Univerzitet u Beogradu

Size: px
Start display at page:

Download "Univerzitet u Beogradu"

Transcription

1 Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Rešavanje problema rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama primenom hibridnih metaheurističkih metoda Master rad Student: Dušan Džamić Mentor: dr Miroslav Marić septembar 2014.

2

3 Mentor: Članovi komisije: dr Miroslav Marić, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu dr Gordana Pavlović Lažetić, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu dr Zorica Stanimirović, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Datum odbrane:

4

5 Rešavanje problema rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama primenom hibridnih metaheurističkih metoda Apstrakt - Problem rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama (Hybrid flow shop (HFS) scheduling problem) često se javlja u automatizovanim industrijskim postrojenjima, kao što su postrojenja za proizvodnju stakla, gradevinskih materijala, čelika, papira i tekstila. U ovom radu su predstavljeni metaheuristički algoritmi optimizacije rojevima čestica (PSO), simuliranog kaljenja (SA), tabu pretraživanja (TS) i metoda promenljivih okolina (VNS) za rešavanje HFS problema u cilju minimizacije vremena potrebnog za realizaciju procesa proizvodnje. Pored toga, u pokušaju da se iskoriste dobre osobine svake metaheuristike, predložena su dva hibridna metaheuristička algoritma PSO-TS i PSO-VNS-SA. Svi predloženi algoritmi su testirani na skupu instanci iz literature za HFS problem. Eksperimentalni rezultati pokazuju da hibridni metaheuristički algoritam PSO-VNS-SA dostiže kvalitetna rešenja kao i drugi predloženi algoritmi u literaturi. Ključne reči: višefazna proizvodnja; optimizacija rojevima čestica; tabu pretraga; metoda promenljivih okolina; simulirano kaljenje; hibridni metaheuristički algoritmi. Abstract - Hybrid flow shops (HFS) are common manufacturing environments in many industries, such as the glass, building materials, steel, paper and textile industries. In this paper, we propose metaheuristic methods for solving the HFS scheduling problem with minimum makespan objective: a particle swarm optimization (PSO), tabu search (TS), simulated annealing (SA) and variable neighbourhood search (VNS) algorithm. In addition, two hybrid metaheuristic algorithms PSO-TS and PSO-VNS-SA have been proposed in an attempt to take advantage of the good features from more than one metaheuristic. The proposed algorithms are tested on the well-known benchmark problems for HFS problem. Experimental results show that the proposed hybrid algorithm PSO-VNS-SA is very competitive for the hybrid flow shop scheduling problem. Keywords: hybrid flow shop; particle swarm optimization; tabu search; variable neighbourhood search; simulated annealing; hybrid metaheuristic algorithm.

6 Sadržaj 1 Metaheurističke metode Metoda simuliranog kaljenja Tabu pretraga Metoda promenljivih okolina Metoda promenljivog spusta Redukovana metoda promenljivih okolina Osnovna metoda promenljivih okolina Optimizacija rojevima čestica Problem višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama Opis problema Matematička formulacija Rešavanje HFS problema metaheurističkim algoritmima Metoda simuliranog kaljenja Tabu pretraga Metoda promenljivih okolina Optimizacija rojevima čestica Hibridizacija metaheurističkih algoritama za rešavanje HFS problema Predloženi hibridni algoritam PSO-TS Predloženi hibridni algoritam PSO-VNS-SA Eksperimentalni rezultati Instance Rezultati testiranja metaheurističkih algoritama Rezultati testiranja hibridnih metaheurističkih algoritama Zaključak 39 7 Dodatak 40 8 Literatura 43

7 Uvod Glavna snaga računara se odlikuje u brzom sprovodenju složenih računskih operacija koje su sastavni deo mnogih problema. Ipak postoje problemi koji uz pomoć računara i egzaktnih metoda nisu rešivi u realnom vremenu. Takvi su i problemi kombinatorne optimizacije, kod kojih je broj (dopustivih) rešenja konačan, ali izuzetno velik. Kroz razvoj teorije algoritama došlo se do saznanja da mnogi problemi kombinatorne optimizacije pripadaju klasi NP-teških problema za čije rešavanje su poznati algoritmi u najboljem slučaju eksponencijalne složenosti. Eksponencijalni rast se najbolje može razumeti na poznatoj priči o otkriću šaha, od strane skromnog matematičara koji je na pitanje cara kako da mu se oduži zatražio da mu za prvo polje šahovske table preda jedno zrno pšenice, za drugo polje dva zrna, za treći četiri, za četvrto osam i tako za svako sledeće polje dva puta više zrna nego za prethodno. Car se iznenadio skromnošću matematičara i naredio svojim slugama da pripreme vreću pšenice. Kada su počeli da računaju shvatili su da careve zalihe nisu dovoljne čak i da ih je sto puta više jer broj zrna pšenice koji se dobija računanjem je Kako u jednom kubnom metru pšenice staje približno zrna, to znači kada se prevede, da bi matematičar Seta trebao dobiti km 3 žita. Poredenja radi, ako bi se pšenica čuvala u skladištu osnove 4 x 10 metara, visina bi mu bila km, što je jednako putu od Zemlje do Sunca i nazad. Postavlja se pitanje kako pristupiti problemima kod kojih je prostor dopustivih rešenja izuzetno velik. Prvo zapažanje je da u praksi često nije potrebno egzaktno rešenje nekog problema već je dovoljno i približno rešenje. U tu svrhu došlo je do razvoja heurističkih metoda koje za relativno kratko vreme mogu da daju veoma kvalitetna rešenja koja često i jesu optimalna, ali ne postoji garancija i dokaz optimalnosti. Ovakav pristup privukao je veliku pažnju akademske zajednice jer je jedini praktični način za pronalaženje kvalitetnih rešenja optimizacionih problema, pa se sve više pažnje posvećuje razvoju i usavršavanju heurističkih metoda. To je dovelo i do razvoja univerzalnih heuristika tzv. metaheuristika. Metaheuristike predstavljaju algoritme koje se sastoje od uopštenih skupova pravila koje se mogu primeniti na raznovrsne probleme optimizacije dok su klasične heuristike namenjene pojedinačnim problemima i koriste konkretne osobine datog problema pri njegovom rešavanju. Cilj ovog rada je primena i implementacija metaheurističkih algoritama za rešavanje problema rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama (Hybrid flow shop - HFS) koji se često susreće u mnogim industrijskim postrojenjima, na primer, u proizvodnji stakla, čelika, papira i tekstila. HFS problem predstavlja kombinaciju klasičnog problema višefazne proizvodnje (Flow shop problem) gde svaki posao prolazi redom kroz nivoe u kojima je dostupna jedna mašina koja obraduje posao i problema proizvodnje sa paralelnim mašinama (Job shop scheduling) gde postoji jedna faza proizvodnje u kojoj je dostupan odreden broj identičnih mašina koje rade paralelno. Oba pojedinačna problema su veoma dobro istražena u teoriji rasporedivanja i opisan u velikom broju radova, medutim ne i njihova kombinacija. HFS problem se smatra osnovnim problemom za modeliranje realnih automatizovanih industrijskih postrojenja. U osnovni model mogu se uključiti dodatna ograničenja, - 1 -

8 na primer vreme neophodno za pauzu izmedu obrade dva posla. U prvom poglavlju predstavljene su metaheurističke metode koje će biti korišćene za rešavanje HFS problema. Detaljno su opisane ideje i osnovni koncepti metode simuliranog kaljenja, tabu pretraživanja, metode promenljivih okolina i optimizacije rojevima čestica. U drugom poglavlju detaljno je opisan problem višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama, njegov matematički model kao i primeri primene samog problema. Kroz treće poglavlje opisuju se detalji implementacije izabranih metaheurističkih algoritama, dok se u četvrtom poglavlju daje predlog za hibridizaciju spomenutih algoritama u cilju da se dobre osobine dve ili više metaheurističke metode kombinuju u novu složeniju metodu za rešavanje velikih instanci problema. U petom poglavlju predstavljeni su rezultati dobijeni predloženim algoritimima i uporedeni sa rezultatima iz relevantnih radova. U završnom delu rada i šestom poglavlju dat je zaključak na osnovu eksperimentalnih rezultata i mogućnost daljih istraživanja

9 Metaheurističke metode 1 Metaheuristike se sastoje od uopštenih skupova pravila koja se mogu primeniti za rešavanje raznovrsnih problema optimizacije. Predstavljaju značajno, a najčešće i jedino, sredstvo u rešavanju realnih problema baziranih na optimizaciji, a osim toga, mogu se primeniti za ubrzavanje egzaktnih metoda tako što se iskoriste za brzo dobijanje dobrog početnog rešenja. Osobine koje jedna efikasna metaheuristika treba da poseduju kako bi obezbedila značaj i na praktičnom i na teorijskom planu [16] su: - jednostavnost: treba da budu zasnovane na jednostavnim i lako razumljivim pravilima; - preciznost: koraci kojima se opisuje metaheuristička metoda treba da su formulisani precizno, po mogućnosti matematičkim terminima; - doslednost: svi koraci metode treba da budu u skladu sa pravilima kojima je metaheuristika definisana; - efikasnost: primena metaheuristike na neki konkretan problem treba da obezbedi dobijanje rešenja bliskih optimalnom za većinu realnih primera, naročito za zvanične test primere raspoložive u toj klasi; - efektivnost: za svaki konkretan problem, metoda mora da obezbedi optimalno ili rešenje blisko optimalnom u razumnom vremenu izvršavanja; - robusnost: metoda treba da daje podjednako dobre rezultate za širok spektar primera iz iste klase, a ne samo za neke odabrane test primere; - jasnoća: treba da bude jasno opisana kako bi se lako razumela i, što je još važnije, lako implementirala i koristila; - univerzalnost: principi kojima je metoda definisana treba da budu opšteg karaktera kako bi se sa lakoćom mogla primeniti na nove probleme. Do danas razvijene su mnoge metaheurističke metode optimizacije, najčešće po uzoru na neke poznate procese, prvenstveno u biologiji (genetski algoritmi i razne specijalne varijante evolutivnih algoritama, neuralne mreže, mravlje kolonije, kolonije pčela), u fizici (simulirano kaljenje), ali i metode inspirisane lokalnim pretraživanjem sa raznim idejama da se izbegne zamka lokalnog minimuma (iterativno lokalno pretraživanje, metoda promenljivih okolina, tabu pretraživanje) i druge [30]

10 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE 1.1 Metoda simuliranog kaljenja Simulirano kaljenje (Simulated Annealing, SA) je metoda zasnovana na lokalnom pretraživanju, uz mehanizam inspirisan procesom kaljenja čelika koji omogućava izlazak iz lokalnog optimuma. Algoritam je preldožen godine od strane Kirkpatrika i drugih [24]. Pri procesu metalurškog kaljenja čelika cilj je oplemenjivanje metala tako da on postane čvršći. Da bi se postigla čvrstoća metala potrebno je njegovu kristalnu rešetku pomeriti tako da ima minimalnu potencijalnu energiju. Prvi korak u kaljenju čelika je zagrevanje do odredene visoke temperature, a zatim nakon kratkog zadržavanja na toj temperaturu počinje postepeno hladenje. Pri postepenom hladenju atomi metala nakon procesa kaljenja formiraju pravilnu kristalnu rešetku i time se postiže energetski minimum kristalne rešetke. Važno je napomenuti da brzo hladenje može da uzrokuje pucanje metala. Funkcija cilja za koju se traži globalni optimum se može posmatrati kao energija kristalne rešetke ako je potrebno minimizovati funkciju cilja ili negativna energija kristalne rešetke ako je potrebno maksimizovati funkciju cilja. Metoda počinje izborom početnog rešenja i postavljanjem početne temperature na relativno visoku vrednost. Zatim se na slučajan način bira jedno rešenje iz okoline tekućeg rešenja. Ako je to rešenje bolje, onda ono postaje novo tekuće rešenje. Ako je novo rešenje lošije od tekućeg, ono ipak može da postane tekuće rešenje ali sa odredenom verovatnoćom. Verovatnoća prihvatanja lošijeg rešenja obično zavisi od parametra koji predstavlja temperaturu i vremenom opada kako se algoritam izvršava. Ovakav pristup obezbeduje izlazak iz lokalnog optimuma. U početku je ta verovatnoća velika, pa će u cilju prevazilaženja lokalnog optimuma lošije rešenje biti prihvaćeno. Pred kraj izvršavanja algoritma verovatnoća prihvatanja lošijeg rešenja je jako mala i to se verovatno neće ni desiti, jer se smatra da je optimum dostignut ili se nalazi blizu najboljeg posećenog rešenja, pa se izbegava pogoršanje tekućeg rešenja. Prirodno, algoritam SA sadrži parametar temperature Temperatura i šemu hladenja. Najčešće temperatura opada eksponencijalno s parametrom v iz intervala (0, 1). Ako parametar v ima veoma malu vrednost hladenje je prebrzo što može dovesti do upadanja u lokalni Vreme optimum (pucanje metala). U suprotnom ako je parametar v jako blizak jedinici hladenje je Slika 1.1: Ilustracija metoda SA tokom izvršavanja [25] jako sporo, pa će se pretraga pretvoriti u nasumičnu pretragu velikog prostora rešenja zbog velike verovatnoće da se u početku bolja rešenja zamenjuju lošijim. Iz tog razloga potrebno je odabrati parametar v tako da ima dovoljno veliku vrednost i da temperatura pri kraju procesa bude niska što dovodi do stabilizacije rešenja u jednom lokalnom području

11 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Pri svakoj temperaturi slučajno biranje rešenja iz okoline i njegova provera se izvršava više puta, a ne samo jednom, kako bi se rešenje stabilizovalo na tekućoj temperaturi. Opisani koraci u metodi simuliranog kaljenja mogu se predstaviti algoritmom 1.1. x = x 0 ; T = T max ; ponavljaj{ ponavljaj odredeni broj puta{ generisanje slucajnog resenja x u okolini resenja x; E = f(x ) f(x); ako ( E 0){ x = x ; inace{ prihvatanje resenja x sa verovatnocom e E T ; } } T = T v; }(dok nije zadovoljen uslov zaustavljana); Algoritam 1.1: Metoda simuliranog kaljenja Metoda simuliranog kaljenja tokom svog izvršavanja može više puta da poseti jedno isto rešenje. Ova situacija se može izbegnuti hibridizacijom sa algoritmima koji koriste memorijske strukture za čuvanje posećenih rešenja o kojima će kasnije biti reči. Pojava metode simuliranog kaljenja (1983) prouzrokovala je novi pristup pri rešavanju problema kombinatorne optimizacije i podstakla razvoj metaheurističkih algoritama. U kasnijim godinama predstavljeno je mnogo novih algoritama, najviše baziranih na prirodnim fenomenima, kao što su metoda zasnovana na ponašanju mrava (Ant Colony Optimization ACO) [10], metoda zasnvana na ponašanju roja čestica (Particle Swarm Optimization PSO) [11], metoda veštačkog imuniteta (Artificial Immune System AIS) [20]

12 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE 1.2 Tabu pretraga Tabu pretraživanje (Tabu search - TS) predstavlja metaheuristiku zasnovanu na lokalnom pretraživanju koja koristi memoriju kako bi prevazišla zaglavljivanje u lokalnom optimumu. Metoda je predložena godine od strane Glovera [13] i detaljno opisana u [14] [15] [16], a zanimljivo je da je nezavisno iste godine Hansen predložio sličan pristup nazvan najbrži spust / najsporiji uspon [19]. Metoda tabu pretraživanja u svom nazivu sadrži reč tabu koja može da ukaže na karakteristike same metode. Reč tabu se koristi da označi zabranu i potiče iz Tonganskog jezika, gde su je Aboridžini na ostrvu Tonga koristili da označe predmete koji se ne smeju dodirivati zato što su sveti. Danas se reč tabu koristi da označi nešto o čemu nije društveno prihvatljivo otvoreno govoriti, odnosno nešto zabranjeno jer sadrži rizik. Kako metoda lokalnog pretraživanja sadrži rizik za dobijanje lokalnog optimuma, zabrana takvih rešenja se može koristiti kao mera zaštite. To je glavna ideja tabu pretrage koja rešenja označena kao tabu zanemaruju sa ciljem da se dostigne što bolje rešenje i izade iz lokalnog optimuma. U realnom svetu tabu se menja kroz vreme za šta je odgovorna neka vrsta društvene memorije. Kod tabu pretraživanja upravo memorija ima glavnu ulogu za dodeljivanje i menjanje tabu statusa kroz vreme pri tabu pretraživanju. Pored informacija o trenutno najboljem rešenju i vrednosti funkcije cilja, TS metoda pamti kretanje preko rešenja iz nekoliko prethodnih iteracija, a kasnije se te informacije koriste za izbor narednog rešenja kao i za modifikaciju okoline koja neće sadržati tabu rešenja. Tako se oklonina rešenja menja kroz iteracije i zavisi od sadržaja memorije. Memorija u kojoj se čuvaju informacije o zabranjenim potezima naziva se tabu lista. Metoda kreće od jednog rešenja, a zatim koristi metodu lokalne pretrage sve dok ne dostigne lokalni optimum. Kada se dostigne lokalni optimum rešenje koje ga predstavlja se pamti u tabu listi i isključuje iz okoline za pretraživanje u nekoliko narednih iteracija. Zatim se ponovo počinje sa lokalnim pretraživanjem, ali u tako modifikovanoj okolini. Nakon isteka tabu statusa nekog rešenja, ono se vraća u okolinu, a neka druga postaju zabranjena

13 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Osnovni koraci tabu pretraživanja mogu se predstaviti algoritmom 1.2. x = x 0 ; x opt = x TabuLista= ponavljaj{ pronaci najbolje resenje x u okolini resenja x\t L; if(f(x ) < f(x opt ){ x opt = x ; } T L = T L x ; if( T L > d){ T L = T L\x t ; } s = x ; }(dok nije zadovoljen uslov zaustavljana); Algoritam 1.2: Tabu pretraživanje Kako je tabu lista glavni mehanizam za sprečavanje zaglavljivanja u lokalnom optimumu i kruženja u okolini nekog rešenja potrebno je posvetiti pažnju njenoj implementaciji i prilagoditi je konkretnom problemu. Kako bi se smanjila memorija potrebna za smeštanje rešenja u tabu listu često se pamte samo neka svojsta rešenja, tako da se u tabu listi mogu čuvati samo zabranjeni potezi koji dovode do zabranjenih rešenja. Moguće je koristiti i nekoliko tabu lista pa se u tom slučaju potez smatra zabranjenim ako se nalazi u svim listama, a inače je dozvoljen. Pri čuvanju poteza u tabu listi radi uštede prostora može doći do znatne restrikcije samog pretraživačkog prostora odnosno do zabrane svih rešenja koja imaju isto svojstvo kao i ono rešenje koje se zaista zabranjuje nekim potezom. Na taj način metoda je sprečena da poseti veliki skup rešenja, a ne samo ona koja su dobijena u nekoliko poslednjih iteracija. Pored toga, kruženje u okolini nekog rešenja nije u potpunosti sprečeno i u direktnoj je vezi sa parametrom koji odreduje dužinu tabu liste. Ako je dužina tabu liste prevelika, izražena je diversifikacija pretraživanja što može dovesti do slučajnog kretanja u prostoru rešenja. Nasuprot tome, ako je dužina tabu liste suviše mala povećava se mogućnost kruženja u okolini nekog rešenja. Da bi se prevazišli navedeni nedostaci ove metode, moguće je uvesti ukidanje tabu statusa nekom potezu. Jedan od najjednostavnijih načina je korišćenje tabu liste promenljive dužine. Drugi često korišćeni pristup je uvodenje praga značajnosti kojim se opisuju dobra rešenja, pa se tako na primer ukida tabu status potezu koji vodi u novo najbolje rešenje. Funkcija koja proverava prag značajnosti nekog rešenja naziva se aspiracijska funkcija. Metoda tabu pretrage može se unaprediti uvodenjem različitih vrsta memorija. Tako se u procesu pretraživanja mogu koristiti kratkoročna, srednjoročna i dugoročna memorija pri čemu svaka ima svoje svojstvo. Kratkoročna memorija se koristi upravo za formiranje tabu liste i ima ulogu u sprečavanju kruženja u okolini nekog rešenja. Srednjoročna memorija ima - 7 -

14 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE zadatak da obezbedi intenzifikaciju pretraživanja u nekom regionu u kome se nalazi trenutno najbolje rešenje. Svrha dugoročne memorije je diversifikacija pretrage odnosno prenošenje pretrage u regione pretraživačkog prostora koji nisu istraženi. I u srednjoročnoj i u dugoročnoj memoriji pamte se svojstva rešenja, a zatim se u procesu intezifikacije biraju rešenja koja imaju zajednička svojstva sa trenutno najboljim rešenjem dok se u procesu diversifikacije biraju rešenja kod kojih su ta svojstva različita od trenutno najboljeg rešenja. Sama ideja tabu pretraživanja da se za upravljanje pretragom koriste informacije dobijene iz prethodne pretrage može se povezati sa metodama informisanog pretraživanja u polju veštačke inteligencije. Još jedno poboljšanje predložili su Battiti i drugi [4] tj. predložili su reaktivno tabu pretraživanje kako bi se izbegla velika zavisnost metode tabu pretraživanja od parametara koji odreduju dužinu tabu liste, aspiracijsku funkciju, tabu vreme itd. Glavna ideja je da se automatski obavlja modifikacija parametara u potrazi za što boljim rešenjem. Izmedu metode tabu pretraživanja i simuliranog kaljenja postoji razlika u potrazi za najboljim rešenjem. Prva razlika je eksploatacija memorijskih struktura u algoritmu tabu pretraživanja, što je odsutno kod simuliranog kaljenja. Uvodenje memorijskih struktura podrazumeva i različitosti u samom mehanizmu pretrage koja se kod simuliranog kaljenja zasniva na slučajnosti, nasuprot pretrage TS algoritma. Tabu pretraživanje pretražuje celu tekuću okolinu (ili njen veći deo) da bi identifikovao poteze visokog kvaliteta. Ovo se razlikuje od simuliranog kaljenja gde se na slučajan način bira potez i na njega primenjuje unapred definisani kriterujum prihvatanja koji odlučuje da li će se taj potez izvršiti. Kriterijum prihvatanja poteza zanemaruje kvalitet ostalih mogućih poteza. Pomenuta razlika ukazuje na prednost tabu pretraživanja na polju pretrage okoline. Često se koristi hibridizacija u kojoj metoda simuliranog kaljenja generiše početno rešenje za metodu tabu pretrage. SA metoda zbog svoje prirode jednostavno može naći kvalitetne delove pretraživačkog prostora koje će TS metoda efikasno istražiti. I pored pozitivnog uticaja tabu liste u sprečavanju ciklusa, može se desiti da se jave ciklusi što predstavlja nedostatak tabu pretraživanja. To je slučaj kada je dužina ciklusa veća od dužine tabu liste (dužina tabu liste je osetljiv parametar TS algoritma o čemu je bilo reči). U takvim situacijama deterministička priroda tabu pretraživanja je nedostatak jer upravo ona otežava prevazilaženju ciklusa. U cilju prevazilaženja nedostataka TS algoritma, može se razmatrati njegova kombinacija sa SA. U takvoj kombinaciji stohastička karakteristika simuliranog kaljenja da slučajno bira rešenje sprečava pojavu ciklusa u pretrazi

15 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE 1.3 Metoda promenljivih okolina Metoda promenljivih okolina (Variable Neighborhood Search VNS) je metaheuristika zasnovana na lokalnom pretraživanju koja pokušava da prevazide lokalni optimum menjanjem strukture okoline. Predložena je od strane Mladenovića i Hansena [32], a prvi put ideja metode izložena je [31]. Osnovna ideja metode se bazira na sistematskoj promeni okolina unutar lokalnog pretraživanja. Zato je neophodno uvesti više okolina, promenom metrike u odnosu na koju se definiše ili povećavanjem rastojanja u odnosu na istu metriku. Metoda promenljivih okolina se oslanja na tri uočene činjenice [31] : (1) Lokani optimum u jednoj okolini ne mora biti i lokalni optimum u nekoj drugoj okolini. (2) Globalni optimum je lokalni optimum u odnosu na bilo koju okolinu. (3) Lokalni optimumi u različitim okolinama su medusobno bliski za većinu problema. Činjenice (1) i (2) se mogu uočiti na primeru funckije jedne promenljive, slika 1.2. y pocetno resenje f(x) lokani minimum globalni minimum x Slika 1.2: Promena okolina na primeru funkcije jedne promenljive Uvodenje više okolina ima smisla imajući u vidu prve dve navedene činjenice. Treba obratiti pažnju da druga činjenica ne garantuje da rešenje koje je lokalni optimum u svim izabranim okolinama ujedno i globalni optimum, već ukazuje na to da ako neko rešenje nije lokalni optimum u nekoj okolini ono ne može biti ni globalni optimum. Treća činjenica je empirijska i podrazumeva da lokalni optimum često pruža neke informacije o globalnom optimumu pa je potrebno detaljnije istraživanje okoline lokalnog optimuma jer se tu očekuje popravljanje trenutno najboljeg rešenja. Ove tri navedene činjenice mogu se iskoristiti na tri različita načina deterministički, stohastički ili kombinovano

16 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Metoda promenljivog spusta Koriščenjem determinističkog pristupa dobija se metoda promenljivog spusta (Variable Neighborhood Descent, VND). Prvi korak za realizaciju metode se sastoji u odabiru okolina N k, k = 1, 2,..., k max. Metoda počinje sa radom od početnog rešenja x, a zatim se realizuje lokalno pretraživanje od rešenja x u odnosu na svaku od odabranih okolina i to po redosledu indeksa k. Specijalno za k = 1 dobija se obično lokalno pretraživanje. Na slici 1.3 je prikazana upotreba više okolina, i to sa napomenom da okoline ne moraju biti ugnježdene, odnosno ne moraju biti izvedene iz iste metrike. Metoda VND pretražuje okolinu N 1 dok u njoj postoji mogućnost poboljšanja trenutno najboljeg rešenja. Kada se odredi lokalni optimum u odnosu na okolinu N 1, ažurira se najbolje tekuće rešenje i započinje lokalna pretraga u odnosu na okolinu N 2. Ako se popravi trenutno najbolje rešenje, lokalna pretraga ponovo počinje od okoline N 1 a inače se pretraga usmerava na narednu neispitanu okolinu. Metoda promenljivog spusta se završava ako trenutno najbolje rešenje ne može da se popravi ni u jednoj okolini, tj. ako je trenutno najbolje rešenje lokalni optimum u odnosu na sve okoline N k, k = 1, 2,, k max. Opisani koraci mogu se prikazati algoritmom 1.3. N1 N2 N3 Slika 1.3: Niz okolina za rešenje x x x = x 0 ; x opt = x; ponavljaj{ k = 1; ponavljaj{ x =LokalnaPretraga(x, N k ); ako(f(x ) < f(x opt )){ x opt = x ; k = 1; } onda{ k = k + 1; } }(dok k k max ) }(dok nije zadovoljen kriterijum zaustavljanja) Algoritam 1.3: Metoda promenljivog spusta

17 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Redukovana metoda promenljivih okolina U slučaju stohastičkog pristupa metoda se naziva redukovana metoda promenljivih okolina (Reduced Variable Neighborhood Search, RVNS). Kod ovog pristupa izostavlja se lokalno pretraživanje, pa se metoda sastoji samo od sistematske promene okoline i izbor jednog slučajnog rešenja u svakoj okolini. Metoda promenljivog spusta je, korisna kod rešavanja optimizacionih problema velike dimenzije, kao i za dobijanje dobrog početnog rešenja za kratko vreme jer ne sadrži složenu i dugotrajnu lokalnu pretragu. Prvi korak za realizaciju se opet sastoji u odabiru okolina N k, k = 1, 2,..., k max i početnog rešenja x. Zatim se bira jedno slučajno rešenje u okolini N 1 (x) i ako se na taj način popravi trenutno najbolje rešenje ono postaje tekuće, u suprotnom se prelazi na izbor slučajnog rešenja u okolini N 2 itd. Kod prvog prihvatanja slučajnog rešenja, indeks okoline se postavlja na 1 za sledeću iteraciju. Niz okolina je potrebno pažljivo birati, tako da svaka sledeća okolina bude veće kardinalnosti od prethodne. Ako su sve okoline definisane u odnosu na istu metriku rastojanje izmedu rešenja treba da raste u svakoj sledećoj okolini. Koraci RVNS metode mogu se predstaviti pseudokodom 1.4. x = x 0 ; x opt = x; ponavljaj{ k = 1; ponavljaj{ x =SlucajnoResenje(N k ); akp(f(x ) < f(x opt )){ x opt = x ; k = 1; } onda{ k = k + 1; } }(dok k k max ) }(dok nije zadovoljen kriterijum zaustavljanja) Algoritam 1.4: Redukovana metoda promenljivih okolina

18 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Osnovna metoda promenljivih okolina Kombinacijom prethodna dva principa, tj. sistematskom (determinističkom) promenom okolina, slučajnim izborom početnog rešenja u tekućoj okolini i primenom lokalne pretrage počev od tog, slučajnog rešenja, dobija se osnovna metoda promenljivih okolina (Basic Variable Neighborhood Search, BVNS). Ovo je najrasprostranjenija varijanta metode promenljivih okolina jer obezbeduje više preduslova za dobijanje kvalitetnijih konačnih rešenja. Osnovna verzija metode promenljivih okolina polazi od jednog početnog rešenja, u svakoj iteraciji u okolini tekućeg rešenja na slučajan način se bira susedno rešenje koje postaje polazno rešenje za lokalno pretraživanje. Lokalno pretraživanje se izvršava do pronalaska lokalnog optimuma. Ukoliko je lokalni optimum bolji od tekućeg rešenja, onda on postaje novo tekuće rešenje. Ako to nije slučaj, proširuje se okolina tekućeg rešenja i u njoj se ponovo slučajno bira susedno rešenje. Kada se popravi trenutno najbolje rešenje ceo postupak se ponavlja od prve okoline u nizu. Primer rada metode ilustrovan je na slici 1.4. sledeci optimum u okolini N2 N2 N1 optimum u okolini N3 pocetno resenje N1 N2 N3 Slika 1.4: Osnovna metoda promenljivih okolina

19 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Opisani koraci se mogu predstaviti pseudokodom 1.5. x = x 0 ; x opt = x; stop = 0; ponavljaj{ k = 1; ponavljaj{ x =SlucajnoResenje(N k ); x =LokalnaPretraga(x ); ako(f(x ) < f(x opt )){ x opt = x ; k = 1; } inace{ k = k + 1; } ako(zadovoljen kriterijum zaustavljana){ stop = 1; } }(dok k k max stop 1) }(dok nije zadovoljen kriterijum zaustavljanja) Algoritam 1.5: Osnovna metoda promenljivih okolina Lokalnog pretraživanja u VNS metodi u nekim slučajevima može biti neefikasno. Tada je moguće upotrebiti tabu pretraživanja umesto lokalnog pretraživanja jer tabu pretraživanje pomoću svojih memorijskih struktura može prevazići prvi lokalni optimum koji zaustavlja obično lokalno pretraživanje. Na taj način se smanjuje verovatnoća da novo rešenje bude lošije od tekućeg rešenja. To dalje smanjuje potrebu za čestom promenom okoline, što može povoljno uticati na vreme izvršavanja programa u nekim slučajevima. Izbor lošeg susednog rešenja u tekućoj okolini utiče na efikasnost izvršavanja faze pretrage. U [33] predloženo je da se elementi tabu pretraživanja uključe u proces pretrage i u proces biranja susednog rešenja u tekućoj okolini sa ciljem popravke efikasnosti VNS metode. Predloženi algoritam nazvan je Variable Neighborhood Tabu Search VNTS

20 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE 1.4 Optimizacija rojevima čestica Optimizacija rojevima čestica (Particle swarm optimization - PSO) predstavlja metodu inspirisanu inteligencijom grupe. Posmatrajući prirodni proces udruživanja jedinki u grupe, može se primetiti da bespomoćne jedinke postaju ozbiljan protivnik kada se udruže. Na taj način akumuliraju inteligenciju stvarajući kolektivnu inteligenciju, pa interakcijom i razmenom znanja izmedu jedinki cela grupa veoma brzo napreduje. U to posmatranjem jata ptica u potrazi za hranom kao skupa čestica uočeno je da svaka čestica tj. ptica koristi nekoliko pravila za prilagodavanje svog leta kao što su: - izbegavanje sudara, - prilagodavanje brzine leta, - pokušaj ostanka u blizini ostalih ptica. Inspirisani ovim uočenim činjenicama, Eberhart i Kennedy [11] dolaze na ideju kreiranja algoritma za rešavanje optimizacionih problema. U sam algoritam uključuju i sociološku interekciju izmedu čestica u roju, tako da svaka čestica pamti svoje do tada pronadenu najbolju poziciju, ima uvid u najbolje pozicije svojih suseda i kretanje usmerava uzimajući u obzir obe komponente. U PSO metodi svaka čestica odgovara jednom potencijalnom dopustivom rešenju i kreće se u d-dimenzionom dopustivom prostoru rešenja. Čestice pokušavaju da poprave svoju poziciju koristeći svoje iskustvo iz prethodnih pozicija, ali i iskustva drugih čestica (celog roja ili podskupa-okoline čestice). Poziciju čestice i, i = 1, 2..., n u roju od n čestica karakteriše d- dimenzioni vektor položaja X i = (x i1, x i2,..., x id ) i vektor brzine, odnosno gradijenta (pravca) u kome bi se čestica kretala bez drugih uticaja V i = (v i1, v i2,..., v id ). Najbolju poziciju čestice i do tekućeg trenutka predstavlja vektor p i = (p i1, p i2,..., p id ) a najbolju poziciju celog roja vektor p g = (p g1, p g2,..., p gd ). Osnovni PSO algoritam se sastoji od dela inicijalizacije gde se generiše roj čestica u pretraživačkom prostoru na slučajnim pozicijama i sa slučajnim pravcima kretanja čestica. U tako generisanom roju potrebno je pronaći i sačuvati najbolju česticu. Zatim sve dok nije ispunjen kriterijum zaustavljanja izvršava se ažuriranje vektora brzine i pomeranje čestica na nove pozicije. U tako dobijenom roju čestica ažuriraju se najbolje pozicije čestica ako je rešenje popravljeno kao i najbolja čestica celog roja ako je došlo do popravljanja trenutno najboljeg rešenja. U svakoj iteraciji j ažuriranje vektor brzine čestice i se obavlja pomoću sledeće formule: v j id = w vj 1 id + c 1 r 1 (p j id xj id ) + c 2 r 2 (p j gd xj id ), gde je w parametar inercije koji kontroliše uticaj prethodnih brzina čestice na trenutnu, c 1 faktor kognitivnog učenja (uticaj iskustva čestice), c 2 faktor socijalnog učenja (uticaj iskustva celog roja) i r 1, r 2 slučajne konstante iz izabrane uniformne raspodele U[0, 1]. Pomeranje čestice i na novu poziciju X i u iteraciji j se vrši po formuli: x j+1 id = x j id + vj id

21 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Vrednosti v id se ograničavaju na vrednosti iz unapred zadatog segmenta [V min, V max ], kako čestica ne bi izašla iz dopustivog prostora pretrage. Odnos izmedu lokalnog i globalnog pretraživanja prostora dopustivih rešenja se može kontrolisati parametar w. Za veće vrednosti w pojačava se globalna pretraga, dok se za manje vrednosti w pojačava lokalna pretraga. najbolja pozicija cestice pi xi trenutna pozicija pg - xi najbolja pozicija celog roja pg xi nova pozicija Slika 1.5: Pomeranje čestice na novu poziciju [40] Opisani koraci se mogu predstaviti algoritmom 1.6. slucajno generisi roj cestica; ponavljaj{ f i = f(x i ); za sve cestice i { za svaku koridnatu d { v id = w v id + c 1 r 1 (p id x id ) + c 2 r 2 (p gd x id ), x id = x id + v id } ako (f(x i ) < f(p i )) onda{ p i = X i ; } ako (f(x i ) < f(p g )){ p g = X i ; } } }(dok nije zadovoljen kriterijum zaustavljanja) Algoritam 1.6: Optimizacija rojevima čestica

22 GLAVA 1. METAHEURISTIČKE METODE Na slici 1.6 prikazane su pozicije čestica pri traženju maksimalne vrednosti funkcije dve promenljive. iteracija 1 iteracija 50 iteracija 100 iteracija 200 Slika 1.6: Primena PSO algoritma za pronalaženje maksimuma funkcije dve promenljive

23 Problem višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama 2 Problem rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama (Hybrid flow shop - HFS) je nastao kombinacijom klasičnog problema višefazne proizvodnje (Flow shop problem) gde svaki posao prolazi redom kroz nivoe u kojima je dostupna jedna mašina koja obraduje posao i problema proizvodnje sa paralelnim mašinama (Job shop scheduling) gde postoji jedna faza proizvodnje u kojoj je dostupan odreden broj identičnih mašina koje rade paralelno. Oba pojedinačna problema su veoma dobro istražena u teoriji rasporedivanja i opisan u velikom broju radova, meditim ne i njihova kombinacija. Postoji nekoliko kriterijuma za ocenu kvaliteta rasporeda poslova, a najčešći je ukupno vreme izvršavanje svih poslova (makespan) zbog praktičnog značaja. Pokazano je da HFS problem pripada klasi NP teških problema kada je cilj minimizovati ukupno vreme izvršavanja svih poslova [18]. Problem trgovačnog putnika može se posmatrati kao specijalni slučaj problema proizvodnje sa paralelnim mašinama gde trgovački putnik odgovara mašini, a gradovi odgovaraju poslovima [26]. Problem je prvi put formulisan godine [3], a postao je jako aktuelan od godine kada je broj radova naglo porastao. Ukupno postoji preko 200 radova u kojima se istražuje HFS problem ili neke njegove varijante. Uz to u 54% radova izučava se problem proizvodnje u m nivoa, dok olakšani HFS problem sa 2 nivoa je izučavan u 31.63% radova. [39]. Detaljan prikaz broja objavljenih radova o problemu višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama tokom prethodnih godina prikazan je na slici 2.1 U literaturi se mogu pronaći različiti pristupi za rešavanje HFS problema, počev od egzaktnih preko heurističkih i metaheurističkih algoritama. Najčešće korišćena egzaktna metoda je algoritam grananja i odsecanja. Brah i Hunsucker u svom radu [6] opisali su algoritam grananja i odsecanja dok su Portman i Vignier [37] predstavili poboljšanje bazirano na uvodenju genetskog algoritma u egzaktni rešavač. Neron i drugi autori [34] dali su predlog korišćenja algoritma energetskog rezonovanja i globalnih operatora za poboljšanje efikasnosti algoritma grananja i odsecanja. Pored egzaktnih metoda razvijeno je i nekoliko heurističkih algoritama. Gupta [18] je razvio heuristiku za pronalaženje minimalnog vremena proizvodnje kod dvofaznog HFS problema sa jednom mašinom u drugom nivou. Kahraman i drugi autori [22] su predstavili efikasan paralelni pohlepni algoritam za modifikovani HFS sa višeprocesorskim poslovima. Poslednjih godina metaheuristike predstavljaju najpopularniji pristup za rešavanje problema višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama. Janiak i Kozan [21] primenili su algoritam simuliranog kaljenja i tabu pretragu za rešavanje HFS problema sa ciljem minimi

24 GLAVA 2. PROBLEM VIŠEFAZNE PROIZVODNJE SA PARALELNIM MAŠINAMA Slika 2.1: Broj radova o HFS problemu u periodu od godine do godine zovanja troškova. Genetski algoritam je primenjen na HFS problem sa ciljem minimizacije vremena proizvodnje od strane više autora [2, 5, 36]. Zastupljenost metoda koje su korišćene za rešavanje HFS problema prikazana je na slici 2.2 (MPF - matematičko programiranje i formulacija, DR - pravila slanja). Poznat skup instanci za HFS problem generisan je od strane Carliera i Nerona [7], i korišćen je za testiranje nekih metaheuristika kao što su veštački imuni sistem (AIS) [12, 35] genteski algoritmi (GA) [5], optimizacija mravljim kolonijama(aco) [1, 23]. DR 13% MPF 15% heuristike 37% B&B 10% ostali 6% GA 8% SA 5% TS 6% Slika 2.2: Zastupljenost metoda za rešavanje HFS problema U preko 60% radova vezanih za HFS problem funkcija cilja predstavlja minimizaciju ukupnog vremena proizvodnje upravo zbog njenog praktičnog značaja, dok su ostale ocene kvaliteta rasporeda poslova zastupljene u veoma malim procentima

25 GLAVA 2. PROBLEM VIŠEFAZNE PROIZVODNJE SA PARALELNIM MAŠINAMA 2.1 Opis problema Problem rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama (Hybrid flow shop (HFS) scheduling problem) se odnosi na optimizaciju procesa prioizvodnje, odnosno rasporedivanje n poslova na odredenom skupu mašina grupisanih u k nivoa, gde svaki nivo odgovara jednoj fazi proizvodnog procesa. Na svakom nivou s, s = 1, 2,..., k, raspoloživo je m s identičnih paralelnih mašina, pri čemu je m s 2 na bar jednom nivou s. Svaki posao j = 1, 2,... n treba da bude obraden na jednoj od mašina na svakom nivou, pri čemu ni jedna mašina ne može da obraduje više od jednog posla istovremeno, i u jednom trenutku posao može da se obraduje na tačno jednoj mašini. Kada se počne sa obradom jednog posla, posao se kompletira bez prekida. Pripremno vreme za eventualno podešavanje mašine je uključena u vreme obrade posla i nema ograničenja skladištenja izmedu nivoa. Cilj HFS problema je rasporediti poslove po mašinama na svakom nivou i odrediti redosled poslova koje treba obaviti na svakoj mašini, tako da ukupno vreme proizvodnje, odnosno vreme završetka poslednjeg posla bude minimalno. 2.2 Matematička formulacija Matematička formulacija problema [34] višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama zahteva uvodenje sledeće notacije: j - indeks poslova s - indeks nivoa i - indeks mašina S js - vreme početka posla j u nivou s F js - vreme završetka posla j u nivou s P js - vreme trajanja posla j u nivou s m s - broj { raspoloživih mašina u nivou s 1, posao j dodeljen mašini i u nivou s X jis = { 0, inače 1, posao j prethodi poslu g u nivou s Y jgs = 0, inače Korišćenjem navedene notacije, opisani problem se može formulisati kao problem celobrojnog linearnog programiranja: min C max pri uslovima: C max F js, s = 1,..., k, j = 1, 2,..., n (2.1) F js = Sjs + P js, s = 1,..., k, j = 1, 2,..., n (2.2) m s i=1 X ijs = 1, s = 1, 2,..., k, j = 1, 2,..., n (2.3) F js S j(s+1), s = 1, 2,..., k 1 (2.4) S xs F ys LY xys, (x, y), s = 1, 2,..., k (2.5) X jis {0, 1}, Y jis {0, 1}, s = 1, 2,..., k, i = 1, 2..., m s, j = 1, 2,..., n (2.6)

26 GLAVA 2. PROBLEM VIŠEFAZNE PROIZVODNJE SA PARALELNIM MAŠINAMA Uslovi (2.1) i (2.2) definišu maksimalno vreme trajanja svih poslova. Uslov (2.3) obezbeduje da se svaki posao u svakom nivou izvršava na samo jednoj mašini. Uslov (2.4) garantuje da se posao može započeti u tekućem nivou samo ako je njegova obrada u prethodnom nivou završena. Uslovi (2.4) i (2.5) obezbeduju da svaka mašina može da izvršava samo jedan posao u jednom trenutku i da se tekući posao može započeti samo ako je posao koji mu prethodi završen. Uslovom (2.6) definišemo binarne promenljive problema. Problem višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama se smatra osnovnim problemom za modeliranje realnih automatizovanih industrijskih postrojenja. U osnovni model mogu se uključiti dodatna ograničenja, na primer kapacitet skladišta izmedu dve faze proizvodnje razmatranje skladištenje ili vreme neophodno za pauzu izmedu obrade dva posla. Tekstilne kompanije dosta pažnje posvećuju proučavanju problema višefazne proizvodnje upravo zbog postupka obrade svojih proizvoda. Odeća se obraduje u uzastopnim proizvodnim postrojenjima sa većim brojem identičnih mašina. Operacije (poslovi) koji se često javljaju su pletenje, tkanje, sečenje i bojenje tkanina. Primene se mogu naći u gradevinskoj industriji pri proizvodnji betosnkih blokova [17]. Betonski blokovi se proizvode po nalogu klijenta u nekoliko veličina i od nekoliko vrsta betona. Vrsta betona utiče na jačinu bloka, težinu, mogućnost toplotne izolacije kao i njegovu cenu, dok veličina bloka zavisi od njegove buduće upotrebe. Blokovi se dobijaju korišćenjem kalupa različitih veličina ali ni broj ni vrsta kalupa nisu strogo odredeni već zavise od naloga klijenta. Svaki kalup odgovara jednom poslu, koje prolazi kroz uzastopnih osam faza u sledećem redosledu: (1) priprema komponenti, (2) sjedinjavanje komponenti i punjenje kalupa, (3) učvršćivanje betona u kalupu, (4) odsecanje blokova od formiranog betona, (5) kontrola kvaliteta, (6) finalno učvršćivanje blokova na visokoj temperaturi i pod visokim pritiskom, (7) dostavljanje blokova u magacin, (8) transprtovanje blokova klijentu. Faze 2, 3, 4 su osetljive i završeni posao ne sme čekati na prelazak u sledeću fazu, dok izmedu faza 6 i 7 ne postoji privremeno skladište. Cilj je minimizovati potrebno vreme proizvodnje. Matematički model ovako opisanog problema se lako može dobiti iz prethodno navedenog matematičkog modela HFS problema dodavanjem jednog ograničenja: S js F j(s 1) = 0, s = 2, 3, 4 koje upravo opisuje da završeni posao ne sme čekati na prelazak u sledeću fazu u nivoima 2,3,4. Slične primene se mogu naći u elektronskoj i papirnoj industriji kao i u neproizvodnim oblastima kao što su internet servisi i upravljački sistemi

27 Rešavanje HFS problema metaheurističkim algoritmima 3 U prvom poglavlju predstavljeni su osnovni koncepti metaheurističkih metoda koje će biti korišćene za rešavanje problema višefazne proizvodnje sa paralelnim mašinama. U ovom poglavlju biće izloženi detalji implementacije svake metode. Za potrebe svih metaheurističkih algoritama potrebno je definisati pretraživački prostor izborom kodiranja rešenja. Način kodiranja dopustivih rešenja, kao i azbuka simbola nad kojom se ono vrši predstavljaju važan korak u implementaciji metaheurističkih metoda. Univerzalni način kodiranja ne postoji tako da tehnike kodiranja variraju od problema do problema. Kodiranje treba da omogući da se sa što manjim brojem simbola i što prirodnije izraze glavne karakteristike rešenja. Kod HFS problema traži se raspored poslova kojim M ih treba obaviti na svakoj Nivo 1 mašini u svakom nivou, tako M2 3 2 da ukupno vreme proizvodnje Nivo 2 M1 M2 Slika 3.1: Dekodiranje rešenja bude minimalno. Raspored poslova koji treba obaviti u nekom nivou se može predstaviti kao niz celih brojeva, pa se za kodiranje rešenja može odabrati permutacija skupa indeksa n poslova koja označava redosled dolaska poslova na prvu slobodnu mašinu u prvom nivou. Dekodiranje rešenja se može predstaviti na jednostavnom primeru HFS problema sa 5 poslova i 2 nivoa. Oba nivoa sadrže po dve identične paralelne mašine. Na slici 3.1 je prikazano rešenje (5, 3, 4, 1, 2) i raspored izvršavanja poslova pri dolasku poslova u navedenom redosledu na prvu slobodnu mašinu. Sekvenca (3, 5, 1, 3, 4) ne predstavlja rešenje HFS problema u datom kontekstu jer sadrži posao 3 na dve pozicije tj. ne predstavlja ispravnu permutaciju skupa poslova {1, 2, 3, 4, 5} gde se pod permutacijom podrazumeva niz koji sadrži svaki element datog konačnog skupa jednom i samo jednom. Kod svih metaheuristika mogu se koristiti različiti kriterijumi zaustavljanja u zavisnosti od potrebe i načina testiranja. Često se kombinuju dva ili više kriterijuma čime se smanjuje mogućnost da se loše proceni kada treba prekinuti algoritam. Kriterijumi zaustavljanja koji su korišćeni u metaheurističkim algoritmima pri rešavanju HFS problema su ponavljanje najboljeg rešenja maksimalni unapred zadati broj puta, dostizanje optimalnog rešenja (ako je ono unapred poznato) i ograničeno vreme izvršavanja algoritma

28 GLAVA 3. REŠAVANJE HFS PROBLEMA METAHEURISTIČKIM ALGORITMIMA 3.1 Metoda simuliranog kaljenja Početno rešenje Generisanje početnog rešenja se vrši kreiranjem sekvence indeksa poslova x = (1, 2, 3,..., n), gde je n broj poslova i primene funkcije koja vrši zamene na slučajno odabranim pozicijama u nizu x. Tako dobijeno početno rešenje i dalje predstavlja permutaciju indeksa poslova i predstavlja dopustivo rešenje za HFS problem. Okolina rešenja Okolina sekvence x se dobija zamenom mesta poslova na poziciji i i j. Ovakva transformacija rešenja je složenosti O(1) i izvršava se veoma brzo. Za fiksiranu temperaturu T generisanje slučajnog rešenja x u okolini rešenja x se izvršava k puta kako bi se obezbedila stabilizacija rešenja na tekućoj temperaturi. Postupak dobijanja u okolini rešenja x prikazano je na slici 3.2. x i j x Slika 3.2: Zamena poslova na pozicijama i i j Verovatnoća prihvatanja lošijeg rešenja Ukoliko je došlo do poboljšanja trenutno najboljeg rešenja, rešenje x se prihvata i koristi za sledeću iteraciju. Ako nije došlo do poboljšanja najboljeg trenutnog rešenja potrebno je sa odredenom verovatnoćom prihvatiti rešenje x. Verovatnoća treba da zavisi od temperature, tako da pri visokoj temperaturi verovatnoća prihvatanja lošijeg rešenja bude veća, dok pri niskim temperaturama ta verovatnoća bude bliska 0. Osim toga, za jako loša rešenja verovatnoća prihvatanja treba da bude mala za razliku od rešenja koja ne odstupaju puno od tekućeg rešenja. Iz navedenih razloga, verovatnoća prihvatanja se računa pomoću odstupanja od tekućeg rešenja = f(x) f(x ) i tekuće temperature T uz primenu eksponencijalne funkcije (α) T, gde je 0 < α < 1. Broj dobijen na ovaj način pripada segmentu [0, 1] jer su odstupanje i temperatura T pozitivni brojevi pa predstavlja verovatnoću koja ima gore navedena svojstva. Koraci metode simuliranog kaljenja prikazani su pseudokodom

29 GLAVA 3. REŠAVANJE HFS PROBLEMA METAHEURISTIČKIM ALGORITMIMA 3.2 Tabu pretraga Početno rešenje Početno rešenje se dobija na identičan način kao kod metode simuliranog kaljenja tj. ukoliko ono nije prosledeno vrši se kreiranje sekvence indeksa poslova x = (1, 2, 3,..., n), gde je n broj poslova uz primenu funkcije koja vrši zamene na slučajno odabranim pozicijama u nizu x. Lokalna pretraga Lokalna pretraga se izvršava u odnosu na okolinu rešenja x, koja se dobija uklanjanjem posla sa jedne pozicije i i njegovo umetanje na neku drugu poziciju j u sekvenci x. Lokalna pretraga se ne završava pri prvom poboljšanju rešenja već se vrši potpuna pretraga okoline. (Best improvement). Postupak dobijanja rešenja x iz okoline rešenja x prikazano je na slici 3.3. x i j x Slika 3.3: Umetanje posla i na poziciju j Tabu lista Važan deo implementacije tabu pretraživanja je upravo tabu lista čiji mehanizam omogućava algoritmu prevazilaženje lokalnog optimuma. Kako se u lokalnoj pretrazi vrši pomeranje posla p sa pozicije i na poziciju j, tabu potezom možemo proglasiti vraćanje posla p sa pozicije j na prethodnu poziciju i što predstavlja uredenu trojku (p, i, j). Može se primetiti da ovaj tip tabu poteza ne ograničava pretragu u velikoj meri, ali i da se ciklusi mogu pojaviti ako se posao p premesti na poziciju k a zatim sa pozicije k na poziciju i. Stroži tabu bi podrazumevao vraćanje posla p na poziciju i (bez razmatranja njegove trenutne pozicije) a to se može predstaviti kao uredeni par (p, i), dok se tabu koji u potpunosti onemogućava pomeranje posla p sa svoje nove pozicije, može jednostavno označiti sa (p). Tabu lista je realizovana heš mapom koja potez (p, i) slika u broj koji predstavlja na koliko iteracija je dati potez zabranjen. Pri dodavanju tabu poteza u listu broj zabranjenih iteracija se odreduje na slučajan način iz skupa [D min, D max ] N

30 GLAVA 3. REŠAVANJE HFS PROBLEMA METAHEURISTIČKIM ALGORITMIMA 3.3 Metoda promenljivih okolina Početno rešenje Za dobijanje početnog rešenje VNS metode koristi se redukovana metoda promenljivih okolina na, koja se sastoji u slučajnom izboru rešenja u nizu okolina N k. Okolina N k sekvence x se dobija postupkom umetanja posla sa pozicije i na poziciju j i to k puta (slika 3.3) Sve okoline su definisane u odnosu na istu metriku, ali sa različitim rastojanjem. Ovakav tip okoline omogućava konstrukciju dobre sekvence u početnim koracima. Okolina rešenja Za realizaciju VNS algoritama i definisanje okoline korišćeno je pet tipova okolina tj. pet vrsti transformacije koje se sistematski menjaju tokom rada algoritma. Osnovna okolina N k sekvence x dužine n dobija se na jedan od sledećih načina: (1) invertovanjem indeksa poslova izmedu dve pozicija i i j, pri čemu je j i > 2 (slika 3.4). (2) premeštanjem podsekvence od pozicije 0 do pozicije i na kraj sekvence x i premeštanjem podsekvence od pozicije j do pozicije n na početak sekvence x (slika 3.5). (3) umetanjem indeksa posla sa pozicije i na poziciju j (slika 3.3). (4) zamenom indeksa poslova na pozicijama i i j (slika 3.2) (5) zamenom indeksa poslova na pozicijama i 1 i j 1 i umetanjem posla sa pozicije i 2 na poziciju j 2 (slika 3.6). Svaka osnovna okolina N k se sastoji od niza okolina koje se dobijaju izvršavanjem l transformacija istog tipa, i takvu okolinu označavamo N k,l. Na primer, okolina N 3,4 se dobija četiri uzastopnim transformacijama zamene poslova i i j. Primenom navedenih transformacija na rešenje x, dobijeno rešenje je uvek dopustivo. x x i Slika 3.4: Invertovanje sekvence poslova x x i Slika 3.5: Zamena podsekvenci poslova x x x i1 i Slika 3.6: Kompozicija zamene i umetanja Lokalna pretraga U literaturi se često navodi važnost brzine lokalne pretrage kod VNS algoritma. Iz tog razloga lokalna pretraga koristi tip okoline (4) i izvršava se do prvog poboljšanja (First improvement) za razliku od lokalne pretrage tabu pretraživanja koja je implementirana kao potpuna pretraga. j1 j j j2-24 -

31 GLAVA 3. REŠAVANJE HFS PROBLEMA METAHEURISTIČKIM ALGORITMIMA 3.4 Optimizacija rojevima čestica Početna populacija Čestice u početnoj populaciji se kreiraju od inicijalne sekvence x = (1, 2, 3,..., n) na koju se primenjuje funkcija koja vrši zamene na slučajno odabranim pozicijama. Na slučajan način za svaku česticu generiše se mutacioni faktor koji simulira vektor brzine čestice. Nakon generisanja čestica, pronalazi se najbolja čestica p b. Pomeranje čestica Ažuriranje pozicije čestice se vrši korišćenjem tri operatora. Prvi operator O 1 usmerava česticu u pravcu vektora brzine, i realizovan je kao operator mutacije. Operator O 2 koristi iskustvo čestice za njeno usmeravanje i realizovan je kao operator ukrštanja trenutne pozicije X sa najboljom pozicijom čestice p i, dok operator O 3 koristi iskustvo roja čestica i realizovan je kao operator ukrštanja trenutne pozicije X sa najboljom pozicijom celog roja p b. Operator mutacije kretanje u pravcu {}}{ X i = c 2 O 3 (c 1 O 2 ( wo 1 (X i ), p i ), p }{{} b ) kognitivno učenje } {{ } socijalno učenje Na svaku česticu roja se prvo primenjuje operator mutacije koji predstavlja kretanje čestice u pretraživačkom prostoru bez drugih uticaja. Faktor izvršavanja mutacije se reguliše parametrom w. U algoritam su ugradena dva tipa mutacije, svaki tip se realizuje sa verovatnoćom 1 2. U oba slučaja data je sekvenca poslova x i dve pozicije i i j u sekvenci x. Okolina sekvence x je definisana u zavisnosti od tipa mutacije: Zamena. Okolina sekvence x se dobija zamenom mesta poslova na poziciji i i j. Ovakav tip mutacije je potreban kada je poznato dobro rešenje i zahteva male promene za poboljšanje (slika 3.2). Insercija. Okolina sekvence x se dobija umetanjem posla sa pozicije i na poziciju j. Ovakav tip mutacije diverzifikuje pretragu i omogućava konstrukciju dobre sekvence u početnim koracima algoritma (slika 3.3)

32 GLAVA 3. REŠAVANJE HFS PROBLEMA METAHEURISTIČKIM ALGORITMIMA Operator ukrštanja Na sekvencu dobijenu primenom operatora mutacije dva puta se primenjuje operator ukrštanja [28], jednom u svrhu kognitivnog, a drugi put u cilju socijalnog razvoja čestice. Kognitivni razvoj se može dobiti uzimanjem podsekvence poslova iz najbolje poznatog rešenja u kome se čestica nalazila, dok se socijalni razvoj može dobiti uzimanjem podsekvence iz najboljeg rešenja celog roja. Upravo iz tih razloga socijalno i kognitivno učenje se realizuju operatorom ukrštanja dve sekvence X 1 i X 2 koji se izvršava u četiri koraka: (1) Kreiranje prazne sekvence X p, (2) Biranje dve slučajne pozicije i i j u prvoj sekvenci poslova X 1, (3) Kopiranje podsekvence poslova izmedu dve izabrane pozicije iz koraka 1 na levi ili desni kraj sekvence X p, (4) Prazne pozicije u sekvenci poslova X p se popunjavaju redom poslovima iz druge roditeljske sekvence X 2. Rezultat sprovedenog ukrštanja sekvenci X 1 i X 2 se nalazi u sekvenci X p. Primer ukrštanja dve sekvence dat je na slici 3.7 x1 i j 6 xp x Slika 3.7: Operator ukrštanja

33 Hibridizacija metaheurističkih algoritama za rešavanje HFS problema 4 Bez obzira na efikasnost implementacije, nijedna metaheuristicka metoda ne garantuje optimalnost dobijenog rešenja, šta više izuzetno je teško predvideti kvalitet dobijenog rešenja tj. njegovo odstupanje od optimalnog rešenja. Da bi se povećala efikasnost metaheurističkih metoda, u poslednje vreme u literaturi se pojavljuju kombinacije raznih metoda, tzv. hibridini algoritmi. Često se vrše hibridizacije populacijskih metaheuristika (population based) tako da se na odreden broj jedinki na osnovu nekog kriterijuma primenjuje druga metaheuristika koja radi nad jednim rešenjem (single solution based). U literaturi se mogu naći hibridni algoritmi nastali od GA i TS, PSO i SA, a kombinacija GA i LS evoluirala je u novu metaheuristiku poznatu pod imenom memetski algoritam (Memetic Algorithm) i uspešno je primenjen na različite probleme. [30]). U ovom poglavlju biće predložene hibridizacije spomenutih algoritama iz prvog poglavlja u cilju da se dobre osobine dve ili više metaheurističke metode sjedine u novu složeniju metodu za rešavanje velikih instanci problema rasporedivanja poslova u višefaznoj proizvodnji sa paralelnim mašinama. Hibridizacije metaheurističkih metoda se mogu izvršiti na više načina počev od jednostavnog nadovezivanja jedne na drugu pa do njihovog preplitanja u toku rada [29]. 4.1 Predloženi hibridni algoritam PSO-TS Ideja hibridizacije PSO i TS metaheuristika je da PSO algoritam ima ulogu diversifikacije, dok TS treba da vrši usmeravanje pretrage u prostoru dopustivih rešenja. PSO-TS algoritam je implementiran kao osnovni PSO algoritam uz to da se u početnoj populaciji na najbolju česticu primenjuje TS algoritam sa ograničenjem od β iteracija bez popravke rešenja. U svakoj iteraciji PSO algoritma na najbolju česticu i jednu česticu sa najmanjom vrednošću funkcije cilja primenjuje se TS algoritam. Ukoliko u PSO algoritmu nakon θ iteracija nije došlo do poboljšanja funkcije cilja izvršava se zamena 40% od ukupnog broja čestica. Sve čestice se sortraju na osnovu vrednosti funkcije cilja u rastućem poretku. Prvih 40 % čestica se zamenjuje novim česticama koje se dobijaju algoritmom tabu pretrage sa ograničenjem od β iteracija bez popravke rešenja

34 GLAVA 4. HIBRIDIZACIJA METAHEURISTIČKIH ALGORITAMA ZA REŠAVANJE HFS PROBLEMA 4.2 Predloženi hibridni algoritam PSO-VNS-SA Kod PSO, VNS i SA hibridizacije ideja je iskoristiti SA metodu za brzo pronalaženje dobrih pozicija čestica uz održavanje njihove raznovrsnosti. VNS algoritam treba da doprinese brzom lokalnom pretragom koja relativno dobro pozicioniranim česticama SA algoritmom pronalazi još bolju poziciju. Iz tog razloga, nakon generisanja početne populacije i odredivanja najbolje čestice u roju, pokušava se sa popravkom pozicije najbolje čestice pomoću VNS metode sa ograničenjem od γ sekundi. U svakoj generaciji na slučajan način se bira: 20% čestica na koje se primenjuje metoda simuliranog kaljenja, 10% čestica i najbolja čestica na koje se primenjuje VNS algoritam sa ograničenjem od γ sekundi

35 Eksperimentalni rezultati Instance Za testiranje predloženih metaheurističkih metoda korišćene su instance kreirane od strane J.Carliera i E.Nerona [7]. Tri karakteristična parametra instanci su broj poslova, broj nivoa i broj raspoloživih identičnih mašina u svakom nivou. Na primer, oznaka instance j15c10b1 označava problem sa 15 poslova i 10 mašina. Karakteri j i c se odnose na poslove i nivoe, respektivno, dok karakter b označava strukturu rasporedenih mašina. Poslednji broj 1 u nazivu instance, označava indeks instance datog tipa. Značenje karaktera koji označavaju strukturu rasporedenih mašina je: (a) U srednjem nivou je raspoloživa samo jedna mašina, u ostalim po tri, (b) U prvom nivou je raspoloživa samo jedna mašina, u ostalima po tri, (c) U srednjem nivou su raspoložive dve mašine, u ostalima po tri, (d) U svakom nivou su raspoložive po tri mašine. Primer jedne instance prikazan je pseudokodom 5.1. Prva linija sadrži broj poslova, druga linija broj nivoa kroz koje poslovi prolaze, a treća linija sadrži broj raspoloživih mašina u svakom nivou. U narednim linijama su data vremena izvršavanja posla za svaki nivo i svaki posao pojedinačno. Recimo, u navedenom primeru instance, na nivou 1, za posao 1 je potrebno 10 jedinica vremena, a za posao 2 je potrebno 3 jedinice vremena. Slično se dobijaju vremena izvršavanja i za drugi i treći nivo. Job:2 Stage:3 Machine:2,1,2 #1 1=10 2=3 #2 1=11 2=4 #3 1=15 2=9 Algoritam 5.1: Primer instance

36 GLAVA 5. EKSPERIMENTALNI REZULTATI Skup od 77 instanci sadrži 53 laka i 24 teška problema. Raspored mašina ima veliki uticaj na težinu problema pa tako problemi sa (a) i (b) rasporedom su lakši za rešavanje, dok su rasporedi (c) i (d) kompleksniji za rešavanje. Autori u [34] su sve probleme podelili u dve grupe. U grupu lakših problema svrstali su probleme do kojih se optimalno rešenje dostiže u kratkom vremenu. Takvi su svi problemi sa rasporedima mašina (a) i (b) tipa, i 10 problema sa 10 poslova i rasporedom (c) tipa (j10c10x). Ostali problemi (2x(c) raspored i 2x(d) raspored) spadaju u grupu teških problema. Za sve instance problema u [34] su izračunate donje granice (LB) koje garantuju vrednost manju ili jednaku od optimalne. Dostizanje (LB) vrednosti garantuje optimalnost rešenja, a u suprotnom se može koristi kao mera za računanje odstupanja dobijenog rešenja. 5.2 Rezultati testiranja metaheurističkih algoritama Svi predloženi algoritmi su implementirani u programskom jeziku C++ i testirani na računaru sa Intel Core i5, 3.30GHz procesorom i 4GB radne memorije. Metaheurističke metode se zaustavljaju pri dostizanju LB vrednosti ili nakon isteka 60s. Ukoliko nije pronadeno rešenje čija vrednost funkcije cilja iznosi LB i isteklo je vreme izvršavanja prihvata se najbolje do tada pronadeno rešenje. Parametri koji su korišćeni za testiranje predloženih metaheurističkih algoritama prikazani su u tabeli 5.1. Tabela 5.1: Parametri korišćeni za testiranje predloženih algoritama Metaheuristika Parametar SA TS VNS PSO Početna temperatura (T ) Eksponent (α) Parametar hladenja (v) Završna temperatura Minimalna dužina tabu liste D min Maksimalna dužina tabu liste D max Broj iteracija RVND Broj čestica Mutacioni faktor w Kognitivni faktor C Socijalni faktor C Svi problemi sa (a) i (b) rasporedom mašina rešeni su uspešno SA, VNS i PSO metaheuristikama. TS metoda nije dostigla optimalno rešenje jednog problema sa (b) rasporedom mašina. Posmatrajući skup lakih problema SA, VNS i PSO algoritmi su pronašli optimalno rešenje u 88,7 % slučajeva dok je TS algoritam uspešno rešio 86,8 % problema iz lakše kategorije. Na skupu težih problema izdvaja se VNS metaheuristika sa 62,5% uspešnosti, zatim sledi TS sa 58%, PSO sa 50 % i na kraju SA sa 45% rešenih problema. Treba naglasiti da se SA algoritam u proseku izvršavao samo 0.09s zbog prirode primenjenog kriterijuma zaustavljanja, tj. dostizanje temeprature 0.1. Prosečno vreme izvršavanja ostalih algoritama je od 14s do 18s i prikazano je na slici 5.2. Najmanje prosečno odstupanje u procentima imaju rešenja dobijena TS a zatim VNS algoritmom. Detaljan prikaz prosečnog odstupanja dobijenih rešenja u zavisnosti od primenjene metaheuristike prikazan je grafički na slici

37 GLAVA 5. EKSPERIMENTALNI REZULTATI Sumirani rezultati dobijeni predloženim algoritmima prikazani su u tabeli 5.2 sa datim procentom i brojem uspešno rešenih problema iz svake grupe. Tabela 5.2: Poredenje efikasnosti predloženih metaheurističkih metoda Prosečno Uspešno rešeni problemi iz grupe vreme odstupanje lakih # (53) teških # (24) lakih % teških % SA TS VNS PSO Detaljni rezultati testiranja pojedinačnih metaheuristika za sve instance problema dati su u tabeli 5.3. Kolona C max predstavlja najbolje rešenje koje je algoritam dostigao nakon 10 pokretanja, dok kolona vreme predstavlja prosečno vreme rada algoritma. Vrednost u koloni GAP predstavlja srednje odstupanje rešenja od donje granice (LB) i računa se po formuli: GAP = i=1 gap i, gde je gap i = 100 rezultat i LB. LB Kolona GAP se može koristiti za utvrdivanje efikasnosti testiranih algoritama za konkretnu instancu problema. Devijacija dobijenih rešenja dobijena po formuli σ = 10 i=1 (gap i) agap) 2 za sve testirane instance problema iznosi 0, pa sama kolona nije prikazana u tabeli. Poslednja kolona LB sadrži donju granicu instance problema ,00 SA TS VNS PSO 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0, Slika 5.1: Prosečno odstupanje dobijenih rešenja od LB vrednosti (instance teških problema)

38 GLAVA 5. EKSPERIMENTALNI REZULTATI Tabela 5.3: Rezultati testiranja predloženih metaheurističkih algoritama C max Vreme(s) GAP SA TS VNS PSO SA TS VNS PSO SA TS VNS PSO LB j10c5a j10c5a j10c5a j10c5a j10c5a j10c5b j10c5b j10c5b j10c5b j10c5b j10c5b j10c5c j10c5c j10c5c j10c5c j10c5c j10c5c j10c5d j10c5d j10c5d j10c5d j10c5d j10c5d j10c10a j10c10a j10c10a j10c10a j10c10a j10c10a j10c10b j10c10b j10c10b j10c10b j10c10b j10c10b j10c10c j10c10c j10c10c j10c10c j10c10c j10c10c j15c5a j15c5a j15c5a j15c5a j15c5a j15c5a j15c5b j15c5b j15c5b j15c5b j15c5b j15c5b

39 GLAVA 5. EKSPERIMENTALNI REZULTATI *nastavak tabele 5.3 C max Vreme(s) GAP SA TS VNS PSO SA TS VNS PSO SA TS VNS PSO LB j15c5c j15c5c j15c5c j15c5c j15c5c j15c5c j15c5d j15c5d j15c5d j15c5d j15c5d j15c5d j15c10a j15c10a j15c10a j15c10a j15c10a j15c10a j15c10b j15c10b j15c10b j15c10b j15c10b j15c10b Instance problema koji spadaju u grupu teških problema označene su podebljanim slovima. PSO PSO VNS VNS TS TS SA SA 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 Slika 5.2: Grafički prikaz prosečnog vremena izvršavanja i prosečnog odstupanja

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Rešavanje problema uspostavljanja uslužnih objekata primenom heurističkih metoda

Rešavanje problema uspostavljanja uslužnih objekata primenom heurističkih metoda Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Miloš Jordanski Rešavanje problema uspostavljanja uslužnih objekata primenom heurističkih metoda master rad Beograd 2014. Mentor: dr Miroslav Marić Matematički

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING

More information

APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION

APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

~ HEURISTIKE ~ Složen problem se često ne može rešiti tačno, zato koristimo približno rešenje!

~ HEURISTIKE ~ Složen problem se često ne može rešiti tačno, zato koristimo približno rešenje! ~ HEURISTIKE ~ Složen problem se često ne može rešiti tačno, zato koristimo približno rešenje! Heuristika je jedan vid rešavanja složenih problema. Umesto da se izlistaju sva rešenja nekog problema i među

More information

Univerzitet u Beogradu. Rešavanje problema optimalnog planiranja bežičnih meš mreža primenom metaheurističkih metoda

Univerzitet u Beogradu. Rešavanje problema optimalnog planiranja bežičnih meš mreža primenom metaheurističkih metoda Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Rešavanje problema optimalnog planiranja bežičnih meš mreža primenom metaheurističkih metoda Student: Lazar Mrkela Mentor: dr Zorica Stanimirović

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet. Nina Radojičić REŠAVANJE NEKIH NP-TEŠKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE. Master rad

Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet. Nina Radojičić REŠAVANJE NEKIH NP-TEŠKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE. Master rad Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Nina Radojičić REŠAVANJE NEKIH NP-TEŠKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE Master rad B e o g r a d 2 0 1 1. 2 Mentor: Doc. dr Miroslav Marić Matematički fakultet

More information

PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I

PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Nina Radojičić PRIMENA FAZI LOGIKE ZA REŠAVANJE NP-TEŠKIH PROBLEMA RUTIRANJA VOZILA I METODAMA LOKACIJE RESURSA RAČUNARSKE INTELIGENCIJE doktorska disertacija

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

ANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov

ANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 6, 1999 pp. 675-681 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski

More information

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Rješavanje lokacijskog problema ograničenih kapaciteta primjenom algoritma promjenjivih okolina i algoritma roja čestica

Rješavanje lokacijskog problema ograničenih kapaciteta primjenom algoritma promjenjivih okolina i algoritma roja čestica MAT-KOL (BANJA LUKA) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) VOL. XXI (2)(2015), 117-129 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Rješavanje lokacijskog problema ograničenih kapaciteta primjenom algoritma promjenjivih

More information

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE

More information

NEURONSKE MREŽE 1. predavanje

NEURONSKE MREŽE 1. predavanje NEURONSKE MREŽE 1. predavanje dr Zoran Ševarac sevarac@gmail.com FON, 2014. CILJ PREDAVANJA I VEŽBI IZ NEURONSKIH MREŽA Upoznavanje sa tehnologijom - osnovni pojmovi i modeli NM Mogućnosti i primena NM

More information

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES

INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Operaciona istraživanja 2. Poglavlje 8 - Teorija igara

Operaciona istraživanja 2. Poglavlje 8 - Teorija igara 8.1. Predmet teorije igara i osnovni pojmovi Operaciona istraživanja 2 - skripta za I kolokvijum 2012/13 (by Stepke) - Poglavlje 8 - Teorija igara Na primer, u igri šaha, rezultat igre ne zavisi samo od

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA

BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA UDC 575: 633.15 Original scientific paper BREEDING AND GENETIC PROPERTIES OF THE MAIZE VARIETY UZBEKSKA BELA Lazar KOJIC 1 and Dillyara AJGOZINA 2 1 Maize Research Institute, Zemun Polje, Belgrade, Serbia

More information

Šta je to mašinsko učenje?

Šta je to mašinsko učenje? MAŠINSKO UČENJE Šta je to mašinsko učenje? Disciplina koja omogućava računarima da uče bez eksplicitnog programiranja (Arthur Samuel 1959). 1. Generalizacija znanja na osnovu prethodnog iskustva (podataka

More information

PREGLED PARAMETARA ZA AUTOMATSKO KREIRANJE RASPOREDA NASTAVE

PREGLED PARAMETARA ZA AUTOMATSKO KREIRANJE RASPOREDA NASTAVE 10 th International Scientific Conference on Production Engineering DEVELOPMENT AND MODERNIZATION OF PRODUCTION PREGLED PARAMETARA ZA AUTOMATSKO KREIRANJE RASPOREDA NASTAVE Eldin Okanović, Evresa Gračanin

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION

VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL TO PREDICT THE PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR HEADED COMPONENTS

DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL TO PREDICT THE PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR HEADED COMPONENTS http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-060 JPE (2018) Vol.21 (2) Tiwari, I., Laksha, Khanna, P. Original Scientific Paper DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL TO PREDICT THE PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL

More information

APPLICATION OF NIR TECHNOLOGY IN THE ANIMAL FOOD INDUSTRY

APPLICATION OF NIR TECHNOLOGY IN THE ANIMAL FOOD INDUSTRY Biotechnology in Animal Husbandry 27 (4), p 1811-1817, 2011 ISSN 1450-9156 Publisher: Institute for Animal Husbandry, Belgrade-Zemun UDC 636.085 DOI: 10.2298/BAH1104811M APPLICATION OF NIR TECHNOLOGY IN

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1

UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA. Vesna Jablanović 1 Journal of Agricultural Sciences Vol. 48, No, 003 Pages 7-3 UDC: 330.54:330.368 Original scientific paper UNSTABILITY OF FOOD PRODUCTION PER CAPITA AND POPULATION: ASIA Vesna Jablanović Abstract: The basic

More information

Zbirka ispitnih zadataka iz Baza Podataka 1 Ispiti i kolokvijumi u periodu

Zbirka ispitnih zadataka iz Baza Podataka 1 Ispiti i kolokvijumi u periodu Beogradski univerzitet Elektrotehnički fakultet Miloš Cvetanović Zbirka ispitnih zadataka iz Baza Podataka 1 Ispiti i kolokvijumi u periodu 2007-2011 Beograd, Januar 2012 Ispiti... 3 Januarski ispitni

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Andrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008.

Andrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Andrea Rožnjik VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA - magistarska teza - Novi Sad, 2008. Predgovor

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD SUFIKSNI NIZ Mentor: Student: Prof. dr Miodrag Živković Slaviša Božović 1014/2011. Beograd, 2015. UVOD... 1 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.1.

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika - Master rad - Nebojša Perić 1024/2013 Beograd, 2014. 2 Mentor: Članovi komisije: Datum

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 10, N o 1, 2013, pp. 79-91 PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 Mladjen Ćurić 1, Stanimir Ţivanović

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H

AIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele. Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Grafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova

Grafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova Grafovi Osnovni algoritmi sa grafovima U ovom poglavlju će biti predstavljene metode predstavljanja i pretraživanja grafova. Pretraživanja grafa podrazumeva sistematično kretanje vezama grafa, tako da

More information

NASTAVNO NAUČNOM VEĆU MATEMATIČKOG FAKULTETA UNIVERZITETA U BEOGRADU

NASTAVNO NAUČNOM VEĆU MATEMATIČKOG FAKULTETA UNIVERZITETA U BEOGRADU NASTAVNO NAUČNOM VEĆU MATEMATIČKOG FAKULTETA UNIVERZITETA U BEOGRADU Na sednici Nastavno naučnog veća Matematičkog fakulteta održanoj odredjeni smo u Komisiju za pregled i ocenu doktorske disertacije godine,

More information

DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE OF A RECIPROCATORY TUBE FUNNEL FEEDER

DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE OF A RECIPROCATORY TUBE FUNNEL FEEDER http://doi.org/10.24867/jpe-2018-01-067 JPE (2018) Vol.21 (1) Jain, A., Bansal, P., Khanna, P. Preliminary Note DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE

More information

ADAPTIVE NEURO-FUZZY MODELING OF THERMAL VOLTAGE PARAMETERS FOR TOOL LIFE ASSESSMENT IN FACE MILLING

ADAPTIVE NEURO-FUZZY MODELING OF THERMAL VOLTAGE PARAMETERS FOR TOOL LIFE ASSESSMENT IN FACE MILLING http://doi.org/10.24867/jpe-2017-01-016 JPE (2017) Vol.20 (1) Original Scientific Paper Kovač, P., Rodić, D., Gostimirović, M., Savković, B., Ješić. D. ADAPTIVE NEURO-FUZZY MODELING OF THERMAL VOLTAGE

More information

TEHNIČKO REŠENJE. Algoritam za sinhronizaciju rada prediktora DRAM memorija

TEHNIČKO REŠENJE. Algoritam za sinhronizaciju rada prediktora DRAM memorija TEHNIČKO REŠENJE Algoritam za sinhronizaciju rada prediktora DRAM memorija M-85: Prototip, nova metoda, softver, standardizovan ili atestiran instrument, nova genetska proba, mikroorganizmi Autori: Vladimir

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Kontinualni lokacijski modeli. Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15

Kontinualni lokacijski modeli. Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15 Kontinualni lokacijski modeli Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15 O modelima Matematički modeli teorije lokacije daju nam odgovore na neka od sledećih pitanja : Koliko novih objekata treba otvoriti?

More information

Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0)

Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Asistenti doc. dr. sc. Ivan Kodrin dr. sc. Igor Rončević Literatura A. R. Leach, Molecular Modelling, Principles and Applications, 2. izdanje, Longman,

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Problemi transporta i analiza osetljivosti

Problemi transporta i analiza osetljivosti UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Tinde Ereg Problemi transporta i analiza osetljivosti -master rad- Novi Sad, 2013. Sadržaj 1. Uvod... 3 1.1.

More information

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje

MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje 1 Mrežno planiranje se zasniva na grafičkom prikazivanju aktivnosti usmerenim dužima. Dužina duži nema značenja, a sa dijagrama se vidi međuzavisnost aktivnosti. U mrežnom planiranju

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

1.1 Algoritmi. 2 Uvod

1.1 Algoritmi. 2 Uvod GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

MATHEMATICAL MODELING OF DIE LOAD IN THE PROCESS OF CROSS TUBE HYDROFORMING

MATHEMATICAL MODELING OF DIE LOAD IN THE PROCESS OF CROSS TUBE HYDROFORMING Journal for Technology of Plasticity, Vol. 40 (2015), Number 1 MATHEMATICAL MODELING OF DIE LOAD IN THE PROCESS OF CROSS TUBE HYDROFORMING Mehmed Mahmić, Edina Karabegović University of Bihać, Faculty

More information

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-1 Prilog B SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-2 B.1 Sintaksna notacija sa zagradama U osnovi svake sintaksne notacije nalaze se slede}i elementi: sintaksni pojam: leksi~ka konstrukcija koja se defini{e;

More information

5 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering 21. April Subotica, SERBIA

5 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering 21. April Subotica, SERBIA 5 th INTERNATIONAL CONFERENCE Contemporary achievements in civil engineering 21. April 2017. Subotica, SERBIA COMPUTER SIMULATION OF THE ORDER FREQUENCIES AMPLITUDES EXCITATION ON RESPONSE DYNAMIC 1D MODELS

More information

UNAPREDENJE PLANIRANJA PUTANJE ROBOTA BRAIN STORM ALGORITMOM

UNAPREDENJE PLANIRANJA PUTANJE ROBOTA BRAIN STORM ALGORITMOM DR ZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU DEPARTMAN ZA TEHNI CKE NAUKE Irfan S. Fetahovi c UNAPREDENJE PLANIRANJA PUTANJE ROBOTA BRAIN STORM ALGORITMOM doktorska disertacija Novi Pazar, 2018. STATE UNIVERSITY

More information

DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL

DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL Leo Gusel University of Maribor, Faculty of Mechanical Engineering Smetanova 17, SI 000 Maribor, Slovenia ABSTRACT In the article the

More information

Uvod u algoritamske tehnike

Uvod u algoritamske tehnike Uvod u algoritamske tehnike Tema i nacrt predavanja: Razmatraćemo različite pristupe u rešavanju programerskih problema. Fokusiraćemo se na tehnike za konstrukciju algoritama, na osobine, primenljivost

More information

THE CHANGE OF GENETIC AND PHENOTYPIC VARIABILITY OF YIELD COMPONENTS AFTER RECURRENT SELECTION OF MAIZE

THE CHANGE OF GENETIC AND PHENOTYPIC VARIABILITY OF YIELD COMPONENTS AFTER RECURRENT SELECTION OF MAIZE UDC575:633.15 DOI: 10.2298/GENSR0902207D Original scientific paper THE CHANGE OF GENETIC AND PHENOTYPIC VARIABILITY OF YIELD COMPONENTS AFTER RECURRENT SELECTION OF MAIZE Nebojša DELETIĆ, Slaviša STOJKOVIĆ,

More information

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,

More information

Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika

Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za elektroniku, mikroelektroniku, računalne i inteligentne sustave Primjena optimizacije kolonijom mrava na rješavanje problema trgovačkog putnika Seminarski

More information

Realizacija i ocjena MPPT algoritama u fotonaponskom sistemu napajanja

Realizacija i ocjena MPPT algoritama u fotonaponskom sistemu napajanja INFOTEH-JAHORINA Vol., March. Realizacija i ocjena MPPT algoritama u fotonaponskom sistemu napajanja Srđan Lale, Slobodan Lubura, Milomir Šoja Elektrotehnički fakultet, Univerzitet u Istočnom Sarajevu

More information

Fraktali - konačno u beskonačnom

Fraktali - konačno u beskonačnom Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova

More information

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević FACTA UNIVERSITATIS Series: Economics and Organization Vol. 2, N o 1, 2003, pp. 59-64 HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC 519.233.4 Vera Djordjević, Vinko Lepojević

More information

AN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC:

AN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC: UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 5, 1998 pp. 547-554 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski

More information

NON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION

NON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 17 (1) 39 44 (2011) CI&CEQ DRAGAN M. MILENOVIĆ 1 DRAGAN S. PEŠIĆ

More information

Kompresija slike pomoću Wavelet transformacije

Kompresija slike pomoću Wavelet transformacije INFOTEH-JAHORINA Vol. 13, March 2014. Kompresija slike pomoću Wavelet transformacije Sanja Golubović Računarska tehnika Visoka škola elektrotehnike i računarstva strukovnih studija Beograd, Srbija sgolubovic@viser.edu.rs

More information

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR: 1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska

More information

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5 Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY

More information

WEB PODATAKA (WEB OF DATA)

WEB PODATAKA (WEB OF DATA) WEB PODATAKA (WEB OF DATA) Jelena Jovanović Email: jeljov@gmail.com Web: http://jelenajovanovic.net Današnji Web - problemi Omogućeno je: definisanje načina prikaza informacija, postavljanje linkova ka

More information

Kontrolni uređaji s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu

Kontrolni uređaji s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu KOTROI SKOPOVI ZA RASVJETU I KIMA UREĐAJE Kontrolni i s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu Modularni dizajn, slobodna izmjena konfiguracije Sigurno. iski napon V Efikasno čuvanje energije Sigurnost.

More information

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/ Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/2008-2009 Genetski algoritam Postupak stohastičkog pretraživanja prostora

More information

DIZAJNIRANJE ORGANIZACIONE STRUKTURE UPRAVNIH ORGANA LOGISTIKE KORIŠĆENJEM FUZZY PRISTUPA

DIZAJNIRANJE ORGANIZACIONE STRUKTURE UPRAVNIH ORGANA LOGISTIKE KORIŠĆENJEM FUZZY PRISTUPA Sažetak: DIZAJNIRANJE ORGANIZACIONE STRUKTURE UPRAVNIH ORGANA LOGISTIKE KORIŠĆENJEM FUZZY PRISTUPA Pamučar S. Dragan, Univerzitet odbrane u Beogradu, Vojna akademija, Dekanat, Beograd, Vasin T. Ljubislav,

More information

DEFINING OF VARIABLE BLANK-HOLDING FORCE IN DEEP DRAWING

DEFINING OF VARIABLE BLANK-HOLDING FORCE IN DEEP DRAWING DEINING O VARIABLE BLANK-HOLDING ORCE IN DEEP DRAWING Aleksandrović S., Stefanović M. aculty of Mechanical Engineering, Kragujevac, Yugoslavia ABSTRACT Holding force is a significant parameter, which can

More information

DAMAGE DETECTIN OF STEEL STRUCTURES WITH PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS AND LAMB WAVES

DAMAGE DETECTIN OF STEEL STRUCTURES WITH PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS AND LAMB WAVES IV INTERNATIONAL SYMPOSIUM FOR STUDENTS OF DOCTORAL STUDIES IN THE FIELDS OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND ENVIRONMENTAL PROTECTION Nemanja Marković 1 Dragoslav Stojić 2 Tamara Nestorović 3 DAMAGE

More information

Primena Katalanovih brojeva i nekih kombinatornih problema u kriptografiji

Primena Katalanovih brojeva i nekih kombinatornih problema u kriptografiji UNIVERZITET SINGIDUNUM U BEOGRADU FAKULTET ZA INFORMATIKU I RAČUNARSTVO nekih kombinatornih problema u kriptografiji Diplomski rad Mentor: Doc. dr Saša Adamović Student: Muzafer Saračević Br. indeksa:

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

DIRECT-MAT. WP4: Uklanjanje asfaltnih kolovoza i reciklaža putnih materijala u asfalt. Dr Milorad Smiljanić, Institut za puteve, Beograd

DIRECT-MAT. WP4: Uklanjanje asfaltnih kolovoza i reciklaža putnih materijala u asfalt. Dr Milorad Smiljanić, Institut za puteve, Beograd DIRECT-MAT WP4: Uklanjanje asfaltnih kolovoza i reciklaža putnih materijala u asfalt Dr Milorad Smiljanić, Institut za puteve, Beograd WP 4 Prezentacija WP 4: Ciljevi Osvrt na objedinjenu literaturu i

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information