VYUČOVANIE MATEMATIKY A FYZIKY NA SPU TEACHING OF MATHEMATICS AND OF PHYSICS AT THE SUA

Transcription

1 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 VYUČOVANIE MATEMATIKY A FYZIKY NA SPU TEACHING OF MATHEMATICS AND OF PHYSICS AT THE SUA Helena Baraníková, KM FEM SPU Nitra Astract The contemporary mathematical analysis presents a wide ramified discipline of mathematics consisting of relative separate parts. As mentioned aove, The Slovak University of Agriculture (SUA) in Nitra hosts students mainly from technical schools (TS) and educational estalishments (EE). The theory of teaching of mathematics and physics is very helpful in the sphere of transmission of knowledge to students ecause it examines various aspects of teaching of mathematics from different point of views. Research and scientific works in the theory of teaching of mathematics can e effective only in these two ways: y implementation of the results into the curriculum, instructions and methodical materials necessary for the teaching of mathematics; into the creation of teaching materials and into the models necessary for the evaluation of student s and teacher s performance, y influence on the development of further professional education of teachers of mathematics at all levels and in all its forms. Key words: teaching of mathematics, ICT Úvod Matematika je neoddeliteľnou súčasťou výchovno-vzdelávacieho procesu na SPU, nakoľko udúci asolventi univerzity y sa mali vedieť orientovať v nových vedeckých poznatkoch. Jej výuča na vysokých školách je spojená s viac-menej malými prolémami. Za najzávažnejší sa považujú často slašie vedomosti prijatých študentov z matematiky zo strednej školy. Tento nedostatok má mnoho príčin. Jedna z nich je aj tá, že uchádzači o štúdium sú z rôznych typov stredných škôl, gymnázií a stredných odorných učilíšť s maturitou. Osah aj úroveň výučy matematiky je na týchto školách veľmi rozdielna. Ale ona je rozdielna aj v osahu a v úrovni i na jednotlivých fakultách SPU. Materiál a metódy Dôležitú súčasť v každodennej školskej praxi takmer každého tematického celku v učeniciach a učených textoch z matematiky aj pre VŠ tvoria práve matematické zadania. Sú to väčšinou tie úlohy, pomocou ktorých sa priližujeme praxi. Na celý komplex príkladov v každej učenici sa môžeme pozerať z viacerých hľadísk: sú neodmysliteľným nástrojom utvrdzovania a aplikácie matematických zručností, geometrických predstáv, pojmov a vzťahov, sú nástrojom na získavanie základných návykov, postojov, algoritmov na uchopenie, reprezentáciu, riešenie, overenie riešenia prolému a interpretáciu jeho výsledku, sú nástrojom na uvedomenie si medzipredmetových vzťahov, osvojením metód riešenia rôznych typov prolémov y si mali študenti uvedomiť mnohostrannosť a univerzálnosť využitia týchto metód, ktoré im matematika ponúka.

2 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 Tauľka. Vyjadruje súčasné percentuálne zastúpenie študentov prichádzajúcich na uvedené fakulty z jednotlivých typov stredných škôl v rokoch 3-5. FBP, FZKI MF FEM, FEŠRR FAPZ Gymnáziá,9 %,3 % 75, % SŠ 46,8 % 4,9 % 3,7 % SOU 4, % 8, % 9, % (nadstav. 8, % 6,8 %, % štúdium) Ta. (FBP Fakulta iotechnológie a potravinárstva, FZKI Fakulta záhradníctva a krajinného inžinierstva, FAPZ Fakulta agroiológie a potravinových zdrojov, MF Mechanizačná fakulta, FEM Fakulta ekonomiky a manažmentu, FEŠRR Fakulta európskych štúdií a regionálneho rozvoja). Študenti na SPU neprejavujú dosť často veľký záujem o matematiku. Je úlohou nás vyučujúcich prelomiť ariéru nezáujmu o tento predmet a aj naďalej motivovať študentov k tomu, ay sa ich negatívny vzťah k tomuto predmetu zmenil. Oproti minulému odoiu sa výuča matematiky na SPU a výmera hodín znížila takmer na polovicu. Ale požiadavky mnohých katedier sa vzhľadom na novovzniknuté predmety s akreditáciou fakúlt na výuču matematiky zvýšili. Je úplne ežné, že katedry požadujú zaviesť do učených osnov matematiky také tematické celky ako sú: diferenciálny a integrálny počet funkcie jednej, prípadne viac premenných, diferenciálne rovnice a ich numerické riešenie, tenzorový počet, matematické modelovanie, a pod...([5]). K zvládnutiu uvedených tematických celkov je potrené využívať vhodné metódy, formy a prostriedky vyučovania. Naše doterajšie pilotáže a experimenty potvrdili, že z vyučovacích metód sa na zvyšovaní efektívnosti vyučovania matematiky najviac podieľajú aktivizujúce metódy a prolémová metóda v spojitosti s uplatnením zásady názornosti, pričom nesmieme zaudnúť ani na vhodné využívanie didaktických prostriedkov. Postupujeme od separovaných modelov k univerzálnym, pričom využívame experimentálny, ale aj klasický spôso výučy a tiež vhodnú motiváciu. V súvislosti s modernizáciou metód výučy vystupujú do popredia aktivizujúce metódy ([4]). V súčasnosti sa poukazuje aj na to, že sú dôležité nielen na školách základných a stredných, ale aj univerzitného a technického smeru. Matematická analýza, ako tematický celok, teda tvorí základ pri výuče predmetu Matematika na Slovenskej poľnohospodárskej univerzite v Nitre. Tvoria ho tri navzájom súvisiace podcelky: limita funkcie, derivovanie a integrovanie funkcií. Z vlastných skúseností sme usúdili, že študenti SPU majú s pochopením základných pojmov diferenciálneho a integrálneho počtu prolémy. Možno povedať, že ez špeciálneho pedagogického prístupu a osoitnej starostlivosti je pre priemerných a slaších študentov úspešné zvládnutie štúdia matematiky prolematické. Za tým účelom uvádzame naše skúsenosti s výkladom niektorých kľúčových pojmov z matematiky. Predovšetkým y sme chceli zdôrazniť, že sa nám ukázalo ako veľmi užitočné snažiť sa o vypestovanie určitej intuitívnej predstavy o novo zvládnutých pojmoch. Túto predstavu sme sa snažili vytvárať na vhodných príkladoch. Tieto príklady sme zaraďovali do dvoch skupín. Do prvej skupiny sme zaradili motivačné príklady, ktorých cieľom olo ojasniť užitočnosť a dôležitosť zavádzaného pojmu nielen z hľadiska matematiky, ale aj z hľadiska praxe, podľa možnosti poľnohospodárskej. Druhým kritériom pre výer motivačných príkladov ola miera ich príspevku pre intuitívne chápanie zavádzaného pojmu. Do druhej skupiny sme zaraďovali jednoduché výpočtové príklady na dotváranie intuitívnej predstavy o pojme. Na výere týchto jednoduchých príkladov sme postavili akýsi predkalkulus k prolematike, ktorého cieľom olo nielen už spomenuté vytváranie a dotváranie intuitívnych predstáv o nových pojmoch, ale aj nenásilné opakovanie stredoškolského učiva, čím y sa študenti dozvedeli to najnevyhnutnejšie, čo prakticky od začiatku štúdia

3 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 na vysokých školách potreujú. K upresňovaniu intuitívne pochopených pojmov sme pristupovali postupne. K tomuto prístupu sme sa inšpirovali z niektorých amerických a kanadských kalkulusov. Užitočnou pomôckou nám pri štúdiu oli aj skriptá z matematiky od Prof. Zalaaia určené pre externých študentov. Vypestovať u študentov kladný vzťah k tomuto predmetu so širším záerom astrakcie a poukázaním na medzipredmetové vzťahy znamená: a) vypracovať zodpovedajúce učené osnovy, ) voliť také metódy výučy, ay sa za daný čas dosiahla požadovaná efektívnosť ( diferencované vyučovanie). Uvedená prolematika nadoudla širší rozmer i vzhľadom na predĺženie povinnej školskej dochádzky na základných školách v Slovenskej repulike z osem na deväť rokov v roku 996. So zmenou dĺžky povinnej školskej dochádzky teda súvisela zmena učených osnov predmetu MATEMATIKA (Učené osnovy MATEMATIKA, 997). Z týchto dvoch podnetov vyplynuli potrey, ktorých riešenie významne ovplyvnilo každodennú školskú prax. Okrem iného, vznikla potrea tvory nových učeníc z predmetu matematika pre: ZŠ, SŠ a VŠ. Zmenila sa situácia aj metodika tvory učeníc matematiky v porovnaní s predchádzajúcimi tradíciami. Zmena situácie: Koncom osemdesiatych rokov vznikla nová koncepcia vyučovania matematiky na všetkých stupňoch škôl. Ustúpilo sa od uvádzania matematických poznatkov prostredníctvom prvkov množinovej matematiky. Uvažovalo sa, že učenice a učené texty y mali oohatiť tradičný prístup k prezentovaniu matematických poznatkov o moderné metodické postupy, zamerané na konštruktívny spôso získavania matematických vedomostí. V dôsledku toho ol na nové alternatívne učenice matematiky pre základné a stredné školy Ministerstvom školstva Slovenskej repuliky vypísaný konkurz v roku 995. V konkurze úspešne ostáli dva autorské kolektívy. Jeden pod vedením O. Šedivého a druhý pod vedením V. Repáša. Prvýkrát vznikla pre školy možnosť výeru z dvoch alternatívnych radov učeníc matematiky pre druhý stupeň škôl. Na tieto alternatívne učenice pre udúcnosť nadväzovali ďalšie alternatívne učenice pre stredné školy. Viac pozornosti uvedenej prolematike sa v súčasnom odoí venuje na gymnáziách so všeoecným zameraním s možnosťou alternatívnych výerov predmetov. Z uvedeného, samozrejme okom nemôžu stáť ani školy vysoké. Preto, i tu sa pri výere učeného textu a jeho písaní pedagógom kladie veľký dôraz na tvoru a sprístupňovanie tohto textu študentom. Z predkladaného vyplýva, že pri vypracovaní učeného textu zo základov diferenciálneho a integrálneho počtu pre študentov SPU, vhodného aj pre stredoškolákov sme kládli dôraz na :. vytvorenie intuitívnej predstavy študentov o limite funkcie,. názorné zavedenie derivácie funkcie vychádzajúce z geometrických predstáv, 3. zavedenie neurčitého a hlavne určitého integrálu funkcie ez použitia pojmov suprémum a infimum, a rôznych typov zovšeoecnených limitných prechodov s náčrtom súvislostí zvoleného prístupu s tradičným prístupom. Súčasne s týmto cieľom ol sformulovaný aj matematický cieľ spočívajúci :. v načrtnutí súvislostí zvoleného didaktického prístupu k výkladu látky s niektorým zo súčasných modernejších prístupov k osvojeniu si tejto prolematiky,. vo vytvorení relatívne jednoduchých vzorcov, pomocou ktorých y si mohol aj praktik so základnými vedomosťami z matematiky na danej úrovni (napr. s derivovaním) schopný vypočítať určitý integrál funkcie pomocou jednoduchej kalkulačky. Na tento matematický cieľ ezprostredne nadväzuje didaktický cieľ, ktorý znamená :. analyzovať úroveň vyučovania matematiky na SPU v Nitre v súvislosti so súčasnými

4 3 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 trendmi a s možnosťami zvyšovania jeho efektívnosti,. zdôvodniť potreu učeného textu na základe požiadaviek pedagogickej praxe, teda ay tento text študentom poskytoval zrozumiteľnejšie a názornejšie vysvetlenie uvedenej tematiky, 3. pripraviť zierku typových motivačných úloh do pomocného učeného textu (skrípt), 4. pripraviť didaktické testy na overenie rozdielu dosiahnutých študijných výsledkov experimentálnej a kontrolnej skupiny, 5. pripraviť dotazník k realizácii dotazníkového prieskumu s cieľom zistiť názory študentov: na vzťah študentov k matematike vzhľadom na jej využitie v praxi, na kvalitu výučy matematiky a využitie vhodných metód výučy, na prípravu študentov na cvičeniach z matematiky z hľadiska samoštúdia, na zvládnutie konkrétnych tematických celkov z matematiky infinitezimálneho počtu, lineárnej algery a goniometrických výrazov, na vysvetľovanie medzipredmetových vzťahov, na vzťah k matematike a k štúdiu vôec. Vzhľadom na uvedené úlohy, vychádzajúc z teoretických poznatkov i empirických skúseností sme mohli formulovať pracovné hypotézy sledovaných výskumov: H Analýzou spätno-väzoných informácií získaných prieežne v rámci nami pripraveného dotazníkového prieskumu a realizáciou zodpovedajúcich (vhodných) opatrení postupne prispievame k skvalitneniu výučy matematiky na SPU. H Zavedením vyučovania infinitezimálneho počtu názornejším spôsoom, prispejeme k zlepšeniu študijných výsledkov v rámci tohto tematického celku s dôrazom na zvýšenie úrovne, prehĺenie a kvalitu vedomostí v rámci výučy matematiky na SPU. Z pohľadu metodológie vedeckého výskumu (Benčo, ) v príspevku sú uprednostnené kvalitatívne metódy spracovania prolematiky. Metodický prístup je komparatívny a vyhodnocovací. Metodické postupy sú zamerané na hodnotenie a opis. Vychádzame z teoretických poznatkov z aplikovaného výskumu (Turek, 998). Riešime ezprostrednú požiadavku praxe - tvoru učeného textu z matematiky a projektujeme špeciálnu olasť: olasť tvory úloh. Výsledky tohto projektovania sa môžu uplatniť v ďalšej tvore učených textov, ako aj iných učených textov. Zaoeráme sa aj analýzou učeného textu z matematiky, ktoré sme vytvorili - ako výskum ex post facto. Poznámka. Aplikačné úlohy určené pre študentov FEM a MF SPU na rozvoj priestorovej predstavivosti a projektovania Graf -.

5 4 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 z = rrrcos(3t)/(+rrrr) r =.+.5sin(3u) xx+yy+zz=4 r =.+.5sin(3u) z = sin(xx+yy)/(xx+yy) r =.+.5sin(3u) Graf Graf Na našich školách sa pri výklade derivácie a integrálu funkcie oyčajne vychádza zo znalosti pojmu limity. Tento pojem je však aj pre našich študentov, hlavne asolventov rôznych typov stredných odorných škôl a učilíšť, na pochopenie príliš náročný. Jeho korektné pochopenie si podľa nášho názoru vyžaduje netradičný prístup s charakteristickými črtami stredoškolskej výučy. Inšpiráciu pre tento prístup sme našli ([4]), kde autor pri výklade diferenciálneho a integrálneho počtu v podstate vychádza z geometrických predstáv a intuitívne chápaného pojmu limity funkcie, ktorý sa práve pri výklade derivácie pokúša ojasniť, resp. upresniť. Pretože znalosť výpočtu derivácií, neurčitých a určitých integrálov sa aj pre poľnohospodárskych inžinierov považuje za užitočnú a nechceme odočovať do numerických a štatistických metód, uvedieme si neskôr príklad na tento výpočet založený na aproximácii grafov funkcií splajnovými krivkami, ktorý porovnáme s výpočtom na jednoduchej programovateľnej kalkulačke ClassPad 3 kompatiilnej každým PC. Pri zohľadnení uvedených skutočností sme pri tvore nového, zrozumiteľnejšie podaného učeného textu postupovali v zmysle teórie didaktických situácií ([]). Zjednotenie G (x) všetkých kriviek G i (x), i =,..., n je istou aproximáciou grafu funkcie f (x) na uvedenom intervale. Pomocou kalkulačky možno študentov na grafoch konkrétnych funkcií ľahko presvedčiť, že kvalita aproximácie grafu funkcie f (x) krivkou G (x) je dosť presná na to, ay sme plošný osah krivočiareho lichoežníka určeného nad intervalom a, krivkou G (x) mohli považovať (priližne) za osah krivočiareho lichoežníka vytvoreného grafom funkcie f (x) nad intervalom a,. Tento fakt je pre nás motiváciou k tomu, ay sme pri priližných výpočtoch určitých integrálov funkcií na intervale a, vychádzali z rovnosti: a n i= xi + f ( x) dx = & G( x) dx = G ( x) dx. () a xi i Výpočet integrálov v poslednej sume nie je príliš náročný, nakoľko sa jedná o integrály z polynomických funkcií maximálne 3 (tretieho stupňa).

6 5 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 Ay sme načrtnutý postup riešenia nemuseli znovu opakovať, vyriešime si túto úlohu všeoecne s cieľom získať isté vzorce na priližný výpočet určitých integrálov. Teraz si vypočítame si integrály z monomiálnych polynomických funkcií vyskytujúcich sa v Hermittovských polynómoch: n a i f ( x) dx = & ( f ( a) + f ( )) + ( f ( a) f ( )) + f ( xi ) n,kde x i = a + ( a). i= n a f ( x) dx = & ( a) 4 9 a 3 [ f ( a) + f ( x ) + f ( ) ] ( a) [ f ( a) + f ( x ) + f ( )]. Poznámka. Výpočet určitých integrálov podľa vyššie uvedených vzťahov pre n = je zmysluplný ia vtedy, keď graf integrovanej krivky na intervale, cez ktorý sa integrácia uskutočňuje, má jednoduchý tvar, ktorý je dostačujúco aproximovateľný Hermittovskou krivkou, určenou krajnými odmi grafu a dotykovými vektormi grafu v nich. Výsledky V ďalšej časti uvádzame príklad, na ktorom udeme demonštrovať presnosť z vyššie opísaných priližných metód na výpočet určitých integrálov a porovnáme s hodnotou tohto integrálu vypočítanou pomocou Newtonovho-Leinizovho vzorca, ako aj s hodnotou na kalkulátore ClassPad 3. Príklad. Vypočítajme určitý integrál intervale, dx () t dt = cost dt 4 dx = 4 x je na x. Riešenie: Pretože funkcia ( ) spojitá, daný integrál existuje. Položme sustitúciu x () t = sin t = ϕ. Okrem toho ϕ ( α ) = sinα = α = a ( β ) = 4 4sin cost dt = (Or. - 3). Diskusia f x = ϕ, takže ϕ sin β = β =. Potom: 4 x dx = t sin t cost dt 4 cos t dtdt = ( + cos t) dt = = t + t = [ ] [ ] = sin Klasická didaktika matematiky študuje didaktické činnosti špecifické pre matematiku, kde didaktickou situáciou je spoločenský zámer osvojenia si študentmi stanovenej vedomosti. Adidaktická situácia je situácia ([]) vytváraná pedagógom u študentov želané adaptácie asimilácie a akomodácie výerom dore premyslených úloh, ktoré im vyučujúci zadáva. Or. Or. Or. 3

7 6 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, Vylepšenie študijných výsledkov v % z príuzných predmetov u študentov zúčastnených na prieskume pomocou dotazníka v šk.r. / /4 4/5 kontrolná skupina experimentálna skupina Graf 3 Príspevok sa pridržiava práve týchto najnovších poznatkov z tejto olasti a ich možného využitia vo vyučovacom procese ([3]). Je názornou ukážkou spájania najnovších metód ([4]) vytvárania názornej predstavy u študentov z hľadiska efektívnosti ich využívania, ako ajosvojovania si daného učiva (Graf 3) a jeho možného využitia v danom štúdiu ([7]) na sledovanej vzorke 48 študentov V kontrolnej skupine sme pri výuče postupovali klasickou formou výučy a v experimentálnej skupine novým spôsoom ([5]). V príspevku sme sa pokúsili tiež využiť niekoľko interaktívnych geometrických softvérov, ktoré sú výsledkom dôkladnej selekcie a experimentovania v tejto olasti. Literatúra []Balacheff, N. (988): Le contrat et la coutume in Acles du premier colloque' franco-allemand de didactique des mathématiqlles et de l'informatiquc. Grenole: La pensée sauvage. []Brousseau, G. (986): Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique de Mathématiques, vol. 7 n, pp. 33-5, ed. La Pensée Sauvage. [3]Hejný, M.: Prípadová štúdia o klíme triedy, ZBORNÍK 3 BRATISLAVSKÉHO SEMINÁRA Z TEÓRIE VYUČOVANIA MATEMATIKY, UK, Bratislava, str.33-48, ISBN [4]Jarník, V.: Diferenciální počet, Integrální počet, vyd. 6. Academia, Praha, 984 [5]Országhová, D. a kol.(): Matematika, SPU Nitra, ISBN [6]Pontriagin, L, S.: Matematičeskij analiz dľja školnikov, Moskva, 986 [7]Šalát, T.a kol.: Malá encyklopédia matematiky,obzor, Bratislava,98, ISBN [8]Trenčanský, I.: Hladiny didaktických prostredí a kognitívne funkcie, ZBORNÍK PRÍSPEVKOV NA SEMINÁRI Z TEÓRIE VYUČOVANIA MATEMATIKY, UK, Bratislava, str.73-77, ISBN [9] Turek, I.: Učiteľ a pedagogický výskum, Metodické centrum, Bratislava, 998 []Uherčíková, V.: Priestorová predstavivosť a jej význam vo vyučovaní matematiky. In: Zorník č. 4 Bratislavského seminára z teórie vyučovania matematiky. Grant: VEGA č. /857/, Bratislava,, ISBN []Uvarov, V. B. : Matematičeskij analiz, časť I. staraja, Moskovskij Gosudarstvennij Universitet imeni M. V. Lomonosova, Moskva, 98 [.]Zajcev, I. L.: Kurs vyššej matematiki, GIFML, Moskva, 958 [3]Zalaai, Z. a kol..: Zorník vedeckých prác, Aplikácia matematiky vo výuče, výskume a praxi, SPU, Nitra, 998 [4]Zaťko, V.: Verejne nepulikované pomocné učené texty k prednáškam, Bratislava, 3

8 7 Research and Teaching of Physics in the Context of University Education Nitra, June 5 and 6, 7 Kontaktná adresa PeadDr.Helena Baraníková, Katedra matematiky, FEM SPU, Trieda A.Hlinku, Nitra, Helena.Baranikova@uniag.sk