Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE

Transcription

1 Unverza Komenského v Braslave Fakula maemaky, fyzky a nformaky ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE Mloš BOŽEK Braslava 015

2 Unverza Komenského v Braslave Fakula maemaky, fyzky a nformaky ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE Mloš BOŽEK Braslava 015 1

3 Názov: ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE Auor: doc. RNDr. Mloš Božek, CSc. Recenzen: Doc. RNDr. Vojech BÁLINT, CSc. RNDr. Ján BAKŠA, PhD.. Vydavaeľ: Knžnčné a edčné cenrum FMFI UK Braslava Vydané s fnančnou podporou granu KEGA 094UK-4/013, E-mak+, Konnuálne vzdelávane učeľov maemaky Rukops neprešel jazykovou úpravou. C Mloš BOŽEK, 015 ISBN EAN

4 M. BOŽEK: ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE OBSAH Úvod... 4 Časť 1 KRIVKY Lekca 1. Kap. 1. Paramercké vyjadrene krvky 1. časť... 7 Lekca. Kap. 1. Paramercké vyjadrene krvky. časť Kap.. Doyčnca a normála krvky Lekca 3. Kap. 3. Oskulačná rovna presorovej krvky. Freneov rojhran Lekca 4. Kap. 4. Dĺžka krvky. Prrodzená paramerzáca krvky... Lekca 5. Kap. 5. Krvosť krvky Lekca 6. Kap. 6. Syk krvek Obrázky ku krvkám Úlohy k lekcám Časť PLOCHY Lekca 7 Kap. 1. Paramercké vyjadrene plochy Lekca 8 Kap.. Krvky na ploche Lekca 9 Kap. 3. Normálová krvosť plochy defníca Lekca 10 Kap. 4. Normálová krvosť plochy vlasnos Obrázky k plochám Úlohy k lekcám Prílohy Príloha 1 Vekorový súčn Príloha Knemacky zadané krvky Príloha 3 O čom je dferencálna geomera Príloha 4 Nesprávna predsava o oskulačnej kružnc rovnnej krvky

5 Úvod Celý ex, korý budeme spolu preberať, vznkol na základe sručného učebného maerálu k jednosemesrálnej voleľnej prednáške Dferencálna geomera v reťom roku šúda učeľsva maemaky na FMFI UK. Tomu odpovedá jeho rochu surová podoba. Každá lekca pozosáva z učebného exu, v korom sú voľne rozmesnené komenáre. Práve číae prvý z nch. Kvôl zreeľnému odlíšenu od vlasného exu ch píšem, ako vdíe, ným ypom písma, nou farbou a menšou veľkosťou písma. Od exu ch navyše oddeľujú vodorovné čary. Prvá lekca sa skladá z úvodu do kurzu a z prvej čas prvej kapoly. Úvod s prečíaje a prvú kapolu našuduje. V nej a aj v ďalších kapolách sa nachádzajú úlohy, e s nemusíe veľm všímať. Sú o akés pozosaky z predchádzajúcch podôb exu, bolo m ľúo ch zlkvdovať. Pre eno kurz plaa né zadana. Každý ýždeň ch nájdee v samosanom súbore. Uvedomujem s, že s písaním rešení vašch úloh v elekronckej podobe môžee mať ťažkos, ak nemáe dosaočné skúsenos so sadzbou maemackého exu. V akom prípade navrhujem jednu z dvoch náhradných možnosí: 1. Rešene napíše rukou, a ak máe možnosť, naskenuje ju a pošle ako obrázok.. Ak nemáe prísup k skeneru, rešene napíše rukou a pošle m ho klasckou pošou na fakulnú adresu. Aby sa ale dodržal formálne pravdlá evyučovana, súčasne pošle prosrednícvom Moodlu aj sručné elekroncké oznámene o odoslaní rešena v paperovej podobe. Ak o však čo len rochu pôjde, snaže sa rešena zaselať vo formáe PDF. Dferencálna geomera sa zaoberá zakrveným geomerckým objekm. Pr ch skúmaní využíva meódy a výsledky maemackej analýzy, v prvom rade ako už jej názov napovedá čerpá z dferencálneho poču. To znamená, že jej základným pracovným prosredkom sú derváce. Skúmaným objekm sú najmä krvky a plochy veľm rozmaných varov. V omo kurze sa oboznáme s ch najjednoduchším vlasnosťam. Nevyhnuným predpokladom pre použe dervácí je príomnosť funkcí, koré sa majú dervovať, preo musíme mať geomercké objeky vyjadrené prosrednícvom čísel, čže súradncam. V omo zmysle môžeme eda dferencálnu geomeru považovať za nadsavbu č pokračovane analyckej geomere. Okrem dobrého ovládana základných pravdel dferencálneho poču predpokladáme preo u účasníkov kurzu aj dôvernú znalosť analyckej geomere v jej bodovo vekorovej podobe, ako sa bežne prezenuje na vysokých školách v prvých ročníkoch šúda maemaky resp. učeľsva maemaky. Krvky a plochy sa objavujú už v učve maemackej analýzy ako grafy funkcí jednej resp. dvoch premenných, prčom mnohé výsledky analýzy sa kvôl názornos formulujú aj v geomerckej podobe. Typckou ukážkou je predsava lokálneho exrému funkce jednej premennej ako bodu, v korom je doyčnca grafu rovnobežná s osou x. Reprezenáca v podobe grafov funkcí však na vyjadrene mnohých krvek a plôch nesačí, lebo už napríklad celú! kružncu nemožno opísať ako graf funkce v akej podobe sa dajú zvládnuť ba nekoré jej čas, napríklad polkružnca. Preo ale aj z ných dôvodov budeme krvky a plochy vyjadrovať v našom kurze paramercky. Mohlo by sa zdať, že geomera čakala na vznk maemackej analýzy a poom jednoducho od nej prevzala hoové výsledky. Hsóra maemaky však ukazuje, že vec mal podsane zložejšu podobu a prebeh. Vznk a rozvoj maemackej analýzy bol z veľkej čas movovaný práve oázkam, koré kládla geomera. Veľm pekne o lusruje názov Lebnzovho článku z roku 1684, korý sa všeobecne spolu s Newonovým Maemackým základm prírodnej flozofe považuje za zrod dferencálneho a negrálneho poču: Nová meóda pre maxmá a mnmá, ako aj pre doyčnce, korá plaí aj pre raconálne a lomené 4

6 hodnoy, a pozoruhodný spôsob počíana pre eno účel. Vdíme eda, že jednou zo základných movácí vznku maemackej analýzy bola geomercká úloha o doyčnc. Dferencálna geomera v podobe, v akej ju predkladáme v omo kurze, sa usálla zhruba v polovc 19. soroča až na jej spôsob zápsu v bodovo vekorovej podobe, en je deťaťom prvej reny 0. soroča. Bežne sa jej hovorí klascká dferencálna geomera. Prblžne v rene až polovc 0. soroča vznkla moderná dferencálna geomera, korej objeky skúmana a používané meódy zasahujú veľm hlboko do vacerých oblasí súčasnej maemaky. Ako príklad objeku skúmaného v modernej dferencálnej geomer spomeňme množnu všekých zhodnosí rojrozmerného eukldovského presoru, korá okrem oho, že je grupou, má aj prrodzenú šrukúru šesťrozmerného zakrveného presoru. Obe eo šrukúry sú navzájom zosúladené, akže vznká objek, korému sa hovorí Leova grupa čía sa líova Sophus Le, nórsky maemak, 19. soroče; v dnešnej maemake sa akéo grupy nenzívne skúmajú a využívajú. Napríklad spomenuá grupa zhodnosí sa v mechanke nerpreuje ako konfguračný presor všekých polôh uhého elesa. Sručne o obsahu kurzu. Kurz pozosáva z dvoch emackých celkov. Prvý je venovaný krvkám, druhý plochám. V prvej kapole o krvkách zavedeme pojem krvky. Naprek snahe o čo najjednoduchší posup, naša defníca krvky má zložejšu podobu, ako by sa as čakalo. Nasledujú dve kapoly s opsným charakerom. Zavádzame v nch rovné objeky spojené s krvkou v každom jej bode: doyčncu, normálu, oskulačnú rovnu a Freneov rojhran. V ďalšej kapole sručne spomeneme dĺžku krvky a venujeme sa prrodzenej paramerzác krvky, korá je založená práve na dĺžke úsekov krvky. Kľúčovým pojmom pre krvky je krvosť, korej je venovaná paa kapola. Poslednú kapolu o krvkách pojednávajúcu o syku krvek sme do kurzu zaradl najmä kvôl jej veľm akuálnym aplkácám v počíačovej grafke. Temacký celok o plochách je už menej rozsahly. V prvej kapole uvádzame pojem plochy, v druhej hovoríme o doykovej rovne a o normále plochy. Ťažskové sú rea a švrá kapola o normálovej krvos plochy, prosrednícvom korej sa skúma var plochy. Kapoly sú v oboch emackých celkoch číslované samosane, eda prvá kapola o plochách má číslo 1 rovnako ako prvá kapola o krvkách. Vey, príklady, poznámky, úlohy a obrázky číslujeme samosane v podvojnej podobe eda vea 5. je druhá vea paej kapoly, v nej môže byť aj príklad č obrázok s rovnakým číslom 5.. Defníce sa neuvádzajú ako číslované exové jednoky. Poznáme ch podľa kurzívy fon alc, korou je napísaný defnovaný pojem. Najmä kvôl úspore mesa v zobrazenom exe v jeho súbore pomerne časo používame zjednodušený záps zlomkov a odmocnín v vare a/b a x. V zložejších suácách sa správne číajú a píšu pomocou závorek napr. ako: b ab ab cd a, abc ab c. cd cd Všmne s, čo by spôsobl chýbajúce závorky: b abd ab cd a d, abc a bc. c c Tex učva kurzu je poprekladaný komenárm, prezrádza ch modrá farba a menše ležaé písmo. 5

7 Z echnckých dôvodov čo je jemné vyjadrene auorovej neškovnos ne sú obrázky pramou súčasťou exu, nachádzajú sa ba v samosaných súboroch. Navyše, väčšnou sú o ba nasnímané rukou načrnué skce. V oboch emackých celkoch sa súsreďujeme ba na najzákladnejše vec a vynechávame mnohé pare, koré sú šandardnou súčasťou učva v bežných kurzoch klasckej dferencálnej geomere. Pr krvkách nenájdee najmä émy Freneove vzorce, orza, sngulárne body a obálky. Pr plochách vynechávame omnoho vac, vlasne akmer všeko rozvnueľné pramkové plochy, prvá základná forma plochy a merane na ploche, zobrazena plôch, hlavné krvos a Gaussova krvosť,... Absolven kurzu by však v prípade poreby č záujmu mal byť schopný oboznámť sa s ďalším émam klasckej dferencálnej geomere samosane. Čo sa ýka odporúčanej leraúry, korá by pokrývala a prípadne rozšrovala láku oho kurzu, pre slovenského čaeľa sú ba zlé správy. Dosupnej leraúry vlasne ne. Pre úplnosť a z dôvodu dodržana dobrých mravov predsa len uvedem nekoľko relevanných ulov: Budnský, B.: Analycká a dferencální geomere. SNTL, Praha, 1983, Pogorelov, A.V.: Geomerja. Nauka, Moskva 1983, Ruer, G.: Geomery of Curves. Chapman and Hall 000. Budnského učebnca je kurzu urče najblžša. Nelen jazykovo, ale ež z hľadska obsahu a spôsobu výkladu. Možno ju eše nájdee v nekorej knžnc. Zaujímavé nformáce o krvkách a plochách sú samozrejme aj na nernee. Najčasejše majú podobu albumov, v korých s môžeme prezerať mnoho obrázkov, časo nerakívnych č so sprevodným exom. Ak s eda chcee pozreť pekné obrázky krvek a prípadne sa o nch aj nečo zaujímavé dočíať, skúse ovorť nasledujúce sránky. Vyhľadala ch moja bývalá dplomanka Mgr. Eva Kozáková. hp://xahlee.org/pagetwo_dr/more.hml hp://www-groups.dcs.s-andrews.ac.uk/%7ehsory/curves/curves.hml hp:// Ak nájdee ďalše zaujímavé nerneové zdroje k našej éme, budem vám veľm vďačný, ak ma s nm zoznáme. Nemenej vďačný budem za všeky ohlasy a prpomenky, koré by mohl vylepšť budúce verze exu. Vo vašej prác v rámc kurzu vám prajem veľa rpezlvos, korá vám so prnese úspechy a e zasa pocy rados a uspokojena. Konaky na vyučujúceho: doc. RNDr. Mloš Božek, CSc. pracovňa: M 156 Kaedra algebry, geomere a ddakky maemaky UK FMFI : bozek@fmph.unba.sk Mlynská dolna Braslava 6

8 Lekca 1 1. Paramercké vyjadrene krvky 1. časť Ceľom prvej kapoly je oboznámť sa s pojmom krvky. Základným echnckým násrojm sú bodové a vekorové funkce jednej premennej a ch derváce. Uvedené funkce sa od bežných číselných funkcí odlšujú v podsae ba oborom hodnô je ním množna bodov resp. vekorov presoru resp. rovny. Keď body a vekory reprezenujeme súradncam, bodová č vekorová funkca jednej premennej ne je vlasne nč né ako usporadaná rojca pre rovnu dvojca obyčajných číselných funkcí so spoločným defnčným oborom je ním nerval na číselnej os. Algebracké aj analycké operáce lmy, derváce a negrály s bodovým a vekorovým funkcam, koré sú dané súradncam, vykonávame po zložkách. Prečo požívame bodové aj vekorové funkce? Bodovú funkcu porebujeme na analycké vyjadrene krvky. Keď ho zdervujeme raz, dvakrá,..., vznkajú vekorové funkce, preo je prrodzené, že sa zaoberáme aj s nm. Prečo poom krvku nevyjadrujeme vekorovou funkcou? Je pravda, že vedy by sme pracoval ba s vekorovým funkcam, eda s menším počom pomocných pojmov, a že akýo prísup nájdee v mnohých učebncach dferencálnej geomere. Neodpovedá o ale dobre reale, lebo as nko s nepredsavuje krvku zloženú z vekorov, z bodov však hádam každý. So slovom krvka sa sreávame v každodennom žvoe, v echnke, v prírodných vedách a v maemake. Kvôl ejo rôznorodos jeho výskyu nemožno očakávať unverzálnu defnícu, korá by úplne uspokojla všekých používaeľov. V dferencálnej geomer a v počíačovej grafke sa krvky v rovne resp. v presore najčasejše zadávajú paramercky prosrednícvom bodovej funkce jednej číselnej premennej, čo je funkca, korá každému reálnemu číslu z nejakého nervalu číselnej os prraďuje bod v rovne resp. v presore. Ide eda o zobrazene 1.1 P: I E, resp. P: I E 3, kde I je nerval na číselnej os R,. Klascký záps bodovej funkce jednej premennej 1.1 je 1. P = P, I. Hodnou premennej v ejo súvslos nazývame paramerom bodu P. Záps bodovej funkce 1. je analógou zápsu číselnej funkce v vare y yx, xi, korý sa používa napríklad v dferencálnych rovncach. Opro časejše sa vyskyujúcemu zápsu číselnej funkce v podobe y fx, xi má podoba y yx ú výhodu, že sa v nej ušerlo písmeno f. Rovnaký šerac efek vdíme aj v zápse bodovej funkce 1.. V súradncach vyzerá bodová funkca jednej premennej ako: 1.3a P = x, y, z, I, pre krvku v presore resp. 1.3b P = x, y, I, pre krvku v rovne, 7

9 kde x = x, y = y, z = z sú obvyklé číselné funkce so spoločným defnčným oborom I obr Ich hodnoy sú súradnce bodov krvky. Symbol rovnos vo vzorcoch 1.3a a 1.3b číame rovnako ako v analyckej geomer má súradnce. Používa sa aj akýo záps paramerckého vyjadrena krvky v presore 1.3c x = x, y = y, z = z, I Paramercky zadanú krvku v rovne môžeme považovať aj za krvku v presore, ak soožníme bod v rovne so súradncam x, y s bodom v presore so súradncam x, y, 0. Preo akmer vždy budeme spoločné vlasnos krvek v rovne a v presore formulovať ba pre presorový prípad. Bodovú funkcu jednej premennej fyzkálne nerpreujeme ako maemacké vyjadrene pohybu hmoného bodu. Premennú vedy považujeme za čas prvé písmeno lanského slova empus čas; analogcky P je prvé písmeno slova puncum bod. V súlade s ým symbol P číame bod P v momene a ne bod P v bode, ako by sa parlo podľa zvyklosí maemackej analýzy. Nasleduje séra príkladov bodových funkcí jednej premennej a odpovedajúcch krvek. Príklad 1.1 Pramka: P = A + u, R. Je o z analyckej geomere známe paramercké vyjadrene pramky určenej bodom A a vekorom u. V súradncovej podobe 1.3a má var P = a 1 + u 1, a + u, a 3 + u 3, R, kde koefcenm sú súradnce určujúceho bodu a vekora pramky: A a 1, a, a 3, u u 1, u, u 3. Symboly rovnos v zápse súradníc bodu a vekora číame má súradnce. Fyzkálne funkca P = A + u vyjadruje rovnomerný pramočary pohyb. Príklad 1. Kružnca so sredom v začaku súsavy súradníc a s polomerom r obr. 1.: P = rcos, rsn, 0,, náč zapísané: x = rcos, 0,. y = rsn, Zrejme plaí P0 = r, 0, P = r, 0, čže P = P0. Koncový bod krvky eda splýva s počaočným, čo znamená, že kružnca je uzavreá krvka. Geomercký význam paramera: je orenovaný uhol jednokového vekora e 1 os x s vekorom P O. Uvedené paramercké vyjadrene kružnce fyzkálne vyjadruje rovnomerný oáčavý pohyb bodu okolo začaku súsavy súradníc. 1. Informáca o geomerckom č fyzkálnom význame paramera v paramerckom vyjadrení krvky je dôležá nelen pre vorbu správnych nuívnych predsáv, ale aj pr aplkácách eóre krvek.. Prečo sme kružncu paramercky vyjadrl na uzavreom nervale 0, a ne na nervale 0, č 0,? Veď aj vedy by sme mal vyjadrenú celú krvku a navyše každý jej bod by odpovedal presne jednej hodnoe paramera! 8

10 Dôvody sú dva. Pr použí uzavreého nervalu, prčom obrazom jeho krajných bodov je en sý bod krvky, zdôrazňujeme, že krvka začína a končí v rovnakom bode, eda, že krvka je uzavreá. Druhý dôvod spoznáme v kapole 4, kde uvdíme, že dĺžka krvky sa defnuje pre krvky paramercky zadané na uzavreým a ohrančeným nervale. Príklad 1.3 Elpsa s osam na súradncových osach obr. 1.3, korej rovnca je x /a y /b 1 0, má paramercké vyjadrene P = acos, bsn, 0,, a b 0. Geomercký význam paramera dáva obr Príklad 1.4 Opäť elpsa: 1 P a, b,, +, a b Presvedče sa, že všeky eo body vyhovujú rovnc x /a y /b 1 0. Too paramercké vyjadrene nepokrýva celú elpsu, lebo nezachycuje ľavý vrchol so súradncam a, 0. Príklad 1.5 Dve vevy hyperboly s osam na súradncových osach obr. 1.4, korej rovnca je x /a y /b 1 0: P = acosh, bsnh,, +, a, b 0. Pre znamenko vznkne ľavá a pre pravá veva hyperboly. Prpomeňme dve menej známe funkce hyperbolcký kosínus: coshx = ½e x + e x, hyperbolcký sínus: snhx = ½e x e x a ch základné vlasnos: cosh x snh x = 1, coshx = snhx, snhx = coshx. Inverzná funkca k hyperbolckému sínusu sa nazýva aj argumen hyperbolckého sínusu a má var snh 1 x = Argsnhx = ln x x 1. Na rozdel od bežného sínusu a kosínusu, hyperbolcký kosínus, hyperbolcký sínus a k nemu nverzná funkca nepredsavujú novú redu hyperbolckých gonomerckých funkcí, lebo sú vyjadrené prosrednícvom osaných elemenárnych funkcí. Funkce snhx a coshx ne sú perodcké! Príklad 1.6 Parabola s rovncou y px = 0 obr. 1.5: P =,,, +, p 0. p Príklad 1.7 Cykloda obr. 1.6: 9

11 P = a sn, a1 cos,, +. Fyzkálne: Pohyb bodu 0, 0 kružnce x y a a 0, korá sa bez kĺzana koúľa po os x. V šarovacej polohe 0 sa kružnca zhora doýka os x v začaku súsavy súradníc. Príklad 1.8 Reťazovka obr. 1.7: P, a cosh,, +, a 0. a Fyzkálne: Krvka vyjadruje var voľne zaveseného homogénneho lana upevneného v dvoch bodoch. Možno ju pozorovať v krajne ako drôy vysokého elekrckého napäa. Pre a 1 de o graf funkce y coshx. Príklad 1.9 Trakrx obr. 1.8: Príklad 1.10 Asroda obr. 1.9: P alng cos, asn, 0,, a 0. P = acos 3, asn 3, 0,, a 0. Príklad 1.11 Skrukovca obr je v našch príkladoch jedný pramy zásupca presorových krvek: P = acos, asn, b,, +, a 0, b 0. Osou skrukovce s uvedenou paramerzácou je os z. Fyzkálne: Funkca vyjadruje pohyb bodu, korý sa rovnomerne oáča okolo os z a súčasne sa pozdĺž nej rovnomerne posúva. Príklad 1.1 Bézerova kubka: P = 1 3 A A A + 3 A 3, 0,1. Body A 0, A 1, A, A 3 sa nazývajú radace vrcholy Bézerovej kubky. Bod P je ch lneárnou kombnácou s premenným koefcenm 1 3, 31, 31, 3. Prakcky o znamená, že súradnce bodu P sú lneárnym kombnácam súradníc radacch vrcholov s uvedeným koefcenm. Táo krvka môže byť presorová aj rovnná. Rovnná je vedy, keď všeky jej radace vrcholy leža v jednej rovne, v nej poom leža všeky body krvky. Bézerove kubky hrajú obrovskú úlohu v počíačovej grafke pr vyváraní krvek a plôch ako sa rochu prehnane hovorí ľubovoľného varu. Lneárna kombnáca bodov je neúplná analóga lneárnej kombnáce vekorov. Defnovaná je ba v dvoch prípadoch: Keď je súče koefcenov 1, výsledkom je bod, keď je súče koefcenov 0, výsledkom je vekor. Súradnce lneárnej kombnáce bodov sú lneárne kombnáce súradníc kombnovaných bodov. Napríklad sred dvojce bodov A,B môžeme zapísať ako ½A ½B. Vzorec z defníce Bézerovej krvky defnuje bod, lebo na pravej srane je súče koefcenov 1: 10

12 1 [1 ] Úloha 1.1 a Napíše paramercké vyjadrene kružnce so sredom v bode S = m, n. b Napíše paramercké vyjadrene úsečky s krajným bodm A, B. Základné pojmy maemackej analýzy lmu, spojosť a dervácu preneseme na bodové funkce jednej číselnej premennej, a o prosrednícvom súradníc. Lma bodovej funkce P = x, y, z, I v momene 0 je bod lm P lm x,lm y,lm z Bodová funkca P = x, y, z, I je spojá, ak sú spojé jej súradncové zložky x, y, z. Derváca bodovej funkce P = x, y, z, I v momene 0 I je vekor P 0 = x 0, y 0, z 0. Vekorový charaker derváce P 0 sa vysveľuje v poznámke 1.1 Podobne ako bodová funkca jednej premennej sa defnuje vekorová funkca jednej premennej u: I VE 3. V programáorskom jazyku by sme mohl povedať, že návraová hodnoa bodovej funkce má yp bod a návraová hodnoa vekorovej funkce má yp vekor. Súradncové vyjadrene vekorovej funkce je rovnaké ako pre bodovú funkcu: u = x, y, z, I. Rovnako sa defnuje jej lma a derváca: lm u lm x,lm y,lm z, u 0 = x 0, y 0, z 0. Dervácou vekorovej funkce je funkca vekorová. Preože dervácou aj bodovej funkce je funkca vekorová, nelen prvá, ale aj vyšše derváce bodovej funkce sú vekorové funkce. Pr počíaní s dervácam bodových a vekorových funkcí plaa obvyklé pravdlá dferencálneho poču, napr. P + u = P + u, fu = fu + fu, u v = u v + u v, u v = u v + u v, derváca súču derváca skalárneho násobku derváca skalárneho súčnu derváca vekorového súčnu P = 0 pre všeky funkca P = P je konšanná. derváca konšany Príklad 1.13 Pre dervácu bodovej funkce P = acos 3, asn 3 ako už veme z príkladu 1.10, uvažovaná funkca vyjadruje paramercky asrodu plaí 11

13 P = 3a cos sn, 3a sn cos = 3a cos sn cos, sn. Rovnosť P = 3a cos sn cos, sn je korekná, lebo pravá srana vyjadruje v súradncach operácu násobena vekora číslom. Napro omu úprava zápsu bodovej funkce P = acos 3, asn 3 do podoby P = acos 3, sn 3 je neprípusná, lebo operáca číslo krá bod ne je defnovaná. Úloha 1. Vypočíaje prvú a druhú dervácu aspoň nekorých bodových funkcí, koré vyjadrujú krvky z príkladov Úloha 1.3 Dokáže nekoré z vyšše uvedených pravdel pre počíane s dervácam, napríklad pravdlo derváce skalárneho súčnu. [Návod: Zapíše bodové a vekorové funkce vysupujúce v pravdle prosrednícvom súradníc.] Poznámka Uvažujme bodovú funkcu P = x, y, z, I a číslo 0 I. Uvedomme s, že funkca P P P P 0, 0 je vekorová, lebo na pravej srane je súčn čísla s vekorom. Funkca má súradnce P P 0 x x 0 y y 0 z z 0,, Jej lma v momene 0 je eda vekor a jeho súradnce sú x 0, y 0, z 0. Tým sa vysveľuje, prečo je derváca bodovej funkce v každom momene vekor.. Fyzkálna nerpreáca dervácí bodovej funkce: Vekor P 0 vyjadruje okamžú rýchlosť a vekor P 0 okamžé zrýchlene pohybujúceho sa bodu P v momene 0. Vekorový charaker derváce bodovej funkce má obrovský význam, lebo pr skúmaní krvek nám umožňuje využívať bohaý apará lneárnej algebry. Ďalše úlohy na ému paramercky zadaných krvek nájdee v prloženom exe Tvorba krvek. Samozrejme, aj všeky amojše úlohy sú nepovnné. Prvú kapolu ukončíme v ďalšej lekc. 1

14 Lekca V prvej čas lekce dokončíme prvú kapolu učebného exu. Doeraz sme sa zoznáml s bodovým a vekorovým funkcam jednej premennej a s ch lmam a dervácam. Na mnohých konkrénych príkladoch sme vdel, že bodové funkce veľm úzko súvsa s krvkam. Na začaku lekce budeme posupne prpravovať defnícu krvky. Už eraz upozorňujem, že jej výsledná podoba pravdepodobne nesplní vaše očakávana. Defníca nebude mať ož var krvka je množna bodov v presore resp. v rovne, paramercky vyjadrená bodovou funkcou jednej premennej. Dôvodom je skuočnosť, že exsujú aké krvky v zmysle naznačenej defníce, koré majú pr rôznych paramerckých vyjadrenach rôzne geomercké vlasnos. Prprave sa eda na pomerne krkolomnú defnícu krvky. Od bodovej funkce P = x, y, z, I, korá paramercky určuje krvku, sa spravdla vyžaduje, že má nasledujúce dve vlasnos: 1.4a hladkosť: exsujú derváce všekých rádov.j. súradncové funkce x, y a z majú derváce všekých rádov, eda sú hladké a 1.4b regulárnosť: vekor P je nenulový pre všeky. Vekor P sa v druhej. kapole sane smerovým vekorom doyčnce krvky v bode P, preo v defníc vyžadujeme, aby bol nenulový, eda aby spolu s bodom P určoval pramku. Aby sme zachyl čo najvac krvek z rôznych oblasí aplkácí, v príkladoch na konkrénych krvkách prpúšťame výsky nekoľkých bodov, pre koré ne je podmenka regulárnos splnená. Také body, eda body P s vlasnosťou P 0, sa nazývajú sngulárne body krvky. Osané body krvky sú regulárne. Príklad 1.14 Pokračovane príkladu Bodová funkca P = acos 3, asn 3, 0,, je zrejme hladká a P = 3a cos sn cos, sn = 0 práve vedy, keď = k/, k 0, 1,, 3, 4. Asroda má eda práve šyr sngulárne body P/, P, P3/, P P0 osam bod P0 pre k 0 sme soožnl s bodom P pre k 4. Sú o presečníky krvky so súradncovým osam. Osané body asrody sú regulárne obr Úloha 1.5 Skúmaje splnene podmenky regulárnos pre cyklodu a rakrx. Príklad 1.15 obr Graf funkce y = f x, xi je krvka s paramerzácou P =, f, I. Pre hladkú funkcu f je áo paramerzáca jej grafu hladká, lebo obe funkce x a y f sú hladké. Uvedená paramerzáca je aj regulárna, lebo P = 1, f 0, 0 pre všeky kvôl prvej súradnc. 13

15 Nekedy je výhodná zmena paramerckého vyjadrena krvky: Paramerzáca krvky P, I sa zmení prosrednícvom subsúce = u, uj, kde J je nejaký nerval. Vedy nová paramerzáca krvky je Qu = P u, uj. Od subsúce sa vyžaduje, aby funkca : J R bola 1.5a hladká, čže exsujú derváce všekých rádov:,,,..., 1.5b regulárna, čže u 0 pre všeky u, 1.5c surjekívna, čže nerval J zobrazuje na nerval I,.j. J I. Vedy funkca : J R zobrazuje nerval J bjekívne na nerval I. Hovoríme ež, že v paramerzácách P, I a Qu = P u, uj s body Qu a Pu navzájom odpovedajú. Orenáca krvky je určená jej paramerzácou. Paramerzáca Qu = Pu určuje na krvke rovnakú orenácu ako pôvodná paramerzáca P práve vedy, keď u 0 pre všeky u, eda práve vedy, keď subsučná funkca u je rasúca. Orenácu krvky nuívne chápeme ako jeden z dvoch smerov pohybu po nej. Každá paramercky zadaná krvka má nekonečne veľa paramerzácí a práve dve orenáce. Príklad 1.16 obr. 1.1 Grafom funkce y b a a x paramerckým vyjadrením P, b a, xa, a je horná polelpsa s odpovedajúcm a, a, a. Subsúcou = a cos u, u0, získame paramerzácu Qu = a cos u, b sn u, u0, z príkladu 1.3. Teno komenár je dúfam zbyočný, ale predsa. V príklade 1.16 sa opro príkladu 1.3 zmenlo označene funkcí a premenných. Tam bolo P = acos, bsn a u je Qu = acosu, bsnu. To však nkomu nesme vadť.samozrejme zmenl sa aj defnčný obor paramerzáce, lebo v príklade 1.16 nepracujeme s celou elpsou. Úloha 1.6 Presvedče sa, že subsúca z predchádzajúceho príkladu je hladká, regulárna a surjekívna. Zachováva sa pr nej orenáca polelpsy? Úloha 1.7 Presvedče sa, že subsúca = gu/, u, zmení paramerzácu elpsy z príkladu 1.4 na paramerzácu z príkladu 1.3 s upraveným defnčným oborom,. 1 g x g x [Využe vzorce známe z negrovana cos x, sn x.] 1 g x 1 g x Pozorný čaeľ s mohol všmnúť, že doeraz sme nedefnoval krvku, ba jej paramerzácu. Hoc s pod krvkou nuívne predsavujeme geomercký úvar, eda množnu bodov s sým vlasnosťam, presná a prom dosaočne všeobecná defníca v akejo podobe by vyžadovala ďalšu rozsahlu prípravu. Aby sme sa jej vyhl, bude krvka defnovaná nasledovne: 14

16 1.6a Krvka je určená svojou paramerzácou, eda hladkou a akmer všade regulárnou bodovou funkcou jednej premennej. 1.6b Dve bodové funkce jednej premennej určujú rovnakú krvku, ak jedna vznkne z druhej hladkou regulárnou a surjekívnou subsúcou. Bod krvky je ľubovoľný bod z oboru hodnô jej paramerckého vyjadrena. Nameso o krvke určenej paramerzácou P, I jednoducho hovoríme krvka P, I. Je evdenné, že pr zmene paramerckého vyjadrena krvky sa množna jej bodov nezmení zaručuje o podmenka 1.5c. Tako krvka konečne súvsí s množnou bodov. Pre paramercké vyjadrene P, I je o množna {P; I}. Krvka však ne je ba množnou bodov, ale množnou bodov s paramerckým vyjadrením. Too paramercké vyjadrene môžeme mnohým spôsobm zmenť, nesmeme ho však vynechať. Sú známe príklady rôznych paramerckých vyjadrení krvek s rovnakou množnou bodov, koré majú rôzne geomercké vlasnos napr. rôznu dĺžku alebo v om som bode rôzne doyčnce. Jeden aký príklad spoznáme v kapole 4. Naším ceľom nebolo a ne je podrobne analyzovať pojem krvky, ale čím skôr začať skúmať vlasnosí krvek. Preo eše raz zdôrazňujeme: 1. Krvka ne je ba množna bodov, ale množna bodov spolu s jej paramerckým vyjadrením prosrednícvom bodovej funkce jednej premennej.. Krvka má nekonečne veľa paramerckých vyjadrení. 3. Paramercké vyjadrene krvky určuje na nej orenácu. Myslím, že na uvedené r zásady s dosť rýchlo zvyknee. Teda krvka je nečo, čo je nejako určené. Ak vám veľm chýba defníca krvky v podobe krvka je nečo, čo má nejaké vlasnos, ozve sa. Odpoveď mám prpravenú, keď vás as nepoeší. Možno ju však nájdee aj sam... Tu by mohla prvá kapola skončť. Ko chce, nemusí z nej ďalej číať an slovo a môže prejsť rovno ku kapole. Myslím s však, že nasledujúca úvaha je poučná. Poznamenajme eše, že defníca krvky má rovnakú šrukúru, ako defníca vekora v elemenárnej geomer: Vekor je určený orenovanou úsečkou. Dve orenované úsečky určujú rovnaký vekor, ak majú rovnakú dĺžku a rovnaký smer. Eše jednoduchší príklad uvedeného posupu je určovane raconálnych čísel zlomkam. Pokúse sa sformulovať defnícu raconálneho čísla, korá by začínala veou Raconálne číslo je určené zlomkom. Z prísne maemackého hľadska zlomok ne je raconálne číslo, ba ho určuje vyjadruje, reprezenuje,... Dôvod je en, že rôznym zlomkam, napr. 1/ a /4, zapsujeme rovnaké raconálne číslo. Uvedené dva zlomky sú naozaj navzájom rôzne, lebo, lebo majú rôzne čaele a rôzne menovaele. Zlomky sú vlasne usporadané dvojce celých čísel, ba ným spôsobom zapísané. Prvá zložka zlomku dvojce sa nazýva čaeľ a druhá menovaeľ. 15

17 . Doyčnca a normála krvky V druhej a v reej kapole zosrojíme v bode krvky sé pramky a rovny, koré sú s krvkou bezprosredne späé a do sej mery vyjadrujú jej var blízkos uvažovaného bodu. Najprrodzenejším akým objekom je doyčnca. Daná je krvka paramerzácou P, I a číslo 0 I. Doyčnca krvky v bode P 0 je pramka určená bodom P 0 a vekorom P 0 obr..1. Vekor P 0 sa nazýva doykový vekor krvky. Prom predpokladáme, že eno vekor je nenulový, eda, že bod P 0 je regulárny bod krvky. V sngulárnom bode doyčncu eda nedefnujeme. Ne že by sa o vôbec nedalo, ale bolo by o rochu náročné. Napríklad doyčncou asrody príklad 1.10 v sngulárnom bode P0 je os x. Príklad.1 Doyčnca elpsy P = acos, bsn, 0, v bode P/6 je určená bodom P/6 = acos/6, bsn/6 = a3/, b/ a vekorom P/6 = asn/6, bcos/6 = a/, b3/, preo má paramercké rovnce x = a3/ a/ u, y = b/ + b3/ u. Doyčnca elpsy v jej všeobecnom bode P = acos, bsn je určená bodom P a vekorom P = asn, bcos, preo jej paramercké rovnce sú x = acos ausn, y = bsn + aucos. Všmne s, že v paramerckých rovncach doyčnce krvky v jej všeobecnom bode vysupujú dva paramere. Parameer vyjadruje bod krvky, v korom určujeme doyčncu, a druhý parameer u vyjadruje polohu bodu na doyčnc. Príklad. Doyčnca grafu funkce obr... Graf funkce y = fx má paramercké vyjadrene P =, f, preo doykový vekor ejo krvky je P = 1, f. Smerncová rovnca doyčnce v bode x 0, fx 0 má eda dobre známy var y = fx 0 + f x 0 x x 0. To znamená, že defníca doyčnce paramercky zadanej krvky rozšruje pojem doyčnce grafu funkce z úvodného kurzu maemackej analýzy. Úloha.1 Napíše paramercké rovnce doyčnce reťazovky P =, acosh/a,, + v jej ľubovoľnom bode. Úloha. a Napíše paramercké rovnce doyčnce asrody v jej ľubovoľnom regulárnom bode. b Dokáže, že súradncové os vyínajú na všekých doyčncach asrody úsečky s rovnakou dĺžkou obr c Narysuje nekoľko povedzme 10, lepše vac úseček s rovnakou dĺžkou a napr. a 5 cm, korých krajné body leža na kladných polosach súradncových osí. Obálkou ýcho úseček je asroda, presnejše jeden z jej šyroch oblúkov. Skúse o naprogramovať. 16

18 d Geomercký význam paramera asrody: Dokáže, že uhol doyčnce asrody v bode P = acos 3, asn 3, 0, / s osou x je. Úloha.3 a Napíše paramercké rovnce doyčnce rakrxy P = aln g / + cos, asn, 0, v jej ľubovoľnom bode P, /. b Dokáže, že úsek na doyčnc od bodu doyku po os x má na všekých doyčncach rovnakú dĺžku obr Úloha.4 a Napíše paramercké rovnce doyčnce skrukovce v jej ľubovoľnom bode. b Presvedče sa, že všeky doyčnce skrukovce zverajú s osou skrukovce rovnaký uhol. Pr zmene paramerzáce krvky sa dĺžka a orenáca doykového vekora môže zmenť, ale jeho neorenovaný smer ne, preo je doyčnca krvky defnovaná nezávsle od akuálneho paramerckého vyjadrena krvky. Dôvodom je skuočnosť, že plaí klascký vzorec pre dervácu zloženej funkce Qu = Pu:.1 Qu = Pu u. Pravá srana má šrukúru vekor P u krá číslo u. Uvedomujeme s, že eno záps ne je z hľadska algebry úplne korekný, správne by malo byť Qu = up u. Dávame však prednosť analýze, eda šrukúre vzorca pre dervácu zloženej funkce: derváca vonkajšej zložky krá derváca vnúornej zložky. Vzorec.1 možno ľahko dokázať prosrednícvom súradníc, pre jednoduchše písane ba v rovne. Ak P x, y, ak Qu = Pu xu, yu, preo Qu xu, yu xu u, yu u = Pu u. V poslednej rovnos bolo dôležé, že obdve súradnce vekora Qu xu u, yu u obsahujú rovnaký čneľ u. Bežne sa hovorí, že doyčnca krvky je lmná poloha sečníc. Myslí sa o ako: Uvažujme pramku p, korá je určená bodm P 0 a P, 0. Keď sa číslo blíž k 0, bod P sa blíž po danej krvke k bodu P 0 a pramka p sa následne oáča okolo bodu P 0. Dá sa dokázať, že lmnou polohou pramky p je doyčnca krvky v bode P 0. Dôsledkom predošlej úvahy je vrdene: Spomedz všekých pramok, koré prechádzajú daným bodom krvky, je ku krvke najesnejše prložená doyčnca. Podrobnejše v kap. 6. Uvedená lmná vlasnosť doyčnce sa v saršej leraúre vyjadruje frázou doyčnca krvky je spojnca jej dvoch nekonečne blízkych bodov alebo ež spojnca dvoch súmedzných bodov krvky. Normála krvky v regulárnom bode krvky je každá pramka dúca bodom krvky kolmo na doyčncu v om bode. V rovne má krvka v každom bode práve jednu normálu obr..3, v presore prechádza bodom krvky nekonečne veľa normál. Teo vypĺňajú rovnu, korá prechádza bodom krvky kolmo na doyčncu. Nazývame ju normálová rovna krvky obr

19 Úloha.5 Napíše paramercké rovnce a rovncu normály v ľubovoľnom bode nekorej krvky z príkladov Úloha.6 Napíše paramercké rovnce a rovncu normálovej rovny v ľubovoľnom bode skrukovce z príkladu Treba zdôraznť, že doyčnca krvky, normála a v 3D aj normálová rovna krvky sa vždy važe na jeden bod krvky, sú o objeky v om bode krvky. 18

20 Lekca 3 Doeraz sme sa zoznáml s bodovým a vekorovým funkcam jednej premennej a s ch lmam a dervácam. Pomocou bodových funkcí určujeme paramercky krvky. Pomocou prvej derváce paramerckého vyjadrena krvky určujeme doyčncu ku krvke. V ejo lekc budeme pracovať nelen s prvou, ale aj s druhou dervácou paramerckého vyjadrena krvky. Objavuje sa v nej po prvý krá vekorový súčn. Jeho pre geomeru najdôležejše vlasnos som zhrnul do samosaného pomocného exu. 3. Oskulačná rovna presorovej krvky. Freneov rojhran Bod P rovnnej alebo presorovej krvky sa nazýva nflexný bod, k sú vekory P a P lneárne závslé. Ak sú nezávslé, P je nenflexný bod krvky. Inflexné body krvky z našch úvah spravdla vynechávame. S výrazom nflexný bod se sa urče srel v prvom ročníku vysokoškolského šúda v predmee Maemacká analýza pr skúmaní prebehu funkce jednej premennej. Tam sa nflexný bod funkce obvykle defnuje ako bod, v korom má funkca nulovú druhú dervácu. V nasledujúcom príklade sa presvedčíme, že nflexný bod krvky je prrodzeným rozšírením odpovedajúceho pojmu z maemackej analýzy. Príklad 3.1 Bod P =, f je nflexným bodom grafu funkce y = fx, xi práve vedy, keď bod je nflexným bodom funkce y = fx. Tvrdene vyplýva zo skuočnos, že vekory P = 1, f, P = 0, f sú lneárne závslé práve vedy, keď f = 0. Naozaj, vekory P, P dvojrozmerného presoru sú lneárne závslé práve vedy, keď deermnan z ch súradníc je nulový. V našom prípade ale 1 0 f f f. Preo vekory P, P dvojrozmerného presoru sú lneárne závslé práve vedy, keď f 0. Pomocou prvej derváce paramerckého vyjadrena krvky sme defnoval doyčncu krvky ako pramku, korá je v danom bode krvky ku krvke najesnejše prložená. Pomocou prvej a druhej derváce budeme defnovať ku krvke najesnejše prloženú rovnu. Aby rovna bola určená jednoznačne, musa byť určujúce vekory lneárne nezávslé, eda bod krvky musí byť nenflexný. Oskulačná rovna presorovej krvky v nenflexnom bode P je rovna určená bodom P a vekorm P a P. 19

21 Geomercký význam oskulačnej rovny: Daná je krvka P, I a jej bod P 0. Doyčncou krvky v bode P 0 označme p 0. Uvažujme rovnu prechádzajúcu pramkou p 0 a bodom krvky P, 0. Keď sa číslo blíž k 0, bod P sa po krvke blíž k bodu P 0, prčom rovna sa oáča okolo pramky p 0. Dá sa dokázať, že lmnou polohou rovny je oskulačná rovna krvky v bode P 0. Preo spomedz všekých rovín, koré prechádzajú doyčncou krvky, je ku krvke najesnejše prložená jej oskulačná rovna. Názov pochádza z lanského slova osculao = bozkávane. Názov zavedol v 18. soročí W. Lebnz. Teda an vedy nebol všec maemac suchár. Príklad 3. Oskulačná rovna skrukovce. Pre paramerzácu P = acos, asn, b máme P = asn, acos, b, P = acos, asn, 0. Za normálový vekor oskulačnej rovny môžeme eda vzať vekor P P = absn, bcos, a, eše lepše vekor s jednoduchším súradncam m bsn, bcos, a. Oskulačná rovna skrukovce v bode P má symbolckú rovncu mx P 0. Po rozpísaní je o rovnca bsnx bcosy + az ab = 0. Úloha 3.1 Dokáže, že v ľubovoľnom bode skrukovce je uhol oskulačnej rovny s osou skrukovce, eda s osou z, konšanný. Porovnaje s úlohou.4. Úloha 3. Dokáže, že pre krvku, korej všeky body leža v jednej rovne, plaí: a Vekory prvej a druhej a všekých ďalších dervácí paramerckého vyjadrena krvky sú rovnobežné s ou rovnou resp. leža v nej, resp. sú jej smerové vekory formuláca je vec vkusu. b Táo rovna je oskulačnou rovnou krvky v každom jej bode. Návod: a Dosaďe súradnce paramerckého vyjadrena krvky P = x, y, z do rovnce rovny ax by cz d 0 a dervuje. b Využe vrdene a. Prpomeňme, že normála krvky je každá pramka prechádzajúca daným bodom krvky kolmo na doyčncu v om bode krvky. Spomedz všekých nekonečne veľa normál presorovej krvky v jej nenflexnom bode sú dve významné. Prvá leží v oskulačnej rovne nazýva sa hlavná normála, druhá je na oskulačnú rovnu kolmá nazýva sa bnormála. Bnormála a doyčnca určujú rekfkačnú rovnu krvky. Tako v každom nenflexnom bode krvky vznkl r navzájom kolmé pramky doyčnca, hlavná normála a bnormála a r navzájom kolmé rovny určené ým pramkam oskulačná rovna určená doyčncou a hlavnou normálou, normálová rovna určená hlavnou normálou a bnormálou a rekfkačná rovna určená doyčncou a bnormálou obr Na doyčnc, hlavnej normále a na bnormále leža jednokové vekory, n a b, koré vznkajú oronormalzačným procesom z vekorov P, P a P P: 0

22 3.1 P, P P P P P P P n, P P P P P P P P b. P P Nazývajú sa vekor doyčnce, vekor hlavnej normály a vekor bnormály obr Podsanú časť vzorca pre vekor n sme získal rešením rovnce P up vp 0, eda rovnce P P u P P v 0. Najjednoduchším nenulovým rešením je u P P, v P P. Vzorec 3.1 pre vekor n je pomerne komplkovaný, preo sa vekory, n a b časejše počíajú v zmenenom poradí: P P P 3., b, n b P P P Porade vekorov na pravej srane posledného vzorca neslobodno zmenť, lebo b = n. Pre krvky v rovne majú zmysel ba prvé dva zo vzorcov 3.1, lebo vekorový súčn am ne je defnovaný. Podobne ako v presore aj u je k dspozíc výpočová alernaíva pre vekor n: 3.3 = P/P, n = [sgn dep, P] Prom dep, P je deermnan, korého radky sú súradnce daných vekorov, eda x y dep, P a vekor vznkne z vekora oočením o +90, eda = b, a pre x y = a, b. Konečne sgn je skraka slova sgnum, čo je znamenko. Podrobnejše, pre vekor n z 3.3 plaí: Ak dep, P 0, ak n =. Ak dep, P 0, ak n =. Prečo sme ale v 3.3 nenapísal jednoducho n =? Dôvodom je skuočnosť, že z dvoch jednokových vekorov a,koré sú kolmé na vekor, bereme za vekor n en, pre korý je báza, n orenovaná rovnako ako báza P, P. V analyckej geomer sa hovorí, že dvojce nezávslých vekorov rovny, n a P, P sú rovnako orenované práve vedy, keď deermnany de, n a dep, P majú rovnaké znamenka. Oronormálne vekory, n a b vora Freneov rojhran alebo ež Freneov repér krvky. Francúzske slovo repére znamená značka, zárez. V geomer sa slovo repér radčne používa na vyjadrene objeku, korý určuje súsavu súradníc. 1. Francúzsky maemak J. P. Frene sa okolo roku 1850 sal spoluobjaveľom dôležých vzorcov z dferencálnej geomere krvek, koré sa dnes zapsujú pomocou vekorov, n, b a ch dervácí. Preo sa eo vekory menujú po ňom.. Všmne s, že vekor bnormály b je kolmý na oskulačnú rovnu krvky v bode P, preo jej rovncu môžeme zapísať v vare bx P 0, kde X x, y, z je ľubovoľný bod presoru a jeho súradnce sú v predošlej rovnc neznámym. Vedel by se obdobným spôsobom napísať rovncu normálovej rovny? Touo lekcou sa skončla prvá časť emackého celku Krvky. Mala opsný charaker, prevládal defníce a príklady. Od budúcej lekce sa charaker kurzu začne menť, objava sa prvé vey eorémy o vlasnosach krvek. 1

23 Lekca 4 Základným ceľom ejo lekce je spoznať prrodzenú paramerzácu krvky, korá je hádam najčasejše používaným násrojom eóre krvek. Dôležý medzkrok v omo smere, korý však má aj svoj samosaný význam, je dĺžka krvky. Budeme ju defnovať analycky, čoskoro však vo vee 4.1 ukážeme, že akýo posup je v súlade s bežnou predsavou o dĺžke čary. 4. Dĺžka krvky. Prrodzená paramerzáca krvky Dĺžka krvky s paramerzácou P, a, b je negrál b l P P d. a Poznámka 4.1 Všmnme s, že dĺžka je defnovaná ba pre krvky, korých paramercké vyjadrene je defnované na uzavreom a ohrančenom nervale. Takéo krvky sa nekedy nazývajú oblúky. Hovoríme, že oblúk P, a,b spája svoje krajné body Pa, Pb. Poznámka 4. Vea o subsúc v určom negrál zabezpečuje, že dĺžka krvky nezávsí od voľby jej paramerckého vyjadrena. Presvedčme sa o om. Paramercké vyjadrene P, a,b sa po subsúc u, uc,d zmení na Qu Pu, uc,d, prčom Qu Pu u pre všeky u vzorec.1. Funkca u je monoónna, kvôl určos nech je klesajúca. Vedy c b, d a a u u pre všeky u. Preo b l P P d a 1 b 1 a c P u udu P u u du Q u du l Q. Nasledujúce r príklady ukážu, že pre jednoduché krvky dáva defníca dĺžky krvky očakávané výsledky. d d c Príklad 4.1 Dĺžka úsečky s paramerckým vyjadrením P A B A, 0,1: 1 1 l P P d B A d B A [ ] 0 B A B A

24 Príklad 4. Dĺžka kružnce s polomerom r s paramerckým vyjadrením P rcos, rsn, 0, je r, lebo l P 0 P d 0 r cos, r sn d 0 r d r [ ] 0 r Príklad 4.3 Dĺžka grafu funkce y = fx, xa,b. Krvka má paramercké vyjadrene P =, f, preo doykový vekor krvky je P = 1, f. Z defníce dĺžky krvky dosávame známy vzorec pre dĺžku grafu funkce l b a 1 f x d x. Úloha 4.1 Presvedče sa, že bodové funkce a P 1 = rcos, rsn, 0, P = rcos, rsn, 0, 4 kružnca dvakrá obehnuá kružnca neurčujú rovnakú krvku, hoc nm zadané krvky majú rovnaké množny bodov. [Návod: Vypočíaje dĺžku oboch krvek a využe vrdene z poznámky 4..] Nasledujúca vea dáva defníc dĺžky krvky geomercký zmysel. Najprv ale príde defníca. Lomená čara vpísaná do krvky P, a,b je lomená čara s vrcholm P 0, P 1,, P k 1, P k, kde a = 0 1 k 1 k = b je delene nervalu a,b obr Dĺžka lomenej čary P 0 P 1 P k 1 P k je súče dĺžok jej srán, eda číslo lp 0 P 1 P k 1 P k P 0 P 1... P k 1 P k. Prpomeňme, že suprémum množny AR je najmenše horné ohrančene množny A, eda reálne číslo c, koré vyhovuje podmenkam 1. c x pre všeky xa,. pre každé 0 exsuje xa, pre koré x c. Prvá podmenka hovorí, že číslo c je horné ohrančene množny A a druhá, že žadne číslo menše ako c už ne je horné ohrančene množny A. Suprémum množny A zapsujeme supa. Mmoradne dôležá vea z maemackej analýzy hovorí, že každá neprázdna zhora ohrančená množna reálnych čísel má práve jedno suprémum. Vea 4.1 Geomercká nerpreáca dĺžky krvky a Úsečka je najkraša krvka spájajúca dva body. b Dĺžka krvky je suprémum dĺžok do krvky vpísaných lomených čar. Dôkaz vykonáme kvôl jednoduchšemu zápsu ba pre krvky v rovne. Uvažujme eda krvku s paramerzácou P x, y, a,b. a V dôkaze oho vrdena zvoľme súsavu súradníc ak, že body Pa, Pb leža na prvej súradncovej os, eda Pa xa,0, Pb xb,0, prčom eše xa xb. Zrejme plaí 3

25 4 d d d d b P a P a x b x x x y x P P l b a b a b a b a. V nerovnosach sme využl monoónnosť určého negrálu, eda vrdene b a b a dx x g dx x f x g x f b a x, V prvej nerovnos pre premennú x a funkce y x f a x g, v druhej nerovnos pre funkce x x f a x g. b Z defníce vpísanej lomenej čary a jej dĺžky a z predchádzajúcej čas vey vyplýva, že dĺžka každej lomenej čary vpísanej do krvky je menša alebo sa rovná dĺžke krvky. Osáva dokázať, že k dĺžke krvky sa môžeme s ľubovoľnou presnosťou prblížť dĺžkou vhodne vybranej vpísanej lomenej čary. Túo časť dôkazu ba naznačíme. Zvoľme ľubovoľné delene a = 0 1 k 1 k = b nervalu a,b. Odpovedajúca lomená čara P 0 P 1 P k 1 P k má dĺžku k k y y x x P P V každom z nervalov, 1 aplkujeme na funkce x x a y y Lagrangeovu veu o srednej hodnoe. Prpomeňme Lagrangeovu veu o srednej hodnoe: Pre každú číselnú funkcu y fx, korá je spojá na nervale a, b a má dervácu na nervale a, b exsuje aké číslo ca, b, že fb fa f cb a Geomercky: V bode c, fc je doyčnca grafu funkce y fx rovnobežná s pramkou, korá spája body a, fa, b, fb, eda krajné body grafu. V ďalšom kroku dôkazu aplkujeme Lagrangeovu veu o srednej hodnoe najprv na funkcu x x na nervale, 1. Číslo c z Lagrangeovej vey označíme, aby sme zvýraznl jeho závslosť od funkce x a od -ého nervalu delena. Podobne pre funkcu y y vznkne číslo. Podľa Lagrangeovej vey exsujú v ovorenom nervale, 1 aké čísla,, že y y y x x x a, preo ] [ ] [ k k y x y y x x k y x Pre jemné delene nervalu a,b sú nervaly, 1 veľm kráke, a preože,, 1, plaí prblžná rovnosť, a eda aj y y. To nám umožňuje pokračovať: k k k P y x y x Posledná suma je negrálny súče funkce f P, a, b. Pre dosaočne jemné delene nervalu a,b sa eno súče prblžne rovná negrálu, eda dĺžke krvky. Súčasne pre všeky

26 1,..., k 1 plaí y y, eda negrálny úče sa prblžne rovná dĺžke vpísanej lomenej čary, korá vznkne na základe oho delena nervalu. Zhrnue: Pre dosaočne jemné delene nervalu a,b sa dĺžka odpovedajúcej vpísanej lomenej čary prblžne rovná dĺžke krvky P, a,b. Poznamenajme, že presný dôkaz druhej čas vey 4.1 sa dá urobť využím faku, že funkca f, x y je rovnomerne spojá na dvojrozmernom nervale a,b a,b. Paramerzáca P, I sa nazýva prrodzená paramerzáca krvky alebo paramerzáca s jednokovou rýchlosťou, ak P = 1 pre všeky. Príklad 4.4 Nájdme prrodzenú paramerzácu pramky. Začneme ľubovoľnou paramerzácou z analyckej geomere P A u. Vedy P u, preo áo paramerzáca pramky je prrodzená paramerzáca práve vedy, keď u = 1. Príklad 4.5 Nájdme prrodzenú paramerzácu kružnce P = rcos, rsn, 0,. Na základe exu za príkladom 1.15 pr zmene paramerckého vyjadrena krvky pracujeme so subsúcou = s, sj. Teraz hľadáme akú, aby Qs = Ps bola prrodzená paramerzáca, eda akú, aby vekor Qs = Ps s bol jednokový. Preože Qs = r s sns, r s coss r s sns, coss vekor Qs je jednokový práve vedy, keď r s = 1, eda práve vedy, keď s = 1/r. Vedy s = 1/rds s/r + C. Preože nehľadáme všeky prrodzené paramerzáce kružnce ale ba jednu, pre jednoduchosť zvolíme znamenko + a negračnú konšanu C = 0: Qs = rcoss/r, rsns/r, s0, r. Úloha 4.1 Nájde prrodzenú paramerzácu skrukovce P = rcos, rsn, b, 0,. [Výsledok: Qs = acos s/a b, asn s/a b, bs/a b. Návod: s = 1/a b, = s s/a b.] Kvôl nasledujúcej vee prpomeňme, že symbol Pa,b znamená zúžene funkce P, I na podmnožnu a,b defnčného oboru I. Predps funkce sa eda nemení, ba jej defnčný obor je menší. Vea 4. Geomercká nerpreáca prrodzenej paramerzáce Pre prrodzenú paramerzácu krvky P, I plaí: Pre každý podnerval a,b I sa dĺžka úseku krvky Pa,b rovná dĺžke b a odpovedajúcej čas defnčného oboru paramerzáce obr. 4.,.j. Dôkaz Pre prrodzenú paramerzácu plaí lpa,b = b a pre všeky nervaly a,b I. b b l P a, b P d 1d b a. a a 5

27 Položme vo vee 4. a 0 a b s. Vedy lp0, s s, eda s je dĺžka oblúka krvky medz bodm P0 a Ps. Iným slovam, bod pohybujúc sa po krvke z bodu P0 do bodu Ps vykoná dráhu dĺžky s, čo je v súlade s obvyklým označením v mechanke. Preo premennú v prrodzenej paramerzác krvky spravdla označujeme písmenom s a prrodzenú paramerzácu nazývame ež paramerzáca dĺžkou oblúka. Posup z príkladu 4.3 zovšeobecňuje nasledujúca vea. Kvôl jej dôkazu defnujme pre krvku P, I a pre číslo ai funkcu Pre všeky I zrejme plaí 4.1 P, s a : I R, s a P u du. s a 4. s a lpa, ak a, 4.3 s a lp,a ak a. a Rovnosť 4.1 vyplýva zo známeho vzorca pre dervácu funkce, korá je negrálom s premennou hornou hrancou: d dx x a f u du f x, ďalše dve rovnos vyplývajú z defníce dĺžky krvky a z vey o výmene hraníc určého negrálu. Vea 4.3 Nech P, I je regulárna paramerzáca krvky a nech 0 I a s 0 R sú ľubovoľné čísla. Poom exsuje aká subsúca = s, sj, že s 0 J, s 0 = 0 a Qs = Ps je prrodzená paramerzáca danej krvky, korá krvku orenuje rovnako ako pôvodná paramerzáca.j. s 0 pre všeky s. Dôkaz. Uvážme funkcu = s 0 + s a pre a = 0. Zrejme 0 = s 0 a = s a P 0 pre všeky. Preo exsuje nverzná funkca = 1 s, sj, korú označíme s. Na základe vey o dervác nverznej funkce dosávame s = 1/ s = 1/s a s = 1/Ps 0. Funkca s je eda rasúca, preo nová paramerzáca Qs = Ps orenuje krvku rovnako ako paramerzáca P. Qs je prrodzená paramerzáca, lebo pre všeky s plaí Qs = Ps s = Ps s = Ps 1/Ps = 1. Poznámka 4.3 Vea 4.3 hovorí, že každá regulárna krvka má nekonečne veľa prrodzených paramerzácí. Smunou skuočnosťou však je, že prosrednícvom elemenárnych funkcí ch možno vyjadrť len pre veľm málo krvek. Napríklad z kužeľoseček možno prrodzenú paramerzácu explcne eda vzorcom napísať ba pre kružncu príklad

28 Poznámka 4.4 Prrodzená paramerzáca krvky sa používa najmä v eoreckých úvahách, lebo pre ňu mnohé vzorce nadobúdajú jednoduchšu podobu. Vdno o napr. na nžše sa nachádzajúcom vzorc 4.6b a na dôsledku 4.1. Poznámka 4.5 Keď krvku skúmame v jednom jej bode, môžeme na základe vey 4.3 predpokladať, že krvka je vyjadrená prrodzenou paramerzácou Ps, prčom skúmaný bod je Ps 0. Kvôl jednoduchšemu zápsu časo klademe s 0 0. Úloha 4.3 Nájde prrodzenú paramerzácu a reťazovky P =, cosh. [Qs = lns s 1, s 1. Návod: = s 0 snh, = s Argsnhs lns s 1. Funkce snhx a coshx nájdee v príklade 1.5.] b krvky P = e cos, e sn, e. [Qs = s 3/3 cos lns 3/3, s 3/3 sn lns 3/3, s 3/3. Návod: = s 0 3e 1, = s lns 3/3.] Lema 4.1 Ak je dĺžka vekorovej funkce u konšanná, ak uu 0, čže u u pre všeky. Dôkaz. Ak u = c pre všeky, ak uu = c všade. Po zdervovaní oboch srán máme uu = 0 pre všeky, čže uu = 0,.j. u u pre všeky. Nasledujúce vzorce vyjadrujú základné vlasnos prrodzenej paramerzáce, budeme ch časo používať. Tu a aj neskôr skraka PP upozorňuje, že vzorec plaí ba pre prrodzenú paramerzácu krvky, pre né ypy paramerzácí už plať nemusí. 4.4 Ps = 1.j. PsPs 1 PP 4.5 Ps Ps.j. PsPs 0 PP 4.6a s = Ps PP 4.6b ns = Ps/Ps PP 4.6c bs = s ns PP Vzorce odôvodníme jednoducho: Vzorec 4.4 ba opakuje defnícu prrodzenej paramerzáce, vzorec 4.5 je vzhľadom na lemu 4.1 dôsledkom vzorca 4.4 pre funkcu u Ps. Zo vzorcov 3.1, 4.4 a 4.5 dosaneme 4.6a, 4.6b. Vzorec 4.6c plaí dokonca pre ľubovoľnú paramerzácu krvky, u ho uvádzame ba kvôl úplnos nformáce. Dôsledok 4.1 Bod Ps je nflexným bodom krvky vyjadrenej v prrodzenej paramerzác práve vedy, keď Ps = 0 PP. Dôkaz Bod Ps je nflexným bodom krvky práve vedy, keď vekory Ps a Ps sú lneárne závslé. Podľa vzorca 4.5 máme Ps Ps pre všeky s. Lenže vekor Ps je lneárne závslý s nenulovým vekorom Ps a súčasne naň kolmý práve vedy, keď je nulový. 7

29 Nasledujúca vea hovorí o rozložení bodov rovnnej krvky vzhľadom na jej doyčncu v nenflexnom bode. Pre jej dôkaz prpomíname nekoré faky o analyckom vyjadrení pramky a polrovny. V rovne môžeme rovncu pramky a, korá prechádza bodom A kolmo na vekor n, symbolcky zapísať pomocou skalárneho súčnu vekorov v vare nx A 0. Pramka a s rovncou nx A 0 je hrancou dvoch navzájom opačných polrovín. Teo sú vyjadrené nerovncam nx A 0 resp. nx A 0. Do prvej z polrovín smeruje vekor n, do druhej vekor n. Hovoríme ež, že polrovna nx A 0 je určená pramkou a vekorom n. Vea 4.4 V blízkos nenflexného bodu leží rovnná krvka v polrovne určenej doyčncou a vekorom normály. Dôkaz obr Podľa poznámky 4.5 môžeme predpokladať, že krvka je zadaná prrodzenou paramerzácou a že ju skúmame v bode P0. Doyčnca v bode P0 má rovncu n0x P0 0, polrovna určená doyčncou a vekorom normály krvky je vyjadrená nerovncou n0x P0 0. Pre funkcu hs = n0ps P0 plaí h0 n0p0 P0 0, h0 = n0p0 = n00 = 0, h0 = n0p0 = n0p0n0 = P0n0n0 = P0 0. V druhej rovnos poslednej sére sme využl obmenu vzorca 4.6b P0 P0n0. Funkca hs má eda v bode 0 osré lokálne mnmum rovné 0, preo pre s nenulové ale blízke nule je kladná. Teda pre s blízke k 0 vyhovujú body Ps nerovnc n0x P0 0, preo leža v polrovne, korá je určená doyčncou a vekorom normály krvky v bode P0. 1. Precízna podoba výroku pre s blízke k 0 vyhovujú body Ps nerovnc n0x P0 0 je: exsuje aké 0, že pre všeky s, plaí n0x P0 0. Analogcky aj nde.. Funkca hs = n0ps P0 z predchádzajúceho dôkazu vyjadruje orenovanú vzdalenosť bodu Ps od doyčnce krvky v bode P0. Ak je doyčnca vodorovná, hs je výška bodu Ps nad doyčncou. Odaľ symbol h. V súsave súradníc P0, 0, n0 je hs druhá súradnca bodu Ps. Poznámka 4.6 Pre dosaočne veľké hodnoy paramera môžu body krvky prejsť do opačnej polrovny s nerovncou n0[x P0] 0, a o aj vedy, keď všeky body krvky sú nenflexné. Typckým príkladom krvky, korá sa ak chová, je Archmedova šprála P cos, sn, 0,. Vac nformácí o nej vráane obrázka možno nájsť napríklad na sránke hps://en.wkpeda.org/wk/archmedean_spral. Poznámka 4.7 Vea 4.4 je ukážkou výsledku zv. lokálnej dferencálnej geomere, korá skúma vlasnos malých časí krvek. Pre ňu je ypcké, že z vlasnosí dervácí v jednom bode v omo prípade z vlasnos, že vekory P0 a P0 sú lneárne nezávslé sa získajú vlasnos bodov ležacch blízko skúmaného bodu u o bolo vrdene, že blízke body leža v jednej polrovne vzhľadom na doyčncu. 8