OPISIVANJE EFEKATA FAZNOG ŠUMA U OPTIKIM KOMUNIKACIJAMA

Transcription

1 OPISIVAJE EFEKATA FAZOG ŠUMA U OPTIKIM KOMUIKACIJAMA Dejan Mili Elektronski fakultet u išu I UVOD Jedna znaajna razlika izmeu optikih i bežinih komunikacionih sistema sastoji se u tome što signal nosioca u optikim komunikacijama sadrži daleko snažniju komponentu faznog šuma nego što je to sluaj u bežinim komunikacijama. Dok se u mikrotalasnim oscilatorima može postii stabilnost frekvencije nosioca koja je reda veliine herca, savremeni poluprovodniki laseri koji se koriste za generisanje nosioca u optikim komunikacijama pokazuju stabilnost frekvencije koja se meri desetinama megaherca. Imajui u vidu frekvencijske opsege kojima pripadaju ova dva tipa komunikacionih sistema, može se zakljuiti da je u optikim komunikacijama stabilnost nosioca u odnosu na noseu frekvenciju za gotovo tri reda veliine slabija u poreenju sa mikrotalasnim sistemima. Kada se posmatra stabilnost nosioca u odnosu na bitsku brzinu prenosa, ova razlika može biti i za nekoliko redova veliine vea. Fazni (ili frekvencijski) šum lasera je dobro poznati i dokumentovani fenomen [] koji na fundamentalan nain ograniava performanse u koherentnim optikim komunikacijama. Dobro je poznato da ak i, na prvi pogled, mala koliina faznog šuma može vrlo ozbiljno da utie na performanse koherentnih optikih sistema [], [3]. Iz tog razloga je veoma važno koristiti lasere sa što manjom spektralnom širinom. Sa druge strane, komercijalni poluprovodniki laseri imaju širine linije koje esto mogu biti nedovoljno uske za koherentne komunikacije sa zadovoljavajuim performansama. Pa ipak, poznato je da izvesni formati modulacije, kao što su digitalna amplitudska (ASK), frekvencijska (FSK) i polarizaciona (PolSK) modulacija, ne zahtevaju ekstremno uske linije lasera da bi uspešna detekcija bila mogua []-[4]. Korišenjem fazne modulacije (PSK) može se postii najbolja osetljivost, ali je za njenu primenu potrebno da spektralna širina linije lasera bude veoma mala u odnosu na bitsku brzinu []-[5]. Takoe je poznato da ni klasini sistemi sa direktnom detekcijom nisu imuni na uticaj faznog šuma lasera. Preciznije, pokazano je da sistemi sa direktnom detekcijom i optikim predpojaavaem imaju identine performanse kao i odgovarajui heterodinski sistemi [5], [6]. Pored toga, obadva tipa optikih sistema imaju identine zahteve u pogledu kontrole i stabilnosti frekvencije nosioca. Fazni šum je identifikovan kao jedan od glavnih uzroka degradiranja performansi sistema sa direktnom modulacijom lasera i direktnom detekcijom, koji rade na veim bitskim brzinama [7], [8]. Iz pomenutih razloga je oigledno da opisivanju uticaja faznog šuma lasera treba posvetiti znaajnu pažnju pri analizi optikih komunikacionih sistema. II KARAKTERISTIKE FAZOG ŠUMA LASERA Uoeno je da spektralna gustina frekvencijskog šuma jednog tipinog lasera ima karakteristiku koja opada kao /f do /f, do frekvencija od oko MHz [], a da je nakon toga relativno ravna (Slika ). Ova ravna, odnosno bela komponenta povezuje se sa kvantnim fluktuacijama i predstavlja glavni razlog za spektralno širenje linije lasera. Sa stanovišta telekomunikacija, komponente šuma na relativno niskim frekvencijama se jednostavno mogu pratiti, tako da njihovom izuavanju nije neophodno posvetiti veu pažnju. Stoga je glavni problem koji preostaje vezan za belu komponentu šuma. Spektralna gustina snage šuma /f /f MHz Beli kvantni šum Slika. Tipian spektar snage faznog šuma lasera. Fazni šum lasera prouzrokuje pojava spontane emisije koja se odigrava sluajno i koja predstavlja neizbežni aspekt pri radu lasera []. Svaki dogaaj spontane emisije prouzrokuje iznenadnu promenu faze (sluajnog znaka i veliine) elektromagnetnog polja koje laser generiše. U toku vremena, faza izražava sluajno kretanje u odnosu na vrednost koju bi imala kada ne bi bilo spontane emisije. Srednja kvadratna devijacija faze raste približno linearno sa vremenom, i s obzirom da srednje vreme izmeu dva koraka faze postaje infinitezimalno malo, sluajna faza ϕ(t) u graninom sluaju postaje Vinerov proces []. Ovaj proces se karakteriše Gausovim frekvencijskim šumom µ(t) sa nultom srednjom vrednošu i dvostranom spektralnom gustinom. a taj nain je proces mogue predstaviti kao: ϕ( t ) = π µ ( t) dt, () pri emu je srednje-kvadratna devijacija faze: E[ ϕ ( ) ] = 4π E[ µ ( x) µ ( y) ] dxdy = = 4π δ( x y) dxdy = 4π f, () gde simbol E oznaava matematiko oekivanje. Da bi se odredio parametar, koji je sa svoje strane funkcija fizike strukture lasera i režima rada, mogue je

2 izmeriti spektralnu gustinu frekvencijskih fluktuacija izraene svetlosti i time direktno odrediti vrednost. Eksperimenti ovakve vrste pokazali su da je model () koji koristi pretpostavku belog šuma za µ(t) veoma dobar kada je vreme u granicama reda. ns µs. Jedna druga tehnika merenja, koja e biti detaljnije razmotrena, koristi injenicu da fazni šum prouzrokuje uoljivo širenje spektralne linije lasera. eka je dat jedan sinusoidalni sluajan proces, koji odgovara polju koje zrai laser: s ( t) = A cos( πft + ϕ( t) + θ ) (3) gde faza θ predstavlja neku proizvoljnu poetnu fazu. Pošto je poetna faza sluajna veliina sa uniformnom raspodelom, proces s(t) se može smatrati stacionarnim. jegova autokorelaciona funkcija je: { [ ]} A jπf j( ϕ( t+) ϕ( t) ) R( ) = E[ s( t) s( t + ) ] = Re e E e (4) Pošto je ϕ(t+) - ϕ(t) prema () Gausov sluajni proces sa varijansom (), oekivanje se može izraunati kao: j( ϕ( t+) ϕ( t )) jx E [ e ] = E[ e ] = CFX ( s), (5) s= gde je sa X oznaena fazna razlika akumulirana tokom vremena, odnosno: ϕ(t+) - ϕ(t), a CF oznaava karakteristinu funkciju. Izraunavanjem ove karakteristine funkcije imajui u vidu (), kao i injenicu da u suštini može imati i negativne vrednosti, dobija se: odnosno: ( ( ) ( )) ( π) j ϕ t+ ϕ t E [ e ] = e, (6) A π R( ) = e cos( πf) (7) Dvostrana spektralna gustina snage signala je prema Viner- Hininovoj teoremi jednaka Furijeovoj transformaciji autokorelacione funkcije: S(f) = F - {R()}, što posle kraeg raunanja daje: A f f f + f S ( f ) = (8) 4π π π Jednostrana spektralna gustina se dobija kao S (f) = S(f) + S(-f). Sada je od interesa razmotriti sluaj kada su f i f >>, a to i jeste praktini sluaj lasera kod koga je optika frekvencija vrlo visoka, a spektar zraenja vrlo uzak. U tom sluaju, u jednostranoj spektralnoj gustini sabirak koji sadrži (f+f )/ teži nuli pa je približno: A S ( f ) (9) π f f + π Sada je oigledno da se parametar može odrediti merenjem 3 db širine spektra oko f u spektru lasera. Ako se sa ν obeleži ukupna širina spektra, pod pretpostavkom da je f >> ν, iz (9) sledi: ν = () π Spektar opisan jednainom (9) se obino naziva Lorencovim, a veliina ν se naziva frekvencijskom širinom linije lasera. Spektralna gustina snage [db] ASK f =R b -3 db max ormalizovana frekvencija, ft ν= ν=.8 R b ν=.38 R b ν=r b Slika. Spektar digitalno modulisanog signala kada nosilac sadrži fazni šum. Širina spektra zavisi od formata modulacije i širine linije lasera. Slika prikazuje rezlutate simulacije ASK modulisanog signala sa nosiocem koji sadrži fazni šum. Sa poveanjem širine linije nosioca, spektar sve više poprima oblik Lorencovog, dok modulacija prelazi u intenzitetsku modulaciju (IM). III OPISIVAJE UTICAJA FAZOG ŠUMA U jednom tipinom telekomunikacionom sistemu, svetlost koju laser zrai se moduliše prema zadatoj šemi modulacije, korišenjem na primer spoljašnjeg elektro-optikog modulatora. a drugoj strani, u prijemniku, signal se nakon fotodetekcije najpre propušta kroz linearni filter sa odgovarajuom širinom propusnog opsega. Ovo filtriranje je sastavni deo svakog optikog prijemnika i njegova funkcija je smanjivanje šot šuma koji se generiše na fotodetektoru, a samim tim i poveanje odnosa signal-šum. ajjednostavniji model sistema pretpostavlja digitalnu modulaciju sa pravougaonim impulsima i filter u prijemniku koji integrali primljeni signal u toku trajanja jednog bita. Ovo odgovara filteru koji ima pravougaoni implusni odziv u vremenskom domenu. a izlazu ovakvog integratora, komponenta vezana za fazni šum je [9]: jϕ( t ) z( ) = e dt () gde je ϕ(t) fazni proces lasera sa ve pomenutim osobinama. Da bi se na zadovoljavajui nain opisao sluajni proces (), razvijeno je nekoliko razliitih metoda koje na manje ili više uspešan nain ovo omoguavaju. U daljem tekstu e u najkraim crtama biti predstavljene neke od važnijih metoda koje su pronašle širu primenu u analizi performansi. a.) Simulacija faznog procesa ajjednostavnija tehnika za numeriku simulaciju se zasniva na primeni trapeznog pravila za izraunavanje integrala (): jϕ( t ) i z( ) = e = i= i= e jϕi ()

3 log(pr(r)) log(pθ(θ)) = K = 6 Klasina simulacija Specifina tehnika ν = = K = 6 ν =. (a) r ν =.5 ν = (b) θ Klasina simulacija Specifina tehnika Slika 3. Gustina raspodele a.) anvelope i b.) faze filtriranog signala (). Punom linijom su prikazane krive dobijene klasinom simulacijom, a isprekidanom linijom krive dobijene korišenjem specifine tehnike simulacije. Kao što je ve pomenuto, fazni šum lasera se može opisati uz pomo njegovog izvoda µ(t), odnosno: ϕ( t + t) ϕ( t) ϕ ( t) = lim = (, σϕ ) (3) t t, oznaava Gausovu sluajnu promenljivu sa gde ( ) σϕ. srednjom vrednošu jednakom nuli i varijansom σ ϕ = π ν Zanemarivanjem limesa u gornjoj jednaini, može se dobiti jednostavan model faznog šuma lasera, pogodan za numeriku simulaciju: ϕ i + = ϕi + (, σ) (4) gde je σ = t σ φ. Kada stavimo t=/ kao u jednaini (), varijansa postaje: π σ = ν (5) Potrebne Gausove sluajne promenljive mogu se generisati Box-Milerovom metodom, koja se može zapisati kao: ( µ, σ) = µ + σ ln( u) cos πv, (6) gde su u i v dve meusobno nezavisne uniformno raspodeljene sluajne promenljive na segmentu [, ]. umerika simulacija je u stanju da pruži odreenu realnu sliku o funkciji gustine raspodele, ali je na žalost potrebno vrlo mnogo raunarskog vremena, posebno ako se ima u vidu da je gustina raspodele praktino znaajna svuda tamo gde je njena vrednost vea od -. Ova brojka je za nekoliko redova veliine manja od broja simulacija koje bi trebalo izvršiti u tom sluaju, tako da je to vrlo ozbiljan problem ak i za savremene raunare. aravno, ovo se odnosi na najjednostavniju tehniku numerike simulacije koja je gore opisana. Postoje i neke zanimljive tehnike [9], zasnovane na korišenju Radon-ikodimovog izvoda, koje omoguavaju da se dobiju veoma dobri rezultati sa mnogo manje Gausovih simulacija, odnosno takve tehnike ijim korišenjem se simulacija može završiti u razumnom vremenu. Slika 3 prikazuje rezultate koji se dobijaju korišenjem klasine i pomenute specifine tehnike simulacije, sa istim brojem K = 6 prolazaka. Oigledno je da je za preciznu simulaciju faznog šuma, naroito pri malim širinama linije lasera, neophodno koristiti specifine metode simulacije. b.) Foker-Plankova jednaina Za Markovljeve sluajne procese je razvijen obiman matematiki aparat uz pomo koga se problemu filtriranog signala koji sadrži fazni šum može pristupiti i sa egzaktnog stanovišta. aime, ovu problematiku je u mogue sagledati kao sredstvo koje omoguava rešavanje sledeeg problema []: Ako je poznat potpun statistiki opis sluajnog procesa x(t) i dat izvesni zakon transformacije (vrlo uopštene prirode) koji definiše novi sluajni proces y(t) (u funkciji od x(t) ), odrediti potpuni statistiki opis sluajnog procesa y(t). Rešenje ovog problema za konkretni sluaj faznog šuma lasera opisuje Foker-Plankova jednaina kojoj se pokorava raspodela p(x,y,) sluajnog procesa () u svakom trenutku [4], [9], []: p p sin θ p p = cos θ + + π ν (7) r r θ θ Poetni uslov gornje jednaine je p(x,y,) = δ(x,y), a jedno tipino numeriko rešenje prikazuje slika 4. y y x x.9..3 Slika 4. 3D i konturni prikaz rešenja p(x,y,) za =8 i ν=/π. 5 p(x,y)..

4 umeriko rešavanje Foker-Plankove jednaine nije nimalo jednostavno, imajui u vidu singularitete koji se pojavljuju u poetnom uslovu i u samoj jednaini (za r = ). Ovi singulariteti doprinose slaboj uslovljenosti, tako da je za rešavanje jednaine neophodno primeniti neki od implicitnih metoda razdvajanja operatora [], [5]. c.) Pristup momenata Pažljivim razmatranjem faznog procesa i prolaska signala koji sadrži fazni šum kroz idealni integrator, mogu se dobiti izvesni egzaktni rezultati, kao što je to uoeno na primer u []-[3], [3]. Ovakav pristup je ogranien na specijalni sluaj idealnog integratora, a kao rezultat se ne dobija kompletan opis rešenja, ve samo njegovi momenti oblika: m n µ, ( t) E z ( t) z ( t), gde z predstavlja konjugovano m n = { } kompleksnu vrednost (). Momenti zadovoljavaju sledeu rekurentnu relaciju []: t D ( m n) ( t ) m, n m n m n ) [ mµ ( ) + nµ ( ] µ ( t) = e,, d (8) Dobijeni momenti se mogu upotrebiti za konstrukciju kvadratura koje se zatim mogu upotrebiti za izraunavanje verovatnoe greške u prijemniku, kao na primer u [4]. egativna strana pristupa momenata ogleda se u tome što je za konstrukciju kvadratura potrebna veoma velika tanost dobijenih momenata [5], što proceduru u suštini ograniava na simboliko raunanje. Sa druge strane, simboliki zapis momenata progresivno postaje sve komplikovaniji, tako da je mogue izraunati samo ogranien broj momenata. d.) Tejlorov razvoj i njegove modifikacije Jedna od vrlo široko primenjivanih aproksimativnih metoda za opisivanje faznog šuma je metoda Tejlorovog razvoja. Ona je najpre primenjena na problem faznog šuma u [6], ime je prvi put izvršena karakterizacija faznog šuma ukljuujui kompletan model. Pre ovog rezultata, opisivanje faznog šuma se uglavnom svodilo na jednostavne Gausove aproksimacije. Osnovna ideja metode je u stohastikom Tejlorovom razvoju promenljive (), pri emu se zanemaruju svi sabirci nakon vodeeg koji opisuje fazni šum. Metoda Tejlorovog razvoja je detaljnije opisana i generalizovana u [9], a korišena je kao glavni metod za karakterizaciju faznog šuma u mnogim radovima, kao i u monografiji [4]. Ovakva popularnost Tejlorovog razvoja leži u injenici da je on vrlo jednostavno primenljiv u analizi koja se zasniva na karakteristinim funkcijama. Osnovni rezultat ovog metoda je upravo karakteristina funkcija koja približno opisuje kvadrat anvelope z () filtriranog signala sa faznim šumom: s π νs MGF s = e 4 ( ) (9) sinh 4π νs U radu [7] je ova aproksimacija prvi put primenjena u analizi baziranoj na uslovnoj verovatnoi greške. Osim osnovnog rezultata, postoje i druge aproksimacije sline Tejlorovom razvoju, kao na primer u [8], dok je generalizacija ovakvih aproksimacija data u [9]. Što se tie faze filtriranog signala, Tejlorov razvoj predvia da e njena raspodela biti približno Gausova [4], sa varijansom: σ = π ν () 3 Ovaj rezultat pokazuje dobro slaganje sa rezultatima numerike simulacije (Slika 3). Treba pomenuti da je metoda Tejlorovog razvoja dosta konzervativna kada se razmatra maksimalna koliina faznog šuma koja je dozvoljena u jednom optikom sistemu. Ovo se posebno odnosi na sisteme kod kojih je prisutan relativno mali fazni šum i kod kojih postdetekcijsko filtriranje nema suštinski važnu ulogu u otklanjanju njegovih posledica. Kod ovakvih sistema nije preporuljivo za analizu koristiti metodu Tejlorovog razvoja jer se rezultati ne mogu smatrati preciznim, iako je kvalitativna slika koju metoda pruža korektna. U radu [9] je predložena aproksimacija koja omoguava dobijanje daleko tanijih rezultata korišenjem Tejlorovog razvoja kao polazne osnove. Ova aproksimacija se može izraziti kao: ( ) + α pα x = p + ln x T, () ( x + α) + α gde je p T (x) gustina raspodele koja se dobija inverznom Laplasovom transformacijom (9), a parametar α je dat kao: 3 ν + 4π α = exp 3 5( ) () ν + π e.) Vremenski diskretizovani model faznog šuma Zanimljivi rezultati se mogu dobiti jednim pristupom koji se zasniva na vremenski diskretnom modelu faznog procesa, slinog modelu koji se koristi pri postupku simulacije. Koristei ovakav model faznog šuma, mogue je dobiti Foker-Plankovu jednainu u integralnom obliku, koja se može rešavati eksplicitno, za razliku od parcijalne diferencijalne jednaine (4), a da se pri tome mogu razmatrati proizvoljni impulsni odzivi filtera []. Slika 5 prikazuje jedno takvo rešenje za integrator-filter kod koga postoji frekvencijski ofset u odnosu na centralnu talasnu dužinu zraenja lasera. Meutim, još važniji rezultat koji se može dobiti jeste procedura za numeriko izraunavanja momenata sa proizvoljnom tanou. U svakom sluaju, ovaj model zaslužuje više pažnje u daljem istraživanju. y νt=4/π Slika 5. Konturni prikaz numerikog rešenja Foker-Plankove jednaine kada je centralna frekvencija filtera pomerena za /6 bitske brzine []. x

5 log Pe Gubitak osetljivosti [db] Metod momenata Aproksimacija [9] Rešenje FP jedn. Tejlorov razvoj [6] Eksp. aproksimacija [8] ν=.4 Aproksimacija [7] SR [db] Slika 6. Verovatnoa greške optikog FSK prijemnika izraunata uz pomo razliitih aproksimacija. Pe= ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ormalizovana širina linije νt Slika 7. Gubitak osetljivosti za FSK prijemnik bez postdetekcijskog filtriranja. Krive: ) Tejlorov razvoj i analiza sa karakteristinim funkcijama [4], ) Podešeni razvoj [], 3) Aproksimacija iz [7], 4) Simulacija, 5) Aproksimacija iz [9], 6) um. rešenje Foker-Plankove jednaine, 7) Metod egzaktnih momenata (reda 3), 8) Eksponencijalna aproksimacija [8]. IV POREEJE RAZLIITIH METODA Da bi se stekla predstava o tanosti metoda za opisivanje uticaja faznog šuma lasera, potrebno je razmotriti performanse jednog optikog sistema, izraunate korišenjem pomenutih metoda. Kao primer sistema može poslužiti koherentni optiki FSK sistem koji je detaljno analiziran u radu [7]. Performanse sistema se izraunavaju na osnovu uslovne verovatnoe greške, što omoguava jednostavnu primenu rezultata dobijenih razliitim metodama za opisivanje faznog šuma. a slici 6 je prikazana verovatnoa greške koherentnog optikog FSK sistema [7] sa ukupnom širinom spektralne linije predajnog i lokalnog lasera koja iznosi 4% bitske brzine. Kao što je napred navedeno, može se uoiti da Tejlorov razvoj precenjuje fazni šum, tako da su izraunate performanse suviše pesimistike, za nekoliko redova veliine. ešto bolje rezultate daje aproksimacija iz [7], kao i eksponencijalna aproksimacija [8] koja na žalost potcenjuje uticaj faznog šuma. Iz ovih krivih je oigledno da neslaganje izraunatih performansi može biti znatno, kada se za analizu upotrebe razliitie aproksimacije. U tom smislu, aproksimacija iz [9] daje rezultate koji su veoma bliski performansama dobijenim uz pomo numerike simulacije i numerikog rešenja FP jednaine. a slici 7 je prikazan gubitak osetljivosti istog prijemnika u funkciji koliine faznog šuma, prema predvianju razliitih metoda. Rezultati se odnose na prijemnik sa minimalnim propusnim opsegom, koji je i najosetljiviji na poveanje faznog šuma. Raniji zakljuci su oigledni, a primetno je i ogranienje koje se tie metode momenata. aime, sa egzaktnim momentima do reda 3 mogue je izraunati performanse za širine linije lasera koje su manje od % bitske brzine, a preko te vrednosti metoda zahteva momente višeg reda koje je praktino veoma teško izraunati. Eksponencijalna aproksimacija se ne bi smela koristiti za širine linije preko 8% jer potcenjuje uticaj faznog šuma, pa realne performanse mogu biti daleko lošije nego što to ova metoda predvia. Tako na primer, za νt=.4, eksponencijalna aproksimacija predvia da je potrebno za 6 db poveati snagu signala kako bi se zadržale iste performanse, dok je u stvarnosti gubitak osetljivosti blizak db. Aproksimacija iz [9] se odlino slaže u celom navedenom opsegu sa rezultatima numerike simulacije i numerikog rešenja Foker-Plankove jednaine koji se smatraju najtanijim metodama za opisivanje faznog šuma. a slici 7 se može uoiti i jedan nednostatak analize zasnovane na karakteristinim funkcijama. aime, kao što je poznato [8], [], metoda Tejlorovog razvoja za rezultat daje funkcije gustine raspodele koje se protežu i izvan fiziki mogueg opsega [, ]. Ovo se esto može prevazii tako što se funkcija gustine raspodele veštaki podesi, odnosno, uzme se da je izvan fizikog opsega jednaka nuli, a zatim renormalizuje. Meutim, kada se vrši analiza sa karakteristinim funkcijama [4], ovakvo podešavanje nije mogue usled ega se dobijaju nešto lošiji rezultati. V ZAKLJUAK Fazni šum lasera može predstavljati ozbiljnu prepreku za postizanje dobrih performansi u optikim komunikacijama. Ova injenica je oigledna za sisteme koji koriste faznu modulaciju, ali treba imati na umu da ni ostali formati modulacije nisu imuni na ovakve uticaje - na prvom mestu zbog neophodnosti veih propusnih opsega i konverzije faznog šuma u amplitudski prilikom prostiranja i detekcije. Zbog toga je potrebno prilikom projektovanja i analize sistema voditi rauna o preciznom statistikom opisivanju faznog šuma i njegovih posledica. Postoji više razliitih metoda uz pomo kojih je mogue opisati uticaj faznog šuma u optikim telekomunikacionim sistemima. Izbor odreene metode pri analizi sistema zavisi od nekoliko inilaca, od kojih treba izdvojiti: tanost, jednostavnost primene i mogunost uopštavanja. eki od metoda su relativno jednostavni za primenu i numeriko izraunavanje, ali obino takvi metodi imaju i nešto slabiju tanost. Druge metode imaju veoma dobru tanost, ali su relativno složene i nisu primenljive u opštijim sluajevima.

6 LITERATURA [] C. H. Henry, Phase oise in Semiconductor Lasers, IEEE J. Lightwave Technol., vol. LT-4, no 3, pp. 98-3, Mar [] J. Saltz, Modulation and Detection for Coherent Lightwave Communications, IEEE Communications Magazine., vol. 4, no. 6, pp , June 986. [3] R. A. Linke, Optical Heterodyne Communication Systems, IEEE Communications Magazine., vol. 7, no., pp. 36-4, Oct [4] G. Jacobsen, oise in digital optical transmission systems, The Artech House Library, London, 994. [5] R. Vodhanel, A. Elrefaie, M. Iqbal, R. Wagner, J. Gimlet, S. Tsui, Performance of Directly Modulated DFB Lasers in -Gb/s ASK, FSK and DPSK Lightwave Systems, IEEE J. Lightwave Technol., vol. 8, no 9, pp , Sep. 99. [6] O. K. Tonguz, R. E. Wagner, Equivalence Between Preamplified Direct Detection and Heterodyne Receivers, IEEE Photonics Technol. Letters, vol. 3, no. 9, pp , Sep. 99. [7] A. Cartaxo, B. Wedding, W. Idler Influence of Fiber onlinearity on the Phase oise to Intensity oise Conversion in Fiber Transmission - Theoretical and Experimental Analysis, IEEE J. Lightwave Technol., vol. 6, no. 7, pp , July 998. [8] J. Morgado, A. Cartaxo, Assessment of Laser oise Influence on Direct-Detection Transmission System Performance, IEEE J. Lightwave Technol., vol. 9, no., pp , Mar. 3. [9] G. J. Foschini and G. Vannucci, Characterizing Filtered Light Waves Corrupted by Phase oise, IEEE Trans. Inf. Theory., vol. 34, pp , ov [] R. F. Pawula; Generalizations and extensions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equations, IEEE Trans. Inf. Theory., vol. 3, no, pp. 33-4, Jan [] I. Garret, D. J. Bond, J. B. Waite, D. S. L. Lettis and G. Jacobsen, "Impact of Phase oise in Weakly Coherent Optical Systems: A ew and Accurate Approach", IEEE J. Lightwave Technol., vol. 8, pp , Mar. 99. [] G. L. Pierobon, L. Tomba, "Moment characterization of Phase oise in Coherent Optical Systems", IEEE J. Lightwave Technol., vol. 9, pp 996-5, Aug. 99. [3] I. T. Monroy and G. Hooghiemstra On a Recursive Formula for the Moments of Phase oise, IEEE Trans. Communications., vol. 48, no. 6, pp. 97-9, June. [4] M.-J. Hao, S. B. Wicker, Performance evaluation of FSK and CPFSK Optical Communication Systems: A Stable and Accurate Method, IEEE J. Lightwave Technol., vol. 3, pp. 63-6, Aug [5] M. Stefanovi, D. Mili, "Comparison of Certain Methods for Performance Evaluation of Coherent Optical FSK Systems ", Journal of Optical Communications, vol., no. 5, pp 83-87, Oct [6] G. J. Foschini, L. J. Greenstein, G. Vannucci, oncoherent Detection of Coherent Lightwave Signals Corrupted by Phase oise, IEEE Trans. on Communications., vol. 36, no. 3, pp , Mar [7] M. Stefanovi, D. Mili,. Stojanovi, "Evaluation of Optimal Bandwidth in Optical FSK System Influenced by Laser Phase oise", IEEE J. Lightwave Technol., vol. 6, pp , May 998. [8] M. Azizoglu, P. A. Humblet, Envelope Detection of Orthogonal Signals with Phase oise, IEEE J. Lightwave Technol., vol. 9, pp , Oct. 99. [9] M. Stefanovi, D. Mili, "An Approximation of Filtered Signal Envelope with Phase oise in Coherent Optical Systems", IEEE J. Lightwave Technol., vol. 9, pp , ov.. [] D. Mili, S. Jovkovi, D. Milovi, "A ew Asymptotic Model for Description of Filtered Brownian Phase oise", TELSIKS 3, Proceedings, pp , iš, Srbija i Crna Gora, Oct. 3. [] D. Mili, Performanse kohernetnih optikih sistema u prisustvu faznog šuma lasera, Magistarska teza, Univerzitet u išu, Elektronski fakultet,. [] G. Jacobsen, Heterodyne and Optically Implemented Dual-Filter FSK Systems: Comparison Based on a Rigorous Theory, IEEE Photonics Techol. Letters, vol. 4, no. 7, pp , July 99. [3] M. M. Banat, A ovel Closed Form Moment Expression for Filtered Semiconductor Laser Phase oise, Journal of Optical Communications, vol. 5, pp , Oct. 4. [4] A. Marini, Optike telekomunikacije, Univerzitet u Beogradu, Beograd, 997. [5] G. Agrawal, Fiber-Optic Communications Systems, John Willey & Sons, Abstract: Phase noise can be a limiting factor in an effort to achieve good system performance in optical communications. Therefore, it is necessary to properly take into account its complete statistical model in order to obtain precise results during system engineering and analysis. This paper briefly reviews some important techniques that can be used for detailed statistical description of laser phase noise. A comparison of the methods is made based on their accuracy, complexity and generality. DESCRIPTIO OF PHASE OISE EFFECTS I OPTICAL COMMUICATIOS, D. Mili.