(s,s) MODELI UPRAVLJANJA ZALIHAMA. (s,s) INVENTORY MANAGEMENT MODELS

Transcription

1 Miloš Japundžić * Dragan Jočić ** (S) MODELI UPRAVLJANJA ZALIHAMA Sažetak: Razmatraju e (S) modeli zaliha pri čemu je S makimalni nivo zaliha dok preavlja igurnoni nivo zaliha. Uvek kada nivo zaliha padne na vrednot naručuje e nova količina zaliha M = S uz pretpotavku S >. Vreme nabavke (vreme koje protekne od trenutka plairanja narudžbine do njenog prijema) ima tohatički karakter i ukoliko e dei ituacija da je zahtev mušterije ipotavljen u trenutku kada je nivo zaliha 0 taj zahtev nije zadovoljen i ide u orbitu nezadovoljenih mušterija. Ti nezadovoljeni zahtevi e nakon određenog vremena ponovo razmatraju i zadovoljavaju ukoliko je u tom trenutku nivo zaliha pozitivan. U radu je ilutrovana primena modela na izbor vrednoti optimalnih parametara i S koji minimiziraju ukupan očekivani trošak. Ključne reči: (S) modeli zaliha nivo zaliha upravljanje zalihama vreme nabavke. (S) INVENTORY MANAGEMENT MODELS Abtract:The paper deal with(s) inventory model where S i maximum inventory level while repreent afety tock level. Whenever the inventory level fall to level an order M = S i placed auming S >. The lead time (time between the placement of an order and delivery) ha a tochatic character and if the cutomer demand i placed at the time whenthe inventory level i zero the demand i not atified and it goe to an orbit of unatified cutomer. After a random amount of time thee unatified demand arereconidered and atified provided that the inventory level i poitive at the time. The paper illutrate application of the model to the elected parametre value and S which minimize the total expected cot. Key word: (S) inventory model inventory level inventory management lead time. Uvod Upravljanje zalihama pada u granu polovnog odlučivanja zaduženog za planiranje i kontrolu zaliha. Glavna uloga modela za upravljanje zalihama je da pruže odgovor na dva onovna pitanja u proceu polovnog odlučivanja: * MrMilošJapundžić aitent Viokapolovnaškolatrukovnihtudija Novi Sad. ** MrDraganJočić predavač Viokapolovnaškolatrukovnihtudija Novi Sad.

2 Kadatrebanaručitirobu odnonokadatrebazadatinovinalogzaproizvodnju? Kojukoličinu robe trebanaručitioddobavljača odnonokojukoličinu je potrebnoproizveti u proizvodnompogonu? Odgovor na prethodna pitanja izmeďu otalog zavii od: a) ukupnih troškova držanja zaliha b) troškova kladištenja zaliha c) manipulativnih troškova a zalihama i vremena povrata kapitala vezanog u zalihama. Ukupni troškovi zaliha obuhvataju troškove pribavljanja zaliha troškove držanja zaliha kao i troškove nedotatka zaliha. Troškovi pribavljanja zaliha obuhvataju troškove ipotavljanja porudžbina (uključujući i troškove pripreme proizvodnje) troškove pripreme itovara meštaja i kontrole zaliha kao i propuštene količinke rabate i otale popute. Troškovi pribavljanja zaliha u najčešće priutni u vezi a itraživanjem tržišta nabavke preliminarnim pregovorima a dobavljačima meštajem irovina evidencijom i iplatom ulaznih faktura i l. Četo u nabavke ovakvih zaliha rutinke prirode jer e ite nabavljaju po utaljenim tandardima i to od poznatih dobavljača i uz relativno nepromenjene nabavne cene. Troškovi držanja zaliha u jednim delom fikni troškovi a drugim delom promenljivi u zavinoti od promene obima zaliha. Fikni karakter imaju troškovi magacinkog protora i opreme (amortizacija održavanje grejanje zakupnina klimatizacija obezbeďenje objekta i l.). Troškovi držanja zaliha vezuju deo izvora finanijkih reava te u ovi troškovi u literaturi poznati pod nazivom oportuni troškovi. Promenljivi dodatni troškovi u prouzrokovani dejtvom raznih rizika pri držanju zaliha kao što u gubitak vrednoti zaliha izloženot zaliha oštećenju i kvaru pronevera i l. Dodatni troškovi četo nataju u potupku rukovanja zalihama (premeštanjem zaliha a jedne lokacije na drugu) i njihovim kladištenjem. Troškovi nedotatka zaliha nataju u lučajevima kada je priutan nedotatak zaliha irovina materijala i nedotatak zaliha gotovih proizvoda. U prvom lučaju (nedotatku zaliha irovina i materijala)povećavaju e ukupni troškovi uled manjenja obima proizvodnje. U drugom lučaju (nedotatku zaliha gotovih proizvoda)gube e pripele porudžbine kupaca kvari e imidž preduzeća i umanjuje finanijki rezultat preduzeća. Ako je vreme potrebno da e nakon lanja porudžbina zaprime iporuke zaliha u kladište neizveno preduzeće neće doputiti da očekivane zalihe padnu na nulu pre nego što e ipotavi nova porudžbina zaliha. Iz tog razloga e preduzeće opredeljuje za držanje jednog dela igurnonih zaliha. Veličina igurnonih zaliha zavii od tepena neizvenoti uredne nabavke zaliha pa tako što je veća neizvenot to je priutnije opredeljenje u preduzeću da drži veći nivo igurnonih zaliha. TakoĎe još jedan faktor koji utiče na veličinu igurnonih zaliha jete trošak njihovog održavanja.

3 Opi modela Pretpotavljamo da e vreme koje protekne izmeďu uzatopnih zahteva mušterija modelira ekponencijalnom rapodelom a parametrom dok je vreme koje protekne izmeďu uzatopnih popunjavanja zaliha takoďe modelirano ekponencijalnom rapodelom a parametrom. Pored toga vreme izmeďu uzatopnih pokušaja uluživanja je ekponencijalno a parametrom j u lučaju kada je j zahteva nezadovoljeno. Definišimo a I(t) i N(t) nivo zaliha odnono broj neuluženih mušterija u vremenkom trenutku t redom. Grafička ilutracija (S) modela upravljanja zalihama je prikazana na Slici 1. Slika 1. Nivo zaliha za (S) model u vremenkom trenutku t Iz navedenih pretpotavki proizilazi da je proce {(I(t) N(t)) t 0} dvodimenzionalni proce Markova na protoru tanja Е = { S} {01...}. Brzina prelaza procea q (ij) iz tanja (ij) u bilo koje drugo tanje (mn) za različite lučajeve data je a: 1) < i S j 1 (mn) = (i-1j) q (ij)(mn) = j j (mn) = (i-1j-1) -( +j j ) (mn) = (ij) ) 0 <i j 1

4 q(ij)(mn) (mn) = (i-1j) j j (mn) = (i-1j-1) = µ (mn) = (i+mj) -( +j +µ) (mn) = (ij) 3) i = 0 j 1 q (ij)(mn) j (mn) = (ij+1) = µ (mn) = (Mj) -( +µ) (mn) = (ij) 4) 0 <i j = 0 (mn) = (i-1j) = µ (mn) = (i+mj) -( +µ) (mn) = (ij) 5) i = 0 j = 0 q (ij)(mn) q (ij)(mn) (mn) = (ij+1) = µ (mn) = (Mj) -( +µ) (mn) = (ij). Za na u od interea verovatnoće da će item u vremenkom trenutku t biti u tanju (ij) pod ulovom da je u početnom trenutku t =0 bio u tanju (S0) odnono veličine P(ijt) = PI(t) = i N(t) = j I(0) = S N(0) = 0 (ij)e. Svakom proceu Markova e pridružuju odgovarajuće diferencijalno-diferencne jednačine Kolmogorova (The Kolmogorov forward equation) oblika: pri čemu važi: d P ( i j t ) P ( m n t ) q P ( i j t ) q (1) ( m n)( i j) ( i j)( i j) ( m n) ( i j) q () ( i j)( i j) ( i j )( m n) ( m n) ( i j) U zavinoti od vrednoti parametara i ij u kupu E razlikujemo 7 lučajeva i za vaki od tih lučajeva koriteći jednakoti (1) () i brzine prelaza tanja (1)(5) formiramo odgovarajuću diferencijalno-diferencnu jednačinu Kolmogorova: q.

5 i = S j 1. S obzirom na to da u ovom lučaju važi: ( m n) ( i j) P( m n t) q P( j t) q ( m n)( i j) ( i j)( i j) jj pridružena jednačina ima oblik: (3) d P ( S j t ) ( j j ) P ( S j t ) P ( j t ) S- i S-1 j 1 (4) d P ( i j t ) ( j ) P ( i j t j ) ( j 1) P j 1 ( i 1 j 1 t ) P ( i 1 j t ) P( i M j t) 0 <i S--1 j 1 (5) d P ( i j t ) ( j j ( 1i)) P ( i j t ) ( j 1) P j 1 ( i 1 j 1 t ) P( i 1 j t) i = S j = 0 (6) d P ( S 0 t ) P ( S 0 t ) P ( 0 t ) <i S-1 j = 0 (7) d P ( i 0 t ) P ( i 0 t ) P 1 ( i 1 1 t ) P ( i 10 t ) (1 i ) P( i M0 t) 0<i j = 0 (8) d P ( i 0 t ) ( ) P ( i 0 t ) P 1 ( i 1 1 t ) P ( i 1 0 t ) i = 0 j 1

6 (9) d P ( 0 j t ) ( ) P ( 0 j t ) ( j 1) P j 1 ( 1 j 1 t ) P(0 j 1 t) P( 1 j t). Kod jednačina (5) i (7) za δ i je zadovoljeno: δ i = 1 +1 i S--1 0 inače Veličinu lim P( i j t) možemo pomatrati kao verovatnoću da će u daljoj budućnoti t item biti u tanju (ij) pa je opravdano uveti oznaku q( i j) lim P( i j t). Na taj način jednačine (3)(9) mogu biti zapiane kao: i t (10) k( ) q( i0) q(00) 0<i +1 k (11) i1 k ( k)( ) q( i0) q(00) +1 <i S- k (1) im k 1 i q( i0) k 1 k( ) q(00) k k S- +1 i S (13) j k q(0 j) (1 k) q(00) ј 1 (14) j k q( i j) q(00) ( ) k i j i1 i (15) i 0 <i j 1 q( i j) k k q(00) <i S--1 j 1 j k (16) q( S j) 1 j k (1 k) q(00) j 1

7 1 j k ( ) (17) q( S i j) k ( ) k i1 1 q(00) 0 <i -1 j 1 j (18) q( S j) k q(00) j 1. Na taj način mo veličine q(ij) 0 i S j 0 izrazili preko veličine q(00) pa nam još otaje da nju izračunamo. S obzirom na činjenicu da važi relacija S S q( i j) 1 ukoliko q( i j) preavimo kao: i0 j0 i0 j0 S S S S q ( i j ) q (00) q ( i 0) q ( i j ) q ( i j ) q ( i j ) i0 j0 i1 i0 j1 i1 j1 is1 j1 koriteći jednakoti (10)(18) proizilazi: q(00) 1T T T T 1 odnono: q(00) 1T T T T pri čemu u Т 1 Т Т 3 i Т 4 dati a: M 1 k( ) k k T 1 1 ( k( )) 1 k 1 k k k M 1 k k k 1k 1k k k T 1 k 1 k k k kk 1 k 1 k k k 1 k 1 1 T3 k 1 k 1 k 1 1 k k

8 1 k k T4 1. ( ) k k k 1 dok je: k 1 M. Kontrolni problem Ilutrovaćemo izbor optimalnih vrednoti za kontrolne parametre i S koje minimiziraju ukupan očekivani trošak po jedinici vremena T(S). Pri tome pretpotavka je da e ukupan trošak atoji od: fiknihtroškovakpojedinicivremena; troškovaporudžbinacpojedinicivremena; troškovawpojedinicivremenaaociranihanezadovoljenimzahtevima. Znači za ukupan trošak po jedinici vremena važi relacija: Т(S) = К + С {očekivanibrojnarudžbinapojedinicivremena} + w {očekivanovremečekanjazahteva u orbiti} pričemu je zadovoljeno: {očekivanibrojnarudžbinapojedinicivremena}= 1 k ( ) ( ( k 1) ) ( k( )) q(00) k k1 {očekivano vreme čekanja zahteva u orbiti}= E(W) = ( E E E E E E ) m q(00) E E M 1 k1 1 k k1 k1 1 k 1 k1 k k 1 1 E 3 k 1 k 1 k k m M k 1 k 1 3 k1 1 k k 1 k kk 1 k ( kk 1) k

9 E ( 1) 1 k M 4 1 k1 1 ( 1) k1 1 M 1 1 M 1 1 E5 ( (1 4 ) k1 1 1 k1 k1 E ( 1) M k1 6 k 1 kk1 1 M k 1 je koren jednačine ( ) k k k 0 čiji je moduo veći od 1 m k (1 k ) k1 k1 k k k k 6 7. k Podaci u Tabeli 1 i Tabeli u dobijeni primenom programkog paketa Matlab. Analizirajući podatke u Tabeli 1 proizilazi da je za navedene vrednoti parametara u cilju minimiziranja ukupnog troška optimalno izabrati vrednoti S Da je izbor S=13 optimalan zaključujemo analizirajući Tabelu obzirom na to da će u tom lučaju očekivano vreme čekanja zahteva u orbiti biti minimalno. Tabela 1. Ukupni očekivani trošak Т (S) po jedinici vremena za vrednoti parametara: λ=01 α=00 μ=05 =1 К=100 С=10 w=5 S T(S) S T(S) Izvor: Izračunavanja autora.

10 Tabela. Očekivano vreme čekanja zahteva u orbiti E(W) za ite vrednoti parametara S E(W) S E(W) Izvor: Izračunavanja autora. Zaključak U radu je razmotren (S) model upravljanja zalihama pri čemu je S makimalni nivo zaliha dok preavlja igurnoni nivo zaliha. Primena modela ilutrovana je na kontrolnom problemu gde je uz prethodno izabrane vrednoti odgovarajućih parametara efektivno dobijena vrednot za kontrolni parametar S tako da e minimizira ukupan očekivani trošak. Pri tome pretpotavka je da e ukupan trošak atoji od fiknih troškova troškova porudžbina kao i troškova aociranih a nezadovoljenim zahtevima. TakoĎe za konačan izbor kontrolnog parametra Suzeto je u obzir i očekivano vreme čekanja zahteva u orbiti za ite vrednoti parametara. Literatura [1] Artalejo J.R. Krihnamoorthy A. Lopez-Herrero M. J. (006) Numerical analyi of (S)inventory ytem with repeated attempt Annal of Operation Reearch Vol.141 No. 1 pp [] Bubnjević D. (010) Upravljanje lancima nabdevanja polovni odgovor na globalizaciju robnih i informacionih tokova Škola biznia broj 4 tr Novi Sad Vioka polovna škola trukovnih tudija. [3] Mihailović B. Cvijanović D. Hamović V. (011) Menadžment koncepti i tehnike kao podrška polovnom odlučivanju preduzeća Škola biznia broj 1tr Novi Sad Vioka polovna škola trukovnih tudija. [4] Muller M. (003) Eential of Inventory Management New York American Management Aociation. [5] Toomey John W. (000) Inventory Management: Principle Concept and TechniqueMaachuett Kluwer Academic Publiher.

11 [6] Uhakumari P.V. (006) On (S) inventory ytem with random lead time and repeated demand Journal of Applied Mathematic and Stochatic Analyi Vol. 006 pp. 1. [7] Vunjak N.M. (00) Finanijki menadžment polovne finanije Subotica Ekonomki fakultet.