Mët t i l»u ng n gån v Lþ thuy t Ph m trò v H m tû

Transcription

1 Mët t i l»u ng n gån v Lþ thuy t Ph m trò v H m tû A short way to Theory of Categories and Functors Author: DongPhD DongPhD Problems Book Series υol.1 All rights reserved. c 2009 by

2

3 MÖC LÖC Líi tüa 1 1 Ph m trò Kh i ni»m v ph m trò C c vªt v c c c u x c bi»t Ph m trò khîp, cëng t½nh, abel H m tû Kh i ni»m h m tû Ph²p bi n êi tü nhi n H m tû khîp T i li»u tham kh o 28 i

4 Líi tüa Lþ thuy t ph m trò v h m tû l mæn håc mîi vîi ph n æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v nâ qu l khâ kh«n. º phöc vö cho nhu c u æn tªp cõa m¼nh, tæi bi n so n tªp t i li»u ng n gån n y. Gâp nh t nìi n y v i þ t ðng, nìi kia v i luªn cù tæi l m cæng vi»c cõa mët con b îm li»ng v ín hoa - v ín hoa xù l - m khæng mong k t tinh mët ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May ch«ng, ch câ thº tr nh ñc sü cho ng ngñp ban u khi ti p cªn vîi tay ki m kh ch væ còng trøu t ñng n y. R t mong ñc sü ch gi o cõa c c ëc gi v nhúng sai l m khæng tr nh khäi trong t i li»u n y. N îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúng líi cao luªn. Hu, Mòa æng, n«m inh Hñi DongPhD Of first editon. Thanks for nothing. This is the second version. Ask not me why 1

5 1 Ph m trò Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui me servoit apr±s en trouver d'autres [Each problem that I solved became a rule which served afterwards to solve other problems]. (Ren² Descartes, Discours de la M²thode) 1.1 Kh i ni»m v ph m trò B i tªp l ph m trò vîi mët vªt v mët môi t n id ; 2. 0 l ph m trò réng khæng câ vªt v môi t n n o. 3. Gr khæng l ph m trò con y cõa ph m trò S 4. Ab l ph m trò con y cõa Gr. Líi gi i. 3. Trong ph m trò Gr ta câ [Z 2, Z 2 ] = {0, id}. Tuy nhi n trong ph m trò S, [Z 2, Z 2 ] = {0, id, e} vîi e(0) = 1, e(1) = 1 4. Rã v¼ kh i ni»m c u x 1 trong Ab v Gr l nh nhau. B i tªp 1.2. Cho mët hå (A i ) i I c c vªt trong mët ph m trò C, chùng minh r ng C S, C P l ph m trò. 1 Mët sè s ch gåi l môi t n(arrow) 2

6 1. Ob(C S ) = {(α i : A i X) I X Ob(C)}, [(α i : A i X) I, (β i : A i Y ) I ] CS = {δ : X Y [X, Y ] C β i = δα i, i I} hñp th nh c c c u x trong C S ch½nh l t½ch c c c u x trong C. 2. Ob(C P ) = {(α i : X A i ) I X Ob(C)}, [(α i : X A i ) I, (β i : Y A i ) I ] CP = {γ : X Y [X, Y ] C β i = γα i, i I} hñp th nh c c c u x trong C P ch½nh l t½ch c c c u x trong C. Líi gi i. Ta câ [(α i : A i X) I, (β i : A i Y ) I ] CS n n nâ l mët tªp hñp. [X, Y ] C 1 (αi :A i X) I = 1 X V¼ ph²p hñp th nh c c c u x trong C S ch½nh l t½ch c c c u x trong C n n 1 (αi :A i X) I = 1 X l duy nh t v ph²p hñp th nh câ t½nh k t hñp. B i tªp 1.3. Cho A, B l c c vªt trong mët ph m trò C, chùng minh r ng Ov B, Un A l ph m trò. 1. Ob(Ov B ) = {(X B) X Ob(C)}, [X α B, Y β B] Ov B = {γ : X Y [X, Y ] C βγ = α} 3

7 2. Ob(Un A ) = {(A Y ) Y Ob(C)}, [A α Y, A β X] Un A = {δ : X Y [X, Y ] C δβ = α} Líi gi i. Ch vi»c kiºm tra c c ti n nh B i tªp C c vªt v c c c u x c bi»t B i tªp 1.4. Chùng minh r ng a. N u α, β l ìn x v βα x c ành th¼ βα công ìn x. b. N u αβ th¼ α ìn x (nh ng β khæng nh t thi t ìn x ). c. N u α l to n x (ìn x ) trong ph m trò C th¼ [α] khæng to n x (ìn x ) trong ph m trò th ìng cõa C. Líi gi i. a. Gi sû câ f, g sao cho βαf = βαg. V¼ β l ìn x n n αf = αg, do α l ìn x n n f = g. Vªy βα ìn x. b. Gi sû câ f, g sao cho αf = αg. Suy ra βαf = βαg do βα l ìn x n n f = g. Vªy α l ìn x. β khæng nh t thi t ìn x. Trong ph m trò c c tªp hñp, x²t c c c u x N α Z β N n n z z 4

8 Rã r ng βα = id N l ìn x. Tuy nhi n β khæng l ìn x v¼ z 1 = z 2 khæng suy ra ñc z 1 = z 2. c. X²t ph m trò và nhâm nh n N. Ta x²t mët quan h» t ìng ìng tr n M or(n): a, b Mor(N), a b a v b còng chia h t cho 2 hay u khæng chia h t cho 2. Khi â Mor(N) ñc chia th nh hai lîp:[0], [1]. Ta câ ph m trò th ìng N: Ob(N) = {N}, Mor(N) = {[0], [1]} Hñp th nh[a], [b]: [1] n u a v b u l [a][b] = [ab] = [0] c c tr íng hñp cán l i Ta câ 2 l to n x (ìn x ) trong N. Nh ng [2] khæng to n x (ìn x ) trong N. B i tªp To n x ch a ch c l to n nh. 2. ìn x ch a ch c l ìn nh. Líi gi i. 1. X²t ph m trò Mon c c nûa nhâm câ ìn và(monoid) c c c u x l c c çng c u cõa chóng. çng c u bao h m j : N Z l mët to n x nh ng khæng to n nh. Thªt vªy, gi sû r ng g 1 and g 2 l hai c u x ph n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o 5

9 â. Lóc â câ n Z sao cho g 1 (n) g 2 (n), do â g 1 ( n) g 2 ( n). Ho c n ho c n / N, g 1 j g 2 j. Vªy j l to n x. 2. Trong ph m trò Div c c nhâm abel chia ñc v c c c u x l c c çng c u nhâm giúa chóng. X²t çng c u th ìng q : Q Q/Z. Rã r ng nâ khæng l ìn nh; tuy nhi n, nâ l mët ìn x trong ph m trò n y. Thªt vªy, n u qf = qg trong â f, g : G Q, G l nhâm abel chia ñc n o â. Lóc â qh = 0 vîi h = f g ( y l mët ph m trò cëng t½nh 2 ). Suy ra h(x) l mët sè húu t n u x G. N u h(x) 0, ch ng h n, th¼ ( h x 2008h(x) ) ( ) x qh 2008h(x) = m u thu n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v q l ìn x. B i tªp 1.6. Chùng minh r ng c c m»nh sau t ìng ìng: a. A l vªt khæng. b. O A l to n x. c. A O l ìn x. d. 1 A l c u x khæng. 2 xem [1] 6

10 Líi gi i. Ta ch chùng minh a b v a d. 1. (a = b). Gi sû A l vªt khæng. N u câ f, g : A X sao cho f.0 OA = g.0 OA th¼ f = g v¼ [A, X] câ duy nh t mët ph n tû. Vªy O A l to n x. 2. (b = a). Gi sû O A l to n x. c Ta s³ chùng minh O A l ng x. Thªt vªy, A 0 AO O 0 OA A Ta câ 0 OA.0 AO = 0 AA [A, A] v 1 AA [A, A]. M t kh c 0 AA 0 OA = 1 AA 0 OA = 0 OA, do 0 OA l to n x n n 0 AA = 1 AA. Ta công câ 0 AO.0 OA = 0 OO = 1 OO. Vªy a b. 3. (a = d). Rã. 4. (d = a). Gi sû 1 A l c u x khæng. A l vªt tªn còng v¼ 0 XA [X, A] v n u f [X, A] th¼ 1 A f = 0 XA = 1 A 0 XA, do â f = 0 XA v¼ 1 A l ng x. Vªy a d. B i tªp 1.7. Cho C l mët ph m trò v h¼nh vuæng sau giao ho n: P p 1 B 1 p 2 D 2 β 2 B β 1 7

11 Ta x²t ph m trò Pull: Vîi β 1 : B 1 B, β 2 : B 2 B cho s n cõa C Ob(Pull) = {(p 1 : P B 1, p 2 : P B 2 ) p 1, p 2 Mor(C), β 1 p 1 = β 2 p 2 } [(p 1, p 2 ), (p 1, p 2)] Pull = {γ : P P Mor(C) p 1 = p 1 γ, p 2 = p 2 γ}; hñp th nh l hñp th nh trong trong C; 1 (p1,p 2 ) = 1 C. H y t¼m vªt tªn còng trong ph m trò Pull. Líi gi i. Gi sû trong ph m trò Pull tçn t i n½u cho c p β 1, β 2 l (P, p 1, p 2 ) th¼ (p 1, p 2 ) ch½nh l vªt tªn còng c n t¼m. N u ph m trò Pull khæng tçn t i n½u cho c p β 1, β 2. Gi sû (p 1, p 2 ) l vªt tªn còng cõa ph m trò Pull th¼ (P, p 1, p 2 ) l n½u (væ lþ). B i tªp 1.8. Chùng minh r ng: a. N u α l ìn x th¼ Kerα = 0, nh ng ng ñc l i th¼ ch a ch c; b. N u β l ìn x th¼ Ker(α) = Ker(βα). c. N u u : K A l h t nh n cõa α : A B v p : A K l èi h t nh n cõa u th¼ u l h t nh n cõa p. Líi gi i. a. Ta câ X 0 XA A α B 8

12 α.0 XA = 0. Gi sû câ c u x u : K A thäa m n i u ki»n αu = 0. V¼ α l ìn x n n u = 0 XA. Vîi λ = id X ta câ 0 XA.λ = u. Vªy Kerα = 0. Ph n v½ dö: X²t ph m trò R Smod c c nûa mæun tr i. X²t Λ 3 = {0, 1, a}, trong â a kh c 0 v 1 vîi ph²p to n cång ñc ành ngh¾a nh sau: a a a a 1 a Λ 3 l và nhâm cëng giao ho n vîi ph n tû ìn và l 1. Ta câ N = {0, 1, 2,...} vîi ph²p cëng v nh n thæng th íng l nûa v nh. X²t nh x ϕ : N Λ 3 Λ 3 (n, x) nx = } x + x {{ +... x } n l n Ta câ m, n N, x, y Λ 3 n(x + y) = (x + y) +... (x + y) }{{} n l n = x } + x {{ +... x } + y + y +... y }{{} n l n n l n = nx + ny 9

13 T ìng tü (m + n)x = nx + mx (mn)x = m(nx) 1x = x Vªy Λ 3 l mët N nûa mæun tr i. X²t f : Λ 3 Λ a 1 f(0 + 1) = f(1) = 1 = = f(0) + f(1) T ìng tü f(0 + a) = f(0) + f(a) f(1 + a) = f(1) + f(a) f(m1) = mf(1) f(m0) = mf(0) f(ma) = mf(a) Vªy f l N çng c u nûa mæ un tr i. X²t K = {x Λ 3 f(x) = 0} = {0} l vªt khæng trong R Smod. X²t 0 K K =λ K K g g=0 Λ 3 f Λ 3 10

14 vîi g : K Λ Ta câ fg = f.0 KΛ3 = 0 KΛ3. Vîi måi g : K Λ 3 thäa fg = 0 K Λ 3. Suy ra g = 0. Khi â tçn t i duy nh t c u x λ : K K = {0} x 0 sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g (x), x K. Vªy K = Kerf nh ng f khæng ìn nh, do â khæng ìn x 3. b. Ta chùng minh n u tçn t i Ker(α) th¼ Ker(βα) công tçn t i v Ker(α) = Ker(βα) v ng ñc l i. (= ) X kerα A α B β C Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0 XB = 0 XC X λ K u kerα A α B β C Gi sû câ u : K A sao cho βαu = 0 K C, v¼ β l ìn x n n αu = 0 XB. M αkerα = 0XB n n tçn t i duy nh t λ : K K sao cho ker(α).λ = u. 3 Ph n chùng: khæng khâ º t¼m ra mët ph n th½ dö. 11

15 Vªy Ker(α) = Ker(βα). ( =) 4 c. K λ K u u A α p B γ K Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru. M t kh c αu = 0 n n theo t½nh ch t cõa cokeru tçn t i c u x duy nh t γ : K B sao cho γp = α. Gi sû câ u : K A thäa m n pu = 0. Lóc â γpu = 0 = αu. Do u = kerα n n tçn t i duy nh t c u x λ : K K sao cho uλ = u. Vªy u l h t nh n cõa p. B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c u x (β i : B i B) i I ) cõa ph m trò C l t½ch cõa hå vªt (β i : B i B) i I ) trong ph m trò Ov B c c vªt ph½a tr n B. Khi méi c u x β i l ìn x th¼ t½ch thî cõa hå (β i : B i B) i I ) cán ñc gåi l giao cõa hå c c vªt B i, k½ hi»u B i. i I H y chùng tä r ng n u ph m trò C câ vªt tªn còng B th¼ 4 rã 12

16 i) Ph m trò Ov B c c vªt ph½a tr n B tròng vîi ph m trò cho. ii) T½ch cõa hå vªt (B i ) i I tròng vîi t½ch thî cõa hå (β i : B i B) i I ). Líi gi i. i) Chùng minh trong ph m trò C câ vªt tªn còng th¼ Ov B C. Ta c n chùng minh 1. Ob(C) 1 1 Ob(Ov B ) 2. [X f B, Y g B] = [X, Y ] C 1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(Ov B ) t ìng ùng 1 1 vîi méi vªt cõa Ob(C). (X B) Ob(Ov B ) 1 1 X Ob(C) 2. Ta câ γ [X f g B, Y B] OvB, γ : X Y : gγ = f. γ [X, Y ] C. Suy ra [X α β B, Y B] [X, Y ] C. Ng ñc l i, vîi måi γ [X, Y ] C, γ : X Y. Khi â gγ : X B [X, B]. Ta câ f : X B [X, B] v do B l vªt tªn còng n n gγ = f. Do â γ [X B, Y B] OvB, tùc l [X, Y ] C [X f B, Y Vªy [X f B, Y g B] = [X, Y ] C. p i f g g B] OvB. ii) Gi sû (P, P B i ) i I l t½ch cõa hå vªt (B i ) i I trong ph m trò C. Ta s³ chùng minh (P, P p i B i ) i I 13

17 l t½ch thî cõa hå (β i : B i B) i I. Thªt vªy, ta câ β i p i : P B, β j p j : P B Do B l vªt tªn còng n n β i p i = β j p j, i, j I Suy ra β i p i Ob(Ov B ). X Ob(C), (X, X α i B i ) i I ta câ β i α i : X B, β j α j : X B Do B l vªt tªn còng n n β i α i = β j α j, i, j I. Suy ra β i α i Ob(Ov B ). Do P l t½ch n n tçn t i duy nh t c u x γ : X P sao cho p i γ = α i, i I. Vªy P l t½ch thî cõa hå (β i : B i B) i I. 1.3 Ph m trò khîp, cëng t½nh, abel B i tªp Trong ph m trò khîp 1. Chùng minh méi ìn x l h t nh n cõa èi h t nh n cõa nâ 2. Mët c u x α l ìn x khi v ch khi Kerα = 0. Líi gi i. Trong ph m trò khîp, ta câ måi c u x α : A B thäa α = uv trong â u = ker(cokerα), v = coker(kerα). 14

18 1. Gi sû α l ìn x. Ta chùng minh α = ker(cokerα). V¼ α ìn x n n kerα = 0 XA. Ta câ v = coker(kerα) = coker0 XA = 1 A. Vªy α = u1 A = ker(cokerα). 2. kerα = 0 = α ìn x. Thªt vªy, gi sû câ f, g : X A sao cho αf = αg hay uvf = uvg. V¼ u l ìn x n n vf = vg hay coker(kerα)f = coker(kerα)g. Suy ra 1 A f = 1 A g, tùc l f = g. B i tªp Trong ph m trò cëng t½nh, chùng minh 1. α to n x Cokerα = Coequ(α, β) = Coker(α β). Líi gi i. Cho α : A B, cokerα : B Y. 1. Ta chùng minh Cokerα = 0 = α to n x. Gi sû câ f, g : B Y sao cho fα = gα th¼ fα gα = 0 hay (f g)α = 0. A α Cokerα B f g Lóc â tçn t i duy nh t γ : B Y sao cho f g = γcokerα = 0. Vªy f = g, tùc l α l to n x. 2. Gi sû (C, h) = Coker(α β) tçn t i. 5 Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α β). Ta câ 5 Khi Coequ(α, β) tçn t i th¼ ta chùng minh t ìng tü Y γ Y 15

19 h(α β) = hα hβ = 0 n n hα = hβ. N u câ u : B Z sao chouα = uβ hay u(α β) = 0 th¼ theo ành ngh¾a cõa èi h t nh n câ duy nh t γ : Y Z sao cho γh = u. A α β B h C u Z γ Vªy Coequ(α, β) = Coker(α β). 16

20 2 H m tû If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can solve, find it.(george P olya) 2.1 Kh i ni»m h m tû B i tªp 2.1. Chùng tä c c t ìng ùng sau y l h m tû hi»p bi n a. T ìng ùng H A : C S X [A, X] C X α Y H A (X) [A,α]=HA (α) H A (Y ) f αf trong â C l mët ph m trò tuý þ v A l mët vªt cè ành trong ph m trò C. b. T ìng ùng A R : R Mod Ab X A R X X α Y A R X 1 α A R X trong â A l mët R mæun ph i, R mod l ph m trò c c R mæun tr i. c. T ìng ùng Hom R (A, ) : R Mod Ab X Hom R (A, X) X α Y Hom R (A, α) 17

21 trong â A l mët R mæun ph i, R mod l ph m trò c c R mæun tr i. Líi gi i. Rã r ng c c t ìng ùng X l c c nh x. Ta câ X [A, X] C α Y H A (X) HA (α) H A (Y ) f αf H A (1 X ) = 1 H A (X). Thªt vªy, vîi måi φ [A, X] C th¼ H A (1 X )(φ) = 1 X (φ) = φ v 1 H A (X)(φ) = φ. Vîi måi φ [A, X] C, f [X, Y ] C g [Y, Z] C th¼ H A (gf)(φ) = (gf)φ = gfφ v H A (g)h A (f)(φ) = H A (g)(fφ) = gfφ, suy ra H A (gf) = H A (g)h A (f). Vªy H A l mët h m tû hi»p bi n. 18

22 2.2 Ph²p bi n êi tü nhi n B i tªp 2.2. Cho α : A B l mët c u x cõa Mor(C), ta x²t c c h m tû ph n bi n H A v H B. Vîi X Ob(C), ta x c ành nh x H α : H A (X) H B (X) f αf Chùng tä r ng H α l mët ph²p bi n êi tü nhi n tø h m tû H A tîi h m tû H B. Líi gi i. V¼ H A v H B l hai h m tû ph n bi n n n º chùng minh H α l ph²p bi n êi tü nhi n ta s³ chùng minh vîi méi φ : X Y Mor(C) ta câ biºu ç sau giao ho n H α(y ) H A (Y ) HB (Y ) H A (φ) hay biºu ç sau giao ho n H B (φ) H A (X) Hα(X) H B (X) H α(y ) [Y, A] C [Y, B]C H A (φ) H B (φ) [X, A] C Hα(X) [X, B] C Thªt vªy, vîi måi f [Y, A] ta câ H B (φ)h α (Y )(f) = H B (φ)(αf) = αfφ v H α (X)H A (φ)(f) = H α (X)(fφ) = αfφ. 19

23 Vªy H B (φ)h α (Y ) = H α (X)H A (φ). 2.3 H m tû khîp B i tªp 2.3. N u F : C D l h m tû cëng t½nh th¼ a. F (0) = 0 b. F ( α) = F (α), α Mor(C). Líi gi i. a. Ta câ F (id 0 + id 0 ) = F (id 0 ) + F (id 0 ) = F (id 0 ) = 0 = id F (0) = 0 = F (0) = 0 b. Ta câ F (α α) = F (0) = F (α) + F ( α) = 0, F ( α) = F (α) B i tªp 2.4. Mët h m tû hi»p bi n cëng t½nh F tø ph m trò abel C v o ph m trò abel D l khîp ph i n u v ch n u nâ bi n méi d y khîp th nh d y khîp X α Y β Z 0 F (X) F (α) F (Y ) F (β) F (Z) 0 Líi gi i. 20

24 1. (= ) Gi sû F bi n méi d y khîp th nh d y khîp X α Y β Z 0 F (X) F (α) F (Y ) F (β) F (Z) 0 Ta chùng minh F khîp ph i. N u trong C câ d y c u x X α β Y Z vîi β = Cokerα th¼ β l to n x n n β = Cokerα = Coimβ. Suy ra Imα = Kerβ. Do â d y X α Y khîp sinh ra d y khîp β Z 0 F (X) F (α) F (Y ) F (β) F (Z) 0 hay ImF (α) = KerF (β) v F (β) l to n x. Vªy CokerF (α) = CoimF (β) = F (β). 2. ( =) Gi sû F khîp ph i, tùc l n u trong C câ d y c u x X α Y β Z vîi β = Cokerα th¼ d y F (X) F (α) F (Y ) F (β) F (Z) 0 câ CokerF (α) = F (β). Gi sû X α Y β Z 0 khîp, tùc l Imα = Kerβ v β l to n x. Do â Cokerα = Coimβ = β n n câ d y F (X) F (α) F (Y ) F (β) F (Z) 21

25 vîi CokerF (α) = CoimF (β) = F (β) Suy ra ImF (α) = KerF (β) v F (β) l to n x. 6 B i tªp 2.5. Chùng tä r ng : a. C c h m tû H A, H B, Hom R (A, ), Hom R (, B) : R Mod Ab l khîp tr i. b. C c h m tû l khîp ph i A R : R Mod Ab R B : R Mod Ab Líi gi i. Ta ch x²t H A v A R v k½ hi»u C thay cho R Mod. a. Ta chùng minh H A l khîp tr i. H A l h m tû hi»p bi n. H A l cëng t½nh. Thªt vªy, vîi måi f, g [A, X] C ta câ [A, α](f+g) = α(f+g) = αf+αg = [A, α]f+[a, α]g H A l khîp tr i, tùc l n u trong C câ d y c u x X α β Y Z vîi α = Kerβ th¼ trong Ab câ d y c u x 6??? Sai ð u [A, X] C [A,α] [A, Y ] C [A,β] [A, Z] C 22

26 vîi F (α) = KerF (β). i) F (α) KerF (β). Ta câ F (β)f (α)(f) = βαf = 0 = F (β)f (α) = 0 hay F (α) KerF (β). ii) KerF (β) F (α). L y g KerF (β) ta câ F (β)(g) = 0 = βg = 0. V¼ α = kerβ n n tçn t i duy nh t çng c u γ : A X sao cho αγ = g, tùc l F (α)(γ) = g. Vªy KerF (β) F (α). b. Ta chùng minh A R l khîp ph i. A R v R B u l h m tû hi»p bi n 7. A R l h m tû cëng t½nh. Ta câ X, Y Ob(R-Mod) : α, β [X, Y ] R-Mod A R (α + β) = A R α + A R β. Thªt vªy, (a x) A R X, A R (α + β)(a x) = 1 A (a) [(α + β)(x)] = a [α(x) + β(x)] = a α(x) + a β(x) = (1 A α)(a x) + (1 A β)(a x) = (1 A α + 1 A β)(a x). A R l khîp ph i. Gi sû trong C câ d y c u x X α β Y Z vîi β = cokerα ta s³ chùng 7 Vi»c chùng minh R B khîp ph i ta ti n h nh t ìng tü 23

27 minh trong Ab câ d y c u x A R X 1 α A R Y 1 β A R Z vîi 1 β = Coker(1 α). Thªt vªy, v¼ β = Cokerα = Y/Imα n n β l to n x, do â β = Coimβ = Y/Kerβ. = imα = kerβ. Vªy d y X α Y β Z O khîp, tø â d y A R X 1 α A R Y 1 β A R Z 0 khîp 8. Suy ra im(1 α) = ker(1 β) v 1 β l to n x n n 1 β = coim(1 β) = A R Y/Ker(1 β) = A R Y/Im(1 α) = Coker(1 α) NHŠN X T: Nâi chung R B, Hom R (B, ) khæng khîp. Thªt vªy, chån R = Z, B = Z 2. Ta câ d y sau khîp: 0 2Z j Z p Z 2 0, trong â j(1) = 2, p(1) = 1. Tuy nhi n, d y sau khæng khîp 0 2Z Z Z 2 j id Z Z Z 2 p id Z 2 Z Z X R A 1 α Y R A 1 β Z R A 0 công khîp 24

28 v¼ j id khæng ìn nh. Thªt vªy, j id(1 1) = j(1) id( 1) = 2 1 = = 1 0 = 0. = j id l nh x khæng. Nâ khæng ìn nh v¼ 2Z Z Z 2 = Z Z Z 2 = Z Ta câ vîi ϕ Hom Z (Z 2, Z), 2ϕ( 1) = ϕ( 2 = 0. = ϕ( 1) = 0 hay ϕ = 0. = Hom Z (Z 2, Z) = 0. N u d y khîp 0 Z j Z p Z 2 0, trong â j(1) = 2, p(1) = 1 sinh ra d y khîp 0 Hom Z (Z 2, Z) Hom j Z (Z 2, Z) p th¼ d y sau khîp Hom Z (Z 2, Z 2 ) Hom Z (Z 2, Z 2 ) 0 Vªy Hom Z (Z 2, Z 2 ) = 0 (væ lþ). B i tªp 2.6. Cho P l R mæun ph i tü do 10, h m tû sau khîp: P R : R Mod Ab X P R X X α Y P R X 1 α P R X 9 R R M = M R R = M v 2Z = Z 10 P x nh công óng 25

29 Líi gi i. V¼ c c ph m trò R Mod v Ab l c c ph m trò abel n n ta s³ chùng minh P R bi n d y khîp ng n th nh d y khîp ng n 0 X α Y β Z 0 0 P R X 1 α P R Y 1 β P R Z 0 Ta bi t P R l khîp ph i n n vi»c cán l i l chùng minh P R f l ìn c u. V¼ P tü do n n P câ cì sð (e i ) I. Khi â måi ph n tû cõa P R X u câ thº vi t duy nh t d îi d ng e i R x i trong â x i X v hå (x i ) I câ gi húu h n. 11 Gi sû (P R f)( e i R x i ) = e i R f(x i ) = 0 = e i R 0 Do â f(x i ) = 0, i I. M t kh c f ìn c u n n x i = 0 i I. Vªy ker(p R f) = 0 hay P R f l ìn c u. B i tªp N u P l mæun x nh th¼ h m tû Hom R (P, ) khîp. 2. Cho Q l mæun nëi x th¼ h m tû Hom R (, Q) khîp. Líi gi i. 1. Hom R (P, ) l h m tû hi»p bi n khîp tr i n n º chùng minh d y khîp ng n 0 A f B g C 0 sinh ra d y khîp 0 Hom R (P, A) Hom f R (P, B) f 11 Xem l i lþ thuy t mæ un Hom R (P, C) 0 26

30 ta ch cán chùng minh g l to n c u. Thªt vªy, v¼ d y tr n khîp n n g l to n c u. ϕ P α B g C O M P x nh n n vîi måi α : P C tçn t i ϕ : P B sao cho gϕ = α = g. 2. Hom R (, Q) l h m tû ph n bi n khîp tr i. 12. Y u c u cõa b i to n t ìng ìng vîi f l to n c u n u f ìn c u ngh¾a l β Hom R (A, Q) tçn t i ϕ Hom R (B, Q) sao cho f (ϕ) = ϕf = β. i u n y rã r ng v¼ Q l nëi x. 12 D y khîp A f B g C 0 c m sinh d y khîp 0 Hom R (C, Q) f Hom R (B, Q) f Hom R (A, Q) 27

31 T I LI U THAM KHƒO [1] Nguy¹n Xu n Tuy n, L V«n Thuy t, Cì sð i sè hi»n i, NXB Gi o döc, [2] Barry Mitchell, Lþ thuy t ph m trò, Academic Press, 1965 (B n dàch ti ng Vi»t) [3] Saunder MacLane, Categories for mathematician working, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer- Verlag. [4] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories, [5] Ad mek, Ji r½, Herrlich, Horst Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories, John Wiley Sons, ISBN , [6] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures, MIT Press, ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/categtypesstructures/book.pdf. S ch l th y cõa c c th y H u h t c c t i li»u tr n u câ t i àa ch 28

32