Rješavanje problema minimalnog pokrivanja lokacija primjenom različitih operatora selekcije genetskog algoritma

Transcription

1 IFOTEH-JAHORIA Vol. 16, March Rešavane problema minimalnog pokrivana lokacia primenom različitih operatora selekcie genetskog algoritma Jovana Janković Filozofski fakultet Univerziteta u Istočnom Saraevu Pale, RS, BiH ovanaankovic91@yahoo.com Sadrža Minimizacia broa pokrivenih lokacia nepoželnim obektima predstavla problem kombinatorne optimizacie od velikog praktičnog značaa. U ovom radu analizira se rešavane problema minimalnog pokrivana lokacia sa dozvolenim višestrukim pokrivanem primenom genetskog algoritma. Predstavleni su rezultati uporedne analize uticaa različitih tipova operatora selekcie na efikasnost pronalažena dobrih rešena za prostore koi obuhvatau 100, 400 i 500 lokacia. a osnovu rezultata numeričkih testova utvrđeni su adekvatni tipovi operatora selekcie sa aspekta kvaliteta rešena i vremena izvršavana algoritma. Klučne rieči- genetski algoritam; operator selekcie; lokaciski problemi; problem minimalnog pokrivana lokacia I. UVOD Posebnu klasu lokaciskih problema kombinatorne optimizacie predstavlau problemi pokrivana lokacia (Covering Location Problem - CLP). ihov zadatak e pronalažene optimalne pozicie obekata na datom skupu lokacia, tako da pokrivenost lokacia bude maksimalna ili minimalna [1]. Osnovni zadatak problema minimalnog pokrivana lokacia (Minimal Covering Location Problem - MinCLP) e pronalažene optimalnih pozicia za fiksan bro nepoželnih obekata (deponie smeća, nuklearne elektrane, zatvori, itd), tako da oni pokrivau što mani bro lokacia na nekom prostoru. U radu [2], opisano e nekoliko analitičkih modela za postavlane neželenih obekata. Problem minimalnog pokrivana lokacia na ravni razmatran e u radu [3]. Berman i saradnici su, u [4], proučavali problem na mreži i predstavili algoritam koi ga rešava. U radu [5] opisano e pet modela problema minimalnog pokrivana lokacia sa definisanem parametra udalenosti između obekata. Autori rada [6], predstavili su dva matematička modela MinCLP-a: model problema minimalnog pokrivana lokacia sa ednostrukim pokrivanem (Minimal Covering Location problem with Single Coverage MinCLP-SC) i problema minimalnog pokrivana lokacia sa višestrukim pokrivanem (Minimal Covering Location Problem with Multiple Coverage MinCLP-MC). Glavni nedostatak MinCLP-SC e ta što uslov ednostrukog pokrivana znatno smanue skup mogućih rešena. Kod praktičnih problema često se zahtieva da se svi obekti postave u prostoru nezavisno od toga da li su neke lokacie višestruko pokrivene [7]. Metaheurističke ili moderne heurističke metode, se uz određene modifikacie mogu primenivati za rešavane širokog skupa problema kombinatorne optimizacie, [8-10]. apoznatie metaheuristike su genetski algoritmi (Genetic Algorithms - GA), simulirano kalene (Simulated Annealing - SA), tabu pretraga (Tabu Search - TS), metoda promenlivih okolina (Variable eighbourhood Search - VS), itd. MinCLP-MC e veoma pogodan za primenu genetskog algoritma, čia e osnovna prednost pronalažene kvalitetnih rešena za relativno kratko vrieme. Međutim, kao i kod svih metaheurističkih metoda, ne postoi čvrsta garancia da su dobiena rešena dopustiva, optimalna, ili čak bliska tačnom rešenu. Iz prethodnog razloga neophodno e dobro prilagođene genetskog algoritma problemu MinCLP-MC, gde e izbor operatora selekcie od posebne važnosti, [11-13]. Ova rad e organizovan na sledeći način: u drugom poglavlu su opisani matematički modeli za MinCLP-SC i MinCLP-MC, sadrža trećeg poglavla obuhvata implementaciu GA-a za rešavane MinCLP-MC i predložene operatore selekcie, u četvrtom poglavlu prikazani su rezultati rešavana MinCLP-MC primenom GA i data e analiza uticaa operatora selekcie na performanse GA-a. II. MATEMATIČKI MODELI PROBLEMA MIIMALOG POKRIVAJA LOKACIJA A. Problem minimalnog pokrivana lokacia sa ednostrukim pokrivanem Parametri matematičkog modela MinCLP-SC su: I skup lokacia, J skup obekata, 1, ako e obekat postavlen u lokaciu x, 0, inače y i stepen pokrivenosti lokacie i, t i udalenost između lokacia i i, S radius pokrivenosti, P bro obekata, i = { t i S} skup svih obekata koi pokrivau lokaciu i. Formulacia matematičkog modela e sadržana u naredno relacii:

2 uz uslove: i (1) ii min y, x yi, i I, (2) i x P, (3) J x 0,1, J, (4) y 0,1, i I. (5) i B. Problem minimalnog pokrivana lokacia sa višestrukim pokrivanem Da bi se omogućilo višestruko pokrivane lokacia, potrebno e ulov (2) iz prethodnog modela zamieniti sledećim uslovom, [6]: min(1, x ) yi, i I. (6) J Analizirani model dozvolava da obekti budu proizvolno udaleni edni od drugih, te postoi mogućnost da u optimalnom rešenu svi obekti budu smešteni neposredno edan do drugog, što nie poželno u slučau zagađivača. Uvođenem parametra D, koi predstavla minimalnu udalenost između obekata, i definisanem uslova (7) i (8) dobia se uopštene modela MinCLP-MC. III. t D,, J, (7) x x (8) IMPLEMETACIJA GEETSKOG ALGORITMA Implementacia GA e izvršena u razvonom okruženu Visual Studio 2010, korišćenem programskog ezika C#. Testirana su vršena na računaru sa procesorom Intel Core i3, 2.40 GHz i 4 GB radne memorie. Problemi su rešavani na instancama dimenzie 100, 400 i 500 lokacia, sa 10, 15 i 20 obekata, radiusa pokrivenosti 2, 3 i 4 r.. Međusobna udalenost između lokacia u matematičkom smislu predstavla euklidsku udalenost. Koordinate lokacia su proizvolno generisane na mreži 30x30 r.. Ulazni parametri GA su: dimenzia problema n, udalenosti između lokacia zadane preko matrice udalenosti, radius pokrivenosti S. Genetski kod edinke sastoi se od n bita, pri čemu svaki bit odgovara edno lokacii. Jedinica na pozicii i označava da e na i-to lokacii postavlen obekat. U slučau da edinka sadrži više ili mane edinica od broa obekata P, višak (ili manak) ednica se uklana (ili dodae) slučanim izborom. Početna populacia e generisana proizvolno. Bro edinki u populacii e 100. Kriterium zaustavlana e definisan slučaem da e dostignut maksimalan bro generacia (ograničen na 1000). Svaka instanca e rešavana 10 puta sa različitim vriednostima promenlivih (seed). Operator selekcie se u biološki inspirisano literaturi naziva oš i operator odabirana. To e postupak odlučivana koe će edinke preživeti i prenieti svo genetski material na naredne generacie, a koe će nestati [13]. Ova operator primenue se u skladu sa vriednostima funkcie prilagođenosti. Karakteristike predloženog GA su vrednovane za četiri različita tipa operatora selekcie: selekcia skraćivana (truncation selection - TRS), turnirska selekcia (tournament selection - TOS), rulet-točak selekcia (roulette-wheel selection - RWS) i stohastička univerzalna uzorkovana (stochastic universal sampling- SUS). Operator ukrštana se načešće definiše proizvolnim broem prekidnih tačaka edinki roditela. U zavisnosti od izbora tih tačaka moguća su sledeća ukrštana: ednopoziciono, dvopoziciono, uniformno, itd. Kod implementiranog GA upotreblen e operator dvopozicionog ukrštana sa nivom ukrštana 0.8. a slučaan način se birau dvie tačke prekida od koih se vrši raspodela genetskog materiala sa roditela na potomke. Mutacia omogućava vraćane korisnog genetskog materiala koi može biti potencialno izgublen pri selekcii i ukrštanu. Dobar e mehanizam za izbegavane lokalnih ekstremuma prilikom pretrage prostora potencialnih rešena. Kao dio predloženog GA, primenena e prosta mutacia nivoa p m= A. Operatori selekcie genetskog algoritma Selekcia skraćivana (TRS). U slučau selekcie skraćivana potencialna rešena su sortirana prema svom fitnesu. Potom se bira procenat p (10% p 50%) nasposobniih edinki koe će se ukrštati. Turnirska selekcia (TOS). TOS e selekcia zasnovana na pomu ranga. a slučaan način se izabere m edinki. Parametar m predstavla dimenziu turnira, t. bro takmičara u grupi. Ova parametar se načešće unapried zadae. Turnir se, potom, primeni na m članova grupe kako bi se izabrao naboli član, pobednik. Ako e potrebno turnirskom selekciom odabrati k edinki, onda se ova postupak ponavla k puta. Rulet-točak selekcia (RWS). Osnovna karakteristika ove selekcie e da se svako edinki i trenutne populacie dodieli verovatnoća p(i) koa e proporcionalna fitnesu edinke f(i): p( i) f ( i) (9) f ( ) 1 gde e veličina populacie. Za obašnavane ove selekcie koristi se poam ruleta. Jedinke su postavlene na točku, pri čemu veće dielove točka zauzimau edinke sa bolim fitnesom. Izbor k edinki ostvarue se okretanem točka k puta. akon ednog obrtaa rulet-točka, izabere se tačno edna edinka pomoću pokazivača na točku. Pošto edinke sa bolim fitnesom zauzimau više prostora na točku, veća e verovatnoća da edinke bole prilagođenosti budu izabrane za proces ukrštana. edostatak ove selekcie e prerana konvergencia genetskog algoritma er u većini slučaeve bole edinke pobiede konkurenciu i bude izabrane kao roditeli. Stohastička univerzalna uzorkovana (SUS). Ova selekcia e varianta prethodne. astala e u cilu smanena

3 rizika od prerane konvergencie. a obodu točka postavleno e k ravnomerno raspoređenih pokazivača. Stoga e dovolno točak okrenuti samo ednom da bi se dobilo potrebnih k edinki. Slika 1. Rulet-točak selekcia i stohastička univerzalna uzorkovana sa 7 edinki [12] IV. RJEŠAVAJE MICLP-MC GEETSKIM ALGORITMOM Za predstavleni model problema minimalnog pokrivana lokacia sa višestrukim pokrivanem riešene su odabrane instance genetskim algoritmom. Kvalitet rešena e meren srednom relativnom greškom (oznake agap) koa pokazue odstupane dobienog rešena od optimalnog: 1 agap gap, (10) i 1 gde e bro izvršavana metaheuristike, dok gap i predstavla individualnu relativnu grešku ili odstupane i-tog rešena sol i od optimalnog rešena opt sol, prema sledećem izrazu: soli optsol gapi 100. (11) optsol U slučau da optimalno rešene opt sol za datu instancu nie poznato, individualna relativna greška se računa u odnosu na nabole poznato rešene best sol: soli bestsol gapi 100. (12) bestsol Kvalitet rešena se može statistički iskazati i standardnom deviaciom na osnovu sledećeg izraza: 1 2 ( gapi agap). i1 i (13) Ispitan e kvalitet rešena implementiranog GA u zavisnosti od razmatranih operatora selekcie. Poređeni su rezultati izvršavana GA-a sa dvopozicionim ukrštanem i različitim operatorima selekcie (TRS, TOS, RWS i SUS). Kao na primer, na Sl. 2 dat e grafički prikaz rešena problema MinCLP-MC za instance dimenzie 500, sa parametrima P=20, S=2, D=4, dobienog metaheuristikom koa implementira turnirsku selekciu. U Tab.I dati su rezultati testirana instanci (dimenzia 100, 400 i 500) za različite tipove operatora selekcie i ukupno vrieme izvršavana, t. vrieme izvršavana 1000 iteracia. Kolona opt sol (optimalna rešena) predstavla vriednost funkcie cila rešena dobienog pomoću IBM ILOG CPLEX rešavača (optimalna rešena su preuzeta iz [7]), a kolona best sol predstavla vriednost funkcie cila naboleg rešena koe e genetski algoritam dostigao tokom 10 pokretana. U Tab. II date su vriednosti parametara agap i, t. ocene kvaliteta rešena instanci dobienih genetskim algoritmom. a osnovu rezultata prikazanih u Tab. I, može se zaklučiti da e za instance dimenzie 100 i 400, naviše optimalnih rešena dostigao genetski algoritam koi implementira turnirsku selekciu. alošia rešena dobiena su primenom rulet-točak selekcie i stohastičkog univerzalnog uzorkovana. aveće vriednosti greške agap u slučau TRS i TSO selekcie (za instance dimenzie 100 i 400) su 8.846% i 8.333%, redom, dok naveće vriednosti deviacie iznose i Vriednosti ovih parametra za RWS i SUS selekciu su dosta veće. amana vriednost greške agap (u okviru instanci dimenzia 100 i 400) za RWS selekciu e 8%, a naveća %, dok e za SUS selekciu namana vriednost ovog parametra 6.667%, a naveća %. Jasno e da metaheuristika sa RWS i SUS selekciom nie efikasno rešila zadate instance. a Sl.3 prikazano e poređene vremena izvršavana GA-a različitim operatorima selekcie. Upotrebom operatora selekcie RWS i SUS postiže se brža konvergencia za probleme dimenzia 400 i 500. Rezultati prikazani u Tab. I ukazuu na činenicu da za veće radiuse pokrivenosti vrieme konvergencie opada. a Sl.4 dato e poređene prosečnog odstupana rešena GA-a sa različitim operatorima selekcie. Može se zaklučiti da se naboli kvalitet rešena postiže primenom operatora TOS. Kako za instance dimenzie 500, CPLEX nie uspio pronaći rešena, prilikom određivana parametra agap i, za određivane individualne greške dobienog rešena korišćena e formula (12). Iz Tab. I može se primieti da e za instance dimenzie 500, maksimalno vrieme izvršavana algoritma sa TRS i TOS selekciom i sekundi, redom. Maksimalne vriednosti parametra agap za TRS i TOS selekciu (za instance dimenzie 500) su 5.111% i 5.263%, a maksimalne vriednosti deviacie su i 0.080, redom. Slika 2. Rešavane instance MinCLP-MC dimenzie

4 TABELA I. REZULTATI TESTIRAJA GA-A SA RAZLIČITIM OPERATORIMA SELEKCIJE Ukupno vrieme best sol Instanca n P S D opt sol izvršavana(s) TRS TOS RWS SUS TRS TOS RWS SUS Slika 3. Prikaz poređena vremena izvršavana GA-a sa različitim operatorima selekcie

5 TABELA II. PROSJEČA ODSTUPAJA RJEŠEJA DOBIJEIH GA-OM SA RAZLIČITIM OPERATORIMA SELEKCIJE Instanca agap(%) TRS TOS RWS SUS TRS TOS RWS SUS , , , , Slika 4. Grafički prikaz poređena prosečnog odstupana rešena GA-a sa različitim operatorima selekcie

6 ZAKLJUČAK U ovom radu razmatrana e primena različitih operatora selekcie genetskog algoritma u rešavanu problema minimalnog pokrivana lokacia sa višestrukim pokrivanem. Implementirano e četiri operatora selekcie: selekcia skraćivana, turnirska selekcia, rulet-točak selekcia i stohastička univerzalna uzorkovana. Data e analiza performansi četiri variante GA-a u pogledu prosečnog odstupana naboleg rešena od optimalnog i vremena izvršavana GA-a. umerički rezultati potvrdili su da e izbor operatora selekcie edan od navažniih aspekata genetskog algoritma. alošia rešena i naveća prosečna odstupana rešena od optimalnih dobiena su primenom rulet-točak selekcie i stohastičkog univerzalnog uzorkovana. amana prosečna odstupana rešena od optimalnih postignuta su primenom turnirske selekcie. Za razliku od CPLEX-a koi nie pronašao rešene za instance problema sa 500 lokacia, genetski algoritam e pronašao rešene za relativno kratko vrieme. Kvalitetna rešena postignuta su primenom operatora turnirske selekcie, ali i selekcie skraćivana. ZAHVALICA Zahvaluem se dr Darku Drakuliću na korisnim sugestiama i savetima prilikom izrade ovog rada, koi e nastao u okviru istraživana vezanog za završni rad na II ciklusu studia Filozofskog fakulteta, Univerziteta u Istočnom Saraevu. LITERATURA [1] D. Drakulić, M. Marić, A. Takači, Solving Maximal Covering Location Problem (MCLP) by Using the Particle Swarm Optimization (PSO) Method, НАУЧНИ ТРУДОВЕ НА РУСЕНСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ , том 51, серия 6.1 [2] E. Erkut and S. euman, Analytical models for locating undesirable facilities, European Journal of Operational Research, Volume 40, Issue 3, page , [3] Z. Drezner, G. Wesolowsky, Finding the circle or rectangle containing the minimum weight of points, Location Science; 2: [4] O. Berman, Z. Drezner and G. Wesolowsky, Minimum covering criterion for obnoxious facility location on a network, etworks;28:1 5., [5] O. Berman and R. Huang, The minimum weighted covering location problem with distance constraints, Computers and Operations Research 35, page , [6] D. Drakulić., A. Takači, M. Marić, The Minimal Covering Location Problem with single and multiple location coverage, 6th International Conference on Information Society and Technology ICIST [7] D. Drakulić, Fazi skupovi u modelovanu lokaciskih problema kombinatorne optimizacie, Doktorska disertacia, Univerzitet u Istočnom Saraevu, [8] M. Dorigo and T. Stützle, The ant colony optimization metaheuristic: Algorithms, applications, and advances, Handbook of Metaheuristics, Springer, pp , [9] M. Gendreau and J.-Y. Potvin, Metaheuristics in combinatorial optimization, Annals of Operations Research, Vol. 140 o. 1, pp , [10] M. Marić, Rešavane nekih P-teških hierarhisko-lokaciskih probelma primenom genetskog algoritma, Doktorska disertacia, Matematički fakultet, Beograd, [11] I. H. Osman, J. P.Kelly, "Metaheuristics: Theory and Applications", Kluwer Academic Publisher, orwell [12] E.G. Talbi, Metaheuristics From Design to Implementation, John Wiley and Sons, [13] V. Filipović, "Operatori selekcie i migracie i WEB servisi kod paralelnih evolutivnih algoritama", Doktorska disertacia, Matematički fakultet, Beograd ABSTRACT Minimization of the number of locations covered by undesirable obects represents combinatorial optimization problem of great practical importance. This paper analyzes solving of the Minimal Covering Location Problem with multiple coverage allowed using genetic algorithm. The results of the comparative analysis of the impact of different types of selection operators on the efficiency of finding good solutions for spaces consisting of 100, 400 and 500 locations, are presented. Based on numerically obtained results, associated with solutions' quality and algorithm's execution time, adequate selection operators are identified. SOLVIG MIIMAL COVERIG LOCATIO PROBLEM BY USIG DIFFERET SELECTIO OPERATORS OF GEETIC ALGORITHM Jovana Janković