FILTRÁCIA SAR (RADAROVÝCH) SNÍMOK S VYUŽITÍM ŠTATISTIKY

Transcription

1 SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE Stavebá fakulta Evidečé číslo: SvF FILTRÁCIA SAR (RADAROVÝCH) SNÍMOK S VYUŽITÍM ŠTATISTIKY Študijý program: matematicko-počítačové modelovaie Študijý odbor: aplikovaá matematika Školiace pracovisko: Katedra matematiky a deskriptívej geometrie Vedúci záverečej práce: doc. RNDr. Zuzaa Krivá, PhD. BRATISLAVA 2017 Bc. KATARÍNA HAJDINOVÁ

2 Sloveská techická uiverzita v Bratislave Katedra matematiky a deskriptívej geometrie Stavebá fakulta Zadaie diplomovej práce Autorka práce: Študijý program: Študijý odbor: Evidečé číslo: ID študeta: Vedúci práce: Bc. Kataría Hajdiová Matematicko-počítačové modelovaie Aplikovaá matematika SvF doc. RNDr. Zuzaa Krivá, PhD. Názov práce: Filtrácia SAR (radarových) símok s využitím štatistiky. Špecifikácia zadaia: Vzik SAR obrázkov, podstata šumu speckle. Vlastosti Rayleigho rozdeleia pre amplitúdové obrázky. Štatistický model pre multiplikatívy šum. Leeho filter a aizotropá difúzia. Difúzy model SRAD a jeho modifikácia. Vyhodocovaie výsledkov filtrácie. Experimety a dátach Bratislavy. Rozsah práce: 50 strá Dátum zadaia: Dátum odovzdaia: Bc. Kataría Hajdiová študetka prof. RNDr. Radko Mesiar, DrSc. prof. RNDr. Karol Mikula, DrSc. vedúci pracoviska garat študijého programu

3 Česté prehláseie Vyhlasujem, že diplomovú prácu Filtrácia SAR (radarových) símok s využitím štatistiky som vypracovala samostate. Uviedla som všetku použitú literatúru a publikácie, z ktorých som čerpala.... vlastoručý podpis Poďakovaie Rada by som po akovala doc. RNDr. Zuzae Krivej, PhD. za jej odború pomoc, pripomieky, trpezlivosť a ceé rady počas spracovávaia témy.

4 Abstrakt V tejto práci sa zaoberáme filtráciou SAR obrázkov pomocou štatistiky. V prvej časti je popísaý vzik šumu spekl v SAR símkach a vysvetľujeme, ako a prečo teto šum vziká. alej práca popisuje rozdiel medzi amplitúdovými a itezitovými símkami, vlastosti Rayleigho rozdeleia pre amplitúdové obrázky a základé štatistické modely pre aditívy a multiplikatívy šum. Prvá časť približuje a porováva Leeho základý filter, Leeho iteratívy filter, SRAD a jeho modifikáciu. Následe v druhej časti práce tieto filtre aplikujeme a vyhodocujeme výsledky filtrácie. Numerické experimety sú robeé a reálych dátach Bratislavy. Programy sú implemetovaé v programovacom jazyku C. Kľúčové slová: SAR símka, šum spekl, Leeho filter, aizotropá difúzia, model pre multiplikatívy šum Abstract I this thesis we deal with SAR filterig by meas of statistics. The first part of the thesis describes the formatio of speckle oise i SAR images ad explais how ad why this oise arises. Furthermore, the work describes the differece betwee amplitude ad itesity images, Rayleigh distributio for amplitude images ad basic statistical models for additive ad multiplicative oise. The first part of the thesis describes ad compares the Lee filter, iterative Lee filter, SRAD ad its modificatio. I the secod part of the thesis we apply these filters ad discuss the filtratio results. Numerical experimets are performed o the real data of Bratislava. Programs are implemeted i programmig laguage C. Keywords: SAR image, speckle oise, Lee filter, aisotropic diffusio, multiplicative oise model

5 Obsah Obsah... 1 Zozam príloh ÚVOD VZNIK SAR OBRÁZKOV A ŠUMU SPEKL PRÍČINY VZNIKU ŠUMU SPEKL ŠTATISTIKA AMPLITÚDOVÝ OBRÁZOK RAYLEIGHO ROZDELENIE LINEÁRNE ŠTATISTICKÉ FILTRE Základý štatistický filter (miimum mea square filter), vzťahy medzi koeficietmi a a b ŠTATISTICKÝ MODEL A ŠTATISTICKÝ FILTER PRE ADITÍVNY ŠUM Vzťah medzi variaciami Var(x) a Var(y) Filter pre aditívy šum ŠTATISTICKÝ MODEL A ŠTATISTICKÝ FILTER PRE MULTIPLIKATÍVNY ŠUM Vzťah medzi variaciami Var(x) a Var(y) Základý Leeho štatistický filter (miimum mea square filter) pre multiplikatívy šum Odhad parametra šumu ITERATÍVNY LEEHO FILTER POROVNANIE ZÁKLADNÝCH DIFÚZNYCH ROVNÍC S LEEHO FILTROM PRE ADITÍVNY A MULTIPLIKATÍVNY ŠUM ZÁKLADNÉ DIFÚZNE ROVNICE POROVNANIE MODELU (6.4) A PERONA-MALIKOVHO MODELU (6.5) S ROVNICOU (4.5) SPOJITOSŤ S ANIZOTROPNOU DIFÚZIOU FUNKCIA PRE VÝPOČET DIFÚZNEHO KOEFICIENTU LEEHO FILTER, SRAD A ANIZOTROPNÁ DIFÚZIA ANIZOTROPNÁ DIFÚZIA ZNAČENIE VZŤAH LEEHO FILTRA A SRAD... 24

6 9.3.1 Diskretizácia PODMIENKA STABILITY EXPLICITNÁ DISKRETIZÁCIA SRAD POMOCOU METÓDY KONEČNÝCH OBJEMOV KONEČNO OBJEMOVÁ EXPLICITNÁ SCHÉMA ODVODENIE SEMI-IMPLICITNÁ SCHÉMA NUMERICKÉ EXPERIMENTY SPRACOVÁVANÉ DÁTA DIFERENČNÁ A EXPLICITNÁ SCHÉMA POROVNANIE FILTROV SRAD A LEEHO FILTER ZÁVER Literatúra Prílohy

7 Zozam príloh Odvodeie 1 (aditívy šum) Odvodeie 2 (multiplikatívy šum) Programy a CD Poster 3

8 1 Úvod Táto diplomová práca sa zaoberá vzikom a spracovaím SAR obrázkov. SAR obrázky sú radarové símky, ktoré vytvoril radar s umelo predĺžeou apretúrou a sú charakteristické tým, že obsahujú šum azývaý spekl. V práci popisujeme, ako a prečo vlaste teto šum vziká. Pre ásledé spracovaie obrazu je potrebé šum odstráiť, a čo používame rôze filtre, apríklad Leeho filter či SRAD (a rôze ich modifikácie). V rámci diplomovej práce sme tieto filtre porovávali. Spracovaie takýchto símok môže mať využitie v kartografii, geodézii či poľohospodárstve. V prílohe a koci práce prikladáme CD s dvomi programami, ktoré sme v rámci praktickej časti práce apísali v programovacom jazyku C, a to SRAD podľa Yu a Actoa s použitím diferečej a explicitej schémy. Ako vstupé dáta programov sme používali reále dáta Bratislavy a okolia, získaé pomocou radaru Európskej vesmírej agetúry ESA v roku Na prácu s týmito dátami sme využívali program SNAP. Keďže a zisteie štatistických vlastostí sú ajvhodejšie väčšie oblasti s rovým a hladkým povrchom, zaujímali ás hlave časti, kde sa achádza hladia vody. To bol v ašom prípade Duaj, kokréte väčšiu umerických experimetov sme skúšali a oblasti Bratislavského prístavu. Cieľom tejto práce bolo zhrúť, aké filtre sa používajú a odstráeie šumu spekl, aplikovať vybraé filtre a reále símky a porovať ich výsledky. Obr. 1.1: Základé dáta, símka Bratislavy (misia TSX, ). 4

9 2 Vzik SAR obrázkov a šumu spekl Radar (Radio Detectio Ad Ragig) je zariadeie, pomocou ktorého vieme detekovať objekty, merať ich vzdialeosť od radaru, zistiť rýchlosť, akou sa objekt voči radaru pohybuje a jeho smer. Radary sa začali využívať počas druhej svetovej vojy a des je ich využitie také široké, že ich beže používame v oblastiach ako sú meteorológia, astroómia, avigácia, letecké riadeie, meraie rýchlosti vozidiel, símaie a pozorovaie zmie a Zemskom povrchu, obraé a protiraketové systémy a v mohých ďalších. My sa v ašej práci budeme zaoberať símkami Zemského povrchu. Tie sa získavajú pomocou radaru umiesteého a družici alebo a lietadle. SAR (Sythetic Aperture Radar) je radar s umelo predĺžeou apertúrou. Pre kvalité rozlíšeie radarových símok Zeme by sme potrebovali atéu s dĺžkou aspoň 9 km, čo je v praxi ereále. Preto sa atéa predlžuje umelo, pomocou softvéru. Dôvod, prečo sa a símaie povrchu Zeme používajú radarové símky je, že radarové systémy a rozdiel od optických prístrojov vidia aj pod povrch a do štruktúry. Na iektorých vlových dĺžkach dokážeme rozozať objekty achádzajúce sa v určitej hĺbke pod zemou, či pod hladiou vody. Takto získaé símky ezávisia od počasia ai svetla, teda sa dajú zhotovovať v oci, pri vysokej oblačosti či v daždi. Z radarových símok avyše dokážeme určiť reálu vzdialeosť od objektu. Nevýhodou takto získaých símok je vzik šumu, ktorý sa prejavuje výrazým kolísaím itezity obrázku. Teto šum azývame spekl (z agl. speckle) a vyskytuje sa a radarových símkach získaých pomocou SAR. Símky, ktoré sme v práci používali, boli vytvoreé a misii radarového satelitu TerraSAR-X (iekedy ozačovaého aj TSX), ktorá sa začala v júi v roku 2007 za účelom vedeckého aj komerčého využitia. Teto emecký satelit bol avrhutý tak, aby fugoval vo vesmíre päť rokov, v júi 2017 to už však bude desať rokov, čo je satelit stále fukčý [14]. TerraSAR-X obieha takmer v polárej dráhe a pomocou aktívej radarovej atéy je schopý produkovať obrazové dáta s rozlíšeím do jedého metra. Obr. 2.1: Radarová družica TerraSAR-X [14]. 5

10 2.1 Príčiy vziku šumu spekl Radarový símač vysiela elektromagetický pulz a meria to, čo sa odrazí späť od zemského povrchu. Radar vyšle elektromagetický pulz, atéa meria odrazeé elektrické pole, ktoré sa dá reprezetovať komplexým číslom a graficky zázoriť ako vektor v komplexej rovie. Vly vysielaé radarom sú vo fáze, až kým earazia a pevý povrch, teda dovtedy iteragujú miimále. Po dopade a Zem sa už eachádzajú vo fáze, pretože každý pulz doputuje k objektu v iom čase. Výsledá itezita je sumácia odoziev mohých objektov v jedej buke rozlíšeia. Amplitúda (dĺžka vektora v komplexej rovie) závisí hlave od vlastostí povrchu či sa jedá o hladký alebo drsý povrch, či símame zastavaú oblasť, pole, skalatý povrch a ié. Fáza (uhol vektora) závisí od vzdialeostí medzi atéou a odrážačmi. Prijatý sigál pre buku rozlíšeia radaru je súčet sigálov (vektorov) prijímaých z každého jedotlivého odrážača. Mohokrát sčítavame veľa odoziev objektov, ktoré sú áhode rozmiesteé v buke rozlíšeia radaru, spolu ijako esúvisia a majú ezávislé elektromagetické vlastosti. Vezmime si zjedodušeý príklad. Na Obr. 2.2 vľavo vidíme, že malý posu jedého objektu zázoreého purpurovou farbou (mageta) v buke rozlíšeia zmeí fázu (uhol) jemu prislúchajúceho purpurového vektora, pretože sa zmeí vzdialeosť od radaru. Výsledý červeý vektor má výraze kratšiu dĺžku ako pred posuom. Na Obr. 2.2 vľavo vidíme, že pre veľmi podobé buky rozlíšeia sa môže výsledok veľmi líšiť. Výsledkom je teda áhodá hodota, čo môže byť prirovaé k šumu. V skutočosti to ale ie je šum, ale fyzikály efekt, dôsledok koheretej sumácie priemerujúceho meraia. Kvôli prítomosti šumu emá hodota jedého pixela sama o sebe výrazú výpovedú hodotu. Riešeím je priemerovaie. Obr. 2.2: Na obrázku môžeme vidieť časť povrchu, a ktorom sa achádza skupia objektov. Nad každou bukou je hore obrázok odrazeých vektorov, ktoré sa sčítavajú. Farba v strede zodpovedá výsledej itezite. Vidíme, že pre veľmi podobé buky sa môže výsledok veľmi líšiť, takže jeda výsledá hodota ám ič ehovorí o povrchu [4]. Cieľom filtrácie je zredukovať variabilitu itezity v obrázku. V homogéych oblastiach (teda takých, kde sú štatisticky rovoceé objekty) je ideále silé 6

11 priemerovaie, aopak v heterogéych oblastiach (kde objekty štatisticky rovoceé ie sú) sa mu chceme vyhúť, pretože by sme prišli o drobé detaily a rozmazali by sa ám hray. Tieto chceme v símke zachovať, v ideálom prípade vylepšiť. Priemerovaím ehomogéych oblastí by sme tiež mohli zičiť odozvy tzv. determiistických odrážačov, čo bývajú často umelé objekty so silou odozvou bez šumu. Preto v rozumom filtri chceme aplikovať a homogéej oblasti aritmetický priemer, až kým sa sigál epodobá skutočému sigálu a a heterogéej uchovávať detaily. Obr. 2.3: Na obrázku môžeme vidieť časť povrchu Zeme, ako SAR símku so šumom spekl [16]. Obr. 2.4: Detail šumu spekl a SAR símke. 7

12 3 Štatistika 3.1 Amplitúdový obrázok Dáta získaé pomocou radaru môžeme iterpretovať vizuále, ako obrázok radarovú símku. Tieto símky môžu byť amplitúdové obrázky, v ktorých je itezita I = x 2 + y 2, alebo itezitové obrázky, kde I = x 2 + y 2. Zložky x a y sú zložky vektora odrazeej eergie a majú ormále rozdeleie so stredou hodotou 0. V práci sa budeme zaoberať amplitúdovými obrázkami. Každý pixel símky reprezetuje prislúchajúcu časť zemského povrchu. Pomocou každej zložky vieme utvoriť obrázok, ktorého pixely budú adobúdať hodoty 0 až 255, teda dostávame čierobielu símku (odtiee sivej od bielej 0, až po čieru - 255). Na Obr. 3.1 porovávame amplitúdovú a itezitovú símku toho istého povrchu. Obr. 3.1: Vľavo itezitová a vpravo amplitúdová símka rovakého povrchu. Na vodých plochách ako sú rieky a jazerá je hodota amplitúdy ajižšia. Je to spôsobeé tým, že odrazová plocha a hladie je pomere hladká, teda má ízku odrazivosť - väčšia žiareia sa odrazí preč. Na símke sa to prejaví tým, že obraz je v týchto miestach ajtmavší. Takéto plochy sú vhodé a počítaie rôzych štatistických údajov. My sa budeme zaoberať amplitúdovými obrázkami, kde homogée oblasti majú Rayleigho rozdeleie. 3.2 Rayleigho rozdeleie Nekorelovaé epredspracovaé (SLC Sigle LookComplex) amplitúdové símky majú Rayleigho rozdeleie, kde platí, že pomer smerodajej odchýlky a priemeru a homogéej oblasti je koštatý a rový Teto pomer budeme 8

13 ďalej azývať koeficiet variácie. Z toho vyplýva, že čím je svetlejšia oblasť (alebo vyššia odrazivosť), tým je väčšia variacia šumu, a teda šum je silejší. Rayleigho rozdeleie má tieto štatistické vlastosti [4]: smerodajá odchýlka ormále rozdeleých zložiek: σ > 0 priemer: σ π 2 mediá: σ 2 l(2) variacia: 4 π 2 σ2 Vidíme, že koeficiet variácie (pomer smerodajej odchýlky a priemeru) je aozaj koštatý: 4 π π = Obr. 3.2: Časť radarovej símky Bratislavy (misia TSX, ). Povrch Duaja je pomere hladký a má ízku odrazivosť, teda obsahuje slabší šum ako ostaté oblasti. Dáta a símke majú Rayleigho rozdeleie. 4 Lieáre štatistické filtre Predpokladajme, že x = y, kde x sú skutočé hodoty odrazivosti objektov a y sú hodoty odrazivosti ovplyveé šumom (táto vlastosť bude spleá pre oba skúmaé modely). Pre štatistický filter vychádzajúci z tohto predpokladu môžeme ovú hodotu x vyjadriť ako lieáru kombiáciu priemeru hodôt pixelov z okolia spracovávaého pixela a aktuálej zašumeej hodoty pixela. Budeme pracovať s asledovou rovicou x = ay + by, kde a a b sú kladé koeficiety, pre ktoré bude platiť a + b = 1 a x ozačuje priemer skutočých hodôt x z vhodého okolia. 9

14 Zaveďme si ozačeie: u i,j je hodota pixela a pozícii i, j v čase a u i,j je priemerá hodota pixelov zo zvoleého okolia pixela u i,j. Filter potom môžeme pre jedoté začeie prepísať do tvaru: +1 = au i,j + bu i,j u i,j Ďalšie tvary tejto rovice, ktoré sa zvykú používať, sú asledové: +1 = au i,j + (1 a)u i,j u i,j u +1 i,j = u i,j u +1 i,j = u i,j u i,j + a( u i,j u i,j ) + (1 b)( u i,j u i,j ) +1 = (1 b)u i,j + bu i,j +1 = u i,j + b(u i,j u i,j u ). i,j Koeficiety a a b môžeme považovať za váhy, pričom b je váha pôvodej hodoty. Platí, že čím je b väčšie, tým je sila difúzie mešia a aopak, čím je b mešie, tým je difúzia silejšia. V ďalšom texte budeme hovoriť o takomto type filtrov, odvodeých pre modely s aditívym a multiplikatívym šumom. Obidva modely budeme porovávať s difúzymi modelmi. Koeficiety a a b získavame pomocou metódy ajmeších štvorcov, pričom ukážeme aj súvislosť koeficietu b s variaciou zašumeej a ezašumeej odrazivosti. Vzťah medzi variaciami Var(x) a Var(y) však už súvisí s kokrétym modelom. Výpočet vzťahu a=1-b je rovaký pre oba modely, vzťah b = Var(x) Var(y) ukážeme pre model s aditívym aj multiplikatívym šumom. (Pre oba modely výjde rovaký, le v odvodeí využijeme iý predpoklad.) Základý štatistický filter (miimum mea square filter), vzťahy medzi koeficietmi a a b Odhad x ozačme x. Štatistický filter pre aditívy aj multiplikatívy šum je zovu lieárou kombiáciou y a odhadutého priemeru x. Teda platí x =ax +by, kde x je odhadovaé ako lokály priemer y v oke. Parametre a a b hľadáme pre takýto filter miimalizovaím a platí x = y : J(a, b)=e[(x x) 2 ]=E[(ax + by x) 2 ]. Túto rovicu zderivujeme podľa a a b, derivácie položíme rové ule a dostávame: J(a,b) a = E[2(ax + by x)x ], teda x E[(ax + by x)] = 0 (4.1) 10

15 J(a,b) b = E[2(ax + by x)y] = 0 (4.2) Úpravou (4.1) máme E [ax + by x] = ax + bx x = x (a + b 1) = 0 a dostávame: a=1 b Teraz v rovici (4.2) položíme a =1- b, preusporiadame výrazy a preásobíme -1: E[y((1 b)x + by x)]=e[y(x bx ) + byy xy] = = E[yx ybx + byy xy]=e[y(x x) + by(y x )] = E[y(x x ) + by(x y)]= E[y(x x )]+E[by(x y)]= 0 (4.3) Pre oba typy šumu ám výjde: E[y(x x ) ]= E[x(x x )] (4.4) Pre aditívy šum dosadíme za y (4.6) a s využitím vzťahu (4.8) a rovice E[x 2]=x E[x]=E[x x] dostávame: E[y(x x ) ]=E[x(x x )+ν(x x )]= E[x(x x )] + E[ν(x x )] = E[x(x x )] Pre multiplikatívy šum dosadíme za y (4.10) a využijeme ezávislosť x a ν. E[y(x x ) ]= E[ν]. E[x(x x )] Pretože E[ν]=1, dostávame opäť rovicu (4.4). Ďalej pokračujeme rovako pre oba prípady, pre aditívy aj multiplikatívy šum. Prvý čle rovice (4.3) rozpíšeme: E[y(x x ) ]=E[x(x x )]=E[x(x x ) x 2+x 2 ]= E[x(x x ) x (x x )]=E[(x x ) 2 ]=Var(x). Druhý čle rovice (4.3) rozpíšeme: E[by(x y)] = be[y(y y) ] = be[y(y y ) y 2 + y 2] = b Var(y). Po dosadeí do rovice (4.3) dostávame vyjadreie koeficiet b pomocou variacií: b= Var(x) Var(y) Jedoduchá verzie Leeho filtra pre aditívy šum bude teda asledová: 11

16 x = (1 b)x + by, (4.5) kde b= Var(x). Vstupé parametre do filtrovacieho algoritmu sú variacia šumu a Var(y) veľkosť priemerovacieho oka. je priemer vo zvoleom oke (väčšiou veľkosti 7x7). Var(y) je variacia v zvoleom oke počítaá podľa vzorca (Krivá, 2015): x Var(y) = 1 N 1 (y i y ) 2. N i=1 4.2 Štatistický model a štatistický filter pre aditívy šum Model pre aditívy šum môžeme apísať v tvare: y(i, j) = x(i, j) + v(i, j), (4.6) kde y(i,j) je hodota zašumeého obrázku pre pixel (i,j), x(i,j) je pôvodá hodota obrázku (bez šumu), ν(i,j) je aditívy šum s ulovou stredou hodotou (E[ν(i,j)]=0) a smerodajá odchýlka je σν, x a ν sú ezávislé. Ak sú spleé tieto podmieky (v zápise vyecháme idex i a j), platí: x = y (4.7) E[ν 2 ]= E[(ν-0) 2 ]= σν 2 E[x.ν]= E[x]. E[ν]=0 (4.8) Vzťah medzi variaciami Var(x) a Var(y) Oba modely, aditívy aj multiplikatívy, sa sažia odvodiť odhad variacie ezašumeého obrázku pomocou variacie zašumeých dát Var(y). Podľa tejto hodoty vieme určiť, či sa jedá o štatisticky homogéu oblasť [4]. Pre aditívy model platí: Odvodeie tohto vzťahu je v Odvodeie 1 a koci práce Filter pre aditívy šum Var(x) = Var(y) σ v 2. (4.9) Štatistický filter je filter (4.5), kde: Var(x) b = Var(x) + Var(σ 2 v ) = Var(y) Var(σ v Var(y) 2 ) = 1 Var(σ v 2 ) Var(y). 12

17 Vidíme, že sila difúzie je lokála, závisí od úrove šumu a epriamoúmere od lokálej charakteristiky (variacia). 4.3 Štatistický model a štatistický filter pre multiplikatívy šum Pomer smerodajej odchýlky a priemeru šumu spekl a homogéej oblasti je koštatý. Šum spekl môžeme v spracovaí obrazu reprezetovať modelom s multiplikatívym šumom, ako v (Lee, 1980) a (Lee a Pottier 2009). Multiplikatívy model šumu môžeme zapísať asledove: y(i, j) = x(i, j)v(i, j) (4.10) kde y(i,j) je itezita alebo amplitúda SAR obrázku v pixeli (i,j), x(i,j) je odrazivosť bez šumu a (i,j) je multiplikatívy šum so stredou hodotou E( (i,j))=1 a smerodajou odchýlkou Predpokladáme, že x(i,j) a (i,j) sú štatisticky ezávislé. Zovu vyecháme idexy i a j. Vychádzajúc z tohto modelu a predpokladu ezávislosti platí: y = E[y] = E[xν] = E[x]E[ν] = E[x] = x (4.11) Vzťah medzi variaciami Var(x) a Var(y) Platí vzťah: Var(x) = Var(y) y 2σ ν σ ν 2 (4.12) Odvodeie tohto vzťahu je v Odvodeie 2 a koci práce. Pri spracovaí ekorelovaej amplitúdovej símky bez predspracovaia (apr. multilookigom), smerodajá odchýlka σ ν je (σ ν 2 = ), v prípade multilookigu je smerodajá odchýlka mešia. (Multilookig je taký spôsob filtrácie, že oko hodôt o rozmere xm sa ahradí jedou hodotou, ktorá predstavuje aritmetický priemer hodôt. Rozmer obrázku sa zmeší). Na homogéych oblastiach je variacia Var(x) blízka ule, pretože ako bolo spomíaé a začiatku, pomer smerodajej odchýlky a priemeru hodôt y je približe Pre ehomogée oblasti platí, že variacie sú približe rovaké (Var(x) Var(y)). V praxi sa pri aplikácii môže stať, že variacia Var(x) výjde záporá. Dôvodom môže byť použitie príliš malej vzorky alebo iej (väčšej) hodoty smerodajej odchýlky. Vtedy Var(x) položíme rové ule, aby váha b mala hodotu medzi ulou a jedotkou (Krivá, 2015). 13

18 Obr. 4.1: Na prvých troch obrázkoch vidíme, že pomer smerodajej odchýlky a priemeru a homogéej časti símky je aozaj okolo Na posledom je teto pomer vyšší, keďže sa ejedá o homogéu oblasť. Štatistika bola urobeá v sofvéri SNAP 4.0 (SeNtiels Applicatio Platform). 14

19 4.3.2 Základý Leeho štatistický filter (miimum mea square filter) pre multiplikatívy šum Vychádzajme z predchádzajúcej kapitoly. Platí: Teto filter teda môžeme apísať: kde po dosadeí Var(x) máme: x = ay + by b = Var(x), a + b = 1 Var(y) x =(1 b)y +by b=max(0, 1 Var(y) y 2σ 2 ν 1+σ2 ν Var(y) = max (0, 1+σ2 (1 ν 1 σν 2 1 Var(y) y ))= Var(y) )=max (0, 1+σ2 (1 y 2σ ν ν ))=max (0, 1+σ2 (1 C ν 2 )), ν 1 2 C y kde C 2 y = Var(y) je druhá mocia tzv. koeficietu variácie pre dáta a C 2 y 2 ν = Var(ν) je ν 2 2 koeficiet variácie pre šum kde ν 2 = 1. Pre ekorelovaý amplitúdový obrázok má σ ν hodotu ajviac (ak obrázok ebol predspracovaý) alebo meej [4]. Obr. 4.2: Vľavo: výrez amplitúdových dát Bratislavy (misia TSX, 11. ov.2008), pôvodý zašumeý obrázok. V strede: aplikácia základého Leeho filtra s okom pre odhadovaie štatistických veličí 3x3. Vpravo: aplikácia základého Leeho filtra s okom pre odhadovaie štatistických veličí 7x7. 15

20 Obr. 4.3: Lee filter 5x5 pre predchádzajúce dáta so zodpovedajúcimi hodotami koeficietu b. Filter môžeme pre jedoduchšie porovávaie zovu zapísať v tvare: u p +1 = u p + (1 b)(u u p ). (4.13) Odhad parametra šumu Parameter šumu σ ν 2 sa dá odhadúť z homogéych oblastí, kde je variacia Var(x) rová ule. Vo vzťahu (4.12) po dosadeí za Var(x) dostaeme: σ ν 2 = Var(y) y 2. Parameter šumu σ ν 2 je v kroku filtrácie koštatá hodota. 5 Iteratívy Leeho filter Lee a Jurkevich avrhli schému založeú a iteráciách a Leeho multiplikatívom filtri. Teto filter azývame Leeho iteratívy filter a využíva sa a segmetovaie v símkach, pričom v každej iterácii sa z homogéej oblasti odhaduje parameter šumu σ ν 2 aovo. Pomocou iterácii Leeho multiplikatíveho filtra sa dá vo veľkej miere odstráiť šum spekl. Nevýhodou však je, že kvôli opakovaému vyhladzovaiu sa môžu zo símky stratiť detaily a podobe ako v klasickom Leeho filtri sa šum zachováva v okrajových oblastiach símky. Teto filter sa používa a segmetáciu. Pri veľkosti oka 3x3 sú Leeho filter a Leeho iteratívy filter totožé [2]. 16

21 Obr. 5.1: Na obrázkoch v prvom stĺpci je pôvodá zašumeá SAR símka, druhý stĺpec je po použití Leeho iteratíveho filtra po piatich časových krokoch a v treťom je urobeé prahovaie v programe GIMP. Obr. 5.2: Tu sme použili rovaký postup ako v predošlom obrázku. Pri použití troch hodôt itezít v prahovaí sa ám v símke vysegmetovali tri typy oblastí. Tmavou farbou vidíme hladké povrchy ako voda, cesty a parkovacie plochy, strede sivé sú oblasti, kde sa achádza zeleň a svetlá ukazuje, kde sa achádzajú budovy a ié človekom vytvoreé objekty. Teto filter sa odporúča používať skôr pre malé oblasti. Ukážme si a porovaie výsledé obrázky získaé pomocou Leeho a Leeho iteratíveho filtra. Obr. 5.3: Leeho filter (s okom 5x5) a Leeho iteratívy filter, pri približe rovakom q0. 17

22 6 Porovaie základých difúzych rovíc s Leeho filtrom pre aditívy a multiplikatívy šum 6.1 Základé difúze rovice Lieára rovica vedeia tepla: u(x, t) (6.1) u(x, t) = 0 v Q t T Ω I u(x, t) (6.2) = 0 v Q T Ω I u(0, x) = u 0 (x)v Ω (6.3) Rovica elieárej dopredej difúzie spomaleá v oblasti hrá: u(x, t) t g( u ) u(x, t) = 0 v Q T Ω I (6.4) Peroa-Malikova rovica, základý model (Peroa a Malik, 1998): u(x, t) t. (g( u ) u(x, t)) = 0 v Q T Ω I (6.5) Peroa-Malikova rovica, regularizovaý model (Cattè et al., 1992): u(x, t) t. (g( G σ u ) u(x, t)) = 0 v Q T Ω I (6.6) Modely (6.4), (6.5) a (6.6) a (6.1) majú okrajové podmieky (6.2) a počiatočú podmieku (6.3). Počiatočou podmiekou je vstupý zašumeý obrázok. Pomocou veľkosti gradietu vieme určiť akoľko výrazý je rozdiel itezity susedých pixelov. Pri veľkej zmee itezity môžeme predpokladať hrau. Preto sa orma gradietu využíva v modeloch (6.4)-(6.6) ako hraový detektor. Fukciu g(s) v (6.4)-(6.6) azývame Peroa-Malikovou fukciou. Vstupom tejto fukcie je orma gradietu. Fukcia g(s) má taký tvar, aby spomaľovala difúziu a miestach, kde je hraa. Je to kladá erastúca fukcia, g(0)=1 a lim g(s) = 0. Jej s výstup azývame difúzy koeficiet. V modeli (6.6) je G tzv. zhladzujúce jadro. Rovica (6.6) využíva pre výpočet difúzeho koeficietu Gaussovský gradiet (predvyhladeý gradiet), čo má výzam z teoretického aj praktického hľadiska. Modely založeé a veľkosti gradietu však pracujú správe, iba ak je gradiet a hrae väčší ako gradiet šumu. Toto platí pre slabý aditívy šum, ie však pre multiplikatívy šum (Krivá, et. al 2011). Modely (6.5) a (6.6) môžeme skrátee prepísať a advekčo-difúzy tvar: 18

23 u t g. u = g u (6.7) Pravá straa rovice (6.7) predstavuje čle dopredej elieárej difúzie z rovíc (6.4), (6.5) aj (6.6). Advektívy čle a ľavej strae predstavuje zaostrovací mechaizmus, model (6.4) ho eobsahuje. Modely (6.5) aj (6.6) však už obsahujú mechaizmy, ktoré hray vylepšujú. Príklad vylepšeia hrá pomocou Peroa-Malikovho modelu môžeme vidieť a Obr Podrobejší popis modelov môžeme ájsť apríklad v skriptách Spracovaie obrazu (Krivá et al., 2016). Obr. 6.1: Na prvom obrázku máme zašumeú símku, a ktorej veľmi zle vido hraice oblastí. Na iektorých miestach sa celkom strácajú. Na pôvodej símke máme multiplikatívy šum, ktorý bol pomocou logaritmovaia zmeeý a aditívy a postupe odfiltrovávaý počas iekoľkých časových krokov adaptívou schémou Peroa-Malikovho modelu. Výsledkom je obrázok s výraze kvalitejšími hraami (KRIVÁ, Z., PAPČO, J). 7 Porovaie modelu (6.4) a Peroa-Malikovho modelu (6.5) s rovicou (4.5) Rovica elieárej dopredej difúzie (6.4) a Peroa-Malikove rovice (6.5) a (6.6) sa správajú tak, že pre homogée oblasti sa vykoáva difúzia, ktorá zodpovedá rovici vedeia tepla a v oblasti hrá sa difúzia spomaľuje. Hray máme charakterizovaé pomocou gradietu. Vezmime si jedoduchú explicitú schému, kde sa pre koečý objem (pixel) počíta jede gradiet, od ktorého sa odvodí difúzy koeficiet. K zjedodušeému výpočtu gradietu použijeme vzorec (7.1). Teto vzorec predpokladá, že hraa koečého objemu (pixelu) sa rová 1. Pre koečý objem p (pixel p) dostaeme: u p 2 = 1 2 (u q u p ) 2, q N(p) (7.1) kde N(p) je možia susedých hrá vo vhode zvoleom okolí pixelu. Mocia veľkosti gradietu ám vyjadruje mieru zmey. Normu tohto gradietu zmeíme a difúzy koeficiet. Te vyjadruje mieru difúzie a je to číslo z itervalu (0, 1). Pre ľahšie porovaie vezmime fukciu g s argumetom s, ktorý bude zodpovedať mocie ormy gradietu: 19

24 g(s) = mi ( K 1 s, 1) Obr. 7.1: Fukcia g(s) pre rôze hodoty K 1:0.5,1,1.5. Difúzy koeficiet g(s) ozačuje číslo, ktoré vzike dosadeím mociy ormy gradietu 2 u p za s. Zvoľme asledujúcu schému: u p +1 = u p + kg p (u q u p ) q N(p) = u p + 4kg p u 4kg p u p = u p +1 = 4kg p u + (1 4kg p )u p (7.2) Priemer u je vypočítaý zo susedov u q v zvoleom oke. Vzťah (4.13) môžeme prepísať pomocou iba jedej koštaty: u p +1 = u p + (1 b)(u u p ) = (1 b)u (1 b)u p + u p = = (1 b)u + bu p a porovaím so (7.2): b = 1 4kg p = max (1 K 2 u p 2, 0), k 1 4, kde koeficiet K2 by mal závisieť od variacie šumu a od veľkosti časového kroku. Dostali sme teda špeciály prípad Leeho filtra. Rovicu (7.2) môžeme apísať ako: u p +1 u p k = g p (u q u p ) = g p Δu p q N(p) (7.3) kde Δu p zodpovedá výpočtu laplaciáu v pixeli p a pravidelej mriežke. Rovicu (7.3) môžeme považovať za diskretizáciu rovice (6.4). Nová hodota pixelu závisí od predošlej hodoty p a od hodôt jeho susedov. Keďže difúzy koeficiet je pre každého suseda pixelu p rovaký, Leeho filter je teda formou 20

25 izotropej difúzie. Teto filter zoslabuje difúziu v okolí hrá, o emá mechaizmus a ich vylepšovaie. Ak model upravíme použitím koeficietov g pq, ktoré sú rôze pre každého suseda q pixela p, dostaeme model s aizotropou difúziou. Keďže v tomto prípade zohľadňujeme difúzy koeficiet a každej hrae, použitie tohto modelu môže dávať lepšie výsledky ako základý Leeho filter. Pre výpočet g pq môžeme zvoliť rôze metódy, apríklad špeciále priemerovaie g p a g q ako v (Krivá, 2011) ale aj metódy popísaé v (Krivá et al., 2016) [3]. Takýto model však emôžeme použiť a spracovávaie SAR obrázkov charakterizovaých multiplikatívym šumom, musíme ho logaritmovaím zmeiť a aditívy. Pri logarimovaí sa ale euchová podmieka (4.7) o zachovaí priemerej hodoty, čím sa môžu zmeiť rádiometrické vlastosti dát. Takéto algoritmy sa ale dajú použiť a hľadaie hraíc regióov. Adaptíve metódy pracujúce s epravidelou mriežkou a báze kvadratovej mriežky boli skúmaé v (Krivá et al., 2015) aj (Vako, 2015), kde boli porovávaé aj s iými metódami. 8 Spojitosť s aizotropou difúziou Ako bolo spomeuté v predošlom texte, pre zašumeé radarové dáta ie je gradiet dobrý idikátor hrá medzi oblasťami, pretože svetlejšie homogée oblasti majú vyšší šum a častokrát je a ich orma gradietu vyššia ako a samotej hrae. Aby aizotropý filter odstraňoval multiplikatívy šum, ako detektor hray sa použije koeficiet variácie, ktorý je a homogéych oblastiach približe σν a a iých oblastiach je vyšší. Yu a Acto v (Yu a Acto, 2004) avrhli model aizotropej difúzie založeý a koeficiete variácie a ašli jeho vyjadreie pomocou operátorov používaých pri riešeí difúzych rovíc, kde aj odvádzajú lokály koeficiet variácie a ormalizovaý lokály koeficiet variácie. Lokály koeficiet variácie pre pixel (koečý objem) p: C p 2 = 1 I 2 p 2 1 (ΔI 16 p ) 2 (I p ΔI p) 2 Keď čitateľa aj meovateľa predelíme itezitou Ip, dostaeme ormalizovaý koeficiet variácie (istataeous coefficiet of variatio). Na to, aby sme mohli touto hodotou deliť, predpokladáme, že je pre každý pixel p eulová. q = 2 ) I p 1 2 ( I p ( (ΔI p ) I p 2 ΔI p ) I p (8.1) 21

26 Operátory ormalizovaej veľkosti gradietu a ormalizovaého Laplaceovho operátora v SAR obrázkoch, alebo všeobece v obrázkoch obsahujúcich šum spekl, slúžia ako hraové detektory. Ak je hodota gradietého čleu vysoká a hodota laplaciáu je zároveň ízka, idikuje to hrau a símke. Laplaciá prechádza v strede hray ulou, gradietý čle domiuje - takýto výraz umožňuje detekciu rovako vo svetlých, ako aj tmavých oblastiach. Model založeý a (6.6) používajúci (8.1) sa azýva SRAD (Speckle Reducig Aisotropic Diffusio) a je popísaý opäť v (Yu a Acto, 2004). Všetky parametre sú vypočítavaé automaticky. Je tam uvedeý aj tvar klesajúcej fukcie zodpovedajúcej g (Yu a Acto používajú začeie c) a jedoduchá umerická schéma, založeá a metóde koečých diferecií. V čláku je uvedeý aj spôsob prepočtu s časom sa meiaceho koeficietu variácie šumu. 8.1 Fukcia pre výpočet difúzeho koeficietu Silu difúzie (porovateľe s Peroa-Malikovou rovicou) udáva koeficiet 1-b. 1 b = mi (1, σ2 (1 C 2 ν 2 )) ν C y Riešme rovicu: x (1 x y ) = a, kde x je druhá mocia koeficietu variácie pre šum a y je druhá mocia koeficietu variácie pre dáta. Po úprave môžeme koeficiet a vyjadriť: Po dosadeí dostávame rovicu: y x a = x(y + 1). c (q) = y x x (1+y) c (q) = q2 (q 0 ) 2 q0 2 (1+ q 2 ). (8.2) Takáto fukcia lepšie klesá k ule, čo zameá, že b môže adobúdať vyššiu hodotu, a teda dostávame silejšiu difúziu. Yu a Acto použili iý tvar tejto fukcie 22

27 (8.3), v meovateli použili a jedom mieste koeficiet q0 amiesto q. c (q) zodpovedá hraovej detekcii v Leeho filtri (Yu a Acto, 2004). c (q) = q 2 (q 0 ) 2 q0 2 (1+ q0 2 ) (8.3) Vykreslime si teraz rovicu (8.4) s použitím c (q) v tvare (8.2) a (8.3). c(q) = 1 b = mi(1, c (q)) (8.4) Obr. 8.1: q0= Graf rovice (8.4) s použitím c (q) v tvare (8.2) modrá, a (8.3) oražová, pre Obr. 8.2: Vľavo: výrez amplitúdových dát Bratislavy (misia TSX, 11. ov.2008), pôvodý zašumeý obrázok. V strede: aplikácia filtra SRAD po piatich krokoch veľkosti 0.2 s σ ν 2 = Vpravo: aplikácia filtra SRAD a obrázok v strede po piatich krokoch veľkosti 0.2 s σ ν 2 = [3]. 9 Leeho filter, SRAD a aizotropá difúzia 9.1 Aizotropá difúzia Pri izotropej difúzii je miera toku rovaká vo všetkých smeroch prúdeia, pri aizotropej je miera toku rôza, korigovaá difúzymi koeficietmi. Zopakujme, že príkladom aizotropej difúzie je rovica Peroa a Malika, ktorá má tvar: 23

28 u =. (c( u ) u) t u(t 0 ) = u 0 kde u 0 je počiatočý obrázok, je operátor gradietu, c je fukcia, pomocou ktorej počítame difúzy koeficiet. Teto môžeme počítať asledove: c(s) = ( s k )2 alebo: c(s) = exp [ ( s k ) 2], kde k (edge magitude parameter) modifikuje tvar fukcie c. V prípade Peroa-Malikovej rovice využívame veľkosť gradietu a detekovaie hrá v obrázku, v prípade veľkej hodoty u sa výraz c( u ) bude blížiť k ule a teda aj zmea u t a hrae bude malá. Pod SRAD budeme rozumieť aizotropú difúziu s takým hraovým detektorom, ktorý pomáha odstraňovať šum spekl. 9.2 Začeie Pre lepšie porovaie umerických schém si ajprv potrebujeme zaviesť jedoté začeie. Pozíciu pixela určíme dvojicou idexov i,j. Pre filter, ktorý budeme ďalej popisovať, budeme uvažovať oko pozostávajúce zo štyroch susedov pixela p. Časový iterval máme [0,T] s diskrétym časovým krokom t. Veľkosť hray pixela h bude rová 1. Riešeie v čase budeme začiť u. Pozícia pixela bude daá dolým idexom. Teda riešeie v pixeli xij v čase bude u i,j. 9.3 Vzťah Leeho filtra a SRAD V tejto časti ukážeme, že Leeho filter predstavuje izotropú difúziu a ukážeme jeho modifikáciu a aizotropú difúziu. Teraz budeme uvažovať iba ajbližších štyroch susedov. Idexy susedých pixelov xi,j: S(i,j)= {(i+1, j), (i, j+1),(i-1, j),(i, j-1)}. Novú hodotu pixela xi,j získaú Leeho filtrom pre takéto oko môžeme vyjadriť rovicou (4.13): u +1 i,j = u i,j + (1 k i,j )(u i,j u i,j ) = 24

29 = u i,j = u i,j = u i,j + (1 k i,j ) ( 1 4 u q u i,j ) = + (1 k i,j ) ( 1 4 qͼn(i,j) ) (u q u i,j qͼn(i,j) + (1 k i,j ) 1 2 u 4 i,j kde u i,j predstavuje priemer pixelov a okolí S(i,j). Vidíme, že sa jedá o formu izotropej difúzie. Uvažovali sme asledovú diskretizáciu Laplaceovho operátora: ) = 2 u i,j = u i+1,j + u i,j+1 + u i 1,j + u i,j 1 4 u i,j Vezmime asledovú schému, pričom uvažujeme h=1: u +1 i,j = u i,j + 1 card (N(i, j)) [(1 k i,j )(u i+1,j u i,j ) )(u i 1,j )(u i,j+1 u i,j ) + (1 k i,j + (1 k i,j+1 + (1 k i,j )(u i,j 1 u i,j ) u i,j )] = (9.1) = u i,j div [(1 k i,j ) u i,j ]. Vidíme, že pre t= 1 to je vlaste forma aizotropej difúzie, pretože v každom smere je iý difúzy koeficiet. Všeobecejšia schéma môže vyzerať asledove: u +1 i,j = u i,j + t 4 div [(1 k i,j) u i,j ]. Yu a Acto sa vo svojom čláku zaoberali takou rovicou, kde ci,j=1-ki,j je difúzy koeficiet, ktorý v sebe zahŕňa koeficiet variácie. Pre jeho výpočet odvodili koeficiet variácie počítaý a uvedeom oke pomocou odhadu gradietu a Laplaceovho operátora a avrhli fukciu, ktorá a jeho základe reguluje mieru difúzie. Nech CV i,j ozačuje koeficiet variácie a c v -tej časovej vrstve je ezáporá klesajúca fukcia. Koeficiet variácie sa vypočíta ako (Yu, Acto, 2004): (CV i,j ) 2 = 1 u 2 i,j 2 1 ( 2 u 16 i,j [u i,j u 4 i,j ] 2 ) 2 Špeciály prípad koeficietu variácie, takzvaý ormalizovaý koeficiet variácie (istataeous coefficiet of variatio), ozačíme q. Budeme predpokladať, že v obrázku je hodota itezity eulová. Ak ulová je, pripočítame malú hodotu. 25

30 q i,j = ( u i,j u ) 1 u 2 i,j 16 ( 2 i,j u ) i,j [ 1+ 1 u 2. i,j 4 ( 2 u )] i,j Fukcia c je počítaá podľa vzorca pre difúzy koeficiet: c(q i,j ) = [q 2 i,j (q0 ) 2 ] (q 0 ) 2 (1+ (q 0 ) 2 ) (9.2) kde q0 je podiel smerodajej odchýlky a priemeru a homogéej oblasti obrázku. Rovicu, ktorú používame pri odstraňovaí šumu spekl, môžeme apísať vo všeobecejšom tvare: u +1 i,j = u i,j + t card (N(i, j)) div [c(q i,j ) u i,j ] Kokrétou diskretizáciou sa budeme zaoberať v asledujúcom odseku Diskretizácia Predpokladajme, že v obrázku emáme bod s hodotou ula. Yu a Acto avrhli asledujúce rovice pre vyhladeie símok so šumom spekl pomocou aizotropej difúzie. kde u 0 je počiatočý obrázok a u u t = 1 4. (c(q) u) (9.3) = 0 a hraici oblasti. V každom čase túto rovicu diskretizujeme pomocou (9.3). Pre umerický výpočet použijeme asledujúce aproximácie: Nech: R u i,j L u i,j 2 u i,j = [ u i+1,j = [ u i,j = [ u i+1,j u i,j, u i,j+1 u i,j ] u i 1,j, u i,j + u i 1,j u i,j 1 ] + u i,j+1 1 q (a, b) = + u i,j 1 2 a b b 4 u i,j ]. Difúzy koeficiet c potom vypočítame: 26

31 = c [ q ( 1 c i,j u i,j R u i,j 2 + L u i,j 2, 1 u i,j 2 u i,j )]. Následe vypočítame divergeciu. Vychádzame z rovice: u +1 i,j = u i,j div [c i,j u i,j ]. Vyjadríme si: div i,j = div [c i,j u i,j ] = ((c i,j )u x ) + ((c i,j )u y ) x y Budeme používať aproximácie derivácií v smeroch x a y: (c y ) ij = (ci+1,j c i,j ) (c x ) ij = (c i,j+1 c i,j ) (u yy ) = (ui+1,j + u ij i 1,j 2u i,j ) (u xx ) ij = (u i,j+1 + u i,j 1 2u i,j ) div ij = (c x ) ij (u x ) ij + c ij (u xx ) ij + (c y ) (uy ij ) ij + cij (u yy ) ij = div ij = (c i+1,j c i,j )(u i+1,j u i,j ) + c ij (u i+1,j + u i 1,j 2u i,j ) div ij = (c i+1,j div ij = c i+1j (u i,j 1 + (c i,j+1 + c ij (u i,j+1 c i,j )(u i+1,j + c ij (u i 1,j + c ij (u i,j+1 + c ij (u i,j 1 c i,j )(u i,j+1 u i,j ) ) = + u i,j 1 2u i,j u i,j ) + c ij (u i,j 1 u i,j )(c i,j+1 u i,j ) + c ij (u i,j 1 u i,j ) + c ij (u i 1,j u i,j u i,j ) Numerická aproximácia difereciálej rovice je: u +1 i,j = u i,j + t 4 div ij u i,j ) c i,j )(u i,j+1 u i,j ) = Ak dosadíme za c ij = 1 k ij, dostávame rovicu (9.1). ) + c i,j+1 u i,j ) (u i,j+1 u i,j ) 27

32 10 Podmieka stability Pri rovici aizotropej difúzie máme obmedzeie a časový krok, pretože pre iektoré hodoty t ie je rovica stabilá. V asledujúcom texte túto podmieku odvodíme. Novú hodotu u +1 i,j vypočítame ako: u +1 i,j = u t i,j + card(n(x i,j )) div[c i,j u i,j ], kde cij= 1 - kij a kij je koeficiet, ktorý ám udáva, akoľko je hraa výzamá. Po rozpísaí dostávame: u +1 i,j = u t i,j + card(n(x i,j )) [c i+1,j(u i+1,j u i,j ) + c i,j (u i 1,j u i,j ) + c i,j+1 (u i,j+1 Po úprave a dosadeí máme rovicu: u i,j ) + c i,j (u i,j 1 u i,j )] u +1 i,j = u i,j + t 4 [u i,j ( c i+1,j c i,j+1 2c i,j ) + 2c i,j (u i+1,j u i,j 1 ) + c i+1,j u i+1,j + c i,j+1 u i,j+1 )] u +1 i,j = u i,j (1 t 4 (u i,j + c i+1,j u i+1,j (c i+1,j + c i,j+1 + 2c i,j )) + 2c i,j (u i+1,j + c i,j+1 u i,j+1 ) + u i,j 1 ) Keďže výraz (ci+1,j + ci,j+1 + 2ci,j) môže adobudúť hodotu maximále 4, dostávame podmieku stability t Explicitá diskretizácia SRAD pomocou metódy koečých objemov Pre umerické riešeie si opäť zavedieme začeie. Cetrály pixel xi,j má v čase itezitu u i,j. Uvažovať budeme štyroch susedov. Idexy susedých pixelov xi,j, s ktorými má pixel spoločú hrau, ozačíme S(i,j)= {(i+1, j), (i, j+1),(i-1, j),(i, j-1)}. Časový iterval máme [0,T] s diskrétym časovým krokom t. Rovicu (9.3) budeme diskretizovať metódou koečých objemov a vytvoríme explicitú umerickú schému. Koeficiet variácie bude počítaý a každej hrae koečého objemu a okolí, ktoré je možé meiť. V ašom experimete sme použili okolie šiestich pixelov. Toto okolie je možé meiť, čím sa výpočet koeficietu variácie môže spresiť. Na rozdiel od Yu a Actoa evyužívame vzorec (8.1), ale použijeme vzorec pre variaciu (11.1). Pre ľubovoľe veľké oko platí: 28

33 Var(p) = 1 s (I p I p ) 2 p O(p) = 1 s (I p ) 2 2I p I p + (I p) 2 = p O(p) = (I 2 ) p 2(I p) 2 + (I p) 2 = (I 2 ) p (I p) 2, kde O(p) je zvoleé okolie pixelu p, I p je priemerá itezita pixelov v tomto oke a s je počet pixelov v tomto oke. Vyjadríme si druhú mociu koeficietu variácie: q p 2 = Var(p) (I p) 2 = (I2 ) p (I p) 2 (I p) 2 = (I2 ) p (I p) 2 1. (11.1) Pre výpočet priemerov itezít a ich druhých mocí v oke použijeme regularizujúce jadro G σ vhodého tvaru. Stred oka položíme a stred hray x s koečého objemu g 2 (x s ) = (G σ u 2 )(x s ) ((G σ u)(x s )) 2 1. Ak by (G σ u)(x s ) bolo v meovateli pre ejaké x s bolo rové ule, pripočítame malú hodotu. V ašom programe sme po úprave váh používali obdĺžikové oko 3x2 (resp. 2x3 a vodorových hraách) s prislúchajúcimi váhami 1/6. Obr. 11.1: Váhy zeleých častí sme pripočítali k modrým váham tak, aby vziklo obdĺžikové oko so šiestimi pixelmi, každému prislúcha váha 1/6. Za G σ môžeme zvoliť apríklad fukciu s takýmto tvarom Obr. 11.2: x2 +y2 Obr. 11.2: tvar fukcie G σ (x, y) = 1 Z eh x 2 +y 2 s 2, kde H=0.1, s=1.5 29

34 11.1 Koečo objemová explicitá schéma odvodeie Keď chceme použiť explicitú schému, deriváciu v predošlom časovom kroku ahradíme dopredou difereciou, teda z rovice (9.3) dostávame rovicu: u +1 u = 1 t 4. (c u ), kde c ozačuje c(q). Túto rovicu zitegrujeme ad koečým objemom (pixelom p) a dostávame: u+1 u t p Aplikujeme Greeovu divergečú vetu: dx =. (c u ) dx. p m(p) u+1 u t = c u. pq ds p (11.2) = c u. pq ds q N(p) e pq Itegrál v sume reprezetuje tok cez steu e pq v smere ormály pq. Aproximácia čleu u. pq bude asledová: u. pq = u pq u q u p d pq Ozačme si c pq reprezetatívu hodotu fukcie c a hraici medzi pixelmi p a q v čase. Túto hodotu budeme považovať za koštatú a celej hrae, teda môžeme apísať: q N(p) e pq c u. pq ds 1 4 m(e pq) q N(p) c pq u q u p d pq a po dosadeí do (11.2) dostávame: m(p) u p +1 u p t = 1 4 m(e pq) q N(p) g pq u q u p d pq, (11.3) kde 30

35 Po úpravách dostávame rovicu: u +1 p = u p + t 1 m(p) 0 u p = 1 m(p) u0 (x)dx. p 4 m(e pq) q N(p) c pq u q u p d pq. Keďže pixel je v ašom prípade štvorec s hraou dĺžky h=1, môžeme apísať: u +1 p = u p + t 4 c pq (u q u p ). q N(p) Pre lepšie porovaie s rovicou Leeho filtra môžeme časový krok predeliť 4, aby boli časové kroky rovaké a výsledky filtrácie lepšie porovateľé. Novú hodotu u p +1 vypočítame ako: u +1 p = (1 t 4 c(lu(u q ), q0) ) u p + t 4 u q c(lu(u q ), q0), q N(i,j) q N(p) kde a vstup fukcie c teraz píšeme dva parametre, ale hodota q0 je koštata. Fukcia c: c(q, q0) = Mi (1, 1 ) 1 + q2 q0 2 q0 2 (1+q0 2 ) (11.4) kde q0 je pomer štadardej odchýlky a priemerej itezity a homogéej oblasti a fukcia lu: lu(u q ) = w W(q) (u w av) 2 6 av kde W(q) je možia pixelov, ktoré sú susedmi pixelu xi,j a zároveň susedmi pixelu xq (q N(i, j)) a av je priemer itezít a tejto možie. Podmieka stability je t 1. av = w W(q) u w 6 31

36 11.2 Semi-implicitá schéma V rovici (11.3) ahradíme a pravej strae v čleoch u čas časom +1 a získame semi-implicitý schému: m(p) u p +1 u p t = 1 4 m(e pq) q N(p) g pq u q +1 u p +1 d pq, Táto rovica sa dá dobre riešiť Gauss-Seidelovou iteračou metédou alebo SOR. 32

37 12 Numerické experimety 12.1 Spracovávaé dáta Na porovávaie výsledých obrázkov z programov sme počas testovaia používali výrezy zo SAR símok Bratislavy: Obr. 12.1: Hore: amplitúdová SAR símka Bratislavy zachytávajúca okolie Bratislavského prístavu a Prístavého mostu (símka bola zhotoveá v roku 2008), dole: aktuála satelitá fotografia rovakého miesta z roku Z dôvodu, že símky boli urobeé s časovým odstupom 9 rokov, môžeme vidieť, že ie všetky detaily sa zhodujú. Avšak vďaka porovaiu s aktuálou satelitou fotografiou vieme určiť, čo sa a ktorej oblasti achádzalo v skutočosti.[6] 33

38 Obr sme zvolili preto, že časť símky zachytáva hladiu Duaja, čo je homogéa oblasť s hladkým povrchom (a símke ajtmavšia časť), ako aj človekom vybudovaé objekty (most, budovy), ktoré sa a símke javia ajsvetlejšie. Všimime si, že v ľavej dolej časti símky sa achádza parkovisko, čo je tiež homogéa oblasť s pomere rovým povrchom a a radarovej SAR símke je ľahké pomýliť si ju s vodou. Preto je dobré pred prácou s obrázkami si ich porovať aj s fotografiou, prípade iak overiť, čo je čo. Na tejto símke zároveň vidíme, že obsahuje jasé a zreteľé hray, ale aj hray rozmazaejšie a meej viditeľé. Teda budeme môcť porovávať, ako sa obrázok meí či vylepšuje v rôzych situáciách. Z tohto výrezu ás budú zaujímať ajmä dve oblasti. Na pravom okraji símky zhruba v strede sa achádza objekt, ktorý obsahuje jemé rovobežé hray, ie príliš výrazé. Pravdepodobe sa jedá o ákladé lode s kotajermi (Obr. 12.2). Ako ďalší testovací obrázok sme si zvolili jedoduchší obrázok (Obr. 12.3), a ktorom sa achádza most, ktorý má výrazý rový okraj a časť brehu. Obr. 12.2: detail ákladej lode s kotajermi Obr. 12.3: Časť SAR símky, ktorá obsahuje most a časť brehu Diferečá a explicitá schéma V rámci praktickej časti diplomovej práce sme apísali dva programy, SRAD podľa Yu a Actoa pomocou diferečej schémy a jeho explicitú schému vyjadreú pomocou koečých objemov. (Ďalej budeme používať ázvy YA-diferečá a YA-explicitá schéma.) V oboch programoch máme ako vstupý parameter daú símku a ďalej určujeme čas N, v ktorom ás zaujíma výsledok, veľkosť časového kroku t a fukciu c(q,q0). Fukcia c(q,q0) má v ašom programe tvar: 34

39 c(q, q0) = Mi [1, 1 ] 1 + (q2 q0 2 ) q0 2 (1+q0 2 ) (12.1) kde q0 je pomer smerodajej odchýlky a priemeru a homogéej oblasti a q je ormalizovaý koeficiet variácie. Fukciu c budeme miere meiť tak, aby sa zachovali jej vlastosti (erastúca fukcia s hodotami v itervale (0,1] ), zároveň budeme meiť parametre N a t a hľadať optimále astaveie. Začeme s N=4, t=0.25 a fukciou c v tvare (12.1). Diferečá a explicitá schéma sa líšia výpočtom koeficietu variácie. Diferečá schéma ho počíta z okolia štyroch susedov, explicitá používa väčšie okolie 6 pixelov. Obr. 12.4: N=4, t=0.25, hore pôvodý obrázok, dole vľavo YA-diferečá schéma, dole vpravo YA-explicitá schéma. Parametre spolu s fukciou c sme rôze meili a výsledé obrázky sme porovávali. V asledujúcich obrázkoch bude porovaie výsledého obrázku pri použití diferečej a explicitej schémy pri rovakom počte časových krokov a pri rovakých parametroch. Hoci z podmieky stability t 1, kvôli presosti budeme voliť časový krok meší, a to t = 0.25 a t =

40 Obr. 12.5: N=4, t=0.25, fukcia c (12.1), zľava: pôvodý obrázok, YA-diferečá schéma, YA-explicitá schéma, dole výsledky hraového detektoru a símkach prislúchajúce k horým obrázkom Vidíme, že po treťom časovom kroku sú výsledé obrázky z oboch schém avzájom dosť podobé. Keď sa pozrieme a hraový detektor, a pôvodej símke ie je možé rozlíšiť hray, pri čase N= 4 sú však už ajväčšie hray výrazé, dokoca už po druhom kroku sú tieto hray jase rozlíšiteľé a to pri oboch metódach. Obr. 12.6: N=7, t=0.25,fukcia c (12.1), zľava: pôvodý obrázok, YA-diferečá ayaexplicitá schéma, dole výsledky hraového detektoru a símkach 36

41 Teraz si ukážeme zväčšeé vybraé časti z Obr. 12.6: Obr. 12.7: Vybraé časti z Obr Filter sme aplikovali a celú símku z Obr a tieto obrázky sú výrezom z výsledých modifikovaých obrázkov (Obr. 12.6), pretože v programe počítame hodoty q0 z homogéej oblasti, tá sa ale apríklad a tomto výreze eachádza. Na výreze Obr je časť hladiy Duaja, z ktorej sme rátali q0 aj a celej símke a Obr. 12.1, teda tam boli výsledky rovaké obomi spôsobmi. Vidíme, že pri oboch schémach máme veľmi podobé výsledky, o pri YA-diferečej schéme sa ám trochu lepšie zachovali jemejšie hray, čo vido apríklad a okraji mosta. 37

42 Pre zaujímavosť si môžeme ukázať, čo sa udeje so símkami po pätástich časových krokoch (Obr. 12.8). Takýto počet časových krokov je už zvyčaje príliš vysoký pre praktické využitie. Výrazé hray sa už emeia a ostaté oblasti sa rozmazávajú, čím môžeme stratiť iektoré iformácie, apríklad meej výrazé hray. Obr. 12.8: N=15, t=0.25,fukcia c (12.1), pôvodý obrázok, YA-diferečá aya-explicitá schéma, dole výsledky hraového detektoru a símkach. Pri zmee veľkosti z t= 0.25 a t= 0.2 pri takomto astaveí ie je viditeľý takmer žiade rozdiel, ai po väčšom počte časových krokov. Poechajme teda zatiaľ časový krok t= 0.25 a poďme meiť fukciu c(q,q0). Nech čas N = 7 pre lepšie porovaie s Obr Fukciu c môžeme modifikovať apríklad pridaím koeficietu k do čitateľa, čím vlaste le preásobím druhý výraz v miime koštatou k. Fukciu c teda apíšeme v tvare: c(q, q0) = Mi [1, k ] 1 + (q2 q0 2 ) q0 2 (1+q0 2 ) (12.2) kde pre k=1 je rovica (12.2) totožá s (12.1). 38

43 Obr. 12.9: Graf fukcie g(q, q0) pre q0=0.5 s rôzymi hodotami k.. Fukcia c si zachovala svoje vlastosti. Ukážme si výsledé obrázky pre oba filtre. 39

44 Obr : N=7, t= 0.25,fukcia c podľa (12.2). Hore pôvodý obrázok podľa YA-diferečej schémy s hraovou detekciou, dole podľa YA-explicitej schémy a hraová detekcia. V stĺpcoch v poradí zľava k=0.8, k=1 a k=1.5. Ak koeficiet k zvyšujeme ad 1, v oboch filtroch sa hray rozmazávajú. Čím väčšie k zvolíme, tým je výsledá símka horšia. V prípade, že k zvolíme mešie ako 1, apríklad hodotu 0.8, výsledý obrázok je a hraách ostrejší. V prípade YA-diferečej schémy môžeme povedať, že hray sú s k=0.8 oveľa lepšie a homogée oblasti sú rozmazaé veľmi podobe. V prípade YA-explicitej schémy sú síce hray zaostreé lepšie ako v prvom prípade, avšak objavujú sa a símke body, ktoré sa síce a zašumeej símke tiež achádzajú, ale sú pravdepodobe spôsobeé šumom spekl a teda by sme ich chceli odstráiť (Obr ). Pri zmee koeficietu k a 0.9 sú stále výrazé, pre k= 0.95 síce mizú, o výsledý obrázok je takmer totožý s obrázkom pre k=1. Obr : YA-explicitá schéma k=0.8, k=0.9 a k=1. Ďalšou modifikáciou fukcie c, ktorú môžeme použiť je asledová: c(q, q0) = Mi [1, 1 ] k + (q2 q0 2 ) q0 2 (1+q0 2 ) (12.3) a jej graf: 40

45 Obr : graf fukcie c(q, q0)podľa (12.3)pre q0=0.5 s rôzymi hodotami k. Vidíme, že pre k=0.5 emá graf dobrý tvar. Z experimetov vidíme, že ak koeficiet k bude meší ako 1, filter ebude fugovať. V asledujúcom obrázku si ukážeme oba filtre pre rôze k. Obr : N=7, t= 0.25,fukcia c podľa (12.3). Hore pôvodý obrázok YA-diferečá schéma s hraovou detekciou, dole YA-explicitá a hraová detekcia. V stĺpcoch v poradí zľava k=0.9, k=1, k=1.3 a k=2. 41

46 Ako sme už spomíali, pre k=0.9 sa ám obrázky rozpadli, pri k=2 sa ám zas eodstráil dobre šum. Pre oba filtre je vhodé zvoliť k trochu väčšie ako 1, pretože hraový detektor zachytí aj meej výrazé hray. Existuje samozrejme omoho viac možostí ako fukciu c pomeiť, prípade ich kombiácie. My sme sa sažili ájsť také astaveie koeficietov, aby filtrovaá símka bola a hraách čo ajostrejšia a zároveň aby símka eobsahovala šum spekl. Pokiaľ teda budeme robiť hraovú detekciu, čiže chceme čo ajlepšie hray, zapíšme si rovicu (12.1) v tvare: c(q, q0) = Mi [1, k1 k2 + k3 q2 k4 q0 2 q0 2 (1+q0 2 ) ] (12.4) Koeficiety k1, k2, k3 a k4 sme meili a výsledok porovávali s obrázkami upraveými pomocou rovice (12.1). Sažili sme sa ájsť optimále astaveie použitia YA-diferečej schémy a optimále v prípade YA-explicitej schémy. Obr : vľavo YA-diferečá schéma upraveá podľa rovice (12.1), vpravo YA-explicitá schém upraveá podľa (12.4), kde čas N=7, t= 0.2 a k1=0.8, k2=1.3, k3=1, k4=1. Pre filter s YA-diferečou schémou sa ám zdalo ajvhodejšie asledové astaveie (Obr ). q0 počítaé a homogéej časti pôvodého obrázku je Po úprave je q0 z výsledého obrázku v čase 7 už iba Ak by sme použili pôvodú rovicu c (11.4), q0 v čase 7 je trochu ižšie (0.1153), čo síce začí trochu lepšie rozmazaie homogéych oblastí, ale hray sú o dosť meej zaostreé. 42

47 Obr :vľavo YA-diferečá schéma upraveá podľa rovice (12.1), vpravo podľa (12.4), kde čas N=7, t= 0.25 a k1=0.9, k2=1, k3=1.5, k4=1. Pre prípad použitia YA-explicitej schémy sa ám zdala pôvodá rovica (11.4) veľmi dobrá v porovaí s iými astaveiami, ktoré sme skúšali, preto sme ju emeili. Pre ilustráciu uvádzame výsledé símky pre túto schému pri rovakom astaveí koeficietov ako je a Obr

48 Obr : Vľavo YA-explicit upraveá podľa rovice (12.1), vpravo YA-explicit podľa (12.1), kde čas N=7, t= 0.25 a k1=0.9, k2=1, k3=1.5, k4=1. Doteraz sme sa zaoberali SRAD schémou s fukciou c upraveou podľa Yu a Actoa (12.1). Poďme si teraz ukázať, ako vyzerajú símky po filtrácii, ak by sme v programe použili hraový detektor, teda: c(q, q0) = Mi [1, 1 ]. 1 + (q2 q0 2 ) q0 2 (1+q 2 ) (12.5) 44

49 Obr : Hore: YA-diferečá schéma, dole: YA-explicitá. Vľavo: símka s použitím filtru s rovicou (12.1) a vpravo s rovicou (12.5). N=7, t= Vidíme, že rozdiel ie je skoro žiady, dokoca ai v čase 15 ie je vidieť veľký rozdiel. Vezmime si iú, mešiu símku. 45

50 Obr : Hore YA-diferečá schéma, dole YA-explicitá. Vľavo: símka s použitím filtru s rovicou (12.1) a vpravo s rovicou (12.5). N=10, t= Na výsledých símkach z programu s použitím diferečej schémy ie je vido žiade rozdiel. Pri použití explicitej schémy rozdiel je, ale malý a viditeľý až pri vyššom čase (preto a Obr sme použili N=10) Porovaie filtrov SRAD a Leeho filter Porovajme si teraz výsledky získaé pomocou ami aprogramovaých filtrov s Leeho filtrami - klasickým a iteratívym. Iteratívy Leeho filter sme už spomíali v predošlom texte, ukážme si teda ešte ako fuguje a ašom skúšobom obrázku. 46

51 Obr : Pôvodá símka a símka po použití Leeho filtra s veľkosťou oka 3x3,5x5 a7x7 po jedom časovom kroku. Filter bol aprogramovaý v Matlabe pre ľubovoľú veľkosť oka. V asledujúcej tabuľke uvádzame obrázky, ktoré sme získali pomocou testovaých filtrov aplikovaých a pôvodú skúšobú símku. Obr : Leeho filter (s okom 5x5), Leeho iteratívy filter, YA-diferečá schéma, YAexplicitá schéma pri približe rovakom q0. Ukážme si zväčšeú časť obrázku: 47

52 Obr : Leeho filter (s okom 5x5), Leeho iteratívy filter, YA-diferečá schéma, YA-explicitá schéma. Vidíme, že pri rovakej úrovi šumu SRAD filter (pre obidve schémy) má oveľa ostrejšie hray ako Leeho filter a Leeho iteratívy filter. SRAD filter je teda vhodejším filtrom a odstraňovaie šumu spekl a SAR símkach, pretože zaecháva hray ostrejšie. Ďalej ukážeme porovaie filtra podľa Yu a Actoa, explicitú a semi-implicitú schému: Obr : Zľava: origiála símka, símka po použití semi-implicitej schémy a explicitej schémy podľa Yu a Actoa, obe v čase 4. Explicitá schéma dáva trochu lepšie výsledky, ale rozdiel je veľmi malý. Táto schéma sa môže javiť výhodá v prípadoch, kedy rátame difúzy koeficiet zložitejším spôsobom. Teraz budeme porovávať iteratívy Leeho filter, ktorý používa izotropú difúziu a SRAD podľa Yu a Actoa pomocou explicitej schémy (diferečú euvádzame, pretože má veľmi podobé výsledky ako explicitá). 48

53 Obr : Vľavo: símka po použití iteratíveho Leeho filtra, vpravo YA-explicitá schéma s približe rovakým q0. Vidíme, že Leeho iteratívy filter má pri rovakom q0 oveľa horšie hray. V porovaí s explicitou schémou podľa Yu a Actoa ie je veľmi vhodý a uchovaie hrá. Ukážme si rovaké porovaie a símke, kde sú hray meej výrazé. Obr : Vľavo: símka po použití YA-explicitej schémy, vpravo iteratívy Leeho filter s približe rovakým q0. Meej zreteľé hray a homogéych oblastiach ie sú po použití filtra veľmi dobré, ale histogram výsledého obrázku sa zúži a pomocou prahovaia môžeme dobre rozlíšiť jedotlivé homogée oblasti, čo a pôvodej símke edokážeme. V programoch s YA-diferečou a YA-explicitou schémou môžeme použiť dva druhy prepočítavaia koeficietu variácie zo zadaej homogéej oblasti. Pri prvom prepočítavame q0 v čase N=1, 2, 3 a v druhom pri každom časovom kroku (ak máme t apríklad 0.25) prepočítavame q0 v časoch N=0.25, 0.5, 0.75 Porovajme si výsledky týchto dvoch spôsobov prepočítavaia q0 pre YAdiferečú schému: 49