Kurso tikslai. 1 Įgyti galimybę skaitiškai spręsti taikomuosius uždavinius; 2 Įvertinti skirtingus skaitinius sprendimo metodus (žinant jų

Transcription

1 Kurso tikslai Skaitiniai metodai Kompiuterių aritmetika ir algoritmai Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 1/36 1 Įgyti galimybę skaitiškai spręsti taikomuosius uždavinius; Įvertinti skirtingus skaitinius sprendimo metodus (žinant jų privalumus ir trūkumus); 3 Rašyti, taikyti ir testuoti kompiuterines programas. Sandas: Supažindinama su skaitiniais metodais sprendžiant įvairaus tipo uždavinius. Pateikiami teoriniai tokių uždavinių stabilumo ir konvergavimo analizės pagrindai. Supažindinama su aprioriniais ir aposterioriniais paklaidos nustatymo būdais. Mokoma kaip įveikti skaičiavimo metu iškylančius įvairius sunkumus. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai /36 Turinys: : 1 Kompiuterių aritmetika ir algoritmai. Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai: tiesioginiai metodai; iteraciniai metodai; variaciniai metodai. 3 Duomenų aproksimacija: Funkcijų interpoliavimas; Interpoliavimas splainais; Mažiausių kvadratų metodas. 4 Tikrinių reikšmių uždavinys. 5 Netiesinių lygčių sprendimas. 6 Funkcijų optimizavimo metodai. 7 Skaitinis integravimas: paklaidos įvertinimo būdai; adaptyvieji metodai. 8 Diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai. Paskaitos Kompiuterinės pratybos Skaitiniai metodai Pažymys = AD+Egz arba Pažymys = AD+Kol+Egz 10=5+5? arba 10 =5++3? Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 3/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 4/36 Literatūra 1 V.Būda, R.Čiegis. Skaičiuojamoji matematika, Vilnius: TEV, B.Kvedaras, M.Sapagovas. Skaičiavimo metodai, V.: Mintis, K. Plukas. Skaitiniai metodai ir algoritmai, Kaunas: N. lankas, V.Būda, M.Sapagovas. Skaitiniai metodai. Algoritmai, uždaviniai, projektai. Vilnius: Technika J.H.Mathews, K.D.Fink. Numerical methods Using MATLAB, Prentice Hall, R.Čiegis. Diferencialinių lygčių skaitiniai sprendimo metodai. Vilnius: Technika, A.Quarteroni, F.Saleri and P. Gervasio. Scientific Computing with MATLAB and Octave. Springer, Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.Н.Кобельков. Численные методы. Москва, Наука, A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri. Numerical Mathematics, Springer, W.H.Press, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling, B.P.Flannery. Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. Second Edition Cambridge University Press. 11 S.C. Charpa Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists. McGraW-Hill, 005. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 5/36 Taikomosios matematikos dalis, skirta įvairių sričių (fizikinių, biologinių, cheminių, ekonominių ir t.t.) uždavinių sprendimui naudojant virtualiojo eksperimento metodiką. Uždavinio sprendimo įrankiai: analiziniai sprendiniai, artutiniai metodai, skaitiniai metodai, statistiniai metodai, grafikai, ir t. t. Taikoma mokslinių tyrimų programinė įranga. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 6/36

2 Dažniausiai taikoma mokslinių tyrimų programinė įranga MathCad Gera vartotojo sąsaja. Tinka bakalauro studijoms, bet nera optimalus moksliniams skaičiavimams. Taikymo pavyzdžiai (Help->Resource Center). Maple Simboliniai skaičiavimai. Gera grafika. Labai gerai tinka bakalauro studijoms. Mathematica, Wolfram Alpha Matematiniai skaičiavimai, puikios algebros uždavinių sprendimo ir analizės (taip pat grafinės) galimybes. Simboliniai skaičiavimai. Panašiai kaip ir Maple. MATLAB Skaitinių metodų taikymas. Turi daug modulių (Toolboxes): veiksmams su matricom, optimizavimui, neuroniniams tinklams, sistemų modeliavimui (Symulink) ir t.t. Tinka spręsti didelius uždavinius. Help, demo. Trūkumas didelė kaina. Excel Finansiniai skaičiavimai ir ataskaitos. Yra priedai (Add-Ins) specializuotom užduotims (pvz. duomenų analizei). SAS SAS (Statistical Analysis System) galingiausia statistinės analizės programa. Trūkumas didelė kaina. SPSS SPSS populiariausia statistinė sistema. Siauresnių nei SAS galimybių, bet pigesnė. R R - nemokama statistinės analizės programa su aukšto lygio grafika. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 7/36 Matematiniu uždaviniu sprendimo etapai Aiškiai suformuluoti problemą Aprašyti Įvestį/Išvestį (Input/Output) Matematinis (analizinis) sprendimas Algoritmas skaitinis sprendimo metodas Programavimas Testavimas ir derinimas (Debugging) Rezultatų pateikimas ir jų analizė Matematinis modeliavimas: Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 8/36 Taikomieji arba fizikiniai uždaviniai Formuluojami pagrindiniai dėsniai, valdantys tyrimo objektą Pavyzdys Matematinis modelis Dėsniai užrašomi kaip lygčių sistema (algebrinių, diferencialinių, integralinių, gali būti ir netiesinė) Algebrinė lygtis F = ma Paprastoji diferencialinė lygtis F = m dv dt, F = x md dt Diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis (matematinės fizikos lygtis) u t = u x + u y Pavyzdys x = Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 9/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 10/36 Skaitiniai metodai Skaitiniai metodai randa matematinių uždavinių, užrašytų algebrinėmis formulėmis (kurias vykdo kompiuteris), sprendinius. Mes išmoksime suformuluoti sprendimo metodą; įvertinti metodo tinkamumą, jo privalumus ir trūkumus. Skaitinis metodas Užrašomi diskretusis modelis ir skaičiavimo algoritmas Metodų savybės: Konvergavimas į sprendinį; Konservatyvumas; Korektiškumas; Realizavimo galimybės. nes jei Pavyzdys Diskretusis modelis x = x 0 <, Skaičiavimo algoritmas x n = 1 (x n 1 + ), x n 1 > =. x 0 x 1 = 1 (x 0 + x 0 ) yra geresnis artinys. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 11/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 1/36

3 T S M Algoritmas Sprendimo užrašymas tam tikra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint pasiekti tam tikrą rezultatą algoritmo schema ir pseudokodas. Programavimas Algoritmo realizavimas kompiuterine programa. Testavimas Tikrinima ar kompiuterinė programa iš tikrųjų sprendžia būtent tą uždavinį, kurį reikia spręsti. Tikrinima ar tikrai randamas nagrinėjamo uždavinio sprendinys. Skaitinis tikslumas, stabilumas ir efektyvumas. Rezultatų analizė Gautų skaičiavimo rezultatų atitinkamumo realiam taikomajam uždaviniui kritinė analizė. Reikia nusimanyti ne tik programavime, bet ir technikoje, fizikoje ir t.t. Rezultatų pateikimas Skaičiavimo rezultatų perdavimas žmonėms, kurie nori žinoti atsakymą: Klientams; Darbdaviams, viršininkams; Tikrintojams; Sutarties dalyviams. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 13/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 14/36 Programavimas Uždavinio skaitinio sprendimo paklaida. Paklaidų šaltiniai ir klasifikacija Skaičiavimai ir rezultatų analizė = 1, x 0 = 1 x 1 = 1, 5 x = 1, 4167 x 3 = 1, Matematinio modelio paklaida (dėl atmestų faktorių) Metodo paklaida (dėl įtrauktų į modelį faktorių) Apvalinimo paklaida (uždavinio salygotumas, jautrumas, algoritmo stabilumas) Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 15/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 16/36 Uždavinio skaitinio sprendimo paklaida I Uždavinio skaitinio sprendimo paklaida II Matematinio modelio paklaida (dėl atmestų faktorių): Netikslus uždavinio matematinis aprašymas; Duomenų paklaida. Nepašalinamoji paklaida x exp - tikslusis sprendinys, x - matematinio modelio sprendinys, ε m = x x exp. Metodo paklaida (dėl įtrauktų į modelį faktorių): aproksimavimas tikslumas, aritmetinių veiksmų skaičius. x - matematinio modelio sprendinys, x N - sprendinys, gaunamas realizuojant skaitinį metodą. ε t = x N x. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 17/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 18/36

4 T S M Apvalinimo paklaida (uždavinio salygotumas, jautrumas, algoritmo stabilumas): įvedant duomenis; atliekant aritmetinius veiksmus; išvedant duomenis. Skaičiuojamoji paklaida x N - sprendinys, gaunamas realizuojant skaitinį metodą, ˆx - realiai gaunamas sprendinio artinys. ε h = ˆx x N. Pilnoji paklaida ε = ε m + ε h + ε a. Dažnai įvedamas matas, pvz., skaliarų atvejų: Skaičiojamoji paklaida ε c = x ˆx. Tegul ˆx yra skaičiaus x artinys. Absoliučioji paklaida Δx = x ˆx. Santykinė paklaida δ x = x ˆx. x ε = ˆx x exp, ε ε m + ε h + ε a. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 19/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 0/36 (pavyzdžiai) Apytikslių skaičių sumos paklaida x = 3, 14159, ˆx = 3, 14 yra jo artinyss Δx = x ˆx = 0, 00159; δ x = x ˆx x = 0, ,14159 = 0, y = , ŷ = yra jo artinys. Δy = 10 - didelė; δ y 0, maža. ŷ yra geras skaičiaus y artinys. z = 0, , ẑ = 0, yra jo artinys. Δz = 0, ; δ z = 0, 5 - didelė (5 %). ˆx = x ± Δx, ŷ = y ± Δy yra skaičių x ir y artiniai. Pagal trikampio nelygybę (x + y) (ˆx + ŷ) = (x ˆx)+(y ŷ) (x ˆx) + (y ŷ) =Δx +Δy. Analogiškai (x y) (ˆx ŷ) = (x ˆx) (y ŷ) (x ˆx) + (y ŷ) =Δx +Δy. Dviejų apytikslių skaičių sumos ar skirtumo absoliučioji paklaida yra ne didesnė už tų skaičių absoliučiųjų paklaidų sumą. ẑ yra blogas skaičiaus z artinys. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 1/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai /36 Apytikslių skaičių sandaugos paklaida Apytikslių skaičių dalmens paklaida ˆx = x ± Δx, ŷ = y ± Δy yra skaičių x ir y artiniai. Jų sandaugos ˆxŷ =(x ± Δx)(y ± Δy) =xy ± xδy ± yδx ± ΔxΔy santykinė paklaida δ xy = ˆxŷ = ±xδy ± yδx ± ΔxΔy ± xδy ± yδx ± ΔxΔy ± xδy ± yδx = δ x + δ y. ˆx = x ± Δx, ŷ = y ± Δy yra skaičių x ir y artiniai. Analogiškai jų dalmens santykinė paklaida δ x/y = x y ˆx ŷ ±xδy yδx x y = x(y ± Δy) ±xδy yδx Δx x + Δy y = δ x + δ y. Dviejų apytikslių skaičių sandaugos ar dalmens santykinė paklaida yra ne didesnė už tų skaičių santykinių paklaidų sumą. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 3/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 4/36

5 Aritmetinių veiksmų paklaidos Apskaičiuokime 1 naudojant simbolinius skaičiavimus (MATLAB, Symbolic Math Toolbox) be simbolinių skaičiavimų Matlab realmax = e+308 a=1.e+308; b=1.1e+308;c=-1.001e+308; a+b+c = Inf a+(b+c) = e+308 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 5/36 Aritmetinių veiksmų paklaidos. 1 pavyzdys. Kvadratinės lygties sprendimas: x bx + 1 = 0 D = b 4 x 1 = b + D, x = b D. Tegul b ir D yra dideli vienodo didumo skaičiai. Pertvarkome x : x = (b D)(b + D) (b + D) = b D (b + D) = 4 (b + D) = (b + D). Dviejų artimų skaičių skirtumas potencialus didelės paklaidos šaltinis! Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 6/36 Aritmetinių veiksmų paklaidos. 1 pavyzdys. Apvalinimo paklaidos įtaka (pavyzdys) Kvadratinės lygties x 97x + 1 = 0 sprendimas: D = 9405, D = 96, tiksliai: x = 0, 01031; Skaičiuojame apvalindami iki 5 skaitmenų po kablelio: standartiškai: x = 0, 01050; racionalizuojant: x = 0, taisyklė. Algoritmą reikia sudaryti taip, kad nebūtų atimami dideli (palyginant su skirtumu) vienodo didumo skaičiai. Kvadratinės lygties x 54, 3x + 0, 1 = 0 sprendimas. Tikslus sprendinys x 1 = 54, , x = 0, Apskaičiuokime x 1 ir x naudojant 4 reikšminius skaitmenis (four-digit floating-point arithmetic). D = b 4ac = ( 54, 3) 0, 4 = 951 0, 4 = 54, 3. x 1,4sk = b + D a x,4sk = b D a Santykinė paklaida = = 54, , 3, , 3 54, 3, 000 δ x1 = x 1 x 1,4sk x 1 100% =0, 033%, δ x = 100%. = 108, 6 = 54, 30., 000 = 0, 000 = 0, 000., 000 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 7/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 8/36 Aritmetinių veiksmų paklaidos (pavyzdys) x = 0, 1; ˆx = 0, 11; Δx = 0, 01; δ x = Δx 0, 01 = = 0, 1. x 0, 1 Tegul skaičius y = x 0,01 = 10. Tada ŷ = ˆx 0, 01 = 11 Δy = 1, δ y = 0, 1. Dalyba iš mažo skaičiaus => absoliuti paklaida didėja. Absoliuti paklaida padidėjo 100 kartų. Santykinė paklaida nepakito. taisyklė. Algoritmą reikia sudaryti taip, kad nebūtų dalybos iš mažo skaičiaus. Aritmetinių veiksmų paklaidos (pavyzdžiai) Aritmetinių veiksmų eiliškumas Sumavimas: 0, , , 004 = 0, Aritmetika su trimis reikšminiais skaitmenimis: (0, , 0044)+0, 004 = 0, , 004 = 0, , 99 +(0, , 004) =0, , 0086 = 0, 999. Apvalinimo paklaida 3 taisyklė. Algoritmą reikia sudaryti taip, kad skaičiai būtų sudedami jų didėjimo tvarka kompiuterių aritmetikoje skaičių perstatomumo ir jungiamumo dėsnis veikia ne visada. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 9/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 30/36

6 1 Apskaičiuokime daugianario reikšmę taške x = c. 1 algoritmas Atskirai apskaičiuokime x, x,...,x n, po to n a i x i i=1 f (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 f := a 0 su visais i nuo 1 iki n x i := 1 su visais j nuo 1 iki i x i := x i c ciklo pagal j pabaiga f := f + a i x i ciklo pagal i pabaiga ( n)+n = n(n+1) + n = n(n+3) daugybos veiksmų n sudėties veiksmų Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 31/36 Apskaičiuokime daugianario reikšmę taške x=c: f (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 algoritmas f := a 0 x i := c su visais i nuo 1 iki n f := f + a i x i x i := x i c ciklo pagal i pabaiga Kai n 1 n daugybos veiksmų n sudėties veiksmų 1 algoritmo daugybų skaičius n(n + 3) = = 0, 5(n+3). algoritmo daugybų skaičius (n) algoritmas taupesnis už 1 algoritmą 0,5(n+3) kartų. Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 3/ algoritmas Hornerio schema f (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =( ((a n x + a n 1 )x + a n )x + + a 1 )x + a 0 f := a n su visais i nuo n iki 1 žingsniu -1 f := f c + a i 1 ciklo pagal i pabaiga n daugybos veiksmų n sudėties veiksmų 3 algoritmas: daugybos veiksmų sumažėja kartus, palyginti su algoritmu. Reikšminiai skaitmenys (angl. Significant Digits ) Reikšminis skaitmuo Skaitmuo, turintis įtakos skaičiaus reikšmei. Jį pašalinus, pakinta skaičiaus reikšmė visi skaitmenys reikšminiai, 50,500 - du paskutiniai skaitmenys (nuliai) nereikšminiai. 3-bitų sistemose: 7 reikšminiai skaitmenys; 64-bitų sistemose: 17 reikšminių skaitmenų; Dvigubas tikslumas (double precision): apvalinimo paklaida sumažinama, skaičiavimo laikas (CPU time) didėja. π = 3, transcendentinis skaičius skaičiuojant naudojama jo aproksimacija (pvz., 3,14 arba /7; 3,14159 didesniam tikslumui). e =, = 1, Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 33/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 34/36 Nereikšminiai skaitmenys Slankiojo kablelio skaičiai 3, 5/1, 96 = 1, (MATLAB) Praktiškai atsakymas suapvalintas 1, 65 arba 1, 66. Kodėl? Nežinomas yra sekantis (po šimtųjų) reikšmingas skaitmuo: { 3, 59/1, 960 = 1, , 3, 50/1, 969 = 1, { 3, 54/1, 955 = 1, , 3, 45/1, 964 = 1, Realieji skaičiai (floating-point numbers - slankiojo kablelio skaičiai). sign signed exponent mantissa sign (ženklas) 1 (neigiamiems) arba 0 (teigiamiems) exponent (laipsnio rodiklis) teigiamas arba neigiamas mantissa (skaičiaus mantisė) reikšminiai skaitmenys Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 35/36 Skaitiniai metodai (MIF VU) Komp.aritmetika ir algoritmai 36/36