UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE

Transcription

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra iformatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA Zožitosté aspekty optických sietí Bratisaa, 006 Micha Godek

2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Zožitosté aspekty optických sietí Autor: Micha Godek Vedúci dipomoej práce: doc. RNDr. Rastisa Kráoič, PhD. 006

3 Ďakujem edúcemu dipomoej práce doc. RNDr. Rastisaoi Kráoičoi, PhD. za pomoc a ceé pripomieky pri ypracoáaí dipomoej práce.

4 Česte prehasujem, že dipomoú prácu som ypracoa samostate s použitím uedeej iteratúry....

5 Zožitosté aspekty optických sietí Abstrakt V tejto práci uažujeme probém árhu sietí použíajúcich pe optickú routoaciu techoógiu s istou mierou odoosti oči ýpadku určitého počtu hrá tz. prežiteľosť komuikácie, astosť prežiteľosti). V takýchto sieťach sú šetky spráy preášaé optickej forme od zdroja až k cieľu, a smeroaie sa ykoáa a optickom sigáe. Optické sigáy môžu použitím rôzych oých dĺžok použíať roakú hrau. Sigáy použíajúce roakú oú dĺžku šak musia použíať hraoo ezáisé cesty. Odoosť pri ýpadku hrá reaizujeme techikou pokrytia siete podsieťami, ktoré sú chráeé ezáisé jeda od druhej. Nadäzujeme a práce zaoberajúce sa touto probematikou a priášame oé ýsedky pri routoacích agoritmoch zahrňujúcich kaitatíu astosť prežiteľosti a fyzickej sieti s topoógiou torusu, -rozmerej mriežky, -rozmerej toroidej mriežky a -rozmerej mriežky. Ako podsieť uažujeme cyky a komuikačej schémeištacie) úpej ýmey a-to-a, šetky uzy azájom komuikujú). I A Odhadi sme doé hraice počtu potrebých oých dĺžok. Narhi sme uierzáy spôsobagoritmus), ktorým sme sa a skúmaých topoógiách k týmto odhadom asymptoticky pribížii. Kľúčoé soá: WDM faut-toerace, routig cyces oer d-dimesioa square ad tori,

6 Zožitosté aspekty optických sietí Obsah. Úod..... Motiácia..... Výoj..... Optický mode..... Nastaeie prepíačo Spoľahiosť.... Defiície Ozačeia Ďašie skúmaé probémy Druhy ištacií Probém spoľahiosti prežiteľosti) Prehľad obasti Všeobecé pozatky Efektíe routoacie agoritmy Pokrýaie grafu podgrafmi..... Prežiteľosť komuikácie a kruhoch pre a-to-a komuikáciu.... Naše ýsedky..... Doý odhad pokrytím cyko Doý odhad a toruse Doý odhad pre mriežku Doý odhad pre m-rozmerú mriežku a m-rozmerú toroidú mriežku..... Agoritmy reaizujúce komuikáciu I A a toruse Rozdeeie požiadaiek do moží M Reaizácia požiadaiek možiy M Komuikácia a kruhoch Reaizácia cyko Komuikácia medzi doma štorcami Ohraičeie počtu oých dĺžok..... Agoritmus reaizujúci I A a mriežke... 7

7 Zožitosté aspekty optických sietí.. Náčrt agoritmu Agoritmy pre rozmerú mriežku a torus Agoritmus pre torus Zhrutie Použitá iteratúra... 5

8 Zožitosté aspekty optických sietí. Úod Táto práca sa zaoberá teoretickými pozatkami dosiahutými obasti optických sietí s optickým routoaím podľa oej dĺžky. Prihiada pri tom a astosť prežiteľosti siete, čo je akýmsi atribútom spoľahiosti pri ýpadkoch iektorých jej častí. Saží sa pyuo adiazať a práce zaoberajúce sa touto probematikou a priáša oé ýsedky pri routoacích agoritmoch zahrňujúcich túto kaitatíu astosť a fyzickej sieti s topoógiou torusu, -rozmerej mriežky, -rozmerej toroidej mriežky a -rozmerej mriežky. Priáša tiež doé ohraičeie pre m-rozmerú mriežku a m-rozmerú toroidú mriežku... Motiácia Optické siete poúkajú možosť zájomého prepojeia stokám až tisíckam užíateľo. Umožňujú pokrytie od okáych obastí až po široko zdiaeé. Odoáajú rušiým pyom prostredia a poskytujú kapacity rádoo preyšujúce tradičé techoógie. Tradičé siete použíajú eektrickú formu a prepíaie sigáo, ktoré môžu byť moduoaé eektroicky s maximáou priepustosťou rádoo okoo 0 Gbps, zatiaľ čo šírka pásma optického áka je pribiže 0THz. Pri takejto šírke pásma, uažujúc biáry preos sa podľa Nyquista teoreticky môžeme dostať až a 0 Tbps. Z toho dôodu sú šetky prepíacie uzy takejto siete, kde sa musí sigá optickej forme meiť a eektrickú a potom asedoe späť a optickú formu, zížeím jej priepustosti. Ceo-optické komuikačé siete yužíajú fotoické techoógie a impemetáciu oboch, prepíacej aj preosoej fukcie. V týchto sieťach je široké pásmo optického áka spraoaé a udržiaaé cez deeie a skadaie oých dĺžok waeegth diisio mutipexig). Jedá fyzická optická ika môže iesť iekoľko ogických sigáo ysieaých a rôzych oých dĺžkach. Iformácia, raz ysaá do siete ako seto, dosiahe soj cieľ bez koertoaia do eektrickej formy počas jej cesty. Tým sa dosahuje maximáa komuikačá rýchosť seta... Výoj Zrejme etreba ikoho prieľmi dho presiedčať o opodstateosti ýskumu tejto obasti super-rýchych pe-optických sietí. S príchodom techoogických oiiek a ioácií sa často meia aj ciee teoretického ýskumu a modeoaia, a pribúdajú aj stáe oé a oé probémy. Niektoré probémy sa riešia teoretickým ýskumom a ié zas príchodom oej a moderejšej techoógie, čím a sebe umožia apikáciu iých teoretických modeo. S pokrokom techoógie sa musia meiť aj agoritmy riadiace tieto super rýche prúdy dát týchto sieťach.

9 Zožitosté aspekty optických sietí Pri počiatkoch optickej techoógie boo možé techicky posieať jedom optickom áke e jede seteý sigá. Neskôr sa už jedom áke dao iesť aj iacero sigáo, zájome sa od seba íšiacich oou dĺžkou. Takáto techika je tiež záma ako waeegthdiisio mutipexig WDM). Keďže frekecia a oá dĺžka sú záisé f. λ c, rýchosť seta), je WDM koceptuáe podobá frequecy diisio mutipexig FDM. Seteý sigá tiež po ceste o áke sabe a treba ho zosiňoať. Doedáa sa sigá zosiňoa e eektroicky. Eektroické zosiňoače šak predstaoai pri možostiach yužitia pásma optickej siete ýraze zdržaie. S príchodom optického zosiňoača zaožeého a Erbioých-dákach bo teto probém yriešeý. Ďaším zdržaím boi eektroické routre použíaé týchto sieťach. S príchodom pe optických smeroačo, ktoré dokázai smeroať sigáy prichádzajúce a rôzych oých dĺžkach a rôze ýstupy Obr.) bo aj teto probém yriešeý. Ašak aj tu boi obmedzeia a to hae eschoposť meiť smeroači oú dĺžku. To sa riešio rafioaým prideľoaím ciest sieti a oej dĺžky týmto cestám. Vo ýskumých aboratóriách už boi skúšaé aj smeroače, schopé pri Obr.. Optický smeroač smeroaí koertoať oú dĺžku sigáu čiastoče, ae aj úpe) Obr. ). Na komerčom trhu sa šak zatiaľ eobjaii, ae bízkej budúcosti sa to dá očakáať. Táto oika zasa poúka oé možosti. Jeda úoha tejto obasti sa šak emeí. A to miimaizoať ceu po-optickej siete, kde sa prihiada a možsto použitia jedotiých sieťoých prko zhľadom a komuikačú potrebu sieti a topoógiu. Napriek tomu že majú optické siete eľmi ízku chyboosť, zika potreba skúmať astosť spoľahiosti takej siete. Ide hae o prežitie komuikácie pri ýpadku iektorých z iiek. Tým sa do istej miery zaoberá aj táto práca.

10 Zožitosté aspekty optických sietí Obr. :Optický smeroač so schoposťou koertoať oé dĺžky sigáo.. Optický mode Vo šeobecosti, WDM optická sieť pozostáa z prepíacích uzo, zájome pospájaých optickými ikami, ktoré môžu podporoať preos určitého možsta oých dĺžok. Roaké oé dĺžky a doch stupých portoch emožu byť asmeroaé a roaký ýstup z dôodu eektromagetickej iterferecie. V tejto práci budeme uažoať prepíacie siete s šeobecými prepíačmi, zaožeými a akusto-optických fitroch. V tomto type sietí sigá, pre de rôze požiadaky, môže cestoať a tej istej komuikačej ike do uza použíajúc rôze oé dĺžky) a opustiť uzo použijúc rôze komuikačé iky. Teda fotoický prepíač switch) dokáže rozíšiť komuikáciu prichádzajúcu z komuikačej iky a rôzych oých dĺžkach a určiť pre každú oú dĺžku rôzy ýstup prepíača. Patí šak obmedzeie, že žiade de cesty sieti zdieľajúce optickú iku emajú priradeú roakú oú dĺžku. V prepíacích optických sieťach je umožeé zoupoužitie oej dĺžky, čo dramaticky redukuje počet potrebých oých dĺžok poroaí so sieťami eprepiajúcími. Prepíacie optické siete teda pozostáajú zo zájome pospájaých uzo, ktoré môžu byť termiáy, prepíače, aebo oboje. Termiáy posieajú a primajú sigáy a prepíače smerujú soje stupé sigáy a jede aebo iac zo sojich ýstupo. Každá ika je obojsmerá a skutočosti pozostáa z páru jedosmerých iiek. Niektorí autori uažoai topoógie s eorietoaými optickými ikami esúcimi eorietoaé cesty. No čoraz iac boo zrejme, že optické zosiňoače umiesteé a áke budú orietoaé zariadeia. Preto modeujeme optickú sieť ako symetrický orietoaý graf GVG), AG)), kde každá orietoaá hraa reprezetuje poit-to-poit jedosmerú optickú iku. Požiadaka request pozostáa z páru uzo, dožadujúcich sa komuikácie. A ištaciu budeme chápať ako možiu požiadaiek. Riešeie pozostáa z astaeia

11 Zožitosté aspekty optických sietí prepíačo a priradeia oých dĺžok požiadakám tak, že medzi pármi uzo šetkých požiadaiek existuje grafe G cesta jedým aj druhým smerom) a žiada orietoaá hraa eesie da rôze sigáy a roakej oej dĺžke. Cea a reaizoateľosť prepíacích a zosiňoacích zariadeí záisí od počtu oých dĺžok, ktoré dokážu tieto zariadeia spracoať. Zatiaľ čo experimetáe systémy yhasujú do 00 oých dĺžok a áko, komerčé WDM mutipexery skadače) dokážu spracoať do 0IBM) oých dĺžok. Preto je saha miimaizoať počet oých dĺžok použitých riešeí. Ak je požadoaý äčší počet oých dĺžok ako je sieti aktuáe k dispozícií je emožé uspokojiť šetky požiadaky a spojeie. Optické prepíače emeia oú dĺžku sigáo cez e prechádzajúcich. Ak by uzo moho meiť oú dĺžku, a ktorej bo sigá do siete ysaý, smeroať ištaciu použijúc miimáe možsto oých dĺžok by boo ekiaeté ájdeiu miimáeho toku grafe... Nastaeie prepíačo Skutočý proces astaeia prepíačo, určeie ciest pre požiadaky a priradeie oých dĺžok je reaizoaé za pomoci eektroickej chrbtoej kotroej siete. Môžeme si kásť otázku použitia reatíe pomaej eektroickej siete tradičá sieť s eektroickými prepíačmi) a astaeie ysoko rýchostých spojeí. V skutočosti, preažé použitie týchto ysoko rýchostých sietí požaduje spojeia potrebujúce raz astaiť a trajúce reatíe dhšiu dobu. Požiadaka o spojeie je akceptoaá a spojeie je astaeé akoáhe je požiadaka uskutočiteľá. Využitie takýchto sietí sa počíta hae teekomuikačom priemyse, a to a uskutočeie teefóych spojeí bez zdržaia. Tieto siete je možé použiť šade, kde je potrebé ytárať rýche a spoľahié spojeia a reatíe dhšiu dobu apr. ideo teefóy, ideo koferecie)..5. Spoľahiosť Spoľahiosť siete, prežiteľosť, resp. jej schoposť oboiť preos opyeý chybami sa stáa ďašou kľúčoou témou pri árhu týchto extréme-ysoko kapacitých sietí zaožeých a WDM techoógií. Uažujeme árh prežiteľej WDM siete zaožeej a pokrytí počiatočej siete podsieťami, ktoré sú jeda od druhej ezáise chráeé. Páoaie optickej rsty môže byť rozožeé a da podprobémy: probém routoaia: spočítať smeroaie požiadaiek oých dĺžok a fyzickú rstu probém priradeia zdrojo: aokácia zdrojo požiadakám routoaia

12 Zožitosté aspekty optických sietí 5 Teda probém prežiteľosti oproti ybaeiu aebo chyby iky pozostáa z ypočítaia oých asmeroaí pre požiadaky opyeé chybou. Teda optická rsta musí byť predimezoaá. Je možé impemetoať de schémy astosti prežiteľosti: ochraa protectio) a oboeie restoratio) Ochraa môže byť impemetoaá použitím dopredu priradeej kapacity medzi uzami za účeom ahradeia zyhajúcej trasportej etity Oboeie môže byť reaizoaé použitým ľubooľej oľej kapacity medzi uzami sahe ájsť trasportú etitu, ktorá by moha ahradiť tú, čo zyhaa. Oboeie je zaožeé a presmeroáacích agoritmoch, ktoré hľadajú oú cestu aby prekryi zyhajúcu sieťoú etitu čase, kedy chyba astaa. Rozdeeie siete do ezáisých podsietí priáša stredé riešeie pre astosť prežiteľosti. Samozrejme to dooľuje zdieľaie zdrojo rámci daej pod-siete, a tiež yužía rýchu automatickú ochrau prípade zyhaia ejakej sieťoej etity. V tejto práci sa zaujímame o árh optickej rsty zaožeej a pod-sieťach s astosťou prežiteľosti. Cieľom je pokryť ištaciu požiadaiek, možiou cyko. Ako podsieť je zoeá rig topoógia, keďže miimaizuje kompexosť probému routoaia s pou podporou prežiteľosti pri astatí jedoduchej chyby. Samozrejme, použíame pooicu kapacity cyku pre uspokojeie požiadaiek a prípade zyhaia presmerujeme komuikáciu idúcu chybou ikou cez zostáajúcu časť cyku yužíajúc druhú pooicu kapacity. Zaujímaé je použíať ako podsiete eľmi maé cyky, keďže sú ľahšie maažoateľé a ľahšie presmeroateľé. Taktiež, každému cyku priradíme oú dĺžku. skutočosti de: jedu pre ormáy preos, a jedu pre rezerý.) Nayše musí byť speá podmieka astosť) disjuktého smeroaia každého cyku disjoit routig cyce) o fyzickom grafe. To zameá, že jedom cyke esmie byť použitá tá istá hraa iackrát ako raz. Cieľom je miimaizoať fukciu cey siete. Je to eľmi kompexá fukcia záisá a mohých parametroch a je ťažké študoať ju o šeobecosti. My ju budeme redukoať a miimaizáciu počtu cyko pokrytí.

13 Zožitosté aspekty optických sietí 6. Defiície Existuje iacero spôsobo ako by sa daa modeoať pe-optická sieť. V tejto práci ju budeme modeoať symetrických digrafom GV,A), čo je orietoaý graf s možiou rchoo VG) a možiou orietoaých hrá AG) taký, že ak hraa α υ, ) AG),potom aj α ', u) A G). Ako N budeme ozačoať počet rchoo G, teda N V G)... Ozačeia Budeme použíať asedujúce ozačeia a pojmy: G V, A) - symetrický digraf P x, y) - cesta z rchou x do rchou y δ x, y) - zdiaeosť z rchou x do rchou y, dĺžka ajkratšej cesty P x, y) požiadaka - usporiadaá dojica x,y), ozačuje požiadaku x komuikoať s y ištacia I - súbor požiadaiek smeroaie R - routoaie) pre ištaciu I G je možia ciest R P x, y) x, y) I { } kofiktý graf - spojeý s routoaím R je eorietoaý graf R,E) s možiou rchoo R a hraa je medzi cestami, ktoré si zdieľajú hrau G Probém routoaia G,I) o pozostáa z ájdeia routoaia R pre ištaciu I a priradeia oej dĺžky každej požiadake z I tak, aby žiade de cesty z R zdieľajúce hrau G emai priradeú roakú oú dĺžku. o Priradeie oých dĺžok rchooé farbeie kofiktého grafu Hooríme, že agoritmus efektíy ak skočí soj ýpočet poyomiáom čase... Ďašie skúmaé probémy V tejto kapitoe si uedieme ďašie ozačeia a súisiace parametre. w r G, I, R) - chromatické číso kofiktého grafu - ajmeší počet oých dĺžok pre R w r G, I) - ajmešie wg,i,r) cez šetky R - ajmeší počet oých dĺžok zo šetkých R

14 Zožitosté aspekty optických sietí 7 r π G, I, R, a) - oad hray a R - počet ciest R obsahujúci hrau a r π G, I, R) - oad G R r r - maximáy oad hray G, teda π G, I, R) max{ π G, I, R, a) a A G)} r π G, I) - miimáy r π G, I, R) cez šetky R.. Druhy ištacií Uedieme si ejaké špeciáe ištacie, a ktorých sa zykú skúmať probémy tejto obasti ak je to samozrejme zmysupé. A-to-A I A ) - komuikácia každý s každým - { x, y) x V G), y V G), x y} I A Oe-to-A - komuikácia jede zoeý s každým Oe-to-May - komuikácia jede s iekoľkými k-reácie - každý rcho komuikuje s maximáe k rchomi Ukazuje sa zmysupé pozerať sa a ištaciu ako a komuikačý ogický graf, kde VG) je možia rchoo a hrau reprezetujú páry rchoo, ktoré chcú zájome komuikoať... Probém spoľahiosti prežiteľosti) Uažujme komuikačú ištaciu I a prežiteľé routoaie R pre daú dojicu G,I) Sieť a jej komuikácia). každému prku z ištacie I je priradeá seteá cesta grafe G túto možiu oáme zákadou možiou ciest a G reaizujúc I) rozšírime zákadú možiu ciest, irtuáy graf berúc seteé cesty ako hray grafe) tak, že každá seteá cesta irtuáeho grafu bude obsiahutá ejakom DRC pod-grafe.

15 Zožitosté aspekty optických sietí 8 DRC pod-graf disjoit routig costrait pod-graf) irtuáeho grafu je taký pod-graf, ktorý môže byť ožeý do fyzickej siete grafu G) bez prekrytia hrá a každá seteá cesta DRC pod-grafu sa achádza jedoduchom cyke fyzického grafu. Môžeme uažoať asedujúce miery efektíosti: počet DRC podgrafo suma eľkosti DRC podgrafo, ktoré pokrýajú zákadú možiu irtuáeho grafu. Sažíme sa teda riešiť probém, ktorom pre daú sieť a komuikačú ištaciu musíme určiť prežiteľé routoaie ciest také, aby počet a eľkosť DRC podgrafo, ktoré pokrýajú zákadú možiu ciest boi miimáe.

16 Zožitosté aspekty optických sietí 9. Prehľad obasti V tejto kapitoe a struče popíšeme iektoré ýsedky dosiahuté tejto obasti pe optických sietí... Všeobecé pozatky Z asedujúceho trdeia by sa ám maa ozrejmiť opodstateosť iektorých defioaých mier a parametro z. kapitoy. Veta. Pre ľubooľú ištaciu I ľubooľej sieti G patí, že w r G, I) r π G, I). Dôkaz: Pri riešeí daého G,I) musíme použiť priajmešom počet oých dĺžok roajúci sa maximáemu možstu, ktoré si zájome zdieľajú grafe G orietoaú hrau. Neroosť ukážeme a príkade obr..), aaogickému []. Obr..: Routoaie piatich požiadaiek päťuhoíku a súisiaci kofiktý graf. Pre ištaciu I grafe G je oad r π G, I), ae w r G, I), keďže kofiktý graf je petago s chromatickým čísom a kikou. Vo šeobecosti to zameá, že miimaizoaie počtu oých dĺžok G,I) ieje to isté ako ájdeie routoaia, ktoré miimaizuje počet ciest zdieľajúcich tú istú orietoaú hrau. Trdeie patí aj eorietoaom modei... Efektíe routoacie agoritmy V tejto kapitoe uádzame prehľad optimáosti existujúcich efektíych agoritmo pre riešeie probému G,I) a rôzych topoógiach. Prá tabuľka poskytuje dosiahuté ýsedky pre orietoaý mode, teda pre orietoaé požiadaky. Druhá zasa poskytuje ýsedky pre eorietoaý mode.

17 Zožitosté aspekty optických sietí 0 Efektíe agoritmy orietoaom modei I Strom 5 r π G, I) / Kakamais, Persiao) Kruh r π G, I, R) Tucker) r Mriežka poyogog N) w G, I) I A I w r G, I A) r π G, I A) Gargao, He, Perees) N Rabai) Hyperkocka w r G, I A) r π G, I A) Beauquier) O ) Auma, Rabai) Môžeme si šimúť, že a stromoch pre I A ištaciu pozáme optimáy efektíy agoritmus. Vo šeobecosti sú ýsedky o čosi horšie. Pre w r G, I ) je dokázaé trdeie: Veta. Pre k existuje probém G,I) strome G taký, že r π G, I) k a patí: r r 5π G, I) r π G, I) w G, I) Praá eroosť trdeia patí aj šeobece a dokázai ju Mihai, Kakamais a Rao. Vidíme, že agoritmus riešiaci a stromoch šeobecý prípad s maximáe 5 r π G, I)/ oými dĺžkami pomere dobre aproximuje optimáe riešeie. Pri stromoch je tiež zaujímaý prípad, keď graf G je rozeteá hiezda, čo je symetrický strom s maximáe jedým rchoom stupňa äčšieho ako. V takomto grafe a iba takomto grafe G pre šetky ištacie I patí w r G, I) r π G, I). Na kruhoch Frak ašie agoritmus, ktorý ieárom čase ájde routoaie R, pre ktoré patí: π G, I, R) π G, I). Využijúc teto pozatok Tucker priieso efektíy agoritmus, ktorý rieši probém priradeia oých dĺžok routoaiu R, použijúc ajiac π G, I, R). Použitím podobých myšieok bo dokázaý teto ýsedok orietoaom aj eorietoaom modey. Pre A-to-A ištacie a kruhu boo dokázaé asedujúce trdeie: Veta. Bermod) Pre I A a kruhu G s N rchomi patí: w r G, I A ) r π G, I A N )

18 Zožitosté aspekty optických sietí Použitím ety. predchádzajúcom Tuckeroom agoritme dostáame horé ohraičeie oých dĺžok pre A-to-A ištacie a kruhoch. Efektíe agoritmy eorietoaom modei I I.w G, I ) 0.8 Strom Erebach, Jase) Kruh π G, I, R) Frak) Torus O og N og I w G, I )) Auma, Rabai) d-rozmerá Mriežka Hyperkocka O ) Auma, Rabai) I k / d O kd ) Raghaa, Upfa) V eorietoaom modei boi pri agoritmoch a stromoch dosiahuté o čosi epšie ýsedky oproti orietoaému modeu. Na kruhoch sú ýsedky dosť podobé tým orietoaom modei. Isté ýsedky sa podario dosiahuť aj a toruse a hyperkockách. Pri d-rozmerej mriežke je tiež zámy agoritmus pre, ktorý s ysokou pradepodobosťou použía O kd / d ) oých dĺžok... Pokrýaie grafu podgrafmi Nech K je kompetý graf s rchomi. Vo šeobecosti pre pokrýaie kompetého grafu cykami eľkosti a patia asedujúce trdeia určujúce doú hraicu počtu cyko potrebých a pokrytie iď [] ). I k Veta. Miimáy počet -cyko potrebých a pokrytie hrá K je Veta 5. Miimáy počet -cyko potrebých a pokrytie hrá K je ak mod 8 ε ) 0 iak

19 Zožitosté aspekty optických sietí.. Prežiteľosť komuikácie a kruhoch pre a-to-a komuikáciu V tejto časti uažujme graf G ako cykus C, kde je počet rchoo. Ozačme rchoy ceými čísami z {0,,.-}. Cykus C k spĺňa DRC podmieku tedy a e tedy ak rchoy cyku môžu byť zoradeé do zostupej postuposti. Teda či sa dajú rchoy zapísať ako a,a,...,a k ) tak, že patí a a... ak. Takto formuoaá podmieka je DRC 0 podmiekou pre cyky, ako podgrafy grafu K, patá iba a kruhoch. Odráža fakt, že ak podgraf je cykický a má byť ožiteľý do fyzického grafu G, ktorý je tomto prípade kruh, musia byť rchoy cykicky usporiadateľé, aby sa hray podgrafu o fyzickom grafe eprekrýai. Ozačme P) ako miimáy počet cyko potrebých a pokrytie komuikačého grafu daého ištaciu I a sieti topoógie kruhu s rchomi so spĺeou DRC podmiekou patí: Veta 6. p p ) Ρ p ), ak p p Ρ p ), ak p Dôkaz trdeia môže čitateľ ájsť []. Veľkosť cyko, ktorými K pokrýame emá žiade py a doú hraicu počtu cyko potrebých a jeho pokrytie. Veta 7. Pokrytie cykami so speou DRC podmiekou grafu p p ) K p - pozostáa z p C a K q - pozostáa z C a C K q - pozostáa z C a C q q C q Na kruhu miimaizáciou počtu cyko, ktoré pokrýajú ištaciu sme miimaizoai aj počet oých dĺžok potrebých a uskutočeie požadoaej komuikácie tejto sieti. A to z jedoduchého dôodu. Pokrýai sme jedotié požiadaky z ištacie možiou cyko, pričom pre každú takú požiadaku sme o fyzickom grafe musei zoiť de ateratíe trasy. Leže o fyzickom grafe s topoógiou kruhu máme práe de cesty edúce medzi ľubooľými doma rchomi. Probém routoaia takej komuikácie bo podstate yriešeý. Probém s priradeým oých dĺžok sa tiež zjedodušuje, keďže každému cyku priradzujem O) oých dĺžok. Teda a kruhoch s prežiteľosťou je počet cyko úmerý počtu oých dĺžok potrebých a uskutočeie požadoaej komuikácie.

20 Zožitosté aspekty optických sietí. Naše ýsedky V tejto kapitoe ukážeme ako je to s astosťou prežiteľosti a mriežke, toruse, iac rozmerej mriežke a iac rozmerej toroidej mriežke. Spraíme doý odhad miimáeho počtu cyko potrebých pre pokrytie požiadaiek a uedeých topoógiách. Ukážeme si tiež, že miimáy počet oých dĺžok dokážeme zdoa ohraičiť počtom oých dĺžok potrebých a reaizáciu miimáeho počtu cyko. Neskôr si popíšeme ejaké agoritmy asymptoticky dosahujúce aše doé ohraičeia. Ozačme wpg) ako počet oých dĺžok potrebý a reaizáciu požiadaiek I A I A grafe G s astosťou prežiteľosti. Pripomeňme si, že de disjukté cesty grafe môžu použíať a komuikáciu roakú oú dĺžku. Vastosť prežiteľosti impemetujeme tak, že pre každú komuikačú požiadaku priradíme de ezáisé cesty. Jedu komuikačú a jedu rezerú, pre I A prípad ýpadku komuikačej. Tieto cesty budeme reaizoať pomocou cyko oreých do grafu G. Urobíme to tak, že každej komuikačej ceste požiadaky z I priradíme jede cykus, ktorý musí byť po oreí do grafu G hraoo disjuktý. Taký cykus môže obsahoať iac hraoo disjuktých komuikačých ciest. Každému z cyko priradíme de oé dĺžkyfarby), komuikačú a rezerú. Da cyky môžu použíať roaké oé dĺžky ak sú hraoo disjukté. Všetky cesty cyke sú reaizoaé komuikačou oou dĺžkou. V prípade prerušeia ejakej iky cyku, presmerujeme komuikáciu prechádzajúcu chybou ikou, opačou straou cyku použitím ateratíej oej dĺžky. Probém wpg) je teda ekiaetý probému ájdeia možiy cyko takých, aby každá cesta požiadaky z boa reaizoaá jedom z cyko, a pre ktoré je počet oých dĺžok farieb) I A potrebých a ich reaizáciu po oreí do grafu G miimáy. A

21 Zožitosté aspekty optických sietí Nasedujúca tabuľka zachytáa stručý prehľad ýsedko, ktoré sa ám podario dosiahuť. Prehľad dosiahutých ýsedko pre I A G wp G) Mriežka ) c 6 ) 7 Torus ), k c 8 ) 7, k -rozmerá c ) Mriežka 5 -rozmerý c 6 ) Torus 5 m-rozmerá m ) ), m mriežka m ) m-rozmerá ), m, k toroidá m) mriežka, m, k V ďaších častiach tejto práce si dosiahuté ýsedky dokážeme.

22 Zožitosté aspekty optických sietí 5.. Doý odhad pokrytím cyko Poďme si struče opísať spôsob akým odhademe doú hraicu počtu potrebých oých dĺžok. Ako sme už spomíai, uažujeme ištaciu A-to-A komuikáciu, teda. Každá požiadaka tejto ištacie musí byť reaizoaá, pokrytá ejakom cyke. Do I A cyku samozrejme prispiea sojou dĺžkou. Dĺžka cyku je pritom äčšia aebo roá sume dĺžok požiadaiek, ktoré teto cykus pokrýa. Teda ak si zrátame dĺžku šetkých požiadaiek ištacie a predeíme maximáou dĺžkou cyku, dostáame miimáy počet I A cyko, ktorými dokážeme tieto požiadaky reaizoať. Využitím Dirichetoho pricípu dokážeme odhadúť miimáy oad a podľa ety kap. ) to bude miimáy počet oých dĺžok potrebých a pokrytie šetkých požiadaiek.... Doý odhad a toruse Ozačme si požiadaiek ištacie p G, I ) ako miimáy počet cyko potrebých a pokrytie šetkých I grafe G. Keďže ďašom texte budeme uažoať e ištaciu budeme pre zjedodušeie p G, I ) ozačoať e ako p G). Taktiež wc G, I ) budeme ozačoať e wcg) A ako miimáy počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu šetkých cyko pokrýajúcich šetky požiadaky ištacie I A A I A I grafe G. Vrchoy G budeme reprezetoať súradicami kartézskom súradicoom systéme. Každý rcho x,y) má štyroch susedo. Lema. Nech, graf G je torus, potom p G) ) / 8, ak je epáre, p G) / 8, ak je páre Dôkaz: Nech u a sú da ľubooľé rchoy G. δ u, ) je zdiaeosť ajkratšej cesty medzi imi. Je zrejme, že δ u, w) δ, w). w w Nech k. Vrchoy V G) u môžeme rozdeiť do štyroch moží A, B, C, D, tak ako a obr... Každá z týchto štyroch častí má tar obdĺžika rozmero. Je jasé, že patí w A ich štorcoé časti rozmero w B w C δ u, w) δ u, w) δ u, w) δ u, w). Nech A, B, C, D sú w D ) ). Je idieť, že pre X { A, B, C, D) a k ej prísušej X ' patí δ u, w) δ u, w) i. Suma zdiaeosti x-oých súradíc w X w X' i 0 štorca X je roá sume y-oých súradíc, a tá sa roá ) i 0 i

23 Zožitosté aspekty optických sietí 6 do štyroch disjuktých moží A, B, C, D Obr.. :Rozdeeie rchoo V u G ) Cekoú sumu zdiaeostí medzi ľubooľými doma rchomi grafu môžeme teda spočítať asedoe: G ' 0, ), ), ), ), X w i X w u i w u w u u u δ δ δ δ 8 8 ) ) 0 0 i i i i ) Keďže cyky musia byť hraoo disjukté, môžu mať maximáe dĺžku šetkých hrá grafe torus - ) a to. Dostáame teda miimáy počet cyko potrebých a reaizáciu šetkých požiadaiek grafe : G G 8 ) G p. Nech. Vrchoy si rozdeíme a časti. Na štorec rozmero k ) ) tak ako a obr.., časť A a ostaté rchoy, časť B. Sumu ) ), A V w w u δ yrátame, podobe ako pre epáre.

24 Zožitosté aspekty optických sietí 7 Obr.. :Rozdeeie rchoo a štorec rozmero ) ), časť A a ostaté rchoy, časť B. Zostáa teda ypočítať sumu zdiaeostí medzi u a rchomi časti B. Na obr.. máme yzačeé ako yzerajú zdiaeosti rchoo časti B od rchou. Teda ) ), B V w w u δ u 8 ), 0 ) i w u i B V w δ Cekoú sumu spočítame asedoe: 8 ) ) ), ), ), ), ), ), 5, u w u u u u u B X w B A u δ δ δ δ δ δ Z roakého dôodu ako predchádzajúcom prípade dostáame miimáy počet cyko potrebých a reaizáciu šetkých požiadaiek grafe G : 8 ) G p. Lema. Ľubooľým možstom cyko, azájom sa eopyňujúcich emajú spoočé hray) ie je možé pokryť dĺžku požiadaiek äčšiu ako, čo je suma dĺžok šetkých hrá grafe G, kde G je torus rozmero.

25 Zožitosté aspekty optických sietí 8 Dôkaz: Keďže cyky emôžu mať spoočé hray, každá hraa grafu G môže byť časťou aajýš jedého cyku. Teda suma dĺžok šetkých cyko epresiahe sumu dĺžok šetkých hrá G. Veta. Nech, graf G je torus, potom wc G) ) /, ak je epáre, wc G) /, ak je páre Dôkaz: Z emy. máme miimáy počet cyko potrebých a pokrytie požiadaiek grafe G. Uažoai sme samozrejme cyky s maximáou možou dĺžkou. Teda pre každý cykus musíme prideiť rozdiee oé dĺžky. Z emy. ypýa, že aj keď ahradíme iektorý z cyko iekoľkými azájom sa eopyňujúcimi, aby sme ezýšii počet potrebých oých dĺžok edokážeme pokryť äčšiu dĺžku požiadaiek ako te ktorý sme imi ahradii. To zameá, že počet oých dĺžok potrebých pre miimáy počet maximáych cyko je optimáy. Keďže pre každý cykus sú potrebé oé dĺžky, dostáame aše trdeie. Uedomme si, že a reaizáciu šetkých požiadaiek potrebujeme miimáe iba pg) oých dĺžok. Ostaté oé dĺžky sú pre prípad ýpadku, a teda pre zachoaie astosti prežiteľosti siete. Na to by sáď boo možé použiť aj ejakú spoočú možiu rezerých oých dĺžok. Cyku by sa tak priradia rezerá dĺžka až po astaí ýpadku.... Doý odhad pre mriežku Podobe ako pre torus, si teraz ukážeme doý odhad pre mriežku. Lema. Nech, graf G je mriežka p G) ) / 6., potom Dôkaz: Pozrime sa a jede riadok mriežky ako a graf G' obr..). V G). Pokúsime sa zrátať sumu zdiaeostí medzi ľubooľými doma rchomi grafe G', δ u,. Vezmime si ľubooľý rcho u grafe G' a spočítame sumu zdiaeosti k šetkým ostatým rchoom tomto grafe, δ u, ). Túto sumu si môžeme apísať ako súčet doch súm záisosti od pozície rchou u podobe ako a obr... G' u, G' )

26 Zožitosté aspekty optických sietí 9 Obr.. : Suma zdiaeostí od rchou k rchoom V j u j G u ') Pre sumu medzi ľubooľými doma rchomi ', patí G u G u, ' ), δ 0 ', ' ), ), j j G u G u u δ δ, keďže každú zdiaeosť medzi doma rchomi zarátaame takto dakrát. Sumu zdiaeostí ciest od rchou je jeho pozícia ) k šetkým ostatým rchoom grafu ' zrátame asedoe. Cekoá suma medzi ľubooľými doma rchomi grafe je 0 ' ), j j G u δ j u j ' G G 0 0 ' ), j i j i j G i i u δ G' ', ' ), ), y y i y i j j G u G i i u u δ δ 0 ) ) ) y y y y y 0 0 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ) ) 6 6 Keďže šírka grafu G je roá jeho dĺžke, suma x-oých zdiaeostí a y-oých zdiaeostí ľubooľých jeho doch rchoo je roaká. Stačí teda spočítať jedu z ich. Predstame si teraz da stĺpce,, každý o rchooch. k S S

27 Zožitosté aspekty optických sietí 0 Obr.. :Rozdeeie rchoo a stĺpce. Nech ich zájomá zdiaeosť je roá d S k, S ). Pričom d S, S k ) chápeme ako ajkratšiu zdiaeosť od ľubooľého rchou stĺpci S k ajbižšiemu rchou stĺpca S. Pozrime sa a sumu x-oých zdiaeostí ajkratších ciest, medzi ľubooľými rchomi u a, kde u patrí stĺpcu Sk a patrí stĺpcu S. Tá sa dá yjadriť ako d S k, S ), keďže medzi stĺpcami a S je potrebých ciest a reaizáciu ich zájomých požiadaiek. Môžeme si Sk šimúť, že dsk k, doma rchomi grafu G je teda roá k, S ) δ u, ). Suma x-oých zdiaeostí medzi ľubooľými suma medzi ľubooľými doma rchomi grafe G je u, G' k, ) d Sk, S ) δ G' u, ). Cekoá 6 u, ). Maximáa dĺžka cyku a mriežke ikdy epresiahe. Miimáy počet cyko a pokrytie šetkých ) požiadaiek a mriežke je teda. 6 Lema.5 Ľubooľým možstom cyko, azájom sa eopyňujúcich emajú spoočé hray) ie je možé pokryť dĺžku požiadaiek äčšiu ako grafe G, kde G je mriežka rozmero., čo je suma dĺžok šetkých hrá Dôkaz: Obdobe ako ema.. Pozámka: etrdíme, že cyky dĺžky reaizoať. ieme mriežke Veta.6 Nech, graf G je mriežka wc G) ) /, potom

28 Zožitosté aspekty optických sietí Dôkaz: Obdobe ako eta.. Trdeie ypýa z emy. a emy Doý odhad pre m-rozmerú mriežku a m-rozmerú toroidú mriežku Poďme si teraz ododiť trdeia pre m-dimezioáu mriežku a m-dimezioáu toroidú mriežku. Veta.7 Nech, graf G je m-dimezioáa toroidá mriežka so straou rchoo, potom p G) p G) m 8 8 m ), ak je epáre,, ak je páre Dôkaz: Keďže áš graf je o šetkých dimeziách roako eľký, zrejme aj sumy zdiaeostí medzi ľubooľými doma rchomi jedotiých dimeziách budú roako eľké. Rozdeľme si rchoy grafu G a roakých moží S,..., S podľa m tej dimezie. Teda rchoy u a budú patriť tej istej možie ak budú mať roaké súradice dimezii m. Zrátame si sumu zdiaeosti dimezii m medzi jedotiými možiami, d S k, S ). Na reaizoaie šetkých požiadaiek medzi možiami S a S je S k, S k potrebé prekeúť zdiaeosť d S, S ) dimezii m práe Sk S krát. Keďže k m) m) m) S k S, je to prese krát, čo treba zdiaeosť d S k, S ) prekeúť dimezii m a reaizáciu šetkých požiadaiek medzi možiami S a S. Teda cekoá suma zdiaeostí medzi ľubooľými doma rchomi grafe G dimezii m bude m) d S, S ). Počet dimezií je m. Ako ajäčšiu možú dĺžku cyku, zoberieme S k, S k m dĺžku súčtu šetkých hrá grafe G a to je m. Pre pg) tým dostaeme m) m) p G) m d Sk, S ) m d Sk, S ) m Sk, S Sk, S Poďme si teda zrátať d S k, S ). Zrátame to aaogicky ako eme. pre mriežku. Nech k. S k, S k S k, S d S k, S ) i i i 0 i 0 ) 8

29 Zožitosté aspekty optických sietí Nech k. d S, S ) i k i S, S i 0 i 0 k 8. 8 Veta.8 Nech, graf G je m-dimezioáa mriežka so straou rchoo, potom p G) m) 6 ) Dôkaz: Dokážeme podobe ako etu.7. Veta.7b Nech, graf G je m-dimezioáa toroidá mriežka so straou rchoo, potom wc G) wc G) m m ), ak je epáre,, ak je páre Dôkaz: Veta.7b ogicky ypýa z ety.7 ak uažujeme oé dĺžky pre každý cykus. Veta.8b Nech, graf G je m-dimezioáa mriežka so straou rchoo, potom wc G) m) ) Dôkaz: Veta.8b ogicky ypýa z ety.8 ak uažujeme oé dĺžky pre každý cykus. Pozámka: Môžeme si šimúť, že ema. je tiež ateratíym dôkazom pre w T ), iď [9] [0] [] ). K )

30 Zožitosté aspekty optických sietí.. Agoritmy reaizujúce komuikáciu a toruse I A V tejto časti si popíšeme, ejaké spôsoby ako reaizoať požiadaky ištacie toruse, mriežke, trojrozmerej mriežke a trojrozmerej toroidej mriežke. Ukážeme si uierzáy spôsob ako skoštruoať asymptoticky optimáe agoritmy pre šetky yššie uedeé topoógie. Neskôr si pre torus ukážeme epší agoritmus, ašak epoužiteľý a ostatých spomíaých topoógiách. Spomíaý uierzáy spôsob bude spočíať rozdeeí možiy požiadaiek I A do moží M, kde,,..., og ie ute disjuktých), kde každú z moží budeme reaizoať iou sadou oých dĺžok. Samozrejme musí patiť I A a M I A. Teda suma počtu oých dĺžok potrebých a reaizáciu každej z moží bude stačiť a reaizáciu šetkých požiadaiek ištacie. I A og U... Rozdeeie požiadaiek do moží M Nech G je torus s rozmermi. Pre každé 0,,...,og, si rozdeíme G do štorco s dĺžkou stray Obr..5.). Pod dĺžkou stray budeme rozumieť počet rchoo achádzajúcich sa a tejto strae. Do možiy šetky požiadaky medzi rchomi M šetkých susedých štorco rozdeeí. Medzi susedo rátame aj diagoáe štorce. Možiu budeme azýať požiadakami úroe aebo požiadaky rozdeeia. Aby M Obr..5: Jedo rozdeeie torusu a mriežky hray sme sa mohi zaoberať s požiadakami týchto moží jedotio, musíme ajpr ukázať, že každá požiadaka ištacie I patrí aspoň do jedej z moží M. A Lema o rozdeeí) Každá požiadaka I A grafu G mriežka, torus) patrí do jedej z moží M, kde 0,,...,og.

31 Zožitosté aspekty optických sietí Dôkaz: Bez ujmy a šeobecosti uažujme ľubooľú požiadaku, ) grafe G. Vzdiaeosť medzi rchomi a si môžeme zapísať ako súčet x-oej a y-oej zdiaeosti. Teda δ, ) dx, ) dy, ). dx, ) a dy, ) budeme ďaej ozačoať e ako dx a dy. Tieto zdiaeosti si môžeme zapísať asedoe tare: dx k dy k z z, k, k, z, z N; 0 k, k og ; 0 z k,0 z Bez ujmy a šeobecosti môžeme predpokadať, že dx dy a teda aj k k. Vezmime si rozdeeie úroe k. A bez ujmy a šeobecosti ech S, kde S je štorec tomto rozdeeí. Z defiície dx a dy sa rcho emôže achádzať ďaej ako jedom so susediacich štorcoiď obrázok, siá farba zázorňuje obasť susediacich štorco). k Môžu astať možosti. Ak patrí jedému zo susediacich štorco S potom požiadaka, kde k a aše trdeie patí., ) M Nech šak epatrí žiademu zo susediacich štorco S, potom S a teda, ) M, kde k. Vezmime si teraz jemejšie rozdeeie úroe k. To ám každý z predchádzajúcich štorco rozdeí a mešie iď obrázok). Ak rchoy a patria rôzym zo štyroch štorco štorca S, potom požiadaka, ) M, kde k, keďže šetky štorce azájom susedia. Naše trdeie tomto prípade zou patí. Nech šak rchoy a patria tomu istému štorcu zo štyroch štorco S. Použijeme ešte jemejšie rozdeeie úroe k. To ám rozdeí každý zo štyroch štorco predchádzajúceho rozdeeia a ďašie. Z defiície dx a dy už emôžu oba rchoy a patriť jedému štorcu rozdeeia úroe k. Teda a patria rôzym zo

32 Zožitosté aspekty optických sietí 5 štyroc h štorco štorca S, kde k. Všetky tieto štorce azájom susedia a teda požiadaka, ) M, kde k. Teda požiadaka, ) M k M k M k. Tým sme teda ukázai, že každá požiadaka I A musí patriť aspoň do jedej z moží rozdeeia.... Reaizácia poži adaiek možiy M Ako sme si už ukázai, ieme, že každá požiadak a I A patrí do ejakej z M. Otázka je koľko oých dĺžok potrebujeme a reaizáciu jedej možiy požiadaiek s astosťou prežiteľosti. A ako ju reaizoať? Uažujme da susediace štorce S a T ľubooľom rozdeeí. Ukážeme si ako budeme medzi doma takými štorcami reaizoať ich zájomé požiadaky. Bez ujmy a šeobecosti ech T je ad S. Vrchoy oboch štorco si rozdeíme do riadko. Je iditeľé, že a uskutočeie komuikácie šetkých požiadaiek medzi štorcami S a T budeme musieť reaizoať komuikáciu každého riadka štorca S s každým riadkom štorca T. Predstame si teda, že máme prepojeý riadok štorca S s riadkom štorca T d o kruhu. O tom koľko oých dĺžok a koľko cyko potrebujeme a reaizáciu požiadaiek medzi rchomi týchto riadko prepojeých do kruhu si ukážeme asedujúcej časti komuikácie a kruhoch.... Komuikácia a kruhoch Uažujme fyzickú sieť ako a obr..6. Uažujeme topoógiu kruhu, kde rchoy sú rozdeeé do moží A a B. Nech A B. Zaujíma ás, koľko oých dĺžok potrebujeme, M Obr..6: Komuikácia a kruhu medzi možiami A a B ak chceme us možia S je možia šetkých takých požiadaiek a teda pokojiť šetky požiadaky medzi rchomi možiy { } zrejmé, že S, kde A B. A a možiy B. Nech S x, y) x A, y B. Je

33 Zožitosté aspekty optických sietí 6 Lema.9 Nech A a B sú možiy rchoo a kruhu rozdeľujúce kruh a de pooice a A B. Možia S { x, y) x A, y B} ech je možiou šetkých požiadaiek medzi možiami A a B. Potom počet cyko potrebých a pokrytie požiadaiek možiy S je k) k ) Dôkaz: Dôkaz bude pozostáať z doch častí. Najpr ukážeme, že meším počtom cyko sa požiadaky možiy cyko sa reaizoať aozaj dajú. Počet požiadaiek medzi možiami A a B je S reaizoať edajú. A eskôr prededieme, že týmto možstom S. V každom cyke môžu byť reaizoaé ajiac de komuikačé požiadaky z možiy S. Z možiy rchoo A do možiy rchoo B edú e de cesty.) Uažujme da prípady: k) Pre ľubooľý rcho u A, môžeme jedom cyke reaizoať ajiac de požiadaky taru u, ), B. B. V každom cyke reaizujeme požiadaky rchou u s doma rchomi možiy B. Teda a to, aby sme zreaizoai šetky požiadaky jedého rchou z možiy A oči šetkým rchoom možiy B potrebujeme / cyko. A keďže A, dostáame, že a reaizáciu šetkých požiadaiek možiy S potrebujeme / ) cyko. k ) Ako sme si už ukázai predchádzajúcom prípade pre páre čísa, jedom cyke môžeme reaizoať ajiac požiadaky. Požiadaiek možie S je. Keďže je epáre číso a súči epárych číse je ždy epáry, emôžme každom cyke reaizoať prese požiadaky. Teda musí existoať cykus ktorý reaizuje e jedu požiadaku. Teda a reaizáciu šetkých požiadaiek S potrebujeme ajmeej cyko, čo je za predpokadu, že je epáre prese. Takto sme ukázai, že meším počtom cyko ejde reaizoať šetky požiadaky možiy S. My šak potrebujeme ešte ukázať, že sa šetky požiadaky S takýmto možstom cyko aozaj reaizoať dajú. Náš dôkaz je koštruktíy, čím zároeň dáa áod ako požiadaky pre reaizáciu jedotiých cykoch z možiy S yberať.

34 Zožitosté aspekty optických sietí 7 Dôkaz urobíme idukciou a epáre. I 0 : Na reaizáciu šetkých požiadaiek možiy S teda potrebujeme a reaizoaie jedej požiadaky S potrebujeme aspoň jede cykus. cyko. A aozaj IP: - epáre, šetky požiadaky S ieme reaizoať cykoch. IK: Pre m, potrebujeme ukázať, že šetky požiadaky S' dokážeme reaizoať m cykoch. m ) Potrebujeme ukázať, že ak sme dokázai reaizoať šetky požiadaky S potom pridaím cyko dokážeme reaizoať šetky požiadaky možiy S'. cykoch, Možia S' má oproti možie S požiadaky, ktoré ziki pridaím doch rchoo do moží A a B). Ozačme: A - možia z IP, rchoo B - možia z IP, rchoo P A - pára časť možiy A P B - pára časť možiy B A - možia pridaých rchoo k možie A B - možia pridaých rchoo k možie B My teda potrebujeme cykoch reaizoať šetky požiadaky medzi rchomi A a B, medzi A a B, a medzi B a A.

35 Zožitosté aspekty optických sietí 8 Na reaizáciu šetkých požiadaiek medzi možiami A a Požiadaky medzi A a B môžeme rozdeiť do doch skupí. P P požiadaky medzi A a B P požiadaky medzi Je ľahko idieť, že A a P B B P P a P P sú šetky požiadaky medzi B je potrebých A a B. B P, A počet cyko potrebých a reaizáciu požiadaiek je cyko. P ). Mohutosti oboch moží sú páre a teda postupujeme ako pri párom prípade s tým rozdieom, že máme rozdiee možiy. V každom cyke reaizujeme práe požiadaky, a počet týchto požiadaiek je tiež páry. Možia P obsahuje prese de požiadaky. A to medzi rchoom Tieto požiadaky dokážeme obe reaizoať jedom cyke. ) Požiadaky P a P teda dokážeme reaizoať cykoch. P B B a rchomi A. Požiadaky medzi ) Dokážeme ich teda reaizoať tiež cykoch. B a A reaizujeme spôsobom ako požiadaky A a B. Všetky požiadaky zikuté pridaím doch rchoo do A a doch rchoo do B teda dokážeme reaizoať cykoch. ) )

36 Zožitosté aspekty optických sietí 9... Reaizácia cyko Budeme uažoať da štorce S a T ľubooľom deeí T je ad S, tak ako a Obr..8). Uažujme rchoy štorco rozdeeé podľa riadko, prípade stĺpco. Vezmime si da ľubooľé riadky. Jede zo štorca S a druhý zo štorca T a prepojme ich do kruhu ako a obrázku.7. Počet cyko potrebých a reaizáciu požiadaiek medzi rchomi týchto Obr..7: reaizácia cyku pre požiadaky s, ) a s, t ) riadko a tomto kruhu ám určuje ema.9. Zároeň ám dáa áod ako tieto cyky koštruoať. Všimime si,že ak by sa ám podario prepojiť do kruho šetky riadky štorca S so šetkými riadkami štorca T hraoo disjuktými cestami, mohi by sme a reaizáciu cyko a týchto kruhoch použiť tie isté sady oých dĺžok. To ako budeme prepájaie riadko, či stĺpco azájom susediacich štorco reaizoať a koľko priestoru okoo budeme potreboať, si ukážeme asedujúcej časti. t

37 Zožitosté aspekty optických sietí Komuikácia medzi doma štorcami Poďme si ukázať reaizáciu komuikácie šetkých požiadaiek doch štorco ad sebou ako a obr..8. Obr..8: Komuikácia deeí medzi štorcami S a T Hray ychádzajúce zo štorca budeme azýať soty hray, ktorých jede z rchoo patrí štorcu a druhý štorcu epatrí). Každý štorec má prese soto. Každá reaizoaá komuikačá požiadaka medzi rchoom o útri štorca a rchoom mimo štorca, musí prechádzať jedým zo soto tohto štorca. Všimime si, že počet soto štorca ám udáa maximáe možsto požiadaiek, ktoré dokážeme reaizoať jedou oou dĺžkou medzi štorcom a jeho okoím. Uažujme da štorce S a T ľubooľom deeí. Štorec T sa achádza priamo ad štorcom S. Predpokadajme, že z každého z praých soto štorca S potrebujeme cestu k práe jedému z praých soto štorca T, ktorá sa ceá achádza mimo štorco S a T. Nayše potrebujeme, aby šetky tieto cesty boi hraoo ezáisé. Ozačme si praé soty štorca S ako s s K a praé soty štorca T ako t t Kt., s, x, x x ), xi { t, tkt}, x j xk j k, K je -tica, ktorá určuje priradeie medzi praými sotmi S a praými sotmi T.

38 Zožitosté aspekty optických sietí Obr..9: Obasť komuikácie deeí medzi sotmi štorco S a T Lema.0: Nech S a T sú da štorce toruse ad sebou obr..9) Nech praé soty S, a ech t, t Kt sú praé soty T. Pre ľubooľú -ticupermutáciu) x, x K x ), x i { t, t Kt }, x j xk j k, existujú hraoo ezáisé cesty, medzi a, a x K s a x. Všetky cesty pri tom zostaú rámci obdĺžika, aprao od s x s štorco S a T iď obrázok). s, s K s sú Dôkaz: Keďže sú štorce ad sebou, a komuikáciu medzi ich praými sotmi potrebujeme použiť ertikáe iky. Nech x, x K x ), x { t, t Kt }, x x j, je ľubooľá i j k k s x s x K s -tica. Potrebujeme ukázať existeciu ciest medzi a, a a x. Obdĺžik, aprao od štorco S a T, obsahuje prese ertikáych iiek. Vytorme cestu medzi a x. Od rchou s postupujme dopraa, až po prú oľú ertikáu iku obdĺžika takú, s a ktorej eprebieha žiada komuikácia medzi S a T po ceej dĺžke obdĺžika). Po ej edieme cestu až a úroeň štorca T, odkiaľ postupujeme po horizotáe ike aľao až k sotu x x štorca T. Takto postupujeme pri ytáraí šetkých ciest. Keďže každá cesta spotrebuje práe jedu ertikáu iku obdĺžika, aprao od S a T, obdĺžik teda obsahuje dostatok miesta pre šetkých ciest. Všetkých ciest teda zostae rámci obdĺžika aprao od S a T., Podobé trdeie patí pre ľaé soty S a T pre cesty sa použije obasť obdĺžika aľao od štorco S a T), ae epatí pre soty seeré a ai pre južé. Ľaé soty štorco S a T môžeme cestami pospájať roako ako praé, čím dostaeme ezáisých kruho. To zameá, že šetky riadky štorca S dokážeme pripojiť s ľubooľou permutáciou riadko T tak, aby spou s cestami, spájajúcimi ich praé a ich ľaé soty torii ezáisých kruho. To ás edie k formuácií ďašieho trdeia: Lema.: Nech S a T sú da štorce toruse ad sebou. Potom šetky ich zájomé komuikačé požiadaky dokážeme reaizoať s pre k) a ) pre k )

39 Zožitosté aspekty optických sietí oými dĺžkami s astosťou spoľahiosti použíajúc iba ľaé a praé soty štorco S a T. Všetky cesty pritom zostaú rámci obdĺžiko, aprao a aľao od štorco S a T. Dôkaz: Praé soty štorco môžeme podľa emy.0 pospájať tak, aby z každého praého sotu štorca S ieda cesta k práe jedému praému sotu štorca T a aopak z každého praého sotu štorca T ieda cesta k práe jedému praému sotu štorca S a to šetko potrebej zdiaeosti. Ľaé soty štorco S a T môžeme cestami pospájať roako ako praé a to potrebej zdiaeosti. Použitím ľaej erzie Lemy.0). Tým dostáame ezáisých kruho. Pooica rchoo každého kruhu patrí štorcu S a druhá pooica štorcu T. Žiady z kruho epoužía hrau iého kruhu. Podľa emy.9 a pokrytie požiadaiek rámci jedého kruhu medzi rchomi štorca S a T potrebujeme pre páre ajmeej potrebuje iú oú dĺžku reáe de, komuikačú a rezerú). / cyko. Každý cykus Keďže sú šetky kruhy hraoo ezáisé, môžu použíať tie isté sady oých dĺžok. Aby sme reaizoai šetky požiadaky S oči T, musíme reaizoať permutácií kruho, ebo každý riadok z S musí byť raz kruhu s každým riadkom z riadko T. Takých permutácií, aby každý riadok z S bo raz kruhu s každým riadkom z riadko T, môžeme reaizoať apríkad pomocou prko dopraa, kde permutácií, kde permutácií i posuieme každý prok o i i... Každú z týchto permutácií dokážeme reaizoať s oými dĺžkami pre páre a s pre epáre, keďže každý cykus potrebuje reáe oé dĺžky. Z toho dostáame pre páre a pre epáre, potrebých oých dĺžok a reaizáciu šetkých požiadaiek S oči T. Roaké trdeia patia aj pre da štorce edľa seba s tým rozdieom, že pre kružice budú yužíať seeré a južé soty štorco a šetky cesty zostaú rámci obdĺžiko seere a juže od štorco S a T edľa seba. Roako môžeme reaizoať možiu požiadaiek medzi štorcom S a jeho diagoáym susedom ozačeým ako V, a tiež do štorca W, a jeho druhej diagoáe Obr..0) s tým rozdieom, že pre diagoáe štorce potrebujeme o iečo iac priestoru a okoo. Uažujme možiu S ako možiu šetkých štorco rozdeeí úroe. Pre každý štorec S a ech T, U, V, W sú štorce ad, a prao, diagoáe ľao a diagoáe S aprao. Defiujeme možiu Γ S S S S S ) { TS, U S, VS, WS }. Uažujme tiež asedoé možiy: Υ { I S, X ) : S S, X Γ S)} I U I S, X ) Υ I S, X )

40 Zožitosté aspekty optických sietí Možiu I budeme azýať možiou šetkých požiadaiek rozdeeí úroe. Obr..0: uažoaé štorce grafe G a rozdeeí úroe Lema. Nech k je počet oých dĺžok, ktorými ieme reaizoať zájomé požiadaky medzi doma susedými štorcami rozdeeí úroe. Všetky požiadaky možiy môžu byť reaizoaé pokrytím cykami použijúc Οk) oých dĺžok. I Dôkaz: Nech k je počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu medzi doma susedými štorcami rozdeeí úroe. Aby sme pokryi šetky požiadaky možiy musíme pre každý štorec S rozdeeí pokryť možiu požiadaiek I S, X ). Podľa emy. a zájomú komuikáciu susedých obastí štorco použijeme e ich bízke okoie. Ozačme si túto obasť komuikácie ako A S, X ). Takúto obasť uažujeme pre šetky azájom susediace štorce rozdeeia. Keďže každý štorec má ľubooľom rozdeeí koštatý počet susedo, má aj každá obasť A S, X ) koštatý počet iých susedých obastí s ktorými sa prekrýa. Obasti, ktoré sa eprekrýajú môžeme reaizoať roakými sadami oých dĺžok. Ak teda dokážeme I S, X ) reaizoať k oými dĺžkami, potom a reaizáciu I potrebujeme Οk) oých dĺžok. Ukázai sme, že každá obasť komuikácie doch štorco, ľubooľom deeí, sa prekrýa s koštatým možstom iých obastí. Preto pre asymptotické odhadutie potrebujeme zrátať komuikáciu doch štorco každom deeí. M

41 Zožitosté aspekty optických sietí..6. Ohraičeie počtu oých dĺžok V tejto kapitoe si dokážeme trdeie, ktoré ohraičuje počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu ištacie a toruse s astosťou prežiteľosti. I A Najpr si ae zadefiujme komuikačý regió doch susedých štorco ako obasť štorco a ich ajbižšieho okoia potrebá a reaizáciu šetkých ich zájomých požiadaiek. j Veta.. Nech graf G je torus rozmero a ech kde j ℵ. Potom šetky požiadaky ajiac I A grafe G s astosťou prežiteľosti ieme efektíe reaizoať použitím c 8 ) 7 oých dĺžok, kde c je kadá koštata udáajúca maximáy počet obastí komuikácie azájom sa opyňujúcich ľubooľom rozdeeí. Dôkaz: Z emy. ieme, že ak šetky požiadaky medzi doma susedými štorcami rozdeeí ieme reaizoať k oými dĺžkami, potom šetky požiadaky M ieme reaizoať použitím Ok) oých dĺžok. Keďže sa teda každom rozdeeí každý komuikačý regió opyňuje s koštatým počtom susedých regióo, stačí uažoať jede komuikačý regió každom rozdeeí. Z Lemy., dostáame počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu jedého komuikačého regióu záisosti od eľkosti rozdeeia s, kde s je eľkosť hray zájome komuikujúcich štorco komuikačom regióe). Všetkých rozdeeí máme og. Každá požiadaka sa yskyte e jedom rozdeeí. Pre každé rozdeeie ayše musíme použiť rôze oé dĺžky a reaizáciu jeho požiadaiek. Teraz ešte potrebujeme yrátať počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu požiadaiek komuikačého regióu každom rozdeeí. Dostáame: og s og a keďže pre s rozdeeí patí s dostaeme Použijeme zámy zťah pre sumu geometrickej postuposti a k a a k a dostaeme

42 Zožitosté aspekty optických sietí 5 og k 8 k 8 og og ) 8 7 og ) 8 7 ) Dostai sme teda počet oých dĺžok a reaizáciu jedého regióu každom deeí. Každý regió sa šak ešte prekrýa z koštatým počtom c regióo deeí. Nás by šak zaujíma aj tá koštata. Pozrime sa teda ako môžeme reaizoať komuikáciu ľubooľom deeí. Na obrázku. idíme štyri rôze tary, ako môže komuikačý regió yzerať. Obr..: Možé komuikačé regióy Na uskutočeie cekoej komuikácie šetkých susediacich štorco daej úroi, potrebujeme komuikačé regióy ukadať, čo ajtesejšie edľa seba tak, aby medzi imi podľa možosti eboo žiade eyužité miesto. Podobe ako a obrázku., kde regió typu a) ukadáme tese edľa seba. Ak sa komuikačé regióy azájom eopyňujú, môžu použíať roakú sadu oých dĺžok. Na uskutočeie ceej komuikácie daého typu, ľubooľý štorec sa bude musieť achádzať raz a každej z pozícií daého typu komuikačého regióu. Aby bo každý štorec raz každej pozícií daého komuikačého regióu, musí byť obsiahutý toľkých regióo daého typu koľko štorco te daý regió obsahuje. Ak by sme uažoai komuikačý regió, kde počet jeho štorco a jeho ľubooľej strae deí cekoý počet štorco eľkosti a strae ceom grafe G, a

43 Zožitosté aspekty optických sietí 6 reaizáciu cekoej komuikácie daého typu by sme potreboai e toľko sád oých dĺžok, koľko je štorco daom komuikačom regióe toho typu. Pre regió typu a) je to 6 sád. Ašak môže astať aj situácia, kde emôžeme edľa seba tese poukadať komuikačé regióy, ktoré sa eopyňujú. Počet štorco deeí a ceej mriežke totiž emusí byť Obr..: Tesé umiesteie regióo použíajúcich roaké sady oých dĺžok deiteľý počtom štorco a hrae komuikačého regióu. My šak musíme uažoať aj ajäčší zyšok, ktorý môžeme dostať pri deeí cekoého počtu štorco a strau G a počtu štorco a strae daého regióu. Ozačme si mzx) ako maximáy možý zyšok po deeí x. Je zrejmé, že mz x) x. Uažujme, pre každý komuikačý regió so straami x a y, regió so straami x mz x)) a y mz y)), čo je podstate regió daého typu rozšíreý o maximáy možý zyšok po deeí prísušými straami. Totiž musíme predpokadať, že sa každý zo štorco, môže ocitúť a jedej zo zyškoých pozícií, kedy ie je súčasťou žiadej komuikačej obasti. Na cekoú reaizáciu komuikácie daého typu budeme teda potreboať maximáe x mz x)) y mz y)) sád oých dĺžok. Ozačme pst) ako počet sád potrebých oých dĺžok pre reaizáciu požiadaiek typu t ľubooľom rozdeeí. Potom potrebý počet sád pre reaizáciu jedého deeia je cps ps a) ps b) ps c) ps d) Teto počet sád je koštata c, ktorú hľadáme. Dohromady teda potrebujeme 7 ) 7 oých dĺžok.

44 Zožitosté aspekty optických sietí 7.. Agoritmus reaizujúci a mriežke I A Uažujme podobé rozdeeie do štorco ako pri toruse. Pri mriežke, a rozdie od torusu, dostaeme štorce, ktoré sa budú achádzať a okraji, prípade a rohoch mriežky. Teda predchádzajúca erzia agoritmu pre torus sa tu edá použiť. Poďme sa pokúsiť predchádzajúci agoritmus trošku prispôsobiť pre podmieky mriežky. Lema.: Nech S a T sú da štorce mriežke ad sebou. Potom šetky ich zájomé komuikačé požiadaky dokážeme reaizoať s pre k) oými dĺžkami s astosťou spoľahiosti použíajúc iba praé soty štorco S a T. Všetky cesty pritom zostaú rámci obdĺžika, aprao od štorco S a T. Dôkaz: Budeme dokazoať podobe ako emu. ašak tu musíme obmedziť komuikáciu a obasť jedého obdĺžika bude dojici s riadkom, tak ako je to a obr.... Riadky štorco budeme pároať do dojíc. Riadok Obr..: Spároaie riadko štorca S do dojíc Tak ako sme mohi eme. podľa emy.0 spojiť ľubooľý praý sot štorca S s ľubooľým praým sotom štorca praých soto štorca S T ad ím, tak aj tu môžeme ľubooľú dojicu spojiť s ľubooľou dojicou praých soto štorca použijeme e obasť obdĺžika aprao od štorco S a T. Získame tak kruhy o eľkosti T pričom rchoo, kde tica rchoo S chce komuikoať s ticou rchoo T. Podľa emy.9 potrebujeme a túto komuikáciu miimáe cyko. Každú dojicu riadko štorca S potrebujeme raz prepojiť z každou z / ) dojíc riadko štorca T. Keďže každú z dojíc riadko štorca podľa emy.0 dokážeme prepojiť s jedou z dojíc riadko T disjuktými cestami, potrebujeme a cekoú reaizáciu požiadaiek medzi S a T práe / ) cyko. Keďže a každý cykus rátame oé dĺžky, potrebujeme cekoo zostaú rámci jedého obdĺžika aprao od S a T. S oých dĺžok, pričom šetky cesty Roaké trdeie patí tiež pre da štorce ľubooľom deeí azájom edľa seba s tým rozdieom, že sa použíajú dojice stĺpco. Podobé trdeie patí aj pre diagoáych

45 Zožitosté aspekty optických sietí 8 susedo ašak s tým rozdieom, že budeme yužíať dojice riadko jedého štorca a dojice stĺpco druhého štorca. Tu bude stačiť a komuikáciu ayše e jede štorec. Reaizácia spároaia dojíc stĺpco a riadko štorco susediacich diagoáe je ačrtutá a obr... Obr..: Reaizácia komuikácie diagoáych susedo Teda pre mriežku dostaeme dostáame asedoé horé ohraičeie. j Veta.5. Nech graf G je mriežka rozmero a ech kde j ℵ. Potom šetky požiadaky ajiac I A s astosťou prežiteľosti grafe G ieme efektíe reaizoať použitím c 6 ) 7 oých dĺžok, kde c je kadá koštata udáajúca maximáy počet obastí komuikácie azájom sa opyňujúcich ľubooľom rozdeeí. Dôkaz: Postupujeme podobe ako pri ete.. Z emy. ieme, že ak šetky požiadaky medzi doma susedými štorcami rozdeeí ieme reaizoať k oými dĺžkami, potom šetky požiadaky M ieme reaizoať použitím Ok) oých dĺžok. Keďže sa teda každom rozdeeí každý komuikačý regió opyňuje s koštatým počtom susedých regióo, stačí uažoať jede komuikačý regió každom rozdeeí. Z Lemy., dostáame počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu jedého komuikačého regióu záisosti od eľkosti rozdeeia s, kde s je eľkosť hray zájome komuikujúcich štorco komuikačom regióe). Teraz ešte potrebujeme yrátať počet oých dĺžok potrebých a reaizáciu požiadaiek komuikačého regióu každom rozdeeí. Dostáame:

46 Zožitosté aspekty optických sietí 9 og og s a keďže pre s rozdeeí patí s dostaeme Použijeme zámy zťah pre sumu geometrickej postuposti a k a a k a dostaeme og k 8 k 8 og og ) 8 7 og ) 6 7 ) Dostai sme teda počet oých dĺžok a reaizáciu jedého regióu každom deeí. Každý regió sa šak ešte prekrýa z koštatým počtom c regióo deeí. Na obr..5 máme zobrazeé, ako môžu yzerať komuikačé regióy tomto prípade. Obr..5: Možé komuikačé regióy

47 Zožitosté aspekty optických sietí 0 Ozačme pst) ako počet sád potrebých oých dĺžok pre reaizáciu požiadaiek typu t ľubooľom rozdeeí. Potom potrebý počet sád pre reaizáciu jedého deeia je cps ps a) ps b) ps c) ps d) Naša koštata c teda tomto prípade adobude hodotu 6. Dohromady teda potrebujeme ) 7 ). 7 7 Pre mriežku sa ám týmto spôsobom podario z hora ohraičiť počet potrebých oých dĺžok teda roako dobre ako pre torus.

48 Zožitosté aspekty optických sietí.. Náčrt agoritmu V tejto kapitoe uádzame áčrt agoritmus pokrytia torusu cykami, reaizujúcimi šetky komuikačé požiadaky ištacie. I A For 0 až og - do Rozdeľ G do štorco stray Reaizuj obasti typu T ad S) tak, aby ich komuikačé regióy boi teste edľa seba // cykami Reaizuj šetky ich posuutia Reaizuj obasti typu T ad S) tak, aby ich komuikačé regióy boi teste edľa seba // cykami Reaizuj šetky ich posuutia Reaizuj obasti typu T ľao diagoáe od S) tak, aby ich komuikačé regióy boi teste edľa seba // cykami Reaizuj šetky ich posuutia Reaizuj obasti typu T prao diagoáe od S) tak, aby ich komuikačé regióy boi teste edľa seba // cykami Reaizuj šetky ich posuutia

49 Zožitosté aspekty optických sietí.5. Agoritmy pre rozmerú mriežku a torus V tejto kapitoe sa pokúsime popísať jedoduchý agoritmus aj pre graf G ako rozmerý torus a mriežku. Podobe ako sme dojrozmerom prípade rozdeii graf do štorco o hrae, kde 0.. og, si trojrozmerom prípade rozdeíme graf do kociek ašom prípade uažujeme o kocke ako o rozmerej mriežke) o hrae dĺžky. Podstata rozdeeia je aby každé rozdeeie zachytio požiadaky rôzych dĺžok grafe. V každom rozdeeí budeme uažoať komuikáciu medzi azájom susedými kockami. Taká komuikácia medzi doma susedými kockami ľubooľom rozdeeí grafu yužía e ohraičeé okoie týchto kociek, azýame komuikačý regió kociek. Každý komuikačý regió je prieiku z koštatým počtom iých komuikačých regióo, každom rozdeeí. Teda ak spočítame sumu potrebých oých dĺžok a jede regió každom rozdeeí, odhademe koštatu, koľko krát musíme pre komuikačý regió každom rozdeeí použiť rôze sady oých dĺžok, dostaeme počet oých dĺžok, ktorými je možé reaizoať daý graf. Komuikáciu medzi doma rozmerými štorcami ám popisuje ema., resp. ema., kde použíame meší komuikačý regió. Každá kocka o hrae rchooch ľubooľom rozdeeí sa skadá z práe rozmerých štorco rozmero. My potrebujeme odhadúť potrebý počet oých dĺžok potrebých a komuikáciu medzi doma susedými kockami záisosti od eľkosti kocky. Teda bude potrebé prepájať azájom jedotié komuikačé roiy susedých kociek. Lema., resp. ema. ám popisuje koľko oých dĺžok potrebujeme a reaizáciu spoľahiej komuikácie medzi doma rozmerými štorcami. Poďme si teda odhadúť potrebý počet oých dĺžok a obasť potrebú a komuikáciu medzi doma kockami ľubooľom rozdeeí grafu. Lema.6: Nech S a T sú da kocky rozmerom toruse ad sebou. Potom šetky ich zájomé komuikačé požiadaky dokážeme reaizoať s pre k) oými dĺžkami s astosťou spoľahiosti použíajúc iba ľaé a praé soty štorco S a T. Všetky cesty pritom zostaú rámci kádro, aprao a aľao od štorco S a T. Dôkazáčrt): Podľa emy. dokážeme ľubooľé štorce rozmero reaizoať oými dĺžkami, za predpokadu, že ieme ľubooľe permutoať ich riadky azájom disjuktými cestami. My teda potrebujeme ukázať, že dokážeme ľubooľú permutáciu štorco kocky S, prepojiť s ľubooľou permutáciou štorco kocky T. A rámci ľubooľe zoeej permutácie štorco ukázať, že je možé ľubooľe permutoať riadky štorco, a to šetko disjuktými cestami obmedzeom okoí. Na obr..6 máme ačrtutú komuikáciu medzi doma štorcami azájom susediacich kociek. Na komuikáciu týchto doch štorco je použitá jeda z horizotáych roí kádra. To zameá, že týmto spôsobom je možé spojiť ľubooľú permutáciu štorco

50 Zožitosté aspekty optických sietí kocky S s ľubooľou permutáciou štorco kocky T. Na ertikáej roie, a ktorej sa achádza jede zo štorco je možé riadky ľubooľe permutoať. Ako idíme, dostáame kružice. Pre kružice štorco patí ema.. Teda jedu permutáciu štorco medzi kockami S a T dokážeme reaizoať tou istou sadou oých dĺžok ako komuikáciu medzi doma rozmerými štorcami. Keďže každý z štorco kocky S musí komuikoať s každým zo štorco kocky permutáciu musíme reaizoať oou sadou Obr..6: Komuikácia štorco susediacich kociek oých dĺžok. Lema.7: Nech S a T sú da štorce zájomé komuikačé požiadaky dokážeme reaizoať s T potrebujeme reaizoať rôzych permutácií. Keďže každú oých dĺžok, cekoo teda potrebujeme rozmerej mriežke ad sebou. Potom šetky ich pre k) oými dĺžkami s astosťou spoľahiosti použíajúc iba praé soty štorco S a T. Všetky cesty pritom zostaú rámci kádra, aprao od štorco S a T. Dôkazáčrt): Podobe ako pri eme.6 ašak tu použijeme emu. a káder e a jedej strae kociek S a T. Podobé trdeia si môžeme dokázať medzi ľubooľými doma susediacimi kockami samozrejme s rozdieou komuikačou obasťou, regióom. Za susediace kocky,