Simulacija fluida tehnikom SPH
|
|
- Victoria Newton
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVRŠNI RAD br Simulacia fluida tehnikom SPH Juri Kos Zagreb, lipan, 2018
2 Sadrža 1. Uvod Osnove mehanike fluida Svostva fluida Navier-Stokesove ednadžbe Modeli fluida Lagrangeova rešetka Eulerova rešetka Čestične metode bez mreže( engl. Meshfree Particle Methods) Hidrodinamika zaglađuućih čestica Svostva SPH-a Sila tlaka Viskozna sila Površinska napetost Vanske sile Implementacia Rezultati izvođena i moguća proširena programa Zaklučak Literatura Sažetak Abstract... 22
3 1. Uvod Računalne simulacie su uobičaen način za rešavane mnogih složenih problema u inženerstvu i znanosti. Nihov cil e pretvoriti klučne dielove fizikalnog modela u diskretan matematički oblik koi se rešava uporabom računala. Mogu se koristiti kao alat za znanstveno istraživane umesto pokusa koi mogu biti skupi, opasni ili teško merlivi te zbog toga igrau važnu ulogu u potvrđivanu teoria, pomažu kod interpretacie nekih fenomena, a ponekad služe i za otkrivane novih. Računalne simulacie su pronašle svou primenu u velikom brou područa uklučuući analizu električnih krugova, analizu utecaa sile otpora na avion, simulirane testova sudara (engl. crash test) (Slika 1.) te simulaciu fluida koa e i tema ovog rada. Slika 1. Simulacia prometne nesreće Fluidi su tvari koe strue odnosno neprekidno se deformirau pod delovanem smičnog naprezana. Dielimo ih na stlačive i nestlačive. Stlačivi fluidi imau sposobnost promene volumena, a nestlačivi fluidi imau konstantan volumen. Voda e primer nestlačivog fluida, a plinovi stlačivog fluida. Fluidi su sastavni dio prirode koa nas okružue, a kako e nihovo ponašane zanimlivo za promatrane te potrebno za 2
4 rešavane različitih inženerskih problema poavom dovolno snažnih računala ona su se počela koristiti i za simulaciu fluida. Gibana fluida opisana su matematičkim ednadžbama, ali u realnim slučaevima te ednadžbe postau nesvedive na linearne. Takve ednadžbe rešavamo pomoću numeričkih metoda. Za rešavane ednadžbi koristimo računala koa broeve pohranuu s nekom zadanom preciznošću i zbog toga ednadžbe e potrebno diskretizirati. Glavna razlika između različitih metoda simulacia e način na koi diskretiziramo osnovne ednadžbe. Radi složenosti postupka diskretizacie i fizikalnih poava poput viskoznosti i površinske napetosti izrada programa za simulaciu fluida e zahtevna. Metode pomoću koih dobivamo točnie i detalnie simulacie traže više računalnih resursa i zbog toga nih ne možemo koristiti u aplikaciama koe rade u stvarnom vremenu poput igara. Zbog toga vrlo precizne simulacie fluida koristimo kod animacia za filmove, dok kod igara moramo koristiti mane zahtevne, ali zbog toga nažalost moramo prihvatiti i nihovu manu razinu preciznosti. Nakvalitetnie simulacie danas su toliko detalne i precizne da ih e ponekad teško razlikovati od stvarnosti(slika 2 i Slika 3). Slika 2. Realistična simulacia vode 3
5 Slika 3. Voda u igri battlefield 1 4
6 2. Osnove mehanike fluida 2.1 Svostva fluida Na mikroskopsko razini fluid se sastoi od velikog broa molekula koe se međusobno sudarau. Bro molekula e prevelik da bi se bavili izravno nima, pa se bavimo većim nakupinama molekula koe nazivamo česticama. Za opisivane fluida koristimo pomove tlak, viskoznost, gustoća i temperatura. Tlak e fizikalna veličina koa opisue delovane sile okomito na površinu fluida. Postoe hidrostatski, hidraulički i hidrodinamički tlak. Hidrostatski tlak e tlak mirnog fluida uzrokovan negovom težinom, hidraulički tlak e tlak koi nastae zbog delovana sila izvana, a hidrodinamički tlak nastae kod toka fluida[1]. Viskoznost e svostvo fluida koe nastae kao posledica opirana fluida smičnim silama putem viskoznih naprezana, koa se avlau kao reakcia na brzinu deformacie. Gustoća e fizička veličina određena kao količnik mase i volumena. Temperatura e veličina koa opisue toplinsko stane i sposobnost tiela ili tvari da izmenue toplinu s okolinom. Temperatura ovisi o količini unutarne energie koe sadrži neko tielo određene mase i tlaka. Temperatura ne uteče izravno na kretane fluida, ali uteče na tlak o koem izravno ovisi gibane fluida. Idealni fluid e fluid u koemu su viskoznost, površinska napetost, kapilarnost i ostale posledice međumolekularnih sila zanemarive. Sredinom osamnaestoga stoleća švicarski matematičar Leonard Euler formulirao e ednadžbe za opis takvih fluida koe su po nemu dobile ime Eulerove ednadžbe. 2.2 Navier-Stokesove ednadžbe Francuski inžener Claude-Louis Navier godine proširio e Eulerove ednadžbe tako da e nima moguće opisati viskozne(realne) fluide. Sir George Gabriel Stokes e pobolšao Navierov rad, ali potpuna rešena se mogu dobiti samo za ednostavne dvodimenzionalne tokove. Složena vrtložena i turbulentna gibana fluida u trodimenzionalnom prostoru se rešavau pomoću metoda numeričke analize. Ove ednadžbe proizlaze iz primene drugog Newtonovog zakona (F=ma) na gibane fluida 5
7 uz pretpostavku da e naprezane fluida ednako sumi članova koi opisuu viskoznost i članu koi označava tlak. Sledeće ednadžbe redom prikazuu Navier-Stokesove ednadžbe[1] po prostornim osima: ρ ( u u u u + u + v + w t x y z ) = F x p x + μ u ( 2 x u y u z 2) ρ ( v v v v + u + v + w t x y z ) = F y p y + μ v ( 2 x v y v z 2) ρ ( w t w w w + u + v + w x y z ) = F z p z + μ w ( 2 x w y w z 2 ) Variable u, v, w predstavlau brzinu po osima x, y, z. Kada bismo cielu ednadžbu pomnožili s volumenom lieva strana ednadžbe bi predstavlala umnožak mase i akceleracie, a desna sile koe deluu na infinitezimalno mali dio fluida. Prvi član s desne strane ednakosti predstavla bilo kakve vanske sile koe deluu na fluid, a načešće se radi o gravitacii, drugi član silu koa nastae zbog razlike tlaka koi delue na fluid, a treći član modelira viskoznost fluida. 6
8 3. Modeli fluida Fluidi se mogu opisati na dva osnovna načina: Eulerov i Lagrangeov. Za Eulerov fluid kažemo da e prostorni opis er e to način promatrana kretana fluida kod koeg promatramo specifičnu lokaciu prostora kroz kou teče fluid. Lagrangeov opis nazivamo materialnim opisom er promatramo česticu koa se kreće prostorom. Navier-Stokesove ednadžbe koima opisuemo fluid često nisu egzaktno rešive i za nihovo rešavane koristimo različite numeričke metode koe su podielene u dvie grupe. Jednu grupu čine metode koe koriste rešetku s konačnim broem ćelia unutar koe se nalazi fluid, a drugu grupu čine metode koe prikazuu fluid pomoću konačnog broa diskretnih čestica. 3.1 Lagrangeova rešetka Rešetka e postavlena na material i kreće se s nime. Rešetka prati deformaciu materiala. Napoznatia i načešće korištena metoda koa koristi Lagrangeovu rešetku e metoda konačnih elemenata. Metoda konačnih elemenata e numerička metoda za rešavane parcialnih diferencialnih ednadžbi. Ova metoda dieli domenu na malene, ednostavne dielove koi se nazivau konačnim elementima. Glavna prednost te metode su ednostavnii i brži račun u odnosu na metode koe koriste Eulerovu rešetku, a mana e što se ne može primieniti na materiale kod koih dolazi do velikih deformacia. Metoda konačnih elemenata napopularnia e kod simulacia čvrstih tiela, dok se kod simulacie fluida ova metoda danas vrlo rietko koristi. 3.2 Eulerova rešetka Eulerova rešetka fiksirana e u prostoru, a fluid se kreće. Kako su oblik, volumen i položa ćelia nepromenivi za cielo vrieme traane simulacie, deformacie materiala ne mienau rešetku te ne dolazi do numeričkih problema kao u metodama s Lagrangeovom rešetkom. Metode s ovim tipom rešetke su dominantne kod simulacia fluida, ali ipak imau niz mana: teško e pratiti ponašane materiala u neko točki kroz vrieme, teško e postaviti rešetku koa bi odgovarala složenim tielima i često e 7
9 potrebna rešetka puno veća od tiela koe nas zanima što negativno uteče na brzinu izvođena simulacie. 3.3 Čestične metode bez mreže( engl. Meshfree Particle Methods) Metode ovog tipa koriste konačan bro diskretnih čestica gde diskretna čestica može izravno predstavlati diskretan fizički obekt ili mali dio kontinuuma. U ovu grupu pripadau metode: dinamika molekula(engl. molecular dynamics), Monte Carlo, čestica u ćelii(engl. particle-in-cell), marker u ćelii(engl. marker-in-cell), metoda diskretnih elemenata (engl discrete element method), vrtložne metode(engl.vortex methods) i metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica(engl. smoothed particle hydrodynamics). Mnoge od ovih metoda su razviane za sustave s diskretnim česticama, ali su našle primenu i u kontinuiranim sustavima. Primeri za to su metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica koa se razvila za simulirane interakcia zviezda, te metoda dinamike molekula koa e razviena za simulirane kretana atoma. 8
10 4. Hidrodinamika zaglađuućih čestica 4.1 Svostva SPH-a Metodu Smoothed Particle Hydrodynamics razvili su godine Lucy, Gingold i Monaghan za rešavane problema u astrofizici, ali e ona dovolno općenita da se može koristiti za simulacie fluida, a uz to koristi se i za simulirane čvrstih tiela. Gibane fluida opisano e pomoću sustava parcialnih diferencialnih ednadžbi. Metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica se koristi za rešavane sustava parcialnih diferencialnih ednadžbi koima e prikazan problem gibana fluida. Sustavi tih parcialnih diferencialnih ednadžbi nisu analitički rešivi osim za nekoliko vrlo ednostavnih slučaeva. Zbog toga e veliki trud uložen u tražene numeričkih rešena ovog problema. Prvi potreban korak e diskretizacia domene u koo se nalaze parcialne diferencialne ednadžbe. Uz to nam e oš potrebna funkcia koa nam dae aproksimaciu funkcia pola i nenih derivacia u svako točki prostora. Tada na parcialne diferencialne ednadžbe primenuemo funkciu aproksimacie te dobivamo skup običnih diferencialnih ednadžbi u diskretiziranom obliku koe su ovisne samo o vremenu. Da bismo došli do spomenutih rezultata pomoću metode hidrodinamike zaglađuučih čestica koristimo sledeće idee[3]: Domena problema e prikazana pomoću skupa raspodielenih čestica. Ne postoi povezanost između čestica(engl. meshfree). Za aproksimaciu funkcie pola se koristi integralna reprezentacia funkcie. U metodi SPH to nazivamo ezgrena(engl. kernel) funkcia. Jezgrena funkcia se zatim aproksimira koristeći čestice. To nazivamo čestičnom aproksimaciom, a izvodi se tako da integral u integralno reprezentacii zamienimo sumom odgovaraućih vriednosti kod svih susednih čestica. Čestična aproksimacia se izvodi u svakom vremenskom koraku i rezultat ovisi o trenutnom rasporedu čestica u susedstvu. Čestične aproksimacie se izvode za sve izraze koi su povezani s funkciama pola u parcialnim diferencialnim ednadžbama kako bismo izveli skup običnih diferencialnih ednadžbi koe ovise samo o vremenu. 9
11 Obične diferencialne ednadžbe se rešavau pomoću eksplicitnih integraciskih algoritama kako bi se postiglo brzo napredovane simulacie i dobile vriednosti svih variabli kroz vrieme. SPH diskretizira fluid u čestice, čia svostva se zaglađuu pomoću funkcie zaglađivana što znači da samo susedne čestice koe se nalaze unutar radiusa zaglađivana uteču na svostva čestice. Formulaciu metode SPH dielimo u dva koraka. Prvi korak e integralna reprezentacia, a drugi korak e čestična aproksimacia. Čestična aproksimacia e korak u koemu integralnu reprezentaciu funkcie pretvaramo u sumu delovana susednih čestica. Prema metodi hidrodinamike zaglađuućih čestica, skalarna veličina A interpolirana e na položau r pomoću sume doprinosa svih čestica. A s (r) = A(r )W(r r, h)dr A m ρ W(r r, h) M i ρ predstavlau masu i gustoću -te čestice. Funkciu W nazivamo ezgrenom zaglađuućom funkciom. Za ezgrenu funkciu[3] se odabire parna funkcia koa treba zadovolavati nekoliko uveta. Jezgrena funkcia mora biti normalizirana W(r r, h)dr = 1. Funkcia treba zadovolavati svostvo Diracove delta funkcie kada su udalenost približava nuli lim W(r h 0 r, h) = δ(r r ). Jezgrena funkcia iznosi nula izvan područa zaglađivana W(r r, h) = 0 when r r > κh. Κ e konstanta koa se odnosi na funkciu zaglađivana u točki x i definira efektivnu površinu funkcie zaglađivana. Zbog linearnosti derivacia uteče samo na ezgrenu funkciu pa gradient od A iznosi: A(r) = m A ρ W(r r, h) = m A ρ W(r r, h) 10
12 Primenuući ova svostva na Navier-Stokesove ednadžbe prvo trebamo naći prikaz gustoće fluida u ovisnosti o susednim česticama do čega dolazimo tako da na mesto proizvolne veličine A uvrstimo gustoću ρ. ρ ρ(r i ) = m W(r r ρ, h) = m W(r r, h) 4.2 Sila tlaka Formula za silu koa nastae zbog tlaka koi delue na česticu glasi: f i pressure = m p i + p 2ρ W(r i r,h ) Budući da čestice poseduu samo tri konstantne veličine(masa, pozicia i brzina), potrebno e naprie izračunati tlak. Tlak izračunavamo ednadžbom idealnog plina. p = kρ, Gde e k plinska konstanta koa ovisi o temperaturi. U simulaciama se često koristi modificirana verzia ednadžbe. p = k(ρ ρ 0 ) 4.3 Viskozna sila Formula za viskoznu silu glasi: f i viscosity = μ m v v ρ 2 W(r i r, h) 4.4 Površinska napetost Na molekule u fluidu deluu privlačne sile susednih molekula. Unutar fluida te molekularne sile su ednake u svim smerovima i poništavau se, ali to nie sluča na rubovima fluida. Rezultanta tih sila, kou nazivamo silom površinske napetosti delue 11
13 u smeru normale prema površini fluida. Zbog toga fluid poprima oblik koi ima namanu površinu(voda u bestežinskom stanu poprima oblik kugle). Površinska napetost ovisi i o koeficientu napetosti σ. Površina fluida može se pronaći pomoću veličine pola koa iznosi 1 ako e prisutna čestica, a inače 0. To pole se naziva color field. Za pole smoothed color field [2] vriednost računamo formulom Sila iznosi: 1 c s (r) = m W(r r ρ, h). f surface = σ 2 c s c s c s 4.5 Vanske sile Na fluid deluu vanske sile poput gravitaciske sile i sila koe nastau zbog sudara s preprekama. Ove sile izračunavamo direktno bez korištena metode SPH. Za gravitacisku silu koristimo formulu F grav = mg, a kod sudara s preprekama ili rubovima terena samo reflektiramo vektor brzine oko normale koa e okomita na tielo s koim se fluid sudara. 12
14 5. Implementacia Za simulaciu fluida korištena e metoda Smoothed Particle Hydrodynamics. Fluid e reprezentiran pomoću konačnog broa čestica, govorimo o Lagrangeovom modelu fluida. Za spremane pozicie i brzine čestice sam koristio tip glm::vec2 iz matematičke biblioteke glm(opengl Mathematics). Slika 4 Klasa Particle Čestica e u programu prikazana pomoću klase Particle čia e implementacia prikazana na slici 5. Kod integracie e potrebna gustoća i podatak kolika sila delue na česticu, pa uz brzinu i poziciu za svaku česticu spremamo i ta svostva. Dodano e i pole pokazivača na susedne čestice Particle **neighbours, te pole udalenosti susednih čestica float *neighboursdist. Ova pola su korištena er se tiekom svakog koraka nekoliko puta poavlue potreba za pronalaskom suseda i nihovih udalenosti na što se troši velika količina procesorskog vremena. Dodavanem ovih pola svako čestici povećali smo potrebu za memoriom, ali memoria i dale nie problematična, a 13
15 brzina izvođena programa se udvostručila. Kretane čestica fluida određeno e silom, brzinom, tlakom, gustoćom. Ove vriednosti potrebno e izračunati za svaku česticu. Izračun položaa čestica i nihovih svostava za svaku novu sliku podieleni su u tri metode: izračun tlaka i gustoće čestice(computedensitypreassure), izračun sila(computeforces) i integracia(integrate). Nakon što izračunamo sve vriednosti crtamo sliku na ekran. Za crtane koristimo aplikacisko programsko sučele OpenGL. U metodi Compute Density Pressure gustoću računamo: particles[i]. rho = MASS POLY6 (H 2 particles[i]. neighboursdist[ 2 ]) 3, a tlak formulom particles[i]. p = k(ρ ρ 0 ). Nakon toga u metodi ComputeForces izračunavamo viskoznu silu, silu tlaka i gravitacisku silu na svaku od čestica. Gravitaciska sila ednaka produktu koeficienta gravitacie i ubrzanu sile teže. Viskozna sila ednaka e zbrou viskoznih sila čestice sa svakom susednom česticom. f i viscosity = μ m v v ρ 2 W(r i r, h) Proporcionalna e s razlikom brzina čestica, a obrnuto proporcionalna gustoći čestice. Laplacian nam dae veću vriednost kada e udalenost između dvie čestice mana, a u slučaevima kada e udalenost između čestica veća od radiusa zaglađivana iznos mu e nula pa iz tog razloga provodimo račun samo s polem susednih čestica koe se nalaze unutar radiusa h od čestice na koo trenutno računamo iznos sile. Viskozna sila ovisi i o koeficientu dinamičke viskoznosti. U programu e moguće za vrieme izvođena mienati koeficient viskoznosti i ubrzane sile teže te tako možemo promatrati kako ove veličine uteču na gibane fluida što se može videti na slici 5. 14
16 Slika 5 Izvođene razviene aplikacie Zadni korak prie iscrtavana slike na ekran e integracia. Nakon što nam e SPH izračunao približne vriednosti gustoće i sila koe deluu na čestice u svakom trenutku možemo koristiti neku od metoda numeričke integracie kako bismo izračunali brzine i došli do novih položaa čestica. a x+1 = x = F total m U programu simuliramo tok vode koa e nestlačiv fluid što znači da o e volumen konstantan. Smatramo da e volumen edne čestice iznosi edan što znači da su iznos gustoće i mase čestice ednaki pa zbog toga kod izračuna akceleracie na mestu mase čestice uvrštavamo nenu gustoću. Nakon toga primenuemo Eulerovu metodu. Eulerova metoda e metoda za numeričko rešavane diferencialnih ednadžbi prvog reda. U metodi Integrate pomoću sledećih ednadžbi izračunavao brzinu i poziciu čestice. 15
17 x t+1 = x t + Δt x t+1 = x t + Δt F total ρ x t+1 = x t + Δt x t+1 16
18 6. Rezultati izvođena i moguća proširena programa Razvienu aplikaciu sam testirao na prienosnom računalu s procesorom Intel i7-8550u i osam gigabata radne memorie. Da bismo mogli izračunati sile moramo za svaku česticu proći kroz pole svih čestica kako bismo pronašli čestice koe se nalaze unutar radiusa zaglađivana i uteču na česticu kou promatramo, pa e zbog toga složenost ovog algoritma O(n 2 ), gde n predstavla bro čestica. Aplikacia dobro radi s 800 čestica, a s 1000 čestica dolazi do velikog usporena programa i više nie pogodna za izvođene u stvarnom vremenu. Brzina izvođena se može pobolšati dodavanem pola u koem bi se za određenu lokaciu u prostoru nalazila referenca na česticu koa se nalazi na to pozicii. Tako bi se smanila složenost i povećala brzina izvođena programa. Simulacia e ako osetliva na promenu parametara pa samo malom promenom nekog parametra dolazi do drugačieg ponašana fluida. Gibane fluida ovisi o tlaku koi različito delue na svaku česticu. Jednadžba stana plina p = k(ρ ρ 0 ) ovisi o gustoći mirovana fluida ρ 0 i konstanti tlaka k. Povećanem konstante tlaka k dolazi do većih odbonih sila između čestica fluida i između čestica dolazi do većeg razmaka(slika 6), a smanenem konstante odbone sile postau mane i čestice postau zbienie što se vidi na slici 7. Slika 6 Izvođene uz k=
19 Slika 7 Izvođene uz k=1000 Isti uteca na izvođene ima i promena parametra ρ 0 koi predstavla gustoću mirovana. Osim ubrzana postoi i niz drugih promena i proširena koa bi pobolšala ovu aplikaciu, a nazanimliviim se čini proširene na rad u tri dimenzie. Za rad u 3D potrebno e proširiti izračun brzine i sila u tri dimenzie i trebalo bi ponovno prilagoditi parametre. 18
20 7. Zaklučak Simulacia fluida e važno i zanimlivo područe računalne grafike. Fluidi se nalaze svuda oko nas i primena simulacia e vrlo široka od računalnih igara i specialnih efekata u filmsko industrii do virtualnih operacia u medicini, virtualnih simulatora letena i mnogih drugih. Za izvođene tih simulacia potreban a ako velik bro operacia što računalo često ne može pratiti pa se time narušava svostvo rada u stvarnom vremenu. Potrebno e smaniti bro operacia i zbog toga se mnoge vriednosti spremau u memoriu kako ih se ne bi računalo više puta, a u slučaevima kada aplikacia treba omogućavati rad u stvarnom vremenu koriste se mane zahtevne simulacie, ali to dovodi i do nihove mane preciznosti. Osnovu svih metoda čine Navier-Stokesove ednadžbe. Integralne ednadžbe se poednostavluu korištenem hidrodinamike zaglađuućih čestica. Budući da tlak nie uviek ednak kod dvie čestice sile koe nastau zbog tlaka nisu simetrične pa kod metode SPH treba obratiti pozornost na očuvane trećeg Newtonovog zakona. Da bi simulacia fluida bila što realnia dodae se površinska napetost koa nie opisana Navier-Stokesovim ednadžbama. Za izračunavane površinske napetosti potrebno e doći do površine fluida za što se koristi pole color field. Simulacie su osetlive na promenu parametara i promena samo ednog parametra dovodi do narušavana izvedbe pa treba paziti na nihovu međuovisnost prilikom mienana. 19
21 8. Literatura [1] Zdravko Virag, Mario Savar, Ivo Džian Mehanika fluida I i II: predavana, 2017 [2] Matthias Muller, David Charypar, Markus Gross, Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications, SIGGRAPH Symposium on Computer Animation(2003) [3] G. R. Liu, M. B. Liu, Smoothed Particle Hydroynamics a meshfree particle method, 2003 [4] Michael J. Gourlay, datum pristupana
22 9. Sažetak Ova rad se bavi simulaciom fluida u stvarnom vremenu. Opisani su Eulerov i Lagrangeov fluid, nihove prednosti i nedostaci. Detalnie e opisana metoda hidrodinamike zaglađuućih čestica, interpolaciska metoda koa fluid opisue skupinom diskretnih čestica. Ovom metodom ostvarena e simulacia nestlačivog fluida. Za implementaciu e korišten programski ezik c++ i biblioteke glfw, glm i ImGui. U radu su opisani navažnii dielovi programskog koda i utecai parametara na rezultate simulacie. Klučne rieči: simulacia, mehanika fluida, hidrodinamika zaglađuućih čestica, Eulerov fluid, Lagrangeov fluid, SPH 21
23 10. Abstract This report presents fluid simulations in real time. It describes Euler and Lagrange fluid, their advantages and disadvantages. Smoothed particle Hydrodynamics method is described in more details. SPH is an interpolation method for particle systems. This method is used to make simulation of incompressible fluid. Application is written using c++ and libraries glfw, glm and ImGui. Report describes most important parts of source code and influence of parameters on simulation. Key words: simulation, fluid mechanics, Euler fluid, Lagrange fluid, Smoothed particle Hydrodynamics, SPH 22
Red veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationSeminarski zadatak iz Kvantne fizike
Seminarski zadatak iz Kvantne fizike Vinko Šuria. velače 00. Fizički odsek Prirodoslovno - matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Bienička, 0 000 Zagreb, Hrvatska Zadatak 7. Neka e potencialna energia
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationJednadžba idealnog plina i kinetička teorija
Jednadžba idealnog plina i kinetička teorija FIZIKA PSS-GRAD 9. studenog 017. 14.1 Molekulska masa, mol i Avogadrov broj To facilitate comparison of the mass of one atom with another, a mass scale know
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationZlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0)
Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Asistenti doc. dr. sc. Ivan Kodrin dr. sc. Igor Rončević Literatura A. R. Leach, Molecular Modelling, Principles and Applications, 2. izdanje, Longman,
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationKeywords: anticline, numerical integration, trapezoidal rule, Simpson s rule
Application of Simpson s and trapezoidal formulas for volume calculation of subsurface structures - recommendations 2 nd Croatian congress on geomathematics and geological terminology, 28 Original scientific
More informationANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING
ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationVELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION
VELOCITY PROFILES AT THE OUTLET OF THE DIFFERENT DESIGNED DIES FOR ALUMINIUM EXTRUSION J.Caloska, J. Lazarev, Faculty of Mechanical Engineering, University Cyril and Methodius, Skopje, Republic of Macedonia
More informationCOMPARISON OF LINEAR SEAKEEPING TOOLS FOR CONTAINERSHIPS USPOREDBA PROGRAMSKIH ALATA ZA LINEARNU ANALIZU POMORSTVENOSTI KONTEJNERSKIH BRODOVA
Ana Đigaš, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Maro Ćorak, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Joško Parunov, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationMATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationCSCI1950V Project 4 : Smoothed Particle Hydrodynamics
CSCI1950V Project 4 : Smoothed Particle Hydrodynamics Due Date : Midnight, Friday March 23 1 Background For this project you will implement a uid simulation using Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH).
More informationDynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM
THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS vol. 27, pp. 39-48, 2002 Dynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM George D.Hatzigeorgiou and Dimitri E.Beskos Submitted 12 February,
More information2. RAZVOJ KVANTNE MEHANIKE (QM)
FRAKTALNA MEHANIKA Prof.dr Đuro Koruga LEKCIJA ODNOS KLASIČNE I KVANTNE MEHANIKE Da bi se razumeo odnos klasične (KM) i kvantne mehanike (QM) neophodno e poznavati nihov nastanak i razvo. Kratak pregled
More informationMicropolar fluid flow with rapidly variable initial conditions
Mathematical Communications 3998), 97 24 97 Micropolar fluid flow with rapidly variable initial conditions Nermina Mujaković Abstract. In this paper we consider nonstationary D-flow of a micropolar viscous
More informationINVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES
INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationRealizacija kontrolera anestezije na bazi fazi logike u programskom okruženju MATLAB/Simulink
INFOTEH-JHORIN Vol. 15, March 2016. Realizacia kontrolera anestezie na bazi fazi logike u programskom okruženu MTLB/Simulink Jovana Janković student drugog ciklusa studia Filozofski fakultet Univerziteta
More informationRESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS
Nenad, VARDA, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, I. Lučića 5, 10000 Zagreb Nastia, DEGIULI, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval
More informationUVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE. Doc. dr. sc. Tunjo Perić
UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE Doc. dr. sc. Tuno Perić 1. Poam višekriteriskog programirana Višekriterisko programirane e složen proces određivana nedominiranih rešena iz skupa mogućih rešena i određivane
More informationATOMSKA APSORP SORPCIJSKA TROSKOP
ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA SPEKTROS TROSKOP OPIJA Written by Bette Kreuz Produced by Ruth Dusenbery University of Michigan-Dearborn 2000 Apsorpcija i emisija svjetlosti Fizika svjetlosti Spectroskopija
More informationA STUDY ON NATURAL CONVECTION HEAT TRANSFER IN COMPLEX BOUNDARIES
http://doi.org/10.4867/jpe-017-01-11 JPE (017) Vol.0 (1) Mohapatra, C. R. Preliminary Note A STUDY ON NATURAL CONVECTION HEAT TRANSFER IN COMPLEX BOUNDARIES Received: 3 February 017 / Accepted: 01 April
More informationANIMACIJA TOKA FLUIDA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 565 ANIMACIJA TOKA FLUIDA Jakov Fuštin Zagreb, studeni 2005. ii Sadržaj. Uvod... 2. Dinamika fluida...2 2.. Jednadžba kontinuiteta...2
More informationSTATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (1,1) MODEL
Hrvatski meteoroloπki Ëasopis Croatian Meteorological Journal, 4, 2006., 43 5. UDK: 55.577.22 Stručni rad STATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (,) MODEL Statistička
More informationKARAKTERIZACIJA STRUKTURA NANO- METARSKIH DIMENZIJA PRIMENOM SPEKTROSKOPSKE ELIPSOMETRIJE*
MILKA M. MIRIĆ MARKO B. RADOVIĆ RADOŠ B. GAJIĆ ZORANA D. DOHČEVIĆ-MITROVIĆ ZORAN V. POPOVIĆ Centar za fiziku čvrstog stana i nove materiale, Institut za fiziku, Beograd, Srbia NAUČNI RAD KARAKTERIZACIJA
More informationMjerenje snage. Na kraju sata student treba biti u stanju: Spojevi za jednofazno izmjenično mjerenje snage. Ak. god. 2008/2009
Mjerenje snae Ak. od. 008/009 1 Na kraju sata student treba biti u stanju: Opisati i analizirati metode mjerenja snae na niskim i visokim frekvencijama Odabrati optimalnu metodu mjerenja snae Analizirati
More informationDEVELOPMENT OF NUMERICAL MODELS WITHIN THE LIQUID FILM AND LAGRANGIAN SPRAY FRAMEWORK
Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture DEVELOPMENT OF NUMERICAL MODELS WITHIN THE LIQUID FILM AND LAGRANGIAN SPRAY FRAMEWORK DOCTORAL THESIS Zagreb, 2016 Fakultet stroarstva i brodogradne
More informationDEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE OF A RECIPROCATORY TUBE FUNNEL FEEDER
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-01-067 JPE (2018) Vol.21 (1) Jain, A., Bansal, P., Khanna, P. Preliminary Note DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE
More informationNON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION
Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 17 (1) 39 44 (2011) CI&CEQ DRAGAN M. MILENOVIĆ 1 DRAGAN S. PEŠIĆ
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationDESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty
More informationSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Huamin Wang
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Huamin Wang Fluid Representation Fluid is represented using a set of particles. Particle i has position x i, velocity v i, and mass m i. Animation Example Using 10
More informationDiplomski rad br. 1396
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za elektroniku, mikroelektroniku, računalne i inteligentne sustave Diplomski rad br. 1396 Uporaba višeslonog perceptrona za raspoznavane
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationCHEMICAL REACTION EFFECTS ON VERTICAL OSCILLATING PLATE WITH VARIABLE TEMPERATURE
Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 16 ( 167 173 (010 CI&CEQ R. MUTHUCUMARASWAMY Department of Applied
More informationAsian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE
Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE
More informationComputational Astrophysics
Computational Astrophysics Lecture 1: Introduction to numerical methods Lecture 2:The SPH formulation Lecture 3: Construction of SPH smoothing functions Lecture 4: SPH for general dynamic flow Lecture
More informationelektrična polja gaussov zakon električni potencijal
električna polja gaussov zakon električni potencijal Svojstva električnih naboja - Benjamin Franklin (1706-1790) nizom eksperimenata pokazao je postojanje dvije vrste naboja: pozitivan i negativan - pozitivan
More informationSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Damir Rigler. Zagreb, 2014.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Damir Rigler Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentor: Prof. dr. sc. Hrvoje Jasak,
More informationProces Drella i Yana i potraga za te²kim esticama na hadronskim sudariva ima
Proces Drella i Yana i potraga za te²kim esticama na hadronskim sudariva ima Mentor: izv. prof. dr. sc. Kre²imir Kumeri ki Prirodoslovno-matemati ki fakultet, Fizi ki odsjek Sveu ili²te u Zagrebu velja
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationMUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT
Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute
More informationA COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5
Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationPhilippe Jodin. Original scientific paper UDC: :519.6 Paper received:
The paper was presented at the Tenth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF0) Metz, France, 30 August September, 00 Philippe Jodin APPLICATION OF NUMERICAL METHODS TO MIXED MODES FRACTURE MECHANICS
More informationCyclical Surfaces Created by a Conical Helix
Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created
More informationKLASTEROVANJE KADA PODACI NEDOSTAJU KORIŠĆENJEM METODE PROMENLJIVIH OKOLINA CLUSTERING WHEN MISSING DATA BY USING THE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH
KLASTEROVANJE KADA PODACI NEDOSTAJU KORIŠĆENJEM METODE PROMENLJIVIH OKOLINA CLUSTERING WHEN MISSING DATA BY USING THE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH NATAŠA GLIŠOVIĆ 1, TATJANA DAVIDOVIC, MIODRAG RAŠKOVIĆ
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationIMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION
Serb. Astron. J. 172 (2006), 41-51 UDC 521.96 DOI: 10.2298/SAJ0672041D Preliminary report IMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION G. Damljanović 1, N. Pejović 2 and B. Jovanović 1 1 Astronomical
More informationProduct Function Matrix and its Request Model
Strojarstvo 51 (4) 293-301 (2009) M KARAKAŠIĆ et al, Product Function Matrix and its Request Model 293 CODEN STJSAO ISSN 0562-1887 ZX470/1388 UDK 6585122:00442 Product Function Matrix and its Request Model
More informationConditional stability of Larkin methods with non-uniform grids
Theoret. Appl. Mech., Vol.37, No., pp.139-159, Belgrade 010 Conditional stability of Larkin methods with non-uniform grids Kazuhiro Fukuyo Abstract Stability analysis based on the von Neumann method showed
More informationShear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO Square-Plate Twist Method
Hiroshi Yoshihara 1 Shear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO 1531 Square-late Twist Method rocjena smicajnog modula i smicajne čvrstoće cjelovitog drva modificiranom
More informationAPPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION
JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One
More informationFluid Dynamics. Part 2. Massimo Ricotti. University of Maryland. Fluid Dynamics p.1/17
Fluid Dynamics p.1/17 Fluid Dynamics Part 2 Massimo Ricotti ricotti@astro.umd.edu University of Maryland Fluid Dynamics p.2/17 Schemes Based on Flux-conservative Form By their very nature, the fluid equations
More informationPrimjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih i rubnih uvjeta
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: PROFESOR FIZIKE I INFORMATIKE Ivan Banić Diplomski rad Primjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih
More informationDinamika međuplanetarne prašine pod utjecajem negravitacijskih sila. Marija Baljkas. Mentor: izv.prof.dr.sc. Dejan Vinković ZAVRŠNI RAD
Dinamika međuplanetarne prašine pod utjecajem negravitacijskih sila Marija Baljkas Mentor: izv.prof.dr.sc. Dejan Vinković ZAVRŠNI RAD Split, Rujan 2015. Odjel za fiziku Prirodoslovno-matematički fakultet
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationDYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS
DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,
More informationUNIVERSITY OF ZAGREB Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture MASTER S THESIS. Dario Živković. Zagreb, 2016.
UNIVERSITY OF ZAGREB Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture MASTER S THESIS Dario Živković Zagreb, 2016. UNIVERSITY OF ZAGREB Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture
More informationSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH) 4. May 2012
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) 4. May 2012 Calculating density SPH density estimator Weighted summation over nearby particles: ρ(r) = N neigh b=1 m bw (r r b, h) W weight function with dimension
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationUSE OF A MATHEMATICAL MODEL FOR CFD ANALYSIS OF MUTUAL INTERACTIONS BETWEEN SINGLE LINES OF TRANSIT GAS PIPELINE
ISSN 1848-71 6.691+4.7.=111 Recieved: 14-1-31 Accepted: 1--6 Preliminary communication USE OF A MATHEMATICAL MODEL FOR CFD ANALYSIS OF MUTUAL INTERACTIONS BETWEEN SINGLE LINES OF TRANSIT GAS PIPELINE DÁVID
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationMicrochannel Cooling Systems Using Dielectric Fluids
Strojarstvo 53 (5) 367-372 (2011) D. LELEA et. al., Microchannel Cooling With Dielectric Fluids 367 CODEN STJSAO ISSN 0562-1887 ZX470/1532 UDK 621.564-713.4:621.643 Microchannel Cooling Systems Using Dielectric
More informationDIRECT-MAT. WP4: Uklanjanje asfaltnih kolovoza i reciklaža putnih materijala u asfalt. Dr Milorad Smiljanić, Institut za puteve, Beograd
DIRECT-MAT WP4: Uklanjanje asfaltnih kolovoza i reciklaža putnih materijala u asfalt Dr Milorad Smiljanić, Institut za puteve, Beograd WP 4 Prezentacija WP 4: Ciljevi Osvrt na objedinjenu literaturu i
More informationFINITE-DIFFERENCE MODELING OF DIELECTRIC INTERFACES IN ELECTROMAGNETICS AND PHOTONICS
INFOTEH-JAHORINA Vol. 9, Ref. E-V-1, p. 697-701, March 2010. FINITE-DIFFERENCE MODELING OF DIELECTRIC INTERFACES IN ELECTROMAGNETICS AND PHOTONICS MODELOVANJE RAZDVOJNIH DIELEKTRIČNIH POVRŠI U ELEKTROMAGNETICI
More informationA NEW THREE-DIMENSIONAL CHAOTIC SYSTEM WITHOUT EQUILIBRIUM POINTS, ITS DYNAMICAL ANALYSES AND ELECTRONIC CIRCUIT APPLICATION
A. Akgul, I. Pehlivan Novi trodimenzijski kaotični sustav bez točaka ekvilibrija, njegove dinamičke analize i primjena elektroničkih krugova ISSN 1-61 (Print), ISSN 1848-69 (Online) DOI: 1.179/TV-1411194
More informationDAMAGE DETECTIN OF STEEL STRUCTURES WITH PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS AND LAMB WAVES
IV INTERNATIONAL SYMPOSIUM FOR STUDENTS OF DOCTORAL STUDIES IN THE FIELDS OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND ENVIRONMENTAL PROTECTION Nemanja Marković 1 Dragoslav Stojić 2 Tamara Nestorović 3 DAMAGE
More informationEXPERIMENTAL ANALYSIS OF COMBINED ACTION OF BENDING, SHEAR AND TORSION ON TIMBER BEAMS
Eksperimentalna analiza zajedničkog djelovanja savijanja, posmika i torzije drvenih nosača EXPERIMENTAL ANALYSIS OF COMBINED ACTION OF BENDING, SHEAR AND TORSION ON TIMBER BEAMS Tihomir Štefić, Aleksandar
More informationMehanika tekućina. Goran Lončar
0 Mehanika tekućina Goran Lončar Sadržaj 1 Karakteristične fizikalne veličine u promatranju tekućina i... 4 njihove osobine... 4 1.1 Uvod... 4 1. Promjena gustoće... 5 1..1 Temeljne spoznaje... 5 1.. Gustoće
More informationFrost Formation Phenomenon in a Fin-and-Tube Heat Exchanger
Strojarstvo 50 (1) 15-22 (2008) K LENIĆ et al Frost Formation Phenomenon in a Fin-and-Tube 15 CODEN STJSAO ISSN 0562887 ZX470/1328 UDK 5362:62156593:6215653:51963(043) Frost Formation Phenomenon in a Fin-and-Tube
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationAPPLICATION OF THOMAS-FERMI MODEL TO FULLERENE MOLECULE AND NANOTUBE UDC 547. Yuri Kornyushin
FACTA UNIVERSITATIS Series: Physics, Chemistry and Technology Vol. 5, N o 1, 2007, pp. 11-18 DOI: 10.2298/FUPCT0701011K APPLICATION OF THOMAS-FERMI MODEL TO FULLERENE MOLECULE AND NANOTUBE UDC 547 Yuri
More informationMEHANIKA FLUIDA. Skripta s odabranim poglavljima
MEHANIKA FLUIDA Skripta s odabranim poglavljima Mehanika fluida,. godina, Kemijsko inženjerstvo i Ekoinženjerstvo Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu, 016. Izv. prof. dr.
More informationSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Luka Krnić. Zagreb, godina 2017.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Luka Krnić Zagreb, godina 2017. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIMENZIONIRANJE REGULACIJSKOG VENTILA Mentor:
More informationAIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H
AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured
More informationParticle-based Fluids
Particle-based Fluids Particle Fluids Spatial Discretization Fluid is discretized using particles 3 Particles = Molecules? Particle approaches: Molecular Dynamics: relates each particle to one molecule
More informationĐorđe Đorđević, Dušan Petković, Darko Živković. University of Niš, The Faculty of Civil Engineering and Architecture, Serbia
FACTA UNIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering Vol. 6, N o 2, 2008, pp. 207-220 DOI:10.2298/FUACE0802207D THE APPLIANCE OF INTERVAL CALCULUS IN ESTIMATION OF PLATE DEFLECTION BY SOLVING
More informationImpuls sile i količina gibanja
Impuls sile i količina gibanja FIZIKA PSS-GRAD 25. listopada 2017. 7.1 Teorem impulsa sile i količine gibanja sila vrijeme U mnogim slučajevima sila na tijelo NIJE konstantna. 7.1 Teorem impulsa sile i
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationCORRELATION BETWEEN LAND USE AND URBAN PUBLIC TRANSPORT: CASE STUDY OF ZAGREB
G. Štefančić, S. Šarić, R. Spudić: Correlation Between Land Use and Urban Public Transport: Case Study of Zagreb GORDANA ŠTEFANČIĆ, Ph.D. E-mail: gordana.stefancic@fpz.hr SLAVKO ŠARIĆ, Ph.D. E-mail: slavko.saric@fpz.hr
More informationRELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE
RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING Mario Jeleč Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, mag.ing.aedif. Corresponding author: mjelec@gfos.hr Damir
More informationAdhesion Force Detection Method Based on the Kalman Filter for Slip Control Purpose
Online ISSN 1848-3380, Print ISSN 0005-1144 ATKAFF 57(2), 405 415(2016) Petr Pichlík, Jiří Zděnek Adhesion Force Detection Method Based on the Kalman Filter for Slip Control Purpose DOI 10.7305/automatika.2016.10.1152
More informationSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Dominik Iličić. Zagreb, 2018.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Dominik Iličić Zagreb, 2018. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Mentori: Doc. Dr. sc. Nenad Ferdelji,
More informationProcesi prijenosa i separacija
Procesi prijenosa i separacija Transport Phenomena and Separation Processes IV. PREDAVANJE Ak. god. 2017./2018. Zagreb, 22. ožujka 2018. I. PARCIJALNI KOLOKVIJ I. parcijalni kolokvij dana 6. travnja 2018.,
More informationMODELLING AND INVESTIGATING THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON SURFACE ROUGHNESS IN ELECTRICAL DISCHARGE MACHINING OF CK45
S. Daneshmand i dr. Modeliranje i ispitivanje učinka ulaznih parametara na površinsku hrapavost u obradi CK električnim pražnjenjem ISSN 330-3 (Print), ISSN -339 (Online) DOI:.79/TV-009 MODELLING AND INVESTIGATING
More informationAn alternative method for the determination of siloxane activities toward basic equilibration catalysts
J. Serb. Chem. Soc. 70 (12) 1461 1468 (2005) UDC 678.84:541.121:54 44 JSCS 3384 Original scientific paper An alternative method for the determination of siloxane activities toward basic equilibration catalysts
More informationEFFECT OF LAYER THICKNESS, DEPOSITION ANGLE, AND INFILL ON MAXIMUM FLEXURAL FORCE IN FDM-BUILT SPECIMENS
EFFECT OF LAYER THICKNESS, DEPOSITION ANGLE, AND INFILL ON MAXIMUM FLEXURAL FORCE IN FDM-BUILT SPECIMENS Ognjan Lužanin *, Dejan Movrin, Miroslav Plančak University of Novi Sad, Faculty of Technical Science,
More information