Turinys. Turinys: Kurso tikslai. Olga Štikonienė. privalumus ir trūkumus); Tiesines algebros uždaviniai

Transcription

1 Turinys Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Olga Štikonienė Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU Istorinė apžvalga TLS sprendimas 3 4 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 58 Kurso tikslai Turinys: Įvertinti skirtingus skaitinius sprendimo metodus (žinant jų privalumus ir trūkumus); Įgyti galimybę skaitiškai spręsti taikomuosius uždavinius Sandas: Supažindinama su skaitiniais metodais sprendžiant įvairaus tipo tiesinės algebros uždavinius Pateikiami teoriniai tokių uždavinių stabilumo ir konvergavimo analizės pagrindai Supažindinama su aprioriniais ir aposterioriniais paklaidos nustatymo būdais Mokoma kaip įveikti skaičiavimo metu iškylančius įvairius sunkumus Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 3 / 58 Tiesines algebros uždaviniai Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Tikrinių reikšmių uždavinys Atvirkštinių ir pseudoatvirkštinių matricų radimas Matricinių daugianarių ir matricinių lygčių sprendimas Tiesinių lygčių sistemų tiesioginiai sprendimo metodai Tiesinių lygčių sistemų iteraciniai sprendimo metodai 3 Tiesinių lygčių sistemų variaciniai sprendimo metodai Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 4 / 58 Literatūra Ten surprises from numerical linear algebra VBūda, RČiegis Skaičiuojamoji matematika, Vilnius: TEV, 997 BKvedaras, MSapagovas Skaičiavimo metodai, V: Mintis, LN Trefethen, D Baw Numerical Linear Algebra, SIAM, JW Demmel Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, E Suli and D F Mayers An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 3 6 CDMeyer Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 7 JHMathews, KDFink Numerical methods Using MATLAB, Prentice Hall, AQuarteroni, FSaleri and P Gervasio Scientific Computing with MATLAB and Octave Springer, 9 AQuarteroni, RSacco, FSaleri Numerical Mathematics, Springer, wwwjohndcookcom/blog////ten-surprises-from-numerical-linear-algebra/ Here are ten things about numerical linear algebra that you may find surprising if you re not familiar with the field Numerical linear algebra applies very advanced mathematics to solve problems that can be stated with high school mathematics Practical applications often require solving enormous systems of equations, millions or even billions of variables 3 The heart of Google is an enormous linear algebra problem PageRank is essentially an eigenvalue problem 4 The efficiency of solving very large systems of equations has benefited at least as much from advances in algorithms as from Moore s law 5 Many practical problems optimization, differential equations, signal processing, etc boil down to solving linear systems, even when the original problems are non-linear Finite element software, for example, spends nearly all its time solving linear equations 6 A system of a million equations can sometimes be solved on an ordinary PC in under a millisecond, depending on the structure of the equations 7 Iterative methods, methods that in theory require an infinite number of steps to solve a problem, are often faster and more accurate than direct methods, methods that in theory produce an exact answer in a finite number of steps 8 There are many theorems bounding the error in solutions produced on real computers That is, the theorems don t just bound the error from hypothetical calculations carried out in exact arithmetic but bound the error from arithmetic as carried out in floating point arithmetic on computer hardware 9 It is hardly ever necessary to compute the inverse of a matrix There is remarkably mature software for numerical linear algebra Brilliant people have worked on this software for many years Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 5 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 6 / 58 p(x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a x + a q(x) = d 5 x 5 + d 4 x 4 + d 3 x 3 + d x + d x + d Here are three more examples of problems that can be solved in principle by a finite sequence of elementary operations, like rootfinding for p (i) Linear equations: solve a system of n linear equations in n unknowns (ii) Linear programming: minimize a linear function of n variables subject to m linear constraints (iii) Traveling salesman problem: find the shortest tour between n cities And here are five that, like rootfinding for q, cannot generally be solved in this manner (iv) Find an eigenvalue of an n n matrix (v) Minimize a function of several variables (vi) Evaluate an integral (vii) Solve an ordinary differential equation (ODE) (viii) Solve a partial differential equation (PDE) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 7 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 8 / 58

2 Istorinė apžvalga Gene Golub / History of Numerical Linear Algebra Istorinė apžvalga Top Ten Algorithms in Science (Dongarra and Sullivan, ) Numerical analysis motivated the development of the earliest computers Ballistics Solution of PDE s Data Analysis Early pioneers included: J von Neumann A M Turing In the beginning von Neumann & Goldstine (947): Numerical Inversion of Matrices of High Order Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 9 / 58 Metropolis Algorithm (Monte Carlo method) (946) Simplex Method for Linear Programming (947) 3 Krylov Subspace Iteration Methods (95) 4 The Decompositional Approach to Matrix Computations (95) 5 The Fortran Optimizing Compiler (957) 6 QR Algorithm for Computing Eigenvalues (959-6) 7 Quicksort Algorithm for Sorting (96) 8 Fast Fourier Transform (965) 9 Integer Relation Detection Algorithm (977) Fast Multipole Method (987) Red: Algorithms within the exclusive domain of numerical linear algebra (NLA) research Blue: Algorithms strongly (though not exclusively) connected to NLA research Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 58 Istorinė apžvalga Stability and Well-Posedness: Algorithm vs Problem Istorinė apžvalga A Little Bit About Gaussian Elimination Fundamentally important to distinguish between the conditioning of the problem and the stability of the algorithm Even if an algorithm is stable, not all problems can be solved using it Making the problem well-posed responsibility of modeller Making the algorithm stable responsibility of numerical analyst A good algorithm is one for which a small change in the input of a well-posed problem causes a small change in the output Computational efficiency Theoretically solving a problem is NOT equivalent that it could be solved with computer because of the computational efficiency! In general, an O(n 4 ) algorithm is unacceptable! Not off to a good start: The famous statistician Hotelling derived bounds so pessimistic that he recommended not to use it for large problems But there s a happy end: Goldstine and von Neumann s analysis of the Cholesky method for fixed point arithmetic Wilkinson s complete round-off error analysis of Gaussian Elimination in 96 Those developments were turning points for GE and it has become one of the most commonly used algorithms Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas / 58 Taikymai TLS sprendimas TLS sprendimas Tiesinė lygčių sistema Žaliavos Žal norma, gaminant batų pora Žal sanaudos tipai Batai Basutės Aulinukai dienai S S 9 S Tegul kasdien gaminama x porų batų, x porų basučių ir x 3 porų aulinukų 5x + 3x + 4x 3 = 7 x + x + x 3 = 9 3x + x + x 3 = 6 a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a n x + a n x + + a nn x n = b n, Lygčių sistema patogu užrašyti matriciniu pavidalu a a a n Ax = b arba a a a n a n a n a nn x x x n = b b b n Atsakymas: x =, x = 3, x 3 = Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 3 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 4 / 58 TLS sprendimas Matricų atskiri atvejai (žymėjimai) TLS sprendimas Juostinės matricos įstrižaininė matrica D = d d d 33 d 44 apatinė trikampė matrica a L = a a a 3 a 3 a 33 a 4 a 4 a 43 a 44 vienetinė matrica AI = IA = A I = viršutinė trikampė matrica U = a a a 3 a 4 a a 3 a 4 a 33 a 34 a 44 Juostinės matricos išskyrus juostas prie pagrindinės įstrižaines visi kiti elementai yra nuliniai Triįstrižainė matrica trys nenulinės įstrižainės a a T = a a a 3 a 3 a 33 a 34 a 43 a 44 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 5 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 6 / 58

3 Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas - mažos matricos Blogai salygotas uždavinys Blogai sąlygotas uždavinys Graffinis sprendimas Gra det A,, Kai lygc iu sistemoje nedaug galima lengvai išspresti: Grafinis sprendimas; det A = x x = 3 Kramerio metodas; Kintamuju eliminavimas Graffinis sprendimas Gra Sprendinių nėra x x 3 x x 3 Graffinis Gra pertvarkome Vienintelis sprendinys sprendimas x x 3 x 3 x x = 3,x det A Be galogra daug sprendinių Graf finis sprendimas det A x + x = 3 x x = x x = 3 Sprendiniu ne ra Vienintelis sprendinys A = x x = 3 x x = 3 = 3; A = 6x 3x = 9 a x + a x = b a x + a x = b = ; A = 6 3 det A = = Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas =, b a b a Krypc iu koeficientai beveik lygus aa aa Kas atsitinka, kai TLS determinantas yra mažas? Be galo daug sprendiniu Analize ( x = aa x + x = aa x + 6 3, 7 / 58 a a a a det A = - tiesiškai priklausoma sistema Dalyba iš mažo skaic iaus : didele apvalinimo paklaida Reikšminiu skaitmenu praradimas Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas 8 / 58 Grafinis sprendimas: 3 lygtys Tiesiniu lygc iu sistemu (TLS) sprendimas Sistemos Ax = b vienintelis sprendinys egzistuoja, jei det A 6= Kramerio taisykle : det Ai xi = det A Pavyzdys: kompiuteriui, atliekanc iam operaciju/sec, 9 operaciju/sec (ty giga reikalinga: flops), reikalinga: = 3 3x y z x + 3y z = x+y z = 5 Graffinis sprendimas: Gra sprendimas: 3 lygtys MATLAB: xx=-::; yy=-::; [x,y]=meshgrid(xx,yy);»»» xx=-::; yy=-::; [x,y]=meshgrid(xx,yy); z=3*x-*y+3; z=-*x+3*y-; z3=x+y-5; surf(x,y,z); f( ) h hold ld on; surf(x,y,z); f( ) surf(x,y,z3); f( 3)»» z=3*x-*y+3; z=-*x+3*y-; z3=x+y-5;» surf(x,y,z); hold on; surf(x,y,z); surf(x,y,z3); n = 5 sec, n = 5 valandu, n = 34 metu, n = 34 min, n = 43 metai, n = metai, skaic iuojant determinantus pagal apibre žima (arba skleidžiant eilute) Alternatyva Tiesioginiai sprendimo metodai; Iteraciniai metodai Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas 9 / 58 Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas / 58 Tiesiniu lygc iu sistemu (TLS) sprendimas Tiesiniu lygc iu sistemu (TLS) sprendimas TLS Ax = b sprendimo metodu apžvalga Tiesioginiai metodai Iteraciniai metodai (< 4 nežinomuju) Tikslus sprendinys gaunamas per baigtini žingsniu skaic iu (< 7 nežinomuju) Randamas apytikslis sprendinys bet kokiu norimu tikslumu TLS Ax = b sprendimo metodu apžvalga Pasirinkimas tarp tiesioginiu ir iteraciniu metodu gali priklausyti nuo keliu faktoriu: teorinis metodo efektyvumas, Gauso; Jakobio; matricos tipas, Skaidos; Zeidelio; atminties laikymo reikalavimai, Choleckio; Relaksacijos; kompiuteriu architektu ra Perkelties Mišrusis; Variaciniai metodai (> 7 nežinomuju) Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas / 58 Nuoseklus nežinomuju šalinimas; (< 4 nežinomuju) Tikslus sprendinys gaunamas per baigtini žingsniu skaic iu Tiesioginiai metodai Skaidos metodai Axi = bi, i =,, m Choleckio metodas - taikomas, kai matrica A simetrine ir teigiamai apibre žta Perkelties algoritmas - sprendžia TLS su triistrižaine matrica Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas / 58 TLS Ax = b tiesioginiai sprendimo metodai Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas Sistemos matricos pertvarkymas i viršutine trikampe matrica a a an a a an a a n a a an A= U = an an ann a nn Sprendinys randamas iš pertvarkytosios sistemos Pirmoji lygtis yra pagrindine lygtis, a yra pagrindinis elementas (iš jo dalijama visa lygtis) ir tt (a ii ) Paprastas : a ii 6= 3 / 58 Tiesiniu lygc iu sistemu sprendimas 4 / 58

4 Gauso metodo esmė Tiesioginis metodas (nėra iteracijų) Tiesioginė eiga: Elementų po pagrindine įstrižaine nuoseklus šalinimas stulpeliuose; Suvedimas į viršutinę trikampę matrica Atbulinė eiga: Gaunamas sprendinys x = (x, x,, x n ) Ekvivalentieji pertvarkiai: Lygtis dauginama iš skaičiaus, nelygaus nuliui; Dvi lygtys keičiamos vietomis; Lygtis, padauginta iš skaičiaus, pridedama prie kitos lygties Gauso metodo algoritmas Tiesioginė eiga Su visais j : j =,, n su visais k : k = j +,, n j-aji lygtis dauginama iš a kj /a jj ir atimama iš k-osios lygties Gauname viršutinę trikampę matrica Atbulinė eiga ) apskaičiuojame x n : x n = b (n ) n /a (n ) nn ) įstatome x n į (n )-ajį lygtį ir randame x n ; 3) analogiškai kartojame ) ir apskaičiuojame x n, x n 3, x Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 5 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 6 / 58 - analizė (Ax = b) Jei a ir l i := ai a, l G =, L l := I G := l n l n Akivaizdu, kad po pirmojo kintamojo eliminavimo: a a a n A () a a n = L A =, b() = L b a n a nn Ekvivalenti sistema A () x = b () Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 7 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 8 / 58 Analogiškai po antro GM žingsnio A () x = b (), čia A () = L A (), b = L b (), a a a 3 a n A () a a 3 a n = a 33 a 3n, L = l 3, a n3 a nn l n b () = { b, b, b 3,, b n} Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 9 / 58 - analizė ( Ax = b) Jei a k kk G k = ir l ik := ak ik a k kk, l k+,k, L k = l nk l k+,k l nk Po kojo kintamojo eliminavimo: a a a 3 a n A (k) = L k A (k ) a (k ) kk a (k ) kn = a (k) k+,k+ a (k), k+,n a (k) n,k+ a (k) n,n Ekvivalenti sistema A (k) x = b (k) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 3 / 58 Po n žingsnio gausime A (n ) x = b (n ), A (n ) = L n A (n ), b (n ) = L n b (n ), a a a 3 a n a A (n ) a 3 a n = a 33 a 3n, L n =, a (n ) nn ln,n b (n ) = {b, b, b 3,, bn n } Gauname u u u n u u n Ux = d u nn x x x n = d d d n Pavyzdys - Pažymėkime l kj = akj a jj l = l 3 = l 4 = 6 ( lygtis) l ( lygtis) (3 lygtis) l 3 ( lygtis) (4 lygtis) l 4 ( lygtis) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 3 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 3 / 58

5 Pavyzdys - kintamųjų šalinimas l 3 = / l 4 = (3 lygtis) l 3 ( lygtis) (4 lygtis) l 4 ( lygtis) Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 33 / 58 Pavyzdys - kintamųjų šalinimas ir atbulinė eiga x 4 = 33 7 = 33 7, x 3 =4x 4 = 4 35, 5 x = x 3 = 8 35, x = x 3 3x 4 = 3 7 l 43 = 4 (4 lygtis) l 43 (3 lygtis) Sprendinys X = 33/7 4/35 8/35 3/7 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 34 / 58 Gauso metodo skaičiavimo apimtis Gauso metodo skaiciavimo apimtis Svarbi, kai matricos yra dideles Computational work estimate: one floating-point operation (flop) is one multiplication (or division) and possibly addition (or subtraction) as in y = a x + b, where a, x, b and y are computer representations of real scalars Tiesioginė eiga O( 3 n3 ) aritmetinių veiksmų; Atbulinė eiga O( n ) aritmetinių veiksmų Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 35 / 58 Išorinis ciklas Vidinis ciklas +/ / j k veiksmai veiksmai, n (n )n (n )(n + ) 3, n (n )(n ) (n )n j j +, n (n j)(n j + ) (n j)(n j + ) n n, n 3 Tiesiogines eigos bendroji skaiciavimo apimtis = n 3 /3 + O(n ) aritmetiniu operaciju Atbulines eigos bendroji skaiciavimo apimtis = n + O(n) aritmetiniu operaciju Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 36 / 58 Skaičiavimo operacijų apimtis Apvalinimo paklaidos Slankaus kablelio operacijų skaičius Gauso metodui n n Ties Atbul Bendras 3 3 % eiga eiga veiksmų sk Ties eiga , 58% , 53% 6, , , , 85% Augant n sparčiai didėja skaičiavimo laikas Daugiausiai veiksmų reikalauja tiesioginė eiga Metodo efektyvumas labiausiai priklauso nuo tiesioginės eigos Didelė dalis skaičiavimų su 3 n3 operacijų Svarbu paklaida didėja Didelėms sistemoms (virš lygčių), apvalinimo paklaida gali būti pakankamai didelė Blogai salygoti uždaviniai maži koeficientų pokyčiai lemia didelius sprendinių pokyčius Apvalinimo paklaidų analizė ypač svarbi blogai salygotiems uždaviniams Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 37 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 38 / 58 Determinantas Pagrindinio elemento parinkimas Skaičiuojamas naudojant Gauso metoda: a a a 3 a n a a a 3 a n a a a 3 a n A = a 3 a 3 a 33 a 3n U = ã ã 3 ã n ã 33 ã 3n a n a n a n3 a nn ã nn det A = det U = a ã ã nn Gauso metodo galimi sunkumai Dalyba iš nulio Apvalinimo paklaidos Blogai salygoti uždaviniai Pagrindinio elemento parinkimas nereikalingas, jei Išpildyta pagrindinės įstrižainės vyravimo salyga a ii > n j=,j i a ji, i =,, n Matrica A yra simetrinė ir teigiamai apibrėžta A T = A, x (Ax, x) = x T Ax > Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 39 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 4 / 58

6 Pagrindinio elemento parinkimo būdai Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų: Pagrindinis elementas parenkamas iš stulpelio elementų Šios dvi lygtis sukeičiamos vietomis iš eilutes elementų: Pagrindinis elementas parenkamas iš pertvarkomos eilutes elementų Sukeičiamos vietomis matricos A stulpeliai ir įsimenama naujoji nežinomųjų tvarka 3 pagal lygties koeficientų modulių suma: Kiekvienoje lygtyje randamas didžiausiai koeficientas, iš jo padalijama atitinkama lygtis Lygtys sukeičiamos vietomis, pernumeruojami nežinomieji Pertvarkant k-aj a eilutę, randama kita lygtis, kurioje koeficientas prie x k yra didžiausias; pažymėkime šios lygties numerį m; šiuo atveju pagrindinis elementas yra a mk = max kin a ik Šios dvi lygtys sukeičiamos vietomis, ir m-osios lygties koeficientas prie x k tampa pagrindiniu elementu iš jo dalijami eilutės elementai Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 4 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 4 / 58 Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys I Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys II x +x 3 + 3x 4 = x +x +x 3 3x 4 = x +x 3 + 4x 4 = 6x +x +x 3 + 4x 4 = Keičiamos ir 4 eilutės /3 7/3 7/3 4 /3 5/3 7/3 5/6 5/6 f = /6 f 3 = f 4 = /6 ( lygtis) ( lygtis) f (3 lygtis) ( lygtis) f 3 (4 lygtis) ( lygtis) f 4 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 43 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 44 / 58 Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys III Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementų - pavyzdys IV 6 4 7/3 7/3 7/3 4 /3 5/3 7/ /3 7/3 7/3 5/6 5 33/4 5/7 5/6 5/6 keitimų nėra f 3 = 3/7 f 4 = /7 (3 lygtis) ( lygtis) f 3 (4 lygtis) ( lygtis) f /3 7/3 7/3 5 5/6 5/7 33/4 x 4 = 33 7, x 3 = ( 5 7 x 4) = 4 35, x = ( x x 3) 3 7 = 8 35, x = ( 4x 4 x 3 x ) 6 = 3 7 keičiamos 3 ir 4 eilutės f 43 = Sprendinys X = Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 45 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 46 / 58 Pagrindinio elemento parinkimas iš eilutės elementų Pagrindinio elemento parinkimas pagal lygties koeficientų modulių suma Kiekvienoje lygtyje randamas didžiausiai koeficientas ir iš jo padalijama atitinkama lygtis: Pertvarkant k-aj a eilutę, didžiausias jos koeficientas (pažymėkime jo numerį m) yra a km = max a kj kjn Radus pagrindinį elementa, pernumeruojami abu nežinomieji x k ir x m ; įsimenama naujoji nežinomųjų tvarka a imi = max kjn a ij, k i j, a ij = a ij a imi, k i, j n Lygtys sukeičiamos vietomis taip, kad k-aja lygtimi taptų ta (pažymėkime jos numerį m), kurios koeficientų modulių suma yra mažiausia: n n min a ij = a mj kin j=k j=k 3 Nežinomieji pernumeruojami taip, kad nežinomasis su didžiausiuoju koeficientu būtu x k Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 47 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 48 / 58

7 Pavyzdys (R Čiegio, V Būdos vadov 68 p ) Kiekviena lygtis dalijama iš atitinkamo didžiausiojo koeficiento: Σ a ij,, 5,, 5,,, 5,, 4,, 6 5 Antra lygtis (mažiaus koef modulių suma) sukeičiama su pirmaj a vietomis: x x x 3 - pagrindinis elementas,, 5,,, 4, 3 Pernumeruojami nežinomieji ir atliekamas Gauso metodo tiesioginės eigos žingsnis: x x x 3 x x x 3,, 5,, 4,,,, 5, 99, 4, 96, 98 4 Analogiškai nustatomas kitas pagrinsinis elementas: x x x 3 Σ a ij,, 5, 44, 98,, 44, 48, 98, Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 49 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 5 / 58 5 x x x 3 x x x 3,, 5, 44, 4 Tikslumas,, 398, 9 x, 3, 3,, 5, 44, 37 Triįstrižainė matrica trys nenulinės įstrižainės Juostinių matricų atskiras atvejis Saugojama 3 n elementų vietoje n n b c a b c a i b i c i a n b n c n a n b n x x x i x n x n = d d d i d n d n Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 5 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 5 / 58 Perkelties metodas Perkelties metodas bx cx d ax bx cx d 3 ax bx cx d i i i i i i i anxn bnxn cnxn dn ax n n bx n n dn c d c d x x ; pažymėkime C, D ; b b b b c d ad c d ad x x3 ; C, D ac b ac b ac b ac b ck Ck, k,3,, n; ac k k b k dk akdk D k, k,3,, n ac k k bk xn Dn, x C x D, k n,,, k k k k Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 53 / 58 Perkelties metodo algoritmas Thomas algorithm, tridiagonal matrix algorithm (angl) Tiesioginė eiga Atbulinė eiga C = c, D = d ; b b c k C k =, k =, 3, n ; a k C k + b k D k = d k a k D k a k C k + b k, k =, 3, n x n = D n ; x k = C k x k+ + D k, k = n, n, Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 54 / 58 Perkelties metodo pakankama konvergavimo salyga Pavyzdys Pagrindinės įstrižainės vyravimo salyga Jei b i a i + c i, i =,, n ir bent su vienu i galioja griežta nelygybė, tai dalyba iš nulio ar labai mažo skaičiaus perkelties metodo eigoje negalima Perkelties metodu išspręsime sistema x x = x +x x 3 = x +x 3 = Sprendimas: Tiesioginė eiga C = =, D = ; C = + = 3, D = + = 3 3 ; D 3 = = Atbulinė eiga x 3 =, x = C x 3 + D =, x = C x + D = Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 55 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 56 / 58

8 Perkelties metodo skaičiavimo apimtis Perkelties metodas: Skaičiavimo apimtis C = c, D = d ; b b c k C k =, k =, 3, n ; a k C k + b k D k = d k a k D k a k C k + b k, k =, 3, n x n = D n ; x k = C k x k+ + D k, k = n, n, Pirmojo etapo bendroji skaičiavimo apimtis = 6n 5 Antrojo etapo bendroji skaičiavimo apimtis = n Tiesioginė eiga Daugybų / Dalybų: +4(n )+3 = 4n 3; Sudėčių / Atimčių (n ) + = n Atbulinė eiga Daugybų n ; Sudėčių n Iš viso proporcinga 8n, kai n : O( 3 n3 ) aritmetinių operacijų; Perkelties metodas: O(8n) aritmetinių operacijų Perkelties metodas n kartu greičiau nei sprendžia triįstrižaines lygčių sistemos Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 57 / 58 Tiesinių lygčių sistemų sprendimas 58 / 58