UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE. Doc. dr. sc. Tunjo Perić

Transcription

1 UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE Doc. dr. sc. Tuno Perić

2 1. Poam višekriteriskog programirana Višekriterisko programirane e složen proces određivana nedominiranih rešena iz skupa mogućih rešena i određivane preferiranog rešena iz skupa nedominiranih rešena. Osnovne su faze višekriteriskog programirana: o definirane cileva sustava i određivane načina postizana tih cileva o matematički opis sustava i definirane načina vrednovana kriteriskih (cilnih) funkcia o primena postoećih metoda VP o donošene konačne odluke o ako konačno rešene nie usvoeno, srediti nove informacie i ponoviti postupak od 2. faze ponovnim definiranem zadatka (Opricović[1986])

3 I u ednokriteriskom programiranu avlau se navedene faze, ali nisu naglašene er se tu pod programiranem obično podrazumieva određivane optimalnog rešena, što odgovara trećo fazi višekriteriskog programirana. Pri rešavanu problema s više funkcia kriteria, koe su istovremeno nesrazmerne i/ili konfliktne, želi se postići više nego ednim kriteriem u izboru pravaca akcie, zadovolavaući uvete diktirane okolinom, procesima i resursima. Za rešavane modela VP u poslednih tridesetak godina razvien e veliki bro metoda. Metode VP zasnivau se na konceptu optimalnosti koi e dao talianski ekonomist V. Pareto godine. U literaturi se pored termina višekriterisko programirane za izražavane istog sadržaa koriste i termini: vektorska optimizacia i multikriterialna optimizacia

4 Poam Pareto optimalnosti uveden e u operaciska istraživana godine u pionirskom radu Koopmansa (Koopmans [1951]). Uopćenii prilaz, promatran kao problem maksimizacie vektorske funkcie nad ograničenim skupom ograničena, naveden e u radu Kuhna i Tuckera [1951]. Treba također spomenuti i rad: Markowitz [1956], koi e primienio poam nedominiranog skupa. 2. Model višekriteriskog programirana Pod modelom VP podrazumieva se model programirana s dvie ili više funkcia kriteria na nekom skupu mogućih rešena. Matematički oblik ovog modela možemo prikazati na sledeći način: max f f 1( x),..., fk ( x), (k 2) pri ograničenima (p.o.) g ( x) 0, i 1,..., m i 4

5 ili u vektorskom obliku: max f( x) (2.1) p.o. gx ( ) 0 (2.2) gde e x n-dimenzionalni vektor. Iz izraza (2.1) vidlivo e da u modelu VP postoi k funkcia kriteria koe treba maksimizirati, m ograničena i n variabli. Ako su u modelu sve funkcie f( x ) i gi ( x) linearne, onda e rieč o modelu višekriteriskog linearnog programirana. Međutim, ako e neka od tih funkcia nelinearna, radi se o modelu višekriteriskog nelinearnog programirana. Ako se u modelu nađu funkcie koe e potrebno minimizirati, dovolno e te funkcie pomnožiti s (-1)

6 3. Klasifikacia metoda višekriteriskog programirana Do sada e u literaturi poznato više klasifikacia metoda VP. Naznačanii pregled metoda VP i nihova klasifikacia dani su u radovima: Roy [1971], Mac-Crimmon [1973], Cohon i Marks [1975], Bell, Keeney i Raiffa [1975], Star i Zeleny [1977], Hwang i Masud [1979], Ho [1979], Despontion i Spronk [1979], Zionts [1980], Chankong i Haimes [1983], Yu [1985], Steuer [1985], Fandel i Spronk (Editors) [1985], Lai i Hwang [1996], Figueira, Greco i Erhgott (Editors) [2005]. Sve poznate klasifikacie metoda u biti su različite er polaze od različitog skupa metoda i različitih kriteria klasifikacie. Mi ćemo dati klasifikaciu metoda VP imaući u vidu sve značanie metode, a polazeći od odgovaraućih kriteria. Naša klasifikacia uglavnom se oslana na rad: Hwang i Masud [1979]

7 Prema prirodi variabli u sustavu koi se optimizira sve metode VP možemo podieliti na determinističke i stohastičke. Prema kvaliteti elementarnih aktivnosti sve metode VP možemo podieliti na metode s kontinuiranim variablama i metode s diskretnim variablama, a prema kriteriu linearnosti funkcia kriteria i ograničena na metode linearnog i nelinearnog višekriteriskog programirana. Prema brou mogućih rešena determinističke metode VP možemo podieliti na: (1) metode za određivane ednog ili više nedominiranih rešena i (2) metode za izbor preferiranog rešena iz konačnog skupa nedominiranih rešena. Karakteristike proizvodnih problema uvetuu razmatrane uglavnom detrminističkih linearnih i nelinearnih metoda VP s kontinuiranim i diskretnim variablama. Zbog toga će se u ovom radu obrađivati samo ovu klasu metoda

8 Determinističke metode VP s kontinuiranim variablama za određivane ednog ili više nedominiranih rešena prema kriteriu postoana i karaktera preferencie donositela odluke možemo svrstati u četiri grupe: 1. metode kod koih ne postoi asno izražena preferencia donositela odluke 2. metode kod koih postoi asno izražena preferencia donositela odluke 3. interaktivne metode 4. metode s a posteriori izraženom preferenciom donositela odluke. Naznačanie su linearne metode VP kod koih ne postoi asno izražena preferencia donositela odluke: 1. metoda globalnog kriteria 2. Riderova metoda

9 Metode VLP s a priori asno izraženom preferenciom donositela odluke možemo podieliti u dvie grupe: 1. metode kod koih postoi glavna informacia donositela odluke, među koima se ističu: (a) metoda funkcia korisnosti, (b) granična cilna metoda, (c) Briskinova metoda, (d) Haimes i Wismerova metoda, (e) Philipova metoda, (f) Staintonova metoda i (g) Waltzova metoda. 2. metode kod koih postoi glavna i redna informacia donositela odluke, a među nima značano mesto zauzimau: (a) linearno cilno programirane, (b) leksikografska metoda, (c) metoda postignuća cila i (d) Klahrova metoda. Glavna informacia odnosi se na poželne vriednosti funkcia kriteria koe određue donositel odluke. Redna informacia odnosi se na značanosti poedinih kriteriskih funkcia koe određue donositel odluke

10 Interaktivne metode VLP možemo podieliti u dvie grupe: 1. metode s eksplicitnom razmenom informacia, među koima se ističu: (a) metoda surogat vriednosti razmene, (b) metoda Zionts - Walleniusova, (c) Geoffrionova metoda, (d) interaktivno cilno programirane, (e) metoda zadovolena cileva, (f) Candlerova metoda i (g) Flavell i Salkinova metoda. 2. metode s implicitnom razmenom informacia, među koe možemo ubroiti: (a) metodu STEM, (b) Stewartovu metodu, (c) metodu SEMOPS, (d) metodu GP STEM, (e) Whiteovu metodu i (f) Steuerovu metodu

11 Metode s a posteriori asno izraženom preferenciom kod koih postoi implicitna informacia o razmenama esu: (a) parametarska metoda, (b) metoda ograničena, (c) metoda MOLP i (d) metoda pretraživana. Naznačanie metode za izbor preferiranog rešena iz skupa nedominiranih rešena esu: 1. iterativno kompromisno rangirane 2. metoda PROMETHEE 3. metoda ELECTRE 4. metoda AHP

12 4. Osnovni pomovi i terminologia U literatuturi koa obrađue probleme VP načešće se upotreblavau sledeća četiri poma: atributi, obekti, cilevi i kriterii (Engleski: Attributtes, Obectives, Goals, Criteria). Definicia 1: Atributi Atributi su osobine ili kvalitete parametara alternativa. Ova se termin upotreblava kod tzv. višeatributnog odlučivana kod koeg se vrši selekcia nabolih iz skupa unapried određenih alternativa. Određivane nabolih alternativa vrši se na temelu nihovih atributa. Neke od metoda višeatributnog odlučivana mogu se upotreblavati za izbor preferiranog rešena iz skupa nedominiranih rešena pa e ova termin često prisutan u literaturi koa obrađue probleme višekriteriskog odlučivana. Definicia 2: Obekti Obekti su pravci aktivnosti koi odražavau želu donositela odluke i ukazuu na pravac u koemu donositel odluke želi organizirati posao

13 Definicia 3: Cilevi Cilevi su razine žela koe e donositel odluke odredio u uvetima specifičnog stana u prostoru i vremenu. Prema tome, postoi razlika između obekata i cileva. Obekti dau želeni pravac, a cilevi želenu razinu ostvarena. Međutim, u literaturi ova e razlika zamaglena i ove dvie rieči se često upotreblavau zamenski. Mi ćemo u ovom radu upotreblavati ove termine u smislu gornih definicia. Definicia 4: Kriterii Etimološko značene rieči kriteri est standard za ocenu ili pravilo za ispitivane prihvatlivosti. Međutim, u literaturi koa obrađue probleme VP obično se ne pravi razlika između rieči kriteri i cil. Po našem mišlenu između kriteria i cila postoi razlika. Naime, kriteri e neposredna dimenzia dostizana cila

14 Definicia 5: Skup dopustivih rešena X Skup dopustivih rešena X est skup vektora x koi zadovolavau ograničena ( ) 0, t. X = x g( x) 0. (2.3) gx Skup X est podskup vektora realnog n-dimenzionalnog vektorskog prostora, t. X R n. Definicia 6: Kriteriski skup F Svakom elementu iz X pridružen e vektor f( x), što znači da e moguće preslikati X u F u prostoru funkcia kriteria. F e kriteriski skup koi možemo definirati na sledeći način: F= f ( x) x X. (2.4)

15 Definicia 7: Optimalno (marginalno) rešene Optimalno (marginalno) rešene predstavla maksimum svake komponente vektora f( x) na skupu dopustivih rešena X, to est: max f ( x) f ( x ) f, 1,...,, k p.o. x X (2.5) Definicia 8: Idealna vriednost vektorske funkcie (ideal) Vektor f f1, f2,..., f k, čia e -ta komponenta ekstremna vriednost funkcie f( x) na skupu dopustivih rešena X, naziva se idealna vriednost vektorske funkcie f( x)

16 Definicia 9: Savršeno rešene Savršeno rešene modela VP est ono koe dae maksimalnu vriednost svake funkcie kriteria istovremeno. Tako e, x savršeno rešene danog modela ako i samo ako e x X i f ( x ) f ( x) za svako x X. Budući da e u prirodi modela VP da imau konfliktne cileve, oni uglavnom nemau savršeno rešene, odnosno ono e nedopustivo. Definicia 10: Nedominirano rešene x e nedominirano rešene modela VP ako ne postoi neko drugo dopustivo takvo da e, f ( x) f ( x ) podrazumievaući da e f ( x) f ( x ) za sve = 1,..., k, sa striktnom neednakošću za namane edno. x U literaturi e nedominirano rešene poznato i kao: Pareto optimalno rešene, efikasno ili neinferiorno rešene. Pored poma nedominiranosti rešena uveden e i poam tzv. prave nedominiranosti rešena (Kuhn i Tucker [1951], Geoffrion [1968])

17 Definicia 11: Preferirano rešene Preferirano rešene est nedominirano rešene koe e izabrao donositel odluke, uz pomoć nekih drugih kriteria, kao konačno. Kao takvo, ono leži u područu prihvatlivom za vriednosti svih funkcia kriteria danog modela. Preferirano rešene poznato e i pod nazivom nabole kompromisno rešene. 5. Metode višekriterialnog linearnog programirana Kao što e prethodno naglašeno, u literaturi e poznat veliki bro metoda za rešavane modela VLP koima se određue edno ili više nedominiranih rešena. Mi smo sve te metode svrstali u četiri grupe primenom kriteria postoana i karaktera preferencie donositela odluke

18 Ovde ćemo dokazati naznačanie teoreme koi služe kao osnova algoritamskih pristupa metoda koe ćemo razmatrati. Sve metode VLP koe ćemo obrađivati zasnivau se na karakterizacii nedominiranih rešena u uvetima rešavana odgovaraućih skalarnih modela optimizacie. Teorem 2.1. x e nedominirano rešene modela VLP ako i samo ako e rešene modela max fl ( x) p.o. x X (2.9) f ( x), 1,..., k, l gde e T 1,..., l1, l1,..., k, za svako l = 1,..., k, gde e f ( x ) za = 1,..., k; l. x

19 Dokaz: (1) Nužan uvet: neka e x X nedominirano rešene. Pretpostavimo da ono ne rešava model -ograničena za neko l gde e f( x ) za = 1,..., k; l. Tada tu postoi rešene x X takvo da e fl( x) fl( x ) i f ( x) f ( x ) kada e l. Ovo e u kontradikcii s nedominiranošću rešena, pa nie rešene modela (2.9) za bilo kou kriterisku funkciu. (2) Dovolan uvet: Budući da e rešene modela (2.9) za svako l = 1,..., k, onda tu ne postoi ni edno drugo x X takvo da e fl( x) fl( x ) i f ( x) f ( x ), = 1,..., k, kada e l. Ovo e definicia nedominiranog rešena za. Teorem 2.2. Ako e x rešene modela (2.9) za neko l i ako e rešene edinstveno, onda e x nedominirano rešene modela višekriteriskog programirana. Dokaz. Sliedi direktno iz definicie nedominiranosti. x x x x

20 x Budući da e edinstveno rešene modela (2.9) za neko l, onda e za svako x koe zadovolava f ( x) f ( x ), l, f ( x) f ( x ). Prema tome, niti edno f, l ne može se povećati bez smanena f l. Teoremi 1 i 2 upotreblavau se u stvaranu nedominiranih rešena te u testiranu nedominiranosti neke točke kod modela s procedurom (model 2.9)). Teorem 2.3. e nedominirano rešene modela VP ako postoi ww e rešene modela x x l l takvo da max k 1 w f ( x) (2.10) p.o. x X, k n gde e skup nenegativnih težina W = w w R, w 0, w 1, 1 i ako vriedi edan od sledeća dva uveta:

21 (1) w 0 za sve = 1,..., k (Geoffrion [1968], Kuhn i Tucker [1951] ili Yu [1974]) ili x (2) e edinstveno rešene modela (2.10) (Zadeh[1963] i Yu [1974]). Dokaz: Neka e x rešene modela (2.10) za neko ww. Onda, k w f ( x) f ( x ) 0 za sve x X. (2.11) 1 Pretpostavimo da e x X. Onda tu postoi x X takvo da e f ( x) f ( x ). Ova pretpostavka zaedno s (1) implicira da k e w ( ) ( ) 0 što e u suprotnosti s (2.11). f x f x

22 Ako (2) važi, onda izraz (2.11) postae w f ( x) f ( x ) 0 1 za sve x X, dok pretpostavka implicira postoane x X takvo da k e w f ( x) f ( x ) 0, što e u kontradikcii edno s 1 drugim. Prema tome, ako važi ili (1) ili (2), a x e rešene modela (2.11) za neko w W, onda e x X. Teorem 2.3., uz pretpostavku konveksnosti skupa dopustivih rešena, osigurava osnove za stvarane nedominiranih rešena modela s težinskom procedurom za neko w W (model (2.11)). k

23 Teorem 2.4. Neka e x rešene modela k p min w f f ( x) 1 p.o. x X, (2.12) gde e f (max) f ( x), pri čemu e x X, a w težinski k koeficienti i w 1 za bilo koe. Kada e (1) x 1 p 1 edinstveno rešene modela (2.12) ili e (2) w > 0 za sve = 1,..., k, onda e x nedominirano rešene modela VLP

24 Dokaz: Neka e x rešene modela (2.12) za bilo koe w k 1 W. Tada e i za neko za sve x X. (2.13) Pretpostavimo da e x X. Onda tu postoi x X takvo da e p p ( ( ) ( ) ) 0 w f f x f f x f ( x) f ( x ), pri čemu važi striktna neednakost za namane edno = 1,..., k, budući da e po definicii sve x X. Prema tome, za bilo koe 1 p, 1 p f f ( x) za p p f f ( x) f f ( x ) sa striktnom neednakošću koa važi za namane edno = 1,..., k

25 Uzimaući u obzir nenegativnost w, iz posledne neednakosti sliedi da e k p p 1 w ( f f ( x) f f ( x ).) 0 (2.14) Sada kad važi (1) iz gorneg teorema, striktna neednakost dominira u (2.13), što e u kontradikcii s (2.14). Ili, ako važi (2) iz teorema 2.4., tada dominira striktna neednakost u (2.14), što e ponovno u kontradikcii s (2.13). Prema tome, ako važi ili (1) ili (2) iz ovog teorema, x mora biti nedominirano rešene modela VLP

26 Teorem 2.4. primenue se kod prilaza težinske norme, koi se može interpretirati kao pokuša minimizacie odstupana od idealne (utopiske) točke f f, f,..., fk 1 2. Rešene dobiveno na ta način za bilo koe w 0 i 1 p naziva se kompromisno rešene (Yu [1973], Zeleny [1973]). Dobro e poznata varianta modela težinske norme dobivena tako da se idealni vektor zamienio s tzv. cilnim vektorom f f 1, f 2,..., f, k koi e unapried odredio donositel odluke. Na ta način formiran model postae generalizirana (uopćena) verzia tzv. cilnog programirana: min w f f ( x) p p. o. x X. (2.15)

27 Međutim, ako f nie prikladan skup, rešene modela cilnog programirana nie nedominirano, čak i ako su zadovoleni uveti (1) i (2) iz teorema Interaktivne metode VP koe se zasnivau na implicitno informacii na razmenama Metode iz ove grupe ne zahtievau eksplicitnu informaciu od donositela odluke. Za razliku od metoda koe se zasnivau na eksplicitno informacii o razmenama, kod ovih metoda donositel odluke ima više poverena prilikom označavana dostizana prihvatlivih razina kriteria. Naznačania metoda iz ove grupe est metoda koraka (STEM)

28 Metoda STEM Seriu sličnih i međusobno povezanih metoda predložili su: Benayoun, Larichev, de Montgolfier te Tergny i Keuneman ( [1970], [1971] i [1971a]). Ova metoda edna e od prvih interaktivnih metoda za rešavane modela VLP. Matematička formulacia modela VLP (specifični sluča modela (2.1) ima sledeći oblik: ili u vektorsko formi n n n max f c x, c x,..., c x p.o. n i1 1i i 2i i ki i i1 i1 i1 a x b l 1,..., m il i l x 0, i 1,..., n, i

29 T T T max f c1 x, c2 x,..., ck x p.o. Ax b, x 0. (2.38) Metoda STEM dopušta donositelu odluke prepoznavane dobrih rešena i relativnu važnost funkcia kriteria. Kod ove metode faze računana interaktivno se izmenuu s fazama odlučivana. Rešavane modela VLP primenom ove metode vrši se primenom sledećeg algoritma: Korak 0: Konstrukcia pay-off tablice optimalnih (marginalnih) rešena. Pay-off tablica optimalnih (marginalnih) rešena konstruira se prie prvog iterativnog ciklusa

30 Neka su, = 1,..., k optimalna rešena sledećih k modela: p.o. f T T max 1( ), 2( ),..., k ( ) ( ), 1,..., f f x f x f x f x c x k Ax b, x 0. Formiramo tablicu čii -ti redak odgovara vektoru, koi maksimizira funkciu kriteria f ; z i vriednost e funkcie f i, kad - ta funkcia kriteria dostiže svo maksimum. f. x

31 Korak 1. Faza računana U m-tom ciklusu treba naći dopustivo rešene koe e nabliže, u minimaks smislu, idealu f, rešavaući sledeći model linearnog programirana:

32 min f p.o. f f ( x), 1,..., k (2.40) x X m, 0, Gde X m uklučue sve x 0 za koe e Ax b, te neka ograničena dodana u (m-1)-om ciklusu; dae relativnu važnost odstupana od optimuma. Napomenimo da su koeficienti samo lokalno značani i da nemau toliko značene kao težine u metodi funkcia korisnosti. Razmotrimo -ti stupac tablice 2.9. f e maksimalna vriednost min stupca. Neka e f minimalna vriednost, pa će se onda birati tako da e:

33 , i i a a gde e ako e ako e a c i koeficienti -te funkcie kriteria. Vriednost a sastoi se iz dva izraza: min 2 1 1, ( ) n i i f f a f c 0, f min min 2 1 1, ( ) n i i f f a f c 0, f min f f f min min f f f ( ) n i i c ili i

34 Prvi dio izraza a znači da ako se optimalno (marginalno) rešene i minimalna vriednost funkcie kriteria za dano optimalno (marginalno) rešene međusobno puno ne razlikuu, tada pri variranu x odgovarauća funkcia kriteria nie previše osetliva na promene u težinskim koeficientima pa o e dodielena mala težina. Povećanem osetlivosti, na odgovaraući način, povećava se i težina. Drugi dio izraza normalizira vriednost funkcia kriteria. a se upotreblava pri određivanu težina takav način da zbro, na bude ednak 1. Na ta se način omogućue usporedivost različitih rešena dobivenih raznim metodama težinskih koeficienata

35 Korak 2. Faza odlučivana Kompromisno rešene m x prezentira se donositelu odluke koi uspoređue negov kriteriski vektor f s f idealnim vektorom. Ako su neke od funkcia kriteria zadovolavauće, a druge nisu, donositel odluke mora ublažiti zadovolavaući kriteri dovolno da dopusti pobolšane nezadovolavaućih kriteria u sledećem iterativnom ciklusu. Donositel odluke dae iznos prihvatlivog ublažavana. kao Za sledeći iterativni ciklus dopustivo e područe modificirano: m X m1 m X f ( x) f ( x ) f m fi( x) fi( x ); i ; i, 1,..., k m m f f

36 Određue se težina ciklusa. = 0 i tada počine faza računana ( m+1)-og Pomoć donositelu odluke u određivanu zadovolavaućih razina funkcia kriteria i iznosa ublažavana u fazi odlučivana, analitičar može ostvariti standardnom analizom osetlivosti, prikazuući ponašane različitih funkcia kriteria o okolici optimalnog rešena x m (na m-to iteracii modela linearnog programirana). Jednostavan način na koi analitičar može pomoći est rešavanem u tieku faze računana m-tog ciklusa nekoliko modela linearnog programirana s dopustivim područima X m koima odgovara 1 2 m nekoliko ulaza f, takvim da e 0 f f... f

37 ( m f e maksimalno dopustivo ublažavane). Iz tih rešena donositel odluke može izabrati za nega zadovolavauće rešene. Numerički primer: Poduzeće proizvodi dva proizvoda, proizvod I i proizvod II. Za proizvodnu edne edinice proizvoda I potrebna su 2 sata i 1 sat na stroevima A i B, respektivno. Za ednu edinicu proizvoda II potrebna su 3 sata na strou A i 4 sata na strou B. Oba stroa raspoloživa su 12 sati. Prodane ciene za proizvod I i II su 0.8 i 2 novčanih edinica po kg, respektivno. Potrebno e maksimizirati prihod od prodae proizvoda i ukupnu proizvodnu

38 Formulacia modela: max f ( x) 0.8x 2x max f ( x) x x p.o. 2x 3x 12 x x 1 2 4x , x Prvo e potrebno izračunati i prikazati pay-off tablicu optimalnih (marginalnih) rešena:

39 Iteracia bro 1: Korak 1. Faza računana a) Izračunavane težina a f f min f c c ; a f f min f c 6 21 c ;

40 a a1a a a1a ; Rešavane modela LP: min p.o. xx, (0.8x 2 x ) ( x x ) Prvo ponuđeno kompromisno rešene est: x ( x1, x2) (3.84, 1.44); f ( f1, f2 ) (5.95, 5.28)

41 Korak 2. Faza odlučivana Kompromisno rešene prezentira se donositelu odluke, koi uspoređue dobiveno rešene s idealnom točkom. Ako e donositel odluke zadovolan razinom vriednosti, tada on/ona mora 1 1 f2 f 1 smaniti dovolno da dopusti pobolšane nezadovolenog. Ako e f 2 = 0,20 prihvatliv iznos smanena, dopustivo se rešene 1 f 2 modificira u sledećem iterativnom ciklusu: 1 X ( ) ( ) X f2 x f2 x f2 1 f1 x f1 x ( ) ( )

42 Iteracia bro 2: Korak 1: Faza računana a) Izračunavane težina 1, Rešava se sledeći model LP: min p.o. 2 x X x1 x2, 0, Dobiveno e sledeće rešene: x ( x1, x2 ) (3.24, 1.84), f ( f1, f2 ) (6.27, 5.08)

43 Korak 2. Faza odlučivana 2 Kompromisno rešene prezentira se donositelu odluke, koi x uspoređue dobiveno rešene s idealnom točkom. Ako su obe 2 2 vriednosti vektora f zadovolavauće, f e konačno (preferirano) rešene. Treba napomenuti da su točke i nedominirana rešena na segmentu pravca BC (sve točke na segmentu pravca BC nedominirana su rešena). x 1 x

44 Analiza osetlivosti: Kako bi se pomoglo donositelu odluke u određivanu zadovolavaućih razina kriteriskih funkcia i iznosa smanena vriednosti tih funkcia u fazi odlučivana, analitičar može izvesti standardnu analizu osetlivosti, kako bi dobio ponašane različitih kriteriskih funkcia u okolici točke x m (na m-to iteracii rešavana modela LP). Naednostavnie e riešiti nekoliko modela LP na dopustivom skupu X, tako da e: 1 2 m m 0 f1 f1... f ; ( f e maksimum prihvatlivog smanena). U našem primeru analitičar provodi analizu osetlivosti u 2. iteracii, prie 2. koraka, faze odlučivana. m

45 Pri tome se rešavau sledeći modeli LP: min p.o. xx, 0 0.8x 2x x 2x l f ( x) f ( x ) f ; l 1,2,... Dobivena nedominirana rešena prikazana su u sledećo tablici:

46 Na temelu analize osetlivosti, donositelu odluke e olakšano usvaane preferiranog rešena