Stereometria interaktívne

Transcription

1 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PaedDr. Janka Březíková Stereometria interaktívne Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Banská Bystrica 2013

2 Vydavateľ: Metodicko-pedagogické centrum, Ševčenkova 11, Bratislava Autor OPS/OSO: PaedDr. Janka Březíková Kontakt na autora: Názov OPS/OSO: Rok vytvorenia OPS/OSO: Odborné stanovisko vypracoval: Gymnázium Antona Bernoláka, Mieru 307/23, Námestovo Stereometria interaktívne 2013 VI. kolo výzvy RNDr. Anna Zubáková Za obsah a pôvodnosť rukopisu zodpovedá autor. Text neprešiel jazykovou úpravou. Táto osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe/osvedčená skúsenosť odbornej praxe bola vytvorená z prostriedkov národného projektu Profesijný a kariérový rast pedagogických zamestnancov. Projekt je financovaný zo zdrojov Európskej únie.

3 Kľúčové slová priestorová predstavivosť, matematický applet, dynamická štruktúra, interaktívne nástroje, stereometria Anotácia Práca popisuje interaktívne matematické nástroje k téme Stereometria vo vyučovacom predmete matematika a navrhuje ich použitie vo vyučovacom procese s dôrazom na precvičenie a fixáciu poznatkov a rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. V práci sú popísané aktivity a navrhnuté úlohy a ich riešenie pomocou interaktívnych nástrojov - matematických appletov: Colouring sides 1, Colouring sides 2, Building houses with side views, Rotating houses, Cross sections of a cube, Doorzien 4 a matematického programu Rezy kocky.

4 OBSAH ÚVOD OPIS OVERENEJ PEDAGOGICKEJ SKÚSENOSTI Cieľ práce a špecifikácia cieľovej skupiny Vymedzenie kompetencií IKT a Stereometria Matematické applety a edukačné programy INTERAKTÍVNE MATEMATICKÉ NÁSTROJE K TÉME STEREOMETRIA Matematický applet Colouring sides Matematický applet Colouring sides Matematický applet Building houses with side views Matematický applet Rotating houses Matematický program Rezy kocky Matematický applet Cross sections of a cube Matematický applet Doorzien ZÁVER Zoznam bibliografických zdrojov... 32

5 ÚVOD Stereometria je časť geometrie, ktorá študuje priestor. Pre úspešné zvládnutie stereometrie je potrebné mať dobre rozvinutú priestorovú predstavivosť. Priestorová predstavivosť je jednou z dôležitých schopností človeka, ktorú využívajú každodenne nielen architekti, konštruktéri, ale aj obyčajní ľudia pri zariaďovaní bytu, vysádzaní záhrady či parkovaní auta. Je nevyhnutné rozvíjať priestorovú predstavivosť u žiakov každého veku. Ako vhodný prostriedok na rozvoj priestorovej predstavivosti a efektívne získavanie stereometrických vedomosti pre žiakov sa osvedčili nástroje IKT: matematické applety, matematické programy. Cieľom osvedčenej pedagogickej skúsenosti je popísať interaktívne matematické nástroje, matematické applety a edukačné programy k téme Stereometria a ich použitie na vyučovacej hodine s dôrazom na precvičenie a fixáciu poznatkov a rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. V práci je popísaná skúsenosť s matematickými appletmi: Colouring sides 1, Colouring sides 2, Building houses with side views, Rotating houses, Cross sections of a cube, Doorzien 4 a matematickým programom Rezy kocky. Popísané matematické applety a program sa dajú využiť v predmete matematika na gymnáziu, prípadne na hodinách seminára z matematiky alebo v rámci matematického krúžku. Práca obsahuje dve kapitoly. V úvodnej kapitole je popísaný cieľ a charakteristika práce, vymedzené kompetencie učiteľa a žiaka a opísané teoretické východiská. Ďalšia kapitola popisuje jednotlivé matematické applety, spôsob práce s nimi a možnosti a skúsenosti s ich využitím na vyučovacej hodine. Pri jednotlivých interaktívnych štruktúrach sú navrhnuté úlohy, ktoré možno prostredníctvom appletov riešiť. Vytvorená OPS má ambície pomôcť učiteľom použiť dostupné interaktívne matematické nástroje pri vyučovaní Stereometrie a tým zatraktívniť vyučovanie tohto tematického celku, motivovať žiakov a zefektívniť ich prácu prostredníctvom IKT. OPS môže byť vhodným doplňujúcim materiálom pre vzdelávací program: IKT na hodinách matematiky, aktualizačné vzdelávanie, číslo rozhodnutia 393/2010 KV.

6 6

7 1 OPIS OVERENEJ PEDAGOGICKEJ SKÚSENOSTI 1.1 Cieľ práce a špecifikácia cieľovej skupiny Cieľ práce Cieľom tejto osvedčenej pedagogickej skúsenosti je popísať interaktívne matematické nástroje k téme Stereometria a navrhnúť ich použitie vo vyučovacom procese s dôrazom na precvičenie a fixáciu poznatkov a rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. Popísané matematické interaktívne nástroje a navrhnuté postupy odporúčam využiť vo vyučovacom procese na hodinách matematiky, seminára z matematiky v tematickom okruhu Geometria a meranie pri témach Zobrazujeme priestor, Kocky, rezy a priestorová predstavivosť, Lineárne útvary v priestore- metrické úlohy, polohové úlohy. Kategória pedagogických zamestnancov: učiteľ. Podkategória pedagogických zamestnancov (podľa zákona č. 317/2009 Z. z.): učiteľ pre úplné stredné všeobecné vzdelávanie. Vzdelávacia oblasť: matematika a práca s informáciami. Typ školy: gymnázium so štvorročným štúdiom, gymnázium s osemročným štúdiom. Vyučovací predmet: matematika, seminár z matematiky. Tematické okruhy: Geometria a meranie Zobrazujeme priestor (1.ročník), Kocky, rezy a priestorová predstavivosť (2.ročník), Lineárne útvary v priestore- metrické úlohy a polohové úlohy (3. a 4.ročník). Potrebné pomôcky a prostriedky Pre aplikáciu overenej pedagogickej skúsenosti do praxe sú potrebné nasledujúce didaktické prostriedky: počítače s prístupom na internet pre učiteľa a všetkých žiakov, prípadne pre dvojicu žiakov, dataprojektor. 1.2 Vymedzenie kompetencií Požadované zručnosti od žiaka Pre aplikáciu overenej pedagogickej skúsenosti do praxe je potrebné, aby žiak ovládal: základy práce s počítačom, základy práce s internetom a internetovým prehliadačom. Požadované zručnosti od učiteľa Pre aplikáciu overenej pedagogickej skúsenosti do praxe je potrebné, aby učiteľ ovládal: základy práce s počítačom a dataprojektorom, základy práce s internetom a internetovým prehliadačom. 7

8 Vymedzenie kompetencií žiakov Aplikovaním tejto OPS vo vyučovacom procese môže žiak rozvíjať nasledujúce kľúčové kompetencie: uplatňuje pri riešení problémov vhodné metódy založené na analytickokritickom a tvorivom myslení, používa matematické modely logického a priestorového myslenia a prezentácie, dokáže využívať IKT pri vzdelávaní, je otvorený (pri riešení problémov) získavaniu a využívaniu rôznych, aj inovatívnych postupov, formuluje argumenty a dôkazy na obhájenie svojich výsledkov, kriticky hodnotí svoj pokrok, prijíma spätnú väzbu a uvedomuje si svoje ďalšie rozvojové možnosti, efektívne využíva dostupné informačno-komunikačné technológie, dokáže reflektovať proces vlastného učenia sa a myslenia pri získavaní a spracovávaní nových poznatkov a informácií a uplatňuje rôzne stratégie učenia sa. Aplikovaním tejto OPS vo vyučovacom procese v tematickom celku Geometria a meranie žiak rozvíja tieto zručnosti: v rovnobežnom premietaní načrtnúť kváder alebo jednoduché teleso zložené z malého počtu kvádrov, nakresliť bokorys a pôdorys jednoduchých útvarov zložených z kvádrov, používať spôsoby dvojrozmernej reprezentácie priestoru pri riešení jednoduchých úloh, v jednoduchých prípadoch zobraziť rez telesa rovinou, zostrojiť rez kocky rovinou určenou tromi bodmi ležiacimi v rovinách stien, z ktorých aspoň dva ležia v tej istej stene daného telesa, opísať možnosti pre vzájomné polohy ľubovoľných dvoch lineárnych útvarov, rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvarov pomocou ich obrazu vo voľnom rovnobežnom premietaní, zostrojiť vo voľnom rovnobežnom priemete jednoduchého telesa (kocky, hranola) priesečník priamky (určenej dvoma bodmi ležiacimi v rovinách stien kocky) s rovinou steny daného telesa, riešiť jednoduché úlohy vyžadujúce priestorovú predstavivosť. 8

9 1.3 IKT a Stereometria Rozvoj informačných a komunikačných technológii priniesol do vyučovania matematiky nové možnosti pre efektívnejšiu prácu učiteľa aj žiaka. Do vzťahu učiteľ žiak vstupujú nástroje IKT, ktoré prinášajú do škôl výučbové prostredia, ktoré sú interaktívne, kde je vytváraná okamžitá reakcia na vyslaný podnet a dynamické, kde je pohyb objektov, vývoj, animácia javov. Interaktívne prostredie umožňuje manipuláciu s objektmi, zmenu parametrov, preto je vhodné na experimentovanie s konštrukciami, uľahčuje riešenie štandardných problémov a umožňuje skúmanie neštandardných situácii. Interaktívne aplikácie sú veľmi dobrým motivačným činiteľom. Každodenná skúsenosť potvrdzuje, že žiaci radšej pracujú s počítačom ako s materiálmi v papierovej podobe. Podľa Blaška (2013, str.136) školstvo doteraz nedostalo takú učebnú pomôcku, ku ktorej by mali študenti taký prirodzený, aktívny a pozitívny vzťah ako k počítačom. Internet mení všetko, včítane charakteru vzdelávania. Podľa Fuliera (2005, str.10) z didaktických aspektov fenoménu IKT vo vyučovaní matematiky je potrebné vyzdvihnúť najmä tieto: aspekt vizualizácie, ktorý uľahčuje predstavu daného myšlienkového procesu či javu, čím bezprostredne skracuje samotný proces učenia, aspekt simulácie procesov, ktorým je možné na základe rôznych vstupných hodnôt (parametrov danej úlohy) vytvoriť adekvátny model a pochopiť ich hierarchiu, aspekt interakcie medzi počítačom a používateľom, ktorá je jednou z dôležitých vlastností multimédií (študent pracuje s odosobneným počítačom, ktorého trpezlivosť a objektivita je vopred zaručená, k výhodám patrí i to, že študent je nútený pracovať samostatne a tvorivo, musí vyhľadávať potrebné údaje, rozhodovať a voliť vlastné postupy, objavovať dôležité informácie a súvislosti). Využitie interaktívnych nástrojov vo vyučovaní Stereometrie má mnohé výhody: - interaktívny prístup, teda možnosť meniť parametre, experimentovať a objavovať, - dynamickosť, teda možnosť plynulej zmeny pohľadu na teleso a tým lepšie objasnenie podstaty problému, ale aj chýb v žiackych riešeniach, možnosť overovania hypotéz, - názornosť vďaka možnosti aktívnej manipulácie s priestorovými objektmi a tým rozvoj priestorovej predstavivosti, - aktívny prístup žiaka, vďaka možnosti samostatne riešiť úlohy, samostatne manipulovať s objektmi a možnosti výberu náročnosti úloh, - variabilita úloh generovaných matematickým softvérom, - schopnosť pritiahnuť pozornosť žiakov a udržať ju dlhšiu dobu, - motivačný faktor, - automatická a okamžitá spätná väzba. Nevýhodou pri využívaní IKT vo vyučovacom procese sa javí problém s dostupnosťou didaktickej techniky (počítače s prístupom na internet pre všetkých žiakov) a vysoký počet žiakov v triede (30 a viac). 9

10 1.4 Matematické applety a edukačné programy Applety sú špeciálne programy vytvorené zväčša v programovacom jazyku Java ( preto sa nazývajú aj Java applety), ktoré sa spúšťajú v prehliadači web stránok. Modelujú rôzne javy (fyzikálne, chemické, matematické, biologické), demonštrujú experimenty a sú vytvorené interaktívnou formou. Matematické applety umožňujú simulovať a modelovať rôzne matematické javy. Žiaci môžu zasahovať do animácii, meniť voliteľné parametre, sledovať následky zmeny parametrov, analyzovať, vyvodzovať závery. Zadávané úlohy aktivizujú k samostatnému skúmaniu daného javu (Blaško, 2013, str. 283). Edukačný softvér je forma digitálnych technológií, ktoré sa cieľavedome používajú na podporu učenia a učenia sa. Edukačný program je vytvorený pre vyučovanie ako nástroj pre učiteľov a žiakov, ktorý dovoľuje experimentovať, tvoriť, skúmať, manipulovať s objektmi, objavovať vzťahy. Výhodou použitia matematických appletov a programov v edukácii je: - zvýšená názornosť vyučovania, - väčšia efektivita vyučovania, - oživenie a spestrenie vyučovania, motivácia, - aktivizácia žiakov, - individualizácia vyučovania, - okamžitá spätná väzba. Nevýhodou matematických appletov a programov je: - jazyková bariéra väčšina appletov je v anglickom jazyku, - potrebné technické vybavenie, - zvýšené nároky na prípravu učiteľa na vyučovanie. Použitie matematických appletov a edukačných softvérov na hodinách matematiky by malo byť v súlade so všeobecne platnými didaktickými zásadami. Matematické applety by mali byť primerané, názorne, motivačné, podnecujúce žiaka k aktivite, mali by spájať teóriu s praxou, pomáhať k získaniu trvácich vedomostí a komplexne rozvíjať osobnosť žiaka. Medzi obľúbené dynamické matematické edukačné programy patrí: Cabri geometria, GeoGebra, Derive, WinPlot. Mnohé webové stránky ponúkajú v rámci svojho obsahu komplex vzdelávacích zdrojov, matematických appletov zameraných na výučbu stredoškolskej matematiky. V tejto práci ponúkam opis osvedčenej pedagogickej skúsenosti pri vyučovaní stereometrie s využitím matematických appletov: Colouring sides 1, Colouring sides 2, Building houses with side views, Rotating houses, Cross sections of a cube, Doorzien 4 a matematického programu Rezy kocky. 10

11 2 INTERAKTÍVNE MATEMATICKÉ NÁSTROJE K TÉME STEREOMETRIA 2.1 Matematický applet Colouring sides 1 V rámci motivácie a na rozvoj priestorovej predstavivosti žiaka je vhodné využiť matematický applet Colouring sides 1. Charakteristika matematického appletu Colouring sides 1 Matematický applet Colouring sides 1 je umiestnený na stránke Tento matematický applet obsahuje dvadsať úloh na rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. V každej úlohe je dané teleso, ktorého jedna alebo viacero stien je zafarbených na červeno (Obr.1). Cieľom úloh je vyznačiť červenú stenu na znázornenom pohľade zhora, sprava, zľava, spredu. Kliknutím na stenu na náryse, pôdoryse alebo bokoryse sa vyfarbí na červeno, tlačidlom OK užívateľ potvrdí riešenie úlohy, zároveň získa okamžitú spätnú väzbu o správnosti riešenia úlohy: zobrazením dialógového okna OK správne vyriešená úloha alebo zobrazením dialógového okna TRY AGAIN- skús to znova, teda úloha nesprávne vyriešená. Pomocou ikony NEXT QUESTION pokračuje užívateľ na ďalšiu úlohu, pričom náročnosť úloh je stupňovaná zložitosťou telesa a zvyšovaním počtu zafarbených stien. Pri riešení úloh je možné využiť rotáciu zadaného telesa. Po vyriešení všetkých úloh sa percentuálne vyhodnotí úspešnosť riešenia. Obrázok 1 Popis appletu Colouring side 1 Prameň: vlastný návrh 11

12 Použitie matematického appletu Colouring sides 1 Pri riešení stereometrických úloh je dôležité, aby žiaci mali rozvinutú priestorovú predstavivosť. Na rozvoj priestorovej predstavivosti navrhujem v úvode tematického celku Stereometria využiť matematický applet Colouring sides 1. Úlohy sú vhodné v rámci matematickej rozcvičky vo fáze evokácie. Matematický applet vytvára pre žiakov podnetné situácie, inšpiruje ich k bádaniu a aktívnemu riešeniu nastolených problémov. Čo sa vopred od žiaka očakáva? - ovláda pojmy nárys, pôdorys, bokorys telesa, - vie pracovať s internetom, - ovláda základy práce v grafickom užívateľskom rozhraní zahrňujúce výber položiek a umiestňovanie objektov do schém, - vie manipulovať s objektmi v pripravených dynamických konštrukciách. Čo sa žiak naučí? - využívať priestorovú predstavivosť pri analyzovaní rôznych pohľadov na konštrukcie, - rozvíjať svoju schopnosť orientácie v priestore a rovine, - riešiť jednoduché úlohy vyžadujúce priestorovú predstavivosť. Aké prostriedky na to potrebujeme? - počítače s prístupom na internet pre vyučujúceho a všetkých žiakov, - dataprojektor. Koľko času na to potrebujeme? - úvodné pokyny, prezentácia appletu 4minúty, - samostatná práca žiakov 13 minút, - vyhodnotenie aktivity 3 minúty. Ako sme to realizovali? Riešenie úlohy vyžadovalo, aby každý žiak mal k dispozícii počítač s prístupom na internet. Kliknutím na odkaz sa otvoril matematický applet. V úvode aktivity učiteľ prostredníctvom dataprojektora predviedol prácu s appletom a popísal funkcie jednotlivých ikon (Obr.1). Pre zvýšenie motivácie učiteľ stanovil podmienky hodnotenia úlohy (napr. bod za aktivitu získavajú prví traja žiaci, ktorí vypracujú úlohu so stopercentnou úspešnosťou,...). Následne žiaci samostatne riešili úlohy. V závere každý žiak získal okamžitú spätnú väzbu, keďže matematický applet automaticky vyhodnotil percentuálnu úspešnosť riešenia celého cvičenia. Podľa vopred stanovených podmienok učiteľ vyhodnotil prácu žiakov na hodine. 12

13 2.2 Matematický applet Colouring sides 2 Matematický applet Colouring sides 2 obsahuje typovo podobné, ale náročnejšie úlohy ako applet Colouring sides 1. Charakteristika matematického appletu Colouring sides 2 Matematický applet Colouring sides 2 je umiestnený na adrese Matematický applet obsahuje dvadsať úloh na rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. V úlohách je vyfarbená časť nárysu, pôdorysu alebo bokorysu a cieľom úlohy je kliknutím vyznačiť danú stenu na zobrazenom telese. Práca s appletom je veľmi podobná ako v prípade Colouring sides 1. Po vyriešení všetkých úloh sa percentuálne vyhodnotí úspešnosť riešenia. Použitie matematického appletu Colouring sides 2 Po vyriešení úloh zo série Colouring sides 1 je vhodné zmeniť činnosť žiakov a úlohy Colouring sides 2 riešiť v rámci domácej prípravy, prípadne dobrovoľnej domácej úlohy. Ak chce učiteľ hodnotiť domácu úlohu žiaka, môže stanoviť podmienku, že žiak odošle PRINT SCREEN obrazovky učiteľovi elektronicky, po vyriešení poslednej úlohy so zobrazeným vyhodnotením úspešnosti riešenia. Učiteľ taktiež vopred zadá termín, dokedy má byť domáca úloha odoslaná a kritéria hodnotenia úlohy. Matematické applety Colouring sides 1 a 2 sú u žiakov obľúbené. 13

14 2.3 Matematický applet Building houses with side views Charakteristika matematického appletu Building houses with side views Building houses with side views je jednoduchý Java applet umiestnený na stránke Aktivita pozostáva z desiatich jednoduchších úloh LEVEL 1 a desiatich zložitejších úloh LEVEL 2. Cieľom úloh je postaviť stavbu z minimálneho počtu kociek, ak je daný pohľad zhora, spredu a sprava (Obr.2). Nastavením sa na príslušné políčko a kliknutím na ľavé tlačidlo myši užívateľ pridáva novú kocku na stanovenej pozícii, nastavením sa na kocku a kliknutím na pravé tlačidlo myši užívateľ príslušnú kocku odoberie. Kocky môžu byť umiestnené na iných kockách alebo stáť vo vzduchu. Stavbu užívateľ môže vytvárať dvoma spôsobmi: pridávaním kociek v režime BUILD alebo odoberaním kociek po vytvorení stavby zo 64 kociek stlačením FILL UP, následne v režime BREAK UP. Podržaním pravého tlačidla myši je možné stavbu ľubovoľne otáčať. Ak vytvorená stavba spĺňa stanovené parametre a je vytvorená z minimálneho počtu kociek, je úloha hodnotená desiatimi bodmi. Ak vytvorená stavba spĺňa stanovené kritéria, ale na jej výstavbu bolo použitých viac kociek ako je nevyhnutné, úloha je hodnotená nižším počtom bodov. Obrázok 2 Building houses with side views Prameň: vlastný návrh 14

15 Použitie matematického appletu Building houses with side views Riešiť náročnejšie úlohy na rozvoj priestorovej predstavivosti je vhodné pomocou matematického appletu Building houses with side views. Úlohy vyžadujú zložitejšie logické operácie, riešenie je časovo náročnejšie. Applet je možné využiť ako náročnejšiu alternatívu k appletu Colouring sides, ako dobrovoľnú domácu úlohu, v rámci matematického krúžku alebo v rámci voliteľného predmetu Seminár z matematiky. Čo sa vopred od žiaka očakáva? ovláda pojmy nárys, pôdorys, bokorys telesa, vie pracovať s internetom, vie manipulovať s objektmi v pripravených dynamických konštrukciách. Čo sa žiak naučí? využívať priestorovú predstavivosť pri analyzovaní rôznych pohľadov na konštrukcie, používať spôsoby dvojrozmernej reprezentácie priestoru pri riešení úloh, riešiť úlohy vyžadujúce priestorovú predstavivosť, rozvíjať svoju schopnosť orientácie v priestore a rovine. Aké prostriedky na to potrebujeme? počítače s prístupom na internet pre vyučujúceho a všetkých žiakov, dataprojektor. Koľko času na to potrebujeme? úvodné pokyny, prezentácia appletu 3minúty, samostatná práca žiakov 12 minút, vyhodnotenie aktivity prácou v skupinách 5 minút. Ako sme to realizovali? Riešenie úlohy vyžadovalo, aby každý žiak mal k dispozícii počítač s prístupom na internet. Matematický applet sa otvorí kliknutím na odkaz V úvode aktivity učiteľ prostredníctvom dataprojektora predviedol prácu s appletom, vysvetlil, čo je cieľom práce žiakov, popísal jednotlivé funkcie ikon a možnosti programu (Obr.3). Následne si žiaci zvolili LEVEL 1 a samostatne riešili desať úloh. Výhodou aplikácie je zachovanie vytvorených stavieb a možnosť vrátiť sa k čiastočne vyriešenej úlohe. Po vyriešení úloh program vyhodnotil úspešnosť riešenia cvičenia, ale neponúkol správne riešenie. Preto na záver aktivity prácou v skupinách bol vytvorený priestor, pre vzájomné porovnávanie riešení a ich korekciu. Diskusiou a argumentáciou v skupinách si žiaci navzájom porovnávali riešenia. 15

16 Obrázok 3 Popis appletu Building houses with side views Prameň: vlastný návrh Podobným spôsobom bolo možné riešiť aj náročnejší súbor úloh v LEVELI 2, avšak bolo potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že veľké množstvo rovnakých úloh pôsobí na žiaka demotivačne a únavne a taktiež treba zvážiť časovú náročnosť cvičenia. Úlohy LEVEL 2 sú vhodné ako dobrovoľná domáca úloha, pričom žiak odošle PRINT SCREEN obrazovky učiteľovi elektronicky, po vyriešení poslednej úlohy so zobrazeným vyhodnotením úspešnosti riešenia. Učiteľ vopred zadá termín, dokedy má byť domáca úloha odoslaná a kritéria hodnotenia úlohy. Úlohy sú pre žiakov veľmi zaujímavé a motivačné. 16

17 2.4 Matematický applet Rotating houses Charakteristika matematického appletu Rotating houses Matematický applet Rotating houses je voľne prístupný na adrese spolu s ďalšími aplikáciami vhodnými na rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. Applet pozostáva z dvadsiatich úloh. Po jeho spustení sa v ľavej časti objaví teleso, ktoré je potrebné otočiť tak, aby pohľad spredu na toto teleso bol rovinný útvar zadaný v pravej časti obrazovky (Obr.4). Pomocou ikony OK je nevyhnutné potvrdiť riešenie úlohy. O správnom riešení úlohy je užívateľ informovaný prostredníctvom dialógového okna OK, pomocou ikony NEXT QEUSTION je možné pokračovať riešením nasledujúcej úlohy. Po nesprávnom riešení úlohy, sa objaví informácia WRONG, následne je možné úlohu jedenkrát opraviť, pričom táto skutočnosť sa zohľadňuje pri výpočte celkovej úspešnosti riešenia úloh, ktorá je automaticky stanovená po vyriešení všetkých úloh. Obrázok 4 Popis appletu Rotating houses Prameň: vlastný návrh Použitie matematického appletu Rotating houses Matematický applet Rotating houses je vhodné využiť na rozvoj priestorovej predstavivosti žiakov. Čo sa vopred od žiaka očakáva? - vie manipulovať s objektmi v pripravených dynamických konštrukciách, - ovláda pojmy nárys, pôdorys, bokorys telesa, - vie pracovať s internetom. 17

18 Čo sa žiak naučí? - využívať priestorovú predstavivosť pri analyzovaní rôznych pohľadov na konštrukcie, - rozvíjať svoju schopnosť orientácie v priestore. Aké prostriedky na to potrebujeme? - počítače s prístupom na internet pre vyučujúceho a všetkých žiakov, - dataprojektor. Koľko času na to potrebujeme? - úvodné pokyny, prezentácia appletu 2 minúty, - samostatná práca žiakov 10 minút, - vyhodnotenie aktivity 3 minúty. Ako sme to realizovali? Riešenie úlohy vyžadovalo, aby každý žiak, prípadne dvojica žiakov mala k dispozícii počítač s prístupom na internet. Matematický applet sme otvorili kliknutím na odkaz V úvode aktivity učiteľ prostredníctvom dataprojektora predviedol prácu s appletom, vysvetlil, čo je cieľom práce žiakov, popísal jednotlivé funkcie ikon a možnosti programu (Obr.4). Následne učiteľ vyhlásil súťaž, pričom prví traja riešitelia s úspešnosťou nad 90% budú odmenení podľa vopred stanovených pravidiel (jednotka, určitý počet bodov pri bodovom systéme, pluska,...). Žiaci samostatne riešili úlohy, v závere prebehlo vyhodnotenie práce žiakov. Aktivita je vhodná v rámci matematickej rozcvičky v úvodnej časti hodiny. 18

19 2.5 Matematický program Rezy kocky Charakteristika matematického programu Rezy kocky Matematický výukový softvér Rezy kocky je voľne prístupný na portáli projektu Infovek na adrese Tento program umožňuje užívateľovi jednoducho a prehľadne vytvárať rezy kocky. Je to dynamický edukačný program umožňujúci výber a riešenie zadaní alebo tvorbu vlastných úloh. Umožňuje rotovať zobrazené telesá a teda vidieť rez z rôznych pohľadov, umožňuje vytvárať rezy kocky s rôznou náročnosťou. Po otvorení programu sa v ľavej časti obrazovky otvorí panel INŠTRUKCIE, ktorý obsahuje charakteristiku programu a popis jeho funkcii v slovenskom jazyku. Pomocou panelu INŠTRUKCIE sa užívateľ oboznámi s prácou s programom. V hornej lište je umiestnená ikona MOŽNOSTI, ktorá umožňuje voliť náročnosť úloh. Užívateľovi dovoľuje vybrať z ponúknutých úrovni: stačí spojiť, stačí robiť rovnobežky, je nutné predlžovať hranu, žiadne dva body nie sú v jednej stene, automaticky zadať body, pričom je možné úrovne ľubovoľne kombinovať, teda je možné zakliknúť viacero alternatív. V ponukovom paneli vpravo sú umiestnené ikony s rôznymi funkciami, ktoré sú popísané v Tab č.1. Tab. 1: Funkcie jednotlivých ikon programu Rezy kocky Ikona Funkcia otáčanie kocky rôznymi smermi zväčšenie, zmenšenie kocky otočenie kocky do pôvodnej polohy vytvorenie priamky cez dva práve označené body vytvorenie rovnobežky s vybranou priamkou cez vybraný bod vytvorenie červenej úsečky, spojnice práve vybraných bodov, ktorá predstavuje rez kocky 19

20 vyznačenie časti riešenia, vytvorenie nasledujúceho kroku rezu zobrazenie kompletného riešenia úlohy zmazanie pôvodnej kocky a vytvorenie novej kocky zakreslia sa 3 body na hranách kocky zadanie novej úlohy Prameň: vlastný návrh Použitie matematického programu Rezy kocky Program Rezy kocky je vhodné využiť na precvičenie a fixáciu poznatkov o rezoch kocky. Program je využiteľný pri riešení úloh, ktorých cieľom je precvičiť vytváranie rezov kocky rôznej náročnosti, využitím pravidla rovnobežnosti a predlžovaním hrán kocky. Čo sa vopred od žiaka očakáva? - pozná princíp zostrojovania jednoduchých rezov kocky, - vie zostrojiť priesečnicu dvoch rôznobežných rovín, - vie pracovať s internetom, - ovláda základy práce v grafickom užívateľskom rozhraní zahrňujúce výber položiek a umiestňovanie objektov do schém, - vie manipulovať s objektmi v pripravených dynamických konštrukciách. Čo sa žiak naučí? - precvičil si vytváranie rezov kocky rovinou danou tromi bodmi aplikovaním princípu rovnobežnosti a predlžovaním hrán kocky, - využívať priestorovú predstavivosť pri analyzovaní rôznych pohľadov na konštrukcie. Aké prostriedky na to potrebujeme? - počítače s prístupom na internet pre vyučujúceho a všetkých žiakov, - dataprojektor, - matematický program Rezy kocky. Koľko času na to potrebujeme? - úvodné pokyny, oboznámenie sa s programom 5 minút, - riešenie úloh 35 minút, - vyhodnotenie aktivity 5 minút. 20

21 Ako sme to realizovali? Riešenie úlohy pomocou matematického softvéru Rezy kocky vyžadovalo, aby každý žiak pracoval na počítači, do ktorého si nainštaloval túto aplikáciu. Aplikáciu odporúčam nainštalovať na všetky počítače pred vyučovacou hodinou z časových dôvodov a z dôvodu zamedzenia možným technickým problémom (napr. nefunguje internet). V úvode aktivity, po spustení programu sa žiaci samostatne oboznámili s návodom na obsluhu programu prečítaním inštrukcii v paneli INŠTRUKCIE. Následne učiteľ zadal žiakom úlohy rôznej náročnosti: Úloha 1: Zostrojte rez kocky ABCDEFGH rovinou EBC. Úloha 2: Zostrojte rez kocky ABCDEFGH rovinou AKL, ak K je stred hrany FG, L je stred hrany DH. Úloha 3: Zostrojte rez kocky ABCDEFGH rovinou XYZ, ak X je stred hrany EF, Y je stred hrany BC, Z je stred hrany CG. Úloha 4: Zostrojte rez kocky ABCDEFGH rovinou IJQ, ak I,J,Q sú ľubovoľné body na hranách AE, DC, CG. Úloha 5: Zostrojte rez kocky ABCDEFGH rovinou, ktorú si sami zadáte. Po oboznámení sa žiakov s návodom na obsluhu programu a zadaní úloh, učiteľ alebo ním vyzvaný žiak predviedol cez dataprojektor zostrojenie rezu z úlohy 1 s cieľom prezentovať ostatným možnosti softvéru. Zároveň si žiaci zopakovali vytvorenie jednoduchého rezu aplikovaním princípu rovnobežnosti. V ponukovom paneli vpravo sme stlačili ikonu NOVÁ KOCKA kliknutím na vrcholy E,B,C sme ich označili modrou farbou. Pomocou ikony OZNAČ REZ v paneli vpravo sme spojili body B,E a C,B červenou úsečkou, ktorá označuje rez. Ďalej sme stlačili tlačidlo ROVNOBEŽKA, kliknutím sme označili úsečku BE, s ktorou sme chceli vytvoriť rovnobežku a kliknutím sme označili bod, cez ktorý sme chceli viesť rovnobežku, teda bod C. Takto sme vytvorili priamku, na ktorej pomocou ikony OZNAČ REZ sme vyznačili úsečku CH, ktorá je časťou rezu. Ďalej sme kliknutím označili body H,E, čím sme vytvorili rez kocky rovinou EBC. Po tejto prezentácii jednotlivých funkcií softvéru Rezy kocky učiteľ vyzval žiakov, aby samostatne riešili úlohy 2 až 5. Žiaci vytvárali rezy kocky s využitím všetkých možnosti výučbového programu. Po vyriešení úloh 2 až 5 žiaci využili ikonu ZADANIE a program im automaticky zadal úlohy, ktoré riešili. Náročnosť úloh si volili pomocou ikony MOŽNOSTI umiestnenej v hornej lište. Žiaci postupovali pri riešení vlastným tempom, samostatne riadili svoj proces učenia sa. Učiteľ individuálne konzultoval alternatívne žiacke postupy, riešil vzniknuté problémy. Ak učiteľ nemá k dispozícií učebňu s počítačom pre každého žiaka, je vhodné, aby žiaci boli oboznámení s programom prostredníctvom dataprojektora. Žiaci, ktorí majú viac zručností v oblasti IKT privítajú možnosť riešiť domáce úlohy prostredníctvom programu Rezy kocky, prípadne si na hodinu prinesú vlastný notebook a riešia úlohy prostredníctvom spomínaného programu. Výhodou využitia matematického programu Rezy kocky bola okamžitá kontrola správnosti riešenia. Výhodou bol aj odstupňovaný systém pomocných aktivít, teda realizácia následného kroku v riešení úlohy vytvorením časti rezu a tým poskytnutie potrebnej cielenej pomoci pomocou ikon PORAĎ a UROB CELÝ v závislosti od individuálnych potrieb žiakov. Nevýhodou použitia programu bol fakt, že vytvorené rezy žiaci nemohli ukladať priamo v tejto aplikácii. 21

22 2.6 Matematický applet Cross sections of a cube Charakteristika matematického appletu Cross sections of a cube Na precvičenie úloh, ktoré zamerajú pozornosť žiaka na rovinný útvar, ktorý môže byť rezom kocky je možné využiť matematický JAVA applet Cross sections of a cube. Tento applet je voľne prístupný na adrese: Po spustení appletu v ľavej časti obrazovky sa otvorí CONTROL PANEL, kde užívateľ môže vybrať rovinný útvar, ktorý má byť rezom kocky. V ponuke sa nachádzajú tieto rovinné útvary: rôznostranný trojuholník, rovnoramenný trojuholník, rovnostranný trojuholník, štvorec, obdĺžnik, rovnoramenný lichobežník, všeobecný lichobežník, rovnobežník, nepravidelný päťuholník, nepravidelný šesťuholník. Ďalej sa tam nachádzajú ikony pre vytvorenie rezu, otáčanie kocky a zmazanie rezu. Po výbere útvaru, ktorý má byť rezom kocky je potrebné kliknutím zadať tri body na hranách kocky, ktoré vytvárajú rovinu, rez kocky ktorou je požadovaný útvar. Použitím ikony CREATE sa vytvorí rez kocky danou rovinou a je vyhodnotená správnosť riešenia úlohy. Objaví sa text: The selected points can not form a square cross section, teda vybrané body nevytvoria požadovaný útvar, riešenie je nesprávne alebo sa objaví text: You have successfully created an square cross section. Good job!, teda vybrané body vytvoria požadovaný útvar, riešenie je správne. Ikona ROTATE CUBE umožňuje užívateľovi otáčať kocku a skúmať tvar rezu. Kliknutím na ikonu RESET sa riešenie zmaže a objaví sa nová kocka, teda užívateľ má možnosť riešiť ďalšiu úlohu. Použitie matematického appletu Cross sections of a cube Súčasťou interaktívnych vzdelávacích aktivít žiakov na vyučovacej hodine by malo byť riešenie úloh, pri ktorých môžu žiaci samostatne objavovať nové poznatky. Matematický applet Cross sections of a cube je vhodné využiť pri riešení úloh, v ktorých je potrebné zistiť, či ľubovoľný rovinný útvar môže byť rezom kocky. Čo sa vopred od žiaka očakáva? - vie zostrojovať jednoduché rezy kocky, - ovláda vlastnosti základných rovinných útvarov, - vie pracovať s internetom, - ovláda prácu s jednoduchým webovým interaktívnymi JAVA appletmi, - vie manipulovať s objektmi v pripravených dynamických konštrukciách. Čo sa žiak naučí? - charakterizovať prienik roviny a kocky z hľadiska typu n-uholníka a vie určiť jeho vlastnosti, - argumentovať pri analýze riešenia úloh, - využívať modely a modelovanie zamerané na skúmanie útvarov pri zmene vstupných parametrov modelu. Aké prostriedky na to potrebujeme? - počítače s prístupom na internet pre vyučujúceho a všetkých žiakov, - dataprojektor. 22

23 Koľko času na to potrebujeme? - úvodné pokyny, prezentácia appletu 7 minút, - samostatná práca žiakov 15 minút, - vyhodnotenie aktivity 8 minút. Ako sme to realizovali? Učiteľ zadal žiakom úlohu. Úloha: Odhadnite, či rez kocky rovinou môže byť daný rovinný útvar: a) rovnostranný trojuholník, b) rovnoramenný trojuholník, c) rôznostranný trojuholník, d) rovnobežník, e) štvorec, f) obdĺžnik, g) rovnoramenný lichobežník, h) lichobežník, ktorý nie je rovnoramenný, i) nepravidelný päťuholník, j) pravidelný päťuholník, k) nepravidelný šesťuholník, l) pravidelný šesťuholník, m) sedemuholník. O správnosti svojho tvrdenia sa presvedčte vytvorením rezu. Pri riešení úlohy bolo možné použiť matematický applet Cross sections of a cube. Ovládanie appletu bolo intuitívne, napriek tomu učiteľ pomocou dataprojektora predviedol žiakom, ako sa pracuje s appletom, aké nástroje applet ponúka (Obr.5). Keďže applet je v anglickom jazyku, bolo potrebné, preložiť spolu so žiakmi pojmy, ktoré sa tam vyskytovali: scalene triangle rôznostranný trojuholník, isosceles triangle rovnoramenný trojuholník, equilateral triangle rovnostranný trojuholník, square štvorec, non-square rectangle obdĺžnik, isosceles trapezoid rovnoramenný lichobežník, trapezoid lichobežník, parallelogram rovnobežník, non-regular pentagon nepravidelný 5-uholník, non-regular hexagon nepravidelný 6-uholník. Následne učiteľ vysvetlil funkcie nástrojov na CONTROL PANELI: CREATE vytvorenie rezu podľa zadaných bodov na hranách kocky, ROTATE CUBE otáčanie kocky, RESET vytvorenie novej kocky. 23

24 Obrázok 5 Popis appletu Cross sections of a cube Prameň: vlastný návrh Ďalej učiteľ spolu so žiakmi vyriešil úlohu a) a postup riešenia prezentoval cez dataprojektor. Kliknutím sme vybrali útvar, ktorý mal byť rezom kocky, ďalej sme označili tri body na hrane kocky. Po kliknutí na ikonu CREATE sa vytvoril rez. Applet ihneď vyhodnotil správnosť riešenia úlohy. Ďalej pri riešení úlohy bola zvolená kombinácia individuálnej a frontálnej formy práce. Najprv mali žiaci vymedzený čas na vlastné hľadanie riešenia, teda samostatne hľadali útvary, ktoré môžu byť rezom kocky. Po čase stanovenom na samostatnú prácu, prebehla spoločná analýza úlohy a navrhovaných žiackych riešení a ich prezentácia cez dataprojektor. Riešenie úloh tohto typu vyžaduje od žiakov nielen priestorovú predstavivosť, ale aj schopnosť vidieť situáciu dopredu. Náročnosť úlohy spočívala v tom, že žiaci nevytvárali rezy, ale navrhovali body, podľa zadaného kritéria. Využitím dynamickej štruktúry žiaci objavili fakt, že rez kocky rovinou nemôže byť ľubovoľný rovinný útvar. Manipulovaním s telesom v dynamickej štruktúre dokázali lepšie určiť rovinný útvar, ktorý je rezom kocky a jeho vlastnosti. Pri riešení úlohy s využitím appletu sa vytvoril priestor na experimentovanie, simuláciu rôznych situácií a pri zhrnutí riešenia úlohy aj priestor na diskusiu a slovnú argumentáciu žiakov. Nevýhodou použitia appletu bola skutočnosť, že vytvorené rezy žiaci nemohli ukladať priamo v tejto aplikácii. 24

25 2.7 Matematický applet Doorzien 4 Charakteristika matematického appletu Doorzien 4 Matematický applet Doorzien 4 je umiestnený na webovej stránke Interaktívna aplikácia vytvára rezy rôznych telies ľubovoľnými rovinami, umožňuje rozdeliť teleso rovinou rezu na dve telesá. Ďalej umožňuje vyšetrovať vzájomné polohy priamok a rovín, vytvárať rovnobežné roviny s danou rovinou, názorne zobrazovať prienik priamky s rovinou, prienik dvoch rovín. V hornej ponukovej lište má užívateľ k dispozícii ikony, ktoré možno následne rozbaľovať. Jednotlivé ikony dovoľujú vykonávať tieto funkcie: Applet zobrazenie základných informácii o applete, Stop: ukončenie práce a zatvorenie okna, Info: stručné informácie o applete, Figuren umožnenie výberu telesa, Achtvalk: osemsten, Balk: kváder, Cilinder: valec, Huizen: kocka s ihlanom, kváder s ihlanom, ( domček ) Kegels: kužeľ (s rôznymi výškami), Kubus: kocka, Piramides: ihlan, ktorého podstava je trojuholník, štvoruholník,...osemuholník, Prismas: trojboký, štvorboký, päťboký, šesťboký hranol, Twaalfvlak: pravidelný dvanásťsten, Twintigvlak: pravidelný dvadsaťsten, Viervlak: štvorsten, Opties- možnosti Hulppunten: pomocník, Letters: pomenovanie telesa, Centrale projectie: centrálna projekcia, Parallel projectie: paralelna projekcia, Po zvolení telesá kliknutím a ťahaním myšou je možné ľubovoľne otáčať teleso. V ponukovom paneli vpravo (Obr.6) sú umiestnené ikony s funkciami: zafarbenie stien telesa, zväčšenie telesa, zmenšenie telesa, postupné vytvorenie siete telesa pomocou posuvníka, ktorý sa zobrazí v pravom hornom rohu obrazovky. 25

26 Obrázok 6 Popis ponukového panelu appletu Doorzien 4 Prameň: vlastný návrh Použitie matematického appletu Doorzien 4 Matematický applet Doorzien 4 možno použiť pri riešení úloh, ktorých cieľom je precvičiť vyšetrovanie vzájomných polôh dvoch priamok, priamky a roviny a dvoch rovín. Interaktívnu štruktúru je vhodné využiť na precvičenie a fixáciu poznatkov. Žiaci pri použití matematického appletu Doorzien 4 môžu aktívnou činnosťou skúmať súvislosti medzi objektmi a aplikovať teoretické poznatky o vzájomných polohách priamok a rovín pri riešení úloh. Dynamický stereometrický systém plní vo vyučovacom procese úlohu didaktickej pomôcky, ktorá je efektívnym nástrojom na podporu aktívneho učenia sa žiakov, čo má veľký význam pri riešení zložitejších stereometrických úloh. Ak žiaci nemajú dostatočne rozvinutú priestorovú predstavivosť, statické konštrukcie sú často nedostatočné pre pochopenie problémov, vizualizácia a dynamickosť sú efektívnejším nástrojom na pochopenie. Čo sa vopred od žiaka očakáva? - vie zostrojovať jednoduché rezy kocky, - ovláda vlastnosti základných rovinných útvarov, - pozná vzájomné polohy dvoch priamok, dvoch rovín, priamky a roviny, - vie pracovať s internetom, - ovláda prácu s jednoduchým webovým interaktívnymi JAVA appletmi, - vie manipulovať s objektmi v pripravených dynamických konštrukciách. Čo sa žiak naučí? - vyšetrovať vzájomnú polohu dvoch rovín, priamky a roviny, - na zobrazených telesách vyznačiť a vypočítať uhol dvoch priamok, - argumentovať pri analýze riešenia úloh, - využívať modely a modelovanie zamerané na skúmanie útvarov pri zmene vstupných parametrov modelu. 26

27 Aké prostriedky na to potrebujeme? - počítače s prístupom na internet pre vyučujúceho a všetkých žiakov, - dataprojektor. Koľko času na to potrebujeme? - úvodné pokyny, oboznámenie sa s programom 5 minút, - riešenie úloh 35 minút, - vyhodnotenie aktivity 5 minút. Ako sme to realizovali? Učiteľ zadal žiakom úlohy. Úloha 1: Bod P je stred hrany AE kocky ABCDEFGH. Zostrojte priesečník danej priamky s rovinou BHP. a) priamka AF, b) priamka DF c) priamka CK, K je stred úsečky EH Úloha 2: Daný je kváder ABCDEFGH. Zostrojte prienik daných rovín: a) ABH, BCE b) ACH, BDF, c) ACH, BDG. Úloha 3: Daný je trojboký kolmý hranol ABCDEF, AB =3 cm, BC =4 cm, AC =3cm, výška hranola je 10. Určte veľkosť uhla stenových uhlopriečok, ktoré vychádzajú z vrcholu A. Žiaci samostatne riešili úlohu 1 do zošita. Následne prebehla kontrola správnosti riešenia prostredníctvom appletu Doorzien 4. Učiteľ vyzval žiakov, aby si otvorili matematický applet Doorzien 4 z internetového odkazu V úvode aktivity učiteľ prostredníctvom dataprojektora predviedol prácu s appletom, vysvetlil, čo je cieľom práce žiakov, popísal jednotlivé funkcie ikon a možnosti programu (Tab.2). Tab. 2: Funkcie jednotlivých ikon appletu Doorzien 4 Ikona Popis funkcie Zostrojenie úsečky po kliknutí na dva body na hrane telesa Odstránenie priamky označenej zakliknutím Predĺženie úsečky označenej zakliknutím Skrátenie úsečky označenej zakliknutím 27

28 Zostrojenie rezu telesa po kliknutí na tri body na hrane telesa Vytvorenie rovnobežnej roviny s danou rovinou cez bod vybraný zakliknutím Odstránenie zakliknutej roviny Vyfarbenie (vyplnenie) zakliknutej roviny Zobrazenie rovinného útvaru, ktorý je rezom telesa danou rovinou Rozdelenie telesa danou rovinou na dve telesá Krok späť Vrátiť znova Prameň: vlastný návrh Spolu so žiakmi učiteľ riešil úlohu 1 prostredníctvom matematického appletu, riešenie prezentoval cez dataprojektor, žiaci si kontrolovali svoje riešenia. Pomocou ikony FIGUREN sme zvolili požadované teleso KUBUS, kocku. Pomocou ikony OPTIES a následne funkcie LETTERS sme pomenovali kocku. Kliknutím na ikonu a následným označením bodov B, H, P sa nám vytvoril rez kocky rovinou BHP. Použitím ikony a následným označením bodov A, F sa vytvorila úsečka AF. Kliknutím na rovinu BHP a následným kliknutím na ikonu sme vyfarbili rovinu BHP, čím bol obrázok názornejší. Otáčaním kocky sme jasne lokalizovali priesečník danej priamky a roviny (Obr.7). Obrázok 7 Riešenie úlohy 1 Prameň: vlastný návrh 28

29 Pokračovali sme riešením úlohy 2. Žiaci riešili samostatne prostredníctvom matematického appletu, učiteľ individuálne konzultoval so žiakmi vzniknuté problémy. Podobným spôsobom ako v úlohe 1 (pomocou ikony FIGUREN Prisma s- Vierzijdig prisma) sme zvolili kváder a pomenovali sme ho ABCDEFGH (pomocou ikony OPTIES- Letters). Kliknutím na ikonu a následne na body A, B, H sme vytvorili rez kvádra rovinou ABH. Podobným spôsobom sme vytvorili rez kvádra rovinou BCE. Pomocou ikony sme vyfarbili obidve roviny. Otáčaním telesa sme preskúmali vzájomnú polohu sledovaných rovín a určili sme ich priesečnicu BH. Podobným spôsobom žiaci riešili aj úlohy 2b), 2c). Na záver aktivity si žiaci spoločne s učiteľom skontrolovali riešenie úlohy 2. Riešením úlohy 2b) je priamka HS, pričom S je stred úsečky AC. Riešením úlohy 2c) je priamka SX, pričom S je stred úsečky AC, X je stred steny DCGH (Obr.8). Obrázok 8 Riešenie úlohy 2 Prameň: vlastný návrh Pri riešení úlohy 3 sme v rámci náčrtu opäť využili matematický applet Doorzien 4. Po vytvorení a pomenovaní trojbokého kolmého hranola ABCDEF sme pomocou ikony vyznačili stenové uhlopriečky vychádzajúce z bodu A: AE, AF. Ďalej sme vytvorili rez telesa rovinou AEF použitím ikony. Pri prevedení úlohy z priestoru do roviny sme využili funkciu rozdelenie telesa danou rovinou stlačením ikony (Obr.9). Z rovnoramenného trojuholníka FEA sme vypočítali uhol pri vrchole A. Veľkosť hľadaného uhla je

30 Obrázok 9 Riešenie úlohy 3 Prameň: vlastný návrh Pri riešení úloh zameraných na precvičovanie a fixáciu poznatkov bola zvolená kombinácia individuálnej a frontálnej formy práce. Použitím appletu žiaci dokázali rýchlejšie určiť vzájomné vzťahy medzi jednotlivými útvarmi v priestore, riešenie bolo názorné. Applet je vhodné využiť v situáciách, keď žiaci vedia vytvárať rezy telies rovinou a pri riešení zložitejších úloh nechceme touto činnosťou strácať čas, nakoľko interaktívna aplikácia prevádza rezy telies automaticky. 30

31 ZÁVER Táto práca popisuje osvedčenú pedagogickú skúsenosť pri vyučovaní tematického celku Stereometria s využitím matematických appletov Colouring sides 1, Colouring sides 2, Building houses with side views, Rotating houses, Cross sections of a cube, Doorzien 4 a matematického edukačného programu Rezy kocky. Práca popisuje ako využiť voľne dostupné interaktívne matematické nástroje na hodinách matematiky, seminára z matematiky alebo na matematickom krúžku. Navrhované postupy sú zamerané na rozvoj priestorovej predstavivosti a precvičenie a upevnenie vedomosti k témam Rezy kocky a Vzájomná poloha lineárnych útvarov v priestore. Výhodou použitia matematických appletov a programov je skutočnosť, že umožňujú manipuláciu s objektmi (zmeny pohľadu na teleso) a tým uľahčujú predstavu a zefektívňujú proces učenia sa. Animácia javov, okamžitá reakcia na podnet, možnosť zmeny parametrov objektov uľahčujú riešenie štandardných úloh, umožňujú experimentovanie a skúmanie neštandardných situácii. Interaktívne aplikácie sú veľmi dobrým motivačným činiteľom pre žiakov, sú názorne, vyžadujú aktívnu účasť žiakov a zároveň rešpektujú ich individuálne tempo učenia sa. Nezanedbateľným prínosom interaktívnych aktivít je okamžitá spätná väzba pre žiakov. Použitie matematických appletov a edukačných programov na hodinách matematiky je jedným zo spôsobov ako zmeniť tradičný spôsob učenia. Nevýhodou popísaných interaktívnych aktivít je nutné technické vybavenie- učebňa s počítačmi s pripojením na internet pre všetkých žiakov v triede a s tým často súvisiace technické problémy (napr. nefunguje internet) a dataprojektor. Problémom sa ukazuje aj jazyková bariéra, keďže väčšina matematických appletov prístupných na internete je v anglickom jazyku. Interaktívne matematické nástroje majú pomáhať žiakom aj učiteľom objavovať krásu matematiky a zažívať radosť z každej vyriešenej úlohy, je to šanca pre žiaka byť úspešný v oblasti, v ktorej predtým úspešný nebol. A s týmto cieľom by mali byť používané na hodinách matematiky. 31

32 ZOZNAM BIBLIOGRAFICKÝCH ZDROJOV 1. BLAŠKO, M Kvalita v systéme modernej výučby. Technická univerzita, Košice ISBN FULIER, J Informačné a komunikačné technológie vo vyučovaní matematiky. Fakulta prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa. Nitra ISBN: Kolektív autorov Štátny vzdelávací program Matematika ISCED 3. Štátny pedagogický ústav. Bratislava Internetové zdroje 4. Building houses with side views [online]. fi.uu.nl, [cit ]. Dostupné na www: 5. Colouring sides 1 [online]. fi.uu.nl, [cit ]. Dostupné na www: 6. Colouring sides 2 [online]. fi.uu.nl, [cit ]. Dostupné na www: 7. Cross sections of a cube [online]. mhhe.com, [cit ]. Dostupné na www: 8. Doorzien 4 [online]. fi.uu.nl, [cit ]. Dostupné na www: 9. Rezy kocky [online]. infovek.sk, [cit ]. Dostupné na www: Rotating houses [online]. fi.uu.nl, [cit ]. Dostupné na www: 32