GRAFICKÉ ZOBRAZENIE MATEMATICKÝCH FUNKCIÍ DRAWING OF MATHEMATICS FUNCTIONS GRAPHS

Transcription

1 GRAFICKÉ ZOBRAZENIE MATEMATICKÝCH FUNKCIÍ DRAWING OF MATHEMATICS FUNCTIONS GRAPHS Dana ORSZÁGHOVÁ (SR) ABSTRACT Graphs of functions are the topic that is the part of mathematics study. The graphics software can be used for drawing of the mathematics function graph - after entering the function formula it draws the graph of the function. Students search properties of functions by methods of mathematical analysis, using limits and derivative of functions. They identify properties like monotony, convexity, concavity and calculate the coordinates of local extremes and inflection points. In the paper we present examples of functions, their properties and graphs. KEY WORDS mathematics functions, limit and derivative of function, graphics software ÚVOD Informačné technológie s ich rôznymi nástrojmi majú rozsiahle možnosti uplatnenia vo vzdelávacom procese. Patrí sem použitie informačných technológií v príprave a tvorbe vzdelávacích materiálov, v kontaktnej výučbe predmetov, v samostatnom štúdiu, pri testovaní a hodnotení vedomostí, v pedagogickej komunikácii a v ďalších oblastiach vzdelávania. Matematické vzdelávanie tiež uplatňuje nové metódy, ktoré využívajú informačné technológie, elektronické vzdelávacie kurzy a vzdelávanie prostredníctvom Internetu [5]. Cieľom uplatnenia a využívania informačných technológií vo vzdelávaní je poskytnutie nových možností modernizácie, zefektívnenia a skvalitnenia štúdia nielen matematiky, ale aj iných vyučovaných predmetov. E-vzdelávanie poskytuje nové možnosti, ktoré môžeme vo vzdelávaní využiť a snaží sa eliminovať nedostatky spojené s klasickým vyučovaním []. So zavádzaním elektronického vzdelávania do vyučovania matematiky sa menia aj kompetencie a úloha učiteľa matematiky v procese vzdelávania. Na realizáciu elektronického vzdelávania je potrebné náležité technické vybavenie (t.j. požiadavkám primeraný hardvér a softvér) a personálne vybavenie (t.j. tím kvalifikovaných tvorcov elektronických kurzov a vyškolených používateľov elektronických vzdelávacích materiálov tak v radoch učiteľov, ako aj študentov) []. Ďalšou možnosťou uplatnenia nástrojov informačných technológií vo vzdelávaní je realizácia elektronického testovania. Výsledky testovania neslúžia učiteľovi iba ako podklad pre hodnotenie študentov známkami, ale predstavujú aj veľmi potrebnú spätnú väzbu. Sú indikátorom úrovne osvojenia si učiva študentmi. Pre zefektívnenie práce učiteľa je vhodné klasické metódy preverovania vedomostí doplniť o preverovanie vedomostí aj prostredníctvom počítača, tzv. elektronické testovanie. V didaktickom teste uvedené úlohy môžu slúžiť ako materiál na jeho prípravu, s využitím učebného textu na Internete [1]. Programové produkty a nástroje sa začali rozvíjať s požiadavkami na rýchle a automatizované spracovanie rôznych údajov. Môže ísť o analýzu a vyhodnotenie odlišných údajov, napr. matematické a štatistické dáta, výsledky výskumných projektov, súbory s výsledkami z prieskumov, prognóz a podobne. Špeciálne softvéry sa začali vyvíjať na spracovanie matematických údajov. V súčasnosti na trhu existuje ponuka programov s veľkým počtom matematických nástrojov, napr. Mathematica, MathCAD, Matlab, Geogebra a i. Niektoré programy sú na Internete vo forme voľne prístupného softvéru, alebo je prístupná tzv. 0-

2 dňová verzia, ktorá je zároveň reklamou na daný produkt a používateľ sa na základe skúseností s programom rozhodne, či si softvér kúpi. S grafickým výstupom v matematických úlohách majú študenti na vysokej škole rôzne problémy. Ich začiatky súvisia aj s tým, že učivo z geometrie je na základných a stredných školách z rôznych dôvodov redukované, alebo úplne vynechané. Študent fakulty ekonomiky a manažmentu budúci ekonóm či manažér sa stretáva v odborných predmetoch s funkciami vyjadrenými pomocou logaritmickej, exponenciálnej a mocninovej funkcie. Zistiť vlastnosti funkcie a načrtnúť jej graf patrí k vyučovacím cieľom v matematike. MATERIÁL A METÓDY Materiál pre tvorbu príspevku sme získali z výučby matematických predmetov v prvom ročníku na SPU v Nitre na rôznych formách štúdia denné a externé štúdium. Ďalším zdrojom boli výsledky riešenia výskumného projektu Katedry matematiky FEM SPU v Nitre: KEGA č. /78/09 - Teoretická a edukačná transformácia matematického vzdelávania poľnohospodárskych inžinierov. V projekte Katedra matematiky rieši rôzne možnosti implementácie elektronického vzdelávania do matematických predmetov, tvorbu kurzov a modulov v prostredí LMS MOODLE a možnosti použitia matematických softvérov v štúdiu matematiky. Pri písaní príspevku boli použité metódy analýzy, syntézy, porovnania a dedukcie. Cieľom príspevku je prezentovať použitie limity a derivácie funkcie na zisťovanie vlastností funkcií a pomocou grafického softvéru zobraziť graf funkcie. Na zisťovanie vlastností funkcií používame teóriu matematickej analýzy. Konkrétne pri hľadaní asymptot grafu funkcie používame limity. Pomocou derivácie funkcie vieme zistiť monotónnosť a zakrivenie grafu funkcie, nájsť súradnice lokálnych extrémov a inflexných bodov funkcie. Uvedieme niektoré vety, ktoré používame v riešení úloh. Veta o monotónnosti funkcie: Nech funkcia f je spojitá na intervale a, b a nech pre každé ( a, b) f x. Potom funkcia f je na intervale a, b rastúca (resp. x má deriváciu klesajúca), ak v každom bode x ( a, b) je f ( x) 0, resp. ( f ( x) 0 ). Veta o lokálnych extrémoch funkcie: Ak platí f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 (resp. f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ), tak funkcia f má v bode x0 ostré lokálne minimum (resp. ostré lokálne maximum). Veta (konvexnosť a konkávnosť funkcie): Nech funkcia f je spojitá na intervale a, b a nech má v každom bode x a, b druhú deriváciu. Ak pre každé x a, b platí x (resp. f x < 0), tak funkcia f je konvexná (resp. konkávna) na intervale a, b. Veta o inflexnom bode funkcie: Nech funkcia f má f x 0 0, tak bod x 0 je inflexný bod funkcie f. f > 0 = 0 a nech má aj f VÝSLEDKY V mnohých úlohách z praxe sa stretávame s požiadavkou zobraziť graf funkcie, ktorá vyjadruje závislosť medzi získanými údajmi. Potrebujeme na to zistiť jednotlivé vlastnosti funkcie a na ich základe zobraziť jej priebeh. Nasledujúca schéma obsahuje potrebné výpočty charakteristík a vlastností pre priebeh funkcie: 1. oblasť definície funkcie, f x 0 x 0. Ak

3 . priesečníky funkcie so súradnicovými osami,. prvá derivácia funkcie, 4. monotónnosť funkcie, 5. druhá derivácia funkcie, 6. lokálne extrémy funkcie, 7. konvexnosť a konkávnosť funkcie, 8. inflexné body funkcie, 9. asymptoty grafu funkcie, 10. zobrazenie grafu funkcie. Obr. 1: Graf funkcie y x x Zistenie všetkých vlastností a zobrazenie grafu funkcie patrí k časovo náročným úlohám. Už niekoľko rokov študenti dostávajú túto úlohu ako zadanie seminárnej práce a získané bodové hodnotenie sa započítava do bodového hodnotenia za semester. Každý študent zisťuje priebeh inej funkcie, tým sa znižuje percento odovzdania úplne rovnakých seminárnych prác. Zároveň sa zvýši náročnosť na samostatnú prácu a získané vedomosti študenti použijú aj v priebežných písomných testoch. Tieto testy obsahujú čiastkové úlohy ako je zistenie monotónnosti, výpočet lokálnych extrémov, zisťovanie konvexnosti a konkávnosti, výpočet asymptot grafu funkcie pomocou limít, atď. x Na obrázku č.1 je zobrazený graf funkcie y x. Ide o polynomickú funkciu, ktorej vlastnosti vieme z obrázka interpretovať; vidíme, že funkcia nemá asymptoty. Pomocou polynómov bývajú vyjadrené funkcie ekonomickej analýzy, ku ktorým patria: celkové príjmy, marginálne príjmy, celkové náklady, priemerné náklady, celkový zisk, a pod. Úloha: Pomocou schémy na zisťovanie priebehu funkcie zistite vlastnosti danej funkcie f. Získané výsledky s vlastnosťami sú prehľadne uvedené v nasledujúcej tabuľke č.1.

4 Funkcia x f : y x 6 1. oblasť definície funkcie D( f ) R { 6}. priesečníky funkcie s osami x, y P [0,0]. prvá derivácia funkcie x 6x f ( x) ( x 6) 4. monotónnosť funkcie (, 1 1, 6) ( 6,0) 0, ) klesajúca rastúca rastúca klesajúca 5. druhá derivácia funkcie 16 f ( x) ( x 6) 6. lokálne extrémy funkcie lokálne maximum v bode x 0, f (0) 0 lokálne minimum v bode x 1, f ( 1) 7 7. konvexnosť a konkávnosť funkcie (, 6) ( 6, ) konvexná konkávna 8. inflexné body funkcie funkcia nemá inflexné body 9. asymptoty grafu funkcie asymptota bez smernice x 6 asymptota so smernicou y x 18 Tab. 1: Vlastnosti funkcie f x Obr. : Graf funkcie f y x 6 x 10. bod schémy - priebeh grafu funkcie y je na obrázku č.. x 6

5 Grafy funkcií boli zobrazené pomocou programu GraphSight v [4], [6]. Je to softvér, ktorý zobrazuje grafy funkcií s jednou reálnou premennou, ak je funkcia daná v explicitnom tvare, parametricky, prípadne v polárnych súradniciach. DISKUSIA A ZÁVER Pri riešení úloh o priebehu funkcie študenti robia rôzne chyby. Môžeme ich rozdeliť nasledovne: - nesprávny výpočet derivácie funkcie (napr. študent neovláda základné pravidlá a vzorce na výpočet derivácií), - študent neovláda teóriu - vetu na zisťovanie monotónnosti funkcie a ďalšie, - nesprávne vyriešená nerovnica pre monotónnosť funkcie (napr. študent neovláda metódy riešenia nerovníc), - logické chyby v úpravách výrazov pri výpočte prvej a druhej derivácie funkcie, - chyby pri hľadaní asymptot grafu funkcie nesprávny výpočet limít, - numerické chyby spôsobujú, že vlastnosti sú navzájom v protiklade a nie je možné zobraziť graf, - študent nevie matematickú metódu riešenia použiť v aplikovanej úlohe. Je potrebné, aby študenti vedeli vlastnosti funkcie zistiť z grafu ide o interpretáciu výsledkov, ktorá je častá v odborných predmetoch. Aby študenti získali dostatok skúseností pri tvorbe grafov funkcií a efektívne bol využitý čas cvičení, učiteľ môže študentom zadať vypočítané vlastnosti funkcie. Úlohou študentov je z daných vlastností zobraziť graf. V príspevku sme chceli prezentovať tematiku zisťovania vlastností funkcií metódami matematickej analýzy a zobrazenia grafu funkcie s využitím grafického softvéru. Nové trendy vo vzdelávaní a implementácia informačných technológií do vzdelávania poskytuje elektronické nástroje aj na zobrazovanie grafov funkcií. Cieľom vyučovania teda je, aby študent pochopil základné princípy teórie zisťovania vlastností funkcie a mal prehľad aj o možnostiach použitia grafického softvéru. Téma priebehu funkcie sa často vyskytuje v aplikáciách, preto je stále aktuálnou súčasťou vyučovania matematiky na vysokých školách. Mnohé vedomosti, ktoré študenti ovládajú zo strednej školy, je potrebné zopakovať, obnoviť, prípadne im dať nový význam a zmysel z pohľadu aplikácií v ekonómii. Rozvoj informačných technológií, nové nástroje, programové produkty, prístup k voľne šíriteľnému softvéru prináša nové možnosti aj pri riešení úloh o priebehu funkcie. ABSTRAKT Súčasťou výučby matematiky sú aj grafy funkcií. Pri grafickom znázornení matematických funkcií môžeme použiť grafické programy, ktoré po zadaní predpisu funkcie nakreslia jej graf. Vlastnosti funkcií študenti zisťujú metódami matematickej analýzy, ktoré používajú limity a derivácie funkcií. Patrí sem zisťovanie monotónnosti, konvexnosti, konkávnosti, výpočet lokálnych extrémov a inflexných bodov. V príspevku prezentujeme ukážky funkcií s nájdenými vlastnosťami a grafickým zobrazením. KĽÚČOVÉ SLOVÁ matematické funkcie, limita a derivácia funkcie, grafický softvér Poznámka. Príspevok vznikol v rámci riešenia projektu Katedry matematiky KEGA č. /78/09 - Teoretická a edukačná transformácia matematického vzdelávania poľnohospodárskych inžinierov.

6 LITERATÚRA [1] BARANÍKOVÁ, H.: Rôzne spôsoby preverovania vedomostí z matematiky na SPU. In: Zborník príspevkov (CD) z medzinárodného vedeckého seminára Informačné technológie v riadení a vzdelávaní. Nitra: SPU, 007, s ISBN [] GREGÁŇOVÁ, R.: Elektronické vzdelávanie v matematike na FEM SPU v Nitre, In: Zborník (CD) z XII. ročníka medzinárodného vedeckého seminára Aktuálne problémy riešené v agrokomplexe, Nitra: SPU, s , 008, [] GREGÁŇOVÁ, R. ORSZÁGHOVÁ, D.: K novým kompetenciám učiteľa matematiky v kontexte elektronického vzdelávania. In: Zborník (CD -ROM) zo 6. medzinárodnej vedeckej konferencie APLIMAT 007. Bratislava: STU, 007, s ISBN [4] MAJOROVÁ, M.: Zobrazenie funkcie jednej reálnej premennej pomocou grafického softvéru GraphSight v. 1.. ŠVČ, Nitra, SPU, 004, 6 s. [5] ORSZÁGHOVÁ, D.: Informačné technológie nástroj grafického riešenia matematických a aplikovaných úloh. In: Zborník (CD) z XII. ročníka medzinárodného vedeckého seminára Aktuálne problémy riešené v agrokomplexe, Nitra: SPU, s , 008, [6] KONTAKT Doc. RNDr. Dana Országhová, CSc. Slovenská poľnohospodárska univerzita v Nitre Fakulta ekonomiky a manažmentu Katedra matematiky Tr. A. Hlinku Nitra tel.: 07/ Dana.Orszaghova@fem.uniag.sk Recenzoval(a): doc. Ing. Klára HENNYEYOVÁ, CSc.