UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA. Program: matematika računalništvo FILOTAKSA DIPLOMSKO DELO

Transcription

1 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA AKULTETA Program: matematika računalništvo ILOTAKSA DIPLOMSKO DELO Mentor: izr. prof. dr. MARKO RAZPET Kandidatka: MOJCA LESKOVEC Ljubljana, junij 2005

2 POVZETEK: V tem diplomskem delu povežemo matematiko in botaniko. Pobliže spoznamo urejenost poganjkov v rastlinah skozi oči matematike. V delu se predstavi filotaksa v centralni in cilindrični obliki. Na enostaven način spoznavamo osnovne pojme in znanja, povezana s filotakso. Za posamezne vzorce rastlin najdemo povezave s ibonaccijevim ali Lucasovim zaporedjem ter z zlatim razmerjem. Tako spoznamo matematične zakonitosti rastnih vzorcev v rastlinah. Podamo definicije, izreke in lastnosti za razumevanje filotakse, ki so podlaga za nadaljnje matematično raziskovanje urejenosti poganjkov v rastlinah. Ključne besede: ibonaccijevo zaporedje, Lucasovo zaporedje, zlato razmerje, filotaksa, spiralni vzorec, dotikajoče parastihije, vidni nasprotni parastihijski par, rodovna spirala, medrastni kvocient, divergenca in mreža. ABSTRACT: In present diploma we try to combine mathematics with botany. We introduce in detail the arrangement of leaves through the eyes of matematics. We present phyllotaxis in centric and cylindrical representation. As we progressthrough this diploma work, in a simple manner we begin to comprehend the fundamental conceptions and knowledge, which is closely linked with phyllotaxis. It is possible to adequately link patterns in plants with ibonacci and Lucas sequences and with the golden ratio. A mathematican is in this way able to get an insight into regular models of plant patterns. We introduce definitions, theorems and characteristics, which are necessary for understanding phyllotaxis. Key words: ibonacci sequences, Lucas sequences, golden ratio, phyllotaxis, spiral pattern, contact parastichies, visible opposed parastichy pairs, genetic spiral, plastochrone ratio, divergence angle and lattice. MSC(2000): J 7, A 55, B 39, 52 C 05, 92 C 5, 92 C 80 2

3 KAZALO. IZVOR ILOTAKSE 7 2. OSREDNJA PREDSTAVITEV Klasifikacija rastlin Vzorci v rastlinah Vertikalni vzorec Spiralni vzorec Pari (m, n) Parastihije Dotikajoče se parastihije Osnovni koncept Vidna nasprotna parastihijska para Rodovne spirale in izrek bratov Bravais Divergenčni kot d in medrastni kvocient R Matematične konstante ibonaccijeva in Lucasova zaporedja Zlato razmerje τ Razmerja med ibonaccijevimi števili in zlatim razmerjem Model za analizo vzorcev Geometrija spiralne mreže Matematični problem 3 3. TEMELJNI IZREK ILOTAKSE IN NJEGOVA UPORABA Temelj filotakse Predstavitev izreka Vidni nasprotni parastihijski pari ibonaccijevega kota Ulomki v filotaksi, povezani s ibonaccijevim kotom Temeljni izrek filotakse Različne oblike Uporabni algoritmi, povezani z d in (m, n) Glavne lastnosti filotaksinih mrež ilotakse in areyeve vrste Vidni parastihijski pari Primeri in algoritmi ormula približkov bratov Bravais Valjasta mreža Izpeljava formule HIERARHIČNA UREDITEV V ILOTAKSI Lestiboudois-Bolleova teorija podvojitve 54 3

4 4.2. Van der Lindenov model Hierarhična predstavitev filotakse Hierarhija z enostavnimi in dvojnimi vozlišči ZAKLJUČEK 60 LITERATURA 62 VIRI 63 KAZALO SLIK Slika : Model izmenične vertikalne porazdelitve 8 Slika 2: Slika rastline z izmenično vertikalno porazdelitvijo 9 Slika 3: Slike rastlin s pokrivajočo vertikalno porazdelitvijo 9 Slika 4: Model pokrivajoče vertikalne porazdelitve 0 Slika 5: Model izmeničnega vertikalnega vzorca za n=5 0 Slika 6: Slike rastlin s križastim vzorcem Slika 7: Model križastega vzorca Slika 8: Slike rastlin z dvostihnim vzorcem 2 Slika 9: Model dvostihnega vzorca 3 Slika 0: Slike rastlin s spiralnim vzorcem 3 Slika : Model spiralnega vzorca 4 Slika 2: Slika rastline mnogopernatostnega vzorca 4 Slika 3: Model mnogopernatostnega vzorca 4 Slika 4: Ponazoritev parastihijskega para (2, 3) 5 Slika 5: Marjetica 5 Slika 6: Ananas 6 Slika 7: Levo in desno usmerjene vijačnice 6 Slika 8: Marjetica (2, 34) 7 Slika 9: Marjetica (3, 2) 7 Slika 20: Storž 8 Slika 2: Geometrijska predstavitev cveta 9 Slika 22: Divergenca d 2 Slika 23: Graf približne vrednosti zlatega reza 24 Slika 24: Graf kvocientov k / k- 27 Slika 25: Slika zlatega razmerja na krožnici 28 Slika 26: Središčna predstavitev vzorca v rastlini s parastihijskim parom (3, 2) 3 Slika 27: Spirala, katerih razporeditev točk je 37,5 glede na pol. 34 Slika 28: Nabor točk, dobljenih po izbrisu spirale 34 Slika 29: Povezava točk za 5-parastihije 34 Slika 30: Povezava točk za 3-parastihije 34 Slika 3: ilotaksa sistema /3 36 Slika 3: Cilindrična predstavitev mreže točk z divergenco d = 7/72 44 Slika 32: Cilindrična predstavitev mreže točk 49 Slika 33: Smrekov storž 5 Slika 34: Cilindrična predstavitev mreže bratov Bravais 52 Slika 35: Storž, predstavljen z ulomki hierarhije sistema 2, 3 54 Slika 36: Hierarhije sistema 3,

5 Slika 37: Začetna postavitev štiri listnega poganjka 57 Slika 38: Kopičenje poganjkov, določenih s položajem prvih treh in z izbiro začetka 59 KAZALO TABEL Tabela : Koti, ki pripadajo posameznim vrednostim filotakse Tabela 2: Primeri limitnih divergentnih kotov, katerim ustrezajo vzorci normalne in posebne filotakse

6 PROGRAM DIPLOMSKEGA DELA Na primeru filotakse pokažite povezavo med botaniko in matematiko. Za temeljni vir uporabite Jean, R. V. (994). Phyllotaxis, A Systematic Study in Plant Morphogenisis. Ljubljana, junij 2004 Mentor: Marko Razpet 6

7 . Izvor filotakse Beseda filotaksa izhaja iz grških besed phyllon, list in taxis, ureditev, kar bi lahko prevedli kot urejenost listov. Prva opazovanja v povezavi s filotakso je mogoče zaslediti že v antičnih časih. Theophrastus (370 pnš.-285 pnš.) je v svojih raziskavah o rastlinah izjavil»tiste, ki imajo ploščate liste, jih imajo v pravilnem zaporedju«. V novejšem času (od petnajstega stoletja do 970) pa so zaznamovali razvoj filotakse raziskovalci, kot so Leonardo da Vinci (452-59), J. Kepler (57-630), C. Bonnet (754), C.. Schimper (830), A. Braun (83, 835), brata Bravais (837), M. T. Lestiboudois (848), W. Hofmeister (868), S. Schwendener (878), A. H. Church (904), D'Arcy W. Thompson (97), M. Snow in R. Snow (962). V devetnajstem in dvajsetem stoletju so znanstveniki v študijah o naravnem fenomenu prevzeli filozofijo redukcije in začeli ločeno obravnavati fenomen filotakse. Posledično so sedaj študije večinoma omejene na ontogenetičen in mehaničen pristop. Znanost filotakse se je rodila kot veja botanike, ko so poizkušali naturalisti opisati novo opaženo pravilnost razporeditve listov na steblu. Od takrat se je opis filotakse povzdignil na visoko stopnjo elegance, predstavljeno, na primer v knjigi avtorjev Prusinkiewicz in Lindenmayer (990). ilotakso v zadnjih dvajsetih letih intenzivno študirajo. 7

8 2. Osrednja predstavitev 2.. Klasifikacija rastlin 2... Vzorci v rastlinah Vzorčna formacija v organizmih je najbolj pogosto opažen fenomen v naravi. Prav vse živali in rastline na tem planetu vsebujejo simetrije, ki so rezultat vzorčnih formacij. Večina vrst živali je dvostransko simetrična, nekaj jih je tudi radialno simetrična. Za rastline je bolj značilna radialna simetrija, medtem ko so organi rastlin, kot na primer listi, v večini dvostransko (bilateralno) simetrični. Take simetrične morfologije so vidne kot vzorci in jih imamo za lepe ter zanimive. Ti vzorci se kažejo v rastlini na mnogo načinov: v razvrstitvah listov ali vejic na veji, v ožilju listov, in posebej v cvetovih rož z različnimi vzorci oblik in barv. V tem delu ne bomo obravnavali vseh tipov vzorcev. Kot osrednji objekt v morfologiji rastlin je razporeditev organov rastline, kot so listi, veje, cvetni listi, cvetovi, Vertikalni vzorec Obstajata dve večji razpoznavni kategoriji vzorcev porazdelitve listov: vertikalni in spiralni. V številnih skupnih vrstah rastlin so listi razporejeni v nivojih stebla vertikalno. Število n listov v vertikalni porazdelitvi se spreminja od ene vrste rastlin do druge vrste rastlin. Število n listov se lahko spreminja tudi znotraj ene vrste. Slika : Model izmenične vertikalne porazdelitve 8

9 Slika 2: Slika rastline z izmenično vertikalno porazdelitvijo Značilnost ene vrste vertikalne porazdelitve je v tem, da so listi na sledečih nivojih razporejeni tako, da je vsak list nivoja postavljen nad vrzeljo prejšnjega nivoja, taki porazdelitvi pravimo izmenična vertikalna porazdelitev. Slika 3: Slike rastlin s pokrivajočo vertikalno porazdelitvijo 9

10 Slika 4: Model pokrivajoče vertikalne porazdelitve Druga vrsta vertikalne porazdelitve je porazdelitev listov, ki se nahajajo po nivojih eno nad drugim. Tej porazdelitvi pa pravimo pokrivajoča vertikalna porazdelitev. Slika 5: Model izmeničnega vertikalnega vzorca za n=5 Primer izmeničnega vertikalnega vzorca vidimo na Sliki 5. Na vsaki diagonali tvorijo listi koncentrične kroge petih poganjkov iste velikosti, rastejo v petih vrzelih poganjkov malo večje velikosti, le ti spet rastejo v vrzelih poganjkov še večje velikosti. V primeru n=2 (Slika 6 in Slika 7) imamo križasti vzorec. Zaporedni pari listov po nivojih na steblu so postavljeni pod pravim kotom glede na prejšnji nivo listov na steblu. 0

11 Slika 6: Slike rastlin s križastim vzorcem Slika 7: Model križastega vzorca

12 V drugem primeru, ko je n=, je posamezen list postavljen v svoje vozlišče, tako da je vsak naslednji list v svojem vozlišču zamaknjen za 80 od prejšnjega. Ta vzorec je zelo pogost na travnikih, pravimo mu dvostihen. Slika 8: Slike rastlin z dvostihnim vzorcem 2

13 2..3. Spiralni vzorec Slika 9: Model dvostihnega vzorca Za spiralni vzorec je značilno, da rastejo listi oz. vejice na steblu zamaknjeni eden za drugim, za neki konstantni kot, ki ga imenujemo divergenči kot d. Pri rastlinah je ta vzorec zelo pogost. Slika 0: Slike rastlin s spiralnim vzorcem 3

14 Slika : Model spiralnega vzorca V spiralnih vzorcih ločimo še mnogopernatost oz. večstebelnost. V tem primeru več listov oz. vejic raste v istem nivoju stebla in so enakomerno porazdeljeni okrog njega. V vsakem nadaljnjem nivoju je enako število enakomerno porazdeljenih listov oz. vejic, le da so zamaknjeni okrog stebla za neki konstantni kot d. Slika 2: Slika rastline mnogopernatostnega vzorca Slika 3: Model mnogopernatostnega vzorca 4

15 2.2. Pari (m, n) Parastihije Najbolj običajen vzorec je spiralni vzorec, pri katerem obravnavamo rastišče posameznega poganjka v svojem vozlišču. Mogoče je zaslediti dva spiralna niza okoli stebla, ki tečeta v nasprotnih si smereh in se navidezno križata. V tem primeru je mogoče zaslediti spirale, ki se v botaniki imenujejo parastihije. Dve družini parastihij sestavljajo parastihijski par. Sestavljajo ga v nekaterih primerih, na primer listi na steblih z valjasto površino. Slika 4: Ponazoritev parastihijskega para (2, 3) Naslednji primer so spirale iz lusk pri ananasu. Očitne spirale vidimo tudi v cvetovih, na primer pri marjetici. Slika 5: Marjetica 5

16 Dotikajoče se parastihije Kako naj opišemo spiralne vzorce? Lahko jih opišemo tako, da preštejemo, koliko spiral je vidnih očesu. Na primer, če pogledamo površino ananasa, opazimo tri družine spiral. Šestokotne luske so vidno urejene v vijačnice, ki potekajo v treh različnih smereh. Opazimo lahko 8 vzporednih vrst v levo, 5 v desno položno navzgor in 3 strmo desno navzgor. Slika 6: Ananas Spiralne vzorce lahko opišemo tudi glede na smer vijačnic, vendar spiralni zavoj ni vedno določen. Na Sliki 7 lahko vidimo levo in desno usmerjene vijačnice. Slika 7: Levo in desno usmerjene vijačnice 6

17 Na drevesih palm so opazili, da je število spiral, ki jih določa sled rasti listov na steblu palme, 2, 3, 5, 8, 3 ali 2. Cvetovi sončnic imajo pogosto družine 34 parastihijskih zavojev v eno smer in družino 55 parastihijskih zavojev v drugo smer. Večji cvetovi sončnic kažejo 89 in 44 družin parastihijskih zavojev, manjši cvetovi sončnice pa imajo po 2 in 34, ali 3 in 2 družin parastihijskih zavojev. Ta števila najdemo tudi pri cvetovih marjetic. Slika 8: Marjetica (2, 34) Slika 9: Marjetica (3, 2) 7

18 Na borovem storžu tudi lahko preštejemo število spiral. V eno smer jih poteka 5 v drugo pa 8. Na drugih storžih lahko opazimo, da je lahko število spiral 2 in 3 ter 3 in 5. Slika 20: Storž Dotikajoči se listki ustvarijo vidno sled spirale. Spiralam, ki so očitne in vidne našim očem, pravimo dotikajoče se parastihije. Parastihijam, ki tečejo v isto smer, pravimo družina dotikajočih se parastihij in dvema takima družinama, ki tečeta v nasprotni smeri glede na os rastline, pravimo dotikajoči se parastihijski par. Spirala v družini n parastihij je n-parastihija. Parastihijski par, zgrajen iz družine m spiral v eno smer in n spiral v drugo smer, označimo s parom (m, n). Števili m in n pa sta sekundarni števili para. Na Sliki 8 imamo sekundarni števili 2 in 34 in dotikajoča se parastihijska para (2, 34). 8

19 2.3. Osnovni koncept Vidna nasprotna parastihijska para Geometrijski zemljevid spiralnih vzorcev naredimo tako, da označimo center vsakega lista, luske ali poganjka. Ti centri so presečišča spiral, kot je pokazano na Sliki 2, in nam opisujejo zunanji del spiralnega vzorca s 3 spiralami v eno smer in 2 spiralami v nasprotno smer. V tem primeru ne moremo govoriti o dotikajočih se parastihijah, ker ne vidimo oblike poganjkov oz. listkov, ki naj bi se dotikali. Parastihijski par (3, 2) se imenuje vidni nasprotni parastihijski par. Ta izraz je posledica dejstva, da je na vsakem presečišču dveh spiral en poganjek oz list. V notranjosti Slike 2 vidimo vidni nasprotni parastihijski par (8, 3). Slika 2: Geometrijska predstavitev cveta 9

20 Sprememba iz (8, 3) v (3, 2) se imenuje naraščajoča filotaksa. Čeravno obstaja veliko število vidno nasprotnih parastihijskih parov, je ponavadi le en jasen parastihijski par. Jasen parastihijski par je tak viden nasproten parastihijski par, da meri kot γ, to je kot v presečišču parastihij v parastihijskem paru, približno 90. V našem primeru na Sliki 2 je (3, 2) jasen parastihijski par. Sistemu, katerega jasen parastihijski par je (m, n), pravimo da je filotaksa sistema (m, n). Včasih obstajata v sistemu dva jasna parastihijska para. Pojavita se v primeru, ko se kota γ vidnih nasprotnih parastihijskih parov enako razlikujeta od pravega kota (90 ), na primer γ=70 za par (m, n) in γ=0 za par (m, m+n) Rodovne spirale in izrek bratov Bravais Na Sliki 2 so poganjki oštevilčeni glede na njihovo starost, se pravi glede na to, kateri je na rastlini prej zrasel, številka 0 pa označuje najmlajšega. Opaziti se da, da so na vsaki od 3 spiral, točke za 3 poganjkov oddaljene glede na starost (na primer, spirala, ki povezuje poganjke 3, 26, 39, 52, 65, 78, 9, 04, 7), in da so na vsaki od 2 spiral točke za 2 poganjkov oddaljene glede na starost (na primer spirala 58, 79, 00, 2). Izrek bratov Bravais: Na n-parastihiji filotaksiniga spiralnega vzorca, se zaporedna števila poganjkov razlikujejo za n. Rodovna spirala, imenovana tudi razvojna spirala, je nepretrgana krivulja, ki povezuje zaporedno rastoče poganjke, od najstarejšega (blizu roba), do najmlajšega (blizu centra stebla), po najkrajši poti okoli centra. Na Sliki 2 je rodovna spirala usmerjena nasproti smeri urinih kazalcev, oziroma levo usmerjena (sledi številom, 0, 09, 08, ). Brata Bravais sta pokazala: če sta sekundarni števili v dotikajočem se parastihijskem paru (m, n) brez skupnih deliteljev, potem obstaja le ena rodovna spirala, in se jo lahko določi po prejšnjemu izreku. 20

21 Divergenčni kot d in medrastni kvocient R Potegnimo dve daljici od centra poljubnih dveh sledečih si poganjkov ( n in n+) do centra stebla, določimo kot imenovan divergenčni kot oz. divergenco. Divergenca je označena s črko d in je vedno manjša od 80. Pogosto je predstavljena kot število, ki je manjše od /2 (80 /360 ), običajno na primer kot d = 2/5 ali 44. V naravi je divergenčni kot relativno konstanten za spiralne razporeditve in običajna merjena vrednost je približno 37 ½. Slika 22: Divergenca d Če hočemo opisati vzorce z meritvami, potrebujemo poleg divergenčnega kota še razdalje med sledečimi poganjki na steblu. Razmerje razdalj dveh sledečih si poganjkov imenujemo medrastni kvocient, ki ga označimo z črko R. in njegova vrednost je vedno večja od. S tema dvema parametroma lahko konstruiramo diagram, ki nam kaže pravi vzorec porazdelitve vejic ali poganjkov v cvetu. 2

22 2.4. Matematične konstante ibonaccijeva in Lucasova zaporedja Sekundarni števili m in n v prej omenjenih parastihijskih parih v storžu, ananasu in sončnici sta zaporedni ibonaccijevi števili. Prvih nekaj ibonaccijevih števil je,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,, kjer je vsota dveh zaporednih števil v zaporedju naslednji člen tega zaporedja. Rekurzivna uporaba tega pravila nam da enostavno, vendar zelo pomembno matematično zaporedje, imenovano ibonaccijevo zaporedje, ki ga sestavljajo vsa ibonaccijeva števila:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, (.) Simbola in pomenita, da vmesna števila sestavljajo neskončno zaporedje. Zaporedje je v devetnajstem stoletju poimenoval francoski matematik Edouard Lucas po Leonardu ibonacciju, slavnemu matematiku iz Pise, ki je v dvanajstem stoletju prvi opisal tako zaporedje. ibonaccijeva števila se v rastlinskem svetu pojavljajo zelo pogosto in z izredno natančnostjo. Raziskovalci so pokazali, da se kar na 92% vseh rastlin, ki vsebujejo spirale, kažejo ibonaccijeva zaporedja. Če pa vidni parastihijski par ne vsebuje števil, ki so zaporedni členi ibonaccijevega zaporedja, potem pogosto, v 2% primerov, vsebujejo števila iz Lucasovega zaporedja. Slednje ima enako pravilo kot ibonaccijevo zaporedje le, da sta začetni vrednosti in 3. Prvih nekaj Lucasovih števil je:, 3, 4, 7,, 8, 29,. Napišimo še formalno pravilo zaporedij. Označimo z k naše k-to ibonaccijevo število. Tako da 5 = 5 in 9 = 34. Dobimo rekurzivno zvezo: k+ = k + k - za k = 2, 3, 4, in začetni vrednosti = 2 =. (.2) Z L k pa označimo k-to Lucasovo število in dobimo: L k+ = L k + L k - za k = 2, 3, 4, z začetnima vrednostima L =, L 2 = 3. 22

23 Zlato razmerje τ Tesno povezano s ibonaccijevim zaporedjem je zlato razmerje, označeno s τ. Njegova vrednost je: τ = ( 5 + ) / 2. (.3) To je iracionalno število, katerega približna vrednost je.68. Označeno je lahko tudi z grško črko Φ, po znanem kiparju iz antike, idiasu. Zlato razmerje τ je simbol harmonije. Stari Grki so bili očarani nad zlatim razmerjem zaradi njegove estetične skladnosti v geometriji, umetnosti in arhitekturi. To število se na različne načine pojavlja v pravilnem petkotniku in petkratna simetrija je glavna značilnost fenomena filotakse. Odsotnost petkratne simetrije v anorganski materiji je znana kot kristalografična omejitev. Simbol τ ne predstavlja le zlatega reza, ampak predstavlja tudi simbol življenja, simbol, ki so ga poznali že stari Egipčani in Hindujci. Zlato razmerje τ lahko predstavimo na naslednji način. Daljico dolžine, razdelimo na dva dela, tako da je razmerje daljšega dela BC proti krajšemu delu AB, enako razmerju cele daljice AC proti daljšemu delu BC. Zapišimo to z enačbo: BC = AB AC BC Sedaj lahko definiramo zlato razmerje. Zlato razmerje τ je razmerje daljic AC in BC. Če je dolžina daljice AC enaka in dolžina daljice BC enaka x, potem je daljica razdeljena v zlatem razmerju, če: x 5 =, τ =, x = =. x x x 2 τ Iz tega dobimo τ = =

24 Razmerja med ibonaccijevimi števili in zlatim razmerjem Zlato razmerje je število, katerega decimalni del ni končen, in nima periode. Poglejmo si povezavo med zlatim razmerjem in enostavnimi števili iz ibonaccijevega zaporedja. Z kalkulatorjem si izračunajmo ulomke zaporednih ibonaccijevih števil : /, 2/, 3/2, 5/3, 8/5, 3/8, 2/3,. Ugotovimo lahko, da se z večanjem zaporednih ibonaccijevih števil v ulomku, vrednosti ulomkov približujejo zlatemu razmerju. Drugače povedano : k lim + τ = (.4) k Povezavo med zlatim rezom in enostavnimi števili iz ibonaccijevega zaporedja si lahko pogledamo še na drugačen način, kot limito funkcije. Ponovno si poglejmo rekurzivno zvezo v ibonaccijevem zaporedju k+2 = k+ + k. k Slika 23: Graf približne vrednosti zlatega reza Iz grafa 23 je razvidno, da gre vrednost ulomka jo bomo označili z x, torej Seveda je tudi k x = lim. x k k k k proti določeni vrednosti, ki k = lim +. (.5) 24

25 Vzemimo tri sosednja ibonaccijeva števila k+2, k+, k. Upoštevamo lastnosti ibonaccijevega zaporedja in namesto k+2 zapišemo v ulomku k+ + k, tako da dobimo naslednja razmerja: k + 2 k + + k + = k + k = k + k + + k k + = + k k + = + (.6) k + Sedaj v (.6) poženemo k prek vseh meja in dobimo: k + 2 x = lim = + k + lim torej smo našli enačbo: x = +. x Obe strani enačbe pomnožimo z x: x 2 = x + k k k + = + x, Dobili smo enačbo, s katero je definirano zlato razmerje. Pri tem ne smemo pozabiti, da sta vrednosti dveh zaporednih ulomkov k + in k + 2 k k + enaki le v limiti, se pravi, ko gre indeks k proti neskončnosti se približujmo zlatem razmerju. V dokazu nismo postavili začetnih vrednosti, ker dokaz ni odvisen od njih. Ni pomembno, kakšne so začetne vrednosti, če upoštevamo ibonaccijevo rekurzivno zvezo v zaporednih ulomkih, bo vrednost v limiti vedno enake zlatemu rezu. To pomeni da velja isto tudi za Luccasovo zaporedje ulomkov 2 Rešimo sedaj dobljeno kvadratno enačbo: x x = Upoštevamo, da je ( x ) = x x + ; 2 4 Lk +. L k 25

26 2 Zato lahko x x zapišemo kot 5 dobimo ( x ) 2 = ; ( ) 2 2 x in ker je x x = 0, 2 4 Korenimo obe strani enačbe in dobimo: 5 5 x = in x = ; Rešitvi kvadratne enačbe sta torej: Pri tem je x +x 2 =, x x 2 = 5 x = in x 2 = ; 2 S kalkulatorjem izračunajmo vrednosti in dobimo x = 0, ter x 2 =, Opazimo, da sta decimalna dela enaka. Označimo prvo število z τ * drugo pa s τ, torej + τ = 2 τ * = 2 5 =,6 5 = 0,6 τ τ * = τ +τ * = τ τ * = 5 τ = τ * = τ = τ * τ * =τ τ = /τ * τ * = /τ τ 2 = τ + τ *2 = τ * + τ = ( 5+ )/2 τ * = ( 5 )/2 Drugo vrednost τ * dobimo, če razširimo ibonaccijevo zaporedje na negativne indekse. Še vedno imamo isto ibonaccijevo rekurzivno zvezo, le da uporabimo indekse, ki so manjši od 0. 26

27 k k n n Primerjajmo vrednosti pozitivnih in negativnih indeksov v ibonaccijevem zaporedju, vidimo, da lahko zapišemo -n = (-) n+ n, n = 0,, 2, Če uporabimo negativne indekse, dobimo sledeče vrednosti ulomka =, = 0, 5, = 0,666..., = 0, 6, = 0, 625, Pokažimo, da je limita ulomka n n enaka τ * : n n : n n n+ ( ) n = = n+ 2 ( ) n+ n n+ lim n n = n lim = = ( τ *) = τ * τ n+ 2 Graf obeh rešitev enačbe x = x + si lahko ogledate na Sliki 24. Slika 24: Graf kvocientov k / k- 27

28 Pomembnost zlatega razmerja se pojavi, ko obravnavamo rastline z dotikajočim se parastihijskim parom ( k, k+ ) z divergenco d. Za velike indekse k je ustrezna vrednost d približno 37,5. Preverimo lahko, da obstajajo naslednja razmerja, med tem kotom, zlatim razmerjem in ibonaccijevimi števili: 37, τ τ k + k + + k k Kot τ s približki 37,5 ter 0.38, se imenuje ibonaccijev kot. Slika 25: Slika zlatega razmerja na krožnici Poglejmo nazaj na definicijo zlatega razmerja. Tako kot premico, lahko razdelimo tudi krožnico v zlatem razmerju a/b, kjer imamo manjši del krožnice b, le ta leži nasproti kotu v centru, katerega vrednost je enaka ibonaccijevemu kotu τ Sosednji kot ima vrednost 360, ker je τ + = τ 2 τ in = ; sledi da je 2 τ τ τ = 360. Koti, ki pripadajo posameznim vrednostim filotakse so 2 τ τ k enaki 360, k = 2, 3, 4,, kjer je k + zaporedje kvocientov k k k k + = k + k + k = k k +. Ker + zaporednih ibonaccijevih števil konvergira k zlatemu 28

29 razmerju τ, konvergira zaporedje filotaks k vrednosti τ - in z njim zaporedje kotov proti kotu ( τ - ). 360, ki se imenuje ibonaccijev kot. k k k k + k k , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela : Koti, ki pripadajo posameznim vrednostim filotakse Temeljno dejstvo pri filotaksi je to, da se v zgodnjem razvoju filotaksinega vzorca medrastni kvocient R manjša in divergenčni kot d hitro konvergira proti ibonaccijevem kotu ter posledično sta sekundarni števili m in n člena ibonaccijevega zaporedja. 29

30 2.5. Model za analizo vzorcev Geometrija spiralne mreže Zato da bi naredili matematični študij ureditve vzorcev rastlin in da bi dobili pomembne relacije med različnimi parametri v vzorcih, moramo narediti stvarne vendar matematično zanimive predpostavke. Predpostavili bomo, da so v vsaki družini spirale enako oddaljene druga od druge, da so identične, da gredo logaritemske spirale skozi središče poganjka (predstavljeno z točko) in da sta divergenca ter medrastni koeficient konstantna. To imenujemo središčna predstavitev naravno nastalih spiralnih vzorcev, spiralna mreža točk. Točke so razporejene vzdolž rodovne spirale. Ploščati cvet sončnice je enakovreden središčni projekciji. Konstantni kot pri logaritemski spirali je kot med tangento v poljubni točki te spirale in premico, ki povezuje to točko s središčem spirale (točka C na Sliki 26). Konstantni koti logaritemskih spiral so označeni s Φ m za družini m in Φ n za družini n spiral (predpostavljamo, da sta različno predznačena: en pozitiven drugi pa negativen). Če je (m, n) vidni nasprotni parastihijski par v središčni predstavitvi vzorca rastline z divergenco d in medrastnim kvocientom R in če je u celo število blizu md in v celo število blizu nd, potem držijo naslednje relacije: m = 2π(u md), n = 2π(v nd), (.7) mv nu = ±,0 < γ = Φ n Φ m ( ali Φ m Φ n ), (.8) m ln R = m cotφ m, (.9) n ln R = n cotφ n, (.0) cotφ m / cotφ n = m n / n m (.) mn ln 2 R - 2π ln R ctg γ + n m = 0 (.2) Za boljše razumevanje simbolov si poglejmo Sliko 26: m in n sta kota (v radianih, nasprotnih predznakov, med - π in + π) sestavljena iz vektorjev, ki izhajajo iz središča spiral in gredo proti središčem dveh zaporednih poganjkov, ki ležijo na poljubni spirali iz družine m ali n spiral. Kot γ (enak kotu VUS na Sliki 26), je kot ob presečišču poljubnih dveh nasprotnih spiral. 30

31 Slika 26: Središčna predstavitev vzorca v rastlini s parastihijskim parom (3, 2) Oštevilčenje poganjkov na Sliki 26 je drugačno kot na Sliki 2. Na Sliki 26 je najstarejši poganjek označen z (je najbolj oddaljen od centra C), najmlajši pa je označen s 4. Ta oznaka je razvojno bolj ustrezna in postaja čedalje bolj razširjena. Z rastjo novega poganjka ni več potrebno na novo oštevilčiti ostale poganjke, temveč le oštevilčimo novi poganjek. Ne glede na to, kateri način oštevilčenja vzamemo, spremenjen parastihijski par v sistemu ostane nespremenjen in izrek bratov Bravais še vedno drži Matematični problem Cvet sončnice je bil vedno inspiracijski model in izziv za raziskovalno delo. Moderna tehnologija nam kaže, da je bila težavnost izziva podcenjevana. Poganjki v cvetu se razvijajo v hitrem zaporedju od roba proti središču cveta in ne obratno, kot so to modeli pogosto predstavljali. Med aktivno rastjo cveta in nastajanjem vzorca v cvetu ni osrednjega dela ali mesta z organizacijsko sposobnostjo, ki je enaka poganjku na vrhu stebla v rastlinski mladiki. Videti je, da nima center cvetišča nobene kontrolne vloge, ker 3

32 se ga da izolirati ali odstraniti, ne da bi se spremenil vzorec cveta rastline ali razmerje cvetne zmogljivosti. Raziskovalci so izrazili dinamiko zarodnih procesov cvetov s tem, da so pokazali, da lega cvetne produkcije, imenovana razmnoževalna stran, ostaja približno konstantna na obodu in v premeru za dolgo dobo cvetenja. Naravna predpostavka v pristopih filotakse je ta, da je nastanek stranskega lista ali cveta posledica medsebojnega delovanja lege. Z raziskavami so jasno dognali, da je sončnica zmožna naključno proizvajati poganjke cvetkov po cvetišču. 32

33 3. Temeljni izrek filotakse in njegova uporaba 3.. Temelj filotakse V nadaljevanju bomo predstavili temeljni izrek filotakse in njegovo uporabo. Ta izrek ureja celotno geometrijsko povezavo med dvema konceptoma; med vidnim nasprotnim parastihijskim parom (m, n) in divergentnim kotom d. Izrek določa bistvene lastnosti mrež, ki se jih uporablja v večini pojasnjevalnih modelov in pri poizkusih, da bi razumeli filotakso. Dokler se ni upošteval ta izrek, je prihajalo do velikih napak v matematiki in biologiji filotakse. Vzrok je bila zmeda, zaradi velikega števila družin spiral, opaženih na eni rastlini. Med raziskovalci je prihajalo do različnih teorij: po eni naj bi obstajala le rodovna spirala, ostale naj bi bile le navidezne, po drugi naj bi med vsemi pari družin izbrali le vzajemno pravokotnega, se pravi, da je kot med dvema sekajočima se parastihijama 90, naslednja teorija pa je trdila, da gledamo vse parastihije enako in da obstaja nespremenljiva subjektivnost, kar je vse skupaj spremenilo v mističen idealizem in umišljene teorije. Velik napredek sta napravila francoska pionirja L. Bravais in A. Bravais, ki sta v leta 837 v svojem delu Essai sur la disposition des feuills curviseriees, predstavila cilindrični prikaz filotakse in pokazala pomembnost verižnih ulomkov na površini. Sledilo jima je veliko raziskovalcev na tem področju, kar je prineslo boljši biomatematični vpogled v probleme filotakse. Temeljni izrek je razjasnil pomen družin parastihij in s tem umiril dvesto let staro debato. Vse družine parastihij, ki so dolgo begale raziskovalce, prispevajo k celotnemu sistemu. Iz geometrijskega stališča ni razloga, da bi gledali le eno določeno spiralo. Ideja je v tem, da vsaka družina parastihij prispeva svoj del informacije k celotnemu sistemu filotakse. 33

34 3.2. Predstavitev izreka Vidni nasprotni parastihijski pari ibonaccijevega kota Že prej smo omenili, da obstaja povezava med vidnim nasprotnim parastihijskim parom ( k, k+ ) in ibonaccijevim kotom /τ ( 37.5 ), ki predstavlja divergentni kot med zaporednima si poganjkoma. Slika 27: Spirala, katerih razporeditev točk je 37,5 glede na pol. Slika 28: Nabor točk, dobljenih po izbrisu spirale Slika 29: Povezava točk za 5-parastihije Slika 30: Povezava točk za 3-parastihije 34

35 Za bolj nazorni prikaz narišemo spiralo z majhnim nagibom, kot na Sliki 27. Postavimo točke na njo, recimo 30 točk za 37.5, oddaljene ena od druge in točke zaporedno označimo. Te točke lahko predstavljajo mesta na valjastem steblu, kjer rastejo listi, preoblikovano v stožec, gledan od zgoraj, to pa je projicirano na ravnino. Alternativno, lahko predstavljajo cvet v spiralni mreži tako kot na primer notranjost cveta pri marjetici. Sedaj zbrišemo spiralo in naredimo 2 ali 5 kopij množic točk, pri čemer uporabimo prozorno podlago. Na vsako kopijo narišemo družino x spiral, ki imajo isto os in potekajo skozi točke tako, da se razdelijo na posamezne množice točk. To lahko naredimo z povezovanjem točk tako, da se številke na njih razlikujejo za 2, 3,.Slika 29 in Slika 30 kažeta primera za x = 3 in x = 5, kjer se točke na poljubni spirali razlikujejo za 3 oziroma za 5 in nam dajo 3 parastihije in 5 parastihije. Lahko opazimo, da ima število x lahko le naslednje vrednosti:, 2, 3, 5, 7, 8,, 2, 3, 4, 7,. Števila N ni v tej urejeni vrsti števil, če je N večkratnik števila x in če določa množico parastihij, ki so zavite v isto smer, kot množice x parastihij. Sedaj položimo dve kopiji točk, katerih družine spiral zavijajo v nasprotnih si smereh ena vrh druge in pogledamo take parastihijske pare, pri katerih se v presečišču poljubnih dveh spiral nahaja točka iz množice. To nam da vidne nasprotne parastihijske pare. Pokaže se, da so edini možni vidni nasprotni parastihijski pari (2, ), (2, 3), (5, 3), (5, 8), (3, 8),, vsi pa so sestavljeni iz zaporednih ibonaccijevih števil Ulomki v filotaksi, povezani s ibonaccijevim kotom Poglejmo si Sliko 27 iz drugega zornega kota. Vzamemo točko, na primer 4, jo povežemo s središčem spirale s poltrakom ter vzamemo še eno točko blizu poltraka, na primer 7. Sledimo rodovni spirali od 4 do 7. Narediti moramo približno obrat okoli središča in med potjo srečamo 3 točke, točke 4 ne štejemo. Pravimo, da je filotaksa sistema /3 (glej Sliko 3). Ponovno vzamemo točko 4 in točko blizu poltraka, na primer 9. Zopet sledimo rodovni spirali in pri tem naredimo približno 2 obrata ter srečamo 5 točk. Vrednost 2/5 je zopet filotaksa 2/5. Po istem postopku s števili 4 in 2 ter 4 in 7, ki ležijo bliže poltraku, dobimo 35

36 filotakse 3/8 in 5/3. Vzemimo točko 2 namesto točke 4 in naslednje točke 7, 0, 5, 23, ki potekajo ob poltraku skozi središče spirale, in točko 2. Opazimo, da dobimo iste ulomke filotakse kot prej in še filotakso 8/2. Slika 3: ilotaksa sistema /3 Ulomki filotakse so približki divergentnega kota v sistemu. Enostaven način izpeljave teh ulomkov smo pokazali v prejšnjem postopku. Gledamo le dva lista v cilindričnem sistemu ali dva poganjka, ki se pojavita približno en nad drugim glede na središče stebla, in sledimo rodovni spirali, ko gremo od enega do drugega, pri tem pa štejemo število obratov in število poganjkov, ki smo jih med potjo srečali, izvzamemo prvi poganjek oziroma list. Pri drevesih se pojavljajo ulomki filotaks, ki jim pripada zaporedje / 3, 2 / 4, 3 / 5, 4 / 6, 5 / 7, = /2, /3, 2/5, 3/8, 5/3,. Zaporedje je zgrajeno tako, da seštevamo vrednosti dveh zaporednih imenovalcev in dveh zaporednih števcev, tako da je naslednji ulomek zaporedja 8/2. Pokažimo, da je limita tega zaporedja /τ 2 : n n+2 = n+ n + n = n+ + n Upoštevamo, da je lim n+ n = τ, ko gre n čez vse meje in dobimo lim n+ + n τ +. τ = = 2 36

37 Zaporedje konvergira k /τ , kar ustreza divergentnemu kotu 37.5, ki smo ga potrebovali za spiralno mrežo na Sliki 27. Ulomki v tem primeru so izmenično manjši in večji od /τ 2. Da bi pridobili zaporedne ulomke filotakse na Sliki 3, se pomikamo po spiralni mreži okoli središča, posledica tega pa je nihajoče gibanje padajoče amplitude okoli poltraka, ki povezuje, na primer točko 4 s središčem spirale. To pomeni, da vsak izmed zaprtih intervalov [/3, 2/5], [3/8, 2/5], [3/8, 5/3], [8/2, 5/3] oklepa divergentni kot /τ 2. V stopinjah so ti intervali [20, 44], [35, 44], [35, 38.46], [37.4, 38.46] ugnezdeni okoli 37.5 in se vedno bolj oklepajo kota. Če naredimo spiralo z večjim številom točk, potem dobimo več ugnezdenih intervalov, vrednost njihove dolžine gre proti nič in vrednost preseka proti /τ 2. Naredimo kratek povzetek. Predhodna procesa sta vodila do zaporedja ugnezdenih intervalov in do zaporedja vidnih nasprotnih parastihijskih parov. Vrednosti v paru so imenovalci končnih točk v intervalih. Na primer, vidni nasprotni parastihijski par (3, 5) ustreza intervalu [/3, 2/5]. 37

38 3.3. Temeljni izrek filotakse Različne oblike Osnovna oblika: Naj bosta (m, n) parastihijski par, kjer sta m in n praštevili v sistemu z divergentnim kotom d. Naslednji lastnosti sta si ekvivalentni:. Obstajata natanko določeni celi števili v in u, 0 v < n, in 0 u < m, tako da je mv nu = in d ½. Vrednost divergentnega kota d je znotraj zaprtega intervala [u/m, v/n]; 2. Parastihijski par (m, n) je viden in nasproten. Dokaz tega izreka je osnovan na elegantni posledici vidnih nasprotnih parastihijskih parov. Posledica je, da je par (m, n) viden, če velja m(nd) n(md) =, kjer pomeni oznaka (x) številu x najbližje celo število. Posebna oblika:. Za zaporedje normalne filotakse, se pravi ibonaccijev tip zaporedja J, t, t +, 2t +, 3t +2, 5t +3,, (2.) kjer sta t in J celi števili; t 2, J, J množi vse člene zaporedja, in je N t,k = k t + k splošni člen: parastihijski par (JN t,k, JN t,k + ) je viden in nasproten, če in samo če je d interval, katerega krajišči sta k / JN t,k in k + / JN t,k +. Iz tega sledi, da je za poljubni celi števili t 2 in J divergenca znotraj intervala [/J(t + ), /Jt], če in samo če je parastihijski par J(t, t +) viden in nasproten. Divergenca je znotraj intervala [/J(t + ), 2/J(2t + )], če in samo če je J(2t +, t + ) vidni nasprotni parastihijski par. Če nadaljujemo z dodajanjem števcev in imenovalcev v zadnji interval vidimo, da je divergenca znotraj intervala [3/J(3t + 2), 2/J(2t + )], če in samo če je J(2t +, 3t +2) vidni nasprotni parastihijski par in tako dalje. 38

39 ibonaccijevo zaporedje, za t = 2 in J =, nam da naslednji izrek, imenovan po Adlerju: Parastihijski par ( k, k + ) je viden in nasproten, če in samo če je d enak bodisi k -2 / k ali k - / k + ali pa je med tema dvema vrednostima. Od prej vemo, da se kvocienta v Adlerjevem izreku približujeta /τ 2, ko k narašča. Slednje število je v intervalu definiramo s kvocienti. Poglejmo si Adlerjev izrek na primeru: (3, 5) je vidni nasprotni par, če in samo če d [2/5, /3], (8, 5) je vidni nasprotni par, če in samo če d [3/8, 2/5], (3, 8) je vidni nasprotni par, če in samo če d [3/8, 5/3]. Drug primer si poglejmo na cvetu sončnice: Če je opazen parastihijski par [2, 34] na sončnici oblikovan iz listkov ali semen, potem vemo, da je divergentni kot za ta cvet blizu (/τ 2 )360, to je znotraj intervala [8/2, 3/34], se pravi [37.4, ]. Obrat tega je, če se merjene vrednosti divergentnega kota kopičijo okoli 37.5 ; potem je vidni nasprotni par sistema sestavljen iz zaporednih ibonaccijevih števil. Podobno kot v Adlerjevem izreku dobimo rezultat še za Lucasovo zaporedje, določimo vrednosti za Lucasovo zaporedje v zaporedju normalne filotakse: t = 3 in J =. Poglejmo si izrek za Lucasova števila na primeru : (4, 7) je vidni nasprotni par, če in samo če d [2/7, /4], (, 7) je vidni nasprotni par, če in samo če d [3/, 2/7], (8, ) je vidni nasprotni par, če in samo če d [3/, 5/8] Opazimo lahko, da za vrednosti t = in J =, dobimo kot 222.5, ki je komplementaren ibonaccijevem kotu. Botanični pomen za J > je v obstoju mnogopernatosti in večstebelnosti. 2. Za zaporedje posebne filotakse, se pravi ibonaccijev tip zaporedja 2, 2t +, 2t +3, 4t +4, 6t +7, 0t +,, (2.2) kjer je t celo število, t 2, ugotovimo, da je par (2t +, 2t +3) viden in nasproten, če in samo če je d znotraj intervala [t/(2t +), (t +)/(2t +3)]; 39

40 par (4t +4, 2t +3) je viden in nasproten, če in samo če je d znotraj intervala [(2t+)/(4t +4), (t +)/(2t +3)] in tako dalje. Splošni obliki končnih točk intervala za normalno ter za posebno obliko filotakse sta k / JN t,k ter N t,k / (2 k t + k + + k ). Limitna divergentna kota, ko gre k 360 proti neskončnosti, pri normalni in posebni filotaksi sta J ( t o +τ ) ter o ( t + τ ) Uporabni algoritmi, povezani z d in (m, n) Iz osnovnega izreka filotakse lahko izpeljemo štiri algoritme, ki nam omogočajo določitev intervala za d iz vidnega nasprotujočega parastihijskega para (m, n) in vidne nasprotne parastihijske pare iz vrednosti d. Računski algoritem: vsi vidni pari so določeni s podano divergenco d. Diofantski algoritem: s podanim poljubnim vidnim nasprotnim parom dobimo interval za d. Krčitveni algoritem: s podanim poljubnim vidnim nasprotnim parom, sestavljenim iz sekundarnih števil zaporedja normalne in posebne filotakse, dobimo interval za d. Grafični algoritem: vidni par je določen s podano divergenco d. Vzemimo zopet divergenco d = τ - 2, ko se da elegantno in enostavno izpeljati vidne nasprotne parastihijske pare s kalkulatorjem. 40

41 Zaporedje Limitni divergentni kot <, 2, 3, 5, 8, 3, > 37.5 (normalna, J =, t = 2 ) <, 3, 4, 7,, 8, > (normalna, J =, t = 3 ) <, 4, 5, 9, 4, 23, > (normalna, J =, t = 4) <, 5, 6,, 7, 28,..> (normalna, J =, t = 5 ) <, 6, 7, 3, 20, 33, > (normalna, J =, t = 6) <, 7, 8, 5, 23, 38, > (normalna, J =, t = 7) <2, 5, 7, 2, 9, 3, > 5.4 (posebna, t = 2) <2, 7, 9, 6, 25, 4, > 58.5 (posebna, t = 3) <2, 9,, 20, 3, 5, > (posebna, t = 4) 2<, 2, 3, 5, 8, 3, > (normalno, J = 2, t = 2) 2<, 3, 4, 7,, 8, > (normalno, J = 2, t = 3) 3<, 2, 3, 5, 8, 3, > (normalno, J = 3, t = 2) Tabela 2: Primeri limitnih divergentnih kotov, katerim ustrezajo vzorci normalne in posebne filotakse Računski algoritem (za določitev vidnih nasprotnih parastihijskih parov iz vrednosti divergentnega kota). Predpostavimo, da je kot pravilne mreže d = τ -2. Za zaporedne vrednosti k =, 2, 3, 4,, določimo zaporedje A, ki vsebuje ulomke (kd)/k, kjer oznaka (x) pomeni najbližje celo število k x. Če je kd = I + 0.5, kjer je I celo število, potem vzamemo oba I in I +. Zaporedje A do k = 2 je (če se ulomek ponovi, vzamemo le prvo pojavitev): 0,, ,,,, , 2 5, 3 5, 4 6, 7, 7 8 7, 9 8, 2. Poglejmo si celo število k, ki nam da rezultat (kd) =. Prvo tako število je k = 2, 2-krat d je približno 0.76 in (0.76) je enako. Sedaj razvrstimo zgornje ulomke v naraščajoče zaporedje, z zaporednim vstavljanjem med 0/ in (kd)/k = /2. Upoštevamo, da je naslednji ulomek (v našem primeru /3 potem 2/5, itd.) areyeva vsota prejšnjih dveh. [areyeva vsota ulomkov p / q in s / t je (p + s) / (q + t)]. Na primer imamo 4

42 /3 = (0 +)/( + 2) in 2/5 = ( + )/(3 +2), itd. areyeva vsota ulomkov je vedno med ulomkoma. Z nadaljevanjem postopka dobimo: 0, 2 0, , , , 2 : Zaporedna imenovalca m in n dveh ulomkov, na obeh straneh vzdolžnega odseka predstavljata vrednost d. Ob vsakem koraku v postopku nam dasta vidni nasprotni par (m,n). V našem primeru so vidni nasprotni pari: (, 2), (3, 2), (3, 5), (8, 5), (8, 3), in (2, 3). Zaporedni imenovalci nam ob vsakem koraku dajo vidne pare. Če je d racionalno število p/q, sta dve zaporedji vidnih nasprotnih parov, točka p/g je na vertikalni osi. Če je d iracionalno število, kot v našem primeru, potem je le eno zaporedje vidnih nasprotnih parov, vsak par v zaporedju je zgrajen iz zaporednih ibonaccijevih števil. Krčitveni algoritem (določitev intervala za divergenco iz vidnih nasprotnih parastihijskih parov v primeru normalne in posebne filotakse). Imenujmo krčitev vidnega nasprotnega parastihijskega para (m, n), par (m, n m) če je m < n, in par (m n, n) če je m > n. Krčitev vidnega nasprotnega parastihijskega para je viden nasproten parastihijski par. Predpostavimo, da je par (9, 3) viden nasproten parastihijski par. Iščemo interval, katerih končni točki imata imenovalca 9 in 3. Vzemimo zaporedne 42

43 krčitve tega para tako, da pridemo do para tipa J(t, t + ) ali (2t +, 2t + 3). Poglejmo si postopek: (9, 3) [3/3, 8/9]. (9, 2) [5/2, 8/9] (7, 2) [5/2, 3/7] (7, 5), sledi t = 2 in d je znotraj [2/5, 3/7] Opazimo, da sta sekundarni števili danega para zaporedna člena v zaporedju posebne filotakse <2, 5, 7, 2, 9, 3, >, par (7, 5) ima obliko (2t + 3, 2t + ) za t = 2. Napišemo ustrezen interval, ki je za ta primer [t/(2t +), (t +)/(2t +3)] = [2/5, 3/7] in je določen po izreku filotakse, nato gremo nazaj s areyevimi vsotami končnih točk. Dobimo, da je divergentni kot znotraj intervala [3/3, 8/9], to je med 50,97 in 5,58. Kota obdajata limitno divergenco posebne filotakse za t = 2, ki ima vrednost 5.4 (glej Tabela 2). V primeru, da sekundarni števili vidnega nasprotnega para vodita do skrčitve J(t, t + ), vzamemo areyeve vsote tako kot prej, le da začnemo z intervalom [/J(t + ), /Jt], ki je podan z izrekom v normalni filotaksi. 43

44 3.4. Glavne lastnosti filotaksinih mrež ilotakse in areyeve vrste Ogledali si bomo osnovne koncepte filotaks v splošnem okviru, ki so pripeljali do osnovne oblike temeljnega teorema filotakse. Predstavljena bo teorija, ki bo zadevala splošni vidik mrež, ki pa v podrobnostih da rezultate iz filotakse. Slika 3: Cilindrična predstavitev mreže točk z divergenco d = 7/72 Slika 3 nam kaže normalno točkovno mrežo. Mreža je zgrajena iz divergentnega kota d = 85, ali 85 / 360 = 7 / 72. To je abscisa točke, vzeto število je vedno manjše od ½. Koordinate točk n =, 2, 3,, so (nd k, nr), kjer je dvig r ordinata točke in k je poljubno celo število. Osredotočimo se na točke, katerih abscisa je med vključno 0.5 in + 0.5, vključno z neskončnim vertikalnim pasom, ki ga označimo z S. Na tem odseku mreže so (nd (nd), nr) koordinate točke n, kjer je (x) najbližje celo števil k x. Če je nd ravno polovica lihega števila, potem je (nd) lahko [nd] ali [nd] +, kjer je [x] celi del od x. Vrednost nd (nd) je sekundarna divergenca točke n. Za poljubno celo število N je urejena množica ulomkov (kd) / k < / 2, k =, 2, 3, N, označimo jo z A. Bližje kot je točka x vertikalni osi, bližja je vrednost (xd) / x k d. Ulomek je znan kot filotaksin ulomek 44

45 ali filotaksa, ki je približek divergence d. Če zvijemo vertikalen pas S v obliko valja, potem (xd) predstavlja število obratov, od točke 0 do x, na rodovni spirali okrog valja. Če vzamemo poljubni dve točki x in y na vsaki strani vertikale, potem je d med (xd) / x in (yd) / y. Družino parastihij določimo tako, da potegnemo daljico med dvema točkama mreže x in y in nobena točka mreže ne sme ležati med tema dvema točkama. Družine parastihij m = x y so vzporedne, enako oddaljene daljice, ki delijo mrežne točke in jih povezujejo od m do n. Poljubni dve taki družini, ki vsebujeta m in n daljice, imenujemo vsako posebej parastihijski par (m, n). Če imajo daljice v eni družini pozitiven nagib, v drugi pa negativen nagib, pravimo, da je par nasproten. Par (m, n) je viden, če obstaja mrežna točka na vsakem presečišču poljubnih dveh daljic para. Na primer na Sliki 3 je par (5, 7) obraten, 7 in 5 se pojavita vsak na svoji strani vertikalne osi znotraj pasa S, en z absciso med ½ in 0, drugi z absciso med 0 in ½. Par ni viden, ker gre daljica skozi točke 7, 4, 2, 28, in ne seka v mrežni točki daljice, ki poteka skozi točke 5, 0, 5, 20,. Par (5, 3) ni obraten in tudi ne viden. Par (5, 4) ni obraten, je pa viden. Par (7, 4) je viden in obraten. areyevo zaporedje (N) za N =, 2, 3,, je abstraktna množica racionalnih števil p/q, med 0 in, 0 p q N, urejena v naraščajočem zaporedju. Na primer: () je zaporedje 0/, /. (2) je zaporedje 0/, /2, /. (3) je zaporedje 0/, /3, /2, 2/3, /. (4) je zaporedje 0/, /4, /3, /2, 2/3, 3/4, /. Glavne lastnosti: () Če so p / q, p 2 / q 2 in p 3 / q 3 zaporedni v (N) za neki N, potem je p q 2 q p 2 = in p 2 / q 2 = (p + p 3 )/( q + q 3 ); (2) Če je p q 2 q p 2 = potem sta p / q in p 2 / q 2 zaporedna v (N) za max(q, q 2 ) N < q + q 2 in sta ločena z enim samim elementom (p + p 2 )/( q + q 2 ), imenovanim areyeva vsota ulomkov p / q in p 2 / q 2 Prvotna karakterizacija vidnega para (m, n), podana v Izreku, vključuje relacijo m(nd) n(md) =. O tej relaciji je razpravljalo več botanikov in dobili so 45

46 podobne zveze kot v teoriji areyevih zaporedij. Postalo je jasno, da lahko s temi zaporedji preiskujemo prostorska razmerja med listi poganjkov, ki so predstavljeni s točkovno mrežo. Po drugi strani pa koncepta vidnih in nasprotnih parastihijskih parov, ki so jo razvili botaniki, ne moremo obravnavati s areyevim zaporedjem. Rezultati se razlikujejo, kar se bo pokazalo v nadaljevanju Vidni parastihijski pari Izrek. V normalni mreži z divergenco d je parastihijski par (m, n) viden, če in samo če sta m in n taki točki, da je m(nd) n(md) =. V nekaterih primerih imata lahko (nd) ali (md) dve možni vrednosti. Če za katero od teh vrednosti drži relacija m(nd) n(md) =, potem je par (m, n) viden. V paru (m, n) sta m in n tuji si števili, to ne pomeni, da je posledično (m, n) viden, kar smo že videli na primeru (7, 5) na Sliki 3. Za par (7, 5) obstaja par celih števil u = 3 in v = 2, tako da je mv nu =. Obstaja še en par celih števil (7d) = 2 in (5d) =, za katere se 7(5d) 5(7d) razlikuje za ± in je divergenca med (5d)/5 in (7d)/7, kot je bilo pričakovano. Divergenca ni med v/n =2/5 in u/m = 3/7. Izrek, temeljni izrek filotakse, nam pokaže, da nam par (m, n), če je viden in nasproten, prinese isto relacijo za ista cela števila. Izrek 2. Parastihijski par (m, n) je viden in nasproten, če in samo če obstajata taki dve celi števili v in u, tako da je 0 v < n in 0 u < m ter mv nu = in tako divergenca d ½ leži na ali med vrednostima u/m in v/n. V splošnem, če zanemarimo omejitve glede števil v in u, če vzamemo, da sta m in n tuji si števili in rešitev diofantske enačbe mv nu = ±, potem dobimo neskončno mnogo rešitev. Omejitev 0 v < n in 0 u < m nam da vedeti, da obstaja le končno mnogo rešitev. Bolj natančno u/m in v/n sta zaporedna v (N) za max(m, n) N < m + n. Divergentni kot d leži med takima dvema zaporednima ulomkoma, da za u in v obstaja le ena izbira, kot nam pove že Izrek 2. 46

47 Dokaz za Izrek 2 lahko osnujemo na elementarnih lastnostih podobnih trikotnikov. Poglejmo na Sliki 3 vidni nasprotni par (5, 4) (m =5, n = 4). Na sliki vidimo tri trikotnike, z osnovnicami na vertikali 0 in ali blizu nje, vrhi trikotnikov pa so v točkah 5, 20 in 6. Trikotniki so si pododobni. Prva dva prinašata relacijo u/m d v/n in mv nu =, kjer je v = (korak od 0 do 5) in u = (korak od do 5). V tem primeru je d manjši od ½, kot je zahtevano. Zadnja dva trikotnika dajeta relacijo mv nu = in v/n d u/m, kjer je v = 3 (korak od do 6) in u = 4. V tem primeru pa d ni manjši od ½. Če je par (m, n) viden, potem sta para (m + n, n) in (m, n + m) razširitev para (m, n). Razširitev lahko ni več vidna, ker lahko točka m + n pade iz pasa S, med oblikovanjem osnovnega paralelograma 0, m, n. Na primer, na Sliki 3 je par (5, 9) viden, vendar razširitvi (5, 24) in (24, 9) nista več vidni. Isto lahko rečemo za krčitev para (m, n). Krčitev para (m, n) je par (m n, n) za m > n in par (m, n m) za m < n. Nadalje, par (m, n) je lahko nasproten, vendar krčitev lahko ni več nasprotna. Primer vidimo na Sliki 3 krčitev (4, 5) od para (9, 5). Izrek 3. () Če je (m, n), m > n, viden, potem je vidna tudi njegova krčitev in (md) (nd) = ((m n)d); (2) Če je (m, n), m > n, viden in nasproten, potem je njegova krčitev vidna in nasprotna in velja md n + nd m =, D m + D n = D m n, Pri tem je D x = xd (xd), x = n, m, m n; (3) Če je (m, n), viden in nasproten, potem sta obe njegovi razširitvi vidni, vsaj ena je tudi nasprotna, in velja D m n = D m D n. Poglejmo si take mrežne točke m, n, da so pari (m, n) vidni in nasprotni. Na vsakem koncu vertikalne osi skozi točko 0 povežemo točke z neskončnimi lomljenimi črtami (glej Sliko 34). Če je d iracionalno število, potem med dvema črtama ni nobene mrežne točke razen 0. Relacije v Izreku 3 nam kažejo, da se lomljene črte približujejo vertikalni osi. Mrežne točke na teh črtah so sosedne točke vertikalne osi. Te točke ustrezajo točkam kvadratne mreže na premicah, ki 47

48 se približujejo premici y = dx z divergenco d. Z predpostavko bratov Bravais, ki zahteva menjavo sosednih točk dobimo Izrek 4. Izrek 4. Če je d iracionalno število, manjše od ½, če je par (m, n), m > n, viden in nasproten in če se sosedne točke od n in m vertikalne osi neomejeno izmenjujejo vsaka na svojo stran ob vertikalni osi, potem je d = [τ(md) + (nd)]/(τm + n). Izrek 5. Za poljubno zaporedje ulomkov (kd)/k, kjer oznaka (x) pomeni najbližje celo število k x, k =, 2, 3,, zgrajeno kot v računskem algoritmu v poglavju in za poljubni d, so zaporedni vidni pari (m i, m i + ), i =, 2, 3,, k (zaporedni imenovalci v vsoti) k i= ( m imi+ ) =, x kjer je x prva mrežna točka, za točko, na drugi strani vertikalne osi glede na točko Primeri in algoritmi Naj bo m = t in n = v Izreku 4, (nd) = 0, (md) =, d = /(t + τ ), dobili smo divergenco normalne filotakse. Če je t =2, se v sistemu pokaže ibonaccijevo zaporedje. Vzemimo za n = 2 in m = 2t +, potem dobimo (nd) =, D n = 2d, D m = t d(2t + ) (Izrek 3), in (md) = t. Dobimo divergenco posebne filotakse. Posledica dokaza Izreka je enostaven algoritem za določanje vidnih parov in ne samo vidnih in nasprotnih parov iz podzaporedja A od (N), določenega z d. Izrek 2 nam da enostaven algoritem za določanje intervalov za d iz vidnih nasprotnih parov. V poglavju sta že predstavljena dva algoritma, sledita še dva. 48

49 Grafični algoritem (za določitev vidnih parastihijskih parov iz računalniške slike pasa S, ki se ujema z d in poljubnim r). Pogledamo si prvih N točk pasa S, z začetkom žarka v 0 in smo pozorni na zaporedne točke, ki jih srečamo. Vidne pare (m, n), m, n N, dobimo z poljubnima dvema zaporednima točkama. Krčitve takih parov, so tudi vidne (Izrek 3). Ni nujno, da uporabimo krčitve; lahko nadaljujemo z sledenjem žarka iz 0 na pasu S, za N = 2, 3, 4,. Poglejmo si Sliko 32 za N = 29 in d = 00 ali 5/8 ter s sledenjem žarku iz 0 dobimo sledeče zaporedne točke: Vidni pari do m, n = 9 so (, 5), (5, 9), (9, 4),, (0, 3), (3, 3), (3, 2) in vse krčitve teh parov. Para (29, 8) in (8, 25) sta vidna in nasprotna, skupaj s svojimi krčitvami, ko so (,8), (8, 7), (,7), (4, 7), (4, 3), (,3), (, 2). Na Sliki vidimo, da je med krčitvami najbolj opazen par (4, 3). Točka 9 je taka, da je (9d)/9 2/9 in /3. Po izreku je (9d) = 2, para (5, 9) in (9, 4) sta vidna. V primeru (9d) = 3, 9 ni vidna. Upoštevajmo, da so točke 9, 27, 45, na desni strani pasu S. Za d je /(3 + τ - ), je iracionalna vrednost med 8/29 in 5/8, para (8, 25) in (8, 7) pa nista več nasprotna in imamo le eno zaporedje vidnih nasprotnih parov. Slika 32: Cilindrična predstavitev mreže točk 49

50 Diofantski algoritem (določitev intervala za divergentni kot d iz podanega vidnega nasprotnega para (m, n)). Algoritem rešuje diofantsko enačbo nu mv =± iz osnovnega izreka filotakse. Na primer vidni par (29, 8), ima možne rešitve za u in v: u = 29p ± 8 in v = 8p ± 5, kjer je p poljubno celo število. Če upoštevamo 0 < u < 29 in 0 < v < 8, potem dobimo p = ( kar nam da u = 2 in v = 3) ali p = 0 (kar nam da u = 8 in v = 5), vendar le za p = 0 je divergenca manjša od ½, tako da je interval za d po Izreku [8/29, 5/8]. Da ponazorimo Izrek 5 vzemimo iz poglavja četrto vrsto ulomkov za d = τ -2, podan z računskim algoritmom. Imamo k = 4 in vidni pari v tej vrsti so (, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 2), kar nam da (/3) + (/5) + (/35) + (/4) = /2 [x =2 za d večji od 90, in x = n za d med 80 /n in 80 /(n )]. 50

51 3.5. ormula približkov bratov Bravais Valjasta mreža Brata L. Bravais in A. Bravais (837), sta intuitivno našla formulo za približek divergentnega kota. ormula za posamezne ulomke filotakse je d (tu + sv)/(tm + sn), kjer so u, v, m, in n cela števila, podana v splošni obliki temeljnega izreka in t ter s celi števili, pridobljeni iz mreže bratov Bravais za preučevanje filotakse. Definirali bomo to valjasto mrežo. Na Sliki 33 je narisan smrekov storž, ki si ga lahko predstavljamo kot valj. Površina valja je oblikovana z črto, imenovano generator, le ta se paralelno pomika proti sebi v tridimenzionalnem prostoru vzdolž oboda kroga, ki je osnova tega valja. Valjast storž prerežemo vzdolž generatorja, ki ga predstavlja os Y in premica X na Sliki 34, razvijemo jo v ravnino, kar nam da valjast prikaz storža. Slika 33: Smrekov storž 5

52 Slika 34: Cilindrična predstavitev mreže bratov Bravais V tej predstavitvi so središča lusk storža predstavljena kot točke. Predvidevamo, da je mreža normalna, da je koordinata (d, r) točke dovolj za postavitev vseh mrežnih točk. Divergentni kot d je konstanten in je enak vodoravni razdalji med poljubnima dvema zaporednima točkama na rodovni spirali. Parameter r je dvig oziroma naklon in se ujema z medrastnim kvocientom R v središčni predstavitvi. Enak je navpični razdalji med dvema zaporednima točkama n in n + na rodovni spirali. Na valjasti mreži so poganjki enakomerno porazdeljeni znotraj navpičnega pasu širine, in parastihije so predstavljene kot vzporedne, enako oddaljene premice. Koordinata točke n je (nd (nd), nr), kjer je (x) najbližje celo število števila x. Abscisa n se imenuje sekundarna divergenca točke n in njena vrednost je znotraj zaprtega intervala [ 0.5, 0.5 ]. V tem prikazu je parastihijski par (m, n) nasproten, če sta točki m in n na nasprotnih straneh osi Y. V navpičnem pasu točk z absciso med /2 in /2, je par (m, n) viden, če je trikotnik 0, m in n ne vsebuje druge točke na ali v trikotniku. Ta definicija je ekvivalentna definiciji, ki je bila podana na začetku. Točki m in n, ki sta najbližje koordinatnemu izhodišču, določata jasen par (m, n). Par je viden in nasproten. 52