Štatisticky tolerančný interval nazýva ISO Statistics. Vocabulary and symbols. Part 1: Probability and general statistical terms ako štatistick

Size: px
Start display at page:

Download "Štatisticky tolerančný interval nazýva ISO Statistics. Vocabulary and symbols. Part 1: Probability and general statistical terms ako štatistick"

Transcription

1 Použitie štatistických tolerančných intervalov v riadení kvality Ivan Janiga Katedra matematiky SjF STU v Bratislave

2 Štatisticky tolerančný interval nazýva ISO Statistics. Vocabulary and symbols. Part 1: Probability and general statistical terms ako štatistický pokrývajúci interval aby nedošlo k nesprávnej zámene za tolerančný interval definovaný v ISO Statistics. Vocabulary and symbols. Part : Statistical quality control ISO : 005 (Statistical interpretation of data. Part 6: Determination of statistical tolerance intervals) používa termín štatisticky tolerančný interval

3 Čo je teda štatistický tolerančný (pokrývajúci) interval? Interval, o ktorom je možné s danou úrovňou spoľahlivosti 1 α ( 0 <α < 1) tvrdiť, že obsahuje aspoň zadaný podiel p ( 0 < p < 1) základného súboru náhodnej premennej X. Vyjadrené pomocou pravdepodobnosti kde P (( L X H ) p) = 1 α L je dolná medza štatistického tolerančného intervalu; U je horná medza štatistického tolerančného intervalu; A čo je interval spoľahlivosti? Jo to intervalový odhad parametra základného súboru náhodnej premennej X. Ak napríklad parameter je stredná hodnota základného súboru µ = E(X ), potom kde P ( L µ H ) = 1 α L je dolná medza intervalu spoľahlivosti; U je horná medza intervalu spoľahlivosti;

4 . Štatistické tolerančné medze pre základný súbor s normálnym rozdelením Nech náhodná premenná (meraný znak kvality) X má normálne rozdelenie so strednou hodnotou µ a rozptylom ISO : 005 uvažuje 4 prípady σ, t. j. ~ N( µ, σ ) X. štvrtý prípad je σ, µ známe σ známy, µ neznáme σ, µ neznáme ľubovolné spojité rozdelenie.

5 .1 Stredná hodnota µ a rozptyl σ sú známe Medze, ktoré pokrývajú podiel p hodnôt základného súboru so stopercentnou spoľahlivosťou: napravo od x µ u σ (jednostranný interval), L = p naľavo od x µ+ u σ (jednostranný interval), U = p medzi x µ σ a x µ+ σ (dvojstranný interval). L = u ( 1+ p ) / U = u ( 1+ p ) / kde u p je p- kvantil normovaného normálneho rozdelenia.

6 V praxi sa však častejšie vyskytujú prípady, keď je jeden z parametrov µ a σ neznámy (obvykle µ ) alebo obidva parametre sú neznáme. Majme hodnoty náhodného výberu x, x,, x 1 L n z rozdelenia N ( µ, σ ). Z nich vypočítame hodnoty odhadov n 1 x = x i parametra µ a n i= 1 s 1 = n 1 n i= 1 Budeme hľadať intervaly, ktoré so spoľahlivosťou z rozdelenia N ( µ, σ ). ( x i x) parametra σ. (1) 1 α pokrývajú aspoň podiel p hodnôt

7 . Stredná hodnota µ je neznáma a rozptyl σ je známy Jednostranný štatistický tolerančný interval má potom tvar (, x k σ] alebo [ + σ, ) 1 pričom pre tolerančný činiteľ platí kde x () k 1 u1 α k1 ( n; p; 1 α) = u p + (3) n u p a u sú kvantily rozdelenia N (0, 1). 1 α Dvojstranný štatistický tolerančný interval je interval [ k σ x+ σ], k x (4) v ktorom tolerančný činiteľ k ( n; p; 1 ) je riešením rovnice α u1 α / u1 α / Φ k + +Φ k = 1+ p (5) n n

8 .3 Stredná hodnota µ a rozptyl Nech parametre µ a σ sú neznáme. σ sú neznáme Jednostranný štatistický tolerančný interval má tvar (, x k σ] alebo [ + σ, ) 3 pričom exaktný vzťah pre tolerančný činiteľ je k ( n; p; 1 α) = 3 t x (6) k 3 ( n 1,u n) 1 α kde v čitateli je 100(1 α) % kvantil necentrálneho t-rozdelenia so stupňami voľnosti n 1 s parametrom necentrality u p n. n p Dvojstranný štatistický tolerančný interval pre jeden súbor meraní má tvar [ k σ x+ σ] 4, k 4 x (8) Treba vypočítať hodnotu neznámeho tolerančného činiteľa k 4 ( n; p; 1 α) tak, aby príslušný interval s pravdepodobnosťou 1 α pokryl aspoň podiel p hodnôt z rozdelenia N ( µ, σ ). Na výpočet použijeme exaktny vzťah (1). (7)

9 Dvojstranné tolerančné intervaly pre viac nezávislých súborov meraní Majme m náhodných premenných X ~ N (, σ ), pričom µ ( i= 1,,..., m) a σ sú neznáme i Nech ( x, x,, x ) i1 i L in sú nezávislé merania veličiny i i µ i X ( i= 1,,..., m). Dostaneme tak m súborov s rovnakým počtom n nezávislých meraní. Hľadáme intervaly, ktoré so spoľahlivosťou hodnôt z rozdelení N (, σ ). µ i 1 α obsahujú aspoň podiel p V tomto prípade môžeme vypočítať m dvojstranných tolerančných intervalov. kde x s ( x k s x + k s ) i. P, i. P (9) 1 = n i. x ij n j= 1 P 1 = m( n 1) je hodnota odhadu parametraµ, (10) m n i= 1 j= 1 ( x ij x ) i. i je združený odhad spoločného rozptylu σ. (11)

10 Rovnako ako v predchádzajúcom prípade potrebujeme vypočítať hodnotu tolerančného činiteľa k m ( n; p; 1 ) tak, 4 α aby príslušný interval s pravdepodobnosťou 1 α pokryl aspoň podiel p hodnôt z rozdelenia N (, σ ). µ i

11 Výpočet dvojstranných tolerančných činiteľov k ( n; p; 1 ) a ( n; p; 1 ) 4 α Dnes už aproximácie nevyhovujú. Preto pri revízii ISO : 005 o tolerančných intervaloch sa pristúpilo k výpočtu tolerančných činiteľov k = k( n, ν, p,1 α) pomocou exakných vzťahov [5], [6], [7], [8], [9] k4 m α n π F( x, k) e nx dx 1+ α = 0 (1) kde F( x, k) = ν R ( x) k ν t 1 t e d t ν ν Γ a R (x) je riešenie rovnice Φ ( x+ R) Φ( x R) p= 0.

12 Hodnotu tolerančného činiteľa k = k( n, ν, p,1 α) pre rôzne n, ν, p, 1 α dostaneme ako výsledok riešenia integrálnej rovnice (1). Pri riešení bolo potrebné použiť numerické metódy. V prípade jedného súboru meraní x, x,, x 1 L n sa 4 = k4 ( n, ν, p,1 α tolerančné činitele k ) vypočítajú z rovnice (1) tak, že zvolíme ν = n 1. Každej hodnote n teda zodpovedá jediná hodnota ν. Pre viac nezávislých súborov meraní ( x, x,, x ) i1 i L in, kde ( 1,,..., m) 4 = k 4m ( n, ν, p,1 α i=, tolerančné činitele k m ) sa tiež vypočítajú z rovnice (1) tak, že volíme ν n 1. V tomto prípade každej hodnote n zodpovedajú všetky hodnoty ν n 1.

13 3. Štatistické tabuľky tolerančných činiteľov pre normálny základný súbor ISO : 005 uvádza hodnoty k na 3 desatinné miesta pre kombinácie parametrov µ neznáme, σ známe, resp. µ, p = 0,50 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999, 1 α= 0,5 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999 a n = (1)0()30(5)50(10)100(50)300(100) , Odeh [8] má činitele k vypočítané na 3 desatinné miesta v prípade dvojstranných štatistických tolerančných medzí pre p= 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999, 1 α = 0,5 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995 a n= (1)100()180(5)300(10)400(5)650(50)1000; 1500; 000; 3000; 5000; 10000,, jednostranných štatistických tolerančných medzí pre p= 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,999; 0,9999, 1 α = 0,005; 0,01; 0,05; 0,05; 0,10; 0,5; 0,50; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995 a n= (1)100()180(5)300(10)400(5)650(50) 1000; 1500; 000; 3000; 5000; 10000,. σ neznáme pre:

14 Likeš a Laga [3] uvádza hodnoty k na 4 desatinné miesta v prípade jednostranných štatistických tolerančných medzí (µ, σ neznáme) pre p = 0,50 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999, 1 α= 0,5 ; 0,75; 0,90; 0,95; 0,99; 0,999 a n = (1)0()30(5)50(10)100(50)300. dvojstranných štatistických tolerančných medzí (µ, σ neznáme resp. µ neznáme a σ známe, pre rovnaké hodnoty p, 1 α ako pri jednostranných medziach a pre n = (1)0()30(5)50(10)100(50)300(50)500(100)1000.

15 Garaj a Janiga [10], [11], [1] uvádzajú hodnoty k na 4 desatinné miesta iba pre prípad µ, σ neznáme. Pre jednostranné štatistické tolerančné medze [1] p= 0,55; 0,55(0,05) 0,70; 0,75; 0,75(0,05) 0,90; 0,91(0,01) 0,97; 0,975; 0,98; 0,99; 0,991(0,001) 0,999; 0,9999, 1 α = 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,05; 0,10; 0,5; 0,50; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999; 0,9999, n= (1)00(5)300(10) 400(5) 1000; 1500; 000(1000) 5000; V poslednom riadku ( ) sú hodnoty kvantilov u p rozdelenia N (0, 1). Pre dvostranné štatistické tolerančné medze rozdelenia jedného súboru [10] p= 0,50(0,05) 0,90; 0,91(0,01) 0,99; 0,991(0,001) 0,999, 0,9991(0,0001) 0, α = 0,50; 0,75; 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999, n= (1) 00; 0(0) 500; 550(50) 1000; 1500(500) 10000; 0000(10000) V poslednom riadku ( ) sú hodnoty kvantilov rádu 1+ p rozdelenia N (0, 1).

16 Špeciálny prípad tvoria štatistické tolerančné medze rozdelení viacej súborov so spoločný rozptylom [11]. Tabuľky 1 až 5 z tabuľkovej časti obsahujú hodnoty k s presnosťou na štyri desatinné miesta pre všetky kombinácie 1 α = 0,90; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999 p = 0,90; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999. v každej z tabuliek 1 až 5 sú hodnoty k vypočítané pre n= (1) 40; 45(5) 100; 00(100) 1000; 5000; 10000, ν= 1(1) 60(5) 100(100) 1000; 5000; 10000,. V poslednom riadku ( ) sú hodnoty k vypočítané pre a v poslednom stĺpci ( ) pre ν = n = 10

17 4 Príklady Dáta pre príklady 1 až 4 Merali sa zaťaženia bavlnenej priadze pri pretrhnutí. Počet pozorovaní n = 1, ktorý v týchto príkladoch uvažujeme, je podstatne nižší než odporúčaný počet podľa normy ISO 60 [1]. Číselné údaje a výpočty v rôznych príkladoch sa uvádzajú v centinewtonoch. Namerané hodnoty sú: 8,6 3,7 38,8 317, 315,8 75,1, 36,7 4,7 51, 10,4 70,7 Tieto merania sa získali z dávky cievok, vyrobených počas jednej výrobnej zmeny, zabalených v 10 škatuliach, v každej z nich bolo 100 cievok. Z dávky sa náhodne vybralo 1 škatúľ a z každej z týchto škatúľ sa náhodne vybrala jedna cievka. Z priadze na týchto cievkach sa odstrihli skúšobné kusy s dĺžkou 50 cm, pričom boli vo vzdialenosti približne 5 m od voľného konca. Samotné testy sa vykonali na stredných častiach týchto skúšobných kúskov. Predchádzajúce informácie oprávňujú k predpokladu, že zaťaženie pri pretrhnutí má v týchto podmienkach prakticky normálne rozdelenie. W-kritériom [13] bolo potvrdené, že údaje neodporujú predpokladu o normálnom rozdelení. Z nameraných dát sme získali tieto výsledky: x = 304,1/1= 5,01 (1) ( x) n x 16677,7 s = = = 163,463 = 35,545 () n( n 1) 1 11

18 Príklad 1: Jednostranný štatistický interval, známy rozptyl Predpokladajme, že predchádzajúce merania preukázali, že rozptyl známy a reprezentuje ho σ = 33,150, pričom µ je neznáma. Požaduje sa dolná medza x L, ktorá zaručí pri 1 α= 0, 95 (95 %), že aspoň 0,95 (95%) zaťažení pri roztrhnutí jednotiek z dávky bude nad hodnotou x L. V norme ISO nájdeme hodnotu príslušného tolerančného činiteľa odkiaľ k 1 ( n; p; 1 α) = k1(1; 0,95; 0,95) =,10 x L = x k1 ( n; p;1 α) σ= 5,01,10 33,150= 181,73 Ak chceme väčší podiel základného súboru (napr. p = 0, 99 ) a (alebo) vyššia úroveň spoľahlivosti (napr. 1 α= 0, 99 ), získala by sa nižšia hodnota dolnej medze x L.

19 Príklad : Dvojstranný štatistický interval, známy rozptyl Podmienky ako v príklade 1. Chceme také medze x L a x U, že pri 1 α= 0, 95 sa dá zaistiť, že aspoň podiel p = 0, 90 (90 %) namáhania pri roztrhnutí padne medzi x L a x. U V ISO nájdeme hodnotu príslušného tolerančného činiteľa odkiaľ k (1; 0,90; 0,95) 1,889 (v Likeš-Laga je k (1; 0,90; 0,95) 1, 8886 ) = x L = = x k ( n; p; 1 α) σ= 5,01 1,889 33,150= 189,390 x U = x+ k ( n; p; 1 α) σ= 5,01+ 1,889 33,150= 314,630 Porovnaním s príkladom 1 by malo byť jasné, že zaistenie toho, aby aspoň 90% základného súboru ležalo medzi x L a x, U nie je to isté ako zaistenie, že nie viac ako 5% leží za každou z medzí.

20 Príklad 3: Jednostranný štatistický tolerančný interval, neznámy rozptyl σ je neznáma a treba ju odhadnúť z výberu. Požiadavky ako v príklade so známou smerodajnou odchýlkou (Príklad 1), teda p = 0, 95 a 1 α= 0, 95. V norme ISO nájdeme hodnotu príslušného tolerančného činiteľa odkiaľ k 3 (1; 0,95; 0,95) =,737 (v Likeš-Laga aj v Garaj-Janiga [1] je k (1; 0,95; 0,95), 7364 ) x L 3 = = x k3 ( n; p; 1 α) s= 5,01,737 35,545= 154,73

21 Príklad 4: Dvojstranný štatistický tolerančný interval, neznámy rozptyl Podmienkach ako v príklade. Treba vypočítať medze x L a x tak, U aby sa pri úrovni spoľahlivosti 1 α= 0, 95 dalo zaistiť, že v časti dávky, ktorá sa rovná najmenej p = 0, 90 (90 %), bude hodnota zaťaženia pri roztrhnutí medzi x L a x. U V ISO nájdeme hodnotu príslušného tolerančného činiteľa odkiaľ k 4 (1; 0,90; 0,95) =,671 (Likeš-Laga: k (1; 0,95; 0,95), 6550 ; 4 = Garaj-Janiga: k (1; 0,95; 0,95), 6703 ) x L 4 = = x k 4 ( n; p;1 α) s= 5,01,671 35,545= 157,069 x U = x+ k4 ( n; p; 1 α) s= 5,01+,671 35,545= 346,951 x L je menšia a x je väčšia ako v príklade ( U σ známy) Použitie s namiesto σ si vyžaduje väčšiu hodnotu tolerančného činiteľa. Platíme určitú daň za neznalosť σ Ak nie je isté, že σ = 33,150 (príklady 1 a ) je správna, rozumnejšie je použiť odhad s spolu s príslušnými hodnotami tolerančných činiteľov.

22 Príklad 5. Dvojstranné štatistické tolerančné intervaly, neznámy spoločný rozptyl Na troch strojoch sa vyrábajú súčiastky rovnakého druhu. Namerané hodnoty znaku kvality na 17-tich súčiastkach od každého stroja sú uvedené v nasledovnej tabuľke. Chceme vypočítať 99 %-ný dvojstranný tolerančný interval pre znak kvality na prvom, druhom a treťom stroji so spoľahlivosťou 1 α = 0, 95.

23 17 j i 1. stroj. stroj 3. stroj 1 50,5 56, 59,0 49,9 57,3 59,7 3 48,4 54,5 58, 4 46,1 53,6 56,7 5 50,1 51,7 59,6 6 50, 55,5 60, 7 49,1 54,1 61,5 8 48,1 53,0 6,5 9 50,3 5,1 61, ,6 51,3 58, , 54,6 60,6 1 46,5 55,1 61, ,0 53, 57, ,1 53,8 59, ,6 53,9 59, ,6 54,1 59, ,8 54,0 59,0 j= 1 x 830, , ,4000 ij x i. 48,894 54, ,6706 s i 1,8947,366,1885

24 W-kritériom [6.] potvrdilo dobrú zhodu s N ( µ, σ ), µ a σ neznáme (P hodnota: 1. stroj - 0,076;. stroj - 0,870; 3. stroj 0,979). Bartletovým testom bola zistená homogenita rozptylov ( H : σ = σ = σ nezamietame, pričom P hodnota je 0,907) Na odhad spoločného rozptylu môžno použiť všetkých 5 nameraných hodnôt s P =,1498 a s P = 1, 466. Stredné hodnoty sú rôzne ( H : µ = µ = µ zamietame) Na odhad stredných hodnôt môžeme použiť iba 17 meraní z produkcie príslušných strojov. V Garaj, Janiga [11] pre n = 17 a ν = 3 (17 1) = 48 nájdeme k = 3, Potom 99 %-ný dvojstranný tolerančný interval so spoľahlivosťou 0,95 je pre 1. stroj: 48,894± 3,077, 1498, t. j. (44,13; 53,53),. stroj: 54,0000± 3,077, 1498, t. j. (49,30; 58,70), 3. stroj: 59,6706± 3,077, 1498, t. j. (54,97; 64,37).

25 Príklad 6 Štatistická prebierka meraním Pri štatistickej prebierke meraním je obyčajne normou daná dolná tolerančná hranica LSL (Lower Specification Limit), alebo horná tolerančná hranica USL (Upper Specification Limit). Nech merania znaku kvality ( x, x,, ) 1 L sú z rozdelenia N ( µ, σ ), kde neznáme µ a σ odhadneme pomocou vzťahov (1). x n V prípade hornej tolerančnej medze USL, dodávku výrobkov prijímame, ak výberovou kontrolou zistíme, že x + k s USL. V prípade dolnej tolerančnej medze LSL, dodávku výrobkov prijímame, ak výberovou kontrolou zistíme, že x k s LSL. V oboch prípadoch je k tabelový jednostranný tolerančný činiteľ. Voľba 1 α závisí od toho, ako je preberací plán výhodný pre výrobcu, ale aj pre odberateľa.

26 Odberateľ napr. zvolí 1 α = 0, 05 a p = 0, 90. Pre n = 10 nájdeme v [1] hodnotu k = 0,7116. V prípade hornej tolerančnej medze USL dodávku výrobkov prijímame, ak a zamietame, ak x + 0, 7116s USL x + 0, 7116s> USL Ak dodávka obsahuje podiel 100 p % = 90 % meraní pod hranicou USL, pravdepodobnosť, že bude prijatá je 1 (1 α ) = 0,95. V prípade dolnej tolerančnej medze LSL dodávku výrobkov prijímame, ak a zamietame, ak x 0, 7116s LSL x 0,7116s< LSL. Ak dodávka obsahuje podiel 100 p % = 90 % meraní nad hranicou LSL, pravdepodobnosť že bude prijatá je 1 (1 α ) = 0,95.

27 Príklad 7 (Prebierka dodávky polyesteru 104) Znak kvality polyesteru 104 je viskozita, meraná v mpa s (mili Pascal sekunda) pri teplote 5 C [5]. Normy žiada, aby horná medza viskozity bola USL= 1 000cP. Polyester 104 sa dodáva konštantným počtom sudov, ktorých obsah predstavuje jednu výrobnú dávku. Výsledky analýz prakticky nie sú zaťažené systematickými chybami. Náhodný výber poskytol n = 10 náhodných meraní: W-kritériom [6] bola potvrdená dobrá zhoda s normálnym rozdelením (P hodnota je 0,7385). Rovnako ako v príklade 6 zvoľme 1 α = 0, 05 a p = 0, 90. V Garaj, Janiga [1] pre n = 10 nájdeme k (10; 0,90; 0,05) 0, = Z nameraných dát podľa vzťahov (1) vypočítame x = 943, 8 a s = 3,0111. Pretože x + ks = 943,8+ 0,7116 3,0111= 945,94< nie je dôvod dodávku polyesteru 104 zamietnuť. Ak dodávka obsahuje 100 p % = 90 % meraní pod hranicou USL= 1 000cP, potom bude prijatá s pravdepodobnosťou 1 (1 α) = 1 0,05= 0,95.

28 Príklad 8 (Jednostranný štatistický tolerančný interval pro polyester 104) Pre dáta z príkladu treba vypočítať pravostranný tolerančný interval ( x+ k s), so spoľahlivosťou 1 α = 0, 90 tak, aby pokryl podiel p = 0, 95 hodnôt z rozdelenia N ( µ, σ ). Potom V tabuľke 10b [ ] nájdeme pre n = 10 hodnotu k (10; 0,95; 0,90),5684. t. j. interval x + ks= 943,8+,5684 3,0111= 951,53, (, 951,53) 3 = s pravdepodobnosťou 0,90 pokryje aspoň podiel 100 p % = 95 % hodnôt z uvedenej výrobnej dávky. Na základe 10 hodnôt z príkladu možno s pravdepodobnosťou 0, 90 očakávať, že aspoň podiel 95 % meraní z dodávky polyesteru 104 bude mať viskozitu menšiu ako 951,53 mpa s.

29 Literatúra [1] JÍLEK, M. Statistické toleranční meze. Praha, SNTL, 1988, 75 s. [] HÁTLE, J., LIKEŠ, J. Základy počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky. Praha, SNTL/ALFA, 197, 463 s. [3] JANIGA, I., MIKLÓŠ, R. Statistical tolerance intervals for a normal distribution. In Measurement Science Review. ISSN 13, 001, vol. 1, no. 1, p [4] GARAJ, I., JANIGA I. Dvojstranné tolerančné medze pre neznámu strednú hodnotu a rozptyl normálneho rozdelenia. Bratislava, Vydavateľstvo STU, 00, 147 s. ISBN [5] GARAJ, I., JANIGA I. Dvojstranné tolerančné medze normálnych rozdelení s neznámymi strednými hodnotami a s neznámym spoločným rozptylom. Two Sided Tolerance Limits of Normal Distributions with Uknown Means and Uknown Common Variability. Bratislava,Vydavateľstvo STU, 004, 18 s. ISBN [6] JOHNSON, N. L., WELCH, B. L. Applications of the non-central t-distribution. In Biometrika 1940, Vol. 31, p [7] HOGBEN, D., PINKHAM, R. S., WILK, B. B. The moments of the non-central t- distributions. In Biometrika 1961, Vol. 48, p [8] BAGUI, S. C. CRC Handbook of Percentiles of Non-Central t-distributions. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1993, 400 p. ISBN [9] WOLFRAM, S. The Mathematica Book. 3rd ed. Wolfram Media/Cambridge University Press, p. ISBN [10] SAHAI, H., OJEDA, M. M. A comparison of approximations to percentiles of the noncental t- distribution. In Revista Investigacion Operacional, 000, Vol. 1, No., p [11] EEDEN, van C. Some approximations to the percentage points of the non-central t- distribution. In Revue de l Institut International de Statistique 9, 1961, p

30 [1] WALLIS, W. A. Use of Variables in Acceptance Inspection for Percent Defective. Selected Techniques of Statistical Analysis (EISENHART, C., HASTAY, M. W., WALLIS, W. A. eds.). New York, 1947, McGraw Hill Bokk Company, p [13] JENNETT, W. T., WELCH, B. L. The control of proportion defective as judged by a single quality characteristic varying on a continuous scale. In Journal of the Royal Statistical Society, B 6, 1939, p [14] CORNISH, E. A., FISHER, R. A. Moments and cumulants in the specification of distributions. In Revue de l Institut International de Statistique, 5, 1937, p [15] AKAHIRA, M. A higher order aproximation to a percentage point of the non-central t- distribution. In Communications in Statistics, Part B: Simulcition and Computation, 1995, 4(3), p [16] LIKEŠ, J., LAGA, J. Základní statistické tabulky. Praha, SNTL, 1978, 488 s. (in Czech). [17] ODEH, R.E., OWEN, D.B. Tables for Normal Tolerance Limits, Sampling Plans, and Screening. New York, Marcel Dekker, 1980, 316 p. ISBN [18] GARAJ, I. Preberací plán meraním pri daných jednostranných tolerančných medziach. In Statistika, 10, 199, s (in Slovak) [19] GARAJ, I. W-kritérium a jeho spracovanie na počítači. In 9. medzinárodný seminár Výpočtová štatistika. ISBN , SŠDS 000, s (in Slovak).

On One-Sided Tolerance Intervals of Normal Distribution With Unknown Parameters 1

On One-Sided Tolerance Intervals of Normal Distribution With Unknown Parameters 1 Joural of the Alied Mathematics, Statistics ad Iformatics (JAMSI), 1 (005), No. 1 O Oe-Sided Tolerace Itervals of Normal Distributio With Ukow Parameters 1 IVAN JANIGA AND IVAN GARAJ Abstract I the aer

More information

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS

More information

Obsah. 2 Určenie objemu valčeka Teoretický úvod Postup merania a spracovanie výsledkov... 10

Obsah. 2 Určenie objemu valčeka Teoretický úvod Postup merania a spracovanie výsledkov... 10 Obsah 1 Chyby merania 1 1.1 áhodné a systematické chyby.................... 1 1.2 Aritmetický priemer a stredná kvadratická chyba......... 1 1.3 Rozdelenie nameraných dát..................... 3 1.4 Limitné

More information

Jádrové odhady regresní funkce pro korelovaná data

Jádrové odhady regresní funkce pro korelovaná data Jádrové odhady regresní funkce pro korelovaná data Ústav matematiky a statistiky MÚ Brno Finanční matematika v praxi III., Podlesí 3.9.-4.9. 2013 Obsah Motivace Motivace Motivace Co se snažíme získat?

More information

Radka Sabolová Znaménkový test

Radka Sabolová Znaménkový test Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Sabolová Znaménkový test Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Martin Schindler

More information

Errors-in-variables models

Errors-in-variables models Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ida Fürjesová Errors-in-variables models Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Michal

More information

Modely, metódy a algoritmy pre analýzu longitudinálnych dát

Modely, metódy a algoritmy pre analýzu longitudinálnych dát Vedecká rada Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Mgr Gejza Wimmer Autoreferát dizertačnej práce Modely, metódy a algoritmy pre analýzu longitudinálnych dát pre získanie

More information

Určenie hodnoty Value at Risk využitím simulačnej metódy Monte Carlo v neživotnom poistení

Určenie hodnoty Value at Risk využitím simulačnej metódy Monte Carlo v neživotnom poistení Určenie hodnoty Value at Risk využitím simulačnej metódy Monte Carlo v neživotnom poistení Vladimír Mucha 1 Abstrakt Cieľom príspevku je poukázať na využitie simulačnej metódy Monte Carlo pri určovaní

More information

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 21, No. 2, 2000

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 21, No. 2, 2000 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol., No., 000 A COMPARISON OF APPROXIMATIONS TO PERCENTILES OF THE NONCENTRAL t-distribution Hardeo Sahai, Department of Biostatistics and Epidemiology, University of

More information

Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA

Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA REGRESIA Róbert Tóth Bratislava 2013 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava THEILOVA

More information

ODHAD PARAMETROV VŠEOBECNÉHO PARETOVHO ROZDELENIA SOFTVÉROM EVA V PROSTREDÍ JAZYKA R.

ODHAD PARAMETROV VŠEOBECNÉHO PARETOVHO ROZDELENIA SOFTVÉROM EVA V PROSTREDÍ JAZYKA R. ODHAD PARAMETROV VŠEOBECNÉHO PARETOVHO ROZDELENIA SOFTVÉROM EVA V PROSTREDÍ JAZYKA R. Abstrakt V prípade výskyt extrémnych hodnôt v databáze údajov je možné na ich popísanie zvoliť model prekročenia prah

More information

PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu

PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI. Anotácia predmetu PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 3I0107 Názov predmetu : Štatistické a numerické metódy Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: EF Zameranie: Ročník : 1. Ing. Semester : zimný Počet hodín týždenne

More information

Segmentace textury. Jan Kybic

Segmentace textury. Jan Kybic Segmentace textury Případová studie Jan Kybic Zadání Mikroskopický obrázek segmentujte do tříd: Příčná vlákna Podélná vlákna Matrice Trhliny Zvolená metoda Deskriptorový popis Učení s učitelem ML klasifikátor

More information

Kľúčové slová: SAR, šum spekl noise, evolučná PDR, lineárna difúzia, Perona-Malikova rovnica, štatistickéfiltre, Leeho filter

Kľúčové slová: SAR, šum spekl noise, evolučná PDR, lineárna difúzia, Perona-Malikova rovnica, štatistickéfiltre, Leeho filter Kľúčové slová: SAR, šum spekl noise, evolučná PDR, lineárna difúzia, Perona-Malikova rovnica, štatistickéfiltre, Leeho filter Tvorba šumu spekl radarový senzor vysiela elektromagneticlý pulz a meria odraz

More information

METRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE

METRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE 1. ÚVOD METRICKÉ ÚLOHY V PRIESTORE Monika ĎURIKOVIČOVÁ 1 Katedra Matematiky, Strojnícka fakulta STU, Abstrakt: Popisujeme možnosti použitia programového systému Mathematica pri riešení špeciálnych metrických

More information

Lucia Fuchsová Charakteristiky pravděpodobnostních

Lucia Fuchsová Charakteristiky pravděpodobnostních Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucia Fuchsová Charakteristiky pravděpodobnostních předpovědí Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské

More information

NÁVOD NA VYJADROVANIE NEISTOTY V KVANTITATÍVNYCH SKÚŠKACH (EA - 4/16: 2003)

NÁVOD NA VYJADROVANIE NEISTOTY V KVANTITATÍVNYCH SKÚŠKACH (EA - 4/16: 2003) SLOVENSKÁ NÁRODNÁ AKREDITAČNÁ SLUŽBA METODICKÁ SMERNICA NA AKREDITÁCIU METHODICAL GUIDELINE FOR ACCREDITATION NÁVOD NA VYJADROVANIE NEISTOTY V KVANTITATÍVNYCH SKÚŠKACH (EA - 4/16: 2003) GUIDELINES ON THE

More information

Kapitola S5. Skrutkovica na rotačnej ploche

Kapitola S5. Skrutkovica na rotačnej ploche Kapitola S5 Skrutkovica na rotačnej ploche Nech je rotačná plocha určená osou rotácie o a meridiánom m. Skrutkový pohyb je pohyb zložený z rovnomerného rotačného pohybu okolo osi o a z rovnomerného translačného

More information

STATISTIC OF QUASI-PERIODIC SIGNAL WITH RANDOM PERIOD - FIRST APPLICATION ON VOCAL CORDS OSCILLATION

STATISTIC OF QUASI-PERIODIC SIGNAL WITH RANDOM PERIOD - FIRST APPLICATION ON VOCAL CORDS OSCILLATION STATISTIC OF QUASI-PERIODIC SIGNAL WITH RANDOM PERIOD - FIRST APPLICATION ON VOCAL CORDS OSCILLATION KROUPA Lukáš (CZ), VÁVRA František (CZ), NOVÝ Pavel (CZ) Abstract. This paper will introduce problem

More information

RIEŠENIE PROBLÉMOV METÓDOU MONTE CARLO V TABUĽKOVOM KALKULÁTORE MS EXCEL ÚVOD

RIEŠENIE PROBLÉMOV METÓDOU MONTE CARLO V TABUĽKOVOM KALKULÁTORE MS EXCEL ÚVOD South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 18-27. RIEŠENIE PROBLÉMOV METÓDOU MONTE CARLO V TABUĽKOVOM KALKULÁTORE MS EXCEL ŠTEFAN GUBO ABSTRAKT. Metóda Monte Carlo patrí medzi metódy

More information

Jádrové odhady gradientu regresní funkce

Jádrové odhady gradientu regresní funkce Monika Kroupová Ivana Horová Jan Koláček Ústav matematiky a statistiky, Masarykova univerzita, Brno ROBUST 2018 Osnova Regresní model a odhad gradientu Metody pro odhad vyhlazovací matice Simulace Závěr

More information

Solution Methods for Beam and Frames on Elastic Foundation Using the Finite Element Method

Solution Methods for Beam and Frames on Elastic Foundation Using the Finite Element Method Solution Methods for Beam and Frames on Elastic Foundation Using the Finite Element Method Spôsoby riešenie nosníkov a rámov na pružnom podklade pomocou metódy konečných prvkov Roland JANČO 1 Abstract:

More information

Teória grafov. RNDr. Milan Stacho, PhD.

Teória grafov. RNDr. Milan Stacho, PhD. Teória grafov RNDr. Milan Stacho, PhD. Literatúra Plesník: Grafové algoritmy, Veda Bratislava 1983 Sedláček: Úvod do teórie grafů, Academia Praha 1981 Bosák: Grafy a ich aplikácie, Alfa Bratislava 1980

More information

Odhady veľkosti pokrytí náhodne indukovaných podgrafov n-rozmernej hyperkocky

Odhady veľkosti pokrytí náhodne indukovaných podgrafov n-rozmernej hyperkocky KATEDRA INFORMATIKY FAKULTA MATEMATIKY FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Odhady veľkosti pokrytí náhodne indukovaných podgrafov nrozmernej hyperkocky Diplomová práca Bc. Ján Kliman študijný odbor:

More information

ADM a logika. 4. prednáška. Výroková logika II, logický a sémantický dôsledok, teória a model, korektnosť a úplnosť

ADM a logika. 4. prednáška. Výroková logika II, logický a sémantický dôsledok, teória a model, korektnosť a úplnosť ADM a logika 4. prednáška Výroková logika II, logický a sémantický dôsledok, teória a model, korektnosť a úplnosť 1 Odvodzovanie formúl výrokovej logiky, logický dôsledok, syntaktický prístup Logický dôsledok

More information

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Matematické programovanie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/35 Informácie o predmete Informácie o predmete p. 2/35 Informácie o predmete METÓDY VOL NEJ OPTIMALIZÁCIE Prednášajúca: M. Trnovská (M 267) Cvičiaci:

More information

Analýza multispektrálnych dát z konfokálnej mikroskopie. DIPLOMOVÁ PRÁCA

Analýza multispektrálnych dát z konfokálnej mikroskopie. DIPLOMOVÁ PRÁCA Analýza multispektrálnych dát z konfokálnej mikroskopie. DIPLOMOVÁ PRÁCA Kamil Paulíny UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ INFORMATIKY Študijný

More information

Ing. Tomasz Kanik. doc. RNDr. Štefan Peško, CSc.

Ing. Tomasz Kanik. doc. RNDr. Štefan Peško, CSc. Ing. Tomasz Kanik Školiteľ: doc. RNDr. Štefan Peško, CSc. Pracovisko: Študijný program: KMMOA, FRI, ŽU 9.2.9 Aplikovaná informatika 1 identifikácia problémovej skupiny pacientov, zlepšenie kvality rozhodovacích

More information

PSEUDOINVERZNÁ MATICA

PSEUDOINVERZNÁ MATICA PSEUDOINVERZNÁ MATICA Jozef Fecenko, Michal Páleš Abstrakt Cieľom príspevku je podať základnú informácie o pseudoinverznej matici k danej matici. Ukázať, že bázický rozklad matice na súčin matíc je skeletným

More information

ŠTEFAN GUBO. Riešenie úloh nelineárnej regresie pomocou tabuľkového kalkulátora. Solution of nonlinear regression tasks using spredsheet application

ŠTEFAN GUBO. Riešenie úloh nelineárnej regresie pomocou tabuľkového kalkulátora. Solution of nonlinear regression tasks using spredsheet application Wydawnictwo UR 2016 ISSN 2080-9069 ISSN 2450-9221 online Edukacja Technika Informatyka nr 1/15/2016 www.eti.rzeszow.pl DOI: 10.15584/eti.2016.1.27 ŠTEFAN GUBO Riešenie úloh nelineárnej regresie pomocou

More information

Computation of Information Value for Credit Scoring Models

Computation of Information Value for Credit Scoring Models Jedovnice 20 Computation of Information Value for Credit Scoring Models Martin Řezáč, Jan Koláček Dept. of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, Masaryk University Information value The special

More information

GAGE STUDIES FOR VARIABLES AVERAGE AND RANGE METHOD

GAGE STUDIES FOR VARIABLES AVERAGE AND RANGE METHOD GAGE STUDIES FOR VARIABLES AVERAGE AND RANGE METHOD JANIGA Ivan (SK) Abstract. There are several methods that can be used to measure gauge variability. The average and range method is widely used in industry

More information

Prednášky z regresných modelov

Prednášky z regresných modelov Prednášky z regresných modelov Odhadovanie parametrov strednej hodnoty a štatistická optimalizácia experimentu Prednášky Andreja Pázmana spracované v spolupráci s Vladimírom Lackom Univerzita Komenského

More information

Maticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc

Maticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc Maticové algoritmy I maticová algebra operácie nad maticami súčin matíc priesvitka Maurits Cornelis Escher (898-97) Ascending and Descending, 960, Lithograph priesvitka Matice V mnohých prípadoch dáta

More information

štatistika I. Doc. RNDr. Katarína Kozlíková, CSc. ÚLFBFIaTM LF UK v Bratislave

štatistika I. Doc. RNDr. Katarína Kozlíková, CSc. ÚLFBFIaTM LF UK v Bratislave Lekárska štatistika I. Základné pojmy Doc. RNDr. Katarína Kozlíková, CSc. ÚLFBFIaTM LF UK v Bratislave katarina.kozlikova@fmed.uniba.sk Prečo štatistika? (1) Jazyk Zhromažďovanie dát Manipulácia s dátami

More information

The Golden Ratio and Signal Quantization

The Golden Ratio and Signal Quantization The Golden Ratio and Signal Quantization Tom Hejda, tohecz@gmail.com based on the work of Ingrid Daubechies et al. Doppler Institute & Department of Mathematics, FNSPE, Czech Technical University in Prague

More information

3. ročník gymnázia. pre. a 7. ročník gymnázia. s osemročným štúdiom. 1. časť. Zbyněk Kubáček MATEMATIKA

3. ročník gymnázia. pre. a 7. ročník gymnázia. s osemročným štúdiom. 1. časť. Zbyněk Kubáček MATEMATIKA pre 3. ročník gymnázia a 7. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. časť MATEMATIKA Zbyněk Kubáček 3. ročník gymnázia a 7. ročník gymnázia pre s osemročným štúdiom. časť Publikácia bola hradená z finančných

More information

NEISTOTY. Základné pojmy a definície z oblasti neistôt meraní

NEISTOTY. Základné pojmy a definície z oblasti neistôt meraní NEISTOTY Základné pojmy a definície z oblasti neistôt meraní Ladislav Ševčovič Košice 23. septembra 2007 OBSAH 1 Základné pojmy a definície z oblasti neistôt meraní 3 2 Chyby elektrických meracích prístrojov

More information

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Robustné metódy vo faktorovej analýze

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Robustné metódy vo faktorovej analýze UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Robustné metódy vo faktorovej analýze DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2013 Bc. Zuzana Kuižová UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA

More information

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Erik Dzugas. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Erik Dzugas. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Erik Dzugas Měření rizika dlouhověkosti v životním pojištění Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské

More information

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2014 MICHAL KOVÁČIK MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Metody testování

More information

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY REKURENTNÉ POSTUPNOSTI

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY REKURENTNÉ POSTUPNOSTI UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Evidenčné číslo: 74b93af3-8dd5-43d9-b3f2-05523e0ba177 REKURENTNÉ POSTUPNOSTI 2011 András Varga UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

More information

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY

SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE ÚSTAV INFORMATIZÁCIE, AUTOMATIZÁCIE A MATEMATIKY OPTIMÁLNE RIADENIE PROCESOV BAKALARÁSKA PRÁCA FCHPT-5415-17457

More information

Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 2, 2010, vol. LVI article No. 1776

Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 2, 2010, vol. LVI article No. 1776 Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series o. 2, 200, vol. LVI article o. 776 Zuzana ADRÁSSYOVÁ *, Martin KOTUS ** EVALUATIO OF CC MILLIG MACHIE CAPABILITY FOR TRASMISSIOS

More information

Matematická analýza II.

Matematická analýza II. V. Diferenciálny počet (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 8 6. marca 2018 It has apparently not yet been observed, that...

More information

2/2005 FORUM STATISTICUM SLOVACUM

2/2005 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/2005 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie: (pozri tiež www.ssds.sk, blok Poriadané akcie) Konferencia

More information

GENEROVANIE KRIVIEK ÚNAVOVEJ ŽIVOTNOSTI NA ZÁKLADE EXPERIMENTÁLNYCH ÚDAJOV FATIGUE CURVES GENERATION BASED ON EXPREIMENTAL MEASUREMENTS

GENEROVANIE KRIVIEK ÚNAVOVEJ ŽIVOTNOSTI NA ZÁKLADE EXPERIMENTÁLNYCH ÚDAJOV FATIGUE CURVES GENERATION BASED ON EXPREIMENTAL MEASUREMENTS GENEROVANIE KRIVIEK ÚNAVOVEJ ŽIVOTNOSTI NA ZÁKLADE EXPERIMENTÁLNYCH ÚDAJOV Peter Bocko 1, Ladislav Pešek 2 Príspevok sa zaoberá využitím experimentálne získaných hodnôt statických a únavových vlastností

More information

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpoklada é použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 8

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpoklada é použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 8 VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0007 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý k d typu výro ku: i jektáž y systé FIS V 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt O eľová kotva pre použitie v et e k upev e iu ťažký h systé

More information

DEA modely a meranie eko-efektívnosti

DEA modely a meranie eko-efektívnosti Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave DEA modely a meranie eko-efektívnosti 2008 Veronika Lennerová DEA modely a meranie eko-efektívnosti DIPLOMOVÁ PRÁCA Diplomant:

More information

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KONTEXTUÁLNE PREMENNÉ ŠKOLSKEJ ÚSPEŠNOSTI

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KONTEXTUÁLNE PREMENNÉ ŠKOLSKEJ ÚSPEŠNOSTI UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KONTEXTUÁLNE PREMENNÉ ŠKOLSKEJ ÚSPEŠNOSTI DIPLOMOVÁ PRÁCA 2016 Bc. Juraj FALATH UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,

More information

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2009 Lucia Potisková Odhad Value-at-Risk pomocou copula funkcií Diplomová práca Lucia Potisková UNIVERZITA

More information

Praktická príručka Ako používať a oznamovať modely (Q)SAR. Verzia 3.1 júl 2016

Praktická príručka Ako používať a oznamovať modely (Q)SAR. Verzia 3.1 júl 2016 Praktická príručka Ako používať a oznamovať modely (Q)SAR Verzia 3.1 júl 2016 2 Praktická príručka Ako používať a oznamovať modely (Q)SAR 3.1 Verzia Zmeny Dátum Verzia 1.0 Prvé vydanie marec 2010 Verzia

More information

EXTREME SEVERAL-DAY PRECIPITATION TOTALS AT HURBANOVO DURING THE TWENTIETH CENTURY

EXTREME SEVERAL-DAY PRECIPITATION TOTALS AT HURBANOVO DURING THE TWENTIETH CENTURY Rožnovský, J., Litschmann, T. (ed.): XIV. Česko-slovenská bioklimatologická konference, Lednice na Moravě 2.-4. září 2, ISBN -85813-99-8, s. 9-19 EXTREME SEVERAL-DAY PRECIPITATION TOTALS AT HURBANOVO DURING

More information

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpokladané použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 3

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpokladané použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 3 VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0017 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý kód typu výro ku: fischer skrutka do betónu FBS, FBS A4 a FBS C 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt O eľová kotva pre použitie v etó e

More information

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Antonín Špaček Note on successive cumulative sums of independent random variables Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 74 (1949), No. 1, 41--45 Persistent

More information

Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series. article No Roland JANČO *

Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series. article No Roland JANČO * Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 1, 013, vol. LIX article No. 1930 Roland JANČO * NUMERICAL AND EXACT SOLUTION OF BUCKLING LOAD FOR BEAM ON ELASTIC FOUNDATION

More information

ENTROPIA. Claude Elwood Shannon ( ), USA A Mathematical Theory of Communication, 1948 LOGARITMUS

ENTROPIA. Claude Elwood Shannon ( ), USA A Mathematical Theory of Communication, 1948 LOGARITMUS LOGARITMUS ENTROPIA Claude Elwood Shao (96-00), USA A Mathematcal Theory of Commucato, 948 7. storoče Naer, Brggs, orovae číselých ostuostí: artmetcká ostuosť 3 0 3 4 5 6 geometrcká ostuosť /8 /4 / 4 8

More information

ANALYSIS OF EXTREME HYDROLOGICAL EVENTS ON THE DANUBE USING THE PEAK OVER THRESHOLD METHOD

ANALYSIS OF EXTREME HYDROLOGICAL EVENTS ON THE DANUBE USING THE PEAK OVER THRESHOLD METHOD See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/245419546 ANALYSIS OF EXTREME HYDROLOGICAL EVENTS ON THE DANUBE USING THE PEAK OVER THRESHOLD

More information

Kybernetika. Peter Hudzovič Súčasná kontrola stability a kvality impulznej regulácie. Terms of use:

Kybernetika. Peter Hudzovič Súčasná kontrola stability a kvality impulznej regulácie. Terms of use: Kybernetika Peter Hudzovič Súčasná kontrola stability a kvality impulznej regulácie Kybernetika, Vol. 3 (1967), No. 2, (175)--194 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/125051 Terms of use: Institute of Information

More information

VIRTUAL CONTROL SYSTEM OF EXOTHERMIC REACTOR USING THE CONTROLLER KRGN 90 VIRTUÁLNY RIADIACI SYSTÉM EXOTERMICKÉHO REAKTORA NA BÁZE KRGN 90

VIRTUAL CONTROL SYSTEM OF EXOTHERMIC REACTOR USING THE CONTROLLER KRGN 90 VIRTUÁLNY RIADIACI SYSTÉM EXOTERMICKÉHO REAKTORA NA BÁZE KRGN 90 VIRTUAL CONTROL SYSTEM OF EXOTHERMIC REACTOR USING THE CONTROLLER KRGN 90 VIRTUÁLNY RIADIACI SYSTÉM EXOTERMICKÉHO REAKTORA NA BÁZE KRGN 90 Stanislav KUNÍK, Dušan MUDRONČÍK, Martin RAKOVSKÝ Authors: Ing.

More information

Ján Buša a Ladislav Ševčovič. Open source systém na spracovanie údajov

Ján Buša a Ladislav Ševčovič. Open source systém na spracovanie údajov Ján Buša a Ladislav Ševčovič R Open source systém na spracovanie údajov Strana 1 z 64 Strana 2 z 64 Sadzba programom pdftex Copyright c 2007 Ján Buša, Ladislav Ševčovič Ktokol vek má dovolenie vyhotovit

More information

Matematický aparát modelu HGN na meranie výkonnosti nefinančného ziskového podniku

Matematický aparát modelu HGN na meranie výkonnosti nefinančného ziskového podniku Matematický aparát modelu HGN na meranie výkonnosti nefinančného ziskového podniku Mathematical Apparatus of HGN Model for Measuring Performance of Non-financial Profit Enterprise Michal Grell Abstract:

More information

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. Hilti HDA 0672-CPD-0012

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. Hilti HDA 0672-CPD-0012 SK VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. Hilti HDA 0672-CPD-0012 1. Jedinečný identifikačný kód typu výrobku: Mechanická kotva Hilti HDA 2. Typ, číslo výrobnej dávky alebo sériové číslo, alebo akýkoľvek iný prvok

More information

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE VEKU ÁUT V PREVÁDZKE Bakalárska práca 2011 Andrej Horský UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY

More information

Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky

Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra matematiky a teoretickej informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach MTEMTIK I a jej využitie v ekonómii Zbierka riešených a neriešených úloh nna Grinčová

More information

VIACKRITERIÁLNE (MULTIKRITERIÁLNE) ROZHODOVANIE (ROZHODOVACIA ANALÝZA)

VIACKRITERIÁLNE (MULTIKRITERIÁLNE) ROZHODOVANIE (ROZHODOVACIA ANALÝZA) VIACKRITERIÁLNE (MULTIKRITERIÁLNE) ROZHODOVANIE (ROZHODOVACIA ANALÝZA) Metódy rozhodovacej analýzy Existuje viacej rozličných metód, ktoré majú v zásade rovnaký princíp - posúdenie niekoľkých variantov

More information

ENVIRONMENTÁLNE FAKTORY V HODNOTENÍ EFEKTÍVNOSTI V POĽNOHOSPODÁRSTVE ENVIRONMENTAL FACTORS IN EFFICIENCY ASSESMENT IN AGRICULTURE.

ENVIRONMENTÁLNE FAKTORY V HODNOTENÍ EFEKTÍVNOSTI V POĽNOHOSPODÁRSTVE ENVIRONMENTAL FACTORS IN EFFICIENCY ASSESMENT IN AGRICULTURE. ENVIRONMENTÁLNE FAKTORY V HODNOTENÍ EFEKTÍVNOSTI V POĽNOHOSPODÁRSTVE ENVIRONMENTAL FACTORS IN EFFICIENCY ASSESMENT IN AGRICULTURE Peter FANDEL The paper focuses on the analysis of environmental factors

More information

Predikcia úmrtnosti na Slovensku

Predikcia úmrtnosti na Slovensku 1 Ak nie je uvedené inak, zdrojom grafov v tomto príspevku sú štatistické tabuľky úmrtnosti v SR a výpočty autora. 2 Viac o SVD nájdeme napríklad na http://www.ling.ohiostate.edu/~kbaker/pubs/singular_value_decomposition_tutorial.pdf

More information

Appendix. Title. Petr Lachout MFF UK, ÚTIA AV ČR

Appendix. Title. Petr Lachout MFF UK, ÚTIA AV ČR Title ROBUST - Kráĺıky - únor, 2010 Definice Budeme se zabývat optimalizačními úlohami. Uvažujme metrický prostor X a funkci f : X R = [, + ]. Zajímá nás minimální hodnota funkce f na X ϕ (f ) = inf {f

More information

KVANTIFIKACE NEJISTOT MĚŘENÍ MAGNETICKÝCH VELIČIN

KVANTIFIKACE NEJISTOT MĚŘENÍ MAGNETICKÝCH VELIČIN VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION

More information

kniha 2016/4/30 23:47 page 1 #1 Draft

kniha 2016/4/30 23:47 page 1 #1 Draft kniha 2016/4/30 23:47 page 1 #1 Kapitola 1 Logický systém je definovaný svojou syntaxou a sémantikou. Jazyk, ktorý umožňuje vyjadrovať vety výrokovej logiky sa označuje ako výrokový počet. Jeho syntaktické

More information

Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series. article No Karel FRYDRÝŠEK *

Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series. article No Karel FRYDRÝŠEK * Transactions of the VŠB Technical University of Ostrava, Mechanical Series No. 1, 2012, vol. LVIII article No. 1896 Karel FRYDRÝŠEK * DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A NEW MACHINE FOR FATIGUE TESTING OF RAILWAY

More information

Reliability and Quality Mathematics

Reliability and Quality Mathematics Reliability and Quality Mathematics. Introduction Since mathematics has played a pivotal role in the development of quality and reliability fields, it is essential to have a clear understanding of the

More information

FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE PÍSOMNÁ PRÁCA K DIZERTAČNEJ SKÚŠKE 2005 Zuzana Holeščáková FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

More information

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpokladané použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 4

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK. Predpokladané použitie. stave ý h častí ako o kladov a stropov, pozri prílohu, najmä prílohy B 1 - B 4 VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0009 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý k d typu výro ku: o eľová kotva fis her FAZ II 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt O eľová kotva pre použitie v betóne k upev e iu ťažký

More information

1 Matice a ich vlastnosti

1 Matice a ich vlastnosti Pojem sústavy a jej riešenie 1 Matice a ich vlastnosti 11 Sústavy lineárnych rovníc a matice Príklad 11 V množine reálnych čísel riešte sústavu rovníc x - 2y + 4z + t = -6 2x + 3y - z + 2t = 13 2x + 5y

More information

PROGRAMY NA SPRACOVANIE A VIZUALIZÁCIU EXPERIMENTÁLNYCH DÁT

PROGRAMY NA SPRACOVANIE A VIZUALIZÁCIU EXPERIMENTÁLNYCH DÁT PROGRAMY NA SPRACOVANIE A VIZUALIZÁCIU EXPERIMENTÁLNYCH DÁT Ladislav ŠEVČOVIČ http://people.tuke.sk/ladislav.sevcovic Strana 1 z 20 Strana 2 z 20 V prezentácii sú použité názvy programových produktov,

More information

Stavba Lobačevského planimetrie

Stavba Lobačevského planimetrie Stavba Lobačevského planimetrie Riešenie úloh In: Ján Gatial (author); Milan Hejný (author): Stavba Lobačevského planimetrie. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 78 109. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403691

More information

Pravdepodobnosť a štatistika pri DNA-dôkazoch v kriminalistike

Pravdepodobnosť a štatistika pri DNA-dôkazoch v kriminalistike Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Pravdepodobnosť a štatistika pri DNA-dôkazoch v kriminalistike (Diplomová práca) Bc.

More information

Dokonalé a spriatelené čísla

Dokonalé a spriatelené čísla Dokonalé a spriatelené čísla 1. kapitola. Niektoré poznatky z teorie čísel In: Tibor Šalát (author): Dokonalé a spriatelené čísla. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1969. pp. 5 17. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403668

More information

1 Vektory. 1.1 Definovanie vektorov. Vektor = jednorozmerné pole. explicitným vymenovaním zoznamu prvkov

1 Vektory. 1.1 Definovanie vektorov. Vektor = jednorozmerné pole. explicitným vymenovaním zoznamu prvkov 1 Vektory Vektor = jednorozmerné pole Definovanie je možné viacerými spôsobmi: explicitným vymenovaním zoznamu prvkov vygenerovaním pomocou zabudovaných matlabovských funkcií načítaním externého súboru

More information

USING THE STATISTICAL TOOLS IN MACHINE S CAPABILITY EVALUATION PART 1

USING THE STATISTICAL TOOLS IN MACHINE S CAPABILITY EVALUATION PART 1 Chapter 4 Katarína Lestyánszka Škůrková, Matej Nemec 2, Petra Kosnáčová 3, Petra Marková 4 USING THE STATISTICAL TOOLS IN MACHINE S CAPABILITY EVALUATION PART Abstract: As first as we are able to set up

More information

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREČO CHODÍ ČLOVEK V KRUHU JÁN DZÚRIK

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREČO CHODÍ ČLOVEK V KRUHU JÁN DZÚRIK UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREČO CHODÍ ČLOVEK V KRUHU 2011 JÁN DZÚRIK UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 45a87a64-1ec1-4718-a32f-6ba49c57d795

More information

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Norman Levinson Criteria for the limit-point case for second order linear differential operators Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 74 (1949), No.

More information

MERANIE. Doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIEE KMer FEI STU

MERANIE. Doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIEE KMer FEI STU MERANIE Doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIEE KMer FEI STU Hodnotenie predmetu! max. 50 bodov za semester " 30 bodov za prípravu na cvičenia a referáty # 16 bodov za vstupné testy # 14 bodov za odovzdané referáty

More information

České vysoké učení technické v Praze

České vysoké učení technické v Praze České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra řídicí techniky Odhad kovariančných matíc šumu lineárneho stochastického systému Diplomová práca Vypracoval: Peter Matisko Školiteľ:

More information

MERANIE. doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIET KMer FEI STU

MERANIE. doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIET KMer FEI STU MERANIE doc. Ing. Peter Kukuča, CSc. MIET KMer FEI STU Hodnotenie predmetu max. 50 bodov za semester 30 bodov za prípravu na cvičenia a referáty 16 bodov za vstupné testy 14 bodov za odovzdané referáty

More information

História nekonečne malej veličiny PROJEKTOVÁ PRÁCA. Martin Čulen. Alex Fleško. Konzultant: Vladimír Repáš

História nekonečne malej veličiny PROJEKTOVÁ PRÁCA. Martin Čulen. Alex Fleško. Konzultant: Vladimír Repáš História nekonečne malej veličiny PROJEKTOVÁ PRÁCA Martin Čulen Alex Fleško Konzultant: Vladimír Repáš Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium, Skalická 1, Bratislava BRATISLAVA 2013 1. Obsah 1. Obsah

More information

Ján Pribiš. Edícia vysokoškolských učebníc. Fakulta elektrotechniky a informatiky. Technická univerzita v Košiciach SCILAB

Ján Pribiš. Edícia vysokoškolských učebníc. Fakulta elektrotechniky a informatiky. Technická univerzita v Košiciach SCILAB Edícia vysokoškolských učebníc Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Košiciach SCILAB Ján Pribiš SCILAB c Ján Pribiš Edícia vysokoškolských učebníc FEI TU v Košiciach Prvé vydanie

More information

VYBRANÉ TERMOCHEMICKÉ VÝPOČTY CHEMICKEJ REAKCIE FORMOU WEBOVEJ SLUŽBY

VYBRANÉ TERMOCHEMICKÉ VÝPOČTY CHEMICKEJ REAKCIE FORMOU WEBOVEJ SLUŽBY Chem. Listy 110, 874884(2016) VYBRANÉ TERMOCHEMICKÉ VÝPOČTY CHEMICKEJ REAKCIE FORMOU WEBOVEJ SLUŽBY PAVEL HOROVČÁK, JÁN TERPÁK a MATEJ LUKÁČ Technická univerzita, Letná 9, 042 00 Košice, Fakulta baníctva,

More information

CHEMICKÉ VÝPOČTY VO VŠEOBECNEJ A ANORGANICKEJ CHÉMII

CHEMICKÉ VÝPOČTY VO VŠEOBECNEJ A ANORGANICKEJ CHÉMII CHEMICKÉ VÝPOČTY VO VŠEOBECNEJ A ANORGANICKEJ CHÉMII Ivan Potočňák Prírodovedecká fakulta Košice 07 Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach Prírodovedecká fakulta Chemické výpočty vo všeobecnej a

More information

FIRE PROTECTION & SAFETY Scientific Journal 12(1): 17 32, 2018 ISSN:

FIRE PROTECTION & SAFETY Scientific Journal 12(1): 17 32, 2018 ISSN: Calculation of selected fire properties of flammable liquids and liquid mixtures Výpočet vybraných požiarnotechnických parametrov horľavých kvapalín a kvapalných zmesí Rastislav Veľas 1*, Danica Kačíková

More information

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK

VYHLÁSENIE O PARAMETROCH. č SK VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 0048 SK 1. Jedi eč ý ide tifikač ý k d typu výro ku: rá ová h oždi ka fischer SXR/SXRL 2. )a ýšľa é použitie/použitia: Produkt Plastové kotvy pre použitie v betóne a murive

More information

Elektrický prúd a náboj. Elektrické napätie. Indukčnosť. Kapacita. Meranie v elektronike a telekomunikáciách. Odpor

Elektrický prúd a náboj. Elektrické napätie. Indukčnosť. Kapacita. Meranie v elektronike a telekomunikáciách. Odpor Elektrický prúd a náboj Meranie v elektronike a telekomunikáciách (terminológia, meracie metódy, signály a ich parametre,neistoty a chyby merania) prof. Ing. Ján Šaliga, hd. KEM FEI Košice Elektrický prúd

More information

Optimálne riadenie. Viacetapové rozhodovacie procesy v ekonómii a financiách. Margaréta Halická Pavel Brunovský Pavol Jurča

Optimálne riadenie. Viacetapové rozhodovacie procesy v ekonómii a financiách. Margaréta Halická Pavel Brunovský Pavol Jurča Optimálne riadenie Viacetapové rozhodovacie procesy v ekonómii a financiách Margaréta Halická Pavel Brunovský Pavol Jurča EPOS Bratislava 2009 Kniha predstavuje komplexný výklad teórie optimálneho rozhodovania

More information

Matematické modely a zdravie verejnosti

Matematické modely a zdravie verejnosti Kapitola 12 Matematické modely a zdravie verejnosti Ciele kapitoly Definície matematického modelu Využitie matematických modelov vo verejnom zdravotníctve Výhody a nevýhody využitia matematických modelov

More information

=, kde n = 1,2,3,... E n

=, kde n = 1,2,3,... E n r = ( xyz,, ) SVET KVANTOVEJ FYZIKY (seriál populárnych článkov o kvantovej fyzike uverejnených v časopise Quark v roku 2005) Zdroj: http://www.quniverse.sk/ziman/ I. Podivné pravdepodobnosti Viete, že

More information

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA. Diplomová práca. Martin Plesch

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA. Diplomová práca. Martin Plesch Fakulta matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA Diplomová práca Martin Plesch BRATISLAVA 001 Fakulta matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského BRATISLAVA Katedra teoretickej

More information

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 2, rok 2005, ročník LI, řada strojní článek č.

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 2, rok 2005, ročník LI, řada strojní článek č. Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické niverzity Ostrava číslo, rok 005, ročník LI, řada strojní článek č. 1467 Martin HALAJ *, Peter GROS **, Eva KUREKOVÁ *** TESTING OF THE REPEATED

More information

MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE

MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE November 2014 (číslo 3) Ročník druhý ISSN 1339-3189 Kontakt: info@mladaveda.sk, tel.: +421 908 546 716, www.mladaveda.sk Fotografia na obálke: Kuala

More information