MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE

Transcription

1

2 MEDZINÁRODNÝ VEDECKÝ ČASOPIS MLADÁ VEDA / YOUNG SCIENCE September 07 (číslo 4) Ročník piaty ISSN Kontakt: info@mladavedask, tel: , wwwmladavedask Fotografia na obálke: Altenberger Dom, Nemecko Branislav A Švorc, fotobraniskoat REDAKČNÁ RADA doc Ing Peter Adamišin, PhD(Katedra environmentálneho manažmentu, Prešovská univerzita, Prešov) doc Dr Pavel Chromý, PhD (Katedra sociální geografie a regionálního rozvoje, Univerzita Karlova, Praha) prof Dr Paul Robert Magocsi (Chair of Ukrainian Studies, University of Toronto; Royal Society of Canada) Ing Lucia Mikušová, PhD (Ústav biochémie, výživy a ochrany zdravia, Slovenská technická univerzita, Bratislava) doc Ing Peter Skok, CSc (Ekomos s r o, Prešov) prof Ing Róbert Štefko, PhD (Katedra marketingu a medzinárodného obchodu, Prešovská univerzita, Prešov) prof PhDr Peter Švorc, CSc,predseda (Inštitút histórie, Prešovská univerzita, Prešov) doc Ing Petr Tománek, CSc (Katedra veřejné ekonomiky, Vysoká škola báňská - Technická univerzita, Ostrava) REDAKCIA PhDr Magdaléna Keresztesová, PhD (Fakulta stredoeurópskych štúdií UKF, Nitra) Mgr Martin Hajduk (Inštitút histórie, Prešovská univerzita, Prešov) RNDr Richard Nikischer, PhD (Ministerstvo pro místní rozvoj ČR, Praha) Mgr Branislav A Švorc, PhD, šéfredaktor (Vydavateľstvo UNIVERSUM, Prešov) PhDr Veronika Trstianska, PhD (Ústav stredoeurópskych jazykov a kultúr FSŠ UKF, Nitra) Mgr Veronika Zuskáčová (Geografický ústav, Masarykova univerzita, Brno) VYDAVATEĽ Vydavateľstvo UNIVERSUM, spol s r o wwwuniversum-eusk Javorinská 6, Prešov Slovenská republika Mladá veda / Young Science Akékoľvek šírenie a rozmnožovanie tetu, fotografií, údajov a iných informácií je možné len s písomným povolením redakcie

3 Vol 5 (4), pp -5 POZNÁMKY K INTEGROVANIU NIEKTORÝCH ODMOCNÍN NOTES ON INTEGRATION OF SELECTED ROOTS Marek Varga, Michaela Vargová Abstract Integral calculus of real single variable functions is a traditional part of university mathematics courses In order to determine the indefinite integrals of functions the wellknown methods - integration by parts and an array of ingenious substitutions in form of strict algorithmic procedures are applied which enable one to arrive at the result corresponding to the given class of functions The high level of algorithmization in this part of mathematics makes students believe that the algorithms are the only ways leading to correct solutions This paper aims to argue that such a belief is a misconception Similarly to many other mathematics branches, integral calculus is not really deprived of the splendid opportunities to perform mathematical eperimentation and employ diverse solving strategies Key words: Indefinite integral, irrational function, root Abstrakt Integrálny počet reálnej funkcie jednej reálnej premennej je tradičnou súčasťou univerzitných kurzov matematiky Pri hľadaní neurčitých integrálov k daným funkciám sa využíva metóda per partes a celý rad dômyselných substitúcií vo forme prísnych algoritmických postupov, ktoré zaručujú pre príslušnú triedu funkcií hľadaný výsledok Vysoký stupeň algoritmizácie tejto časti matematiky vytvára vo vedomí študentov predstavu, že sú to jediné cesty vedúce k správnemu riešeniu V nasledovných riadkoch ukážeme, že ide o mylnú predstavu Ani tematický celok integrálny počet nám nebráni v matematickom eperimentovaní a v uplatňovaní rôznych ciest vedúcich k želanému výsledku Kľúčové slová: Neurčitý integrál, iracionálne funkcie, odmocninové funkcie Úvod Integrálny počet reálnych funkcií jednej reálnej premennej zvyčajne nasleduje vo vysokoškolských kurzoch bezprostredne po kapitolách z diferenciálneho počtu uvedeného typu funkcií Avšak zatiaľ čo derivovanie ľubovoľnej funkcie jednej premennej je čisto algoritmický proces, pri hľadaní primitívnych funkcií ide nepochybne o ďaleko náročnejšiu záležitosť Adresa pracoviska: PaedDr Marek Varga, PhD, KM FPV UKF, Tr A Hlinku, Nitra mvarga@ukfsk Adresa pracoviska: Mgr Michaela Vargová, PhD, KIPV VŠTE, Okružní 57/0, České Budějovice klepancova@mailvstecbcz, michaelaklepancova@centrumsk

4 Vol 5 (4), pp -5 Pri integrovaní racionálnych, iracionálnych i trigonometrických funkcií ich tradične rozdelíme do istých skupín, pre ktoré máme odporúčaný istý postup, ktorý nás bezpečne privedie k výsledku Na druhej strane asi nie je vhodné, aby študent nadobudol presvedčenie, že sa musí naspamäť naučiť príslušnú substitúciu, a bez nej sa k výsledku nedostane Na hodinách matematiky predsa stále musí zostať dostatok miesta na myšlienkové eperimenty, na uplatňovanie tvorivosti pri riešení úloh, na objavovanie rôznych riešení, na divergentné cesty riešenia daného príkladu Toto presvedčenie sa pokúsime na ďalších riadkoch ukázať na integrovaní konkrétne vybranej funkcie f Integrujeme odmocniny Venujme sa teda dostatočne jednoducho vyzerajúcemu integrálu Najskôr však poznamenáme, že symbolmi d c j, kde j,,, budeme v celom tete označovať ľubovoľné reálne konštanty Riešenie Učebnica Grebenči a Novoselova (95) nám odporúča jednoducho rozšíriť integrand, dostávame: d d d Druhý integrál považujeme za tabuľkový, platí 3 d ln c, problémom preto zostáva prvý sčítanec Využime metódu per partes (pri hľadaní funkcie v však musíme použiť aj substitúciu), potom u u d t v v d dt t dt d t To znamená, že odkiaľ už máme Riešenie d d d ln, d ln c 3 Tento výsledok získame pomocou prvej Eulerovej substitúcie, tj t

5 Vol 5 (4), pp -5 Podľa autora Zaporožeca (96) môžeme nasadiť metódu per partes bez akýchkoľvek predchádzajúcich príprav, získavame u u d d v v d d ln Je evidentné, že sa dostaneme k výsledku známemu z () Riešenie 3 V oboch prípadoch sme sa stretli s integrálom d Eistuje aj ďalší spôsob, ako si s ním poradiť (pozri napr Fulier a Vrábel 05) Platí d A B C d ; kde,, A B C R Po zderivovaní a využitím metódy neurčitých koeficientov nachádzame A, B 0, C Potom d ln c3, čo môžeme spätne využiť pri výpočte nášho hľadaného integrálu Riešenie 4 Pri integrovaní funkcie f d nám môže pomôcť aj geometrický náčrt (pozri Piskunov 957) Ak totiž zvolíme pravouhlý trojuholník s odvesnami dĺžky a resp potom prepona má dĺžku práve b, c Ak označíme uhol priľahlý k odvesne symbolom t, potom platí cotgt Túto substitúciu následne využijeme pri integrovaní: cotgt d dt 3 d dt sin t sin t Ďalej nám už musí pomôcť univerzálna goniometrická substitúcia, tj t z tg 3

6 Vol 5 (4), pp -5 Odtiaľ vyplýva, že Po dosadení máme 3 z sin t z, dz dt z z z z sin t 8z z 4 z z 4 z d dt z dz ln z c Pri konečnej úprave výsledku sa musíme vrátiť k substitúciám z tg t, arccotg t Riešenie 5 Pri nasledovnom výpočte si budeme musieť spomenúť na hyperbolické funkcie 4, a ich vzájomné vzťahy (napr Djubjuk 963) Okamžite môžeme písať: sinh t d sinh t cosh t dt cosh t dt cosh t dt d cosh t dt sinh t t sinh t cosh t t sinh t sinh t t c5 c5 c5 ln c5 5 Záver v našom článku sme sa pokúsili ukázať, že integrovanie resp hľadanie primitívnych funkcií nemusí mať jedinú správnu cestu k cieľu (ako väčšina matematických úloh, či dokonca väčšina problémov v reálnom živote) Na ukážku sme si zobrali jeden konkrétny integrál špeciálnej iracionálnej funkcie, a to d Naše postupy sa však dajú zovšeobecniť, a to najskôr na integrály typu aj na iné kombinácie znamienok vo výraze pod odmocninou, tj a d i d a, avšak a d ; tieto možnosti sú však čitateľovi iste známe V ďalšom kroku je možné ukázať, že po úprave na úplný štvorec získame uvedené prípady pri integrovaní akéhokoľvek kvadratického trojčlena pod druhou odmocninou 4 Hyperbolickými funkciami nazývame hyperbolický sínus, hyperbolický kosínus, hyperbolický tangens a hyperbolický kotangens, ktoré definujeme v danom poradí pomocou eponenciálnej funkcie takto: e sinh e e e, cosh, sinh tgh, cosh cosh cotgh Pri integrovaní využijeme vzťahy sinh cosh sinh a tiež sinh sinh cosh, cosh sinh cosh V ruskej literatúre bývajú často označované len y sh, y ch, y th, y cth 5 Potrebovali sme inverznú funkciu k y sinh, s touto sme sa však stretli už vyššie, totiž y ln 4

7 Vol 5 (4), pp -5 Náš článok teda v skutočnosti nepojednával o jedinom špecifickom integráli, ale o celej triede neurčitých integrálov Tento článok odporúčal na publikovanie vo vedeckom časopise Mladá veda: prof RNDr Jozef Fulier, CSc Použitá literatúra DJUBJUK, P E a kol, 963 Sbornik zadač po kursu vysšej matematiky Moskva: Vysšaja škola FULIER, J, VRÁBEL, P, 05 Integrálny počet Nitra: UKF ISBN GREBENČA, M K, NOVOSELOV, S I, 95 Kurs matematičeskogo analiza Moskva: Učpedgiz 4 PISKUNOV, N S, 957 Differenciaľnoje i integraľnoje isčislenija Moskva: Gosudarstvennoje izdateľstvo techniko teoretičeskoj literatury 5 ZAPOROŽEC, G I, 96 Rukovodstvo k rešeniju zadač po matematičeskomu analýzu Moskva: Vysšaja škola 5