Turinys. Kurso struktūra. 2 Diferencialinės lygtys. 4 Matematinių modelių pavyzdžiai

Transcription

1 Turins ir matematiniai modeliai 26 CHAPTER INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS paskaita Olga Štikonienė d Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos d W. T katedra, MIF VU WHAT LIES AHEAD Throughout this tet ou will see three different tpes of approaches to, or analses of, differential equations. Over the centuries differential equations would often spring from the efforts of a scientist or engineer to describe some phsical phenomenon or to translate an empirical or eperimental law into mathematical terms. As a consequence a scientist, engineer, or mathematician would often spend man ears of his or her life tring to find the solutions of a DE. With a Olga Štikonienė (FDM MIF VU) solution Diferencialinės in hand, the stud lgts of itsproperties paskaitathen followed. This quest for solutions is / 5 called b some the analtical approach to differential equations. Once the realized that eplicit solutions are at best difficult to obtain and at worst impossible to obtain, mathematicians learned that a differential equation itself could be a font of valuable information. It is possible, in some instances, to glean directl from the differential equation answers to questions such as Does the DE actuall have solutions? If a solution Kurso of the struktūra DE eists and Tikslai satisfies ir programa an initial condition, is it the onl such solution? What are some of the properties of the unknown solutions? What can we sa about the geometr of the solution curves? Such an approach is qualitative analsis. Finall, if a differential equation cannot be solved b analtical methods, et we can prove that a solution eists, the net logical quer is Can we somehow approimate the values of an unknown solution? Here we enter the realm of numerical analsis. An affirmative answer to the last question stems from the fact that a differential equation can be used as a cornerstone for constructing ver accurate approimation algorithms. In Chapter 2 we start with qualitative considerations of first-order ODEs, then eamine analtical stratagems for solving some special first-order equations, and conclude with an introduction to an elementar numerical method. See Figure.3.8. Kurso tikslai Because of static equilibrium we can write T T 2 cos and W T 2 sin. B dividing the last equation b the first, we eliminate T 2 and get tan W T. But because d d tan, we arrive at This simple first-order differential equation serves as a model for both the shape of a fleible wire such as a telephone wire hanging under its own weight and the shape of the cables that support the roadbed of a suspension bridge. We will come back to equation (6) in Eercises 2.2 and Section 5.3. Plačiau susipažinti su diferencialinių lgčių teorija ir mokėti pritaikti įgtas žinias realių reiškinių modeliavime. Kurse pateikiami analiziniai, kokbiniai, skaitiniai diferencialinių lgčių trimo metodai, tai iliustruojant modeliavimo pavzdžiais. '=f() (a) analtical (b) qualitative (c) numerical FIGURE.3.8 Different approaches to the stud of differential equations iš kngos D.G. Zill, M.R. Cullen, Differential Equations with Boundar-Value Problems. (6) Kurso struktūra Tikslai ir programa 2 3 ir matematiniai modeliai Modeliavimas Matematinio modeliavimo etapai 4 Matematinių modelių pavzdžiai Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Turins: Kurso struktūra Tikslai ir programa Matematiniai modeliai, aprašomi diferencialinėmis lgtimis. 2 Įvadas į kokbinę paprastųjų diferencialinių lgčių teorija: Fazinis srautas. Autonominės sistemos. Fazinių portretų klasifikacija plokštumoje. Evoliucijos operatorius. Tiesinės nehomogeninės sistemos. Netiesinės sistemos plokštumoje. Pirmieji integralai. Taikmai modeliavime. 3 Skaitiniai paprastųjų diferencialinių lgčių sprendimo metodai: Pagrindinės savokos. Lgties aproksimacija, metodo stabilumas ir konvergavimas. Vienažingsniai metodai. Rungės ir Kuto metodai. 4 Matematinės fizikos lgts: Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas. Matematiniai modeliai: šilumos laidumo lgtis, hidrodinamikos ir akustikos lgts, stgos svravimas, atsitiktinis judėjimas, geometrinė optika. Pradinės ir kraštinės salgos. Pirmosios eilės lgts. Kvazitiesinė lgtis. Charakteristikų metodas. Sprendinio egzistavimas ir vienatis. Dviejų nepriklausomų kintamųjų antros eilės tiesinės lgts, jų klasifikacija, suvedimas į kanoninį pavidala. Hiperbolinės, parabolinės ir elipsinės lgts. Stgos lgtis. Dalambero formulė. Furjė metodas hiperbolinių ir parabolinių lgčių atvejais. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

2 Kurso struktūra: Kurso struktūra Tikslai ir programa Literatūra Kurso struktūra Tikslai ir programa Paskaitos (koliokviumas) Pratbos (kontrolinis darbas) Pažms = Egz + Kol + KD 0 = Arrowsmith, D. K.; Place, C. M., Dnamical Sstems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. Chapman Hall, A.Ambrazevičius, Įvadas į kokbinę paprastųjų diferencialinių lgčių teorija. Paskaitų konspektai, Y. Pinchover and J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge Universit Press, C.H. Edwards, D.E. Penne, Differential Equations and Boundar Value Problems: Computing and Modeling, Prentice-Hall, D G. Zill, M.R. Cullen, Differential Equations with Boundar-Value Problems. Cengage Learning, J.C. Robinson, An introduction to ordinar differential equations. Cambridge Universit Press, Wei-Bin Zhang, Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics. World Scientific Publishing Compan, William E. Boce, Richard C. DiPrima, Elementar differential equations and boundar value problems. John Wile&Sons, P. Golokvosčius,. Vilnius, TEV, Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Žmėjimai Sritimi vadinama atviroji ir jungioji aibė. Jeigu D ra atviroji aibė, tuomet kiekvienas tos aibės taškas ra vidinis. Realiųjų skaičių tiesėje R jungiosios aibės ra intervalai (a; b), [a; b), (a; b], [a; b], a, b R. Srits ra tik atvirieji intervalai I = (a; b), ( ; b), (a; + ) ir pati tiesė R = ( ; + ). Žmėsime R = [ ; + ], R + = (0; + ), R = ( ; 0). Funkcija f vadinamas atvaizdis f : R n R, o f (,..., n ) žmima funkcijos reikšmė taške (,..., n ) R n, tačiau dažnai patogu taip žmėti ir pačia funkcija, kai reikia nurodti jos argumentus. Laiksime, kad visos nagrinėjamos funkcijos ra toldžios savo argumentų atžvilgiu, t.. f C(D), čia D ra sritis. Funkcija f (,..., n ) ra toldžiai diferencijuojama sritje D, t.. F C (D), jeigu visuose šios srities taškuose ji diferencijuojama ir dalinės išvestinės ra toldžios. Funkcija f (,..., n ) vadinama glodžia sritje D, jeigu F C (D). Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Funkcijos = f () išvestinės gali būti žmimos:,,, (n), f (), f (), f (n) (), d d, Tašku virš kintamojo dažniausiai žmėsime funkcijos = (t) išvestines pagal kintamajį t, kurio prasmė dažnai ra laikas, ẋ := d, ẍ := d2 2, (n) = dn n. 2 u 2 = u : u t + uu = cu, u + u + u zz = 0. d n, ẏ, ÿ. dn Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

3 (DL) Apibrėžimas. Paprastaja diferencialine lgtimi (PDL) vadinama lgbė, į kuria įeina nepriklausomas kintamasis, ieškoma (nežinoma) funkcija () ir jos išvestinės: F (,,,..., (n)) = 0. Laikoma, kad F(,, p,..., p n ) ra toldi visų savo argumentų atžvilgiu ir būtinai priklauso nuo argumento p n. PDL pavzdžiai: = sin, + e = 0, e + = 0. Paprastoji diferencialinė lgtis (PDL), angl. ODE (ordinar differential equation) reikia rasti vieno kintamojo funkcija: du = g c m u2, čia u(t); DL dalinėmis išvestinėmis, angl. PDE (partial differential equation) reikia rasti kelių kintamųjų funkcija: u t + u u = c 2 u 2, čia 2 u u u = 0, čia z2 u(t, ); u(,, z). Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Diferencialinės lgties eilė Apibrėžimas. Diferencialinės lgties eile vadinama didžiausios išvestinės eilė diferencialinėje lgtje. -os eilės DL (parašiutininko kritimas) du = g c m u2 ; 2-os eilės DL (svarelio- spruoklės sistema su trintimi) Jeigu lgtis (nebūtinai DL) F(,, p,..., p n ) = 0 aprašoma glodžiaja funkcija F ir taške ( 0, 0, p 0,..., p0 n) išpildta salga F p n ( 0, 0, p 0,..., p 0 n) 0, tuomet (remdamiesi neišreikštinės funkcijos teorema) lgtį galima išspręsti p n atžvilgiu taško ( 0, 0, p 0,..., p0 n) aplinkoje: ir t.t. n-osios eilės m d2 2 cd + k = 0; F (,,,..., (n)) = 0. p n = f (,, p,..., p n ), čia f ra glodi kintamųjų (,, p,..., p n ) funkcija. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

4 DL kanoninis pavidalas Neišreikštinė diferencialinė lgtis Apibrėžimas. DL ra užrašta kanoniniu (išreikštiniu) pavidalu, jei lgtis išspręsta aukščiausiosios eilės išvestinės atžvilgiu: (n) = f (,,,..., (n )). Pavzds. DL + e = 0 kanoninis pavidalas ra = + e +. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 DL F (,,,..., (n)) = 0. vadinama neišreikštine diferencialine lgtimi. PDL pavzdžiai: = sin - išreikštinė DL; + e = 0 - neišreikštinė DL; e + = - iš esmės neišreikštinė, nes negalima išreikšti jokia elementariaja funkcija. Neišreikštinės DL F (,,,..., (n)) = 0 apibrėžimo sritis ra sritis D F R n+2, kurioje funkcija F(,, p,..., p n ) ra toldi kintamųjų (,, p,..., p n ) atžvilgiu. Jeigu D F nėra jungioji aibė, tuomet nagrinėsime DL kiekvienoje jungumo aibėje atskirai, t.. laiksime, kad ta pati lgbė apibrėžia keleta DL. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 DL F(,,,..., (n) ) = 0 apibrėžimo sritis D - 0 D 2 DL = ( 2 ) apibrėžimo srits. DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas. Jeigu sprendins ra apibrėžtas intervale (a; b), tai ta pati funkcija bus sprendins ir intervale (a ; b ) (a; b). Laiksime, kad I = (A; B) ra maksimalus toks intervalas. Sprendiniai, apibrėžti tokiame intervale, vadinami maksimaliaisiais. Pagal nutlėjima sprendinį suprasime kaip maksimalųjį. f ( 0,( 0)) = tg A D a f 0 b B Akivaizdu, kad DL, užraštos kanoniniu pavidalu (n) = f (,,,..., (n )), apibrėžimo sritis ra D F = D f R, čia D f ra sritis, kurioje ra apibrėžta ir toldi funkcija f (,,,..., (n ) ). Sritis D f vadinama išreikštinės DL apibrėžimo sritimi. DL = 2 2 apibrėžimo sritis DL = 2 2 dešinioji pusė apibrėžta uždarame skritulje {(, ): }, o DL apibrėžimo sritis D f ra vienetinis atvirasis skrituls su centru koordinačių pradžioje : D f = {(, ): < }. Pirmosios eilės DL = f (, ) kanoninis pavidalas dar vadinamas normaliuoju. Df 0 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

5 Pirmosios eilės DL simetrinis pavidalas Jeigu v, w C(D), sritis D R 2 ir v(, ) + w(, ) 0, tuomet lgtis v(, )d + w(, )d = 0 () vadinama tiesine homogenine pirmosios eilės diferencialų lgtimi. Jeigu w( 0, 0 ) 0, tuomet DL ra ekvivalenti lgčiai d v(, ) = d w(, ) = f (, ) taško ( 0, 0 ) aplinkoje D f. Jeigu v( 0, 0 ) 0, tuomet DL ra ekvivalenti lgčiai d ) = w(, d v(, ) = g(, ) (apverstoji lgtis) taško ( 0, 0 ) aplinkoje D g. Lgbė () vadinama DL simetriniu pavidalu. DL = / simetrinis pavidalas d + d = 0, apverstoji DL = /. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Tiesinės ir netiesinės PDL Apibrėžimas. n-osios eilės DL F (,,,..., (n)) = 0 ra tiesinė, jei F ra tiesinė pagal,,..., (n), t.. ja galima užrašti a n () dn d n + a n () dn n + + a () d d + a 0() = g(). Tiesinės PDL: nežinomosios funkcijos ir jų išvestinės į reiškinį įeina tiesiškai d 2 θ 2 + g l θ = 0, Netiesinės PDL: kitais atvejais d 2 θ 2 + g d sin θ = 0, l sin θ, u du d, 2 netiesiškumai. d 3 d 3 + d d + 3 = e. 2 u d 2 + udu d = u, d 4 d = 2. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 PDL linearizavimas Diferencialinės lgties sprendiniai Pavzds: svruoklė Netiesinė PDL Glodžioji funkcija ϕ C n (I), vadinama DL sprendiniu, jeigu ja įstatę į DL gauname tapatbę. d 2 θ 2 + g sin θ = 0. l Kartais netiesinė PDL linearizuojama (=> gauta tiesinę PDL galima lengviau išspręsti) Pavzds: mažas kampas θ Netiesinė PDL d 2 θ 2 + g sin θ = 0. l sin θ θ Tiesinė PDL d2 θ 2 + g l θ = 0. DL ( ) 2 = neturi sprendinių; ( ) = 0 turi vienintelį sprendinį 0; DL = visi sprendiniai užrašomi funkcijų šeima priklausančia nuo vieno parametro C: ϕ() = + C, C R. Pastaba. Jeigu sprendins ra apibrėžtas intervale I := (a; b), tai ta pati funkcija bus sprendins ir intervale (α; β) (a; b). Laiksime, kad J = (A; B) ra toks maksimalus intervalas. Sprendins, kurio negalima pratęsti nei į kairę, nei į dešinę, vadinamas pilnuoju sprendiniu, o intervalas J = (A; B) vadinamas sprendinio egzistavimo maksimaliuoju intervalu. Pagal nutlėjima sprendinį suprasime kaip pilnajį. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

6 Diferencialinės lgties sprendiniai Diferencialinė lgtis bus išspręsta, jei rasime visus jos sprendinius. DL sprendinių radima vadinsime DL integravimu, o DL sprendinio grafikas vadinamas integraline kreive. Kiekviena n-osios eilės DL nusako bendra geometrinę integralinių kreivių savbę. Pirmosios eilės DL F(,, ) = 0 apibrėžia koordinačių, ir sprendinio grafiko liestinės polinkio saršį. Pavzdžiui, išreikštinės DL integralinės kreivės liestinės kampo su ašimi tangentas kiekviename taške lgus DL dešiniosios pusės reikšmei tame taške. Antrosios eilės DL apibrėžia koordinačių, sprendinio grafiko liestinės polinkio ir kreivio saršį. Kreivės aprašmas funkcijomis - pavzds Vienetinis apskritimas plokštumoje R 2 su centru koordinačių pradžioje aprašomas (globaliai) neišreikštine glodžiaja funkcija Ψ(, ) := = 0. Pusplokštumėje > 0: = 2, ( ; ), pusplokštumėje < 0: = 2, ( ; ). Tačiau jokia išreikštine funkcija = ψ() negalime aprašti šio apskritimo taškų ( ; 0) ir (; 0) aplinkoje. Šių taškų aplinkoje apskritimas aprašomas funkcijomis = 2, ( ; ) ir = 2, ( ; ), atitinkamai. Mes pasirinkome atviruosius intervalus, kad nekiltų klausimų dėl funkcijų toldumo ir glodumo apibrėžimų. Beje, funkcija = 2, pvz. taške =, ra tik toldi iš kairės ir šiame taške neegzistuoja net vienpusė išvestinė. parametrizuotuoju pavidalu (, ) = (cos t, sin t), t (0; 2π) arba t ( π; π). Pastebėsime, kad šio vienetinio apskritimo atveju, galima globalioji parametrizacija t [0; 2π], nes abi funkcijos = cos t ir = sin t ra apibrėžtos t R ir ra periodinės su periodu 2π. Bendruoju atveju globaliosios Df 0 parametrizacijos gali ir nebūti. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Kreivės aprašmas funkcijomis Jeigu Ψ C (G), čia sritis G R 2, ( 0, 0 ) G, ir Ψ( 0, 0 ) (0, 0) (gradientas Ψ = ( Ψ, Ψ )), tuomet taško ( 0, 0 ) aplinka, kurioje funkcija Ψ apibrėžia kreivę, ir ja galima aprašti trimis būdais: neišreikštine glodžiaja funkcija Ψ : R 2 R, tiksliau lgbe Ψ(, ) = Ψ( 0, 0 ) = C; 2 išreikštine glodžiaja funkcija ψ : I R (arba funkcija = ψ (), ψ C (I ), arba funkcija = ψ (), ψ C (I )); 3 glodžiaja funkcija (ψ, ϕ): I t R 2, t.. parametrizuotuoju pavidalu (, ) = (ψ(t), ϕ(t)), ψ, ϕ C (I t ), ψ (t 0 ) + ϕ (t 0 ) 0, ( 0, 0 ) = (ψ(t 0 ), ϕ(t 0 )). I t t t 0 I (, ) =( t t ) = ( ) = ( ) 0, 0 I 2 z z=, Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 C 0 Diferencialinės lgties sprendiniai Funkcija = (), I, ra lgties F(,,,..., (n) ) = 0 sprendins intervale I R, jei F (, (), (),..., (n) () ) = 0, I. integralinę kreivę (lokaliai) irgi galime užrašti tiek neišreikštiniu, tiek išreikštiniu, tie parametrizuotuoju pavidalu. Todėl žemiau pateikti sprendinių apibrėžimai tėra to pačio sprendinio skirtingi užrašmo būdai. Išreikštinis DL sprendins Funkcija = ϕ(), I R, vadinsime DL F (,,,..., (n)) = 0. išreikštiniu sprendiniu, jei ϕ C n (I); (, ϕ(), ϕ (),..., ϕ (n) () ) D F, I; F (, ϕ(), ϕ (),..., ϕ (n) () ) 0. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

7 Pavzds [Pirmos eilės DL sprendins]. DL = 2 apibrėžta visoje R 2. Funkcija = ra šios DL sprendins intervaluose ( ; 0) ir (0; + ; ), nes kai 0, tai funkcija = C ir ( ) = = ( 2 )2. Taške = 0 sprendins neapibrėžtas, nes jame funkcijos = / reikšmė neapibrėžta. Todėl funkcija = / apibrėžia du sprendinius: viena intervale R, kita R +. Šių sprendinių integralinės kreivės ra hiperbolės šakos. 4pav.DL = 2 integralinės kreivės. grafikai. linės kreivės, kai 5 pav..9 pvz. DL sprendinių 6pav. DL = integra- >0. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5.9 pavzds [Antrosios eilės ]. DL ( ) 2/3 ( ) 2 =0apibrėžta visoje R 4. Funkcija ϕ(; C,C 2)=C 2 + p ( C ) 2 ra šios DL sprendins intervale I =(C ; C +): funkcija ϕ(; C,C 2) C 2 (I), ϕ C (; C,C 2)= p, ( C) 2 ϕ (; C,C 2)= p, ( C) 23 Diferencialinės lgties sprendins ir teisinga tapatbė 2/3 C 2 Dažniausiai DL lgtis p turi be galo daug sprendinių, p 0. ( C) 23 ( ir C) jie sudaro 2 sprendinių šeimas, priklausančias nuo keleto Pastebėsime, kad funkcijos ϕ(; C,C 2)=C 2 p konstantų. ( C ) 2 taip pat ra sprendiniai. DL sprendinių grafikai pavaizduoti 5 pav..5 Lgties Apibrėžimas = [Parametrizuotasis sprendiniai radl = sprendins]. C cosh Funkciją + C 2 sinh su C, C 2 R. Šie sprendiniai sudaro kreivių { šeima, priklausančia nuo dviejų konstantų C, C 2. = ψ(t), t I R t (.5) = ϕ(t), Konstantos C,..., C n, įeinančios į DL sprendinio išraiška, vadinamos vadinsime (.) DL parametrizuotuoju sprendiniu, jei laisvosiomis. Šios konstantos gali įgti bet kokias reikšmes, o kartais ir begalines ) reikšmes, ψ, ϕ C n (I), t.. ψ ±. 0; 2) (ψ(t),ϕ(t), dϕ(t),..., d dϕ(t) (...( ))) D, t I; 3) F (ψ(t),ϕ(t), dϕ(t),..., d dϕ(t) (...( ))) 0..0 pavzds [DL parametrizuotieji sprendiniai]. Sritje >0DL = parametrizuotieji sprendiniai ra (žr. 5 pav.) ( Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Parametrizuotasis DL sprendins Dvi funkcijas = ψ(t), = ϕ(t), t I R t vadinsime DL F (,,,..., (n)) = 0 parametrizuotuoju sprendiniu, jei ψ, ϕ C n (I), ψ 0; Pirmosios ir antrosios eilės išvestines pagal kintamąjį t, kurio p (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) laikas, žmėsime,..., d dϕ(t) (... ( ))) D F, t I; ẋ := d, ẍ := d2 F(ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) 2.,..., d dϕ(t) (... ( ))) 0. Jeigu = (t), = (t), tuomet d d = ẏ ẋ, d 2 d 2 = d ( ẏ ) = d ( ẏ ) = ÿẋ ẏ d ẋ ẋ ẋ ẋ 3. pavzds [Antrosios eilės DL parametrizuotieji sprendiniai]. DL ( 0 parametrizuotieji sprendiniai ra ( = C +cost, t (0; π), = C 2 +sint, Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Bendrasis DL sprendins nes ψ = C +cost, ψ = sin t 0, ϕ = C 2 +sint C Pasinaudodami (.6) formulėmis, randame = cos t sin t, = sin 3 t. Istatę šias išraiškas į DL, gauname tapatbę a a nuo laisvųjų konstantų C 2/3,..., C n, cos ir t 2. + sin 3 t sin t pnagrinėjami parametrizuotieji sprendiniai atitinka išreikštinius spre ( C) 2. Norint gauti sprendinius = C 2 p ( C Bendruoju n-osios eilės DL sprendiniu vadinsime DL sprendinių šeim = ϕ(; C,..., C n ), priklausanči pasižminčia savbe, kad sistema = ϕ(; C,..., C n ), t (π;2π). = ϕ (; C,..., C n ),.6 Apibrėžimas... [Neišreikštinis DL sprendins]. (.) DL sprendinį lgbe Φ(, ) =0,vadinsimeDLneišreikštiniu sprendiniu. (n ) = ϕ (n ) (; C,..., C n ).2 pavzds [DL neišreikštiniai sprendiniai]. Lgbė Φ(, ; C,C 2) ra vienareikšmiškai išspendžiama C 2) 2 laisvųjų =0apibrėžia konstantų DL ( atžvilgiu: ) 2/3 ( ) 2 =0neišreikštin Φ C 2. Iš tikro, =2( C2) 0, ir galime užrašti spre C pavidalus = C 2 ± p ( C ) 2, (C ; C +). = ψ (,,..., (n ) ),... Pirmosios eilės (.3) normaliajai DL, funkcija Φ(, ) apibrėžia n dinį Φ(, ) =0, jei teisinga tapatbė C n = ψ n (,,..., (n ) ). dφ Φ(, ) Φ(, ) = + f(, ) 0. d Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5.3 pavzds [DL neišreikštinis sprendins]. Funkcija Φ(, ) = 2 +

8 Bendrasis sprendins gali būti užraštas parametrizuotu pavidalu arba neišreikštiniu pavidalu = ϕ(t; C,..., C n ), = ψ(t; C,..., C n ), Ψ(, ; C,..., C n ) = 0. Pastaruoju atveju, sprendinių šeima dar vadinama bendruoju integralu. Iš bendrojo sprendinio (bendrojo integralo), imdami konkrečias C,..., C n reikšmes, gauname atskirajį sprendinį (atskirajį integrala). Funkcija = sin + C ra DL = cos bendrasis sprendins, o = sin, = sin 2, = sin + atskirieji sprendiniai. dddd dddd dddd dddd d = f (, ). d PDL sprendins priklauso nuo pradinių salgų. Ta pati PDL, bet skirtingos pradinės salgos. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Koši uždavins (PDL + pradinės salgos) Analizinis DL sprendimas Surandama sprendinių šeima. 2 Pasirenkamas atitinkantis pradines salgas sprendins. 3 Užrašoma analizinė sprendinio () formulė. Pirmosios eilės PDL n-osios eilės PDL d = f (t, ), 0 t T (0) = 0. (n) = f ( t,,,..., (n )), (t 0 ) = a, (t 0 ) = a 2,, (n ) (t 0 ) = a n. pirmosios eilės PDL sistemai ẏ = f (t,, 2,, n ), ẏ 2 = f 2 (t,, 2,, n ),.. ẏ n = f n (t,, 2,, n ), (t 0 ) = a, 2 (t 0 ) = a 2,. n (t 0 ) = a n. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

9 PDL sistemos - vektorinis pavidalas Apibendrinsime DL lgties savoka DL sistemoms. Vektorinė DL vektorinė m-tosios eilės DL (m-osios eilės DL sistema) F(,,,..., (m) ) = 0, čia = (,..., n ), F = (F,..., F n ) C (D F ), D F R n(m+)+ ra funkcijos F (kartu ir vektorinės DL apibrėžimo sritis). n-osios eilės normalioji DLS = f (,,..., n ),... jos vektorinis pavidalas = f(, ), f C(D f ), D f R n+. n = f n (,,..., n ). Šiai DLS (vektorinei DL) apibendrinamos visos savokos, kurias apibrėžėme skaliarinei DL = f (, ). Koši uždavins F (,,..., n,,..., D(F,...,Fn) n) = 0, D(,..., n ) 0 = f (,,..., n ), F n (,,..., n,,..., n = f n) = 0. n (,,..., n ). Tokia DLS vadiname n-osios eilės normaliaja DLS. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Bendrasis sprendins = ϕ(, C), = f(, ), ( 0 ) = 0. Bendrasis integralas Ψ(,, C) = 0 arba Φ(, ) = C, čia C = (C,..., C n ), o visos funkcijos ra glodžiosios. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Aukštesnės eilės PDL Aukštesnės eilės PDL suvedimas į PDL sistema Visada galima suvesti aukštesnės eilės PDL į pirmosios eilės PDL sistema. Pavzds Tegul = d, a d3 3 + bd2 2 + cd = f (t); z = d2 2 d = d = z dz = a (f (t) bz c). Kaip suvesti aukštesnės eilės PDL į pirmos eilės PDL sistema? Tegul = 2 =. n = (n ) (n) = f ( t,,,..., (n )), (t 0 ) = a, (t 0 ) = a 2,, (n ) (t 0 ) = a n. = 2 2 = 3. n = f (t,, 2,..., n ) (t 0 ) = a 2 (t 0 ) = a 2 n (t 0 ) =. a n Svarbu išmokti spręsti pirmosios eilės PDL (sistemas). PDL sistema pradinės salgos Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

10 Aukštesnės eilės PDL pavzds Išspręskime antrosios eilės DL: = sin t (0) = (0) = 0 DLS sprendimas - pavzds Suvedame antrosios eilės DL į pirmosios eilės DL sistema. =, 2 =. 2 (0) 0 Įvedame naujus kintamuosius: Tada = = 2. 2 Iš duotosios DL: 2 = 5 2 t 2 sin 2(0) = sin t = sin t Gaunama DL sistema: Gaunama DL sistema: DL sprendins (integralinė kreivė): = 2 2 = sin t (0) = 0, 2 (0) = 0. DL sprendins (integralinė kreivė). Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 ir matematiniai modeliai Modeliavimas Henri Poincaré: Mathematics is the art of giving the same name to different things. Matematinis modeliavimas Taikomosios matematikos dalis, skirta įvairių sričių (fizikinių, biologinių, cheminių, ekonominių ir t.t.) uždavinių sprendimui naudojant virtualiojo eksperimento metodika. Uždavinio sprendimo įrankiai: analiziniai sprendiniai, artutiniai metodai, skaitiniai metodai, statistiniai metodai, grafikai, ir t. t. Taikoma mokslinių trimų programinė įranga. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 ir matematiniai modeliai Matematiniai modeliai Matematinio modeliavimo etapai ir matematiniai modeliai Matematinis modelis Matematinio modeliavimo etapai Suformuluoti realųjį uždavinį matematiniais terminais (matematinio modelio konstravimas) Matematinio uždavinio analizė arba sprendimas. Matematinių rezultatų interpretavimas Matematinis pradinio modeliavimas realaus uždavinio kontekste. Taikomųjų arba fizikinių uždavinių sprendimo eiga Reali situacija Dėsniai užrašomi kaip lgčių sistema (algebrinių, diferencialinių, integralinių, gali būti ir netiesinė) Algebrinė lgtis ma = F Paprastoji diferencialinė lgtis m dv = F, md2 2 = F Matematinis modeliavimas: Formulavimas Matematinis modelis Uždavinio analizė Interpretavimas Sprendimo rezultatai Diferencialinė lgtis dalinėmis išvestinėmis (matematinės fizikos lgtis) u t = 2 u u 2 O.Štikonienė (MIF VU) Skaitiniai metodai Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 2 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

11 ir matematiniai modeliai Taikomieji arba fizikiniai uždaviniai Pavzds. Matematinio modeliavimo etapai Realus uždavins gventojų skaičiaus nustatmas ateitje. Matematinis modelis kintamieji (P, t) ir diferencialinis uždavins dp = kp, P(0) = P 0. Uždavinio analizė lgties sprendimas (nustatti P kaip funkcija nuo t). Gautų matematinių rezultatų taikmas ir interpretavimas. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Matematinių modelių pavzdžiai Normalaus dauginimosi lgtis Dauguma populiacijų (bakterijos, žuvs ir t.t.) dauginasi pagal dėsnį: populiacijos augimo greitis tiesiogiai proporcingas individų skaičiui. Šis dėsnis teisingas, kai populiacija turi pakankamai maisto. (t) populiacijos ddis. d = k, k > 0, čia k ra proporcingumo koeficientas. Ta pati diferencialinė lgtis - skirtingi taikmai. Demografiniai procesai, Radioaktvusis skilimas, Cheminės reakcijos, Kainų augimo dinamika, kai infliacija pastovi, Gambos augimas (be konkurencijos). Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Matematinių modelių pavzdžiai Radioaktvusis skilimas Nustatta, kad radioaktvių izotopų skilimo greitis proporcingas (koeficientas k < 0) radioaktvios medžiagos kiekiui. (t) radioaktviųjų atomų skaičius medžiagos mėginje laiko momentu t. d = k, k < 0. Laikas, per kuri suskla pusė radioaktvaus izotopo branduolių, vadinamas pusamžiu. radžio 226 Ra pusamžis ra 600 metai, radioaktvaus anglies izotopo 4 C 5730 metai. W. Libb už radioaktviosios anglies datavimo metodo idėja gavo Nobelio premija (chemija, 960 metai). Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Matematinių modelių pavzdžiai Uždavins - Datavimas radionuklidais Paimta iš Kristaus laikams priskiriamos relikvijos anglis turėjo 4, izotopo 4 C atomų grame. Išgauta iš šių dienų pavzdžio anglis turi 5, izotopo 4 C atomų/g. Apskaičiuokite aptikslį relikvijos amžių. (Jūsų nuomone, ar ji ra autentiška?). N(t) = 4, ; N 0 = 5, ; τ dn = kn, k > 0, Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5

12 Matematinių modelių pavzdžiai Niutono empirinis aušimo dėsnis Uždavins Matematinių modelių pavzdžiai Kūno aušimo greitis tiesiogiai proporcingas kūno ir aplinkos temperatūrų skirtumui T T a : dt = k (T T a ), T(t) kūno temperatūra laiko momentu t, T a aplinkos temperatūra, k > 0 ra proporcingumo konstanta. Sprendins: jei T(0) = T 0, tai T(t) = (T 0 T a )e kt + T a. Koeficientas k priklauso nuo oro cirkuliavimo kambarje, kūno šiluminio laidumo ir panašiai. Kambarje su pastovia temperatūra T a = 2 o C prieš vidurdienį rastas lavonas (žudiko auka). Kūno temperatūra vidurdienį buvo 27 o, o po valandos 24 o. Tarkime, kad mirties momentu temperatūra buvo normali (36, 6 o ) ir kūnas vėso pagal Niutono dėsnį. Kada įvko žmogžudstė? dt = k (T T a ). T(t) kūno temperatūra laiko momentu t, T(0) = 36, 6, T a = 2 aplinkos temperatūra. Sprendins: jei T(0) = T 0, tai T(t) = (T 0 T a )e kt + T a. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Mišiniai Matematinių modelių pavzdžiai Matematinių modelių pavzdžiai Modelio taikmai Druskos kiekį dviejų skirtingos koncentracijos druskos tirpalų mišinje aprašo pirmos eilės diferencialinės lgts. A(t) - druskos kiekis rezervuare laiko momentu t da = ( input rate of salt ) ( output rate of salt ) = R in R out. concentration of salt input rate input rate in inflow of brine of salt R in = 2 3 = 6. R out = concentration of salt output rate output rate in outflow of brine of salt A(t) = A(t) 00 da = 6 A 00, da Pavzds. input rate of brine 3 gal/min constant 300 gal output rate of brine 3 gal/min FIGURE.3. Miing tank + 0, 0A = 6. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5.3 DIFFERENTIAL EQUATIONS AS MATHEMATICAL MODELS 23 brine solution is pumped into the large tank at a rate of 3 gallons per minute; the concentration of the salt in this inflow is 2 pounds per gallon. When the solution in the tank is well stirred, it is pumped out at the same rate as the entering solution. See Figure.3.. If A(t) denotes the amount of salt (measured in pounds) in the tank at time t, then the rate at which A(t) changes is a net rate: output rate kintam. (7) of salt R in R out da input rate of salt The input rate Rin at which salt enters the tank is the product of the inflow concentration of salt and the inflow rate of fluid. Note that Rin is measured in pounds per minute: concentration of salt in inflow Now, since the solution is being pumped out of the tank at the same rate that it is pumped in, the number of gallons of brine in the tank at time t is a constant 300 gallons. Hence the concentration of the salt in the tank as well as in the outflow is c(t) A(t) 300 lb/gal, so the output rate Rout of salt is concentration of salt in outflow A(t) R out ( 300 ) lb/gal input rate of brine input rate of salt R in (2 lb/gal) (3 gal/min) (6 lb/min). Tvenkinių, ežerų užterštumas, vaistų koncentracija žmogaus organuose, balanso principu pagrįsti finansiniai uždaviniai. Sunkiai nustatomas arba nepastovus srauto greitis. Koncentracija gali būti nepastovi. Įtekėjimo ir ištekėjimo srautai gali skirtis, tada reikia atsižvelgti į a sksčio kiekį. Matematinis modelio tinkamumas. Neįtraukti Vandens garavimas arba prasisunkimas į grunta, krituliai. Cheminės medžiagos sugėrimas tvenkinje gvenančiomis žuvimis ar kitais organizmais. Ar cheminės medžiagos koncentracija vienoda visame tvenkinje? Ar galima pasitikėti gautais rezultatais priklauso nuo šių supaprastinimo prielaidų pagrįstumo. output rate output rate of brine of salt Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 A(t) (3 gal/min) lb/min. 00

13 Banko paskola Matematinių modelių pavzdžiai Bankas gali suteikti paskola su metine palūkanų norma 8%. Paskolos gavėjas nori pasiskolinti 20 tūkstančių litų ir paskola gražinti per ketverius metus. Kokia mėnesio įmoka turėtų būti? S(t) paskolos likutis (litais) bet kuriuo laiku t (metais). r metinė palūkanų norma, k mėnesio įmoka. Remiantis balanso principu ds = rate in rate out, galima užrašti ds = rs 2k, Pradinė salga (paskolos suma) S(0) = S 0. Pagal uždavinio salgas r = 0, 08 ir S 0 = Koši uždavins ds = 0, 08S 2k, S(0) = Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 DL sprendins Matematinių modelių pavzdžiai S(t) = 50k + Ce 0,08t. Iš pradinių salgų gauname, kad C = k, taigi S(t) = 20000e 0,08t 50k(e 0,08t ). (2) Norėdami rasti tokį mėnesio įmokos ddį, kad paskola būtu gražinta per ketverius metus, įstatome į (2) t = 4 (metai), S = 0 (Lt) ir gauname k = e 0,32 e 0,32 = 486, 88(Lt). Taigi, iš viso mokėdami 48 kartus (4 2) po 486,88 Lt, bendra išmokėta suma ,24 Lt, bendra palūkanų suma 3370,24 Lt. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5 Matematinių modelių pavzdžiai Finansiniai taikmai Koši uždavins ds = rs 2k, S(0) = S 0. r ra apskaičiuota gražos norma (palūkanos, dividendai, kapitalo prieaugis), k ra mėnesio indėlių arba įmokos norma. Jo sprendins S = S 0 e rt 2 k r (ert ). Rezultatas gali būti naudojamas įvairiuose finansinėse situacijose įvairių rūšių investicinės programos, paskolos, hipotekos. Olga Štikonienė (FDM MIF VU) paskaita / 5