, 5 m in 1, 35 m, kar pa že spremeni samo lokacijo. Vidimo torej, da moramo biti pri merjenju fotografij na računalniku zelo pozorni, saj hitro naredimo napako v vrednosti nekaj pikslov. 30
41 Literatura [1] Byers, K. M., Henle, J. M.(Oktober 2004). Where the Camera Was. Mathematics Magazine, Vol. 77, No. 4, pp Mathematical Association of America. Pridobljeno , s [2] Crannell, A. (Oktober 2006). Where the Camera Was, Take Two. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 4, pp Mathematical Association of America. Pridobljeno , s [3] Robin A. C. (Junij 1978). Photomeasurement. The Mathematical Gazette, No. 420, pp The Mathematical Association. Pridobljeno , s [4] Pedagoška fakulteta, Cencelj, M. Pridobljeno , s [5] Fakulteta za matematiko in fiziko, Vavpetič A. Pridobljeno , s 31
42 Kazalo slik Slika 1: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 in c Slika 2: Razmerje odsekov a 1, a 2, b 1 in b Slika 3: Shema za razdaljami na fotografiji a, b, c, d in e Slika 4: Prikaz projiciranja objekta na slikovno ravnino Slika 5: Vzporedne črte, ki niso vzporedne v slikovni ravnini, se sekajo v točki v neskončnosti Slika 6: Vse točke ležijo na vodoravni premici - horizont Slika 7: Vzporedne daljice, ki so vzporedne s slikovno ravnino, so vzporedne tudi v slikovni ravnini Slika 8: Razmerje X:Y na fotografiji in razmerje x:y v slikovni ravnini Slika 9: Črte, ki objekt povezujejo z opazovalcem Slika 10: Fotografija John M. Greene Hall at Smith College [1] Slika 11: Shema dela fotografije za analizo Slika 12: Tloris sheme Slika 13: Shema Slika 14: Točka v neskončnosti V in točka I Slika 15: Točka P - položaj kamere ob zajetju fotografije Slika 16: Premica skozi točki C in L poteka skozi točko v neskončnosti V Slika 17: Tloris sheme z označenimi koti Slika 18: Razmerje r:s Slika 19: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V Slika 20: Podobni trikotniki - a, b in c izrazimo z a, b in c Slika 21: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V Slika 22: Določanje višine kamere ob zajetju fotografije.[1] Slika 23: Črna škatla pravokotne oblike Slika 24: Črna škatla pravokotne oblike s shemo Slika 25: Prikazano je, kako sem podaljšal daljice, da sem dobil presečišče s horizontom (zelene črte) Slika 26: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje ( ). 29 Slika 27: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje ( )
43 Seznam tabel Tabela 1: Velikost 1 piksla v metrih pri različnih resolucijah Tabela 2: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata.. 28 Tabela 3: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC
UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV
More informationReševanje problemov in algoritmi
Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationProblem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationNIKJER-NIČELNI PRETOKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationLinearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani
Linearna algebra Bojan Orel 07 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5.64(075.8) OREL, Bojan Linearna
More informationPOLDIREKTNI PRODUKT GRUP
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationSLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationHipohamiltonovi grafi
Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO DIJANA MILINKOVIĆ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA študijski program: matematika - fizika Elipsa skozi zgodovino DIPLOMSKO DELO Mentor:
More informationIzvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Izvajanje geometrijskih konstrukcij v osnovni šoli DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Zlatan Magajna Kandidatka: Nina Gros
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski
More informationFRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA BLAŽKA RIOSA ZVEZDASTI MNOGOKOTNIKI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ BLAŽKA RIOSA Mentor: dr. Matija
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ VERONIKA MIHELAK MENTOR: izr. prof.
More informationMultipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R
Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne
More informationMatej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationCveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK
Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji
More informationDELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationHadamardove matrike in misija Mariner 9
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationSIMETRIČNI BICIRKULANTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA GORAZD VASILJEVIĆ SIMETRIČNI BICIRKULANTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:
More informationIntervalske Bézierove krivulje in ploskve
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
More informationAna Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja Ana Mlinar Fulereni Delo diplomskega seminarja Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana, 2011 Kazalo 1. Uvod 4 2.
More informationEulerjevi in Hamiltonovi grafi
Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje
More informationAttempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia
Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued
More informationKode za popravljanje napak
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE KOPER MATEMATIČNE ZNANOSTI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM 2. STOPNJE Aljaž Slivnik Kode za popravljanje napak Magistrska
More informationSIMETRIČNE KOMPONENTE
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,
More informationNeli Blagus. Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Neli Blagus Iterativni funkcijski sistemi in konstrukcija fraktalov DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentorica:
More informationLinearna regresija. Poglavje 4
Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening
More informationJernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU
More informationCălugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik 26.
More informationUSING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY OF SPECTRAL PROCESSING SOFTWARE IN REDUCING THE NOISE IN AUGER ELECTRON SPECTRA
UDK 543.428.2:544.171.7 ISSN 1580-2949 Original scientific article/izvirni znanstveni ~lanek MTAEC9, 49(3)435(2015) B. PONIKU et al.: USING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY... USING SIMULATED SPECTRA
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski
More informationLokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Iztok Oder Lokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO MAJA OSTERMAN UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Fibonaccijevo zaporedje in krožna konstanta
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationTopološka obdelava slik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Matjaž Cerar Topološka obdelava slik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJ RAČUNALNIŠTVA
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO Rok Erman BARVANJA RAVNINSKIH IN SORODNIH DRUŽIN GRAFOV Doktorska disertacija MENTOR: prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana,
More informationSVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev
Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Uporaba logistične regresije za napovedovanje razreda, ko je število enot v preučevanih razredih
More informationMECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL
original scientific article UDC: 796.4 received: 2011-05-03 MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL Pietro Enrico DI PRAMPERO University of Udine, Department of Biomedical
More informationEvolucija dinamike Zemljine precesije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko oddelek za fiziko Evolucija dinamike Zemljine precesije Avtor: Ivo Krajnik Ljubljana, 15. marec 2011 Povzetek Bistvo tega seminarja je v sklopu klasične
More informationUSING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE SHOT PUT ANALYSIS. Matej Supej* Milan Čoh
Kinesiologia Slovenica, 14, 3, 5 14 (28) Faculty of Sport, University of Ljubljana, ISSN 1318-2269 5 Matej Supej* Milan Čoh USING THE DIRECTION OF THE SHOULDER S ROTATION ANGLE AS AN ABSCISSA AXIS IN COMPARATIVE
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness
More informationUniverza na Primorskem. Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije. Zaznavanje gibov. Zaključna naloga
Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Boštjan Markežič Zaznavanje gibov Zaključna naloga Koper, september 2011 Mentor: doc. dr. Peter Rogelj Kazalo Slovarček
More informationSolutions. Name and surname: Instructions
Uiversity of Ljubljaa, Faculty of Ecoomics Quatitative fiace ad actuarial sciece Probability ad statistics Writte examiatio September 4 th, 217 Name ad surame: Istructios Read the problems carefull before
More informationDetermining the Leakage Flow through Water Turbines and Inlet- Water Gate in the Doblar 2 Hydro Power Plant
Elektrotehniški vestnik 77(4): 39-44, 010 Electrotechnical Review: Ljubljana, Slovenija Določanje puščanja vodnih turbin in predturbinskih zapornic v hidroelektrarni Doblar Miha Leban 1, Rajko Volk 1,
More informationSimulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink
Laboratorijske vaje Računalniška simulacija 2012/13 1. laboratorijska vaja Simulacija dinamičnih sistemov s pomočjo osnovnih funkcij orodij MATLAB in Simulink Pri tej laboratorijski vaji boste spoznali
More informationDOMINACIJSKO TEVILO GRAFA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011
More informationHiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika Hiperbolične funkcije DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Teja Bergant
More informationENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,
More informationENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,
More informationVerifikacija napovedi padavin
Oddelek za Meteorologijo Seminar: 4. letnik - univerzitetni program Verifikacija napovedi padavin Avtor: Matic Šavli Mentor: doc. dr. Nedjeljka Žagar 26. februar 2012 Povzetek Pojem verifikacije je v meteorologiji
More informationJERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko
. ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko
More informationOPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi
OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih
More informationA realistic estimate of the accuracy of position measurements of characteristic terrain points via the RTK-GPS method
RMZ Materials and Geoenironment, Vol. 54, No. 4, pp. 529543, 2007 529 A realistic estimate of the accuracy of position measurements of characteristic terrain points ia the RTKGPS method Realna ocena natančnosti
More informationNaloge iz LA T EXa : 3. del
Naloge iz LA T EXa : 3. del 1. V besedilo vklju ite naslednjo tabelo skupaj z napisom Kontrolna naloga Dijak 1 2 Povpre je Janko 67 72 70.5 Metka 72 67 70.5 Povpre je 70.5 70.5 Tabela 1: Rezultati kontrolnih
More informationCalculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 59, No. 4, pp. 331 346, 2012 331 Calculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours Določitev
More informationPredmet: Seminar Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani MAVRICA Predmet: Seminar 2011 Avtor: Matic Pirc Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Profesorja: dr. Martin Čopič in dr. Igor Poberaj Brežice, 29.4.2011
More informationLinearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe
Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija
More informationInterpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1
Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami Emil Žagar 22. november 200 Skriptajevnastajanju,zatojegotovopolnanapak. Hvaleˇzenbomzavse pripombe. Iskanje napak je obenem del učnega procesa pri
More informationPOZOR - V IZDELAVI (ZV)!!!
Relativnost in vesolje, nekaj primerov POZOR - V IZDELAVI (ZV)!!! 2016-03-28/2016-04-03/2016-09-18/2016-09-23/2016-09-26/2017-11- 27/2017-12-04/2017-12-26/2017-12-27/2017-12-28/2017-12-30/2018-01-01/2018-01-14/2018-01-16/2018-04-13/2018-05-03/
More informationRazpoznavanje znakov prstne abecede na osnovi računalniškega vida
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Grega Kres Razpoznavanje znakov prstne abecede na osnovi računalniškega vida diplomsko delo na visokošolskem strokovnem študiju doc. dr. Iztok
More informationDIOFANTSKE ČETVERICE
Fakulteta za aravoslovje i matematiko Oddelek za matematiko i račualištvo Diplomsko delo DIOFANTSKE ČETVERICE Metor: Doc. dr. Daiel Eremita Kadidatka: Jožica Špec Maribor 009 II ZAHVALA Zahvaljujem se
More informationTEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA
TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Statistika Statistics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika First cycle academic
More information56 1 Upogib z osno silo
56 1 Upogib z osno silo PREGLEDNICA 1.5 (nadaljevanje): Upogibnice in notranje sile za nekatere nosilce d) Upogibnica prostoležečega nosilca obteženega s silo F Pomik in zasuk v polju 1: w 1 = F b x (L
More informationModeli dinamičnega vzgona letalskih kril. Drugi del.
Modeli dinamičnega vzgona letalskih kril. Drugi del. Sašo Knez in Rudolf Podgornik Oddelek za fiziko, Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani Povzetek V drugem delu tega članka se bova posvetila
More informationDejan ŽELEZNIK, Sebastijan SEME, Primož TRUČL, Jože VORŠIČ
22. posvetovanje "KOMUNALNA ENERGETIKA / POWER ENGINEERING", Maribor, 2013 1 PRIMERJAVA IZRAČUNA SENČENJA SONČNE ELEKTRARNE Z MERITVAMI Dejan ŽELEZNIK, Sebastijan SEME, Primož TRUČL, Jože VORŠIČ POVZETEK
More informationOA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION
OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION Table of contents 1 TECHNICAL FIELDS... 2 2 PRESENTING THE SCOPE OF A CALIBRATION LABOORATORY... 2 3 CONSIDERING CHANGES TO SCOPES... 6 4 CHANGES WITH
More informationIzbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij
Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 123.45(678)(9.012.3) Izbrana
More informationOPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ORGANIZACIJSKE VEDE Smer: organizacijska informatika OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV Mentor: doc. dr. Igor Bernik Kandidat: Matjaž Lipovšek Kranj, december 2005 Izjava: "Študent
More informationStatistika 2 z računalniško analizo podatkov. Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela 1 Predpostavke regresijskega modela (ponovitev) V regresijskem modelu navadno privzamemo naslednje pogoje:
More informationAssessment of surface deformation with simultaneous adjustment with several epochs of leveling networks by using nd relative pedaloid
RMZ - Materials and Geoenvironment, Vol. 53, No. 3, pp. 315-321, 2006 315 Assessment of surface deformation with simultaneous adjustment with several epochs of leveling networks by using nd relative pedaloid
More informationMeritve Casimirjevega efekta z nanomembranami
Oddelek za fiziko Seminar a -. letnik, II. stopnja Meritve Casimirjevega efekta z nanomembranami avtor: Žiga Kos mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Ljubljana, 29. januar 203 Povzetek V tem seminarju bo
More informationParticija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez
Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Matemati ne znanosti - 2. stopnja Peter Mur²i Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez Magistrsko
More informationASTRONOMSKA NAVIGACIJA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo SATELITSKA GEODEZIJA IN NAVIGACIJA ASTRONOMSKA NAVIGACIJA (Seminarska naloga) Ljubljana, 04.01.2013 Rok Cedilnik KAZALO 1 UVOD... 1 2 ELEMENTI
More informationTrije klasični problemi grške geometrije
Trije klasični problemi grške geometrije Milan Hladnik Predavanja iz zgodovine matematike FMF, Univerza v Ljubljani 17. oktober 2012 Grčija v 5. stoletju pnš. Perzijci sredi 6. stoletja zasedli Malo Azijo,
More informationUporaba preglednic za obdelavo podatkov
Uporaba preglednic za obdelavo podatkov B. Golli, PeF Pedagoška fakulteta UL Ljubljana 2012 Kazalo 1 Uvod 1 2 Zgled iz kinematike 2 2.1 Izračun hitrosti................................... 2 2.2 Izračun
More informationOgrodja prostorskih parametričnih krivulj
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Marko Černe Ogrodja prostorskih parametričnih krivulj DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM
More informationZgoščevanje podatkov
Zgoščevanje podatkov Pojem zgoščevanje podatkov vključuje tehnike kodiranja, ki omogočajo skrajšan zapis neke datoteke. Poznan program za zgoščevanje datotek je WinZip. Podatke je smiselno zgostiti v primeru
More informationVrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih
Elektrotehniški vestnik 71(1-2): 13 19, 2004 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Vrednotenje gibov in kretenj roke kot vhodne naprave za komunikacijo človek stroj v navideznih okoljih Peter Rulić,
More informationDistance reduction with the use of UDF and Mathematica. Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 54, No. 2, pp. 265-286, 2007 265 Distance reduction with the use of UDF and Mathematica Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
More informationSTATIČNA STABILNOST JADRNICE
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA BLAŽ URŠIČ STATIČNA STABILNOST JADRNICE DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: FIZIKA - TEHNIKA BLAŽ URŠIČ
More informationMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija
More information2 Zaznavanje registrske tablice
Razpoznavanje avtomobilskih registrskih tablic z uporabo nevronskih mrež Matej Kseneman doc. dr. Peter Planinšič, mag. Tomaž Romih, doc. dr. Dušan Gleich (mentorji) Univerza v Mariboru, Laboratorij za
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationIzmenični signali moč (17)
Izenicni_signali_MOC(17c).doc 1/7 8.5.007 Izenični signali oč (17) Zania nas potek trenutne oči v linearne dvopolne (dve zunanji sponki) vezju, kjer je napetost na zunanjih sponkah enaka u = U sin( ωt),
More information