NIEKOĽKO APLIKÁCIÍ DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC V EKONÓMII

Transcription

1 IEKOĽKO APLIKÁCIÍ DIFERECIÁLYCH ROVÍC V EKOÓII Kaarína Sakáová Dôežiou úohou ri riešení mnohých robémov v rôznych obasiach vedy je určenie neznámej funkcie na zákade jej vasnosí V maemaickej anaýze (aj ri jej využií v ekonómii) sú ieo vasnosi obvyke vyjadrené omocou derivácií aebo diferenciáov Ak akéo vasnosi oisujú vzťahy medzi deriváciami funkcie a funkciou a nazývame ich diferenciánymi rovnicami Diferenciáne rovnice môžu oisovať vasnosi funkcií jednej i viac remenných y sa budeme ďaej zaoberať en reánou funkciou jednej reánej remennej Diferenciáne rovnice majú mnohosranné využiie y uvedieme niekoľko aikácií diferenciánych rovníc v ekonómii Príkad Cenová easicia doyu ájdime doyovú funkciu, ak easicia doyu je daná vzťahom η = a vieme, že hodnoa doyu ri cene ( 00 ) = 36 je q ( 36) = 6 Riešenie Ak oužijeme vzorec na určenie easiciy re sojiú doyovú funkciu, dosaneme η = dq d q = 00 a o úrave diferenciánu rovnicu rvého rádu so searovanými remennými Rovnicu zinegrujeme a dosaneme dq q d = 00 dq d = q 00 n q = n00 C, C R Ak C = nc, C R a oužijeme známe ravidá re úravu ogarimov, oom n q = n C00, C R

2 akoniec orovnáme výrazy za ogarimom na oboch sranách rovnice, ričom berieme do úvahy en kadné hodnoy q a hodnoy (0, 00, a dosaneme q = C ), R ( 00 C, čo je všeobecné riešenie danej diferenciánej rovnice ájdime eše arikuárne riešenie, koré sĺňa odmienku q ( 36) = 6 Dosadíme uvedenú odmienku do všeobecného riešenia 6 = C (00 36) a určíme C = Poom hľadané arikuárne riešenie, a eda aj doyová 4 funkcia, re korú q ( 36) = 6, je q = 25 4 Príkad 2 Sojié úrokovanie Zákon eonenciáneho rasu Predokadajme, že kaiá je invesovaný ri zoženom úrokovaní s ročnou úrokovou mierou i, ričom úroky sa očíajú m-krá do roka (oče konverzií je m) ech funkcia K ( udáva množsvo kaiáu v čase, j rokov od začiaku invesovania Konkrénu začiaočnú hodnou kaiáu označíme K ( 0) = K Keďže úroky sa riisujú m-krá do roka, každá úroková erióda má 0 dĺžku a označíme ju ako m a konci rvej eriódy je eda úrok riísaný k hodnoe kaiáu zo začiaku ejo eriódy Táo hodnoa je oom začiaočnou hodnoou kaiáu re druhú eriódu aď Ak začiaok eriódy je v čase a erióda má dĺžku, oom náras kaiáu za eriódu (úrok) je K( K( = K Úrok K za eno čas je riamo úmerný začiaočnej hodnoe kaiáu, úrokovej miere a času, j o úrave K = K( i, K = ik( Ak redokadáme, že úrok sa bude riisovať sojie, j 0 a m = K dk, oom aj a redchádzajúca rovnica bude mať var

3 dk = ik( Táo diferenciána rovnica vyjadruje skuočnosť, že v ríade sojiého úrokovania je miera nárasu kaiáu v čase je úmerná hodnoa kaiáu v čase a určenie funkcie K ( orebuje vyriešiť uvedenú diferenciánu rovnicu so searovaeľnými remennými Searujeme remenné a inegrujeme Dosaneme a o úrave ahradíme = C C e > 0 a dosaneme dk K( = i n K ( = i C!, K( > 0 i C K = e! ( ), C! R i K( = Ce, C > 0 Určíme inegračnú konšanu C a zároveň arikuárne riešenie, koré vyhovuje začiaočnej odmienke K ( 0) = K 0 Poom K = Ce Hľadané arikuárne riešenie oom je = C i0 0 i K( = K0e Eisuje mnoho ríkadov z rôznych obasí (ras ouácie, ochadzovanie eesa, rádioakívny rozad), keď rýchosť zmeny nejakej veičiny je riamo úmerná momenánemu savu ejo veičiny Poom ras aebo okes akejo veičiny sa riadi zákonom eonenciáneho rasu Príkad 3 Ras ouácie Logisická krivka Ak oužijeme zákon eonenciáneho rasu na ras ouácie, riešením anaogickej diferenciánej rovnice ako v Príkade 2 dosaneme vzťah d = k( k ( = 0e, kde 0 je sav ouácie v čase = 0, ( je sav ouácie v čase a k je konšana a zákade oho zákona by však ouácia s časom neobmedzene

4 rása V skuočnosi, v ríade nárasu ouácie na určiú hodnou, začnú eno ras somaľovať iné fakory (nar environmenáne) Preo je vhodné určiť d( iminú hodnou ( 0 < ( < ) akú, že ( a súčasne 0 Ras ouácie by sa oom v rvej časi riadi zákonom eonenciáneho rasu, ae o čase by sa eno ras somai vyvom rôznych činieľov Takýo mode by sme dosai, ak by sme ravú sranu diferenciánej ( rovnice oisujúcej ras ouácie vynásobii konšanou Teno mode by oom oisovaa diferenciána rovnica d( ( = k ( d( Všimnime si, že ak (, ak ( 0 a 0, ako sme k ožadovai ri vorbe modeu Preože k, sú konšany, označíme K = a dosaneme diferenciánu rovnicu re neznámu funkciu ( remennej Ďaej budeme re jednoduchosť ísať ( = Poom d = K( ), korá hovorí, že miera rasu je riamo úmerná súčinu akuáneho savu ouácie ( a rozdieu medzi iminou hodnoou ouácie a akuáneho savu ouácie ( Diferenciána rovnica oisujúca eno mode je searovaeľná diferenciána rovnica Searujeme eda remenné a zinegrujeme Dosaneme d ( ) = K Inegrá na ľavej srane je inegrá racionánej funkcie, korú musíme najrv rozožiť na arciáne zomky a známym sôsobom určiť konšany = A B A = B = Po zinegrovaní d d ( ) K =

5 dosaneme riešenie v imicinom vare n koré môžeme uraviť ( > 0, > 0) Pokúsime sa vyjadriť C ak, že najrv budeme ísať C = e Poom dosaneme = K C, n = C e e C = = Ce = ( ) Ce = Ce Ce Ce =, Ce čo je eiciný var všeobecného riešenia ejo diferenciánej rovnice Ak vydeíme čiaeľ aj menovaeľ výrazom Ce, dosaneme = e C Táo funkcia je známa ako zv ogisická funkcia a uvádza sa v vare ( b =, c = K ) C = be c Príkad 4 Funkcia režiia Inenzia úmrnosi Vieme, že zákadnou funkciou v úmrnosných abuľkách je funkcia režiia ( je oče osôb vo veku ), kde nadobúda ceočísené hodnoy z inervau, ω (časo 0, ω ), je nerasúca, nezáorná funkcia, ričom hodnoa (časo 0 ) sa nazýva koreň úmrnosnej abuľky Ak ďaej redokadáme, že je sojiá

6 a diferencovaeľná funkcia, môžeme nazvať odie okesu hodnoy riadajúci na maý rírasok veku (eda času k hodnoe inenzia úmrnosi µ Teda d = µ Uvedený vzorec je diferenciána rovnica so searovaeľnými remennými, korú uravíme searáciou remenných na var d = µ Keďže nebudeme hľadať všeobecné riešenie, ae riamo arikuárne riešenie sĺňajúce Cauchyho začiaočné odmienky = ( ), inegrujeme a dosaneme d = n a o úrave arikuárne riešenie je = = µ µ µ e Vzorec nám umožňuje vyočíať hodnoy funkcie režiia za redokadu, že oznáme koreň úmrnosnej abuľky a funkciu inenziy úmrnosi Lieraúra: [] Badani, J, Bradfied, J, Turner, R, W: ahemaica Economics Thomson Souh-Wesern 2005 ISB [2] Biíková, : Sojié meódy v oisnej maemaike Braisava Ekonóm 2003 ISB [3] ccucheon, J, J, Sco, W, F: An Inroducion o he ahemaics of Finance Oford 99 ISB [4] ei, A: Life Coningencies Oford: The Insiue of Acuaries and Facuy of Acuaries 977

7 [5] Peer, F, Pinda, Ľ, Fecenko, J: aemaika 3 IURA Ediion Braisava 200ISB Absrak V rísevku je uvedených niekoľko aikácií searovaeľných diferenciánych rovníc rvého rádu v ekonómii V ríkade hľadáme doyovú funkciu, ak ja daný vzorec na easiciu doyu a hodnoa doyu ri danej cene Príkad 2 je venovaný hľadaniu vzorca na náras kaiáu v časovom inervae, ak je určená hodnoa kaiáu na začiaku inervau za redokadu, že úrok sa riisuje sojie Výsedkom je vzorec na sojié úrokovanie Príkad 3 oisuje oužiie zákona eonenciáneho rasu na ras ouácie za určiých obmedzujúcich odmienok Výsedkom je zv ogisická krivka V Príkade 4 je odvodený vzorec na určenie funkcie režiia z funkcie inenziy úmrnosi