Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Bakalárska práca. Barbora VÍCENOVÁ

Transcription

1 Uiverzita Komeského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky Kotigečé tabuľky Bakalárska práca Barbora VÍCENOVÁ 2012

2 Kotigečé tabuľky BAKALÁRSKA PRÁCA Barbora VÍCENOVÁ Uiverzita Komeského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky Štatistika 6211 Poistá matematika Vedúci bakalárskej práce Mgr. Já Somorčík, PhD. BRATISLAVA 2012

3 Uiverzita Komeského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meo a priezvisko študeta: Barbora Víceová Študijý program: poistá matematika (Jedoodborové štúdium, bakalársky I. st., deá forma) Študijý odbor: štatistika Typ záverečej práce: bakalárska Jazyk záverečej práce: sloveský Názov: Cieľ: Kotigečé tabuľky Autorka si z literatúry aštuduje teóriu o kotigečých tabuľkách, aprogramuje príslušé testy a vykoá simulačú štúdiu ich kvality ajmä vplyv malého počtu pozorovaí. Vedúci: Katedra: Dátum zadaia: Mgr. Já Somorčík, PhD. FMFI.KAMŠ - Katedra aplikovaej matematiky a štatistiky Dátum schváleia: prof. RNDr. Rastislav Potocký, PhD. garat študijého programu študet vedúci práce

4 Česte vyhlasujem, že ja, Barbora Víceová, som túto prácu apísala a základe svojich vedomostí s pomocou odborej literatúry a vedúceho bakalárskej práce. V Bratislave dňa podpis

5 Poďakovaie Touto cestou by som sa chcela poďakovať môjmu vedúcemu práce Mgr. Jáovi Somorčíkovi, PhD. za čas a trpezlivosť, ktorú mi veoval pri písaí mojej práce, a taktiež za sprístupeie materiálov a ceé rady. Autorka

6 Abstrakt Víceová, Barbora: Kotigečé tabuľky[bakalárska práca]. Uiverzita Komeského v Bratislave. Fakulta matematiky, fyziky a iformatiky. Vedúci práce: Mgr. Já Somorčík, PhD. Stupeň odborej kvalifikácie: Bakalár. Bratislava: FMFI, V tejto práci sme sa zamerali a osem rozličých testov aalyzujúcich dáta v kotigečých tabuľkách. V úvode každej kapitoly pre test uvádzame základé charakteristiky, predpoklady a ulovú hypotézu. Testy aprogramujeme pre kokréte rozmery tabuliek, s ktorými chceme pracovať. Pomocou áhodého geerátora čísel z multiomického rozdeleia asimulujeme tabuľky tak, aby v ich bola spleá ulová hypotéza. Sledujeme vychýleie skutočej pravdepodobosti chyby prvého druhu od zadaej päťpercetej. Sahou je zazameať, či a aké vychýleie astáva pri tom-ktorom teste pri zmešovaí celkového možstva dát v kotigečej tabuľke. Zaujímame sa aj o situácie, v ktorých dochádza k prvému porušeiu požiadaviek uvádzaých v teórii a zachovaie hladiy výzamosti asymptotických testov. Vychýleie počtu zamietutí pravdivej ulovej hypotézy testom vyhodocujeme a základe itervalov spoľahlivosti. Samoté itervaly iterpretujeme graficky. Kľúčové slová: kotigečá tabuľka, ulová hypotéza, pravdepodobosť chyby prvého druhu, iterval spoľahlivosti.

7 Abstract Víceová, Barbora: Cotigecy tables [Bachelor thesis]. Comeius Uiversity, Bratislava. Faculty of Mathematics, Physics ad Iformatics. Supervisor: Mgr. Já Somorčík, PhD. Bratislava: FMFI UK, I this bachelor thesis we focused o eight differet tests aalyzig data i cotigecy tables. Mai characteristics, assumptios ad ull hypothesis are stated at the begiig of each chapter for test. Tests are programmed for specific table dimesios we would like to work with. With the help of radom umbers geerator, umbers from multiomial distributio, we simulate cotigecy tables i order to achieve the validity of the ull hypothesis. We observe deviatio of the true probability of type I error from the specified omial level of 5%. The ambitio is to record whether there is a deviatio ad if there is what kid of deviatio occurs durig which test while lowerig the total amout of data i cotigecy table. We are iterested i situatios where the first violatio of requiremets, appearig i the theory to maitai the omial sigificace level of asymptotic tests, occurs. The deviatio of the umber of rejects of the true ull hypothesis is evaluated usig cofidece itervals. Each iterval is iterpreted graphically. Key words: cotigecy table, ull hypothesis, probability of type I error, cofidece iterval.

8 Obsah Úvod 2 1 Test ezávislosti 4 2 Test homogeity multiomických rozdeleí 12 3 Iterakcia v štvorpoľých tabuľkách 14 4 Fisherov faktoriálový test 17 5 McNemarov test 24 6 Test symetrie 27 7 Stuartov a Bhapkarov test 29 Záver 34 Literatúra 36 1

9 Úvod Častokrát sa stáva, že ak chceme, aby mali dáta ejakú výpovedú hodotu, tak sa stretávame s utosťou aalyzovať ich (apríklad sledovať výskyt špecifických zakov alebo charakteristík). Štadardým spôsobom, ako prehľade zobraziť vzájomý vzťah dvoch štatistických zakov je zapísať ich vo forme kotigečej tabuľky. V každom poli kotigečej tabuľky sa achádza počet prípadov, kedy prvý zak má ejakú zo svojich prípustých hodôt (sú umiesteé v riadkoch) a zároveň druhý zak jedu z hodôt, ktoré môže adobúdať (sú umiesteé v stĺpcoch). Pod vzájomým vzťahom štatistických zakov si môžme predstaviť ezávislosť dát, ich symetriu, homogeitu a ié. Dáta zapísaé v kotigečej tabuľke je možé pomocou testov otestovať a prítomosť iektorého z uvádzaých vzťahov. Väčšia z týchto testov sú testy asymptotické, iak povedaé, sú platé pre veľké možstvo vstupých dát. Motiváciou pre túto prácu sa stala skutočosť, že u iektorých testov sú pre ich použitie záme špecifické podmieky ohľadom počtu dát, ale ie je záme, čo sa deje keď tieto podmieky sú porušeé. Prípade pri iektorých testoch evieme, kde je hraica toho, kedy ešte test zachováva svoju presosť, a kedy už ie. Samotá hraica zrejme ebude ovplyvňovaá le voľbou testu, ale aj pravdepodobosťami výskytu sledovaých zakov. Správaie sa kokrétych ôsmich testov budeme hodotiť prostredíctvom vychýleia požadovaej pravdepodobosti chyby prvého druhu (je vopred peve zvoleá a päť percet). Pre skutočú pravdepodobosť zamietutia pravdivej hypotézy testom skoštruujeme 95-percetý iterval spoľahlivosti a sledujeme, či pri zmešovaí celkovej početosti dát stále obsahuje požadovaú hodotu päť percet. Cieľom práce je asimulovať tabuľky, v ktorých je spleá ulová hypotéza a sledovať počet zamietutí hypotézy testom. Výstupom budú graficky zobrazeé itervaly spoľahlivosti pre skutočú pravdepodobosť chyby prvého druhu pre klesajúcu celkovú početosť dát. Na ich základe uskutočíme závery, prípade odporúčaia, podľa kto- 2

10 rých by sa mohol používateľ testov lepšie rozhodúť, ktorý z testov by si mal zachovať aspoň približe požadovaú presosť aj pri ižšom možstve dát. Nulové hypotézy iektorých avzájom odlišých testov sa pri špecifických rozmeroch kotigečých tabuliek môžu stať totožými. To zameá, že je možé rozličými testovacími štatistikami testovať rovaké tabuľky a áslede ich výsledky porovať. Chceme vedieť, či sa ukáže, že iektorý test je v daom simulovaom prípade presejší, čo sa týka zachovaia požadovaej pravdepodobosti chyby prvého druhu. 3

11 Kapitola 1 Test ezávislosti Nech áhodý vektor X = (Y, Z) má diskréte rozdeleie, kde premeá Y adobúda hodoty 1,..., r a premeá Z hodoty 1,..., c. Budeme používať ozačeie p ij = P (Y = i, Z = j), p i. = j p ij, p.j = i p ij. Z tohto rozdeleia uskutočíme áhodý výber rozsahu. Nech ij je počet prípadov, kedy sa vo výbere vyskytla dvojica (i, j). Náhodé veličiy ij majú potom združeé multiomické rozdeleie s parametrom a s pravdepodobosťami p ij. Pravdepodobosti p ij a empirické početosti ij je vhodé písať v tvare matíc. Matica ( ij ) sa volá kotigečá tabuľka. Budeme zapisovať i. = j ij,.j = i ij. Pre početosti platí = i i. = j.j = i ij. j Čísla p i. a p.j sa azývajú margiále pravdepodobosti a hodoty i. a.j sú margiále početosti. Matica pravdepodobostí (p ij ) a kotigečá tabuľka ( ij ) sú uvedeé v tabuľke 1.1. Kotigečá tabuľka vziká zvyčaje tak, že a objektoch meraia sledujeme dva zaky. Tieto zaky môžu byť diskréte a adobúdať koeče veľa hodôt (apr. muž - žea, krvá skupia 0 - A - B - AB) alebo postupujeme tak, že si sami vytvoríme 4

12 Tab. 1.1: Matica pravdepodobostí Matica pravdepodobostí Z Y 1... c 1 p p 1c p r p r1... p rc p r. p.1... p.c 1 Kotigečá tabuľka Z Y 1... c c r r1... rc r c 1 koeče veľa kategórií (amiesto uvedeia presej výšky osôb vytvoríme itervaly so šírkou desať cetimetrov). Niekedy môže mať zak obejktíve daú číselú hodotu (apr. počet žiakov v triede), iokedy priradeá číselá hodota zachováva usporiadaie, ale ič ehovorí o skutočej veľkosti zaku (apr. farbám priradíme poradové čísla). Často sa stáva, že čísla 1, 2,... priradíme le ako ozačeie a v skutočosti ezodpovedajú presým ameraým hodotám, ai epotrebujeme aby zachovávali skutočé poradie (apr. uvedeé čísla slúžia ako kódy pre jedotlivé obce a Slovesku). Najčastejšou úlohou pri aalýze kotigečých tabuliek je test hypotézy, že veličiy Y a Z sú avzájom ezávislé. Pri formulácii hypotézy H 0 využijeme asledovú vetu. Veta: 1. Veličiy Y a Z sú ezávislé práve vtedy, keď platí p ij = p i. p.j pre všetky dvojice (i, j). Hypotézu ezávislosti preto môžeme písať v tvare H 0 : p ij = p i. p.j, i = 1,..., r; j = 1,..., c. Pre pravdepodobosti multiomického rozdeleia p ij to zameá, že sú fukciami margiálych pravdepodobostí p i. a p.j. Margiále pravdepodobosti ale ie sú ezávislé, pretože p i. = p.j = 1. i j To zameá, že za ezáme parametre emôžeme považovať pravdepodobosti p r. a p.c, lebo tie už vieme pomocou ostatých margiálych pravdepodobostí vypočítať. 5

13 Počet ezámych parametrov je potom m = r 1 + c 1 = r + c 2. Obmedzíme sa le a situácie, kedy sú všetky margiále pravdepodobosti kladé. V prípade, že by kladé eboli, jedoducho by sme také riadky alebo stĺpce vyechali. Nezáme parametre p 1.,..., p r 1. a p.1,..., p.c 1 odhademe pomocou sústavy rovíc c j=1 ( ij ) rj = 0, i = 1,..., r 1, p i. p r. a r i=1 ( ij ) ic = 0, j = 1,..., c 1. p.j p.c Odvodeie odhadov sa robí pomocou metódy maximálej vierohodosti a je v [1]. Samoté odhady parametrov sú a tiež ˆp i. = i., i = 1,..., r, ˆp.j =.j, j = 1,..., c, ktoré sa avyše javia ako prirodzeé odhady. Potom má veličia χ 2 = r i=1 ( c ij i..j j=1 i..j ) 2 asymptoticky rozdeleie χ 2 s rc (r + c 2) 1 = (r 1)(c 1) stupňami voľosti. Testovaciu štatistiku χ 2 môžeme tiež počítať pomocou vzorca χ 2 = r i=1 c j=1 2 ij i..j. (1.1) Hypotézu H 0 o ezávislosti veličí Y a Z zamietame, ak vyjde χ 2 χ 2 (r 1)(c 1) (α). Aby astala zhoda s limitým rozdeleím sa vyžaduje, aby všetky teoretické počet- 6

14 osti i..j / boli väčšie ako 5. Zameá to, že očakávaý údaj v poli (i, j) ak by platila H 0 a súčet tabuľky bol, je väčší ako 5. Teto údaj je očakávaým v poli (i, j) preto, že ásobíme avzájom ezávislé pravdepodobosti a to pravdepodobosť výskytu zaku v i-tom riadku (= i. /) s pravdepodobosťou výskytu zaku v j-tom stĺpci (=.j /) a áslede ešte preásobíme celkovým počtom sledovaých objektov (=). Pre simuláciu správaia sa tohto testu sme zvolili tabuľku rozmeru 3 4. Pri daom rozmere by sme v praxi mohli sledovať apríklad či je farba očí (v riadkoch modrá, zeleá, hedá) ezávislá od farby vlasov (v stĺpcoch blod, hedá, čiera a ryšavá). Ako geerátor áhodých tabuliek využívame štatistický softvér R [2] (v ďalšom texte budeme ozačovať aj ako Rko). Samotá simulácia spočíva v geerovaí tabuliek, ktoré spĺňajú H 0, teda zvolíme celkový počet sledovaých objektov a pravdepodobosti tak, aby platilo p ij = p i. p.j. Geerátorom multiomického rozdeleia s parametrami a pravdepodobosťami p ij vytvoríme (oz. N) kotigečých tabuliek { ij }. Pri každej tabuľke vypočítame testovaciu štatistiku a základe vzorca (1.1) a porováme s 95-percetým kvatilom χ 2 rozdeleia s (3 1)(4 1) = 6 stupňami voľosti. Pravdepodobosť chyby prvého druhu, tak azývame hodotu α sa iterpretuje ako perceto prípadov, v ktorých hypotéza H 0 je platá, ale test ju zamietol. Počítadlom v cykle desiatich tisíc opakovaí zrátame, koľko-krát test hypotézu H 0 zamietol. Hodotu α, alebo aj skutočú pravdepodobosť zamietutia odhademe ako podiel počítadlo/počet opakovaí (odhad α ozačíme ˆα). Potom pre α skoštruujeme 95-percetý iterval spoľahlivosti ( ) ( ) P 0,05 ˆα(1 ˆα) 0,05 ˆα(1 ˆα) ˆα u < α < ˆα + u 2 N 2 N = 0,95. (1.2) }{{}}{{} dhα hhα Do textového súboru zazameávame dolú hraicu α a horú hraicu α, ktoré budeme v ďalšom texte ozačovať ako dhα a hhα. Túto simuláciu opakujeme pre klesajúce hodoty pričom pravdepodobosti p ij emeíme. S klesajúcim sa prirodzee vyskytú prípady, kedy sa v meovateli pri výpočte χ 2 vyskyte ula. Takýto prípad sme ošetrili podmiekou a tabuľku vyecháme, pričom sa samozrejme zíži aj N pri určovaí itervalu spoľahlivosti (avšak le do prípustej miery, čo zameá, že ak sa situácia vyskyte stokrát z desaťtisíc, má to zaedbateľý vplyv a tvar itervalu 7

15 spoľahlivosti). Pravdepodobosti sme zvolili asledove p 1. = 0,25 p 2. = 0,4 p 3. = 0,35 p.1 = 0,15 p.2 = 0,35 p.3 = 0,2 p.4 = 0,3. Pri takto astaveých pravdepodobostiach pri určitých početostiach dôjde k situácii, že hore uvedeá podmieka i..j / > 5 eplatí pre jedo až všetkých dvaásť polí kotigečej tabuľky. Graf 1.1 zobrazuje situáciu kedy pre = 220 ešte väčšia cyklov má dodržaú podmieku pre všetky polia a s klesajúcim sú postupe vo väčšie prípadov porušeé 1, 2, 3,..., 12 podmieok. Posledou simulovaou hodotou je 20, pretože pre mešie početosti už častokrát ie je možé vypočítať χ 2 pomocou vzorca (1.1) vzhľadom ato, že sa tam vyskytuje deleie ulou. Na samotom grafe je zjavé, že od početosti zhruba 65 už 95-percetý iterval spoľahlivosti pre α vôbec eobsahuje očakávaú hodotu 0,05. Stred itervalu sa posúva smerom adol až k hodote 0,04. p hhα dhα 0,06 0,05 0, Obr. 1.1: Test ezávislosti - iterval spoľahlivosti pre α Mohlo by ás zaujímať, do akej miery ovplyvňuje počet porušeí podmieky skutočú hodotu α? Je hodota 0,05 mimo itervalu spoľahlivosti pri porušeí jedej podmieky alebo sa to stáva zjavým až po porušeí viacerých podmieok? Na riešeie tejto otázky sme trocha pozmeili algoritmus a teda vygeerovali sme si takých tabuliek, ktoré mali kokréty počet porušeí. Zmea spočívala ajmä 8

16 v tom, že sme použili cyklus while. Pokým sme teda eašli dostatok vyhovujúcich tabuliek (prese 10000) cyklus sa eukočil. Pri každej tabuľke sme spočítali počet porušeí podmieky a keď to bolo ié číslo ako sme práve hľadali, tak sme jedoducho tabuľku ezaradili do simulácie. Graficky vyjadríme situáciu pri 1, 4, 9 a 12 porušeiach podmieky i..j / > 5. Celkové súčty v tabuľkách, s jedotlivým počtom porušeí sme museli zvoliť tak, aby bolo možé ájsť takých tabuliek, pretože pre vyššie a ižšie početosti ako sme použili, sú tabuľky s daým počtom porušeí ojedielými. Preto sú a vodorovej osi v grafoch vždy rôze hodoty. 0,06 p hhα dhα 0,05 0, Obr. 1.2: Test ezávislosti - iterval spoľahlivosti pre α pri jedom porušeí podmieky Graf 1.2 ilustruje situáciu pri porušeí podmieky v jedom poli tabuľky. Na jeho základe sa dá povedať, že jedo porušeie ešte emá zásadý vplyv a itervaly spoľahlivosti, pretože očakávaá pravdepodobosť 0,05 je v ich obsiahutá. Le v jedej simulácii tomu tak ebolo (čo z počtu 21 zodpovedá ai ie piatim percetám simulácií) a v tomto prípade môžeme takýto výsledok považovať za dielo áhodého geerátora, ktorý môže v malom percete geerovaí vytvoriť viac extréme tabuľky ako očakávame a tým sa pozmeí výsledok. Obrázok 1.3 azačuje, že pri štyroch porušeiach podmieky už pozorujeme posu itervalu pod hraicu 0,05 častejšie, ale ie takmer stále. Keďže sme očakávali a základe grafu 1.1, jedozačý pokles itervalu pod hladiu 5 percet až zhruba pre 9

17 p hhα dhα 0,06 0,05 0, Obr. 1.3: Test ezávislosti - iterval spoľahlivosti pre α pri štyroch porušeiach podmieky = 65 a meej, ie je to prekvapujúce. Pri porušeí podmieky v 9 poliach kotigečej tabuľky vidíme a obrázku 1.4, že iterval spoľahlivosti už vo väčšie prípadov eobsahuje požadovaú hodotu 0,05 a s klesajúcim tvorí stred itervalu hodota okolo 0,04. p 0,06 hhα dhα 0,05 0, Obr. 1.4: Test ezávislosti - iterval spoľahlivosti pre α pri deviatich porušeiach podmieky Na grafe 1.5 vidíme, že pri porušeí podmieky vo všetkých poliach kotigečej tabuľky už test ezachováva pravdepodobosť chyby prvého druhu ako sme ju zvolili, 10

18 p hhα dhα 0,05 0,04 0, Obr. 1.5: Test ezávislosti - iterval spoľahlivosti pre α pri dvaástich porušeiach podmieky teda 0,05. Táto pravdepodobosť a vygeerovaých dátach je ižšia ako požadovaá hladia a môžu to byť hodoty približe 0,035 a meej. 11

19 Kapitola 2 Test homogeity multiomických rozdeleí Niekedy sa stáva, že margiále riadkové početosti sú už vopred staoveé. Potom v poradí i-ty riadok kotigečej tabuľky i1... ic má multiomické rozdeleie s parametrami i., p i1,..., p ic, kde p i1,..., p ic sú pravdepodobosti, ktoré spĺňajú podmieku p i p ic = 1. Zvyčaje je potom treba testovať hypotézu homogeity, ktorá tvrdí, že pravdepodobosti p i1,..., p ic ezávisia a riadkovom idexe i, iak povedaé, že všetky riadky matice (p ij ) sú rovaké. Dá sa dokázať, že aj v tomto prípade za platosti hypotézy homogeity má veličia χ 2 počítaá podľa vzorca (1.1) asymptoticky rozdeleie χ 2 (r 1)(c 1) (α). Hypotézu homogeity zamietame v prípade, ak χ2 χ 2 (r 1)(c 1) (α). Ako sa správa pravdepodobosť chyby prvého druhu, teda α pri asimulovaí klesajúcej celkovej početosti pre test homogeity multiomických rozdeleí budeme sledovať a tabuľkách rozmeru 3 4. Na reálych dátach by sme v tomto prípade mohli zisťovať, či percetuále zastúpeie krvých skupí je a celom území homogée alebo ie. Zvolili by sme riadkové početosti 1. osôb z oblasti X, 2. z oblasti Y a 3. zo Z a zistili by sme u jedotlivcov ich krvú skupiu(v stĺpcoch skupiy A, B, 0, AB). Pomocou testu by sa ukázalo, či teda môžme tvrdiť, že rozdeleie krvých skupí je rovaké vo všetkých troch 12

20 oblastiach. Algoritmus v Rku sme opäť zámere skoštruovali tak, aby bola spleá H 0. Vytvorili sme preto takých kotigečých tabuliek, že každý riadok je osobite geerovaý geerátorom multiomického rozdeleia s parametrami i., p 11, p 12, p 13, p 14 pre i = 1, 2, 3. Pravdepodobosti emeíme, riadkové početosti zižujeme. Vypočítame testovaciu štatistiku χ 2 podľa vzorca (1.1) a zazameávame počítadlom počet zamietutí hypotézy H 0. Iterval spoľahlivosti pre pravdepodobosť zamietutia hypotézy testom (α) koštruujeme rovako ako pri teste ezávislosti. Získame dolú a horú hraicu α. Keďže používame rovaký vzorec pre χ 2 ako pri teste ezávislosti opäť sa stretávame s utosťou zahrúť do kódu podmieku, aby sa v meovateli evyskytla ula. Pravdepodobosti sme zvolili asledove p 11 = 0,15 p 12 = 0,35 p 13 = 0,2 p 14 = 0,3. p 0,06 hhα dhα 0,05 0, Obr. 2.1: Test homogeity multiomických rozdeleí - iterval spoľahlivosti pre α Na obrázku 2.1 vidíme ako sa situácia vyviula, keď sme pôvodé početosti astavili a 1. = 58, 2. = 57, 3. = 47 a postupe všetky tri araz zižovali o krok 3, teda celkové klesalo každým krokom o 9. Taktiež je zjavé, že zhruba od početosti 70 je iterval spoľahlivosti pod hraicou očakávaej hodoty 0,05. Simuláciu sme ukočili pri = 27 pretože riadková početosť 3. už adobudla hodotu 2 a teda ebolo by možé ju zížíť o 3. 13

21 Kapitola 3 Iterakcia v štvorpoľých tabuľkách Hodoteie iektorých tabuliek si môže vyžadovať iý prístup. Situáciu preto priblížime príkladom. Nech je počet ľudí, ktorí ochoreli a rakoviu. Niektorí sa liečili, ií ie, iektorí prežili, ií ie. Chorý človek môže uvažovať asledove: ak sa bude liečiť, jeho šaca a prežitie sa dá odhadúť pomerom tých ľudí, ktorí sa liečili a prežili (oz. 11 ) a tých, ktorí sa liečili a eprežili (oz. 12 ). Ak sa liečiť ebude, jeho šaca a prežitie je 21 : 22, kde 21 zodpovedá počtu eliečeých ľudí, ktorí prežili a 22 počtu eliečeých, ktorí zomreli. Vydeleím týchto dvoch pomerov zistíme, čo je výhodejšie. Podiel šací v štvorpoľej tabuľke je b = a azýva sa iterakcia. Pretože ij / je odhadom pravdepodobosti p ij, je b vlaste odhadom teoretickej iterakcie β = p 11p 22 p 12 p 21. Závislosť zakov bude tým väčšia, čím viac sa bude β líšiť od jedotky. Pritom však esmieme zabudúť, že 0 β. Nesymetria hodôt β okolo bodu 1 zrejme viedla k tomu, že sa takmer výhrade začala používať logaritmická iterakcia d a teoretická logaritmická iterakcia δ, ktoré defiujeme ako d = l b, δ = l β. (3.1) 14

22 Bolo dokázaé, že veličia D = d δ (3.2) má asymptoticky rozdeleie N(0, 1). Ak chceme touto metódou testovať hypotézu ezávislosti H 0 (tomu zodpovedá δ = 0), tak do D dosadíme δ = 0 a H 0 zamietame v prípade, že D u( α ). Ide o test asymptotický, preto by sa mal používať le pri 2 dostatoče veľkých početostiach. Pre zachovaie platosti H 0 : δ = 0 (iak zapísaé, to zameá p ij = p i. p.j ) zadáme do softvéru R fixé pravdepodobosti p ij tak, aby a kokréte sme použili δ = l β = l 1 = 0 β = p 11p 22 p 12 p 21 = 1 p 11 = 0,3 p 12 = 0,3 p 21 = 0,2 p 22 = 0,2. Pomocou geerátora multiomického rozdeleia geerujeme for cyklom tabuliek rozmeru 2 2. Parametre sú a ami zvoleé pravdepodobosti p ij. Pre každú kotigečú tabuľku vypočítame testovaciu štatistiku D podľa vzorca (3.2) a v absolútej hodote porovávame s hodotou kvatilu štadardizovaého ormáleho rozdeleia v bode α = 0,025. Počítadlom zazameávame, koľko krát z bola 2 zamietutá hypotéza H 0. Odhad skutočej α, ktorý ozačujeme ˆα je potom rový pomeru počítadla a počtu opakovaí (= 20000). Iterval spoľahlivosti koštruujeme rovako ako pri teste ezávislosti podľa (1.2). Počtom tabuliek ovplyvňujeme šírku itervalu spoľahlivosti, preto je vhodé voliť vysoké hodoty. Pochopiteľe je ale uté vziať do úvahy aj skutočosť, že trvaie výpočtu v Rku je tým dlhšie, čím viac tabuliek chceme ageerovať. Vzhľadom a podobu vzorca (3.2) musíme do zdrojového kodu zakompoovať podmieku pre kotrolu výskytu uly v meovateli v d a evidovať, či k takejto situácii edochádza príliš často, čo by mohlo spôsobiť eželaé skresleie výsledku. Iak povedaé, sledujeme, či počet simulácií z eklese a príliš ízke číslo ezaradeím tabuliek s ulou v meovateli v premeej d v testovacej štatistike. Na grafe 3.1 vidíme, že pri tomto teste je obzvlášť zjavé ako stráca test presosť, čo sa týka zachovaia zadaej pravdepodobosti chyby prvého druhu. Iterval spoľahlivosti 15

23 p 0,05 0,04 hhα dhα 0,03 0,02 0, Obr. 3.1: Iterakcia v štvorpoľých tabuľkách - iterval spoľahlivosti pre α je od početosti 48 trvalo pod hraicou 5 percet a dokoca od početosti 20 radikále klese a stredom itervalu sa stáva hodota okolo 1,5 percet. 16

24 Kapitola 4 Fisherov faktoriálový test Keď kvôli ízkym početostiam ie je možé v štvorpoľej tabuľke použiť limité rozdeleie χ 2 1, tak už ie je možé pristúpiť k zlučovaiu riadkov či stĺpcov. Preto sa v tomto prípade často využíva asledujúca metóda. Pravdepodobosť, že pre ejaké sa budú v štvorpoľej tabuľke realizovať početosti 11, 12, 21, 22, je P ( 11, 12, 21, 22 ) =! 11! 12! 21! 22! p p p p Nech platí hypotéza ezávislosti H 0 : p ij = p i. p.j. Ak ozačíme tak za platosti H 0 dostaeme Q = p p p.1.1 p.2.2 P ( 11, 12, 21, 22 ) =! 11! 12! 21! 22! Q. Pravdepodobosť, že vzike tabuľka s margiálymi početosťami 1., 2.,.1,.2 je rová (!) 2 R = Q 1.! 2.!.1!.2!. Odvodeie premeej R je možé ájsť v [1]. Podmieeá pravdepodobosť P, že pri daých margiálych početostiach 1., 2., 17

25 .1,.2 vzike tabuľka s početosťami 11, 12, 21, 22 je Po dosadeí dostaeme P = P ( 11, 12, 21, 22 ). R P = 1.! 2.!.1!.2!! 11! 12! 21! 22! (4.1) Výhodou použitia podmieeej pravdepodobosti P je ajmä to, že eobsahuje žiade ezáme parametre, preto odpadá problém s ich odhadovaím. Samoté prevedeie testu potom závisí a tom, či testujeme H 0 proti jedostraej alebo obojstraej alteratíve. Pri teste H 0 proti obojstraej alteratíve H 1 : δ 0 postupujeme tak, že sčítame pravdepodobosti P tých tabuliek, ktoré majú rovaké margiále početosti ako východzia tabuľka a ich logaritmické iterakcie sú v absolútej hodote väčšie alebo rové ako d 0 (d 0 ozačuje logaritmickú iterakciu východzej tabuľky). Hypotézu H 0 zamietame, ak je súčet pravdepodobostí meší alebo rový číslu α, čo je aša vopred zvoleá hladia výzamosti. Logaritmickú iterakciu d počítame podľa vzorca (3.1) z treťej kapitoly. Teto test odvodil R. A. Fisher. Pri výpočte pravdepodobostí sa používa vzorec (4.1), a preto sa teto test azýva Fisherov faktoriálový test. Fisherovmu test sa vyčíta, že jeho skutočá hladia býva podstate mešia ako je tolerovaá pravdepodobosť chyby prvého druhu α. Dôvodom je ajmä diskréty charakter procedúry a súčet P takmer ikdy emôže dosiahuť prese α. Koštrukcia testu v softvéri R je o čosi zložitejšia ako tomu bolo pri predchádzajúcich testoch. Najskôr zvolíme celkovú početosť a margiále pravdepodobosti p.1, p.2, p 1. a p 2.. Samoté p ij vypočítame ako p ij = p i. p.j. Nastavíme počítadlo zamietutí hypotézy H 0 a ulu. Parametre máme a môžme začať geerovať tabuľky, v ktorých je hypotéza H 0 spleá. Prostredíctvom geerátora multiomického rozdeleia s parametrami, p 11, p 12, p 21, p 22 získame postupe východzích (pôvodých) tabuliek. Kým sa dostaeme k samotej testovacej štatistike, je potrebé ku každej tabuľke ájsť všetky také, ktoré majú rovaké margiále početosti, aby sme vedeli vypočítať ich logaritmické iterakcie d a porovali ich s logaritmickou iterakciou d 0 pôvodej tabuľky. Od toho sa bude odvíjať, či pravdepodobosť P z vytvoreých tabuliek započítame do súčtu, ktorý akoiec porováme s α. Pri hľadaí tabuliek s rovakými margiálymi početosťami ako má východzia tabuľka využijeme takú myšlieku, že tabuliek bude 18

26 vlaste toľko, koľko je ajmešia hodota zo všetkých i. a.j (pre i, j = 1, 2) vo východzej tabuľke plus jede. Potom prechádzame cyklom for čísla od 0 práve po tú ajižšiu hodotu a to sú vlaste samoté početosti v jedom poli. Treba samozrejme vziať do úvahy aj polohu toho ajmešieho z i. a.j - totiž práve do jedého z polí toho riadku (ak miimom je riadková margiála početosť 1. alebo 2. ) resp. stĺpca (ak miimom je stĺpcová margiála početosť.1 alebo.2 ) zapíšeme túto početosť. Tým pádom máme jedu hodotu ij zo štyroch, čo ale dokoale postačí, lebo chceme tabuľky, ktoré majú ejaké fixé margiále početosti a z ich už ostaté tri hodoty ij bez problémov dopočítame. Keďže už máme kompletú tabuľku, môžme vyčísliť logaritmickú iterakciu a porovať ju s tou, ktorá prislúcha východzej tabuľke (d 0 ). Ak je d d 0, tak vypočítame príslušé P a to bude jedým zo sčítacov sumy (tvoria ju všetky P z tabuliek, kde d spĺňa horeuvedeú podmieku), ktorú v koečom dôsledku porovávame s α. V cykle sme teda prešli každú tabuľku s rovakými margiálymi početosťami ako má pôvodá a súčet vyhovujúcich P porovávame s α. Ak platí, že teto súčet je meší alebo rový ako α tak počítadlo zamietutí hypotézy H 0 zvýšime o jeda. Odhad skutočej hodoty α, oz. ˆα spomíaý v predchádzajúcich kapitolách vyčíslime ako počítadlo/počet opakovaí geerovaia tabuľky s celkovou početosťou dát (v tomto prípade teda ˆα = počítadlo/10000). Iterval spoľahlivosti pre skutočú hodotu α, koštruujeme rovako, ako tomu bolo v prvej kapitole (teda podľa (1.2)). Nesmieme zabudúť podotkúť, že všetky tabuľky vytváraé z ejakej východzej tabuľky slúžia le a vyčísleie logaritmických iterakcií d a pravdepodobostí P, ikam ich ezazameávame a slúžia teda le a medzivýpočty. Platosť hypotézy určujeme le pre východziu tabuľku pomocou tabuliek jej podobým v zmysle rovakých margiálych početostí. Samozrejmosťou je, že sa zvýši výpočtová áročosť, keďže amiesto jedej východzej tabuľky počítame ejaké hodoty aj pre iekoľko ďalších, ehovoriac o tom, že viackrát podmiekujeme rôze udalosti, ktoré môžu astať. Podmiekou je apríklad ošetreé aj samoté vytváraie tabuliek s rovakými margiálymi početosťami, pretože ajprv treba a základe východzej tabuľky určiť, ktorá margiála početosť je ajmešia. Od jej umiesteia sa odvíja celé dopočítavaie ostatých hodôt z tabuľky u všetkých tabuliek. Ďalšou z podmieok môže byť apríklad situácia, kedy d = l 0. Presejšie povedaé 0 to zameá, že = = 0. 19

27 0 Podiel celkom prirodzee ahradíme číslom 1, pričom pre d z toho vyplýva, že 0 d = l 1 = 0. Pristúpme teda k samotej simulácii. Margiále pravdepodobosti astavíme asledove p 1. = 0,4 p 2. = 0,6 p.1 = 0,65 p.2 = 0,35 a emeíme ich. Kokréte hodoty p ij sú rové p i. p.j. Celkovú početosť sledovaých objektov budeme zmešovať. Výsledky iterpretujeme asledovým grafom. 0,05 p hhα dhα 0,04 0,03 0,02 0, Obr. 4.1: Fisherov faktoriálový test - iterval spoľahlivosti pre α Na základe teoretického úvodu k tomuto testu očakávame, že sa a grafe ukáže, do akej miery je skutočá pravdepodobosť zamietutia pravdivej hypotézy odlišá od ami požadovaej päť percetej. Graf 4.1 zjave preukazuje, že iterval spoľahlivosti pre α je hlboko pod úrovňou 5 percet. Keby sme teda chceli teto test použiť špeciále pre malé početosti, kde test ezávislosti už ezachováva chybu prvého druhu (5 percet) zrejme by sme eboli spokojí, pretože skutočá α pri Fisherovom teste je ešte mešia ako tomu bolo u testu ezávislosti (máme a mysli teto kokréty prípad pri zvoleých pravdepodobostiach, emuselo by tomu tak byť vždy). Taktiež je síce veľmi dobré, že testovacia štatistika ikdy emá v meovateli ulu, teda dá sa vyčísliť, ale apríklad od celkovej početosti < 14 je stredom itervalu spoľahlivosti pre α hodota okolo jedého perceta. To zameá, že test hypotézu H 0 z desaťtisíckrát zamieta le okolo stokrát. Fisherov faktoriálový test aozaj v sle- 20

28 dovaom prípade preukazuje veľmi ízku chybu prvého druhu apriek tomu, že sme požadovali aby bola 5 percet. V štatistickom softvéri [2] je už autormi aprogramovaý Fisherov test, ale samotý výpočet testovacej štatistiky je miere odlišý ako tomu bolo u Fisherovho faktoriálového testu z [1]. Možo by bolo zaujímavé zistiť a porovať, do akej miery sa testy odlišujú, čo sa týka počtu zamietutí hypotézy H 0 a rovakých tabuľkách, ktoré zámere geerujeme tak, aby ulová hypotéza platila. Jediým rozdielom pri výpočte testovacej štatistiky vo f isher.test z [2] je, že sa vôbec epočítajú logaritmické iterakcie d a do súčtu, ktorý porovávame s hodotou 0,05 sa zaradia také pravdepodobosti P, pre ktoré platí P P 0 (pričom P 0 je pravdepodobosť pre východziu tabuľku). 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 p hhαa dhαa hhαr dhαr Obr. 4.2: Fisherov faktoriálový test - porovaie itervalov spoľahlivosti pre α Ozačeie itervalu spoľahlivosti pre α pre test z kihy [1] zodpovedá (dhαa, hhαa) a pre test z Rka je to (dhαr, hhαr). Z obrázku 4.2 plyie, že čo sa týka chyby prvého druhu, lepší sa ukazuje byť test z Rka. Hypotézu H 0 zamieta viackrát, stále však ie toľkokrát, aby sa dosiahlo α = 5%. Rozdiel je zjavý zhruba od početosti 22. V situácii, akú sme simulovali je presejším testom f isher.test z [2]. Keďže zižovaie chyby prvého druhu ide ruka v ruke so zvyšovaím chyby druhého druhu (situácia, keď H 0 eplatí, ale test ju ezamietol) určite by sme emali byť spokojí s pravdepodobosťou chyby prvého druhu mešou ako jedo perceto (ukázala sa pri Fisherovom faktoriálovom teste od početosti < 14). Samozrejme obidva 21

29 testy majú itervaly spoľahlivosti pre skutočú α hlboko pod hraicou 5 percet, čo edodržiava užívateľom povoleú hraicu. Fisherov faktoriálový test z [1] sa tiež ukazuje byť ešte horšou voľbou ako apr. test ezávislosti z prvej kapitoly, kedy síce α klesla pod 5 percet, ale ie tak rapíde. Opäť treba zdôraziť, že porovaie s testom ezávislosti je v tomto prípade le pre jediú situáciu - aj to porovávame test a tabuľke 3 4 s testom a tabuľke 2 2. O to zjavejší by mohol byť záver, že keď do dvaástich polí rozdelíme také isté ako do štyroch polí a test a 12-poľej zachová pre ízke presejšiu hladiu výzamosti, mohol by byť lepším testom aj pre štvorpoľú tabuľku. Preto sme sa rozhodli asimulovať aj situáciu, kedy tie isté tabuľky budeme testovať pomocou dvoch verzií Fisherovho testu a taktiež testom ezávislosti pre štvorpoľú tabuľku, pre ktorý testovaciu štatistiku určíme pomocou (1.1). Itervaly spoľahlivosti (koštruujeme ich podľa (1.2)) pre všetky tri testy porováme v jedom grafe. 0,09 0,08 0,07 p + + hhαa dhαa hhαr dhαr hhαn dhαn 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Obr. 4.3: Fisherov faktoriálový test - porovaie itervalov spoľahlivosti pre α Zachovávame legedu z predchádzajúceho grafu, teda horú a dolú hraicu pre Fisherov test z [1] ozačujeme dhαa a hhαa, pre test z Rka je to dhαr a hhαr a zavádzame ozačeie pre test ezávislosti dhαn a hhαn. Na základe grafu 4.3 vidíme, že tak ako sme predpokladali pri ami zvoleých pravdepodobostiach p ij sa ukazuje, že test ezávislosti aozaj lepšie zachováva prav- 22

30 depodobosť chyby prvého druhu. Itervaly spoľahlivosti pre test ezávislosti často obsahujú požadovaú hladiu 5%, ale treba spomeúť aj to, že sa viackrát celý iterval spoľahlivosti achádza ad piatimi percetami. To by sa zrejme dalo považovať za evýhodu, kvôli ktorej sa používa alteratíva - teda Fisherov test. Napriek tomu, že ai test ezávislosti vere ezachováva požadovú pravdepodobosť chyby prvého druhu, stále sa pri tejto simulácii javí byť ajvhodejším. Obe verzie Fisherovho testu majú stred itervalu spoľahlivosti pre skutočú α od 3,5 až k 0,05 percetám. 23

31 Kapitola 5 McNemarov test Kotigečé tabuľky už sme aalyzovali pomocou viacerých typov testov. Teraz budeme sledovať a súbore áhodých objektov rozsahu prítomosť a eprítomosť ejakého zaku. Na celom súbore potom uskutočíme ejaký zákrok a zova zisťujeme výskyt sledovaého zaku. Budeme pracovať s tabuľkami rozmeru 2 2. Takto by sme a reálych dátach apríklad mohli skúmať, či podaie ejakého lieku ovplyvňuje rýchlosť reakcie a bolestivý podet. Najprv by sme u každej osoby zistili rýchlosť reakcie pred požitím lieku a zazameli by sme si, či bola rýchla alebo pomalá. Potom by asledovalo požitie lieku a opäť meraie rýchlosti reakcie. V kotigečej tabuľke potom početosť 11 zodpovedá počtu osôb, ktoré pred aj po podaí lieku reagovali a bolesť pomaly, 12 je zasa počet tých, ktorí pred podaím lieku reagovali pomaly a po podaí reagovali rýchlo, atď. pre zvyšé dve počeosti. Testovať budeme H 0 : p 1. = p.1. V prípade štvorpoľej tabuľky to zameá, že H 0 je ekvivaletá hypotéze symetrie, teda H 0 : p 12 = p 21. Z toho ám plyie, že všetky štyri pravdepodobosti p ij sú jedozače určeé dvomi ezámymi parametrami p 11 a p 12. Z platosti hypotézy symetrie je p 12 = p 21 a pre p 22 platí, že je rová 1 p 11 2p 12. Odhady pre pravdepodobosti p ij sú ˆp 11 = 11 ˆp 22 = 22 ˆp 12 = ˆp 21 = Testovaciu štatistiku počítame ako χ 2 = ( ) (5.1) a má asymptoticky χ 2 1 rozdeleie. Odvodeie odhadov a testovacej štatistiky je možé 24

32 ájsť v [1]. Hypotézu H 0 zamietame v prípadoch, keď χ 2 χ 2 1(α). V literatúre je uvedeé, že takýto asymptotický výsledok sa dá použiť už od Algoritmus a simuláciu tohto testu koštruujeme tak, aby bola spleá H 0 : p 1. = p.1. Vygeerujeme kotigečých tabuliek pomocou geerátora multiomického rozdeleia s parametrami, p 11, p 12, p 21, p 22, kde p ij sú peve zvoleé pravdepodobosti spĺňajúce H 0 a budeme zmešovať. Pri každej tabuľke ajskôr zistíme, či je vôbec možé vyčísliť testovaciu štatistiku (5.1). Preto overíme podmiekou, či = 0. Ak áo, tak s touto tabuľkou epočítame, preskočíme ju a vygeerujeme iú. Do ejakej premeej si zazačujeme, koľkokrát z sa objavila takto evyhovujúca tabuľka (iterval spoľahlivosti potom epočítame z N = 20000, ale odrátame hodotu v premeej). Vypočítame testovaciu štatistiku a v počítadle zazameávame, koľkokrát test zamietol hypotézu H 0. Opäť odhadujeme pravdepodobosť zamietutia H 0 testom (získame tak ˆα) ako sme to spravili pri teste ezávislosti a rovako koštruujeme aj iterval spoľahlivosti pre α. Keďže v teórii sa uvádza podmieka pre použitie asymptotického testu ( ) budeme sledovať aj zhruba od akého je táto podmieka často porušovaá a či práve od takej početosti už test ezachováva skutočú α = 0,05. Pravdepodobosti sme zvolili asledove p 11 = 0,25 p 12 = p 21 = 0,3 p 22 = 0,15. p hhα 0,06 0,05 0,04 dhα 0,03 0, Obr. 5.1: McNemarov test - iterval spoľahlivosti pre α, ak esledujeme podmieku

33 Na grafe 5.1 vidíme dosť eštadardý vývoj itervalu spoľahlivosti, te ukazuje, že už pri početostiach, kde ebola ai raz porušeá podmieka , je iterval spoľahlivosti často ad hladiou 5 percet, potom sa ukáže, že od určitého klese pod túto hladiu a potom opäť stúpe. Na základe výsledkov z celkových početostí od 50 po asi 25 by sme mohli predpokladať, že iterval spoľahlivosti bude skôr ad hladiou požadovaých piatich percet ako pod. Už pre početosť mešiu ako 25 sa začía objavovať aj porušeie podmieky, preto máme podozreie, že klesaie itervalu môže mať súvis práve s týmto. Pri početostiach meších ako 14 už je podmieka porušovaá v polovici prípadoch až vo všetkých. Preto by sme sa v ďalšom grafe podrobejšie zamerali a ižšie početosti a využijeme cyklus while, aby sme ašli takých tabuliek, aby bola v každej porušeá podmieka. Budeme ajmä sledovať, či áhly vzrast od početosti 10 a potom opäť pokles je áhodý alebo aozaj už pre tabuľky, kde je každýkrát porušeá podmieka, je skutočá hladia α vyššia ako očakávaých 5%. p 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 hhα dhα Obr. 5.2: McNemarov test - iterval spoľahlivosti pre α, ak je porušeá podmieka Výsledok simulácie vidíme a obrázku 5.2. Ukazuje sa, že u celkového od 20 k 8 iterval spoľahlivosti má rastúcu tedeciu a potom klesá. Zaujímavosťou je, o koľko je ižšie stred itervalu oproti všeobecému grafu 5.1, špeciále u hodôt z prvej polovice grafu - je to spôsobeé tým, že u početosti 20 ešte ie je porušeie podmieky až také časté, a preto test lepšie zachovával požadovaú α vo všeobecom grafe 5.1. V ňom sme totiž ehľadali le také kotigečé tabuľky, kde podmieka ie je spleá. 26

34 Kapitola 6 Test symetrie V tejto kapitole sa budeme zaoberať testom hypotézy symetrie a štvorcových tabuľkách typu c c, teda overujeme H 0 : p ij = p ji pre dvojice(i, j). Prípad, kedy c = 2 bol vlaste McNemarov test pre štvorpoľé tabuľky, s ktorými sme pracovali v predchádzajúcej kapitole. Pri vyššej hodote c sa situácia líši v tom, že ezámymi prvkami v matici pravdepodobostí (p ij ) sú tie, ktoré ležia a diagoále a ad ňou (okrem prvku p cc ). Pod diagoálou sú prvky určeé hypotézou symetrie a prvok p cc sa určí z podmieky, že súčet pravdepodobostí je 1. Preto máme c = c(c + 1) 2 1 ezámych ezávislých parametrov. Aalogicky ako tomu bolo pri McNemarovom teste vypočítame testovaciu štatistiku χ 2 = i<j ( ij ji ) 2 ij ji (6.1) ktorá má za platosti H 0 asymptoticky rozdeleie χ 2 c(c 1)/2. U kotigečej tabuľky hypotézu symetrie zamietame, ak χ 2 χ 2 c(c 1)/2 (α). Predchádzajúci text tejto kapitoly pochádza z [1]. Nasimulujeme prípad pre tabuľky rozmeru 4 4. Najskôr zvolíme pevé pravdepodobosti p ij tak, aby bola spleá ulová hypotéza. Kotigečé tabuľky získavame prostredíctvom geerátora multiomického rozdeleia s parametrami a p ij. Pri každej z kotigečých tabuliek ajskôr overíme, či je možé vypočítať testo- 27

35 vaciu štatistiku podľa vzorca (6.1). Ak ie, takúto tabuľku ezaradíme do simulácie. Ak áo, vyčíslime hodotu testovacej štatistiky a zistíme, či test hypotézu H 0 zamiete. Počítadlom zrátame takéto prípady a koštruujeme iterval spoľahlivosti pre α tak isto, ako sme postupovali v prvej kapitole. Tvar itervalu pre kokréte početosti zazameávame do textového súboru a áslede graficky zázoríme a asledujúcom obrázku. p 0,06 0,05 0,04 0,03 0, hhα dhα Obr. 6.1: Test symetrie - iterval spoľahlivosti pre α Pravdepodobosti a hlavej diagoále tabuľky sú p 11 = 0,0975 p 22 = 0,0375 p 33 = 0,075 p 44 = 0,11 a zvyšé symetrické pravdepodobosti sme zvolili ako p 12 = p 21 = 0,05 p 13 = p 31 = 0,075 p 14 = p 41 = 0,085 p 23 = p 32 = 0,03 p 24 = p 42 = 0,04 p 34 = p 43 = 0,06. Pri teste symetrie sa so zmešujúcim stretávame s poklesom itervalu spoľahlivosti pre skutočú α pod hladiu 5 percet. Dochádza k tomu už od pomere dosť vysokých, čo môže byť spôsobeé aj tým, že tabuľka má 16 polí, do ktorých sa rozdeľuje celková početosť. Test teda vyžaduje vyšší počet dát, iak ezachováva požadovaú hladiu výzamosti. 28

36 Kapitola 7 Stuartov a Bhapkarov test Uvažujme štvorcovú tabuľku typu c c. Na jej základe testujeme hypotézu homogeity margiálych pravdepodobostí H 0 : p 1. = p.1,... p c. = p.c. Využijeme asledové ozačeie: d i = i..i pre i = 1,..., c, d = (d 1,..., d c 1 ). Ďalej maticu typu (c 1) (c 1) začíme V = (V ij ) i,j=1,...,c 1 a jej prvky sú tvoreé podľa vzorcov V ii = i. +.i 2 ii, V ij = ( ij + ji ) pre i j. Veta: 2. (Stuart) Ak platí ulová hypotéza, potom veličia Q = d V 1 d má asymptoticky χ 2 c 1 rozdeleie.(vetu je možé ájsť apr. v [1].) Jedoducho sa môžeme presvedčiť, že pre c = 2 je veličia Q rovaká ako χ 2, ktorú počítame podľa vzorca (5.1). Ak c = 3, tak premeú Q počítame ako kde Q = N 23 d N 13 d N 12 d 2 3 2(N 12 N 23 + N 12 N 13 + N 13 N 23 ), (7.1) N ij = ij + ji. 2 29

37 Nasimulujeme si kotigečé tabuľky rozmeru 3 3. Budeme ich geerovať tak, aby platila ulová hypotéza: p i. = p.i pre i = 1, 2, 3. Opäť využijeme geerátor multiomického rozdeleia s parametrami celkový počet údajov () a peve zvoleými pravdepodobosťami (p ij ). Keby meovateľ testovacej štatistiky bol rový ule, epoužijeme tabuľku do simulácie. Vypočítame testovaciu štatistiku Q podľa vzorca (7.1) a zazameávame, koľkokrát test zamietol hypotézu H 0 (zamieta sa, ak platí Q χ 2 2(0,05)). Iterval spoľahlivosti počítame pre skutočú pravdepodobosť zamietutia (α) a postupujeme aalogicky ako tomu bolo v prvej kapitole (teda podľa vzťahu (1.2)). Tabuľky vygeerujeme postupe pre početosti 100 a meej. p 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 hhα dhα Obr. 7.1: Stuartov test - iterval spoľahlivosti pre α Pravdepodobosti použité pri geerovaí sú p 11 = 0,1 p 12 = 0,04 p 13 = 0,11 p 21 = 0,06 p 22 = 0,1 p 23 = 0,14 p 31 = 0,09 p 32 = 0,16 p 33 = 0,2. Graf 7.1 zobrazuje výsledky pre rozsah jedotlivých itervalov spoľahlivosti a a jeho základe môžme povedať, do akej miery je s 95-percetou pravdepodobosťou skutočé α ié ako 5%. Stuartov test pre tabuľku s deviatimi poľami vykazuje zhruba po = 40 itervaly spoľahlivosti, ktoré obsahuju požadovaú hladiu výzamosti alebo sú le málo pod ňou. Tiež vidíme, že pre 40 už iterval pomere jedozače klesá pod hodotu 5 percet až k hodotám okolo 2,5. 30

38 Modifikáciu Stuartovho testu odvodil Bhapkar a základe iého štatistického prístupu. Veta: 3. (Bhapkar) Nech K = (K ij ) i,j=1,...,c 1 je matica typu (c 1) (c 1) s prvkami K ii = i. +.i 2 ii ( i..i ) 2, K ij = ( ij + ji ) ( i..i )( j..j ) pre i j. Ak platí H 0, tak veličia Q B = d K 1 d má asymptoticky rozdeleie χ 2 c 1. (Veta je apr. v [1].) Neskôr bolo dokázaé, že Q B = Q 1 Q (7.2) a že test založeý a Q B je atikozervatívy, teda jeho hladia výzamosti je pri meších rozsahoch áhodého výberu väčšia ako asymptotická hodota α. Teto test asimulujeme a tabuľkách 3 3. Pre každú celkovú početosť vygeerujeme kotigečých tabuliek. Parametrami geerátora multiomického rozdeleia je vždy ejaké a asledové pravdepodobosti p 11 = 0,13 p 12 = 0,1 p 13 = 0,12 p 21 = 0,07 p 22 = 0,05 p 23 = 0,13 p 31 = 0,15 p 32 = 0,1 p 33 = 0,15. Hoci by sme testovaciu štatistiku mohli počítať ako Q B = d K 1 d, použijeme z miulej kapitoly už aprogramovaý výpočet pre Q a áslede vzorec (7.2). Štatistiku Q B porovávame s kritickou hodotou χ 2 -rozdeleia s dvomi stupňami voľosti v bode 0,05 (=χ 2 2(0,05)). Ako sme to spravili už v miulých kapitolách, výstupom bude tvar itervalu spoľahlivosti pre skutočú pravdepodobosť zamietutia pravdivej ulovej hypotézy. Ako sme spomíali v teoretickom úvode k tomuto testu, dalo sa očakávať, že skutočá hladia výzamosti pri malom možstve dát bude ad požadovaými piatimi percetami. Graf 7.2 ale ukazuje zvýšeie hladiy výzamosti už pri pomere vysokých početostiach (okolo 180), iak povedaé iterval spoľahlivosti už pre väčšiu ašich eobsahuje hodotu 5 percet. Dokoca pre 50 sú stredom itervalu 31

39 p 0,11 0,10 hhα dhα 0,09 0,08 0,07 0,06 0, Obr. 7.2: Bhapkarov test - iterval spoľahlivosti pre α hodoty od 7 až k 10 percetám. Teto test sa javí ako evhodý pre áhodé výbery mešieho rozsahu. Majme teraz tabuľku typu 2 2. Hypotéza H 0 : p 1. = p.1, p 2. = p.2, ktorej platosť overujeme, je v tomto prípade totožá s hypotézou H 0 : p 12 = p 21. Preto by mohlo byť zaujímavé sledovať a rovakých tabuľkách, akú hladiu výzamosti bude mať Bhapkarov test v porovaí s McNemarovým testom. Algoritmus už máme viac meej hotový, stačí použiť te pre McNemarov test a keďže sme v tejto kapitole už uviedli, že pre k = 2 je štatistika Q rová tej z McNemarovho testu (vzorec (5.1)), dorátame Q B podľa (7.2). Použijeme dve ezávislé počítadlá pre zazameaie počtu zamietutí H 0 testami. Itervaly spoľahlivosti zapíšeme do rozličých textových súborov a áslede porováme graficky. Horá a dolá hraica budú mať ozačeie hhαm a dhαm pre McNemarov test a hhαb s dhαb pre Bhapkarov test. Keďže sme ešte pred simuláciou vedeli, že porovávame obe avzájom odlišé štatistiky s tou istou kritickou hodotou χ 2 1(0,05), tak sme očakávali ejaký rozdiel v samotých itervaloch spoľahlivosti. Čo sme ale evedeli je, aký bude teto rozdiel. Z obrázku 7.3 vidíme, že iterval spoľahlivosti pre Bhapkarov test je skoro celú dobu ad itervalom pre McNemarov test a už od ajväčšej početosti akú sme pri tejto simulácii použili (teda 77) eobsahuje požadovaú hladiu 5 percet. Itervaly sa spočiatku avzájom málo prekrývajú, postupe sa od seba začú pomaly vzďaľovať a akoiec z tohto obrázku máme, že asi od početosti 23 sa od seba vzdialia radikálejšie. Dolé a horé hraice u Bhapkarovho testu sa rýchlejšie zvyšujú, tie pre 32

40 p 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 hhαm dhαm hhαb dhαb Obr. 7.3: McNemarov a Bhapkarov test - porovaie itervalov spoľahlivosti pre α McNemarov test aopak rýchlejšie klesajú. Za prijateľejšiu považujeme možosť, kedy skutočá hladia výzamosti testu je ižšia ako zadaá, preto by pre ami vytvoreú situáciu pre mešie rozsahy áhodých výberov bol lepší test McNemarov. 33

41 Záver V tejto práci sme sa zamerali a iekoľko testov kotigečých tabuliek. V každej kapitole sme uviedli ajskôr všeobecú teóriu ku každému testu - kokréte stručý popis, ulovú hypotézu a testovaciu štatistiku. Taktiež sme popísali, ako aprogramovať simuláciu pre ami vopred zvoleý kokréty rozmer tabuľky. Výsledkom simulácie bol iterval spoľahlivosti pre skutočú pravdepodobosť chyby prvého druhu. Ak teto iterval eobsahoval omiálu hladiu výzamosti 5%, tak sme skutočú pravdepodobosť chyby 1. druhu považovali za iú ež 5%. Hraice itervalu sme zazameávali do textového súboru a v práci sme ich iterpretovali graficky. Prvá kapitola je veovaá testu ezávislosti a tabuľke rozmeru 3 4, ktorý je testom asymptotickým, a zároveň existuje podmieka pre každé pole tabuľky, aby test zachoval presosť. Preto sme ajskôr simulovali prípad, kedy sme ebrali do úvahy túto podmieku, a tým sme ašli zhruba od akej početosti už iterval spoľahlivosti pre skutočú pravdepodobosť chyby prvého druhu bol pod požadovaou hodotou päť percet. Potom sme geerovali tabuľky, v ktorých poliach bol ejaký presý počet porušeí podmieky a zisťovali sme, koľko podmieok musí byť porušeých, aby už iterval spoľahlivosti bol trvalo pod hladiou päť percet. Testom homogeity multiomických rozdeleí sa zaoberá druhá kapitola. Pri tomto teste ebola špecifikovaá bližšia podmieka okrem asymptotickosti. Zazameali sme, od akej celkovej početosti dát pri peve zvoleých pravdepodobostiach výskytu zakov už iterval spoľahlivosti espĺňal aše požiadavky. Nasledujúca kapitola popisuje iterakciu v štvorpoľých tabuľkách. Teto test taktiež požaduje vysoké možstvo dát. Simuláciou vyšlo ajavo, ako podstate klesá iterval spoľahlivosti pod očakávaú hodotu päť percet. Fisherov faktoriálový test tvorí ďalšiu kapitolu. Je určeý špeciále pre mešie početosti dát, ale z bibliografického zdroja vieme, že jeho hladia výzamosti je ižšia ako užívateľom zadaá. Toto očakávaie sa potvrdilo aj pri ašej simulácii. Istá miere odlišá verzia Fisherovho testu už bola aprogramovaá v štatistickom 34

42 softvéri R, preto sme tieto dva testy porovali a idetických tabuľkách. Fisherov test z Rka sa ukázal byť lepším, čo sa týka zachovaia požadovaej pravdepodobosti chyby prvého druhu. Keďže Fisherov test by mal byť používaý ako alteratíva testu ezávislosti v štvorpoľej tabuľke, keď je k dispozícii málo dát, porovali sme ho aj s týmto testom. Klasický χ-kvadrátový test ezávislosti sa prejavil ako lepšia voľba oproti obom verziám Fisherovho testu vzhľadom a kritérium uvádzaé aj v predchádzajúcom porovaí. V piatej kapitole popisujeme McNemarov test, pre ktorý je záma podmieka zachovaia presosti. Preto sme simulovali ajskôr situáciu, keď a túto podmieku eberieme ohľad, a áslede sme geerovali práve také tabuľky, aby táto podmieka eplatila. Pri tomto teste sme zazameali špecifický vývoj itervalu spoľahlivosti. Najskôr bol hlboko pod hladiou požadovaých päť percet, potom výraze stúpol až ad túto hladiu a áslede od ejakej početosti opäť klesol pod spomíaú hladiu výzamosti. Test symetrie sme simulovali pre tabuľky rozmeru 4 4. Iterval spoľahlivosti pre pravdepodobosť zamietutia pravdivej hypotézy testom už pri pomere vysokých početostiach klesol pod požadovaých päť percet, ale v tomto prípade sa tak stalo ajmä preto, že máme tabuľky až so šestástimi poliami. Posledá kapitola je zameraá a Stuartov a Bhapkarov test. Pri Stuartovom teste sme sa zamerali a tabuľky rozmeru 3 3 a opäť sme sa stretli so situáciou, kedy od istej početosti už bol iterval spoľahlivosti trvalo pod piatimi percetami. Vývoj simulácie pri Bhapkarovom teste sme z teoretických pozatkov o teste očakávali taký, že iterval spoľahlivosti bude so zmešujúcim počtom vstupých dát vyššie ako požadovaá hladia. Teto predpoklad potvrdila aj aša simulácia. Keby sme použili Bhapkarov test a štvorpoľú tabuľku, tak ulová hypotéza je totožá s tou pre Mc- Nemarov test. Pomocou jedého grafu sme iterpretovali správaie sa týchto dvoch testov a rovakých kotigečých tabuľkách. Nízke početosti ovplyvili itervaly tak, že tie pre Bhapkarov test sú výraze ad, a tie pre McNemarov test výraze pod, požadovaou pravdepodobosťou chyby prvého druhu. Pre každý test sme dospeli k ejakému záveru, čo sa týka potrebého ajmešieho možstva dát. Netreba však zabúdať ato, že pri testoch sme sa zamerali a jede, prípade dva kokréte rozmery kotigečých tabuliek. Aj pravdepodobosti výskytu zakov sme používali fixé. V tomto smere vidíme možosť rozšíreia práce do budúca - asimulovať oveľa viac prípadov, rôze rozmery tabuliek a pravdepodobosti výskytu štatistických zakov. 35