SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA V NITRE FAKULTA EKONOMIKY A MANAŽMENTU POROVNANIE RÔZNYCH TYPOV ÚROKOVANIA Z GRAFICKÉHO HĽADISKA

Transcription

1 SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA V NITRE FAKULTA EKONOMIKY A MANAŽMENTU POROVNANIE RÔZNYCH TYPOV ÚROKOVANIA Z GRAFICKÉHO HĽADISKA 211 Jaroslava Hurňáková

2 SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA V NITRE FAKULTA EKONOMIKY A MANAŽMENTU POROVNANIE RÔZNYCH TYPOV ÚROKOVANIA Z GRAFICKÉHO HĽADISKA Bakalárska práca Študijý program: Maaţmet podiku Študijý odbor: Ekoomika a maaţmet podiku (62847) Školiace pracovisko: Školiteľ: Katedra matematiky Mgr. Radomíra Gregáňová, PhD. Nitra 211 Jaroslava Hurňáková

3 Česté vyhláseie Podpísaá Jaroslava Hurňáková vyhlasujem, ţe som záverečú prácu a tému Porovaie rôzych typov úrokovaia z grafického hľadiska vypracovala samostate s pouţitím uvedeej literatúry. Som si vedomý zákoých dôsledkov v prípade, ak uvedeé údaje ie sú pravdivé. V Nitre 1. mája 211 Jaroslava Hurňáková

4 Poďakovaie Touto cestou vyslovujem poďakovaie Mgr. Radomíre Gregáňovej, PhD. za pomoc, odboré vedeie, ceé rady a pripomieky pri vypracovaí mojej bakalárskej práce. V Nitre 1. mája 211 Jaroslava Hurňáková

5 Abstrakt Cieľom bakalárskej práce je a základe preštudovaej literatúry klasifikovať rôze typy úrokovaia a graficky ich porovať. Práca je rozdeleá do 5 kapitol. Obsahuje 17 obrázkov a 1 tabuliek. Na základe modelového príkladu sme si graficky zázorili koečé hodoty kapitálu pri rôzych úrokových mierach. Zaoberali sme sa hlave jedoduchým a zloţeým úrokovaím. Pri jedoduchom úrokovaí sme vyuţili lieáru fukciu a pri zloţeom úrokovaí sme vyuţili expoeciálu fukciu. Na základe vzorcov, ktoré uvádzajú viacerí autori, sme si vypočítali koečú hodotu kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie ako aj rozdiel medzi imi. Vypočítaé hodoty sme si zapísali do tabuliek. Na základe vytvoreých grafov sme si overili, ţe ak je doba úrokovaia kratšia ako úrokové obdobie, je lepšie kapitál úročiť jedoduchým úrokovaím. Zloţeé úrokovaie vyuţívame vtedy, ak je doba úrokovaia dlhšia ako úrokové obdobie. Abstract The purpose of this bachelor work is based o researched literature to classify various types of iterest rates ad their graphic compariso. The work is divided ito the five capitols. It cotais sevetee pictures ad te tables. Based o model example we graphically demostrated fial values of capital i various iterest rates. We maily dealt with simple ad compoud iterests. With the simple iterest we used liear fuctio ad with the compoud iterest we used expoetial fuctio. Based o formulas stated by several authors, we calculated fial value of capital for simple ad compoud iterest ad also the differece betwee simple ad compoud iterest. We recorded the calculated values ito the tables. Based o created graphs we verify that if the period of iterest rates is shorter the iterest rates term it is better to pay iterest rate to capital by simple iterest. We use compoud iterest if the period of iterest rates is loger the the iterest rate term.

6 Obsah Obsah... 5 Zozam ilustrácií... 6 Zozam tabuliek... 7 Zozam skratiek a začiek... 8 Úvod Prehľad o súčasom stave riešeej problematiky Úrokovaie a úroková miera Úrok a úroková miera Spôsob úročeia úveru Úrokovaie Poímaie času vo fiačej matematike Reále a omiále úrokové miery Jedoduché úrokovaie Zloţeé úrokovaie Zloţeé úrokovaie úrokovacie obdobie mešie ako jede rok Vzťah medzi jedoduchým a zloţeým úrokovaím Zmiešaé úrokovaie Úrokové obdobie bude desatié číslo väčšie ako úroková perióda Kapitál sa vloţí počas roka a po rokoch sa vyberie počas roka Spojité úrokovaie Pojem fukcia jedej reálej premeej Defiícia fukcie Vlastosti fukcie Základé vlastosti fukcií Cieľ práce Metodika práce Vlastá práca Modelový príklad Záver Zozam použitej literatúry

7 Zozam ilustrácií Obr. 1 Graf jedoduchého a zloţeého úrokovaia Obr. 2 Kapitál sa vloţí počas roka a po iekoľkých rokoch sa vyberie počas roka.. 22 Obr. 3 Graf fukcie f Obr. 4 Graf rastúcej fukcie Obr. 5 Graf klesajúcej fukcie Obr. 6 Nárast kapitálu pre jedoduché úrokovaie Obr. 7 Nárast kapitálu pre zloţeé úrokovaie Obr. 8 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri,3% ročej úrokovej miere Obr. 9 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri,9% ročej úrokovej miere... 4 Obr. 1 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 2,7% ročej úrokovej miere Obr. 11 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 5% ročej úrokovej miere Obr. 12 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 6,5% ročej úrokovej miere Obr. 13 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 8% ročej úrokovej miere Obr. 14 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 1% ročej úrokovej miere Obr. 15 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pre jedoduché úrokovaie pri rôzych úrokových mierach Obr. 16 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pre zloţeé úrokovaie pri rôzych úrokových mierach Obr. 17 Grafické zázoreie rozdielu koečých hodôt kapitálu jedoduchého a zloţeého úrokovaia

8 Zozam tabuliek Tab. 1 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=,3% p.a Tab. 2 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=,9% p.a Tab. 3 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=2,7% p.a Tab. 4 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=5% p.a Tab. 5 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=6,5% p.a Tab. 6 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=8% p.a Tab. 7 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=1% p.a Tab. 8 Tab. 9 Nárast koečej hodoty kapitálu pri pouţití jedoduchého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach Nárast koečej hodoty kapitálu pri pouţití zloţeého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach Tab. 1 Rozdiel výpočtu koečej hodoty kapitálu jedoduchého a zloţeého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach

9 Zozam skratiek a začiek a pod. p.a. tzv. a i. K i p t.j. K t 1 t 2 N f f (x) a podobe per aum takzvaé a ié začiatočá hodota kapizálu doba úrokovaia vyjadreá v rokoch úroková sadzba úroková miera to je koečá hodota kapitálu počet dí do koca prvého roka počet dí v posledom roku počet celých rokov úroková sadzba spojitého úrokovaia fukcia f fukcia f premeej x x M x je prvkom moţiy M x R x patrí moţie reálych čísel D ( f ), D f H( f ) F(x,y)= defiičý obor fukcie f obor hodôt fukcie f existuje implicitý tvar fukcie M D( f ) moţia M je podmoţiou defiičého oboru f(x 1 ) fukčá hodota v bode x 1 f(x 2 ) fukčá hodota v bode x 2 p.j. resp. peňaţá jedotka respektíve 8

10 Úvod V mohých sférach ľudskej aktivity, ajmä vo fiačíctve, bakovíctve a poisťovíctve, treba robiť rozhodutia týkajúce sa vloţeia kapitálu, fiačých tokov, výhodosti uzatváraia zmlúv, pôţičiek, obchodovaia s ceými papiermi a pod. Kvalitatívym ástrojom pouţívaým a kvalifikovaé rozhodovaie sú metódy fiačej matematiky. Ich pozaie umoţňuje pouţívať fiačé prostriedky racioálym a účiým spôsobom. Témou bakalárskej práce je porovaie rôzych typov úrokovaia z grafického hľadiska. Ako uţ z ázvu vyplýva, budeme sa v ej zaoberať grafickým zázoreím úrokovaia. V ašom prípade budeme zázorňovať pomocou grafov jedoduché a zloţeé úrokovaie pri rôzych úrokových obdobiach a úrokových mierach. V práci vyuţívame rôze metódy fiačej matematiky, číselé výpočty a grafy, ktoré zázorňujú rôze prípady, ktoré spôsobujú prírastok koečej hodoty kapitálu. Porovaie rôzych typov úrokovaia z grafického hľadiska ám lepšie objasňuje a zobrazuje, ktorý typ úrokovaia je pre zákazíka za určitých podmieok priazivejší. Iak povedaé, pomáha zákazíkovi si vybrať, ktorý spôsob má upredostiť, ak sa chce rozhodúť vyuţívať bakové produkty, aby čo ajlepšie zhodotil svoj vloţeý kapitál. Časť fiačej matematiky sa zaoberá aj úrokovaím. Základé rozdeleie pre výpočet úroku je jedoduché a zloţeé úrokovaie. Úrok je príjem plyúci z kapitálu, je základou formou výosu z kapitálu. Je to cea za získaie peňazí iekoho druhého. Túto sumu musí zaplatiť dlţík veriteľovi. Úrok je daý úrokovou mierou, ktorá vyjadruje pomer úroku a veľkosti kapitálu. Úroková miera sa vytvára a trhu kapitálu ako výsledok vzájomého vzťahu dopytu po fiacovaí a poukou fiacovaia. Existecia úroku sa dá vysvetliť časovou prefereciou a existeciou rizika. Tomáš Akviský vysvetlil úrok ako ceu času. Keďţe však čas patrí Bohu, povaţoval vyberaie úroku za espráve. Teória fiačej matematiky bola v miulosti zaloţeá a pouţívaí fiačých tabuliek. V súčasosti však výpočtová techika umoţňuje hlave urýchliť výpočty spojeé s fiačými fukciami. Preto sme sa v tejto práci rozhodli pouţívať a výpočty, tvorbu grafov a tabuliek programový systém Excel, pretoţe je to v súčasosti ajpouţívaejší tabuľkový procesor. 9

11 Na modelovom príklade v práci realizujeme výpočty pomocou tabuliek a grafické zázoreia jedotlivých prípadov, kde veujeme pozorosť koečej hodote kapitálu. Pozorujeme ako sa meí krivka lieárej a expoeciálej fukcie pri rôzych situáciách, ktoré sú zázoreé a grafoch. Krivka resp. priamka lieárej fukcie ám zázorňuje grafické stváreie koečých hodôt kapitálu pre jedoduché úrokovaie a krivka expoeciálej fukcie ám zázorňuje grafické stváreie koečých hodôt kapitálu pre zloţeé úrokovaie. Na základe týchto porovaí sa budeme vedieť optimále rozhodúť, ktorý typ úrokovaia si vybrať, aby sme svoj vloţeý kapitál čo ajefektívejšie zhodotili. 1

12 1 Prehľad o súčasom stave riešeej problematiky 1.1 Úrokovaie a úroková miera Úrok a úroková miera Ak veriteľ poskyte určitú sumu dlţíkovi a dočasé pouţívaie, tak dlţík za právo pouţívať tieto poţičaé peiaze platí veriteľovi určitý poplatok (odmeu). Peňaţú sumu, ktorú poskytuje veriteľ dlţíkovi za určitý poplatok, azývame kapitál (istia). Poplatok, ktorý platí dlţík veriteľovi za pouţívaie jeho peňazí, sa azýva úrok, defiujú HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21). Veriteľom, ale aj dlţíkom, môţe byť právická alebo fyzická osoba (obča, spoločosť, baka). Napríklad veriteľom môţe byť obča, ak si uloţí svoje peiaze do baky, ktorá je v tomto prípade dlţíkom a za uloţeé peiaze platí občaovi úroky z vkladu. Veriteľom však môţe byť aj baka, ktorá poskytla úver (pôţičku) podiku, za čo dostáva úrok. Úrok je čiastka, ktorú musí dlţík zaplatiť veriteľovi za poskytutý úver, defiuje NĚMEC, Vladimír (1995). O túto čiastku dostae veriteľ od dlţíka viac, eţ mu poţičal. RADOVÁ, Jarmila DVOŘÁK, Peter MÁLEK, Jiří (29) tvrdia, ţe ak poţičia jede subjekt druhému peňaţé prostriedky, bude poţadovať odmeu ako áhradu za dočasú stratu kapitálu, za riziko spojeé so zmeami tohto kapitálu (s ifláciou) a za eistotu, ţe kapitál ebude splateý v daej lehote a výške. Táto odmea sa azýva úrok. Veriteľ vtedy získava úrok za to, ţe dočase poskytol svoje peiaze iekomu iému. Naopak z pohľadu dlţíka je úrok cea, ktorú platí za získaie úveru. KOŠČO, Tibor (24) píše, ţe úrok je platbou spojeou s úverovým vzťahom. Platí ho dlţík za obdobie trvaia dlhu. Charakterizuje sa spravidla ako cea pouţívaia peňazí. Výška úroku sa staovuje percetuálou sadzbou úrokovou mierou zo sumy dlhu. 11

13 Úrok je platba za pouţitie fodov, koštatujú SAMUELSON, Paul A. NORDHAUS William D. (1992). Úroková miera je suma úroku plateá za jedotku času. Iými slovami, ako odmeu za moţosť vypoţičiavaia fodov musia ľudia zaplatiť určitú ročú sumu. Úrokovú mieru predstavujú áklady a vypoţičiavaie fodov, ktoré sa merajú roče v dolároch ja jede vypoţičaý dolár. Ďalej uvádzajú ţe úroková miera je vlaste cea kapitálu a kapitál predstavuje rast budúcej spotreby a úkor súčasej spotreby, potom úroková miera sa meria ako zisk vyjadreý v dolároch a jede dolár za jedotku času. Tieţ defiujú úrok ako ástroj, ktorý plí v ekoómii dve fukcie. Na jedej strae ako motivujúci ástroj je stimul pre ľudí, aby sporili a hromadili bohatstvo. Na druhej strae ako ástroj alokácie kapitálu úrok dovoľuje spoločosti vybrať le tie ivestičé projekty, ktoré dosahujú ajvyššiu mieru výosu. Úrok je svojou formou ceou kapitálu ako tovaru, avšak iracioálou formou cey uvádza GALLO, Pavol (1995). Nie je vyjadreím poţičaej kapitálovej hodoty, ale poplatkom za pouţívaie pôţičkového kapitálu, a teda ie je zaplateím hodoty, ale úţitkovej hodoty kapitálu ako tovaru, t.j. schoposti priášať zisk. Ďalej tieţ koštatuje, ţe úrok teda avook vystupuje ako cea kapitálu, v podstate je však osobitou formou jeho výosu zisku. Zisk, ktorý plyie z pouţívaia pôţičkového kapitálu, sa delí a dve častí: úrok a podikateľský zisk. Úroková miera ako pomer úroku k pôţičkovému kapitálu je časťou miery zisku. Miera zisku podikov sa vyjadruje pomerom zisku k vlastému kapitálu. Všeobecý ázov poplatku za dočasé poskytutie voľých peňaţých prostriedkov sa azýva úrok, defiuje SKŘIVÁNKOVÁ, V. SKŘIVÁNEK, J. (26). Výška úroku v daom ekoomickom prostredí závisí od : veľkosti poţičaej sumy istiy, časového obdobia pôţičky doby splatosti, rizika ávratosti, likvidity. 12

14 Pomerá časť z poţičaej sumy sa azýva úroková sadzba (úroková miera) a baky ju vyjadrujú v percetách. Úrokovaie je spôsob výpočtu úroku alebo určeie budúcej hodoty istiy ako fukcie súčasej hodoty a doby splatosti. Úrok podľa ŠENKÝŘOVEJ, Bohuslavy a i. (1997) sa chápe ako cea za poskytutie kapitálu, ktorú platí vypoţičiavateľ (dlţík) poţičiavateľovi (veriteľovi). Niekedy sa uvádza charakteristika úroku ako cea peňazí. HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek uvádzajú vo svojich odborých vydaiach, ţe veľkosť úroku sa určuje ako percetová časť istiy za úrokové obdobie. Obdobie za ktoré percetová miera určuje úrok ako časť kapitálu, sa azýva úroková perióda. Percetová miera, zodpovedajúca určeej úrokovej perióde, sa azýva úroková miera. Pri kokrétych výpočtoch sa úroková miera vyjadruje v tvare desatiého čísla. Takto vyjadreá úroková miera sa azýva úroková sadzba. Ďalej tvrdia to, ţe úroková perióda môţe byť ročá, polročá, štvrťročá, mesačá, týţdeá. Podľa toho sa hovorí o zodpovedajúcej úrokovej miere ročej, polročej, štvrťročej, mesačej, týţdeej. V medziárodom ozačeí sa pouţívajú asledové zápisy: ročá per aum, p.a. polročá per semestrem, p.s. štvrťročá per quartalem, p.q. mesačá per mesem, p.m. týţdeá per septimaam, p.sept. Podľa CIPRU, Tomáša (25) úrokové miery patria k dôleţitým ekoomickým ukazovateľom podľa. Veľkosť úrokovej miery závisí od mohých faktorov. 1) Diskotá sadzba je úroková miera, za ktorú poskytuje cetrála baka úvery ostatým bakám. Zvýšeie diskotej sadzby priamoúmere vplýva a úrokové miery ie le v komerčých bakách, ale a celom fiačom trhu. Ako ástroj moetárej politiky má podstatý vplyv a peňaţú masu a áslede a ifláciu a hospodársky vývoj. 13

15 2) Medzibakové úrokové miery sú úrokové miery, ktoré vyuţívajú obchodé baky pri poskytovaí krátkodobých úverov avzájom medzi sebou. Hodota sa meí kaţdý deň. 3) Stratégia baky je zaloţeá a základej úrokovej miere, ktorú si baka zvolí a od ktorej sa áslede odvodzujú úrokové miery ostatých produktov baky. Cieľom väčšiy bák je samozrejme zisk, takţe sa zameriavajú hlave a veľkosť úrokovej marţe, čiţe rozdielu medzi úrokovou mierou úverov a vkladov. 4) Riziko pôţičky vzťah s úrokovou mierou je zákoite priamo úmerý. Preto majú štáte ceé papiere ízku výososť. Na druhej strae obchodé a bakové úvery majú vyššie úrokové miery. 5) Doba pôţičky zohľadňuje sa hlave pri termíovaých vkladoch, kde sú klieti odmeeý vyššou úrokovou mierou, za relatíve iţšiu likviditu. 6) Výška poţičaého kapitálu úrokové miery sa správajú podobe ako progresíve zdaeie. Čím je moţstvo zapoţičaého kapitálu väčšie, tým vyššia je aj úroková miera. Pre rozličé výšky úverov majú baky itere staoveé rozličé úrokové pásma. 7) Daňová politika štátu fiačé rozhodovaie sa obvykle riadi aţ čistými výosmi a čistými ceami úveru po zdaeí. Pri iektorých fiačých ištrumetoch je zdaeie ulové, ale väčšia kapitálového majetku je zdaňovaá 15% zráţkovou daňou pri zdroji. Jedoduché úročeie podľa SERENČÉŠA, Petra (26) sa pouţíva a peňaţom trhu pri operáciách so splatosťou do jedého roka. Zloţeé úročeie je proces pravidelého zhodocovaia kapitálu emeou mierou výosu úrokovou mierou, pri ktorom sa v kaţdom období úrok reivestuje a zvyšuje tak základ a úročeie v ďalšom období. Podľa NĚMCA, Vladimíra (1995) veľkosť úroku závisí: 1) od veľkosti poţičaého kapitálu K (čím väčšia pôţička, tým väčší úrok), 2) od času t, daého počtu rokov, po ich musí dlţík pôţičku vrátiť i s úrokom, p 3) a úrokovej miere i, daá percetom úrokovej sadzby p : i, 1 14

16 4) od úrokového obdobia, t.j. a od periodického itervalu, v ktorom sa úrok platí, v súčasosti sa pouţíva prevaţe ročé úrokové obdobie, ozačovaé p.a. (per aum), 5) od pouţitého spôsobu úrokovaia: a. pri jedoduchom úrokovaí sa úrok v kaţdom úrokovacom období počíta z pôvodej istiy (kapitálu), b. pri zloţitom úrokovaí sa počíta úrok tieţ z dlţých úrokov. Pri úrokovaí hrá výzamú úlohu ako úroková sadzba, tak aj úrokovacia doba, t.j. doba, za ktorú dlţík veriteľovi platí zjedaý (alebo staoveý) úrok. Úroková sadzba je spravidla staoveá v percetách, t.j. udáva, o koľko percet sa zvýši kapitál uloţeý po dobu jedého roka, uvádza ŠENKÝŘOVÁ, Bohuslava a i. (1997). Základými pojmami sú úroková sadzba, iekedy sa stotoţňujú termíy úroková miera, a úrokovacie obdobie. Úrokovacie obdobie je spravidla jede rok, (p.a. per aum). Preto väčšia úrokových sadzieb býva staoveá vo vzťahu k tomuto období, vtedy sú to úrokové sadzby p.a. V bakovíctve sa však veľmi často pri staoveí úrokových výosov pouţíva okrem ormáleho kaledáreho roku (ktorý má 365 dí a jeho mesiace majú buď 28 (29), 3, alebo 31 dí), ktorý sa ozačuje termíom presý rok, ešte tzv. beţého roku, ktorý ma 36 dí rozdeleých do 12 mesiacov (beţých) po tridsiatich dňoch. Preto je ute si vţdy v kaţdom kokrétom prípade ujasiť, či je východiskovým údajom pre úrokovaie presý alebo beţý rok Spôsob úročeia úveru Úroková sadzba môţe byť v úverovej zmluve staoveá asledujúcimi spôsobmi (REVENDA, Zbyěk, 25): Fixá (pevá) úroková sadzba je fixá po celú dobu splatosti úveru. Pohyblivá úroková sadzba sa meí počas splatosti úveru. Spôsob zmie úrokových sadzieb môţe byť asledová: a) Bezprostredá väzba a určitú úrokovú sadzbu tak, ţe ku zmeám úrokovej sadzby z úveru dochádza súčase so zmeou sadzby, a ktorú je viazaá. Takto kocipovaá úroková sadzba býva iekedy ozačovaá 15

17 ako floatig rate. b) Väzba a vybraú trhovú úrokovú sadzbu s dopredu daými termíami prispôsobovaia. Úroková sadzba z úveru sa meí v pravidelých itervaloch a prispôsobuje sa vyššej referečej sadzbe platej a počiatku dohodutého itervalu. Referečými sadzbami sú obvykle trhové úrokové sadzby typu LIBOR, PIBOR, FIBOR, PRIBOR, BRIBOR (ide o úrokové sadzby určovaé ako priemeré úrokové sadzby z medzibakového trhu v Lodýe, Paríţi, Frakfurtu,Prahe či v Bratislave). c) Za pohyblivý spôsob úrokovaia moţo ozačiť i spôsob, kedy baka síce dohode pevú úrokovú sadzbu, avšak si vyhradí právo ju upravovať (oboma smermi) behom doby splatosti, pokiaľ dôjde k výrazejším zmeám v trhových úrokových sadzbách Úrokovaie Proces spojeý s výpočtom úrokov azývame úrokovaím, píše HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21). Ak pri výpočte úroku sa úrok v kaţdej úrokovej perióde určuje z koštatého začiatočého kapitálu, iak povedaé sa počíta úrok za časť úrokovej periódy, hovoríme o jedoduchom úrokovaí, ak sa úrok v kaţdej úrokovej perióde počíta z kapitálu zväčšeého o úroky z predchádzajúceho obdobia, hovoríme o zložeom úrokovaí. Podľa splatosti úroku hovoríme : 1) o dekurzívom (polehotom) úrokovaí, ak je úrok splatý a koci úrokovej periódy; 2) o aticipatívom (predlehotom) úrokovaí, ak je úrok splatý a začiatku úrokovej periódy Poímaie času vo fiačej matematike Ak obdobie, za ktoré sa počíta úrok, je určeé v dňoch, a výpočet veličiy môţeme pouţiť dve metódy, podľa toho, aký základ zoberieme za celkový počet dí roka: Ordiála (baková) metóda = t/36, t = počet dí 16

18 Presá (exaktá) metóda = t/365, t = počet dí Doba úrokovaia sa staovuje podľa tzv. štadardov. HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21), CIPRA Tomáš (26) a ií uvádzajú v bakovej praxi týchto päť ajpouţívaejších štadardov: 1) Štadard 3E/36, v ktorom má rok 36 dí a kaţdý mesiac má 3 dí, pričom prvý deň sa do úrokového obdobia ezapočítava, ale posledý deň áo. Táto metóda výpočtu dĺţky úrokového obdobia sa azýva európska alebo emecká metóda. 2) Štadard ATC/36, v ktorom má rok 36 dí a počet dí sa pouţíva podľa aktuáleho kaledára. Táto metóda výpočtu dĺţky úrokového obdobia sa azýva medziárodá alebo fracúzska metóda. 3) Štadard ATC/365, v ktorom má rok 365 dí (prestupý rok 366 dí) a počet dí sa pouţíva podľa aktuáleho kaledára. Táto metóda výpočtu dĺţky úrokového obdobia sa azýva aglická metóda. 4) Americký štadard (štadard 3A/36) sa líši od štadardu európskeho (3E/36) iba v prípade, keď D 1 ie je 3 ai 31 a zároveň D 2 =31. V tomto prípade sa poecháva 31 dí. 5) ACT/ACT pouţíva skutočý počet dí v mesiaci a skutočý počet dí v roku Reále a omiále úrokové miery MANKIW N. Gregory (1999) píše, ţe úprava ekoomických veličí o ifláciu je zvlášť dôleţitá pri práci s úrokovou mierou. Ak si uloţíme peiaze do baky, dostaeme za svoje depozitá dohodutý úrok. Naopak, ak si poţičiame, musíme dohodutý úrok zaplatiť. Úrok predstavuje platbu v budúcosti za súčasé poskytutie peňazí. Je tak jasé, ţe sa musíme zaujímať o ceu peňazí, pretoţe tá je des spravidla iá, ako bola v miulosti. Úroková miera plateá v bake sa azýva omiála úroková miera, keď ju očistíme od iflácie, dostaeme reálu úrokovú mieru. Vzťah medzi reálou a omiálou úrokovou mierou môţeme zapísať: reála úroková miera = omiála úroková miera miera iflácie. Reála úroková miera je teda rozdiel medzi omiálou (beţe uvedeou) úrokovou mierou a ifláciou. Nomiála úroková miera určuje, koľko za svoj vklad v bake dostaeme, reála úroková miera ozamuje, ako rýchlo sa zvyšuje kúpa sila ášho bakového účtu. 17

19 1.1.6 Jedoduché úrokovaie Pri jedoduchom úrokovaí počítame úrok vţdy zo začiatočej hodoty kapitálu K, bez ohľadu a to, či úrokové obdobie, za ktoré sa počíta úrok, je mešie alebo väčšie ako úroková perióda. V praxi, pri bakových a iých fiačých operáciách sa však jedoduchý úrok počíta predovšetkým vtedy, keď čas, za ktorý sa počíta úrok, je meší ako úroková perióda. Obyčaje sa za úrokovú periódu povaţuje jede rok, uvádza HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21). Pri jedoduchom úrokovaí úrok u z istiy K pri úrokovej sadzbe i za úrokových periód je u K i (1) resp. ak amiesto i pouţijeme p K p u (2) 1 Začiatočá hodota kapitálu (tieţ prítomá, súčasá hodota) K pri daej úrokovej sadzbe i a pri dĺţke úrokového obdobia priesie podľa vzorca (1) úrok u K i. Ak úrok pripočítame k začiatočej hodote K, dostaeme veličiu K K u, ktorá určuje koečú hodotu kapitálu po úrokových periódach ( emusí byť celé číslo, obyčaje je to číslo mešie ako 1). Túto veličiu azývame budúcou hodotou (tieţ výsledou, koečou hodotou), resp. hodotou kapitálu pre úrokových periód. Dostávame K K u K K i K (1 i ) K K (1 i ) (3) Teraz budeme uvaţovať prípad, keď dochádza iele k vkladom, ale aj výberom (i keď kaţdý výber moţo povaţovať za vklad s míusovým zamiekom), teda k výpočtom úrokov a beţých účtoch. Pouţívajú sa dve metódy: 1) Zostatková (aglická) metóda. Vypočíta sa úrok vţdy za počet dí, v ktorých sa vklad emeil, a koci obdobia sa jedotlivé úroky sčítajú. 18

20 2) Postupá (emecká) metóda. Od kaţdej zmey účtu sa vypočíta úrokové číslo do koca obdobia, pričom vklady sa berú so zamiekom +, výbery so zamiekom -. Potom sa súčet úrokových čísiel vydelí úrokovým deliteľom Zložeé úrokovaie Podľa HUŤKU Vladimíra PELLERA Fratiška (21) pri jedoduchom úrokovaí počítame úrok vţdy zo začiatočého kapitálu, istiy K. Pouţívame ho ajmä vtedy, ak doba, za ktorú sa počíta úrok, je mešia ako úroková perióda, pre ktorú je staoveá úroková miera (resp. úroková sadzba). Ak však doba, za ktorú počítame úrok, je dlhšia ako úroková perióda, tak vtedy obvykle úroky pripisujeme k istie a koci úrokovej periódy a v asledujúcom období túto sumu zúročíme. Hovoríme o úrokovaí úrokov, resp. o zloţeom úrokovaí. Zistíme, aký bude árast kapitálu po úrokových periódach: Kapitál a začiatku 1. periódy K Kapitál a koci 1. periódy K K u K K i K (1 ) 1 i Kapitál a koci 2. periódy K 2 2 K1 K1 i K1 ( 1 i) K (1 i)... Kapitál a koci -tej periódy K K (1 i) Veličiu K, podobe ako pri jedoduchom úrokovaí, azývame budúcou (tieţ výsledou, koečou) hodotou, veličiu K prítomou (tieţ súčasou, začiatočou) hodotou. Pre výpočet koečej hodoty platí vzťah K ) K (1 i (4) Zložeé úrokovaie úrokovacie obdobie je mešie ako jede rok Úrokovaie vychádza z toho, ţe vyplateé úroky sa pripočítavajú k pôvodému kapitálu a v asledujúcom úrokovacom období ( rok) sa spolu s ím úročia. Pre kocovú (budúcu) hodotu kapitálu platí asledový vzťah 19

21 K K 1 i m m (5) kde m je počet častí roka, za ktoré sa počíta úrok, t.j. počet ročých koverzií Vzťah medzi jedoduchým a zložeým úrokovaím Teraz sa budeme zaoberať vzťahom medzi jedoduchým a zloţeým úrokovaím. Nárast začiatočého kapitálu K pri jedoduchom úrokovaí je určeý vzorcom K K (1 i ) a pri zloţeom úrokovaí vzorcom K ) K (1 i. Pri jedoduchom úrokovaí je teda K lieárou fukciou, grafom je priamka, a pri zloţeom úrokovaí expoeciálou fukciou, grafom je expoeciála krivka. Pretoţe pre = 1 je v oboch prípadoch, grafy oboch fukcií prechádzajú bodmi (; K ) a [1; K (1 + i )] (Obr. 1). Teto vzťah uvádza HUŤKA, Vladimír INSTITORIS, Juraj MOJŢIŠOVÁ, Elea. (1997). Poloţíme K = 1 a porovajme úrokovacie faktory ( 1 i ) a ( 1 i) pre jedoduché a zloţeé úrokovaie. Vyjadríme ( 1 i) pomocou biomického vzorca: (1 ( 1) ( 1) ( 2) 2 3 i) 1 i i i... Pre < i < 1 môţeme pribliţe poloţiť 2! 3! ( 1) ( 1 i) 1 i i 2! 2 i Pre < < 1 je výraz ( 1) i 2! 2 záporý, a teda ( 1 i) 1 i. Pre =1 je ( 1 i) 1 i. Pre > 1 je výraz ( 1) i 2! 2 kladý, a teda ( 1 i) 1 i. 2

22 K K K (1 i) K K (1 i ) K K K (1 i) 1 Obr. 1 Graf jedoduchého a zloţeého úrokovaia Nárast kapitálu K pre jedoduché a zloţeé úrokovaie je teda závislý od doby úrokovaia a platí: Ak < < 1, tak K (1 + i ) > K (1 + i ) ak =1, tak K (1 + i ) > K (1 + i ) ak >1, tak K (1 + i ) > K (1 + i ) čo vidieť a Obr Zmiešaé úrokovaie Zmiešaé úrokovaie je vlaste kombiáciou jedoduchého a zloţeého úrokovaia. Môţu astať prípady ak úrokové obdobie je väčšie ako úroková perióda, ale ie je celočíselým ásobkom úrokovej periódy, alebo ak sa kapitál vloţí počas roka a po iekoľkých rokoch sa opäť vyberie počas roka. HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21) rozdeľuje zmiešaé úrokovaie do asledujúcich kapitol Úrokové obdobie bude desatié číslo väčšie ako úroková perióda. Nech úrokové obdobie sa dá vyjadriť takto: 21

23 = N + t kde N celé číslo udávajúce počet rokov pouţijeme zloţeé úrokovaie; t číslo mešie ako 1, udávajúce časť roka pouţijeme jedoduché úrokovaie. Ak K je začiatočý kapitál, tak po N rokoch vzrastie a hodotu K N = K (1 + i) N a za dobu t vzrastie kapitál K N a hodotu K N (1 + i t ). Budúca hodota K pri zmiešaom úrokovaí zodpovedajúca prítomej hodote K pri ročej úrokovej sadzbe i, za úrokové obdobie je K N = K (1 + i) N (1 + i t ) (6) pričom = N + t, t < 1, N je prirodzeé číslo Kapitál K sa vloží počas roka a po rokoch sa opäť vyberie počas roka Nech t 1 je počet dí do koca prvého roka, N je počet celých rokov a t 2 je počet dí v posledom roku, v ktorom sa vyberie vklad. Táto situácia je zázoreá a Obr. 2. K K t 1 dí N rokov t 2 dí B C Q roky Obr. 2 Kapitál sa vloţí počas roka a po rokoch sa vyberie počas roka Koečý kapitál v bode B: K (1 + i t 1 ) jedoduché úrokovaie Koečý kapitál v bode C: K (1 + i t 1 ) (1 + i) N zloţeé úrokovaie Koečý kapitál v bode Q: 22

24 K (1 + i t 1 ) (1 + i) N (1 + i t 2 ) jedoduché úrokovaie Budúca hodota K pri zmiešaom úrokovaí je K = K (1 + i t 1 ) (1 + i) N (1 + i t 2 ) (7) kde t 1 doba úrokovaia do koca 1. roka, N doba úrokovaia v celých rokoch, t 2 doba úrokovaia v posledom roku Spojité úrokovaie Priebeh úročeia, pri ktorom sa úrokovaie uskutočňuje v časových itervaloch blíţiacich sa k ule, pre t, čiţe pre počet koverzií m v roku rastúcich do ekoeča, sa azýva spojité úrokovaie defiuje HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21). Predpokladáme omiálu úrokovú sadzbu i (m) závislosti od m a ozačujeme lim i( m) m Veličiu azývame úrokovou sadzbou spojitého úrokovaia. Budúcu hodotu K zodpovedajúcu prítomej hodote K určíme teda ako limitu zo vzťahu pre m : K lim K m m 1 m K e Nech K je začiatočá hodota kapitálu, úroková sadzba spojitého úrokovaia. Potom budúca hodota K zodpovedajúca kapitálu K za rokov je vyjadreá vzťahom: K K e (8) Veličiu e azývame úrokovacím faktorom (úročiteľom) spojitého úrokovaia. Určuje úrok z 1 p.j. pri úrokovej sadzbe spojitého úrokovaia za 1 rok. 1.2 Pojem fukcia jedej reálej premeej V prírode existuje espočeté moţstvo javov a procesov a závislosti medzi imi sú veľmi zloţité a ie je moţé ich defiovať jedoduchými vzťahmi. Objektíve 23

25 závislosti, ktoré existujú medzi veličiami, viedli postupe, prostredíctvom abstrakcie, ku vziku matematickému pojmu fukcia. Defiíciu pojmu fukcie v matematických termíoch podal L.Euler ( ), a defioval ju ako výraz vyjadrujúci istú závislosť medzi číslami. Túto formuláciu upresil P. G. Dirichlet ( ), ktorý pouţil pri defiícií pojmu fukcie pojem priradeia (ORSZÁGHOVÁ, Daa, 28). Základé defiície, ktoré pouţijeme v asledujúcich kapitolách o fukcii jedej reálej premeej vychádzajú z defiícií odborej literatúry: ORSZÁGHOVÁ, Daa. BARANÍKOVÁ Helea (28), Trečiaska, Aa (26), MATEJDES, Mila (25), RADOVÁ, Jarmila DVOŘÁK, Petr, (1997) a ií autori Defiícia fukcie Nech M a N sú eprázde podmoţiy moţiy reálych čísel. Ak ku kaţdému prvku x z moţiy M priradíme podľa určitého predpisu práve jede prvok y z moţiy N, potom hovoríme, ţe a moţie M je defiovaá fukcia jedej reálej premeej. Fukciu ozačíme f a zapíšeme v tvare y f (x). Prvok x z moţiy M sa azýva ezávisle premeá, prvok y z moţiy N je závislé premeá, môţeme ho ozačiť aj f (x) a azývame ho hodotou fukcie v prvku x. Moţia M je defiičý obor fukcie, ozačujeme ho D ( f ), alebo D f. Moţiu všetkých závislé premeých y, pre všetky x M azývame obor hodôt fukcie f, ozačujeme ho H ( f ), alebo D f. Moţia H ( f ) je podmoţiou moţiy N. Určiť fukciu f zameá určiť defiičý obor D ( f ) a pravidlo priradeia y f (x). Niekedy sa však streteme s tým, ţe je určeé le y f (x) a defiičý obor musíme dourčiť. Vtedy D ( f ) rozumieme moţiu všetkých x R, ku ktorým existuje x R také, ţe y f (x). Teto defiičý obor sa tieţ azýva prirodzeý defiičý obor fukcie, alebo jedoducho defiičý obor a môţeme ho vyjadriť aj v tvare : D( f ) x R, y R, y f ( x). Fukcia môţe byť určeá iektorým z asledujúcich spôsobov: 1) Aalyticky vzorcom, t.j. rovicou: a. explicite v tvare y f (x), 24

26 b. implicite v tvare F ( x, y), 2) Graficky - grafom fukcie (Obr. 3), 3) Pomocou tabuľky usporiadaých dvojíc spravidla vo forme tabuľky. Teto spôsob je pouţiteľý jedie pre fukcie, ktorých defiičým oborom je koečá moţia. 4) Slove. Pri vyšetrovaí defiičého oboru sledujeme tieto základé podmieky: - meovateľ zlomku sa esmie rovať ule, - pod párou odmociou musí byť ezáporý výraz, - argumet logaritmickej fukcie musí byť kladý Vlastosti fukcií Pri určovaí priebehu akejkoľvek fukcie vţdy vychádzame zo zalostí vlastosti daej fukcie. A práve vlastosti sú predmetom tejto podkapitoly. Pre dosiahutie lepšej ázorosti sme iektoré vlastosti fukcie zdokumetovali aj prostredíctvom grafov. Základé moţiy a vlastosti, ktoré charakterizujú daé fukcie: 1) defiičý obor D(f), obor hodôt H (f) 2) ohraičeosť 3) mootóosť fukcie 4) párosť, epárosť 5) lokále extrémy 6) periodickosť Grafický obraz fukcie ám dáva ázorú predstavu o priebehu fukcie, o jej polohe vzhľadom a osi súradicovej sústavy a pod. Umoţňuje ám pochopiť aj iektoré vlastosti, ktoré fukcie môţu mať. 25

27 y y=f(x) f(x) x=[x,f(x)] x Obr. 3 Graf fukcie f Z aalytickej geometrie vieme, ţe v karteziáskej sústave súradíc O ; x, y kaţdej usporiadaej dvojici reálych čísel zodpovedá práve jede bod roviy. Namiesto x y f, často píšeme y f (x). vlastosti: Graf fukcie f je moţia všetkých tých bodov [x, y] v rovie, ktoré majú tieto a) x D( f ), b) y je hodota fukcie f v x t.j. y f (x). Grafom fukcie f je teda moţia všetkých tých bodov [x, y], ktoré vyhovujú rovici y f (x) (Obr.3). Niekedy tieţ hovoríme, ţe grafom fukcie f je čiara (krivka) určeá rovicou y f (x) Základé vlastosti fukcii Fukcia f sa azýva ohraičeá zhora a M D( f ) práve vtedy, ak existuje také h R, ţe pre všetky x M platí f ( x) h. Fukcia f sa azýva ohraičeá zdola a M D( f ) práve vtedy, ak existuje také d R, ţe pre všetky x M platí f ( x) d. 26

28 Fukcia f sa azýva ohraičeá a moţie M, pričom M D( f ) práve vtedy, ak je ohraičeá zhora aj zdola a moţie M, t.j. existuje také d, h R, ţe pre kaţdé x z moţiy platí d f ( x) h. V opačom prípade sa azýva eohraičeá. Nech je daá fukcia f s defiičým oborom D(f). ak pre ľubovoľé x x D( ), pričom x 1 < x 2, platí: 1, 2 f f(x 1 )< f(x 2 ), potom fukcia f sa azýva rastúca (Obr. 4), f(x 1 ) f(x 2 ), potom fukcia f sa azýva eklesajúca, f(x 1 ) >f(x 2 ), potom fukcia f sa azýva klesajúca (Obr. 5), f(x 1 ) f(x 2 ), potom fukcia f sa azýva erastúca. y y y=f(x) y=f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2) x 1 x 2 x x 1 x 2 x Obr. 4 Graf rastúcej fukcie Obr. 5 Graf klesajúcej fukcie Tieto fukcie azývame mootóe. Rastúce a klesajúce fukcie azývame rýdzomootóe. Nech je daá fukcia f s defiičým oborom D ( f ). Táto fukcia sa azýva prostá (jedozačá), ak pre ľubovoľé x1, x2 D( f ), x1 x2 platí: f ( x1) f ( x2 ). 27

29 Nech je daá fukcia f s defiičým oborom D ( f ) a ech platí, pre kaţdé x D( f ), aj x D( f ). Potom fukcia f sa azýva pára, ak pre všetky x D( f ) platí: f ( x) f ( x). Nech je daá fukcia f s defiičým oborom D ( f ) a ech platí, pre kaţdé x D( f ) aj x D( f ). Potom fukcia f sa azýva epára, ak pre všetky x D( f ) platí: f ( x) f ( x). Nech f je fukcia s defiičým oborom D ( f ) a ech p je kladé reále číslo. Hovoríme, ţe fukcia f je periodická s periódou p, ak pre kaţdé x D( f ) platí: f ( x p) f ( x). Kaţdé číslo p s daou vlastosťou sa azýva perióda fukcie f. Fukcia f má v bode a moţiy M maximum práve vtedy, keď pre kaţdé x M platí: f ( x) f ( a). Fukcia f má v bode b moţiy M miimum práve vtedy, keď pre kaţdé x M platí: f ( x) f ( b) 28

30 2 Cieľ práce Fiačá matematika predstavuje jedu z ajzaujímavejších aplikácii matematiky v praxi. V tejto časti sme sa zamerali a určitú problematiku fiačej matematiky a jej všeobecého vyuţitia. Hlavým cieľom bakalárskej práce je aalyzovaie rôzych typov úrokovaia, porovaie vzťahov medzi jedoduchým a zloţeým úrokovaím, výpočet a grafické zázoreie veľkosti koečej hodoty kapitálu v závislosti od doby úrokovaia vkladu a úrokovej sadzby. Na základe vytvoreých grafov poukázať a to, ako sa meia krivky jedoduchého a zloţeého úrokovaia v závislosti od doby úrokovaia. Parciále ciele bakalárskej práce tvoria asledové oblasti: 1) Charakteristika pozatkov o úrokovom počte z rôzych hľadísk. 2) Rozdeleie rôzych typov úrokovaia a spôsob ich výpočtu. 3) Charakteristika základých vlastostí fukcií 4) Defiícia lieárej a expoeciálej fukcie vo vzťahu k jedoduchému a zloţeému úrokovaiu. 5) Grafické zázoreie lieárej a expoeciálej fukcie a prostredíctvom ich zázoriť aj priebeh úrokovaia. 6) Porovaie koečých hodôt v závislosti od doby úrokovaia a úrokovej sadzby. 7) Pomocou grafov a výpočtov zhodotiť jedoduché a zloţeé úrokovaie. Zámerom bakalárskej práce je priblíţiť si fiačú matematiku zaujímavejším a eúteým spôsobom a v eposledom rade preveriť si adobuduté vedomosti z oblasti daej témy získaé v priebehu vzdelávaia a Fakulte ekoomiky a maaţmetu a SPU v Nitre. 29

31 3 Metodika práce Hlavou metódou pri zostavovaí ašej bakalárskej práce sa stalo zhromaţďovaie materiálov v súvislosti s daou témou. Podstatou časťou tvorby bakalárskej práce je aďalej vytváraie grafov lieárej a expoeciálej fukcie pomocou programového systému Microsoft Excel 7.. Pri písaí práce vychádzame ajmä z predzačeého hlavého cieľa a parciálych cieľov. Môţeme tvrdiť, ţe po selekcii a aalýze sme ako ďalšiu metódu pouţili modelovaie grafov a áslede vysvetleie. Z chroologického hľadiska je metodicky postup asledový: 1) Preštudovaie literatúry a zhromaţďovaie potrebých materiálov 2) Vypracovaie teoretickej časti ohľadom daej problematiky 3) Určeie cieľov práce 4) Vo vlastej práci vypočítaie modelového príkladu 5) Vytváraie grafov lieárej a expoeciálej fukcie a základe vypočítaej koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie 6) Grafické vysvetleie úrokovaia 7) Vyuţitie získaých pozatkov počas štúdia a SPU Bakalárska práca je rozčleeá a teoretickú a praktickú časť. Teoretickú časť tvoria vedecké a odboré pozatky uvedeých autorov v oblasti fiačej matematiky, kokréte z oblasti úrokovaia a fukcie jedej reálej premeej. Praktickú časť tvorí modelová úloha, ktorá je zameraá a výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie. Riešeie modelového príkladu sme robili v Exceli, preto sa výpočty uvádzajú v tabuľkách a a základe ich sú zostaveé grafy. Porovaie a iterpretácia modelového príkladu je uvedeá v závere bakalárskej práce. V praktickej časti sme pouţili vzorce, ktoré vo svojej odborej literatúre uvádzajú viacerí autori: HARSHBARGER, Roald J. REYNOLDS, James J. (1989), HUŤKA, Vladimír PELLER, Fratišek (21), CIPRA, Tomáš. (26), GALLO, Pavol a ďalší. 3

32 Jedoduché úrokovaie je príkladom vyuţitia lieárej fukcie v praxi. Koečá hodota vloţeého kapitálu pri jedoduchom úrokovaí je vyjadreá vzťahom K K (1 i ). Grafickým zázoreím jedoduchého úrokovaia je lieára priamka. Lieára fukcia: y ax b; a, b R; a (9) Grafom je priamka rovobeţá s osou y. Vo vzorci (3) vystupujú 4 veličiy : K, K, i,. ľubovoľú z ich môţeme vyjadriť v závislosti od ostatých troch. Dostaeme asledové vzťahy: - vzorec a výpočet prítomej hodoty: K K 1 i (1) - vzorec a výpočet úrokovej sadzby: i K K (11) K - vzorec a výpočet dĺţky úrokovacieho obdobia: K K (12) i K Veličiu ktorá udáva, o koľko vzrastie 1 p.j. pri úrokovej sadzbe i za jedu úrokovú periódu, azývame úročiteľom (úrokovacím faktorom). Zo vzťahu K (1 i ) vyplýva, ţe pri daých K, i je K = K () K lieárou fukciou (Obr. 6), ktorej smerica je K i. 31

33 K K i K 1 2 t Obr. 6 Nárast kapitálu pre jedoduché úrokovaie Veľkosť celkového úroku z viacerých vkladov (istí) pri rôzych úrokových obdobiach, ale pri rovakej úrokovej miere, sa určí asledove. Nech kapitál K 1 je úročeý za t 1 dí, kapitál K 2 za t 2 dí,..., kapitál K r úročeý za t r dí pri rovakej p % ročej úrokovej miere. Celkový úrok z kapitálov K 1, K 2,..., K r pre štadard ACT/365 bude u j j r r p t j K 1 j j j K t p (13) Veličiu K t j 1 j azývame úrokové číslo ( pre j-tý vklad), veličiu 365 (resp. p 365 pre ACT/36) azývame úrokový deliteľ. Zo vzťahu (7) vyplýva, ţe výsledý úrok p z viacerých istí dostaeme tak, ţe sčítame úrokové čísla jedotlivých istí a výsledok delíme úrokovým deliteľom. podmieok: Uvaţujeme teraz prípad, ţe jeda osoba uskutočí r vkladov za asledujúcich Vklad Úroková miera Úrokové obdobie 32

34 K 1 p 1 1 dí K 2 p 2 2 dí : : : K r p r r dí Celkový úrok bude u r j p j j K j (14) Nazvime priemerou úrokovou mierou vkladov K 1, K 2,..., K r takú úrokovú mieru p, ktorá aplikovaá a vklady K 1, K 2,..., K r a zodpovedajúce úrokové obdobia 1, 2, r priesie rovaký úrok ako je celkový úrok podľa vzťahu (13). Vypočítame ju zo vzťahu u odkiaľ, po úpravách, máme r r j j j j K j K j j j p p p r j 1 K r j 1 j K p j j j j (15) Zložeé úrokovaie je príkladom vyuţitia expoeciálej fukcie v praxi. Koečá hodota vloţeého kapitálu pri zloţeom úrokovaí je vyjadreá vzťahom K ) K (1 i. Grafickým zázoreím zloţeého úrokovaia je expoeciála krivka. Expoeciála fukcia: y a x ; a R 1 (16) Grafom je expoeciála krivka, jej priebeh závisí od základu a. Zo vzorca (4) môţeme vyjadriť ľubovoľú zo štyroch veličí K, K, i, v závislosti od zvyšých troch. Dostaeme asledujúce vzorce a výpočet základých veličí: - vzorec a výpočet prítomej hodoty: K K (17) (1 i) 33

35 - vzorec a výpočet úrokovej sadzby: K (18) K i 1 - vzorec a výpočet dĺţky úrokovacieho obdobia: l K l K (19) l(1 i) Veličiu r = 1 + i (2) azývame úročiteľom (úrokovacím faktorom) za 1 úrokovú periódu. Udáva, a koľko vzrastie 1 p.j. pri úrokovej sadzbe i za jedu periódu. Zo vzťahu K ) K (1 i vyplýva, ţe K je expoeciálou fukciou (Obr.7), ktorej smerica je K (1 ) i K K (1 i) K K (1 i) 1 Obr. 7 Nárast kapitálu pre zloţeé úrokovaie Ak od budúcej hodoty odčítame prítomú hodotu, dostaeme celkový úrok po periódach : u K K K ( 1 i) K K ( r 1) 34

36 Prírastok začiatočého kapitálu po k periódach je k k K ( 1 i) K ( r 1) a prírastok resp. úroky v k-tej perióde je K (1 i) k 1 i Spojité úrokovaie je príkladom vyuţitia expoeciálej fukcie v praxi. Koečá hodota vloţeého kapitálu pri spojitom úrokovaí je vyjadreá vzťahom K K e (21) Grafickým zázoreím spojitého úrokovaia je expoeciála krivka. V modelovom príklade pre lepšie zázoreie meiacich sa budúcich hodôt pouţívame le jedoduché a zloţeé úrokovaie. 35

37 4 Vlastá práca Téma sa zaoberá porovávaím rôzych typov úrokovaia z grafického hľadiska. V tejto časti bakalárskej práce uvádzame jedoduché a zloţeé úrokovaie. Kaţdý typ úrokovaia si ešte zhrieme, graficky zázoríme a a záver porováme. Základé pojmy: Kapitál (istia) peňaţá suma, ktorú poskyte veriteľ dlţíkovi za určitý poplatok Úrok poplatok dlţíka veriteľovi za pouţívaie jeho peňazí Úroková perióda časové obdobie, za ktoré percetová miera určuje úrok ako časť kapitálu Úroková miera percetová miera, ktorá zodpovedá úrokovej perióde Úroková sadzba úroková miera v tvare desatiého čísla Úrokovaie proces spojeý s výpočtom úroku Úrokové obdobie časové obdobie, počas ktorého prebieha úrokovaie Typy úrokovaia: Jedoduché úrok sa v kaţdej úrokovej perióde určuje z koštatého začiatočého kapitálu, resp. sa počíta úrok za časť úrokovej periódy. Zložeé úrok sa v kaţdej úrokovej perióde počíta z kapitálu zväčšeého o úroky z predchádzajúceho obdobia. Tieto dve typy sú pre ás dôleţité. Zmiešaé úrokové obdobie je dlhšie ako úroková perióda. Spojité úrokovaie je zaloţeé a maximalizácií počtu úročeí behom roka, počet koverzií m. Pri jedoduchom i zloţeom úrokovaí budeme pouţívať asledujúce ozačeia: K začiatočá hodota kapitálu; K koečá hodota kapitálu; u úrok; 36

38 p% - úroková miera percetová úroková miera s určeím zodpovedajúcej úrokovej periódy ( tzv. obchodá úroková miera); p i - úroková sadzba s určeím zodpovedajúcej úrokovej periódy; 1 dĺţka úrokového obdobia, vyjadreá v jedotkách úrokovej periódy (počet úrokových periód); 4.1 Modelový príklad Vypočítajte koečú hodotu kapitálu, ak vklad 1 eur bol vloţeý do baky pri,3%,,9%, 2,7%, 5%, 6,5%, 8%, 1% ročej úrokovej miere za 3 mesiace, pol rok, 1 rok, 2 roky, 5 rokov, 1 rokov, 15 rokov, 3 rokov. 1. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje,3% ročú úrokovú mieru. K 1 i,3 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,3 ) K 1 (1,3) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. 37

39 Tab. 1 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=,3% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché 4 17,5 17,49 -,1 1 roka 2 115, 114,99 -,1 1 roka 1 rok 13, 13,, 2 roky 16, 16,9,9 5 rokov 115, 115,9,9 1 rokov 13, 134,8 4,8 15 rokov 145, 1459,57 9,57 3 rokov 19, 194,27 4,27 Obr. 8 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri,3% ročej úrokovej miere 38

40 2. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje,9% ročú úrokovú mieru. K 1 i,9 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,9 ) K 1 (1,9) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. Tab. 2 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=,9% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché 4 122,5 122,42 -,8 1 roka 2 145, 144,9 -,1 1 roka 1 rok 19, 19,, 2 roky 118, 118,81,81 5 rokov 145, 1458,17 8,17 1 rokov 19, 1937,34 37,34 15 rokov 1135, 11438,46 88,46 3 rokov 127, 1383,83 383,83 39

41 Obr. 9 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri,9% ročej úrokovej miere 3. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje 2,7% ročú úrokovú mieru. K 1 i,27 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,27 ) K 1 (1,27) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. 4

42 Tab. 3 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=2,7% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché 4 167,5 166,83 -,67 1 roka , 1134,1 -,9 1 roka 1 rok 127, 127,, 2 roky 154, 1547,29 7,29 5 rokov 1135, 11424,9 74,9 1 rokov 127, 1352,82 352,82 15 rokov 145, 14912,71 862,71 3 rokov 181, 22238,9 4138,9 Obr. 1 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 2,7% ročej úrokovej miere 41

43 4. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje 5% ročú úrokovú mieru. K 1 i,5 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,5 ) K 1 (1,5) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. Tab. 4 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=5% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché , 1122,72-2,28 1 roka 2 125, 1246,95-3,5 1 roka 1 rok 15, 15,, 2 roky 11, 1125, 25, 5 rokov 125, 12762,82 262,82 1 rokov 15, 16288, ,95 15 rokov 175, 2789, ,28 3 rokov 25, 43219, ,42 42

44 Obr. 11 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 5% ročej úrokovej miere 5. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje 6,5% ročú úrokovú mieru. K 1 i,65 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,65 ) K 1 (1,65) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. 43

45 Tab. 5 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=6,5% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché ,5 1158,68-3,82 1 roka , 1319,88-5,12 1 roka 1 rok 165, 165,, 2 roky 113, 11342,25 42,25 5 rokov 1325, 137,87 45,87 1 rokov 165, 18771, ,37 15 rokov 1975, 25718, ,41 3 rokov 295, 66143, ,66 Obr. 12 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 6,5% ročej úrokovej miere 44

46 6. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje 8% ročú úrokovú mieru. K 1 i,8 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,8 ) K 1 (1,8) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. Tab. 6 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=8% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché 4 12, 1194,27-5,73 1 roka 2 14, 1392,3-7,7 1 roka 1 rok 18, 18,, 2 roky 116, 11664, 64, 5 rokov 14, 14693,28 693,28 1 rokov 18, 21589, ,25 15 rokov 22, 31721, ,69 3 rokov 34, 1626, ,57 45

47 Obr. 13 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 8% ročej úrokovej miere 7. Riešeie: Nájdite koečú hodotu kapitálu 1 eur po rokoch, vloţeého do baky, ktorá poskytuje 1% ročú úrokovú mieru. K 1 i,1 Podľa vzorcov pre výpočet koečej hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie sme dostali: K 1 (1,1 ) K 1 (1,1 ) Pričom dĺţka úrokového obdobia = 4 1 ; 2 1 ;1;2;5;1;15;3. 46

48 Tab. 7 Nárast koečej hodoty kapitálu pri p=1% p.a. dĺţka úrokového obdobia Koečá hodota kapitálu K Jedoduché Zloţeé úrokovaie úrokovaie Zloţeé - Jedoduché 4 125, 1241,14-8,86 1 roka 2 15, 1488,9-11,91 1 roka 1 rok 11, 11,, 2 roky 12, 121, 1, 5 rokov 15, 1615,1 115,1 1 rokov 2, 25937, ,42 15 rokov 25, 41772, ,48 3 rokov 4, , ,2 Obr. 14 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pri 1% ročej úrokovej miere 47

49 Z grafov je zrejme, ţe rozdiel medzi jedoduchým a zloţeým úrokovaím sa prejaví tým viac, čím je úrokové obdobie dlhšie. Nakoiec si všetky riešeia zhrieme do jedého grafu podľa typu úrokovaia. Tab. 8 Nárast koečej hodoty kapitálu pri pouţití jedoduchého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach Úrokové obdobie Výpočet koečej hodoty kapitálu pri použití jedoduchého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach p =,3% p =,9% p = 2,7% p = 5% p = 6,5% p = 8% p = 1%,25 17,5 122,5 167, , , Obr. 15 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pre jedoduché úrokovaie pri rôzych úrokových mierach 48

50 Tab. 9 Nárast koečej hodoty kapitálu pri pouţití jedoduchého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach Úrokové obdobie Výpočet koečej hodoty kapitálu pri použití zložeého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach p =,3% p =,9% p = 2,7% p = 5% p = 6,5% p = 8% p = 1%,25 17,49 122,42 166, , , , ,14,5 114,99 144,9 1134,1 1319, , ,3 1488, ,9 118, , , , ,9 1458, ,9 137,87 137, , , ,8 1937, , , , , , , , , , , , , , , , , , , Obr. 16 Grafické zobrazeie árastu kapitálu pre zloţeé úrokovaie pri rôzych úrokových mierach 49

51 Pre číselé porovaie jedoduchého a zloţeého úrokovaia sme si vypočítali rozdiel koečých hodôt kapitálu. Všetky iterpretácie grafov sú uvedeé v závere. Tab. 1 Rozdiel výpočtu koečej hodoty kapitálu jedoduchého a zloţeého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach Úrokové obdobie Rozdiel výpočtu koečej hodoty kapitálu jedoduchého a zložeého úrokovaia pri rôzych úrokových mierach p =,3% p =,9% p = 2,7% p = 5% p = 6,5% p = 8% p = 1%,25 -,842 -,7554 -, , , , ,86311,5 -,1123 -,18 -, ,4923-5, , , ,9,81 7, , ,9274 8, , , , , ,1 1 4, , , , , , , , , , , , , ,48 3 4, , , , , , Obr. 17 Grafické zázoreie rozdielu koečých hodôt kapitálu jedoduchého a zloţeého úrokovaia 5

52 5 Záver Bakalárska práca sa zaoberala porovávaím rôzych typov úrokovaia z grafického hľadiska. Porovávali sme jedoduché a zloţeé úrokovaie. Cieľom ašej práce bolo vypočítať koečé hodoty kapitálu pre jedoduché a pre zloţeé úrokovaie pri rôzych úrokových mierach v závislosti od doby úrokovaia. Na začiatku práce sme sa zaoberali aalýzou typov úrokovaia, charakteristikou fukcií, ich popisov a grafov. Lieára a expoeciála fukcia sú elemetáre fukcie, prostredíctvom ktorých sme zobrazovali koečé hodoty kapitálu pre jedoduché a zloţeé úrokovaie. Vo vlastej práci sú popísaé základé pojmy, ktorými sme sa zaoberali. Hlavou časťou vlastej práce je modelový príklad, ktorý ám poukazuje a to ako sa meí krivka jedoduchého a zloţeého úrokovaia pri rôzych úrokových sadzbách v závislosti od času. Porovávaím jedotlivých typov úrokovaia, ktoré sú pre lepšiu ázorosť dopleé tabuľkami a grafmi, sme chceli poukázať a ich diferecovaosť. Úrokové miery, ktoré sme si zvolili v modelovom príklade ezodpovedajú reálym úrokovým mieram. Pre lepšiu ázorosť sme si zvolili rozličé úrokové miery:,3%,,9%, 2,7%, 5%, 6,5%, 8%, 1%. Taktieţ sme si zvolili úrokové obdobie: 3 mesiace, pol rok, 1 rok, 2 roky, 5 rokov, 1 rokov, 15 rokov, 3 rokov. Pre lepšie zobrazeie kriviek úrokovaia, sme a vytvoreie grafov počítali koečú hodotu kapitálu za kaţdý mesiac. Grafy sme tvorili v Exceli a počítali sme dobu úrokovaia za 36 mesiacov. Keďţe je to veľmi obšíre, tak v ašej práci uvádzame le iektoré obdobia pre lepšiu prehľadosť. Modelový príklad sme si rozdelili a sedem riešeí. Kaţdé riešeie sa líši výškou úrokovej miery. Počítali sme budúcu hodotu kapitálu pre vklad vo výške 1 eur. Pri kaţdom riešeí sme si zostavili prehľadú tabuľku a graf. Kaţdá tabuľka obsahuje dĺţku úrokového obdobia a pre kaţdé obdobie je vypočítaá koečá hodota kapitálu pre jedoduché aj zloţeé úrokovaie. Tabuľka obsahuje aj umerický rozdiel medzi koečou hodotou kapitálu medzi týmito dvoma typmi úrokovaia (Tab. 11). V prvom riešeí vklad vo výške 1 eur pri ročej úrokovej miere,3% vzrástol jedoduchým úrokovaím za tri mesiace o 7,5 eur, za polrok o 15 eur a kaţdoroče o 3 eur a za tridsať rokov vzrástol kapitál o 9 eur (Tab. 1) 51