FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO BRATISLAVA

Transcription

1 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO BRATISLAVA P Í S O M N Á D I Z E R T A Č N E J Č A S Ť S K Ú Š K Y 6 Vladmír Palaj

2 Katedra Algebry, Geometre a Ddaktky Matematky Fakulta Matematky, Fyzky a Iformatky Uverzta Komeského, Bratslava Algortmy Bèzerovho orezávaa pre preky čar Písomá časť dzertačej skúšky Vladmír Palaj Odbor: -6-9 GEOMETRIA A TOPOLÓGIA Školteľ: doc. RNDr. Mloš Božek, CSc. Bratslava, 6

3 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obsah Abstrakt 5 Úvod 6 Reprezetáce krvek 8. Aalytcké krvky Iterpolačé krvky Aproxmačé krvky Bèzerove krvky..... Splajové krvky... 7 Metóda Bèzerovho orezávaa 8. Kovexý obal Motváca Určee kovexého obalu Reparametrzáca ľubovoľého tervalu Bèzerovej krvky Koverza medz reprezetácam..... Koverza Moomály Bèzerov tvar (CMB) a Bèzerov Moomály tvar (CBM)..... Koverza Polyomcký Bèzerov tvar (CPB) a Bèzerov Polyomcký tvar (CBP)....4 Geometrcká koštrukca bodov V, V... 7 Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

4 Algortmy Bèzerovho orezávaa Algortmy Bèzerovho orezávaa 9. Koree polyómov Preky typu KRIVKA PRIAMKA Preky typu KRIVKA KRIVKA Koštrukca hrubej pramky Kvadratcká Bèzerova krvka a jej užša hrubá pramka Kubcká Bèzerova krvka a jej užša hrubá pramka Projekt dzertačej práce Koverza rôzych typov krvek a Bèzerove krvky Dôkaz kovexost orezávaa kovexého obalu Programová realzáca Expermety Zozam použtej lteratúry 5 Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

5 Algortmy Bèzerovho orezávaa Zozam obrázkov Obr. Derváca Bèzerovej krvky... 5 Obr. Geometrcká terpretáca prvej derváce v kocových bodoch... 6 Obr. Geometrcká terpretáca druhej derváce v kocových bodoch... 7 Obr. 4 Kovexý obal štyroch bodov v rove... 9 Obr. 5 Koverza Polyomcký Bèzerov tvar (CPB)... 4 Obr. 6 Delee tervalu a, b polyomckej fukce... 6 Obr. 7 Geometrcká koštrukca bodov V,V... 7 Obr. 8 Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky a parametrckej os x... Obr. 9 Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t prázda moža... Obr. Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t jede bod... Obr. Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t úsečka... Obr. Zadae CL algortmu a koverza CPB pre t tervalu a, b... Obr. PT algortmus... 4 Obr. 4 Zadae CL algortmu a vyčíslee oretovaej vzdaleost d... 6 Obr. 5 CL algortmus... 7 Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

6 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. 6 Hrubá pramka krvky... 7 Obr. 7 Užša hrubá pramka kvadratckej Bèzerovej krvky... 9 Obr. 8 Užša hrubá pramka kubckej Bèzerovej krvky a )... 4 Obr. 9 Užša hrubá pramka kubckej Bèzerovej krvky b )... 4 Obr. Mmax obal... 4 Obr. CC algortmus: a ) zadae... 4 Obr. CC algortmus: b ) koštrukca hrubej pramky a oretovaé vzdaleost Obr. CC algortmus: c ) ovovytvoreá Bèzerova krvka Obr. 4 CC algortmus: d ) výsledok Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

7 Algortmy Bèzerovho orezávaa Abstrakt V tejto prác študujeme Bèzerove krvky a základe ch vlastostí, koverze medz jedotlvým reprezetácam krvek a skúmame postupy hľadaa preku krvek v rove. Predovšetkým vlastosť kovexého obalu Bèzerových krvek tvorí uzol, pomocou ktorého vyšetrujeme prek krvek v rove. Projekt opsuje aše cele, kde avrheme teoretcké postupy ových, rozšíreých algortmov pre všeobecý stupeň krvek a pokúsme sa rozšírť postupy hľadaa preku objektov záme v E a postupy v E využtím ďalších reprezetácí krvek. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 5

8 Algortmy Bèzerovho orezávaa Úvod Predkladaá práca sa zaoberá štúdom Bèzerových krvek, ch vlastostí a adväzujúcch spojtostí s ým typm krvek, ktoré ám dávajú podklad pre skúmae prekov krvek a čar postupom (metódou) Bèzerovho orezávaa. Proces hľadaa preku, zataľ dvoch krvek, sme sa sažl zapísať pomocou algortmov delacch sa do troch skupí podľa objektu skúmaa. Sú to: koree polyómov (algortmus pre hľadae preku krvky s parametrckou osou x), prek typu pramka - krvka (algortmus pre hľadae preku krvky s pramkou l vo všeobecej polohe) prek typu krvka - krvka (algortmus pre hľadae preku krvky s ou krvkou) Je zrejmé, že základ tejto práce tvorí pojem krvky, resp. čary a jej geometrcké modelovae. Každú krvku môžeme zadávať, popísať a modfkovať pomocou vacerých metód zahrutých v každej kaptole. Pre upresee, v celom dokumete budeme pracovať v rove, a to s krvkam treteho stupňa (=). Prvá kaptola tvorí prehľad reprezetácí krvek. Spomíame ch defíce a základé vlastost, ktoré opsujeme v asledujúcch kategórách. Zadávae krvek: Aalytcky (explcte, mplcte a parametrcky) Postuposťou bodov (vzkajú terpolačé a aproxmačé krvky) Najväčšou merov však študujeme Bèzerove krvky, pretože sa dajú ľahko koštruovať a ch veľkou výhodou je vlastosť kovexého obalu. Ďalša kaptola sa týka problematky kovexého obalu a problematky koverzí medz jedotlvým reprezetácam krvek, prčom sa sažíme aalytcky zdôvodť ektoré skutočost. Určee kovexého obalu krvky v rove sme zjedodušl, kvôl stupňu (rovajúce sa trom) daej krvky, a hľadae kovexej možy štyroch bodov v rove. Do tretej kaptoly sme zahrul algortmy všetkých troch skupí hľadaa prekov a veujeme sa tvorbe tzv. hrubej pramky pr treťom type preku. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 6

9 Algortmy Bèzerovho orezávaa Posledá kaptola (projekt dzertačej práce) obsahuje formáce týkajúce sa budúcej ašej práce, ktorá bude spočívať predovšetkým v hľadaí dôkazu kovergece teračého procesu, t.j. dôkaz, že po koečom počte krokov orezávaa kovexého obalu krvky astae stuáca, kde vzdaleosť tm, tmax < ε, pre t, t a, b a pre peve zvoleé ε. Ďalej sa budeme sažť mplemetovať m max algortmy do programovej realzáce (Delph 4.), ktorá bude slúžť ako aplkačý a lustračý podklad. A v eposledej mere bude treba štatstcky overť správosť rešea hľadaa preku krvek v rove, t.j. expermetála podstata rešea problému. Autor Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 7

10 Algortmy Bèzerovho orezávaa Kaptola Reprezetáce krvek Krvky sú objekty, ktoré sa veľm často používajú v počítačovej grafke a geometrckom modelovaí. Sú používaé apr. pr vytváraí rôzych typov smulácí, pr určovaí tvarov ých objektov pomocou ch modelovaých, ale hlave pr defovaí, modfkovaí a modelovaí objemových a povrchových teles. Exstujú vaceré spôsoby, ako reprezetovať krvky. Kvôl počtu a rozmatost reprezetácí má každá z ch svoje výhody evýhody. Pre dosahute ašch ceľov sa zamerame a jedu z ajpoužívaejších reprezetácí, a to parametrckú reprezetácu. Defíca. Krvkou v E azývame možu bodov M X E ; X f t ; t a, = = b, kde f : E je fukca opsujúca krvku, t { () } je (časový) parameter a ab, je terval, a ktorom je fukca f defovaá. Je zrejmé, že tvar a vlastost krvky sa týkajú fukce f a zároveň aj tervalu ab,, t.j. defčému oboru.. Aalytcké krvky Aalytcky môžeme krvku v E zadať : Explcte vyjadreá krvka môže byť zadaá ako graf spojtej fukce v tvare: y = f ( x), x J (.) a býva oretovaá v smere rastúceho x krvky ako fukce. Napr. rovca elpsy má tvar: b y =± b x, x aa, a Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 8

11 Algortmy Bèzerovho orezávaa Implcté zadávae krvky má tvar F x, y =, (.) apr. rovca elpsy F( x y) Parametrcky: ( ) y y( t) ( ) x y, = + =. a b x = xt =, t J (.) Zova príklad elpsy: x = acost y = bs t t, π, a >, b >. Iterpolačé krvky Zostrojee terpolačej krvky spočíva v koštrukc krvky, ktorá prechádza daým uzlovým bodm. V umerckej matematke sa a výpočet určtého tegrálu používajú terpoláce pomocou polyómov. V počítačovej grafke sa terpoláca používa a zostrojovae krvek pre zadaé radace body, ktorým terpolačá krvka prechádza. Problémom je určee hodoty parametra, pre ktorý získame daý radac (určujúc) bod terpolačej krvky. Medz ajzámejše terpolačé krvky patrí Hermtova kubcká splajová krvka. Názov kubka sa používa pre krvky. stupňa.. Aproxmačé krvky Pre aproxmačú krvku máme daých ekoľko bodov, ale väčšou epožadujeme, aby m prechádzala. Základ koštruovaa takýchto krvek položl Bèzer a Casteljau v rokoch a spočíva v aproxmác daej krvky pomocou radaceho f t = Pθ t, kde polygóu. V asej prác budeme používať tvar krvek ( ) ( ) budú predstavovať radace body, ktoré určujú výsledý tvar krvky a budú tvarovace fukce, ktoré defujú, ako veľm príslušé radace body pôsoba a tvar krvky. Radace body tvora lomeú čaru PP P azvaú radac polygó. Pretože body krvky majú tvar leárej kombáce radacch bodov, suma tvarovacích fukcí je rová jedej, t.j. ( t) θ =... P θ () t P, pre všetky t. Teto typ krvky ám dáva dobré vlastost pre modelovae a úpravu pre ďalše použte. Základý príklad predstavujú Bèzerove krvky, ktoré s vlastosťou kovexého obalu ám dávajú dostatočú výhodu, pomocou ktorej dokážeme zstť preky krvek vyšších stupňov (>). Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 9

12 Algortmy Bèzerovho orezávaa.. Bèzerove krvky Zamerajme sa a polyomcké krvky. Krvka v rove je vyjadreá pomocou fukcí, ktorých súradce sú polyomcké fukce. Jej základé vyjadree je at at + a a a a a f () t = = t... t bt... bt b b b b, b, θ = a radace body sú kde je stupeň polyómu, tvarovace fukce sú ( t) t = [, ] P a b. Pretože epozáme presé vzťahy medz tvarom radaceho polygóu a tvarom krvky, musíme skúmať tvarovace fukce, ktoré sú vhodé a modelovae polyomckých krvek. ( ) Defíca. Pre defujeme zobrazee B :,,..., tak, že platí + Bersteových polyómov (fukcí) ako B, () t = t ( t), t,, kde sú kombačé čísla vyjadreé rekurete! ak! = =!( )! ak ( ) Vlastost Bersteových polyómov (Bersteove polyómy stupňa taktež azývame Bersteovým bázovým fukcam stupňa ; Bersteove polyómy sa prvýkrát objavl v dôkaze Weerstrassovej vety) [9, str. -] Grafy Bersteových polyómov pre =,, : = B,() t = t ( t) B () t = t, B () t = t, = B,() t = t ( t) ( ) ( ) B ( t) = t, B () t = t t, B () t = t,. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

13 Algortmy Bèzerovho orezávaa = B,() t = t ( t) ( ) ( ) ( ) B ( t) = t, B () t = t t, B () t = t t, B () t = t, Veta. Vlastost Bersteových polyómov:. Nezáporosť: B, () t pre každé, a t,. Rozklad Jedotky: B, () t = pre každé t, Dôkaz: = B, () t = t ( t) = ( t+ ( t) ) = = =., () = () = B B ; B, () = =,..., ;, B, () = =,..., 4. Symetra: B, ( t) = B, ( t) =,..., Dôkaz: B, ( t) = ( t) ( ( t) ) = ( t) t t ( ) B, () t = t ( t) = t ( t = 5. Rekurza (rekuretý vzorec): ( ) =,...,, kde B ( t) = ; B ( t) =,, B () t = t B () t + tb () t,,,, Dôkaz: B, () t = t ( t) = + t ( t) = = = t ( t) + t ( t) = = ( t) t ( t) + t t ( t) = = t B ( t) + t. B ( t) ( ),, Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA ) ;

14 Algortmy Bèzerovho orezávaa 6. Derváce:. derváca: B ' ( t) = B ( t) B ( t) { },,, Dôkaz: ' B', ( t) = t ( t) = t ( t) ( ) t ( t) =.! ( ).! t ( t) t ( t)! ( )!! ( )!. ( )!. ( )! ( ) (!. ) ( )!! (! ) = = ( ) = t t t t = = B., () t B., () t = { B, () t B, () t }. derváca: B '', () t = ( ){ B, () t B, () t + B, () t } 7. Lokále Maxmum: polyóm B, () t má práve jedo lokále maxmum pre t = B', ( t) = : t ( t) t ( t) Dôkaz: ( ) 8. Moža {, ( ), =,..., } = t = B t je bázou vektorového prestoru všetkých polyómov stupňa (rádu +) Dôkaz: vyjadríme B, () t ako leáre kombáce, tt,,..., t a matca koefcetov je regulára; Koverza MONOMIÁLNA BERNSTEI- NOVA BÁZA: = [ t t ] = [ t ] = ( t) t( t) t = t t = ( ) ( ) t t t t ( t) t = t t t 6 MB Ďalej vyjadríme prvky moomálej bázy prvkam Bersteovej, pretože sú v prax často používaé; Koverza BERNSTEINOVA MONO- MIÁLNA BÁZA: Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

15 Algortmy Bèzerovho orezávaa t = t t t t t t t t = [ ] [ ] = = ( ) ( ) = t t t ( t) t( t) t ( t) t = M Pretože matca ula, matca - M B M B je trojuholíková a dagoále sa eachádza bude exstovať. Keďže máme už zadefovaé tvarovace fukce, môžeme prejsť a defovae krvek pomocou ch určeých. Defíca. Nech V,V,..., V je daá postuposť bodov v rove a fukce B, (), t t, sú Bersteove polyómy. Potom krvka v E, ktorej súradce vyhovujú rovc =, () B () t = B t V, t, (.4) azývame Bèzerova krvka -tého stupňa. Lomeá čara spájajúca body V,V,..., V sa azýva radac polygó Bèzerovej krvky. Vlastost Bèzerových krvek, = B( t) = B ( t) V, t, V V Matcový záps: B( t) =, ( ), ( )..., ( ) B t B t B t V Parametrcké vyjadree v D: V ( x, y, z ) x() t = B () t =, x - B Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

16 Algortmy Bèzerovho orezávaa yt () = B () t y, t, = zt () = B () tz =, Veta. Vlastost Bèzerových krvek: I. Iterpoláca kocových bodov radaceho polygóu V, V : B() = V B() = V (vlastosť ) II. Kovexý obal: Bezerova krvka leží v kovexom obale určeom svojm radacm vrcholm. Dôkaz: vyplýva zo skutočost, že Bersteove polyómy sú ezáporé (vlastosť ) a spĺňajú rozklad jedotky (vlastosť ), potom bod ako leára kombáca bodov s ezáporým koefcetm je bod z kovexého obalu radacch bodov Bèzerovej krvky. III. Ivaratosť vzhľadom a a) afú trasformácu T prestoru T B, ( t) V = B, ( t)t( V) = = b) afú trasformácu parametra u a B, () t V = B, V, u a, b, t, = = b a Dôkaz a): vyplýva zo zachovaa barycetrckých kombácí bodov pr afej trasformác. Dôkaz b): [, str. 9-94] IV. Pseudolokále radee: Bersteov polyóm B, () t má jedé lokále maxmum pre t =. To zameá, že ak sa zmeí jedý vrchol krvky, tak sa zmeí le jedý čle aalytckého vyjadrea krvky a to B, () t V. Teto sa však ajvac zmeí v okolí parametra t = (-prblže; ak sa zmeí V o jedotky, krvka sa zmeí o jedotku) V. Symetrckosť (súmerosť) B( t) = B ( t) V = B ( t) V j, j j, j j= j= V Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

17 Algortmy Bèzerovho orezávaa Dôkaz: B ( t) V = B ( t) V = B ( t) V. j, j j j vlastosť 4, j, j= symetra j= = VI. Derváce Bezerovej krvky:. derváca:, V = B'( t) = B ( t).. derváca: ( ) ( r. derváca:, V = B''( t) = B ( t) V V B ( r)! r () t = B, r(). t! V, ( r) = r r j r V = V r kde ( ) + j j= j Dôkaz : ' B'( t) = ' B, ( t) V = B, ( t) V = ( B, ( t) B, ( t) ) V = vlastosť 6 = = = = B () t V B () t V = B () t V B () t V,,, +, trasformáce = = dexu = = ( ) [ ] = B, () t V+ V = VB, () t = V B, () t = = = V teda B'( t) je Bezerova krvka (-) stupňa vo vektorovej zložke s radacm vrcholm V, =,,..., ) = E ( ) ( ) Dôkaz : B''( t) = V B, ( t) = = ( V+ V) = V+ V Obr. Derváca Bèzerovej krvky ( ) ( ) ( ) ( ) = V ( ) + V B, ( t) = V+ V+ + V B, t = = Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 5

18 Algortmy Bèzerovho orezávaa, = Pre kocové body Bezerovej krvky B() t = B () t V : = ( ) B'() = B () V = V = V V,, = B'() = B () V = ( V V ) Geometrcká terpretáca. derváce (vektor) v kocových bodoch: je rovobežá s prvou resp. posledou straou radaceho polygóu V V,...,V V. - Obr. Geometrcká terpretáca prvej derváce v kocových bodoch + +, = ( ) = ( ) ( + ) B ( ) = ( )( V + V ) B'' V V V V + +, = ( ) ( ) ( ) B ( ) ( )( B'' = V V + V = V V + V ) Geometrcká terpretáca. derváce (vektor) v kocových bodoch: druhá derváca je rovobežá s uhloprečkou rovobežíka vytvoreého troma bodm: VVV V V V - - Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 6

19 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. Geometrcká terpretáca druhej derváce v kocových bodoch.. Splajové krvky Pretože Bèzerove krvky majú evýhodu v tom, že pr zmee už le jedého vrcholu radacej lomeej čary sa zmeí celá Bèzerova krvka, bude výhodé pracovať aj s ým typm krvek, ktoré takéto edostatky odstraňujú, prčom však e je vylúčeé, že sú bez akýchkoľvek edostatkov. Jedou z takýchto skupí je skupa splajových krvek, do ktorej patra: Splajové krvky (fxovaé (Clamped), prrodzeé, cyklcké, acyklcké, kardále) B-splajové krvky β-splajové krvky NURBS (=No Uform Ratoal B-Sple) Catmullove-Romove splajové krvky γ-splajové krvky N u -splajové krvku Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 7

20 Algortmy Bèzerovho orezávaa Kaptola Metóda Bèzerovho orezávaa Bèzerove orezávae (Bèzer clppg) je teratíva metóda pre vyšetree preku Bèzerovej krvky s pramkou, ktorá využíva vlastosť kovexého obalu Bèzerových krvek a teratíve orezáva te čast krvky, ktoré epretíajú daú pramku. Metóda bola vyvutá pre raytracg Bèzerových plôch. Výhody: aplkovateľosť pre polyómy vyšších stupňov robustosť ájdee všetkých rešeí rýchly test epretíaa sa pracovae ba s leárym rovcam v každom kroku teráce. Kovexý obal.. Motváca Tvar možy bodov v rove ese subjektívy aspekt; pre daú možu bodov môže každý vdeť ý tvar. Jedým z takýchto tvarov možy bodov v rove považujeme ch kovexý obal. Kovexý obal s možo predstavť ako gumeé vláko atahuté okolo klčekov zapchutých v radacch vrcholoch Bèzerovej krvky. Kovexý obal určíme ako uzavretý mohouholík s jeho vútrom, pozr [5, str. 5-48] Defíca. Kovexou možou alebo kovexým [geometrckým] útvarom budeme azývať ľubovoľú eprázdu možu bodov, ktorá má asledujúcu vlastosť: pre každé dva rôze body možy patrí može celá úsečka m určeá. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 8

21 Algortmy Bèzerovho orezávaa Defíca. Nech je daá moža bodov M. Kovexým obalom možy M azývame ajmešu kovexú možu, ktorá obsahuje daú možu M... Určee kovexého obalu Pretože budeme pracovať ba s kovexým obalom štyroch bodov radacej lomeej čary, určíme kovexý obal Bèzerovej krvky stupňa asledove: Veta. Kovexý obal štyroch bodov vo všeobecost je kovexý štvoruholík, ktorého vrcholm sú daé body a v špecálych prípadoch to môže byť trojuholík; ak sú body koleáre, môže to byť úsečka alebo bod. Kovexý obal štyroch bodov lustrujeme a príkladoch, obr. 4. Obr. 4 Kovexý obal štyroch bodov v rove. Reparametrzáca ľubovoľého tervalu Bèzerovej krvky Výhodé je pracovať s Bèzerovým krvkam, kde lokály parameter t,. Avšak, vzhľadom a globály parameter u, môžeme Bèzerovu krvku písať v tvare pre tzv. ľubovoľý terval ˆ u u ( ) m B u = VB, u um, umax = umax um a azývame to reparametrzácou základej Bèzerovej krvky =, () B () t = V B t t,. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 9

22 Algortmy Bèzerovho orezávaa. Koverza medz reprezetácam Pokúsme sa ajskôr predprpravť ektoré vzťahy využjúc základé pozatky o Bèzerových krvkách. Napíšme vzťah (.4) pre kubcké krvky v matcovom zápse V V B ( t) = B, () t B, () t B, () t B, () t (.) V V kde () ( ) B t = t t, {,,,} sú Bersteove polyómy, teda V V B ( t) = ( t) ( t) t ( t) t t. V V Polyómy (polyomcké krvky) sú zvyčaje mysleé ako kombáce moómov, sú to, t, t, t v prípade kubckej krvky. Preto môžeme prepísať vzťah (.) takto B () t = V. t + V. t t+ V. t t + V. t = ( ) ( ) ( ) ( ) t ( 6 ) t ( ) = V + V + V + V V + V + V + V V + V t Použjeme zovu matcový záps pre krvku B() t V V 6 V V (.) B ( t) = t t t. (.) Vzťahom (.) sme uvedl vyjadree Bèzerovej kubky v moomálom tvare. Uvažujme dva prípady: ak je krvka treteho stupňa vyjadreá v moomálom tvare (podkaptola..) ak je krvka treteho stupňa vyjadreá ako polyomcká fukca s parametrom t (podkaptola..) Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

23 Algortmy Bèzerovho orezávaa.. Koverza Moomály - Bèzerov tvar (CMB) a Bèzerov Moomály tvar (CBM) Nech je krvka treteho stupňa vyjadreá v moomálom tvare, môžeme písať B() t = a + a t+ a t + a t (.4) Prvky a azvme moomále radace body [9, str ]. Toto vyjadree dokážeme jedoducho prepísať do matcového zápsu a a B ( t) = t t t (.5) a a Porovaím zápsov (.) a (.5) dostávame a V a V = a 6 V a V a = M V. (.6) Teda vstupým údajm sú súradce radacch vrcholov B a výstupým moomále radace body a krvky B() t a výpočet azývame koverzou Bèzerovej krvky zadaej svojm radacm vrcholm a krvku vyjadreú v moomálom tvare, oz. CBM. Ak potrebujeme vyjadrť radace vrcholy V Bèzerovej kubky, využjeme koverzu Bèzerov Moomály tvar V a V a = V a V a V V = a (.7) M B kde M B je verzá matca k matc M B. Teda vstupým údajm sú v tomto prípade moomále radace body a a výstupým súradce radacch vrcholov V krvky Pre doplee, v E polyomcká krvka stupňa v moomálom tvare sa chápe ako a + a t+ a t + + a t = ( p + pt+ pt + + pt, q + qt+ qt + + qt ) kde a = [ p q ],..., a = [ p, q ], Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

24 Algortmy Bèzerovho orezávaa B () t a výpočet azývame koverzou Bèzerovej krvky zadaej svojm radacm vrcholm a krvku vyjadreú v moomálom tvare, oz. CMB. V prípade, že je zadaá postuposť bodov V, V, V, V, resp. sú záme moomále radace body a, a, a, a, veme prvky matíc M B, M B zapísať pomocou kombačých čísel. Teda predchádzajúc text môžeme zhrúť do vety.. Veta. Nech a ech matce M, kde B a= T [ a a a a ], V= [ V V V V ] M B, sú defovaé asledove M B = M, j = M a Bèzerove radace vrcholy j ( ) - ak j j, ak ( j ) ( j) ak j = M =, B, j ak, j. Teraz dostaeme vyjadree pre moomále radace body V a j (- ) j j= = V j= ( j) ( j) V = a. T, (.8) a V, Príklad. Zapíšte Bèzerovu krvku daú radacm vrcholm = [, ] V = [ ], V = [ ], V = [ ] v moomálom tvare., 4 6,7 4, 4 Rešee. Využjeme koverzu CBM takto = t+ t t, + 6t+ t 7t. Teda krvku v moomálom tvare píšeme ( ) Príklad. Nech ( 4 t t 7 t, t 4t ) je moomále vyjadree kubckej krvky. Vyčíslte radace Bèzerove vrcholy. Rešee. Využjeme koverzu CMB takto Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

25 Algortmy Bèzerovho orezávaa 4 4 =. 7 4 = 4, =, Takže radace body Bèzerovej kubky sú V [ ], V [ ], = [, ] V = [ ]., V,.. Koverza Polyomcký Bèzerov tvar (CPB) a Bèzerov Polyomcký tvar (CBP) Nech je krvka treteho stupňa vyjadreá ako graf polyomckej fukce s parametrom t, môžeme písať y = v() t = a + at+ at + at (.9) kde a sú skaláry. Hovoríme o tzv. fukcoálej krvke y = v() t, ktorá sa radí medz eparametrcké krvky [, str ]. Pokúsme sa teraz prepísať fukcoálu polyomckú krvku stupňa do podoby Bèzerovej kubky. Krvka, ktorú sme opísal v (.), môže byť mysleá ako parametrcká krvka tvaru x xt ( ) t y = y = =, t J. (.) y() t v() t Zamerajme sa ajskôr a parameter t,. Nech je daá krvka ako polyomcká fukca s parametrom t, t.j. y = B( t) = a + a t+ a t + a t pre t,. Teda polyomckú krvku veme podľa vzťahu (.) prepísať ako parametrckú krvku príslušého stupňa t t B () t = = pre t,. a + at+ at + a v t () t Ďalej ech r, r, r, r sú polohové vektory štyroch bodov, ktorým má prechádzať (ktoré má terpolovať) Bèzerova kubka () t (obr.5). Teto body r, r, r, r sú body krvky pre hodoty parametra { } t =,,,...,, = ), t.j. B t =, t =, t =, t = (všeobece r = B = (.) a + a( ) + a( ) + a( ) T.j. explcte vyjadreá krvka Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

26 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. 5 Koverza Polyomcký Bèzerov tvar (CPB) Vychádzajme zo vzťahu (.). Keďže parameter t =, dostávame B V = 6 V ( ) ( ) ( ) a pre =,,, môžeme zapísať ( ) ( ) ( ) () V V B V B 9 7 V = 6 V 4 8 B 9 7 V B ( ) B V 8 6 B( ) = 6 8 ( ) V B V () V B Po dosadeí (.) do prvej z rovostí (.) dostávame r V 8 6 r V = 6 8 r V r V (.) (.) r = M V (.4) Teda vstupým údajm sú súradce radacch vrcholov V a výstupým body r krvky B() t a výpočet azývame koverzou Bèzerovej krvky zadaej svojm CBP Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

27 Algortmy Bèzerovho orezávaa radacm vrcholm a krvku vyjadreú ako polyomckú fukcu, oz. CBP. K vyčísľovau radacch vrcholov V, =,,, stačí prevesť (.4) a V r V r = V r V r Dostávame verzú matcu M CBP = M M CBP V = r (.5) CPB pre výpočet zvyšých ezámych vrcholov V, V Bèzerovej krvky. Matcovú rovosť (.5) môžeme zovu zapísať ako sústavu rovostí V = r = 6 r 7 r + 54 r 5 r V= r+ r r+ r V V = r. Teda vstupým údajm sú body r krvky B() t a výstupým súradce radacch vrcholov V a výpočet azývame koverzou Bèzerovej krvky zadaej svojm radacm vrcholm a krvku vyjadreú ako polyomckú fukcu, oz. CPB. Pramo z (.5) vyplýva, že pre prvé súradce bodov V dávajú rovost hodoty, kde,. Teda výpočet sa zjedoduší a výpočet ba druhých súradíc bodov V a môžeme písať v = r v= r + r r r v= r r + r r v= r. (.6) Ak by sme uvažoval o krvke (ako polyomckej fukc) a ľubovoľom tervale t a, b, hodoty parametra t sa pre určovae bodov r, r, r, r (a tým aj bodov radacej lomeej čary V, V, V, V ) zmea z t =, kde = {,,,} a ( b a) t = a+ pre = {,,,}. Kokréte pr Bèzerovom orezávaí v E [kaptola.] budeme pr každej terác daej krvky využívať metódu koverze CPB pr výpočte druhých súradíc tých ezámych vrcholov, ktoré odpovedajú hodotám pa- Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 5

28 Algortmy Bèzerovho orezávaa ( b a) = a+, kde = {, } rametra t, teda okrem prvého a posledého vrcholu, pretože te sú dopredu záme. Je to rýchly a eáročý výpočet, pr ktorom však e- smeme zabúdať a fakt, že spočatku pracujeme s tervalom t a, b, o eskôr sa { } t a, b a, b, j,,.... Pr deleí tervalu ab, dostávame usporadaú j j štvorcu. ( b a). ( b a) aa, +, a+, b = a obrázku 6. hodôt a+ b a+ b a,,, b = acdb,,,, ako je uvedeé a, b polyomc- Obr. 6 Delee tervalu kej fukce Príklad. Vypočítajte Bèzerove radace vrcholy polyómu y = v() t = 6t+ 4t 7t, t,. Rešee. Pre hodoty parametra t =, t =, t =, t = vypočítajme body r, r, r, r, sú to body a krvke. v () = = r = [, ] v ( ) = 6. ( ) + 4. ( ) 7. ( ) = 5 7 r = [, 57] v ( ) = 6. ( ) + 4. ( ) 7. ( ) = 7 r = [, 7] v () = = r = [ ], Využjeme koverzu CPB takto = V =,, V = [, ], Takže radace body Bèzerovej kubky sú [ ] V = [ ], = [ ],,,, V,, ktorá terpoluje body r r r r. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 6

29 Algortmy Bèzerovho orezávaa.4 Geometrcká koštrukca bodov V, V Veta. Bod radaceho polygóu V je presečíkom pramky m: x = s dotyčcou ku grafu fukce () t v bode V. B Dôkaz: Derváca krvky v bode V (t.j. pre t = ) má tvar B' = V V. ( ) ( ) y y X V V V s, kde s a ( ) :, ( v v ) Napíšme rovce pramok m,. Pramka m je daá rovcou m: x =. Preto ak má bod V cdovať s pramkou m, jeho prvá súradca je tým jedozače x určeá; v =. Vyplýva to zo vzorca (.6). Pramku zapíšeme v parametrckom vyjadreí : = + ( ) V V : x=+. s y y y y= v +. v v s, s. ( ) Zstme prek pramok m, : y. y y y m y = v + v v.= v ( ) x =. y Bod so súradcam, v je prekom pramok m a (obr.7). Aalogcky sa dá dokázať asledujúca veta. Obr. 7 Geometrcká koštrukca bodov V,V Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 7

30 Algortmy Bèzerovho orezávaa Veta. Bod radaceho polygóu V je presečíkom pramky p: x = s dotyčcou q ku grafu fukce () t v bode V. B Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 8

31 Algortmy Bèzerovho orezávaa Kaptola Algortmy Bèzerovho orezávaa. Koree polyómov Problematka hľadaa koreňov polyómov spočíva v hľadaí preku os t (stotožeá s osou x) s grafom daého polyómu (polyomckej fukce). Našou úlohou bude ájsť možu všetkých koreňov využjúc tzv. metódu orezávaa kovexého obalu krvky (obr.); pozr []. Krvka je zadaá ako polyomcká fukca s parametrom t, t.j. y = v( t) = a + a t a t, t a, b Proces vyšetrovaa koreňov polyómov uvedeme a príklade kubckej Bèzerovej krvky () B() t = B t V, pre t a, b, teda aj polyomckej fukce stupňa =, ( vt () = a + at+ at + at ). Aby sme vylúčl te prípady polôh krvek, kedy e je potrebé počítať prek krvky a pramky (parametrckej os t), urobíme predspracovae týmto dvom testam. Test A (vylúčee prípadov metódou preku kovexého obalu Bèzerovej krvky a parametrckej os x) Parametrcká os x v rove je daá rovcou ax + by + c =, kde a = c = a rozdeľuje rovu a dve polrovy. y = ( ) Z aglckého clppg Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 9

32 Algortmy Bèzerovho orezávaa Tvrdee. Ak body rovy X = [ x, y] spĺňajú podmeku ax + by + c >, patra jedej polrove, ak však spĺňajú podmeku ax + by + c <, patra do druhej polrovy. Iak povedaé, ak hodoty druhých súradíc bodov X = [ x, y] sú všetky väčše ako ula, patra jedej polrove; ak sú všetky meše ako ula, patra druhej polrove. Na základe tohto tvrdea vyrešme, č má krvka prek s osou x. Ak všetky body V = [ x, y ],,..., radaceho polygóu leža v jedej polrove, t.j. : ax + by + c >, resp. : ax + by + c <, os x epretía kovexý obal radacch vrcholov krvky. Pretože krvka leží v kovexom obale svojch radacch vrcholov, os x epretía a krvku. V prípade, ak aspoň jede bod radaceho polygóu krvky leží v opačej polrove (t.j. kovexý obal krvky má prek s osou x), predpokladáme prek samotej krvky s daou osou x. Týmto spôsobom vylúčme evhodé prípady. Na lustrácu uvádzame ektoré prípady, obr. 8. Obr. 8 Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky a parametrckej os x Test B (preku kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t) Test využíva, ako z ázvu vyplýva, vlastosť kovexého obalu Bèzerových krvek z vety..ii. Na základe tejto vlastost veme zstť, v ktorých prípadoch krvka určte epretía os t, resp. ak pretía, tak s stotou dokážeme vyrešť ba prípady, keď prekom kovexého obalu s osou t je začatočý alebo kocový bod radacej lomeej čary, a teda aj bod krvky. Na obrázkoch 9 sú lustrovaé ektoré prípady, kokréte te, pre ktoré kovexý obal pretía os t v špecfckej oblast, a to apr. vo vrcholoch, straách kovexého obalu a ektorých úsečkách tvoreých vrcholm kovexého obalu. Kovexý obal radacch vrcholov Bèzerovej krvky ozačíme KO. Pre Bèzerovu kubku môžu astať asledové prípady: ( t) KO t = ; vtedy krvka epretía os t, t.j. B t = Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

33 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. 9 Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t prázda moža KO t = { V }, {,..., } ( ) () {} ak = =, tak B t t = ak = =, tak B t t = t Obr. Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t jede bod t úsečka B( t) t môže byť { } { } { } ; KO = PQ t, t, t a, b kde, t, t, t, t, t, t, a, b, Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

34 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. Prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t úsečka Vráťme sa späť ku koreňom polyómov. Nech je daý polyóm y = v() t = a + at+ at + at, t a, b. PT algortmus (Polyom-Parametrc axs t algorthm):. Určee vrcholov radacej lomeej čary pre t V ( ) ( ) = a a pre t = b: = av, a, V = bv, b a CPB t.j. proces zstea zvyšých Bèzerových radacch vrcholov V a+ b =, v, a+ b a+ b a+ b V =, v pre t =, t = Obr. Zadae CL algortmu a koverza CPB pre t tervalu a, b Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

35 Algortmy Bèzerovho orezávaa. Určee kovexého obalu krvky B() t. Test A (vylúčee evhodých prípadov metódou preku kovexého obalu Bèzerovej krvky a parametrckej os x) 4. Test B (prek kovexého obalu Bèzerovej krvky s osou t) Ak KO t je úsečka PQ, tak body P, Q leža a pramke t a majú súradce P= [ t,], [ ] Q= t, a prejsť a krok 5, max ak ak KO t je bod V, {,...,}, tak ak = =, tak B ( t) t = { t }, ak ( t) ak B ( t) t = B t = a algortmus skočí. 5. Pre hodoty m, max, vyčíslť body odpovedajúce a krvke B t m, B ( t max ) zadaej krvky B ( t). Dostávame ovú orezaú krvku. 6. Test C (percetuále porovae zmey ovovzkutého tervalu t m, t max t t ( ) voč pôvodému a, b, resp. predchádzajúcemu tervalu) 4 Ak max t t δ b a, m tak choď a krok 7, tmax tm ak pre t = rozdeľ Bèzerovu krvku B() t a dve ové Bèzerove krvky B ( t), t tm, t, B ( t ), t t, tmax a späť a krok pre obdve ove krvky. 7. Späť a krok. PT algortmus sa zastaví, keď vzdaleosť tm, tmax < ε. Parametre δ, ε sú dopredu peve zvoleé, apr. vzdaleostý parameter ter- t, t po orezaí môže mať hodotu ε =,5 a parameter valu m max percetuálej zmey ovovzkutého tervalu voč predchádzajúcemu δ =,85. Hodoty parametrov sú zataľ odhaduté. Ich presejše odhady budú záme až po expermetálej čast projektu. 4 Iak povedaé, ak sa pr opakovaom orezávaí ezmel predchádzajúc terval t, t voč ovovzkutému o vac ako apr. 5%, môžeme predpokladať m max vac koreňov polyómu. Vtedy sa terval rozdelí a meše tervaly a pokračujeme s orezávaím pre každú časť samostate. m Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA

36 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. PT algortmus Musíme prpomeúť, že výstupým hodotam PT algortmu sú ajvac tr ( až ) koree polyómu. Pretože algortmus dáva pr každom orezaí ako ávratovú hodotu terval tm, t max, skutočosť, že astae stuáca, keď tm, tmax < ε, budeme považovať za ceľovú a ako prblžú hodotu koreňa polyómu prehlásme stred tervalu tm, t max.. Preky typu KRIVKA PRIAMKA Problém vyšetrovaa preku pramky s krvkou sa budeme sažť prevesť a typ úlohy hľadaa koreňov polyómov. Základým krokom algortmu bude vytvoree ovej Bèzerovej krvky; presejše budeme určovať jej radace vrcholy D, = d, =,,, tak, že súradca d bude vyjadrovať oretovaú vzdaleosť radaceho vrcholu V od pramky. Samozrejme, aj tu uvádzame príklad Bèzerovej kubky. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

37 Algortmy Bèzerovho orezávaa x y Nech je daá Bèzerova krvka B() t = B, t V, kde V = v ; v, t,, teda jej parametrcké vyjadree = = () x y x() t = B, () t v, yt () = B, () tv (.) a ech pramka l je zadaá mplcte l: ax+ by+ c =. Koefcety a, b, c sú upraveé tak, aby platlo a + b =. Vyšetrujme bod a Bèzerovej krvke tak, aby zároveň patrl pramke l, t.j. bod, ktorý má od pramky l ulovú vzdaleosť. Pre každý bod krvky veme vyjadrť jeho oretovaú vzdaleosť dt () = axt () + byt () + c (.) Po dosadeí parametrckých rovíc (.) Bèzerovej krvky do (.) dostávame = x y,,, = = = = dt () = a B () tv + b B () tv + c B () t = x y ( av bv c) B, () t db, () t = + + = = = d Fukcu dt () azývame vzdaleostou fukcou a je to vlaste Bèzerova fukca treteho stupňa. V (.) sme ozačl x y d = av + bv + c (.4) a pre výpočet oretovaej vzdaleost bodu od pramky sa používa vzťah x y av + bv + c d =. (.5) a + b V ašom prípade a + b =, preto (.4) bude určovať oretovaú vzdaleosť d radaceho vrcholu V od pramky l. Predchádzajúc postup budeme považovať za dôkaz asledujúcej lemy. Lema. Pre oretovaú vzdaleosť () (.) dt () bodu B () t = x( t), y( t) Bèzerovej x y krvky B() t = B, t V, kde V = v ; v, t, od pramky = l: ax+ by+ c = platí () () d t = B t d, kde =, x y av + bv + c d =,,..., a + b je oretovaá vzdaleosť bodu V od pramky l. Teda fukca dt () je Bèzerova polyomcká fukca. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 5

38 Algortmy Bèzerovho orezávaa x y Veta. Bod () t Bèzerovej krvky B() t = B, t V, kde V = v ; v, B () t, je presečíkom krvky s pramkou l: ax+ by+ c = práve vtedy, keď číslo t, je koreňom Bèzerovej polyomckej fukce d t = B t d, kde x y av + bv + c d =,,...,. a + b Dôkaz. Veta je zrejmým dôsledkom lemy.. = () () Takže pr vyšetrovaí preku krvky a pramky budeme určovať hodotu parametra t (ak exstuje), pre ktorú dt () =, t.j. vzdaleosť bodu B() t od pramky l je ulová. Zameá to využť PT algortmus. Pred jeho zaradeím potrebujeme dodať vstupé hodoty. Zostavíme CL algortmus, ktorého dátové vstupé hodoty sú: radace body V, V, V, V a pramka l: ax+ by+ c =, a + b = (obr. 4). CL algortmus (Curve-Le algorthm):. Vyčíslee oretovaej vzdaleost (.4) radacch vrcholov Bèzerovej krvky od daej pramky l (obr. - d, d, d, d ) d =, Obr. 4 Zadae CL algortmu a vyčíslee oretovaej vzdaleost d. Určee radacch vrcholov D, D, D, D ovej krvky, kde D = ; d pre =,,,...,. PT algortmus pre fukcu d( t ) (obr. 5 lustruje výsledok PT algortmu) Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 6

39 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. 5 CL algortmus. Preky typu KRIVKA KRIVKA Hlavým krokom prpravovaého algortmu bude trasformáca úlohy preku typu krvka - krvka a typ úlohy preku pramok, čo urýchl čas výpočtu algortmu. Druhým dôležtým krokom je zostrojee hrubej pramky 5. Určíme ju podľa asledovej defíce. Defíca. Hrubou pramkou Bèzerovej krvky v E azývame každý rový pás, v ktorom leža všetky body krvky, prčom hračé pramky pásu sú rovobežé s pramkou spájajúcou prvý a posledý vrchol radaceho mohouholíka krvky. (obr. 6) Obr. 6 Hrubá pramka krvky Podľa defíce. má Bèzerova krvka ekoeče veľa hrubých pramok. Naším ceľom je skoštruovať čo možo ajužšu. 5 Z aglckého Fat Le Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 7

40 Algortmy Bèzerovho orezávaa.. Koštrukca hrubej pramky Nech sú v rove daé radace body V, V, V, V Bèzerovej krvky. Zostrojme pramku l spájajúcu prvý bod V a posledý bod V radaceho polygóu. Pramka l = V V má rovcu ax + by + c =, a + b =. Pre každý vrchol radacej lomeej čary použme vzťah (.4) a výpočet oretovaej vzdaleost d bodu V od pramky l; dostávame možu čísel {,,, } d d d d. Z tejto možy vybereme mmálu a maxmálu hodotu d = m d, d, d, d { } { } m d = max d, d, d, d max. Veta. Hrubá pramka krvky B () t V j e moža bodov =, d d d, kde je oretovaá vzdaleosť bodu X od pramky l. d X m X max X E, pre ktoré ( ) Veta. Ak má pramka l = VV ormovaú rovcu ax + by + c = a + b =, tak hračé pramky l ' a l '' hrubej pramky krvky zostrojíme tak, aby bol rovobežé s pramkou l a ch oretovaá vzdaleosť od pramky l je dm, dmax a ch rovce sú l': ax+ by+ c+ d = max l'' : ax+ by+ c+ d =. Takto zostrojeá hrubá pramka (rový pás s hračým pramkam l', l'' ) obsahuje všetky body KO. Prpomíame, že veta. platí pre Bèzerovu krvku ľubovoľého stupňa. Pre kvadratckú a kubckú Bèzerovu krvku však veme určť ešte užší rový pás ll ' ''. Dôvodom je urýchlee algortmu vyšetrea preku dvoch Bèzerových krvek, pozr [8, str. 6-8]. m.. Kvadratcká Bèzerova krvka a jej užša hrubá pramka Pozrme sa a oretovaé vzdaleost bodov kvadratckej Bèzerovej krvky. Vychádzajme zo vzťahu (.) vzdaleostej fukce a prepíšme ho pre kvadratckú Bèzerovu krvku Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 8

41 Algortmy Bèzerovho orezávaa Nech V, V, V x y () = ( + + ), () =, () d t av bv c B t d B t = = d sú radace body Bèzerovej krvky. Určme vzdaleostú fukcu () ( ) ( ) ( ) d t = d B t + d B t + d B t.,,, Hodoty d = d =, pretože radace vrcholy V, V sú bodm pramky l, a teda môžeme zapísať d ( t ) = d B,( t ) = d ( t t). Nájdeím extrémov kvadratckej fukce d( t ) a tervale ab, získame hodoty d d m = m, d d max = max,, ktorým veme ohračť rový pás kk ' '' užší ež hrubá pramka z vety. (obr. 7). Obr. 7 Užša hrubá pramka kvadratckej Bèzerovej krvky.. Kubcká Bèzerova krvka a jej užša hrubá pramka Vychádzajme zovu zo vzťahu (.) pre vyjadree oretovaých vzdaleostí a zapíšme vzdaleostú fukcu pre kubckú Bèzerovu krvku sú radace body Bèzerovej krvky. Určme vzdaleostú fuk- Nech cu V, V, V, V () () d t = d B t, =,,,. =, () ( ) ( ) ( ) ( ) d t = d B t + d B t + d B t + d B t.,,,, Hodoty d = d =, pretože radace vrcholy V, V sú bodm pramky l a teda môžeme zapísať d t = d B t + d B t ( ) ( ) ( ),, Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 9

42 Algortmy Bèzerovho orezávaa ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) d t = d t t + d t t = t t d t + d t. Tu už musíme uvažovať dva prípady pre oretovaé vzdaleost d, d ak dd >, t.j. body V, V leža v jedej polrove vzhľadom a l, dostávame m, d, d t d + td max, d, d { } ( ) { } a t( t) m{, d, d} d( t) t( t) max{, d, d} Nájdme extrémy fukce ht ( ) = t( t). Fukca ( ) a adobúda hodotu ( ) hodotam 4 ht má extrém pre t = h =. Rový pás kk ' '' veme ohračť týmto dm = m, d, d 4 4 dmax = max, d, d 4 4 (obr. 8) Obr. 8 Užša hrubá pramka kubckej Bèzerovej krvky a ) ak dd, t.j. body V, V leža v rôzych polrovách vzhľadom a l, uvažujme prípad keď d, d ( ) ( ) t d t d+ td td a t( t) d ( ) d t t ( t) d Nájdme extrémy fukcí mt () = t( t), t ( ) = t ( t). Fukca mt ( ) 4 má extrémy pre t =, t = a adobúda v ch hodoty m, ( ) = m ( ) = 9 a fukca t () má extrémy pre t =, ( ) =, 4 ( ) =. Z toho vyplýva 9 4 dm = m, d 9, 4 dmax = max, d 9. Aalogcky pre d, d dostávame t 4 = a adobúda v ch hodoty Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

43 Algortmy Bèzerovho orezávaa 4 dm = m, d 9, 4 dmax = max, d 9. Takže môžeme písať spoloče pre dd 4 4 dm = m, d, d dmax = max, d, d 9 9 (obr. 9) Obr. 9 Užša hrubá pramka kubckej Bèzerovej krvky b ) Pr hľadaí spoločých bodov dvoch Bèzerových krvek v rove budeme stredavo orezávať jedu z ch hrubou pramkou druhej krvky, prvú krvku môže preťať ba tá časť druhej, ktorá leží v hrubej pramke prvej krvky. Podobe ako pr predchádzajúcom algortme preku pramky s krvkou využjeme vzdaleostú fukcu vrcholov radaceho polygóu Bèzerovej krvky od peve zvoleej pramky a áslede zavedeme ovú Bèzerovu krvku. Je to kvôl tomu, že fukca () () d t = db, t = ju reprezetovať ako Bèzerovu krvku v tvare je polyomcká fukca v Bersteovom tvare a môžeme () t ( t, d() t ) B, () t = = D D, =,,,, = s radacm vrcholm = D ; d, pozr [8, str. 8-9]. Keďže budeme pracovať aj s orezávaím kovexého obalu, môžeme hovorť, že CC algortmus je spojeím algortmov PT a CL. Aby sme vylúčl te prípady polôh krvek, kedy e je potrebé počítať prek krvek, urobíme predspracovae týmto testom. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

44 Algortmy Bèzerovho orezávaa Test D (epretíae sa kovexých obalov dvoch Bèzerových krvek pomocou mmax obalov 6 ) Jedoduchou metódou a zstee, č sa kovexé obaly dvoch Bèzerových krvek pretíajú, je využte mmax obalov. Defíca.4 Nech je daá krvka B () t, t a, b. Mmax obalom azveme ajmeší rovobežík, ktorý obsahuje kovexý obal krvky rovobežé so súradcovým osam. B() t To zameá, že jeho ľavý dolý roh má súradce (, ) m m a ktorého stray sú x y a pravý horý roh ( x max, y max ), prčom x m resp. x max je mmála resp. maxmála hodota x súradíc a ym resp. ymax je mmála resp. maxmála hodota y súradíc všetkých vrcholov radaceho polygóu (obr. ), pozr [9, str ]. Po jeho vytvoreí môžeme v krátkom čase zstť prek mmax obalov dvoch krvek. Obr. Mmax obal Teraz sa zamerajme a koštrukcu algortmu preku dvoch Bèzerových krvek, prčom využjeme metódu hrubej čary. Nech sú daé krvky svojm radacm vrcholm =, () V () t = B t V, t,, =, ( ) P () s = B s P, s, (obr. ). 6 Z aglckého Mmax boudg box Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

45 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. CC algortmus: a ) zadae CC algortmus (Curve-curve algorthm):. Test D (epretíaa sa kovexých obalov dvoch Bèzerových krvek pomocou Mmax obalov) Ak sa kovexé obaly pretíajú, tak choď a krok, ak sa krvky epretíajú a algortmus skočí. Koštrukca hrubej pramky ll ' '' krvky P() s, s, v smere pramky PP (obr. ) Ak vstupé krvky sú druhého alebo treteho stupňa, podľa postupov uvedeých v podkaptolách..,.. zúžť hrubú pramku a meší rový pás. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 4

46 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. CC algortmus: b ) koštrukca hrubej pramky a oretovaé vzdaleost. Koštrukca presečíkov krvky V () t s pramkam l ' a l '', t.j. CL algortmus: x y 4. Oretovaá vzdaleosť d = av + bv + c vrcholov radaceho polygóu V,..., V od pramky l: dostávame možu { d, d,..., d } 5. Určee radacch vrcholov D, D,..., D ovej Bèzerovej krvky, kde D = ; d pre =,,,...,. 6. Stotožee pramky l s parametrckou osou t. 7. Pramky l m, l max : lmax l llmax = dmax l l ll = d m m m Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 44

47 Algortmy Bèzerovho orezávaa Obr. CC algortmus: c ) ovovytvoreá Bèzerova krvka Upraveý PT algortmus: 8. Určee kovexého obalu ovovytvoreej krvky s vrcholm D, =,,..., 9. Test A. Test B * * * *. Premet preku l KO a os t, čo je t, t, resp. t = t. Premet preku l m KO. Určee t, z možy m a os t, čo je ** ** t, t, resp. t = t. ** ** max t max { t * * * ** ** **, t,..., tu, t, t,..., t v }. Pre hodoty tm, max vyčíslť body odpovedajúce a krvke V t m, V ( t max ) pôvodej krvky V ( t). Dostávame orezaú krvku V' ( t ), pre t ( ) V' ( ) V ( ) ( ) = ( ) ktorú = t m, V' V t max. 4. Test C (percetuále porovae zmey ovovzkutého tervalu t m, t max voč pôvodému a, b, resp. predchádzajúcemu tervalu) 7 Ak max t t δ b a, m tak choď a krok 5, 7 Iak povedaé, ak sa pr opakovaom orezávaí ezmel predchádzajúc terval t, t voč ovovzkutému o vac ako apr. 5%, môžeme predpokladať m max vac koreňov polyómu. Vtedy sa terval rozdelí a meše tervaly a pokračujeme s orezávaím pre každú časť samostate. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 45

48 Algortmy Bèzerovho orezávaa ak pre max m = t t t rozdeľ Bèzerovu krvku ( t) B a dve ové Bèzerove krvky V ' () t, m, obdve ové krvky. t t t t, ( ) V ' t,, max 5. CPB pre krvku V' ( ), resp. pre krvky V '( t ), ( ) t t t a späť a krok pre V ' t. 6. Späť a krok (CC algortmus upravujeme pre druhú krvku a opakujeme, pokaľ VV < ε, PP < ε, prčom ε je dopredu peve zvoleá hodota). Obr. 4 CC algortmus: d ) výsledok V CC algortme sme použl upraveý PT algortmus amesto klasckého, pretože dáva kratší čas a orezae, ale šršu hrubú pramku v každom cykle algortmu, čo sa pr programovej mplemetác javí ako podstatá výhoda. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 46

49 Algortmy Bèzerovho orezávaa Kaptola 4 Projekt dzertačej práce V oblast počítačovej grafky je veľa problémov, pre ktoré eexstuje presé rešee a s arastajúcm árokm a skrátee času výpočtu ajmä algortmov vykresľovaa scéy v reálom čase teto problémy dostávajú ový rozmer. Medz také problémy patrí apríklad osvetlee, vdteľosť, zrkadlee a é. Všetky úlohy tohto typu vychádzajú z problému hľadaa preku pramky s plochou, ktorý sa dá preložeím pomocej rovy redukovať a problém preku pramky s rovou krvkou. Všeobecejše, de o prek dvoch rových krvek. Aj preto metódu Bèzerovho orezávaa sa budeme sažť rozšírť do prestoru E s využtím ďalších reprezetácí krvek. Ďalše rozšíree z E a E je možé chápať ako hľadae prekov plôch, tvoreých krvkam, prípade hľadae prekov plôch s krvkam. Ako sme azačl už v úvode, celá práca je založeá a teór Bèzerových krvek a ch vlastost kovexého obalu. Je evyhuté spomeúť, že Bèzerove krvky majú okrem mohých výhod aj sté evýhody. Jedak je to fakt, že svoje radace body (okrem prvého a posledého) le aproxmujú a jedak je to globála zmea, t.j. pr zmee jedého vrcholu sa meí celá krvka, preto pr geometrckom modelovaí krvek ekedy dochádza k ťažkostam. Tu sa zamerame a é typy krvek. 4. Bèzerove orezávae pre ebèzerovské krvky Nevýhody Bèzerových krvek odstraňujú rôze druhy splajových krvek, ktoré sú mohé terpolačé a majú výhodu lokálej zmey; pr zmee jedého vrcholu radacej lomeej čary sa zmea le v okolí tohto bodu. Nektoré druhy splajových krvek sme spomeul v podkaptole.. Našťaste, segmety splajových krvek možo vyjadrť v tvare Bèzerových krvek, preto možo uvažovať aj o rozšíreí Bèzerovho orezávaa a takéto krvky. Vlastosť kovexého obalu majú aj mohé tredy splajových krvek, teda ele ch jedotlvé úseky. Pokúsme sa zstť, do akej mery možo prevesť dey Bèzerovho orezávaa do tejto oblast. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 47

50 Algortmy Bèzerovho orezávaa Pretože metóda Bèzerovho orezávaa má veľa edorešeých otázok, spomeňme aspoň ektoré, ktorým sa budeme veovať v dzertác: 4. Kovergeca Bézerovho orezávaa Ako z ázvu vyplýva, bude reč o dôkaze, ktorý zabezpečí, že po koečom počte krokov orezávaa kovexého obalu krvky [podkaptola.] bude vzdaleosť bodov, parametrckej os t meša ako kladá koštata ε vopred zadaá, t.j. m t m max t max t, t < ε. Ide o dôkaz, prostredíctvom ktorého ukážeme, že presečík krvky s osou t aozaj exstuje a s stou odchýlkou ho dokážeme vyčíslť ako stred úsečky t t. m max 4. Programová realzáca Podstatou programovej realzáce algortmov opísaých v kaptole bude ch mplemetáca do programovaceho jazyka Pascal v prostredí Delph 4.. Pretože algortmy sú pomere áročé, bude potrebé dorešť veľa problémov spojeých s prepsom do aktuáleho programovaceho jazyka a vzualzácou geometrckých stuácí skúmaých krvek. Predmetom ďalšej práce sa stáva aj rozšíree stupňa Bèzerových krvek a stupe väčše ako, poprípade ájsť a overť vzťahy Bèzerovho orezávaa eukldovského prestoru vyššej dmeze. Pr rešeí prekov krvek môžeme vyšetrovať správosť výsledkov aj aalytckým spôsobom. Považujeme to za matematcky presý a správy postup rešea koreňov polyómov. Nese to však so sebou evýhodu z hľadska programovej mplemetáce pre stupeň krvek > 4. Kokréte do stupňa = máme veľm jedoduché metódy rešea koreňov polyómov, pre stupeň exstujú tzv. Cardaove vzorce a pre stupeň 4 vzorce pochádzajúce od Ferrarho, práca s ktorým je ale áročá. 8 Podľa Galosovej teóre, pre stupe väčše ako štyr príslušé vzorce eexstujú. Prtom aša metóda, metóda Bèzerovho orezávaa, je použteľá aj vtedy. 4.4 Expermety V tejto čast sa zamerame a expermetálu stráku problému. Budeme testovať a mohých (rádovo desatkach) áhodých radeých pokusoch, č algortmus dáva správy výsledok. Ďalej by bolo vhodé overť chybu, s akou algortmus pracuje a tež jeho rýchlosť. Z týchto hľadísk porováme algortmus s aalytcky presým výpočtom (ak je možý) a s klasckým umerckým algortmam (Newtoov, delee tervalu a é). 8 Rešee rovce. stupňa sa prpsuje G. Cardaov (5-576) a prvé rešee rovce 4. stupňa sa podarlo ájsť Cardaovmu žakov L. Ferrarmu (5-565). Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 48

51 Algortmy Bèzerovho orezávaa Ako sme spomeul a koc CC algortmu [kaptola..], pr probléme vyšetrovaa preku dvoch Bèzerových krvek môžeme využť dve metódy orezaa kovexého obalu krvky pomocou hrubej pramky. Preto bude zaujímavé štatstcky overť a porovať rýchlosť kovergece oboch varat algortmu a vybrať vhodejšu z ch. Mgr. Vladmír Palaj, KAGDM, oddelee geometre FMFI UK, Mlyská Dola, Bratslava, SLOVENSKÁ REPUBLIKA 49