FREKVENČNÁ ANALÝZA NÁHODNÝCH PROCESOV, ODHADY SPEKTRÁLNEJ HUSTOTY FREQUENCY ANALYSIS OF RANDOM PROCESSES, ASSESSMENT POWER SPECTRAL DENSITY

Size: px

Start display at page:

Download "FREKVENČNÁ ANALÝZA NÁHODNÝCH PROCESOV, ODHADY SPEKTRÁLNEJ HUSTOTY FREQUENCY ANALYSIS OF RANDOM PROCESSES, ASSESSMENT POWER SPECTRAL DENSITY"

Chester Clarke
5 years ago
Views:

1 44 FREKVEČÁ AALÝZA ÁHODÝCH PROCESOV, ODHADY SPEKTRÁLEJ HUSTOTY FREQUECY AALYSIS OF RADOM PROCESSES, ASSESSMET POWER SPECTRAL DESITY Ján Pršan, Marian Kučera, Marian Kučera Abstract The base and start oint of all methods of laboratory simulation of random rocesses is generation of random numbers with given distribution and set statistical attributes. To generate random numbers, we alied own software. The rogram enables generating sets of random numbers for normal distribution. The set of random numbers had undergone statistical analysis using statistical dynamics methods. Low-ermeable numeric filter was alied. After filtration, the analysis results showed that the ower sectrum is relatively low. This has been confirmed also by the Fisher test. For rocess there are imortant frequencies, ranging from the interval of 0,4050 Hz 3,7465 Hz, the most statistically significant frequency is,363 Hz. For rocess there are 5 imortant frequencies, ranging from the interval of 0,5063 Hz 3,7465 Hz, the statistically most significant frequency is,06 Hz. Frequency sectrums can be used as inut arameters of rationalizing and otimizing methods of tool and machinery design modification. Key words: statistical dynamics, stochastic rocess, random numbers, normal distribution, autocorrelation function, ower sectral density Úvod áhodný roces je náhodná funkcia času. Hodnota náhodnej funkcie re každú hodnotu nezávisle remennej je však náhodná veličina, takže náhodná funkcia je rerezentovaná nekonečným súborom náhodných veličín, ktoré závisia na nezávisle remennej (ri náhodných rocesoch na čase). Jednotlivé členy súboru môžu byť zistené exerimentálne sú to tzv. realizácie náhodného rocesu. Z matematického hľadiska sa od ojmom náhodný roces cháe súbor všetkých možných realizácií so soločnými štatistickými vlastnosťami. Z fyzikálneho hľadiska sa od ojmom náhodný roces rozumie jav, ktorý v čase rebieha náhodne. Aj keď oznáme riebeh niekoľkých realizácií, nemôžeme určiť riebeh ďalšej realizácie. Taktiež znalosť riebehu realizácie v minulosti neumožňuje určiť riebeh tejto realizácie do budúcna. Vlastnosti náhodného rocesu môžu byť oísané len štatisticky. V každej technickej raxi často hovoríme o náhodnom rocese, ričom ide v skutočnosti o realizáciu náhodného rocesu. Základom a východiskovým krokom všetkých metód laboratórnej simulácie náhodných rocesov (na číslicovom očítači) je generovanie náhodných čísel so zadaným rozdelením a určenými štatistickými vlastnosťami. Kontaktná adresa: doc. Ing. Ján Pršan, PhD, doc. Ing. Marián Kučera, PhD, Ing. Marián Kučera Katedra konštruovania strojov TF SPU, Tr. A. Hlinku, itra, tel jan.rsan@uniag.sk, marian.kucera@uniag.sk

2 45 áhodné rocesy sú vo svojej odstate zložitejšie ako rocesy deterministické, reto je rirodzené, že tak ráca s nimi, ako aj zodovedajúce exerimentálne zariadenie na ich registráciu a vyhodnocovanie sú tiež zložitejšie. Okrem toho vlastné odmienky, za ktorých sa revádzkové náhodné rocesy snímajú, majú rozhodujúci vlyv na kvalitu vyhodnotených výsledkov. Preto je otrebné venovať im oveľa väčšiu ozornosť ako rocesom deterministickým. Materiál a metódy Priebehy nasimulovaných realizácií o transformácii údajov do PC boli uravené osobitými rogramovými ostumi (filtrácia, základné deterministické arametre náhodnej realizácie, test stacionarity a test trendu re strednú hodnotu a roztyl, histogram, dištribučná funkcia. Po akumulácii súboru diskretizovaných arametrov v amäti očítača boli stanovené tieto hodnoty: Stredná hodnota závislá od času i m( ti ) ( i) () i i kde: i - je dĺžka zvoleného intervalu I je očet hodnôt v realizácii I je očet hodnôt zvoleného intervalu. Centrované hodnoty rocesu ( i) ( i) m( ti ) Roztyl náhodnej veličiny ( x mx ) f ( x) dx Dx () Smerodajná odchýlka náhodnej veličiny x D (3) x Po výočte základných štatistických charakteristík je otrebné zistiť stacionárnosť, rí. nestacionárnosť rocesu alikovaním vhodného testu. a osúdenie stacionárnosti rocesu v rámci korelačnej teórie sa stačí zaoberať vlastnosťami strednej hodnoty, roztylu a autokorelačnej funkcie. Ak reukážeme, že stredná hodnota a roztyl sú konštantné na celej vyhodnocovacej dĺžke rocesu a autokorelačná funkcia závisí iba od rozdielu časových okamžikov = t - t, roces je stacionárny. Autokorelačná funkcia re diskrétne zistené hodnoty bude r R ( r) ( n) ( n r) (4) r n kde: r = 0,,,..., m Sektrálna výkonová hustota je definovaná základným vzťahom 0 S ( ) R cosd (5) Úravou dostaneme vzťah, jednoducho oužiteľný v očítačovom algoritme m l t l S R (0) R ( )cos r R ( m)cos( l) (6) m t r m kde: l = 0,,,..., m.

3 46 Takto sracované funkcie boli vizualizované graficky a vyhodnotené z hľadiska stacionarity a ergodičnosti ako aj významnosti výkonu sektra v závislosti od relevantných frekvencií. Okrem významnosti deterministických funkcií stochastických rocesov, ako distribučnej variácie jednorozmernej remennej autokorelačnej funkcie, je re určenie výkonu stanovených sektier vo frekvenčnom sektre funkcia sektrálnej výkonovej hustoty. Významnosť zistených frekvencií v našom rocese bola otvrdená Fisherovým testom. Pre ostunosť náhodných veličín x,x,..., x n, definujeme funkciu I(λ) vzorcom it I( ) x t e, - (7) T Funkcia I(λ) sa nazýva eriodogram ostunosti x,..., x n. Aby sme mohli ľahšie vyšetrovať štatistické vlastnosti eriodogramu, boli odvodené iné tvary vzťahu (8), ako uvádzame ďalej. ech C k k x x, k 0,,..., t tk (8) T otom I( ) (C0 C k k cos k) (9) Periodogram nadobúda vysoké hodnoty v bodoch, ktoré odovedajú frekvenciám λ,..., λ. R. A. Fisher odvodil test, ktorým sa dá zistiť štatistická významnosť najvyšších hodnôt eriodogramu. Takto stanovíme významné frekvencie λ,..., λ eriodogramu. Výsledky a diskusia V redkladanom rísevku sú realizované simulácie realizácií dvoch náhodných rocesov na ktoré sú alikované metódy štatistickej dynamiky v rámci korelačnej teórie stochastických rocesov a alikácia testu Fishera re zistenie štatistických významnosti najvyšších hodnôt eriodogramu, čím sme zistili signifikantné eriodicity určitých frekvencií (najvyšších), ako aj štatistické významnosti ďalších frekvencií (vyšších harmonických kmitov). Vyhodnotením riebehov a ich sracovaním sme zistili: Priebeh oboch histogramov rozdelenia očetnosti sa ribližuje k definovanému normálnemu rozdeleniu. Teda je možno konštatovať, že generovanie čísel rebehlo odľa vored zadaných štatistických vlastností. Autokorelačné funkcie majú štandardný riebeh, teda sa z maximálnych hodnôt (v čase t = 0 s) utlmia. Jednotlivé sektrálne výkonové hustoty a eriodogramy solu veľmi dobre korešondujú, čo oukazuje na srávnosť vyočítaných hodnôt. Sracovaný riebeh realizácií môže byť vstuným arametrom analýz torzných vibrácií v transmisiách a mechanizmoch ohonu strojov, ktorými sa zaoberajú redmety z teórie oľnohosodárskych strojov a častí alikovanej mechaniky a ružnosti. Vo významnej miere sa redkladané oznatky využívajú v teórii náhodného kmitania. Získané informácie môžeme využiť ďalej ri životnostných alikáciách, osúdení dynamických vlastností a odhad soľahlivosti ri tyickom revádzkovom zaťažení. Ďalej sa môžu vyhodnocované a oisované riebehy a ich frekvenčné sektrá využiť ako vstuné arametre racionalizačných a otimalizačných metód úravy konštrukcie oľnohosodárskeho náradia a strojov, ako aj vstuné arametre zaťaženia ri skúškach adhezívneho ootrebenia ri tribologických exerimentoch.

4 47 Tabuľka Test Fishera roces Table Fisher test roces j Lambda(j) T (j) I (Lambdaj).0*6 W Wkrit FREQ Poradie 3 0, , ,00 0,0375 0,0095, ,090 74, ,00 0,076 0,0095 0,93 6 0, , ,00 0,035 0,0095, ,0865 7, ,50 0,066 0,0095 3, ,008 67, ,00 0,06 0,0095 0, , , ,00 0,056 0,0095 3, ,0608 0, ,00 0,048 0,0095, ,05599, ,50 0,037 0,0095,76 8 0, , ,00 0,039 0,0096, , , ,00 0,039 0,0096 0, , , ,00 0,08 0,0096, ,0687 9, ,50 0,0 0,0096, , , ,75 0,00 0,0096 3, , , ,00 0,07 0,0096, , , ,75 0,00 0,0096, , , ,75 0,0 0,0096, , , ,5 0,0 0,0096 3, ,07 493, ,5 0,0 0,0096 0, , , ,50 0,006 0,0096, , , ,00 0,006 0,0096, ,057 4, ,50 0,0097 0,0096 0,6075 Tabuľka Test Fishera roces Table Fisher test roces j Lambda (j) T (j) I (Lambdaj).0*6 W Wkrit FREQ Poradie 0 0, , ,00 0,039 0,0095,06 7 0, , ,00 0,0397 0,0095,73 4 0,0608 0, ,00 0,04 0,0095, , , ,00 0,074 0,0095, , , ,50 0,069 0,0095 0, ,07 493, ,50 0,056 0,0095 0, , , ,50 0,054 0,0095, , , ,50 0,046 0,0095,5 8 0,0799 4, ,00 0,044 0,0096, , , ,50 0,04 0,0096, ,096 68, ,00 0,036 0,0096 3, ,090 74, ,50 0,007 0,0096 0, , , ,00 0,004 0,0096 3, ,076 88, ,5 0,004 0,0096, ,0687 9, ,50 0,000 0,0096,7339 5

5 48 Záver Základom a východiskovým krokom všetkých metód laboratórnej simulácie náhodných rocesov je generovanie náhodných čísiel so zadaným rozdelením a určenými štatistickými vlastnosťami. Pre generovanie náhodných čísel sme oužili vlastný softvér. Program umožňuje generovať súbory náhodných čísel re normálne rozdelenie. Súbory náhodných čísel boli odrobené štatistickej analýze s oužitím štatistických dynamických metód. Alikovaný bol nízko-rieustný číslicový filter. Po filtrácií, štatistická analýza ukázala, že silové sektrum je relatívne nízke. Toto bolo tiež otvrdené Fisherovým testom. Pre rvý roces je signifikantných významných frekvencií, z intervalu 0,4050 Hz 3,7465 Hz, štatisticky najdôležitejšia frekvencia je,363 Hz. Pre druhý roces je signifikantných 5 významných frekvencií, z intervalu 0,5063 Hz 3,7465 Hz, štatisticky najdôležitejšia frekvencia je,06 Hz. Frekvenčné sektrá môžu byť oužité ako vstuné arametre ri racionalizácií a otimalizácií metód úravy strojárskych návrhov. Použitá literatúra. ADĚL, J.: Statistická analýza časových řad.. vyd., Praha: STL, 976, 53 s.. BEDAT, J.S. PIERSOL, A.G Engineering alications of correlation and sectral analysis. ew York: Wiley, BEDAT, J.S. PIERSOL, A.G. 97. Random data: Analysis and Measurement rocedures. ew York: Wiley, ČAČKO, J.- BÍLÝ, M.- BUKOVECZKÝ, J.: Meranie, vyhodnocovanie a simulácia revádzkových náhodných rocesov.. vyd., Bratislava: Veda, 984, 0 s. 5. FISHER, R. A.: On the similarity of the distributions found for the test of significance in harmonic analysis and in Steven's roblem in geometrical robability. Annals of Eugenics, 0, 940, s KUČERA, M.: Tribologický exeriment a analýza roduktov ootrebenia. Tribological exeriment and analysis of roducts of wear-out. In: Zborník vedeckých rác ové trendy v konštruovaní a v tvorbe technickej dokumentácie 006, 5. máj 006, itra: Slovenská oľnohosodárska univerzita, 006, s ISB MATYÁŠ, V.: Měření, analýza a vytváření náhodných rocesů.. vyd., Praha: STL, 976, 60 s. 8. PRŠA, J. 00. Rozbor energetických nárokov diskovej kosačky s kondicionérom: habilitačná ráca. itra: SPU, 00. Súhrn V redloženom rísevku je realizovaná alikácia Fisherovho testu na zistenie štatistickej významnosti najvyšších hodnôt eriodogramu, čím sme zistili signifikantnú eriodicitu určitej frekvencie (najvyššej), ako aj štatistickú významnosť ďalších frekvencií (vyšších harmonických kmitov). Získané informácie môžeme využiť ďalej ri životnostných alikáciách, osúdení dynamických vlastností a odhad soľahlivosti ri tyickom revádzkovom zaťažení. Kľúčové slová štatistická dynamika, stochastický roces, náhodné čísla, normálne rozdelenie, autokorelačná funkcia, eriodogram, sektrálna výkonová hustota Tento článok vznikol v súvislosti riešením výskumnej úlohy: VEGA: /064/ Analýza rocesov zaťažovania trecej dvojice v odmienkach tribologického exerimentu a ich vlyv na vlastnosti vybraných materiálov

Jádrové odhady gradientu regresní funkce

Jádrové odhady gradientu regresní funkce Monika Kroupová Ivana Horová Jan Koláček Ústav matematiky a statistiky, Masarykova univerzita, Brno ROBUST 2018 Osnova Regresní model a odhad gradientu Metody pro odhad vyhlazovací matice Simulace Závěr