Riešenie viackriteriálnej úlohy TSP na báze STEM metódy Solution of multicriterial TSP problem based on STEM method

Transcription

1 Riešeie viackriteriále úlohy TSP a báze STEM metódy Solutio of multicriterial TSP problem based o STEM method Lucia Mieresová, Jura Pekár Abstract: The aim of this article is solutio of multicriterial circular tasks. Despite the fact that this area is i publicatios less commo tha classic cases of circular tasks (oe-criterial), we ca certaily say that for solvig real-world cases or cases from practice, whe we try to get the best solutio, based o various factors, tha is preferable to use methods which i fidig of the best solutio takes ito accout multiple obectives. This article is based o TSP problem. For case study, we will use 24-odes trasport etwork. Each of these odes must be visited. I the real world, these odes may represet warehouses, retail, collectio poits, etc. The specified case will be i cotrast with the classical problem solved i terms of multicriterial optimizatio based o STEM method. The first chapter is dedicated to the article itroductio. The et chapter describes the classical TSP ad circular tasks with multiple criteria ad it also displays mathematical formulatio of the coectio TSP ad multi-criteria method STEM. The task is solved i system GAMS, which is described i the third chapter. Specificatio of solved problem is defied i the fourth chapter. The fial chapter presets a summary of the issues ad of the article. Kľúčové slová: Viackriteriále úlohy, Okružé úlohy, TSP, STEM Keywords: Multicriterial Task, Circular Task, TSP, STEM JEL classificatio: C00, C6 1. Úvod Vo všeobecosti môžeme povedať, že riešeie viackriteriálych problémov e veľmi aktuála a potrebá záležitosť. S edoduchými problémami tohto typu sa stretávame a v bežom živote. Náročé úlohy, apríklad práve z oblasti okružých úloh, riešia amä firmy v sektore logistiky. Oproti edokriteriálemu, ám viackriteriále rozhodovaiu môže takisto umožiť ásť vhodé kompromisé riešeie, ktoré zohľadňue viacero obmedzeí alebo kritérií, keďže v problémoch tohto typu často krát ie e ediečé riešeie, ktoré by mohlo optimalizovať všetky ciele súčase. Okružé úlohy poúkaú možosť zohľadeia viacerých obmedzeí, ktoré možo klasifikovať podľa toho, či sa týkaú vozidiel alebo charakteru uzlov obsluhy. Každé z obmedzeí zvyčae komplikue možosti riešeia úlohy, ale súčase približue uvažovaé matematické modely požiadavkám prae a tým zvyšue ich využiteľosť. Spomíaé obmedzeia v prai môžeme formulovať a chápať ako kritéria. Ak chceme optimalizovať eaké obmedzeie a v dae oblasti úlohu maimalizovať alebo miimalizovať, daé obmedzeie sa automaticky stáva kritériom. 2. Klasická úloha obchodého cestuúceho (Travelig Salesma Problem TSP) Podstatou úlohy e ásť optimálu, vzdialeosťou, či časovo akratšiu, alebo v iom zmysle amee ákladú okružú trasu (apr. Pekár a kol., 2012) a grafe G = U,H} (zvyčae uvažueme úplý graf G = U, H s vyčísleými akratšími vzdialeosťami medzi každou dvoicou uzlov), ktorá spočíva v prepoeí uzlov tak, že začiatočý a kocový uzol e totožý Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 22

2 a každý iý uzol e v okruže ceste zahrutý práve raz. Úlohu obchodého cestuúceho možo dopliť rôzymi dodatočými podmiekami a tak zohľadiť reále obmedzeia rôzych praktických úloh. Vo formulácii úlohy obchodého cestuúceho sa uvažue le ede obchodý cestuúci, resp. le edo vozidlo. Predpokladá sa, že kapacita tohto vozidla e dostatoče veľká a to, aby boli spleé požiadavky všetkých uzlov. Graf G = U, H e úple hraovo ohodoteý graf, v ktorom každé dva rôze uzly sú spoeé hraou. Potom matica D = d } reprezetue akratšiu vzdialeosť medzi všetkými uzlami avzáom. Okružé úlohy s viacerými kritériami Vo všeobecosti sa ačastešie uvažue s asleduúcimi obmedzeiami v oblasti viackriteriálych okružých úloh: Ohraičeia týkaúce sa dopravých prostriedkov Ohraičeia týkaúce sa obslužých uzlov Ohraičeia týkaúce sa iých faktorov V závislosti od skúmae úlohy možo použiť viacero typov optimalizačých kritérií, apr. miimalizácia fiých ákladov (apr. miimalizácia počtu použitých vozidiel), miimalizácia variabile zložky ákladov (apr. miimalizácia celkove aazdee vzdialeosti alebo celkového času potrebého a prepravu apr. z dôvodu veľkosti mzdy vodiča alebo s cieľom elimiovať peále za eobslúžeie uzla). Matematická formulácia metódy STEM modifikovaá pre potreby riešeia TSP problému Metóda STEM predstavue vyhľadávací iteračý prístup, ktorý staovue systém pre postupé vyhľadávaie riešeia. Metóda STEM používa pri hľadaí efektíveho riešeia metódu miima. Táto metóda patrí medzi metódy s implicite vyadreou hodotou zámey. STEM metóda e založeá a miimalizácií vzdialeosti od ideále variaty s využitím Čebyševove metriky. Aalytik vo výpočtove fáze poúka priebežé riešeia, ktoré predkladá rozhodovateľovi spolu s hodotami kriteriálych fukcií. V rozhodovace fáze rozhodovateľ zhodotí dosiahuté výsledky a áslede poskyte aalytikovi iformácie, ktoré hodoty kriteriálych fukcií mu vyhovuú a hodoty ktore účelove fukcie e ochotý zhoršiť a o akú hodotu. Zhoršeie hodoty ede z vyhovuúcich kriteriálych fukcií e dôležitým predpokladom pre zvýšeie hodôt evyhovuúcich kriteriálych fukcií. Výpočtové kroky STEM metódy pre riešeie viackriteriále úlohy TSP môžu byť sumarizovaé asledove: Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 23

3 K1 Defiueme viackriteriály optimalizačý problém pre riešeie okruže úlohy mi f mi f mi f 1 ( ) i1 1 2 ( ) i1 1 3 ( ) i1 1 c e m mi f y y i k i1 1 ( ) i1 1 z } 1, 1, 2,..., i 1, i 1, 2,..., i 1, i, 2,3,..., i,1, 0 i, 1,2,..., } (1) (2) a optimalizueme každý z troch cieľov a vytvoreie pay-off tabuľky tak, ako e to ukázaé v tabuľke 1. Tab. 1: Pay-off tabuľka Hodoty a diagoále predstavuú alepšie možé dosiahuteľé hodoty pre daý cieľ. K2 V druhom kroku e ute vyadriť hodoty a to asledove, -, - } (3) Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 24

4 Kde e t=0. e ahoršia hodota v i-tom stĺpci pay-off tabuľky, b vektory fukcie a číslo iterácie K3 = X, J =. Prvky možiy J ozačuú idey tých účelových fukcií, ktoré môžu byť relaovaé (zhoršeé) a asleduúce iterácií s cieľom umožiť zvýšeie ostatých účelových fukcií. Číslo iterácie e t=1. K4 Nech t=t+1. Vypočítaú sa miimaové (Čebyševové) váhy, kde } (4) K5 Ďalší krok predstavue riešeie vážee miimaove úlohy, (5) K6 Ak všetky zložky vyhovuú rozhodovateľovi, výpočet e ukočeý, iak sa pokračue a ďalší krok K7. K7 Špecifikácia hodoty J a špecifikácia hodoty (o koľko sme ochotí zhoršiť fukciu),, ktoré defiuú veľkosť relácie, tz. Prípustého zhoršeia hodoty -te účelove fukcie. K8 Vyadrí sa asleduúca hodota a pokračue sa tretím krokom tz. K3. ( ) } ( ) (6) 3. Riešeie úlohy pomocou systému GAMS Pre riešeie modelového prípadu bola využívaá softvérová podpora a a dosiahutie výsledkov bol potrebý optimalizačý systém GAMS (Geeral Algrebaic Modelig System), ktorý e špeciálym programovacím azykom vyšše úrove, za pomoci ktorého e možé formulovať matematické modely pomocou algebraických príkazov (apr. Charmaza a kol., 1993). Prostredíctvom azyka GAMS e dostupých približe tridsať programových systémov a riešeie optimalizačých úloh ( solverov ) a tým a väčšia algoritmov v súčasosti používaých a tieto účely. GAMS má využitie v rôzych oblastiach ľudského pôsobeia. Zápis kódu v programe GAMS a riešeie viackriteriále okruže úlohy medzi 24 uzlami siete, metódou obchodého cestuúceho, vytvoreý a základe staoveého problému a matematického zápisu popísaého v predchádzaúcich kapitolách e opísaý ižšie. Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 25

5 Zápis kódu v programe GAMS Uvedeý kód algoritmu e zostaveý a základe matematických modelov popísaých v predchádzaúcich kapitolách. Predstavue kombiáciu a modifikáciu úlohy TSP a viackriteriále metódy STEM Zadaie a predpoklady riešeého prípadu Pri staoveí cieľov, a základe ktorých chceme hľadať avhodešiu trasu medzi uzlami, môžeme pracovať s rôzymi prefereciami. Pre demoštrovaie riešeia viackriteriále okruže úlohy a reálom prípade budeme uvažovať s 24-timi uzlami doprave siete, ktoré treba avštíviť. V reálom svete tieto uzly môžu predstavovať sklady, predae, zberé miesta a pod. Pre zadaý prípad chceme a rozdiel oproti klasicke úlohe optimalizovať tri ciele. 1 Matica C predstavue hodoty prvého kritéria 2 Matica E predstavue hodoty druhého kritéria 3 Matica M predstavue hodoty tretieho kritéria 4 hodoty podľa riešeého prípadu Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 26

6 Pre každý cieľ zadaého modelu bolo potrebé získať údae pre maticu o veľkosti 2424, ktorá reprezetue hodoty edotlivých cieľov. Pre modelový prípad budú vyzerať asledove: Tab. 2: Matica C, Zdro: Vlasté spracovaie Tab. 3: Matica E, Zdro: Vlasté spracovaie Tab. 4: Matica M, Zdro: Vlasté spracovaie Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 27

7 5. Riešeie modelového problému metódou STEM Pre demoštráciu STEM metódy budeme hľadať riešeie trokriteriále okruže úlohy TSP, ktore zámerom bude spĺňať tri ciele. Máme teda zadaú maticu C = c }, ktorá reprezetue hodoty pre optimalizáciu prvého cieľa. Je prvky možo defiovať asledove: c c,ak i 0,ak i Ďale matica E = e } reprezetue, ktorá reprezetue hodoty pre optimalizáciu druhého cieľa. Je prvky možo defiovať asledove: e e,ak i 0,ak i A maticu M = m } ktorá reprezetue hodoty pre optimalizáciu tretieho cieľa. Je prvky možo defiovať asledove: m m,ak i 0,ak i Hodoty matíc vychádzaú zo predchádzaúce podkapitoly. Postup metódy môžeme demoštrovať a asleduúcich krokoch. V prvom rade e opäť utá formulácia viackriteriáleko optimalizačého problému pre riešeie okruže úlohy TSP. Defiueme viackriteriály optimalizačý problém pre riešeie okruže úlohy mi f mi f mi f y y i 1 ( ) i1 1 2 ( ) i1 1 3 ( ) i1 1 i1 1 c e m } 1, 1, 2,..., i 1, i 1, 2,..., i 1, i, 2,3,..., i,1, 0 i, 1,2,..., } a optimalizueme každý z troch cieľov a vytvoreie pay-off tabuľky. Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 28

8 Tab. 5: Pay-off tabuľka Hodoty a diagoále predstavuú alepšie možé dosiahuteľé hodoty pre daý cieľ. V druhom kroku e uté vyadriť hodoty a to asledove, - }, - }, - } Po zadaí hodôt, - }, - }, - } Následe dochádza k iterakcií rozhodovateľa s aalytikom. Je uté aby rozhodovateľ defioval, ktoré z cieľov požadue zlepšiť a ktoré možo relaovať. Doteraz platilo = X, J =. Prvky možiy J ozačuú idey tých účelových fukcií, ktoré môžu byť relaovaé (zhoršeé) a asleduúce iterácií s cieľom umožiť zlepšeie ostatých účelových fukcií. Od rozhodutia v teto iterácií sa odvíaú výpočty pre ďalšie aalytické kroky, zobrazíme si preto dve rozličé požiadavky rozhodovateľa. V prvom prípade budeme uvažovať, že rozhodovateľ bude chcieť relaovať prvé a druhé kritérium. Do ďalše iterácie budeme uvažovať, že rozhodovateľ staovil možiy asledove = 3}, J =1,2}. Číslo iterácie e t=1. ( Nech t=t+1. Vypočítaú sa miimaové (Čebyševové) váhy ), kde } } * + Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 29

9 Ďalší krok predstavue riešeie vážee miimaove úlohy, Po dosadeí hodôt úlohy α Tz. po úprave y y i i1 1 1, 1, 1,,1, 1, 2,..., i 1, 2,..., i i i, 2,3,..., i 0 i, 1,2,..., } Pre vyriešeie vyššie formulovaého problému sme využili aprogramovaý kód v optimalizačom programe GAMS. Kód e aalogicky k zápisu v kapitole 3.1 s asleduúcimi hodotami v eho zápise: ohr1().. sum(i,(i,)$offdiag1(i,))=e=1; ohr2(i).. sum(,(i,)$offdiag1(i,))=e=1; ati(offdiag2(i,)).. y(i)-y()+*(i,)=l=-1; ohr3.. sum((i,),c(i,)*(i,)) *d=l=759; ohr4.. sum((i,),e(i,)*(i,)) *d=l=869.1; ohr5.. sum((i,),m(i,)*(i,)) =l=781; Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 30

10 Začiatoče efektíve riešeie by po vyriešeí zadae úlohy bolo asledové,, - Za predpokladu, že by získaé hodoty boli uspokoivé pre rozhodovateľa, e výpočet ukočeý, v opačom prípade by sa pokračovalo a ďalší krok, ktorý predstavue špecifikáciu hodoty J a špecifikáciu hodoty, ktoré defiuú veľkosť relácie, tz. prípustého zhoršeia hodoty -te účelove fukcie. Vyadrí sa asleduúca hodota a pokračue sa tretím krokom tz. defiovím možiy J ozačuúce idey tých účelových fukcií, ktoré môžu byť relaovaé. ( ) ( ) } Zvoleé kompromisé riešeie by predstavovalo asledovú trasu: V druhom prípade zobrazeia riešeia viackriteriále okruže úlohy metódou STEM budeme uvažovať, že preferecia rozhodovateľa e a základe staoveia moží asledová = 2}, J =1,3}. Pripúšťame teda zhoršeie prve a trete účelove fukcie. Výpočet by v takomto prípade pokračoval asledove ( Nech t=t+1. Vypočítaú sa miimaové (Čebyševové) váhy ), kde ž } * ž + ž } Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 31

11 Ďalší krok predstavue riešeie vážee miimaove úlohy, po dosadeí hodôt a úprave e formulácia úlohy asledová y y i i1 1 1, 1, 2,..., i 1, i 1, 2,..., i 1, i, 2,3,..., i,1, 0 i, 1,2,..., } V prípade taketo preferecie cieľov by bolo začiatoče efektíve riešeie asledové, - Za predpokladu že získaé hodoty sú uspokoivé pre rozhodovateľa e výpočet ukočeý, v opačom prípade by sa pokračovalo a ďalší krok, a výpočet by pokračoval aalogicky k postupu uvedeému vyššie. Zvoleé kompromisé riešeie by v tomto prípade predstavovalo asledovú trasu: Záver Napriek tomu, že a keď problematika okružých úloh a viackriteriáleho rozhodovaia sú samostate pomere záme, riešeie ich kombiácie ie e v literatúre až tak Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 32

12 časté. Ešte mee sa stretávame s problematikou viackriteriálych okružých úloh riešeých pomocou iteraktívych iteračých metód. Teto čláok sa preto zameriava a spracovaie troch rozličých oblastí (okružé úlohy, viackriteriále rozhodovaie a iteraktíve iteračé úlohy) do ede problematiky a poúkutie ávodu a e riešeie. Pre modelový prípad sa uvažovalo s 24-timi uzlami doprave siete, ktoré bolo uté avštíviť. V reálom svete tieto uzly môžu predstavovať sklady, predae, zberé miesta a pod. Pre zadaý prípad sme oproti klasicke úlohe TSP optimalizovali tri ciele. Pre riešeie modelového prípadu bola využívaá softvérová podpora a a dosiahutie výsledkov bol potrebý optimalizačý systém GAMS. Na základe výstupu z daého programu sme získali riešeie zadae okruže úlohy v 24 uzloch, ktoré pri prvom kompromise predstavue asledovú trasu: A druhé zvoleé kompromisé riešeie predstavovalo trasu: Riešeie modelového prípadu v programe GAMS e avrhuté tak, aby pri zmee hodôt podľa požiadaviek riešiteľa bolo možé le edoduchou úpravou v kóde zmeiť výpočet vzhľadom a požadovaé preferecie. Rovako vieme použiť pre ié kritéria a požiadavky riešiteľa a matematickú formuláciu, či kód pre výpočet, e však uté požite matíc reprezetuúcich hodoty požadovaého kritéria. Literatúra CHARMAZA P. a kol Modelovací systém GAMS, Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky, Uiverzita Komeského, Bratislava, 1993 LIU G. P., YANG J. B., WHIDBORNE J. F Multiobective Optimisatio ad Cotrol, Baldock, Hertfordshire, Eglad, 2003 PEKÁR, J. a kol Modelovaie rozmiestňovaia recyklačých cetier. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, ISBN , 2012 Adresa autorov: LUCIA MIERESOVÁ, Ig. Ekoomická uiverzita v Bratislave Fakulta hospodárske iformatiky, Katedra operačého výskumu a ekoometrie Dolozemská cesta 1, 1/b, Bratislava mieresova.euba@gmail.com JURAJ PEKÁR, doc., Mgr., PhD. Ekoomická uiverzita v Bratislave Fakulta hospodárske iformatiky, Katedra operačého výskumu a ekoometrie Dolozemská cesta 1, 1/b, Bratislava pekar@euba.sk This paper is supported by the Grat Agecy of Slovak Republic VEGA, grat o. 1/0245/15 Trasportatio plaig focused o greehouse gases emissio reductio. Číslo 1/2015, Roč. 3. Straa 33