TEHNIČKO REŠENJE. Algoritam za određivanje graničnih linija impedansi za rezistivno-reaktivnu klasu-b/j pojačavača snage
|
|
- Delilah Fields
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 TEHNIČKO REŠENJE Algoritam za određianje graničnih linija impedansi za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage M-85: Prototip, noa metoda, softer, standardizoan ili atestiran instrument, noa genetska proba, mikroorganizmi Autori: Dr Anamarija Juhas, Fakultet tehničkih nauka, Unierzitet u Noom Sadu, Dr Staniša Dautoić, Fakultet tehničkih nauka, Unierzitet u Noom Sadu, Dr Ladisla Noak, Indiana Uniersity, Computer Science Department, Bloomington, United States Godina 6 Podtip tehničkog rešenja: Softer - M85 Korisnik: Fakultet tehničkih nauka u Noom Sadu, za potrebe daljih istražianja Projekat u okiru koga je realizoano tehničko rešenje: Broj projekta: TR 36 Ministarsta prosete, nauke i tehnološkog razoja Republike Srbije Program istražianja u oblasti tehnološkog razoja za period -6. Tehnološka oblast: Nazi projekta: Rukoodilac projekta: Elektronika, telekomunikacije i informacione tehnologije Inoatine elektronske komponente i sistemi bazirani na neorganskim i organskim tehnologijama ugrađeni u robe i proizode široke potrošnje dr Ljiljana Žiano, redoni profesor Kako su rezultati erifikoani (od strane kog tela): Verifikacija tehničkog rešenja je izršena od strane: Naučno-nastanog eća Fakulteta tehničkih nauka, Unierzitet u Noom Sadu
2 . Opis problema koji se rešaa tehničkim rešenjem Oblast na koju se tehničko rešenje odnosi Teorija signala i sistema, teorija električnih kola, pojačaači snage Problem koji se tehničkim rešenjem rešaa U oom tehničkom rešenju razijeni su algoritmi za određianje graničnih linija impedansi na osnonom i drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. Granične linije se određuju za impedansu na osnonom harmoniku pri čemu je impedansa na drugom harmoniku poznata. Takođe se određuju za impedansu na drugom harmoniku pri čemu je impedansa na osnonom harmoniku poznata. Oe granične linije su ažne u dizajnu širokopojasnih i linearnih pojačaača snage, kao što su pojačaači snage u rezistino-reaktinoj klasi-b/j. Granične linije su određene analitičkim putem što je omogućilo da se raziju i softerski implementiraju algoritmi koji su remenski efikasni.. Stanje rešenosti tog problema u setu U analizi pojačaača snage, dizajn signala je karika koja poezuje tehnologiju, dizajn kola i performanse sistema []. Analitički modeli signala donose brojne prednosti u dizajnu pojačaača snage, npr. dizajn pojačaača postaje manje zaisan od tehnologije, lakše utrđianje i otklanjanje izobličenja signala koja loše utiču na preformanse pojačaača, itd. []. Rezistino-reaktina klasa-b/j pojačaača snage je uedena u radu [3], ali se ona pojaljuje i pod naziom rezistino-reaktina klasa-j u radu [4]. U rezistino-reaktinoj klasi-b/j pojačaača, signal napona je nenegatian signal sa remenski konstantnom komponentom, osnonim i drugim harmonikom, dok je signal struje tz. polusinusoidalan signal. Pojam graničnih linija (eng. clipping contours) impedanse na osnonom harmoniku za klasu-bj pojačaača snage pojaio se pri put u radu [5]. Granične linije predstaljaju granicu između nenegatinih signala sa jedne strane i signala koji to nisu sa druge strane. U [5] nije prikazan nikaka metod za generisanje graničnih linija. Kako je naedeno u kasnije objaljenom radu [3] iste istražiačke grupe, one su dobijene intenzinim numeričkim simulacijama. Grafici graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za klasu-bj pojačaača su takođe prikazani u [6], ali ni u tom radu nije opisano kako su one određene. Analitičko rešenje za određianje graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku kada je impedansa na drugom harmoniku čisto reaktina opisano je u našem ranijem tehničkom rešenju [7]. Opštiji problem od određianja graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za klasu-bj je određianja graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. Kod klase-bj, impedansa na drugom harmoniku je čisto reaktina, dok kod rezistinoreaktine klase-b/j impedansa na drugom harmoniku ima i rezistini i reaktini deo. U radu [3] je predložen postupak za generisanje graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za rezistinoreaktinu klasu-b/j pojačaača. Postupkom predloženim u [3] generišu se i tačke koje ne pripadaju graničnim linijama i koje je naknadno potrebno eliminisati. Tačke koje je potrebno eliminisati su tačke za koje odgoarajući signali nisu nenegatini i tačke koje ne obezbeđuju da impedansa na osnonom harmoniku bude pasina (za detalje ideti odeljak ). U radu [3] takođe je predložen postupak za određianje graničnih linija za impedansu na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača, kada je impedansa na osnonom harmoniku zadata. I oaj postupak, osim tačaka na graničnoj liniji, generiše i tačke koje je potrebno naknadno eliminisati, jer ne odgoaraju nenegatinim signalima (za detalje ideti odeljak ). Osim za rezistino-reaktinu klasu-b/j, iako do sada nisu korišćene, granične linije impedansi na osnonom i drugom harmoniku mogu biti koristan alat u projektoanju pojačaača snage sa injektoanim drugim harmonikom [8]-[], kao i u projektoanju pojačaača snage sa proizoljnim impedansama u izlaznom kolu [].
3 3. Detaljan opis tehničkog rešenja (uključujući i prateće ilustracije i tehničke crteže) Normalizoan oblik signala sa remenski konstantnom komponentom, osnonim i drugim harmonikom (trigonometrijski polinom drugog stepena) glasi: T( ) acos bsin acos bsin. () Nenegatini signali tipa (), tj. oni za koje aži T ( ) za sako, modeluju naponski signal za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. Amplitude osnonog i drugog harmonika signala () su () a b, a b, (3) respektino. Signali tipa () mogu se napisati i u sledećem obliku: T( ) cos( ) cos( ), (4) gde je,, ( π,π] i ( π,π]. Relacije između koeficijenata a, b i parametara,, kao i koeficijenata a, b i parametara, glase: a cos, b sin, (5) a cos, b sin. (6) 3.. Opis nenegatinih signala sa osnonim i drugim harmonikom Prema klasičnom rezultatu o trigonometrijskim polinomima [3] (ideti takođe i [4]), si nenegatini trigonometrijski polinomi tipa () mogu se napisati kao: j j T( ) Re { H(e )} Im { H(e )}, (7) gde je j, j j j H(e ) c j d ( c j d)e ( c j d)e, (8) i parameteri c, c, c, d, d, d zadooljaaju sledeći uslo: c c c d d d. (9) Relacije koje poezuju koeficijente nenegatinih signala tipa () i oe parametre su: a ( cc cc dd dd), () a ( cc dd), () b ( dc dc cd cd ), () b ( cd cd). (3) Naedeni opis koeficijenata nenegatinih signala zahtea šest parametara c, c, c, d, d i d koji su poezani nelinearnom relacijom (9). Polazeći od rezultata [3], u [5] je pokazano da se koeficijenti nenegatinih signala sa osnonim i drugim harmonikom mogu izraziti u terminima četiri nezaisna parametra. Taj opis je dat u sledećem stau. Sta. Za se nenegatine signale tipa (), koeficijenti a, b, a i b mogu se izraziti u terminima četiri nezaisna parametra,, i kao a sin cos cos( ) sin cos( ), (4) b sin cos sin( ) sin sin( ), (5) a cos sin( )cos( ), (6) b cos sin( )sin( ). (7) Amplituda osnonog harmonika nenegatinih signala tipa () zadooljaa relaciju [3], [5]:. (8) Amplituda drugog harmonika nenegatinih signala tipa () zadooljaa relaciju [5]:. (9) Osim toga, za nenegatine signale tipa (), implicira [6]. 3
4 3.. Nenegatini signali sa bar jednom nulom Za pojačaače snage od posebnog interesa su nenegatini signali sa bar jednom nulom, ideti npr., [3], [6], [], [5], [6], [7]. Opis nenegatinih signala tipa () sa bar jednom nulom dat je u sledećem stau [5], [6]. Sta. Saki nenegatian signal tipa () sa bar jednom nulom može se izraziti u sledećem obliku gde su T ( ) cos( ) cos cos( ), (), cos () π. () Konerzijom signala () u aditinu formu dobijaju se njegoi koeficijenti: a (cos ) cos sinsin, (3) b ( cos ) sin sin cos, (4) a cos( ), (5) b sin( ), (6) gde zadooljaa () i π. Takođe, iz (5)-(6) i (6) sledi ( )modπ. (7) 3... Nenegatini signali sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i b U oom odeljku određeni su eksplicitni izrazi za koeficijente a i b nenegatinih signala tipa () sa bar jednom nulom, za zadate koeficijente a i b, a b. Koeficijenti a i b izraženi su preko koeficijenata a i b na drugom harmoniku i, gde označaa nulu signala. Interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian takođe je određen u eksplicitnom obliku. U našim ranijim radoima [6], [7] nije bio određen eksplicitan izraz za interal za. Rezultati oog odeljka su korišćeni za određianje graničnih linija impedanse na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klase-b/j pojačaača snage (odeljak 3.3.). Koeficijenti nenegatinih signala sa bar jednom nulom dati su izrazima (3)-(6). Jednačine (5) i (6) mogu se rešiti po cos i sin, cos a cos b sin, (8) sin a sin b cos. (9) Urštaanjem (8) i (9) u (3) i (4), koeficijenti a i b mogu se izraziti preko a, b i, a ( a) cos ( a cos bsin ) sin, (3) b ( a)sin ( asin bcos )cos. (3) Da bi se iz (3) i (3) odredili si paroi ( a, b ) nenegatinih signala sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i b, potrebno je odrediti interal za. Za zadate a i b, iz (6) se mogu odrediti amplituda a b i faza drugog harmonika: atan ( b, a). (3) Funkcija atan ( yx, ) je definisana kao arctan( y x) ako je x, atan ( yx, ) arctan( yx) π ako je x i y, (33) arctan( y x) π ako je x i y, i njen kodomen je ( π, π]. Iz (7) sledi ( )modπ, odakle je ( ) π, t (34) 4
5 gde je t ceo broj. Na osnou (), interal za cos zaisi samo od, cos. (35) Lako se može pokazati da je izraz (35) uek zadooljen ako je 3. Sa druge strane, za 3, na osnou () i (35), interal za jednak je arccos( ) π. Sledi da se interal za za signale tipa () može napisati kao g π, (36) gde je g arccos min(, ). (37) Iz (37) sledi g π, jer je kodomen funkcije arccos jednak [,π]. Uedimo oznake π ( g ), ( g ), (38) gde su g i dati sa (37) i (3), respektino. Iz (38) sledi, jer je g π. Za g π dobija se, i. Iz (36), (34) i (38) sledi da je interal za jednak [, ] [ π, π]. (39) Na osnou izloženog, za zadate koeficijente a i b, interal za može se odrediti iz (39). Urštaanjem izabrane rednosti u (3) i (3) dobijaju se koeficijenti a i b. Za 3 iz (37) se dobija g. U tom slučaju iz (38) sledi π i (39) postaje [, π]. Sledi da može uzeti se rednosti ako je 3. Za 3 podinterali u (39) su disjunktni. S obzirom da je g za π i g za (ideti (34) i (38)), iz (3)-(3) sledi a( ) a( ) a( π) a( π), (4) b( ) b( ) b( π) b( π), Relacije (4) pokazuju da je parametarski opisana kria (3)-(3) na interalu (39) neprekidna. Tačke i π odgoaraju nenegatinom signalu sa de nule. Takođe, tačke π i odgoaraju nenegatinom signalu sa de nule. Signal sa nulama u π i ima a, dok signal sa nulama u i π ima a [7]. Osim toga, iz a( ) a( ) i a( π) a( π) sledi da je koeficijent a dat sa (3) jednak nuli za bar jedno iz podinterala [, ] i bar jedno iz podinterala [ π, π], respektino. Na slici su prikazane zatorene krie u rani a, b koje odgoaraju nenegatinim signalima sa a, i bar jednom nulom, za pet rednosti koeficijenta b : b {,6;,3;,,3;,6}. Saka kria deli prostor a, b na unutrašnju i spoljašnju oblast. Tačke u unutrašnjoj oblasti odgoaraju nenegatinim signalima. Kada je 3 krie su glatke, dok u slučaju 3 krie imaju da rha (nisu glatke u tim tačkama). Te tačke odgoaraju nenegatinim signalima sa de nule (da globalna minimuma). Slika. Parametarski prostor ( a, b ) za a, i b {,6;,3;,,3;,6}. Koeficijenti a, b i b nenegatinih signala sa bar jednom nulom i a, formiraju zatorenu porš u koordinatnom sistemu ( a, b, b ), prikazanu iz da ugla na slici. Tačke unutar porši određuju nenegatine signale (koji nemaju nulu), tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu, dok tačke izan porši određuje signale koji nisu nenegatini. 5
6 Slika. Parametarski prostor ( a, b, b ) za a,. Tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu Specijalan slučaj kada je a Specijalan slučaj kada je a je ažan za modeloanje naponskog signala koji odgoara klasi-b/j pojačaača snage. Oaj poseban slučaj analiziran je i u našem ranijem tehničkom rešenju [7], ali interal za nije bio određen u eksplicitnom obliku. Ode je taj slučaj izeden iz rezultata prethodnog odeljka. Za a početna faza drugog harmonika je (π )sgn b, dok je amplituda b, b. U oom slučaju izrazi (3) i (3) postaju 3 a cos bsin, (4) 3 b sin bcos. (4) Interal za određuje se iz (39), gde su g, i na osnou (37) i (38) jednaki g arccosmin(, b ), (43) π π π g sgn b, g sgn b. (44) Nenegatini signali sa nulom i zadatim koeficijentima a i b U oom odeljku rešen je problem određianja sih paroa koeficijenata ( a, b ) nenegatinih signala sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i, a b. Koeficijenti a i b izraženi su preko koeficijenata a i b na osnonom harmoniku i, gde označaa nulu signala. Interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian takođe je određen u eksplicitnom obliku. Rezultati oog odeljka su primenjeni za određianje graničnih linija impedanse na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage (odeljak 3.3.3). Za zadate koeficijente a i b, iz (5) se mogu odrediti amplituda a b i faza prog harmonika atan ( b, a), (45) gde je funkcija atan ( yx, ) data sa (33). Polazeći od (3) i (4), cos b i : cos acos bsin, (46) sin ( cos sin ). b a (47) Izrazi (5) i (6) mogu se napisati u obliku: a cos cos sin sin, (48) b cos sin sin cos. (49) Urštaanjem (46)-(47) u (48) i (49) dobija se a 3 3 cos a cos b sin, (5) 6
7 b sin a( cos ) sin b( sin ) cos. (5) Da bi se iz (5)-(5) odredili si paroi ( a, b ) nenegatinih signala sa bar jednom nulom i zadatim koeficijentima a i b, potreban je interal za. Kadriranjem (3) i (4) i njihoim sabiranjem dobija se ( cos ) (sin ). (5) Primetiti da je izraz () uek zadooljen za cos, jer je (ideti (9)). Lako se idi da je za cos izraz (5) minimalan iz čega sledi. (53) Za zadato, pri izod (5) po jednak je sin (3cos ). (54) S obzirom da je i (ideti (8)), implicira sin i/ili 3 cos. Razlikujemo da slučaja: 3i 3. Pro ćemo analizirati 3. Za 3 je 3 cos i prema tome implicira sin, tj. cos. Lako je pokazati da je za cos izraz (5) maksimalan, dok je za cos, kao što smo eć rekli, minimalan. Za 3, 3 cos implicira cos, za koje je izraz (5) maksimalan. Prema tome, 3. (55) Sada ćemo analizirati 3. Množenjem (5) sa tri i korišćenjem sin cos, jednačina se može napisati u obliku (3cos ) 4 3. (56) Iz 3 i () sledi da je cos i 3cos (3 ). Primetiti da su obe strane poslednje nejednakosti pozitine, jer je 3. Urštaanjem (56) u ( 3cos ) 4(3 ) dobija se ( ). Kako još mora biti i (ideti (53)) sledi ( ),, 3. (57) Izrazi (55) i (57) mogu se napisati i u sledećem obliku, 4 3, (58), 4 3. Na slici 3 prikazana je oblast (obojena siom bojom) mogućih paroa rednosti amplituda i nenegatinih signala tipa () sa bar jednom nulom. Grafik je nacrtan na osnou izraza (55) i (57), odnosno (58). Slika 3. Tačke u sio obojenoj oblasti predstaljaju moguće rednosti amplituda i nenegatinih signala sa bar jednom nulom. Označimo sa ( )modπ. (59) Takođe označimo sa 7
8 m arccos max,, (6) p arccos. (6) Iz (8) i dobija se π p 3π 4 m π. Primenom (7) i (59), T( ) se može napisati u obliku cos cos. (6) Razmotrićemo posebno slučajee 4 3 i 43. Razmotrimo pro slučaj 43. Na osnou (58), u oom slučaju je u interalu. (63) Krajnje tačke interala (63) odgoaraju signalima sa de nule, kod kojih je cos [7]. Urštaanjem cos u (6) dobija se cos ( ). Sledi da se krajnje tačke interala (63) dostižu za cos ( ), tj. za cos cos m ili cos cos p, gde su m i p dati sa (6) i (6), respektino (u oom slučaju je cos m ). Kosinus je opadajuća funkcija na interalu [,π] iz čega sledi p m. Označimo sa,, π, π. (64) p m 3 m 4 p Iz p m π sledi. Rešaanjem 3 4 p m po (ideti (59)) dobija se, 3, 4. (65) Za 43 podinterali u (65) su disjunktni. Primetiti da se za dobija, m p 3π 4, i 3 4 π (podinterali u (65) degenerišu u tačke). Razmotrimo sada slučaj 4 3. Na osnou (58), u oom slučaju je u interalu. (66) Relacija se dobija iz (6) za cos i cos. Sa druge strane, gornje ograničenje za je isto kao i u prethodnom slučaju, i oa tačka se dostiže za cos cos p, gde je p dato sa (6). Prema tome, relacija (66) je zadooljena za cos cos p, odnosno za p π. Rešaanjem oe nejednakosti po (ideti (59)) dobija se, 4, (67) gde su i 4 dati u (64). Primetiti da se za 4 3 iz (6) dobija m π. Urštaanjem m π u (64) dobija se. 3 Sledi da se interal (67) može dobiti iz (65) urštaanjem m π. Na osnou izloženog u oom odeljku: - za zadate koeficijente a i b take da a b 4 3, interal za može se odrediti iz (67). Urštaanjem izabrane rednosti u (5) i (5) dobijaju se koeficijenti a i b, - za zadate koeficijente a i b take da 43, interal za može se odrediti iz (65). Urštaanjem izabrane rednosti u (5) i (5) dobijaju se koeficijenti a i b. Kao primer, na slici 4 su prikazane zatorene krie u rani a, b i osenčene su oblasti koje odgoaraju nenegatinim signalima sa a,9 i pet rednosti koeficijenta b : b {,,,,}. Primer je tako izabran da ilustruje oba slučaja: 43i 43. Amplituda 43kada je b, dok je 43za b {,, }. Takođe, iz T () sledi a a, odakle se za a,9 dobija a,, što se može uočiti na grafiku. Koeficijenti a, b i b nenegatinih signala za zadatu rednost a.9 i bar jednom nulom formiraju zatorenu porš u koordinatnom sistemu ( a, b, b ) (prikazanu iz da ugla na slici 5). Tačke unutar porši određuju nenegatine signale (koji nemaju nulu), tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu, dok tačke izan porši određuje signale koji nisu nenegatini. 8
9 Slika 4. Parametarski prostor ( a, b ) za a.9 i b {,,,,}. Sio obojene oblasti odgoaraju nenegatinim signalima. Slika 5. Parametarski prostor ( a, b, b ) za a,9. Tačke na porši određuju nenegatine signale koji imaju nulu Granične linije impedansi U oom odeljku, rezultati izloženi u odeljcima 3.. i 3.. su primenjeni za određianje graničnih linija impedansi pojačaača snage. Granične linije se određuju za impedansu na osnonom harmoniku pri čemu je impedansa na drugom harmoniku poznata ili obrnuto [3]. Granične linije razdajaju oblasti tako da tačke sa jedne strane odgoaraju nenegatinim signalima napona, dok tačke sa druge strane odgoaraju naponskim signalima koji nisu nenegatini. Oe granične linije su ažne u dizajnu linearnih pojačaača snage kod kojih signali napona moraju biti nenegatini [3], [5]. Za dobijanje korisnog alata za projektoanje pojačaača snage, idealno bi bilo da je određianje graničnih linija praktično trenutno, jer bi to omogućilo određianje graničnih linija impedansi na sim frekencijama od interesa nakon sakog podešaanja impedanse na prom ili drugom harmoniku [3] Signali, impedanse i efikasnost pojačaača snage Za rezistino-reaktinu klasu B/J pojačaača snage, naponski signal je nenegatian signal tipa () sa bar jednom nulom. Strujni signal je tz. polusinusoidalni signal, eoma čest u analizi pojačaača snage, ideti npr. []-[8], [7]-[]. Razmotrimo električno kolo pojačaača snage prikazano na slici 6. Pretpostaimo da su signal napona ( ) i signal struje i( ) na izlaznom pristupu tranzistora nenegatini signali opisani sa: ( ) a cos b sin a cos b sin, (68) i( ) a cos a cos k, (69) i k gde označaa t. Oba signala su normalizoana u smislu da su remenski konstantne komponente napona i struje jednake V dc i I dc, respektino. Za remenski konstantnu komponentu, kondenzator C b (kalem L ch ) predstalja otorenu (kratku) ezu. Pod uobičajenim pretpostakama da se kondenzator C b ponaša kao kratak spoj, a kalem L ch kao otorena eza na prom i sim išim harmonicima, naponski i strujni signal na potrošaču su: ki 9
10 ( ) a cos b sin a cos b sin, L i ( ) a cos a cos k. L i ki k U terminima koeficijenata naponskog signala (68) i strujnog signala (69) impedansa potrošača na osnonom harmoniku je z ( a j b ) a i, a na drugom harmoniku je z ( a j b ) a i. Na sim išim harmonici impedansa je jednaka nuli ( z k za k i k ). Realni i imaginarni deloi impedansi su označeni sa rk Re{ zk} i xk Im{ z k}, respektino. Normalizoana impedansa na k -tom harmoniku definisana je sa zkn zk Re{ z}. Za normalizoane signale (68)-(69), efikasnost pojačaača snage jednaka je srednjoj snazi na osnonom harmoniku (ideti npr. [6]), aa i. (7) Slika 6. Električni kolo pojačaača snage. Kao što je eć rečeno, signal struje je tz. polusinusoidalni signal. Normalizoan polusinusoidalni signal struje može se na osnonoj periodi opisati kao (ideti npr. [6]) πcos, π, i( ) (7), π π. S obzirom da je i( ) parna funkcija, njen razoj u Furijeo red sadrži samo remenski konstantnu komponentu ( I dc ) i kosinusne članoe na osnonom i sim išim harmonicima. Koeficijenti uz osnoni i drugi harmonik signala (7) su a i π, ai 3, (7) respektino. Očigledno je a i i ai. Iz (7), (7) i sledi a. (73) a i a sledi da je impedansa na osnonom Iz a sledi a [6]. Dalje, iz i harmoniku pasina, jer je r. Ako je impedansa potrošača pasina i na drugom harmoniku tada je i a, jer je ai. Važno je napomenuti da iz a sledi a [7]. Dalje iz a i (7) sledi a i. Za a i π dobija se π 4,7854 ( π 4,7854 je efikasnost pojačaača snage u idealnoj klasi-b). Veće efikasnosti mogu se dobiti injektoanjem drugog harmonika na izlaznom pristupu tranzistora [8]-[]. U tom slučaju impedansa na drugom harmoniku nije pasina Granične linije impedanse na osnonom harmoniku Problem određianja graničnih linija na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na drugom harmoniku zadata, pri put je razmatran u radu [3]. U tom radu je predložen postupak za generisanje oih linija. Postupkom predloženim u [3] generišu se i tačke koje ne pripadaju graničnim linijama i koje je naknadno potrebno eliminisati (za detalje ideti odeljak ). U oom odeljku je dato analitičko rešenje za problem određianja graničnih linija za impedansu na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na drugom harmoniku zadata. Kao specijalan slučaj oog rešenja, dobija se i rešenje u slučaju kada je impedansa na drugom harmoniku čisto reaktina (što odgoara klasi-bj pojačaača snage). Takođe je razijen i softerski implementiran algoritam za određianje graničnih linija impedansi na osnonom harmoniku. Zahaljujući analitičkom rešenju, razijeni algoritam je remenski efikasan, što omogućaa da bude koristan i ažan alat u dizajniranju širokopojasnih i linearnih pojačaača snage.
11 Signali u izlaznom kolu tranzistora rezistino-reaktine klase-b/j pojačaača su polusinusoidalni signal struje (7) i nenegatian signal napona tipa (68) sa bar jednom nulom. Granične linije na osnonom harmoniku određuju se za zadatu impedansu na drugom harmoniku, z r j x. S obzirom da je strujni signal poznat, koeficijenti naponskog signala na drugom harmoniku mogu se odrediti kao a rai i b, xa i gde je ai 3(ideti (7)). Sledi da se problem određianja graničnih linija na osnonom harmoniku može preformulisati kao problem određianja sih mogućih paroa ( a, b ) koeficijenata na osnonom harmoniku signala tipa (68) sa bar jednom nulom kada su koeficijenti a i b zadati, pri čemu je a. U odeljku 3.. je rešen problem određianja sih paroa koeficijenata na osnonom harmoniku signala tipa (68) sa bar jednom nulom kada su koeficijenti a i b zadati. Ostaje da se odoje oni signali koji zadooljaaju i dodatni uslo a. Amplituda i početna faza drugog harmonika mogu se odrediti iz koeficijenata a i b : a b, atan( b, a). (74) S obzirom da za nenegatine signale aži, i da implicira [6], [7], što nije od interesa za pojačaače snage, u nastaku teksta je. (75) Na osnou (3)-(3), koeficijenti osnonog harmonika nenegatinih signala tipa (68) sa bar jednom nulom mogu se napisati u obliku a ( a) cos ( a cos bsin ) sin, (76) b ( a) sin ( a sin bcos ) cos, (77) gde označaa nulu signala. Na osnou (39), pripada interalu [, ] [ π, π], (78) gde je π ( g ), ( g ), (79) dato sa (74) i arccos min(, ). (8) g Za, iz (8) sledi g π. Za zadate koeficijente a i b, primenom (74)-(8) mogu se odrediti si nenegatini signali tipa (68) sa bar jednom nulom. Među njima se nalaze nenegatini signali kod kojih je a, kao i oni kod kojih je a Određianje podinterala na kojem je a U nastaku ćemo odrediti podinteral interala (78) taka da se za se iz podinterala dobijaju nenegatini signali kod kojih je a. Razlikujemo da slučaja: a) b i b) b. a) Slučaj b. Iz (76), a i a sledi sin i 3 3 a ( a) cot ( 3 a) cot b sin, (8) gde je cot tan. Na osnou (8), a ako je 3 3 ( a) cot ( 3 a)cot b sin. (8) S obzirom da je a, nejednačina (8) može se napisati u obliku 3 3 cot 3pcot q sin, (83) gde su 3a b p, q. (84) 3( a) a Na osnou (83), (8), (76) i a, sledi da je a za r koje zadooljaa 3 cot r 3pcotr q. (85) Jednačina (85) je jednačina trećeg stepena po cot r. Njena diskriminanta jednaka je 3 D p q. (86) Iz a i (84) sledi sgn p sgn( 3 a ) i sgn q sgn b. Iz b sledi q.
12 Iz a ( ) a ( ) (ideti (4)) sledi da jednačina (85) ima bar jedno rešenje cot r tako da r [, ]. U nastaku ćemo pokazati da oa jednačina ima tačno jedno rešenje na interalu [, ] i odredićemo to rešenje. Iz cot( r π) cotr sledi r π [ π, π]. Kada je D, jednačina (85) ima samo jedno realno rešenje. To rešenje može da se odredi kao (ideti npr. [4]) 3 3 cotr q D sgn( q D) q D sgn( q D), D. (87) Kada je D jednačina (85) ima tri realna rešenja. Jednačina (85) takođe se može napisati kao cot r(cot r 3 p) q. (88) Pro ćemo pokazati da je cot r 3p za q. Iz (8) za r i cos (ideti ()) dobija se a cos r b sin r. Primenom identiteta cos r cos r i sin r sinr cosr izraz postaje cos r( acosr bsin r) a. (89) Urštaanjem a i r u (3) dobija se ( a) cosr ( acosr bsin r). (9) sin r Urštaanje (9) u (89) odi ka ( a) cos r ( a) sin r, odnosno a sin r. Primenom identiteta sin r ( cot r) dobija se cot r ( a), odnosno ( a) cot r 3 p, (9) a gde je p dato sa (84). Iz (9) sledi cot r 3p, (9) jer je a za b. Diskutoaćemo sledeće podslučajee i) q, ii) q. i) Podslučaj q ( b ). Iz (9) i (88) sledi cotr. Na osnou Dekartoog praila znakoa, jednačina (85) ima samo jedno negatino rešenje i to je rešenje koje tražimo. ii) Podslučaj q ( b ). Iz (9) i (88) sledi cotr. Na osnou Dekartoog praila znakoa, jednačina (85) ima samo jedno pozitino rešenje i to je rešenje koje tražimo. Kada je D rešenja jednačine (85) su 3 q sgnq i dostruko rešenje 3 q sgn q (ideti npr. [4]). Na osnou prethodne analize, za q rešenje jednačine koje tražimo (ono koje je odgoarajućeg znaka) je 3 q sgn q. Oo rešenje se takođe može dobiti urštaanjem D u (87). Sledi da se u slučaju kada je D rešenje jednačine (85) tako da r [, ] može odrediti kao 3 3 cot sgn( ) sgn( ),,. r q D q D q D q D D q (93) Kada je D jednačina (85) ima tri relna rešenja koja su oblika p cos( 3 ) (ideti npr. [4]), gde {, π 3, π 3} i 3 arccos q p. (94) Rešenje jednačine (85) koje tražimo (ono koje je odgoarajućeg znaka) je pcos( 3π 3), q, D, cotr (95) pcos( 3), q, D. Potrebno je još odrediti r iz cot r tako da r [, ]. S obzirom na znak q (tj. b ) dobija se acot(cot r ), q, r (96) acot(cot r ) π, q, gde acot označaa inerznu operaciju od cot r, čiji je kodomen ( π,π ]. Kad se r odredi na način opisan u (96) onda je π r i r π π. Kao što je ranije rečeno, jednačina (85) ima rešenje r na podinteralu [, ] i r π na podinteralu [ π, π] (ideti (78)). Na interalu (78) aži cot 3 3pcot q za 3 cot cotr i obrnuto, cot 3pcot q za cot cot r. Prema tome, nejednačina (8) na interalu (78) je zadooljena ako je
13 ) sin i cot cot r, tj. za [ r,] (jer je π r ), ) sin i cot cot r, tj. za [, r π]. Slučajei ) i ) mogu se objediniti u [ r, r π]. Sledi da je traženi podinteral na kojem je a jednak preseku interala (78) i interala [ r, r π], [ r, ] [ π, r π], b. (97) b) Za b, iz (76) i a sledi a asin cos. (98) Razmotrimo pro a 3. Iz a 3 sledi a asin i nejednakost (98) je zadooljena kada je cos. Prema tome, traženi podinteral pripada preseku interala (78) i [ π, π ]. Lako se idi da je podinteral na kojem je a jednak [ π, ] [ π, π ], b, a 3. (99) Razmotrimo sada a 3. Iz a 3 i b sledi π, 3 i. a Iz π i (79) se dobija 3π, π. () g g Sa druge strane, polazeći od (8), 3, a i g π dobija se a cos( g ). () a Iz () i () sledi sin cos( g ), sin cos( g ) i a asin za sin sin i sin sin. Iz a dobija se a asin za sin sin sin. Osim toga, iz g π i () sledi cos na interalu (78). Vodeći računa o znaku cos, za traženi podinteral se dobija {, } [ π, π]. Tačka odgoara signalu sa a i de nule u i π. Slično, tačka odgoara signalu sa a i de nule u i π (ideti odeljak 3..). Da bi se odredili si nenegatini signali sa a dooljno je posmatrati interal [ π, π], b, a 3. () Slučajei b ( q ) i b ( q ) mogu se objediniti. Postupak određianja traženog podinterala na kojem je a može se formulisati na sledeći način. Pro se odredi cot r iz 3 3 q D sgn( q D) q D sgn( q D), D, cotr pcos( 3 π 3), q, D, (3) pcos( 3), q, D, gde su q i p dati sa (84), D sa (86) i sa (94). Zatim se odredi acot(cot r ), q, r (4) acot(cot r ) π, q, Traženi interal na kojem je a jednak je [, ] [ π, π]. (5) r r Lako se proerom pokazuje da su rešenja koja se dobijaju za b ( q ), ista kao rešenja data sa (99) kada je a 3 ( p, D ) ili sa () kada je a 3 ( p, D ) Algoritam za crtanje graničnih linija na osnonom harmoniku S obzirom da za nenegatine signale sa a aži, dozoljene rednosti impedanse na drugom harmoniku određuju se iz usloa z ai. Za polusinusoidalni signal struje (7) je ai 3i prema tome z 3. U Algoritmu je prikazana procedura za računanje granične linije za impedansu na osnonom harmoniku za zadatu rednost impedanse z r jx na drugom harmoniku za pojačaače snage u rezistino-reaktinoj klasi-b/j. Algoritam je baziran na rezultatima prikazanim u oom odeljku. Algoritam : // ulazne eličine: a i π, ai 3; ) izaberi r i x tako da r i r x 3; // impedansa je pasina 3
14 ) izračunaj a r, a b x, a 3) izračunaj 3a 4) izračunaj p, 3( a ) i i atan ( b, a );, a b g arccos min(, ), g q b 3, D p q ; a π ( ), ( g ) ; 3 3 5) ako je D izračunaj y q D sgn( q D) q D sgn( q D); ako je D i q izračunaj 3 arccos q ( p) i y p cos( 3 π 3); 3 ako je D i q izračunaj arccos q ( p) i y p cos( 3); 6) ako je q izračunaj r acot( y), ako je q izračunaj r acot( y) π; 7) izaberi prirodni broj k ; max 8) izaberi ( k) [ r, ] [ π, r π], k,, kmax; 9) za k,, kmax izračunaj a ( k) ( a)cos ( k) acos ( k) bsin ( k) sin ( k), b ( k) ( a)sin ( k) asin ( k) bcos ( k) cos ( k); ) za k,, kmax izračunaj z( k) a ( k) j b ( k) a i. Na slici 7.a su prikazane granične linije impedanse na osnonom harmoniku za r,3 i, 4 x, 4 sa korakom, za pojačaač snage sa normalizoanim polusinusoidalnim signalom struje (7) i nenegatinim signalom napona tipa (68) sa bar jednom nulom, što odgoara rezistinoreaktinoj klasi-b/j pojačaača snage. Na slici 7.b su prikazane granične linije (označene punom zadebljanom linijom) za x, x 34, x 34i x,3. Isprekidana linija na sakom od grafika odgoara maksimalnoj efikasnosti od 78,54% (linija na kojoj je a ). Tačke leo od granične linije odgoaraju rednostima impedansi na osnonom harmoniku za koje se dobijaju nenegatini signali napona. Za tačke na samoj liniji se dobijaju signali napona koji imaju nulu. Kao što je ranije rečeno, za normalizoane signale efikasnost je jednaka srednjoj snazi, i može se odrediti kao Re{ z} a i, gde je a i π (ideti (7)). Slika 7. Granične linije za impedansu na osnonom harmoniku za r,3 i a),4 x,4 i b) x {; 3 4;,3}. Radi poređenja, na slici 8 su prikazane granične linije impedanse na osnonom harmoniku za r i, 4 x, 4 što odgoara klasi-bj pojačaača snage [7]. 4
15 Slika 8. Granične linije za impedansu na osnonom harmoniku za r i a),4 x,4 i b) x {; 3 4;,3} Postupak za određianje graničnih linija na osnonom harmoniku predložen u radu [3] U radu [3] sugerisan je sledeći oblik nenegatinog naponskog signala sa bar jednom nulom ( ) cos( ) sin( ),. (6) Signal (6) nije normalizoan i njegoa remenski konstantna komponenta je ( )sin( ). Normalizoan oblik signala (6) glasi cos( ) sin( ) norm ( ). (7) ( )sin( ) Veza između parametara signala (7) i () može se napisati u sledećem obliku π,,. cos (8) Polazeći od (7), u [3] je predložen postupak za određianje graničnih linija na osnonom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, za zadate koeficijente a i b na drugom harmoniku. Predložen postupak, sa sim potrebnim usloima (koji nisu eksplicitno iskazani u [3]) izložen je u pet koraka. // Ulazni podaci: a i, b tako da a b (i a ako je impedansa pasina). i) za se [,π) izračunati acos bsin tan ; asin bcos ii) ako je a izračunati a, sin( ) a sin( ) u suprotnom b ; cos( ) b sin( ) iii) za one za koje je izračunati sin cos cos sin a, b ; ( )sin( ) ( )sin( ) i) izabrati samo one paroe ( a, b ) kod kojih je a ; ) izračunati z ( a j b ) a i. U radu [3] i naponski i strujni signal su pomereni za π u odnosu na signale u oom tehničkom rešenju, tako da je a i π, dok je a. To objašnjaa uslo a koji se pojaljuje u četrtom koraku. Lako se idi da postupak nije do kraja rešen analitički, jer nije određen interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian ( ) i da koeficijinet a bude nenegatian ( a ). Zbog toga je potrebno dodati ta da usloa i eliminisati tačke koje ne pripadaju graničnim linijama. Samim tim, opisan postupak ne omogućaa kontrolu broja tačaka za crtanje granične linije. Osim toga, potrebno je 5
16 dodati uslo a b koji ograničaa izbor ulaznih podataka. Takođe je potrebno dodati i uslo a ako je impedansa pasina. Za a u prom koraku dobija se tan tan odakle sledi sin( ) i pri izraz za u drugom koraku postaje tipa " ". Problem pri određianju može se preazići na način dat u drugom koraku postupka Validacija rezultata Deskriptini postupak za određianje graničnih linija impedanse na prom harmoniku predložen u [3] je dopunjen nedostajućim usloima opisanim u , algoritamski implementiran i iskorišćen za alidaciju Algoritma. Granične linije impedanse na osnonom harmoniku određene u oom tehničkom rešenju su potpuno u saglasnosti sa linijama koje se dobijaju rekonstrukcijom i dopunom postupka predloženog u [3] Granične linije impedanse na drugom harmoniku Problem određianja graničnih linija impedanse na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na osnonom harmoniku zadata, pri put je razmatran u radu [3]. U tom radu je predložen postupak za generisanje oih linija. Postupkom predloženim u [3] generišu se i tačke koje ne pripadaju graničnim linijama i koje je naknadno potrebno eliminisati (za detalje ideti odeljak ). U oom odeljku je dato analitičko rešenje za problem određianja graničnih linija impedanse na drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage, kada je impedansa na osnonom harmoniku zadata. Takođe je razijen i softerski implementiran algoritam za određianje i crtanje graničnih linija impedansi na drugom harmoniku. Zahaljujući analitičkom rešenju, razijeni algoritam je remenski efikasan. Podsetimo se da su signali u izlaznom kolu tranzistora rezistino-reaktine klase-b/j pojačaača snage polusinusoidalni signal struje (7) i nenegatian signal napona tipa (68) sa bar jednom nulom. Granične linije na drugom harmoniku određuju se za zadatu impedansu na osnonom harmoniku, z r j x. S obzirom da je strujni signal poznat, koeficijenti naponskog signala na osnonom harmoniku mogu se odrediti kao a ra i i b xa i, gde je a i π (ideti (7)). Sledi da se problem određianja graničnih linija na drugom harmoniku može preformulisati kao problem određianja sih mogućih paroa ( a, b ) koeficijenata na drugom harmoniku signala tipa (68) sa bar jednom nulom kada su koeficijenti a i b zadati. Taj problem je rešen u odeljku 3... Amplituda i početna faza osnonog harmonika mogu se odrediti iz koeficijenata a i b : a b, atan( b, a ). (9) Podsetimo se da za nenegatine signale aži (ideti (8)). () Na osnou (5)-(5), koeficijenti drugog harmonika nenegatinih signala tipa (68) sa bar jednom nulom mogu se napisati u obliku 3 3 a cos a cos b sin, () b sin a ( cos ) sin b ( sin ) cos, () gde označaa nulu signala. Na osnou (65), pripada interalu [, ] [ 3, 4], (3) gde je,, π, π, (4) p m 3 m 4 p dato sa (9) i m arccos max(, ), p arccos. (5) Za zadate koeficijente a i b, primenom (9)-(5) mogu se odrediti si nenegatini signali tipa (68) sa bar jednom nulom Algoritam za crtanje graničnih linija na drugom harmoniku Dozoljene rednosti impedanse na osnonom harmoniku određuju se iz usloa da je, odnosno z a i. Za polusinusoidalni signal struje (7) je a i π i z π.9. U Algoritmu je prikazana procedura za računanje granične linije za impedansu na drugom 6
17 harmoniku za zadatu rednost impedanse z r jx na prom harmoniku za pojačaače snage u rezistino-reaktinoj klasi-b/j. Algoritam je baziran na rezultatima prikazanim u oom odeljku. Algoritam : // ulazne eličine: a i π, ai 3; ) izaberi r i x tako da r i r x π; // impedansa na osnonom harmoniku je pasina ) izračunaj a, ra, i b xa i, a b atan ( b, a ); 3) izračunaj arccos m max(, ), p arccos ; 4) izračunaj p, m, 3 π m, 4 π p; 5) izaberi prirodni broj k ; max 6) izaberi ( k) [, ] [ 3, 4], k,, kmax; 7) za k,, kmax izračunaj 3 3 a( k) cos ( k) a cos ( k) b sin ( k), b( k) sin ( k) ( a ) cos ( k) sin ( k) ( b ) sin ( k) cos ( k); 8) za k,, kmax izračunaj z( k) a( k) j b( k) ai i zn( k) zn( k) r. Na slici 9.a su prikazane granične linije impedanse na drugom harmoniku za r,6 ( a.945) i,6 x,6 sa korakom, za pojačaač snage sa normalizoanim polusinusoidalnim signalom struje (7) i nenegatinim signalom napona tipa (68) sa bar jednom nulom, što odgoara rezistinoreaktinoj klasi-b/j pojačaača snage. Na slici 9.b su prikazane granične linije (označene punom zadebljanom linijom) za x.6, x.6, x.3 i x. Tačke leo od granične linije odgoaraju rednostima impedansi na drugom harmoniku za koje se dobijaju nenegatini signali napona. Za tačke na samoj liniji se dobijaju signali napona koji imaju nulu. Crne tačke na oim graficima označaaju normalizoanu impedansu na osnonom harmoniku z n j x r. Slika 9. Granične linije impedanse na drugom harmoniku za r,6 i,6 x,6 i b) x {,6;,3;;,6}. Normalizoana impedansa na prom harmoniku označena je a) isprekidanom linijom i b) tačkom. Si grafici na slici 9 su nacrtani samo za pasinu impedansu na drugom harmoniku ( r ). Kada impedansa na drugom harmoniku nije pasina, tada granične linije postoje i izan Smitoog dijagrama, kao na slici. Na slici su prikazane granične linije impedansi na drugom harmoniku za x.9 π.57 i r {.9 π,.95 π, π} (brojni podaci su iz primera koji je analiziran u [3]). Tačke koje se nalaze unutar kriih odgoaraju nenegatinim signalima. 7
18 Slika. Granične linije impedanse na drugom harmoniku za x.9 π i r {.9 π,.95 π, π} Postupak za određianje graničnih linija na drugom harmoniku predložen u radu [3] U radu [3] predložen je postupak za određianje graničnih linija na drugom harmoniku za rezistinoreaktinu klasu-b/j pojačaača snage, za zadate koeficijente a i b na osnonom harmoniku. Predložen postupak, sa sim potrebnim usloima (koji nisu naedeni u [3]) izložen je u tri koraka. // Ulazni podaci: a i, b tako da a b i a, i) za se [,π) izračunati a a cos cos b sin cos tan, sin a sin cos b b cos cos a ; sin( ) a sin( ) ii) za one paroe i za koje je izračunati ( )sin( ) ( )cos( ) a, b ; ( )sin( ) ( )sin( ) iii) izračunati z ( a j b) ai, r a a i i z. n z r Kao što smo ranije napomenuli, u [3] su i naponski i strujni signal pomereni za π u odnosu na signale u oom tehničkom rešenju, tako da je a i π, dok je a. To objašnjaa uslo a koji predstalja ograničenje u ulaznim podacima. Opisan postupak nije do kraja rešen analitički, jer nije određen interal za koji obezbeđuje da signal bude nenegatian ( ). Zbog toga je potrebno dodati taj uslo i eliminisati tačke koje ne pripadaju graničnim linijama. Osim toga, dodat je uslo a b koji ograničaa izbor ulaznih podataka. Takođe je potrebno dodati i uslo a jer je impedansa na osnonom harmoniku pasina. U radu [3] postoji napomena da se mora biti pažlji pri primeni funkcije atan pri određianju (nakon prog koraka), ali bez daljeg objašnjenja Validacija rezultata Postupak za određianje graničnih linija impedanse na drugom harmoniku, koji je predložen u [3] i analiziran u prethodnom odeljku, iskorišćen je za alidaciju Algoritma. Granične linije impedanse na drugom harmoniku određene u oom tehničkom rešenju su potpuno u saglasnosti sa linijama koje se dobijaju postupkom predloženim u [3] Kako je realizoano tehničko rešenje i gde se primenjuje, odnosno koje su mogućnosti primene Predloženo tehničko rešenje koriste istražiači sa Fakulteta tehničkih nauka u Noom Sadu u aktinostima koje se odnose na analizu pojačaača snage, kao i za dalja istražianja. Tehničko rešenje obuhata analitičku metodu za određianje graničnih linija impedansi na osnonom ili drugom harmoniku za rezistino-reaktinu klasu-b/j pojačaača snage. U okiru tehničkog rešenja su razijeni i softerski implementirani algoritmi za određianje graničnih linija impedansi pojačaača snage. Zahaljujući analitičkim rešenjima, razijeni algoritmi su remenski efikasni. Softer razijen u okiru oog tehničkog rešenja može se koristiti u projektoanju širokopojasnih linernih pojačaača snage, zahaljujući praktično trenutnom računanju graničnih linija impedansi na osnonom ili drugom harmoniku. Takođe se može koristiti u nastai, npr. za ežbe na računaru. 8
19 4. Literatura [] P. J. Tasker, Practical waeform engineering, IEEE Microw. Mag., ol., pp , Dec. 9. [] P. J. Tasker, J. Benedikt, Waeform inspired models and the harmonic balance emulator, IEEE Microw. Mag., ol., pp , Apr.. [3] T. Canning, P. J. Tasker, S. C. Cripps, Continuous mode power amplifier design using harmonic clipping contours: theory and practice, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, pp. -, Jan. 4. [4] C. Friesicke, R. Quay, A. F. Jacob, The resistie-reactie class-j power amplifier mode, IEEE Microw. Wireless Compon. Lett., ol. 5, pp , Oct. 5. [5] P. Wright, J. Lees, J. Benedikt, P. J. Tasker, S. Cripps, A methodology for realizing high efficiency class-j in a linear and broadband PA, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 57, pp , Dec. 9. [6] S. C. Cripps, Grazing zero [microwae bytes], IEEE Microw. Mag., ol., pp. 4-34, Dec.. [7] A. Juhas, S. Dautoić, L. Noak, Metoda za modeloanje signala pojačaača snage bazirana na nenegatinim trigonometrijskim polinomima drugog stepena, tehničko rešenje M85, erifikoano na NN Veću FTN Vezano sa projektom TR 36, [8] A. AlMuhaisen, P. Wright, J. Lees, P. J. Tasker, S. C. Cripps, J. Benedikt, Noel wide band high-efficiency actie harmonic injection power amplifier concept, in IEEE MTT-S Int. Microw. Symp. Dig., May, pp [9] A. AlMuhaisen, P. Wright, J. Lees, P. Tasker, S. Cripps, J. Benedikt, Wide band high-efficiency power amplifier design, in Proc. Eur. Microw. Integr. Circuits Conf., Oct., pp [] A. Dani, Z. Popoić, PA efficiency and linearity enhancement using external harmonic injection, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, no., pp ,. [] M. Seo, H. Lee, J. Gu, H. Kim, J. Ham, W. Choi, Y. Yun, K. K. O, Y. Yang,, High-efficiency power amplifier using an actie second-harmonic injection technique under optimized third-harmonic termination, IEEE Trans. Circuit Syst. II, Exp. Briefs, ol. 6, pp , Aug. 4. [] M. Roberg, Z. Popoić, Analysis of high-efficiency power amplifiers with arbitrary output harmonic terminations, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 59, pp , Aug.. [3] L. Fejer, Über trigonometrische Polynome, (in German) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, ol. 46, pp. 53 8, 96. [4] G. V. Milanoić, D. S. Mitrinoić, Th. M. Rassias, Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros, Singapore: World Scientific Publishing Co., 994. [5] A. Juhas, L. A. Noak, General description of nonnegatie waeforms up to second harmonic for power amplifier modelling, Math. Probl. Eng., ol. 4, Article ID 7976, 8 pages, 4. [6] A. Juhas, L. A. Noak, Conflict set and waeform modelling for power amplifier design, Math. Probl. Eng., ol. 5, Article ID 58596, 9 pages, 5. [7] A. Grebenniko, N. O. Sokal, M. J. Franco, Switchmode RF Power Amplifiers, nd edition, Academic Press, Elseier, USA,. [8] S. C. Cripps, P. J. Tasker, A. L. Clarke, J. Lees, J. Benedikt On the continuity of high efficiency modes in linear RF power amplifiers, IEEE Microw. Wireless Compon. Lett., ol. 9, pp , Oct. 9. [9] V. Carrubba, A. L. Clarke, M. Akmal, J. Lees, J. Benedikt, P. J. Tasker, S. C. Cripps On the extension of the continuous class-f mode power amplifier, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 59, pp , May. [] N. Tuffy, L. Guan, A. Zhu, T. J. Brazil A simplified broadband design methodology for linearized highefficiency continuous class-f power amplifier, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, pp , June. [] S. Rezaei, L. Belostotski, M. Helaoui, F. M. Ghannouchi, Harmonically tuned continuous class-c operation mode for power amplifier applications, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., ol. 6, pp , Dec. 4. 9
20
21
22
23
24
Projektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationMATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING
More informationAn Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research
More informationANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING
ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of
More informationAPPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION
JPE (2015) Vol.18 (2) Šebo, J. Original Scientific Paper APPROPRIATENESS OF GENETIC ALGORITHM USE FOR DISASSEMBLY SEQUENCE OPTIMIZATION Received: 17 July 2015 / Accepted: 25 Septembre 2015 Abstract: One
More informationFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:
1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationDYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS
DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationANALYSIS OF INFLUENCE OF PARAMETERS ON TRANSFER FUNCTIONS OF APERIODIC MECHANISMS UDC Života Živković, Miloš Milošević, Ivan Ivanov
UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 6, 1999 pp. 675-681 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationDirect Matrix Synthesis for In-Line Diplexers with Transmission Zeros Generated by Frequency Variant Couplings
Progress In Electromagnetics Research Letters, Vol. 78, 45 52, 2018 Direct Matrix Synthesis for In-Line Diplexers with Transmission Zeros Generated by Frequency Variant Couplings Yong-Liang Zhang1, 2,
More information2 nd ORDER O.D.E.s SUBSTITUTIONS
nd ORDER O.D.E.s SUBSTITUTIONS Question 1 (***+) d y y 8y + 16y = d d d, y 0, Find the general solution of the above differential equation by using the transformation equation t = y. Give the answer in
More informationpovezuju tačke na četiri različita načina (pravom linijom, splajnom,
Origin Zadatak 1. Otvoriti Origin i kreirati novi projekat; U datasheet-u dodati novu kolonu; U project exploreru kreirati nove podfoldere: Data i Graphs; Prebaciti trenutni datasheet u podfolder Data;
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationJedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad
More informationĐorđe Đorđević, Dušan Petković, Darko Živković. University of Niš, The Faculty of Civil Engineering and Architecture, Serbia
FACTA UNIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering Vol. 6, N o 2, 2008, pp. 207-220 DOI:10.2298/FUACE0802207D THE APPLIANCE OF INTERVAL CALCULUS IN ESTIMATION OF PLATE DEFLECTION BY SOLVING
More informationDISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI
Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive
More informationMAGNETIC FIELD OF ELECTRICAL RADIANT HEATING SYSTEM
UDK 537.612:697.27 DOI: 10.7562/SE2017.7.02.03 Original article www.safety.ni.ac.rs MIODRAG MILUTINOV 1 ANAMARIJA JUHAS 2 NEDA PEKARIĆ-NAĐ 3 1,2,3 University of Novi Sad, Faculty of Technical Sciences,
More informationITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC (045)=20
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 7, 005, pp. 79-85 ITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC 57.58.8+57.58(045)=0 I. V. Andrianov, J. Awrejcewicz, G.
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationSignal s(t) ima spektar S(f) ograničen na opseg učestanosti (0 f m ). Odabiranjem signala s(t) dobijaju se 4 signala odbiraka: δ(t kt s τ 2 ),
Signali i sistemi Signal st ima spektar Sf ograničen na opseg učestanosti 0 f m. Odabiranjem signala st dobijaju se signala odbiraka: s t = st s t = st s t = st s t = st δt k, δt k τ 0, δt k τ i δt k τ,
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationGeometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 30. oktobar 2012. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n p = (a, b). Odatle
More informationDETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL
DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL Leo Gusel University of Maribor, Faculty of Mechanical Engineering Smetanova 17, SI 000 Maribor, Slovenia ABSTRACT In the article the
More informationA FIELD METHOD FOR SOLVING THE EQUATIONS OF MOTION OF EXCITED SYSTEMS UDC : (045) Ivana Kovačić
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol.3, N o,, pp. 53-58 A FIELD METHOD FOR SOLVING THE EQUATIONS OF MOTION OF EXCITED SYSTEMS UDC 534.:57.98(45) Ivana Kovačić Faculty
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationDetermination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal
ISSN 0005 1144 ATKAAF 48(3 4), 129 135 (2007) Martin Jadrić, Marin Despalatović, Božo Terzić, Josip Macan Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density
More informationOn the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes
J.Serb.Chem.Soc. 69(4)265 271(2004) UDC 547.21:54 12+539.6 JSCS 3152 Original scientific paper On the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes IVAN GUTMAN a*, BORIS FURTULA a, BILJANA ARSI]
More informationINVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES
INVESTIGATION OF UPSETTING OF CYLINDER BY CONICAL DIES D. Vilotic 1, M. Plancak M 1, A. Bramley 2 and F. Osman 2 1 University of Novi Sad, Yugoslavia; 2 University of Bath, England ABSTRACT Process of
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI studij Geofizika NFP II 1 ZADACI 1. Izmjerite ovisnost intenziteta linearno polarizirane svjetlosti o kutu jednog analizatora. Na
More informationAN EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINATION OF NATURAL CIRCULAR FREQUENCY OF HELICAL TORSIONAL SPRINGS UDC:
UNIVERSITY OF NIŠ The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 5, 1998 pp. 547-554 Editor of series: Nenad Radojković, e-mail: radojkovic@ni.ac.yu Address: Univerzitetski
More informationModified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.
More informationKontrolni uređaji s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu
KOTROI SKOPOVI ZA RASVJETU I KIMA UREĐAJE Kontrolni i s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu Modularni dizajn, slobodna izmjena konfiguracije Sigurno. iski napon V Efikasno čuvanje energije Sigurnost.
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationSTRESS OF ANGLE SECTION SUBJECTED TO TRANSVERSAL LOADING ACTING OUT OF THE SHEAR CENTER
STRESS OF ANGLE SECTION SUBJECTED TO TRANSVERSAL LOADING ACTING OUT OF THE SHEAR CENTER Filip Anić Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, Student Davorin Penava
More informationConditional stability of Larkin methods with non-uniform grids
Theoret. Appl. Mech., Vol.37, No., pp.139-159, Belgrade 010 Conditional stability of Larkin methods with non-uniform grids Kazuhiro Fukuyo Abstract Stability analysis based on the von Neumann method showed
More informationYu.G. Matvienko. The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NT2F12) Brasov, Romania, May, 2012
Yu.G. Matvienko The paper was presented at the Twelfth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF1) Brasov, Romania, 7 30 May, 01 CRACK TP PLASTC ZONE UNDER MODE LOADNG AND THE NON-SNGULAR T zz STRESS
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationPeriodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina
DOI: https://doi.org/10.1456/jce.1774.016 Građevinar /018 Primljen / Received: 30.7.016. Ispravljen / Corrected: 19..017. Prihvaćen / Accepted: 8..017. Dostupno online / Available online: 10.3.018. Periodi
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationDynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM
THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS vol. 27, pp. 39-48, 2002 Dynamic analysis of 2-D and 3-D quasi-brittle solids and structures by D/BEM George D.Hatzigeorgiou and Dimitri E.Beskos Submitted 12 February,
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationDr Željko Aleksić, predavanja MS1AIK, februar D. Stefanović and M. Kayal, Structured Analog CMOS Design, Springer 2008.
METODOLOGIJA PROJEKTOVANJA ANALOGNIH CMOS INTEGRISANIH KOLA Dr Željko Aleksić, predavanja MS1AIK, februar 2009. D. Stefanović and M. Kayal, Structured Analog CMOS Design, Springer 2008. 1 Circuit level
More informationRačunarska grafika. 28. Rasterizacija. Malo matematike. Rasterizacija. Druge korisne formule. Jednačine linije
28. Rasterizacija Računarska grafika Rasterizacija linija DDA algoritam Bresenhamov algoritam predavanja doc.dr. Samir Lemeš slemes@mf.unze.ba Rasterizacija kruga Rasterizacija elipse Rasterizacija Malo
More informationKontinualni lokacijski modeli. Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15
Kontinualni lokacijski modeli Jelena Panić 748/15 Vidosava Antonović 819/15 O modelima Matematički modeli teorije lokacije daju nam odgovore na neka od sledećih pitanja : Koliko novih objekata treba otvoriti?
More informationThe analog equation method.
THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS vol. 27, pp. 13-38, 2002 The analog equation method. A boundary-only integral equation method for nonlinear static and dynamic problems in general bodies J.T.Katsikadelis
More informationIV razred- matematika. U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test.
Profesor: Ivana Obrenoviã Termini za konsultacije: IV razred- matematika U prvoj nedelji septembra planirano je obnavljanje gradiva druge godine (3 èasa), a 4-tog èasa radi se inicijalni test. TEMA 1.
More informationU X. 1. Multivarijantna statistička analiza 1
. Multivarijantna statistička analiza Standardizovana (normalizovana) vrednost obeležja Normalizovano odstupanje je mera varijacije koja pokazuje algebarsko odstupanje jedne vrednosti obeležja od aritmetičke
More informationSTATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (1,1) MODEL
Hrvatski meteoroloπki Ëasopis Croatian Meteorological Journal, 4, 2006., 43 5. UDK: 55.577.22 Stručni rad STATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (,) MODEL Statistička
More informationMREŽNI DIJAGRAMI Planiranje
MREŽNI DIJAGRAMI Planiranje 1 Mrežno planiranje se zasniva na grafičkom prikazivanju aktivnosti usmerenim dužima. Dužina duži nema značenja, a sa dijagrama se vidi međuzavisnost aktivnosti. U mrežnom planiranju
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationAsian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE
Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE
More informationDEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE OF A RECIPROCATORY TUBE FUNNEL FEEDER
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-01-067 JPE (2018) Vol.21 (1) Jain, A., Bansal, P., Khanna, P. Preliminary Note DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO PREDICT THE EFFECT OF INPUT PARAMETERS ON FEED RATE
More informationProduct Function Matrix and its Request Model
Strojarstvo 51 (4) 293-301 (2009) M KARAKAŠIĆ et al, Product Function Matrix and its Request Model 293 CODEN STJSAO ISSN 0562-1887 ZX470/1388 UDK 6585122:00442 Product Function Matrix and its Request Model
More informationREALIZATION OF GENERALIZED SOFT-AND-HARD BOUNDARY
Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 317 333, 006 REALIZATION OF GENERALIZED SOFT-AND-HARD BOUNDARY I. Hänninen, I. V. Lindell, and A. H. Sihvola Electromagnetics laboratory Helsinki University
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationKarakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationMAHARASHTRA STATE BOARD OF TECHNICAL EDUCATION (Autonomous) (ISO/IEC Certified)
SUMMER 8 EXAMINATION Important Instructions to eaminers: ) The answers should be eamined by key words and not as word-to-word as given in the model answer scheme. ) The model answer and the answer written
More informationCASTOR A PROPULSION SHAFTLINE TORSIONAL VIBRATION ASSESSMENT TOOL
Gojko MAGAZINOVIĆ, University of Split, FESB, R. Boškovića 32, 21000 Split, Croatia E-mail: gmag@fesb.hr CASTOR A PROPULSION SHAFTLINE TORSIONAL VIBRATION ASSESSMENT TOOL Summary Castor (Computer Assessment
More informationANALIZA UČINKOVITOSTI REKONSTRUKCIJE RAZLIČITIH TRANSFORMACIJA KOD SAŽIMAJUĆEG OČITAVANJA U SVRHU REPREZENTACIJE SLIKE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 1537 ANALIZA UČINKOVITOSTI REKONSTRUKCIJE RAZLIČITIH TRANSFORMACIJA KOD SAŽIMAJUĆEG OČITAVANJA U SVRHU REPREZENTACIJE SLIKE
More informationIntertemporalni izbor i optimalno upravljanje
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Biljana Jovanovski Intertemporalni izbor i optimalno upravljanje Master rad Mentor: Prof. dr Nenad Teofanov
More informationStandard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections
Original Scientific Paper Received: 24-1 1-201 7 Accepted: 06-01 -201 8 Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Miljenko LAPAI NE University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Kačićeva
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationAnalogne modulacije / Analog modulations
Analogne modulacije / Analog modulations Zadatak: Na slici 1 je prikazana blok ²ema prijemnika AM-1B0 signala sa sinhronom demodulacijom. Moduli²u i signal m(t) ima spektar u opsegu ( f m f m ) i snagu
More informationJEDAN POGLED NA PROBLEM OPTIMIZACIJE U TEORIJI POTROŠAČA
Dejan Popov*1 UDK 005.591.1 Mihajlo Rabrenović**2 659.113.2 Originalni naučni rad JEDAN POGLED NA PROBLEM OPTIMIZACIJE U TEORIJI POTROŠAČA Ovaj članak prezentuje praktičan grafičko-analitički metod rešavanja
More informationThermally induced deformations in die-substrate assembly
Theoret. Appl. Mech., Vol.35, No.1-3, pp. 305 322, Belgrade 2008 Thermally induced deformations in die-substrate assembly Milena Vujošević Abstract The work focuses on the thermally induced deformations
More informationTHE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 7, 2000, pp. 887-891 THE BOUNDARY VALUES OF THE PUNCH DIAMETER IN THE TECHNOLOGY OF THE OPENING MANUFACTURE BY PUNCHING UDC 621.962 621.744.52
More informationTransformatori. 10/2 Uvod. Jednofazni transformatori. Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i
Transformatori /2 Uvod Jednofazni transformatori Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i mrežni transformatori 4AM, 4AT /4 Sigurnosni (mrežni transformatori) i upravlja ki transformatori 4AM /5 Rastavni, upravlja
More informationElastic - plastic analysis of crack on bimaterial interface
Theoret. Appl. Mech., Vol.32, No.3, pp. 193 207, Belgrade 2005 Elastic - plastic analysis of crack on bimaterial interface Ruzica R. Nikolic Jelena M. Veljkovic Abstract In this paper are presented solutions
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationZbirka ispitnih zadataka iz Baza Podataka 1 Ispiti i kolokvijumi u periodu
Beogradski univerzitet Elektrotehnički fakultet Miloš Cvetanović Zbirka ispitnih zadataka iz Baza Podataka 1 Ispiti i kolokvijumi u periodu 2007-2011 Beograd, Januar 2012 Ispiti... 3 Januarski ispitni
More informationVirtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
Marko D. Leko BORNOVO RELLtTIVISTICKI 6VRSTO TELO (doktorska disertacija) OMBRA 07 3M4M1JA IWY44Err PAAA 3A MATEMATW, MEXAHW H AUPOHOMMY ii B J1 U u T i & A EPoi:,i1, a T ym: elnci-i...q) V SADRZAJ Gleva
More informationIMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION
Serb. Astron. J. 172 (2006), 41-51 UDC 521.96 DOI: 10.2298/SAJ0672041D Preliminary report IMPROVEMENT OF HIPPARCOS PROPER MOTIONS IN DECLINATION G. Damljanović 1, N. Pejović 2 and B. Jovanović 1 1 Astronomical
More informationABOUT SOME VARIOUS INTERPRETATIONS OF THE FATIGUE CRITERION AT LOW NUMBER OF STRAIN CYCLES UDC Miodrag Janković
The Scientific Journal FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 8, 2001, pp. 955-964 ABOUT SOME VARIOUS INTERPRETATIONS OF THE FATIGUE CRITERION AT LOW NUMBER OF STRAIN CYCLES UDC
More informationUTICAJ KRIVE SNAGE VETROGENERATORA NA TEHNO-EKONOMSKE POKAZATELJE SISTEMA ZA NAPAJANJE POTROŠAČA MALE SNAGE
UTICAJ KRIVE SNAGE VETROGENERATORA NA TEHNO-EKONOMSKE POKAZATELJE SISTEMA ZA NAPAJANJE POTROŠAČA MALE SNAGE Vukman Bakić *, and Saša Stojković ** * University of Belgrade, Institute Vinča, Laboratory for
More informationPhilippe Jodin. Original scientific paper UDC: :519.6 Paper received:
The paper was presented at the Tenth Meeting New Trends in Fatigue and Fracture (NTF0) Metz, France, 30 August September, 00 Philippe Jodin APPLICATION OF NUMERICAL METHODS TO MIXED MODES FRACTURE MECHANICS
More information