UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE. Doc. dr. sc. Tunjo Perić

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE. Doc. dr. sc. Tunjo Perić"

Transcription

1 UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE Doc. dr. sc. Tuno Perić

2 1. Poam višekriteriskog programirana Višekriterisko programirane e složen proces određivana nedominiranih rešena iz skupa mogućih rešena i određivane preferiranog rešena iz skupa nedominiranih rešena. Osnovne su faze višekriteriskog programirana: o definirane cileva sustava i određivane načina postizana tih cileva o matematički opis sustava i definirane načina vrednovana kriteriskih (cilnih) funkcia o primena postoećih metoda VP o donošene konačne odluke o ako konačno rešene nie usvoeno, srediti nove informacie i ponoviti postupak od 2. faze ponovnim definiranem zadatka (Opricović[1986])

3 I u ednokriteriskom programiranu avlau se navedene faze, ali nisu naglašene er se tu pod programiranem obično podrazumieva određivane optimalnog rešena, što odgovara trećo fazi višekriteriskog programirana. Pri rešavanu problema s više funkcia kriteria, koe su istovremeno nesrazmerne i/ili konfliktne, želi se postići više nego ednim kriteriem u izboru pravaca akcie, zadovolavaući uvete diktirane okolinom, procesima i resursima. Za rešavane modela VP u poslednih tridesetak godina razvien e veliki bro metoda. Metode VP zasnivau se na konceptu optimalnosti koi e dao talianski ekonomist V. Pareto godine. U literaturi se pored termina višekriterisko programirane za izražavane istog sadržaa koriste i termini: vektorska optimizacia i multikriterialna optimizacia

4 Poam Pareto optimalnosti uveden e u operaciska istraživana godine u pionirskom radu Koopmansa (Koopmans [1951]). Uopćenii prilaz, promatran kao problem maksimizacie vektorske funkcie nad ograničenim skupom ograničena, naveden e u radu Kuhna i Tuckera [1951]. Treba također spomenuti i rad: Markowitz [1956], koi e primienio poam nedominiranog skupa. 2. Model višekriteriskog programirana Pod modelom VP podrazumieva se model programirana s dvie ili više funkcia kriteria na nekom skupu mogućih rešena. Matematički oblik ovog modela možemo prikazati na sledeći način: max f f 1( x),..., fk ( x), (k 2) pri ograničenima (p.o.) g ( x) 0, i 1,..., m i 4

5 ili u vektorskom obliku: max f( x) (2.1) p.o. gx ( ) 0 (2.2) gde e x n-dimenzionalni vektor. Iz izraza (2.1) vidlivo e da u modelu VP postoi k funkcia kriteria koe treba maksimizirati, m ograničena i n variabli. Ako su u modelu sve funkcie f( x ) i gi ( x) linearne, onda e rieč o modelu višekriteriskog linearnog programirana. Međutim, ako e neka od tih funkcia nelinearna, radi se o modelu višekriteriskog nelinearnog programirana. Ako se u modelu nađu funkcie koe e potrebno minimizirati, dovolno e te funkcie pomnožiti s (-1)

6 3. Klasifikacia metoda višekriteriskog programirana Do sada e u literaturi poznato više klasifikacia metoda VP. Naznačanii pregled metoda VP i nihova klasifikacia dani su u radovima: Roy [1971], Mac-Crimmon [1973], Cohon i Marks [1975], Bell, Keeney i Raiffa [1975], Star i Zeleny [1977], Hwang i Masud [1979], Ho [1979], Despontion i Spronk [1979], Zionts [1980], Chankong i Haimes [1983], Yu [1985], Steuer [1985], Fandel i Spronk (Editors) [1985], Lai i Hwang [1996], Figueira, Greco i Erhgott (Editors) [2005]. Sve poznate klasifikacie metoda u biti su različite er polaze od različitog skupa metoda i različitih kriteria klasifikacie. Mi ćemo dati klasifikaciu metoda VP imaući u vidu sve značanie metode, a polazeći od odgovaraućih kriteria. Naša klasifikacia uglavnom se oslana na rad: Hwang i Masud [1979]

7 Prema prirodi variabli u sustavu koi se optimizira sve metode VP možemo podieliti na determinističke i stohastičke. Prema kvaliteti elementarnih aktivnosti sve metode VP možemo podieliti na metode s kontinuiranim variablama i metode s diskretnim variablama, a prema kriteriu linearnosti funkcia kriteria i ograničena na metode linearnog i nelinearnog višekriteriskog programirana. Prema brou mogućih rešena determinističke metode VP možemo podieliti na: (1) metode za određivane ednog ili više nedominiranih rešena i (2) metode za izbor preferiranog rešena iz konačnog skupa nedominiranih rešena. Karakteristike proizvodnih problema uvetuu razmatrane uglavnom detrminističkih linearnih i nelinearnih metoda VP s kontinuiranim i diskretnim variablama. Zbog toga će se u ovom radu obrađivati samo ovu klasu metoda

8 Determinističke metode VP s kontinuiranim variablama za određivane ednog ili više nedominiranih rešena prema kriteriu postoana i karaktera preferencie donositela odluke možemo svrstati u četiri grupe: 1. metode kod koih ne postoi asno izražena preferencia donositela odluke 2. metode kod koih postoi asno izražena preferencia donositela odluke 3. interaktivne metode 4. metode s a posteriori izraženom preferenciom donositela odluke. Naznačanie su linearne metode VP kod koih ne postoi asno izražena preferencia donositela odluke: 1. metoda globalnog kriteria 2. Riderova metoda

9 Metode VLP s a priori asno izraženom preferenciom donositela odluke možemo podieliti u dvie grupe: 1. metode kod koih postoi glavna informacia donositela odluke, među koima se ističu: (a) metoda funkcia korisnosti, (b) granična cilna metoda, (c) Briskinova metoda, (d) Haimes i Wismerova metoda, (e) Philipova metoda, (f) Staintonova metoda i (g) Waltzova metoda. 2. metode kod koih postoi glavna i redna informacia donositela odluke, a među nima značano mesto zauzimau: (a) linearno cilno programirane, (b) leksikografska metoda, (c) metoda postignuća cila i (d) Klahrova metoda. Glavna informacia odnosi se na poželne vriednosti funkcia kriteria koe određue donositel odluke. Redna informacia odnosi se na značanosti poedinih kriteriskih funkcia koe određue donositel odluke

10 Interaktivne metode VLP možemo podieliti u dvie grupe: 1. metode s eksplicitnom razmenom informacia, među koima se ističu: (a) metoda surogat vriednosti razmene, (b) metoda Zionts - Walleniusova, (c) Geoffrionova metoda, (d) interaktivno cilno programirane, (e) metoda zadovolena cileva, (f) Candlerova metoda i (g) Flavell i Salkinova metoda. 2. metode s implicitnom razmenom informacia, među koe možemo ubroiti: (a) metodu STEM, (b) Stewartovu metodu, (c) metodu SEMOPS, (d) metodu GP STEM, (e) Whiteovu metodu i (f) Steuerovu metodu

11 Metode s a posteriori asno izraženom preferenciom kod koih postoi implicitna informacia o razmenama esu: (a) parametarska metoda, (b) metoda ograničena, (c) metoda MOLP i (d) metoda pretraživana. Naznačanie metode za izbor preferiranog rešena iz skupa nedominiranih rešena esu: 1. iterativno kompromisno rangirane 2. metoda PROMETHEE 3. metoda ELECTRE 4. metoda AHP

12 4. Osnovni pomovi i terminologia U literatuturi koa obrađue probleme VP načešće se upotreblavau sledeća četiri poma: atributi, obekti, cilevi i kriterii (Engleski: Attributtes, Obectives, Goals, Criteria). Definicia 1: Atributi Atributi su osobine ili kvalitete parametara alternativa. Ova se termin upotreblava kod tzv. višeatributnog odlučivana kod koeg se vrši selekcia nabolih iz skupa unapried određenih alternativa. Određivane nabolih alternativa vrši se na temelu nihovih atributa. Neke od metoda višeatributnog odlučivana mogu se upotreblavati za izbor preferiranog rešena iz skupa nedominiranih rešena pa e ova termin često prisutan u literaturi koa obrađue probleme višekriteriskog odlučivana. Definicia 2: Obekti Obekti su pravci aktivnosti koi odražavau želu donositela odluke i ukazuu na pravac u koemu donositel odluke želi organizirati posao

13 Definicia 3: Cilevi Cilevi su razine žela koe e donositel odluke odredio u uvetima specifičnog stana u prostoru i vremenu. Prema tome, postoi razlika između obekata i cileva. Obekti dau želeni pravac, a cilevi želenu razinu ostvarena. Međutim, u literaturi ova e razlika zamaglena i ove dvie rieči se često upotreblavau zamenski. Mi ćemo u ovom radu upotreblavati ove termine u smislu gornih definicia. Definicia 4: Kriterii Etimološko značene rieči kriteri est standard za ocenu ili pravilo za ispitivane prihvatlivosti. Međutim, u literaturi koa obrađue probleme VP obično se ne pravi razlika između rieči kriteri i cil. Po našem mišlenu između kriteria i cila postoi razlika. Naime, kriteri e neposredna dimenzia dostizana cila

14 Definicia 5: Skup dopustivih rešena X Skup dopustivih rešena X est skup vektora x koi zadovolavau ograničena ( ) 0, t. X = x g( x) 0. (2.3) gx Skup X est podskup vektora realnog n-dimenzionalnog vektorskog prostora, t. X R n. Definicia 6: Kriteriski skup F Svakom elementu iz X pridružen e vektor f( x), što znači da e moguće preslikati X u F u prostoru funkcia kriteria. F e kriteriski skup koi možemo definirati na sledeći način: F= f ( x) x X. (2.4)

15 Definicia 7: Optimalno (marginalno) rešene Optimalno (marginalno) rešene predstavla maksimum svake komponente vektora f( x) na skupu dopustivih rešena X, to est: max f ( x) f ( x ) f, 1,...,, k p.o. x X (2.5) Definicia 8: Idealna vriednost vektorske funkcie (ideal) Vektor f f1, f2,..., f k, čia e -ta komponenta ekstremna vriednost funkcie f( x) na skupu dopustivih rešena X, naziva se idealna vriednost vektorske funkcie f( x)

16 Definicia 9: Savršeno rešene Savršeno rešene modela VP est ono koe dae maksimalnu vriednost svake funkcie kriteria istovremeno. Tako e, x savršeno rešene danog modela ako i samo ako e x X i f ( x ) f ( x) za svako x X. Budući da e u prirodi modela VP da imau konfliktne cileve, oni uglavnom nemau savršeno rešene, odnosno ono e nedopustivo. Definicia 10: Nedominirano rešene x e nedominirano rešene modela VP ako ne postoi neko drugo dopustivo takvo da e, f ( x) f ( x ) podrazumievaući da e f ( x) f ( x ) za sve = 1,..., k, sa striktnom neednakošću za namane edno. x U literaturi e nedominirano rešene poznato i kao: Pareto optimalno rešene, efikasno ili neinferiorno rešene. Pored poma nedominiranosti rešena uveden e i poam tzv. prave nedominiranosti rešena (Kuhn i Tucker [1951], Geoffrion [1968])

17 Definicia 11: Preferirano rešene Preferirano rešene est nedominirano rešene koe e izabrao donositel odluke, uz pomoć nekih drugih kriteria, kao konačno. Kao takvo, ono leži u područu prihvatlivom za vriednosti svih funkcia kriteria danog modela. Preferirano rešene poznato e i pod nazivom nabole kompromisno rešene. 5. Metode višekriterialnog linearnog programirana Kao što e prethodno naglašeno, u literaturi e poznat veliki bro metoda za rešavane modela VLP koima se određue edno ili više nedominiranih rešena. Mi smo sve te metode svrstali u četiri grupe primenom kriteria postoana i karaktera preferencie donositela odluke

18 Ovde ćemo dokazati naznačanie teoreme koi služe kao osnova algoritamskih pristupa metoda koe ćemo razmatrati. Sve metode VLP koe ćemo obrađivati zasnivau se na karakterizacii nedominiranih rešena u uvetima rešavana odgovaraućih skalarnih modela optimizacie. Teorem 2.1. x e nedominirano rešene modela VLP ako i samo ako e rešene modela max fl ( x) p.o. x X (2.9) f ( x), 1,..., k, l gde e T 1,..., l1, l1,..., k, za svako l = 1,..., k, gde e f ( x ) za = 1,..., k; l. x

19 Dokaz: (1) Nužan uvet: neka e x X nedominirano rešene. Pretpostavimo da ono ne rešava model -ograničena za neko l gde e f( x ) za = 1,..., k; l. Tada tu postoi rešene x X takvo da e fl( x) fl( x ) i f ( x) f ( x ) kada e l. Ovo e u kontradikcii s nedominiranošću rešena, pa nie rešene modela (2.9) za bilo kou kriterisku funkciu. (2) Dovolan uvet: Budući da e rešene modela (2.9) za svako l = 1,..., k, onda tu ne postoi ni edno drugo x X takvo da e fl( x) fl( x ) i f ( x) f ( x ), = 1,..., k, kada e l. Ovo e definicia nedominiranog rešena za. Teorem 2.2. Ako e x rešene modela (2.9) za neko l i ako e rešene edinstveno, onda e x nedominirano rešene modela višekriteriskog programirana. Dokaz. Sliedi direktno iz definicie nedominiranosti. x x x x

20 x Budući da e edinstveno rešene modela (2.9) za neko l, onda e za svako x koe zadovolava f ( x) f ( x ), l, f ( x) f ( x ). Prema tome, niti edno f, l ne može se povećati bez smanena f l. Teoremi 1 i 2 upotreblavau se u stvaranu nedominiranih rešena te u testiranu nedominiranosti neke točke kod modela s procedurom (model 2.9)). Teorem 2.3. e nedominirano rešene modela VP ako postoi ww e rešene modela x x l l takvo da max k 1 w f ( x) (2.10) p.o. x X, k n gde e skup nenegativnih težina W = w w R, w 0, w 1, 1 i ako vriedi edan od sledeća dva uveta:

21 (1) w 0 za sve = 1,..., k (Geoffrion [1968], Kuhn i Tucker [1951] ili Yu [1974]) ili x (2) e edinstveno rešene modela (2.10) (Zadeh[1963] i Yu [1974]). Dokaz: Neka e x rešene modela (2.10) za neko ww. Onda, k w f ( x) f ( x ) 0 za sve x X. (2.11) 1 Pretpostavimo da e x X. Onda tu postoi x X takvo da e f ( x) f ( x ). Ova pretpostavka zaedno s (1) implicira da k e w ( ) ( ) 0 što e u suprotnosti s (2.11). f x f x

22 Ako (2) važi, onda izraz (2.11) postae w f ( x) f ( x ) 0 1 za sve x X, dok pretpostavka implicira postoane x X takvo da k e w f ( x) f ( x ) 0, što e u kontradikcii edno s 1 drugim. Prema tome, ako važi ili (1) ili (2), a x e rešene modela (2.11) za neko w W, onda e x X. Teorem 2.3., uz pretpostavku konveksnosti skupa dopustivih rešena, osigurava osnove za stvarane nedominiranih rešena modela s težinskom procedurom za neko w W (model (2.11)). k

23 Teorem 2.4. Neka e x rešene modela k p min w f f ( x) 1 p.o. x X, (2.12) gde e f (max) f ( x), pri čemu e x X, a w težinski k koeficienti i w 1 za bilo koe. Kada e (1) x 1 p 1 edinstveno rešene modela (2.12) ili e (2) w > 0 za sve = 1,..., k, onda e x nedominirano rešene modela VLP

24 Dokaz: Neka e x rešene modela (2.12) za bilo koe w k 1 W. Tada e i za neko za sve x X. (2.13) Pretpostavimo da e x X. Onda tu postoi x X takvo da e p p ( ( ) ( ) ) 0 w f f x f f x f ( x) f ( x ), pri čemu važi striktna neednakost za namane edno = 1,..., k, budući da e po definicii sve x X. Prema tome, za bilo koe 1 p, 1 p f f ( x) za p p f f ( x) f f ( x ) sa striktnom neednakošću koa važi za namane edno = 1,..., k

25 Uzimaući u obzir nenegativnost w, iz posledne neednakosti sliedi da e k p p 1 w ( f f ( x) f f ( x ).) 0 (2.14) Sada kad važi (1) iz gorneg teorema, striktna neednakost dominira u (2.13), što e u kontradikcii s (2.14). Ili, ako važi (2) iz teorema 2.4., tada dominira striktna neednakost u (2.14), što e ponovno u kontradikcii s (2.13). Prema tome, ako važi ili (1) ili (2) iz ovog teorema, x mora biti nedominirano rešene modela VLP

26 Teorem 2.4. primenue se kod prilaza težinske norme, koi se može interpretirati kao pokuša minimizacie odstupana od idealne (utopiske) točke f f, f,..., fk 1 2. Rešene dobiveno na ta način za bilo koe w 0 i 1 p naziva se kompromisno rešene (Yu [1973], Zeleny [1973]). Dobro e poznata varianta modela težinske norme dobivena tako da se idealni vektor zamienio s tzv. cilnim vektorom f f 1, f 2,..., f, k koi e unapried odredio donositel odluke. Na ta način formiran model postae generalizirana (uopćena) verzia tzv. cilnog programirana: min w f f ( x) p p. o. x X. (2.15)

27 Međutim, ako f nie prikladan skup, rešene modela cilnog programirana nie nedominirano, čak i ako su zadovoleni uveti (1) i (2) iz teorema Interaktivne metode VP koe se zasnivau na implicitno informacii na razmenama Metode iz ove grupe ne zahtievau eksplicitnu informaciu od donositela odluke. Za razliku od metoda koe se zasnivau na eksplicitno informacii o razmenama, kod ovih metoda donositel odluke ima više poverena prilikom označavana dostizana prihvatlivih razina kriteria. Naznačania metoda iz ove grupe est metoda koraka (STEM)

28 Metoda STEM Seriu sličnih i međusobno povezanih metoda predložili su: Benayoun, Larichev, de Montgolfier te Tergny i Keuneman ( [1970], [1971] i [1971a]). Ova metoda edna e od prvih interaktivnih metoda za rešavane modela VLP. Matematička formulacia modela VLP (specifični sluča modela (2.1) ima sledeći oblik: ili u vektorsko formi n n n max f c x, c x,..., c x p.o. n i1 1i i 2i i ki i i1 i1 i1 a x b l 1,..., m il i l x 0, i 1,..., n, i

29 T T T max f c1 x, c2 x,..., ck x p.o. Ax b, x 0. (2.38) Metoda STEM dopušta donositelu odluke prepoznavane dobrih rešena i relativnu važnost funkcia kriteria. Kod ove metode faze računana interaktivno se izmenuu s fazama odlučivana. Rešavane modela VLP primenom ove metode vrši se primenom sledećeg algoritma: Korak 0: Konstrukcia pay-off tablice optimalnih (marginalnih) rešena. Pay-off tablica optimalnih (marginalnih) rešena konstruira se prie prvog iterativnog ciklusa

30 Neka su, = 1,..., k optimalna rešena sledećih k modela: p.o. f T T max 1( ), 2( ),..., k ( ) ( ), 1,..., f f x f x f x f x c x k Ax b, x 0. Formiramo tablicu čii -ti redak odgovara vektoru, koi maksimizira funkciu kriteria f ; z i vriednost e funkcie f i, kad - ta funkcia kriteria dostiže svo maksimum. f. x

31 Korak 1. Faza računana U m-tom ciklusu treba naći dopustivo rešene koe e nabliže, u minimaks smislu, idealu f, rešavaući sledeći model linearnog programirana:

32 min f p.o. f f ( x), 1,..., k (2.40) x X m, 0, Gde X m uklučue sve x 0 za koe e Ax b, te neka ograničena dodana u (m-1)-om ciklusu; dae relativnu važnost odstupana od optimuma. Napomenimo da su koeficienti samo lokalno značani i da nemau toliko značene kao težine u metodi funkcia korisnosti. Razmotrimo -ti stupac tablice 2.9. f e maksimalna vriednost min stupca. Neka e f minimalna vriednost, pa će se onda birati tako da e:

33 , i i a a gde e ako e ako e a c i koeficienti -te funkcie kriteria. Vriednost a sastoi se iz dva izraza: min 2 1 1, ( ) n i i f f a f c 0, f min min 2 1 1, ( ) n i i f f a f c 0, f min f f f min min f f f ( ) n i i c ili i

34 Prvi dio izraza a znači da ako se optimalno (marginalno) rešene i minimalna vriednost funkcie kriteria za dano optimalno (marginalno) rešene međusobno puno ne razlikuu, tada pri variranu x odgovarauća funkcia kriteria nie previše osetliva na promene u težinskim koeficientima pa o e dodielena mala težina. Povećanem osetlivosti, na odgovaraući način, povećava se i težina. Drugi dio izraza normalizira vriednost funkcia kriteria. a se upotreblava pri određivanu težina takav način da zbro, na bude ednak 1. Na ta se način omogućue usporedivost različitih rešena dobivenih raznim metodama težinskih koeficienata

35 Korak 2. Faza odlučivana Kompromisno rešene m x prezentira se donositelu odluke koi uspoređue negov kriteriski vektor f s f idealnim vektorom. Ako su neke od funkcia kriteria zadovolavauće, a druge nisu, donositel odluke mora ublažiti zadovolavaući kriteri dovolno da dopusti pobolšane nezadovolavaućih kriteria u sledećem iterativnom ciklusu. Donositel odluke dae iznos prihvatlivog ublažavana. kao Za sledeći iterativni ciklus dopustivo e područe modificirano: m X m1 m X f ( x) f ( x ) f m fi( x) fi( x ); i ; i, 1,..., k m m f f

36 Određue se težina ciklusa. = 0 i tada počine faza računana ( m+1)-og Pomoć donositelu odluke u određivanu zadovolavaućih razina funkcia kriteria i iznosa ublažavana u fazi odlučivana, analitičar može ostvariti standardnom analizom osetlivosti, prikazuući ponašane različitih funkcia kriteria o okolici optimalnog rešena x m (na m-to iteracii modela linearnog programirana). Jednostavan način na koi analitičar može pomoći est rešavanem u tieku faze računana m-tog ciklusa nekoliko modela linearnog programirana s dopustivim područima X m koima odgovara 1 2 m nekoliko ulaza f, takvim da e 0 f f... f

37 ( m f e maksimalno dopustivo ublažavane). Iz tih rešena donositel odluke može izabrati za nega zadovolavauće rešene. Numerički primer: Poduzeće proizvodi dva proizvoda, proizvod I i proizvod II. Za proizvodnu edne edinice proizvoda I potrebna su 2 sata i 1 sat na stroevima A i B, respektivno. Za ednu edinicu proizvoda II potrebna su 3 sata na strou A i 4 sata na strou B. Oba stroa raspoloživa su 12 sati. Prodane ciene za proizvod I i II su 0.8 i 2 novčanih edinica po kg, respektivno. Potrebno e maksimizirati prihod od prodae proizvoda i ukupnu proizvodnu

38 Formulacia modela: max f ( x) 0.8x 2x max f ( x) x x p.o. 2x 3x 12 x x 1 2 4x , x Prvo e potrebno izračunati i prikazati pay-off tablicu optimalnih (marginalnih) rešena:

39 Iteracia bro 1: Korak 1. Faza računana a) Izračunavane težina a f f min f c c ; a f f min f c 6 21 c ;

40 a a1a a a1a ; Rešavane modela LP: min p.o. xx, (0.8x 2 x ) ( x x ) Prvo ponuđeno kompromisno rešene est: x ( x1, x2) (3.84, 1.44); f ( f1, f2 ) (5.95, 5.28)

41 Korak 2. Faza odlučivana Kompromisno rešene prezentira se donositelu odluke, koi uspoređue dobiveno rešene s idealnom točkom. Ako e donositel odluke zadovolan razinom vriednosti, tada on/ona mora 1 1 f2 f 1 smaniti dovolno da dopusti pobolšane nezadovolenog. Ako e f 2 = 0,20 prihvatliv iznos smanena, dopustivo se rešene 1 f 2 modificira u sledećem iterativnom ciklusu: 1 X ( ) ( ) X f2 x f2 x f2 1 f1 x f1 x ( ) ( )

42 Iteracia bro 2: Korak 1: Faza računana a) Izračunavane težina 1, Rešava se sledeći model LP: min p.o. 2 x X x1 x2, 0, Dobiveno e sledeće rešene: x ( x1, x2 ) (3.24, 1.84), f ( f1, f2 ) (6.27, 5.08)

43 Korak 2. Faza odlučivana 2 Kompromisno rešene prezentira se donositelu odluke, koi x uspoređue dobiveno rešene s idealnom točkom. Ako su obe 2 2 vriednosti vektora f zadovolavauće, f e konačno (preferirano) rešene. Treba napomenuti da su točke i nedominirana rešena na segmentu pravca BC (sve točke na segmentu pravca BC nedominirana su rešena). x 1 x

44 Analiza osetlivosti: Kako bi se pomoglo donositelu odluke u određivanu zadovolavaućih razina kriteriskih funkcia i iznosa smanena vriednosti tih funkcia u fazi odlučivana, analitičar može izvesti standardnu analizu osetlivosti, kako bi dobio ponašane različitih kriteriskih funkcia u okolici točke x m (na m-to iteracii rešavana modela LP). Naednostavnie e riešiti nekoliko modela LP na dopustivom skupu X, tako da e: 1 2 m m 0 f1 f1... f ; ( f e maksimum prihvatlivog smanena). U našem primeru analitičar provodi analizu osetlivosti u 2. iteracii, prie 2. koraka, faze odlučivana. m

45 Pri tome se rešavau sledeći modeli LP: min p.o. xx, 0 0.8x 2x x 2x l f ( x) f ( x ) f ; l 1,2,... Dobivena nedominirana rešena prikazana su u sledećo tablici:

46 Na temelu analize osetlivosti, donositelu odluke e olakšano usvaane preferiranog rešena

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR: 1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Realizacija kontrolera anestezije na bazi fazi logike u programskom okruženju MATLAB/Simulink

Realizacija kontrolera anestezije na bazi fazi logike u programskom okruženju MATLAB/Simulink INFOTEH-JHORIN Vol. 15, March 2016. Realizacia kontrolera anestezie na bazi fazi logike u programskom okruženu MTLB/Simulink Jovana Janković student drugog ciklusa studia Filozofski fakultet Univerziteta

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

KARAKTERIZACIJA STRUKTURA NANO- METARSKIH DIMENZIJA PRIMENOM SPEKTROSKOPSKE ELIPSOMETRIJE*

KARAKTERIZACIJA STRUKTURA NANO- METARSKIH DIMENZIJA PRIMENOM SPEKTROSKOPSKE ELIPSOMETRIJE* MILKA M. MIRIĆ MARKO B. RADOVIĆ RADOŠ B. GAJIĆ ZORANA D. DOHČEVIĆ-MITROVIĆ ZORAN V. POPOVIĆ Centar za fiziku čvrstog stana i nove materiale, Institut za fiziku, Beograd, Srbia NAUČNI RAD KARAKTERIZACIJA

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 61 (4) 815-819 (1988) CCA-1828 YU ISSN 0011-1643 UDC 541.571.9 Original Scientific Paper The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems Slawomir J. Grabowski Institute

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Klasifikacija mamograma primenom nove metode za selekciju najznačajnijih osobina slike

Klasifikacija mamograma primenom nove metode za selekciju najznačajnijih osobina slike Klasifikacia mamorama primenom nove metode za selekciu naznačaniih osobina slike Marina Milošević, Draan Janković, Đorđe Damnanović i Aleksandar Peulić Apstrakt Ova rad predstavla sistem za klasifikaciu

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

Bihevioristička ekonomija blagostanja

Bihevioristička ekonomija blagostanja Permission for translation and publication: 22 April 2009. UDC 330.342.146 DOI: 10.2298/PAN1001001B Original scientific paper B. Douglas Bernheim Department of Economics, Stanford University, USA bernheim@stanford.edu

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

DIAGNOSTICS OF ACOUSTIC PROCESSES BY INTENSITY MEASUREMENT UDC: Momir Praščević, Dragan Cvetković

DIAGNOSTICS OF ACOUSTIC PROCESSES BY INTENSITY MEASUREMENT UDC: Momir Praščević, Dragan Cvetković UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 1, No 2, 1997, pp. 9-16 Editor of series: Ljiljana Rašković, e-mail: ral@kalca.junis.ni.ac.yu

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

PRIMJENA LINEARNOGA PROGRAMIRANJA NA PROBLEME PROMIDŽBE. Diplomski rad

PRIMJENA LINEARNOGA PROGRAMIRANJA NA PROBLEME PROMIDŽBE. Diplomski rad VELEUČILIŠTE U POŽEGI Danijela Japarić PRIMJENA LINEARNOGA PROGRAMIRANJA NA PROBLEME PROMIDŽBE Diplomski rad Lipanj, 2014. VELEUČILIŠTE U POŽEGI SPECIJALISTIČKI DIPLOMSKI STUDIJ TRGOVINSKO POSLOVANJE PRIMJENA

More information

OPTIMIRANJE POSLOVNOG PROCESA U PEKARSKOJ PROIZVODNJI

OPTIMIRANJE POSLOVNOG PROCESA U PEKARSKOJ PROIZVODNJI SVEUČILIŠTE U SPLITU EKONOMSKI FAKULTET SPLIT DIPLOMSKI RAD OPTIMIRANJE POSLOVNOG PROCESA U PEKARSKOJ PROIZVODNJI Mentor: Prof. dr. sc. Zoran Babić Student: Stipe Omrčen Split, rujan, 2017. SADRŽAJ: 1.

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Zoranka Desnica VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH -završni rad - Novi Sad, oktobar 009. PREDGOVOR

More information

Bihevioristička ekonomija blagostanja

Bihevioristička ekonomija blagostanja Permission for translation and publication: 22 April 2009. UDC 330.342.146 DOI: 10.2298/PAN1002123B Original scientific paper B. Douglas Bernheim Department of Economics, Stanford University, USA bernheim@stanford.edu

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA 0-1 PROGRAMIRANJE

PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA 0-1 PROGRAMIRANJE Tihomir^Hunjak U D K : $, Fakultet organizacije i informatike Stručni rad V a r a ž d i n PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA - 1 PROGRAMIRANE U uvodnom dijelu rada govori e o cjelobrojnom i nula-jedan pro gramiranju.

More information

Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad-

Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad- UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Danijela Popović PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI -master rad- Mentor: dr Nevena Pušić

More information

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević FACTA UNIVERSITATIS Series: Economics and Organization Vol. 2, N o 1, 2003, pp. 59-64 HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC 519.233.4 Vera Djordjević, Vinko Lepojević

More information

Multiple Objective Linear Programming in Supporting Forest Management

Multiple Objective Linear Programming in Supporting Forest Management Multiple Objective Linear Programming in Supporting Forest Management Pekka Korhonen (December1998) International Institute for Applied Systems Analysis A-2361 Laxenburg, AUSTRIA and Helsinki School of

More information

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty

More information

Izrada strateške karte buke kao dio sustava upravljanja bukom okoliša u naseljenim područjima

Izrada strateške karte buke kao dio sustava upravljanja bukom okoliša u naseljenim područjima Izrada strateške karte buke kao dio sustava upravlana bukom okoliša u naselenim područima Ivan Bublić Brodarski Institut d.o.o. Odel B4 akustika Avenia Većeslava Holeva 20, 10 000 Zagreb ivan.bubli@hrbi.hr

More information

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

Šta je to mašinsko učenje?

Šta je to mašinsko učenje? MAŠINSKO UČENJE Šta je to mašinsko učenje? Disciplina koja omogućava računarima da uče bez eksplicitnog programiranja (Arthur Samuel 1959). 1. Generalizacija znanja na osnovu prethodnog iskustva (podataka

More information

Sadržaᘗ吷: ᘇ劧. vod ᘗ吷sᘗ吷rana ᘗ吷ᘗ吷 2. Oᘗ吷eraᘗ吷iᘗ吷a ᘗ吷oᘗ吷eranᘗ吷a i roᘗ吷aᘗ吷iᘗ吷e ᘗ吷sᘗ吷rana 4ᘗ吷 ᘗ吷. Poᘗ吷eraთ啧i i roᘗ吷aᘗ吷ori ᘗ吷sᘗ吷rana ᘇ劧ᘗ吷 4. -i sa inverziᘗ

Sadržaᘗ吷: ᘇ劧. vod ᘗ吷sᘗ吷rana ᘗ吷ᘗ吷 2. Oᘗ吷eraᘗ吷iᘗ吷a ᘗ吷oᘗ吷eranᘗ吷a i roᘗ吷aᘗ吷iᘗ吷e ᘗ吷sᘗ吷rana 4ᘗ吷 ᘗ吷. Poᘗ吷eraთ啧i i roᘗ吷aᘗ吷ori ᘗ吷sᘗ吷rana ᘇ劧ᘗ吷 4. -i sa inverziᘗ L K ᘇ劧 O SK FAK L KA D A A L K O K : : P OF SO : Prof. Dr. Mile Stojčev iᘗ吷uᘇ劧 4.ᘇ劧.20ᘇ劧0. godine S D : adoslav Aleksić ᘇ劧ᘇ劧ᘇ劧ᘇ劧ᘇ劧ᘇ劧 ᘇ劧iloᘗ吷 adovanović ᘇ劧ᘇ劧8ᘇ劧4 Sadržaᘗ吷: ᘇ劧. vod ᘗ吷sᘗ吷rana ᘗ吷ᘗ吷 2. Oᘗ吷eraᘗ吷iᘗ吷a

More information

TIES598 Nonlinear Multiobjective Optimization A priori and a posteriori methods spring 2017

TIES598 Nonlinear Multiobjective Optimization A priori and a posteriori methods spring 2017 TIES598 Nonlinear Multiobjective Optimization A priori and a posteriori methods spring 2017 Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi Contents A priori methods A posteriori methods Some example methods Learning

More information

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,

More information

U X. 1. Multivarijantna statistička analiza 1

U X. 1. Multivarijantna statistička analiza 1 . Multivarijantna statistička analiza Standardizovana (normalizovana) vrednost obeležja Normalizovano odstupanje je mera varijacije koja pokazuje algebarsko odstupanje jedne vrednosti obeležja od aritmetičke

More information

ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI

ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 569 ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI Zagreb, studeni

More information

2. RAZVOJ KVANTNE MEHANIKE (QM)

2. RAZVOJ KVANTNE MEHANIKE (QM) FRAKTALNA MEHANIKA Prof.dr Đuro Koruga LEKCIJA ODNOS KLASIČNE I KVANTNE MEHANIKE Da bi se razumeo odnos klasične (KM) i kvantne mehanike (QM) neophodno e poznavati nihov nastanak i razvo. Kratak pregled

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja optimizacija Tihana Strmečki, Ivana Božić i Bojan Kovačić Tehničko veleučilište u Zagrebu,

More information

DAMAGE DETECTIN OF STEEL STRUCTURES WITH PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS AND LAMB WAVES

DAMAGE DETECTIN OF STEEL STRUCTURES WITH PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS AND LAMB WAVES IV INTERNATIONAL SYMPOSIUM FOR STUDENTS OF DOCTORAL STUDIES IN THE FIELDS OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND ENVIRONMENTAL PROTECTION Nemanja Marković 1 Dragoslav Stojić 2 Tamara Nestorović 3 DAMAGE

More information

MODELIRANJE TEHNOLOŠKIH PROCESA U RUDARSTVU U USLOVIMA NEDOVOLJNOSTI PODATAKA PRIMENOM TEORIJE GRUBIH SKUPOVA

MODELIRANJE TEHNOLOŠKIH PROCESA U RUDARSTVU U USLOVIMA NEDOVOLJNOSTI PODATAKA PRIMENOM TEORIJE GRUBIH SKUPOVA UNIVERZITET U BEOGRADU RUDARSKO GEOLOŠKI FAKULTET Zoran M. Štirbanović MODELIRANJE TEHNOLOŠKIH PROCESA U RUDARSTVU U USLOVIMA NEDOVOLJNOSTI PODATAKA PRIMENOM TEORIJE GRUBIH SKUPOVA Doktorska disertacija

More information

The analog equation method.

The analog equation method. THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS vol. 27, pp. 13-38, 2002 The analog equation method. A boundary-only integral equation method for nonlinear static and dynamic problems in general bodies J.T.Katsikadelis

More information

Hamiltonovi grafovi i digrafovi

Hamiltonovi grafovi i digrafovi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Slobodan Nogavica Hamiltonovi grafovi i digrafovi Master rad Novi Sad, 2016 Sadržaj Predgovor...2 Glava 1. Uvod...3

More information

Grafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova

Grafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova Grafovi Osnovni algoritmi sa grafovima U ovom poglavlju će biti predstavljene metode predstavljanja i pretraživanja grafova. Pretraživanja grafa podrazumeva sistematično kretanje vezama grafa, tako da

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

Summary Modeling of nonlinear reactive electronic circuits using artificial neural networks

Summary Modeling of nonlinear reactive electronic circuits using artificial neural networks Summary Modeling of nonlinear reactive electronic circuits using artificial neural networks The problem of modeling of electronic components and circuits has been interesting since the first component

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS Nenad, VARDA, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, I. Lučića 5, 10000 Zagreb Nastia, DEGIULI, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

NON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION

NON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 17 (1) 39 44 (2011) CI&CEQ DRAGAN M. MILENOVIĆ 1 DRAGAN S. PEŠIĆ

More information

MALAYSIAN ORIGINS by E.S.Shankar 1/75 a brief history of the peoples of Malaysia

MALAYSIAN ORIGINS by E.S.Shankar 1/75 a brief history of the peoples of Malaysia MALAYSIAN ORIGINS by E.S.Shankar 1/75 C O N T E N T S P G. f o r e w o r d 2 m e l a k a t h e b e g i n n i n g 6 m a l a y r o o t s 10 s e j a r a h m e l a y u m a l a y a n n a l s 12 c h i n e s

More information

Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja. Tomislav Šmuc

Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja. Tomislav Šmuc Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja Tomislav Šmuc PMF, Zagreb, 2013 Sastavnice (nadziranog) problema učenja Osnovni pojmovi Ulazni vektor varijabli (engl. attributes,

More information

DIZAJNIRANJE ORGANIZACIONE STRUKTURE UPRAVNIH ORGANA LOGISTIKE KORIŠĆENJEM FUZZY PRISTUPA

DIZAJNIRANJE ORGANIZACIONE STRUKTURE UPRAVNIH ORGANA LOGISTIKE KORIŠĆENJEM FUZZY PRISTUPA Sažetak: DIZAJNIRANJE ORGANIZACIONE STRUKTURE UPRAVNIH ORGANA LOGISTIKE KORIŠĆENJEM FUZZY PRISTUPA Pamučar S. Dragan, Univerzitet odbrane u Beogradu, Vojna akademija, Dekanat, Beograd, Vasin T. Ljubislav,

More information

UOPŠTENI INVERZI PROIZVODA OPERATORA

UOPŠTENI INVERZI PROIZVODA OPERATORA UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nebojša Č. Dinčić UOPŠTENI INVERZI PROIZVODA OPERATORA Doktorska disertacija Niš, 2011. PODACI O AUTORU Nebojša Dinčić

More information

EFFECT OF LAYER THICKNESS, DEPOSITION ANGLE, AND INFILL ON MAXIMUM FLEXURAL FORCE IN FDM-BUILT SPECIMENS

EFFECT OF LAYER THICKNESS, DEPOSITION ANGLE, AND INFILL ON MAXIMUM FLEXURAL FORCE IN FDM-BUILT SPECIMENS EFFECT OF LAYER THICKNESS, DEPOSITION ANGLE, AND INFILL ON MAXIMUM FLEXURAL FORCE IN FDM-BUILT SPECIMENS Ognjan Lužanin *, Dejan Movrin, Miroslav Plančak University of Novi Sad, Faculty of Technical Science,

More information

A new optimization formulation for determining the optimum reach setting of distance relay zones by probabilistic modeling of uncertainties

A new optimization formulation for determining the optimum reach setting of distance relay zones by probabilistic modeling of uncertainties Online ISSN 1848-3380, Print ISSN 0005-1144 ATKAFF 57(4), 871 880(2016) Mohammad Shabani, Abbas Saberi Noghabi, Mohsen Farshad A new optimization formulation for determining the optimum reach setting of

More information

Last 4 Digits of USC ID:

Last 4 Digits of USC ID: Chemistry 05 B Practice Exam Dr. Jessica Parr First Letter of last Name PLEASE PRINT YOUR NAME IN BLOCK LETTERS Name: Last 4 Digits of USC ID: Lab TA s Name: Question Points Score Grader 8 2 4 3 9 4 0

More information

ON THE TWO BODY PROBLEM UDC (045)=20. Veljko A. Vujičić

ON THE TWO BODY PROBLEM UDC (045)=20. Veljko A. Vujičić FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 7, 005, pp. 03-07 ON THE TWO BODY PROBLEM UDC 53.5(045)0 Veljko A. Vujičić Mathematical Institute, JANN, 00 Belgrade, p.p.

More information

PRISON POLICY INITIATIVE ANNUAL REPORT

PRISON POLICY INITIATIVE ANNUAL REPORT PRISON POLICY INITIATIVE 2015-2016 2016-2017 ANNUAL REPORT N 2016 2017 PO Bx 127 N MA 01061 :// (413) 527-0845 1 T Ex D 1 W 3 P k 4 C R - 7 S j 8 B j 10 P x 12 P j 14 P 16 Wk 18 C x 19 Y P Nk S R 15 B

More information

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 10, N o 1, 2013, pp. 79-91 PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 Mladjen Ćurić 1, Stanimir Ţivanović

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC

THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 7, 2000, pp. 887-891 THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC 621.962 621.744.52

More information

The Prediction of. Key words: LD converter, slopping, acoustic pressure, Fourier transformation, prediction, evaluation

The Prediction of. Key words: LD converter, slopping, acoustic pressure, Fourier transformation, prediction, evaluation K. Kostúr, J. et Futó al.: The Prediction of Metal Slopping in LD Coerter on Base an Acoustic ISSN 0543-5846... METABK 45 (2) 97-101 (2006) UDC - UDK 669.184.224.66:534.6=111 The Prediction of Metal Slopping

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nikola Dukanović Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine -master rad- Novi Sad, 2014. Sadržaj

More information

PROGRAM FOR CALCULATION OF A DEFLECTION OF A UNIFORM LOADED SQUARE PLATE USING GAUSS-SEIDEL METHOD FOR SOLUTION OF POISSON DIFFERENTIAL EQUATION

PROGRAM FOR CALCULATION OF A DEFLECTION OF A UNIFORM LOADED SQUARE PLATE USING GAUSS-SEIDEL METHOD FOR SOLUTION OF POISSON DIFFERENTIAL EQUATION FACTA NIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering Vol. 6, N o, 008, pp. 199-05 OI:10.98/FACE080199L PROGRAM FOR CALCLATION OF A EFLECTION OF A NIFORM LOAE SQARE PLATE SING GASS-SEIEL METHO

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET Radoi V. Bakit PRIMENA ARITMETI(KE FUNKCIJE W U TEORIJI GRUPA Magistarski rad Mentor: Prof. Dr. iarko Mijajlovie Matematidki fakultet Beograd elanovi komisije:

More information

1.1 Algoritmi. 2 Uvod

1.1 Algoritmi. 2 Uvod GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING.

GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING. GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING. STATISTIƒKI PRAKTIKUM 2 11. VJEšBE GLM ine ²iroku klasu linearnih modela koja obuhva a modele s specijalnim strukturama gre²aka kategorijskim

More information

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created

More information