ODHAD PARAMETROV VŠEOBECNÉHO PARETOVHO ROZDELENIA SOFTVÉROM EVA V PROSTREDÍ JAZYKA R.

Transcription

1 ODHAD PARAMETROV VŠEOBECNÉHO PARETOVHO ROZDELENIA SOFTVÉROM EVA V PROSTREDÍ JAZYKA R. Abstrakt V prípade výskyt extrémnych hodnôt v databáze údajov je možné na ich popísanie zvoliť model prekročenia prah vyžitím všeobecného Paretovho rozdelenia (GPD). Príspevok sa zaoberá odhadom parametrov tohto rozdelenia vyžitím open sorce systém R prostredníctvom softvér Extreme vale analysis (EVA). Vyžitím balíka in2extremes možno po načítaní údajov do softvér realizovať analýz vhodnej voľby prah, odhad spomínaných parametrov. Interpretácia dosiahntých výsledkov je podporená aj graficko prezentácio výsledkov požitých metód. Predikci rozdelenia extrémnych škôd môže poisťovňa vyžiť pre realizáci riadenia rizika v súvislosti so zabezpečením jej solventnosti. Kľúčové slová Extrémne hodnoty, model prekročenia prah, všeobecné Pareto rozdelenie, open-sorce system R, package in2extremes, Extreme vale analysis (EVA), mean residal life plot. 1 MODEL PREKROČENIA PRAHU (THRESHOLD MODEL) V rámci analýzy extrémnych hodnôt sa bdeme zaoberať modelom prekročenia prah, ktorý bdeme aplikovať na databáz údajov, ktoré možno považovať pre jednodchosť za hodnoty náhodnej premennej X. Samozrejme, že je prirodzené považovať za extrémne dalosti tie hodnoty X, ktoré prekračjú rčitú hodnot tzv. prah prekročenia (threshold). Všeobecné Paretovo rozdelenie Náhodné premenné X / X, resp. X / X je možné popísať všeobecným Paretovým rozdelením. Stanovenie vhodnej hodnoty prah si vyžadje samostatnú analýz, v ktorej sa verifikácia opiera viac menej o grafickú prezentáci. Pre dostatočne veľké je distribčná fnkcia náhodnej premennej Y X / X približne rovná 1 y y H ( y) 1 1 ~, pre y a 1 (1) Náhodná premenná Y X / X sa riadi všeobecným Paretovým rozdelením (GPD generalized ~ Pareto distribtion). Ak, tak podmienené rozdelenie Y má hornú hranic. Ak, podmienené rozdelenie Y nemá hornú hranic. Pre strednú hodnot náhodnej premennej Y pre 1platí EY ( ) (2) 1 Keďže poznáme distribčnú fnkci náhodnej premennej Y X / X vieme rčiť aj distribčnú fnkci náhodnej premennej X / X. Pretože X Y, je distribčná fnkcia náhodnej veličiny X / X rovná 1

2 1 x H( x) 11 x (3) Náhodná premenná X / X sa riadi všeobecným Paretovým rozdelením s parametrami,,, čo môžeme zapísať GP,,. Ak dáta x1, x2, x3,..., x n, ktoré analyzjeme predstavjú hodnoty náhodnej premennej X, potom hodnoty náhodnej premennej X / X zapíšeme následovne xi : xi, i 1,..., n, resp. x,..., x 1 k. V súvislosti s náhodno premenno Y X / X jej hodnoty označíme y,..., 1 y j, kde y j x, j 1,..., k. j Opísanú sitáci môžeme graficky zobraziť na obr. 1. [2] Obr. 1 Model prekročenia prah. Na analýz dát (overenie rčenia hodnoty prah, odhad parametrov všeobecného Paretovho rozdelenia) vyžijeme niektoré balíky (packages) a príkazy systém R a špeciálne softvér EVA (Extreme vale analysis). Softvér je rčený pre analýz extrémnych hodnôt, pričom pre jeho požitie je ntná inštalácia balíka in2extremes. [6] > in2extremes() Obr. 2 Inštalácia package in2extremes a kážka rprostredia softvér EVA (Extreme vale analysis) Voľba úrovne prah pomoco grafickej analýzy. a) Výskmná metóda - mean residal life plot (graf priebeh priemerných rezidálov) (nevyžadje odhad parametrov) Uvažjeme o modeli prekročenia prah s nameranými hodnotami x,..., 1 x n, ktoré považjeme za hodnoty náhodnej premennej X. Zvoľme si úroveň a važjeme o 2

3 náhodnej premennej (3) pre 1[1] Pre úroveň, pre ktorej strednú hodnot E Y X / X potom pre E E Y platí Y 1 E Y 1 1 Pre ľbovoľné je E, xmax ležia body, veľké. Keďže pre odhad E premennej Y platí Y podľa vzťah (4), kde, sú konštanty. (5) Y lineárno fnkcio, ktorá závisí od prah. Preto pre E Y na priamke, za predpoklad, že je dostatočne Y súvisiaci s rozsahom súbor n hodnôt náhodnej Y n 1 n i 1 Y, (6) na identifikáci toho, či ž sme rčili dostatočne vysokú úroveň požijeme mean residal life plot (graf priebeh priemerných rezidálov), ktorý pozostáva z bodov kde i 1, y : x n n i max, (7) i 1 y je hodnota náhodnej premennej Y. E Y E X / X nazývame aj mean excess. Tie hodnoty, pre ktoré body graf ležia približne na priamke sú vhodné pre rčenie prah. Chceme rčiť taký prah, ktorý je čo najmenší, ale pre príslšné Y ž môžeme predpokladať, že majú zovšeobecnené Paretovo rozdelenie. Ak totiž zvolíme príliš vysoký prah, potom máme málo hodnôt náhodného výber Y i a príslšné odhady pomoco tohto náhodného výber majú veľký rozptyl. Vyššie vedená voľba úrovne je výskmná a realizje sa pred rčením odhad parametrov. Na zostrojenie mean residal life plot vyžijeme spomínaný softvér EVA, ktorý graficky zobrazí aj zvolené konfidenčné intervaly (confidence imtervals), obr. 8. Obr. 3 Výber databázy pre realizáci Mean residal life plot v prostredí softvér EVA. b) Voľba prah podľa stability parametrov. Pomoco mean residal life plot sa dá niekedy ťažko interpretovať vhodná voľba prah. Iný spôsob grafického rčenia vhodnej voľby prah, ktorý je založený na fitovaní GPD, resp. 3

4 odhade jeho parametrov ˆ a ˆ~ pre rôzne hodnoty prah je overovanie ich stability. Ak je vhodne rčená hodnota prah, tak pre platí, (8) kde, sú konštanty (pre všetky vhodné ). Ak je vhodný prah, tak pre sú parametre aj konštantné. [1] Hodnoty odhadov parametrov ˆ a ˆ~ pre zvolenú úroveň prah dostaneme metódo maximálnej vierohodnosti (maximm likehood estimates) vyžitím softvér EVA v prostredí systém R na karte Analyze (Extreme Vale distribtions), resp. v okne Fit EV Model. Odhad parametrov je možné realizovať pomoco balíka extremes a fnkcie fevd pre fitovanie všeobecného Paretovho rozdelenia (type= GP ) a hodnot prah (treshold=3), ktorú zhodo okolností vyžíva aj softvér EVA. Obr. 4 Fitovanie, resp. odhad parametrov GPD v prostredí EVA. Pre spomínané grafické overenie stability parametrov, je ntné na karte Plot zvoliť Fit POT models to range of thresholds, obr. 4 s výstpom v okne R Graphics, obr.9.[6] Obr. 5 Zadávanie vstpných údajov pre overenie stability parametrov, 2 PRAKTICKÁ REALIZÁCIA v prostredí EVA. Metodológi spracovania extrémnych hodnôt vyžitím fitovania všeobecným Paretovým rozdelením bdeme prezentovať na údajoch týkajúcich sa denných zrážok v jhozápadnom Anglick v priebeh rokov Tieto pozorovania sme získali zo systém R v balík 4

5 ismev, v ktorom sú tieto dáta označené ako rain s popisom Daily Rainfall Accmlations in Soth-West England. Obr. 6 Denných zrážok v jhozápadnom Anglick v priebeh rokov Časový vývoj spomínaných zrážok počas dní zobrazíme v systéme R v rámci jeho grafického rozhrania (R Graphics) pomoco príkaz Plot, ktorý zadáme v okne R Console v nasledovnom syntaxe [3],[4] plot(rain,main="daily rainfall data - soth-west England ",xlab="days",ylab="Daily rainfall (mm)",type="l") Na analýz dát rain vyžijeme softvér EVA (Extreme vale analysis)v grafickom prostredí systém jazyka R, ktorého riešiteľský aparát sme si predstavili v predchádzajúcej kapitole. V tejto časti príspevk si ešte predstavíme načítanie databázy do tohto softvér a potom zobrazíme výstpy jednotlivých krokov sktočnenej analýzy. Na úvod je údaje potrebné načítať a ložiť (Save As (in R)). V našom prípade z lokálneho disk (D), kde sme pre potreby načítania vytvorili z dát rain textový súbor rain.txt.[5] Obr. 7 Načítanie databázy pre sofvér EVA. Určíme hodnot prekročenia prah a odhadneme parametre všeobecného Paretovho rozdelenia v softvéri EVA. Graficko analýzo pomoco mean residal life plot s 95% konfidenčnými intervalmi a stability odhadntých parametrov overíme vhodnosť stanovenej hodnoty prah 3. Obr. 8 Mean residal life plot s 95% konfidenčnými intervalmi. Ako ž bolo spomenté táto metóda nie je pri praktickej realizácii jednodcho interpretovateľná. Vzhľadom na dokázanú lineárn závislosť a fakt, že nie sú potrebné 5

6 odhadnté hodnoty parametrov msíme brať do úvahy kladné aj záporné hodnoty koeficient. Vzhľadom na teóri popísanú v predchádzajúcej kapitole a fakt, že prah msí byť dostatočne veľký si z dvoch alternatív 3, resp. 6 vyberáme ako vhodne zvolenú hodnot prah (threshold) 3. V prípade 6 by bol totiž súbor pozorovaní veľmi malý. Metóda overovania stability parametrov je logicky založená na ich odhade, ktorý sme realizovali meódo MLE (maximm likehood estimates). Výstp softvér EVA v prostredí Workspace v systéme R [1] "Estimation Method sed: MLE" Estimated parameters: scale shape To znamená, že v prípade hodnoty 3 sú odhadnté hodnoty GPD ˆ( scale) 7,44 a ˆ( shape),184. Na základe teórie popísanej v predchádzajúcej kapitole overíme graficky vhodnosť zvoleného prah tak, že zobrazíme závislosť reparametrizovaného scale t.j. a parametra shape od hodnoty prah (threshold).. Obr. 9 Výstp softvér EVA v prostredí R Graphics - grafické overenie stability parametrov Hodnot prah 3 možno označiť za vhodne zvolenú vzhľadom na vizálne potvrdenie stability reparametrizovaného parametra a parametra. Záver R je jazyk a zároveň prostredie vhodné pre realizáci štatistických výpočtov a tvorb grafických výstpov. Relatívne ľahko možňje pridávať veľké množstvo balíčkov, ktoré zjednodšjú prác žívateľa. V prípade potreby vytvorenia žívateľského grafického rozhrania (GUI- graphical ser interface) je ntné vyžiť nadstavb R Commander. V tejto súvislosti sa vytvára priestor pre vyžitie tohto prostredia, resp. jazyka R v rámci riešenia rôznych úloh z oblasti teórie rizika v neživotnom poistení. Požitá literatúra 1 Coles, S. (27), An introdction to Statistical Modeling of Extreme Vales, London Springer. 2 Embrechts, P., Klüppelberg, C. and Mikosch, T. (1997). Modeling extremal events for insrance and finance, Berlin, Springer. 6

7 3 McCown, Frank. (26) Prodcing Simple Graphs with R, online (214) na: < 4 W. N. Venables, D. M. Smith, and the R Development Core Team ( ). An Introdction to R, online (214) na < 5 R Development Core Team (2-213). R Data Import/Export, online (214) na < > 6 Gilleland, E. and Katz, R. W. (211) New software to analyze how extremes change over time. Eos., < Kontaktné údaje Mgr. Vladimír Mcha, PhD., Katedra matematiky a aktárstva, Faklta hospodárskej informatiky, Ekonomická niverzita v Bratislave, Dolnozemská cesta 1, Bratislava, tel / , vladimir.mcha@eba.sk 7