PSEUDOINVERZNÁ MATICA
|
|
- Joella Bradley
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 PSEUDOINVERZNÁ MATICA Jozef Fecenko, Michal Páleš Abstrakt Cieľom príspevku je podať základnú informácie o pseudoinverznej matici k danej matici. Ukázať, že bázický rozklad matice na súčin matíc je skeletným rozkladom matice a prezentovať možnosti výpočtu pseudoinverznej matice pomocou open-source systémov Maxima, R a MS Mathematics. Poukázať na možnosť jednoduchého použitia pseudoinverznej matice pre riešenie systémov lineárnych rovníc. Text príspevku má slúžiť ako podporný materiál pri výučbe lineárnej algebry na predmete Vybrané kapitoly z matematiky I vyučovanom na EU v Bratislave. Kľúčové slová lineárna algebra, pseudoinverzná matica, skeletný rozklad matice, bázický rozklad matice, systém lineárnych rovníc, Maxima, MS Mathematics, jazyk R 1 DEFINÍCIA POJMOV Definícia 1. Nech A je matica typu m n. Matica X, pre ktorú platí sa nazýva pseudoinverzná matica 1 k matici A. Pseudoinverznú maticu k matici A budeme značiť 1 tak A A. Z definície pseudoinverznaj matice k matici Príklad 1. Nájdime pseudoinverznu maticu k matici AXA A (1) A. Zrejme, ak matica A je regulárna, Am nvyplýva, že nm A. Riešenie. Označme 1 1 A 1 1 x X x x x V literatúre je známa definícia tzv. Moore-Penroseovej pseudoinverznej matice, ktorá okrem podmienky (1) vyžaduje splnenie ďalších troch podmienok, pozri napr. [4]. Má niektoré zaujímavé vlastnosti, ktoré sa využívajú v rôznych aplikáciách. 1
2 Po dosadení do vzťahu (1), roznásobení matíc a porovnaním ľavej a pravej strany rovnice, dostaneme systém lineárnych rovníc x x x x x x x x x x x x x x x x Vidíme, že tento systém lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Môžeme ho napríklad vyjadriť v tvare x 1 r s t x x x t, r, s, t R 22 r s Napríklad, jedna z pseudoinverzných matíc k matici A je matica A Veta 1. Nech h A m n m. Potom matica AA je regulárna matica typu m m. (Veta je dôsledkom vety o hodnosti súčinu navzájom transponovaných matíc, [4], str. 134.) Definícia 2. Ak k matici A existuje matica X, pre ktorú platí AX = E, [ X A = E] tak matica X sa nazýva pravá inverzná matica k matici A (označujeme ju inverzná matica k matici A (označujeme ju 1 A L )]. 1 A P ), [ľavá Poznámka 1. Ak matica A je regulárna, tak A A A P L Veta 2 (o existencií pravej a ľavej inverznej matice). - Nech ha m n m, potom - Nech h A m n AA AA E A A A A n, potom Tvrdenie je dôsledkom vety 1. 1 P 1 1 A A A A E A A A A. Veta 3 (o skeletnom rozklade matice). Nech h r. Potom existujú matice B m r, C r n také, že platí A B C (2) pričom hb hc r. A m n L. 2
3 Rozklad matice A na súčin (2) splňujúci podmienky vety 3 sa nazýva skeletný rozklad matice A. Poznámka 2. Bázický rozklad matice na súčin je skeletným rozkladom matice. Porovnaj definíciu skeletného rozkladu matice s definíciu bázického rozkladu matice na súčin [1], [2]. Veta 4 (o existencii pseudoinverznaj matice). Ku každej matici A existuje pseudoinverzná matica. Dôkaz. Ak matica A m n je nulová, potom pseudoinverznou maticou k tejto matici je každá matica typu n m. Nech matica A m n je nenulová matica a nech ha m n r. Potom podľa vety o skeletnom rozklade existujú matice, B m r, C r n také, že A B C, pričom hb hc r. Potom podľa vety 1 sú matice B B a C C regulárne štvorcové matice typu r r. Označme Počítajme Dokázali sme, že X A. 1 1 X C CC BΒ B (3) 1 1 A X A BC XBC BCC CC B BBC 1 1 B C CP BL B C B E E C B C A Pseudoinverzná matica k matici A určená vzťahom (3) sa nazýva Moore-Penroseova pseudoinverzná matica a samotný výpočet pseudoinverznej matice podľa vzťahu (3) sa nazýva Moore-Penroseova pseudoinverzia. Príklad 2. Určme pomocou elementárnej zmeny bázy bázický rozklad matice A (4) Riešenie. Samotný výpočet môže čitateľ nájsť v učebnici [2], str ), kde boli vypočítané štyri bázické rozklady matice A, ktoré uvádzame A 3 5 BC, A 3 1 BC, A 5 3 BC A 2 1 BC, ktoré sú zároveň skeletnými rozkladmi matice A. 3
4 Následne prezentujeme postupný výpočet pseudoinverznej matice k matici A podľa vzťahu (3). Poznamenajme, že ak by sme vychádzali z akéhokoľvek bázického rozkladu matice A, tak pseudoinverznú maticu A k matici A, určenú vzťahom (3) dostaneme stále tú istú. Uvažujme napríklad prvý rozklad, kde Potom B, B 3 5, C C, CC CC, Potom BΒ , B Β A CC C BΒ B Pre výpočet inverznej matice k štvorcovej matici druhého stupňa, ktorá je regulárna sme 1 a b 1 d b použili vzťah. c d ad bc c a Ako je vidieť z prezentovaného výpočtu pseudoinverznej matice, samotný priamy výpočet bez využitia bežne dostupných softvérových prostriedkov, ako napríklad MS Excel, Maxima, jazyk R a MS Mathematics je výpočtovo náročný. Práve posledné tri, z ktorých dva sú open-source systémy a posledný voľne stiahnuteľný, poskytujú jednoduchý spôsob výpočtu Moore-Penroseovej inverznej matice. 4
5 2 VÝPOČET PSEUDOINVERZNEJ MATICE V MATEMATICKÝCH OPEN- SOURCE SYSTÉMOCH 2.1 Výpočet pseudoinverznej matice v systéme Maxima Po spustení systému Maxima musíme najskôr aktivovať balík lineárna algebra príkazom load(linearalgebra)$. Zadáme inverznú maticu, ktorú označíme napr. A ; A: matrix(...). Príkazom X:moore_penrose_pseudoinverse(A)vypočítame pseudoinverznú maticu A k matici A, ktorá bude uložená v objekte X. Dostávame výstup ( ) 2.2 Výpočet pseudoinverznej matice v systéme R Pre výpočet Moore-Penroseova pseudoinverznej matice v jazyku R je potrebné nainštalovať a aktivovať balík MASS. Potom zdrojový kód pre výpočet matice A k matici A podľa príkladu 2, je nasledovný library(mass) a <- c(1,2,-1,0);b <- c(3,5,2,-1);c <- c(1,1,4,-1) A<-rbind(a,b,c) ginv(a, tol = sqrt(.machine$double.eps)) A dostávame výstup 2.3 Výpočet pseudoinverznej matice v systéme MS Mathematics Tento spôsob výpočtu, z metodického hľadiska, je výhodný v tom, že čitateľ má možnosť sledovať logiku celej procedúry výpočtu pseudoinverznaj matice podľa vzťahu (3). Zadáme maticu, ku ktorej chceme určiť pseudoinverznú maticu (nebuďme prekvapení, ak nám maticu systém zapíše do dvoch zátvoriek). Dostávame výstup ( ) 5
6 Následne je uvedená postupnosť príkazov, spojených inputov s outputmi pre výpočet pseudoinverznej matice. Význam príkazov čitateľ pochopí v ponuke Help systému MS Mathematics. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Poznamenajme, že pre násobenie matíc nie je nutné v MS Mathematics používať znak *. 3 PRÍKLAD APLIKÁCIE PSEUDOINVERZNEJ MATICE Veta 5. Ak systém lineárnych rovníc Ax b má riešenie a A je nejaká pseudoinverzná matica k matici A, tak x A b (4) je riešením tohto systému lineárnych rovníc. Dôkaz. Keďže podľa predpokladu systém lineárnych rovníc Ax b je riešiteľný, musí existovať nejaký vektor y, pre ktorý platí Ay b Ukážeme, že vektor x v (4) je riešením príslušného systému lineárnych rovníc. Platí čo bolo treba dokázať. Ax A A b A A A y Ay b 6
7 Poznámka 3. Ak riešenie systému lineárnych rovníc Ax bje vyjadrené v tvare x A b a A je Moore-Penroseova pseudoinverzná matica, tak toto riešenie minimalizuje normu Ax b a zo všetkých n rozmerných vektorov x, ktoré minimalizujú túto normu, má najmenšiu normu. Takýto vektor riešenia systému lineárnych rovníc sa nazýva riešenie systému vzhľadom k najmenším štvorcom s minimálnou normou alebo najlepšie približné riešenie systému (the last squares solution of minimum norm). Normu vektora x definujeme ako odmocninu zo skalárneho súčinu vektorov x a x. Veta 6 (o riešení systému lineárnych rovníc pomocou pseudoinverznej matice). Nech je daný systém lineárnych rovníc Ax b, kde A m n a nech A je nejaká pseudoinverzná matica k matici A, tak všeobecné riešenie tohto systému lineárnych rovníc môžeme vyjadriť v tvare x A b ( AA E) t kde t je ľubovoľný n -zložkový vektor a E je jednotková matica typu n n. Príklad 3. Uvažujme systém lineárnych rovníc Ax b, kde matica systému lineárnych rovníc A, je maticou z príkladu 2. Nech pre vektor pravých strán systému lineárnych rovníc platí 1356 b Hodnosť matice A je 2, čo napríklad vyplýva z bázického rozkladu matice na súčin. Ľahko overíme výpočtom, alebo príkazmi rank(a)v Maxime; qr(a)$rank v jazyku R; reduce(a)v MS Mathematics, že h( A) 2. Podľa Frobeniovej vety teda príslušný systém lineárnych rovníc nemá riešenie, h( A) 2 3 h( A b ). x1 x2 Určme nejaký vektor x 0, ktorý bude najlepším približným riešením systému x3 x4 lineárnych rovníc Ax b, podľa predpokladov uvedených v časti 3, teda Dostávame x0 A b x0 A b
8 Potom pre minimálnu normu platí Ax0 b 2491,13 a x0 1027,45 Pre najlepšie približné riešenie x 0 systému lineárnych rovníc je síce norma Ax b minimálna, ale vektor x 0 nemusí byť jediným vektorom x s tuto minimálnou normou. Zdroje [1] FECENKO, J. - SAKÁLOVÁ, K.: Matematika 2. Bratislava: IURA EDITION, ISBN X. [2] KLŮFA, J.: Kapitoly z algebry pro ekonomy, Praha: Vysoká škola ekonomická v Praze, ISBN [3] SAKÁLOVÁ, K. - SIMONKA, Zs. - STREŠŇÁKOVÁ, A.: MATEMATIKA. Lineárna algebra. (učebný text). Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, ISBN [4] SKULA, L.: Moore-Penroseova inverse matice a jeji aplikace. Kvaternion č. 1/2013. ISSN [5] VENABLES, W. N.- RIPLEY, B. D. Modern Applied Statistics with S. Fourth Edition. New York: Springer, ISBN Kontaktné údaje Fecenko, Jozef, doc. RNDr., CSc., Katedra matematiky a aktuárstva, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, Dolnozemská cesta 1, Bratislava, tel / , fecenko.euba@gmail.com Páleš, Michal, Ing., PhD., Katedra matematiky a aktuárstva, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, Dolnozemská cesta 1, Bratislava, tel / , pales.euba@gmail.com 8
Maticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc
Maticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc priesvitka Maurits Cornelis Escher (898-97) Ascending and Descending, 960, Lithograph priesvitka Matice V mnohých prípadoch dáta
More information1 Matice a ich vlastnosti
Pojem sústavy a jej riešenie 1 Matice a ich vlastnosti 11 Sústavy lineárnych rovníc a matice Príklad 11 V množine reálnych čísel riešte sústavu rovníc x - 2y + 4z + t = -6 2x + 3y - z + 2t = 13 2x + 5y
More informationTeória grafov. RNDr. Milan Stacho, PhD.
Teória grafov RNDr. Milan Stacho, PhD. Literatúra Plesník: Grafové algoritmy, Veda Bratislava 1983 Sedláček: Úvod do teórie grafů, Academia Praha 1981 Bosák: Grafy a ich aplikácie, Alfa Bratislava 1980
More informationADM a logika. 4. prednáška. Výroková logika II, logický a sémantický dôsledok, teória a model, korektnosť a úplnosť
ADM a logika 4. prednáška Výroková logika II, logický a sémantický dôsledok, teória a model, korektnosť a úplnosť 1 Odvodzovanie formúl výrokovej logiky, logický dôsledok, syntaktický prístup Logický dôsledok
More informationDokonalé a spriatelené čísla
Dokonalé a spriatelené čísla 1. kapitola. Niektoré poznatky z teorie čísel In: Tibor Šalát (author): Dokonalé a spriatelené čísla. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 5 17. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403668
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY HADAMARDOVE MATICE A ICH APLIKÁCIE V OPTIMÁLNOM DIZAJNE BAKALÁRSKA PRÁCA 2012 Samuel ROSA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More information1 Vektory. 1.1 Definovanie vektorov. Vektor = jednorozmerné pole. explicitným vymenovaním zoznamu prvkov
1 Vektory Vektor = jednorozmerné pole Definovanie je možné viacerými spôsobmi: explicitným vymenovaním zoznamu prvkov vygenerovaním pomocou zabudovaných matlabovských funkcií načítaním externého súboru
More informationMATEMATIKA I a jej využitie v ekonómii
Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach MATEMATIKA I a jej využitie v ekonómii Monika Molnárová Košice 2012 Katedra matematiky
More informationKapitola S5. Skrutkovica na rotačnej ploche
Kapitola S5 Skrutkovica na rotačnej ploche Nech je rotačná plocha určená osou rotácie o a meridiánom m. Skrutkový pohyb je pohyb zložený z rovnomerného rotačného pohybu okolo osi o a z rovnomerného translačného
More informationA l g o r i t m i c k y n e r i e š i t e ľ n é p r o b l é m y
A l g o r i t m i c k y n e r i e š i t e ľ n é p r o b l é m y Lev Bukovský Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice, 20. apríla 2004 Obsah 1 Úvod 2 2 Čiastočne rekurzívne funkcie
More informationIng. Tomasz Kanik. doc. RNDr. Štefan Peško, CSc.
Ing. Tomasz Kanik Školiteľ: doc. RNDr. Štefan Peško, CSc. Pracovisko: Študijný program: KMMOA, FRI, ŽU 9.2.9 Aplikovaná informatika 1 identifikácia problémovej skupiny pacientov, zlepšenie kvality rozhodovacích
More informationErrors-in-variables models
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ida Fürjesová Errors-in-variables models Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Michal
More informationSolution Methods for Beam and Frames on Elastic Foundation Using the Finite Element Method
Solution Methods for Beam and Frames on Elastic Foundation Using the Finite Element Method Spôsoby riešenie nosníkov a rámov na pružnom podklade pomocou metódy konečných prvkov Roland JANČO 1 Abstract:
More informationUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Michal Kesely. Katedra matematické analýzy. Studijní program: Obecná matematika
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michal Kesely Slavné neřešitelné problémy Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. Studijní
More informationFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE PÍSOMNÁ PRÁCA K DIZERTAČNEJ SKÚŠKE 2005 Zuzana Holeščáková FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationMatematická analýza II.
V. Diferenciálny počet (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 8 6. marca 2018 It has apparently not yet been observed, that...
More informationUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA. Bc. Roman Cinkais. Aplikace samoopravných kódů v steganografii
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA Bc. Roman Cinkais Aplikace samoopravných kódů v steganografii Katedra algebry Vedúcí diplomovej práce: prof. RNDr. Aleš Drápal,
More informationENTROPIA. Claude Elwood Shannon ( ), USA A Mathematical Theory of Communication, 1948 LOGARITMUS
LOGARITMUS ENTROPIA Claude Elwood Shao (96-00), USA A Mathematcal Theory of Commucato, 948 7. storoče Naer, Brggs, orovae číselých ostuostí: artmetcká ostuosť 3 0 3 4 5 6 geometrcká ostuosť /8 /4 / 4 8
More informationMETRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE
1. ÚVOD METRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE Monika ĎURIKOVIČOVÁ 1 Katedra Matematiky, Strojnícka fakulta STU, Abstrakt: Popisujeme možnosti použitia programového systému Mathematica pri riešení špeciálnych metrických
More informationMetódy vol nej optimalizácie
Matematické programovanie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/35 Informácie o predmete Informácie o predmete p. 2/35 Informácie o predmete METÓDY VOL NEJ OPTIMALIZÁCIE Prednášajúca: M. Trnovská (M 267) Cvičiaci:
More informationFakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA
Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA Róbert Tóth Bratislava 2013 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA
More information1 Úvod Úvod Sylaby a literatúra Označenia a pomocné tvrdenia... 4
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Úvod......................................... 3 1. Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Označenia a omocné tvrdenia.......................... 4 Prvočísla 6.1 Deliteľnosť......................................
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Vlastnosti spektrahedrálnych mnoºín a ich aplikácie v nelineárnej optimalizácii DIPLOMOVÁ PRÁCA 2016 Bc. Andrej Iring UNIVERZITA
More informationAplikácie teórie množín Martin Sleziak 24. februára 2015
Aplikácie teórie množín Martin Sleziak 24. februára 2015 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Sylaby a literatúra................................. 5 1.1.1 Literatúra.................................. 5 1.1.2 Sylaby predmetu..............................
More informationSamuel Flimmel. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Samuel Flimmel Log-optimální investování Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr.
More informationJán Pribiš. Edícia vysokoškolských učebníc. Fakulta elektrotechniky a informatiky. Technická univerzita v Košiciach SCILAB
Edícia vysokoškolských učebníc Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach SCILAB Ján Pribiš SCILAB c Ján Pribiš Edícia vysokoškolských učebníc FEI TU v Košiciach Prvé vydanie
More informationFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Písomná práca k dizertačnej skúške
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Písomná práca k dizertačnej skúške Marec 2007 Tomáš Jurík Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave
More informationOdhady veľkosti pokrytí náhodne indukovaných podgrafov n-rozmernej hyperkocky
KATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Odhady veľkosti pokrytí náhodne indukovaných podgrafov nrozmernej hyperkocky Diplomová práca Bc. Ján Kliman študijný odbor:
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY REKURENTNÉ POSTUPNOSTI
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Evidenčné číslo: 74b93af3-8dd5-43d9-b3f2-05523e0ba177 REKURENTNÉ POSTUPNOSTI 2011 András Varga UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Kritéria nezápornosti Fourierových radov BAKALÁRSKA PRÁCA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Kritéria nezápornosti Fourierových radov BAKALÁRSKA PRÁCA Bratislava 2014 Andrej Iring UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA
More information2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 23. septembra 2010 Obsah 1 Úvod 4 1.1 Predhovor...................................... 4 1.2 Sylaby a literatúra................................. 5 1.2.1 Literatúra..................................
More informationDomovská stránka. Titulná strana OCTAVE. Obsah. Rozšírený úvod. Ján Buša. Strana 1 z 167. Späť. Celá strana. Zatvoriť. Koniec
OCTAVE Rozšírený úvod Ján Buša Strana 1 z 167 Táto publikácia vznikla s prispením grantovej agentúry SR KEGA v tematickej oblasti Nové technológie vo výučbe projekt: 3/2158/04 Využitie OPENSOURCE softvéru
More informationBootstrap metody II Kernelové Odhady Hustot
Bootstrap metody II Kernelové Odhady Hustot Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České
More informationVYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpoklada é použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 8
VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0007 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý k d typu výro ku: i jektáž y systé FIS V 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt O eľová kotva pre použitie v et e k upev e iu ťažký h systé
More informationPrednášky z regresných modelov
Prednášky z regresných modelov Odhadovanie parametrov strednej hodnoty a štatistická optimalizácia experimentu Prednášky Andreja Pázmana spracované v spolupráci s Vladimírom Lackom Univerzita Komenského
More informationStavba Lobačevského planimetrie
Stavba Lobačevského planimetrie Riešenie úloh In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 78 109. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403691
More informationAlgoritmy metód vnútorného bodu v lineárnom programovaní
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Algoritmy metód vnútorného bodu v lineárnom programovaní RIGORÓZNA PRÁCA 14 Mgr. Marek KABÁT UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationVÝUČBA DIFFERENCIÁLNEHO POČTU FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH POMOCOU PG. SYST. MATHEMATICA
VÝUČBA DIFFERENCIÁLNEHO POČTU FUNKCIE VIAC PREMENNÝCH POMOCOU PG. SYST. MATHEMATICA Monika Kováčová Katedra Matematiky SjF STU Bratislava kovacova_v@dekan.sjf.stuba.sk Abstrakt. V článku popisujeme možnosti
More informationMatematika 17. a 18. storočia
Matematika 17. a 18. storočia René Descartes Narodený : 31 Marec 1596 v La Haye (teraz Descartes),Touraine, France Zomrel : 11 Feb 1650 v Stockholm, Sweden Riešenie kvadratických rovníc podľa Descarta
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UIVERZITA KOMESKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A IFORMATIKY VÝPOČET FOURIEROVÝCH RADOV POMOCOU DISKRÉTEJ FOURIEROVEJ TRASFORMÁCIE BAKALÁRSKA PRÁCA 2013 Andrej ZUBAL UIVERZITA KOMESKÉHO V BRATISLAVE
More informationMEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE
MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE November 2014 (číslo 3) Ročník druhý ISSN 1339-3189 Kontakt: info@mladaveda.sk, tel.: +421 908 546 716, www.mladaveda.sk Fotografia na obálke: Kuala
More informationSLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE STAVEBNÁ FAKULTA. Polomerovo Moorovské grafy
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE STAVEBNÁ FAKULTA Polomerovo Moorovské grafy Bakalárska práca SVF-5342-50476 2010 Jaromír Sýs SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE STAVEBNÁ FAKULTA Polomerovo
More informationKatedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky
Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Zbierka riešených a neriešených úloh nna Grinčová
More informationSoftwarové inžinierstvo. martin timothy timko
S Q L S E R V E R : A D O. N E T Softwarové inžinierstvo martin timothy timko 14.9. 2017 1 úvod 2 1 úvod ADO.NET je objektovo-orientovaná množina knižníc, ktorá poskytuje manipuláciu s dátovými zdrojmi.
More informationUniverzita Karlova v Prahe, Filozofická fakulta Katedra logiky. Anna Horská. FRIEDBERG-MUCHNIKOVA VETA Ročníková práca
Univerzita Karlova v Prahe, Filozofická fakulta Katedra logiky Anna Horská FRIEDBERG-MUCHNIKOVA VETA Ročníková práca Vedúci práce: Vítězslav Švejdar 2007 Prehlasujem, že som ročníkovú prácu vypracovala
More informationDETECT FLOW OF STEAM IN AIR BY ELECTRICAL CAPACITANCE TOMOGRAPHY
DETECT FLOW OF STEAM IN AIR BY ELECTRICAL CAPACITANCE TOMOGRAPHY Katarína RATKOVSKÁ 1 - Miroslava CÚTTOVÁ 2 Abstract:.In practice, the steam can also occur in cases where there not be formed, and then
More informationVYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpokladané použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 3
VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0017 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý kód typu výro ku: fischer skrutka do betónu FBS, FBS A4 a FBS C 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt O eľová kotva pre použitie v etó e
More informationModely, metódy a algoritmy pre analýzu longitudinálnych dát
Vedecká rada Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Mgr Gejza Wimmer Autoreferát dizertačnej práce Modely, metódy a algoritmy pre analýzu longitudinálnych dát pre získanie
More informationTAGUCHI S APPROACH TO QUALITY ENGINEERING TAGUCHIHO PR STUP K INZINIERSTVU KVALITY
KVALITA INOV`CIA PROSPERITA IV / 1 2000 (35 40) 35 TAGUCHI S APPROACH TO QUALITY ENGINEERING TAGUCHIHO PR STUP K INZINIERSTVU KVALITY MILAN TEREK LUBICA HRNCIAROV` 1 INTRODUCTION Genichi Taguchi is Japanese
More informationKapitola P2. Rozvinuteľné priamkové plochy
Kapitola P2 Rozvinuteľné priamkové plochy 1 Priamková plocha je rozvinuteľná, ak na nej ležia iba torzálne priamky. Rozvinuteľné priamkové plochy rozdeľujeme na: rovinu, valcové plochy, kužeľové plochy,
More informationUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA Róbert Zvonár
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA 2007 Róbert Zvonár Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej
More informationTransactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series. article No Roland JANČO *
Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 1, 013, vol. LIX article No. 1930 Roland JANČO * NUMERICAL AND EXACT SOLUTION OF BUCKLING LOAD FOR BEAM ON ELASTIC FOUNDATION
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MOCNINOVÉ RADY A ICH VYUšITIE BAKALÁRSKA PRÁCA 04 Sára MINÁROVÁ UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
More informationCOMENIUS UNIVERSITY IN BRATISLAVA FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND INFORMATICS
COMENIUS UNIVERSITY IN BRATISLAVA FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND INFORMATICS BIFURCATION AND ASYMPTOTIC PROPERTIES OF PERIODIC SOLUTIONS IN DISCONTINUOUS SYSTEMS Dissertation thesis 212 RNDr. Michal
More informationČeské vysoké učení technické v Praze
České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra řídicí techniky Odhad kovariančných matíc šumu lineárneho stochastického systému Diplomová práca Vypracoval: Peter Matisko Školiteľ:
More informationUniverzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Matúš Kepič
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Matúš Kepič Webová aplikace pro výuku goniometrických funkcí, rovnic a nerovnic Katedra didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce:
More informationKatedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava. Multiparty Communication Complexity (Master thesis)
Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Multiparty Communication Complexity (Master thesis) František Ďuriš Study programme: 921 Informatics Supervisor:
More informationGAGE STUDIES FOR VARIABLES AVERAGE AND RANGE METHOD
GAGE STUDIES FOR VARIABLES AVERAGE AND RANGE METHOD JANIGA Ivan (SK) Abstract. There are several methods that can be used to measure gauge variability. The average and range method is widely used in industry
More informationSLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY OPTIMÁLNE RIADENIE PROCESOV BAKALARÁSKA PRÁCA FCHPT-5415-17457
More informationVYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK
VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0048 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý k d typu výro ku: rá ová h oždi ka fischer SXR/SXRL 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt Plastové kotvy pre použitie v betóne a murive
More informationThe Golden Ratio and Signal Quantization
The Golden Ratio and Signal Quantization Tom Hejda, tohecz@gmail.com based on the work of Ingrid Daubechies et al. Doppler Institute & Department of Mathematics, FNSPE, Czech Technical University in Prague
More informationAppendix. Title. Petr Lachout MFF UK, ÚTIA AV ČR
Title ROBUST - Kráĺıky - únor, 2010 Definice Budeme se zabývat optimalizačními úlohami. Uvažujme metrický prostor X a funkci f : X R = [, + ]. Zajímá nás minimální hodnota funkce f na X ϕ (f ) = inf {f
More informationPerforované plastové rozvádzačové lišty
Perforované plastové rozvádzačové lišty Perforované plastové rozvádzačové lišty Štandardné Bezhalógenové Technické údaje farba sivá RAL 7030 plastický izolačný materiál, odolný proti nárazu, samozhášavý
More informationVyučovanie analytickej geometrie s podporou informačných a komunikačných technológií
Vyučovanie analytickej geometrie s podporou informačných a komunikačných technológií Teaching Analytic Geometry using Information and Communication Technologies Abstract The paper proposes an innovative
More information[8] ŠPÁNIKOVÁ, E.- WISZTOVÁ, E. a kolektív: Zbierka úloh z algebry. Edisvydavateľstvo
PUBLIKAČNÁ ČINNOSŤ: Doc. RNDr. Eva Špániková, CSc. Skriptá: [1] J.Feťková, B.Dorociaková, M.Ružičková, E.Špániková, E.Wisztová: Úvod do štúdia vysokoškolskej matematiky. VŠDS Žilina, 1992, 145 strán. [2]
More informationTASKS WITH APPLICATIONS IN THE TEACHING OF LINEAR ALGEBRA APLIKAČNÉ ÚLOHY VO VYUČOVANÍ LINEÁRNEJ ALGEBRY
TASKS WITH APPLICATIONS IN THE TEACHING OF LINEAR ALGEBRA APLIKAČNÉ ÚLOHY VO VYUČOVANÍ LINEÁRNEJ ALGEBRY DANA ORSZÁGHOVÁ ABSTRACT. In the paper we are dealing with one of topics of the theory of mathematics
More informationVYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpokladané použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 4
VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0009 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý k d typu výro ku: o eľová kotva fis her FAZ II 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt O eľová kotva pre použitie v betóne k upev e iu ťažký
More informationRELATIONAL DATA ANALYSIS
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO RELATIONAL DATA ANALYSIS RADIM BELOHLAVEK, JAN OUTRATA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM
More informationÚlohy o veľkých číslach
Úlohy o veľkých číslach Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404175 Terms of use: Ivan Korec, 1988 Institute of Mathematics
More informationMarkovské řetězce se spojitým parametrem
Markovské řetězce se spojitým parametrem Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České
More informationHistória nekonečne malej veličiny PROJEKTOVÁ PRÁCA. Martin Čulen. Alex Fleško. Konzultant: Vladimír Repáš
História nekonečne malej veličiny PROJEKTOVÁ PRÁCA Martin Čulen Alex Fleško Konzultant: Vladimír Repáš Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium, Skalická 1, Bratislava BRATISLAVA 2013 1. Obsah 1. Obsah
More informationComenius University, Bratislava Faculty of Mathematics, Physics and Informatics. Multi-head Automata. Bachelor Thesis.
Comenius University, Bratislava Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Multi-head Automata Bachelor Thesis 2013 Boris Vida Comenius University, Bratislava Faculty of Mathematics, Physics and Informatics
More informationLucia Fuchsová Charakteristiky pravděpodobnostních
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucia Fuchsová Charakteristiky pravděpodobnostních předpovědí Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské
More informationI n t e r ku l t ú r n a ko mu n i ká c i a na hodine anglické h o jazyka. p r ostrední c tvom použitia PC
I n t e r ku l t ú r n a ko mu n i ká c i a na hodine anglické h o jazyka p r ostrední c tvom použitia PC P e t r a J e s e n s k á A n o t á c i a V p r í s p e v k u j e r o z p r a c o v a n é š p e
More informationDEFINÍCIE A DEFINOVANIE V NEWTONOVÝCH PRINCÍPOCH: POKUS O METODOLOGICKÚ ANALÝZU 1. Igor HANZEL
DEFINÍCIE A DEFINOVANIE V NEWTONOVÝCH PRINCÍPOCH: POKUS O METODOLOGICKÚ ANALÝZU 1 Igor HANZEL The paper analyzes Newton s eight definitions from his Principia from both the logico-semantic and epistemological
More informationZáklady teorie front
Základy teorie front Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické
More informationZáklady teorie front II
Základy teorie front II Aplikace Poissonova procesu v teorii front Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních
More informationSTREDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOSŤ. Teória stacionárneho vesmíru
Spojená škola sv. Františka Assiského Kláštorné námestie, 1, 901 01 Malacky STREDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOSŤ Číslo odboru: 02 Matematika, fyzika Teória stacionárneho vesmíru Holíč Riešiteľ: Dušan Daniel 2017
More informationMatematický aparát modelu HGN na meranie výkonnosti nefinančného ziskového podniku
Matematický aparát modelu HGN na meranie výkonnosti nefinančného ziskového podniku Mathematical Apparatus of HGN Model for Measuring Performance of Non-financial Profit Enterprise Michal Grell Abstract:
More informationVizuálna podpora dokazovania čiastočnej správnosti programov pomocou Hoareovej metódy
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Vizuálna podpora dokazovania čiastočnej správnosti programov pomocou Hoareovej metódy bakalárska práca 2015 Jakub Pavčo Univerzita
More informationShort time oscillations of exchange rates
Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Short time oscillations of exchange rates Diploma Thesis Bratislava 2007 Tomáš Bokes Short time oscillations of exchange rates
More informationJádrové odhady gradientu regresní funkce
Monika Kroupová Ivana Horová Jan Koláček Ústav matematiky a statistiky, Masarykova univerzita, Brno ROBUST 2018 Osnova Regresní model a odhad gradientu Metody pro odhad vyhlazovací matice Simulace Závěr
More informationOddělení technické informatiky Technická univerzita v Liberci
Outline Július 1,2 1 Ústav informatiky AV ČR, v.v.i. www.cs.cas.cz/stuller stuller@cs.cas.cz 2 Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Oddělení technické informatiky Technická univerzita
More informationprogram Prienik_mnohouholnikov; const max=100; type pole=array[1..max+1,1..2] of integer; {v pole[i,1] je sucet x1+x2, v pole[i,2] je y}
Vzorové riešenia celoštátneho kola 45. ročníka MO P Prvý súťažný deň P-III-1 Hodnotenie Body rozdeľte medzi algoritmus, dôkaz správnosti, odhad zložitosti a popis takto: Za algoritmus priznávajte najviac
More informationKybernetika. Peter Hudzovič Súčasná kontrola stability a kvality impulznej regulácie. Terms of use:
Kybernetika Peter Hudzovič Súčasná kontrola stability a kvality impulznej regulácie Kybernetika, Vol. 3 (1967), No. 2, (175)--194 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/125051 Terms of use: Institute of Information
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE Bakalárska práca 2011 Andrej Horský UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
More informationELEKTRÓNOVÁ ŠTRUKTÚRA A TRANSPORTNÉ VLASTNOSTI ULTRATENKÝCH ROZHRANÍ NA BÁZE Al/AlO x
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY STU V BRATISLAVE Ing. Miroslava Zemanová Diešková ELEKTRÓNOVÁ ŠTRUKTÚRA A TRANSPORTNÉ VLASTNOSTI ULTRATENKÝCH ROZHRANÍ NA BÁZE Al/AlO x Dizertačná práca Vedúci dizertačnej
More informationIMPORTANT GEOGEBRA ATTRIBUTES FROM MATHEMATICS TEACHERS PERSPECTIVE VÝZNAMNÉ ATRIBÚTY SYSTÉMU GEOGEBRA Z POHĽADU UČITEĽOV MATEMATIKY
FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA ACTA MATHEMATICA 16 IMPORTANT GEOGEBRA ATTRIBUTES FROM MATHEMATICS TEACHERS PERSPECTIVE VÝZNAMNÉ ATRIBÚTY SYSTÉMU GEOGEBRA Z POHĽADU
More informationMEASUREMENT OF SPECIFIC HEATS OF FOODS STUFFS WITH THE AID OF CHEAP DIGITALIZED CALORIMETER MĚŘENÍ MĚRNÝCH TEPEL POTRAVIN POMOCÍ LEVNÉHO
MEASUREMENT OF SPECIFIC HEATS OF FOODS STUFFS WITH THE AID OF CHEAP DIGITALIZED CALORIMETER MĚŘENÍ MĚRNÝCH TEPEL POTRAVIN POMOCÍ LEVNÉHO Hakl Z., Bartoň S. DIGITÁLNÍHO KALORIMETRU Ústav základů techniky
More informationDatabázové systémy. Ing. Július Štuller, CSc., Ústav informatiky AV ČR, v.v.i., & FMIaMS TUL Ing. Roman Špánek, PhD.
Databázové systémy Ing. Július Štuller, CSc., Ústav informatiky AV ČR, v.v.i., & FMIaMS TUL Ing. Roman Špánek, PhD. Ing. Marián Lamr, Ing. Pavel Štěpán FMIaMS TUL kancelář: budova A, 4. patro, A04016 tel.:
More informationTransactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 3, 2009, vol. LV article No. 1725
Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No., 9, vol. LV article No. 75 Lumír HRUŽÍK *, Ladislav ŠEDĚNKA **, Roman SIKORA *** SIMULATION OF PRESSURE AMPLITUDE CHARACTERISTICS
More informationSúťaž PALMA junior a programovanie v jazyku Python
Súťaž PALMA junior a programovanie v jazyku Python Ján Guniš Ľubomír Šnajder Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach DidInfo + DidactIG 2017, Banská Bystrica Obsah Súťaž PALMA junior
More informationTransactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 2, 2010, vol. LVI article No. 1778
Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 2, 2010, vol. LVI article No. 1778 Marian BOJKO *, Lumír HRUŽÍK **, Martin VAŠINA *** MATHEMATICAL SIMULATION OF DRIFT OF
More informationTransactions of the VŠB Technical University of Ostrava Civil Engineering Series, No. 2, Vol. 15, 2015 paper #16. Jozef MELCER 1
1.11/tvsb-1-16 Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava Civil Engineering Series, No., Vol. 1, 1 paper #16 Jozef MELCER 1 INFLUENCE OF DAMPING ON FRF OF VEHICLE COMPUTING MODEL Abstract
More informationRadka Sabolová Znaménkový test
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Sabolová Znaménkový test Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Martin Schindler
More informationMODELOVANIE PRIESTOROVÝCH DÁT V MODEL DRIVEN DEVELOPMENT
MODELOVANIE PRIESTOROVÝCH DÁT V MODEL DRIVEN DEVELOPMENT Branislav, DEVEČKA 1, Ivan, MUDROŇ 1, Josef, STROMSKÝ 2, Martin, KRČMARIK 1 1 Institut geoinformatiky, Hornicko-geologická fakulta, VŠB-TU Ostrava,
More informationŠtatisticky tolerančný interval nazýva ISO Statistics. Vocabulary and symbols. Part 1: Probability and general statistical terms ako štatistick
Použitie štatistických tolerančných intervalov v riadení kvality Ivan Janiga Katedra matematiky SjF STU v Bratislave Štatisticky tolerančný interval nazýva ISO 3534-1 Statistics. Vocabulary and symbols.
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ZNÁME NEROVNOSTI V MATEMATIKE BAKALÁRSKA PRÁCA 014 Zuzana FRONCOVÁ UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY
More informationFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA. Diplomová práca. Martin Plesch
Fakulta matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA Diplomová práca Martin Plesch BRATISLAVA 001 Fakulta matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA Katedra teoretickej
More informationCOMENIUS UNIVERSITY IN BRATISLAVA FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND INFORMATICS
COMENIUS UNIVERSITY IN BRATISLAVA FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND INFORMATICS ULTIMATE EFFICIENCY OF DESIGNS FOR MULTIVARIATE ORNSTEIN-UHLENBECK PROCESSES MASTER S THESIS 2014 Bc. Michal Hojčka COMENIUS
More information