ÚLOHA KURIÉRA S ČASOVÝMI OKNAMI

Transcription

1 ÚLOHA KURIÉRA S ČASOVÝMI OKNAMI Čičková Zuzana Brezina Ivan Pekár Jura ÚVOD Problém kuriéra ([4], [5]) e edným z mnohých modifikácií známeho problému obchodného cestuúceho. Jeho názov vyplýva z priame aplikovateľnosti v oblasti kuriérskych služieb, kde pri zostavovaní okružne cesty predpokladáme súčasne nutnosť vyzdvihnutia zásielky u zákazníka a e následné doručenie k inému zákazníkovi. Tento problém e edným zo známych okružných problémov, kde záuem o danú problematiku nevyplýva len z prakticke využiteľnosti v oblasti logistiky, ale a z analýzy možností riešenia zodpovedaúcich úloh z dôvodu ich výpočtove zložitosti (trieda NPúplných úloh). Častým rozšírením okružných problémov e zohľadnenie časových obmedzení ([1], [2], [3], [6]), keď e potrebné priradiť okružne ceste časový plán vrátane časových okamihov, v ktorých sa začne obsluha každého zo zákazníkov, ktorá sa začne (prípadne sa ukončí) počas špecifikovane časove periódy. Súvisiace problémy sa nazývaú okružné problémy s časovými oknami. Praktické riešenie ednotlivých úloh e nevyhnutne spoené s využitím adekvátne softvérove podpory. Tento príspevok e venovaný prezentácii zodpovedaúcich matematických modelov problému kuriéra a problému kuriéra s časovými oknami a tiež ich formulácia v azyku GAMS (General Algebraic Modeling System). GAMS e považovaný za eden z navýkonneších softvérových prostredí umožňuúcich zápis a riešenie úloh matematického programovania. Všeobecný algebrický modelovací systém GAMS e programovací azyk vyšše úrovne využívaný namä v oblasti optimalizačných výpočtov, pretože umožňue zadávať optimalizačné úlohy v ich matematickom zápise. Toto prostredie spáa poznatky z oblasti matematického programovania a relačných databáz, čo automatizue využitie zdroov počítača (nie e nutné explicitne definovať rozmery polí a pod.). GAMS umožňue zadávanie modelu v algebricke forme, čo zachováva prehľadnosť modelu súčasne s možnosťou ednoduche modifikácie údaove základne a spolu s integrovanými solvermi predstavue vhodný nástro na riešenie širokého spektra optimalizačných úloh. 1 PROBLÉM KURIÉRA Matematický model problému kuriéra a úlohy kuriéra s časovými oknami bude ďale zapisovaný v tvare úlohy binárneho programovania. V ne sa uvažue s n zákazníkmi, ktorí požaduú vyzdvihnutie zásielky zo svoho sídla a e následné doručenie k inému zákazníkovi. V modeli sa ďale predpokladá, že žiadané miesto doručenia e rôzne od sídla zákazníka, od ktorého e zásielka vyzdvihnutá (v prípade nesplnenia predpokladu bude danému vrcholu priradených viacero indexov). Nech sú sídla zákazníkov označené párnymi indexmi a miesta doručenia nepárnymi indexmi, pričom miesto žiadaného doručenia príslušného zákazníka má vždy index o ednotku vyšší, ako e index zákazníka. N = 1, 2,...2n a celkový počet miest (vrcholov) vrátane Potom zákazníkov reprezentue množina { } strediska bude 2n + 1, čo reprezentue množina N { n} =, 1,...2. Nech e ďale daná matica nakratších vzdialeností medzi všetkými zákazníkmi a tiež medzi zákazníkmi a strediskom D = { d i } rozmeru 2n+1 x 2n+1. V modeloch budú používané binárne premenné x i ( i, N, i ) s nasleduúcim významom: x i = 1, ak vo výsledne okružne ceste bude i-tý zákazník (resp. stredisko) zaradený priamo pred -teho zákazníka (resp. stredisko). Pre každého zo zákazníkov a pre stredisko bude zavedená pomocná premenná u i, i N, na základe ktore bude možné určiť poradie navštíveného zákazníka. Matematický model problému kuriéra možno formulovať nasleduúcim spôsobom [4]: ( ) = min f X, u di xi (1) i N i N N xi = 1, N, i (2) xi = 1, i N, i (3) N

2 ( ) ui u + 2n + 1 xi 2n, i N, N, i (4) u2i u 2i + 1, i N (5) u = (6) 1 ui xi {, 1}, i, N n, i N (7), i (8) Účelová funkcia (1) zabezpečí minimalizáciu celkove predenie vzdialenosti. Podmienky (2) a (3) zabezpečuú, že každý vrchol bude navštívený práve raz. Podmienka (4) e anticyklickou podmienkou, ktorá zabraňue vzniku parciálnych podcyklov. Keďže sídla zákazníkov sú označené párnymi indexmi a miesta doručenia nepárnymi indexmi, pričom miesto žiadaného doručenia má vždy index o ednotku vyšší ako e index zákazníka, podmienka (5) zabezpečí, že zásielka nebude doručená predtým, ako e vyzdvihnutá. Podmienky (6) a (7) určuú priamo poradové číslo navštívenia zákazníka. Zdroový kód modelu pre program GAMS e takýto: $title Úloha kuriera Zadanie vstupných dát Sets i /*n/ subi(i)/1*n/; Parameter subi2(i); subi2(i)=yes$(mod(ord(i),2) = ); alias (i,); Sets offdiag1(i,) offdiag2(i,); offdiag1(i,)=yes; offdiag1(i,i)=no; offdiag2(i,)=offdiag1(i,); offdiag2(i,'')=no; *Matica nakratších vzdialeností (diag. prvky = ) Table d(i,); Matematický model Scalar n; n=card(i); Variables f, u; u.fx('')=; u.lo(subi(i))=1; u.up(subi(i))=n; Binary Variable x; Equations ohr1(i), ohr2(), anti(i,), ohr3(i), ucel; ucel.. f=e=sum((i,),d(i,)*x(i,)); ohr1(i).. sum(,x(i,)$offdiag1(i,))=e=1; ohr2().. sum(i,x(i,)$offdiag1(i,))=e=1; anti(i,)$offdiag2(i,).. u(i)-u()+n*x(i,)=l=n-1; ohr3(i)$subi2(i).. u(i)=l=u(i+1); Model kurier /all/; Solve kurier using mip minimizing f; Display x.l, u.l;

3 2 PROBLÉM KURIÉRA S ČASOVÝMI OKNAMI Zohľadnenie časových obmedzení pri riešení okružných úloh e edným z nazauímaveších rozšírení s veľkou praktickou využiteľnosťou. Za časové okno pre každého zákazníka z množiny N = 1, 2,...2n budeme považovať interval medzi naskôr možným začiatkom obsluhy príslušného { } zákazníka e i, i N, a naneskôr prípustným koncom obsluhy tohto zákazníka l i, i N. Označme u i reálny začiatok obsluhy, potom pre všetkých zákazníkov musí platiť vzťah e i u i a u i l i pre i N. Takéto obmedzenie e známe ako tzv. hard okno. Ďale predpokladame, že matica D e maticou narýchleších vzdialeností a e prvky sú udávané v časových ednotkách. Uvažume ďale situáciu, keď nemožno uskutočniť obsluhu odberateľov zohľadnením všetkých časových okien. Potom e nevyhnutné uvažovať s čakaním vozidla. Označme čas čakania u i-tého zákazníka, i N ako w i. Matematický model budeme formulovať tak, že v prípade, ak nebude možná obsluha zákazníka, bude umožnené čakanie v príslušnom vrchole do okamihu e. Premenné u i, i N budú predstavovať reálny čas vyzdvihnutia, resp. reálny čas doručenia zásielky. V modeli budeme súčasne predpokladať nulový čas obsluhy všetkých uzlov. Matematický model problému kuriéra s časovými oknami možno zapísať takto: ( ) minf = di xi + w + v ui i N N N i N i N X,w,u (9) xi = 1, N, i (1) xi = 1, i N, i (11) N ( 1 ) ui + w + di M xi u, i N, N, i (12) ei ui li, i N (13) u2i u 2i + 1, i N (14) u = (15) xi {, 1}, i, N, i (16) w, N (17) Podmienka (4) z predchádzaúceho modelu e nahradená podmienkou (12), ktorá zabraňue nielen vytváraniu podcyklov, ale zabezpečue a bilanciu začiatkov času obsluhy, t.. reálny čas vyzdvihnutia zásielky, resp. reálny čas e doručenia. Táto podmienka spolu s podmienkami (13) a (15) zaručue splnenie časového okna. Podmienky (1), (11) a (14) maú analogický význam ako podmienky (2), (3) a (5). Účelová funkcia (9) e súčtom celkového času potrebného na presun a celkového času čakania. Posledný člen súčtu, t.. výraz v ui zabezpečí, že výsledkom budú tie namenšie možné hodnoty i N začiatkov obsluhy, vyhovuúce súčasne obmedzeniam (12) až (15), t.. reálne časy začiatku obsluhy zákazníkov. Ak by tento výraz nebol súčasťou účelove funkcie, na základe nerovnosti (12) by výsledkom mohli byť možné alternatívne riešenia s vyššími hodnotami u i. Hodnota v v účelove funkcii e hodnotou váhy (malé kladné číslo). Celkový čas výsledne trasy získame odpočítaním hodnoty tohto výrazu od výsledne hodnoty účelove funkcie. V programe GAMS možno daný model zapísať takto: $title Úloha kuriera s časovými oknami Zadanie vstupných dát Sets i /*n/ subi(i)/1*n/; Parameter subi2(i); subi2(i)=yes$(mod(ord(i),2) = ); alias (i,); Sets offdiag1(i,) offdiag2(i,); offdiag1(i,)=yes;

4 offdiag1(i,i)=no; offdiag2(i,)=offdiag1(i,); offdiag2(i,'')=no; *Matica narýchleších vzdialeností (diag. prvky = ) Table d(i,); Scalars M /M/ v /v/; Parameters e() /vstupné dáta dolne hranice času obsluhy vrcholov / l() /vstupné dáta horne hranice času obsluhy vrcholov /; Matematický model Scalar n; n=card(i); Variables f, u; u.fx('')=; Binary Variable x; Positive Variables w(i); Equations ohr1(i), ohr2(), anti(i,), ohr3(i), ohr4(i), ohr5(i), ucel; ucel..f=e=sum((i,),d(i,)*x(i,))+sum(subi2(i),w(i))+v*sum(subi2(i),u(i)); ohr1(i).. sum(,x(i,)$offdiag1(i,))=e=1; ohr2().. sum(i,x(i,)$offdiag1(i,))=e=1; anti(i,)$offdiag2(i,).. u(i)+ w()-ut()+d(i,)-m*(1-x(i,))=l=; ohr3(sub()).. u()=l=l(); ohr4(sub()).. ut()=g=e(); ohr5(i)$subi2(i).. u(i)=l=u(i+1); Model kurierco /all/; Solve kurierco using mip minimizing z; Display x.l, t.l; 3 ILUSTRATÍVNE PRÍKLADY Uvedený postup riešenia problému kuriéra a problému kuriéra s časovými oknami budeme ilustrovať na nasleduúcom príklade: Vstupné údae: Počet zákazníkov n: 6 Matica narýchleších vzdialeností: D = Hodnoty naskôr možných začiatkov obsluhy príslušného zákazníka e i, i T e = ( 6,,12,,15, 2 ) Hodnoty naneskôr prípustných koncov obsluhy príslušného zákazníka l i, i T l = ( 65, 3,12, 85, 38, 6 ) Riešenie problému kuriéra: Hodnota účelove funkcie: 55 Realizovaná okružná trasa kuriéra: N : N :

5 Riešenie problému kuriéra s časovými oknami: Hodnota účelove funkcie: 73 Realizovaná okružná trasa kuriéra: u T = 6, 25, 43, 85,15,6 Reálne začiatky obsluhy ednotlivých zákazníkov: ( ) ZÁVER Rôzne typy okružných problémov umožňuú matematicky modelovať mnohé reálne situácie a tak priblížiť problematiku matematického modelovania potrebám praxe. Predpokladom úspešného riešenia optimalizačných úloh e základná znalosť modelovacích techník, t.. pred riešením optimalizačne úlohy treba zostaviť zodpovedaúci matematický model, V príspevku bol prezentovaný problém kuriéra, ktorý e využiteľný namä v situáciách, keď e daná následnosť obsluhy dvoice zákazníkov a tiež rozšírenie daného problému o časové okná obsluhy zákazníkov. Riešenie zodpovedaúcich úloh e spoené s využívaním výpočtove techniky s podporou vhodného softvéru. V príspevku bola prezentovaná možná formulácia uvedených modelov v azyku GAMS zameranom na optimalizačné výpočty. Tento príspevok bol podporený grantom VEGA, číslo proektu 1/14/12 Modelovanie cenove politiky dodávateľského reťazca v konkurenčnom prostredí. LITERATÚRA [1] BREZINA, I. ČIČKOVÁ, Z. GEŽÍK, P.: Sieťová analýza. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 212b. [2] BREZINA, I. ČIČKOVÁ, Z. GEŽÍK, P. PEKÁR, J.: Modelovanie procesov reverzne logistiky optimalizácia procesov recyklácie a likvidácie odpadu. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 29a. [3] BREZINA, I. ČIČKOVÁ, Z. REIFF, M.: Kvantitatívne metódy na podporu logistických procesov. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 29b. [4] FÁBRY, J: Dynamické okružní a rozvozní úlohy. Disertační práce. VŠE-FIS, Praha, 26. [5] FIALA, P. a kol.: Operační výskum, nové trendy. Praha: Profesional Publishing, 21. [6] PALÚCH, S. PEŠKO, Š.: Kvantitatívne metódy v logistike. Žilina : EDIS vydavateľstvo ŽU, 26. Adresa autorov: Zuzana Čičková, Ing. PhD Ekonomická univerzita v Bratislave Fakulta hospodárske informatiky, Katedra operačního výskumu a ekonometrie, zuzana.cickova@euba.sk Ivan Brezina, prof. Ing. CSc., Ekonomická univerzita v Bratislave Fakulta hospodárske informatiky, Katedra operačního výskumu a ekonometrie, ivan.brezina@euba.sk Jura Pekár, doc. Mgr. PhD., Ekonomická univerzita v Bratislave Fakulta hospodárske informatiky, Katedra operačního výskumu a ekonometrie, ura.pekar@euba.sk

6 COURIER DELIVERY PROBLEM WITH TIME WINDOWS Abstract Routing and scheduling of vehicles are important operational issues in the logistics. This paper deals with the Courier Delivery Problem with Time Windows (CDPTW). The CDPTW is an extension of classical Traveling Salesman Problem that is well known in optimization. The goal of the CDPTW is to find optimal shortest route (in time units) for a vehicle with unlimited capacity in order to serve a given set of customers in pairs. The goal is to pick up items at the customer and its subsequent delivery to another customer if all the customers need to be served between a given time interval (time window). In this paper, we formulate a mathematical model to capture all aspects of that problem based on mixed integer programming (MIP) with linear obective function and constraints and we present the source code for General Algebraic Modeling System (GAMS). Key words Courier Delivery Problem with Time Windows, Mixed Integer Programming, General Algebraic Modeling System. JEL Classification C2, C61