Optimálne zaistenie stanovené hodnotou VaR resp. CVaR

Transcription

1 Otimálne zaistenie stanovené hodnotou VaR res. VaR Galina Horáková, Juraj oljovka 1 Abstrakt ieľom rocesu riadenia rizík, ktorý nasleduje o etae hodnotenia rizík, je navrhnutie otimálneho sôsobu zníženia rizika na rijateľnú mieru rizika. rísevok uvádza sôsob redukcie revzatého rizika oisťovateľom otimálnym zaistením stanoveným na základe hodnôt VaR a VaR. Tento ostu umožňuje vytvoriť otimálny scenár redukcie rizika konkrétnym zaisťovacím reťazcom Kľúčové slová Hodnota VaR, hodnota VaR, zaistenie kvótové, excedentné vzhľadom na oistnú sumu, excedentné vzhľadom na výšku škody, otimalizačné kritériá, redukci rizika 1. Úvod Jedným z hlavných cieľov v riadení rizík je ocenenie a zlešenie výkonu finančných organizácií vzhľadom na fakt, že revzaté riziko dokáže dosahovať zisky. A ráve odhad maximálne možnej veľkej škody, res. straty a odmienenej hodnoty v riziku sú často oužívané oatrenia v tomto rocese. Je dobre známe, že zaistenie je účinným nástrojom re riadenie rizík oisťovateľa. Zabezečiť stabilitu ortfólia oistných zmlúv môžeme stanovením otimálnych arametrov zaistenia oužitím niektorého z otimalizačných kritérií. Je to nar. kritérium založené na strednej hodnote a roztylu, ktoré možno nazvať kritérium minimálneho roztylu. Zaoberá sa minimalizáciou roztylu zisku oisťovateľa ri fixnom očakávanom zisku. Jeho ekvivalenciou je maximalizácia očakávaného zisku ri odmienke fixného roztylu. Toto kritérium môžeme zmeniť na kritérium minimalizovania ravdeodobnosti krachu [ 3 ]. K orovnateľným výsledkom dosejeme aj využitím otimalizačného kritéria založeného na hodnote VaR res. VaR, ktorú uviedli v roku 2007 nar. ai a Tan. ieľom rísevku je stanoviť a analyzovať otimálny zaisťovací reťazec na základe rôznych rístuov kalkulácie oistného, res. zaistného, uviesť ostuy re ríad najoužívanejších zaisťovacích ochrán, včítanie možností, že daná analyzovaná ochrana re konkrétne dáta nemusí existovať. V niektorých ríadoch sa dajú formálne vyjadriť nutné a ostačujúce odmienky otimálneho zabezečenia. Budeme racovať v odmienkach ektívneho modelu rizika [] a vlastný vrub budeme ovažovať za otimálny, ak tento bude minimalizovať hodnoty VaR res. VaR, včítanie nákladov na ríslušné zaistenie. Najskôr uvedieme otrebné redoklady, a základné definície. 1 Doc. RNDr. Galina Horáková, c., Ekonomická univerzita v Bratislave, Fakulta hosodárskej informatiky, Dolnozemská cesta 1, Bratislava, lovensko, horáková@euba.sk Mgr. Juraj oljovka, Ekonomická univerzita v Bratislave, Fakulta hosodárskej informatiky, Dolnozemská cesta 1, Bratislava, lovensko, oljovka@euba.sk

2 2. Matematické ozadie riešeného roblému 2.1 Analýza výočtu hodnot VaR a VaR z hľadiska oistných rizík Nech náhodná remenná oisuje ríslušné riziko a nech mieru tohto rizika označíme vo všeobecnosti δ. Koherentná miera rizika je taká, ktorá má nasledujúce štyri vlastnosti re ľubovoľné dve takéto náhodné remenné a Y: 1. subadivitu : δ ( Y ) δ δ ( Y ) 2. monotónnosť: ak Y re všetky možné výsledky, tak δ δ ( Y ) 3. homogenitu: re každé c R latí δ ( c ) = cδ 4. invariantnosť: re každé c R latí δ ( c ) = c δ Jednou z najoužívanejších mier rizika je hodnota VaR, ktorú možno slovne definovať ako maximálne možnú veľkú škodu, ktorá môže nastať s konkrétnou ravdeodobnosťou. Teda Value-at-Risk náhodnej remennej oisujúcej škodu s ravdeodobnosťou je 100% kvantil, označovaný VaR alebo x a re 0 < < 1 latí ( x ) = (1) res. VaR = inf { x R : F ( x) } ( ) (2) ri výočtoch založených na hodnote VaR treba brať do úvahy určité obmedzenia, retože súčet týchto hodnôt z dvoch subortfólií môže byť väčší ako súčet individuálnych hodnôt z jednotlivých subortfólií. A ráve alternatívnou mierou rizika je odmienená hodnota v riziku VaR známa ako onditional Tail Exectation alebo tiež Tail VaR. Je to vlastne sresnenie odhadu hodnoty v riziku, ktorý možno oužiť v ríade sojitých ale aj diskrétnych ríadoch V orovnaní so štandardným meradlom rizika, s hodnotou VaR, je teda VaR výhodnejšia, retože, na rozdiel od VaR, je koherentnou mierou. Na vyjadrenie hodnoty VaR zaveďme náhodnú remennú Y, ktorá súvisí aj so zaistením excess of loss. Nech je náhodná remenná označujúca škodu, re ktorú latí ( > ) > 0. otom náhodnú remennú, rebytočnú škodu Y =, > možno vyjadriť vzťahom V ríade, že hodnota škodu môžeme vyjadriť = x 0 x < Y = ( ) = (3) x, distribučnú funkciu náhodnej remennej oisujúcej rebytočnú 0 FY ( ξ ) = F ( ξ ) (1 ) ξ > VaR ξ VaR V raxi ravdeodobnosť je zvyčajne veľká, vyššia ako 95%. Hodnota E( Y ) = E( x / > x ) (5) sa nazýva stredná hodnota rebytočnej škody (mean excess loss) a túto hodnotu vyjadríme ako rvý začiatočný moment náhodnej remennej Y. latí (4)

3 x ( x x ) f ( x) d x (1 F ( x))dx x E( Y ) = = 1 F ( x ) 1 F ( x ) (6) Hodnota VaR na hladine soľahlivosti 100%, je očakávaná škoda v ríade, že škoda rekročí kvantil x rozdelenia náhodnej remennej. latí ( ) x f ( x)d x x x f ( x)d x x f ( x)dx x x x VaR = E( / > x ) = = ( > x ) ( > x ) čo možno zaísať aj ako VaR = E( Y ) x (8) kde E( Y ) je stredná hodnota rebytočnej škody definovaná vzťahom (6). Teda hodnota VaR ( ), riemer zo všetkých škôd, ktoré resahujú VaR náhodnej remennej je vyššia, ako hodnota VaR. redchádzajúce odvodenia sa dajú využiť aj re zložené rozdelenia, a to re triedu nielen sojitých, ale aj diskrétnych rozdelení, ktoré oisujú celkovú škodu. Ak zvážime nar. náhodnú remennú ktorá rerezentuje rozdelenie celkovej škody, ričom výška individuálnej škody je diskrétna, hodnotu VaR ( ) vyjadríme odľa vzťahu ( x x ) ( x) x H VaR ( ) = E( / > x ) = x = ( > x ) ( ) ( ) x x ( x) x x ( x) x H x H = x = ( > x ) ( ) E( ) x x x ( x) x< x = x ( > x ) kde x = VaR ( ). re konkrétne zložené rozdelenia sa dajú tieto hodnoty jednoducho odvodiť a dávajú veľmi dobré odhady hodnoty VaR. 2.2 Otimalizácia hodnôt VaR a VaR re konkrétnu zaisťovaciu ochranu Aby sme mohli ďalej okračovať v analýze, vyjadríme na základe vzťahu (7) a invariantnosti vzťah medzi VaR a VaR aj takto: 1 VaR = VaR (1 F ( x))dx 1 (10) VaR riomeňme, že v ríade absencie zaistenia, je oisťovateľ vystavený škode, ktorú oisuje náhodná remenná. Naoak riziko zaisťovateľa sa remietne do nákladov oisťovateľa. Teda zníži sa riziko na úkor vzniku zaistného. re oisťovateľa latí (7) (9) Z = (11)

4 V závislosti na rijatom oistnom označme náklady na zaistné Π( Z ) a v dôsledku toho celkové náklady ri konkrétnej zaisťovacej ochrane oisťovateľa vyjadríme súčtom = Π Z (12) Na základe tohto vzťahu a vzhľadom na invariantnosť dostaneme Z VaR = VaR Π (13) res. Z VaR = VaR Π (14) čo vzhľadom na (10) vedie k vyjadreniu hodnoty, ktorú budeme minimalizovať. Teda 1 Z VaR ( ) = VaR (1 F ( x))d x Π 1 (15) VaR Naríklad ri roorcionálnom zaistení, konkrétne re kombináciu kvótového zaistenia a surlus zaistenia vzťah (15) rejde do vyjadrenia 1 Z VaR ( q, ) = VaR ( q, ) (1 F ( x))d x Π(, q, ) q 1 (16) VaR ( q, ) kde q je kvóta vlastný vrub oisťovne re zaistenie surlus. V ríade neroorcionálneho zaistenia je situácia zložitejšia. ri excedentnom zaistení vzhľadom na výšku škody možno oísať výšku škody zaisťovateľa vzťahom (3) a výšku škody oisťovateľa x < = (17) x kde redstavuje rioritu, z čoho re hodnotu v riziku vylýva 0 < VaR VaR( ) = VaR VaR a základe tohto vzťahu a vzťahu (13) dostaneme vyjadrenie re VaR ( ), hodnotu ktorá redstavuje maximálnu škodu oisťovateľa ri zaistení excess of loss včítanie nákladov na túto ochranu s ravdeodobnosťou. K tejto hodnote sa vzťahuje nasledujúce tvrdenie. re každé 0 a 0 < < 1 F (0) je [ ] [ ] ( ) Π VaR( ) = VaR Π( ) 0 < VaR VaR (18) (19) Navyše, z (19) a skutočnosti, že 0 < VaR ( ) máme VaR ( ) VaR ( ) (1 F ( x))d x = (1 F ( x))dx = VaR 0 (1 F ( x))dx 0 VaR > VaR (20) Z (15) a (20) dostaneme vyjadrenie hodnoty VaR ( ). re každé 0 a 0 < < 1 F (0) latí

5 [ ] Π( ) 0 < VaR VaR ( ) = 1 (21) VaR (1 F ( x))d x Π( [ ] ) 1 VaR VaR Aj v tomto ríade vyjadrenie odmienenej hodnoty v riziku je závislé od hodnoty riority. Uvedený ostu je oužiteľný nar. re rincí kalkulácie oistného odľa strednej hodnoty, Rθ = E θ E, θ > 0 (22) res. rincí diserzie Rδ = E δ D, δ > 0 (23) Treba zdôrazniť, že oistné rincíy, ktoré sa bežne oužívajú v raxi a to odľa charakteru cieľov, nemusia nevyhnutne sĺňajú všetky vlastnosti. re všetky zaisťovacie ochrany však latí, že menšie odstúené riziko zaisťovateľovi znamená nižšie náklady na zaistenie. Na druhej strane, nižšie riziko oisťovateľa sa dosiahne na úkor vyššieho zaistného. roblém otimálneho zaistenia v odstate rieši otimálne stanovenie a Z, teda komromis medzi rizikom a ziskom. Ten kvalitne určíme otimalizáciou hodnôt VaR ( ) res. VaR. ri kvótovom zaistení VaR = min VaR (24) q q q ( 0;1) VaR = min VaR (25) q q q kde q je otimálna kvóta, analogicky využitím modelu otimálneho neroorcionálnom zaistenia VaR = min VaR (26) ( 0;1) ( 0; ) ( 0; ) VaR = min VaR (27) získame otimálnu rioritu. Možno konštatovať, že modely sú relatívne jednoduché a intuitívne ríťažlivé. Využívajú základnú myšlienku riadenia rizika, že oisťovateľ má záujem o minimalizáciu rizík. Na základe vyššie uvedených otimalizačných modelov sú celkové náklady na krytie rizika včítanie zaistného otimálne znížené na minimum. 3. Alikácia ostuu na stanovenie otimálnej hodnoty VaR a VaR re zaisťovaciu ochranu zloženú z kombinácie kvótového zaistenia s excedentným zaistením vzhľadom na oistnú sumu Uvedeným ostuom analyzujme vhodnosť redukcie rizika kvótovým a následným excedentným zaistením vzhľadom na oistnú sumu. Riziko je oísané očtom škôd s oissonovým rozdelením N ~ o(100) a výškou individuálnej škody s gama rozdelením ~ Γ (5; 2). Náhodná remenná redstavuje celkovú škodu z daného ortfólia, ktorá sa riadi zloženým oissonovým rozdelením, v odmienkach ektívneho modelu rizika, s distribučnou funkciou 100 n 5n 1 i i 2 x e 100 x 2 F ( x) = 1 e, x > 0 n= 1 n! i= 0 i! otrebnú očakávanú škodu a diserziu vyjadríme na základe vstuných údajov odľa ľahko odvoditeľných vzťahov. Teda

6 E( ) = E( N) E = 250 D E N D E D N 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 750 Maximálna škoda je VaR0,99 ( ) = x0,99 = 313,709. j. Hodnota VaR0,99( ), vyočítaná odľa vzťahu (7) res. (8) je 323,01. j. otrebný ekonomický kaitál na krytie tohto rizika je teda 63,709. j. Navyše, ak budeme kalkulovať oistné odľa (23) nar. re δ = 0,1, je očakávaný zisk bez zaistenia 75.j., re δ = 0,15 je očakávaný zisk 112,5. j. Uvažujme zaisťovací reťazec ozostávajúci z kvótového zaistenia s kvótou q a následne surlus zaistenia, ričom redokladom je, že vlastný vrub bude nižší, ako oistná suma. Zaisťovaciu ochranu budeme ovažovať za otimálnu, ak náklady na krytie rizika budú minimálne. tanovíme ju na základe modifikovaného vzťahu (13) res. (16). Dostaneme Z VaR = VaR Π q, q, q, Toto vyjadrenie na základe vlastností roorcionálneho zaistenia a oužitím rincíu diserzie (23) sa následne šecifikuje odľa tyu zaisťovacej ochrany. V našom ríade vyjadríme hodnotu VaR(, ) = q q VaR ( ) (1 q) E( ) (1 q) D( ) q q (1 ) E( ) ξ 2 2 q (1 ) D( ) ξ ktorá, ak bude uvažovať nar. rirážku na kvótové zaistenia ξ 0,16, rirážku na surlus q = zaistenie ξ = 0, 2 a oistnú sumu = 100. j., nadobudne svoje minimum re hodnoty q = 0, a = 71, re takto nastavené zaistenie bude s ravdeodobnosťou 0,99 maximálna škoda ( VaR ) 0,99 q, =163,81335 q 0,99 q, VaR δ ( E Z ) 0, , , ,1 59,77971 VaR ( ) 168,67017 = 0,15 97, ,99 q, Tab.č.1: Maximálna škoda s ravdeodobnosťou 0,99 ri otimálnej kombinácii kvótového a excedentného zaistenia na oistnú sumu = 100. j. re takú istú situáciu analogicky vyšetríme extrém funkcie dvoch remenných q a, vyjadrenej odľa vzťahu (16). Dostaneme 1 Z VaR ( q, ) = VaR ( q, ) (1 F ( x))d x Π(, q, ) q 1 VaR ( q, ) a o úrave q VaR VaR (1 F ( x))d x Z q, = q, Π 1 VaR ( ) q, Minimum tejto funkcie nastane v stacionárnom bode q =0,69579; =65, Overením ostačujúcej odmienky môžeme tvrdiť, že minimálna odmienená hodnota v riziku ri kombinácii kvótového a excedentného zaistenia na oistnú sumu = 100. j. je ( VaR ) 146,1378 = 0,99 q, q,

7 q 0,99 q, VaR ( ) δ E( Z ) 0, , ,1378 0,1 55, VaR 141,92979 = 0,99 q, q, 0,15 92, Tab.č.2: Otimálna kombinácia kvótového a ecedentného zaistenia na oistnú sumu = 100. j. minimalizujúca odmienenú hodnotu v riziku Tabuľky č. 1 a č.2 uvádzajú re orovnanie zníženie očakávaného zisku v ríade skúmaného zaistenia a vlyv rizikovej rirážky na tento zisk Obr. 1 Grafické znázornenie redukcie rizika kombináciou kvótového zaistenia s excedentným zaistením vzhľadom na oistnú sumu omocou ríslušných distribučných funkcií Záver Hľadanie otimálnej zaisťovacej ochrany je aktuálny roblém, ktorý do oredia kladie aj QI5. tanovenie otimálneho zaisťovacieho rogramu, ktorý minimalizuje riziko, a ktorý je založený na znalosti hodnôt VaR a VaR, je raktické a účinné. Tento ostu onúka možnosť tvorby otimálnych scenároch rôznych kombinácií zaisťovacích ochrán včítanie limitov zaisťovateľa. Ich orovnanie umožňuje vybrať najvhodnejšiu stratégiu zaistenia. Literatúra [1] BOWER N L., GERBER, H.U., JONE, D. A., NEBITT,. J.: Actuarial Mathematics. The ociety of Actuaries, Itasca, Illinois, 1996 [2] IRA,T.: Kaitálová řiměřenost ve financích a solventnost v ojišťovnictví. Ekoress, s. r. o. raha, 2002 [3] DIKON, D.. M., WATER, H.R.: The distribution of the time to ruin in the classical risk model. ATIN Bulletin [4] HORÁKOVÁ, G.: Otimálna vlastný vrub oisťovne. Ekonomické a adatačné rocesy Ostrava: Medzinárodní vědecká konference ři říležitosti 29. výročí založení fakulty.

8 [5] HORÁKOVÁ, G.: Možnosť redukcie oistného rizika zaistením. borník abstraktu a rezentací z vedeckého seminára a medzinárodnou účasťou Modelování, simulace a rízení ojistných rizik, Fakulta ekonomicko-srávní Univerzity ardubice, ardubice, 2009, borník abstrak-tu-1 str., borník rezentácií [6] HORÁKOVÁ, G.: Analýza rizikovosti ortfólia oistných zmlúv neživotného oistenia. Řízení a modelování finančních rizik. borník řísěvkú ze 4. mezinárodní vědecké konference. Ostrava 2008 [7] HORÁKOVÁ, G., MUHA, V.: Teória rizika v oisťovníctve1,2 EKONÓM 2006, 2008 [8] KOZUBÍK, A.: Large Deviations rincile in Risk Theory, zborník rísevkov z 5. vedeckého seminára,, oistná matematika v teórii a raxi, Bratislava 2005 [9] ANJER, H., LUTEK, B.: ractical asects of sto loss calculations. Mathematics and Economics,2, [10] ANJER,H.: Oerational Risk. Wiley series in robability and tatistics, 2006 [11] TAN, K., WENG, H., ZHANG, Y.: VaR and TE criteria for otimal quota-share and sto-loss reinsurance. North American Actuarial Journal, Volume 13, Number 4 ummary The search for otimal reinsurance rotection is a current roblem, which QI5 has also brought to the forefront. Basing an otimal reinsurance rogramme on knowledge of VaR and VaR values is both ractical and effective. This aroach minimises risk and offers the scoe of creating otimal scenarios of various combinations of reinsurance rotection, taking into account reinsurers limits. By comaring and analysing these scenarios it is ossible to ick the most effective reinsurance strategy. The method is alied to a combination of quota reinsurances with surlus reinsurance. rísevok vzni v rámci rojektu VEGA 1/0724/08