JEDAN POGLED NA PROBLEM OPTIMIZACIJE U TEORIJI POTROŠAČA

Transcription

1 Dejan Popov*1 UDK Mihajlo Rabrenović** Originalni naučni rad JEDAN POGLED NA PROBLEM OPTIMIZACIJE U TEORIJI POTROŠAČA Ovaj članak prezentuje praktičan grafičko-analitički metod rešavanja problema optimizacije potrošača u mikroekonomiji, uključujući i kompjuterski kôd u programskom paketu Matlab, koji može pogodno da se primeni u nastavi ili praksi. Motivacija proizilazi iz činjenice da ova važna problematika u eminentnoj domaćoj literaturi nije uvek tretirana na odgovarajući način. Za polaznu tačku uzet je istaknut primer pogrešno rešenog problema optimizacije potrošača u novijoj autoritativnoj domaćoj literaturi. Ukazano je na najčešći uzrok grešaka, i razvijen je intuitivni, vizuelni grafičko-analitički metod rešavanja, koji može lako da se primeni na svaki sličan problem, bez obzira na konkretan oblik funkcije korisnosti i budžetskog ograničenja. Takođe, ovaj grafički metod je upoređen sa rigoroznim analitičkim postupkom, zasnovanim na Karuš-Kun-Takerovoj teoremi, sa ciljem da se ispita u kojoj meri analitički postupak daje dodatne prednosti u odnosu na intuitivni grafičko-analitički postupak. Na kraju, diskutovana su i ograničenja u primeni grafičko-analitičke metode i istaknuta je činjenica da potpunu sigurnost i opštost daje samo rigorozan analitički postupak. Ključne reči: teorija potrošača, optimizacija, grafičko-analitička metoda, Matlab, Karuš-Kun-Takerova teorema. 1. Značaj i aktuelnost problema u domaćoj ekonomskoj literaturi Motivacija za ovaj članak proizilazi iz velikog značaja koji problem optimizacije ima u mikroekonomiji, i aktuelnosti tretiranja ovog problema u domaćoj ekonomskoj literaturi, u kojoj je još uvek u toku recepcija savremene paradigme ekonomske nauke kakva preovlađuje u razvijenim zemljama. Značaj problema optimizacije u mikroekonomiji sastoji se u tome što je princip optimizacije jedan od dva osnovna principa na kojima počiva mikroeko- * Doc. dr Dejan Popov, Fakultet za poslovne studije, Univerzitet Džon Nezbit, Beograd; dpopov@naisbitt.edu.rs ** Prof. dr Mihajlo Rabrenović, Fakultet za poslovne studije, Univerzitet Džon Nezbit, Beograd; mihajlo.rabrenovic@sbb.rs Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

2 36 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović nomija, i to onaj po kome se mikroekonomija izdvaja kao fundamentalna ekonomska nauka. Prestiž mikroekonomije u sklopu ekonomskih nauka sastoji se upravo u tome što se u mikroekonomiji ekonomske zakonitosti izvode iz ponašanja pojedinaca, tj. iz težnje potrošača i preduzeća da naprave najbolji izbor u okviru svojih ograničenja. Drugi osnovni princip, princip (tržišne) ravnoteže ili ekvilibrijuma, koji obezbeđuje kompatibilnost optimalnih odluka pojedinaca na nivou ekonomije kao celine, koliko god bio važan, pojavljuje se i u drugim disciplinama, dok je princip optimizacije karakterističan baš za mikroekonomiju. Problem optimizacije u mikroekonomiji, iako predstavlja osnovni blok u logičkoj strukturi mikroekonomske građevine, u najopštijem slučaju, podrazumeva relativno napredne matematičke tehnike, kao što je Karuš-Kun-Takerova teorema. 1 U praksi se zato često koriste (nekritički) pojednostavljene metode, koje daju tačna rešenja u većini slučajeva, ali odstupanje od rigorozne procedure nosi u sebi rizik propusta i sasvim netačnih rešenja, onda kada je problem u pitanju takav da zadati uslovi odstupaju od uobičajenih, na primer, kada preferencije nisu konveksne nego konkavne. Ovo je posebno aktuelno u našoj sredini, s obzirom da je matematizovanost ekonomije u nas, kao i kod svih zemalja bivšeg istočnog bloka, relativno manja nego u razvijenim zemljama, a tek u poslednje vreme dolazi do potpune recepcije mainstream ekonomije, najviše u vidu prevođenja kapitalnih udžbenika sa zapada i njihovog uvrštavanja u kurikulum. Jedan od nesumnjivo velikih koraka u tom pravcu predstavljalo je objavljivanje na srpskom jeziku najpoznatijeg svetskog udžbenika mikroekonomije, Varijanove Mikroekonomija moderan pristup, izdanje Ekonomskog fakulteta u Beogradu. 2 Udžbenik je pratila i zbirka pitanja i zadataka, Test pitanja sa rešenjima za knjigu Mikroekonomija moderan pristup Hala R. Varijana, koja je nastala na bazi banke testova za Varijanovu knjigu, pri čemu je deo zadataka preuzet, deo modifikovan, a deo su osmislili autori Stojan Babić i Dejan Trifunović, dok su sva rešenja napisali sami autori. 3 To je bila, a po nama i ostaje, najvažnija zbirka mikroekonomskih problema u zemlji. 4 1 Karush William (1939): Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints, M.Sc. Dissertation, Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois; Kuhn W. Harold, Tucker W. Albert (1951): Nonlinear Programming, , in: Neyman Jerzy (ed.): Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley, Calif. 2 Varijan R. Hal (2010): Mikroekonomija moderan pristup, (7. izd.), Ekonomski fakultet, Beograd. 3 Babić Stojan, Trifunović Dejan (2008): Test pitanja sa rešenjima za knjigu Mikroekonomija Hala R. Varijana, (7.izd.), Ekonomski fakultet, Beograd. 4 Kasnije je izašla i druga zbirka istih autora, koja predstavlja njihovo autorsko delo, ali koja je manjeg obima: Babić Stojan et. al. (2011): Zbirka zadataka iz teorije cena, Ekonomski fakultet, Beograd. Megatrend revija ~ Megatrend Review

3 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača 37 Naravno, recepcija moderne zapadne ekonomije je proces koji zahteva vreme, a možda je i brzina, uslovljena urgentnom potrebom objavljivanja, uslovila da je jedan, ne tako mali, deo problema netačno rešen. A potom su se, po inerciji, ta rešenja prenosila iz izdanja u izdanje. Među njima, ističe se, zbog svog značaja i pozicije u knjizi, upravo problem optimizacije u teoriji potrošača, koji smo zbog njegove ilustrativnosti uzeli kao polaznu tačku u ovom razmatranju. Problem je posebno ilustrativan iz razloga što je na prvom mestu, u jednoj od najvažnijih glava u celoj knjizi, praktično i jedini kompletno urađen problem u toj oblasti, i poseban je kuriozitet što je, sledeći rutinsku proceduru koja važi u 90% slučajeva, a ne egzaktnu analitičku metodu po Teoremi Karuš-Kun- Takera, došao do netačnog rešenja, uprkos tome što su kao alternative ponuđeni tačan i drugi tačniji odgovori, na način da su čak sugestivni, sami se nameću i vrlo se lako daju proveriti. Uz sve to, treba dodati da je pomenuta zbirka izašla u ravno devet izdanja, što znači da je i devet generacija studenata Ekonomskog fakulteta u Beogradu prošlo kroz taj nezaobilazan, i možda najvažniji zadatak u knjizi, a da je on ostao sa takvim rešenjem do poslednjeg devetog izdanja, što se mora priznati da je prava retkost i kuriozitet. 5 Ta činjenica nam je dala uverenje da problem zaslužuje osvrt, i u ovom radu je dat jednostavan kompjuterski grafičko-analitički postupak prikladan ekonomskoj praksi, realizovan uz pomoć prevalentnog matematičkog softvera Matlab, koji je primenjiv na sve slične probleme i kojim se mogu izbeći slične greške ubuduće. Takođe, ovaj grafički metod je upoređen sa rigoroznim analitičkim postupkom, sa ciljem da se ispita u kojoj meri analitički postupak daje dodatne prednosti u odnosu na intuitivni grafički postupak. 2. Uobičajena procedura rešavanja u ekonomskoj literaturi Svaki problem uslovne optimizacije, optimizacije kod koje promenljive ne mogu da uzimaju bilo koje vrednosti, već samo vrednosti koje zadovoljavaju neki uslov ili ograničenje, svodi se u matematičkoj notaciji na sledeći problem optimizacije po promenljivima xy, ciljne funkcije Uxy (, ), tako da važi ograničenje oblika gxy (, ) m i uslovi nenegativnosti: max Uxy (, ) xy, 0 gxy (, ) m U slučaju optimizacije izbora potrošača, ciljna funkcija koja se optimizuje je korisnost potrošača, promenljive po kojima se optimizuje su količine potrošnih 5 Radi se o problemu 5.1 čija je postavka na 141. strani, a rešenje na 239. strani Babić Stojan, Trifunović Dejan (2008): Test pitanja sa rešenjima za knjigu Mikroekonomija Hala R. Varijana, (7. izd.), Ekonomski fakultet, Beograd. Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

4 38 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović dobara xy,, koje čine potrošačku korpu ( xy, ), a ograničenje je budžetsko, koje za konstantne cene px, p y (koje ne zavise od količine) ima oblik linearne nejednakosti: 1) max Uxy (, ) 2) xy, 0 px+ py m x y U ekonomskoj literaturi, često se ovaj opšti problem nelinearnog programiranja, u svrhu lakšeg rešavanja, pojednostavljuje na način da se: (1) budžetski uslov umesto u vidu nejednakosti uzima kao jednakost, tj. pretpostavlja se da je budžetsko ograničenje ispunjeno; (2) pretpostavlja se takođe da se radi o unutrašnjem, a ne graničnom optimumu na budžetskoj liniji. Dve gore navedene pojednostavljujuće pretpostavke u opštem slučaju ne moraju da važe, i u takvom slučaju pojednostavljena metoda daće netačna rešenja. Za slučaj kada pomenute pretpostavke ipak važe, rešenje se nalazi rešavanjem dve jednačine. Prva je jednakost nagiba, ili tangentnost, budžetske linije i krive indiferentnosti. Uslov tangentnosti znači da nagibi krivih ograničenja i ciljne funkcije moraju biti jednaki, to jest da ne mogu da se seku, jer ako bi se sekli, bilo bi moguće, bilo sa jedne, bilo sa druge strane, postići višu krivu nivoa, tj. višu krivu indiferentnosti. Druga jednačina je sama budžetska linija: U px 1) x = U py y 2) px+ py= m x y Rešavanje sistema od dve jednačine po dve nepoznate daje traženu optimalnu potrošačku korpu. Osnovni dijagram koji geometrijski opisuje problem optimizacije potrošača u slučaju kada pojednostavljenja važe (uobičajeni slučaj), nalik je onom na slici 1. Slika prikazuje familiju krivih, koje predstavljaju različite nivoe ostvarenja cilja - korisnosti. Na svakoj krivoj indiferentnosti, korisnost je jednaka, dok više krive predstavljaju bolji ishod za potrošača. Ograničenje je budžetska linija, koja oivičava budžetski skup, koji predstavlja korpe koje potrošač može da priušti i unutar koga, shodno, može da učini izbor. Korpa koja postiže najveću korisnost najvišu krivu indiferentnosti u okviru budžetskog skupa, je korpa A, tačka tangentnosti budžetske linije i krive indiferentnosti. Megatrend revija ~ Megatrend Review

5 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača 39 Slika 1. Uobičajeni izgled grafičkog prikaza problema optimizacije potrošača Izvor: slika autora u Matlab-u. Kao digresiju, koja nekom može biti korisna, razmotrimo kako bi se u Matlab-u mogao nacrtati grafik poput slike 1. Jedan od načina bio bi pretpostaviti Kob-Daglasove preferencije, u primeru je korišćena U = 4x y, nacrtati familiju konturnih krivih funkcijom contour, i obeležiti ih vrednošću korisnosti, pomoću funkcije clabel. Izabrati jednu iz familije krivih koja je pogodna i opredeliti se za tačku na njoj kao mestu optimalnog izbora i tangentnosti sa budžetskom linijom, pročitati njenu x koordinatu i izračunati y koordinatu za dati nivo korisnosti U. Zatim, izračunati nagib u toj tački koristeći formulu: U m = x U y Za tako nađene x, y i m naći po formuli b = y mx vrednost koeficijenta b, i potom nacrtati budžetsku liniju. Kôd je priložen u Dodatku. 3. Primer iz domaće literature Problem koji je bio povod za ovo razmatranje doslovce glasi: 6 Pavle ima 162 koje troši na x i y. Dobro x košta 6 po komadu, a dobro y košta 9 po komadu. Njegova funkcija korisnosti je 2 2 U( x, y) = 4x + 5y. Koju će od sledećih korpi dobara on izabrati? 6 Ibid. Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

6 40 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović Matematičkim jezikom iskazan, ovaj problem optimizacije izbora potrošača može se zapisati kao problem maksimizacije ciljne funkcije korisnosti, sa budžetskim ograničenjem: 2 2 max 4x + 5y xy, 0 6x+ 9 y 162 Ponuđene alternative su: 7 (a) Pavle će izabrati samo x ; (b) Pavle će izabrati samo y ; (c) Pavle će izabrati ponešto od svakog dobra; (d) Pavle je indiferentan između potrošnje samo dobra x i potrošnje samo dobra y ; (e) Nije moguće odrediti. Kao što se može videti, ponuđeni odgovori jasno sugerišu mogućnost graničnog optimuma. Uprkos tome, kao tačan odgovor naznačen je odgovor pod c), da će Pavle izabrati ponešto od svakog dobra, tj. unutrašnji optimum. U rešenjima za ovaj problem se kaže: 8 Potrošač bira onu korpu za koju važi jednakost GSS (granične stope supstitucije) i odnosa cena: U px 8x 2 x = = 6x = 5y U py 10y 3 y Budžetsko ograničenje ima oblik 6x+ 9y = 162. Zamenom gornjeg uslova u budžetskom ograničenju dobijamo da je y = 11,57 i x = 9,64. Međutim, zamenom ovih vrednosti za xy, u funkciju korisnosti Uxy (, ) dobija se da je korisnost U (9.64,11.57) = Veoma je lako uveriti se da ova vrednost nije najveća koja može da se postigne unutar datog ograničenja budžetskog skupa. Zamenom u funkciju korisnosti Uxy (, ) ponuđenih odgovora pod a) i b), lako je uveriti se da u slučaju pod a), U (27,0) = 2916, a u slučaju pod b), U (0,18) = Kako su i 2916 i 1620 veći od 1041, jasno je da oba granična slučaja daju veću korisnost od one koja se postiže navodnim rešenjem na unutrašnjosti budžetske linije. Autori su zapravo nenamerno našli minimum korisnosti na budžetskoj liniji, a ne maksimum. Sem toga taj minimum na budžetskoj liniji nije čak ni minimum na celom budžetskom skupu, koji se postiže u koordinatnom početku, a ne na budžetskoj liniji. 7 Ibid. 8 Ibid. Megatrend revija ~ Megatrend Review

7 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača Razlozi zašto skraćeni uobičajeni postupak nekad ne daje tačno rešenje Najčešći razlozi zašto uobičajeni rutinski postupak, koji nije egzaktna primena Karuš-Kun-Takerove teoreme, koji se često primenjuje nekritički, može da dâ netačna rešenja su: konkavne preferencije, kao što će se pokazati da je slučaj u konkretnom problemu koga razmatramo; preferencije sa zasićenjem; kao i slučajevi kada se granični optimum javlja iako su preferencije konveksne. Konkavne preferencije su takvi ukusi potrošača pri kojima on odstupa od uobičajene pretpostavke da potrošač preferira raznovrsnost u potrošnji (što je slučaj kod konveksnih preferencija), nego naprotiv više voli čistu korpu, ili samo sladoled, ili samo maslinovo ulje, ali nikako pomešane. U takvim slučajevima desiće se granični optimum. Zasićenje u preferencijama se javlja kada ukusi potrošača odstupaju od uobičajene situacije što više to bolje, tako da pri određenim količinama potrošnje nastupa zasićenje, i dalje povećanje potrošnje bi predstavljalo neželjeno dobro i negativnu marginalnu korisnost ili pogoršanje blagostanja potrošača. U takvim slučajevima je moguće da optimum bude, ne na unutrašnjosti budžetske linije, nego ispod nje, u unutrašnjosti budžetskog skupa. Kao što je na početku rečeno, izuzetak je i slučaj kada se javlja granični optimum, iako su preferencije konveksne, a pri tom u takvom graničnom optimumu nagib krive indiferentnosti može da bude različit od nagiba budžetske linije, iako je budžetsko ograničenje ispunjeno kao jednakost. Time dolazimo na centralni deo ovog članka koji se tiče vizuelne metode, koja daje preglednost svakom problemu iz ove oblasti, i koja može lako da prikaže da li uobičajeni postupak može da se primeni ili ne. Ova metoda biće kasnije upoređena sa rigoroznim analitičkim rešenjem. 5. Grafičko rešenje pomoću Matlab-a Uloga grafičkog postupka u grafičko-analitičkom rešenju prezentovanom u ovom članku je da, koristeći napredne mogućnosti koje pruža kompjuterska grafika u prikazivanju funkcija u dve i tri dimenzije, omogući momentalnu vizualizaciju problema i intuiciju o kakvoj se prirodi optimuma radi. Time je lako moguće uočiti slučajeve kada uobičajeni uslov U px 1) x = U py y koga predstavlja tačka A na slici 1 ne važi, i rešenje dalje naći analitički, bilo kao jednu od graničnih tačaka na budžetskoj liniji, bilo u unutrašnjosti budžetskog skupa, van budžetske linije, uslovima za optimizaciju bez ograničenja. Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

8 42 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović Egzaktno numeričko rešenje moguće je, naravno, samo analitičkim putem, ali grafički uvid pomaže da se tačno odredi koji od uslova sadržanih u Karuš-Kun- Takerovoj teoremi treba primeniti. S druge strane, moguće je, takođe, aproksimativno i sa sasvim dovoljnom tačnošću, pročitati sa grafika rešenje korišćenjem funkcije ginput. Sâmo izračunavanje je trivijalno, ono što je suštinski je znati koji uslov primeniti. Grafički uvid to odmah i lako omogućava, dok analitički, videćemo, ne može da apriori odbaci netačan unutrašnji optimum, već samo daje kompletan skup kandidata za rešenje, sprečavajući time da pravo rešenje promakne, iako se sama selekcija pravog rešenja unutar skupa svih kandidata mora obaviti izračunavanjem vrednosti funkcije korisnosti za svakog kandidata i traženjem najveće među njima. U našem slučaju, slika 2 prikazuje problem u tri dimenzije, tako što je data ciljna funkcija funkcija korisnosti, koja ima karakterističan oblik kvadratne forme. Takođe, prikazana je jedna horizontalna ravan visine z = const., čiji presek sa površi funkcije korisnosti daje jednu konturnu ili krivu nivoa funkcije korisnosti, tj. krivu indiferentnosti. U ravni xy, je prikazana čitava familija takvih krivih indiferentnosti, a za naš problem od značaja je samo prvi kvadrant. Na slici 4, dodatno su istaknute krive indiferentnosti, posebno ona u preseku sa ravni z = const. Dok trodimenzionalni grafik omogućava potpunu intuiciju o problemu, mreža konturnih krivih u xy, ravni prikazana na slici 3, već daje dovoljno informacija o tome da li može da se koristi uobičajeni uslov za unutrašnji optimum, ili je u pitanju granični optimum. Slika 2. Trodimenzionalni prikaz funkcije korisnosti Izvor: slika autora u Matlab-u. Megatrend revija ~ Megatrend Review

9 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača 43 Slika 3 daje potpuni pregled zašto gore navedeni uslov 1) uslov tangentnosti, u ovom slučaju ne daje tačno rešenje. Na slici je prikazana budžetska linija, i posebno su istaknute tri krive indiferentnosti, koje odgovaraju kandidatima za jedan unutrašnji i dva granična optimuma. Na svakoj krivoj indiferentnosti obeležen je nivo korisnosti koji ona obezbeđuje, a strelice pokazuju smer porasta korisnosti potrošača. Vidi se da je najviši nivo korisnosti u tački ili potrošačkoj korpi A i iznosi 2916, dok tačka B koja je kandidat za unutrašnji optimum daje nivo korisnosti od samo 1041, što je najniži nivo od sva tri kandidata. Sa slike se može videti da je razlog zašto uobičajeni uslov tangentnosti ne daje tačno rešenje, za konkavne preferencije kakve su u ovom primeru, to što se kriva indiferentnosti C, koja je tangentna na budžetsku liniju, nalazi ispod obe krive indiferentnosti koje prolaze kroz krajnje tačke budžetske linije. Pošto je grafički prikaz pomogao da se odredi priroda rešenja optimuma, ostaje samo da se iz odgovarajućeg uslova izračuna optimalna korpa i njen nivo korisnosti. U našem slučaju optimalna korpa A dobija se iz jednačine budžetske linije za y = 0. Optimalna korpa je ( xy, ) = (27,0), a njena korisnost U (27,0) = S obzirom na značaj grafičkog prikaza u grafičko-analitičkoj metodi rešavanja problema optimizacije potrošača koja je predložena u ovom radu, kao i na činjenicu da je većina grafika prilično originalna i zahteva sofisticirana rešenja u Matlab-u, te da isti grafički metod može da posluži u obrazovanju i praksi, kompletan kôd programa za iscrtavanje sve četiri slike nalazi se u Dodatku na kraju rada. Slika 3. Dvodimenzionalni prikaz tri krive indiferentnosti koje odgovaraju kandidatima za jedan unutrašnji i dva granična optimuma Izvor: slika autora u Matlab-u. Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

10 44 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović Slika 4. Trodimenzionalni prikaz funkcije korisnosti sa istaknutim krivama indiferentnosti Izvor: slika autora u Matlab-u. 6. Analitičko rešenje: Karuš-Kun-Takerova teorema Za analitičko rešenje problema optimizacije u ekonomiji koristi se Lagranževa metoda u formulaciji Karuš-Kun-Takera. Stoga, navedimo najpre odgovarajuću teoremu, ovde prema Simon P. Carl, Blume Lawrence (1994): Mathematics for economists W.W. Norton and Company, New York, : Uzmimo sledeći problem optimizacije : maksimizovati pod uslovom f( x1,..., xn) g1( x1,..., xn) b1,..., gk( x1,..., xn) bk, x 0,..., x 0. 1 n * Pretpostavimo da je x rešenje datog problema optimizacije i da matrica * gi xj ima maksimalan rang za x, gde i uzima vrednosti indeksa ograničenja * g i koja su ispunjena kao jednakost, a j uzima vrednosti indeksa j za koje je x j > 0. * * Tada, postoje nenegativni multiplikatori,..., * * * * λ1 λk takvi da x1,..., xk, λ1,..., λk zadovoljavaju sledeći sistem jednakosti i nejednakosti: L L L L 0,..., 0, 0,..., 0, x x λ λ 1 n 1 L L L L x = 0,..., x = 0, λ = 0,..., λk = 0, λ λ 1 n 1 x1 xn 1 Megatrend revija ~ Megatrend Review k k

11 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača 45 Pri čemu je L Kun-Takerova Lagranžova funkcija oblika: L( x1,..., xn, λ1,..., λk) f( x1,..., xn) λ1[ g1( x1,..., xn) b1]... λk[ gk( x1,..., xn) bk], koja se od obične Lagranžove funkcije razlikuje po tome što su iz nje izostavljeni članovi koji proizilaze iz uslova nenegativnosti (oblika ν ixi), koji su na drugi, pogodniji način uzeti u obzir, kroz formulaciju uslova teoreme. U literaturi, inače, rešenih problema ovog oblika i nema tako mnogo, a i retko su pokriveni svi mogući slučajevi. Pošto su situacije raznovrsne, od interesa je rešenje dodatnog problema, sa svim svojim specifičnostima. Primena Karuš-Kun-Takerovih uslova na naš problem vodi sledećem sistemu jednačina i nejednačina: 2 2 L= 4x + 5y + λ ( 162 6x 9 y) Lx = 8x 6λ 0 Ly = 10y 9λ 0 x 0 y 0 x( 8x 6λ) = 0 y( 10y 9λ) = 0 Lλ = 162 6x 9 y 0 λ 0 λ 162 6x 9 y = 0 ( ) S obzirom na gore data tri komplementarna uslova ili uslova komplementarne labavosti (complementary slackness): x( 8x 6λ) = 0, y( 10 y 9λ) = 0 i 3 λ ( 162 6x 9 y) = 0, postoji 2 = 8različitih slučajeva koje treba ispitati. Rešavanjem tih slučajeva dobijamo sledeća četiri kandidata za rešenje: x = 9, 64, y = 11, 57, λ = 12,86 x = 0, y = 18, λ = 20 x = 27, y = 0, λ = 36 x = 0, y = 0, λ = 0 Kada se izračuna vrednost korisnosti za svaku od potrošačkih korpi kandidata za rešenje, dobija se redom:1.041, 1620, 2916 i 0. Vidimo da oba granična slučaja x = 0, y = 18, λ = 20 i x = 27, y = 0, λ = 36 daju bolji rezultat od unutrašnjeg kandidata za optimum x = 9,64, y = 11,57, λ = 12,86. Takođe, potvrđeno je da x = 9,64, y = 11,57, λ = 12,86 nije tačno rešenje, već da je tačno rešenje x = 27, y = 0, λ = 36. Kandidat za rešenje x = 9, 64, y = 11, 57, λ = 12,86 daje u stvari minimum, a ne maksimum korisnosti, i to samo na budžetskoj liniji, a ne na celom budžetskom skupu. Minimum na celom budžetskom skupu predstavlja kandidat za rešenje x = 0, y = 0, λ = 0. Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

12 46 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović Vidimo, dakle, da je analitičko rešenje primenom Karuš-Kun-Takerove teoreme u potpunosti potvrdilo rezultate dobijene našom grafičko-analitičkom metodom, i da grafičko-analitička metoda može da posluži kao odlično sredstvo za izbegavanje grešaka koje nastaju primenom pojednostavljenih, školskih, neegzaktnih metoda, kao i za grafičku ilustraciju i intuitivnije razumevanje problema. 7. Ograničenja u primeni grafičko-analitičke metode Iako je grafičko-analitička metoda rešavanja problema optimizacije potrošača izuzetno pogodno pomoćno sredstvo, koje je pogotovo efikasno za izbegavanje grešaka koje mogu nastati primenom pojednostavljenih metoda rešavanja, uobičajenih u ekonomskoj nastavnoj praksi, kakav je slučaj bio u primeru analiziranom u ovom članku, kao i za ilustraciju problema koji je predmet analize, potpunu sigurnost i opštost može da obezbedi, naravno, samo rigorozan analitički postupak koji se zasniva na punoj primeni Karuš-Kun-Takerove teoreme. Konkretno, primena grafičko-analitičke metode ograničena je u sledeća dva aspekta. Prvo ograničenje proizilazi iz opšteg ograničenja koje se tiče predstavljanja neprekidnih analognih pojava digitalno na računaru. U našem slučaju, grafičko predstavljanje počiva na mreži (eng. grid) tačaka u xy ravni, koja podrazumeva određenu konačnu rezoluciju. Ukoliko bi ciljna funkcija imala ekstremume unutar elementarnog polja (kockice ili pravougaonika ili elementarne površine u polarnim koordinatama), onda bi kompjuter prevideo takve ekstremume. U ekonomskoj praksi, za one funkcije koje se najčešće koriste, smatramo da takav slučaj retko može da se pojavi u praksi. Drugo ograničenje u primeni predložene grafičko-analitičke metode je ono koje važi za svako grafičko predstavljanje u ravni, a to je ograničenost na dve dimenzije. U našem slučaju optimizacije potrošača, to bi značilo ograničenost na slučaj optimizacije između dve robe. Taj slučaj je, međutim, prevalentan u nastavnoj praksi, a ima opštiji smisao nego što na prvi pogled izgleda, jer kao što je poznato, (videti na primer Varijan R. Hal (2010)), jedna od roba može da bude ona koja je posebno od interesa, a druga može da predstavlja sve ostale robe, u smislu novca ili dela dohotka koji se troši na sve ostale robe. Time se značaj grafičko-analitičke metode dodatno povećava. Megatrend revija ~ Megatrend Review

13 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača 47 Zaključak Iz prethodnog razmatranja proizilazi da rutinski školski način rešavanja optimuma potrošača, koji se sastoji od rešavanja dve jednačine: budžetske linije i uslova tangentnosti budžetske linije i krive indiferentnosti, počiva na pretpostavci (i nadi) da se radi o unutrašnjem optimumu, tj. optimumu na unutrašnjosti budžetske linije. Da bi se izbegle greške, rešenje je: ili rigorozna primena Karuš-Kun-Takerovih uslova, ili prethodna grafička vizualizacija problema uz pomoć računara, u našem slučaju korišćen je Matlab kôd, koja bi lako ukazala na tip uslova i jednačina koje moraju da budu zadovoljene u optimumu, i koja bi dovela do pravog rešenja. Ovaj način je brz i praktičan i može da se primeni na sve probleme sličnog tipa, eliminišući mogućnost grešaka, a ima i dodatnu pogodnost da, korišćen u nastavi, može da posluži kao dragoceno pedagoško sredstvo, koje dodatno osvetljava suštinu problema uslovne optimizacije ili optimizacije sa ograničenjima. U primeni grafičko-analitičkog postupka treba uvek imati u vidu ograničenja koja se tiču konačne rezolucije računarske grafike i ograničenosti grafičkih metoda na dve dimenzije. Ova ograničenja su detaljno diskutovana u radu. Literatura Babić Stojan et. al. (2011): Zbirka zadataka iz teorije cena, Ekonomski fakultet, Beograd. Babić Stojan, Trifunović Dejan (2008): Test pitanja sa rešenjima za knjigu Mikroekonomija Hala R. Varijana, (7. izd.), Ekonomski fakultet, Beograd. Karush William (1939): Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints, M.Sc. Dissertation, Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois. Kuhn W. Harold, Tucker W. Albert (1951): Nonlinear Programming, , in: Neyman Jerzy (ed.): Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley, Calif. Simon P. Carl, Blume Lawrence (1994): Mathematics for economists W.W. Norton and Company, New York. Varijan R. Hal (2010): Mikroekonomija moderan pristup, (7. izd.), Ekonomski fakultet, Beograd. Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

14 48 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović Dodatak % Slika 1 close all figure [X,Y] = meshgrid(0:.2:30); Z = 4*X.^0.4.*Y.^0.6; [C1,h1]=contour(X,Y,Z, r, LineWidth,2); clabel(c1,h1) X=9 Y=(40/(4*X^0.4))^(1/0.6) m=-0.4*y/(0.6*x) b=y-m*x xx=0:30; yy=m*xx+b; hold on plot(xx,yy, LineWidth,2) xlabel( X ) ylabel( Y ) gtext( A, FontSize, 16) % Slika 2 figure th = (0:2:360)*pi/180; r = 0:.05:2; [TH,R] = meshgrid(th,r); [X,Y] = pol2cart(th,r); Z = 4*X.^2 + 5*Y.^2; surfc(x,y,z, EdgeColor, none ) colormap(gray) hold on plot3([0 2],[0 0 ],[0 0 ], k, LineWidth,1) plot3([0 0],[0 2 ],[0 0 ], k, LineWidth,1) xlabel( X ) ylabel( Y ) zlabel( Z ) [X,Y] = meshgrid(-3:.2:3); Z=ones(size(X))*10; surf(x,y,z, EdgeColor, none, FaceColor,[ ],... FaceAlpha,.2) axis([ ]) [X,Y] = meshgrid(0:.2:3); Megatrend revija ~ Megatrend Review

15 Jedan pogled na problem optimizacije u teoriji potrošača 49 Z = 4*X.^2 + 5*Y.^2; set(gca, CameraPosition,[ ]) % Slika 3 figure plot([0 27],[18 0], k, LineWidth,3) axis equal axis([ ]) hold on [X,Y] = meshgrid(-30:.2:30); Z = 4*X.^2 + 5*Y.^2; [C,h] =contour(x,y,z,20); v=[ ]; [C1,h1] =contour(x,y,z,v, r, LineWidth,3); clabel(c1,h1) [X,Y] = meshgrid(0:2:30); U=8*X; V=10*Y; q uiver(x,y,u,v) xlabel( X ) ylabel( Y ) gtext( C, FontSize, 14) gtext( B, FontSize, 14) gtext( A, FontSize, 14) % Slika 4 figure th = (0:2:360)*pi/180; r = 0:.05:2; [TH,R] = meshgrid(th,r); [X,Y] = pol2cart(th,r); Z = 4*X.^2 + 5*Y.^2; surfc(x,y,z, EdgeColor, none ) colormap(gray) hold on plot3([0 2],[0 0 ],[0 0 ], k, LineWidth,2) plot3([0 0],[0 2 ],[0 0 ], k, LineWidth,2) xlabel( X ) ylabel( Y ) zlabel( U(X,Y) ) th = (-45:2:135)*pi/180; r = 0:.05:2; Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

16 50 Dejan Popov, Mihajlo Rabrenović [TH,R] = meshgrid(th,r); [X,Y] = pol2cart(th,r); Z = 4*X.^2 + 5*Y.^2; [C,h] =contour3(x,y,z,6); set(h, EdgeColor, k ) set(gca, CameraPosition,[ ]) v=[10,10]; [C,h]=contour3(X,Y,Z,v) set(h, EdgeColor, k, LineWidth,2) [X,Y] = meshgrid(-3:.2:3); Z=ones(size(X))*10; surf(x,y,z, EdgeColor, none, FaceColor,[ ],... FaceAlpha,.2) axis([ ]) [X,Y] = meshgrid(0:.2:3); Z = 4*X.^2 + 5*Y.^2; [C,h]=contour(X,Y,Z,v) set(h, EdgeColor, k, LineWidth,2) Rad primljen 26. novembra P paper received: November 26 th, 2015 Prema zahtevu recenzenata, dorađen upon the request of reviewers, revised: 21. decembra December 21 st, 2015 Odobren za štampu: 25. decembra Approved for publication: December 25 th, 2015 Megatrend revija ~ Megatrend Review

17 Assistant Professor Dejan Popov, PhD Faculty of Business Studies, John Naisbitt University, Belgrade, Serbia Associate Professor Mihajlo Rabrenović, PhD Faculty of Business Studies, John Naisbitt University, Belgrade, Serbia ONE VIEW ON THE PROBLEM OF OPTIMIZATION IN THE THEORY OF CONSUMER CHOICE Summary This article presents a grapho-analitical method of solving the problem of optimization of consumer choice in microeconomics, including the computer code in MATLAB, which could be used advantageously in education or praxis. Motivation comes from the fact that this very important subject is not always treated appropriately in the domestic literature. As a starting point, we have taken one outstanding example of falsely solved problem of consumer optimization, coming from the very eminent new domestic literature. We point to the most common reasons for errors, develop an intuitive, visual grapho-analitical method of solving, which can easily be extended to any similar problems, regardless of the form of the utility function and the budget line in question. Also, we have compared this graphical method with the rigorous analitical method, based on the Karush-Kuhn-Tucker theorem, with the aim to examine, to what extent does the analitical method give any advantage over an intuitive grapho-analitical method. We have also discussed the inherent limitations of the grapho-analitical method, whereupon we have stressed that only the rigorous analitical procedure can render complete certainty and generality. Key words: consumer theory, optimization, grapho-analitical method, MAT- LAB, Karush-Kuhn-Tucker theorem Vol. 13, No 1, 2016: 35-52

18