Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky

Transcription

1 Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Zbierka riešených a neriešených úloh nna Grinčová Monika Molnárová Košice

2

3 Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Zbierka riešených a neriešených úloh nna Grinčová Monika Molnárová Košice

4 RECENZOVL: doc. RNDr. Viktor Pirč CSc.. vydanie Za odbornú stránku učebného tetu zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou. nna Grinčová Monika Molnárová ISBN

5 OBSH ÚVOD FUNKCI JEJ PLIKÁCIE PRE EKONÓMIU. Riešené úlohy. Neriešené úlohy ZÁKLDY LINEÁRNEJ LGEBRY. Riešené úlohy. Neriešené úlohy LIMIT SPOJITOSŤ FUNKCIE. Riešené úlohy 8. Neriešené úlohy DERIVÁCI FUNKCIE. Riešené úlohy. Neriešené úlohy PLIKÁCIE DERIVÁCIE V EKONÓMII. Riešené úlohy 8. Neriešené úlohy 8 PRIEBEH FUNKCIE. Riešené úlohy 9. Neriešené úlohy OPTIMLIZÁCI FUNKCIÍ EKONOMICKEJ NLÝZY. Riešené úlohy. Neriešené úlohy 8 8 ÚROKOVNIE 8. Riešené úlohy 8. Neriešené úlohy 9 9 RENTOVÝ UMOROVCÍ POČET 9. Riešené úlohy 9. Neriešené úlohy FINNČNÉ TOKY. Riešené úlohy 9. Neriešené úlohy

6 Zbierka riešených a neriešených úloh ÚVOD Táto učebnica je určená pre študentov prvého ročníka bakalárskej formy štúdia Fakulty elektrotechniky a informatiky (FEI) Technickej univerzity (TU) v Košiciach pre odbor Hospodárska informatika. Môže poslúžiť aj študentom iných odborov a iných fakúlt. Tvorí zbierku riešených a neriešených úloh a je doplnkom k učebnici MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii v ktorej je podrobnejšie uvedená teória požadovaná pri riešení úloh v tejto zbierke. Štúdium učebnice predpokladá zvládnutie základov stredoškolskej matematiky. Vzhľadom na rozsah tejto učebnej pomôcky nie sú uvedené pri riešení niektorých príkladov podrobné postupy. Čitateľ má možnosť študovať uvedenú problematiku podrobnejšie v učebnici MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii a v citovanej literatúre. Učebnica je rozdelená do kapitol tak ako sú preberané v prvom semestri štúdia na FEI v Košiciach. Naša vďaka patrí doc. RNDr. Viktorovi Pirčovi CSc. za starostlivé prečítanie rukopisu a za mnohé cenné pripomienky ktoré prispeli ku skvalitneniu tejto učebnice. utori

7 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii FUNKCI JEJ PLIKÁCIE PRE EKONÓMIU. Riešené úlohy DEFINIČNÝ OBOR FUNKCIE Pri hľadaní definičného oboru funkcie je potrebné najčastejšie vziať do úvahy že: menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule výraz pod párnou odmocninou musí byť nezáporný logaritmická funkcia je definovaná len pre kladný argument ak a > potom loga práve vtedy ak ak < a < potom loga práve vtedy ak <. Príklad. Nájdime definičný obor funkcie f : y. Riešenie: Keďže výraz v menovateli musí byť rôzny od nuly platí ( )( ) Odtiaľ vyplýva že D ( f ) ( ) () ( ) alebo ( f ) R { } D. Príklad. Nájdime definičný obor funkcie f : y. Riešenie: Výraz pod druhou odmocninou musí byť nezáporný potom platí ( )( ) Definičný obor funkcie je D( f ). Príklad. Nájdime definičný obor funkcie f : y ln( 8). Riešenie: Logaritmus je definovaný len pre kladné čísla preto musí byť

8 Zbierka riešených a neriešených úloh Definičný obor funkcie je ( f ) ( ) D. 8 > > Príklad. Nájdime definičný obor funkcie Riešenie: e f : y. Z podmienky že menovateľ sa nesmie rovnať nule platí a z podmienky že výraz po párnou odmocninou môže byť len nezáporný platí. Z obidvoch podmienok vyplýva >. Definičný obor funkcie je ( f ) ( ) INVERZNÁ FUNKCI D. lgoritmus hľadania inverznej funkcie f ( ) y je takýto: zistíme na akom intervale je funkcia f prostá teda kde k nej inverzná k funkcii f ( ) funkcia f eistuje vymeníme za y a naopak vyjadríme y pomocou nájdeme definičný obor pôvodnej aj inverznej funkcie. Príklad. K funkcii f : y ln( ) nájdime inverznú funkciu. Riešenie: Funkcia f je prostá na celom svojom definičnom obore D ( f ) ( ) preto k nej eistuje inverzná funkcia na celom definičnom obore pričom jej obor hodnôt je H f. ( ) R vymeníme navzájom a y osamostatníme výraz obsahujúci y y ln( ) ln( y ) ln( y ) aby sme vyjadrili y použijeme inverznú funkciu k logaritmickej funkcii eponenciálnu funkciu

9 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Inverzná funkcia k f je : y e EKONOMICKÉ PLIKÁCIE e y e y f a jej definičný obor je ( f ) H ( f ) R D. Príklad. Celkové náklady v dolároch na výrobu q kusov výrobkov sú dané q funkciou C( q) e. a) Vypočítajme celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajme náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajme priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. Riešenie: a) Celkové náklady na produkciu kusov výrobkov vypočítame ako funkčnú C q e pre q teda q hodnotu funkcie ( ) C ( ) e & $. b) Náklady na výrobu. výrobku v poradí vypočítame ako rozdiel celkových nákladov na výrobu kusov a výrobu 9 kusov výrobkov teda C ( ) C( 9) & 8 $. c) Priemerné náklady ( q) na výrobu jedného výrobku vypočítame ako podiel celkových nákladov a počtu vyrobených výrobkov. k bolo vyrobených C výrobkov priemerné náklady sú ( ) ( ) & $. Príklad. Tovar má funkciu dopytu D( p) 8 p p ( p) p p a funkciu ponuky S tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakrese grafy oboch funkcií a určme rovnovážnu cenu. Riešenie:

10 Zbierka riešených a neriešených úloh Rovnováha nastane ak je dopyt rovný ponuke rovnovážnu cenu určíme riešením rovnice 8 p p p p. Jej riešením je cena p. Príklad.8 Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R ( ). Nakrese grafy oboch funkcií nájdime bod zlomu a určme kedy je výroba zisková. Riešenie: Bod zlomu je bod v ktorom sú náklady rovné príjmom. Preto riešime rovnicu. Riešením je 9 teda bod zlomu nastane ak sa vyrobí 9 tisíc kusov výrobkov. Výroba je zisková keď sú príjmy vyššie ako výdaje. k má byť výroba zisková z grafu je zjavné že je potrebné vyrobiť viac ako 9 tisíc výrobkov.. Neriešené úlohy V nasledujúcich úlohách určte definičný obor funkcií:..... Výsledky: f ( ) R { } f ( ) R { } ( ) R f ( ) e R f ( ) cos R f { } { } { } f ( ). ( )

11 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii f ( ). ( ) f ( ) 8. ( ) 9. f ( ). f ( ). f ( ) (. f ( ) ). f ( ) ) f ( ) ( f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) sin ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ) ( ) f ( ) ) ( ) 9 f ( ) ) ) f ( ) ( ) ( ) f ( ). ( ) ln( ) ( ) ( ). f ( ) ln( ) ( ). f ( ) ln( ) f ( ) ( ) 8. ( ) log( )

12 8 Zbierka riešených a neriešených úloh f ( ) ( ) 9. ( ) log( ) ( ) log f ( ) f ( ) log ( ) f ( ) log R { } f ) ln ( ( ) ( ) log f ( ) ( ) f ( ) log ( ) ( ) 9. f ( ) ln. ( ) e 8. ( ) e ( ) f R { } f R { } 9.. f ( ) e ( ) f ( ) e. f ( ) ( ) f ( ). ( ) log( ) f ( ). ( ) log ( ). ( ) ln( ) f ). f ( ) log( ) )

13 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9. f ( ) 9 8 log ( ) (. ( ) log( 9 8) f ( ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ) ( ) ln f ( ) ( ) f ( ) log ) ( ). ( ) ln( ) f ( ) log( ). f ( ) sin ( ) ( ). f ( ) e log ( ) ( ln. ( ) 9 f { }. f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln( ) ln( ). f ( ) ( ) ( ) ln 8. f ( ) ( ) ( ) K daným funkciám f ( ) g( ) určte zložené funkcie h ( ) f ( g( ) ) h ( ) g( f ( ) ) h ( ) f ( f ( ) ) h ( ) g( g( ) ) a nájdite ich definičné obory: 9. f ( ) g ( ) h ( ) R h D h D ( ) R h

14 Zbierka riešených a neriešených úloh. ( ) h ( ) R D h h D ( ) ( ) f g( ) ln h ln D ( h ) ( ) h ln( ) D ( h ) ( ) ( ) h D ( h ) R h ln( ln ) D ( h ) ( ) h... f ( ) g( ) sin ( ) e g ( ) f ( ) f ( ) g h sin D ( h ) R h sin( ) ( ) D sin(sin ) h ( ) R h h e D ( ) R e h e h ( h ) R ( ) R D h h D ( ) R D h h e D ( h ) R 9 h D ( ) R h ( ) D ( h ) R { } h ( ) D ( h ) R { } h ( ) ( ) D h R h D ( ) { } h ( h ) R. f ( ) g ( ) h D ( ) ( ) h h D ( h ) ( ) D ( h ) R h D ( ) ( ) h h K daným funkciám nájdite inverzné funkcie:. f ( ). f ( ). f ( ) 8 f ( ) ( f ) R f ( ) ( f ) R { } D D ( f ) R D D ( f ) R { } 8 f ( ) ( f ) ) D D ( f ) R 8. f ( ) ln( 9) 9. f ( ) e f 9 e ( ) ( f ) ( ) D D ( f ) R

15 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. f ( ) e f ( ) ln ( ) ( f ) R f ( ) ln( 8) ( f ) R D D ( f ) ( ) D D ( f ) ( ) ( ) Pomocou elementárnych funkcií nakreslite grafy funkcií: 9. f ( ). f ( ). f ( ) 98. f ( ). f ( ) 99. f ( ). f ( ). f ( ). f ( ). f ( ). f ( ). f ( ) 8. f ( ). f ( ) 9. f ( ) 8. f ( ) ( ). f ( ) 8. f ( ) 8. f ( ) 8. f ( ) ( ) 8. f ( ) ( ) 8. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) 9. f ( ) ( ) 9. f ( ) 9. f ( ) 9. f ( ) 9. f ( ). f ( ) ( ). f ( ) ( ). f ( ) ( ). f ( ) 8. f ( ) f 9. ( ). f ( ) f. ( ) f. ( ). f ( ) e f e f e. ( ). ( ) f e. ( ). f ( ) e 8. f ( ) e 9. f ( ) e

16 Zbierka riešených a neriešených úloh. ( ) f e. f ( ) e. f ( ) ln. ( ). ( ) f ln f ln f ln. ( ). f ( ) ln( ). f ( ) ln 8. f ( ) ln( ) 9. f ( ) sin. f ( ) sin. f ( ) sin. ( ). ( ) f sin f sin f π sin f sin f sin f cos f cos f cos. ( ). ( ). ( ). ( ) 8. ( ) 9. ( ). f ( ) cos. ( ) f cos π cos cos cos tg tg tg tg tg tg tg( π. ( ) f. f ( ). f ( ). f ( ). f ( ). f ( ) 8. ( ) f 9. f ( ). f ( ). f ( ) ). f ( ) cotg cotg. f ( ) cotg. f ( ). ( ) f cotg cotg cotg(. f ( ). f ( ) ) π 8. Predpokladajme že celkové náklady v eurách na produkciu q kusov výrobkov sú dané funkciou C ( q) q. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) b) c) Predpokladajme že celkové náklady v eurách na produkciu q kusov výrobkov sú dané funkciou C ( q) q. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu 8 kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu 8. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených 8 výrobkov. a) 8 b) c) 8.

17 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. Predpokladajme že celkové náklady v eurách na produkciu q kusov výrobkov sú dané funkciou C ( q) 8q. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) 8 b).8 c)... Predpokladajme že celkové náklady v eurách na produkciu q kusov výrobkov sú dané funkciou C ( q) q q. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) b) 8.8 c).. Predpokladajme že celkové náklady v eurách na produkciu q kusov výrobkov sú dané funkciou C ( q) q 8q. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) b) c) 9. Predpokladajme že celkové náklady v eurách na produkciu q kusov výrobkov sú dané funkciou C ( q) 8q q. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) 9 b) 8. c) 8. Celkové náklady v eurách na produkciu kusov výrobkov sú dané funkciou ( ) C. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) b) c) 8.. Celkové náklady v dolároch na výrobu q kusov výrobkov sú dané funkciou q ( q) e C. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a). b).8 c)..

18 Zbierka riešených a neriešených úloh. Celkové náklady v dolároch na výrobu q kusov výrobkov sú dané funkciou q ( q) e C. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a). b).9 c)... Celkové náklady v dolároch na výrobu q kusov výrobkov sú dané funkciou q C( q) 9 e. a) Vypočítajte celkové náklady na produkciu kusov výrobkov. b) Vypočítajte náklady na výrobu. výrobku v poradí. c) Vypočítajte priemerné náklady na výrobu jedného výrobku ak bolo vyrobených výrobkov. a) 8.9 b). c). 8. Výskumom bolo zistené že krajčírka ktorá začne pracovať o. hodine bude f sukní. a) Koľko sukní bude mať ušitých o. hod.? b) Koľko sukní ušije medzi. a. hod.? c) Koľko sukní ušila medzi. a. hod.? mať o hodín ušitých ( ) a) b) 8 c) 9. Zistilo sa že strojník ktorý začne pracovať o. hodine vyrobí ( ) f súčiastok po hodinách práce. a) Koľko súčiastok bude mať vyrobených o 9. hod.? b) Koľko súčiastok bude mať vyrobených medzi. a. hod.? c) Koľko súčiastok vyrobí medzi. a. hod.? a).8 b).8 c).. Podľa štúdie produktivity práce v podniku bude mať priemerný pracovník ktorý začne pracovať o 8. hodine poskladaných f ( ) prístrojov po hodinách práce. a) Koľko prístrojov bude mať poskladaných o. hod.? b) Koľko prístrojov bude mať poskladaných medzi. a. hod.? c) Koľko prístrojov poskladá medzi. a. hod.? a) b) c) t tisíc. a) ký bude počet obyvateľov o rok o rokov? b) O koľko narastie počet obyvateľov počas prvého roka? c) O koľko narastie počet obyvateľov počas desiateho roka? a) tis. 9. tis. b) tis. c). tis.. Podľa odhadu bude počet obyvateľov mestskej časti o t rokov P ( t)

19 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. Denná produkcia pracovníka pot týždňoch pracovnej činnosti je daná funkciou t ( ) e Q t. a) ká bude jeho produkcia o týždeň o týždňov? b) Koľko výrobkov vyrobí počas prvého týždňa? c) Koľko výrobkov vyrobí počas. týždňa? a) b) 9.89 c).99. Podľa zdravotných záznamov t týždňov po vypuknutí chrípky bol počet ochorení f ( t) 8t e tisíc. a) Koľko chorých bolo na začiatku a koľko na konci tretieho týždňa? b) Koľko ľudí ochorelo počas. týždňa? c) Koľko ľudí ochorelo počas. týždňa? a). tis.. tis. b). tis. c). tis.. Podľa predpokladov t týždňov po vypuknutí chrípky bude počet ochorení Q( t) 8 t e tisíc. a) Koľko chorých by malo byť na začiatku a koľko na konci štvrtého týždňa? b) Koľko ľudí ochorelo počas. týždňa? c) Koľko ľudí ochorelo počas. týždňa? a) tis..9 tis. b) 9. tis. c). tis.. Podľa zdravotných záznamov t týždňov po vypuknutí infekčnej žltačky bol počet ochorení f ( t) t e tisíc. a) Koľko chorých bolo na začiatku a koľko na konci druhého týždňa? b) Koľko ľudí ochorelo počas. týždňa? c) Koľko ľudí ochorelo počas. týždňa? a) tis.. tis. b).88 tis. c). tis. P t e miliónov. a) ký by mal byť počet obyvateľov o rokov o rokov? b) O koľko by mal narásť počet obyvateľov počas. roka? c) O koľko by mal narásť počet obyvateľov počas. roka? a).8 mil..89 mil. b). mil. c). mil.. Odhaduje sa že o t rokov bude počet obyvateľov krajiny ( ) t. Celkové náklady v eurách na produkciu q kusov tovaru vyrobených počas jednej smeny sú dané funkciou C ( q) q q hodín pracovnej smeny sa vyrobí q( t) t kusov tovaru. a) Vyjadrite celkové náklady ako funkciu času. b) ké sú celkové náklady na produkciu počas prvých hodín? c) Po koľkých hodinách sú celkové náklady eur?. Počas prvých t a) t t b) 8 c).

20 Zbierka riešených a neriešených úloh 8. Celkové náklady v dolároch na výrobu q kusov televízorov sú dané funkciou C ( q) q. Počas prvých t dní sa vyrobí q( t) t a) Vyjadrite celkové náklady ako funkciu času. b) ké sú celkové náklady na produkciu počas prvých dní? c) Po koľkých dňoch sú celkové náklady eur? televízorov. a) t b) c) 9. Celkové náklady v eurách na výrobu q výrobkov sú dané funkciou q a) Vyjadrite celkové náklady ako funkciu času. b) ké sú celkové náklady na výrobu počas prvých hodín? c) Po koľkých hodinách sú celkové náklady eur? C ( q) e. Počas prvých t hodín sa vyrobí q( t) t t výrobkov. a) e b).9 c). 8. Tovar má funkciu dopytu D( p) p a funkciu ponuky S ( p) p tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 8. Tovar má funkciu dopytu q 8 p a funkciu ponuky q p tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 8 q Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. 8. Tovar má funkciu dopytu d( q) a funkciu ponuky ( q) E E s q. p 8. Tovar má funkciu dopytu D( p) p a funkciu ponuky S ( p) p p 8 tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 8. Tovar má funkciu dopytu q 9 9 p a funkciu ponuky q p p tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 8. Tovar má funkciu dopytu D( p) p a funkciu ponuky S ( p) p tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. E E E

21 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii p 8 8. Tovar má funkciu dopytu q 8 p p a funkciu ponuky q 9 p tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 8. Tovar má funkciu dopytu D( p) 8 p p ( p) p p a funkciu ponuky S tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 88. Tovar má funkciu dopytu q p p a funkciu ponuky q p 8 p tisíc kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. pe 89. Tovar má funkciu dopytu D( p) a funkciu ponuky S ( p) p tisíc p kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. pe 9. Tovar má funkciu dopytu d ( q) a funkciu ponuky s ( q) q. q Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. pe 9. Tovar má funkciu dopytu D( p) a funkciu ponuky S ( p) p tisíc p kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. pe 9 9. Tovar má funkciu dopytu q 9 a funkciu ponuky q p tisíc p kusov ak p je cena tovaru v eurách. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 9. Tovar má funkciu dopytu pq 8 a funkciu ponuky p q. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p 9. Tovar má funkciu dopytu pq p 8 a funkciu ponuky p q. Nakreslite grafy oboch funkcií a určte rovnovážnu cenu. p. E E E E E E

22 8 Zbierka riešených a neriešených úloh 9. Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ) 9. Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ) 9. Celkové týždenné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ) 8. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ) 98. Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ) R( ) 8. Funkcia celkových mesačných výnosov je. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ) 99. Celkové týždenné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ) 9. Funkcia celkových týždenných výnosov je ( ) R. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. 8 8 ( 88). Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je ( ) R. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ). Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( )

23 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9. Celkové týždenné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ). Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R ( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. 9 ( 9 ). Celkové mesačné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ). Celkové týždenné náklady v tisícoch eur na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C( ). Funkcia celkových mesačných výnosov je R( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ). Celkové denné náklady v dolároch na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Predajná cena bola stanovená na dolárov za kus. Určte rovnicu funkcie celkových denných výnosov R ( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ). Celkové mesačné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ) 9. Predajná cena bola stanovená na eur za kus. Určte rovnicu funkcie celkových mesačných výnosov R ( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. 9 ( 9) 8. Celkové mesačné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Predajná cena bola stanovená na 8 eur za kus. Určte rovnicu funkcie celkových mesačných výnosov R ( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. 8 ( 8 )

24 Zbierka riešených a neriešených úloh 9. Celkové týždenné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ) ( ). Predajná cena bola stanovená na eur za kus. Určte rovnicu funkcie celkových týždenných výnosov R ( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ). Celkové týždenné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ) kus. Určte rovnicu funkcie celkových týždenných výnosov R ( ). Predajná cena bola stanovená na eur za. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. 8 ( 8). Celkové týždenné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ). Predajná cena bola stanovená na eur za kus. Určte rovnicu funkcie celkových týždenných výnosov ( ) R. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. 9 ( 9). Celkové týždenné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané. Predajná cena bola stanovená na eur za. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ) funkciou C ( ) kus. Určte rovnicu funkcie celkových týždenných výnosov R ( ). Celkové týždenné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané funkciou C ( ) 8. Predajná cena bola stanovená na eur za kus. Určte rovnicu funkcie celkových týždenných výnosov ( ) R. Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková ( 89 89). Celkové týždenné náklady v eurách na výrobu kusov výrobkov sú dané C. Predajná cena bola stanovená na 8 9 eur za kus. Určte rovnicu funkcie celkových týždenných výnosov R ( ). Nakreslite grafy oboch funkcií nájdite bod zlomu a určte kedy je výroba zisková. ( ) funkciou ( )

25 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii ZÁKLDY LINEÁRNEJ LGEBRY. Riešené úlohy KNONICKÝ ROZKLD POLYNÓMU Príklad. Nájdime kanonický rozklad polynómu 9 v množine R. Riešenie: Polynóm rozložíme na súčin vyberaním spoločného výrazu pred zátvorku a použitím vzťahu a b ( a b)( a b). 9 ( 9) ( )( ) Výsledok je v tvare 9 ( )( ). Príklad. Nájdime kanonický rozklad polynómu v množine R. Riešenie: V tomto prípade využijeme postupné vyberanie spoločných výrazov pred zátvorku. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( Výraz v množine R nemá nulové body. Výsledok je teda v tvare ( )( ). ) Príklad. Nájdime kanonický rozklad polynómu v množine R. Riešenie: Postup využitý pri predchádzajúcich úlohách sa nedá aplikovať v tejto úlohe. Pri kanonickom rozklade použijeme Hornerovu schému. Možnými koreňmi daného polynómu sú všetky delitele absolútneho člena teda čísla. Delitele tvoria množinu { ± ± ± ± }. Postupne budeme overovať či niektorý člen danej množiny je koreňom polynómu. k je tomu tak zvyšok po delení (posledné číslo v riadku) je rovné V prvom riadku tabuľky sú koeficienty polynómu usporiadané od najvyššej mocniny. V každom ďalšom riadku ktorého posledným číslom je nula sú koeficienty o jeden stupeň nižšieho polynómu. Výsledok je v tvare ( )( )( ).

26 Zbierka riešených a neriešených úloh Príklad. Nájdime kanonický rozklad polynómu 8 v množine R. Riešenie: Tak ako v predchádzajúcej úlohe aj tu využijeme Hornerovu schému pričom množinu potenciálnych koreňov tvoria čísla { ± ± ± ± ± ± }. Sú to delitele čísla Výsledok je v tvare 8 ( ) ( ). ROZKLD RCIONÁLNEJ FUNKCIE N ELEMENTÁRNE (PRCIÁLNE) ZLOMKY Každú rýdzo racionálnu funkciu vieme rozložiť na súčet elementárnych (parciálnych) zlomkov ktoré môžu mať v množine R tieto tvary α ( α) M N p q n M N ( p q) n kde M N α p q sú reálne čísla n je prirodzené číslo a kvadratický trojčlen p q nemá reálne nulové body. Príklad. Rozložme na elementárne zlomky funkciu v množine R. Riešenie: Funkcia je rýdzo racionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli). Polynóm v menovateli je potrebné rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad). S využitím Hornerovej schémy je ( )( )( ). Funkciu môžeme prepísať a vytvoriť elementárne zlomky. B C. ( )( )( )

27 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Tri neznáme koeficienty B C vypočítame dosadzovacou metódou tak že do upravenej rovnice (po odstránení zlomkov) postupne budeme dosadzovať namiesto premennej tri rôzne (vhodné) čísla. Využívame pritom že hodnoty polynómov na ľavej a pravej strane rovnice sa rovnajú po dosadení ľubovoľného čísla za premennú. ( )( )( ) B C ( )( )( ) ( )( ) B( )( ) C( )( ) : : ( )( ) B( )( ) C( )( ) 8 ( )( ) B( )( ) C( )( ) 9 B B : 8 9 ( )( ) B( )( ) C( )( ) C C Rozklad na elementárne zlomky je. ( )( )( ) Príklad. Rozložme na elementárne zlomky funkciu Riešenie: v množine R. Funkcia nie je rýdzo racionálna (stupeň polynómu v čitateli nie je nižší ako stupeň polynómu v menovateli) takže najprv je potrebné predeliť čitateľa menovateľom. ( ) : ( ) Ďalej postupujeme ako v Príklade. polynóm v menovateli rozložíme na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad). ( )

28 Zbierka riešených a neriešených úloh Zvyšok po delení je už rýdzo racionálna funkcia ktorú môžeme prepísať a vyjadriť pomocou elementárnych zlomkov. ) ( B. Koeficienty B vypočítame podobne ako v Príklade.. ( ) B B ) ( ) ( B ) ( : ( ) ) ( : B B B Rozklad na elementárne zlomky je. Príklad. Rozložme na elementárne zlomky funkciu v množine R. Riešenie: Funkcia je rýdzo racionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli). Polynóm v menovateli je potrebné rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad). Postupným vyberaním pred zátvorku je ) ( ) (. Funkciu môžeme prepísať a vyjadriť pomocou elementárnych zlomkov ) ( C B. Tri neznáme koeficienty C B vypočítame dosadzovacou metódou tak že do upravenej rovnice (po odstránení zlomkov) postupne budeme dosadzovať namiesto premennej tri rôzne (vhodné) čísla. Využívame pritom že hodnoty polynómov na

29 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii ľavej a pravej strane rovnice sa rovnajú po dosadení ľubovoľného čísla za premennú. ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B C B ) ( ) )( ( ) ( : C B ) ( ) )( ( ) ( : C C C B ) ( ) )( ( ) ( : B B C B Rozklad na elementárne zlomky je ) (. Príklad.8 Rozložme na elementárne zlomky funkciu 9 v množine R. Riešenie: Funkcia 9 je rýdzo racionálna (stupeň polynómu v čitateli je nižší ako stupeň polynómu v menovateli). Polynóm v menovateli je potrebné rozložiť na súčin koreňových činiteľov (kanonický rozklad). Použitím Hornerovej schémy je ) )( (. Funkciu 9 môžeme prepísať a vyjadriť pomocou elementárnych zlomkov 9 C B.

30 Zbierka riešených a neriešených úloh Tri neznáme koeficienty B C vypočítame dosadzovacou metódou tak že do upravenej rovnice (po odstránení zlomkov) postupne budeme dosadzovať namiesto premennej tri rôzne (vhodné) čísla. Využívame pritom že hodnoty polynómov na ľavej a pravej strane rovnice sa rovnajú po dosadení ľubovoľného čísla za premennú. 9 B C ( )( ) 9 ( ) ( B C)( ) : : : 9 (9 ) (B C)( ) 9 ( ) ( B C)( ) 9 C C 9 ( ) ( B )( ) 9 B B Rozklad na elementárne zlomky je 9. OPERÁCIE S MTICMI Súčet a rozdiel matíc eistuje len pre rovnaké typy matíc (ak je matica typu m n aj matica B musí byť typu m n ). Pre prvky matice C B platí c ij aij bij. Pre prvky matice C B platí cij aij bij. Pre maticu C k kde k R platí cij k aij. Súčin matíc C B je možné vypočítať ak počet stĺpcov matice je rovnaký ako počet riadkov matice B teda ak matica je typu ( m n) a matica B je typu ( n p) potom matica C B bude typu ( m p). Príklad.9 Vypočítajme B B B B C ak

31 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii B C. Riešenie: B B ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) 8 C B ( ) ( ) ( ) 9. Príklad. Nájdime hodnosť matice Riešenie: Hodnosť matice je počet nenulových riadkov stupňovitej (Gaussovej) matice ktorú sme dostali pomocou ekvivalentných úprav zadanej matice.

32 Zbierka riešených a neriešených úloh R R R R : 9 ( ) R Počet nenulových riadkov matice je teda hodnosť matice je ( ) h. VÝPOČET DETERMINNTU Príklad. Vypočítajme determinant. Riešenie: Determinant rozmeru sa vypočíta pomocou Sarusovho pravidla (Matematika I a jej využitie v ekonómii). ) (. Príklad. Vypočítajme determinant. Riešenie: Determinant rozmeru môžeme riešiť tiež pomocou Sarusovho pravidla (Matematika I a jej využitie v ekonómii). [ ] [ ] 8. ) ( ) (

33 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9 Príklad. Vypočítajme determinant. Riešenie: ( ) ( ) ( ) ( ). 8 R R VÝPOČET INVERZNEJ MTICE Príklad. K matici nájdime inverznú maticu. Riešenie: Determinanty rozmerov a väčších sa najčastejšie počítajú pomocou rozvoja determinantu podľa riadka alebo stĺpca. in in i i i i a a a K resp. nj nj j j j j a a a K kde ij ij j i M ) ( je algebrický doplnok a ij M je subdeterminant ku prvku ij a matice (vznikne vynechaním i -teho riadku a j -teho stĺpca matice ). Pred samotným výpočtom je výhodné determinant upraviť pomocou ekvivalentných úprav tak aby sme vytvorili ľubovoľný riadok resp. stĺpec obsahujúci čo najviac núl. Vytvorený riadok resp. stĺpec použijeme k rozvoju determinantu. Inverznú maticu k regulárnej matici rádu n môžeme hľadať napríklad využitím adjungovanej matice T nn n n n n K K K K K K K pomocou vzťahu. T nn n n n n K K K K K K K

34 Zbierka riešených a neriešených úloh Vypočítame determinant matice a všetky algebrické doplnky tvoriace adjungovanú maticu. 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Inverzná matica k matici je. 8 Príklad. K matici nájdime inverznú maticu. Riešenie: Inverznú maticu nájdeme v tomto prípade pomocou Gaussovej einácie. ( ) R R Inverzná matica k matici je -. Iným spôsobom hľadania inverznej matice je napríklad spôsob využitím Gaussovej einácie (Matematika I a jej využitie v ekonómii). Vpravo od zadanej matice napíšeme jednotkovú maticu. Ekvivalentnými úpravami ktoré budú spoločné pre riadky oboch matíc vyrobíme jednotkovú maticu na mieste zadanej matice teda vľavo. Matica ktorá takto vznikne na pravej strane teda na mieste jednotkovej matice je inverznou maticou k zadanej matici ) ( ) ( I I L.

35 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii SÚSTVY LINEÁRNYCH ROVNÍC Príklad. Riešme sústavu rovníc. Riešenie: Sústavu rovníc prepíšeme do maticového tvaru R R R 8 R R R. Hodnosť matice je rovná a hodnosť rozšírenej matice je takisto rovná a je to zároveň aj počet neznámych. Na základe Frobeniovej vety má sústava práve jedno riešenie ktoré sa dá jednoducho vyjadriť z upravenej matice. Z posledného riadku upravenej matice je zrejmé že. Z tretieho riadku upravenej matice vypočítame. Pomocou druhého riadku nájdeme Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť tak že ju prepíšeme do maticového tvaru a k výpočtu použijeme Gaussovu einačnú metódu (využívame pri tom všetky ekvivalentné úpravy matíc) alebo Cramerovo pravidlo.. Pri Gaussovej einačnej metóde rozšírenú maticu sústavy upravíme na stupňovitú (Gaussovu) maticu a na základe Frobeniovej vety (Matematika a jej využitie v ekonómii) rozhodneme o počte riešení rovnice v prípade nenulového počtu riešení ich aj vyjadríme.

36 Zbierka riešených a neriešených úloh. Pomocou prvého riadku nájdeme. Riešenie sústavy zapíšeme v tvare T T ) ( ) (. Príklad. Riešme sústavu rovníc 9. Riešenie: Postupujeme podobne ako v predchádzajúcej úlohe. 9 R 9 R R R R. Hodnosť matice je rovná a hodnosť rozšírenej matice je rovná. Na základe Frobeniovej vety sústava nemá riešenie. Príklad.8 Riešme sústavu rovníc. Riešenie: Postupujeme podobne ako v predchádzajúcich úlohách.

37 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii R R R 8 R. Hodnosť matice je rovná a hodnosť rozšírenej matice je takisto rovná ale počet neznámych je rovný. Na základe Frobeniovej vety má sústava nekonečne veľa riešení. Tretí riadok upravenej matice obsahuje neznáme jednu z neznámych si zvolíme ako parameter R t. t. Ďalšiu neznámu potom vyjadríme pomocou parametra t t. Z druhého riadku t t t ) (. Z prvého riadku 8 ) ( ) ( t t t Riešenie sústavy zapíšeme v tvare R t t t t T T ) 8 ( ) (. CRMEROVO PRVIDLO Sústavu lineárnych algebrických rovníc ktorých matica je regulárna (štvorcová a jej determinant je nenulový) môžeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla (Matematika I a jej využitie v ekonómii).

38 Zbierka riešených a neriešených úloh k riešime sústavu lineárnych rovníc s neznámymi a a a a a a a a a b b b k jej riešeniu môžeme použiť Cramerovo pravidlo kde je nutné vypočítať determinanty D a a a a a a a a a a a a a b D a a b b b b a a a a D b a a a a b b a D a b a a a pričom matica z ktorej sa vypočíta determinant D musí byť regulárna ( D ). Riešenie takejto sústavy je D D D. D D D Príklad.9 Riešme sústavu rovníc. Riešenie: Vypočítame determinanty D D D D 8 8. Riešenie sústavy zapíšeme v tvare T T ( ) ( ).

39 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. Neriešené úlohy V nasledujúcich úlohách nájdite v množine R kanonický rozklad polynómu na súčin koreňových činiteľov: Výsledky:. ( )( )( ). 8 ( )( )( ). ( )( )( ). ( )( )( ). ( ) ( )( ). ( ) ( ). 8 ( )( )( ) 8. ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )( ). ( ) ( )( ). ( )( ). 9 8 ( ) ( )( ). 8 9 ( ) ( ). ( )( ) ( ). 9 ( )( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( ) 9. ( )( ). 9 ( )( ) ( ). 8 8 ( )( ) ( ). 8 ( )( ). 8 8 ( )( ) ( )( ). 9 ( )( ) ( )( ). 8 ( )( ) ( ). ( )( ). 8 ( )( ) ( ) ( )( ) 9. 9 ( )( ) ( )( ). 9 ( )( ) ( )

40 Zbierka riešených a neriešených úloh V nasledujúcich úlohách rozložte v množine R racionálne funkcie na súčet elementárnych zlomkov: ) (.. ) (. ) (. 8 ) (. 8 8 ) (. 8 ) ( 8. ) ( ) (

41 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii ) (.. 8 ) (. ) (. ) ( ) ( 9.. ) ( ) (.

42 Zbierka riešených a neriešených úloh 8 8. ) ( ) (. 9 ) ( V nasledujúcich úlohách pre dané matice vypočítajte a) B b) B c) B d) e) B f) T. B a) b) c) d) e) neeistuje f). B a) c) e) neeistuje b) d) f). B a) b) d) neeistuje c) e) 8 f) ( ). ( ) B a) b) c) d) e) neeistuje f) ( ) T. ( ) B a) c) d) e) neeistuje b) ( ) 9 f) ( ) T. B a) c) e) neeistuje b)

43 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9 d) 9 f). B a) c) e) neeistuje b) 9 8 d) 9 f) V nasledujúcich úlohách určte hodnosť matice: 8. ( ) h 9. 8 ( ) h ( ) h 8. 9 ( ) h 8. ( ) h

44 Zbierka riešených a neriešených úloh 8. 8 ( ) h 8. 9 ( ) h 8. 9 ( ) h 8. ( ) h 8. ( ) h ( ) h V nasledujúcich úlohách vypočítajte determinanty matíc:

45 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii

46 Zbierka riešených a neriešených úloh

47 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii V nasledujúcich úlohách vypočítajte inverznú maticu k danej matici:

48 Zbierka riešených a neriešených úloh neeistuje

49 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii V nasledujúcich úlohách riešte sústavy lineárnych rovníc Gaussovou einačnou metódou:. T ) (. T ) (

50 Zbierka riešených a neriešených úloh 8. Ø 9. R t t t t ) T (. T ) ( T ) (. T ) (. 9 T ) ( T ) (. 8 T ) (

51 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. 8 T ) (. Ø 8. 9 Ø Ø. Ø R t s t s s t s t T ) 9 ( R t s s s t s t T ) 8 8 (

52 Zbierka riešených a neriešených úloh R t s s t s t s t T ) (. 8 8 R t s s t s t s t T ) 9 8 (. T ) (. T ) (. T ) ( 8. 9 Ø 9. R t t t t t ) T (

53 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9. R t t t t t T. 8 R u t u t u t u t T 8. 9 R b a b a b a T ) 9 (. R b a b a b a b a b a T. 8 Ø

54 Zbierka riešených a neriešených úloh. 9 T R t t t t t T 9 8. R t t t t ) T ( 8. T ) ( 9. Ø V nasledujúcich úlohách riešte sústavy lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla:

55 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. T ) (. 8 T ) (. 8 T ) (. 8 T ) (. T ) (. T ) (. T ) (. 9 T ) ( 8. 9 T ) ( 9. T ) ( 8. T ) (

56 Zbierka riešených a neriešených úloh 8. 9 T ) ( 8. 9 T ) ( T 8. T ) ( 8. T ) ( 8. T ) ( 8. 9 T 88. T ) ( T 9. T ) (

57 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9. 8 T ) ( 9. T ) ( T ) ( 9. T ) ( T ) ( 9. 8 T ) ( V nasledujúcich príkladoch riešte slovné úlohy: 9. V tabuľke sú uvedené náklady na pracovnú silu a náklady na materiál pri výrobe dvoch modelov chladničiek modelu a modelu B. model prac. sila materiál 8 B

58 Zbierka riešených a neriešených úloh Vypočítajte koľko chladničiek modelu a koľko chladničiek modelu B je potrebné vyrobiť za týždeň keď na pracovnú silu máme týždenne k dispozícii na materiál 8 a chceme využiť všetky na to vyhradené peniaze. kusov B8 kusov 98. V tabuľke sú uvedené náklady na pracovnú silu a náklady na materiál pri výrobe dvoch modelov DVD prehrávačov. náklady B prac. sila materiál Vypočítajte koľko prehrávačov modelu a koľko prehrávačov modelu B je potrebné vyrobiť za deň keď na pracovnú silu máme denne k dispozícii 9 na materiál 8 a chceme využiť všetky na to vyhradené peniaze. kusov B kusov 99. V tabuľke sú uvedené náklady na pracovnú silu a náklady na materiál pri výrobe dvoch modelov CD prehrávačov. náklady B prac. sila materiál 8 Vypočítajte koľko prehrávačov modelu a koľko prehrávačov modelu B je potrebné vyrobiť za deň keď na pracovnú silu máme denne k dispozícii 9 na materiál a chceme využiť všetky na to vyhradené peniaze. Systém rovníc má riešenie ( t t) t T.. V tabuľke sú uvedené náklady na pracovnú silu náklady na materiál a náklady na reklamu pri výrobe troch modelov hodiniek. model prac. sila materiál reklama B 8 C 8 a) Vypočítajte koľko kusov hodiniek modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za týždeň keď na pracovnú silu máme týždenne k dispozícii na materiál a na reklamu pričom chceme využiť všetky na to vyhradené peniaze. b) ko by sa zmenila výroba ak peniaze na reklamu využijeme na iný účel? a) kusov B kusov C kusov. T b) Systém rovníc má riešenie ( 8t t 9 t) t.

59 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. V tabuľke sú uvedené náklady na pracovnú silu náklady na materiál a náklady na reklamu pri výrobe troch modelov fotoaparátov. náklady B C prac. sila materiál reklama Vypočítajte koľko kusov fotoaparátov modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za týždeň keď na pracovnú silu máme týždenne k dispozícii na materiál 8 a na reklamu pričom chceme využiť všetky na to vyhradené peniaze. kusov B kusov C kusov.. V tabuľke sú uvedené náklady na pracovnú silu náklady na materiál a náklady na reklamu pri výrobe troch modelov videokamier. náklady B C prac. sila materiál reklama Vypočítajte koľko kusov videokamier modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za týždeň keď na pracovnú silu máme týždenne k dispozícii na materiál 8 a na reklamu pričom chceme využiť všetky na to vyhradené peniaze. Systém rovníc má riešenie ( t t t) t T.. V tabuľke je uvedená časová náročnosť na výrobu postelí troch modelov B a C na jednotlivých výrobných oddeleniach. model stolárske odd. čalúnnické odd. epedícia hod. hod. hod. B hod. hod. hod. C hod. 8 hod. hod. a) Vypočítajte koľko kusov postelí modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za mesiac keď pre stolárske oddelenie máme mesačne k dispozícii hodín pre čalúnnické oddelenie 9 hodín a pre epedíciu hodín pričom chceme využiť celú časovú kapacitu. b) Predpokladáme že zo všetkých modelov sa spracuje rovnaký počet postelí na stolárskom oddelení rovnaký počet na čalúnnickom oddelení a takisto rovnaký počet na epedícii. Vypočítajte tieto počty pre jednotlivé oddelenia keď pre model máme mesačne k dispozícii hodín pre model B hodín a pre model C 8 hodín pričom chceme využiť celú časovú kapacitu. c) ko by sa zmenila výroba v prípade b) ak výrobu modelu vynecháme? d) ko by sa zmenila výroba v prípade a) ak výrobu modelu vynecháme?

60 Zbierka riešených a neriešených úloh a) kusov B kusov C kusov. b) Na stol. odd. po kusov na čalún. odd. po 8 kusov na eped. po kusy. T c) Systém rovníc má riešenie ( t t t) t 8 d) Nemá riešenie.. V tabuľke je uvedená časová náročnosť na výrobu troch modelov taburetiek B a C na jednotlivých výrobných oddeleniach. oddelenie B C stolárske hod. hod. hod. čalúnnické hod. hod. 8 hod. epedícia hod. hod. hod. a) Vypočítajte koľko kusov taburetiek modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za mesiac keď pre stolárske oddelenie máme mesačne k dispozícii hodín pre čalúnnické oddelenie 8 hodín a pre epedíciu 9 hodín pričom chceme využiť celú časovú kapacitu. b) Predpokladáme že zo všetkých modelov sa spracuje rovnaký počet taburetiek na stolárskom oddelení rovnaký počet na čalúnnickom oddelení a takisto rovnaký počet na epedícii. Vypočítajte tieto počty pre jednotlivé oddelenia keď pre model máme denne k dispozícii hodín pre model B hodín a pre model C hodín pričom chceme využiť celú časovú kapacitu. c) ko by sa zmenila výroba a) ak vynecháme epedíciu? a) kusov B kusov C kusov. b) Na stol. odd po kuse na čalún. odd. po kusy na eped. po kuse. T 9 c) Systém rovníc má riešenie (.t 9 t t) t.. V tabuľke je uvedená časová náročnosť na výrobu troch modelov B a C určitého výrobku na jednotlivých výrobných linkách. linka B C. min. min. min.. min. min. min.. min. min. min. a) Vypočítajte koľko kusov výrobkov modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za týždeň keď pre. linku máme týždenne k dispozícii minút pre. linku minút a pre. linku minút pričom chceme využiť celú časovú kapacitu. b) ko by sa zmenila výroba ak odstavíme. linku? c) ko by sa zmenila výroba ak odstavíme. linku? a) kusov B kusov C kusov. T b) Systém rovníc má riešenie ( t 9 t t) t. c) Systém rovníc má riešenie ( t t t ) t. T

61 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii. V tabuľke je uvedená časová náročnosť na výrobu troch modelov B a C určitého výrobku na jednotlivých výrobných linkách. model. linka. linka. linka min. 8 min. min. B min. min. min. C 8 min. min. 8 min. a) Vypočítajte koľko kusov výrobkov modelu koľko kusov modelu B a koľko kusov modelu C je potrebné vyrobiť za mesiac keď pre. linku máme mesačne k dispozícii 8 8 minút pre. linku 9 minút a pre. linku minút pričom chceme využiť celú časovú kapacitu. b) ko by sa zmenila výroba ak odstavíme. linku? a) kusov B8 kusov C kusov b) Systém rovníc má riešenie t t 8 t t 8. T

62 8 Zbierka riešených a neriešených úloh LIMIT SPOJITOSŤ FUNKCIE. Riešené úlohy LIMIT FUNKCIE Pri počítaní ít bez použitia derivácií postupujeme takto: zistíme typ neurčitosti (typ ity) vhodnou úpravou odstránime neurčitosť dosadením itu vypočítame. Príklad. Vypočítajme Riešenie:. Po dosadení do funkcie zistíme že sa jedná o neurčitosť typu to znamená že číslo je koreňom polynómu v čitateli aj v menovateli. V takomto prípade predelíme aj čitateľa aj menovateľa výrazom ( ) potom ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). 8 8 Príklad. Vypočítajme Riešenie:. Po dosadení do funkcie zistíme že sa jedná o neurčitosť typu ale pri počítaní takejto ity je vhodná úprava tzv. násobenie vhodnou jednotkou v našom prípade v tvare ( a b)( a b) a b odstráni odmocninu v menovateli.. Táto úprava využitím vzťahu ( ). Príklad. Vypočítajme cos. Riešenie:

63 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9 V prípadoch keď počítame itu funkcie v ktorej vystupuje goniometrická funkcia a typ neurčitosti využijeme zväčša vzorec sin. Našou úlohou je funkciu najprv vhodne upraviť (násobiť vhodnou jednotkou ) aby sme mohli uvedený vzorec použiť. cos sin ) cos ( sin ) cos ( cos cos cos cos Príklad. Vypočítajme. Riešenie: Počítame itu neurčitosti typu kde sa najčastejšie využíva úprava delenie čitateľa aj menovateľa s najvyššou mocninou v menovateli. V tomto prípade je v menovateli najvyššou mocninou. Preto. Príklad. Vypočítajme. Riešenie: Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade ale čitateľa a menovateľa funkcie delíme.. Príklad. Vypočítajme. Riešenie: Tak ako v oboch predchádzajúcich príkladoch aj tu riešime itu funkcie s neurčitosťou ale čitateľa a menovateľa funkcie delíme.

64 Zbierka riešených a neriešených úloh. Príklad. Vypočítajme. Riešenie: Po dosadení zistíme že táto ita je typu. Pri počítaní takýchto ít využijeme vzťah e resp. jeho zovšeobecnenie k e k R k. Našou úlohou je teda upraviť výraz v ite tak aby sme mohli použiť uvedený vzorec.. e e e n n SPOJITOSŤ FUNKCIE Príklad.8 Nájdime body nespojitosti funkcie ( ) f a určme o aký typ nespojitosti ide. Riešenie: Jedná sa o racionálnu funkciu body nespojitosti sú body v ktorých menovateľ je rovný nule. Bod nespojitosti prvého druhu je taký bod nespojitosti funkcie v ktorom jednostranné ity funkcie eistujú a sú konečné (vlastné čísla). Bod nespojitosti druhého druhu je taký bod nespojitosti funkcie v ktorom aspoň jedna jednostranná ita funkcie je nevlastná alebo neeistuje.

65 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Pretože bod je bodom nespojitosti prvého druhu. Pretože a bod je bodom nespojitosti druhého druhu. Príklad.9 Nájdime také hodnoty konštanty aby funkcia f ( ) bola spojitá na celom definičnom obore. Riešenie: aj < k je funkcia v bode spojitá zľava aj sprava je v tomto bode spojitá. Vypočítame jednostranné ity v bode a dáme ich do rovnosti ( ) ( ) odkiaľ dostaneme. SYMPTOTY GRFU FUNKCIE k je bod nespojitosti funkcie stačí aby aspoň jedna z jednostranných ít v bode bola nevlastné číslo alebo a priamka bude asymptota bez smernice (BS) grafu funkcie. symptota so smernicou (SS) pre je priamka y k q ktorej f ( ) koeficienty k a q [ f ( ) k] musia byť vlastné čísla. symptota so smernicou (SS) pre je priamka y k q ktorej f ( ) koeficienty k a q [ f ( ) k] musia byť vlastné čísla. Príklad. Nájdime všetky asymptoty ku grafu funkcie ( ) Riešenie: Bod nespojitosti je bod a jednostranné ity v ňom sú f.

66 Zbierka riešených a neriešených úloh a. Obe sú nevlastné čísla preto asymptota bez smernice (BS) je priamka. Pri hľadaní asymptoty so smernicou (SS) počítame koeficienty k q ( ) f a koeficienty f k ( ) [ f ( ) k ] ( ) ( ) q [ f ( ) k]. Pretože k k a q q SS je jediná a je to priamka y.. Neriešené úlohy V nasledujúcich úlohách vypočítajte ity funkcií ak eistujú: ( ) Výsledky: 9

67 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii sin tg sin sin sin sin sin tg sin tg tg cos. sin cos cos sin cos - tg π

68 Zbierka riešených a neriešených úloh. -.. ) (. ) (. ) ( e. e. e. e. e. e. e. e. e 8. e

69 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii V nasledujúcich úlohách nájdite body nespojitosti (BN) funkcie a na základe jednostranných ít v bodoch nespojitosti určte o aký typ nespojitosti ide:. ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) 8. ( ) 9. ( ). ( ). ( ) f je BN. druhu f je BN.druhu f je BN. druhu f je BN. druhu f 8 je BN. druhu f je BN. druhu f ( )( ) je BN. druhu je BN.druhu f ( ) ( ) je BN. druhu je BN.druhu f 8 je BN. druhu je BN.druhu V nasledujúcich úlohách nájdite také hodnoty konštanty aby daná funkcia bola spojitá na celom definičnom obore:. ( ) < f

70 Zbierka riešených a neriešených úloh. ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) f < - < f < f f < < f V nasledujúcich úlohách nájdite všetky asymptoty (bez smernice aj so smernicou) ku grafu danej funkcie a načrtnite ich: 8. ( ) 9. ( ). ( ). ( ) f BS: SS: y f BS: SS: y f BS: SS: y f BS: SS: nee. f ( ) BS: SS: y f BS: SS: y f BS: ± SS: y f BS: ± SS: y. ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) f BS: nee. SS: y f BS: SS: y ( ). ( )

71 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii DERIVÁCI FUNKCIE. Riešené úlohy DERIVÁCI FUNKCIE Nech funkcie f () a g () majú v bode derivácie f ( ) a g ( ) nech c R. f Potom funkcie cf f g fg a ak g ( ) tak aj funkcia majú derivácie v g bode pre ktoré platí: cf ) ( ) cf ( ) ( ( f g) ( ) f ( ) g ( ( fg ) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ) f f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( ). g [ g( )] Nech funkcia ( g( ) ) f je definovaná v okolí bodu. Nech funkcia g má v bode deriváciu g ( ) a funkcia f má v bode g ( ) deriváciu f ( g( )). Potom má funkcia f ( g( ) ) deriváciu v bode [ f ( g) ] ( ) f ( g( )) g ( ). Základné vzorce pre výpočet derivácie platné na množine kde derivácie eistujú: ( c ) c R r r ( ) r r R ( a ) a ln a a > a ( e ) e (log a ) a > a ln a (ln ) (sin ) cos (cos ) sin ( tg ) cos (cotg ) sin

72 8 Zbierka riešených a neriešených úloh Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie ( ) Riešenie: f. f ( ). Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie f ( ) e log. Riešenie: f ( ) e e ln ln ln. ln e ln ln Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie f ( ) e sin Riešenie: Funkcia f je v tvare súčinu f ( ). ( e ) sin e (sin ) e sin e cos e (sin cos ) Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie f ( ) Riešenie: Funkcia f je v tvare podielu f ( ) (tg ) tg ( ) cos tg. tg Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie ( ) Riešenie: Funkciu vyjadríme v tvare ( ) zloženej funkcie cos sin f. cos f ( ) a potom použijeme vzorec pre deriváciu f ( ) ( ) ( ) ( )

73 MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii 9 Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie ( ) Riešenie: Funkciu upravíme na tvar ( ) (sin ) zloženej funkcie f ( ) (sin (sin ) ) (cos (sin ) f sin. f a znova použijeme vzorec pre deriváciu ) (sin (sin ) (cos ) (cos ). ) ( ) (sin ) (cos ) ( ). Príklad. Vypočítajme deriváciu funkcie ( ) Riešenie: sin ln( ) Funkciu upravíme na tvar ( ) f e sin ln( ) ( ) e [ sin ln( ) ] ( ( sin ln( ) ) ) sin sin f f e a derivujeme ju ako zloženú funkciu [(sin ) ln( ) sin (ln( )) ] cos ln( cos ln( ) sin sin ). sin DOTYČNIC NORMÁL KU GRFU FUNKCIE Derivácia funkcie y f ( ) v bode je smernica funkcie v dotykovom bode T [ y ] čiže k f ( ) t k n. k t dotyčnice ku grafu tejto a smernica normály je f ( ) Rovnica dotyčnice je t : y y f ( )( ) Rovnica normály ak f ( ) je. n : y y. f ( ) ( ) Príklad.8 Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f ( ) v bode T [? ]. Riešenie: Najprv vypočítame y - ovú súradnicu dotykového bodu T. Keďže bod T je dotykový leží teda na parabole danej funkciou f ( ) vlastne funkčná hodnota f ( ). Bod [ ] T. Do rovnice dotyčnice potrebujeme dosadiť aj smernicu čiže y - ová súradnica je